knots and their coloring matrices

การใชเมทรกซชวยในการระบายส

Knots and their coloring matrices

คณะผดาเนนงาน

นายพงพนา ชสกลชาต รหสประจาตว 51-4066-310-4 นางสาวนฐตยา ลภา รหสประจาตว 51-4066-362-5 นางสาวอรณ โฆษตพล รหสประจาตว 51-4066-367-4

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ลขสทธของภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรประยกต

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ก

ชอโครงงาน (ภาษาไทย) การใชเมทรกซชวยในการระบายส ชอโครงงาน (ภาษาองกฤษ) Knots and their coloring matrices โดย นายพงพนา ชสกลชาต นางสาวนฐตยา ลภา นางสาวอรณ โฆษตพล สาขา คณตศาสตรประยกต ภาควชา คณตศาสตร คณะ วทยาศาสตรประยกต อาจารยทปรกษา ผชวยศาสตราจารย ดร. พงศพล จนทร ปการศกษา 2554 ไดรบอนมตใหนบเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตร ปรญญาวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรประยกต

………………………………………….. อาจารยทปรกษา ( ผชวยศาสตราจารย ดร.พงศพล จนทร ) ………………………………………….. กรรมการ ( อาจารย ดร.วลยลกษณ ชวนสพร ) ………………………………………….. กรรมการ ( อาจารย สนตพงษ ประสาททอง )

ข

บทคดยอ

โครงงานนมจดมงหมายเพอศกษานอต (knots) และการระบายสของนอต (colorability of knots) โดยใชเมทรกซของการระบายส (coloring matrices) และดเทอรมแนนทของเมทรกซการระบายส (determinant of coloring matrices) มาชวย

โครงงานนเนนการใหสกบนอตและผลรวมของนอต (knots sum) นกคณตศาสตรไดสรางบทนยาม และพสจนทฤษฎบท เพอชวยวเคราะหวา นอตสามารถระบายได 3 สหรอไม โดยทฤษฎบทจะถกนามาชวยแกปญหาการระบายสดงกลาว

ค

Abstract

The purpose of this project is to study knots and their colorability. The project is mostly

emphasizing on technical coloring into knots and knots sum by applying their coloring matrices and

determinant of coloring matrices. The mathematicians have introduced some theories in order to

analyze whether knots is tricolorable or non-tricolorable that can explain or back up by

mathematical theories. The knot theories have lead to solve such problems.

ง

กตตกรรมประกาศ

โครงงานเรอง การใชเมทรกซชวยในการระบายส (Knots and their coloring matrices)

สาเรจลลวงดวยดกดวยความอนเคราะหชวยเหลอจากบคคลหลายฝาย ทางคณะผดาเนนงาน

ขอขอบพระคณผชวยศาสตราจารย ดร.พงศพล จนทร ซงเปนอาจารยทปรกษา อาจารย ดร.วลย

ลกษณ ชวนสพร และ อาจารย สนตพงษ ประสาททอง ซงเปนคณะกรรมการในการทาโครงงาน

ฉบบน ทกรณาใหคาแนะนา แลวใหขอคดเหนทเปนประโยชน และแกไขขอบกพรองตางๆ

รวมทงคณาจารยภาควชาคณตศาสตรทกทานทประสาทวชาความรตางๆ ตลอดระยะเวลาทผานมาจน

มความรความสามารถเพยงพอสาหรบทาโครงงานน อกทงยงสละเวลาตรวจแกไขและใหคาปรกษา

ตลอดจนแนะแนวทางตางๆ อนเปนประโยชนกบทางคณะผดาเนนงาน

สดทายน ขอขอบคณเพอนทกคนรวมทงผทเกยวของทไดใหความชวยเหลอทกเรองในดาน

ตางๆ พรอมเปนแรงใจสนบสนนใหแกทางคณะผดาเนนงานใหสามารถทาโครงงานนสาเรจลลวงไป

ดวยด

นายพงพนา ชสกลชาต นางสาวนฐตยา ลภา

นางสาวอรณ โฆษตพล

จ

สารบญ

หนา บทคดยอภาษาไทย ข บทคดยอภาษาองกฤษ ค กตตกรรมประกาศ ง สารบญ จ

สารบญภาพ ช บทท 1 บทนา

1.1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา 1 1.2 วตถประสงคของงาน 1

1.3 ขอบเขตของการดาเนนงาน 2 1.4 วธการดาเนนงาน 2

1.5 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ 2 บทท 2 นยาม และทฤษฎทเกยวของ 2.1 บทนยามของ Knots 3 2.1.1 นยาม สวนของเสนโคง (line segment) 3 2.1.2 นยาม ลาดบเซตของเสนโคง 3

2.1.3 นยาม Knots 3 2.1.4 นยาม Unknot 3 2.1.5 นยาม การเปลยนรปเบองตน (elementary deformation) 4 2.1.6 นยาม การสมมล (equivalent) 4

2.2 การระบายสบนเมทรกส (Coloring matrix) และทฤษฎบททเกยวของ 4 2.2.1 นยาม p-colorable 4 2.2.2 นยาม Diagram 4

2.2.3 นยาม Tricolorable 5 2.2.4 นยาม Non-Tricolorable 5

2.3 การรวม Knots (Knots sum) และทฤษฎบททเกยวของ 5 2.3.1 นยาม การรวม Knots 5 2.4 ตารางแบบฟอรมของ Knots 6

ฉ

สารบญ (ตอ) หนา

บทท 3 วธการดาเนนงาน 3.1 Colorable Knots 7

3.1.1 ทฤษฎบท ความสมพนธ 2 0 (mod )x y z p 7 3.1.2 นยาม ดเทอรมแนนตของ knot (Determinant of knot) 9 3.1.3 บทแทรก การเปน p-colorable ของ knots 9 ตวอยางท 3.1.2.1 : การระบายสของ ภาพท 3.1 Knot 13 10 ตวอยางท 3.1.2.2 : การระบายสของ ภาพท 3.3 Knot 29 12 3.2 การรวม Knots และ Determinnts 15 3.2.1 การรวม Knots ทเปน Tricolorable กบ Tricolorable 15 ตวอยางท 3.2.1.1 : ภาพ Knot 77 กบ Knot 69 15 ตวอยางท 3.2.1.2 : ภาพ Knot 16 กบ Knot 29 21 3.2.2 การรวม Knots ทเปน Tricolorable กบ Non-Tricolorable 27 ตวอยางท 3.2.2.1 : ภาพ Knot 77 กบ Knot 88 27 ตวอยางท 3.2.2.2 : ภาพ Knot 15 กบ Knot 16 33 3.2.3 การรวม Knots ทเปน Non-Tricolorable กบ Non-Tricolorable 39 ตวอยางท 3.2.3.1 : ภาพ Knot 25 กบ Knot 26 39 ตวอยางท 3.2.3.2 : ภาพ Knot 15 กบ Knot 57 45 บทท 4 สรปผล และขอเสนอแนะ 4.1 ผลของการดาเนนงาน 51 4.1.1 การระบายส mod p 51 4.1.2 การรวม Knots (knot sum) 51 4.2 ขอเสนอแนะ 51 บรรณานกรม 52 ภาคผนวก 53

ช

สารบญภาพ ภาพท หนา ภาพท 2.1 ตารางแบบฟอรมของ Knots 6 ภาพท 3.1 Knot 13 10 ภาพท 3.2 Knot 13 เปน Tricolorable 11 ภาพท 3.3 Knot 29 12 ภาพท 3.4 Knot 29 เปน Tricolorable (ระบายสได 3 ส) 13

ภาพท 3.5 Knot 29 เปน Tricolorable (ระบายสได 5 ส) 14 ภาพท 3.6 Knot 77 15 ภาพท 3.7 Knot 77 เปน Tricolorable 16 ภาพท 3.8 Knot 69 17 ภาพท 3.9 Knot 69 เปน Tricolorable 18 ภาพท 3.10 แสดงแผนภาพ Knot 77 รวมกบ Knot 69 19 ภาพท 3.11 แสดงแผนภาพ Knot 77 รวมกบ Knot 69 เปน Tricolorable 20 ภาพท 3.12 Knot 16 21 ภาพท 3.13 Knot 16 เปน Tricolorable 22 ภาพท 3.14 Knot 29 23 ภาพท 3.15 Knot 29 เปน Tricolorable 24 ภาพท 3.16 แสดงแผนภาพ Knot 16 รวมกบ Knot 29 25 ภาพท 3.17 แสดงแผนภาพ Knot 16 รวมกบ Knot 29 เปน Tricolorable 26 ภาพท 3.18 Knot 77 27 ภาพท 3.19 Knot 77 เปน Tricolorable 28 ภาพท 3.20 Knot 88 29 ภาพท 3.21 Knot 88 เปน Non-Tricolorable 30 ภาพท 3.22 แสดงแผนภาพ Knot 77 รวมกบ Knot 88 31 ภาพท 3.23 แสดงแผนภาพ Knot 77 รวมกบ Knot 88 เปน Tricolorable 32 ภาพท 3.24 Knot 15 33 ภาพท 3.25 Knot 15 เปน Non-Tricolorable 34 ภาพท 3.26 Knot 16 35 ภาพท 3.27 Knot 16 เปน Tricolorable 36

ซ

สารบญภาพ (ตอ) ภาพท หนา ภาพท 3.28 แสดงแผนภาพ Knot 15 รวมกบ Knot 16 37 ภาพท 3.29 แสดงแผนภาพ Knot 15 รวมกบ Knot 16 เปน Tricolorable 38 ภาพท 3.30 Knot 25 39 ภาพท 3.31 Knot 25 เปน Non-Tricolorable 40 ภาพท 3.32 Knot 26 41 ภาพท 3.33 Knot 26 เปน Non-Tricolorable 42 ภาพท 3.34 แสดงแผนภาพ Knot 25 รวมกบ Knot 26 43 ภาพท 3.35 แสดงแผนภาพ Knot 25 รวมกบ Knot 26 เปน Non-Tricolorable 44 ภาพท 3.36 Knot 15 45 ภาพท 3.37 Knot 15 เปน Non-Tricolorable 46 ภาพท 3.38 Knot 57 47 ภาพท 3.39 Knot 57 เปน Non-Tricolorable 48 ภาพท 3.40 แสดงแผนภาพ Knot 15 รวมกบ Knot 57 49 ภาพท 3.41 แสดงแผนภาพ Knot 15 รวมกบ Knot 57 เปน Non-Tricolorable 50

1

บทท 1 บทนา

1.1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา

ทฤษฏ knots เปนสวนหนงของสาขาคณตศาสตร ซงมอายมายาวนานหลายศตวรรษแลวแต

ไดมการใชงานทโดดเดนไปทางดานวทยาศาสตรกายภาพ และเปนทนาสนใจของวชาคณตศาสตร

เพราะเปนสงทมคาสาหรบทางการศกษา และ knots ยงมบทบาทหนาทดานความสวยงามของตวมน

เอง และมประโยชนตอสงคมมาอยางยาวนาน ในขณะนนเกดการคนพบวา knots มการใชงานเปน

จานวนมากหลายพนป วตถประสงคของโครงงานนคอ การทาหนาทเปนความรเบองตน เกยวกบ

ทฤษฎของ knots โดยใชคณตศาสตรในการคานวณนยามของ knots การระบายส knots และ การ

คานวณการระบายส knots โดยใช determinants

เราจะเรมตนดวยการนาเสนอบทความโดยสรปใจความสาคญ โดยกาหนดนยามและทฤษฎ และปรบแตงคานยามเพอใหงายตอความเขาใจ และโครงงานนไดสบเนองมาจากสมมนา เรอง Borromean ring ทมเนอหาเกยวของกบ knots ดงนนเราจงไดนามาประยกตกบการระบายส knots และใช determinants ในการคานวณ

1.2 วตถประสงคของงาน

1.2.1 เพอทราบความหมาย และหาขอแตกตางของ knots , unknot , colorable , tricolorable , non-tricolorable , determinants of knots 1.2.2 เพอใหเขาใจถงรปแบบทสาคญของ knots และการรวมของ knots (knots sum) โดย ใชวธของ determinants

2

1.3 ขอบเขตของการดาเนน

การใชเมทรกซชวยในการระบายส (Knots and their coloring matrices) โดยมขอบเขตการพจารณาจากขอมลทางดาน determinants of knots ดงตอไปน 1.3.1 ศกษา coloring matrix

1.3.2 ศกษาการรวมกนของ knots (knots sum)

1.4 วธการดาเนนงาน

1.4.1 คนหาเนอหาทเกยวกบ knots , unknot , colorability , tricolorability , coloring matrix และ การรวม knots 1.4.2 รวบรวมเนอหา และศกษาเนอหาทเกยวของ 1.4.3 นาทกษะทางดานคณตศาสตรใชในการศกษาและวเคราะหเนอหาเชงพสจน พรอม ทงแสดงผล และอธบายผลทไดรบจากการวเคราะหเนอหา

1.5 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ

1.5.1 สามารถทาใหเรารหลกการพสจน knots โดยใชหลกการในการใชเมทรกซชวยในการ ระบายส 1.5.2 สามารถรถงขอแตกตางระหวางรปแบบของ tricolorable และ non-tricolorable

3

บทท 2 นยาม และทฤษฏทเกยวของ

ในบทนเราจะกลาวถงบทนยามของ knots และทฤษฎบททสาคญตางๆ รวมถงวธการระบายสบนเมทรกซ และวธการรวมของ knots ทใชในการหาความเปน tricolorable ใน knots

2.1 บทนยามของ Knots

บทนยาม 2.1.1 : กาหนดให 3,p q

เขยน [ , ]p q แทน สวนของเสนตรง (line segment) ทเชอมจด p และ q [2]

บทนยาม 2.1.2 : กาหนดให 1 2( , , ..., )np p p เปนลาดบของเซต (ordered set) ทแตกตางกน

(distinct point) [2] 2.1.2.1 ผลรวมของสวนของเสนตรง และ 1[ , ]np p ถกเรยกวา “ สวนโคงปดรปหลายเหลยม ” (closed polygonal curve) 2.1.2.2 ถาแตละสวนของเสนตรงตดกบสวนของเสนตรงอน เฉพาะทจดปลาย เทานน แลวเรยกสวนโคงปดรปหลายเหลยมนวา “ สวนโคงปดหลาย เหลยมแบบงาย ” (simple closed polygonal curve)

บทนยาม 2.1.3 : knot (ปม หรอ เงอน)

คอ สวนโคงปดหลายเหลยมแบบงาย (simple closed polygonal curve) ใน 3

เมอ เปนเซตของจานวนจรง [2] บทนยาม 2.1.4 : unknot (ไมมปม) กาหนดใหK เปน knot และ กลาววา K เปน trivial knot หรอ unknot กตอเมอ iK สมมลกบ iC

(unknot แทนดวย U ) [1]

1 2 2 3 1[ , ], [ , ], ..., [ , ]n np p p p p p

3 2 2{( , , ) : 1} , 0,1, 2,...,iC x y i x y i n

4

บทนยาม 2.1.5 : การเปลยนรปเบองตน (elementary deformation) กาหนดให K และ J เปน knots กลาววา J เปนการเปลยนรปเบองตน (elementary deformation) ของ K กตอเมอ

Knots หรอ J เกดจากลาดบของจด 1 2( , , ..., )np p p หรอลาดบของ จด 0 1 2( , , , ..., )np p p p

เมอ 1) 0p เปนจดทไมรวมเสนตรง (collinear) กบจด 1p และ np 2) สามเหลยม 0 1( , , )np p p จะตดกบ knot ทเกดจาก

เพยงแคสวนของเสน 1[ , ]np p เทานน

บทนยาม 2.1.6 : การสมมล (equivalent) กาหนดให K และ J เปน knot กลาววา K และ J สมมล (equivalent) กตอเมอ มลาดบของ knot ซงแตละ 1iK เปนการ เปลยนรปเบองตน ของ K สาหรบทกๆ 1,2,3,...,i n

2.2 การระบายสบน Knots และทฤษฎบททเกยวของ

บทนยาม 2.2.1 : จะกลาววา แผนภาพของ knots (knots diagram) สามารถระบายสได [5] กตอเมอ 1. แตละเสนโคงจะตองถกระบายดวย 1 ในจานวนสทกาหนดให 2. อยางนอย 2 สตองถกใชในแผนภาพ (diagram) 3. ทจดตดใดๆ ถาปรากฏ 2 ส จะตองใช 3 ส

บทนยาม 2.2.2 : แผนภาพสามารถทจะถกระบายส (label) mod p ได [2] กตอเมอ 1. แตละเสนโคงสามารถระบายดวยจานวนเตมตงแต 0 ถง (p - 1) 2. แตละจดตดมความสมพนธดงน 1 2 32 0 (mod )x x x p เมอ 1x เปน label ของเสนทอยบนจดตด 2x และ 3x กจะเปน label ของเสนทอยใตจดตด

3. อยางนอย 2 สตองถกใชในแผนภาพ (diagram)

0 1, ,..., nK K K K J

K

1 2( , , ..., )np p p

5

บทนยาม 2.2.3 : จะกลาววาแผนภาพ knot เปน tricolorable กตอเมอ 1. แตละเสนโคงจะตองถกระบายดวย 1 ในจานวนสทกาหนดให 2. ใช 3 สในแผนภาพ

3. ทจดตดใดๆ ถาปรากฏ 2 ส จะตองใช 3 ส

บทนยาม 2.2.4 : จะกลาววาแผนภาพ knot เปน non-tricolorable กตอเมอ 1. แตละเสนโคงจะตองถกระบายดวย 1 ในจานวนสทกาหนดให 2. ใชมากกวา 3 สในแผนภาพ 3. ทจดตดใดๆ ถาปรากฏ 2 ส จะตองใช 3 ส

2.3 การรวม Knots (Knots sum) และทฤษฎบททเกยวของ

บทนยาม 2.3.1 : กาหนดให 1K และ 2K เปน knots จะกลาววา การเชอมตอของ knots ทงสองเกดขนโดยการลบเสนโคง จากแตละ knots แลวเชอมตอกบจดตดทง 4 โดยเสนโคงใหมทเกดขน 2 เสนนไมมจดตด

ทาใหเกดเปน knot และเขยนแทนดวย 1 2#K K [4]

2.4 ต

ตารางแบบฟฟอรมของ K

Knots

ภาพท 2.1 ตา

6

ารางแบบฟอร

รมของ Knotss [5]

7

บทท 3 วธการดาเนนงาน

ในการทาโครงงานนนมทฤษฎบท และขนตอนดาเนนงาน ดงน

3.1 Colorable Knots

ทฤษฎบท 3.1.1 : กาหนดให K เปน knots และ p เปนจานวนเฉพาะท 3p และกาหนด

ความสมพนธ 2 0 (mod )x y z p แตละจดตดของแผนภาพ

เมอเสนทอยบนจดตดระบายดวย x และเสนทอยใตจดตด ระบายดวย y และ z

สาหรบบาง , , px y z

จะไดวา ทจดตดใดๆจะใช 3 ส หรอ ใชเพยงสเดยวเทานน

พสจน

สมมตใหจากสมมตฐาน ไดวาความสมพนธดงน 2 0 (mod )x y z p

เมอเสนทอยบนจดตดระบายดวย x และเสนทอยใตจดตด ระบายดวย y และ z

สาหรบบาง , , px y z

จะแสดงวา ทจดตดใดๆจะใช 3 ส หรอ ใชเพยงสเดยวเทานน

จาก 2 0 (mod )x y z p

นนคอ 2x y z

ดงนน x y z x

กรณท 1 x y z

x x x x

x x

นนคอ ใชเพยงสเดยวเทานน

8

กรณท 2 x y ; (x z และ )y z

ใชการพสจนโดยขอขดแยง

x y z x

ถา x z จะไดวา x y x x แลว x y

ถา y z จะไดวา x y y x แลว 0 ( ) ( ) 2( )y x y x y x

จะได | ( ) 0p y x y x y x

กรณท 3 x z ; (x y และ )z y

ใชการพสจนโดยขอขดแยง

x y z x

ถา x y จะไดวา x x z x แลว x z

ถา z y จะไดวา x z z x แลว 0 ( ) ( ) 2( )z x z x z x

จะได | ( ) 0p z x z x z x

กรณท 4 y z

x y z x

ถา y x จะไดวา x x z x แลว y x z

ถา x z จะไดวา x y x x แลว x y

ดงนน y x z

ดงนน จาก กรณท 1 จะไดวา จดตดใชสเดยว

จาก กรณท 2 , กรณท 3 , กรณท 4 สมมลกน จะไดวา ถาเกด 2 ส แลวจะปรากฏ 3 ส

9

บทนยาม 3.1.2 : กาหนดให K เป◌น knot

ดเทอรมแนนตของ knot (Determinant of knot)เขยนแทนดวย det ( )K เปนคา

สมบรณของ coloring matrix ทตดแถวตดหลกแลว

บทแทรก 3.1.3 : knot เปน p colorable กตอเมอ |p d โดยท d เปนดเทอรมแนนตของ

knot

พสจน

( ) สมมตให K เปน knot และ K เปน p colorable เราตองการพสจนวา |p d

เนองจาก K เปน p colorable

ดงนนม X ทซง 0 (mod )MX p และ 0 (mod )X p

นนคอ ดเทอรมแนนต 0 (mod )d p หรอ |p d

( ) สมมตให |p d เราตองการพสจนวา K เปน p colorable

เนองจาก |p d ฉะนนจงไดวา 0 (mod )d p

ซงหมายความวามเวกเตอร X ทไมเปน 0 ทซง 0 (mod )MX p

ดงนน K เปน p colorable

จากบ

ส

บทแทรก 3.1.3

ตวอยางท

วธท

จากภาพ 3

จากระบบ

สมการดงตอไ

3 เราจะแสดง

ท 3.1.2.1 :

า จาก Knot

3.1 ไดระบบส

บสมการ colo

ไปน

1M

งตวอยาง การ

กาหนดให

t 13

ภ

สมการ colori

12x x

1 2x x

1 2x x

oring system

| de

10

รระบายสเมท

1K แทน

าพท 3.1 Kno

ing system eq

2 3 0 (x x

2 32 0 (x

2 3 0 (x x

equations ดง

1et( ) |M

2

1

1

รกซของ p

Knot 13

ot 13

quation (CSE

(mod )p

(mod )p

(mod )p

งกลาวจะได c

| 0 |

1 1

1 2

2 1

colorable

) ดงน

coloring matr

กตอเมอ p

rix ของระบบ

| d

บ

แ

เราจะทาก

ดงนน จา

แสดงวา 1K

การตดแถว ตด

ากการระบายส

เปน tricolor

ดหลกสดทาย

1K

| d

ส mod p จ

rable

ภาพท 3.2

11

ย คอ แถว 3 ห

2 1

1 1

1 2

1det( ) |K

จะไดวา 3

Knot 13 เป

หลก 3 จะได

1

2

1

| 3 |

0 (mod 3

น tricolorabl

ด

3) จากบทแท

e

ทรก 3.1.3

e

ตวอยางท

วธท

ในทานอง

equations ขอ

ท 3.1.2.2 :

า จาก Knot

งเดยวกนกบต

อง knot 2K

2M

กาหนดให t 29

ตวอยางท 3.1.

ในรปของ co

1 0 0

2 0

1 1 2

0 2 0

0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

12

2K แทน

ภาพท 3.3 K

.2.1 เราสามาร

oloring matrix

0 2 0

1 1 0

2 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

2det(M

น Knot 29

Knot 29

รถเขยนระบบ

x ของระบบส

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 1 1

0 0 2

1 0 0

2 0 0

1 1 0

0 2 1

2 ) 0

บสมการ colo

สมการดงตอไ

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 2

1 1

2 0

1 0

oring system

ไปน

แ

เราจะทาก

ดงนน จาแสดงวา 2K

การตดแถว ตด

2K

าก การระบาย สามารถระบ

ภาพท

ดหลกสดทาย

1 0 0

2 0 1

1 1 2

0 2 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

|

ยส mod p

บายได 3 ส

ท 3.4 Knot 9

13

ย คอ แถว 9 ห

0 2 0

1 1 0

2 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

2det( ) |K

จะไดวา 15

จงเปน tricol

29 เปน tricol

หลก 9 จะได

0 0

0 0

0 0

1 1

0 2

0 0

0 0

1 0

2 1

| 15 |

5 0 (mod

lorable

orable (ระบ

ด

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 2

1 1

2 0

1 0

d 3) จากบทแ

ายสได 3 ส)

แทรก 3.1.3

จ

หรอ จากบ

จากบทแทรก

บทแทรก 3.1

ก 3.1.3 แสดงว

ภาพท

.2 การระบา

วา 2K สามา

ท 3.5 Knot 9

14

ยส mod p

ารถระบายได

29 เปน tricol

p จะไดวา 1

5 ส

lorable (ระบ

15 0 (mo

บายสได 5 ส)

od 5)

3.2 การ

3.2.

equ

1M

รรวม Knot

.1 การรวม

ตวอยางท 3.2

วธทา จ

ในทานองเดย

uations ของ k

ts และดเท

ม knots ทเป

2.1.1 กา

จะ

จาก Knot 7

ยวกนกบตวอ

knot 1K ในร

อรมแนนทข

ปน tricolora

าหนดให K

K

ะแสดงวา K

7

ภ

อยางท 3.1.2.1

รปของ color

15

ของ Knots

able กบ tric

1K แทน kn

2K แทน k

1 2#K K เปน

ภาพท 3.6 Kn

1 เราสามารถเ

ing matrix ขอ

1| det( )M

colorable

not 77

knot 69

น tricolorab

not 77

เขยนระบบสม

องระบบสมก

1

2

1

0

0

0

0

| | 0 |

ble

มการ colorin

การดงตอไปน

1 0 0

2 0 1

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 0

ng system

น

2 0

1 0

0 0

1 1

0 0

0 1

0 2

0 1

0 0

0 2

0 0

2 0

1 0

1 1

แสด

เราจะทาการต

ดงนน จากกา

ดงวา 1K เป

ตดแถว ตดหล

1K

ารระบายส m

น tricolorabl

ลกสดทาย คอ

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

mod p จะได

le

ภาพท 3.

16

อ แถว 7 หลก

0 0 2

0 1 1

1 0 0

2 0 1

1 1 0

0 2 0

0 0 0

1| det( ) |K

ดวา 21 0 (

.7 Knot 77 เ

ก 7 จะได

0 0

0 0

0 0

1 0

0 2

1 1

2 1

| 21|

mod 3) จาก

เปน tricolora

1

0

2

0

0

0

1

กบทแทรก 3.1

able

1.3

ของ

จาก Knot 9


ง knot 2K ใ

M

6


นรปของ colo

2

1

0

0

0

0

0

0

1

2M

อยางท 3.1.2.1

oring matrix

0 0

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

17

ภาพท 3.8

เราสามารถเ

ของระบบสม

0 0

0 0

1 1

2 0

0 0

1 0

0 2

0 1

0 0

2| det( ) |M

Knot 69

ขยนระบบสม

มการดงตอไป

1 1

0 2

0 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

2 0

| 0 |


ปน

1 0 0

2 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

ng system equ

0

0

0

0

0

0

1

2

1

uations

แสด




K


2

1

0

0

0

0

0

0

1


น tricolorabl

2K


2 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

1 0 0

mod p จะได

le

ภาพท 3.9

18

อ แถว 9 หลก

0 0 0

0 0 0

0 1

1 2 0

2 0 0

1 1 0

0 0 2

0 0

0 0 0

2| det( )K

ดวา 27 0 (

9 Knot 69 เป

ก 9 จะได

0 1

0 0

1 0

0 0

0 0

0 0

2 0

1 1

0 2

| | 27 |

mod 3) จาก

ปน tricolorab

1 0

2 0

0 0

0 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0


ble

0

0

0

0

0

0

1

2

1

1.3

ของ

ของ

1 #K

เมอนา knot

ง 1K และ K


ง knot 1 #K K

1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2# K

77 ทเปน tric

2K ซงเขยนแท

ภาพท 3


2K ในรปของ

0 0 0

0 0 0

1 0 0

2 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1

0 0 2

0 0

0 0 0

0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

colorable กบ

ทนดวย 1 #K

3.10 แสดงแผ

อยางท 3.1.2.1

ง coloring ma

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

2 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

| d e t(

19

บ knot 69 ทเป

2K ดงน

ผนภาพ Knot

1 2#K K


atrix ของระบ

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

1 1 0

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 2 0

0 1 1

0 0 0

1 2( # )K K

ปน tricolorab

t 77 รวมกบ


บบสมการดงต

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 2 0

0 1

0 0 2

1 1 0

2 0 0

0 0 0

) | | 0 |

ble มารวมกน

Knot 69


ตอไปน

0 2 0

1 1 0

0 0 0

0 1 1

0 0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

2 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 2

นจะได knots

ng system equ

0 1

0 0

0 2

0 0

2 0

1 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

sum

uations

แสด

K



ดงวา 1 #K K

ภ

1 2#K K


1 0 0

2 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0


2K เปน tricolo

าพท 3.11 แส


0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

| d

mod p จะได

orable

สดงแผนภาพ

20

อ แถว 16 หล

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 2 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

1 0 0

2 0 0

1 1 0

0 0 2

0 0 1

0 0 0

1 2det( #K K

ดวา 567 0

Knot 77 รว

ลก 16 จะได

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

2 0

1 1

0 0 2

0 0

0 0

0 1

1 2

0 0

) | | 567

(mod 3) จา

วมกบ Knot 9

0 0 2

0 1 1

0 0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

1 1 0

0 2 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

7 |

กบทแทรก 3

69 เปน trico

0 0 1

0 0 0

0 0 2

1 0 0

0 2 0

1 1 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 1 1

.1.3

lorable

1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ของ


วธทา จ


ง knot 3K ใ

2.1.2 กา

จะ

จาก knot 16



3M


K


ภา

อยางท 3.1.2.1

oring matrix

2

1

0

0

0

1

21

3K แทน Kn

4K แทน Kn

3 4#K K เปน

าพท 3.12 Kn


ของระบบส

0 0

1 0

2 1

1 1

0 2

0 0

3| det( )M

not 16

not 29

น tricolorabl

not 16



1 1

2 0

1 0

0 0

0 1

0 2

| | 0 |

le


ปน

0

0

0

2

1

1

ng system equuations

แสด





3K


น tricolorabl


2

1

0

0

0

1

mod p จะได

le

ภาพท 3.13

22


0 0

1 0

2 1

1 1

0 2

0 0

3| det( ) |K

ดวา 9 0 (m

3 Knot 16 เป

ก 6 จะได

1 1

2 0

1 0

0 0

0 1

0 2

| 9 |

mod 3) จาก

ปน tricolorab

0

0

0

2

1

1


ble

1.3

ของ

จาก knot 29


ง knot 4K ใ

2



4M

1

2

1

0

0

0

0

0

0

ภา

อยางท 3.1.2.1

oring matrix

1 0 0

2 0 1

1 1 2

0 2 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

23

าพท 3.14 Kn



0 2 0

1 1 0

2 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

4| det( )M

not 29



0 0

0 0

0 0

1 1

0 2

0 0

0 0

1 0

2 1

| | 0 |


ปน

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 2

1 1

2 0

1 0

ng system equ

uations

แสด





4K

1

2

1

0

0

0

0

0

0


น tricolorabl


1 0 0

2 0 1

1 1 2

0 2 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

mod p จะได

le

ภาพท 3.

24


2 0

1 0

0 0

0 0

0 0

1 1

0 2

0 1

0 0

4| det( ) |K

วา 15 0 (m

15 Knot 29

ก 9 จะได

0 0

0 0

0 0

1 1

0 2

0 0

0 0

1 0

2 1

| 15 |

mod 3) จากบ

เปน tricolor

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 2

1 1

2 0

1 0

บทแทรก 3.1

rable

.3

ของ 3K

ของ


และ 4K ซง

ในทานองเด

ง knot 3 #K K

3 4#K K

16 ทเปน tri

งเขยนแทนดว

ภาพท

ดยวกนกบตว

4K ในรปขอ

1 0 0

2 0 0

1 1 0

0 2 1

0 1 1

0 0 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

colorable กบ

วย 3 4#K K ด

ท 3.16 แสดง

วอยางท 3.1.2

อง coloring m

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 0

1 0 0

2 0 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

| d e

25

บ knot 29 ท

ดงน

งแผนภาพ Kn

3 4#K K

.1 เราสามารถ

matrix ของระบ

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 0

2 0 0

0 0 0

1 0 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

3e t( #K K

เปน tricolora

not 16 รวมกบ

ถเขยนระบบส

บบสมการดง

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

0 2

0 0

0 0

0 0

1 0

2 0

4 ) | | 0 |

able มารวมก

บ Knot 29

สมการ colori

ตอไปน

0 0 0

0 0 1

0 0 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 1 1

0

2 0

1 1 0

2 0 0

1 1 0

|

กนจะได knot

ing system e

2 1

1 0

0 0

0 0

0 2

1 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

ts sum

equations

แสด

จาก ตวอ

K


ดงนน จากกาดงวา 3 #K K

ภา

อยาง 3.2.1.1

3 4#K K


1 0 0

2 0 0

1 1 0

0 2

0 1

0 0 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0


4K เปน trico

าพท 3.17 แส

และ 3.2.1.2


0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 0

1 0 0

2 0 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

| d

mod p จะไดolorable

สดงแผนภาพ

สรปไดวา tr

26


0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

2 0

0 0

1 0

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

3det( #K K

ดวา 135 0 (

Knot 16 รวม

ricolorable ร


0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 1 1

0 0 2

0 0 0

1 0 0

2 0 0

1 1 0

0 2 0

4 ) | | 13K

(mod 3) จาก

มกบ Knot 9

วมกบ tricol

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0

2

1 1

2 0

1 1

5 |


2 เปน tricolo

lorable ไดเป

0 2 1

1 1 0

2 0 0

0 0 0

0 0 2

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1.3

orable

น tricolorab

le

3.2.2 ก

ของ

การรวม kno


วธทา จ


ง knot 5K ใ

ots ทเปน tri

2.2.1 กา

จะ

จาก knot 77



5M

icolorable ก


K


ภาพ

อยางท 3.1.2.1

oring matrix

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

| d

27

กบ non-tric

5K แทน K

6K แทน K

5 6#K K เปน

พท 3.18 Knot



0 2

1 1

0 0

0 1

1 0

2 0

0 0

5det( ) |M

colorable

Knot 77

Knot 88

tricolorabl

t 77



0 0

0 0

0 0

1 0

0 2

1 1

2 1

| 0 |

e


ปน

1

0

2

0

0

0

1


แสด





5K


น tricolorabl


1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

mod p จะได

le

ภาพท 3.1

28


0 2

1 1

0 0

0 1

1 0

2 0

0 0

5| det( ) |K

ดวา 21 0 (m

19 Knot 77

ก 7 จะได

0 0

0 0

0 0

1 0

0 2

1 1

2 1

| 21|

mod 3) จาก

เปน tricolora

1

0

2

0

0

0

1


able

1.3

ของ

จาก knot 88


ง knot 6K ใ

8



6M

อยางท 3.1.2.1

oring matrix

1 2

2 0

1 1

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

29

ภาพท 3.20 K



0 0

1 1

0 2

1 0

2 0

0 1

0 0

0 0

3| det( )M

Knot 88



0 0

0 0

0 0

0 2

0 1

1 0

2 0

1 1

| | 0 |


ปน

0 1

0 0

0 0

0 0

1 0

0 2

1 1

2 0


แสด





6K


น non-tricolo


1 2

2 0

1 1

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

mod p จะได

orable

ภาพท 3.21

30


0 0

1 1

0 2

1 0

2 0

0 1

0 0

0 0

3| det( ) |K

ดวา 25 0 (

Knot 88 เป

ก 8 จะได

0 0

0 0

0 0

0 2

0 1

1 0

2 0

1 1

| 25 |

(mod 3) จาก

ปน Non-Tric

0 1

0 0

0 0

0 0

1 0

0 2

1 1

2 0


colorable

1.3

kno

ใ

ของ

K


ots sumของ K


ง knot 5 #K K

5 6#K K

77 ทเปน tric

5K และ 6K

ภาพท



1 1 0

2 0 0

1 2 0

0 0 0

0 0 2

0 0 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 1

colorable กบ

ซงเขยนแทน


ยางท 3.1.2.1

ง coloring ma

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1

2 0

0 0

0 0

0 0

0 2

1 1

1 0

| d e t

31

บ Knot 88 ท

นดวย 5 #K K


5 6#K K

เราสามารถเข


0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 1

0 0 2

2 0 0

1 5t( #K K

เปน non-trico

6K ดงน

not 77 รวมก



0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0 2

1 1

2 0

1 0

0 0

0 0

) | | 0 |

olorable มาร

กบ Knot 88

มการ coloring

ตอไปน

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 1 1

0 0 0

1 1 0

0 2 0

2 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

รวมกนจะได

g system equ

0 0

1 0

0 1

0 2

1 1

2 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

uations

แสด



ดงวา 5 #K K

ภ

5 6#K K


1 1 0

2 0 0

1 2 0

0 0 0

0 0 2

0 0 0

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 1


6K เปน tricolo

ภาพท 3.23 แ


0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1

2 0

0 0

0 0

0 0

0 2

1 1

1 0

| de

mod p จะได

orable

แสดงแผนภาพ

32


0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 1

0 0 2

2 0 0

1 5et( # )K K

ดวา 525 0 (

พ Knot 77 ร


0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0 2

1 1

2 0

1 0

0 0

0 0

) | | 525 |

(mod 3) จาก

รวมกบ Knot

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 1 1

0 0 0

1 1 0

0 2 0

2 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0


88 เปน trico

0 0

1 0

0 1

0 2

1 1

2 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1.3

olorable

ใ

ของ


วธทา


ง knot 7K ใน

2.2.2 กา

จะ

จาก Knot 5



M


K


15

ยางท 3.1.2.1

oring matrix ข

7M

1

2

1

0

0

33

7K แทน K

8K แทน K

7 8#K K เปน

ภาพท 3.24



0 2

0 1

1 0

2 0

1 1

7| det( )M

Knot 15

Knot 16

น tricolorab

4 Knot 15



2 0

1 1 0

0 2 0

0 1

1 0 2

| | 0 |

ble


ปน

1

0

0

1

2

g system equuations

แสด


ดงนน จากก



K


น non-tricol


7K

1

2

1

0

0

mod p จะไ

lorable

34


0 2

0 1

1 0

2 0

1 1

7| det( ) |K

ดวา 5 0 (m

ภาพท 3.25

ก 5 จะได

2 0

1 1 0

0 2 0

0 1

1 0 2

| 5 |

mod 3) จาก

5 Knot 15

1

0

0

1

2

กบทแทรก 3.

1.3

ใ

ของ

จาก knot 6


ง knot 8K ใน

1



8M

ยางท 3.1.2.1

oring matrix ข

0 0

1 0

2 0

1

0 2

0

35

ภาพท 3.26



0 0

0 0

0 1

1 2

2 0

1 1

8| det( )M

Knot 16



1 1

2 0

1 0

0 0

0 1

0 2

| | 0 |


ปน

2

1

0

0

1

0

g system equuations

แสด





8K


น tricolorabl


0

1

2

1

0

0

|

mod p จะได

le

ภาพท 3.27

36


0 0

0 0

0 1

1 2

2 0

1 1

8d e t( ) |K

ดวา 9 0 (m

7 Knot 16 เป

ก 6 จะได

1 1

2 0

1 0

0 0

0 1

0 2

| | 9 |

mod 3) จาก

ปน tricolorab

2

1

0

0

1

0


ble

1.3

kno

ของ


ots sumของ K


ง knot 7 #K K

7 8#K K

15 ทเปน non

7K และ 8K

ภาพท 3



1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

n-tricolorable

ซงเขยนแทน

3.28 แสดงแ

อยางท 3.1.2.1

ง coloring ma

2 0

0 0

2 0

0 0

1 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

| d e t( K

37

e กบ knot 6

นดวย 7 #K K

ผนภาพ Knot

7 8#K K



0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

0 0

1 0 2

1 1 0

0 2 0

0 1

7 8# )K K

1 ทเปน trico

8K ดงน




0 0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 0

2 0 0

0 0 2

0 1 1

1 2 0

| | 0 |

olorable มาร

Knot 16


ตอไปน

0 1

1 0

2 0

1 1

0 2

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

วมกนจะได

ng system equ

uations

แสด

จากตวอ



ดงวา 7 #K K

ภ

ยาง 3.2.1.1 ก

7 8#K K


1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0


8K เปน tricol

ภาพท 3.29 แ

กบ 3.2.1.2 แล


2 0

0 0

2 0

0 0

1 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

| det(K

mod p จะได

lorable

แสดงแผนภาพ

ละสรปไดวา n

38


0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

0 0

1 0 2

1 1 0

0 2 0

0 1

7 8# ) |K K

ดวา 45 0 (

พ Knot 15 ร

non-tricolorab


0 0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 0

2 0 0

0 0 2

0 1 1

1 2 0

| 45 |

(mod 3) จาก

วมกบ Knot

ble รวมกบ tr

ด

0 1

1 0

2 0

1 1

0 2

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0


16 เปน tric

ricolorable ได

1.3

colorable

ดเปน tricolor

rable

3.2

ใ

ของ

.3 การรวม


วธทา จ


ง knot 9K ใน

ม knots ทเป

2.3.1 กา

จ

จาก knot 25



9M

ปน non-trico


K


2

ยางท 3.1.2.1

oring matrix ข

9

1

2

1

0

0

39

olorable กบ

9K แทน Kn

10K แทน Kn

9 10#K K เปน

ภาพท 3.3



0 2

0 1

1 0

2 0

1 1

9| det( )M

บ non-tricol

not 25

not 26

น tricolorab

30 Knot 25



2 0

1

0 0

0 1

2

| | 0 |

lorable

ble


ปน

1

0

2

1

0

g system equuations

แสด





9K


น non-tricolo


9

1

2

1

0

0

mod p จะไ

orable

ภาพท 3.31

40


0 2

0 1

1 0

2 0

1 1

9| det( ) |K

ดวา 7 0 (m

Knot 25 เป

ก 5 จะได

2 0

1

0 0

0 1

2

| 7 |

mod 3) จาก

ปน non-tricol

1

0

2

1

0

กบทแทรก 3.

lorable

1.3

ใ

ของ

จาก knot 26


ง knot 10K ใ

2



10M

ยางท 3.1.2.1

oring matrix

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

41

ภาพท 3.32



0 0 2

0 0 1

1 2 0

2 0 0

1 1 0

0 1 1

10| det( )M

Knot 26



2 0

1 1

0 0

0 1

0 2

1 0

| | 0 |


ปน

1

0

0

1

0

2

g system equuations

แสด





10K


ปน non-tricolo


1

2

1

0

0

0

mod p จะได

orable

ภาพท 3.33

42


0 0

0 0

1 2

2 0

1 1

0 1

10| det( )K

ดวา 11 0 (m

Knot 26 เป

ก 6 จะได

2 0

1 1

0 0

0 1

0 2

1 0

| |11 |

mod 3) จาก

น non-tricol

1

0

0

1

0

2


lorable

1.3

kno

ใ

ของ


ots sum ของ K


ง knot 9 #K K

9 10#K K

25 ทเปน non

9K และ 10K

ภาพท



1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

n-tricolorable

0 ซงเขยนแทน

3.34 แสดงแ

ยางท 3.1.2.1

อง coloring m

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

| d e t(

43

e กบ Knot 6

นดวย 9 #K K

แผนภาพ Kno

9 10#K K


matrix ของระ

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

1 1 0

0 0 2

0 1

1 0 0

0 2

0 0

9 10# )K K

26 ทเปน non-

10K ดงน




0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

1 0 0

0 2 0

1 1 0

1 1 0

| | 0 |

-tricolorable

Knot 26


งตอไปน

0 1

1 0

0 2

1 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

2 0

มารวมกนจะ

g system equ

ะได

uations

แสด



ดงวา 9 #K K

ภาพท

9 10#K K


1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0


10K เปน non-t

ท 3.35 แสดงแ


0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

| det(K

mod p จะได

tricolorable


44


0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

1 1 0

0 0 2

0 1

1 0 0

0 2

0 0

9 10# ) |K K

ดวา 77 0 (

ot 25 รวมกบ


0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

1 0 0

0 2 0

1 1 0

1 1 0

| 77 |

(mod 3) จาก

บ Knot 26 เป

ด

0 1

1 0

0 2

1 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

2 0


ปน non-tricol

1.3

lorable

ใ

ของ


วธทา จ


ง knot 11K ใ

2.3.2 กา

จะ

จาก knot 15


ในรปของ col

M


K


ยางท 3.1.2.1

oring matrix

11M

1

2

1

0

0

45

11K แทน K

12K แทน K

11 12#K K เปน

ภาพท 3.36



0 2

0 1

1 0

2 0

1 1

11| det( )M

Knot 15

Knot 57

น tricolorab

Knot 15



2 0 1

1 1 0

0 2 0

0 1 1

1 0 2

) | | 0 |

ble


ปน

1

0

0

1

2

g system equuations

แสด





K


ปน non-tricol


11K

1

2

1

0

0

mod p จะได

lorable

ภาพท 3.37

46


0 2

0 1

1 0

2 0

1 1

11| det( )K

ดวา 5 0 (m

Knot 15 เป

ก 5 จะได

2 0 1

1 1 0

0 2 0

0 1 1

1 0 2

) | | 5 |

mod 3) จาก

น non-tricolo

1

0

0

1

2


orable

1.3

ใ

ของ

จาก knot 57


ง knot 12K ใ

5


ในรปของ col

12M

ภ

ยางท 3.1.2.1

oring matrix

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

47

ภาพท 3.38 K



0 0 0

0 1 0

1 0 0

2 0 1

1 1 2

0 2 0

0 1 1

12| det( )M

Knot 57



0 2 0

0 1 0

0 0 2

1 1 0

2 0 0

0 0 1

1 0 0

) | | 0 |


ปน

0 1

0 0

2 0

0 0

0 0

1 1

0 2

g system equuations

แสด





12K


ปน non-tricolo


1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

mod p จะได

orable

ภาพท 3.39

48


0 0 0

0 1 0

1 0 0

2 0 1

1 1 2

0 2 0

0 1 1

12| det( ) |K

ดวา 17 0 (m

9 Knot 57 เป

ก 7 จะได

0 2 0

0 1 0

0 0 2

1 1 0

2 0 0

0 0 1

1 0 0

|17 |

mod 3) จาก

ปน non-tricol

0 1

0 0

2 0

0 0

0 0

1 1

0 2


lorable

1.3

kno

ใ

ของ

เมอนา kno

ots sum ของ K


ง knot 11 #K K

11 12#K K

ot 15 ทเปน n

11K และ 1K

ภาพท



1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

non-tricolorab

2 ซงเขยนแท


ยางท 3.1.2.1

อง coloring m

2 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

| det(

49

ble กบ knot

ทนดวย 11 #K


11 12#K K


matrix ของระบ

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 1 1

1 2 0

2 0 0

1 1 0

0 0 2

0 0 1

11 12# )K K

57 ทเปน no

12# K ดงน

not 15 รวมก



0 0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

1 0 2

) | | 0 |

on-tricolorabl

บ Knot 57


งตอไปน

0 0 1

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

2 0 0

le มารวมกนจ

g system equ

จะได

uations

แสด

จากตว

non-tricl

จากทฤษฎบท


ดงวา 11 #K K

ภาพท

วอยาง 3.2.3.1

lorable

11 12#K K

ท 3.1.2 เราจะ

1 0

2 0

1 1

0 2

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0


12K เปน non-

ท 3.41 แสดงแ

1 และ 3.2.3.

ะทาการตดแถ

2 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

| det(K

mod p จะได

-tricolorable


.2 สรปไดวา

50

ถว ตดหลกสด

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 1 1

1 2 0

2 0 0

1 1 0

0 0 2

0 0 1

11 12# ) |K K

ดวา 85 0 (m

ot 15 รวมกบ

non-tricolor

ดทาย คอ แถว

0 0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 0

0 2 0

0 1 1

1 0 2

| 85 |

mod 3) จาก

บ Knot 57 เป

able รวมกบ

ว 12 หลก 1

0 0 1

1 1 0

0 2 0

0 1 1

0 0 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

2 0 0


ปน non-trico

non-tricolor

12 จะได

1.3

olorable

rable ไดเปน

51

บทท 4 สรปผลและขอเสนอแนะ

โครงงานนเปนการศกษาเกยวกบเรองของ knots เพอตองการทราบวา knots นนเปน tricolorable หรอ non-tricolorableโดยใชวธการหาดเทอรมแนนทของเมทรกซเขามาชวยในการศกษา และใชโปรแกรม Maple แสดงการหาคาของดเทอรมแนนท

4.1 ผลของการดาเนนงาน

4.1.1 การระบายส mod p จากการระบายสของ knots ในแตละจดตดนนมความสมพนธเชอมโยงกบสมการ

1 2 32 0 (mod )x x x p ซงการระบายสจะมการใชสมการดงกลาวเขามาชวย โดยเราสามารถใชโปรแกรม Maple ในการคานวณหาคาดเทอรมแนนทของ knots ตางๆ ซงอยในรปแบบเมทรกซ เมอไดคาดเทอรมแนนทแลวจงนามาพจารณาวาเปน tricolorable หรอไม โดยใหสอดคลองกบ เงอนไข

0 (mod )d p ซงกาหนดให p มคาเทากบ 3 จากนนเราจะนาผลทไดเขาสวธการรวม knots (knots sum)

4.1.2 การรวม knots (knots sum) การนา knots ทเปน tricolorable รวมกบ tricolorable จะไดเปน tricolorable การนา knots ทเปน tricolorable รวมกบ non-tricolorable จะไดเปน tricoclorable และนา knots ทเปน non-tricolorable รวมกบ non-tricolorable จะไดเปน non-tricolorable

ดงนน จงสามารถคาดการณไดวา แผนภาพใดๆทเปน tricolorable เมอนามารวมกบแผนภาพทเปน tricolorable หรอ non-tricolorable กจะยงคงเปน tricolorable เสมอ

4.2 ขอเสนอแนะ

จากการศกษาโครงงานน เราสามารถทาการศกษาคนควาเพอหาเหตผล หรอสรางทฤษฎ เพอมาสนบสนนขอความคาดคะเนวา การนา knots ทเปน tricolorable รวมกบ tricolorable จะไดเปน tricolorable การนา knots ทเปน tricolorable รวมกบ non-tricolorable จะไดเปน tricoclorable

และนา knots ทเปน non-tricolorable รวมกบ non-tricolorable จะไดเปน non-tricolorable

52

บรรณานกรม

[1] Louis H.Kauffman , Knot and physics , University of Illinois at Chicago 1945 [2] Charles Livingston , Knot Theory , Mathematical Association of America Textbooks 1993 [3] V.O Marturov , Knot Theory , Moscow State University 2000 [4] Kelly Harlan , Composing Two Non-Tricolorable Knots , Math REU at CSUSB August 2010

[5] Kayla Jacobs , Tricolorability of Knots , Seminar in Discrete Math Spring 2006 [6 ] Jozef H.Przytycki , 3-Coloring and other Elementary Invariants Of Knot , George Washington University 1998 [7] Louis H.Kauffman and Pedro Lopes , Peterminants Of Rational Knots , University of Illinois at Chicago 2009 [8] Patone Martina , Knot Theory and its Applications , Universit_a degli Studi di Bologna 2010

ภาคผนวก

การป

ตวอย

จาก K

การใช

ดงนน

จะแสดงการ

ประมวณผลขอ

ยาง การหาดเ

Knot 25 :

ชโปรแกรม M

น จงทาการตด

รหาดเทอรมแ

องโปรแกรมด

เทอรมแนนท

Maple เพอชว

ดแถว ตดหลก

แนนท โดย

ดงกลาว

ของ Knot 5

วยในการหาด

กสดทาย คอ แ

54

ใชโปรแกรม

25 รวมกบ K


แถว 5 หลก

Maple ในกา

Knot 26

ทของ Knot 5

5 จะได

ารคานวณ แล

2

ละแสดงตวอยยาง

จาก K

การใช

ดงนน

Knot 26 :

ชโปรแกรม M






55



ทของ Knot 6

6 จะได

26

จากก

การใ

ดงนน

ารรวม Knot

ใชโปรแกรม M


t 25 กบ Kn



not 26 :



56

ดเทอรมแนนท


ทของ Knot 5

ก 11 จะได

25 รวมกบ KKnot 26

knots and their coloring matrices

Documents