kolmogorov–alapt´etel ´es a prohorov-t...

SZTOCHASZTIKUS ANALIZIS, KIVONATOS JEGYZET

MICHALETZKY GYORGYVALOSZINUSEGELMELETI ES STATISZTIKA TANSZEK,

EOTVOS LORAND TUDOMANYEGYETEM,RAKOCZI UT 5., BUDAPEST, 1088,

MICHGYLUDENS.ELTE.HU

Abstract. Ez a jegyzet a 1998/99-es tanev 1. feleveben a Sztochasztikus analızis savbanelhangzott anyagot tartalmazza kivonatos formaban, es nem teljesen az eloadason elhang-zottak idorendi sorrendjeben.

Az eredetileg kituzott cel a bizonyıtasok vazlatos ismertetese, de majd meglatjuk, hogyvegul ez mennyire tarthato.

A jelenlegi kezirat elso valtozatnak tekintendo, tele elırasokkal, hibaval. Az ido feszıtettsegemiatt azt gondoltam, hogy nagyobb segıtseget jelent, ha ebben a - teljesen atolvasatlan (kistulzassal: vakon ırt) - formaban felteszem a halozatra, mintha heteket toltenek fesuleseveles kozben a vizsgaidoszak elmulna.

Nagyon megkoszonnem, ha az olvaso a megtalalt hibakat a tudomasomra hozna.

1. Kolmogorov–alaptetel es a Prohorov-tetel

Definition 1.1. Legyen X ,G tetszoleges merheto ter, tovabba T valamilyen adott parameterter.A Qn

t1,...,tn mertekcsaladot osszeegyeztethetonek nevezzuk, (ahol n ∈ N , t1, . . . , tn ∈ T ), ha azalabbi ket feltetel teljesul:

• tetszoleges B ∈ Gn eseten

Qn+1t1,...tn,tn+1

(B ×X ) = Qnt1,...tn(B)

• tetszoleges π n-elemu permutacio eseten

Qnt1,...,tn(B) = Qn

tπ(1),...,tπ(n)(π(B))

ahol a π(B) halmazt az alabbi ekvivalencia definialja

(x1, . . . , xn) ∈ B ≡ (xπ(1), . . . , xπ(n)) ∈ π(B)

Ha azt akarjuk, hogy egy mertekcsalad valamely sztochasztikus folyamat veges dimenzioseloszlasaival egyezzek meg, akkor a fenti felteteleknek feltetlen teljesulniuk kell. A Kolmogorov-alaptetel azt mondja ki, hogy bizonyos feltetelek mellett ezek elegendoek is.

Theorem 1.1 (Kolmogorov-alaptetel). Legyen (X , ρ) teljes szeparabilis metrikus ter. Te-gyuk fel, hogy a G σ-algebrat a ter Borel-halmazai alkotjak.

Ekkor tetszoleges T parametertartomany eseten barmely osszeegyeztetheto mertekcsaladhoztalalhato olyan - alkalmas alapteren ertelmezett - Xt, t ∈ T sztochasztikus folyamat, melyre

P ((Xt1 , . . . , Xtn) ∈ B) = Qnt1,...,tn(B)

1

2 MICHALETZKY GY.

Bizonyıtas Az alapteret ugy valasztjuk meg, hogy konnyen lehessen annyi darab X ertekuvaloszınusegi valtozot definialni, amennyire szuksegunk van. Nevezetesen, legyen

Ω = X T .

Ekkor Ω elemei a T teren ertelmezett X erteku fuggvenyek. Legyen ekkor

Xt : Ω → X Xt(x) = x(t), x ∈ Ω.

Mivel ezeknek merhetoeknek kell lenniuk, legyen A = σ(Xt, t ∈ T ). Maskeppen, ha C jelolia

CBt1,...,tn = x ∈ Ω|(xt1 , . . . , xtn) ∈ B,

ahol B ∈ Gn, a cilinderhalmazok algebrajat, akkor A = σ(C).A P merteket kell definialnunk megfelelokeppen. Mivel azt akarjuk, hogy a vegesdimenzios

eloszlasok megfeleloek legyenek, ezert szuksegkeppen

P (CBt1,...tn) = Qn

t1,...,tn(B)

kell teljesuljon. Az osszeegyeztethetosegi feltetel ahhoz kell, hogy ez a definicio ne legyenellentmondasos, hiszen egy adott cilinderhalmaz tobbfelekeppen is felırhato CB

t1,...,tn alakban.Ekkor P adott C-n. Meg kell mutatnunk, hogy P kiterjeszheto a generalt σ-algebrara.

Ehhez eleg, hogy P σ-additıv legyen a C-n.Legyen C1 ⊃ C2 ⊃ . . . cilinderhalmazok sorozata, melyre ∩Cn = ∅. Meg kell mutatnunk,

hogy ekkor limP (Cn) = 0. Tegyuk fel, hogy valamely ε > 0 eseten P (Cn) ≥ ε.Cn cilinderhalmaz, ezert felırhato CB

t1,...,tkalakban. Mivel CB

t1,...,tk= CB×X

t1,...,tk,tk+1, ezert -

az egyes Cn halmazok esetleges tobbszori felsorolasa aran - elerhetjuk, hogy letezik olyant1, t2, · · · ∈ T sorozat, olyan B1 ∈ G, B2 ∈ G2 . . . sorozat, hogy a

Dn = CBnt1,...,tn

cilinderhalmazokra,

D1 ⊃ D2 ⊃ . . . ∩Dn = ∩Cn,

(sot tetszoleges Dk halmaz az eredeti C1, C2, . . . sorozat valamelyik eleme.)Vegyuk eszre, hogy a Dn ⊃ Dn+1 feltetel ekvivalens a Bn ×X ⊃ Bn+1 feltetellel.A bizonyıtas kulcslepese az egyes halmazok kompakt halmazokkal torteno kozelıtese ugy,

hogy kozben a mertek csak kicsit valtozik. Azonban, ha az X halmaz nem kompakt, (esT szamossaga nem veges), akkor egyetlen cilinderhalmaz sem lehet kompakt, ıgy csak acilinderhalmazok ”fejet” lehet kozelıteni.

Legyenek tehat K1 ⊂ B1, K2 ⊂ B2, . . . olyan kompakt halmazok, melyekre

Qnt1,...,tn(Kn) ≥ Qn

t1,...tn(Bn)− ε

2n+1.

Biztosıtani szeretnenk azonban azt is, hogy a cilinderhalmazainak monoton csokkenoeklegyenek. Ehhez legyen

Ln = Kn ∩ (Kn−1 ×X ) ∩ · · · ∩ (K2 ×X × · · · × X ) ∩ (K1 ×X × · · · × X ).

SZTOCHASZTIKUS ANALIZIS, KIVONATOS JEGYZET 3

Ez is kompakt halmaz lesz. Bevezetve a K(n)j = Kj ×X × · · · ×X jelolest, amely a Kj ⊂ Gj

halmazt bovıti ugy, hogy K(n)j ⊂ Gn teljesuljon, ekkor

Kn = [Kn − (Kn ∩K(n)n−1)] ∪

∪ [(Kn ∩K(n)n−1)− ((Kn ∩K(n)

n−1) ∩K(n)n−2)] ∪

∪ · · · ∪ [(Kn ∩K(n)n−1 ∩ · · · ∩K

(n)2 )− (Kn ∩K(n)

n−1 ∩ · · · ∩K(n)1 )]

∪(Kn ∩K(n)n−1 ∩ · · · ∩K

(n)1 ),

ahol az utolso tag eppen Ln.Tovabba, mivel

Kk+1 −Kk ×X ⊂ Bk+1 −Kk ×X ⊂ Bk ×X −Kk ×X ,ezert

Qnt1,...,tn(Ln) = Qn

t1,...,tn(Kn)−Qnt1,...,tn((Kn −K

(n)n−1)− · · · −Q2

t1,t2(K2 − (K1 ×X )) ≥

≥ Qnt1,...,tn(Kn)−Qn−1

t1,...tn−1(Bn−1 −Kn−1)− · · · −Q1

t1(B1 −K1) ≥

≥ ε− ε

2n−

n−1∑k=1

ε

2k+1≥ ε

2.

LegyenEn = CLn

t1,...,tn .

Nyilvanvaloan En ⊂ Dn, es P (En) ≥ ε2. Megmutatjuk, hogy ∩En 6= ∅. Vegyuk eszre, hogy

x ∈ En ⇔ (x(t1), . . . , x(tn)) ∈ Ln.

Vegyunk tetszoleges zn ∈ En pontsorozatot. Mivel

z1(t1), z2(t1), · · · ∈ L1,

ezert van konvergens reszsorozat. Azaz alkalmas N1 ⊂ N es y1 ∈ L1 eseten zj(t1) → y1, haj ∈ N1, j → ∞. Tovabba (zj(t1), zj(t2)) ∈ L2, amely utobbi kompakt halmaz, ıgy az N1

reszsorozat ujabb alkalmas N2 reszsorozata mellett es y2 ∈ X eseten

(zj(t1), zj(t2)) → (y1, y2) ∈ L2,

ha j ∈ N2, j →∞. Ehhez hasonloan folytatva letrehozhatjuk az y1, y2, . . . sorozatot, melyre

(y1, . . . , yn) ∈ Ln

tetszoleges n eseten. Legyen ekkor y ∈ Ω tetszoleges olyan pont, melyre

y(tk) = yk.

A fenti eszrevetel alapjan ekkor y ∈ En, azaz ∩En nem ures. A kapott ellentmondas bi-zonyıtja az allıtast.

Abban az esetben, ha az X alapter csak veges sok pontot tartalmaz, akkor az alaptetelbizonyıtasa lenyegesen egyszerubb.

Vegyuk eszre, hogy az alaptetellel megkonstrualt folyamat trajektoriai, azaz a t 7→ Xt(x)fuggvenyek, ahol x ∈ Ω, az osszes lehetseges a T teren ertelmezett X erteku fuggvenyt

4 MICHALETZKY GY.

magukba foglaljak. Gondolhatnank azt, hogy ugyanakkor specialisan megadott mertekeseten a megkonstrualt P mertek csak valamilyen reszhalmazra koncentralodik, peldaul afolytonos fuggvenyek halmazara, azonban az ebbol a szempontbol erdekes halmazok altalabannem merhetoek, nem elemei a cilinderhalmazok altal generalt σ-algebranak. Egyetlen kivezetout az lehet csak, hogy esetleg bizonyos halmazok kulso merteke 1 es ekkor mar megszorıthatjukaz alapteret erre a reszhalmazra.

Az anyag gondolatmenetet kisse megtorve, de a korabbi anyag kiegeszıtesekeppen alljonitt a Prohorov-tetel elmaradt felenek bizonyıtasa.

Theorem 1.2. Legyen P valoszınusegi mertekek csaladja az (X , ρ) teljes szeparabilis, metrikusteren. Ekkor a mertekcsalad feszessege ekvivalens a relatıv kompaktsagaval.

Bizonyıtes. Azt mar korabban igazoltuk, hogy a relatıv kompaktsagbol kovetkezik a fe-szesseg. Ehhez szuksegunk volt a ter teljessegere, hiszen ekkor tudtuk a kompakt halmazokatjellemezni.

Most a fordıtott allıtast igazoljuk. Tegyuk fel tehat, hogy a mertekcsalad feszes. AP halmaz beagyazhato a

∏f∈Cb(X )

[−Mf .Mf ] kompakt terbe, ahol |f | < Mf , ıgy ebben a

bovebb terben minden tovabbi feltetel nelkul van torlodaspontja. Jelolje ezt I. A szorzatterpontjainak koordinatait tekinthetjuk ugy is, mint a megfelelo folytonos, korlatos fuggvenyhezhozzarendelt szamokat. Az adott esetben jelolje ezt I(f). Ekkor az f 7→ I(f) funkcionallinearis es pozitıv lesz. A tetel bizonyıtasahoz azt kell megmutatni, hogy letezik olyan Qmertek, melyre

I(f) =

∫f dQ.

A Daniell-Stone-tetel alapjan – mivel Cb(X ), olyan fuggvenyhalo, amely a konstans fuggvenyekettartalmazza – ehhez eleg megmutatni, hogy ha f1 ≥ f2 ≥ . . . olyan fuggvenysorozat, melyrefn ∈ Cb(X ) es fn → 0 pontonkent, akkor I(fn) → 0.

Legyen ε > 0. A feszesseg alapjan letezik Kε kompakt halmaz, melyre P (Kε) > 1 − ε,minden P ∈ P eseten. Mivel Dini tetele alapjan az fn fuggvenysorozat egyenletesen tartnullahoz a Kε kompakt halmazon, ezert eleg nagy n eseten

fn ≤MχKcε+ εχKε ,

ahol M az fn fuggvenysorozat kozos korlatja. Tehat ekkor∫fndP =

∫Kc

ε

fn dP +

∫Kε

fn dP ≤Mε+ ε.

Igy

lim supn→∞

supP∈P

∫fn dP ≤ (M + 1)ε.

A ε→ 0 hataratmenet bizonyıtja a kıvant allıtast.


2. Folyamatok merhetosege

Legyen T valamilyen parameterter. Xt, t ∈ T pedig adott sztochasztikus folyamat, aholXt : Ω → X . Tekinthetjuk a folyamat trajektoriai altal meghatarozott lekepezest, amely azΩ alapteret a T -n ertelmezett X erteku fuggvenyek alkalmas terebe kepezi. Azaz rogzıtettω ∈ Ω eseten vegyuk a t 7→ Xt(ω) fuggvenyt. Jelolje ezt roviden X.

Probema: Tegyuk fel, hogy rogzıtett t ∈ T eseten Xt merheto. Igaz-e, hogy ekkor azX lekepezes, X : Ω → XT is merheto, ha ez utobbin a cilinderhalmazok altal generaltσ-algebrat tekintjuk? (Igaz)

Problema: Tegyuk fel, hogy a folyamat trajektoriai mind folytonos fuggvenyek. (Azazspecialisan T is topologikus ter.) Ekkor X tekintheto mint X : Ω → C(T ). Merheto-e eza lekepezes, ha C(T )-n az egyenletes tavolsag altal indukalt topologiat tekintjuk? (Nemmindig. Ha azonban T szeparabilis, akkor igen.)

3. A Wiener-folyamat es konstrukcioi

Definition 3.1. Legyen T a valos szamegyenes valamely reszintervalluma. Az Xt, t ∈ Tfolyamatot fuggetlen novekmenyunek nevezzuk, ha tetszoleges n, es t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn esetenaz

Xt1 −Xt0 , Xt2 −Xt1 , . . . , Xtn −Xtn−1

valoszınusegi valtozok fuggetlenek.

Definition 3.2. Legyen Wt t ≥ 0 (vagy t ∈ [0, T ]) olyan folyamat, melyre teljesulnek azalabbi tulajdonsagok.

• W (t)−W (s) eloszlasa N(0, t− s),• a W folyamat fuggetlen novekmenyu,• a W folyamat trajektoriai folytonos fuggvenyek. (Esetleg 0 merteku halmaz kivetelevel.)

Ekkor W un. Wiener-folyamat.

Megmutatjuk, hogy ilyen folyamat letezik.

1. konstrukcio.Eloszor a Kolmogorov alaptetelt hasznaljuk. Az elso ket tulajdonsag meghatarozza a veges

dimenzios eloszlasokat. Eszerint tetszoleges t1, . . . , tn eseten Wt1 , . . . ,Wtn egyuttes eloszlasatobbdimenzios normalis, melynek varhato erteke 0, szorasmatrixanak (i, j)-dik eleme pedigmin(ti, tj).

A Kolmogorov alaptetelt alkalmazva olyan folyamatot kapunk, melynek a veges dimenzioseloszlasai megfeleloek, azonban a trajektoriai kozott szamos nem folytonos fuggveny talalhato.Megmutatjuk, hogy az ıgy konstrualt folyamatot at lehet alakıtani olyanna, amely marmegfelelo lesz. Ezen atalakıtas soran a veges dimenzios eloszlasokat nem szabad valtoztanunk.Ha minden t idopont eseten csak 0-merteku halmazon valtoztatunk, akkor ezt az elvet nemsertjuk meg.

Definition 3.3. Azt mondjuk, hogy az Yt, t ∈ T folyamat az Xt, t ∈ T folyamat modi-fikacioja, ha tetszoleges t ∈ T eseten

P (Xt = Yt) = 1.

6 MICHALETZKY GY.

Hangsulyozzuk, hogy ez a fogalom sokkal nagyobb szabadsagot tesz lehetove, mintha a

P (Xt = Yt, minden t ∈ T eseten) = 1

kovetelmennyel eltunk volna. Ez utobbi esetben a ket folyamat trajektoriai - 1 valoszınuseggel- megegyeznek. Ekkor azt mondjuk majd, hogy a ket folyamat megkulonboztethetetlen.

A Wiener-folyamat konstrukciojahoz azt kell megmutatnunk, hogy a fenti folyamatnakletezik folytonos modifikacioja. Ehhez az alabbi, Kolmogorov-fele folytonossagi tetel fogjukmajd hasznalni.

Theorem 3.1. Legyen T a szamegyenes valamely reszintervalluma. Tegyuk fel, hogy az Xt,t ∈ T folyamat eseten teljesul a

E|Xt −Xs|α ≤ K|t− s|1+β

feltetel, alkalmas α > 0, β > 0 mellett.Ekkor az X folyamatnak letezik folytonos modifikacioja.

Bizonyıtas. Mivel a folytonossag lokalis tulajdonsag, feltehetjuk, hogy a T parameter-tartomany a [0, T ] intervallum. Szuksegunk van az alabbi lemmara.

Lemma 3.1. Legyen

Dn = kT2n|k = 0, 1, . . . 2n,

esD = ∪Dn.

Tegyuk fel, hogy a D halmazon ertelmezett φ fuggveny rendelkezik az alabbi tulajdonsaggal:letezik olyan N , hogy minden n ≥ N eseten

|φ(kT

2n)− φ(

(k + 1)T

2n)| ≤ 2−na

alkalmas a > 0 eseten, ha k = 0, 1, . . . , 2n − 1.Ekkor tetszoleges t, s ∈ D, |t− s| ≤ T2−N eseten

|φ(t)− φ(s)| ≤ C(a)|t− s|a,ahol C(a) csak az a es T szamoktol fuggo konstans.

Bizonyıtas. Rogzıtsuk le a t, s szamokat, |t − s| ≤ T2−N . Mivel t es s (T-hez kepest)diadikusan racionalisak, ezert letezik olyan n, hogy t, s ∈ Dn. Tegyuk fel, hogy s < t.Keszıtunk ket (veges hosszu) sorozatot - s-bol kiindulva felfele, t-bol kiindulva lefele - ugy,hogy ezen sorozatok menten veve a φ fuggveny megvaltozasait, azokra mar alkalmazni tudjuka lemma felteveset. Legyen tehat s0 = s, t0 = t. Ha t0 − s0 > T2−n, akkor legyen

s1 = infu ≥ s0|u ∈ Dn−1 t1 = supu ≤ t0|u ∈ Dn−1.Ha t1 − s1 > T2n−1, azaz s1, es t1 kulonbozoek es nem Dn−1-ben szomszedos pontok, akkortovabb folytatjuk a sorozatokat. Altalaban, ha tk − sk > T2n−k, akkor legyen

sk+1 = infu ≥ sk|u ∈ Dn−k−1 tk+1 = supu ≤ tk|u ∈ Dn−k−1.Nyilvanvaloan [sk+1, tk+1] ⊂ [sk, tk] ⊂ · · · ⊂ [s0, t0]. Tovabba sk es sk+1 vagy egybeesnek,vagy a Dn−k halmazban szomszedos pontok.

Mivel a feltevesunk szerint t − s ≤ T2−N , ezert az [s, t] intervallumba mar nem fer beleT2−N hosszu diadikus intervallum, ezert a ket sorozat legkesobb az n−N -dik lepesben veget


er. (Pontosan fogalmazva, letezik olyan k ≤ n−N , melyre sk = tk vagy tk − sk = T2−(n−k).Az utobbi esetben t− s ≥ tk − sk = T2−(n−k)), az elso esetben pedig t− s ≥ tk−1 − sk−1 =T2−(n−k).)

Ekkor

|φ(t)− φ(s)| ≤k∑

j=1

|φ(tj)− φ(tj−1)|+ |φ(tk)− φ(sk)|+k∑

j=1

|φ(sj)− φ(sj−1)|

≤ 2k∑

j=1

2−(n+1−j)a + 2−(n−k)a

≤ 2∞∑

l=n−k

2−la,

hiszen n− k ≥ N . Azaz

|φ(t)− φ(s)| ≤ 22a

2a − 12−(n−k)a ≤ 2a+1

2a − 1

1

T a|t− s|a.

Terjunk vissza a tetel bizonyıtasahoz. Megmutatjuk, hogy az X folyamat trajektoriai a

D halmazon (1 valoszınuseggel) egyenletesen folytonosak.Legyen ugyanis 0 < a < β

αtetszoleges szam. Az

Ωa = ω ∈ Ω|∃N∀n > N supj=1,...2n

|XT j2n

(ω)−XT j+12n

(ω)| ≤ 2−na

esemeny valoszınusege 1. Valoban

P ( supj=1,...2n

|XT j2n

(ω)−XT j+12n

(ω)| > 2−na) ≤2n∑

j=1

P (|XT j2n

(ω)−XT j+12n

(ω)| > 2−na

≤ 2nK( T

2n )1+β

2−naα= KT 1+β2−n(β−aα).

Ez utobbi sorozat szummabilis, azaz a Borel-Cantelli lemma alkalmazhato. Ez igazolja, hogyP (Ωa) = 1.

Az Ωa halmaz elemeihez tartozo trajektoriakra alkalmazhatjuk a lemma allıtasat. Adodik,hogy a kapott fuggveny egyenletesen folytonos a D halmazon. (Sot, lokalisan a kitevojuHolder-folytonos.)

Legyen tehatYt(ω) = lim

s→t, s∈DXs(ω),

ha ω ∈ Ωa, egyebkent pedig Yt(ω) = 0.Mivel P (Xs = Ys) = 1, ha s ∈ D es Xs → Xt Lα-ban, ha s→ t, ezert

P (Yt = Xt) = 1,

tetszoleges t eseten.

Terjunk vissza a Wiener-folyamathoz. Mivel

E[(W (t)−W (s))4] = 3(t− s)2,

8 MICHALETZKY GY.

ezert a Kolmogorov-fele folytonossagi tetel alkalmazhato. (α = 4, β = 1 mellett). Adodiktehat, hogy letezik a Wiener-folyamat. Sot, trajektoriai (1 valoszınuseggel) 1/4-nel kisebbkitevovel Holder-folytonosak is.

Ugyanakkor, mivel

E[(W (t)−W (s))2n] = (2n− 1)!!|t− s|n,es (n−1)/2n→ 1/2, ezert az 1/2-nel kisebb kitevovel fennallo Holder-folytonossag is adodik.

2. konstrukcioAz egyszeruseg kedveert a parametertartomanyt a [0, 1] intervallumnak valasztjuk. Ekkor

a Wt, t ∈ [0, 1] Wiener-folyamat letrehozza a W : Ω → C[0, 1] merheto lekepezest. Tek-intsuk ennek eloszlasat. Jelolje ezt QW . Ennek erteket a cilinderhalmazokon a definıcioegyertelmuen eloırja - ezek a veges-dimenzios eloszlasok. Ugyanakkor a C[0, 1] ter esetebena cilinderhalmazok altal generalt σ-algebra egybeesik a Borel-halmazokkal, tehat tetszolegesWiener-folyamat eseten ugyanazt a QW merteket kapjuk. Ez az un. Wiener-mertek.

Maskeppen is nezhetjuk a fenti konstrukciot. Legyen

(Ω,A, P ) = (C[0, 1],B, QW ).

Ekkor a

Wt(x) = x(t) x ∈ C[0, 1]

osszefuggessel definialt folyamat Wiener-folyamat lesz. Azaz a Wiener-folyamat letrehozasahoza QW merteket kell letrehozni.

Ehhez hasznalhatnank a centralis hatareloszlastetel valamilyen altalanosıtasat, hiszen akeresendo folyamatban normalis eloszlasu valtozok szerepelnek.

Peldaul kiindulhatnank a szimmetrikus bolyongasbol: legyenekX1, X2, . . . fuggetlen, azonoseloszlasu valtozok P (Xi = 1) = P (Xi = −1) = 1

2. Sn =

∑nj=1Xj. Ekkor Sn√

nhatareloszlasa

N(0, 1). Most azonban az egesz trajektoria hatareloszlasat kell tekinteni. Legyen tehat

Wn(t) =1√n

(S[nt] + (tn− [tn])X[tn]+1).

Ez is folytonos trajektoriaju folyamat. A QWn eloszlas tehat tekintheto a C[0, 1] teren.Megmutatjuk, hogy ez a merteksorozat gyengen konvergens. Sot, a hatarertek eppen aWiener-mertek.

Megjegyezzuk, hogy Donsker-tetele szerint ez az allıtas ervenyben marad, ha tetszolegesolyanX1, X2, . . . fuggetlen, azonos eloszlasu sorozatot tekintunk, melyre E(X1) = 0,D2(X1) =1.

Azonban ennek csak azt a gyengebb valtozatat bizonyıtjuk be, amelyben feltesszuk, hogyE(X4

1 ) <∞.Szamos esetben kovetheto az alabbi sema:

1. Veges dimenzios eloszlasok konvergenciaja.2. A mertekcsalad feszessege.

Ugyanis esetunkben a veges dimenzios eloszlasok mar meghatarozzak a teljes merteket -hiszen a C[0, 1] teren a cilinderhalmazok generaljak a Borel-merheto halmazok σ-algebrajat.

A mertekcsalad feszessegebol adodik, hogy barmely vegtelen reszhalmaznak van torlodaspontja,ez azonban csak a veges dimenzios eloszlasok hatarertekebol adodo mertek lehet. Azaz a hal-maznak egyetlen torlodaspontja van. Azaz - ismet kihasznalva a feszesseget - konvergens.


A veges dimenzios eloszlasok konvergenciajanak bizonyıtasat feladatul hagyjuk.A feszesseg igazolasahoz a Kolmogorov-fele folytonossagi tetel bizonyıtasanak gondolatmenetet

hasznaljuk.

Theorem 3.2. Legyen Xn(t), t ∈ [0, T ] folytonos trajektoriaju sztochasztikus folyamatok egysorozata, ahol T <∞. Tegyuk fel, hogy teljesulnek az alabbi feltetelek:

• leteznek olyan α > 0, β > 0 szamok, melyekre

E|Xn(t)−Xn(s)|α ≤ K|t− s|1+β,

ahol K erteke nem fugg n-tol;• P (|Xn(0)| ≥ L) → 0, ha L→∞, n szerint egyenletesen.

Ekkor a C[0, T ] halmazon ertelmezett QXn mertekcsalad feszes.

Bizonyıtas. Tetszoleges a > 0 es N termeszetes szam eseten legyen

KN(a) = x ∈ C[0, T ]||x(T i

2n)− x(T

i− 1

2n)| ≤ 2−na tetszoleges n ≥ N

es i = 1, 2, . . . , 2n eseten; |x(0)| ≤ N.

Mivel a KN(a) halmaz zart, tovabba egyenlo mertekben egyenletesen folytonos fuggvenyekettartalmaz, melyek 0 helyen felvett ertekei adott kompakt halmazba tartoznak, ezert azArzela-Ascoli-tetel alapjan KN(a) ⊂ C[0, T ] kompakt.

Ugyanakkor a Kolmogorov-fele folytonossagi tetel bizonyıtasakor kovetett gondolatmenetalapjan

QXj(C[0, T ]−KN(a)) ≤ P (|Xj(0)| > N) +

∞∑n=N

2n∑i=1

P (|Xj(Ti

2n)−Xj(T

i− 1

2n)| > 2−na) ≤

≤ P (|Xj(0)| > N) +∞∑

n=N

2nK(T

2n)1+β2naα ≤

≤ P (|Xj(0)| > N) +KT 1+β

∞∑n=N

2−(β−aα)n.

Ha ismet 0 < a < β/α, akkor N erteket eleg nagyra valasztva KN(a) komplementerenekmerteke adott ε-nal kisebbre valaszthato - j-ben egyenletesen. Azaz a mertekcsalad feszes.

Donsker-tetelenek - veges 4. momentum eseten - bizonyıtasahoz a Wn folyamatok altal

indukalt mertekek feszesseget kell igazolnunk. Mivel Wn(0) = 0, ezert az elozo tetel alapjanehhez eleg az egyenletes Kolmogorov-feltetel igazolasa.

Tekintsuk az E(Wn(t)−Wn(s))4 mennyisegeket. Ha valamely k eseten kn< s < t ≤ k+1

n,

akkor Wn(t)−Wn(s) = (t− s)√nXk+1. Ezert ekkor

E(Wn(t)−Wn(s))4 = (t− s)4n2EX41 ≤ (t− s)2EX4

1 .

Ha [sn] + 1 ≤ [tn], akkor

(Wn(t)−Wn(s))4 ≤ 27((Wn(t)−Wn([tn]

n)4+(Wn(

[tn]

n)−Wn(

[sn] + 1

n))4+(Wn(

[sn] + 1

n)−Wn(s))4).

10 MICHALETZKY GY.

A kozepso tag varhato erteke 1n2ES

4[tn]−[sn]−1. A ket szelso tag varhato ertekenek osszege

EX41n

2[(t− [tn]

n)4 + (

[sn] + 1

n− s)4] ≤ EX4

12(t− s)2,

ugyanis tn− [tn] ≤ 1, [sn] + 1− s ≤ 1.Becsuljuk meg az ES4

k erteket.

ES4k = ES4

k−1 + 6(k − 1) + EX4k .

Ezert

ES4k ≤ kEX4

1 + 6k(k − 1)

2≤ ck2

alkalmas c eseten. Tehat1

n2ES4

[tn]−[sn]−1 ≤ c(t− s)2.

Osszegezve, tetszoleges t, s eseten

E(Wn(t)−Wn(s))4 ≤ c′(t− s)2.

Egyenletesen teljesul tehat a Kolmogorov feltetel. Alkalmazva az elozo tetelt kapjuk, hogya QWn mertekcsalad feszes.

3. konstrukcio.(Levy-konstrukcio)Ennek soran a Wiener-folyamatot ismet torottvonal trajektoriakkal rendelkezo folyamatok

hatarertekekent allıtjuk elo, azonban most az eloszlasbeli konvergencia helyett 1 valoszınusegu(egyenletes) konvergenciat bizonyıtunk.

A parametertartomany legyen ismet a [0, 1] intervallum. Tekintsuk fuggetlen, standardnormalis eloszlasu v.v.-k ket indexes sereget: Z0,0 es Zk,n, k = 1, . . . , 2n−1, n = 1, 2, . . . .

AWn kozelıto folyamat trajektoriainak torespontjai legyenek aDn halmaz elemei. UgyanakkorWn a korabbi torespontokban - azaz Dn−1 pontjaiban - ugyanazt az erteket veszi fel, mintWn−1. Kepletben:

W0(t) = tZ0,0.

Wn+1(t) =

Wn(t) t ∈ Dn

12[Wn(t+ 1

2n+1 ) +W (t− 12n+1 )] + 1

2n+2

2Zk,n+1 t = 2k+1

2n+1

Ekkor

P ( supt∈[0,1]

|Wn+1(t)−Wn(t)| > λn) = P (1

2n+2

n

max |Zk,n+1| > λn) ≤

≤ 2n

√2

π

1

2n+2

2 λn

e−12(2

n+2n λn)2 .

Vezessuk be az αn = 12(2

n+22 λn)2 jelolest. Ekkor a felso becsles ıgy ırhato:

2n

√2

π

1√2αn

e−αn .

Az αn = Cn ln 2 valasztassal elve a Borel-Cantelli-lemma alkalmazhato, tovabba ekkor aλn sor is konvergens lesz, tehat a Wn folyamat trajektoriai 1 valoszınuseggel egyenletesenkonvergensek.


A veges dimenzios eloszlasokat kell ellenoriznunk. A diadikusan racionalis helyeken ezexpliciten kiszamolhato (rekurzıvan). A trajektoriak folytonossaga miatt ekkor tetszolegeshelyen is a kıvant eloszlast kell kapnunk.

3.bis konstrukcio(Ciesielsky-konstrukcio) Vegyuk eszre, hogy a Wiener-folyamat Levy-fele konstrukciojat

maskent is felırhatjuk. Ugyanis a Wn+1 −Wn folyamat nem mas, mint veletlen magassagu”satorteto” alaku trajektoriaval rendelkezo folyamatok osszege. Pontosabban fogalmazva,legyen

h0,0(t) = t,

hk,n+1(t) =

0 t ≤ k

2n ; t ≥ k+12n

2n2 (t− k

2n ) k2n ≤ t ≤ 2k+1

2n+1

2n2 (k+1

2n − t) 2k+12n+1 ≤ t ≤ k+1

2n

Tehat

Wn(t) = h0,0(t)Z0,0 +n∑

j=1

2j−1∑k=1

hk,j(t)Zk,j.

Ezert ırhatjuk, hogy

W (t) = h0,0(t)Z0,0 +∞∑

j=1

2j−1∑k=1

hk,j(t)Zk,j.

(Itt a j szerinti konvergencia (1 valoszınuseggel) egyenletes.)A hk,j fuggvenyrendszer elemeit Schauder-fuggvenyeknek nevezik. Ezek eloallnak

hk,j(t) =

∫ t

0

gk,j(s)ds

alakban. Konnyen ellenorizheto, hogy ekkor a gk,j rendszer a Haar-rendszer. Azaz a fentieloallıtas a Wiener-folyamat trajektoriainak - veletlen egyutthatos - sorfejtese.

Vajon mas ortonormalt rendszer eseten is eloallıthato-e a Wiener folyamat ehhez hasonloalakban?

4. konstrukcio(Wiener-fele eloallıtas) Legyen X0, X1, . . . fuggetlen, standard normalis eloszlasu v.v.-k

sorozata. Ekkor

W (t) = tX0 +∞∑

n=0

2n+1−1∑k=2n

√2sin kπt

kπXk.

Az n szerinti konvergencia (1 valoszınuseggel) egyenletes.Megjegyzendo, hogy a

√2 sin kπt fuggvenyek a W (t) − tW (1) folyamat (a Brown-hıd)

kovariancia fuggvenye min(t, s)− ts altal meghatarozott integraloperator sajatfuggvenyei.∫ 1

0

(min(t, s)− ts)√

2 sin kπtdt =1

(kπ)2

√2 sin kπs.

Kiegeszıtes.

12 MICHALETZKY GY.

Megmutathato, hogy tetszoleges fk L2[0, 1]-ben teljes, ortonormalt rendszer eseten az∞∑

k=1

∫ t

0

fk(s)dsXk

sor eloallıtja a Wiener-folyamatot, ahol Xk k = 1, 2, . . . fuggetlen, standard normalis elosz-lasu valtozok sorozata.

4. A Wiener-folyamat tulajdonsagai

Theorem 4.1. A Wiener-folyamat trajektoriai (1 valoszınuseggel) sehol sem derivalhatoak.

Bizonyıtas. Megmutatjuk, hogy azon ω-k halmazanak kulso merteke, amelyekhez tartozotrajektoria legalabb egy pontban derivalhato, nullaval egyenlo. Ugyanis ha valamely ω esetenadott t pontban letezik derivalt, akkor letezik olyan L es ε, hogy tetszoleges t ≤ s ≤ t + εeseten

|Ws(ω)−Wt(ω)

s− t| ≤ L.

A [t, t+ ε] intervallumban alkalmas, eleg nagy n eseten talalhato olyan k, melyre k−1n≤ t ≤

kn< k+3

n≤ t+ ε. Ekkor az adott ω pontban

|W j+1n

(ω)−W jn(ω)| ≤ L(

j + 1

n− t+

j

n− t) ≤ 7L

n, j = k, k + 1, k + 2.

Azaz a vizsgalt halmaz resze a

∪L=1,2,... ∪N=1,2,... ∩n≥N ∪1≤k≤n−3 ∩0≤j≤2|W k+j+1n

−W k+jn| ≤ 7L

n

halmaznak. Rogzıtsuk le L,N, n erteket. Ekkor

P (∪1≤k≤n−3 ∩0≤j≤2 |W k+j+1n

−W k+jn| ≤ 7L

n) ≤ (n− 3)P 3(|W 1

n| ≤ 7L

n) =

= (n− 3)P 3(|N(0, 1)| ≤ 7L√n

) → 0,

ha n→∞.Ezert

P (∩n≥N ∪1≤k≤n−3 ∩0≤j≤2|W k+j+1n

−W k+jn| ≤ 7L

n) = 0.

Veve az N es L szerinti uniot kapjuk a bizonyıtando allıtast. Vegyuk eszre, hogy voltakeppen azt mutattuk meg, hogy a Wiener-folyamat trajektoriai

1-valoszınuseggel nem Lipschitz-folytonosak.

Ugyanakkor azt mar lattuk, hogy 1/2-nel kisebb kitevovel a Holder-folytonossag mar tel-jesul. Pontosabban fogalmazva: legyen 0 < ε < 1

2. Ekkor letezik olyan K(ε) allando es olyan

h(ω) > 0 valoszınusegi valtozo, hogy

P (ω| |Wt(ω)−Ws(ω)| ≤ K(ε)|t− s|ε , ha |t− s| ≤ h(ω)) = 1.

Kvadratikus variacio


Theorem 4.2. Legyen 0 = t(n)0 < t

(n)1 < · · · < t

(n)kn

= t a [0, t] intervallum finomodofelosztassorozata. Ekkor

kn−1∑j=0

(Wt(n)j+1−W

t(n)j

)2 → t

L2-ben, ha a sorozat finomsaga tart 0-hoz.Ha ez utobbi konvergencia eleg gyors, akkor az 1 valoszınusegi konvergencia is teljesul. Ez

fennall peldaul kn = 2n, t(n)j = t j

2n eseten.

Bizonyıtas. Az egyszeruseg kedveert hagyjuk el a felosztas jelolesebol a felso indexet.

E(kn−1∑j=0

(Wtj+1−Wtj)

2 − t)2 =kn−1∑j=0

E((Wtj+1−Wtj)

2 − (tj+1 − tj))2 =

= 2kn−1∑j=0

(tj+1 − tj)2 ≤

≤ 2 max(tj+1 − tj)× t.

Az L2 konvergencia adodik tehat.Az 1 valoszınusegu konvergencia bizonyıtasanak egy lehetosege valamelyik Riesz-lemma

alkalmazasa. Legyen tehat ε > 0 es tekintsuk az alabbi becslest.

P (|kn∑j=1

(Wtj+1−Wtj)

2 − t| > ε) ≤ 2tmaxj(t

(n)j+1 − t

(n)j )

ε2.

Ha tehat∑

n maxj(t(n)j+1− t

(n)j ) <∞, akkor a Riesz-lemma alapjan fennall az 1 valoszınusegu

konvergencia is.

Ha peldaul t(n)j+1 − t

(n)j = 1

2n , akkor ez teljesul.

Kiegeszıtes. JeloljeN(ω) aW (t) t ∈ [0, 1] folyamat ω-hoz tartozo trajektoriaja zerushelyeinek

halmazat. Megmutathato, hogy ekkor Nω 1 valoszınuseggel perfekt halmaz.

5. Egy kis penzugyi matematika.

Binomialis fa. Tekintsuk egy olyan piacot, ahol ket alaptermek van: kotveny es reszveny.Barmely idopillanatban tetszoleges mennyisegut birtokolhatunk mindkettobol. (Negatıvatis.) Tovabba tekintsunk el a veteli es eladasi koltsegektol. Olyan szarmazekos termek aratakarjuk meghatarozni, melynek erteke adott idopontbeli reszvenyarfolyam fuggvenye.

1. Egyetlen elagazas. Tegyuk fel, hogy kotvenyunk erteke δt idoegyseg alatt erδt-szeresereno. A reszveny kezdeti erteke legyen s, δt ido mulva ennek erteke vagy sle, sfel. (sle < sfel.)Aszarmazekos termek erteke ettol fuggoen xle, illetve xfel. Mennyi kell legyen az ara ennek atermeknek?

Jelolje ezt az ismeretlen arat v. Vasaroljunk ebbol a termekbol egysegnyit es a reszvenybolvalamilyen ismeretlen φ mennyisegut. Ekkor elkoltottunk osszesen

v + φ× s

14 MICHALETZKY GY.

penzt. δt ido mulva az ıgy kialakıtott portfolionk erteke

xle + φ× sle illetve xfel + φ× sfel

lesz attol fuggoen, hogyan alakul a reszveny arfolyama. Ha φ erteket ugy valasztjuk meg,hogy e ket ertek egyenlo legyen, azaz

φ =xfel − xle

sle − sfel

,

akkor olyan termeket hoztunk letre, amely v+φs befektetesbol kockazatmentesen szolgaltatszamunkra xle + φ × sle osszeget. Ha ugyanezert a penzert kotvenyt vettunk volna, akkorannak erteke - ismet kockazatmentesen - (v+ φ× s)erδt lenne. Ha ıgy mas erteket kapnank,mint a vizsgalt portfoliobol, akkor kockazatmentesen nyeresegre tehetnenk szert.

Ha feltesszuk, hogy olyan piaccal allunk szemben, ahol ez kizart - un. arbitrage-mentespiac -, akkor a

(v + φ× s)erδt = xle + φ× sle(= xfel + φ× sfel)

egyenletnek kell teljesulnie.A kapott linearis egyenletrendszer megoldasat rovidebben ırhatjuk fel, ha bevezetjuk a

q =erδts− sle

sfel − sle

jelolest. Ekkorv = qxfel + (1− q)xle.

HF. Mutassuk meg, hogy arbitrage-mentes piacon teljesul a 0 ≤ q ≤ 1 egyenlotlenseg.Ennek alapjan a szarmazekos termek erteke ugy szamolhato, mint valamilyen varhato

ertek, azonban valamilyen mesterseges valoszınusegi mertek szerint. Vegyuk eszre, hogy

s = e−rδt(qsfel + (1− q)sle).

2. Tobblepeses elagazas.Tegyuk fel, hogy n idoegysegen keresztul vizsgaljuk az arfolyamertekek alakulasat. A

kotveny erteket a B0, B1, . . . , Bn (determinisztikus) sorozat ırja le. A reszveny erteket azS0, S1, . . . , Sn valoszınusegi valtozo sorozat adja meg. Azonban tegyuk fel, egyetlen idoegysegalatt a reszveny erteke az elozo arfolyamatol csak ket masik ertekre valtozhat. Azaz Sk+1-nek az Sk = s esemenyre vonatkozo felteteles eloszlasa ket ertekre koncentralt eloszlas. (Eza ket ertek fugghet s-tol.) Olyan szarmazekos termeket akarunk arazni, melynek erteke nidoegyseg leteltevel X = f(Sn).

A szemleletesseg kedveert alaphalmaznak tekintsuk azokat az n hosszusagu torottvonalakat,melyek konstrualasa soran minden egyes idopontban csak ket lehetseges iranyban mozoghatunk.Ezen trajektoriak teljes szama tehat 2n. Az Sk es Bk sorozatot tekinthetjuk ugy, mint ezenaz alaphalmazon ertelmezett fuggvenyek. Legyen Fk a torottvonalak elso k szakasza altalgeneralt σ-algebra. Ekkor Sk merheto az Fk σ-algebrara.

A szarmazekos termek arazasat visszafele halado indukcioval vegezzuk el. n idoegysegleteltevel pontosan tudjuk az erteket - X. Egy lepessel visszalepve az idoben alkalmazhatjukaz elozo gondolatmenetet. Ennek eredmenyekeppen megkapjuk a szarmazekos termek erteketaz n− 1 idopontban. Igy folytatva tovabb eljutunk a kezdeti idopontbeli ertekhez.

Konkretan, az egyes lepesek soran a ”fel” illetve ”le” agazasok felteteles valoszınusegeitkonstrualjuk meg (a mesterseges mertek szerint). Ezeket egyesıtve vegezetul az alapteren


kapunk valoszınusegi merteket. Jelolje ezt Q. A kotveny ertekenek novekedeset korabbanleıro erδt helyett most a k. idoegyseg alatt a BkB

−1k−1 erteket kell hasznalnunk. A korabbi

eszrevetel alapjan a Q mertek eseten teljesulnie kell a

EQ((BkB−1k−1)

−1Sk|Fk−1) = Sk−1,

maskeppen

EQ(B−1k Sk|Fk−1) = B−1

k−1Sk−1

osszefuggesnek. Azaz a Zk = B−1k Sk folyamat a Q mertek szerint martingal kell legyen.

Ezert a Q merteket martingalmerteknek nevezik.A termek ara pedig -jelolje ezt V0 -

V0 = B0EQ(B−1n X).

Altalanosabban, ha Vk jeloli a k. idopontbeli arat, es Ek = B−1k Vk. Ekkor

Ek = EQ(En|Fk).

A konkret szamıtasok elvegzesehez a korabbi gondolatmenetet celszeru kisse atalakıtani.Az egy-lepeses esetben a szarmazekos termekbol es a reszvenybol allıtottuk elo kockazatmentestermeket, azaz - az arbitrage-mentes esetben - vegulis a kotvenyunket. Az egyenletekatrendezesevel elerhetjuk, hogy a kotvenybol es a reszvenybol allıtunk elo olyan portfoliot,melynek erteke eppen a szarmazekos termekevel egyezik meg. Minden idoponthoz tartozikazonban most ertek. Azaz a kezdetben megvasarolt portfoliot minden uj idopontban atkell alakıtanunk - attol fuggoen, hogy eppen hogyan valtozott a reszveny erteke. Ugy kellezt megtennunk, hogy az n. idopontban az ertek eppen X legyen. Maskeppen fogalmazva”szintetizalni” akarjuk a szarmazekos termeket.

Ezen tulmenoen azonban, ha ennek segıtsegevel azt akarjuk meghatarozni, hogy a 0 pil-lanatban mennyi kell legyen az ara a szarmazekos termeknek, akkor a szintetizalo portfoliobacsak a kezdet kezdeten fektethetunk be penzt, a kesobbi lepesek soran csak a pillanatnyierteket megtartva alakıthatjuk at. Azaz, un. onfinanszırozo portfoliot tekintunk. Jeloljeφk+1, illetve ψk+1 a k. pillanatban letrehozott portfolio osszetetelet. (φk+1 reszvenyt vesszuk,illetve ψk+1 kotvenyt a k. idopillanatban. Ekkor φk+1 es ψk+1 merhetoek az Fk σ-algebrara.)

Az onfinanszırozas feltetele:

φk+1Sk + ψk+1Bk = φkSk + ψkBk.

A jobboldal adja meg, hogy a (k − 1). pillantban vasarolt portfolio erteke mennyi lesz a k.pillantban. A baloldal szerint ezen osszeg felhasznalasaval alakıtjuk ki az uj portfoliot.

A szintetizalas feltetele:

Vk = φk+1Sk + ψk+1Bk.

Az adodo

Vk = φkSk + ψkBk

Vk−1 = φkSk−1 + ψkBk−1

egyenleteket osztva Bk, illetve Bk−1 ertekevel es kivonva egymasbol a

Ek − Ek−1 = φk(Zk − Zk−1)

16 MICHALETZKY GY.

osszefuggest kapjuk. Azaz

Ek − E0 =k∑

j=1

φj(Zj − Zj−1).

Tehat a szintetizalas feladata arra vezet, hogy egy adott martingalt egy masik transz-formaltjakent allıtsuk elo. A jobboldal alakja sugallja, hogy folytonos ideju esetben azosszeget integrallal kell helyettesıtenunk. Ebben valamilyen sztochasztikus folyamat szerintkell integralnunk.

Folytonos ideju eset.Tegyuk fel, hogy az idointervallum a [0, 1] halmaz. Kozelıtsuk a folytonos esetet diszkret

modellel. Tegyuk fel, hogy δt hosszu idointervallumon a kotveny erteke erδt-szeresere no.

A reszveny erteke pedig eµδt±σ√

δt-szeresere. Tegyuk fel, hogy a valodi mertek szerint a keteshetoseg mindegyike 1/2-1/2 valoszınuseggel fordul elo, lepesek soran egymastol fuggetlenul.

Eloszor azt hatarozzuk meg, hogy a valodi P valoszınuseg szerint a reszveny arfolyamalakulasara ıgy milyen modellt kapunk. Majd pedig azt, hogy a martingalmertek szerintmilyen lesz a folyamat eloszlasa.

Legyen δt = 1n. Tovabba legyenek X

(n)i , i = 1, . . . , n olyan fuggvenyek, melyek lehetseges

ertekei µn

+ σ 1√n, illetve µ

n− σ 1√

n. Jelolje R

(n)k =

∑kj=1X

(n)i . Ekkor a diszkret kozelıtes k.

idopontjaban (az eredeti idoskalan merve ez a k/n idopont) a reszvenyarfolyam erteke

S(n)k = S0e

R(n)k .

A valodi mertek szerint - jelolje ezt P - az ξ(n)i =

√n 1

σ(X

(n)i − µ

n), i = 1, . . . , n n = 1, 2, . . .

fuggetlen szeriasorozat, melynek ertekei ±1, 1/2-1/2 valoszınuseggel.Ekkor a

Wn(t) =µ[nt]

n+ σ

1√n

[tn]∑i=1

ξ(n)i + (tn− [tn])(

µ

n+

σ√nξ

(n)[tn]+1)

= µt+σ√n

(

[tn]∑i=1

ξ(n)i + (tn− [tn])ξ

(n)[tn]+1)

folyamat eloszlasban tart a σW (t) + µt folyamathoz, ahol W (t) Wiener-folyamat. Azaz

S(t) = S0eσW (t)+µt.

Tekintsuk most a martingalmerteket. Amint lattuk ekkor a

q =serδt − sle

sfel − sle


ertekre van szuksegunk. A konkret esetben - ez fugg az alkalmazott kozelıtestol, tehat jeloljeq(n):

q(n) =erδt − eµδt−σ

√δt

eµδt+σ√

δt − eµδt−σ√

δt=

=rδt− µδt+ σ

√δt− σ2

2δt+ o(δt)

2σ√δt+ o(δt)

=

=1

2[1−

√1

n(µ+ 1

2σ2 − r

σ)] + o(

√1

n).

Legyen most Y(n)j olyan fuggetlen szeriasorozat, melynek lehetseges ertekei a µ

n± σ√

nszamok

q(n), illetve 1− q(n) valoszınuseggel.

Ekkor EQ(n)(Y(n)j ) = µ

n+ σ√

n(2q(n) − 1), D2

Q(n)(Y(n)j ) = σ2

n4q(n)(1 − q(n)). Jelolje η

(n)j a

standardizalt valtozot es legyen

Un(t) = µt+σ√n

2√q(n)(1− q(n))(

[tn]∑j=1

η(n)j + (tn− [tn])η

(n)[tn]+1) +

σ√ntn(2q(n) − 1)

= (−1

2σ2 + r)t+ 2

√q(n)(1− q(n))

σ√n

(

[tn]∑j=1

η(n)j + (tn− [tn])η

(n)[tn]+1) + o(1).

Mivel 2√q(n)(1− q(n) → 1, ezert az Un(t) folyamat eloszlasban konvergal a

(−1

2σ2 + r)t+ σW (t)

folyamathoz, ahol W (t) ismet Wiener-folyamat.Maskeppen fogalmazva, az S(t) reszvenyarfolyam eloszlasa a Q martingalmertek szerint

megegyezik az

S0e(− 1

2σ2+r)t+σW (t)

folyamat eloszlasaeval.A Z(t) = e−rtS(t) diszkontalt reszvenyarfolyamra pedig a Q martingalmertek szerint

Z(t), t ∈ [0, 1] =d S0e− 1

2σ2t+σW (t), t ∈ [0, 1].

Vegyuk eszre, hogy ez nem fugg µ erteketol.

Vajon nem lehetne ezt a faradsagos utat lerovidıteni? Tudva a folyamat valodi mertekszerinti eloszlasat, nem lehetne-e kozvetlenul meghatarozni a martingalmerteket?

Vegrehajtva a diszkontalast a valodi mertek szerint vett folyamaton is lathato, hogy tulaj-donkeppen azt kerdezzuk, hogy ha vesszuk az S0e

(µ−r)t+σW (t) folyamatot, ahol W Wiener-folyamat, akkor hogyan lehet megtalalni azt a merteket, amely szerint ez martingal lesz.

Azaz, amely szerint vett eloszlasa megegyezik S0e−σ2

2t+σW (t) eloszlasaval.

Ebben segıtsegunkre lehet a kovetkezo lemma.

Lemma 5.1. Legyenek X, Y : Ω → X absztrakt erteku v.v.-k. Tegyuk fel, hogy QY abszolutfolytonos QX-re. Jelolje g = dQY

dQX.

Ekkor a dP = g(X)dP mertek szerinti eloszlasa X-nek eppen QY .

18 MICHALETZKY GY.

Bizonyıtas.

P (X ∈ B) =

∫X∈B

g(X)dP =

∫B

gdQX =

∫B

dQY = P (Y ∈ B).

Tehat a martingalmertek megkeresese esetleg megoldhato alkalmas Radon-Nikodym-derivaltak

meghatarozasa segıtsegevel. A tovabbi elemzeshez szuksegunk van az alabbi integral foga-lomra.

6. Wiener-integral.

Legyen W (t) Wiener-folyamat. Ertelmezni akarjuk a∫ t

0f(s)dW (s) integralt, ahol f de-

terminisztikus fuggveny.Jelolje A0 = [a, b) | 0 ≤ a ≤ b ∪ [0]. Tovabba L0 = f | f =

∑ckχAk

, Ak ∈ A0, ck ∈R.

Ekkor f ∈ L0 eseten kozvetlenul ertelmezheto az integral:

A = [a, b) eseten legyen W (A) = W (b)−W (a)

M(f) =∑

ckW (Ak) , ha f =∑

ckχAk∈ L0

Vegyuk eszre, hogy az M : L0 → L2(P ) lekepezes izometria, ha a L0 teret mint az L2(λ)alteret tekintjuk.

Ezert folytonosan, sot izometrikusan kiterjesztheto a generalt zart alterre. Mivel azonbanaz A0 altal generalt σ-algebra a Borel-merheto halmazok σ-algebraja, ezert a lezart maga azL2(λ) ter.

A kiterjesztett operatort is jelolje M . Hasznalni fogjuk meg az∫f(s)dW (s) jelolest is.

Megjegyezzuk, hogy a fenti konstrukcio specialis esete az ortogonalis sztochasztikus mertekszerinti integral fogalmanak.

Theorem 6.1. Jelolje KWt a W (s), 0 ≤ s ≤ t valoszınusegi valtozok altal az L2(P ) terben

generalt zart linearis alteret.Ekkor

KWt =

∫ t

0

f(s)dW (s)|f ∈ L2[0, t]

Bizonyıtas. Ha Y ∈ KWt , akkor Y = limYn, ahol Yn =

∑c(n)i W (t

(n)i ). Nyilvan Yn =

M(fn) alkalmas fn ∈ L0 eseten. Az izometria miatt az fn fuggvenysorozat Cauchy-sorozat,azaz letezik olyan f ∈ L2[0, t], melyre fn → f . Ismet az izometria miatt M(fn) → M(f).Ezert Y = M(f).

A fordıtott iranyu tartalmazas azonnal adodik abbol, hogy nyilvanvaloan∫ t

0f(s)dW (s) ∈

KWt , ha f ∈ (L0 ∩ L2[0, t]).

Theorem 6.2. Legyen most X ∈ L2(P ), E(X) = 0. Ekkor

PrKWt

=

∫ t

0

d

dsE(XWs)dWs.


Bizonyıtas. Jelolje a vetuletet Xt. Mivel Xt ∈ KWt , ezert eloall

∫ t

0g(s)dW (s) alakban.

Mivel X − Xt meroleges KWt -re, ezert 0 ≤ r ≤ t eseten

0 = E[(X −∫ t

0

g(s)dW (s))W (r)] = E(XW (r))]−∫ r

0

g(s)ds.

Theorem 6.3. Legyen m ∈ L2[0, t]. Definialjuk az Y (s), 0 ≤ s ≤ t folyamatot az alabbimodon: Y (s) = h(s) +W (s), ahol h(s) =

∫ s

0m(s)ds es W (s) pedig Wiener-folyamat.

Ekkor Y eloszasa abszolut folytonos a Wiener-mertekre nezve es

dQY

dQW

(W ) = e∫ t0 m(s)dW (s)− 1

2

∫ t0 m2(s)ds.

Bizonyıtas. Megjegyzendo, hogy a QY , illetve QW mertekeket a C[0, t] Borel-halmazaintekintjuk. A W lekepezes az jelen esetben pedig az a merheto fuggveny, amelyre W : Ω →C[0, t].

Eloszor tekintsuk azt a specialis esetet, amikor m lepcsos fuggveny. Legyen m(s) =∑n−1k=1 ckχ[tk,tk+1). Olyan Z v.v.-t kell keresnunk, melyre

P (Y ∈ B) =

∫W−1(B)

ZdP, tetszoleges B ∈ B eseten,

ahol B a C[0, t] ter Borel-halmazainak σ-algebraja.A mertek kiterjesztes egyertelmusege miatt eleg, ha a fenti egyenletet a cilinderhalma-

zokon ellenorizzuk. Mivel a cilinderhalmazok eloallıtasa soran az alappontokat tetszolegesenbovıthetjuk, feltehetjuk, hogy a t1, . . . , tn osztopontok kozottuk vannak. Legyen tehatB = CB0

τ0,...,τm, ahol 0 = τ0 < τ1 < · · · < τm = t es t1, . . . , tn ⊂ τ0, . . . , τm.

Az Y ∈ B esemenyt akarjuk mas modon felırni, valoszınusegenek meghatarozasat visszaakarjuk vezetni a Wiener-folyamattal kapcsolatos esemenyek valoszınusegeire, sot mivel aWiener-folyamat fuggetlen novekmenyu, ezert celszeru a novekmenyei segıtsegevel felırni.

Ezert legyen D = x ∈ Rm+1 | (x0+h(τ0), x0+x1+h(τ1), . . . , x0+ · · ·+xm+h(τm)) ∈ B0.

20 MICHALETZKY GY.

Ekkor Y ∈ B = (W (τ0, (W (τi)−W (τi−1))i=1,...,m) ∈ D. Ha tehat φs jeloli az N(0, s)eloszlas surusegfuggvenyet, akkor

P (Y ∈ B) = P ((W (τi)−W (τi−1))i=1,...,m ∈ D) =

=

∫D

φτ1(x1)φτ2−τ1(x2) · · ·φτm−τm−1(xm)dxm · dx1 =

=

∫C

φτ1(z1)φτ2−τ1(z2) · · ·φτm−τm−1(zm)×

× expm∑

i=1

(h(τi)− h(τi−1))zi

τi − τi−1

− 1

2

m∑i=1

(h(τi)− h(τi−1)2 1

τi − τi−1

dzm · dz1 =

=

∫W−1(B)

expm∑

i=1

h(τi)− h(τi−1)

τi − τi−1

(W (τi)−W (τi−1))−

−1

2

m∑i=1

(h(τi)− h(τi−1)

τi − τi−1

)2(τi − τi−1)dP =

=

∫W−1(B)

exp∫ t

0

m(s)dW (s)− 1

2

∫ t

0

m2(s)dsdP,

ahol a masodik egyenloseg soran a zi = xi + h(τi) − h(τi−1) helyettesıtest alkalmaztuk, ıgytehat

C = z ∈ Rm+1 | (z0, z0 + z1, . . . , z0 + . . . zm) ∈ B0,es a

φτi−τi−1(zi − (h(τi)− h(τi−1)))

fuggvenyeket szorzatra bontottuk. Az utolso lepesben hasznaltuk ki, hogym lepcsos fuggveny,

tehat a h(τi)−h(τi−1)τi−τi−1

hanyados valamelyik ck ertekkel esik egybe.

Ha m tetszoleges L2-beli fuggveny, akkor kozelıtsuk meg lepcsos fuggvenyek segıtsegevel:mn → m. Ekkor

∫mndW →

∫mdW L2(P )-ben, sot alkalmas mn sorozatot valasztva 1

vsz.-gel is. Ugyanakkor sups |hn(s) − h(s)| → 0. Tehat az Yn = hn + W , Y = h + Wjeloleseket hasznalva Yn → Y 1 vsz-gel (mint Ω → C[0, t] lekepezeseket tekintve). Ezert

QYn → QY gyengen.

Ugyanakkor

exp∫mndW − 1

2

∫m2

n → exp∫mdW − 1

2

∫m2 1 vsz.-gel

es mivel a fuggvenysorozat nemnegatıv es a hatarertek integralja is 1, ezert a konvergenciaL1(P )-ben is teljesul. Specialisan

QYn(B) =

∫W−1(B)

exp∫mndW − 1

2

∫m2

ndP →∫

W−1(B)

exp∫mdW − 1

2

∫m2dP.

TehatdQY

dQW

(W ) = exp∫mdW − 1

2

∫m2.


A szarmazekos termekek szintetizalasa soran lattuk, hogy a martingalmertek megtalalasautan a portfolio osszeallıtasahoz adott martingalnak masik martingal transzformaltjakentvalo eloallıtasa szukseges. A folytonos ideju esetben a diszkret osszeget integrallal kellhelyettesıtenunk. Azonban az adodo formulaban az integrandus nem determinisztikus fuggvenylesz, hanem sztochasztikus folyamat. Tehat a Wiener-integral fogalma nem elegendo, vala-milyen kiterjesztesre van szuksegunk.

Az alabbiakban ezt epıtjuk ki.

7. Az Wiener-folyamat szerinti Ito-integral

Megjegyzes. Tegyuk kıserletet a∫ t

0WdW mennyiseg ertelmezesere. A szokott modon

kozelıto osszegek hatarertekekent probaljuk meghatarozni.Vegyunk valamilyen felosztast: 0 = t0 < t1 < · · · < tk = t. Az integrandus erteket az

intervallum valamelyik pontjaban kell vennunk. Ket esetet vizsgalunk meg:

I1 =k∑

i=1

W (ti−1)(W (ti)−W (ti−1))

I2 =k∑

i=1

W (ti)(W (ti)−W (ti−1))

Lathato, hogy

I1 + I2 = W 2(t)−W 2(0)

I2 − I1 =∑

(W (ti)−W (ti−1))2

Ez utobbi mennyiseg hatarerteke eppen t. Tehat nem mindegy, hogy milyen pontban felvetterteket veszunk.

Adodik, hogy

I1 →1

2(W 2(t)− t)

I2 →1

2(W 2(t) + t)

Az Ito-integral soran az intervallum baloldali vegpontjaban felvett erteket hasznaljuk.Felepıteseben a Wiener-integral konstrukciojahoz hasonlo lepeseket alkalmazunk.

Rogzıtsunk le egy (Wt,Ft) Wiener-martingalt. (Azaz Wt, t ≥ 0 Wiener-folyamat, Ft

monoton novekedo σ-algebrafolyam (un. filtracio), tovabba Wt martingal az Ft σ-algebrara.)Legyen

H0 = X | Xs =n∑

k=1

Zkχ(tk,tk+1](s) + Z0χ0(s) ahol σ(Zk) ⊂ Ftk , Zk korlatos.

Definialjuk az I(X) integralt az alabbi modon:

I(f) =n∑

k=1

Zk(Wtk+1−Wtk).

22 MICHALETZKY GY.

(A nulla idopontnak megfelelo tag azert esik ki, mert W (0) = 0.)Megmutathato, hogy az f 7→ I(f) lekepezes izometria a H0 → L2(P ) terek kozott, ha a

H0 teret, mint az L2(Ω× [0,∞);P × λ) alteret tekintjuk.Ezert izometrikusan kiterjesztheto a generalt zart alterre is. Lathato, hogy az A × 0,

A ∈ F0, illetve A× [s, t), A ∈ Fs halmazok indikatorfuggvenyei benne vannak a H0 alterben,sot ezek linearis kombinacio suru halmazt alkotnak. Eleg tehat ezek lezartjat tekinteni.Ez azonban egybeesik a generalt σ-algebrara merheto, negyzetesen integralhato fuggvenyekterevel.

Legyen tehatP = σ(A× 0, A ∈ F0, es A× [s, t), A ∈ Fs)

a josolhato halmazok σ-algebraja. Tovabba

H2 = Xt, t ≥ 0 | X ∈ L2(P × λ), X P merhetoa josolhato, L2-beli folyamatok linearis tere. (Vegyuk eszre, hogy a P σ-algebrara merhetofolyamatok merhetoek az A×B, sot az F∞ × B szorzat σ-algebrara, ahol B a [0,∞) Borel-merheto reszhalmazainak rendszere, F∞ = σ(∪tFt).)

Kozbeszuras: Hazi feladat: Mutassuk meg, hogy

• Minden josolhato folyamat adaptalt, azaz Xt Ft merheto;•

P = σ(X | X adaptalt, folytonos trajektoriaju folyamat);

•P = σ(X | X adaptalt, balrol folytonos trajektoriaju folyamat);

Beszuras vege.

A kiterjesztett operatort is jelolje I, illetve az∫

jelet is hasznalni fogjuk.

X 7→∫XdW H2 → L2(P ).

Tulajdonsagok:

• linearis,• E(I(X)) = 0,• E(I(X)2) = E(

∫∞0X2(s)ds).

• ha Xn → X az L2(P × λ) normaban, akkor I(Xn) → I(X) L2(P )-ben.

Jeloles:

It(X) =

∫ t

0

XsdWs =

∫Xχ[0,t]dW.

Ekkor az (It(X),Ft) folyamat martingal. E tulajdonsag konnyen ellenorizheto H0-belifolyamatok eseten es ekkor az L2-beli konvergenciabol adodik H2-be tartozo folyamatokrais.

Tudhatunk-e mondani valamit e folyamat trajektoriairol? Ha X ∈ H0, akkor Xχ[0,t] ∈ H0

es ekkor konnyen lathato, hogy a kapott It(X) folyamat folytonos trajektoriaju. Azonbanaz altalanos esetben minden rogzıtett t idopont eseten az It(X) integral L2 hatarertekkentjon letre, tehat csak nullamerteku halmaztol eltekintve egyertelmu. A trajektoriak esetenpedig rogzıtett ω mellett vesszuk minden t-re az integral erteket. Ugy kell tehat fogalmazni


a kerdest, hogy meg lehet-e valasztani az It(X) reprezentansait ugy, hogy peldaul folytonostrajektoriaju folyamatot kapjunk.

Ez elerheto, ha az L2 konvergencia helyett 1 valoszınuseggel egyenletes konvergencia isteljesulne - alkalmas kozelıto sorozat eseten. Ehhez szuksegunk van a sup norma becslesere,folytonos parameteru martingalok eseten.

Kiterot teszunk tehat.

8. Martingalegyenlotlensegek, folytonos parameteru martingalok

Definition 8.1. Legyen Xt t ∈ F ⊂ R sztochasztikus folyamat, ahol F veges halmaz.Tovabba α < β. Az UF (α, β,X) atmetszesi szamot a kovetkezokeppen definialjuk. Legyen

τ1 = mint ∈ F | Xt ≤ α.

Illetve rekurzıven

σj = mint ∈ F, t ≥ τj | Xt > βτj+1 = mint ∈ F, t ≥ σj | Xt < α

Legyen UF (α, β,X) erteke az a legnagyobb j index, amelyre σj meg veges.Ha az F halmaz nem feltetlen veges, akkor legyen

UF (α, β,X) = supUL(α, β,X) | L ⊂ F, L veges halmaz.

Lemma 8.1. Legyen (Xk,Fk), k = 0, . . . , n szubmartingal. Ekkor

• λP (supXk ≥ λ) ≤∫

sup Xk≥λ

XndP ≤ EX+n ;

• λP (infXk ≤ −λ) ≤ EX+n − EX0;

• EU0,...,n(α, β,X) ≤ E(Xn−α)+

β−α≤ EX+

n +|α|β−α

;

• E(supXpk) ≤ ( p

p−1)pE(Xp

n), ha p > 1 es Xk ≥ 0.

Bizonyıtas. Csak a harmadik allıtas bizonyıtasaval foglalkozunk.Eloszor vegezzuk el az Xk → (Xk − α)+ transzformaciot. Nyilvan

U0,...,n(α, β,X) = U0,...,n(0, β − α, (X − α)+).

Ezert tehat feltehetjuk, hogy α = 0 es Xk ≥ 0.Legyen χk annak indikatora, hogy a folyamat a k. lepesben az α = 0-bol β-ba valo felmeno

agban van-e, vagy sem. Pontosan fogalmazva, χk erteke pontosan akkor legyen 1, ha valamelyj eseten τj < k es σj ≥ k.

Mivel az ilyen felszallo agakon a folyamat ertekenek ossznovekedese legalabb β, ezert

βU0,...,n(0, β,X) ≤n∑

k=1

(Xk −Xk−1)χk.

24 MICHALETZKY GY.

Vegyunk varhato erteket es alkalmazzuk a szubmartingal tulajdonsagot.

βEU(0, β,X) ≤n∑

k=1

∫χk=1

Xk −Xk−1dP =

=n∑

k=1

∫χk=1

E(Xk|Fk−1)−Xk−1dP ≤

≤n∑

k=1

∫E(Xk|Fk−1)−Xk−1dP =

= EXn − EX0 ≤ EXn,

ahol kihasznaltuk azt, hogy E(Xk|Fk−1)−Xk−1 ≥ 0 a teljes Ω halmazon. Ezen lemma kiterjeszteset folytonos parameteru szubmartingalokra adja meg a kovetkezo

tetel.

Theorem 8.1. Legyen (Xt,Ft), t ≥ 0 olyan szubmartingal, melynek trajektoriai jobbrolfolytonos fuggvenyek. Tekintsunk egy reszintervallumot: [s, r] ⊂ [0,∞). Ekkor

• λP (( sups≤t≤r

Xt) ≥ λ) ≤∫

sups≤t≤r Xt≥λ

XrdP ≤ EX+r ;

• λP ( infs≤t≤r

Xt ≤ −λ) ≤ EX+r − EXs;

• EU[s,r](α, β,X) ≤ E(Xr−α)+

β−α≤ EX+

r +|α|β−α

;

• E( sups≤t≤r

Xpt ) ≤ ( p

p−1)pE(Xp

r ), ha p > 1 es Xt ≥ 0;

• Az Xt folyamat majdnem minden trajektoriaja masodfaju szakadas nelkuli fuggveny.

Bizonyıtas. Vegyuk az [s, r] intervallum egy felosztasat. s = t0 < t1 < · · · < tn = r.Ekkor a k 7→ (Xtk ,Ftk) folyamat diszkret parameteru szubmartingal. Erre alkalmazni lehetaz elozo lemma allıtasait. Azt kell csak eszrevenni mar, hogyha olyan felosztassorozatotveszunk, amelyben minden egyes felosztas az elozo finomıtasa es vegul az osztopontok suruhalmazt alkotnak az [s, r] intervallumban, akkor a sup, inf es U mennyisegek monoton kon-vergalnak. Ez adja az elso negy allıtas bizonyıtasat.

A trajektoriak tulajdonsaganak igazolasahoz vegyuk eszre, hogy

ω ∈ Ω | lim infu↑t

Xu(ω) 6= lim supu↑t

Xu(ω) valamilyen t eseten ⊂

⊂ ∪

α < βα, β ∈ Q

ω ∈ Ω | U[s,r](α, β,X) = ∞.

Azonban EU[s,r](α, β,X) <∞, ıgy a jobboldalon nulla valoszınusegu esemeny all. Az elozo tetelben alapveto felteves volt, hogy a folyamat trajektoriaja legyen jobbrol

folytonos fuggveny. Tulajdonkeppen csak arra lenne szukseg, hogy letezzek olyan suru,megszamlalhato halmaz, hogy az azon a halmazon tekintett szupremum, illetve infimummegegyezzek a teljes intervallumon vettel.

Tetszoleges folyamatok eseten ez a kerdes a folyamat un. szeparabilis modifikaciojanakfogalmahoz vezet el. (Doob)

Szubmartingalok eseten nincsen erre szukseg. Azonban vegyuk eszre, hogy ha folytonosparameteru szubmartingal eseten jobbrol tartunk idopontok segıtsegevel valamely t ertekhez,


akkor az ıgy kivalasztott megszamlalhato sorozathoz tartozo folyamat mar nem lesz szub-martingal, hanem un. fordıtott szubmartingal.

Definition 8.2. Az (Xn,Fn sorozat fordıtott martingal (szubmartingal), ha

• Fn ⊃ Fn+1;• Xn merheto Fn-re;• E(Xn | Fn+1) = Xn+1, (illetve E(Xn | Fn+1) ≥ Xn+1).

Lemma 8.2. Legyen (Xn,Fn) fordıtott szubmartingal. Ha limn→∞

EXn > −∞, akkor az

Xn, n ≥ 1 halmaz egyenletesen integralhato.

Bizonyıtas.

P (|Xn| > λ) ≤ 1

λE|Xn| =

1

λ(2EX+

n − EXn) ≤

≤ 1

λ(2EX+

1 − limEXn)

Legyen most ε > 0. Mivel az EXn sorozat monoton csokkenve konvergal, ezert alkalmasN eseten mar EXN − EXn ≤ ε, ha n ≥ N . Ekkor∫|Xn|>λ

|Xn| =

∫Xn>λ

Xn −∫

Xn<−λ

Xn =

∫Xn>λ

Xn +

∫Xn≥−λ

Xn − EXn ≤

≤∫

Xn>λ

XN +

∫Xn≥−λ

XN − EXn =

∫Xn>λ

XN −∫

Xn<−λ

XN + EXN − EXn ≤

≤ ε+

∫|Xn|>λ

|XN |.

Mivel az |Xn| > λ halmaz valoszınusege λ → ∞ eseten n-ben egyenletesen tart nullahozezert a kezdeti integral erteke eleg nagy λ mellett n szerint egyenletesen kicsiny.

Theorem 8.2. Legyen (Xn,Fn) fordıtott szubmartingal. Ekkor Xn 1 valoszınuseggel kon-vergens.

Bizonyıtas. Vegyuk eszre, hogy

lim infn

Xn < α < β < lim supn

Xn ⊂ limn→∞

U[0,n](α, β,X) = ∞,

es EU[0,n](α, β,X) ≤ EX+0 +|α|

β−α, ezert az Xn sorozat limsup-ja es liminf-je 1 valoszınuseggel

megegyeznek. Alkalmazzuk ezt a tetelt most folytonos parameteru szubmartingalok eseten.

Theorem 8.3. Legyen (Xt,Ft) t ≥ 0 szubmartingal. Ekkor

• letezik olyan A ⊂ Ω esemeny, melyre P (A) = 1, hogy ω ∈ A eseten minden t-re azXt+(ω) = lims↓t, s∈QXs(ω) es Xt−(ω) = lims↑t, s∈QXs(ω) leteznek.

• Ezekre

E(Xt+ | Ft) ≥ Xt, t ≥ 0

E(Xt | Ft−) ≥ Xt− t > 0;

26 MICHALETZKY GY.

• az (Xt+,Ft+) folyamat szubmartingal, melynek trajektoriai jobbrol folytonos, balrolhatarertekkel rendelkezo fuggvenyek.

Itt Ft+ = ∩s>tFs es Ft− = σ(∪s<tFs).

Bizonyıtas. Mivel tetszoleges α < β eseten P (U[0,T ]∩Q(α, β,X) = ∞) = 0, ezert az elsoallıtas azonnal adodik.

Legyen most tn ∈ Q olyan sorozat, amely monoton csokkenve tart t-hez. Ekkor az n 7→ Xtn

sorozat fordıtott szubmartingal, melyre EXtn ≥ EXt, tehat az 1 valoszınusegu konvergaciajamellett egyenletesen integralhato, azaz L1-ben is konvergens. Tehat Xtn → Xt+ L1-ben. AzE(Xtn | Ft) ≥ Xt egyenlotlensegben a konvergencia elvegezheto a felteteles varhato ertekalatt.

Most vegyuk olyan tn ∈ Q sorozatot, amely monoton novekedve tart t-hez. Ekkor azn 7→ E(Xt | Ftn) sorozat regularis martingal, ezert az elozo gondolatmenet megismetelheto.Most az E(Xt | Ftn) ≥ Xtn egyenlotlensegben kell a hataratmenetet elvegezni.

Ez adja a masodik allıtas bizonyıtasat.Az utolso allıtas bizonyıtasahoz legyen most s < sn < t, ahol sn ∈ Q es sn tart-

son s-hez monoton csokkenve. Az E(Xt+ | Fsn) ≥ Xsn egyenlotlensegben elvegezheto ahatarertekkepzes. Adodik, hogy

E(Xt+ | Fs+) ≥ Xs+,

azaz a folyamat szubmartingal. Konstrukcioja alapjan (1 valoszınuseggel) trajektoriai jobb-rol folytonos fuggvenyek. Alkalmazva az elozo tetel kapjuk, hogy ekkor trajektoriai masodfajuszakadas nelkuliek is.

Theorem 8.4. Legyen (Xt,Ft) t ≥ 0 szubmartingal. Tegyuk fel, hogy az Ft σ-algebra folyameleget tesz az alabbi felteteleknek.

• Ft+ = Ft, tetszoleges t ≥ 0 eseten;• a F0 σ-algebra tartalmazza az osszes F∞ = σ(∪t≥0Ft)-be tartozo nullmerteku halmazt.

Ekkor az Xt folyamatnak akkor es csak akkor letezik jobbrol folytonos modifikacioja, ha at 7→ EXt fuggveny jobbrol folytonos.

Ha a σ-algebrafolyamra teljesulnek a fenti feltetelek, akkor azt mondjuk, hogy eleget tesza ”szokasos” felteteleknek.

Bizonyıtas. Tegyuk fel eloszor, hogy letezik jobbrol folytonos modifikacio. Legyen ez Xt.Ha most tn ↓ t, akkor Xtn → Xt 1 valoszınuseggel es L1-ben is, hiszen az n 7→ Xtn fordıtottszubmartingal, melyre EXtn ≥ EXt. Tehat EXtn → EXt.

Megfordıtva, tegyuk fel, hogy EXt jobbrol folytonos. Legyen most Xt = Xt+. MivelFt+ = Ft, ezert (Xt,Ft) szubmartingal. Ha most tn ↓ t, tn ∈ Q, akkor Xtn → Xt+ 1valoszınuseggel es L1-ben is, hiszen Xtn , n ≥ 1 egyenletesen integralhato. Tehat

EXt+ = limEXtn = EXt,

kihasznalva a varhato ertek fuggveny jobbrol folytonossagat.Azonban osszevetve ezt az E(Xt+ | Ft) ≥ Xt tulajdonsaggal kapjuk, hogy

P (Xt+ = Xt) = 1,

azaz Xt+ az eredeti folyamat modifikacioja. Vegyuk eszre, hogy ezen allıtas bizonyıtasa soran csak annyit hasznaltunk ki, hogy a σ-

algebrafolyam jobbrol folytonos.


Specialisan, a szokasos feltetelek teljesulese eseten minden martingalnak van jobbrol folytonosmodifikacioja, hiszen a varhato ertek fuggveny konstans. Sot az ıgy adodo folyamat tra-jektoriai balrol hatarertekkel rendelkeznek. Ezert kulon emlıtes nelkul mindig ilyen tra-jektoriaju martingalokat fogunk venni.

(A francia irodalom az ilyen trajektoriakat cadlag fuggvenynek nevezik. Az angolban kezdelterjedni a corlol jeloles. Magyarul - ezekhez hasonlo szellemben - talan a fojhab elnevezeslenne megfelelo.)

HF. Mutassuk meg, hogy az FWt = σ(Ws, s ≤ t) σ- algebrafolyam jobbrol folytonos.

(Ehhez nem eleg a trajektoriak folytonossaga, hiszen pl. a c|x|+, c ∈ R fuggvenycsaladeseten a nulla pillanat elotti ertekek altal generalt σ-algebra a trivialis, mıg a nulla pillanatutan a teljes Borel σ-algebrat megkapjuk.)

HF. Mutassuk meg, hogy az FWt ∨N (P ) t ≥ 0 σ-algebrafolyamra teljesulnek a szokasos

feltetelek, ahol N (P ) = A ∈ A | P (A) = 0.

9. Az Ito-integral es kiterjesztese

Terjunk vissza a sztochasztikus integral tulajdonsagaihoz. Az It(X) folyamat trajektoriaitkezdtuk el vizsgalni.

Theorem 9.1. Legyen X ∈ H2. Ekkor It(X), t ≥ 0 meghatarozhato ugy, hogy (1 valoszınuseggel)trajektoriai folytonos fuggvenyek legyenek.

Bizonyıtas. Mivel a folytonossag lokalis tulajdonsag, eleg - tetszoleges T eseten - a [0, T ]intervallumot tekinteni.

Legyen Xn ∈ H0 olyan folyamatsorozat, melyre Xn(t) = 0, ha t > T es

E(

∫ T

0

(Xn(t)−X(t))2dt) → 0.

Megmutatjuk, hogy ha ebben a konvergencia eleg gyors, akkor az It(Xn), 0 ≤ t ≤ T folya-matsorozat 1 valoszınuseggel egyenletes konvergal. Ehhez eleg peldaul, ha teljesul, hogy

E(

∫ T

0

(Xn(t)−Xn+1(t))2dt ≤ 1

2n

Ugyanis az It(Xn+1)− It(Xn) folyamat folytonos trajektoriaju martingal (Xn ∈ H0), ezertalkalmazhatjuk a maximalegyenlotlenseget. Tehat

P ( sup0≤t≤T

|It(Xn+1)− It(Xn)| ≥ 1

n2) ≤ n4

2n.

Borel-Cantelli lemma alkalmazhato. Ugyanakkor az 1n2 sor is szummabilis, tehat It(Xn) (1

valoszınuseggel) egyenletesen konvergens a [0, T ] intervallumon. Az elozo tetel fenyeben valahanyszor az It(X) sztochasztikus folyamatot vizsgaljuk, mindig

a folytonos trajektoriaju valtozatra gondolunk.

Mivel az IT (X) meghatarozasa soran az X folyamat T utan felvett ertekei mar nemjatszanak szerepet, hiszen szorozni kell a χ[0,T ] indikatorfuggvennyel, ezert ennek definıciojahoz

elegendo feltenni - a megfelelo merhetosegi tulajdonsag mellett -, hogy E(∫ T

0X2

t dt) < ∞.Ezt a folyamatosztalyt H2(T ) jeloli majd.

28 MICHALETZKY GY.

H2(T ) = Xt, 0 ≤ t ≤ T | X P −merheto, es E(

∫ T

0

X2t dt) <∞.

Lemma 9.1. Legyen X ∈ H2. Ekkor tetszoleges A ∈ Fs eseten

χA

∫ t

s

XdW =

∫ t

s

(XχA)dW,

ahol∫ t

sXdW =

∫ t

0XdW −

∫ s

0XdW =

∫Xχ(s,t]dW , ha s > 0.

Bizonyıtas. Az ehhez hasonlo tetelek bizonyıtasanak elegge termeszetes, bar gyakranfaradsagos, sok ırast igenylo modja az, ha eloszor megmutatjuk, hogy egyszeru folyamatokeseten fennall az allıtas, majd keresztuleroltetjuk a konvergencian.

Csak azt az esetet vizsgaljuk, amelyben s > 0. (Az s = 0 eset hasonloan kezelheto.)Ha X = Zχ(u,v], akkor∫ t

s

(XχA)dW = χAZ(Wmin(t,v) −Wmax(u,s)) = χA

∫ t

s

XdW.

A bizonyıtando egyenloseg mindket oldala linearis X szerint, ezert tehat tetszoleges H0-beli fuggvenyre teljesul. Ha most X ∈ H2, akkor letezik Xn ∈ H0 sorozat, mely L2(P × λ)-ben tart X-hez ugy, hogy E(

∫(Xn+1 − Xn)2) < 1

2n . Ekkor az It(Xn) folyamat trajektoriaiegyenletesen konvergalnak az It(X) folyamat trajektoriaihoz (legalabbis m.m. ω eseten).

Ugyanakkor XnχAχ(s,t] ∈ H0 es ennek hatarerteke XχAχ(s,t] es ismet fennall az integralokegyenletes konvergenciaja. Ezert∫ t

s

XndW →∫ t

s

XdW∫ t

s

XnχAdW →∫ t

s

XχAdW,

bizonyıtva a kıvant allıtast. Az alabbi kovetkezmeny azonnal adodik az elozo lemmabol.

Corollary 9.1. Legyen X ∈ H2 es Z korlatos, Fs merheto v.v.. Ekkor

Z

∫ t

s

XdW =

∫ t

s

ZX dW.

Tobbfele iranyban akarjuk a bevezetett integralfogalmat kiterjeszteni. Egyfelol bovıteniakarjuk az integralhato folyamatok osztalyat, masfelol masfajta folyamatok szerinti integraltis ertelmezni akarunk.

Vegyuk eszre, hogy burkoltan maris kiterjesztettuk az integralhato fuggvenyeinket, hiszeneleg, hogy a E(

∫ t

0X2

sds) veges legyen ahhoz, hogy az∫ t

0XsdWs ertelmezheto legyen. Tehat

elkepzelheto, hogy∞∫0

X2sds varhato erteke nem veges, de az It(X) integralok megis ertelmezhetoek.

Hiszen a veges idointervallumon vett negyzetintegral lehet veges varhato erteku. Sot, ha eza veges idointervallum az ω-tol fuggoen lehetne megvalaszthato, akkor meg bovebb folya-matosztalyt kaphatnank.


HaXs olyan folyamat, melyre P (∫∞

0X2

sds <∞) = 1, akkor tetszolegesN eseten definialhatjuka

τN = inft |∫ t

0

X2sds ≥ N

fuggvenyt, akkor egyfelol N → ∞ eseten P (τN → ∞) = 1, masfelol∫ τN

0X2

sds ≤ N , ıgyvarhato erteke veges.

Ket dolgot kell tehat csak ellenoriznunk: azXχ[0,τN ] folyamat josolhato, tehat ıgy aH2 osz-

talyba tartozik, tovabba hogy kell az∫ t

0(Xχ[0,τN ]dW integralokbol ”osszerakni” az

∫ t

0XdW

integralt, letezik-e valamilyen ertelemben vett hatarertek, ha N →∞.Tekintsuk eloszor a merhetoseg kerdeset. A χ[0,τN ] folyamat trajektoriaja balrol folytonos,

tehat elegendo az adaptaltsagot ellenorizni. A χ[0,τN ](t) v.v. ket erteket vesz csak fel, ezeppen a t ≤ τN halmaz indikatorfuggvenye. Ft-beli esemeny-e ez?

Vegyuk eszre, hogy t < τN = ∫ t

0X2

sds < N. Igy t ≤ τN = ∩s<ts < τN. Igaz-e,

hogy ∫ s

0X2

udu < N Fs merheto? Altalanosabban kerdezve,∫ s

0X2

udu Fs merheto v.v.-e?

Definition 9.1. Legyen 0 < T ≤ ∞. Az Xs, 0 ≤ s ≤ T folyamat progresszıven merheto, hatetszoleges 0 ≤ t ≤ T eseten, az Xχ[0,t] folyamat merheto az Ft × Bt σ-algebrara, ahol Bt a[0, t] intervallum Borel-halmazait jeloli.

Vegyuk eszre, hogy tetszoleges folytonos trajektoriaju, adaptalt folyamat progresszıvenmerheto is egyben.

Bizonyıtas nelkul fogjuk hasznalni az alabbi tetelt.

Theorem 9.2. Legyen 0 < T ≤ ∞, tovabba Xt, t ∈ [0, T ] olyan adaptalt folyamat, amelymerheto az FT × BT σ-algebrara.

Ekkor letezik olyan progresszıven merheto Yt folyamat,amelyre P (Xt = Yt) = 1 tetszoleges0 ≤ t ≤ T eseten.

Theorem 9.3. Ha teljesulnek az Ft, t ≥ 0 σ-algebrafolyamra a szokasos feltetelek, akkortetszoleges Xt, 0 ≤ t ≤ T adaptalt, merheto folyamat eseten a t 7→

∫ t

0Xsds folyamat adaptalt,

tehat progresszıven merheto.

Bizonyıtas. Az elozo tetel alapjan letezik Yt progresszıven merheto modifikacio, P (Xt =

Yt) = 1. Legyen Zt =∫ t

0Xsds, Gt =

∫ t

0Ysds. Ekkor

ω | Gt(ω) 6= Zt(ω) ⊂ ω | letezik olyan 0 ≤ s ≤ t melyre Xs(ω) 6= Ys(ω).

Azonban∫ T

0EχXs 6=Ysds = 0, tehat m.m. ω eseten λ(s | Xs(ω) 6= Ys(ω)) = 0. Az ilyen ω

eseten Gt(ω) = Zt(ω).Tehat P (Gt = Zt) = 1. Ugyanakkor a Gt folyamat nyilvanvaloan adaptalt. Mivel a feltetel

szerint F0 es ıgy minden Ft tartalmazza az F∞-beli 0 merteku halmazokat, ezert Zt is Ft

merheto. Alkalmazva ezt a tetelt a t 7→

∫ t

0X2

sds folyamatra kapjuk, hogy a szokasos feltetelek

mellett∫ t

0X2

sds Ft merheto, tehat a τN ≤ t = ∫ t

0X2

sds ≥ N halmaz Ft merheto.Maskeppen τN megallasi ido.

Definition 9.2. A τ : Ω → [0,∞] merheto lekepezest megallasi idonek nevezzuk – az Ft,t ≥ 0 σ-algebrafolyamra nezve –, ha tetszoleges t eseten

τ ≤ t ∈ Ft.

30 MICHALETZKY GY.

Definition 9.3. Legyen τ megallasi ido. Ekkor az

Fτ = A ∈ F∞ | A ∩ τ ≤ t ∈ Fta megallasi idohoz tartozo σ-algebra.

Az elozo tetel felhasznalhato aH0 alter lezartjanak plasztikusabb jellemzesere is. Nevezete-sen fennall a kovetkezo tetel.

Theorem 9.4. Legyen

H∗2 = Xt, t ≥ 0 | X ∈ L2(P × λ), F∞ × B merheto, adaptalt.

Tegyuk fel, hogy teljesulnek a szokasos feltetelek.Ekkor tetszoleges X ∈ H∗

2 eseten letezik olyan Xn ∈ H0 sorozat, melyre

E[

∫ ∞

0

(X −Xn)2dλ] → 0.

Bizonyıtas. Mivel Xχ[0,T ] → X es Xχ|X|≤N → X az L2(P ×λ)-terben, ezert eleg olyanfolyamatra igazolni az allıtas, amely korlatos es alkalmas T <∞ eseten X(s) = 0, ha s ≥ T .

Ha X folytonos trajektoriaju, akkor az

X(n)0 = X0

X(n)t = X kT

nha

kT

n< t ≤ (k + 1)T

nfolyamat tetszoleges n eseten H0-beli es

X(n) → X L2(P × λ)-ban,

hiszen a korlatossag miatt Lebesgue-tetele alkalmazhato.Ha X progresszıven merheto, akkor a Zt =

∫ t

0Xsds folyamat adaptalt, ezert az

X(n)t = n

t∫(t− 1

n)∨0

Xsds

integralkozepekbol allo folyamat folytonos trajektoriaju es

X(n) → X 1 valoszınuseggel,

ezert a korlatossag miatt L2(P × λ)-ban is.Ha teljesulnek a szokasos feltetelek a σ-algebrafolyamra, akkor az elobb definalt Zt folya-

mat mindig adaptalt lesz, tehat alkalmazhato az elozo gondolatmenet.

Ito eredeti bizonyıtasaban a kovetkezo gondolatmenetet hasznalta, amely nem epıt a σ-algebrafolyamra feltett szokasos feltetelekre.

Tegyuk fel, hogy a folyamat korlatos, es a [0, T ] halmazon kıvul erteke nulla. Terjesszukki a folyamatot a negatıv tartomanyba is: legyen Xs = 0, ha s < 0.

Tekintsuk a kovetkezo fuggvenyt:

φn(t) =j

2nha

j

2n< t ≤ (j + 1)

2n.

Ekkor t − 12n ≤ φn(t − s) + s < t. Sot, ha s erteket valtoztatjuk 0-tol 1-ig, akkor φn(t −

s) + s erteke j2n -rol indulva felno linearisan t-ig, majd onnan leugrik t − 1

2n -be, ismet no 1


meredekseggel t-ig. Altalanosan, ha s erteke [ i2n ,

i+12n ] kozott valtozik, akkor φn(t − s) + s

erteke befutja a [t− 12n , t] intervallumot.

Ezert

E

∫ T

0

∫ 1

0

|Xφn(t−s)+s −Xt|2dsdt = 2n

∫ 12n

0

E

∫ T

0

|Xt −Xt−h|2dt dh ≤

≤ max0≤h≤ 1

2n

E

∫ T

0

|Xt −Xt−h|2dt.

Azonban∫ T

0|Xt −Xt−h|2dt → 0, ha h → 0, ıgy a korlatossag miatt varhato erteke is, azaz

a [0, 12n ] intervallumon felvett maximuma is.

Felcserelve az integralasok sorrendjet, legkıvulre veve az s szerinti integralt, azt kapjuk,hogy a belso fuggvenyek s szerinti integralkozepe 0-hoz tart n→∞ eseten. Ezert van olyanreszsorozat, amely menten m.m. s ertekre a hatarertek nulla, azaz

E

∫ T

0

|Xφn(t−s)+s −Xt|2dt→ 0

alkalmas s ertek mellett, ha n megfelelo reszsorozat menten tart vegtelenbe. Ugyanakkor at 7→ Xφn(t−s)+s folyamat tetszoleges s eseten H0-beli.

Ha csak a [0, T ] intervallumon akarjuk tekinteni az integralt, akkor elegendo feltennunk,hogy a T -ig tekintett negyzetintegral varhato erteke veges, azaz - hasonloanH2(T ) definıciojahoz- bevezethetjuk az alabbi jelolest:

H∗2(T ) = Xt, 0 ≤ t ≤ T | X ∈ L2(Ω× [0, T ], P × λ), FT × B[0,T ] merheto, adaptalt.

Mivel korabban megmutattuk, hogy a H0 ter L2(P × λ)-beli lezartja a H2 ter, amelyjosolhato folyamatokat tartalmaz, ezert az elozo allıtas ugyis fogalmazhato, hogy mindenH∗

2-beli folyamat L2(P × λ)-szerinti ekvivalenciaosztalyaban van josolhato folyamat.Vegyuk eszre, hogy az Ito-fele bizonyıtas soran a kozelıto folyamatok adott ω helyen felvett

ertekeit az eredeti folyamat ugyazon ω-hoz tartozo ertekeibol allıtjuk elo.Specialisan, ha Xt = 0 az A halmazon, akkor kozelıtheto olyan lepcsos sztochasztikus

folyamatokkal, melyek szinten eltunnek az A pontjaiban. Ekkor azonban ezen egyszerufolyamatok integraljai is 0 erteket vesznek fel A-n, ıgy azok L2-beli hatarerteke is valaszthatoilyennek.

Osszefoglalva tehat, legyen 0 < T ≤ ∞ es A ∈ FT . Ha Xt(ω) = 0 ω ∈ A, 0 ≤ t ≤ Teseten, akkor ∫ T

0

XdW = 0 az A esemenyen.

Maskeppen, ha XtχA = YtχA, ha 0 ≤ t ≤ T , akkor

χA

∫ T

0

XdW = χA

∫ T

0

Y dW.

Azaz, jollehet a Wiener-folyamat szerinti sztochasztikus integral definicioja soran az in-tegral meghatarozasa nem ω-nkent tortenik - erre altalaban nincs is lehetoseg, hiszen aWiener-folyamat trajektoriai nem korlatos valtozasuak -, hanem az egesz Ω halmazon egy-szerre, megis van valamilyen lokalis jellege a kapott integralnak, hiszen az integrandusnak egy

32 MICHALETZKY GY.

adott esemenyen felvett ertekei mar meghatarozzak azon az esemenyen (m.m.) az integralerteket.

A kesobbiekben fontos lesz az alabbi lemma.

Lemma 9.2. Legyen τ korlatos megallasi ido. Ekkor letezik megallasi idok olyan monotoncsokkeno sorozata - τn -, melyre τn → τ es minden n-re τn csak veges sok erteket vesz fel.

Bizonyıtas. Legyen τn = k2n , ha k−1

2n < τ ≤ k2n , k = 0, 1, . . . . Ekkor τn ≥ τn+1 ≥ τ .

Tovabba τn → τ es

τn ≤ t = ∪k: k2n≤t

k − 1

2n< τ ≤ k

2n ∈ Ft.

Tehat τn megallasi ido.Vegyuk eszre, hogy a τn sorozat akkor is megkonstrualhato, ha τ nem korlatos, ekkor

esetleg a τn = ∞, ha τ = ∞ kikotessel ki kell egeszıteni, azonban ekkor a τn ertekkeszletenem feltetlenul veges, csak megszamlalhato.

Tetszoleges sztochasztikus folyamatot tekinthetunk megallasi idopontban is.

Lemma 9.3. Legyen τ megallasi ido, es X ∈ H2. Ekkor

Iτ (X) =

∫Xχ[0,τ ]dW.

Bizonyıtas. Tekintsunk eloszor olyan τ megallasi idot, amely veges sok erteket vesz fel.Legyenek ezek t1 < · · · < tk. Ekkor

Iτ (X) =∑

χτ=tj

∫Xχ[0,tj ]dW =

= χτ=tk

∫Xχ(tk−1,tk]dW + Iτ∧tk−1

(X) =

=

∫Xχτ=tkχ(tk−1,tk]dW + Iτ∧tk−1

(X) =

=

∫Xχτ=tkχ(tk−1,tk]dW +

∫Xχtk−1≤τ≤tkχ(tk−2,tk−1]dW + Iτ∧tk−2

(X) = . . .

=

∫Xχ[0,τ ]dW.

Ahol rendre azt hasznaljuk ki, hogy tj ≤ τ ≤ tk ∈ Ftj−1.

Ha most τ korlatos megallasi ido, akkor kozelıtheto monoton csokkenoen veges sok erteketfelvevo megallasi idokkel. Ekkor

Iτ (X) = lim Iτn(X) = lim

∫Xχ[0,τn]dW =

=

∫Xχ[0,τ ]dW,

ahol az elso egyenloseg soran a jobboldalon 1 valoszınusegu hatarerteket tekinthetunk, mertIt folytonos trajektoriaju, az utolso egyenlosegben viszont az L2(P )-beli hatarerteket ve-hetjuk, hiszen Xχ[0,τn] → Xχ[0,τ ] az L2(P × λ) terben.


Ha pedig τ nem korlatos, akkor a τ = limn

(τ ∧ n) eloallıtast hasznalhatjuk, hiszen ismet∫∞nE(X2

t χ[0,τ ])dt→ 0, ha n→∞.

Ezen lemma azonnali kovetkezmenye, hogy ha valamely τ megallasi ido eseten Xχ[0,τ ] ∈H2, akkor EIτ (X) = 0. Maskeppen fogalmazva, a nulla varhato erteku It(X) martingaltezen veletlen τ idopontban veve, tovabbra is nulla varhato erteku v.v-t kapunk.

Megjegyezzuk, hogy ez az allıtas nemcsak sztochasztikus integral alakjaban felırhato mar-tingalok eseteben igaz.

Altalanosabban a kovetkezo tetelt fogalmazhatjuk meg.

Theorem 9.5. Tegyuk fel, hogy 0 < T ≤ ∞ es legyen (Xt,Ft), t ∈ [0, T ] szubmartingal,melynek trajektoriai jobbrol folytonosak, τ : Ω → [0, T ] pedig megallasi ido. Ekkor

E(Xt∧τ | Fs) ≥ Xs∧τ ,

0 ≤ s ≤ t ≤ T eseten.Specialisan, ha Xt martingal, akkor a t→ Xt∧τ is martingal lesz.

Bizonyıtas. Eloljaroban megjegyezzuk, hogy a tetel feltetelei szerint T = ∞ esetenletezik az X∞ v.v., tehat a folyamat a vegso idopontban felvett ertekevel egyutt alkot szub-martingalt.

Eloszor tekintsuk azt az esetet, amikor t <∞ es t ∧ τ veges sok erteket vesz fel. Tegyukfel, hogy a t1 < t2 < · · · < tk halmaz tartalmazza ezeket az ertekeket, sot s-t is.

Ekkor - felteve, hogy tk−1 ≥ s -

E(Xt∧τ |Ftk−1) = χt∧τ=tkE(Xtk |Ftk−1

) + χt∧τ≤tk−1E(Xtk−1∧τ |Ftk−1) ≥

≥ Xtk−1∧τ ,

ahol az utolso egyenlotlenseg soran egyfelol a szubmartingal tulajdonsagot hasznaltuk ki,masfelol pedig azt, hogy Xtk−1∧τ merheto a feltetelkent tekintett σ-algebrara.

Tekintve most az Ftk−2szerinti felteteles varhato erteket - ha meg tk−2 ≥ s - es ıgy tovabb,

mıg el nem erjuk s erteket.Ezzel ezt az esetet bebizonyıtottuk. Tekintsuk most azt az esetet, amelyben t = ∞ es τ

nem korlatos megallasi ido, amely megszamlalhatoen vegtelen sok erteket vesz fel, azonbanertekkeszletenek csak a ∞-ben van torlodasi pontja. Tegyuk fel, hogy a t1, t2, . . . halmaztartalmazza a τ altal felvett ertekeket es az s idopontot. Vegyuk a τ ∧ n megallasi idoket.Ezekre alkalmazhato a mar bizonyıtott egyenlotlenseg, hiszen ertekkkeszletuk veges. Tehat

E(Xτ∧n | Fs) ≥ Xs∧τ∧n.

Ha n ≥ s, akkor a jobboldalon mar Xs∧τ all.Ugyanakkor lim

n→∞Xτ∧n = Xτ . (Ne feledjuk, hogy T = ∞ eseten X∞ ertelmezett.)

Megmutatjuk, hogy E(Xτ | Fs) ≥ lim supn→∞

E(Xτ∧n | Fs). Vegyuk eszre, hogy

E(XT | Fτ∧n) = χτ∧n=nE(XT | Fn) +∑

k, tk<n

χτ=tkE(XT | Ftk) ≥

≥ χτ∧n=nXn +∑

k, tk<n

χτ=tkXtk =

= Xτ∧n

34 MICHALETZKY GY.

Tehat E(|XT | | Fτ∧n) ≥ X+τ∧n. Ezert az X+

τ∧n, n = 1, 2, . . . egyenletesen integralhatohalmaz. Ezert azX+

τ∧n → X+τ konvergencia L1 is teljesul, mıg azX−

τ∧n → X−τ 1 valoszınusegu

konvergencia eseten a Fatou-lemma alkalmazhato. A felteteles varhato ertekeket veve

E(limX+τ∧n | Fs) = limE(X+

τ∧n | Fs),

esE(limX−

τ∧n | Fs) ≤ lim inf E(X−τ∧n | Fs).

Kepezve ezek kulonbseget, es alkalmazva a mar bizonyıtott egyenlotlenseget kapjuk, hogy

E(Xτ | Fs) ≥ lim supn→∞

E(Xτ∧n | Fs) ≥

≥ limn→∞

Xτ∧n∧s = Xτ∧s.

Vegul, ha most τ tetszoleges megallasi ido, akkor letezik olyan τn monoton csokkenomegallasi idosorozat, melynek elemei megszamlalhatoan vegtelen sok erteket vesznek fel, esertekkeszletuknek csak ∞-ben lehet torlodasi pontja, tovabba amely t ∧ τ -hoz konvergal.Ekkor E(Xτn |Fs) ≥ Xs∧τn . A jobboldal hatarerteke Xs∧τ , hiszen X trajektoriai jobbrolfolytonosak. Hasonloan, Xτn hatarerteke Xt∧τ . Tovabba az n 7→ Xτn sorozat fordıtottszubmartingal, melyre E(Xτn) ≥ E(X0) (az s = 0, t ∧ τ = τn valasztassal alkalmazva a

mar bizonyıtott reszt), tehat elemei egyenletesen integralhatoak. Igy az L1 konvergencia isteljesul, ezert a baloldal hatarerteke E(Xt∧τ | Fs).

Ha Xt martingal, akkor Xt es −Xt is szubmartingal, amelyekre alkalmazhato az elobbbizonyıtott allıtas.

Az Ito-integral kiterjesztesehez szuksegunk van az alabbi egyenlotlensegre.

Theorem 9.6 (Szkorohod-egyenlotlenseg). Tegyuk fel, hogy teljesulnek a szokasos feltetelek.Legyen 0 < T ≤ ∞ N ≥ 0 es X ∈ H2(T ). Vezessuk be a kovetkezo megallasi idot.

τN = inft |t∫

0

X2sds ≥ N.

Jelolje I∗T (X) = sup0≤t≤T

|∫ t

0XsdWs|. Ekkor tetszoleges A ∈ FT es λ > 0 eseten

P (A ∩ I∗T (X) ≥ λ) ≤ N

λ2+ P (A ∩

∫ T

0

X2sds > N)

Bizonyıtas. Mivel a ∫ T

0X2

sds ≤ N esemenyen Xt = Xtχ[0,τN ], ha 0 ≤ t ≤ T , ezertIt(X) = It(Xχ[0,τN ]), 0 ≤ t ≤ T .

Igy

P (A ∩ (I∗T (X) ≥ λ)) ≤ P (A ∩ [(I∗T (Xχ[0,τN ]) ≥ λ) ∪ ( sup0≤t≤T

|It(X)− It(Xχ[0,τN ])| > 0)]) ≤

≤ P (I∗T (Xχ[0,τN ]) ≥ λ) + P (A ∩ (

∫ T

0

X2sds > N)) ≤

≤ N

λ2+ P (A ∩ (

∫ T

0

X2sds > N)),

ahol az utolso lepesben az elso tagra a maximalegyenlotlenseget hasznaltuk.


A maximalegyenlotlenseg erosebb valtozatanak hasznalataval Nλ2 helyett

1

λ2

∫I∗T (X)≥λ

I2τN

(X)dP

ırhato.A Szkorohod-egyenlotlenseg alkalmazasaval kibovıthetjuk a lehetseges integrandusok hal-

mazat.

Lemma 9.4. Legyen 0 < T ≤ ∞, tovabba Xn ∈ H2(T ) (vagy Xn ∈ H∗2(T )) olyan sztochasz-

tikus folyamatok sorozata, melyre alkalmas X folyamat eseten∫ T

0

(X(t)−Xn(t))2dt→ 0.

Ekkor az∫ T

0XndW sztochasztikus integralok sorozata sztochasztikusan konvergens.

Bizonyıtas. Valasszunk valamilyen ε > 0 szamot. Ekkor tetszoleges δ > 0 eseten aSzkorohod-egyenlotlenseg alkalmazasaval kapjuk, hogy

lim supn,m→∞

P ( sup0≤t≤T

|∫ t

0

XndW −∫ t

0

XmdW | ≥ δ) ≤ ε

δ2+lim sup

n,m→∞P (

∫ T

0

(Xn−Xm)2dλ > ε) =ε

δ2

Mivel ε tetszoleges volt, ezert adodik, hogy∫ T

0XndW sztochasztikusan Cauchy-konvergens,

tehat a lemma allıtasa fennall. Igy tehat minden olyan X folyamatra, amely approximalhato a lemmaban megadott

ertelemben H2(T )-beli folyamatokkal, ertelmezheto a sztochasztikus integral, mint az in-tegralok sztochasztikus limesze.

Legyenek

S = Xt, t ≥ 0 | X P −merheto, P (

∫ ∞

0

X2t dt <∞) = 1

S(T ) = Xt, t ≥ 0 | X P −merheto, P (

∫ T

0

X2t dt <∞) = 1

S∗ = Xt, t ≥ 0 | X F∞ × B −merheto, adaptalt P (

∫ ∞

0

X2t dt <∞) = 1

S∗(T ) = Xt, t ≥ 0 | X FT × B[0,T ] −merheto, adaptalt P (

∫ T

0

X2t dt <∞) = 1

Ha most X ∈ S, akkor tekintsuk ismet a τN = inft |∫ t

0X2

sds ≥ N megallasi idot. Mivela χ[0,τn] folyamat josolhato, ezert XN = Xχ[0,τN ] ∈ H2 es∫ ∞

0

(X −XN)2dλ =

∫ ∞

0

X2sχ(τN ,∞)(s)ds→ 0

1 valoszınuseggel, hiszen az∫∞

0X2

sds integral m.m. veges.Legyen tehat

I(X) =

∫ ∞

0

XdW = limN→∞

I(XN),

ahol az utobbi konvergencia sztochasztikus ertelemben veendo.

36 MICHALETZKY GY.

Ugyanıgy vizsgalhato a masik harom fuggvenyosztaly is.MivelXN kozelıthetoH0-beli folyamatok segıtsegevel, ezert megmutathato, hogy tetszoleges

X ∈ S eseten leteznek olyan Xn ∈ H0 folyamatok, melyekre∫∞

0(X − Xn)2dλ → 0 (sz-

tochasztikusan).

Ha Xn ∈ H2 (vagy Xn ∈ H0) olyan gyorsan konvergalo sorozat, melyre

P (

∫ ∞

0

(X −Xn)2dλ > 4−n) ≤ 4−n,

akkor a Szkorohod-egyenlotlenseg alapjan m > n eseten

P ( sup0≤t≤T

|∫ t

0

XndW−∫ t

0

XmdW | > 2−n2 ) ≤ P (

∫ T

0

(Xn−Xm)2dλ > 41−n)+41−n

2−n≤ 2·4−n+4·2−n.

Ezert a Riesz-lemma alkalmazhato, es ıgy az∫ t

0XndW integralok sorozat a [0, T ] intervallu-

mon 1 valoszınuseggel egyenletesen konvergens. Tehat∫ t

0XdW meghatarozhato ugy, hogy

trajektoriai folytonos fuggvenyek legyenek.Terjunk vissza ismet a τN megallasi idok segıtsegevel megkonstrualt XN kozelıto sorozat-

hoz. Mivel τN ≤ τN+1 ezert

χ[0,τN ](t)

∫ t

0

XNdW = χ[0,τN ](t)

∫ t

0

XMdW,

ha M ≥ N . Maskeppen fogalmazva, ha ΩN(T ) = (τN ≥ T ), akkor az∫ t

0XndW sztochasz-

tikus integral erteke 0 ≤ t ≤ T eseten az ΩN(T ) halmazon n ≥ N eseten mar nem valtozik,

ha n erteket noveljuk, ha tehat a vegtelenbe tartunk vele. Tehat ez lesz itt az∫ t

0XdW erteke

is. Mivel P (∪NΩN(T )) = 1, ezert ismet adodik, hogy az∫ t

0XdW trajektoriai folytonosnak

valaszthatoak.

Sot, az is adodik, hogy a t 7→ It∧τN(X) folyamat martingal, hiszen megegyezik It(XN)

ertekevel.

Definition 9.4. A Zt, t ≥ 0 folyamat lokalis martingal, ha letezik olyan τ1 ≤ τ2 ≤ . . .megallasi idosorozat, melyre P (τn → ∞) = 1 es tetszoleges n eseten a t 7→ Zt∧τn folyamatmartingal.

Ehhez hasonloan lehet tetszoleges tulajdonsag lokalis valtozatat definialni.

Ezzel a terminologiaval elve azt mutattuk meg tehat, hogy X ∈ S eseten It(X) lokalismartingal.

HF. Mutassuk meg, hogy ha Zt nemnegatıv lokalis martingal, akkor egyben szupermar-tingal is!

Lemma 9.5. Legyen X ∈ S, tovabba τ tetszoleges megallasi ido. Ekkor Iτ (X) = I(Xχ[0,τ ]).

Bizonyıtas. Tekintsuk a τN megallasi idok sorozatat. Ekkor limN→∞

IτN∧τ (X) = Iτ (X) 1

valoszınuseggel, hiszen It(X) trajektoriai folytonos fuggvenyek.


Ugyanakkor IτN∧t(X) = It(XN), tehat IτN∧τ (X) = Iτ (XN). Ezert

Iτ (X) = limN→∞

Iτ (XN) =

= lim I(Xχ[0,τN ]χ[0,τ ]) =

= I(Xχ[0,τ ]),

az utolso hatarerteket sztochasztikus ertelemben veve, hiszen∫(Xχ[0,τ∧τN ] −Xχ[0,τ ])

2 → 0,

ha N →∞.

10. Negyzetesen integralhato martingalok szerinti sztochasztikus integral

Terjunk at most az Ito-integral egy masik fajta kiterjesztesere. Ebben a Wiener-folyamathelyett masfajta folyamat szerint szeretnenk integralni. Az Ito-integral konstrukciojanakalapeleme az izometria volt. Ennek megorzeset - amint azt majd kesobb latni fogjuk - teszilehetove az alabbi tulajdonsag.

Elobb szuksegunk van egy definıciora.

Definition 10.1. Az Xt, t ≥ 0 folyamatrol azt mondjuk, hogy a DL osztalyba tartozik, hatetszoleges a <∞ eseten az

Xτ | τ megallasi ido, P (τ ≤ a) = 1

halmaz egyenletesen integralhato.

Theorem 10.1 (Doob-Meyer felbontas). Tegyuk fel, hogy a σ-algebrafolyamra teljesulnek aszokasos feltetelek. Legyen (Xt,Ft), t ≥ 0 jobbrol folytonos trajektoriaju, DL-beli szubmart-ingal. Ekkor Xt felırhato

Xt = Mt + At

alakban, ahol (Mt,Ft) martingal, az At folyamat trajektoriai monoton nonek, A0 = 0.

Bizonyıtas. Nyilvan elegendo a felbontast veges intervallumon bizonyıtani. Legyen tehatT <∞.

A folytonos parameteru esetet vissza akarjuk vezetni a diszkret parameter eseteben fennalloDoob-felbontasra.

Ha a keresett felbontas teljesul, akkor konnyen lathato, hogy

At = E(AT |Ft) +Xt − E(XT |Ft)

kell teljesuljon, azaz elegendo AT erteket meghatarozni.

Legyen most 0 = t(n)0 < t

(n)1 < · · · < t

(n)kn

= T valamilyen finomodo felosztassorozat.Ekkor tetszoleges n eseten a k 7→ X

t(n)k

szubmartingal, melyre alkalmazhatjuk tehat a Doob-

felbontast. Ebben

A(n)

t(n)k

=k−1∑j=0

E(Xt(n)j+1−X

t(n)j| F

t(n)j

).

38 MICHALETZKY GY.

Megmutatjuk, hogy az A(n)T sorozat egyenletesen integralhato. Mivel az egyenletes integ-

ralhatosag ekvivalens azzal, hogy a halmaz az L1(P ) ternek a gyenge topologiaban re-latıv kompakt reszhalmaza, ezert tehat letezik - a gyenge topologiaban - torlodaspont. Ezdefinialja majd AT erteket.

Valasszunk valamely c <∞ szamot es legyen

τ (n)c =

inft(n)

k−1 | A(n)

t(n)k

> c

T ha a fenti halmaz ures

Vezessuk be az Yt = Xt − E(XT | Ft) jelolest. Mivel tetszoleges regularis martingal a DLosztalyba tartozik, ezert az Yt folyamat is DL-beli.

Vegyuk eszre, hogy a Doob-felbontasbol adodoan A(n)

t(n)k

− E(A(n)T | F

t(n)k

) = Yt(n)k

.

Ekkor tehat ∫A(n)

T >c

A(n)T dP =

∫τ (n)

c <T

A(n)T dP =

=

∫τ (n)

c <T

A(n)

τ(n)c

dP −∫

τ (n)c <T

Yτ(n)cdP ≤

≤ cP (τ (n)c < T )−

∫τ (n)

c <T

Yτ(n)cdP,

hiszen a τ(n)c idopontban az A

(n)

t(n)k

folyamat erteke meg c alatt van.

Ugyanakkor

−∫

τ (n)c2

<T

Yτ(n)c2

dP =

∫τ (n)

c2

<T

(A(n)T − A

(n)

τ(n)c2

)dP ≥

≥∫

τ (n)c <T

(A(n)T − A

(n)

τ(n)c2

)dP ≥

≥ c

2P (τ (n)

c < T ).

Az elso egyenlotlenseg soran azt hasznaltuk ki, hogy a (τ(n)c2

< T ) ⊃ (τ(n)c < T ) es hogy

az A(n)

t(n)k

folyamat k-ban monoton no. Az utolso egyenlotlenseg pedig abbol adodik, hogy a

(τ(n)c < T ) halmazon A

(n)T > c, mıg A

τ(n)c2

)≤ c

2.

Osszevetve a ket egyenlotlenseget kapjuk, hogy∫A(n)

T >c

A(n)T dP ≤ −

∫τ (n)

c <T

Yτ(n)cdP − 2

∫τ (n)

c2

<T

Yτ(n)c2

dP


Az Yτ(n)c2

es Yτ(n)c

v.v.-k egyenletesen integralhatoak. Emellett

P (τ (n)c < T ) = P (A

(n)T > c) ≤ E(A

(n)T ))

c=E(XT )− E(X0)

c,

tehat az integralasi tartomanyok valoszınusege egyenletesen kicsiny, ha c eleg nagy. Ezert az

integralok erteke is kicsi marad, azaz A(n)T egyenletesen integralhato.

Legyen AT gyenge torlodasi pont, A(nj)T → AT es definialja az At folyamatot az

At = Yt + E(AT | Ft)

egyenlet. Feltehetjuk, hogy At jobbrol folytonos trajektoriaju, mivel a szokasos feltetelekteljesulnek.

Ugyanakkor, mivel a felteteles varhato ertek operator az L1 ter gyenge topologiajaban

folytonos, ezert teljesul az A(nj)t → At konvergencia is. Mivel az A

(n)

t(n)j

sorozat monoton volt,

ezert ha egymasba agyazott felosztasok sorozatat vesszuk, akkor adodik, hogy ez a mono-tonitas - a felosztasok pontjaiban - atoroklodik a hatarertekre; m.m. formaban. Tehat az At

folyamat a felosztassorozat pontjaiban 1 valoszınuseggel monoton novekvo. Az egyebkentmar megallapıtott jobbrol folytonossag miatt azonban a teljes trajektoria is monoton novekvolesz.

Az Mt = Xt − At folyamat nyilvanvaloan martingal.

HF. Mutassuk meg, hogy a fent megkonstrualt At folyamatra teljesul az

E(NTAT ) = E(

∫ T

0

Nt−dAt)

azonossag, ahol Nt tetszoleges korlatos martingal.HF. Mutassuk meg, hogy ha megkoveteljuk ezt a tovabbi tulajdonsagot is, akkor a Doob-

Meyer-felbontas egyertelmu.HF. Mutassuk meg, hogy az ıgy megkonstrualt At folyamat P merheto.

Ha (Mt,Ft) negyzetesen integralhato martingal, (azaz EM2t < ∞ 0 ≤ t < ∞ eseten,

maskeppen M ∈ M2), akkor M2t szubmartingal lesz, amely DL-beli - hiszen 0 ≤ M2

τ ≤E(M2

T | Fτ ) es az E(M2T | G) fuggvenyhalmaz, ha G vegigfut azA resz σ-algebrain, egyenlete-

sen integralhato. Alkalmazhato tehat a Doob-Meyer-felbontas. Az adodo novekvo folyama-tot jelolje

< M >t .

Ekkor tehat M2t − < M >t martingal.

HF. Legyen M ∈M2 folytonos trajektoriaju martingal. (Azaz M ∈Mc2.) Mutassuk meg,

hogy ekkor ∑(Mtk+1

−Mtk)2 →< M >T

sztochasztikusan, ha 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T egyre finomodo felosztassorozatat adjak a[0, T ] intervallumnak.

A martingal szerinti sztochasztikus integral fogalmanak kiepıteset is az egyszeru folyamatintegraljanak definıciojaval kezdjuk. Termeszetesen tegyuk fel, hogy tovabbra is teljesulneka szokasos feltetelek, ıgy tetszoleges martingalnak letezik jobbrol folytonos modifikacioja.

40 MICHALETZKY GY.

Legyen tehat X ∈ H0. X =∑Zkχ(tk,tk+1] + Z0χ0 es M ∈M2. Definialjuk az IM(X) =∫

XdM integralt a kovetkezokeppen:∫XdM =

∑Zk(Mtk+1

−Mtk).

Ekkor az E(Zk(Mtk+1−Mtk) | Ftk) = 0 tulajdonsag miatt

E[(

∫XdM)2] =

∑E[Z2

k(Mtk+1−Mtk)

2) =

=∑

E(Z2kE[M2

tk+1−M2

tk| Ftk ]) =

=∑

E(Z2k(< M >tk+1

− < M >tk)) =

= E

∫X2

t d < M >t .

Tehat a H0 teren a d < M >t dP mertek altal meghatarozott L2 normat tekintve kapunkmost izometriat.

Ez az izometria ismet kiterjesztheto a generalt zart alterre. Igy az alabbi teret kapjuk:

HM2 = Xt, t ≥ 0 | X P −merheto, E(

∫ ∞

0

X2t d < M >t) <∞.

Ugyanugy, mint korabban, legyen IMt (X) =

∫ t

0XdM = IM(Xχ[0,t]). Ez martingal lesz

H0-beli integrandusok eseten es az L2 limesz miatt tehat HM2 -beli integrandusok eseten is.

Az IMt (X) folyamat trajektoriai jobbrol folytonosak az egyszeru folyamatok eseten, ezert

ismet bizonyıthato a maximalegyenlotlenseg, melynek kovetkezmenyekent kapjuk, hogy akonvergencia 1 valoszınuseggel egyenletesse teheto, tehat specialisan, ha M ∈ Mc

2, azazfolytonos trajektoriaju, akkor IM

t (X) is megvalaszthato folytonos trajektoriajunak.

A Wiener-folyamat szerinti integral tulajdonsagaihoz hasonloan most is igazolhato, hogyegyfelol, ha A ∈ Fs, akkor

χA

∫ t

s

XdM =

∫ t

s

χAX dM,

masfelol pedig ha τ megallasi ido, akkor

IMτ (X) = IM(Xχ[0, τ ]).

Erdemes azonban itt meg egy fontos aprosagra felhıvni a figyelmet. Ha X = Z0χ0 +∑k Zkχ(tk, tk+1] ∈ H0 es τ megallasi ido, akkor

IMτ (X) =

∑Zk(Mtk+1∧τ −Mtk∧τ ) = IM

′

τ (X),

ahol M′t = Mt∧τ a megallıtott martingal.

Ha X ∈ HM2 , akkor a t 7→ Nt =

∫ t

0XsdMs folyamat negyzetesen integralhato martingal.

Mi az Nt folyamat kvadratikus variacioja?Amint lattuk az A ∈ Fs esemeny indikator valtozoja ”beviheto” az

∫ t

sala. Ezert∫

A

(

∫ t

s

Xu dMu)2dP = E(

∫ t

s

χAX2ud < M >u) =

∫A

(

∫ t

s

X2ud < M >u)dP.


Azaz

E((Nt −Ns)2 −

∫ t

s

X2ud < M >u | Fs) = 0,

tehat N2t −

∫ t

0X2

ud < M >u martingal. Ezert

< N >t=

∫ t

0

X2ud < M >u .

Az Nt folyamat szerint is keszıthetunk sztochasztikus integralt. Visszavezethetoek-e ezekaz integralok az eredeti M martingal szerinti sztochasztikus integralra?

Lemma 10.1. Legyen M ∈Mc2, tovabba X ∈ HM

2 , Nt =∫ t

0Xs dMs.

Ekkor, ha Z ∈ HN2 , akkor Z ·X ∈ HM

2 es∫ t

0

Zs dNs =

∫ t

0

ZsXs dMs.

Bizonyıtas. Mivel E∫ t

0Z2

sd < N >s= E∫ t

0Z2

sX2sd < M >s, ezert az elso allıtas azonnal

adodik.Legyen most Z = χAχ(u, r], ahol 0 ≤ u ≤ r ≤ t es A ∈ Fu. Ekkor

∫ t

0ZsdNs = χA(Nr −

Nu) =∫ r

uχAXsdMs =

∫ t

0ZsXsdMs.

A linearitast alkalmazva kapjuk, hogy HN2 suru reszhalmazan teljesul az allıtas. L2-beli

konvergenciat veve es az izometriat alkalmazva adodik, hogy Z ∈ HN2 eseten is igaz.

A Wiener-folyamat szerinti integral felepıtese soran lattuk, hogy H2 helyett tekinthetjuka H∗

2 halmazt is, ezek P × λ szerinti ekvivalenciaosztalyai egybeesnek.Ebbol azonnal adodik, hogy ha a t 7→< M >t (ω) fuggveny (m.m. ω eseten) abszolut

folytonos, akkor a dP × dλ szerinti nulla merteku halmazok egyben dP × d < M >t szerintis nulla-mertekuek, azaz a

Xt, t ≥ 0 | X adaptalt F∞ × B −merheto, E(

∫X2

t d < M >t) <∞

halmaz tetszoleges elemehez talalhato vele dP × d < M >t m.m. megegyezo josolhatofolyamat. Ezert az M szerinti sztochasztikus integral a fenti osztalyon is ertelmezheto.

11. Az Ito-formula

Definition 11.1. Legyen 0 < T ≤ ∞. Az (Xt,Ft) folyamatot Ito-folyamatnak nevezzuk, ha

leteznek olyan at, bt, t ∈ [0, T ] adaptalt, merheto folyamatok, melyre P (∫ T

0|at|dt <∞) = 1,

P (∫ T

0b2tdt <∞) = 1, es

Xt = X0 +

∫ t

0

asds+

∫ t

0

bsdWs.

42 MICHALETZKY GY.

Theorem 11.1. Legyen X Ito-folyamat es tegyuk fel, hogy az f : [0, T ] × R → R fuggvenya C1,2 osztalyba tartozik, azaz az elso valtozoja szerint egyszer, a masodik szerint ketszerfolytonosan derivalhato.

Ekkor f(t,Xt) is Ito-folyamat, melyre

f(u,Xu) = f(0, X0) +

∫ u

0

[∂f

∂t(t,Xt) +

∂f

∂x(t,Xt)at +

1

2

∂2f

∂x2(t,Xt)b

2t ]dt+

∫ t

0

∂f

∂x(t,Xt)btdWt.

Bizonyıtas. Feltehetjuk, hogy a, b egyszeru folyamatok. Ugyanis, az altalanos a, b folyam-atokhoz leteznek olyan an, bn egyszeru folyamatokbol allo sorozatok, melyekre

∫|a−an| → 0,∫

(b − bn)2 → 0 1 valoszınuseggel, tovabba∫bndW →

∫bdW 1 valoszınuseggel t szerint

egyenletesen.Ekkor az

Xnt = X0 +

∫ t

0

an(s)ds+

∫ t

0

bn(s)dWs → Xt

t-ben egyenletesen.Kozvetlenul ellenorizheto, hogy ekkor az Ito-formula jobboldalan levo tagok is konvergalnak.

A Lebesgue-integralt tartalmazo tagokat rogzıtett ω mellett nezhetjuk, ekkor az Xnt (ω)

0 ≤ t ≤ u ertekei korlatos halmazban maradnak, azon pedig f derivaltjai egyenlete-sen folytonosak. A Wiener-folyamat szerinti integral eseten pedig megmutathato, hogy∫ t

0(∂f

∂x(t,Xt)bt − ∂f

∂x(t,Xn

t )bn(t))2dt→ 0 1 valoszınuseggel, tehat az utolso tag is konvergens.Ha most a, b egyszeru folyamatok, akkor elegendo az Ito-formulat az egyes ugrasok kozotti

szakaszokon kulon-kulon ellenorizni.Feltehetjuk tehat, hogy at(ω) = a(ω), bt(ω) = b(ω), ha 0 ≤ t ≤ T .Vegyuk ekkor a [0, T ] intervallum felosztasat. 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T . Ekkor

f(T,XT )− f(0, X0) =∑

[f(tk, Xtk)− f(tk−1, Xtk ] +

+∑

[f(tk−1, Xtk)− f(tk−1, X0 + atk−1 + bWtk)] +

+∑

[f(tk−1, X0 + atk−1 + bWtk)− f(tk−1, Xtk−1)].

Taylor sorfejtest alkalmazunk az egyes tagokra - kozbulso helyen felvett erteket tartalmazomaradektaggal. Az elso ket tagban az elso derivaltig megyunk el, az utolso tagban a masodikderivaltig. Ezutan az egyes derivaltak kozbulso helyen felvett erteket helyettesıteni akarjuka baloldali pontban felvett ertekkel. Az ekkor jelentkezo hibat becsuljuk meg - rogzıtett ωeseten.

supk|∂f∂t

(tk−1 + θk, Xtk)−∂f

∂t(tk−1, Xtk−1

)| → 0

hiszen a t,Xt(ω) 0 ≤ t ≤ T ertekek kompakt halmazba foglalhatoak. Ezert az elso tag

hatarerteke∫ T

0∂f∂t

(t,Xt)dt.Hasonloan

supk|∂f∂x

(tk−1, X0 + a(tk−1 + θ′

k) + bWtk)−∂f

∂x(tk−1, X0 + atk−1 + bWtk−1

)| → 0

ugyanolyan okokbol, tehat a masodik tag hatarerteke∫ T

0∂f∂x

(t,Xt)a dt.


∑ ∂f

∂x(tk−1, Xtk−1

)b(Wtk −Wtk−1) →

∫ T

0

∂f

∂x(t,Xt)bdWt,

hiszen a∑ ∂f

∂x(tk−1, Xtk−1

)χ(tk−1,tk] → ∂f∂x

(t,Xt) a [0, T ] intervallumon egyenletesen.A masodik derivaltat tartalmazo tag eseteben

γn = sup |∂2f

∂x2(tk−1, X0 + atk−1 + b(Wtk−1

+ θ′′

k))− ∂2f

∂x2(tk−1, Xtk−1

)| → 0,

hiszen Wtk−1+θ

′′

k a Wtk−1es Wtk kozotti valamilyen kozbulso pont, ezert a ∂2f

∂x2 argumentuma- rogzıtett ω eseten - valamilyen kompakt halmazba esik, tehat a masodik derivalt egyenletesfolytonossaga hasznalhato.

Ezert γn

∑(Wtk − Wtk−1

)2 → 0 1 valoszınuseggel is, ha a felosztassorozat eleg gyorsanfinomodik.

A megmarado kifejezes

b2∑ 1

2

∂2f


)(Wtk −Wtk−1)2.

Azt akarjuk megmutatni, hogy itt a Wiener-folyamat novekmenynegyzete kicserelheto annakvarhato ertekevel. Azaz∑ ∂2f


)[(Wtk −Wtk−1)2 − (tk − tk−1)] → 0,

sztochasztikusan.Azt hasznaljuk ki, hogy az elso tenyezo Ftk−1

merheto, tehat az osszeadandok mar-tingaldifferenciak.

Elobb azonban korlatossa tesszuk. Valasszunk valamely N szamot es legyen χ(N)k−1 jelolje

annak indikatorfuggvenyet, hogy max0≤j≤k−1

(|Wtj | ≤ N), (|X0| ≤ N), tovabba (|a| ≤ N) es

(|b| ≤ N).Ekkor

E∑

χ(N)k−1

∂2f


)[(Wtk −Wtk−1)2 − (tk − tk−1)2 =

=∑

E[χ(N)k−1

∂2f


)]2 · E[(Wtk −Wtk−1)2 − (tk − tk−1)]

2 ≤

≤ max0≤t≤T,|x0|≤N,|x|≤N,|a|≤N,|b|≤N

|∂2f

∂x2(t, x0 + at+ bx)|2

∑2(tk − tk−1)

2 → 0.

Emellett a

P ( sup0≤t≤T

|Wt| > N) + P (|X0| > N) + P (|a| > N) + P (|b| > N) → 0

osszefugges mutatja, hogy a sztochasztikus konvergencia valoban fennall.Ezert az utolso tag hatarerteke ∫ T

0

1

2

∂2f

∂x2(t,Xt)b

2dt,

bizonyıtva a kıvant allıtast.

44 MICHALETZKY GY.

Az Ito-formula tobbdimenzios altalanosıtasat bizonyıtas nelkul mondjuk csak ki. Igazolasaaz egy-dimenzios esethez hasonloan tortenhet, az egyetlen nehezseg csak az indexek kezelese.

Legyen tehat W (t) = ((W1(t),W2(t), . . . ,Wn(t)),Ft) n-dimenzios Wiener-folyamat, azazW1,W2, . . . ,Wn folyamatok tetszoleges s idopont utani novekmenyei egymastol is es az Fs σ-algebratol is fuggetlenek, tovabba (Wk(t),Ft) minden k = 1, . . . , n eseten Wiener-folyamat.Roviden W (t) jeloli majd az n-dimenzios folyamatot.

Tegyuk fel, hogy a p dimenzios X(t) folyamat az alabbi alakban allıthato elo:

X(t) = X0 +

∫ t

0

a(s)ds+

∫ t

0

b(s)dW (s),

ahol a p dimenzios vektor-, b pedig p× n meretu matrixerteku folyamat, melyekre

P (

∫ T

0

‖a(s)‖ds <∞) = 1 P (

∫ T

0

‖b(s)‖2ds <∞) = 1,

tovabba teljesulnek rajuk a szokasos merhetosegi feltetelek.Legyen f : [0, T ] × Rp → R az elso valtozojaban egyszer, mıg a tobbi szerint ketszer

folytonosan derivalthato fuggveny. Ekkor az f(t,X(t)) folyamat Ito-folyamat lesz, melyre

f(t,X(t)) = f(0, X(0)) +

∫ t

0

[∂f

∂t+

∑i

∂f

∂xi

ai +1

2

∑i,j

∂2f

∂xi∂xj

∑l

bi,lbj,l]ds

+

∫ t

0

∑i,l

∂f

∂xi

bi,ldWl =

= f(0, X(0)) +

∫ t

0

[∂f

∂t+ gradfa+

1

2trbT

∂2f

∂x2b] ds+

+

∫ t

0

gradfb dW,

ahol a jobboldalon szereplo derivaltfuggvenyek argumentuma mindig (s,X(s)).

Az Ito-formula nehany alkalmazasat mutatjuk most be.Legyen Wt, d-dimenzios Wiener-folyamat. Alkalmazzuk az Ito-formulat az f(x) =

∑x2

i

fuggvenyre. Ekkor

f(Wt) = f(0) +∑

i

∫ t

0

∂f

∂xi

(Ws) dWi(s) +1

2

∫ t

0

∑ ∂2f

∂x2i

(Ws)ds =

=

∫ t

0

∑2Wi(s)dWi(s) + d

∫ t

0

ds

Az elso osszeadando martingal. Tekintsuk a kovetkezo megallasi idot:

τR = inft||Wt| ≥ R.Az Ito-formulabol adodott kifejezest a τR idopontban tekintve az elso tag varhato ertekenulla lesz, hiszen a megallasi idopontban vett sztochasztikus integral felırhato ugy, mint amegallıtott folyamat - amely H2-beli - integralja, ezert varhato erteke nulla. Kapjuk, hogy

dE(τR) = E(f(WτR)) = R2.


(Itt kihasznaltuk, hogy P (τR <∞) = 1.)

Legyen most d = 2. Tekintsuk az ln(‖z +W (t)‖) folyamatot, es legyen r < ‖z‖ < R. AzIto-formula alkalmazasaval azt kapjuk, hogy

ln(‖z +W (t)‖) = ln(‖z‖) +

∫ t

0

(z +W (s))T

‖z +W (s)‖2dW (s).

Ha ezt most abban a τ veletlen idopontban tekintjuk, amikor a folyamat eleri az r vagy Rsugaru gomb valamelyikenek felszınet, akkor varhato erteket veve kapjuk, hogy

[lnR]P (‖z +W (τ)‖ = R) + [ln r]P (‖z +W (τ)‖ = r) = ln(‖z‖).

Atrendezve

P (‖z +W (τ)‖ = r) =lnR− ln ‖z‖lnR− ln r

.

Ez utobbi mennyiseg hatarerteke 1, ha R → ∞, illetve 0, ha r → 0. Azaz a ketdimenziosWiener-folyamat tetszoleges, origo kozeppontu kort 1 valoszınuseggel meglatogat. Ebben azertelemben tehat visszatero.

HF. Mutassuk meg, hogy d ≥ 3 eseten a Wiener-folyamat mar nem visszatero. (Hint.Alkalmazzuk az Ito-formulat a ‖z +W (t)‖2−d fuggvenyre.

12. Az Ito-formula kiterjesztese martingalok szerinti integral esetere

Definition 12.1. Az (Xt,Ft), 0 ≤ t ≤ T folyamatot folytonos szemimartingalnak nevezzuk,ha felırhato

Xt = X0 +Mt +Bt

alakban, ahol

• X0 F0 merheto v.v.;• M ∈Mc

2, a < M >t kvadratikus variacio altal meghatarozott mertek m.m. ω esetenabszolut folytonos a Lebesgue-mertekre

• Bt = A+t − A−t , A+

t es A−t adaptalt folyamatok monoton novekvo es folytonos tra-jektoriajuak.

A definıcio rogton felveti az alabbi hazi feladatot.

HF. Legyen Xt ∈ Mc2, melynek trajektoriai korlatos valtozasuak. Ekkor Xt = X0 1

vsz-gel, minden t ≥ 0 eseten.

A martingalok szerinti integralra vonatkozo Ito-formulat csak arra az esetre fogalmazzukmeg, amikor az f fuggveny f : R→ R alaku. Ennek pusztan gazdasagossagi okai vannak.

Theorem 12.1. Tekintsunk valamely 0 < T ≤ ∞ erteket. Legyen f : R → R ketszerfolytonosan derivalhato fuggveny, tovabba Xt = X0 + Mt + Bt, 0 ≤ t ≤ T folytonos szemi-

martingal. Tegyuk fel, hogy E∫ T

0[f

′(Xs)]

2 d < M >s <∞.Ekkor f(Xt) is szemimartingal, melyre teljesul az alabbi eloallıtas:

f(Xt) = f(X0) +

∫ t

0

f′(Xs)dMs +

∫ t

0

f′(Xs)dBs +

1

2

∫ t

0

f′′(Xs)d < M >s

46 MICHALETZKY GY.

Bizonyıtas.Legyen T <∞ es tekintsuk a folyamatainkat a [0, T ] intervallumon.Az elso dolgunk az, hogy megallıtjuk a folyamatainkat, hogy korlatossa tegyuk oket. Adott

n eseten legyen tehat

τn =

0, ha |X0| ≥ n

inft ≥ 0 | |Mt| ≥ n vagy

Var[0,t]B ≥ n vagy < M >t≥ n, ha |X0| < n

T, ha |X0| < n es a fenti halmaz ures.

Ekkor P (τn → T ) = 1, mert P (sup[0,T ]

|Mt| ≥ n) ≤ EM2T

n2 , P (Var[0,T ]B < ∞) = 1, es mivel

E < M >T≤ EM2T ezert P (< M >T<∞) = 1.

Az Xt folyamat trajektoriajanak folytonossaga miatt ekkor f(Xt∧τn) → f(Xt) 1 valoszı-nuseggel. Ugyanez teljesul az Ito formula Lebesgue-Stieltjes integralt tartalmazo tagjaira.

Tovabba az

E

∫ T

0

f′(Xs)

2χ(t∧τn,t]d < M >s→ 0

tulajdonsag biztosıtja, hogy∫ t∧τn

0f′(Xs)dMs =

∫ T

0f′(Xs)χ[0,t∧τn]dMs →

∫ t

0f′(Xs) dMs L2-

ben, ezert alkalmas kiritkıtas eseten 1 valoszınuseggel is.Ugyanakkor lattuk, hogy ha a sztochasztikus integralt valamilyen megallasi idopontban

akarjuk venni, akkor az integralas soran az M martingal kicserelheto a megallıtott mar-tingalra.

Mivel a τn idopontig a szobanforgo folyamatok korlatosak, ezert az altalanos eset bi-zonyıtasa visszavezetheto a korlatos esetre. Tegyuk fel tehat, hogy X0, Mt, 0 ≤ t ≤ T ,A+

t + A−t , 0 ≤ t ≤ T korlatosak, mondjuk ertekeik rendre a [−N,N ] intervallumba esnek.Vegyuk a [0, t] intervallum egy felosztasat. 0 = t0 < t1 < · · · < tl = t. Taylor sorfejtest

alkalmazva kapjuk, hogy

f(Xt)− f(X0) =∑

[f(Xtk)− f(Xtk−1)] =

=∑

f′(Xtk−1

)(Xtk −Xtk−1) +

1

2

∑f′′(ηk)(Xtk −Xtk−1

)2,

ahol ηk valamilyen Xtk−1es Xtk kozotti kozbulso pont.

Alkalmazzuk Xt felbontasat.∑f′(Xtk−1

)(Btk −Btk−1) →

∫ t

0

f′(Xs) dBs

minden ω pontban, hiszen f′(Xs)(ω) folytonos fuggveny.

Hasonloan ∑f′(Xtk−1

)(Mtk −Mtk−1) →

∫ t

0

f′(Xs)dMs,

hiszenf′(X0)χ0 +

∑f′(Xtk−1

)χ(tk−1,tk] → f′(X)

az dP d < M >s altal meghatarozott L2 terben. (A pontonkenti konvergencia adodik afolyamatok korlatossagabol es f

′egyenletes folytonossagabol. A korlatossagot hasznalva

ismet adodik az L2 konvergencia.)


Legyen most

J3 =∑

f′′(ηk)(Xtk −Xtk−1

)2 =∑

f′′(ηk)(Btk −Btk−1

)2 +

+2∑

f′′(ηk)(Btk −Btk−1

)(Mtk −Mtk−1) +

∑f′′(ηk)(Mtk −Mtk−1

)2.

Jelolje rendre J31, J32, J33 az egyes osszeadandokat. Ekkor

|J31|+ |J32| ≤ ‖f ′′‖∞Var[0,t]B(maxk|Btk −Btk−1

|+ 2 maxk|Mtk −Mtk−1

|) → 0

1 valoszınuseggel, hiszen rogzıtett ω eseten az elso ket tenyezo korlatos, mıg a folyama-tok folytonossaga miatt a harmadik tenyezo nullahoz tart. Itt ‖f ′′‖∞ jeloli a f

′′fuggveny

maximumat a [−3N, 3N ] halmazon.A J33 tag eseteben eloszor az ηk kozbulso helyet csereljuk ki Xtk−1

- a baloldali vegpontbanfelvett - ertekkel.

|∑

k

[f′′(ηk)− f

′′(Xtk−1

)](Mtk −Mtk−1)2| ≤ max

k|f ′′(ηk)− f

′′(Xtk−1

)|∑

(Mtk −Mtk−1)2 → 0,

1 valoszınuseggel, hiszen f′′

egyenletesen folytonos, a martingal novekmenyeinek negyzetosszegepedig < M >t-hez tart sztochasztikusan, tehat eleg gyorsan finomodo felosztassorozat eseten1 valoszınuseggel.

Utolso becsleskent megmutatjuk, hogy∑k

f′′(Xtk−1

)[(Mtk −Mtk−1)2 − (< M >tk − < M >tk−1

)] → 0

L2-ben.Az f

′′mennyiseget ismet a maximumaval becsuljuk. A negyzet varhato erteket veve -

kihasznalva, hogy az egyes osszeadandok martingaldifferenciak es az (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)egyenlotlenseget -az alabbi becslest alkalmazhatjuk.

E(∑

k

f′′(Xtk−1

)[(Mtk −Mtk−1)2 − (< M >tk − < M >tk−1

])2 =

=∑

E(f′′(Xtk−1

)[(Mtk −Mtk−1)2 − (< M >tk − < M >tk−1

])2 ≤

≤ ‖f ′′‖22[∑

E(Mtk −Mtk−1)4 +

∑E(< M >tk − < M >tk−1

)2] ≤

≤ ‖f ′′‖22[E(supk

(Mtk −Mtk−1)2

∑(Mtk −Mtk−1

)2) +

+E(supk

(< M >tk − < M >tk−1)∑

k

(< M >tk − < M >tk−1))].

Az utolso taggal nincsen sok gond, hiszen∑

k(< M >tk − < M >tk−1) =< M >t es

a < M > folytonossaga, tehat egyenletes folytonossaga miatt a pontonkenti konvergenciaazonnal adodik, a korlatossag miatt pedig a varhato ertek konvergenciaja is.

Az elso tag eseteben eloszor Cauchy-Schwartz egyenlotlenseget alkalmazva a E supk(Mtk−Mtk−1

)4 → 0 konvergencia az elozohoz hasonloan adodik. Eleg megmutatni, hogyE[∑

k(Mtk−

48 MICHALETZKY GY.

Mtk−1)2]2 korlatos marad. Elvegezve a kulso negyzetreemelest kapjuk, hogy

E[∑

k

(Mtk −Mtk−1)2]2 = E

∑k

(Mtk −Mtk−1)4 +

+2En−1∑k=1

(Mtk −Mtk−1)2

n∑j=k+1

(Mtj −Mtj−1)2 ≤

≤ 4‖M‖2∞E

∑(Mtk −Mtk−1

)2 + 2E(n−1∑k=1

(Mtk −Mtk−1)2(M2

tn −M2tk

) ≤

≤ 6‖M‖4∞,

ahol a ketszeres szorzatokat tartalmazo tagban eloszor felteteles varhato erteket veszunk azFtk σ-algebra szerint.

Ezzel ezen tag korlatossagat belattuk. Igy J33 hatarerteke megegyezik a∑k

f′′(Xtk−1

)(< M >tk − < M >tk−1) →

∫ t

0

f′′(Xs) d < M >s

mennyiseggel.Ezzel az Ito-formula utolso tagjat is megkaptuk.

13. Az Ito-formula nehany alkalmazasa

A martingalok esetere vonatkozo Ito-formula egyszeru kovetkezmenyekent megkaphatjuka Wiener-folyamat alabbi karakterizaciojat.

Theorem 13.1 (Levy). Legyen Xt, t ≥ 0 folytonos trajektoriaju, L2-beli martingal, melyreX0 = 0, tovabba

E((Xt −Xs)2 | Fs) = t− s.

Ekkor (Xt,Ft) Wiener-folyamat.

Bizonyıtas. Vegyuk eszre, hogy az utolso feltetel ugy is ırhato, hogy < X >t= t.Alkalmazzuk az Ito-formulat az eiλXt folyamatra az [s, t] intervallumon.

eiλXt = eiλXs +

∫ t

s

eiλXuiλdXu −λ2

2

∫ t

s

eiλXudu.

Legyen most A ∈ Fs. Szorozzuk mindket oldalt χA-val osszunk vegig eiλXs ertekevel esvegyuk a varhato erteket. Mivel a dXu integralt tartalmazo tag t szerint martingal, hiszenaz integrandus korlatos fuggveny, ezert varhato erteke nulla. Tehat

E(eiλ(Xt−Xs)χA) = P (A)− λ

2

∫ t

s

E[eiλ(Xu−Xs)χA]du.

Azaz integralegyenletet kaptunk a baloldalon szereplo mennyisegre mint t fuggvenyere. MivelXt folytonos trajektoriaju, eiλx korlatos fuggveny, ezert ez a mennyiseg t folytonos fuggvenye.Az adodo differencialegyenlet egyetlen megoldasa

E(eiλ(Xt−Xs)χA) = P (A)e−λ2

2(t−s).


Mive a jobboldal - tetszoleges A eseten - determinisztikus mennyiseg, ezert Xt−Xs fuggetlenFs-tol es eloszlasa N(0, t− s).

A kovetkezo allıtas a Wiener-integral eseteben megismert egyik allıtas kiterjesztese azIto-integral esetere. Ott megmutattuk, hogy a Wiener-integral alakjaban felırhato v.v-ktere egybeesik a Wiener-folyamatban szereplo v.v.-k linearis kombinacioi altal generalt zartalterrel. Most az Ito-integral alakjaban felırhato v.v.-k jellemzeset adjuk meg.

Theorem 13.2. Jelolje N (P ) a nullamerteku esemenyek halmazat. Legyen Wt, t ≥ 0Wiener-folyamat, FW

t a Ws, 0 ≤ s ≤ t altal generalt σ-algebra, tovabba Gt = FWt ∨N (P ).

Ekkor tetszoleges Z ∈ L2(GT ) eloall

Z = EZ +

∫ T

0

Xs dWs

alakban, alkalmas X ∈ H2(T ) folyamat mellett.

Bizonyıtas. Legyen HWT azon v.v.-k halmaza, amelyek eloallıthatoak a kıvant alakban.

Ekkor HWT ⊂ L2(GT ), sot zart alter. Ez utobbi az E(Z1 − Z2)

2 = E∫ T

0(X1(s) −X2(s))

2ds

izometria kovetkezmenye, ha Z1 =∫ T

0X1(s)dW (s), Z2 =

∫ T

0X2(s)dW (s).

Z ∈ HWT eseten legyen Zt = E(Z | Gt) = EZ +

∫ t

0Xs dWs. A sztochasztikus integral

tulajdonsagai alapjan ekkor tetszoleges τ ≤ T megallasi ido eseten Zτ ∈ HWT .

Tekintsuk most HWT ortogonalis kiegeszıto alteret. Ha Z ⊥ HW

T , akkor EZ = 0. Tovabba,ha most Y ∈ HW

T , akkor a E(ZtY ) = E(ZtE(Y | Gt)) = E(ZE(Y | Gt)) = 0 azonossagalapjan, ahol - mint fent - Zt = E(Z | Gt) adodik, hogy Zt ⊥ HW

T .

Megmutatjuk, hogy tetszoleges X ∈ HT eseten Zt

∫ t

0XsdWs martingal.

Ugyanis legyen A ∈ Gt. Ekkor a

τA =

t A− n

T Ac − n

megallasi ido. Ezert

0 = E(Z

∫ τA

0

XsdWs) = E(Zt

∫ t

0

XsdWsχA) + E(Z

∫ T

0

XsdWs)−

−E(Z

∫ T

0

XsdWsχA),

ahol az elso tagban az eredetileg szereplo Z helyett ugy kapjuk a Zt mennyiseget, hogy GT

szerinti felteteles varhato erteket veszunk. A jobboldalon allo kozepso tag erteke ismet nulla.Az adodo ∫

A

ZtIt(X) =

∫A

ZIT (X)

egyenloseg bizonyıtja, hogy Zt · It(X) martingal.Innen ketfelekeppen is befejezhetjuk a bizonyıtas. Az elso ut a kozvetlenebbul adodo, a

masodiknak azonban szamos mas kovetkezmenye is van.A kozvetlen ut az, hogy most tekintunk szamos HW

T -ba tartozo v.v.-t es kifacsarunk min-dent a fenti merolegessegbol. Vegyuk eszre, hogy alkalmas Xs folyamatok eseten

expi∫ T

0

XsdWs +1

2

∫ T

0

X2sds ∈ HW

T .

50 MICHALETZKY GY.

Ugyanis az Ito-formulat alkalmazva az Nt = expi∫ t

0XsdWs + 1

2

∫ T

0X2

sds folyamatrakapjuk, hogy

NT = 1 + i

∫ T

0

Nt ·XtdWt +

∫ T

0

1

2Nt ·X2

t dt−1

2

∫ T

0

Nt ·X2t dt = 1 + i

∫ T

0

Nt ·XtdWt.

Tehat, ha NtXt ∈ H2(T ), akkor a masodik tag a kıvant sztochasztikus integral alaku. MivelNt korlatos, tehat eleg, hogy Xt ∈ H2(T ) teljesuljon. Specialisan, ha Xt determinisztikus,lepcsos fuggveny, akkor a merolegesseg kihasznalasaval adodik, hogy

E(Z expi∑

j

cjWtj) = 0,

tetszoleges veges t1, t2, . . . , tk eseten. Ezert

E(Z | Wt1 ,Wt2 , . . . ,Wtk) = 0.

Ebbol tehat E(Z | GT ) = 0, de a feltevesunk szerint Z merheto erre a σ-algebrara, azazZ = 0.

A masik fajta bizonyıtasban az elozoekbol egyelore annyit hasznalunk csak ki, hogy ZtWt

es Zt(W2t − t) martingalok - hiszen Wt es W 2

t − t eloallanak sztochasztikus integral alakban.Tekintsuk eloszor azt az esetet, amikor Z korlatos, |Z| < M . Vezessunk be egy uj Q

merteket a kovetkezokeppen.dQ

dP=

M + Z

E(M + Z).

Megmutatjuk, hogy Q szerint Wt es W 2t − t martingalok. Ugyanis - a Radon-Nikodym-

derivaltat roviden a+ bZ alakban ırva - A ∈ Gs, s < t eseten∫A

WtdQ =

∫A

Wt(a+ bZ)dP =

∫A

Wt(a+ bZt)dP =

=

∫A

Ws(a+ bZs)dP =

∫A

Ws(a+ bZ)dP =

∫A

WsdQ.

(A harmadik egyenloseg soran hasznaltuk ki, hogy WtZt P-martingal.)Ugyanıgy igazolhato, hogy (W 2

t − t) is martingal a Q mertek szerint. Ekkor azonbana Levy-tetel alkalmazhato. Ezert (Wt,Gt) Wiener-folyamat. Azonban a Wiener-mertekegyertelmu, ezert a folyamat altal generalt σ-algebran a valoszınusegi mertek egyertelmuenmeghatarozott. Azaz P = Q a GT σ-algebran. Igy M+Z = EP (M+Z), azaz Z = EP (Z) =0.

Ha most Z nem feltetlenul koratos, akkor levagjuk. Ezt azonban nem lehet kozvetlenulmegtenni, hiszen semmi sem garantalja, hogy Zχ(|Z|≤n) tovabbra is meroleges marad HW

T -re.Azonban a Zt folyamatot mar megallıthatjuk. Legyen tehat

τn = inft | |Zt| ≥ n.Ekkor a Z ⊥ HW

T osszefuggesbol kovetkezik, hogy Zτn ⊥ HWT , ugyanakkor |Zτn| ≤ N .

Alkalmazva az elobb bizonyıtottakat kapjuk, hogy Zτn = 0. Azt kell mar csak kihasznalni,

hogy P ( sup0≤t≤T

|Zt| ≥ n) ≤ EZ2

n. Igy P (τn ≤ T ) → 0, tehat vegulis Z = 0 m.m..


14. Girsanov-tetel

A martingalreprezentacios tetel bizonyıtasa soran megjelent egy olyan mennyiseg, amely-hez hasonlot mar a Wiener-integral soran, a mertekek Radon-Nikodym-derivaltjaval kap-csolatban lattunk. Most azonban folyamat alakjaban. Ez az

Nt = expiλ∫ t

0

Xs dWs +λ2

2

∫ t

0

X2sds

folyamat. Ott a

Zt = exp∫ t

0

Xs dWs −1

2

∫ t

0

X2sds

mennyiseggel talalkoztunk.Most azt vizsgaljuk meg, hogy alkalmas mertekcsere eseten hogyan valtozik meg a Wiener-

folyamat.

Theorem 14.1 (Girsanov). Tekintsuk a Zt = exp∫ t

0Xs dWs − 1

2

∫ t

0X2

sds folyamatot a0 ≤ t ≤ T , T < ∞ intervallumon. Tegyuk fel, hogy X ∈ ST es EZ(T ) = 1. Vezessunk beegy uj P merteket.

dP

dP= Z(T ).

Legyen (Wt,Ft) 0 ≤ t ≤ T Wiener folyamat es

Wt = Wt −∫ t

0

Xsds.

Ekkor a P -mertek szerint

(Wt,Ft)

Wiener-folyamat.

Bizonyıtas. A bizonyıtas alapotlete magatol ertodo, kivitelezesehez – amint majd latnifogjuk – azonban elszantsag kell.

Az expiλ(Wt − Ws) mennyiseg felteteles varhato erteket hatarozzuk meg - az Fs σ-algebrara vonatkozoan - azonban a P mertek szerint.

Ehhez azt kell felhasznalnunk, hogy abszolut folytonos mertekcsere eseten hogyan leheta felteteles varhato erteket meghatarozni. Azonban hogy keletkezo mennyisegek varhatoertekenek letezesevel ne legyen gondunk ”megallıtjuk” a folyamatunkat, hogy korlatossategyuk.

Tegyuk fel eloszor tehat, hogy letezik olyan c1, c2 veges, pozitıv szam, amelyre

P (0 < c1 ≤ inf Zt ≤ supZt ≤ c2 <∞) = 1,

es hogy

E(

∫ T

0

Z2t ·X2

t dt) <∞.

Ekkor

EP (expiλ(Wt − Ws) | Fs) = Z−1s EP (expiλ(Wt − Ws)Zt | Fs).

52 MICHALETZKY GY.

Ahhoz, hogy ezt atalakıthassuk, alkalmazzuk az Ito-formulat az eiλxz fuggvenyre - behe-lyettesıtve a Wt − Ws, illetve Zt folyamatokat.

eiλ(Wt−Ws)Zt = Zs +

∫ t

s

eiλ(Wu−Ws)ZuXudWu +

+iλ

∫ t

s

eiλ(Wu−Ws)ZudWu −

−λ2

2

∫ t

s

eiλ(Wu−Ws)Zu du.

(Az iλ∫ t

seiλ(Wu−Ws)ZuXu du mennyiseget tartalmazo tag kiesik.)

Atosztva Zs ertekevel lathato, hogy a g(t) =∫

AZ−1

s eiλ(Wt−Ws)Zt dP folytonos fuggvenyre-A ∈ Fs eseten - teljesul a

g(t) = P (A)− λ2

2

∫ t

s

g(u)du

egyenlet, hiszen az Ito-formula jobboldalan szereplo masodik ket tag martingal. Ezert g(t)derivalhato is, es

g(t) = P (A)e−λ2

2(t−s)

bizonyıtva erre az esetre a Girsanov-tetelt.

Az altalanos esetet a szokott modon megallıtas segıtsegevel vezetjuk vissza az elozore.Rogzıtett N mellett legyen

τN =

inft ≤ T | [

∫ t

0Z2

sX2sds+ sups≤t Zs + (infs≤t Zs)

−1] ≥ NT ha a fenti halmaz ures

.

Mivel a [0, T ] intervallum veges, a folyamataink folytonos trajektoriajuak, tehat a [0, T ]halmazon vett integral, illetve a supremum veges, Zs pozitivitasa miatt az infimum nemnulla, tehat P (τN → T ) = 1. Legyen most ZN

t = Zt∧τN. Mivel az Ito-formula alapjan

ZNt = 1 +

∫ t

0ZsXsχ[0,τN ]dWs, ezert ZN

t martingal, specialisan E(ZNt ) = 1.

Legyen tovabba WNt = Wt −

∫ t

0XN

s ds, ahol XNs = Xsχ[0,τN ](s). Ekkor a dPN = ZN

T dP

egyenlettel definialt PN mertek szerint a WNt folyamat Wiener-folyamat.

Vegyuk eszre, hogy WNt → Wt P-m.m. es ezert P -m.m. is. Tehat - a szoban forgo

fuggvenyek korlatossaga miatt -

EP (expiλ(WNt − WN

s ) | Fs) → EP (expiλ(Wt − Ws) | Fs).

Arra lenne azonban szuksegunk, hogy a PN mertekek szerinti felteteles varhato ertekethozzuk kapcsolatba a keresett mennyiseggel. Megmutatjuk, hogy

EP | EP N (expiλ(WNt − WN

s ) | Fs)− EP (expiλ(WNt − WN

s ) | Fs) | → 0.

Ugyanis az abszolut ertek jel alatt allo felteteles varhato ertekeket kifejezhetjuk a P merteksegıtsegevel, ekkor mar vehetjuk a kulonbseg felteteles varhato erteket. Bevive az abszolut


erteket, az elso tenyezo abszolut erteke eppen 1 lesz. Kapjuk tehat, hogy

EP | EP N (expiλ(WNt − WN

s ) | Fs)− EP (expiλ(WNt − WN

s ) | Fs) | ≤

≤ EP [EP (|ZNt

ZNs

− Zt

Zs

| | Fs)] =

= EP (|ZNt Zs

ZNs

− Zt|).

(Az utolso egyenlosegben eloszor a P mertek szerinti kulso integralt atırtuk a P szerintire,majd mivel az Fs σ-algebran a Radon-Nikodym-derivalt Zs, amely termeszetesen merhetoerre a σ-algebrara, bevittuk a felteteles varhato ertek ala.

Ugyanakkor

ZNt Zs

ZNs

= ZτN∧tZsZ−1τN∧s → Zt,

P -m.m., ha N →∞ es

EP (ZτN∧tZsZ−1τN∧s) = EP (ZsZ

−1τN∧sEP (ZτN∧t | Fs)) = EP (Zs) = 1

tehat a varhato ertek is konvergal. A szobanforgo v.v. sorozat nemnegatıv, tehat a Scheffe-tetel alapjan az L1-beli konvergencia is teljesul.

Ezzel a Girsanov-tetelt az altalanos esetre is igazoltuk.

A fenti tetelben a tekintett idointervallum veges volt. Felmerul a kerdes, hogy nemlehetne-e olyan merteket gyartani, amely szerint az Wt folyamat a teljes [0,∞) intervallu-mon Wiener-folyamat. A Kolmogorov-alaptetel kicsi modosıtasaval konnyen megmutathato,

hogy ez lehetseges, ha a keresett merteket a FW∞ σ-algebran akarjuk definialni. (A kicsi

modosıtas azt erinti, hogy az eredeti alaptetelben az R[0,∞) halmazon jon letre a mertek.Ezt kell athozni a W folyamat segıtsegevel az Ω-ra.) Azonban egyfelol az ıgy kapott mertekmar nem feltetlenul lesz abszolut folytonos P -re, masfelol pedig ez a mertek csak a szukebb,a folyamat altal generalt σ-algebran ertelmezett, mıg a Girsanov-tetelbol olyan merteketkapunk, amely az A-n definialt.

15. Sztochasztikus differencialegyenletek

Az

X(t) = X0 +

∫ t

0

a(s,X(s)) ds+

∫ t

0

σ(s,X(s)) dW (s)

alaku egyenleteket sztochasztikus differencialegyenleteknek (SDE) fogjuk nevezni. Valojabana SDE-k bovebb osztalyat is szokas vizsgalni, mi azonban csak ilyen tıpusu egyenletekkelfogunk foglalkozni.

Ezeket az egyenleteket szokas

dX(t) = a(t,X(t)) dt+ σ(t,X(t)) dW (t) X(0) = X0

alakban is ırni.

54 MICHALETZKY GY.

Definition 15.1. Legyenek adottak az a(t, x), σ(t, x) fuggvenyek, tovabba a (W (t),Ft) Wiener-folyamat.

Az X(t) folyamat a fenti sztochasztikus differencialegyenlet eros megoldasa, ha adaptalt azadott σ-algebrafolyamra es eleget tesz a fenti egyenletnek.

Az un. gyenge megoldasok kerdeskorevel kesobb fogunk foglalkozni. Annyit azonban marmost elmondunk, hogy a gyenge megoldas soran nem tekintjuk a Wiener-folyamatot, sota valoszınusegi mezot sem, elore megadottnak, hanem olyan W,X part keresunk, amelyekegyutt kielegıtik a fenti egyenletet.

Theorem 15.1. Tegyuk fel, hogy teljesulnek az alabbi feltetelek: Leteznek olyan KL, KN <∞, amelyre

• |a(s, x)− a(s, y)|2 + |σ(s, x)− σ(s, y)|2 ≤ KL|x− y|2,• |a(s, x)|2 + |σ(s, x)|2 ≤ KN(1 + |x|2),• X0 ∈ L2.

Ekkor a sup[0≤t≤T ]EX2t < ∞ feltetelnek eleget tevo folyamatok osztalyan belul letezik es

egyertelmu a fenti differencialegyenlet megoldasa.

Bizonyıtas. Megjegyezzuk, hogy a linearis novekedesi feltetel es az X(t) folyamat felte-telezett tulajdonsagai miatt (σ(t,X(t)), t ∈ [0, T ]) ∈ H2(T ).

Eloszor az egyertelmuseget mutatjuk meg. Legyen X1, X2 ket megoldas. ekkor

E[(X1(t)−X2(t))2] ≤ 2E[

∫ t

0

(a(s,X1(s))− a(s,X2(s))ds]2 +

+2E[

∫ t

0

(σ(s,X1(s))− σ(s,X2(s))) dW (s)]2 ≤

≤ 2tKLE

∫ t

0

(X1(s)−X2(s))2 ds+ 2KLE

∫ t

0

(X1(s)−X2(s))2 ds ≤

≤ 2(T + 1)KL

∫ t

0

E(X1(s)−X2(s))2 ds.

(A masodik lepesben az elso integralra a Cauchy-Schwartz- egyenlotlenseget, a masodiktagra pedig az sztochasztikus integralra vonatkozo izometriat alkalmaztuk.)

Bevezetve a φ(s) = E(X1(s)−X2(s))2 jelolest ırhatjuk, hogy

0 ≤ φ(t) ≤ L

∫ t

0

φ(s) ds,

ahol L = 2(T + 1)KL.A jobboldalon szereplo integralfuggvenyre alkalmazva ezt a felso becslest, az integralasok

felcserelese utan a φ(t) ≤ L2∫ t

0(t − u)φ(u) du egyenlotlenseghez jutunk. Ebben ismet alka-

lmazva az eredeti egyenlotlenseget, es ıgy tovabb az alabbi egyenlotlensegeket kapjuk:

φ(t) ≤ Ln

(n− 1)!

∫ t

0

(t− s)n−1φ(s) ds ≤Ln sup

[0≤t≤T ]

φ(t)

n!tn.

Ez utobbi nullahoz tart, hiszen a feltetelek alapjan supφ veges.


Tehat P (X1(t) = X2(t)) = 1 minden szobanforgo t eseten. Mivel a X1, X2 folytonostrajektoriaju folyamatok, ezert a trajektoriak is 1 valoszınuseggel megegyeznek.

A megoldas letezesenek igazolasara szukcesszıv approximaciot alkalmazunk.Legyen X0(t) = X0. Tovabba

Xn(t) = X0 +

∫ t

0

a(s,Xn−1(s)) ds+

∫ t

0

σ(s,Xn−1(s)) dW (s).

Mivel a rekurziobol adodoan Xn−1 folytonos trajektoriaju folyamat, ezert a fenti integralokleteznek, azaz a definıcio ertelmes. Eloszor megmutatjuk, hogy ez a lepes nem vezet ki asup[0,T ]EZ(t)2 <∞ osztalybol sem.

Ugyanis

EX2n(t) ≤ 9EX2

0 + 9TKN

∫ t

0

(1 + EX2n−1(s)) ds+ 9KN

∫ t

0

(1 + EX2n−1(s)) ds =

= (9EX20 + 9(T + 1)TKN) + 9(T + 1)KN

∫ t

0

EX2n−1(s) ds ≤

≤ C(1 + EX20 ) + C

∫ t

0

EX2n−1(s) ds,

ahol a C konstans csak KN es T erteketol fugg. Iteralva a kapott egyenlotlenseget a

EX2n(t) ≤ C(1 + EX2

0 )(1 + Ct+(Ct)2

2+ . . .

(Ct)n

n!) ≤ C(1 + EX2

0 )eCt,

ha 0 ≤ t ≤ T osszefuggeshez jutunk.Maskeppen fogalmazva tehat nemcsak, hogy mindig veges lesz az ujonnan definialt folya-

mat L2 normaja, hanem az approximalo folyamatsorozat mindegyik eleme benne marad azL2 ter korlatos gombjeben.

Vizsgaljuk meg az egymasutani kovetkezo folyamatok kozotti eltereseket. A linearisnovekedesi feltetelt hasznalva adodik, hogy

E(X1(t)−X0(t))2 ≤ 2t

∫ t

0

Ea2(s,X0) ds+ 2

∫ t

0

Eσ2(s,X0) ds ≤

≤ 2(t2 + t)KN(1 + EX20 ).

Ugyanakkor az egyertelmuseg bizonyıtasa soran alkalmazott gondolatmenettel

E(Xn+1(t)−Xn(t))2 ≤ 2(t+ 1)KL

∫ t

0

E(Xn(s)−Xn−1(s))2 ≤

≤ · · · ≤ Ln

(n− 1)!

∫ t

0

(t− s)n−1E(X1(s)−X0(s))2 ds,

(itt megint L = 2(T + 1)KL.) Ezert

E(Xn+1(t)−Xn(t))2 ≤ cLn

n!tn

alkalmas c konstans eseten. Ebbol azonnak adodik, hogy rogzıtett t eseten az Xn(t) sorozatL2-ben Cauchy sorozat, tehat konvergens.

56 MICHALETZKY GY.

Azonban a konvergencia t szerinti egyenletesseget is igazolni akarjuk. Tekintsuk ezert azelteres szupremumat. (Az 1 valoszınuseggel egyenletes konvergenciat akarjuk belatni.) Mivel

sup[0,T ]

|Xn+1(t)−Xn(t)| ≤∫ T

0

|a(s,Xn(s))− a(s,Xn−1(s))| ds+

+ sup0≤t≤T

|∫ t

0

(σ(s,Xn(s))− σ(s,Xn−1(s))) dW (s)|,

ezert - a martingalok masodik momentumara vonatkozo maximalegyenlotlenseget hasznalva-

E(sup[0,T ]

|Xn+1(t)−Xn(t)|2) ≤ 2TKL

∫ T

0

E(Xn(s)−Xn−1(s))2 ds+

+8KL

∫ T

0

E(Xn(s)−Xn−1(s))2 ds ≤

≤ c′Ln

n!,

alkalmas c′ konstans mellett.Ezert a

P (sup[0,T ]

|Xn+1(t)−Xn(t)|2 ≥ 1

n2) ≤ c′

Ln

n!tnn2

egyenlotlenseg alapjan a Borel-Cantelli lemma alkalmazhato.Adodik az Xn folyamatsorozat 1 valoszınuseggel egyenletes konvergenciaja.Azt kell mar csak megmutatni, hogy a kapott hatarertek folyamat eleget tesz a differ-

encialegyenleteknek.Az a(s,Xn(s)) → a(s,X(s)) konvergencia miatt, amely rogzıtett ω eseten egyenletes is a

[0, T ] veges intervallumon, az a fuggveny integraljai konvergalnak.A sztochasztikus integralok konvergenciajahoz vegyuk eszre, hogy mivel a kozelıto folya-

matok a L2 korlatos gombjeben maradnak, tehat a hatarertek is. Azaz sup[0,t]EX2(t) <∞.

Sot,EX2(t) ≤ C(1 + EX2

0 )eCt,

ha 0 ≤ t ≤ T , ahol - amint lattuk - a C konstans csak KN es T fuggvenye.Ezert (σ(s,X(s)), s ∈ [0, T ]) ∈ H2(T ). Tovabba

E[

∫ t

0

σ(s,Xn(s)) dW (s)−∫ t

0

σ(s,X(s)) dW (s)]2 = E

∫ t

0

|σ(s,Xn(s))− σ(s,X(s))|2 ds ≤

≤ K

∫ t

0

E|Xn(s)−X(s)|2 ds→ 0.

(Ez utobbi a rogzıtett smelletti pontonkenti konvergencia es az egyenletes korlatossag miatt.)Tehat a kapott X(s) folyamat eleget tesz a differencialegyenletnek. A kovetkezo tetel ramutat arra, hogy a feltetelek kicsit enyhıthetoek.

Theorem 15.2. Tegyuk fel, hogy teljesulnek az alabbi feltetelek: Letezik olyan KN < ∞allando es tetszoleges r >∞ eseten olyan Kr szamok, amelyekre

• |a(s, x)− a(s, y)|2 + |σ(s, x)− σ(s, y)|2 ≤ Kr|x− y|2, ha max(|x|, |y|, s) ≤ r;• |a(s, x)|2 + |σ(s, x)|2 ≤ KN(1 + |x|2),


• X0 F0 merheto.

Ekkor az adaptalt, folytonos trajektoriaju folyamatok osztalyan belul, a [0,∞) intervallu-mon letezik es egyertelmu a fenti differencialegyenlet megoldasa.

Bizonyıtas. A bizonyıtas alapotlete ismetcsak a folyamatok megallıtasa, mielott adottkompakt halmazbol kilepnenek.

Egyertelmuseg: Tegyuk fel, hogy X, Y mindketteje megoldas. Legyen

τr = inft | |X(t)|+ |Y (t)| > r ∧ r.Ekkor

X(t ∧ τr)− Y (t ∧ τr) =

∫ t∧τr

0

(a(s,X(s))− a(s, Y (s))) ds+

+

∫ t∧τr

0

(σ(s,X(s))− σ(s, Y (s))) dW (s),

ezert

E([X(t ∧ τr)− Y (t ∧ τr)]2χt≤τr) = 2tKrE

∫ t∧τr

0

(X(s)− Y (s))2 ds+

+ 2KrE

∫ t∧τr

0

(X(s)− Y (s))2χs≤τr ds =

≤ 2Kr(t+ 1)

∫ t

0

E((X(s)− Y (s))2χs≤τr).

Az elozo tetelben kovetett gondolatmenethez hasonloan most is adodik - felhasznalva,hogy supE[X(t∧ τr)− Y (t∧ τr)]2χt≤τr <∞, hiszen a τr idopont elott a folyamat korlatos-, hogy E[X(t ∧ τr)− Y (t ∧ τr)]2χt≤τr = 0. Tehat

P (X(t)χt≤τr = Y (t)χt≤τr) = 1.

Azonban P (τr → ∞) = 1, mivel X es Y folytonos trajektoriaju folyamatok, ezert korlatosidointervallumon - rogzıtett ω eseten - korlatosak. Tehat

P (X(t) = Y (t)) = 1, 0 ≤ t <∞.

Kihasznalva ismet, hogy a ket folyamat folytonos trajektoriaju kapjuk, hogy a ket folyamattrajektoriai is megegyeznek 1 valoszınuseggel.

Most megmutatjuk, hogy letezik megoldas.Eloszor tekintsuk azt az esetet, amikor X0 ∈ L2(P ). Legyen

ar(s, x) =

a(s, x) , ha |x| < r,

a(s, rsgnx) , ha |x| ≥ r.

Hasonloan definialjuk a σr fuggvenyt is. Mivel ar es σr eleget tesznek az elozo tetel felte-teleinek, tehat az altaluk meghatarozott SDE-nek - az X0 kezdeti ertek mellett - letezikmegoldasa. Jelolje ezt Xr(t).

Mivel a linearis novekedesi feltetelben szereplo KN allando globalis, ezert a megoldas L2

normajara ismet kapjuk aE(X2

r (t)) ≤ C(t)(1 + EX20 ).

58 MICHALETZKY GY.

Ez a felso becsles tehat r-tol fuggetlenul teljesul. Megmutatjuk, hogy az Xr folyamatokszupremumanak L2 normaja is hasonloan becsulheto.

Ugyanis

E(

∫ t

0

a2r(s,Xr(s)) ds) ≤ KN

∫ t

0

[1 + C(s)(1 + EX20 )] ds

E( sup0≤s≤t

(

∫ s

0

σr(s,Xr(s)) dW (s))2 ≤ 4KN

∫ t

0

[1 + C(s)(1 + EX20 )] ds,

tehat

E( sup0≤s≤t

X2r (s)) ≤ D(t)(1 + EX2

0 )

alkalmas D(t) fuggveny eseten, melynek erteke t-n kıvul csak KN -tol fugg.

Ha tehat τr = infs | |Xr(s)| ≥ r, akkor P (τr ≤ t) ≤E sup

0≤s≤tX2

r (s)

r2 → 0, ha r →∞.

Ugyanakkor tetszoleges r < q eseten az Xq-ra vonatkozo differencialegyenlet megoldasatmegallıtva abban a

τr,q = infs | |Xq(s)| > r

megallasi idopontban, azaz amikor abszolut erteke tulnone r szintet, akkor a [0, τr,q] inter-vallumon az aq, σq fuggvenyek helyett lehet az ar, σr fuggvenyeket tekinteni, tehat Xq(s) azs ≤ τr,q halmazon kielegıti az Xr-re vonatkozo egyenletet, melynek megoldasa egyertelmu,azaz a ket folyamat eddig a megallasi idopontig egybeesik.

Vegyuk eszre, hogy ezert t < τr,q eseten |Xr(t)| = |Xq(t)| ≤ r es t → τr,q < ∞ eseten|Xr(t)| = |Xq(t)| → r, tehat τr,q ≥ τr.

Igy

Xq(s)χs≤τr = Xr(s)χs≤τr ,

ha q ≥ r, ezert az

X(t)χ[0,τr](t) = Xq(t)χ[0,τr](t)

r < q osszefuggessel definialt folyamat minden t-re - ellentmondasmentesen - 1 valoszınuseggelmeghatarozza az X(t) valoszınusegi valtozo erteket. Az ıgy kapott folyamat folytonos tra-jektoriaju lesz es kielegıti a sztochasztikus differencialegyenletet.

Az elozo tetelek bizonyıtasa tobbszor hasznaltunk olyan gondolatmenetet, amely specialisesete az alabbi lemmanak.

Lemma 15.1 (Bellmann-Gronwall). Tegyuk fel, hogy teljesul az alabbi egyenlotlenseg

0 ≤ f(t) ≤ g(t) + h(t)

∫ t

0

f(s)ds,

ahol h, g, f folytonos fuggvenyek. Ekkor

f(t) ≤ g(t) + h(t)

∫ t

0

g(s)e∫ t

s h(u)du ds.


Bizonyıtas. A kiindulo egyenlotlenseg jobboldalan szereplo f fuggveny ertekeire alkal-mazzuk magat az egyenlotlenseget.

f(t) ≤ g(t) + h(t)

∫ t

0

g(s) ds+ h(t)

∫ t

0

h(s)

∫ s

0

f(u) du ds =

= g(t) + h(t)

∫ t

0

g(s) ds+ h(t)

∫ t

0

f(u)

∫ t

u

h(s) ds du

felcserelve az integralasok sorrendjet. Az itt szereplo f fuggvenyre ismet alkalmazhatjuk azeredeti egyenlotlenseget. Ezen gondolatmenet alapjan indukcioval igazolhatjuk, hogy

f(t) ≤ g(t) +n∑

k=0

h(t)

∫ t

0

g(s)(

∫ t

s

h(u) du)k 1

k!ds+ h(t)

∫ t

0

f(s)(

∫ t

s

h(u) du)n+1 1

(n+ 1)!ds.

Ugyanis az utolso tagban szereplo f fuggvenyre alkalmazva a kiindulo egyenlotlenseget,egyfelol (n+ 1). tagot kapunk a korabbi osszeghez, a maradektag pedig

h(t)

∫ t

0

h(s)

∫ s

0

f(τ)(

∫ s

τ

h(u) du)n+1 1

(n+ 1)!dτ ds =

= h(t)

∫ t

0

f(τ)

∫ t

τ

(

∫ s

τ

h(u) du)n+1 1

(n+ 1)!h(s)dsdτ =

= h(t)

∫ t

0

f(τ)(

∫ t

τ

h(s)ds)n+2 1

(n+ 2)!dτ,

hiszen az (∫ s

τh(u)du)n+2 1

(n+2)!fuggveny s szerinti derivaltja (

∫ s

τh(u) du)n+1 1

(n+1)!h(s).

A bizonyıtas befejezesehez arra van szuksegunk, hogy az f fuggvenyt tartalmazo maradek-tagrol megmutassuk, hogy nullahoz tart. Azonban a feltetelezett folytonossag miatt a [0, t]intervallumon a korlatossag is teljesul, azaz a maradektag valoban nullahoz tart.

Az elozo lemmaban kimondott becsles mas feltetelek mellett is igaz. Arra van csak szukseg,hogy az integralasok sorrendjet fel lehessen cserelni, s a maradektag nullahoz tartson.

16. SDE gyenge megoldasa

Theorem 16.1. Az Xt =∫ t

0sgn(Xs)dWs egyenletnek nincsen eros megoldasa, azonban gyen-

ge megoldasa van. (Itt a sgn fuggvenynek azt a valtozatat vegyuk, melynek erteke a nullaban1.)

Bizonyıtas. A bizonyıtashoz szuksegunk van az alabbi lemmara.

Lemma 16.1. Legyen Wt Wiener-folyamat. Ekkor

|W (t)| =∫ t

0

sgn(Ws) dWs + lt(W ),

ahol

lt(W ) = limε→0

1

2ε

∫ t

0

χ|Ws|≤ε ds.

60 MICHALETZKY GY.

Bizonyıtas. Legyenek ε′ < ε < ε′′ olyan szamok, amelyekre

ε′ + ε′′ = 2ε,ε

ε′→ 1,

ε

ε′′→ 1,

ha ε→ 0.Legyen fε olyan paros fuggveny, amelyre

fε(x) =

0 x > ε′′,1ε

0 ≤ x < ε′,

linearis ε′ ≤ x ≤ ε′′.

Specialisan, 1εχ(|x|≤ε′) ≤ fε(x) ≤ 1

εχ(|x|≤ε′′).

Tovabba gε(x) =∫ x

0fε(u) du. Ekkor gε(x) = sgn(x), ha |x| ≥ ε′′. Emellett legyen hε =

ε′′ +∫ t

ε′′gε(u) du. Mivel x > ε′′ eseten gε′′ erteke 1, ezert itt hε(x) = x. A gε fuggveny

paratlan, ezert az integralja −ε es ε kozott 0. Azaz hε(−ε′′) = ε′′. De gε(x) = −1, hax ≤ −ε′′, tehat itt hε(x) = −x. Azaz

hε(x) = |x| , ha |x| ≥ ε′′

hε(x) ∈ [0, ε′′] , ha |x| ≤ ε′′.

Igy hε(x) → |x|. Emellett

E

∫ t

0

(gε(Ws)− sgn(Ws))2 ds ≤ E

∫ t

0

χ(|Ws|≤ε′′) ds→ 0,

Lebesgue-tetele alapjan.Ezen elokeszıtes utan alkalmazzuk az Ito-formulat a hε(Wt) folyamatra.

hε(Wt) = hε(W0) +

∫ t

0

gε(Ws) dWs +1

2

∫ t

0

fε(Ws) ds.

Az elozetes elemzes alapjan ε→ 0 eseten a baloldal es a jobboldal elso ket tagja konvergal.Tehat a harmadik tagnak is van hatarerteke. Ezt jeloli lt(W ). Adodik tehat, hogy

|Wt| =∫ t

0

sgn(Ws) dWs + lt(W ).

Ugyanakkor az1

ε

∫ t

0

χ(|Ws|≤ε′) ds ≤∫ t

0

fε(Ws) ds ≤1

ε

∫ t

0

χ(|Ws|≤ε′′)

es ε′

ε→ 1, ε′′

ε→ 1 alapjan

lt(W ) = limε→0

1

2ε

∫ t

0

χ|Ws|≤ε ds.

Terjunk vissza a tetel bizonyıtasahoz. LegyenWt Wiener-folyamat es Zt =

∫ t

0sgn(Ws)dWs.

Ekkor Zt folytonos trajektoriaju martingal, melyre < Z >t=∫ t

0sgn2(Ws) ds = t. Ezert Z2

t −tis martingal, tehat Levy-tetele miatt Zt Wiener-folyamat. Ugyanakkor∫ t

0

sgn(Ws) dZs =

∫ t

0

sgn2(Ws) dWs = Wt,


az eredeti Ws folyamatot valasztva Xs-nek, es a Wiener-folyamatkent Zs-t tekintve kapjuk,hogy ez a par eleget tesz a differencialegyenletnek. Azaz letezik gyenge megoldas.

Megmutatjuk, hogy eros megoldas ugyanakkor nem letezik. Tegyuk fel, hogy rogzıtettWt,Ft mellett Xt eros megoldas. Ekkor Xt merheto az Ft σ-algebrara. Mint lattuk, Xt

Wiener-folyamat kell legyen, tehat abszolut ertekere alkalmazhatjuk a bizonyıtas elejen iga-zolt eloallıtast.

|Xt| =∫ t

0

sgn(Xs)dXs + lt(X) =

∫ t

0

sgn(Xs) · sgn(Xs) dWs + lt(X) = Wt + lt(X).

Mivel lt(X) az X folyamat abszolut erteketol fugg ezert

FXt ⊂ FW

t ⊂ F |X|t .

Tehat az Xt Wiener-folyamat erteket meg lehet mondani abszolut erteke ismereteben. Ezazonban nem lehetseges, hiszen

E(Xt | F |X|t ) = 0.

kolmogorov–alapt´etel ´es a prohorov-t...

Documents