kombinatoryka - fc.put.poznan.plfc.put.poznan.pl/materials/181-kombinatoryka-i.pdf · matematyka...
TRANSCRIPT
KOMBINATORYKA
OBIEKTY KOMBINATORYCZNE
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
dr hab. inż. Małgorzata Sterna
www.cs.put.poznan.pl/msterna/
TEORIA ZLICZANIA
Teoria zliczania – poszukiwanie odpowiedzi na pytanie „ile?” bez faktycznego zliczania.
Kombinatoryka – analiza problemów kombinatorycznych, dotyczących zbiorów skończonych.
Zliczaniu podlegają m.in. obiekty kombinatoryczne tj. :
wariacje z/bez powtórzeń,
permutacje z/bez powtórzeń,
kombinacje z/bez powtórzeń.
Podstawowe prawa teorii zliczania:
prawo sumy i iloczynu,
zasada włączania i wyłączania,
zasada szufladkowa Dirichleta,
zasada dwoistości.
© Małgorzata Sterna
2
Matematyka Dyskretna
PRAWO SUMY
Liczba sposobów na jakie można wybrać element należący do
jednego z dwóch rozłącznych zbiorów
jest równa sumie mocy tych zbiorów.
Dla zbiorów skończonych rozłącznych A i B (AB=):
|AB| = |A| + |B|.
Dla dowolnych zbiorów skończonych A i B:
|AB| = |A| + |B| - |AB|.
?An
1ii
Uogólnienie prawa sumy dla wielu zbiorów, to
zasada włączania/wyłączania:
© Małgorzata Sterna
3
Matematyka Dyskretna
PRAWO SUMY - PRZYKŁAD 1
grupa agentów składa się z 2 kobiet
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
4
i 4 mężczyzn
na ile sposobów można wybrać agenta do realizacji zadania
specjalnego?
A= B= AB=
|AB| = |A| +|B| = 4 + 2 = 6
PRAWO SUMY - PRZYKŁAD 2
Ile jest liczb podzielnych przez 2 lub 3 w zbiorze {1, 2, ..., 100} ?
A - zbiór liczb podzielnych przez 2
|A|=100/2 =50
B – zbiór liczb podzielnych przez 3
|B|=100/3 =33
AB – zbiór liczb podzielnych przez 2 lub 3
AB
AB – zbiór liczb podzielnych przez 2 i 3
|AB|=100/6 =16
|AB| = |A| + |B| - |AB| = 50 + 33 – 16 = 67
© Małgorzata Sterna
5
Matematyka Dyskretna
PRAWO ILOCZYNU
Liczba sposobów na jakie można wybrać
uporządkowaną parę elementów
jest równa liczbie możliwości
na jakie można wybrać pierwszy element przemnożonej
przez liczbę możliwości na jakie można wybrać drugi element.
Dla pary zbiorów skończonych A i B:
|AB| = |A|·|B|.
Dla dowolnych zbiorów skończonych A1, ..., An:
|A1 ... An| = |A1|·... ·|An| = .
n
1ii |A|
© Małgorzata Sterna
6
Matematyka Dyskretna
PRAWO ILOCZYNU- PRZYKŁAD
grupa agentów składa się z 2 kobiet i 4 mężczyzn
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
7
na ile sposobów można wybrać zespół agentów,
który ma udawać parę małżeńską?
A= B=
|AB| = |A| ·|B| = 4 · 2 = 8
,
mężczyzna kobieta
WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI
k-wyrazową wariacją z powtórzeniami
z n-elementowego zbioru A nazywamy
każdy k-wyrazowy ciąg
mogących się powtarzać elementów tego zbioru
(kn lub k>n).
liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze
zbioru n-elementowego wynosi:
kn)k,n(V
liczba wariacji z powtórzeniami,
to liczba możliwych rozmieszczeń k rozróżnialnych elementów
w n rozróżnialnych pudełkach
© Małgorzata Sterna
8
Matematyka Dyskretna
WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD
grupa agentów składa się z 6 osób
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
9
1 2 3 4
raz do roku organizowane są zawody dla agentów
w 4 różnych dyscyplinach, w których liczy się tylko zwycięstwo
ile jest możliwych rozstrzygnięć zawodów?
kolejność osób ma znaczenie - oznacza dyscyplinę (ciąg)
jeden agent może wygrać w kilku dyscyplinach (powtórzenia)
wariacja z powtórzeniami
n=6 k=4
296 16)4,6(V 4 kn)k,n(V
WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
10
1 2 3 4
n=6 k=4
ciąg k elementów wybranych z n elementów
n=6 rozróżnialnych pudełek
k=4 rozróżnialnych elementów wrzucanych w dowolny sposób do pudełek
1 2 3 4
WARIACJA BEZ POWTÓRZEŃ
k-wyrazową wariacją bez powtórzeń
z n-elementowego zbioru A nazywamy
każdy k-wyrazowy ciąg
różnych elementów tego zbioru
(kn).
liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń
ze zbioru n-elementowego wynosi:
V(n, k) = n·(n-1)·(n-2)·...·(n-k+1), dla kn
czyli
nk dla ,)!kn(
!n)k,n(V
© Małgorzata Sterna
11
Matematyka Dyskretna
WARIACJA BEZ POWTÓRZEŃ- PRZYKŁAD
grupa agentów składa się z 6 osób
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
12
pod koniec roku przydzielane są trzy nagrody dla najlepszych agentów
ile jest możliwych rozstrzygnięć konkursu?
kolejność osób ma znaczenie - oznacza zajęte miejsce (ciąg)
jeden agent może uzyskać tylko jedną nagrodę (brak powtórzeń)
wariacja bez powtórzeniami
n=6 k=3 1 2 3
)!kn(
!n)k,n(V
120
!3
!6
)!36(
!6)3,6(V
PERMUTACJA BEZ POWTÓRZEŃ
permutacją bez powtórzeń nazywamy
liniowe uporządkowanie
k rozróżnialnych elementów zbioru n-elementowego
(kn)
czyli
k-elementową wariację bez powtórzeń zbioru n-elementowego
liczba wszystkich k-wyrazowych permutacji bez powtórzeń zbioru
n-elementowego wynosi:
nk dla ,)!kn(
!n)k,n(V)k,n(P
!n!0
!n
)!nn(
!n)n,n(P
1!n
!n)0,n(P istnieje jedna permutacja pusta (k=0)
istnieje n! permutacji elementów zbioru (n=k)
© Małgorzata Sterna
13
Matematyka Dyskretna
PERMUTACJA BEZ POWTÓRZEŃ - PRZYKŁAD
Ile istnieje anagramów słowa KOMPUTER?
każdy anagram to liniowe uporządkowanie 8 różnych liter słowa
KOMPUTER
np. PUMTERKO, ERTUMPKO, ...
n = k = 8
P(8,8) = V(8,8) = 8! = 40 320
© Małgorzata Sterna
14
Matematyka Dyskretna
GENEROWANIE PERMUTACJI
1 2 3 4
1 2 4 3
)yxyx(y...yx...x kkllkl1k
n1n1
porządek leksykograficzny
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4123
4132
4213
4231
4312
4321
© Małgorzata Sterna
15
Matematyka Dyskretna
GENEROWANIE PERMUTACJI
1 2 3 4
2 1 3 4
porządek antyleksykograficzny
1234
2134
1324
3124
2314
3214
1243
1243
2143
1423
4123
2413
4213
1342
1342
3142
1432
4132
3412
4312
2341
2341
3241
2431
4231
3421
4321
)yxyx(y...y'x...x llkl
kknk
n1n1
© Małgorzata Sterna
16
Matematyka Dyskretna
GENEROWANIE PERMUTACJI
1 2 3 4
2 1 3 4
2 3 1 4
porządek o minimalnej liczbie transpozcji – kolejne permutacje otrzymywane są w wyniku zamiany pary elementów
1234
2134
2314
2341
3241
3214
3124
3124
1324
1342
3142
3412
3421
4321
4321
4312
4132
1432
1423
4123
4213
4213
4231
2431
2413
2143
1243
© Małgorzata Sterna
17
Matematyka Dyskretna
PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI
permutacją n-elementową z powtórzeniami zbioru A={a1,a2,...,ak},
w której element a1 powtarza się n1 razy, ...,
element ak powtarza się nk razy,
n1 + ... + nk = n,
nazywamy każdy ciąg n-wyrazowy, w którym
poszczególne elementy zbioru A powtarzają się
wskazaną liczbę razy
(kn lub k>n)
liczba takich n-elementowych permutacji z powtórzeniami wynosi:
k21k21
k21 n...nnn dla ,!n...!n!n
!n)n,...,n,n,n(P
można ją zapisać jako współczynnik wielomianowy
k21 n,...,n,n
n
© Małgorzata Sterna
18
Matematyka Dyskretna
PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD
Ile jest różnych anagramów słowa „NONSENS”?
każdy anagram to ciąg elementów ze zbioru A={N, O, S, E}
np. OSNENNS, SNENNOS, ...
elementy powtarzają się: nN=3, nO=1, nS=2, nE=1 razy
n =nN+nO+nS+nE=7
420!1!2!1!3
!7)1,2,1,3,7(P)n,n,n,n,n(P ESON
420!1!2!1!3
!7
1 ,2 ,1 ,3
7)n,n,n,n,n(P ESON
© Małgorzata Sterna
19
Matematyka Dyskretna
PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI
P(n, n1, n2, ..., nk) to liczba:
n-elementowych permutacji z powtórzeniami elementów k typów,
rozmieszczeń n rozróżnialnych obiektów w k rozróżnialnych
pudełkach, takich że w i-tym pudełku znajduje się ni obiektów,
podziałów uporządkowanych zbioru.
© Małgorzata Sterna
20
Matematyka Dyskretna
PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI
A ROZMIESZENIE ELEMENTÓW W PUDEŁKACH
permutacja z powtórzeniami słowa NONSENS o długości 7 liter
to przydzielenie do 4 pudełek
odpowiadających literom {N, O, S, E}
pozycji w permutacji,
czyli numerów ze zbioru {1, ..., 7}
liczba przydzielonych danej literze pozycji musi być równa liczbie
liter danego rodzaju w analizowanym słowie
1 2 3 4 5 6 7
O S N E N N S
N O S E
5 3
6 1 7
2 4
420!1!2!1!3
!7)1,2,1,3,7(P)n,n,n,n,n(P ESON
© Małgorzata Sterna
21
Matematyka Dyskretna
PODZIAŁY ZBIORU
Podziałem zbioru niepustego S nazywamy
rodzinę niepustych rozłącznych podzbiorów S,
których suma wynosi S.
(liczbę podziałów zbioru opisują liczby Stirlinga drugiego rodzaju)
Podziałem uporządkowanym zbioru niepustego S
nazywamy ciąg (A1, A2, ...,Ak),
którego elementy A1, A2, ...,Ak
tworzą podział zbioru S.
Jeżeli zbiór S ma n elementów i jeśli n1 + ... + nk=n,
to liczba podziałów uporządkowanych (A1, A2, ..., Ak) tego zbioru,
takich że |Ai|=ni, dla i=1,...,k wynosi:
k21
k21k21 n...nnn dla ,
!n...!n!n
!n)n,...,n,n,n(P
© Małgorzata Sterna
22
Matematyka Dyskretna
PODZIAŁY ZBIORU - PRZYKŁAD
S={1,2,3,4,5,6,7,8}
podziały zbioru S, np.:
{1,4,3}, {2,5,6,7,8}
{1,5}, {2,4,7}, {3,6,8}
podziały uporządkowane zbioru S, np:
({1,4,3}, {2,5,6,7,8})
({2,5,6,7,8}, {1,4,3})
({1,5}, {2,4,7}, {3,6,8})
({1,5}, {3,6,8}, {2,4,7})
({2,4,7}, {1,5}, {3,6,8})
© Małgorzata Sterna
23
Matematyka Dyskretna
PRZYKŁAD
w celu wykonania zadania specjalnego agenci muszą dojechać
na miejsce akcji trzema pojazdami, w których powinny jechać
odpowiednio 2, 1 i 3 osoby
na ile sposobów agenci mogą dojechać na miejsce akcji?
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
24
n1=2 n2=1 n3=3
n=6 k=3
grupa agentów (zbiór) zostaje podzielona na podzbiory
(samochody)
samochody są rozróżnialne (uporządkowane)
uporządkowany podział zbioru
PRZYKŁAD
uporządkowany podział zbioru
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
25
n1=2 n2=1 n3=3
n=6 k=3
, ,
A1 A2 A3
n1=2 n2=1 n3=3
!n!...n!n
!n
n...,...,,n,n
n
k21k21
60
!3!1!2
!6
PRZYKŁAD
uporządkowany podział zbioru
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
26
n1=2 n2=1 n3=3
n=6 k=3
, ,
rozmieszczenie n=6 elementów w k=3 pudełkach
taki, że w poszczególnych pudełkach znajduje się
określona liczba elementów (n1=2, n2=1, n3=3)
PRZYKŁAD
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
27
n1=2 n2=1 n3=3
n=6 k=3
poszczególni agenci to pozycje permutacji n-elementowej
informacja którym samochodem jadą, to element permutacji
permutacja z powtórzeniami
n=6 elementów k=3 typów
powtarzających się określoną liczbę razy
GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZIAŁÓW ZBIORU
z podziału A1,...,Ak zbioru {1, ..., n-1}
można uzyskać podział A’1, ..., A’k’ zbioru {1,...,n}
w następujący sposób:
A1{n}, A2, ...., Ak
A1, A2{n}, ...., Ak
A1, A2, ...., Ak {n}
A1, A2, ...., Ak, {n}
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
28
GENEROWANIE PODZIAŁÓW ZBIORU - PRZYKŁAD
istnieje 15 podziałów zbioru {1,2,3,4}
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
29
{1}
{1,2} {1}{2}
{1}{2}{3} {1}{2,3} {1,3}{2}
{1,2,3} {1,2}{3}
{1,2,3,4}
{1,2,3}{4}
{1,2,4}{3}
{1,2}{3,4}
{1,2}{3}{4}
{1,3,4}{2}
{1,3}{2,4}
{1,3}{2}{4}
{1,4}{2,3}
{1}{2,3,4}
{1}{2,3}{4}
{1,4}{2}{3}
{1}{2,4}{3}
{1}{2}{3,4}
{1}{2}{3}{4}
liczba podziałów
jest określona
przez liczby Bella
KOMBINACJA BEZ POWTÓRZEŃ
kombinacją k-elementową bez powtórzeń
n-elementowego zbioru A
nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A
(kn)
liczba wszystkich k-elementowych kombinacji bez powtórzeń
zbioru n-elementowego wynosi:
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
30
nk dla ,k
n
!k)!kn(
!n)k,n(C
)!kn(
!n
!k
1)k,n(P
!k
1)k,n(C
KOMBINACJA BEZ POWTÓRZEŃ - PRZYKŁAD
zadanie specjalne powinno wykonać 3 agentów
na ile sposobów można wybrać zespół do wykonania zadania?
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
31
kolejność osób nie ma znaczenia –
liczy się przynależność do zespołu (podzbiór)
agent może być wybrany tylko jednokrotnie (brak powtórzeń)
kombinacja bez powtórzeń
n=6 k=3
k
n)k,n(C 20
!3)!36(
!6
3
6)3,6(C
GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZBIORÓW ZBIORU
każdemu podzbiorowi Y
n-elementowego zbioru X={x1, ..., xn}, YX,
można przyporządkować liczbę binarną b1...bn o wartości
z zakresu od 0 do 2n-1, gdzie
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
32
Yx jesli ,1
Yx jesli ,0b
i
ii
generując wszystkie liczby binarne r, 0r2n-1,
można wyznaczyć wszystkie podzbiory zbioru n-elementowego X
GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZBIORÓW ZBIORU - PRZYKŁAD
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
33
istnieje 23=8 podzbiorów zbioru {a,b,c}
generacja podzbiorów przez generowanie liczb binarnych
a b c
0 0 0
1 0 0 {a}
0 1 0 {b}
1 1 0 {a, b}
0 0 1 {c}
1 0 1 {a, c}
0 1 1 {b, c}
1 1 1 {a, b, c}
w oparciu o kod Grey’a
kolejne podzbiory
powstają przez
dodanie/odjęcie
pojedynczego elementu:
0
23-1=7
...
a b c
0 0 0
1 0 0 {a}
1 1 0 {a, b}
0 1 0 {b}
0 1 1 {b, c}
1 1 1 {a, b, c}
1 0 1 {a, c}
0 0 1 {c}
GENEROWANIE PODZBIORÓW K-ELEMENTOWYCH
podzbiorowi k-elementowemu zbioru A={1, 2, ..., n}
odpowiada pewien ciąg (i1, ..., ir, ..., ik), gdzie irA, 1rk.
w celu wygenerowania podzbiorów k-elementowych
należy wyznaczyć wszystkie ciągi o długości k
spośród n symboli
w porządku leksykograficznym
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
34
GENEROWANIE PODZBIORÓW K-ELEMENTOWYCH - PRZYKŁAD
liczba podzbiorów 4-elementowych zbioru 6-elementowego
A={1,2,3,4,5,6}:
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
35
15!2!4
!6
4
6
i1i2i3i4
1256
1345
1346
1356
1456
i1i2i3i4
2345
2346
2356
2456
3456
i1i2i3i4
1234
1235
1236
1245
1246
generacja podzbiorów przez generacje permutacji
4-elementowych ze zbioru 6 elementowego
w porządku leksykograficznym
KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI
zestaw k-elementów,
z których każdy należy do jednego z n-rodzajów elementów,
nazywamy k-elementową kombinacja z powtórzeniami
ze zbioru n-elementowego
(kn lub k>n)
liczba wszystkich k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze
zbioru n-elementowego wynosi:
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
36
1)!-(nk!
)!1kn(
k
1-kn)k,n(C
KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI
liczba C(n,k) określa liczbę:
k-elementowych kombinacji z powtórzeniami
ze zbioru n-elementowego,
rozmieszczeń k identycznych elementów w
n rozróżnialnych pudełkach
całkowitoliczbowych rozwiązań równania postaci:
x1+x2+...+xn=k, xi 0 dla 1 i n,
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
37
KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
38
w zawodach na najlepszego agenta rozgrywane są 4 konkursy, w
których zwycięzca otrzymuje nagrodę 1$
na ile sposobów może być rozdzielona pula nagród?
kolejność osób nie ma znaczenie ponieważ nagroda jest taka
sama w każdym konkursie
jeden agent może wygrać w kilku konkursach (powtórzenia)
kombinacja z powtórzeniami
1$ 1$ 1$ 1$
n=6 k=4
k
1kn)k,n(C 126
4
9
4
146)4,6(C
uporządkowanie
elementów jest
istotne
powtórzenia
elementów są
dopuszczalne
obiekt
kombinatoryczny
liczba
obiektów
kombinatorycznych
0k,nn)k,n(V k
nk0)!kn(
!n)k,n(P)k,n(V
0k,nk
1kn)k,n(C
nk0k
n)k,n(C
+ - wariacja
(permutacja) bez
powtórzeń
+
+
wariacja z
powtórzeniami
- - kombinacja bez
powtórzeń
-
+
kombinacja z
powtórzeniami
© Małgorzata Sterna
39
Matematyka Dyskretna
k elementów n pudełek obiekt
kombinatoryczny
liczba
obiektów
kombinatorycznych
0k,nn)k,n(V k
0k,nk
1kn)k,n(C
identyczne rozróżnialne
rozróżnialne rozróżnialne
rozróżnialne identyczne
identyczne identyczne
kombinacja z
powtórzeniami
wariacja z
powtórzeniami
liczby Stirlinga 2-
giego rodzaju
podziały liczb
całkowitych
?
?
© Małgorzata Sterna
40
Matematyka Dyskretna
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Zliczanie obiektów kombinatorycznych
(wariacji, permutacji, kombinacji, ...)
umożliwia określanie prawdopodobieństwa zdarzeń.
Każdy obiekt kombinatoryczny można interpretować jako
zdarzenie elementarne - .
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
(obiektów kombinatorycznych danego typu)
tworzy przestrzeń zdarzeń elementarnych - .
Zdarzenie E,
to podzbiór zbioru , E.
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
41
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa zakłada się, że:
zdarzenia elementarne są rozłączne,
i równie prawdopodobne,
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
42
E)E(P
1})({P)P( oraz 1
)(P
zliczając:
wszystkie zdarzenia elementarne i
zdarzenia elementarne wspierające dane zdarzenie E
możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia E - P(E).
wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia E, P(E), wynosi:
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD
Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania fulla w pierwszym
rozdaniu?
pojedyncze rozdanie, to wybór 5 kart z talii 52 kart
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
43
960 598 2!47!5
!52
5
52
10
2
A
5
A
wszystkie możliwe rozdania tworzą przestrzeń
liczba możliwych rozdań, to liczba
podzbiorów 5-elementowych ze zbioru 52 elementowego
kombinacji bez powtórzeń
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD
aby określić prawdopodobieństwo wystąpienia fulla należy
zliczyć liczbę rozdań będących fullami |E|
full jest zbiorem kart 2 typów (po 2 i 3 karty)
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
44
10
10
A
A
A
liczba fulli wynika z liczby
typów fulli – par typów kart
pokolorowań kart – pokolorowań kart danego typu
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD
liczba typów fulli
parę kart 2 typów (10, A)
wybieramy spośród 13 typów kart {A,K,D,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2}
wybór jest ciągiem dwóch różnych elementów
czyli wariacją bez powtórzeń
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
45
10
10
A
A
A
10
A
n=13
k=2 )!kn(
!n
)!213(
!13
!11
!13 1213 156
10
A
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD
każdy z 156 typów fulli należy pokolorować
liczba pokolorowań dla każdego typu fulla
kolorując kartę dokonujemy wyboru 2 lub 3 kolorów
spośród 4 {,,,}
wybór jest podzbiorem 2 lub 3 różnych elementów
czyli kombinacją bez powtórzeń
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
46
10
10
A
A
A
n=4
k=2
n=4
k=3
k
n
2
4
!2!2
!4 6
k
n
3
4
!1!3
!4 4
z prawa iloczynu liczbę pokolorowań należy wymnożyć
liczba pokolorowań wynosi 6·4 =24
ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD
© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna
47
10
10
A
A
A
2
4
3
4
)!213(
!13
= 2 599 960 10
2
A
5
A
5
52
= 3 744
prawdopodobieństwo otrzymania fulla wynosi
00144,0
2599960
3744E)E(P
E