kompiuterinė lazerių fizikaweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas... · 2015. 9....

Kompiuterinė lazerių fizika

ĮVADAS

Knyga

http://web.vu.lt/ff/v.pyragaite/

Skyrelis KLF

http://web.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/KNYGA_KLF.pdf

Paskaitų medžiaga

http://web.vu.lt/ff/v.pyragaite/

http://web.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/KNYGA_KLF.pdf

Laboratoriniai

311 aud.

Matlab

Užduotys, surašytos interneto puslapyje

Knygoje – ruošiniai Scilab kalba (Matlab nemokamas analogas)

Interneto puslapyje – Matlab ruošiniai.

Kitas nemokamas Matlab analogas – Octave.

Literatūra

Istorija

LASER – light amplification by stimulated emission of radiation

Lazerio principas kilo iš maser’io principo

MASER – microwave amplification by stimulated emission

Mazeris buvo pasiūlytas: Basov ir Prokhorov (1954-1955) bei Townes (1954).

Schalow ir Townes perkelė jo principą į matomą spinduliuotę.

Mazeris – perėjimai tarp molekulinių lygmenų.

Lazeris – perėjimai tarp atomo elektrono lygmenų.

Pirmąjį mazerį sukonstravo Basov ir Prokhorov.

Pirmąjį veikiantį rubino lazerį sukonstravo Maiman 1960.

Apie lazerių fiziką Lietuvoje: M. Vengris, Odė lietuviškiems lazeriams. DELFI

Lazerio sandara

•Optinis rezonatorius

•Aktyvoji terpė

•Kaupinimo šaltinis

Rezonatorius

•Fabry – Perot (stovinčios bangos)

•Žiedinis (bėgančios bangos)

Lazerio veikimo mechanizmas

Užpildos apgrąža (inversija) – lazerio generacijos sąlyga.

Kaupinimas viršija nuostolius. Nuostoliai – dėl spinduliuotės išvedimo.

Lygmenų schemos.

Trijų lygmenų schemos

Pvz.: rubino lazeris

Lygmenų schemos.

Keturių lygmenų schema Kvazitrijų lygmenų schema

Pvz.: Nd:IAG Pvz.: Yb:IAG

Lazerio spinduliuotės savybės:

•Didelės galios (petawatai - rekordiniai)

•Kryptingumas

•Monochromatiškumas (δν/ν=10-15)

•Koherentiškumas (300000 km – koherentiškumo ilgis)

•Ultratrumpieji impulsai (fs)

Lygmenų išplitimas

Dėl įvairių priežasčių lazeriniai lygmenys išplitę:

Gauso (Maksvelo greičio pasiskirstymas)

Lorenco (baigtinė gyvavimo trukmė)

Lazerio aprašymas

•Rate equations (balanso lygtys) - fenomenologinė teorija.

leidžia įvertinti lazerio generacijos slenkstį

juodo kūno spinduliavimo formulė

moduliuotos kokybės lazerio impulso evoliucija

•Pusiau klasikinė teorija – atomas aprašomas kvantmechaniškai, šviesa –

klasikinė, elektromagnetinė banga.

pažangesnė teorija nei balanso lygčių; galima išsivesti balanso lygtis (kai

faziniai sąryšiai tarp modų nesvarbūs)

galima aprašyti modų sinchronizaciją (svarbūs faziniai sąryšiai)

trukumas – neaprašo spontaninio spinduliavimo (relaksacija, nelazeriniai

šaltiniai)

•Kvantinė lazerio teorija – ir atomas, ir šviesa kvantiniai. Paaiškina spontaninį

spinduliavimą. Fotono sąvoka.

Detaliau pilnai kvantinės teorijos nenagrinėsime, Spontaninis spinduliavimas

dirbtinai įskaitomas pusiau klasikinėje teorijoje, prirašant papildomus narius

lygtyse.

Pradžioje panagrinėsime balanso lygtis.

Lazerio aprašymas – rate equations

Fotonų skaičiaus

kitimo sparta

Sparta, kuriuo

sužadintas atomas

generuoja/sugeria fotoną

Dviejų lygmenų schema, neįskaitomas spontaninis spinduliavimas.

Viršutinio lygmens

užpilda, priverstinis

spinduliavimas

Apatinio lygmens

užpilda, priverstinė

sugertis

Praradimai

rezonatoriuje


Viršutinio lygmens

užpildos kitimo sparta

Tikimybė pereiti iš

apatinio lygmens į viršutinį

(dėl kaupinimo)

Tikimybė pereiti iš

viršutinio lygmens

Į apatinį (pvz. susidūrimai)

Priverstiniai

spinduliavimas

bei sugertis


Analogiškai apatiniam lygmeniui:

Sudėję turime

Taigi, bendras atomų

skaičius – nekintantis

dydis


Pažymėję

Galime išreikšti

Tuomet


Pažymime

vadinsime neįsotinta

Inversija (bus aišku, kodėl)

Gauname

bei

Tai yra dvi sukabintos diferencialinės lygtys. Bendru atveju analiziškai

jos nesisprendžia. Panagrinėsime pradžiai stacionarius sprendinius.


Stacionarus atvejis

Matome, kodėl buvo įvestas terminas ‘neįsotinta inversija’. Kai fotonų skaičius

mažas, D lygus D_0.


Fotonų skaičiui stacionariuoju atveju turime

Ši lygtis turi du galimus sprendinius:

ir

Panagrinėkime šiuos sprendinius išsamiau.


-Nėra lazerio generacijos

(neįskaitytas spontaninis spind.)

Kai , galimas tik nulinis sprendinys.

Kai

galimas sprendinys.

Tai yra lazerio generacijos sąlyga.

Kaupinimas turi būti pakankamas,

kad būtų sukompensuoti

nuostoliai.


Stacionarųjį sprendinį

Galima apytiksliai perrašyti (D spėja sekti n pokyčius)

įrašę į:

Gauname

arba

Per laiką T inversija pakinta

neženkliai – galima taikyti

stacionarųjį sprendinį.


Startuodami iš bet kokios pradinės sąlygos,

sprendinys suvažiuoja į nulį

Sprendinys artėja link n_0

Užduotis: sumodeliuoti šią lygtį Runge-Kutta metodu abiem atvejais

esant skirtingom pradinėm sąlygoms. Palyginti su teoriniu sprendiniu.

Analizinis sprendinys:


a=1

b=1

a=-1

b=1


Stabilumo analizė

Rimties taškas

Įrašome

gauname


Stabilumo analizė

Kitas rimties taškas

Įrašome

gauname

Runge-Kutta metodai

Runge-Kutta metodais sprendžiamos paprastos diferencialinės lygtys.

x gali būti vektorius – lygčių sistema.

Oilerio metodas

Skleidimas Teiloro eilute

Maži nariai, į juos

šiame metode

neatsižvelgiama

Oilerio metodas

Skleidimas Teiloro eilute

vietoj galime parašyti

Diskretizavimo schema:

Reikia mažų laiko žingsnelių, ilgai skaičiuos.

RK2 metodas

Norint pagerinti tikslumą, taikomas patikslintas RK2 metodas.

Skleidimas Teiloro eilute:

Iš kitos pusės

ir

RK2 metodas

Iš čia seka

RK2 metodas

randama Oilerio metodu:

Taigi,

RK2 metodas

arba

RK2 metodas


RK4 metodas

RK4 metodas atitinka skleidimą Teiloro eilute iki ketvirtosios išvestinės.

Jis yra optimalus skaičiavimo spartos atžvilgiu.


Runge Kutta metodas su Matlab

Funkcija [t,y]=ode45(@func, [tprad tgal],[y0]);

Funkcija func aprašoma to paties pavadinimo faile func.m

Matlab Help:

ODE::defined

Piešimas:

plot(t,y);

Paviršinė vandens banga = išilginė b.+ skersinė b.

Bangų matematinis aprašymas

Kaip aprašyti bangą matematiškai?

atsilenkimas nuo pusiausvyros padėtiesPažymėkime:

Dabar nesvarbu, ar tai atsilenkimas išilgai bangos sklidimo krypties (išilginė banga),

ar statmenai bangos sklidimo krypties (skersinė banga).

Jei yra bet kokia funkcija f nuo argumento:

vxt / vxt /arba

tai ji nusako bangos sklidimą greičiu v, X ašies kryptimi arba priešinga

kryptim.t – laikas.

Iš tikrųjų: vdtdxconstxvt /

Kodėl v yra bangos greitis?

(Kai funkcijos argumentas pastovus, tai ir funkcijos reikšmė pastovi.)


Taigi, funkcijos

)/(),(

)/(),(

vxtftx

vxtftx

aprašo bangos sklidimą X ašies kryptimi

aprašo bangos sklidimą prieš X ašį

Harmoninės bangos

])/[cos(),( vxtatx

Iš periodiškumo sąlygų:

/22 Tt

- ciklinis dažnis

T

vTvvx /22/

- periodas

- bangos ilgis

Kadangi /1T - virpesių dažnis

tai /v


Užrašysime kosinuso argumentą simetrine forma:

kxtvxt /

Čia

Tvvk /2/

arba /2k - banginis skaičius

Taigi harmoninė banga gali būti užrašyta taip:

)cos( kxta


)cos( kxta


Šios funkcijos aprašo plokščias bangas: bangos frontas (vienodos

fazės paviršius) yra plokštuma, statmena X ašiai. Banga, sklindanti

bet kokia pasirinkta kryptimi, aprašoma tokia lygtim:

)/( vnrtf

n

- vienetinis vektorius, aprašantis bangos sklidimo kryptį

Harmoninės bangos atveju

)cos( rkta

k

- banginis vektorius


Banginės lygtys

Turėjome

)/(),( vxtftx

Pažymėkime fazę: vxt /

Raskime išvestines pagal laiką ir koordinatę:

vxx

tt

1

1

Iš čia seka

tvx

1Tai yra pati paprasčiausia

banginė lygtis


Bangai, sklindančiai priešinga kryptimi, atliksime pakeitimą

vv

Tuomet

tvx

1

Taigi, kiekviena iš dif. lygčių aprašo bangą, sklindančią viena arba

priešinga kryptim. Išvesime diferencialinę lygtį, kurios sprendiniai bus

dviejų tokių bangų superpozicija.


2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

111

vxvxvx

tttt

Tuo tikslu raskime antrąsias išvestines:

Iš čia gauname banginę lygtį:

2

2

22

2 1

tvx

Jos bendrasis sprendinys

)/()/( 21 vxtfvxtf


Trimačiu atveju banginė lygtis atrodo taip:

2

2

2

1

tv

Sferinėje koordinačių sistemoje, jeigu sprendinys nepriklauso nuo erdvinių

kampų, ši lygtis atrodo taip:

)(1

)(2

2

22

2

rtv

rr

Jos bendrasis sprendinys:

r

vtrf

r

vtrf )()( 21

Tai yra išsieinančios ir susieinančios sferinių bangų superpozicija.


Kompleksinis atvaizdavimas.

Pagal Eulerio formulę:

)sin()cos()exp( ii

Skaičiavimuose patogu plokščią bangą atvaizduoti kompleksinėje

formoje:

])[exp( rktiA

amplitudė fazė

Animacijų kurimas su Matlab

Animacija

Animacijų kurimas su Matlab

Matlab kodas

Banginės lygties modeliavimas

xv

t


Diskretizavimas:

),(),( tjxitx

i, j – sveikų skaičių seka

ji ttjxxi ,Pažymime:

Mes turime pradinę sąlygą: )()0,( 0 xtx

Uždavinys: rasti bangos pavidalą sekantiems laiko momentams: ,...,, 321 ttt

jt

tt j

0 x x2 Nxx

Išvestinę paimam iš banginės lygties:

Teiloro eilutėje įskaitomi tik du pirmieji skkleidimo nariai,

toks artinys vadinamas pirmuoju Oilerio metodu.

Žinodami , galima rasti pagal Teiloro formulę:


),( jtx ),( 1jtx

ij xxtt

jijit

ttxttx

,

),(),(

ij xxttt

,

ijij xxttxxtt xv

t

,,


ij xxttx

,

radimas

2

22

,

2

22

,

2

)(),(),(

2

)(),(),(

x

x

xxtxtxx

x

x

xxtxtxx

ij

ij

xxtt

jiji

xxtt

jiji

Iš pirmo lygties atimam antrąją, gauname

)2/()},(),({,

xtxxtxxx

jiji

xxtt ij


Taigi, gauname

)2/()},(),({),(),( xtxxtxxtvtxttx jijijiji

Tačiau ši schema nestabili. Naudosime Crank-Nikolson schemą.

Arba, žinoma tokia stabili schema:

Čia pirmajame žingsnyje naudojama ankstesnė schema.

Crank-Nikolson metodas

Diskretizavimo schema yra tokia:

Stabili schema.

Implicit ir explicit metodai.

Crank-Nikolson metodas (išvedimas)

Pasižymime

Diskretizavimo schemos kairė pusė:

Iš banginės lygties:


Iš banginės lygties:

Pasižymime:

Iš vienos pusės

Iš kitos pusės


Iš vienos pusės

Iš kitos pusės

Dešiniosios pusės vienodos. Sulyginame kairiąsias


Pasižymime

Gauname diskretizavimo schemą:


Matriciniame pavidale

Visi kiti matricų A ir B elementai nuliniai.


Turime matricinę lygtį:

Ieškomas:

Ax=b matricinės lygties Matlab sprendimas: x=A\b

kompiuterinė lazerių fizikaweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas... · 2015. 9....

Documents