SAOBRAĆAJNI FAKULTET

TRAVNIK

DRUMSKI I GRADSKI SAOBRAĆAJ

TRIGONOMETRIJSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA

SEMINARSKI RAD

Predmet: Student:

Matematika I Siniša Gordić

Mentor: Br. Indexa:

Doc.dr.sc. Sead Rešić

Travnik, Novembar 2014

SADRŽAJ

1.UVOD…………………………………………………………………………………... 32. TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJA………………………... 43. STEPENOVANJE I KORJENOVANJE KOMPLEKSNIH BROJEVA…………......... 74. EULEROVA FORMULA……………………………………………………………… 105. ZAŠTO SU UVEDENI KOMPLEKSNI BROJEVI…………………………………… 126. FORMULA ZA RJEŠENJE KUBNE JEDNAČINE…………………………………... 14LITERATURA …………………………………………………………………………… 21

2

1. UVOD

Imaginarni brojevi prvi put su se pojavili u 16. vijeku vezano za problem rješavanja kubne jednačine. Njihova upotreba raširila se tokom 19. vijeka, kad su se pojavile i prve primjene.

Najpoznatije primjene vezane su za teoriju elektriciteta i magnetizma (koju bitno pojednostavljuju) te za kvantnu teoriju.

Kao motivacija za uvođenje imaginarnih brojeva obično se uzimaju kvadratne jednačine s realnim koeficijentima. Poznato je da ako je diskriminanta D = b2 - 4ac kvadratne jednačine ax²+bx+c = 0 negativna, ta jednačina nema realnih rješenja. Osnovni primjer takve jednačine je

x2 + 1 = 0:

Po dogovoru, ta jednačina (iako nema realnih rješenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje negativan broj -1) ima dva rješenja u kompleksnim brojevima. To su1 i i -i tj. Oba broja (i i -i) su rješenja kvadratne jednačine x² +1 = 0 (kao što su 1 i -1 rješenja kvadratne jednačine x²-1 = 0). Broj i zove se imaginarna jedinica. Dakle, defnicija imaginarne jedinice je da je to jedan od dva moguća broja koji kvadrirani daju 1:

i2 = -1:

Isto svojstvo ima i -i: (-i)2 = (-i)(-i) = (-1)2i2 = 1 f (-1) = -1.

Kompleksni brojevi se definišu kao sve linearne kombinacije 2 (s realnim koeficijentima)

brojeva 1 i i tj. kompleksni brojevi su brojevi oblika

z = x + yi

s x; y 2 R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnog broja su realni brojevi). Skup svih kompleksnih brojeva označavamo s C. Skup R je podskup od C jer svaki realni broj x možemo shvatiti kao kompleksni broj x + 0 f 1. Brojeve kojima je realni dio nula zovemo čisto imaginarnima.

1 Oznaka i za imaginarnu jedinicu potiče iz 18. vijeka, koju je uveo švicarski matematičar L. Euler.

2 Linearne kombinacije su izrazi oblika fx + fy + : : :, gdje su f; f; : : : skalari, a x; y; : : : vektori.

3

2. TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJA

Argument kompleksnog broja z je kut ө takav da je tg ө = y/x , radi se o kutu koji radij-vektor od z zatvara s realnom osi.

Primjer 1

Argument svakog pozitivnog realnog broja je 0, a argument svakog čisto imaginarnog broja s

pozitivnim imaginarnim dijelom (npr. broja i) je

Kako je svaka točka u ravnini potpuno odre.ena svojim polarnim koordinatama, a iz gornjeg

se vidi da su polarne koordinate broja z, slijedi da je prikazu z = x + yi (koji odgovara Kartezijevom koordinatnom sustavu) ekvivalentan prikaz

Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Primjer 2

Trigonometrijski prikaz bitno olakšava množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. Korištenjem adicionih formula za sinus i kosinus lako je provjeriti da vrijedi za

4

Slika 1: Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja.

Slika 2: Množenje kompleksnih brojeva.

5

Iz posljednje formule se vidi da je argument recipročnog broja 1=z suprotan argumentu odz, kao što je i argument od z. To je objašnjenje već prikazane slike 7.

Primjer 3

Sad se vidi da se množenje geometrijski gledano svodi na kombinaciju rotacije i množenja apsolutnih vrijednosti kompleksnih brojeva: radij-vektor koji predstavlja produkt je po smjeru zarotirani radij vektor jednog broja za kut jednak argumentu drugog, a po duljina je jednak produktu apsolutnih vrijednosti množenih brojeva. Specijalno, množenje kompleksnog broja nekim brojem kojem je apsolutna vrijednost jednaka 1 interpretira se kao rotacija za argument tog drugog broja.

6

Slika 3: Množenje s i je rotacija za pravi kut.

3. STEPENOVANJE I KORJENOVANJE KOMPLEKSNIH BROJEVA

Promotrimo prvo potencije broja i. Imamo:

Dakle, potenciranje broja i na višekratnik od 4 daje 1 i potencije se ciklički ponavljaju nakon svakog višekratnika od 4. Nadalje, potencije od i nalaze se na jediničnoj kružnici kao vrhovi kvadrata.

Za potenciranje kompleksnih brojeva na prirodne potencije se koristi de Moivre-ova formula

7

Primjer 4

Slika 4: Potencije kompleksnog broja (kojem je apsolutna vrijednost manja od 1).

Potencije od z se prema toj formuli dobivaju redom tako da argument povećavamo za argument od z i istovremeno potenciramo apsolutnu vrijednost, što je ilustrirano slikom 12.

Korjenovanje je kompliciranije jer svaki kompleksan broj z ima n n-tih korijena (tj. Kompleksnih brojeva w takvih da je wn = z ima n). Geometrijski ti se korijeni nalaze u vrhovima pravilnog n-terokuta na kružnici radijusa npjzj (tu gledamo korijen u smislu njegovog značenja u realnim brojevima) kojoj je središte u ishodištu, s tim da prvi od njih ima

argument f

Svi n-ti korijeni dobiju se kao

8

Primjer 5

Četvrti korijeni iz 1 imaju apsolutnu vrijednost , a prvi po redu ima

argument

Svaki sljedeći ima argument veći za

te su treći korijeni od i redom

1; i;-1;-i.

Primjer 6 Treći korijeni iz i imaju apsolutnu vrijednost , a prvi po redu ima argument

Svaki sljedeći ima argument veći za

te su četvrti korijeni od i redom

9

4. EULEROVA FORMULA

Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikaza kompleksnih brojeva:

Stoga je

Eksponencijalna funkcija u Eulerovoj formuli je eksponencijalna funkcija s bazom e proširena na kompleksne brojeve; ona ima mnoga specijalna svojstva, no osnovne formule za baratanje eksponencijalnim izrazima i dalje vrijede.

Specijalno, imamo

Iz Eulerove formule dobiju se još preglednija pravila računa s kompleksnim brojevima:

Zbrojimo li i oduzmemo dobit ćemo i iduće dvije važne formule:

10

Primjer 7

Tj ii je realan broj!

11

5. ZAŠTO SU UVEDENI KOMPLEKSNI BROJEVI

Uobičajeno je mišljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadžba imala rješenje (na primjer, jednadžba x2 + 1 = 0 nema realnih rješenja, a nakon uvođenja kompleksnih brojeva ima dva rješenja: i i -i). To se kasnije podupire još jačim argumentom da svaka algebarska jednadžba stupnja n ima točno n rješenja (uključujući kratnost). Na primjer, jednadžba

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = 0

ima točno četiri rješenja: dvostruko rješenje 1 i jednostruka rješenja i, -i. To se obrazlaže rastavom na faktore:

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x2 + 1)

za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno rastavom

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x - i) (x + i).

Ponekad se uvođenje kompleksnih brojeva obrazlaže Bézoutovim poučkom:

Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u točno mn točaka (računajući kratnosti i točke u beskonačnosti).

Takav poučak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao koniku u točno dvjema točkama i općenito krivulju reda n u n točaka. Na primjer, pravac s jednadžbom y = x + 2 ne siječe kružnicu s jednadžbom x2 + y2 = 1 (ako se razmatraju samo realne točke), međutim, siječe je u točkama

(-1 - √2 / 2 i, 1 - √2 / 2 i)   i   (-1 + √2 / 2 i, 1 + √2 / 2 i).

Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematičarima su dobar povod za uvođenje korijena od negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Međutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nužni.

U vrijeme uvođenja kompleksnih brojeva u matematiku (u 16. stoljeću) kvadratna je jednadžba bila poznata više od 3000 godina. Stari su je matematičari već rješavali i znali su da može imati dva, jedno ili nijedno rješenje i to im je bilo dovoljno. Također se naslućivalo da algebarska jednadžba stupnja n ima najviše n rješenja (tu se misli samo na jednadžbu s realnim koeficijentima i samo na realna rješenja jer za druge nisu ni znali).

Razlogom za uvođenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematički problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobići, a takav se problem pojavio pri rješavanju

12

kubne jednadžbe. O čemu je riječ ukratko ćemo govoriti u nastavku. Kako je poznato, svaka je kubna jednadžba ekvivalentna jednadžbi oblika

x3 + ax2 + bx + c = 0

gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednadžbama matematičari imali poteškoća više od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 16. stoljeća nisu uspjeli "ukrotiti". Neke je od tih jednadžbi lako riješiti; primjerice jednadžba x3 - x = 0 ima rješenja 0, 1, -1. Slično je za svaku kubnu jednadžbu s racionalnim

koeficijentima (tj. jednadžbu za koju je a, b, c ), koja ima bar jedno racionalno rješenje.

Naime, kod takvih jednadžbi u pravilu je lako naći racionalno rješenje r = p / q; p,q . Nakon što jednadžbu pomnožimo sa zajedničkim višekratnikom svih koeficijenata, p mora dijeliti slobodni, a q vodeći koeficijent jednadžbe. Kako ima konačno takvih mogućnosti, načelno možemo doći i do one povoljne. Kad znademo racionalno rješenje r, onda dijeljenjem možemo doći do rastava:

x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b')

pa se preostala rješenja početne kubne jednadžbe dobiju rješavanjem kvadratne jednadžbe x2 + a'x + b' = 0. Takve se kubne jednadžbe često pojavljuju u srednjoškolskim zadatcima, a i na sveučilištu. Međutim, što je s jednadžbom

x3 - 6x + 2 = 0 ?

Pokušajte je riješiti! O toj ćemo jednadžbi više reći poslije, a sada se poslužimo sličnim argumentima kao i za kubne jednadžbe s racionalnim koeficijentima i s barem jednim racionalnim rješenjem kako bismo zaključili da svaka kubna jednadžba s realnim koeficijentima ima barem jedno realno rješenje (ukupno 3 kompleksna rješenja, uključujući kratnosti). Izraz x3 + ax2 + bx + c za dovoljno je velike pozitivne x-eve pozitivan, a za dovoljno male negativne x-eve negativan, pa je za neki x jednak nuli. Zaključujemo da jednadžba x3 + ax2 + bx + c = 0 ima bar jedno realno rješenje r. Sada je

x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b')

pa mogu nastupiti sljedeće mogućnosti:

(i) jednadžba ima 3 realna različita rješenja,

(ii)   jednadžba ima 1 realno jednostruko i 1 realno dvostruko rješenje,

(iii)   jednadžba ima 1 realno trostruko rješenje,

(iv)   jednadžba ima jedno realno i dva konjugirano kompleksna rješenja.

13

U doba otkrivanja formula za rješenje kubne jednadžbe nije bilo kompleksnih brojeva pa su (iv) ondašnji matematičari shvatili kao

(iv)'   jednadžba ima 1 rješenje.

6. FORMULA ZA RJEŠENJE KUBNE JEDNAČINE

Dovoljno je razmatrati jednadžbu x3 + px + q = 0, gdje su p, q realni brojevi (to se

dobije zamjenom x - a/3 x). Ako napišemo x = u + v, uz uvjet uv = -p/3, dolazimo do sustava

u3 + v3 = -q,

u3 v3 = -p3/27,

odakle je

x = 3√ -q/2 + √(q2/4 + p3/27) + 3√ -q/2 - √(q2/4 + p3/27)

(to je prikaz rješenja x u obliku u + v). Ta se formula zove Cardanova formula (prema talijanskom matematičaru koji je tu formulu objavio 1545. g. u djelu Artis Magnae).

Pogledajmo kako su se matematičari u početku koristili tom formulom.

Primjer 1:     x3 + 3x + 2 = 0,   p = 3,   q = 2.

x = 3√ -1 + √2 + 3√ -1 - √2 = 3√ -1 + √2 - 3√ 1 + √2.

Tada su matematičari znali samo za realne brojeve i tu nije bilo problema:

u = 3√ -1 + √2, v = - 3√ 1 + √2, uv = 3√ -1 + √2 (- 3√ -1 + √2 ) = - 3√-1 = -1

(naime, 3√ je za njih jednoznačna neparna funkcija definirana za sve realne brojeve, a √ je definiran za nenegativne realne brojeve). Tako je dobiveno jedinstveno rješenje početne jednadžbe. To se može i provjeriti. Ta jednadžba ima i dva kompleksno-konjugirana rješenja, međutim, matematičari 16. st. o tome na početku nisu vodili računa, niti im je, u ovom slučaju, to bilo potrebno.

Primjer 2:     x3 - 3x = 0.

Za tu jednadžbu ne treba formula. Odmah se vidi da su rješenja x1 = 0, x2,3 = √3. Pokušajmo ipak primijeniti formulu. Tu je p = -3, q = 0, pa je

x = 3√√-1 + 3√-√-1.         (*)

14

Vidimo da nas Cardanova formula, u ovom jednostavnom slučaju, dovodi do teških problema - drugih korijena iz negativnih brojeva. To je navelo matematičare 16. st. da se pozabave i takvim matematičkim objektima. Ako su ovakav slučaj mogli i zanemariti (jer već znaju rješenja: 0, √3, -√3), neke su im jednadžbe stvarale još veće poteškoće.

Primjer 3:     x3 - 6x + 2 = 0.

Lako se vidi da ta jednadžba nema racionalnih rješenja. Cardanova formula daje sljedeći izraz:

x = 3√ -1 + √-7 + 3√ -1 - √-7.         (**)

Sljedeća tablica govori nam da bi ta jednadžba trebala imati tri realna rješenja:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

x3-6x+2 -7 6 7 2 -3 -2 11

Zaključujemo da je -3 < x1 < -2; 0 < x2 < 1; 2 < x3 < 3.

Za razliku od prethodnog primjera, matematičari 16. st. u početku nisu uspjeli doći do tih realnih brojeva, nego su samo imali izraz (**) u kojemu su morali vaditi korijene iz negativnih brojeva. Pred njima su se pojavila sljedeća pitanja:

1. Kako iz izraza (*) i (**) rekonstruirati 3 realna rješenja jednadžbe? 2. Kako treba na takvim izrazima izvesti operacije da bismo mogli računati uvjet uv = -

p/3 ? 3. Mogu li se u (**) i sličnim izrazima rješenja pripadajuće kubne jednadžbe zapisati bez

korijena iz negativnih brojeva?

Za odgovor na ta pitanja bilo je potrebno uvesti kompleksne brojeve i operacije s njima. Sustavna teorija kompleksnih brojeva prvi se put pojavila 1572. g. u Algebri talijanskog matematičara Raffaela Bombellia. Izrazi (*) i (**) zaista se mogu protumačiti tako da daju rješenje kubne jednadžbe. Kao što znate, kompleksni brojevi jesu brojevi oblika a +

bi, a,b , dok je imaginarna jedinica i izabrana tako da bude i2 = i i = -1, tj. da bude rješenje jednadžbe x2 = -1. Tada se izraz (*) može zapisati kao

x = 3√i + 3√-i.         (*)'

15

Dakle, umjesto √-1 možemo staviti i. Budući da je -i također rješenje jednadžbe x2 = -1, umjesto √-1 mogli smo staviti -i. U (*) ništa se ne bi promijenilo (3√i prešao bi u 3√-i, a 3√-i u 3√i; zbroj bi ostao isti).

Izraz 3√i ima tri vrijednosti: z1 = √3/2 + 1/2 i, z2 = - √3/2 + 1/2 i, z3 = -i. Naime, ta su tri broja rješenja kubne jednadžbe z3 = i (provjerite).

Slično tome, izraz 3√-i ima tri vrijednosti: w1 = i, w2 = - √3/2 - 1/2 i, w3 = √3/2 - 1/2 i.

16

Od 9 mogućih izbora zi, wi; i = 1,2,3 dobije se 9 mogućih vrijednosti izraza (*)'. Treba

odabrati one za koje je uv = -p/3 = 1, tj. 3√i 3√-i = 1.

Napomenimo da, iako kompleksni brojevi imaju svojstva analogna realnim brojevima, ima i nekih razlika. Osim one da se na kompleksne brojeve ne može proširiti relacija uređaja s

(tako da vrijede aksiomi uređenog polja), važna je razlika i u formulama √ab = √a √b; 3√ab = 3√a 3√b i sl. Naime, one se ne mogu doslovno primijeniti na kompleksne brojeve. Na

primjer, kad bi bilo √(-1)(-1) = √-1 √-1, bilo bi √1 = i i, tj. 1 = -1 (Vidi: I.Gusić, Korjenovanje kompleksnih brojeva, Zbornik radova 1. kongresa matematike RH, 2000., 108-111). To se razrješava tako da bude √1 = {-1, 1}, √-1 = {i, -i}, dakle, skupovima brojeva. Prema tome, ako se radi s kompleksnim brojevima, √  nije jednoznačna funkcija nego ima dvije vrijednosti (izuzimajući činjenicu da je √0 = 0). Tada će zaista biti √(-1)(-1) = √-1 √-1

(na desnoj strani riječ je o umnošku skupova). Slično je 3√z za z 0 tročlan skup itd.

Vratimo se skupovima 3√i i 3√-i i uočimo da je z1w3 = z2w2 = z3w1 = 1 (a da su ostali

međusobni umnošci različiti od 1). Zato izraz x = 3√i + 3√-i, uz uvjet 3√i 3√-i = 1, ima tri vrijednosti: x1 = z1 + w3 = √3; x2 = z2 + w2 = - √3; x3 = z3 + w1 = 0. Upravo su to rješenja početne kubne jednadžbe x3 -3x = 0. Dakle, uz pravilno uvođenje kompleksnih korijena, formula x = 3√i + 3√-i može se protumačiti kao formula koja daje rješenja kubne jednadžbe x3

- 3x = 0.

17

Nekima niti to ne bi bio dovoljan razlog za uvođenje kompleksnih brojeva jer već znamo rješenje te jednadžbe. Razmotrimo zato jednadžbu x3 - 6x + 2 = 0, tj. izraz (**) x = 3√ -1 + √-7 + 3√ -1 - √-7. Taj izraz možemo pisati kao

x = 3√ -1 + i √7 + 3√ -1 - i √7,         (**)'

gdje je umnožak pribrojnika jednak 2. Pritom treba imati na umu sljedeće:

(i)   √7 je u (**)' običan realni drugi korijen iz 7, tj. pozitivan broj čiji je kvadrat jednak 7.

(ii)   3√  u oba pribrojnika ima tri vrijednosti, ali ćemo za svaku odabranu vrijednost 3√ -1 + i √7 imati točno jednu vrijednost od 3√ -1 - i √7 za koju će umnožak pribrojnika biti jednak 2.

Da bi to pokazali, matematičari 16. st. poslužili su se nečim što danas zovemo trigonometrijskim prikazom broja. Neka je z = -1 + √7 i; w = -1 -√7 i. Tada je z = 2√2 (cos

+ i sin ), gdje je argument broja z.

Sada je 3√ -1 + i √7 = {z1, z2, z3},

z1 = √2 (cos ( /3) + i sin ( /3)),

z2 = √2 (cos ( /3 + 120o) + i sin ( /3 + 120o)),

z3 = √2 (cos ( /3 + 240o) + i sin ( /3 + 240o)).

18

Slično je 3√ -1 + i √7 = {w1, w2, w3},

w1 = √2 (cos (120o - /3) + i sin (120o - /3)),

w2 = √2 (cos (240o - /3) + i sin (240o - /3)),

w3 = √2 (cos (360o - /3) + i sin (360o - /3)).

Vidimo da je z1w3 = z2w2 = z3w1 = 2. Naime,

360o - ( /3 + 120o) = 240o - /3,

360o - ( /3 + 240o) = 120o - /3.

Zato su rješenja jednadžbe x3 -6x + 2 = 0 realni brojevi:

x1 = z1 + w3 = 2√2 cos ( /3);

x2 = z2 + w2 = 2√2 cos ( /3 + 120o);

x3 = z3 + w1 = 2√2 cos ( /3 + 240o).

19

To su tri realna broja dobivena iz Cardanove formule pravilnom uporabom kompleksnih brojeva. Bez kompleksnih brojeva bilo bi gotovo nemoguće doći do tih rješenja.

U tim rješenjima pojavljuje se kut koji se može eliminirati ovako: = 180o - arctg(√7)

(naime, tg(180o - ) = √7). Sada je

x1 = 2√2 cos ( /3) = 2√2 cos (60o - arctg(√7) / 3) = 2√2 (1/2 cos (arctg(√7) / 3) + √3/2 sin (arctg(√7) / 3)),

itd.

Slično bi se dobilo za svaku kubnu jednadžbu x3 + px + q = 0, koja ima tri različita realna rješenja (odnosno za koju je D = q2 / 4 + p3 /27 < 0). Naime, za z = -q/2 + √D i, r = |z|,

= arg(z) dobili bismo da je

x1 = 3√r cos ( /3);

x2 = 3√r cos ( /3 + 120o);

x3 = 3√r cos ( /3 + 240o).

Eliminacijom kuta ( = arctg(2√D/(-q)) za q < 0, = arctg(2√D/q) za q > 0 i = 90o za q = 0) dobili bismo da je

x1 = 2 3√r cos (arctg(2√D/(-q)) / 3),

itd. Vidimo da se rješenja mogu dobiti u ovisnosti o koeficijentima p,q jednadžbe, međutim u rješenjima sudjeluju transcendentne funkcije kosinus, sinus, arkus-tangens. Pitamo se mogu li se rješenja zapisati bez takvih funkcija, a i bez kompleksnih brojeva (kad su već realna)? Na primjer, mogu li se rješenja jednadžbe x3 - 6x + 2 = 0 zapisati samo pomoću korijena iz pozitivnih brojeva? Taj slučaj kubne jednadžbe, koji je najviše mučio matematičare 16. st., a i one kasnije, nazvan je nesvodljivim slučajem kubne jednadžbe. Kako smo vidjeli, zbog njega su uvedeni kompleksni brojevi i trigonometrijski prikaz. Tek je metodama Galoisove teorije iz 19. st. dan odgovor na gore postavljeno pitanje. Evo jedne varijante odgovora:

Neka je x3 + px + q = 0; p,q kubna jednadžba za koju je D < 0, koja nema racionalnog rješenja. Tada se rješenja te jednadžbe ne mogu zapisati pomoću realnih radikala (drugih, trećih ili nekih drugih korijena iz pozitivnih racionalnih brojeva).

20

LITERATURA

1. Ćurić,M.-Mintaković, Z. (1978),Osnove matematike. Zagreb: Školska knjiga2. Gusić, I. Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, Hrvatski matematicki elektronski

casopis math.e3. Radić, M. (1989), Algebra 1. Zagreb: Školska knjiga.

21