P.F.gomRoannov, i.i.c,au,tnovi,s.sararuJ, xH.ALrrEV

KOMPLEKS DOYI$ONriFUIYKSIYALAR NOZORIYYOSi

(olAya rApfrRIgL/lR ve alsrtt LqR nauD

_ DORS vOSAiTi.{.)DOo-̂'l / Azarbaycan Resptblikasum Talail Neirliyi

Elni-ietodiH $wan " Rf,azgryat' bohneihrn(12.02.2409-a il I sayh protololu) ttwsgyaua nuirin 17.04.2009-ctt il 469 sayh amri iladars uasaitl kimi tasdiq edilmgdin

suMQAYrr 2009

4- /7 .;':

rtt//.Kiubo ny veranlor: prof. Aslanov Hemidulla Israfil o$u

dos. Qurbanov Nebi Tapdrq oflu

Elmi redahtor: prof. Feyziyev Fikret G{ilah ollu

dos. Huseynov Zefer Qafar otlu

RedtHor: dos. Mustafayev Valeh Azad o$u

Konqyuter qrafihast' Hacryeva Gllnay Fikret qrzr

Dars wsaiti Tahsil Nazirlii tarafindan tasdiq olunmug "Komplelcs

dayisanli fun*siyalar rczariyyasi" fann proqram, asasmda tartib olunubva tam htrsu ahata edb.

Dars wsaiti "Riyaziyydt" ua "Fizika" faldlalarinda tahsil alanabbalar giin rczarda tutlumuS&tr.

SUMQAYIT 2009

3

ctRi$Tabietda bag veren b0tiin fiziki prosesbr, hadiselsr sonda bu ve ya

diger formada xisusi t<iremeli diferensial tsnliye getinlir. Bu tip fizikihadiselarin riyazi hslli iso haqiqi oblastda homiqa miiLrnkiin olmur. Onag6re de bu ciir firn-ksiyalann xasselerinin aragdrnlmasr kompleks oblastsrz

miimkon olrnur: mesalen /@ = )-,- funksiyasr adad o)onun b[t[nI +r'

ndqtelerinde diferensiallanan funksfuadr ve onun Teylor srastJ. =1_r_r,_,.l+r'

]rl> I olanda yrtilmr. Bunun sobobini haqiqi oblastda izah stsnak miimkiindeyil. Iakin kompleks oblastda bunun izahrrn ysrmek daha asandrr. etinkix = *JJ n6qtasi lrl= I gewesinda yerlo$ir vo hamin ntiqtsds /1x)funksiyasr sonsuzlula gewilir, ona g6re da sua .ta8rlu.

Diferensial vs inteqral herabrnrn )araunasL iyaziyyxn vs onunlaelaqedar elrnlerin stirstle inkigaf etnesinin baglan$o olmuqdur,

Ona goro de kompleks dcyr+enli frrnksiplar nezer[yasi fizlkiprososlorin riyazi heltinde genil yor tutur. Bu baxmdan inteqrallannhesablarrna ilsullannda ve halle yaxrn qiym*lsrin ahnmasrndq diferensialtsnliyin hsllinin tadqiqindo komploks anali"in bOyilk rolu v,udr.

Kompleks delscnli fimksryalar nozerilyesi fizika va nyu*yatfaktiltslerinin )txan kurslannda tadris olunur, IIal hazrld6 azarbaycandilinda derslik vs dars vesaiti 9ox az olduSundan teqdim ohnan darsvosaiti talobelor fgiin bir hediyyedir.

Teqdim olunan ders vasaiti Azsrbaycaa Tchsil Naznliyi tarefindentesdiq olunmup proqram esasrnda tortib edilmigdir ve am kursu shats edir.

Dars vasaiti iki btilrnadon ibaratdir. Dars vesaitinil awolinda nezenhigs9, sonra iss meglols dsrslsri iiguur misallar verilmigdir. Hor m<ivzuyaaid bir nege misal hslli ile vo sdftost i$ iigiln olava gahgmalar verilrnigdir.

Misdlarda mtitarize igerisindaki ndmrslsr ise M.Jl.Kpauron,A,H.Kscerea, f-Ll.Maropenro (Oyilaufl KoMrureKcHoro fiepeMeHrroroo[eparuoHHoe HcqucJregrre rtopu, ycroiqmoclr)) adh kitabdarlgdtilnihnu5 misallardrr.

Ferz edak ki,teyin olunmug

4

I BOLMO

01. KOMPLEKS ODODL{TR

r ra y idiyari baqiqi od.dlsrdn. Bu sdedlar vasitesi ile

z-x+lfgeklinda sdeda (iftdcyc) kompleks ededlar deyilir. Burada Ivahid" adlanrn rilazi i$andir. , :opli whitti

t2 --lberaberliyi ile tayin olunr.

r ve y heqiqi ededlerina z kcnrpleks dcdinin uylun olaraq haqiqi vo

xapli hisscsi dwilir va simvotk olaraqr-nez (raya r=Rc(:)) vE y.lmz (veya./=Irtr(z))

ila igare oluaur. Re i$resi realis (haqiqi) latn s0z0niln ilk iki herfinden,

Im isc imaqinaris (x.)ali) lsbn sdziln n ilk iki barfindm emclo golmhdL.

: + i .0 lompleks ldadi r + i .0 -.r btqhi c&ditrc barabar hesab edilir.Buradan gor{intlr ki, har bir heqiqi adsda xayali hisscsi srfu olan kompleks

cdad kimi baxnaq olat.: - ii kompleks edcdi z - r + ry kompleks edsdino qoqma olao kompleks

a&d adlaDr ve Z=x-ly kimi i|are olunr' Ayrlmdr ki, (D=z' yani z

adadi z-a uyf,pa qognn komplek 3d.ddirs3, rde ; odadiae uylun qogma

kompleks cdaddir. Btrna gore dt z vc t ededlari qarylqh qogna

kompleks ededlar adlanr.Konpleb adadlann bemberlg.I{aqiqi va xeyali hissslari uylun olanq

barabor olan

4,\+lyr ve ,z=xz+Uzkompleks adadlsrini beraber hesab cdirlar:

\+i\=I2+lY2Buradan aydrnttr ki (2) bet$erliyi hoqqi edadlerin iki

\=x2 \€ Yt= Y2

bsrabediyi ils eyniglctsdtu.Kompleks sdadlor [gln toynk (r) vo kigk (.) anlayrglanun menast

yoxdur. z1 * z, m[nasiboti ise z1 -in z2 -ye berahr olmadlrur g6sterir.

Komptela dlann handasi gasbiliii. Flaqiqi edadler hsndasi olaraq

duz xottin hoqtelori ile gOstarilir. Har bir kompleks oded iki haqiqi odedle

toyin olunur. Buradan aydmdr ki, kompleks ododlari handesi olaraq

(D'5..yali

(2)

5

miiLstovinin ndqtolori iL g6stennek olar. Bu rnsqssdle mtstsvi fizerindadiiabucaqlt koodinat si$€rni (O,YI ) gffiirmsk lezmdrr.

z=r+ry kompleks odedini hendesi olaraq mnsbvi lzerindski 1r,yyn@lori gosterirler. z=x+iy ododine bu (r,/) noqtesinin affilGi deyilir.

Beleliklo, mtistevinh hor bir 1r,y) n6qt si bir z=r+y kompleksedadinin bandesi g0sbriligi olur. [Ier bh z=x+iy kompleks edadi isshcndcsi olaraq must vinin bir (R),) ndqtesi ile gosterilir. I{aqiqi edadlerabeis oxulun, suf xeyali odadler isa ordinat oxunun r6qt leri ile g6starilir.Bu qayda ila mllstsvinin n6qtalori goxlulu ile komplela adadler goxluluarasmda qar$lqh birqiymatli uygmluq )aradlrr.

I(onpleh ededleri bendasi olaraq gdstormek rlgiio iglsdilm m0stoviyoknnpleb nBtavl deyillr. Kompleks m{istevi 0zerinde absis oxrra haqiqiox, odinat oruna ise xayali or deyilir.

Kornplels ed.dled kompleks mtstrvi iiarinde koordinarbaglmErondan 9um velcolarla da hendcsi olaraq gostormek olar.

Kotryleb ddn oqutnentt v-a mdulu. Kompleks must vi tzeriadez = .r + ry kompleks d.dini h.ndesi gdstsren (r,r,) ndqminin polyarkoordinatlan @,9) olsuu.

Ooda

[r= pwsly = psmg

Buadan p ve 9 kemiyryatlsrini t yin etmek Egun

p=Fiva

(3)

(1)

(s)

.*r=#1

"_r=ffi)

6

miinasibetlsrini ahnq. p>0 oldupuadal (4) mti'nasibetinde kdkiin hesabi

qiymeti gdtflriiftir. (5) m[nasiberlarinden I kemilyati 2tt (t tam adeddiD

heddine qoder daqiqlikle csyin olunur. g-ni t yrn etsmk ngun (5)

ifrdalerindon

9= oc\zx

diishrnmu almaq olar.(4) du$uu ile t yin olunan p>0 ededi z kompleks sdadinin modulu

adlanrr vsP =lzl=lt + ryl

kimi gti,starilir, (5) dilsturlanfldan teyn olunan lur bir I komiyyati ise z

edodrnin arqumenti adlarr voq= Arg = ArsG + U)

ilo gdstcrilir. Buradan aydrn gdrtlnur ki, ,{rgz kemryyeti goxqiymetlidir va

2k,r (k tam edoddir) hoddine qsder daqiqlikle ayin olunur. Buna g6re da

9ox vaxt .4132 -in tmg qiymstini ayrmaq laztm geli. Argz 'in-r<Artzst (5)

borabersizliyini ddayen qiymatino onun ba; @ymati deytlir ve argz ile

iqare olunrn. z ededi miisbot hsqiqi eded olduqda argz=0, menfi heqiqi

eded olduqda argz=z ve s olar,

tlar bir kompleks odsdin mliLryyan modulu vardr. Kompleks ededlerin

modulu heqiqi sdedlarin mittleq qiymet anlayr;mrn ii'rnumilagmesidir'

z=r+iy komplels edsdinin xayali hissesi v=0 olduqda

pt="F -y'='F =tlSrfu o =0 +,.0 kompleks edodinin modulu p=o g0ttuiil[r. llar bir z+0

kompleks odedinin sonsuz sayda arqumenti vatdr. argz kamilyotinin

z=o olduqda menas yoxdur. (3) miiurasibetlerine esasan z=r+rykompleks edadini

2 = p(asp + ising) Q)qeklinda yaznaq olar. (7) ifadesine z kompleks ededinin triqonometrikgckli deyilir.

Eyler d*sruru. Bilirik ki, xayali iistlii e* tistl[ firnksiyasr agaprdalo srra

ile teyin olunur:

"o=r*(r)*(11'*q-(?o.-(T)'.- (s)" 2t 3\ 4t. 5!

7

Onda r2=-t, i3 =-i, i4 =1, i5 =i,...beraberliyini

va s. oldu[unu nozsre alsaq (8)

- t2 ir3 *4 iri ,2 ,1 ,J ,5e* =1+i.x-. --+ -+--....=(l--+- -...)+i(.t-- +- -...)2l 3! 4t 5t 2t 41 3! 5l

kimi ya.znaq olar. SaE terofdeki motsrizslerin igarisindaki sralann cemi

uylun olaraq sin, vo cos r firnksiyalanna borabgr oldugundan

ea =cosr+isinx (9)

ey'niliyi alnar. (9) dijstunma Eyler diisuru deyilir. (9) diisturundan istifadoetssk 1r= p; (7) miimasibetini

. P (-l)'rh*tslnr= ) -;o (2n + l)l

"1,P@

- ( -l\n x2'coq.r = t' '

;o l2n)l

ve ya(10)

( 10')

geklinde yaza bilerik. (10) ifidssi z kompleks sdsdinin iistlii gakli adlarur,

Aydmdr ki,,rrnn

I = ei}, - I = e,, . i = "' i, - i = "-'

z, I + i = {ze'i, | - i = {2e-'7 ve s.

Ostlti (vo ya triqonomerik) gshlds verilrniq lki z1= qe'q , zr= prrie'kompleks cdedlerinin beraberlil (zr=zz) $ertini A=pz, q=q2+2kttgeklinde ya:anaq olar (/r tam edscHir),

Vorilmig iki kompleks adedin qargrLqh qogma olmasr $artini da

mlioyyon etnrek olar. z= pie oldluqda z= F-ie olar. Demali,qarEhqhqo$ma kompleks adedler [giim kl=lzl ,s {Ez = -arsz (wgz+r).

Eylerin (9) dusturundane-i9 =aose- isiag

mtiusibotini alnaq olar- (9) diisturunda (x=p) !aza\.borabarliklorini teraf-terefa toplayb, sonra da gxsaq

e'a + e-iP)cos@= 2 I

. er\ -e-rq l,',p= 2, J

(11)

Sonra (9) va (11)

(12)

funksiyalarmmdiistulannt ahrq. (12) diisturlannr hiporbolik shq vo chq

,no={-;ll

"no=!::t)ifrdeleri ila miiqayiss etsek

chlg=sss, - cg6i9=ch7

shtg=isia, wW "i^iq=ir1rq

Buradan aydrndr ki, triqmmetrik vo hipe6olik finksiyalar arasrada stxalaqa vardr.

s2. KOMPLEI(S ODODLARTZORhTDO rfrSAB AMOLLARI

Verilmig e, =r, +ryrve zz-4+ty2 kompleks adadlerinin cemi2-721a 22)=(q+ x2)+i!4+ y) (l)

kompleks e&din deyilh. Bu terif uylun 4 w 22 kmplets ododleri

haqiqi olduq& (yr=Q, yz=$) heqqr ed.dl.rin ceminin melum torifnineynidir. (l) bersbortiyir&n alror ki, komplcks adedlsrin toplanma smeliilgtln yetdayigma ve qruplagdrma xasselari do!rudu:

l.zt+22=22+zi2,21+ (22 + 4)*@1* z2)+ 4.

Komple,ks sdadler ifgiln gu@a amoli toplama melinin brsi kimi teyinolunur. Verilmig zr w 22 konplels od.dLrinia 4-:.2 ftrqi ela zkompleks adadine deyilir ki, z1=2rq2 milnaribsti Odesin. Buradan

aydrndu ki,(\ + iy1| - (xz + iy2) = Gr - x) + tO4 - y).

VerilmiS z1 = x1 + iy I v. 22 = x2 + iy2 kompleks ededlsrinin hasiliz = zt ' 22 = @$2 - yty) + t(\y2 + yfi) (2)

kompleks odadim deyilir. zr ye 22 kompleks edadleri heqiqi odadlerolduqda ( n = y, = O ), bu tarif haqiqi adadlerin hasilinin malum terifi ileiistiist, dtSur. zr=22=i olduqda (2) ifidesina isits.,n i.i=i2=-lolmahdr.

Verdiyimiz terifden grxr ki, vurma emeli iiiun yerrdoyigme,qruplagdrma ve toplamaya nazonn paylanma qanunlan doSudur:

l. z1' z2 = z, ' 2r'

9

2 - 21. (22' 4) = (21' z2)' 4;3. @1+ 271'4 = zy 23't 22'23.

Fsrz edsk ki, z1 ve z2 * o kompleks odadleri verilmi$ir. Onda els

z=r+ry komptels edadi tapmaq olar k\ z2'z= zl mi'naqibati odaniler. Bu

meqsedlo (2) dtsturuna osas.nx2t- y2sr= 4\ (3)t2r+ r2St = Yrl

sistcmini hell elurek laamdtr. ,2 * 0 olduqda ,1 * vl = lz, l2 > o olur

ve oda (3) sistani birqiymatli hcll oluour. z2 'z=zq miirasibotini odayen

z adadine z1 kcmplels adadinin z2 kunpleks odadina nishi deyilir ve

s = 3r gaklinde palr. (3) sigternini hall Etsek:22

z = zt

=rrx?-+ vv2 * tht?- rY2

.22 ti+yi fi+yiBu ifrdeni xr + '/r Inrsrinin sur3t vt moxrircini 12 - iv2 = z2 Td:ylina

,z + iy2

vumsqla da alrrsq olar.Verilm\ z1 ve .r, kompleks ad.dlorinin cemini ve fsrqini handssi

olaraq malum paraleloqram Sydasr ila taprrlar.

Indi fti kompleks sded ferqinin modulunun handesi manasrm in\ edak'

zr=\+iyr:v. 22=4+iyz kompleks ededlari [giiutzy- z2 =(4- 12)+ t(yr- n)

ve

lz1 - zrl= x1- x2)2 + Qt, - y)z = p(21,22).

Demali, lz1 - z2l ifadesi zq \E z2 ndqtelari arasmdah mesafeF bsrabordir.

l0

indi de z1 ve z2 kompleks dsdlslinin ceminin ve farqinin moduluhaqq,nda

lz1+ z2l<lz1l+lz,2l (4)

lz1- z2l>llz1l-lz2ll (5)

borabsnizliklerini isbat edek.Kornpleks miistavi iizerinda teps ndqtelari 0, z1 ve .t + zz nriqtalerinda

olan iiQbucaq gdtursk. Bu tigbucagrn tareflorinin uzunlufu lz1l,lz2l ve

lz1+ z2l olar. Melumdur ki ugbucatrn bir arofinin uzunlu[u qalan ikitarsfinin uzunluqlan comindan b6yiiLk ola biLnsz:

lz1 + z2l<lz1l+l7rl(5) benbersizliyi (4){en alrrur. (4) berabenidiyini ardrql tatbiq edarelqsonlu sayda 2r,22,...,2r kompleks edadleri ilgDn

lz1+ z2+ ...+ z,lslzll+lz2l+... +lz,lberabsrsizliyini alanq. Bu bsrabersizlikde beraborlik ipansi yakuz

atB21" tlgz2= " = aIEzn

olduqda aluru.

s3. MODULUN vO ARQUMENTTN XASSALORi

Kompleks z1 vs z2 ededleri lusilimn modulu va arqumenti iigilurtz1 z2l=lz1l.lz2l (1)

Arg(21'22)= *szrl Argz, (2)

miinasibetlari dofrudur.Bunun dolru oldulunu yeqin etnok igilr z1 vs z2 kornpleks

ededlsrini ilstli gekilda gdttirok:

zt - het9t , z, = p2eth .

Aydmdr kizr' 22 = A?2ei(ethl '

Demeli, telab ol,,nan

lz1 z2l= P1P2 =lz1l'lz2lvo

Arg(21. z2) = p, + p2 = Argzy + Argz2

mtnasiHlori dofrudur.(1) ve (2) bsraborliklorini sonlu sayda zt,zz,...,zn kompleks sdodlari

iigiin da yazrnaq olar:

u

lz1.27 ... 2,1=l4l.l"zl... V,l,Atg(21'z2 ...'z)= bgzt+ Argz2 +.. +ArgzD.

Burada z1= z, = ...= z, = z olduqdaI .l ,,,P'FV| (3)

Argz' = r,A,Cz (4)

Xiisr.rsi halda, z = w e + i site olduqda (3) ve (4) diisturlan-na asasan

(ms9+ lsingf = qasng+ isit,.g (5)(5) dUsturua Muavr duslru deyilir.

Kompleks ededlerin nisbstinin modulu vs arqumerti haqqrnda da

o4ar tekliflor almaq olar. Bu rneqsedle (l) ve (2) boraberliklerinds z1

evezins IL (2, *o) nisbstini gottirek:Z2

t-tlr,l=,-E lrzl

lz2l

ve

Argr = Arga + Argzz.zz

Axnncr baraberliklori

1,, I l,,llrl=m,

Arg 1L = 4*' - 4'*z Q)Zz

geklindo yazmaq olar.IlfisaL sin3q vs cos l9 kemiyyotlorini sing ve cosg ile ifada euneli.Ilalli Muaw dtisturunu z = 3 UgUn yazsaq:

(oos 9+ ising)3 = se5 3e + i 9g19

cos3 p+ 3icos2 gsiu p-3crx'qgm2 9-isin3 p= oos3p+ isin3p.Buradan haqiqi ve xeyali bissaleri ayrrmq:

oos39=cr,"3 U -"o"*' u*'

sb3P=3cos2Psin9-s 3P'

(6)

t2

S4. KOMPLEKS ODODDON KOKALMA

ry'=z miinasibati odmdikdc *=rete dcdjne z=p?'' kqnpleks

s&dinin n+i darecsden kok[ deyilir ve

* =\liile igars olunur.

y" = z mitnasibatindat rneh'r =reiQ alanq. Burada[ p=ro va

ny =9+2kr . t irdiyari tarn ededdir' Axmnct mibasibdlsrdeu r va 17

. kemiyyetlsrini toyin edak: , =cli n ,-n*?" , Belelikle, kornpleks

ededdm n.ci derscedsn kokalma d[.sturunua+2hr .. o+2hr.

4lp(@s9+ ising) = 4lP(w:-- + t8-- n )

gekliada yaanaq olar. Buada t'ya ffit0tr t8m qiymttleri verdikde sat

iarefif ancaq n sayda mUdalif kompleks cded almr' Bu sdedleri t'nrnk=0,1,...,n-l qiymstlerindc almaq ola,r' *-nrtr yerda qalen qiymetlsrinc

uylua olan kompleks ededter gGstarrdiyimiz r kompleks eddin biri ilceyni olur. Dolrudan d4 &1 - t = z olduqda

9+2hlrr -9+ zr(h +n) -9*2bn ,2nnnn

ve buna g6n dea+2k'r o+llt

co€1-------r- =oos-tnn. a+2k,* @+2rr

Sm.:-_--_-""'- = Sln-.nnh va \+n qiymstlerinda (l) berabeiliyinin sa! arefinda uyEun olan

kompleks cdedlar eyni olduSundan z komplets odadinin z-ci derecedon

kok[triis r sayda miixtolif qiym.h vadtr. Bu qiymtlerir"O,rl-.,'r,r-t Q)

ile ipro edek. nr & =oi=i) komplels edadlorinin hamrsrnm modulu

eyni4F=cl4

edina berabsrdir. ft -nm iki qongu qiymstina uyfun olao w1 Ye v**y

kompleks sdedlsri arqumenttorinin f.qi 4a berabardir:n

(l)

l3

q+zr(k +1) _9+2*t -2x .nnnAldrlrmrz neticsler (2) kompleks adedlerini handesi olaraq qurmala imkan

verir. Msrlcezi koordinat baglan$crnda olan R=d p radiuslu gevra gekok'

v

I _-..-.--

\i\,,

wn-l

Bu gevreni Y=r, W, ile kosigdiyi ndqts rn edadini hsndasi

olaraq g6saron n6qtadir. Qevnnin daxilina tapebrindan biri v6 ils [st'iiste d$.tr diizlun n bucaqh eeksalq bu goxbucaqhn'n o biri tapeleriy,1,w2,..-wn-r kompleks edadlerini hendasi olaraq giisteron @aler olar.

Misol 1F kokiiuriin qiymetlarini hesablaytn.

EaUL I tl=r va arg(-l) = r oldu$uodan

-l=(oosr+isiDr).(l) dlistrruna esason

3Jj = @sL!:!:t + i

"-e *

?ko .33Burada t =0,1,2 gofiiLrmaHe V:I tokuntn a:can]ao ii9 qiymetini taprq:

L..,f.-, * l-,f .2 2' 2 2jYisar lkibdli

t'=o (3)

tenliyiniD hiorn htllsrini tapmah.

Bu hallsr, r=i6 beraborliyinin sa! arefindski tE kokfinfin zqiymotini hsablamaqla taPrtr.

Oger a odadi komplets edcddirss, on<h (3) t nliyinio n helli (l)dustuu ile taplhr.

{.',"..-'../ "'.-q,,,\

1ln4,.....?.

,//,,,,./

t,l

4 > 0 hoqiqi adad olduqda arga =O = q, oldulunu bilereka =4(crs0+isino)

ve (l) diistunma asasen

, = 4li(,,o"*' * i" 2kn ) h =0,1,...,n - 1.nna<0 olarsa, onda argd=r ve

a =lQ(oost + isnr)vo bu halda

, = flFl<"*t:y + i ri,,L)2!' 1 @ = o,t....,n -t).

$s.KoMpLEKS ODADLORARDTCTLLTGT. RIMAN KOROST

L Kompleks dadlor handesi olaraq mtstavi ntiqtaleri ila gdstsrilir:kompleks z = x + iy adcrdt m[stovinin (r /) n6qt€si ile gOsarilir. Kompleksedadlorin hondesi olanq gosterildiyi milstsviyo kompleks miistavi deyilir,

Tdaq ki, kompleks m[stovinin zn=xn+iyn G=|,ZJ,...) ndqtaleriardrcrllrg ve ya {2,\ kompleks edadlor ardrc Lg verihnigir. 12,1ar&c hlmm biitiin hedlorinin modulu her hansr sabit M od.dinden bdyiikoknadqd4 ysni z*nin biitiiur n=1,2,3,... qiymotlorinda

lz,lsM (l)bsrabersizliyi <idonildikde, ona mehdud ardcrlhq deyilir. Mehdud {2,}ardrcrlhlmrn biitiiur hodleri merkazi koordinat baglanErcrnda va radiusu Molan gevrenin daxilrnde yerlegir.

Kompleks miistovide merkezi z6 nOqtesinda olan a radiuslu dairemndaxili, yani lz -znl< e miinasibatini ddeyen butiiur z n6qteleri go:dufu zenOqtesinin a +trafi adlanu.

Trraq l<r, (2,) ardrcdhlr sonlu z edadine yt[ir: zn--+z (n-+"o). Buo demekdir ki, istanilan e>0 ededi iigiiLn ele = (6) ndmrosi var ki,]2, - zl< a tarabersizliyi n -nin biitun n >ir' qiymotlorinde odenilir. yrlrtanardrcrllrq mohduddur. Bundan bagqa, z, -+ z(n-+ o) munasibeti, hendesiolara4 {2,7 ardrcrlhlmrn miloyyon ndmreden baglayaraq biittin hedlerininz n6qtesinin e -etrafinda yerleqdiyini gOstsrir.

l5

indi ferz odak ki, verilmig {2,1 ardrcr.l.hpr qgyri-mehduddur ve her birsabit M >0 ededi [fun ele tr' ntimrasi var ki, n Ziy' olduqda lz,]>,rz olur.

Limitin tarifine osassn bu ardrc hlrn sonlu limiti yoxdur. Lahnlimlz,l=oo oldu[r.rndan {lz,l} ardcilltEt sorsuz b6yuyandir. Bu halda

deyirler ki, 12, ) ardrcrlh[r sorxuzlula ("o) y[rlr:lim zr=o (2)

'_+<DDemsli, 12, ) ardrolhlrnrn sonsuzluEa yrlrlmasr o demekdir ki,istonilon M>0 edtdi ii{tu elo lr' nOmrosi var ki, n -nin z),lvqiymrtlerinde lz,l >,tz beraborsidiyi ddoniln.

Bu t rif lim lz,1 = o ve rz rir, lfl = o mtnasibdi ile eymguchdiir.n-i<r, n-+*lzrl

Ardollrtrn sonsuzlula y[tlmas'nrn terifni hsndesi olaraq davjylsmek olar. Morrszi koordinat baSlanlrcrnda ve radiusu p olandairsnin xarici, yent ll> o mU-nasibetioi ttdsyen biittn z nOqtoleri goxlu[uo nOqtesiniu pat:afi adlarc. zn -+a (n-+o) otnas hendesi olaraq o

demekdir ki, miiayyen n<imredcn baglayaraq {2,} ardrcrlh[rnrn biffinhadlori .o noqtasnin p +trafinda yerlegir.

Burada bir cshsti xiisusi qeyd etrnok laamdu. Heqiqi odsdlcrgoxlutuoda iki sonsuzluq (ve ya "sonsuz ""alla5mr{ n@a') +co y3 -ooldulu halda, komplela m0stovi ii,zcrinda yeganc *sonsuz uzaqlaSnlgn<iqte" (co ipresi) vadr. Qeyri-moxsusi .o kompleks sdedi figiiLn hsqiqivo xayali hisse ve hem ds, arqument allayqr verilmir, oo vo sonlu akompleks ededlori iigiin

ota =a to-o, o =0,

t=-,@o

@.a =4, @ = @.@ =.o (a*O), 9-co (a+0)

kimi mfinasibotlor vardr. @t@,0.co,9, = mi"mif"Uorinin manasr0<oyoxdur.

2. - kompleks sdsdinin hsadosi gdsteriliqini almaq iigiin komplekssdedleri hiLra ndqtelcri ilo gostsrirler. Bunu izah etsnek iigutr kompleksmtsbvrnin z=0 ndqtosinde hamin miistsviye toxunau (S) kOrosi gdt[rok,(S) kUrasinin musteviys perpendikulyar olan va O ndqtesindan kegsndiametrinin hiro ile kmigdiyi o biri ucunu P ile igam edak. Bu p n6qtesitripolyus adlandraq.

16

P polyusunu miistavinin biiurn noqteleri ile diia xetlerls birlssdirok'

Kompleks miisevinin her bir g n6qtasini polyusla -birlegdryn

P' &zxani turs'ito potyusaan 6rqli yegam bir Z noqtelhde ktsifir'.Iftnnin bu

7 ioo.tioi ,'td.pbks ededinin handasi g68torili9i hesab dok Belalikb,

her bii kompleks odod k0mnin bir n6qtesi ile hendasi gosterilar' Kttronin

p -den Arqii lrat bir Z ndqasi ise mtstoninin bir Wg,file z noqtesina (PZ

au, irtti"in'rutt"vi ila kasigdiyi ndqteye) u5{undur' Bagqa sdde, kiiLrsnin

p-aon fortli her bir Z nOqtesi miistavinin yepne bir z udqasinin

LJri *olt tifisidir. Bclelikle, z kompleks mltstavisinin ndqbleri

or,frS, It. kiiranin P-den frrqli btrutr noqteleri goxlulu arasmda

q"nrfiql, birqiymetli uylunluq yamdtlmq olur. Bu uylunlula stereoqrafik

proyelsiya deyilir.' 'io*inaa- ga* oluan uyluoluq vasitasi ilo ktuenin P ndqtasino

mii,stevinin h€f bir noqlosi uylun qoyulrnadr' Bu.- P - ndqtasini "o

f...pfrrc na.Ai"io" hendssi gOsterilhi hesab edecsyik' Miistevinia' 'ot o*irl"tt odedins uy[un olan yegam noqt sitra hemin milslavinin soosuz

uzaqlagnug n6qt si deyili.i<o.pLf.r' mtstaviya sonsuz uzaqlagmrg ndqloui. ehve etdikds

senisle nis kompleks musaui at nrr. Geni+lenmig kompleks mtstgvinin

ioaifU coxluEu ile kurenin biitiin ndqtolori goxlulu arasmda qarprtqlt

Uiriiy.rtti oygiolrq vardu. Bu k'riLrep, yeni trii'tiin tompleks edolari ve

'.'tomplerc iaodini" hendesi g0storen kiireye kornpleks sdsdi kurs ve ya

Rirnan kiiresi deyili.Stereoqrafik' proyeksiya zaram miistovi iiarinde yrlIlan ar&olhle

Rimao kuresi ii;"de yrlrlao ardrcrlhq uy[un olur' Stereoqrafik

proyeksiyamn bundan elavs aSalrdak kimi xasselo'ri de vardr:' i) steieoq.a* proyeksiya vasitssile gevre getraye inikas olunu;

t7

2) miistevi flzerinds kesi;en iki syri arasrnd"k bucaq orlarm Riman

kiirosi iiaerindeki obrazlan arasndalo bucapa boraberdir'

Teorem GeniSlanmiS l<omteb mfrstavinin istanilan nbqtalari

ardallrfindm ytfitlan (sonlu lda va ya sorauzlu{a) altardrc hq

aytnnaq olar.- DoErudan da, 12,1 ardrc Lpr mehdud olduqda Bolsan-Veyerqtrass

teoremine goro ondatr yr$lan atar<hcrll4 ayrmaq olar. 1zr) ar&crllft

qe1,ri mehdud oldqda ise istanilen r>o ededi udiur lz*l>rberabersizliyini ddsyen nl nomrosi var' Bu halda

*h-.o zn, = '" olal

s6. KOMPLEKS M0STOVIDO OBLAST Vo OYRILOR

Kompleks ededlerin mfl*elif goxluqlan vardrr. Kompleks z

^ edadlerinin E qoxlugu o zunim verilmig (vs ya malum) hesab edilir ki,

.? irt*il", kompleks 7 dedinin homin goxlu[a daxil olmasrm (z e E) vo ya

S doil olln"**m (zEE) mteyysn eunok {igun qayda gosterilmiE olsun'

i M"selrn, lzl < n mtimasibeti msr*ozi koordinat baqlan[rcmda ve radiusu R

^ ) olro g"*iti, [zerinda ve daxilude yerleqsn biittn kompleks ' ododlsri

Kompleks ededler goxluluna E = {z: rlz > o} (yuan yanmmustevi),

r = {i :lzl > a} ((I) rlairesinin xarici), E = {z :t < lzl< z} (merkozi koordinat

baSlanErcrnda olan I re 2 radiuslu gewelarle mdudlary4 halqa) vs s'

misal Jla biler. E goxlulu olaraq biitiirn kompleks m[stevid de goturmak

olar.

goxlu[unu teyin edir:

r = {z: lzi<n} (1)

ixiyari noqelsr goxlufiu, x0susils miistsvi n<iqtaleri goxlulu hqqn<la

bL srra anlayg vo tekliflor ewellar veril-ougdir. Kompleks- ededle!

eoxluluna kompleks miistevinin nt[telerihemin anlayrqlar kompleks ededler goxlufu

anlayrglaon bir negasini yada salaq

Tutaq h, E kompleks etledler goxlufudur.

dlgmdan,bllar. Bu

IE

Verilmig ze eE n<iqtesinin, E goxluluoa daxil olan mii5yy3n etrafiolduqda ona hsmin godufun daxili noqtssi deyilir. Ancaq daxilinoqtolerdon ibaret olart qoxlula aglq goxluq deyrlir.

E' goxlu$mun ixtlan rki nOqtasini, bAfiim noqteleri hemin goxluEadaxil olan kasilmez syri ile (ve ya srmq :otla) birlegdirmek miimkiinolduqda ona rabitali goxluq deyilir. Agrq vo rabitali olan goxlufa oblastdeyiln.

z6 nciqtasinin har bir etrafind4 hem E goxlu[una daxil olan ve hamde daxil olmayan noqta yerlegdikde, ona homin goxlulun sorhod ndqtssidefllir. Qoxlulun biitiin serhed ndqolari goxlulu onun sorhedi adlaur.

c oblasud serhedini riziiura birle$irdikde ahnan goxluq ?pahoblast adlamr vo onu c ils iSaro edirler. c oblastum sarhed nbqolerigoxlu$u (serhadi) r olduqda c =G Ur olar.

Markezi koordinat baqlanlunda olan .,R radiuslu gevronin daxilindeyerlegan biitiin n6qtslor goxlulu oblastdr. Qevranin noqtolori ise hsminoblastm serhed ndqroloridir, (l) miinasibati ile toyin olunan goxluq qapahoblastdrr.

Kompleks miistevido yerlagsn oblastlann sarhedi, gox vaxt aglq vo yaqapah kesilmsz eyriler olur. [a,/] pargasrnda losilmeysn heqiqi deyigenlive kompleks qimatlt z = /(t) funlsiyasr verildikde, deyirlar ki, zmustovisind,

z=l1), a<tsp (?)kesilnez eynsi (ve ya Jordan eyrisi) verifunigdr. (2) m{inasibstine oyrinrnparametrik tanliyi deyilir. z=x+ty ve l'<t) = e()+ iy7) olduqda (2)tonliyini

x=dt), y=tt(t\, d<t<pgaklinda yaznaq olar.

(2) tenliyi ile kompleks miistovida tsyin olunan eyrini ve E={z}nriqtcler goxlu[unu fsrqlendirmak lazrmdr. (2) tsnliyi ile teyin olunankssilmez ayn kompleks miistsvinin nizamh nOqtaler goxtuludur. Oyritizarinde r parametrinin artrasrDa uylun olan istiqamet miisbst hesabofunnr. Parametrin 4lr2 qiymatinde fe)=f(t olduqda z1 =/(rt) vtzz = f <t) eyrinin mtudelif n@alsri olduiu halda E goxlulunun tst-tistadiiqen eyni noqtesi olur. Bels n(qtaye eyrirdn dzU-Oziinii kesdiyi ndqtadeyiln.

Ayrinir dzii-Oziimii kosdiyi noqte olmadrqda ona sads ayri deyilir.Qapah syrinin iist{sto dii$en baglan$c ve son uc ndqtelsrini onur Ozii-iiziiLnii kosdiyi n<i'qte hesab etmirlor.

(3)

t9

Oblastrn serhadi bir nege qapalr xstt (kontur), kesik (duz xatt parpast)

ve izola edilmiq n6qtelerdan ibaret ola biler. Bela hisselarin (olbaue,

rabiah ve ya "biitov") sayrra oblastrn rabitelilik tartibi deyilir.Mesalan, ancaq bir dene 71 konhrnr ile hiidudlanmq o1 oblastl

birrabitctdn.

lki dano 71 ve /2 konturlan ile hiidudlanmrg o2 oblast rkirabialidir. tiqdat:o n,y2 vo t3 xetlori ile htidrdlaomrg a3 oblas[ isa iigrabitslidir. z-rabitoli oblastm sorhedi n hissaden ibaot olrnahdrr.

Oblastlann rabiialilik tortibini, riyazi olaraq rl"ha rlsqiq tayin etmekolar. Lakin onu burada biz ancaq eyani hendesi olaraq izah edirik.Mesels4 birrabitoli oblastJara bels eyani hendesi tsrif vermek olart sonluo oblasff daxilinda yerleqsn istanilen qapah konturu, oblasun daxilindeqalnraqla, bir n@aye sfimaq miirnkiiLn olduqda ona birrabiteli oblastdeyilh.

Geniglenrnig komplels miistevi iizorindo da birrabiteli oblastlarabaxmaq olar. Heg bir sarhed ndqtosi olmalan brinin geniglenmi; rniistavi,

sorhodi bir n6qtodan ibarst olan miistovi, sorhodi qapah kofiurdar (qelri-mehdrd da ola biler) ibarst olan oblas( gemglenmig kompleks miisavi da

binabiteli oblastlara misal ola biler.Oblasun sarhsdini tegkil edsn eyrilsr istiqametli hesab olunur. Biz

gelecokda ferz edeceyik ki, oblasfin serhodini tsgkil eden oyriler ele

istiqametlenmiqdir ki, hsmil istiqamstds eyT i iizre herekot etdikdo oblastsolda qalr.

[Ier bir kssilrnez, sade re qapah f syrisi goniglsnmi$ miistevini ikibirrabiteli oblasa ayrr (Iordan teoremi). Bu oblastlann biri (sonsuz

"'aqlagmrg n6gte daxil olmayam) qapah f konturunun daxili, o biri isa fkonirrunun xarici adlau. Tutaq ki, bu halda r qapah konturu ele

istiqamotlenmi$dir ki bu konu.u iizra homin istiqametde hereket etdikde

%"

20

r -nin daxili olan oblast solda qak. Onda deyirlar kt 1ap"tt f konarrumiisbet istiqa.metlenmigdir.

Kompleks miistevinin sonlu n@clerinden ibaret olan oblasta sonluoblast defitir. Markezi koordinat baSlan&crnda ve radiusu sonlu olan horhansr dairs daxilindo yerle$e bilen oblasb mehdud oblast deyilir. tlar birmehdud oblast sonlu oblastdr. Bunun tersi doSu deyildir.

Mshdud olrnayan oblasta qeyri-mehdud oblast deyilir.

s7. KOMPLEKS DAYISANLI TUNKSIYALARtr{ LIIrdTl VAKASfi,MOZLIYI

l. Tua.l ki, E, z kompleks odedlerinin miiLoyysn goxlulpdur. z-in Egoxlulundakr hsr bir qiymatina bir I/ kompleks adodi uy$un (qanDqoyma qanunu (qaydas, gdsterildikdc, deyirler ki E goxlu$unda

w = !(z) (l)kompleks firnksiyzsr verilmigdir. z day\eni serbost deyigon vs yaarqument, 7 ise asrh deyi5en ve ya finksiya adlamr. I goxluBuna

furksiyanm ayin oblasu deyilh./(z) funksiyasrnrn E goxlufunda altfl btfiin qiymotlor goxlu[unu rV

ile igara edek. lr goxlu[una (l) funksipsun deyigms oblasu deyilir.z dayigoninin qiymetlorini bir konrpleks miistsvi ( z miisavisD

iizerinda, r dsyigsninin qiymetlorini ise baqqa bir kompleks milstovi (rmifstovisi) itzerinde g0storak. ODda r=712i firrksiyasr z mtlstavisi

iizsrindeki E goxlu[unu ,r/ m0st€visi tlzorindoki ff goxluluna inikasetdirmig olur.

Kompleks z ododinin hoqiqi hissesini r vo xeyali hissesini y ils igare

edek: z = x + iy . Komplels l/ eddinin hsqiqi bissesi U va rcyali hissesiI/ olarsa, w =U + iv, cllLda (l) funlsiyasmn verilmesi iki dono ikidayi$enlihsqiqi

U =U(x,Y)' v =V(r,Y)fu nksiyalanmn verilmosi ile eynigiicliidtir.

2. Teyio oblastr E ve qiymetler goxlulu Iv olan w = 7121 firnksiyasr

g6tii,rsk. Yuxanda dediymz kimi" bu fimksiya z miistevisi lzarindoki Egoxlufunu Irz mtistovisi uzerind.ki N goxluluna i[i}as e/.dinr. ll = f (z)

funksiyasr E goxlulunda birqiymetlidirsa vo bu furksiya vasitasile

2t

apanlan urikas zzfrnat E goxlultnun iki mu:Glif noqtesino rV

Cir*lr$ r*n hamige iki mfl)drtif noqttsi uygun olur!1, oda hemin inikasa

qarsrlqh birqiymetli inikas ve ya biwsrqli inikas deyilir. Buradan

;ydind; ki qargrhqlr birqiymstli inikas Tan,alu E goxlu$unun h:r bir

nfoasi ,v goxlulunun ancaq bir noqtesins kegir ve goxlulunun her birnoqtosi E goxluSunun ancaq bir @tesine uy['undur.

Ferz edak k\ w = !("') funkriyasr E goxluSunu ,V goxlu['una inikas

etdirir, i/ goxlulunun ixtiyari bir I/ ndqtesini gotiirek. E goxlufunun ,/ndqtosine rnikas olunan bii,tiin z noqtclerini [6min I/ noqtesiDa uygun

(qarSr) qoysaq, .v goxlulunda teyin olunmu5 bir z = d,{D ftnksiyasr

alanq. Bu 2 = p1n'1 firaksiyasnz W = I@) funksiyasrnrn tarsi deyilir. Tars

funksiyz lr goxlulunu E goxlufuna inikas etdfir.Ay<tmdr ki, ,/ = /(z) inikasmm qargilrqh biqiymstli ve ya bwsreqli

olrnasr flgiifi /(z) ve dw) funksiyalannm birqiymetli olmasr zeruri ve kafi

gortdir,

Forz edek b, W = IG) fimksiyasr E goxluf,unu M goxlu[un4

6 = t/0t1 fiDksiyasr ise N goxlulunu rW goxlu[una inikas etdifu. Onda E

goxluSunu rtu goxlutuna inikas etdirenI =6(z) =tt'If Q))

furksiyasma mirok*eb firnksiy4 buna uy[un olan o inikasrna iso / ve yu

inikaslarmrn superpozisiyasr deyilfu. lkidatr gox sayda inikaslann

superpozisiyasudan da danqmaq olar.Oblastlann initasma aid bir oege misal g6'ster:k:

l. w =22 funksiyasr z miisvovisi tzerinda morkezi koordinat

balaa$oda vo radiusu vahido barabor olan E dairosinin daxilini I{u

mustevisi iirzerinda msrkezi koordind baglan&cmda va radiusu lahide

haraber olan v dairasinin daxilino inikas etdirir.

hor bir z nciqtasine ,V

dainsinin ancaq bfu t/ noqtasi uyEutrdur.

Iakin bu inikas qargrLqh birqiymarli deytldir' Do$udan da E

dairasinin her bir z n(jqtosim ,v dairssinin ancaq bir ,/ noqtesi uyEun

oldu$u halda, fl dairasinin ,/=o nOgtosi must sna oknaqla hor bir f'

a

n6qtasrne g d4i6sinin iki ndqtasi uyEuDdur. ,? =W oldrqda "z=-ztndqtiesi iigtiLn de ,2, =v miioasibeti tidenilir. Bu gdstorir ki, N dairesini E

dairosina inikas etdinn z = Jl/ikiqiynatlidir.

tr. I misaldak E dairesinin

firnksiyasr ( Itl =22 fiuksiyasrmn tani)

sektoru W = z2

funksiyasr vasitasils 1,r dsip3inin \ (0 < argW <L, l4ll < 1) sekoruna

inikas olunur.

Bu inikas qargrhqh birqiymotli ini}adr. 3 = ./ltu funksiyasuun w1

sektonrnda aldrlr iki qiymetin ancaq biri 11 sektorunda yerlogir, o biri ise

koodinat baglan$curit nozeE n El sektoru ilo simmetrik sektorda yerlsgir.

3. Forz edak ki, r =/(z) fiuksiyasr zs n6gtesidn miioyyen etrafnda(ro miist sna olmaqla) uyin ohmmugdur. Tutaq ki, ixtiyari 6. > 0 sdedi

iigiin elo 6>0 var Ur, W=f(z) fuakiyasr a6 noqtosinin d +trafindayerlegan biitiin noqtalerini (ze miistosra olrnaqla) tro-m 6 €tra6ra inikasetdnir. Onda w o Mi z --r z6 gsrtinde ,f(z) funksiyasnrn hmiti adlanr ve

wo = ttu I@)2'+zO

f (z) -+Ws (z -+ zn)

kimi \ara olunur.W n ve zn edadleri soolu olduqda bu torifi bele de ihdg etmsk olar:

w n ededi z -+ zs gortinda /(z) funksiyasrnrn limitidi$e, onda ixiyarie > 0 erledine qargr els d > 0 sdedr var ki,

lz - z6l<6

barabersizliyini <idsyen biittD z (zlzs) n6qtalari [gun

l/(;z) -wsl< €

miinasibsti <idsn ilir.

,, (,.*rr.[, V.r)

(2)

v0 ya

23

V 6 yi zs adedlerinin biri va ya her rkisi - olduqda da )uxandaverilen terifi ba.qqa ekvivalent gakilda sdylemak olar. Moselan, zo=a ve

F o soDlu kompleks edod olduqda (2) miinasibetinin varhlr o demekdir ki,

iriyan e > 0 sdsdine qargr ela IV adadi var k! lzl > ,v munasibotrni Odayen

biiUim z ntqtaleri iigiinlJ@) -wol< 6

bsratlarsizliyi iidanilir.Funksiya limitinin torifindan gxu ki, IG)"tYo (z -+ z6) olduqda z6

nil,qosina yr[rlan istanilan 12,; aIdtcillt[t iigii,tt

Wn = f @)-+Wn (n -+a)olar.

Kompleks dsyigsnli firnksiyamn limitinin torifi heqiqi deyiSonli

firnksitanm limitinin torifi kimidir. Buna g<in de funksiya limiti haqqrnda

mrlum olan tokliflrr uylun qekildo kompleks dayipenli firnksiyalarur limitihaqqrnda da do!rudur. Bu zaman bele bir t klifi nezera almaq lazundr kt,

zo = xo + iyo = po"th , wg =uo + lvo = Ro"/do olduda z-+26 gartinde

w = I@) =u(r,y) + iv(x. y) = R(p,9)et0(p'e)

fimksiyasrmn limitinin r'6 ededi olmasrndan llz61- olduqdalim U(x,Y)=Us, lrm V(t,Y) =Vs 'z)zo 2)zO

miinasibotlorinin, w s+{, * oldrqda iss arqumemin miinasib segilmi;

qiymetlarindetim R(P,g) =Ro, hn e@'d=00

z')zo 2-+zO

mii'nasibotlorinin dolrululu guu. Bu taklifin arsi de (heg bir slave qart

toleb eunedon) doffudur.Biz gelacekda n 4 o simvollann ipladacoyik. Bu simvollann

msnasr belodir:

6 !Q)-=1 (3)z-+ zo dz)

olmastm

!(z) * eQ) G-+ zs)

kimi igare edirler.

/121=0 (fz\+01 G -+ zs)

diisturu isa

tun /@) -o2)zo dz)

u

olmasmr g6stark. z-in E goxlu[uDdakl biitiiur qiymdlerrnde her hansr

sabit miisbet c adadi n9rn l/(z)l<cle\z>l berabarsizliyinin 6denilrnssini

f (z) = o(dz)) (z eE) kimi igara edirlsr.

4. Verilrni5 zo n@sinde ve onun miiayyen otra.fiDda teyin olunmug

w = /() fwksiyaslDln ,-'zo gsrtinde sorlu limiti varsa lc bu limit 7iz;fiurksiyasmrn zo n6qt sindokl qiymotiro harabedirse, ycni

bnL f(z)=I@O (4)z-+zO

rniimasibsti ddanilirso, onda /(z) funksiyasrna z=zs n<iqtesinda

kesilmayen firnksiya doyilir. Funksiya limitinin terifinden istifrdo etseh

kssilmezliyn tcrifini belo da sdylemck olert lQ) funksiyasrntn z= z6

ndqtosind. kesilmsyen olrnasr ugiiur i>diyari a >0 ededins qargr ele , >0segmok mtunkiin olrnahdlI ki' p - z6l< a miimagihatini tidayan btt0n z

n6qtelerinda

lf(z)- IQOI<B (s)

berabenidiyi odsnilsin,/(z) = u (x,Y) + iv (x' Y)

funksiyasr ils onun heqiqi ve xeyali hissesinin kssilmezliyi arasrnda

muoyy.n elaqe vardr. IQ) ftlksilasr zo=xo+,vo n6qtesindo

kesilmeyendirss, onun heqiqi ve xeyali hissesi olan U(r,y) va v(t'y)funksiyalan uy[un (r0,),0) noqtosinde kasilrneyen olar.

Dofiru.lan da,

IQ)=U(x,v)+iV(x,v) va f(zo) = U (xn ' vn) + tV (xs

'vs)oldugrndan

lJ@)-f@o)l=Molt. f (z) firnksiyasr z6 n6qtasinde kssilmsyendirso

1,-,01={Ia7*[-1xf .aberabersizliyini <tdoyen biitiin z = x + it ni4/I,lerindo (5) munasibeti

odsnilir. (5) munasibstindsn

1, - xd2 +Ot - ys)z <6

berabersizliyini odeyon b0tiin (x,),) noqtolerind.

lU (x,y) -u (xo,yo)l < e,

lV(x,y) - V(ta,yx\< e

borabarsizliklarinin do[rulufu almr ki, bu da U1x,y1 vo v(x,y)

funksiyalannur (16,y6) ndqtasindo kasilmszliyini g6starir.

25

Bu taklifin t rsi d. doFudur. U(t,v) ve tz1r,v) fuoksiyalan (rs'v6)

ndqtasinde kesilmayandirse, l@) =U(t,v) + iv(av) firnksiyasr da uyBu

zo = xo + iyo r6qtasinde kssilmeysndir." f*Gyr-, kesilrnszliyinin t rifini artm vasitesi ila de sdylamek

olar.Verilmi$ G oblasufla hcr bir ntiqtasinde kesilmeyan r = 712;

firnksilzsrna hemin oblastda kasilmeyen funksiya deyilir'---fr"qt"a. vs oblastda kesilmeyen heqiqi doyrgenli. fruksilalar

n"qq^du melum olan tooemhr u]'Euo $ekil9 t<9pte{s dcy$enli

disir.l- ugiirn ds rto$udur. Bunlann arcaq ikisini burada s6ylomsk

krfiyotdic-'i. qr*l, d oblasonda kosilmeyen /(z) funksiyasrrun modulu l/(z)l

nemin obtastda oarnti,n en b6y[k vo sn kigik qiymstini alr, yeni els a edvs I e d ntiqtalsn var ki, z-in d oblasundah biit[n qiymederinde

It@l<lt@l<lf@)lberaborsizliyi odonilir.

II. Qapah C oblastsnda kesilrnepn /(z) fimlsiyasr homin oblastda

mehduddur, yom elo sabit musbat M *o edadi var k! z-in c oblasnndakt

bttun qiymstlerinda l/(z)l <M olur.

SS. FUNKSIONAL SIRALAR

1. o oblastnda tayin olunmug kompleks dcyiSonligg?)'q(z)"" 9,@)' " (r)

funksilalar ardrolhlr giltiirok. Bu ardrolhqda z evazina zo ed yazdlqdo.

(zo\,q(z ,...en@O,.-- (2)

kimi kompleks adedler ardrc hlr alanq. (2) adedi ardlcrlhlr yrltlan

oHrqOa a"yi.tet ti, (1) funksio@l adcrlh$ z6 e a nOqt'sindo ygrlr' (l)fuksional ardrcrlhlr o e!ffirnrn her bir noqtasinde yr[rlandtrs4 ona

hemin oblastda yrErlao ardrcrllq deyik, Aydndr ki, a oblastrn& ylrlanfiralsional ardrcrltrlur limiti z-den asrh fi.rnlsiya olar:

dz) = lim p"(z)n-+6

Funlcioral ardrulhpn 'n6qtsde y$lmasr" aalayrSrndan bagqa onun

obtJda rnuntazem yrgttrasmAao aa aanrymaq olar' (l) firnksional

ardrcrltfl,rna o oblasturda dz) funksiyasma mii'nt'zom yrlrlan ardlcrlltq o

zaman deyilir ki, verilan isamlen e >O edodino qarsr elo rr/ olsun ki, z-rni/ dan kigik olmayan z>ir' qiymetlerinda w z-tt o oblasbndakr biittinqiymetlsrinda

le,Q)-o@\l<t (3)berabersizliyi odanilsin.

o oblasmda mttrt zem yrlrlan ardrcrllq hsmin oblastrn her birnoqtesinde yrfrlandu. Lakin bunun tersi dogu defildir.

a oblasbrrn har bir ndqtasin& yrlrlatr ardroflrq hemin oblastdamiintozem y$lan olmaya da bilor. Mesolan, enG)=zn ardrcrlhlr lzl<tdairasinin hsr bir nciqtosinde y'rglandrr:

fro,{') = t;'n 'n =o=9121 (lzt'<t),

lakin {2" } ardrcrlhg lzl < t dairasinde p(z) = o funksi}asma mtDt zpmyr[dan deyildn. Do$rudan da ixtiyari e > 0 vo lz] < I iigiiur

l,'-ol',olmasrndan <itrii

k1n7. ---L

fr, I

l'lolmahdr. zl -r I gertinda saf toraf sonsuzlula yaflnla$r. Buradan aydrndrrki, els tr' tam ededi tapmaq m0mkun deyildir ki, n ZN qiynotlerhde vaz -rn biitiim lzl < t qiymotlerinde (4) benbersidiyi ddanilsin.

ApardrSmrz miihakimedan aydmdrr ki, {2, } ar&c hEr p(z) = o

firnksryasrna istenilsn ]zl < r (r < l) dairesrnde miimtezom y[rlandr.2. indr o oblastrnda ayin olunmug (1) funksiyalannden

9o@)+ 97O) +...+ 9,Q) + ,.. = ip,@) (5)n=0

srrasrm diizeldsk. (5) srasrnrn xiisusi camloriS"(z)= qoG) + e(z) + ... + ene)

olsun. {S,,(z)} ardrcrlhlr zo ed noqtoshdo y[rlar olduqda (5) funksionalsrasma hemin noqtada ylrlan sta deyilir.

(5) funksional srasrmn yllldr[r biitiim z n6qtalsri goxlufuna hsminsrramn yrlrlma oblasU deyilir. o oblastrnda yrlrlan (5) firnksional srrasnurcemi z-den asrh olar:

(4)

f(z) = ltm S,(z)= 19,@).n-+6 n4(5) srasnm qalt[r

R, (z) = f (z) - 3,(z) = I nn@) + 9n+2@) + ...

fsrqine deyilir. Aydrndr ki, (5) srrasr z ffiqtesmd, /(z) funksiyasrna

y.rEildrqda lim R, (z) = I els1.n-+@

(5) firnksional srrasmm (s,(z)) xiisusi cemleri ar&c hll o oblastnda

/(r) firnl<siyasrna miitrtazam yrlrlan oldu@a deyhlar ki, (5) srasr ooblashnda /(z) firnlaiyasrna mihtozem yr$rlr. o oblastnda mrintezom

yrlrlan sra iigiiLn istonilen e>0 edadina qar;l ele tam N odedi tar ki,n +in n2N qiymetlarinde ve z-in o oblastrndak bfitiin qiymotlerinde

ln,1z1l< a (6)

berabonizliyi cldenilir.Funksional sralann mild.zem yrlrlan olmasrnr a$alldakr teoreme

esasen muelyon etmsk olar.Teorcm I. o oblastmda yrtrlan majoranE olan (5) srasl ysni her bir

hoddi modulca z-in o oblasEndakr biitfln qiymotlorinda mtisbat hadliyEilan

z.qn (7)n4

sussrnrn uyBun haddinden boyuk olrnatat 4p"G)1< a) (5) sras hemin ooblastnda miiLrtazam yr$landr.

.lsDar Do$udan d4 a -in brliin qiymotlorinde lq,(z\<r, oldulundan

(5) srrasuun qah$ ii90n

lR,(z)l = l9n*1e) + 9,*272) +...i<lo6r@)i + lp,*: (r)l *...<3ao,1+ ap2 +. =r,

bsrabersizliyi do!ru olar. $arte gdro (7) majorant srasr yr[rlandrr. Bu odemekdir ki, istanilen c > Oodadi ilgtn elo .N var h, z > olduqda r, < e

olur. Buradan grxr ki, r > nr' olduqda istanilen z e o iigirn

ln,(')l'"berabersizliyi Odenilir. Buradan ise (5) suarrnm d oblasnda m[utozamyrlrlmas aydrndu.

3.Verilrnig oblastda milrtezcm yrSlan firnksioml srmlann bu srmmuhiiLrn xasssleri vardr.

Tetem 2. Har hansr o oblashnda (ve ya r eyrisi tzorintle) kesilmeyan

9,12'1 Q = 9,2,...\ funksiyalanndan rtrizelrnif

x

f@) = eo@)+ h<z) +...+ en(z) +... (8)

sra$ hemin oblastda (f eFlsi tzarinde) mii[rbz.m yprlandrv5a, qlun

cemi /(z) fi.r-nksiyzsr o oblastrnda (f eyisi tzerinds) kssilrnayandir.

IsDar 1S; srrasmrn qah$m Rr(r) ve xtisusi cemlerini ,5,12) ile i;are

etsek

IG)=SlQ)+RnO)olar. Buradan istsnilea zeo vc z+heo noqtelari iigiin

IQ + h) - l<z)=S n(z + ,,) - S, (z) +R, (z + h) - Rn(J)

alanq. (8) srasr miidezam y$lan oldu[undan istonilan a >0 adadi iigiiLn

elo M var ki, n > nr' olduqda

lx, (z)l < 6 vo l,R, (z + n)l < a

bsrabersizliklsri odanilir.Sonlu sayda kasilmeyen gpQ) (k =0,1,2,...) firoksiyalanrun cemi s,121

kesilmeyan fimlsiya oldulundan istotrilen 6 >0 adedi iigtn elo ,>0 var

ki, lil< d olduqda

lS, (z + r) -.r,i (z)l < a ( 10)

olur. (9) vo (10) baraborsidiklarindsn grxr ki, lrl<6 olduqda istsnilsn

z e a noqtosindo

lf(z + h) - f(z)l<3charabersizliyi odenilir, yeni /(z) funksiyasr istonilen eeo ndqtesrnda

kesilmeysrdir.Tcoem 3. Hor hansr f oyrisi ii'zarinda kesilrnoyan e,Q) @'-0,1,2",.)

firnlsiplanndan diizolmis (8) suas r ayrisi iizorindo miinuzamyrprlandrsa, onu hemin eyri iila's hadbshed imeqrallamaq olar:

Ifay,= Il i%r,>b= Z !qr<,w (ll)r rLt=o I r=0 r

IsDdr, (8) suasrmn xtisusi cemini ,t,(z) va qahlrnr ,R, (a; ila igaro

edak. 2-ci teroreme g0ro (t) srrasrnrn cBmi olan /(z) firnksiyasr I ayrisi

[zerbda kasilmeyendir. Buna Eora d. ! f(zw irteqrah sonludur. (ll)

barabediyinil sa! terefindaki srann :dsusi ccmini r, ile igare etsslg

! f (z)dz -7, = ! fl,)d, - i lst Q)az =f r t=0 f

= Jlf @) - s "(z)ldz

= I R,QW

(e)

29

(8) srasr r eyrisi [zerinde muntezom ylrlan oldulundan isanibn ]edadi (r syrisrnin uarnlulu / ile \ara edilmi$dn) ii90n els N var ki'

n >ir' olduqda istamlen zeF iigun,e

Ene)l<7tl

berabersizliyi 6'danilir. Onda ll t<rVr'r,lt iln,('lldzl<6 ohr' Buradan'- lr lra -nun i*iyari olmasmdan

I lQ)dz = rtm ?, = | l?zQPzf ,-t(o t=0 t

v5 ya

L"rrr.a" rrrrt,-'" oblitnda yerlsgen qapah oblasu a1 ile igare edsk ol-in

ssrhedi 11 olsun.

boraberliyi almrr.'--i;;;. 4 (e1rlrgr:rrls). o obtastrnda analitil olan 9,@) (n =0't'2'".)

funksiyalanndan d[rittnis (S) t,.., a oblasumn daxilindo yerlsgon her btr

qop"fr'E oblastmda /(z) funksiyasrna miidazsm ylrlrrsq onda'

I. tlemin sranrn csmi oiurr f(z) fimksiyasr o oblastrnda analitik

firnksiyadq- n (t) tt u.rnr rr dafa hadbehod diforensiallamaqla /(z) firnksiyastntn

7(')12; t6remesini tapmaq olar:

y@) py = e{) {z> + e['\ 1r1 * ... * eft lrS * ...

ve (8) sras,r'rn hodbehod difereirsiallanmarmdan alnal srdar istenilan

o1 c a oblastsnda miimazam Ytrlrr'.lsDzr'r. Teorernin birinci hissssini isbat etnak [gtirn o oblasf n

istoril* , "Oa..ioi

gdtiirok ve bu n6qtoni 6z &xiline. alan va serhadi ile

tliroath=7, !qr<,wrlt4 .l t=0 r

Bu halda

l<i,'t _qoG) _Ji€t ...., p"to ,

€-"- €-r- {-"-"'' U"* '

srasl L eyrisi tizerhde miht zem 1r[rl[. Onda 3-cii teorema g(rre busftInl q olnsi iizre hsdbshed inteqrallamaq olar:

!,#rr = 1,ffi, * t\S\e -- . * 1,trS)ae

, (12)

9, (fl firaksiyalan o-1 oblastmda anatitik oldulundan Koqi diisturumgdra

'9n(€\ "1 ._s = 2ipae)r'5-z

olar. Onda (12) boraborliyinden| ,IG) ,-

; I f a{ = 9s1z) + q(z) +... t gnG) +,.. = f(z)LEfIS_.

v0 ya

l{27= | 1fG) 4t-.. 2di€_z -

alnar.Bu, Kogi tipli inteqnldr (giturki /(fl funksiyasr rl ikenndo m[$az.m

y! an kasilmeyan (hatta arralitik) funksiyalar srasmrn cemi olduSunda,,kosilmeyadir). Koqi tipli inteqralla lf4[p 6lrrnan /12) funksiyasr melumteorema g(ho o1 oblasEnda analitik olar. Bunula da, (g) srasr cominin ooblastrnn istonilon z noqtssindo anatitik olmasr isbat olunur.

Indi teoremin rkinci hissesini isbat edak. Bu msqsadls hsr hansr qapa}a-1 oblastrm va o1 ile a oblastlanmn kontsrrlan arasmda yerlegen qapahf2 kontunmu gdtiiLrsk. o1 oblastr ils f2 konturunur noqtaleri arasmdakl snqrsa mesafani d ile igare edak. z ila a1 oblasfinrn ixtiyari ndqtesini igraetselq

IG) _ eoc) + q(6) *...* e,G) _(1 - ,Y*t (€ - "1^*r (€ - ,\^*t (€ - ",1.*,

' .'.

srrasr f2 konturu Dzerindo m0nt zom yfrlar. Onda

#p,ffi,'=*g,ffi,.*;ffi'. ..*;,ffit.

lt

ve buradar

7<,t p.; = s[.\ (z)+ e[,) (,)* ... * o!) 1,1* ... ( 13)

almar. (13) sr65rnrn a, oblastrnda miiurtazam yr[dan oldulunu isbat edek.

(t) srasr 12 iizorinde mUtrtozem y$llan oldu$mdan istsmlon 6 > 0 ededi

tsiltr ele l{ rrar lo, istenilen fef2 ve z>ir' ugiin

l/(6)- s, (Ol. " (14)

olar. Burada s,(6) ile (8) srrasrnrn xiisusi cemrni ipare etnigik. Onda

lf - zl > d olduEunu nezoro alsaq, z > tr' olduqda

[(,,) (6) - s(,,1 ) (ol =

l* lff# r rl' * #berabersizliyini ahnq (burada / = uannluq r2).

Axnncr barabsrsizlikdsn grxr ki, z>N olduqda istenilan aealnoqtesi iigiin

f(.\r_sl")(fl|= .;ffi , =,r

berabenizliyi 6d.uilir. Buadatr (13) srasrnn a, oblastrnda yr[rlmasr

aydrndr. Bununla da teorem tamamilo isbat olunur.

59. ELEMENTAR TRANSSENDENT FI]NKSIYALAR

L Osas elementar traossendent funksiyalar ex, sinx, cosr, hipertnlikfunksryalar, ten triqonometrik ftnksiyalar ve baqqalan arqumentin heqiqiqiymstlorinde 6yrenilmigdir. Onda verilsn toriflar r arqumentininkompleks qiymsrlennde 6z mcnasrm itirir.

Kompleks z ededr iigun e? ifadesina cebrdeki kimi tarif vermekolmur- Elace de, r ovezine z kompleks odadi got-urdiikde sinz, coszfunksiyalanmn mslum hendasi tsriflari dz menasml itirir. B"nn gore dskompleks arqumentli esas transsetrdent funksiyalan bagqa vasiolarla teyineunak lazrm gslir. G6starilsn firnksiyalara qUwot srralan ile tarif vermekdaln miinasibdir.

e' funksiyasrnr a5a!,rdakr srra vasitesile toyin edsk:..2-n

€' =l+-+-+ .+-+..11 2! nl

(l)

32

Bu srra kompleks z tleyisoninin biiuin qiymetlerinda y{rlandr.Dolgudan da, isonilm heqiqr r >0 ededi iifun

2n1al1I-1,..11-1...

11 2l nl

sLrasr yr$lrr. BuDa g610 de (1) srasr z'n lzl< r dairesinds yorle$on butiiLn

oivmotlorinde miitlaq yr$landu. Mtltleq yr!'rlan stann y[rlan olmaslndan

c*r ki, ( I ) srasl kompleks miistevinin isanilsn lzl < r dair:sinde

yrlrlandrr. r istanilen heqiqi mtsbst edsd oldu[undan (l) srasr bi:ntiin

kompleks miisteYide Y[rlan olar,

Belelikle, e' firnlsiyasr bltiin kompleks miistavide toyln olunur'

lndi de triqonometrik fuoksilalan teyin edek. sinz Ye cosz

fu nksilalarr biitiim kompleks mtstavids--35-.2k+l.''**'- -...=ir-uoi-_, (z)slnz= l!_ 3t

rJi-_.. _ z r-,, (zk*D.,

*",=r-!*4-"]- ..= 7, ?Do * (3))t 4t 6t Eo' Qk)l

sralan ila toyin olunur. (2) ve (3) sralan z-in biitiiur kompleks

qiymotlerindo ylrlandr (hsm de miitleq yfrlandr)'Komploks deyipenli e", sinz ve cosz firnksiyalanmn esas xassalarini

(l), (2) ve (3) srralan vasitssile rnteyyen etsnek olar.

istenilsn kompteks zl ve z2 sdedlsri iigiiul

ezt .ez2 =e4tzz (4)

bsraborliyi do[rudur. Do$udan da, (l) t rifino asason

^zt -22-+ rf S rl = *,f"tr =i ! y L,l,t=- f*t<t fo it t,|o ktl ;-odki=nktit ' '

= V !A, - zr)n 4zt+22n=O nl

olan . ez , sinz ve ms a fimksiyalan uqnn Eyler d[sturu (eyntltyt)

e* =c'osz+tslaz (5)

do[rudur. (5) beraborliyini isbat ehnok iigiin (l)-(3) tsriflsrinden istifado

edek. Bu teriflere g0o,, . b (o\' (,,rt ,2 ,4

e" =t+i+\:!_+\+ . =1t_._+i_...)+

.-7 -5+(___+--'t! 3! 5!...) = cos z + isi.E z

J3

almq.(5) eyniliyinde z evezite -z g6tiirsak,

e-E = ca z-isitz

eo + e'Ecoaz =

-.

2

. e'-e *SltrZ=- ti

olar. (5) ve (5) diisurrlanna osascn sinz ve cosz funlsiyalanarn ez tistl[firnksilzs vasiasila ifadesini almq:

(6)

\7)

(t)

Bu beraberliklardan istifads ederek sinz vo cosz funlsiyalan iigillesas tiqgnomdrik eyniliklarin do$ulufInu yoxlamaq olar.

Moselan, hamin beraborliklero esasen

("o -"-, \2 ("o *"-r\2.i".r*"*-,=[__l;_J .l , .J =

"2' -z*"-b *"2o *z*"-2o _,-4 4

v0 ya

sin2z+cos2z=leynilini almq.

z = r + i olduqda (4) ve (5) eyniliklerine g6rs

ez =e'+i! =ex.etr =ex(casy+ismy)olur. Buradan

l"'l=", e'g" =Y+2tr'tte' firntsiyasr, pericdra 2ni olan periodik fiuksiyadr, Dogrudao d4

ez+2d _ ee+ry)+2,n = er+i(y+2r.) = erl(r,s]t+Z1r)+isirLet+Zr)l=

= et (cos y +isny)= ez

almn. Xiisusi lr,lld4 "0 = shn =1, en =-7 vo s. olar.

(7) ve (t) baraborliHerinden gr"xr ki, sinz ve cosz fiuksiyalan 2rperiodlu periodik fi.tnksiyahrdr. Bu teklifin do$ulu[unu sinz fim]siyasriigun yoxlayaq:

t(z+2*\ -ilz+2t\e' '-e -

sm\z+zrt)=-=

eE .ezri _e-E . e-2Ei eE _e-E

h2i

34

Hamin yolla sin(z+r) = -sitrz, cos(z+rr)=-cosz, sin(z+11=cosz,2

w@ + !'S = -gu,. ve s. eyniliklerinin dofrululunu da gost rmok olar.'2'gz ve cW firnksiyalan

slDz e* -e "cos z i(ep +e ")

cris z - i(eE +e-\ctgz = -- - ''Slrlz e' -e '

berabediklori ile teyin olunur.2. Hipeftolik shz vo chz funksiyalaruu da usdii frDksiyalar vasitesila

tayin etnak olar. Bu firksiyalam terifi (7) ve (E) dtisturlann xanrladr:

(9) ve (10) diishrrlanda e' ve e-' fulksiyalamr qiiwet sralan ile evez

etssk slz vo clz fiDl$iyalafl ugun

- e -esn =-.2

2

. _3 -5 @ .U+l-rt2=--+-+-+-. = )

-.

l! 3! 5 r--o (2f + l)! '

-2 -4 .6 - -2katu=111-1'-1'-+ .= t i-

21. 41 6! r-=o (2I)!

(e)

(10)

(l l)

(12)

aynlrflannl alrtq. slz ve clz firnksiyalanna uygun olaraq (ll) vs (12)qiiwot slralan vasitosile da tarif vermok olar. Bu halda (11) ve (12)

sralan toplayaraq

ez = slz+chzeyniliyini, buradan iso shz va cla firnksiyalan tigiin (9) va (10) ifadelsriniaLmaq olar.

Triqonometrik ve hipertolik funksiyalar axasmda miiolyen as lltqvardrr. Bu asrhlfr almaq iigiln (9) vo (10) eyniliklsrmde z evez;na izyazaq:

. e*'e -ShlZ =

-

2E -iz- e ie

ChlZ =

-

2

Buradaru (7) ve (8) baraberliklarine osasan

35

shiz = isilj'z, cha=cx,szmiimasibetlori ahrur. Bu beraberliklsrde z evezi]M iz yazsq

*na=sh(-z)=-shz,as iz = ch(-z) = cla

olar. Buradanshz =-isrrtiz, ehz = qsiz

eyniliklari alnu. Bu eyniliklerdsn istiEda etrnekls hiperbolik sle ve chz

funksiyalan rigiiLrl

ch2z-sh2z=leyniliyini aknaq olar. Doprudan da,

ch2z - sh2z = @s2 E - (-isintz)2 = coa2 izt sin2 z =1

almrr.Hiperbolik thz ve cthz funksiyalan

. shz ez - e-zflttz = - =

-

- chz ez + e'2'- chz ez + e-z.uE=_= _

shz "z - "-zberaborlikleri ile taln olunur. Buradan

tl;E = -itgtz, cthz = icvmtiuusibatlsrini almaq olar.

Hiperbolik funksiyalann torifindon aydudrr ki onlar periodikfunksiyalardt. shz v. chz firrksiyalalrun periodu 22, -ye, thz ye cthz

funksiyalarmm periodu ise a -ye beraberdir.3. Kompleks rloy\enli loqarifnik ftnksiya (heqiqi doyigenli

loqaritnik firnksiya kimi) lstlii fimksiyarun tersi kimi tayin olunur.

{ =z Q*o) olduqda IIl edadins z ododrnin natural loqarifini deyilirve ll = Ita ile igars olunur.

z adsdinin l/ loqarifinini tapmaq tigiim

ew =z (13)tanliyini l/-yo nszeren hell etnek lazmdr, ysni onun krrklorini z

vasitssile ifadc etnek lazrmdr. Bu meqsadle, lY =u+iv ye ,=7sie qabdedek. Onda (13) brraberliyi

elt+ie _ leiqkimi yazlax. Buradan

[ -t' 't" - "re = I +zkE (t=0,11,t2,...)

v0 ya

36

P=^''-. (14)lv=9+2kr ([ =0,it +2,...)

mlnasibetleri ahnrr. r=lzl vo 9+2kr = Argz oldu[undan

u =tdrlv= Aw =argz +2hx (e =0,t1,+2,.. )

v0 ya1v = q a * = lmlzl + iArgz = lr,)zl + i a4 z + 2t n

olar. Belalikla,ua =lrl7l+ wgz ( I 5)

dtsurnrnu alanq. Argz fisl6sly6srnrn goxqiymetli olmasrndan 9xr ki,loqariftnik funksiya da goxqiymetlidir. Arqumentin bag qiymetine uygunolan

lnlzl + larg z

ifadosino z ededi loqarifninin ba; qiymeti deyilir. z adedi loqaritnininbag qiymatini lnz ile ipre edrrlar:

lnz =Irr,l4+ iatez .

Bu halda (15) baraberliyiniLru=laz +?*ri (l5t)

geklinda yazrnaq olar.z=r>0 hoqigi mtsbot eded olthrqda argz=o ve buna g6m dc

lnz=lnr olar.z=-r<0 heqiqi menfi eded olduqda etgz=t ve lnz=lnx+l olar.

4. lxtiyrari kompleks o va z sdedlori [giirn zd tfafusi,o ="tu (lO

beraberliyi ile teyin olunur.

a=a+ip vo z=rei9 olduqda Lru=tnr +i(e+2kt) ve buna gore ds

(16) qiiwotizo - e(d+tq\Inz =eolnFq(e+2tt) . ei{d(9+2*E)+fl'wl (17)

kimi yazilar.

(17) beraberliyinden gttrii,nif ki, /+o olduqda za fimksiyasr sonsuz

qiymatlidir. z va a-mn qeyd olunmug qiymatlsrinde homin firnlsiyaonqiymetlari

lWl= "at-A1s+x*1gevrelari sistemi [zarinde yolegir.

/ = o olduqda z" firnlsiyasmrn qiymetleri

17

Wl= etu =rd (ot=a,

gevrrsi iizarind. yerletir. Bu hald4 z" fi[ksiyasmrn aqumeotlen02 = ap +zkrd (18)

olar. Bir srra >nisusi hallan qeyd edak.

6=4 geklinde ixtisar olunmayan kesr olduqda arqumentin (18)ll

qiymattari igensinda zo frmksiyasrnn milxalif qiymstlerini tayin eden

*."q q *iC, oded vardr. DoErudaD d\ k =o,r3, "q-r olduqda (18)-don

allnan

0s = aq, 01 = dg + Lzt, 0z = ag + ! 4r,..., 0 q-t = ae + L (q' 1)2t

adadlerinin hog biri digerindsn 2r'nin misli ile ferqlsnmir' t'ntn qalan

qiymetlarinde itg)-den alban d; odsdlsri bnr edadlerdon zz -nin misli ila

farqlonir. Buradan aga$dakr kimi noticsler ahnr'

q = a = ! nsional kesr olduqda zo firalsilasr 1f,7 filrlsiyasr ile ust-q

iiste diigiir:P

,; =1[,0ve o, sonlu qiymetli fuI$iyadr'

a=a 1i=g1 irrasional eded olduqda (lt) ededleri arasnda 2z -nin

misli ile ferqlsuenlsri yoxdur va buna gdre da

zo = efu"funksiyasr sonsuz qiYmstlidr'

5. Triqonometrik fiuksryalann torsi olan funksiyalara ars

triqonometrik firnksiyalar deyilir.z = s]rpl/

olduqda r kemiyyetina z-in arksiausu deyilir ve

14 = Arcsitzile iEare olunur. sinll/ evozina onun [stl[ firnlsiya vasitasilo (t) ifa'lesioi

yazeseiv _ e-t r,= u

olar. Buradan

,iW _2p-r-iv =0vo ya

"2iW _2;stw 2 _1=0

3E

tanliyini almq. Bu tsnliyi hell edek.

"'w =i"*,[ii Gok ikiqiymotli oldulrmdan onun qarprsrnda iki

igare yazrlrmr).Buradan

iw = bt(iz+\F- 22)

ve ya

tY =-ib,Qz+G)taprrrq. Belelikls, ll = Arcsinz funksiyast iigiiLn ap[rdak ifadsni alrrq:

W = Arcsrtz = -ibt@ + ^,E])Eynt qayda rle z = osW fr1fi5iya5rnrn tcrsi olan

funksiyasr igiim

Arcw z = -iln(z + iJlj )

Buadan

vo ya

(le)ll = Are oosz

(20)

ifadesim almaq olar.w = Arcvz funksiyasrmn ifadasini miieyysn etmek ttgiin z = tglv

onliyinde Ew ovezine onuniistlii firnksiya vasitasile ifadssini yazaq:

I elv _ e-twz=; tw . -tw'

"DW =7* b

l-iz

ziw = b1l + i2

l-izalmrr. Demeli,

. | . l+izArclgz==I,n.' 2i l-izeyniliyi dolrudur, Amloji olaraqi6,11.

eZ)Atcctgz=, z +i

eyniliyinin do[rulu[unu da isbat etsnsk olar.Loqaritnin gox (sonsuz) qiymefli olmasmdan ve (l9l-(22)

dtsturlarindan grxr ki, tors tnqgnometrik fuoksiyalar da gox (sonsuz)

qiymetlidir. Buodan basqa, gffiermok olar ki, z ededt Jrl < I

berabenizliyini ddeyen hsqiqi edad olcluqda Atcsitz va Arcc.os z

funksiyalanmn qiymeti de hoqiqi adeddir. Bunu (19) firnksiyasr iigiin isbat

(21)

39

edak. z edadi lzl<l baraborsizliyini Odeyen haqiqi eded oldu[undan

.E7 rcni a. n"qiqi adeddir va

V.,t;\_?l=,p.a_A=,.(15) dtsturundan aydrndt ki, modulu la haraber olan bnfiin

kompleks edadlerin loqarifini srrf xeyali edaddir. Brrna gdra da (19)diisffunda loqarifinil qaba!,rnda -, luru&r oldulundan ,4rcsinz

funksilasrmn biitiirn qiymatleri heqiqi ededlor olar.z haqiqi eded olduqda Arctgz ve Arcctgz fir*sit"alaruun heqiqi

qiymotler aldr$n da asanhqla isbat etrek olar.6. Hiperbohk funksiyalann tarsi olan flEl$i)€lara ters hiperbolik

funksiyalar deyilir. ,rtu, cle, rlz va ctfiz funksiyalanrun tars fimksi]alanuylun olaraq Arshz, Arclz, A IE ye Arctlz lla iqars olunur. Tarshiperbolik funksiyalar da loqarifrtler vasitosils ifide olunur. Btmu z = shllfunksiyasrnrn tarsi olat llt = Arshz firnksiyasr iigrin gostsrsk.

(9) diisumna gdrov-we -e

2

ew -zz-e-w =ove ya

"w -zz"w -r =oahnrr. Bu tonliyi hsll edersk

"* =rr[17Ye ya

w=tn1z+,lt+?1alanq. Demeli,

ersnz=ue+[+7)olar. Analoji qayla ile

drctz= rne+J? i),Afllo=!Ir,lt'z'l_r'Arctlz =l Lnl+

z2 z _l

beraberl iklsri de isbat olunur.Ioqaritnin qoxqiymetli ohbasmdan glxrr

hiperpolik funksiyalan da goxqiymetlidir.

olar. Buradan

(23)

(24)

ki, (23) va (24) ters

4

sro. KoMPLEKS DOYI$oNLI FIJNKSiYANTN roRoMosl

l. Ferz edak k:,, w = l(z) fimksiyasr z (+o) n@asinin miiioyyen

etrafinda teyin olunmug birqiymetli firnksiyadr. z arqumentine

Lz = Lr+ i\y artmr verdikde 1Z = 7121 ftnksiyasrnrn aldrEl artrm61Y = l(z + Az) - !(z) = 4e)

ile igaro ed.k.

4r s36.6r;o & -+ O sertinde smlu limiti vars4 orrda w = i(z)Lz

funksiyasrna z ndqtasinde diferersiallaaan vs 1a monogen fuukslya d€yilirve

'LWh[I-Lz-+o Lz

limiti hamin funksilanrn z niiqtcsindo tdramosi arllanrr. /(z) firnksiyasrnm

z ndqtcsinde toromesi

f(z)= tim Lw -w'=4Y ={9' '' tz-+o Lz dz dz

kimi igan olunur.Komplets deygenli fiuksiyamn tdramssinin varh$ hsqiqi <byi5onli

funksiyanm toromesinin varhlrna n ,zcft,n gox b{tytik t lobdn. Hoqiqi

delgenli y = 7111 funksiyasrnrn r n6qtssind.o t6romosinin varlfr E

nisbatinin r+Ar rxiqtesi soldan ve saEdan (iki yolla) r n(htesine

yaxrnlagdrqda eyni limita yaxdagmasr demekdir' Kompleks dcyigenli

W=IG) fii*siyast ligiln iso tdremanin 'ta*b ff nisbstinin z+&

noqtosi kompleks miistovi [zorinde istenilen yolla z n6qtasine

laxrnlaldrqda eyni limite yaxrnlaqmasdtr.

T0ramanin torifindon aydradu ki, kompleks deyigenli f(z)funksiyasuun z n6qtesinde diferensiallanan olmasr Ssrtini

f(z + b) - ! (z) - [z!'(z) = o(AzD (& --] 0)

kimi yaznraq olar. Buradan agaSdakr teoremin dolplulu aydrndr.

z nbqtasitdo diferensiallaan f (z) funl*iyast hemin ,bqt a

kasilmayendir.Bu ieoremin t rsi doEru deyildir: t/ =Rcz firnksiyasr b[tiin kompleks

miistevid. kasilmeyen oldul.r halda heq bir aoqt5dt dferensiallanan

deyil<ltr.

4l

2. o oblashnda tayin olunmuS r = /(') funksiyasr hamrn oblastttr h'r

bir noqtasindc <liferinsiallanandma' ona o oblastsnda diferensiallanan

fun}sira deyilir.'-*OU*flo,a"' Afet nsiallanan funksiya hemin oblastda kesilrnayandir'

OU[ffiTf"*^l"U^ funksiyalar haqqrnda bir sra baqa tekliflar ds

s<iylemak olar.*' j[1- i Aa fiurksiyalan o oblastrnda diferensiallanandrn4 onda

oofao" cemi, farqi hasili ve nisbati (moxrecin srfudan frrqli oldufiu

noqtelerdo) de hemil oblastda diferonsialloodr va

VQ)tqQ)l = l'(z)*e'Q).

Ut >4.ol = f'(z)q<z)+ I@)e'Q),

I l<lf' - l't'bo)- f t'to't'>Le(,)l q2e)

oavdalan dolrudur.*bi*"ffit ,iramenrn tarifim asassn asanlqla isbat olunur' indi

*"*lt"i-fr*tivr-, diferensiallaomasr baqqrnda agalrdakr teoremi fu b&t

edek.--i;t 1 w =9Q) fimksiyasr o oblas[nda ve U = IQv) funksiyast D

oblasunda (o oblastr ,r/ =P(z) fiEksiyasr vasitcsrle D oblastma inikas

olunmu$ur) diferensiallaoandrsa' onda u = /[0(21] miinkksb firnksiyast

da a oblastmda diferensiallanandr va

li<arzDl = f<az>l'q'<z)beraberliY do[rudur'--

i*t".i is6* etmak tgitn z arqumentine & artlmr verek'

F @ = fle<41 tunlsiYast iigiiLn

i(z+Lz)-F(z) -fldz+Lz)l-J\q@)) q(z+Lz)-dz) Q)

-1, dz + Lz) - q(z) Lz

beraborliyini )'aznaq ohr' w = ai1z) funksiyasr diferensiallamn

oldulundan kasilmsyondir, yani & -+ o $srtirde- AW =e\z + Lz)-q(z\

artsm srfra yaxolaryrr. Demoli, & --r 0 5ertindadz+ ls) - d.z) _+ q,(z),

Lz

Jlq<z+ tzll- Aq<z)l - J,@{z))q<z + Lz) - q(z)

olur, ysni &-+o $ertind. (2) banberlilnden teoremin hOkmii ve (l)

miinasiboti ahnrr.

(l)

Onda

42

Yuxanda gdrstsrilsn qaydalardan istifade edarelq bir gox furksiyalannt6ramesini hesablamaq olar. Bu meqsedle esas elementar transsendentfimksiyalarrn Uiramesini hesablamall da bacarmaq lazrmdr.

Kompleks dayiqanJi elementar transsendent frurksiyalann tdomosinihesablarna qaydasr uylun haqiqi deyipenli elementar traffs€ndentfunksiyalarn tdromesini hesablarha qaydan kimidrr. Bu qaydalann isbatrqetin deyildir.

indi bir nege elemetrar funksilarur kiremosini hesablafaq:I. l(z) =c (C =constl fimksiyasr btirttin kompleks miistovido

diferensiallanandr vo onun t6rpmosi stfra bsraberdir:(c)' = 0.

Dolrudan da, ttiremenin t rifine gdro istrnilen z noqtesinds

7,1,1= 1i^.I9!-9:!@ = ri. cIc=o=(c),b)0 Az Az-tO Az

olar.n. f@=/ (n tam miishet edcddir) firnksiyasr istcnilen z n6qtssinda

diferensiallanandr vo onun tdromosi frgiin

(z')' = w'-l (3)beraberliyi dolrudur.

z:/ olduqda (3) beraborliyinia dofrulufu afkardr: z, = l Ferz edok ki,(3) drishm her hans n ededi iisiinl doErudur, onun n+/ edsdi iigiindolrulufunu isbat edok. tlasilin tdrsmesi-ni hesablama qaydasrna g(hs

12,+11, = 1zn . z1 = 112n-l . 2 q 7h = (n +l)znolar. Buradan guor ki, (3) boraborliyi ist nilan n iig{n do[rudur.

lll. 1121=s' tsflii firnksiyasr istenilsn z noqtesinde difslsnsirltanandfve onun toromesi

("" )' = e"qaydasr ile hesablarur.

Do!rudan da isanilon z vo Az iigiitr

l@+hz)-J@) _ez+b -ez _.r.e& -llz -=-lz-='

' A,

milrasibetini yaanaq olar. Gostarok ki,

B^ "b -1 =l^z)o

Az

berabsrliyi do$rudur. Bu meqsodle ezistifrda edek. Onda

(4)

(s)

iisthi funksiyasuln torifin&n

43

,,^,,_,,_lf,-f,.9- ]-,_,1=*.a,,. l.I az -l ^z

I ,r' 3! 4r I

=o(;.Y. )berabersizliyine ssassn

("b- \t,- t 'l

-t l=o&-+o[ & )

olar, yeni (5) beraberliyi doSrudur.(5) baraberliyine asasan

th !@+Lz)- f(z) =", yi, eM -l =",&-+o Az Lz-+o Lz

ve ya tcleb oluanf'(z) = (.2 )' = ez

beraberliyi ahnn.

l\t. indi 1121= 2" qiiwet funksiyasrnn toremsrni hesablayaq (burada

a istonilen sabit edaddir).Terife g0ra

"o =rtu (6)

olar. Bu beraberliyi ze rrazerat (z +0 noqtelerindc) diferensialladtqda

Q"l =b*l ="d*(ouol =edLE .:=zd.Z=ed-l

va yat'!\za) =*a_r e)

bsraberliyi almu.

Xiisusi halda a = 1 olduqda (7) dtsturundann

bsraberliyi ahnu.V. Triqonometrik vo hiperbolik funksiyalafln toramesini hesablayaq:

. ( "o -"-a\' "a

, "-oa.inz)'-l-l=- =cosz.

[2i ) 2

. ("'*"-o\ eo -e-o(cos4'=l-- | =-

-=-stnz'\2)2i

I z -,\'("4' =l "'-:-' | ="' *" ' ="to ''--' t 2 ) 2

/ - --\'t tq- =1"::-l ="- ," = shz ve s.

(')'VI. Ten triqgnometrik vo tars hipertolik funksiyalann t6ramesini ds

asadrqta hesablamaq olar. Mssslsn, . z' t-----

(Arcsnz)' =l-ilnQz * ^11' 1211' = ^i--11) =iz + ll- z"

t- zLJl-zt 1

E +th- z' ^ll-2"

,2 (z * i1)

v0 s.

3. Bele bir sual qar$lya gtxit: fe) =u(x,v)+iv(x,v) fimksiyasrnm z

ndqtosind5 diferensiallanan olrnasr iig[u: onun heqiqi U(r,v) ve xsyali

Izlay) hissesi hansr Sertleri Odamslidir?

Bu suala ag4Sdah teorem cavab verir.Teorem 2. Farz edsk k\ f(z) =u(x,v) +iIl(r,v) funksilasr z ndqtesinin

miiayyen etrafinda teyin olunmuSdrr 1€ homin noqtedo U(r,1,) ve v(x,v)

furksiyalan diferensiallanandrr. Kompleks deyigenli /(z) funlaiyasuun z

ndqtssinde difersnsiallanan olmasr 09rin hsmin noqtade

au -0v )ox al (E)au dvlq ar)

beraberliklcrinin Oclenilmesi zsruri ve katr gertdir'

Zaruritfuin isbdr Fqrz edak ki, /(z) fimksilasr z n6qtasinde

diferensiallaaandr, yeni

f'tz)= lin { = t- f(":-M) ll") (9)' " az-+o M Lz-+o Az

limiti var vs sonludur.

45

b\W = Je+ Az) - f (z)=lu(r+Ax,y+ Ly)+iv(x+ Lr'v+ Lv)i'

-lU (r,y) + iV (x,y)l=lU (x + Ax,y + Lv) -U (x,v)l+

+\V(x+ dx,Y + AY) -Y(r,Y))= AU +iLV

ye Az = Lr+i$y olduflundan (9) bsraborliyni

f'(z\=ynM=lim' ' ' tz'+o Lz fr]3LU + iLV

Lx+ iLy(10)

kimi yaanaq olar. Burada Lz = Lx + i\y kemiyysu istanilan yolla srfra

ya$nla$r.'-Awatce, frrz edak ki, z+& ndqtosi hsqiqi oxa p-a-"! 9* xetJ iizre z

n6qtasins pxmlaqrr, yeni az = & -+ 0 . Onda ( I 0) baraborliyinden

)',,o= ^ov= ^ n'* =,g,(f -f*)=X.'% (rl)

altar.- Irrdi f.., edak ki, z+& nOqtcsi xsyali oxa paralel diiz xott ii'zrl z

noqtosine yaxmtagr' Bu halila Az = iA),, olar vo (10) barabsrliyinden

/'(z)= rim M = ron ^u:.i^v = * l-,*.*l= *L;* (12)

r \4 - i:o Lz ay-o iLY av-ro\ N LY ) oY oY

aluor. (11) vo (12) bsraberliklerinden gxr kiau +.av -av _.0u0x Ar AY 0Y

olar, yeni (t) bemberliHori 6danih'Xqttiyin isDcle $erta gftlr U(r'v) ve /(x'v)

diferensiallenen oldulundan onlann tam arUmut

^u (r,Y) =

a#

^1c

+ X ^Y + eP'

^t/(r,y)=%Lx+X^y+ eze

gekliudc gdstormak olar. Burada p =

Onda

AW LU + iLVLt

vs [im a1 = lim-P-+0 P'+o

funksiyalan

e2=0.

Lx+i\y

4

olar. (E) boraborlikleri ddsnildilnden sa{ tsrefdeki

'#* '# xtsusi t6remelerini uygun otaraq - aI

ve

b erik:

kssrin surstindoki{ la aoa" eda

!6r*ity1*,a!*"!1tr + itg +(e1+irz)o ,u .u

^_-,^;- =- r,!*@:!dL gqLW _ ar\,"4,ry)rt ax'pr,

rov,f\61+rE2t0t =0! *fv *(rt*irz)p

indi gostsrok ki, &+0 gertin&

n::!L D __ oAr+i&y'

olur. Dogrudan da, p = lazl oldulurdan

Ax 0x Lx+i$y

l^tl(,,.

t,)ffi1=la1 +ie2l -+ o (^z -+o)

olar. Onda (13) beraberliyinden,. LW AU .AylJroo-=-+ii=f,(z) (14)

almar, ysni /(z) fiurlaiyasr z ndqtesinde diferensi4llananrftr.(6) qortlarins Dalamber-Eyler ve ya Kogi-Riman gertlori deyilir.Koqi-Riman gortlorini ve ( 14) borabsrliyini oi:zlr" alsaq,

diferensiallaran /(z) funlsiyasrnn tdromosi iigiln

I,Gt=Y+iav =AV -.AU -AU -.AU -aV ..AV' " or 0x ay 'ay=a-'oy= ur*, * (15)

ihdelorini de almaq olar. Difersnsiallanen 1zy firnlsiyasurn t6romesi(15) d[sturlan ilo hesabtene bilor.

Polyar koordinaflarla diiducaqh koordinatlar a:asmdakr t=rc,ose,y=rsine miinasibstlarinden istjfade edsrek I@) =U(r,q)+ iy(t,p), z=retefunksiyasmm diftrensiallanan olmasr iigiin (g) Kogi-Riman $ortLriniau lay ay tau

a. =; oe' a, =-; ae (16)

kimi ya-anaq olar. Bu halda fiuksiyanrn t{iremosi

t'ra=l(N 'av)l 1(av au\, n,__16 _, a, )= ;1*_,r1

diisturlan ile hesablaar.4. Verilmig zq nOqtesinde vo onun miieyyen atrafinda diferensiallanan

birqiymotli tr = f (z) fu*siyasrna hemm ndqtede aralftik ve ya requlyar

lnksiya deyilir Requlyar fimlsiya istilahr evezine bezan holomorffunlsiya da iglsnir.

OU

Az Ax+ iAy

(17)

47

o oblastrnm biitiin noqtalsrinde analitik fiuksiyaya hemin oblastda

aoalitik ftoksiya deyilir. Verilmig /(21 firnksiyasmu aoalitik oldulunOqtolare hemin firnksiyanrn duzgiim n(ht leri deyilir. 712; frmksiyasrnrn

analitik olrnadrEr (ve lem de tsyin olumnadrfr) noqtaloro onun mexsusinoqteleri deyilir.

Aydrndrr ki birqi)rmetli /(z) firnksiyasmn oblastda difereosiallanan voanalffi slnasl gartleri eynidir ([st-[sta dii5iirr). lakin fimlaiyamn ndqtado

analiik ve difereDsiallenrn olmasr gsrtleri bir-birinden ferqlenir.Funlsiyamn ndqtade aulitik olmasr dlferensiallamn olmasrndan a[r(giict[) $ertdir. Verilrnig noqts<b difereflsiallanan funksi]anm hominndqtedo aralitik olmasr iig.rin bmh n6qttmn ozlnda vo onun mtia]Tetretrafinda bu flIrlsiya diferensiallan"" olrnald:r.

5. Kompleks &yiSsnli /(z) fi:nlsiyasrmn diferensiahnr teyfu etmek

iigiln tdremenin brifindan istifide edek:

y_ y = 7,111**.

Lz-+o Az

Buradan aydmdr ki,LwM-l \z)=d

6rqi Az artmrna nezorcn sonsuz kigilen kemiyryotdir: oligoo

=0. Onda

4L uruntiAz

AW_ = t (z)+qAz

gaklinda gtisterile bilar. BuadanAW = l,e)Az +d\z

beraborlil alnu,(1E) bsrabarliyinin sag terefi iki hisssdan ibarotdir. Bunlardan biri,

adz kamiyyeti & arin -Da nezerEn sorcuz kiqilondir:a\z=o(M) (&-+0).

O bi f e\Az iso & kemiyystino rczeren xottidir. Bu gostsrir ki, /12)Azkemiyysti fimksiya artmnn ba5 hissosidir. BuDa, yeni 7121 fimksiyasrmn

Arrl artmrnm bal hissesine homin firnksiyann diferensiah deyilir vo

dw = f'(z)Az (le)ile igare olunur.

(18)

,{E

(19) dtsturunu ,f(z)=z firnksiyasma tstbiq etsek ve /=l oldufunuaozara alsaq, dz=Az banborliyini alanq. Bu bsraberliye esassn (19)diisturunu

tfiY = /'(zYz (20)

kimi yazmaq olar. Funksiyarun diferensialm df@) kj,ru da igars edirlar.Belelikla, gdstormiq olduq ki, fimksiyanm diferensiah onun t6remssi ilearqument diferensialrun hasilina berabordir.

s11. TTARMONiK TUNKSTYATAR

l. Forz edek ki,I@) =u (r'Y) +iY(x'Y)

firnksila o oblasffnda analitik funksiyadr. Buna gOre da o oblasumn herbir ndqtosinde /(z) funksiyasnm sonlu toromosi var va bu t6rome

r<t=Y+i%={;Y (r)0xtuayAydfrstunr ile hesablaar. o oblastmda anah$t< 7121 firnlsiyasrnm tdremasi

do hemin oblastda anditik funlsiya oldulundan, 1'121 toromssinin her birzeo noqtesindo sonlu /'(z) t6remesi var ve bu &iromoni yene tls (l)diisturu ilo hosablamaq olar:

^2't .A2Y A2U .a2V/,'(z) =!)- *,-- =----=.- t ----; (Z)Ax" ay' fu"

Analitik funksiya kesilmayon oldu[uadan /'(z) ve /"(z)fimlsiyalano oblastnda kesilmayan olar. Onda (l) ve (2) diisturlarua esassn deyebilarik ki, U(x,y) ve l/(r,y) fimksiyalanmn bir ve iki tsrtibli xususi

toranraleri o oblasbnda kesilmeyendir.Bu mrihakimani U (x,y) ye /(r,y) firnlsiyalarmn a oblastmda

istsnilon tertibdan kssilmeyan xiisusi tdrsmalerinin varhpm gdstsrmekolar.

/"(z) funksiyasr o oblasEnda amlitik oldulrmdan onun heqiqi vexeyali hissesi o oblasEnm her bir n6qtesinde Kogi-Riman gartlerini6deyer:

a2u azuq"

a2r

a2

a2v---;.ox

49

Buradan grxr k\ U tx,y) va V<x,y) firnksiyal,arrmn har biri ikitartibli

xiisusi toremeli

oe=*.*=od' av'(3)

onliyini Odayir.(3) tanliyi Laplas tanliYidtr.laplas tenliynin helli olan hsr bir (heqiqi) funksiya harmonik

funksiya adlanr.Belelikle, isbat eunig oluruq ki, istenilen analitik firnksiyanrn haqiqi va

xeyali hissasi harmonik funksiyad-r. Bela iki bannonik funkstya Kogt-

Rinran gertlcrini iideYir.Umumiyyetls, Ko;i-Rimamn

au _av au _ -av0ril'fuatgertlari ils balh olan harmonik UG,i v. I/1r,y) furksiya.lanra qogma

harmonik firnksilalar deyiln. Demeli, istenilen analitik firnksiyarun beqiqi

vs xeya[ hissesi qogma harmonik funksiyelardu2. Bela bir sual qarqrya grxr: birrabitali o oblastnth barmonik olan

istenilen U1r,y) fimksiyasr ile qogma olan harmcnik fimksiya vamr? Bsli

vardrr.Bels harmonik lz(r,y) fiurksiyasrm onun x[grsi t6rsmolarinin Odemsli

oldufuAU OV AU

Ax av Ay Ax

miineqibetlerine esasm qurmaq olar. Bu maqsadle(x,,t\ 6g - AU

Vs(x,Y) = [- ::& + :-dY (4)lro',yi &'

syrixrtli iteqratrna bar.aq. Burada (t,yo).o qeyd olunmug va (r,y)<o

i)diyari trOqtedir. tlarmonik U(r,y) firdrsiyast (3) tenliyinin helli

oldulundan o oblasunm her bir mqtoshdea.au. a au.-(-)=*(--)Ar'Ar' 0y' Ay'

qerti 6d.nilir. Bura gorr de syrix+li (a) inteqrat inteqrallama yolundan

asrl-r deflldir.I,e (r, y) firnksiyasr o oblasEmn her bir noqtosilde

avo __au aYo _0uAx Ay' fu Ax

50

gsrtlerini ii'doyir. DoErudan de aynxetli inteqraftn xassesine g6re

alo . tu,vo\r L h,y) -vo\x,y) _ t- !G'!'!t au- r* -_ .au

Ax i-+o h h-->o h 1,i,"1 Ay

ve

dVo .. Volx,y. h) -volx,y) ,. 1l+t1n\6U - 6U

Ay h.-,o h haoh G,yl tu ' ax

olar. Demeli, I/e(r,y) funksiyas I U(r,y) ile qogma olan harmonik

firnksiyadrr. Onda U1x,y; firnksiyasr ile qogma olan aEanlan harmonik

funksiyalar(x,!) AU aU -V(x,y)= I- -_ tu+-. dv+L

fro',to't fu Ax 'peklinda olar (C istanilsn heqiqi sabit ododdir).

Belolikle, agalrdakr teoremi isbat ounig olunq:Teorcm 1. Birrabitoli o oblasbnda harmonik olan her bk u(x,y)

funksiyasrra hsmin oblastda alalitik har hansr bir /(z) firnksiyasrmn

haqiqi va ya xeyali hissesi kimi baxnaq olar.Bu teoremo osaseo analitik funlsiydafln melum xassolerindon

harmonik firnksiyalann uylun xasselarini almaq olar.3. llarmonik fimksiyalann qaldak kimi bir stra maraqh xasseleri

vandrr.I. o oblastroda barmonik olan hor bir fimksilamn istanilen artibli

xtsusi tbromasi v.u vo bu xtsusi tdromelor 6zleri ds harmonikfiurlsiyalardr.

Bu xassenin dolrululu yuxanda isbd stdiyimiz birinci teoremdan veanalitik fiDksiyalar haqqrndah birinci teoremdan aydrndr.

II. Markezi z ndqtasinds olan n radiuslu gpalt dairsclo harmoniku (z) = u <x,v) funlsiYasr iigiitt

u rrt = J-21 ue +*"ie)do" 2n 'o(s)

miinasiheti dogrudur.Bu xasseye harmon* funksiyalar [qtln orta qiymet teoruni deyilir.(5) diisnrrunu Ebar emok fiqun aralitik lG) (U(z) =Re /(z))

funksiyasmr qurmaq vo onun aig[n orta qiymst teoreminda gostorilonr 2tt

ftr)=- ! !(z +Rele)dQL40

5l

dilsturunu ya.anaq lazrmdn. Bu beraborliyin heqiqi hissesini aynaq, (5)

diisturunu atnq-II7. o- oblashnda harmonik va eynilikle sabite beraber olmayan

u(z)=u(v,y'; furksiyasr hsmin oblashn daxilinde en b6yiirk va an kigikqiymetini ala bikpz.

Bu t klifi an briyiil< qiyrnet haqqrnda isba ernsk kifaystdir.Ferz edak ki, U1z) firnksiyasr d oblas!fln har hanst daxrli z6

n<iqtesinda an b<tyiik qiymatini alr. o oblastmda analitik orlan va

u(z)=Ile[e) miloasibetini odeyon /(z) funksiyas quraq. Onda w =efe\firnlcsiyasr a oblasunda alalitik olar vs onun modulu lwl=efG) hofrinoblastrn daxili z6 nriqtosinds an b<iyiik qiymst alar, Bu isa analitikfunksryatar haqqrndatn modulun maksimumu prinsipins ziddrr. Demeli,farziyyomiz dopu deyildir, BununJa da III xassa isbat olunur.

IV. Biitiin miistovide bannonik ve mehdrd (n<U(z)<M) olan U(z)fu nksiyasr eynilikle sabito borabordir,

S12. TORAMOMN MODULU VO ARQUMENTi

L Forz edek kt, W = f(z) firnksiyasr d oblasonda analitik fimksiyadrr

ve zoeo n6qt sindo onun ttiromesi srfirdan farqlidir f'(2fi+0. w = f(z)funksiyasr o oblasbnr (l/) miistevisinin bir x oblastma inrkas etdirir, Buinikas zamam z0 €o ndqtesi r'r' obhstmm I/9 n<iqasins kegir.

z6 n<iqtesindan gixan va aralanndak bucaq a olan iki 71 ve 72

kssilmez eyrisini gdtiirck. Bu eyrilerin zo noqtesindo toxunam olmasmrqsbul edek. Ilemin syriler r'=/(z) firnlriyasr vasitesile ,/o n6qtaslnden

grxan va aralanndaktbucaq 0 olan q va 12 eyrilarina inikas olunar.

52

h a),risi izarindE. zs + Lz noqtasi g6tuFk. Bu n@eye rr ayrisi

iizerinde uygun olan nOEa Vo +A/ olsun. z6 +Az troQtasini ,,1 eyrisi [.dozs ndqtesine yannlaSdrrdrqda l70+4tr noqtesi de rr oyrisi iizra ,/ondqtosine ),axrd:agrr. Bu halda

w Y=f,(zol*oLz)o M

E/o#=not'<o''lin (ArgLW -Atg!z)=Arg/'(zs) (2)

&-+0

olar. Buradan

Ya yn

bsraberliyi ve

(l)

(3)r-l44:l=v'<,o>t62+A Lz I

miiurasiboti almu. Stilediyimiz prtler daxilinde tz adsdt 71 eyrisinin z6

ve z0+62 nOqtolerini birleqdiran vekiorl4 AItl ise \ eyrisinin 16 ve

r0 + Ar noqtalerini birlegdiren vektorla gost rilir. 71 elirisins zs

ntiqtasindoki toxunanrn heqiqi orun miisbst istiqamati ile emele getirdiyi

buca$ q ve 11 eyrisinin ro nqeshdeki toxuoaDr uylun hsqiqi oxun

musbet istiqamati ile emole getirdiyi buca$r y1 ila iSara asoh

Eono*=^ va ]tmoArtLw

=v1

ve buna g6re de (2) barabsrliyindsnArsl'OO=tt\-qr

miiLnas ibsti almrr.r = /(z) funlsiyasr aDalitik oldulundan (1) limiti az artrmrmn srfra

yaxnlaqma qaydasrndan asrh deyildn, Buna gdrs de yuxanda apardr$mtz

m[trakimsni zs + & noqbsi 72 s;T isi iizsrinda yerlsgerek, hemin oyri iizre

zs nriqtasios yaxrnlagdqda aparvq,Argf'(2fi=tYr- * (5)

beraberliyini alaflq. Burada q,, tla y2 eyrisinin z6 n6qtosindaki torunanrn

haqiqi oxun miisbat istiqameti ila emela gotirdiyi bucaq, ,y2 ils isa f2

ey,rismin /s n(ht sindaki toxunaxr uylun hsqiqi oxla smele getirdiyi

buca4 igaro olunmugdur.(4) va (5) miinasibetlorindeh tdroma arqumentinin hendesi menasr

aLmr.

(4)

53

(z) miistevisinin haqiqi oxu ila (r) mtstsyisinin baqiqi oxuoun eyuiistiqametli oldugunu qebul etdikde, (4) va (5) muasibetlerinden gxu ki,zs n({tasindon 9xan her bir eyri w = f(z) iai*A$ ar(w\

e = Ary I,@o)bucafr qsdar fulanr. ze nttgtasindan grran h eyrisinin hemin n6qtadeki

toxunaflnrn heqiqi o:<un mlrsbet istiqa$rti ila omels getirdiyi bucaq 9lolduqda, 7, eyrisinin inilast olan rl eyrisinin uygun ,,/o ndqtesindeki

toxuDanr h.qiqi oxla q + d trrcaSrnr, yxri vt =st + ArB l'@d ( l'Qd*O)bucalrm omele getirer. Belolille, ahnq ki,

a) f(zs)+O olduqda tdremsnit e = Arg l'(a) arqumemi r'=712;funksiyasr vasit silo apanlan inikasda zo noqtositrd.ki d6nme bucalrna

berabadir.T6romcnin modulunun hendasi menasur izah etsnok iigiin (3)

miinesibotini gdtiirok. (3) borabsrliyini

l,r"(zo)= l,rn M= f- I (O)' Lz-+o lMl Lz-ro P

kimi yazaq. Burada p = lazl ila ze ve zp + az ndqtalerini birlsgdinn aa

vektorunun uzunlulq t =l6wl na iss 7s ve re+Ar ndqtalerini

birlegdirsn ve & vektorunun inikasr olan Atr vektorunun uzunlufu igare

olumnu$dur.(6) muasiboti V - f(r) i\il(€$ zlrna 6z velloru u.annlutunun necs

doyigmesini gdstarir. Buna gore de, a =V'@dl ededilo v = f (z) funksiyasr

vasitosile lpsnlan iniL2qda ze n(\tesindeki dartrlma emsalt deyilir. d > I

olduqda r =7121 inikasr zaman z6 nriqtesinin yaxrn etrafndakr noqblorarasrnakr mosafr b6yuyur, yeni dart ma (uzanma) smale gslir. d<lolduqda ise w = f(z) n*asr zalfl,?ir zo noqtesinin yaxm atmfindakr

n6qtolar arasrndakr mosafo qralrr, yeni srxrlma (qrsalma) emela golir.Belelikle alrtq:b) /'(zs; tdramesinin d =lf Gdl modufuW = !(z\ firnksiyasr vasitssile

apanlan inikasda zo n6qt sind.ki rctti dartdma emsahna berabordir.

An:alitik /(z) firnksiyasr iigiin (6) limiti az artmnrn srfra yaxnla$ma

qaydasrndan as l oknadrE'md2n zq n6qtesinde darElrna emsah sabitdir,

yeni ze n0qtasindan gxan biitrn rstiqamstlerrle dartlrna emsah eynidir.

2. (4) va (5) miiLnasibetlerinin sol teroflon beraber olduiundan saB

tereflari do boraber olar:

Vt-gt=V2-

Buradan

54

- q= v2 -vtmiiru$ibeti alElr.

(7) boraborliyrndon gtiriiniir ki, analitik /(z) fimksiyaslfirn z6

noqtasinda toromasi slfirdan ferqli olduqd4 l@$+Q hemin firnksiya

vasitosile ary:/ratt W = f (z) rnikasr zamanr zs nOqtesindan gxan ixtiyari

iki ayri arasurdakr bucaq qiymat ve istiqamotce deyiSmir, ysni invariant(dayiqmez) qalr. Buna bucaqlann konserv"atizrn xassssi defllir.

/.inalttitr W = /(z) funlsilasr vasitosile apanlan inikas zaru) zo

noqtasindc bucaqlann konsersati.zn xassesinin do$u olmas [giin

f (zo\ +o tolebi miihii,m gertdir'

Kasilmeyen /=/(z; funksiyasl vasit si ils apanlan inikasda

bucaqlann konsenattani vo dartlkna amsahmn sabitliyi xasseleri z9

noqtosinda Odsnilerss, onda homin inikasa z6 n6qtssiuda birinci cins

konform inikas deyilir. Buradan aydrrdr ki, birinci cins konform inikas

zamafl t pelorindon biri z6 n6qtasinde olan sonsuz kigik iigbucaq oziiLne

ox$ar tigbucaEa gewilir,Altr.ln* W = f (z) fualsiyas[un zo n6qtosindo toremasi srfirdan ferqli

/(zo) +o iso, onda hamin firnksip vasitasila apanlan inikas zs n6qtssinda

birinci cins konform inikasdrr' Bu tekliEn tersi dolru deyil.

Kasilmeyen E' = /(z) funksiyasr vasitasile apanlao inikas birinci cins

konform inikas olduqda hemin funl$iya analitikdir ln onun triremssi

srfudan ferqlidir.Kesilmsyen Irl = /1zi firnksiyasr vasrtasile apanlan inikasda bucaqlar

mii,tloq qiymotce sabit qahb, ancaq istiqametlerini dcyigino vs darhlma

smsalum sabitliyi xassesi miihafizo oluDarsa" onda bela inikas ikinci cins

konform inikas adlaff.Vailmig o oblastmn hsr bir ntiqtosinde konform ol^n w' = IQ)

inikasrna hsmin oblastda konform inikas deylir.Bz bundan sonra konfonn idkas dedftd. ancaq birinci ndv konform

inikasr bafa dirpce>"ik,,I/ = /(z) inikasuun d oblasEnda konform olmasr UqiiLtr /(z)

funksiyasrnrn o oblastmda analitik olmasr ve onun /'(r) t6remesinin

hemin oblastda srFa gewilmomosi kafi gertdk

(7)

55

s13. oBLASTLARTN KONFORM iNiXASI

L Ferz edak ki, o- ve lr' uylun olaraq (z) ve (Ir') miistevileri iiaerindeyerleEan i:ciyan oblastlardu. Bela bir sual qagrla grxr: o oblastfl Noblasnna konfomr rnikas adirmek olarmr? Bele inikasr aryan w = l@)funksiyasr nega danadir va bunu necs qurmaq olar?

Ohetta, koaform inikesm s6ylodiylmiz asas maselasi iiLrnumi gekilde

hell oluna bilmez. Maselen, v€rikni$ o oblastr goxrabiteli, .lr' ise

birrabitoli oblast olduqda o oblastnr l/ oblasuna qargrhqh birqiymetli ve

kesilmez inikas etdirmek m[mkiin deyildir. Bunun seboblorindcn biriniburada izah ede bilerik. Oksino forz edok ki, a oblastsrun r obhshnakonform inikasr vardr. o oblastuda yerlesen va daxilinde xarici ndqt lerve homil oblastrn serhod noqteleri yerlogen qapah r konturu gOtiirok.

Konform idkas neticesinde r konturu /t/ oblashfln daxilinde yerlogen birqapaL C konturuna inikas oluar. Birabitoli lr' oblastrrun daxilindeyerlogan qapah C konturumr hsr tarafdsn sxmaqla bir nttqtoyo pEmaq(sr:anaq) olar. Bu zaman onun kosilmez inikacr olan r konturu da birnciqteya srxlnrahdrr. Bu ise m[mkii,n deyildir, gunki f -mn daxilinds xaricive serfied noqtebri yerlspir. Ahnan ziddiyyat ferziyyamizin diizolma Emr gosterir.

a oblastr btitiin (z) kompleks m[stevisi olduqda da onu mehdud rvoblastura konform inikas etdimek miiunkiirn deyildir. Do!rudan da, tutaC

ki, analitik ,/ = /(z) firnl$iya$ (z) kompleks mtstevrsini mshdud

oblasuna konform fuikas etdidr. Bu funksiyanm bw-un qiymstleri mahdud.M oblashnda yerlogdiyrndan o meMuddur. Bii'ttn kompteks miimevidarnelitik vs mehdud olan /(z) firnlsiyasr e'/nilikla sabit olmahdr. Bu iso

ola b msz.Dsmeli, a oblas[ biitiin kompleks miistovi de ola bi]mez. G<istermek

olar ki, o oblash bir nbqtesi gxanlmr; kompleks miistevi de olrnartaldr.d vo .v uyEun olanq (z) ve (t/) mtrstavilerirde yorlsSsn biifiiut

kompleks mustovidon ferqli birrabitsli oblastlar olduqda sonsuz sayda ele

analir;l< w = l@) firnlsiyaJan vardr ki, bu firnksiyalar rasiasilo o oblastt

i/ oblastua konform inikas olunur. o oblasbfl N oblasffia konforminikas etdhon firnksiyanrn yegans olmast iiLgtin bir sra alave gsrtlsr talebetnek lazundr. Bu gartler konforrn inikas haqqtnda esas teorern adlanan

a$a&dalo toklifde gosteril ir.Teorem I (Riman). o va uy[un olaraq (z) va (llz) mtsavisindc

yerls5en, bttin kompleks musteviden va bir noqtesi gxanlmrp miistsviden

56

ferqli birrabitali oblastlar olduqda o oblashnda verilmiq ixtiyari z6 n0qtesi

vs bu n6qtedon glxar istiqamtti, uyEun olaraq il oblasEnda verilmigbfiyai w o diqtasins va bu n6qtaden gtxan istiqamsa geviren:

f(z,=t/0, arsf'Q) = eo (1)

ela yegana amltuk v = f (z) funksiyasr var k! bu fiuksiya o oblastn iV

oblasuna qaryhqh birqiymatli konform inil€s etdidr.(l) prtleri konform inikasr normallagdran gsrtler adla^rur. Bu partler

tiq hoqiqi paradetrd.n asrtd[: bunlann ikisi 76126;=fze beraberliyitrihaqiqi edodlsrin boraberliyi gcklinde yaanaqla alur, biri iss (l)berabertiklsrinin ikincisi gotiriiliir.

(l) Softlori evezina, bozen u9 hsqiqi parametr&n as r olan bagqagartler de verilir.

2. Rioan teoremi (z) m{ist visinin birrabiteli o oblastmn (r )mtstavisinin bin-abitali lv oblsstrE qargrlqh bnqiymstli ve konforminikasm gdstorir. Bu oblastlann konturlanm inikast xaral<terini g6sterenheg bir xasse isa bu teoremdo verilmir. Btma gdre de bele bir sual qaryyagDor: o oblastl /v oblasura konform inikas ohrna*en onhnnserhsdlerinin uytunlulu haqqmda ne demsk olar?

Teorem 2 W =lQ) funksiyasr (z) mristovishin sorhadi sada

kesilmez f oyrisi olan a oblasum ( IIl ) m{istevisinin sarhodi sada kssilmazC syrisi olar N oblastna qarElqh birqiymetli vo konform inikasetdidrso, onda bu fuDksiya vasitosile f va C eyrilsrffi noqtelori arasmdaqaqrhdr birqiymetli vo kesilrnsz uylunluq yamrur.

Bundan bagqa, o ve ir' oblastlanotn qargrlrqh birqiymet[ ve konforminikasl zamam onlana serhodlerinin loroka istiqamati eyni qalu. Bu odemskdir ki, a oblashnrn f serhsdi boyunca heraket etdikde oblast soldaqalusa, rv oblasrmrn C sarhodi boyunca uylun gekilde bomket etdikde da

homin oblast solrta qalr.Konfonn inikas nczeriyyesinde sertodlerin uyfunluq prinsipi a'llanan

a$a$dakr taklifin d. b6yii,k shemiyyeti vardr.Teorem 3. Forz edek ki, birrabit li o rls ,v oblasdan ryfun olaraq r

ve C eyrilsri ile htdudlsnmyk. a obl'asbnda a@litik vo a qapalt

oblastsnda kesilmeyon 7=/(z) firnksiyasr I ve C eyrileri arasmda

qaralqh bhqilmotli uy[unluq yaradrsa, onda bu firnksiya a oblasrm lroblasma qargrhqh birqiymetli vs konfcrm inikas etdirir.

Bu teorem miielysn msnada 2<i teoremin trrsidir.Oblasdann konform initas nazeriyyosinde oblastlann saxlanmasl

prinsipi beledir:

57

o obla$nda analitik vo eyDilikle sabit' bE,taf,xr ol,l'ayaln fi/ = l@)

funksivasr hemin oblasu bor hatsr oblasta inikas etdiri'----iitUaft* uylunluq prinsipini tetbiq etsnok mumkun olan zarnatr o

"bh;;;ik*;i*a.iri obri-u lapmaq flgutr onun serhadinin inikas

;irrd"E" "vt-l ,rp.rq-Ufryetdir. Bu eyrinin shata etdiyi oblast o

oblastrrun inikas olundupu oblast olmahdlr'

s14. KOMPLEKS DOYI$ONLi FUNKSiYANIN ixrrQner',t

l. Farz edek ki,tl = f (z) = tJ (x, y) + iV (x, Y)

funksiyas kompleks miistavrnin qapah va y1 agrq I eyrisi uzerinda uyin

"ir.-irit"qiv."tf firnksiyadr.'r ayrisinin uc n6qtelerini A.va B lla

;;;'.k;'va r noqtsla'rinin affikslari uylun olaraq.a. ve '.olsun

f,'v".i q"p"l, olduqda

' a=b dar.l ndqtasini f ayrisinin ba;lan[tc' I

,iiot"tiiri it. r ayrisinin son uc trdqtasi hesab edak Bununla da r oynsi

l -dan a -ye tarof istiqametlonmi$ olur.

f avrisini ardrcrl duztlmus iriyari' o = zo,zr,z2,..,,zn -- b

n6qtoleri ile r hissayo zt-tzt qdvsl.rine bdlak zl-1zp qOvslerinin her

birinin uzerinde yerlagen ixtiyari f1 n6qtasi g6triok vo

n-lsn= ZIGk)LzL

t=0

- .r cemini diizoldek. Burada az1 =zk+t-zLzn'"(r' = o,r, -1).1&e l(r = 0,2 {) ededlertrin

boyiiytimu 2 ile igare edsk:2 = Eax(Aaol,l&r1,...,1&,-1D .

f eyrisinin b6ltnme pydasrndan vs ftnoqtclsrinrn secilmosindsn asrlt olmayaraq

2 -r 0 qartinda ( I ) caminin sonlu limiti varsa'

hemin limite ,/ = /(z) fiulsiyasrrun f cynsr

[ae inteqrah deyilir vo

I te'tdz=ttmSltrgrl*r.- !^")d, (21

i- ,rot=o AB

(l)

5t

ila iyra olunur. (l) cemine ,f(z) fimksiyasmrn inteqral cemi deyil:u. f(z)funksiyasr imeqraldtr funlsiy4 "fe)e ise inteqralalh ifrda adlamr.

f eyrisi hamar ve ya hisse-hisss hamar syri yo /(z) funksiya$ bmin

oyri iizerin& kssilmeyen firnksiya olduqda (2) limiti, ye ! f(z)dz

inteqrah var ve sonludur.Bunu isbat etmak tr$dln zk=xk+iy*, Azt=L*+iAyt v. 1k=4b+irk

hesab edarelg (l) csrninin-l n-l

Sn= llU(41,tp) + iV (ttk,ti)l(Lx1 + i\y = ZIU (4 *,t k)Lxk -t=0 I=0n..r (3)

-V(qp,t p\Lypl + i ,lV (4 h,tk)Lxk + U(4s,rp)Lyslt=0

$aklinda yazaq.

/(z) firnksiyasrun f eyrisi iiLzetinde kasilmeyen olmasrndan onunheqiqi ve xsyali hissesi olan U(r,y) y6 y(x,y) funksiyalarmrn hamin eyriilzarinda kesilmoyen olmasr grxr. Melumdur ki, U@,y) vd V(x,y)funksiyalan hamar lre ya hissa-hisse hamar f oyrisi iizerindo kesilrneyenolduqda

n_tllU (4y,tp)Lxp - Y(q2,r1)Ly2l,

t=0,l+lllV (4 1, r 1) Lx p + U (4 2,t s) Ly pl

k=0cemlerinin 2 -+ 0 gertbde sonlu limitleri var ve bu limiller uyfun olaraq

llu(x$e-v@,y)dyltv0

llv(x$e+u@,y)dylf

eyrixatli inteqrallanna berabordir. Onda (3) beraborliyinden (2) linitrninvarhp va elace da

tJdn.S, = llu (x.fie -v@,y)dyl + i llv (x,y)& +U (x, y)dyl,L-+O f f

ve ya

I f @)dz = llu(x,y)dx-y (x,ywl+ i lly@,y)&+u (x,y)@l (4)rfr

59

miimasibati almtr,2. Kompleks dayigenli firnksiya inteqralmm yuxanda verdlyimrz

tsrifine asasen onun bir srra xasselarini s6ylemek olar.

l. !dz = b'a.r

DoFudan d4 /12) = 1 olduqda (1) inteqral camin-l

S, = | tu p = (zL - zo) + Q z - 2 ) + ... + (z n - z n-t) = z n - zo = b - ah=0

(zn = a, s n = $) olar. Buradan telab oluoan beraberLk

ldz = ln Sn = lim (b -a)=D -ay 1-+0 ]--t0

allur.tr. r syrisi tzerinde kssilneyen lO) ve 9(z) firnksiyalan va i*iyari

sabit a.r ve ll{ ededleri iigii,n

l[Mf (z)+ Ne@)]dz = M I f Q)dz t N t e{zfiztrf

berabodiyi doErudur.Bu usseni isbaf etmk [gii'n

r-l a-l n-lLlLtf(€l)tNg/\€|Jl\zt =M t fGt)Lzt+N zd€r)AzLk=0 t=0 t=0

elniliyinde , -r0 Frtind. limito kegmek kifayrtdir.Itr. f eyrisi 11 ve 12 syrilsrurdan ibarotdfusa ve fi -itr son uc neqtasi

l2-nin baglanlrc ndqtssi ile iist-ilsto diigilrso, onda r olrisi iiz5rinde

kesilmayen ixiyari /(z) fiuksiyasr iiqiim

lf@tu= lf@)dz+ I fQ)dzrlr12

barabediyi doPru olar.IV. F syrisi hendasi olaraq r eyrisi ilo [st-tista diig[rss, lakin onun

istiqameti I syrisi istiqametinin aksinedirse, onda f eyrisi iiaarinda

kesilmayen ixtiyan /(z) funksilasr iigiln

lfQ)dz=-l IQ)thrrberaborliyi do[ru olar-

Bu xassenin dofrulu[u

60

n-l ',-lLfGt)Mr = - 2 f({y)@t' z1a)k=0 t=0

eyniliyinden aydlndr.V. f efrisi Ezarinde kesilmeyfi I@) fimksiyast z -rn hemin eyri

iiLzeri.odaki btt[n qiymetlerinde lf(z)l<M berabersizliyini ddeyirse va reyrisinin uzunlu$u /-a barahardirse, onda

luu*1,,, (5)

berabersizliyi dolru olar.(5) borabersizliyini isbat etnok iigiin

la-l I a-l z-l

l:,r{6r lazt

|

< : ll G k)ll& kB M Ll^, A < MI

berabersizliyin& 2 --+ o gortinda limito kegmak kihyetdir.VL Kompleks idfqralda delqeni avez etrnak haqqmda aga[dakr

taklifdo[rudur:Farz edsk kt, W=dz) firnksiyasl baglanElc n6qtesi a ve son uc

n<iqtasi 6 olan f oyrisi iiz€rinda t yitr olunmuq vs hsmin eyrinin bii'ttrnn<iqtelerinde kasilmeyen p'(z) tdnmosi olan funksiyadr. Bu ftrnksiye feyrisini ,r/ 6ffstr5visinin ! eyrisine inikas *dirir. 11 oyrisinin baqlanErc

ndqtsi c = fla) ve son uc ntqtesi d = p(6) dir. Bu Scrtler daxilinde fieyrisi iiLzerin<ls kasilmsycn /(r) firnlsiyast iigiittl

JlavVw --l llq@lq@Wrrrberabortil do!rudur.. 3. Kompleks inteqrah hesablamaq [giiLn onu iki beqiqi deyigenli haqiqi

funksiyanrn eyrixotli inteqrahna getirirlar. I lQ)e iuteqrahrun hesablanma

qaydasrnr miieyyan emok tciitr ferz edok kl, f oyrisiz= z(r) = x(r)+ tr/tr) (r<t<D)

parametrik bnliyi ile verilrni5 hamar (va ya hisse-hissa hamar) eyridir val@) =U(x,Y)+iY(r,Y)

homin eyri uzerinde kasilmeyen funksiyadr.Bu balda yro<anda isbat etdiyimiz (4) boraborliyi

lf @)dz = llu (x,yfu -v (x,ywl+ i fiV(x,y)dx + U (x, y)dylrrf

(6)

6t

dogu olar. Sa[ tanfdaki futeqralar haqiqi deyqsnli hoqiqi fimksiplann

eyrixctli inteqrallandr. Bu irdeqrallan hesablasaqp

! f (z)ctz =' I lul(x(t), y<t)l'' (t) -Vl(t), ^t)b/'

$)ldt +ra(1)

p+ i I ln((t),^r)lx' (t) + ulx(t), v{,))v' (t)\dt

arniimasibetini almq.

JI z (t)l = ulx(t), v (t)l + i v lr (t)' Xt)lv5

z'(') = x' (t) + iY' (t)

oldulunu nszore alsaq, (7) &surunup

I f @)d, = | llz(t)lz' (tYtld

kimi yaza bilerikIiuardan ay&ndr ki, kompteks imeqralm hesablanmasr kompleks

qiymotli heqiqi ctayigenli firnksiyasrmn m0ryyon inteqralrntn

hesablanmasrna gstirilir.

sls. KO$i TEOREMi

L Koginin hteqral teoremi aqalrdakr kimi $ylanir:Teorem 1. Birrabiteli mehdud o oblasonda analiuk w = f(z)

funksiyasrnrn hcmin oblastda yerleson ixtiyari qapah f kontuu iideinteqrah srfra berabordir:

I IQ)dz =0r

Isbatt w = 7121=IJ(x,y)+iV(x,y) firnksiyasmm o oblastrrda analitik

olmasrndan guor k! bu oblastrn hor bir n6qtasindaAU AU AV AV

=-' ^ r ^,; (l)

ox ay ox oy

xiisusi toremelen var va bu xiisusi tdremelsr Kogi-RimanmOU AV AU AV

;="6' ;=-; (2)

gcrtlorini Odeyir.

62

Bu Kogi teoremini isbat ermak iigiin elave olaraq fen edak ki, (l)xiisusi toromelari o oblastmda kasilmeyendir. Kompleks deyiqenlifuksiyamn inteqrah dtsu.rruna 9610

lfQ)dz- l[u (rge - v@, y)dy]+ i llv (x,y)ib +u(x,y)dyl (3)ffrolar. Melumdur ki, birrabibli a oblasunda yerlagan xtiyari qapah fkonturu ilzro gdttuiiLlmiis

llP(x,)e+Q@,y)<tylreyrixetli imeqnhmn slfi:a beraber olnasr ifgiin p(x,.y) ve gG,y)funlsiyalannrn o oblastnda kasilmsz xiisusi t0rsmelsrinin olmasr va buxiisusi toramolsrin hsmin oblastrn hor bir ndqtesinde

dP(x,y) _ @(t,y)Ay ax

baraberliyini Odemesi kafi pertdir.

-8" {ifi (3) beraberliyinin sag terefudeki eyrixetli inteqrallara torbiqetsak vs (2) gederini nezare alsaq,

llu (4)e -Y@, y)dyl = 0f

vo

llv(x,9e+U@,y)dyl=0rolar. Buradan" (3) beraberliyina osa$n, talob olunart ! f(z)dz =O

mtnasibeti ahnu. r

Qeyd. KoSi teoreminin doSu. olmasr iigiin oblastun bin-abitali olmaslmuhiim $ertdiI.

Kogi tmreminin tsrsi de doSrudu.Teoram 2 (Moa) Binabtali a oblastnda kasilmsysn 712;

fu$srlasrarn hemin oblastda yerlegsn istonilsn qapalr kontrr uzre inteqrahsrfra berabordiso, yrni

I f@)d, = orberaborliyi Odenilirss, onda hsmin firnksiya a oblastrnda analitikdir.

Koqi ve Morer teoremlerinden gxrr ki, analitik (requlyar) firnksiyalaagalrdah kimi de tarif vermok olar:

63

o oblastnda kesiknoyen ve hemi! oblastda yerlagen istonilen qapah rkonturu iizre inteqrat srfi:a berabor olan birqiymatli 7121 firnksiyasrra

hemir oblastda amlitik fimksiya deyilir.Bu larif analitik firnksiyalara eweller verdiyimiz terifa ekvivalentdir.2. Kogi teoremini goxrabibli oblasthr ngun tmumilegdirnek olar.Teorem 3. z -rabitoli mshdud qapah a oblashnda aml:trk w = 1121

firnksiyasrmn hamin oblastn mtiLrclJ<sU r = ro * 5t-! konturu [zrr inteqrahr-l

srfi-a beraberdir:,-l

I /@)dz + l, lf!)dz=0f0 ,=l E

(4)

.tslatr Teoremi isbat etmok ilqiin ri (i=o,a-11 korturlanmyx,/1,.,,fn-r qdvsleri ilo birle$irak. Onda o oblash l' va f'konturlan ila

ehata olunmug iki birabheli dl ve 02 oblastlanna ktliiniir.

/12) fuksiyasr or 'va 02 oblasttannda v. onlann konturlan iizgrindo

analitik firnksiya oldu[undan Koqi teorernins gore

IJQ)dz=0, lf@)dz=0f' f'

olar. Bu inteqrallan toplasaq,

I lQ)dz + ll@)tu =0rr

vew

64

,-l n-lI fQ)dz + 2 ll@)e+ Z. (lf@)dz+ ! IQ)dz) =f9 r=lf, ,=0 n 7i

= J\@)az+Tt I^z)az=of6 r=lF,

alanq. Brmnnla da teorern isbat olunur.(a) beraberlifrni aSaErdalo kimi )azaq:

z-lll(zfrz = | I f@)dzr0 i=Il

Buradaq xususi hald4 ro Yo q konturlan ile hiidudlanmrq ikirabiteli

a oblastmda a@litik 1iz1 firnksiyast iigiin

l/@)e: lfQ)thfo ft

baraberliyini alnq.3, Kogi teoreminden belo bir notice almrr ki, 7iz1 firnlisiyasr o

oblasunda analitik olduqda bu oblastda yerlogon istenilon eyri iizre hemitr

funksiya int€qrahnrn qiymati ancaq syrinin baSlangrc ve son uc

ntiqtelarindan as rdrr. Baglanfrc vo son uc ndqteleri eyui olan istanilan iki

elrr fiao /121 firnksiyasrmo int€qralon qiymeti eyni ol , yeDi l(z)

funksiyasr imeqralmrn qiymati irteqrallama yolundan asrh deyildir,

Bu taHifi isbat etsnok [gtim o oblasunda yerlsge4 baglan$c n(qtesi 4ve son uc noqtesi 6 olan iki f6 ve rl eyrisi go'threk.

(5)

t6 ve F1 q6vs[ (hondsi olaraq f1 ilo ijst-[sta dtgan) qapaL f =ro+fikontunrnu emela gatirir. /(z) fimlsiyasr bu qapah r kouuru ilc ahate

olunrnug qapah oblastda alalitik oldupr.rndan Kogi teoremine g0ro

I le)dz =oIo +lj

olar. Buradan

IIO)dz+ lfQ)dz=0ro rr

ve ya

I lQ)az = | f(z)cbro fr

ahxr.Bu taklifin tersi da do!ru&r. ./(z) funksiyasmrn intcqrah ht€qrallama

yolurdan asrh olmadqda hemin frIdksilasrnrn istonilon qapall konurr u.aa

inteqrah st'a boraber olar.Fez edek ki, tl = /(z) funksiyasr o oblastuda analitik funksiyadrr. o

oblastmm her hansr qeyd olunmuq noqtesini zs ilq hsmin oblastn ixtiyzri

ndqtosini z ilo i;are edak. Bu n<lqtelari birlsSirea va a oblastrnda

yerle$on f qovsii tLao /(z) funksiyasrnrn inteqrah ancaq homin uc

ndqtalerinden as r olduEundan gffi€rdiyimiz hteqralt

I I@d€ = ll@d4zof

kimi iqars edek.Bu inteqral haqqmda aSaprdakr tooremi isbat ed.k.Teorcm 4. /(z) firnksil'asr btrabitali o oblasmda aoalitik

fu-nksiyadrrsa vs ze hsmin oblason qeyd olunmu;, z isa ixtiyan

noqtesidirso, ondaz

F(z)= IIGY| (OzO

66

funksiyasr o oblasbnda uralitik funksiyadu va z

tdramesi /(z) -e borabsr olar:dF(z\ ^,.-' :-' = F'(z) = fG) '

.Eisbat 1111 funksiyas o oblastmda analitik oldulundan

oblastda o, eyni zamanda kesilmeyendir. Buna g6re da ixtiyariededins qargr els 6>0 var ki 14-zl<a olduqda

n@asinde onun

(7)

hsmina>0

(E)

z+& n@asini z ndgtasi lla y dilz

lI(o-f @l.tbarabersizliyi odenilir.

z noqtosinm d +tafinda Yerlagenxefi parsasr lasitosils birle$irek.

z6 ndqtasini z ila birlegdiren ayrini f ilo igare etsak,z+hz 2

F(z + ^z)

= I lg)d€ = lfc)d€ = I lG)a€ + I IGY€f+/ za

vo buradanz+ Lz

F<, + ^z)-

F(z) = I IG)d€ = I tGMEfz

alanq. Derneli,

olar. Buradan

F(z+Lz)-F\z) - f(z\_ I

Az "' Lz

t z+N= - lI/G)- f(z)ld€

622

l€ - zl<l^zl< 6

z+Lz 1 z+NlI\)d€-: 1112)dl=

67

olddundan (8) berabarsizliyins gora

1F(z+Az)-F(z)l^,frn F(z + Lz) - F(z) _ l@)

Az--)0 Lz

F'(z) = f(z)olar.

4. o oblastrnda analitik o1z; firnksiyasrnrn bemin oblasttn biitiin

n<iqtslerinda tciremasi 712;-e bsraber olduqda, yania'@) = f (z)

olduqd4 ona /(z) fuuksiyasrnm o oblastrnda ibtidai funksfasr deyilir'

/(z) fimlsiyasrmn iki oliz; vs @2 (z) ibtidai funksiyasr bir-birinden

sabitlo ferqlenir. Dolrudan da,

@\(z)= l(z) va Q2Q)= f (z)

beraborliklorinden gmr lo, a oblasunda anatitik@3(z) = o 2(71- 6, (z) =U (x'v) + iY (x' v)

funksiyasrmn hemin obtastm biitiin noqtelorinde toremesi srfra borabordir:

o\(z)=oic)-aiet=a{. i{* = o

Bwadlm a# =a*= o va Ko$i-Riman gartine gdre U=av-=o Aary

Demsli, U1r,y) ve v(x,r) furksiyalan eynilikla sabito beraberdir. Buna

gore da,Q3@) =c = ssasl

O2(z) = Ol(z)+ C

olar.Bu taklifdsn netice olaraq 9r.'or ki, heg olmasa bir ibtidai fimksiyast

olan f(z) firnksilasrrun sonsuz sayda ibtidai funksiyasr lardrr Do[flrdan

da, o(z) firnksiyas r f(z)-n ibtidai funksiyasr olarsa' onda ona i>ciyari C

sabiti elave etdikds alman o1z1+C firnksiyasr da hemin fiuksiyamn ibtidai

funlsiyast olar.

/(z) funksilasmn bttun ibtidai fimksiyalan goxluEum onun qeyri-

miieyysn ifieqrah deYilir ve

-fetl.-"alanq, ysni

ve ya

6t

tl@)tt'=o

ile igars olunur.Yuxanda isbat etdiyimiz 4-c[ teoremdon gtxfr 4 f@)funksiyasr birrabitali o oblastmda analitik olduqda (6) funksiyasr onunibtidai fiuksiyasrdr. Onda 712; -in i:Ciyari o1z; ittidai firnksiyasmr

zae)= lfGV€+c

zO

gaklinda giistarmok olar. Bu beraberlikde z --r z6 qertinda limira kegsalqO(zo)=0+C

ve yaC = @(zo)

alanq. C -nin bu qiymotini (8) beraberliyinde yerina yazaq:z

a@)= lfc)d€ +o(zo).2O

Buradan, kompleks inteqrah hesablamaq iigiirn Nyuton-Leybnisd[sturunu ahnq:

i roa E = o <,> - o (,0) = @ @f,o. (e)

$16. Ko$IMN TNTEQRAL DUSTTJRU. LiUvIL TEoREMI

1. Forz edek ki, v = IG) fiurksiyasr qapah rolunmug birnbibli a oblastrnda anafhik funksiyadr.istanilon z s o nOgtssinda

^4=+trydiztutq-zbsraberlil dopru olar.

Bunu isbat stmok iigiln a oblastrnda yerlegenolunmug z ndqtcsi olah p radiuslu 7 gewesi gd-urak.

konturu ile ebata

Onda o oblastmrn

(l)

69

/ va r kotrtrulan ile hiidudlanmr; ikirabiteli oblash o1 ile igara edak.

,,(o=Pfunksiyasr o-1 oblastnda analitik oldu$undan goxrabilali oblastlar lgiim

Kogi teoreminin oeticssine g6rs

lMaE=f_G)a5i€-z tl-,olar. o oblasUnda aDalitik r = /(fl fimksiyasr hamin oblastda kesilmayon

oldulundan intiyari e>o edadi [gffn el3 6>0 var kt' p=16-z]<0

m0DasiHiri Odeyen bttrn 6 noqtoleri iiEun

ll(O'lQ)l<e (3)

mfiDasibeti dotsu olar.

t!3-=2" ()fr'

oldu[un&a qeyd oluunuf z€o n6qt si iigiin

rc>=ltPaE'.. 2xii€-z -

boraborliyini ahnq. Onda (2) beraberliyine gdre

., i-G)oe _^,)= ) {(€)-lQ)d€zdfl-z ' "' 2d; l-zolar. Buradan (3) boraharsizliyins g6rs

l), [#" - t"'l' * lffi= * + ='

(2)

v0 ya

l*1fl*-,,',1"alanq. Bu beraborsizliyin sol torefi e{an aslh olrna<t$ndan vo 6 -nun

iriyari (kigik) olnasmdan gxr ki,

!/poE_r<,t=ozFtE-zolar. Buradan (l) &surunun dolnrlulu aydrndr

( l) miinasibetine Koli d[strru va hemin diisturun sag torefindoki

ht€qrala Kofi inteqrah defltir. Kogi diisturu vasitesi ile a oblasunda

ar{ll:d:[ W = f(O fi.rnksiyasron oblasun istsnilen daxili z ndqtssindeki

qiymoti hemin funksiyarun o oblastmrn konturu flzorindeki qiymetleri

vasitasile ifide olunur.

10

flor bir z e d ndqtesinde Kogi inteqralt srfra berabordir. Dolrudan daz n&fesi o oblastna nezeron xarici n0qts olduqda

-. f(AqE)='- "l.-.

funksiyasr a oblastmda analitik funksiya olar ve Kogi teoremina g6rs

lp@d€ = 1$)aa =s

ve ya

!-try)d€=oztd i1- z

olar.Kogi diisturundan bels bir notice ahnr ki, o oblastmda ar.erlitr*. /(z)

firnksiyasr bu oblastm konUru ii,zennds sabit C ededine boraber olduqda,oblastrn biitiin noqtalorinde ds homin sabits beraber olar, yani btt[n ooblastmda !(z) = C oltt.

Dolrudan da, .t(O=C oldutundan (l) distuuna va (!, $)miimasibstlorine gora

^,. ^ t.dt c -ttzt=_L. _ l-=_.Lfr=L,2a'yl - z 2a

2. Kogi diisuru go)nbiteli oblastlar iigiin do dof,rudur. n -rabitali ooblastuun mii,rokkeb kodrunu I ile i$are essh a oblasmda anatitikn = /(O fuksilasr va istonilen z e o n6qtosi tigiin

rr't= t 1'fG)o'"' 2A'7{-z 'olar. Burm isbat etmak tgiin o oblasbnda yerlaqen vs metkezi z

n6qtesinde olan p radruslu / gewesi g6t[nk. Miirakkab kontuu f +lolan crzrqlanmq oblastr a1 ils iqar: edok. (n +1) nbitali o1 oblashnda veonul konturu iizorinde analitik olan

7l

_. \fG)2n € -z

firdrsiyasr iigrin goxrabiteli oblastlar haqqndalo Koqi teoreminin (5)

naticosini yazaq:t tt(odt_'t rf(odE.zri'f€-z ' 2i;4-z'

/(4) funksiyasr z gewesimn iizarinds vo daxilinde analitik olduiundan

ve brma gdre de birrabitali oblastlar tiprm yuxanda isbat etdiyimiz (I) Koqi

dusturuna esasen

-t ,!f-(0 ai = f e)tfr fE-zotdulundaa (5) barabsrliyindan telsb olunan KoPi dtisturu

rtt= t {(€) r," 2a'y(-z 'ahmr.

3. Kogi diisturunr t tbiq etnokle a$aFdato tmrerni isbat edak

Teoren I. a oblasntda oulink fQ) fintbiwmm tdremasi hamin

oblosfin dNilinde aralitik funksi1dr.isDarr Teoremin doflrulu[una inanmaq iigfir o oblastrnrn istanilen z

noqtesinds /'(z) funksiyasron (tcinmenin) sonlu toremosi oldufunu

gdstermak kifiyetdir. z noqtosi o oblastrmn daxili noqtasi oldulundan

ona verilon ,=Az iuttrrum elo kigik segm.ak olar ki\ z+h nt{tesi yene da

hemin oblasun daxilinde yerlager. Onda Kogi dilsoruna gora

k*D=*t#\d€ve

tt=! 1IG)o'"' 21di€-z -

olar. Burada o oblastrnur serhedi f ile igars olunmu$ur. Buradan

Ie+h)-f(z) - | t fG) o,h 2ftiic-z-h\{-z\'almrr.

z ndqtssirun f kontuunun f noqtelerindan olan mssafslerinin on

ktgiyiIni u ile isare edak. Onda [{ <a olduqda istenilan 6 € r noqtosi iigii'n

lllll€-"1-d'fi-z-nl'a

ohr. lndr aqagdakr hmi forqe baxaq

(5)

te:!:la _! I tt)_aE=!.t- It€) ^at.n la r(g - z). ztu t(1- z _ h)\E - z).

Bumdan, ll(Ol< M <r- (6€ r) hJrabersiztiyine osasen

Ira.a-r<o- 'ts=r4=y# (6)

miiLmsihati atnr (f eyrisinin "-'nluEu / ile igare olunmugdur)(5) barabarsizliyiain sa[ tarafi n+0 gcrtinda sfra yaxnlaSr. Buna

g6re do

El*+*-ir1#*l=,Ye ya

th tQ+h)- J@\ _ =t, !

f(0 ^d€h-+o h 2a i6 - 212

olar. Bura&n /(z) toremesi iig[n a|a&dakr ifadr ahnr'

16=!1,fG).,aEztu rll - z)'

Bu diisturdan istifrda ederok

l'@+h)- !'(z)h

nisbetini diizohseh yuxanda apanhlrmu miihakima ile

1' 1,1 = 6 f 9!2:!' @. = i, t# *

baraberliyinin istanilan z e o ndqasinde do[plulunu isbat eda bilorik.Bununla da teorem isbat olunur-

Eyni qayda ile istsnilsn tam ve miisbst z sdedi iiCitur

loa>=fi1ffid{ @=1,2.3....) (8)

barabortiyinin dolruluEunu isbat eunok olar.Buradan bele netics almr ki, qapah a oblastrnda aDalitik /G)

funksiyasrnrn bu oblast da.ilinde istanilan tartibli tdremesi var vs but<iremelsr (8) dnsturu ile hesablanr. Ba5qa sdda, analitik fiulaiyanrnistanilen ttrtibti t6rsmosi de analitik fulsiyadr.

Bu taklif heqiqi deyigonli funksiyalar iigun dotsu deyildir. Heqiqidslgsnli fimksiyalann t6remesinin varh$ndan bu tdrsmelerin kosilmozolmast da granr.

(7)

73

4. Kogi drsnrru va (8) diishrru yasitesile "",litik fu*si]Blann bir slra

ba$qa xassslerini de m0eyyen etsnak olar. Owelcs alalitik fiuksiyalariigiin orta qiymot teorerni adlaun aylrdalo toklifi isba, ed.k.

Teoren Z Qapah lt - y'< R doirasindo @alitik f<0 luntsilnsrntn bu

doiranin markzzinda qiweti, omu hamin doitunin gewasi tizaindahqiymatlainin hesabi ortastu b amb ardir:

14=!2f yp+u"ioye. (e)"" 2.oVerilmi$ /(6) fimksiyasr 16 - zl < n oblastnda aDalitik oldulundan

Kogi dilsturuna gOrs

re)=-t. t L@uza E_zl=RE - z

olar. Bura& {-z=Fiste (o<p<22) tresab etsak, telcb qhrnan (9) diisturu

ahnar:

fo)- -t 2f l(aRi'ie ae= !2f 76*ar'ove."' ' 2d 6 Rr'P 2' o-

(9) diisturuna Qauss diishru deyilir.Orta qiymot teoremind.n istifade edenh analitik funksiyalann

modulunun maksimum prinsipi adlanan taklifi da isbat efnek olar:Teoren 3. e obhsrutfu oalitik va eyniliHa sabite bardar olnalnn

f@) funksitasnn ndulu lJ@l an boytik qiwetini o oblastuu darllindqtxinda ala bilmz.

Bu teoremdan natbc otaraq ahnr ki, a oblasbnda aaalitik vo eyniliklasabite borabor olmaya,D /(z) firnftsilzsr hamin oblashn heq bir n6qtasinda

srfra harabor deyilse, onda onun modulu |/(z)l on kigik qiymatini o

oblastmm daxili noqtasinda ala bilmaz. Buna inanmaq U9i:m o oblastnda

anaf itit eta = .f fi&ksiyasma 3-cii teoremi tetbiq etnok kiftyatdir.I \z)

Teorem 4 (Liuvil), Bfrtfrn kompleb mfrstMda analitik ve mdulumahdud olan fQ) rtnksipt eyhtlikla sabita baraber ohr.

lsba- Mc/rcri i$anilen z noqtosinde olan ixtiyari R radiuslu dairago'tufok. /(z) firnksiyasr bii'ttm kompleks mtstavi [z:rinde analitik

oldulundan hemin qapah l6-zl<n dairssinde d3 anelirik olar. Onda (t)diistunma gdro

r@=! t ,r$)ae"n E-'l=a\€ - "r

74

vo $.rta gtire lI@l<M < r< oldulundan kirama ilgiiul

11'14,<! ^'za=!'" '' 2d.2 R

ve ya

1r'rrltl<Y

barabarsizliyi ahmr. Burada R-+"o gertinds limifo keqsek istanilen zntiqtosi rigiin

V'@l:oolar. Buna g0ro de 712; = o va buradan l(z)=C = const alssr.

5. Kompleks mUstevid. yerlegen agrq ve ya qapah hamar (vs ya hisse-hisso hamar) r eyrisi tjzorindo kositnez 16) funksilasr vasitasila

rat=!/-@as (ro)zDtl-zinteqrahn diizeldsk. r eyrisi lzerinde yerle;meyen rxtiyari z nOqtesinda(10) inteqnh smludur.

(10) inteqralua Ko$i tipli rnteqral deyilir. Aydmdrr ki, Koqi inteqralKogi tipli inteqraln xiisusi hahdu. r syrisi qapal olduqda d6) fird<siyasrhemin eyri iiaorindo vo onun ohate etdiyr oblastda alalitk olduqda Kogitipli inteqral Kogi inteqrahna gewilir-

Teorem 5. KoSi tipli inteqral t tayin etdiyi F(z) funksiyat finteqrallama konnru tuainda yerlaSmayan har bir z ndE?sindo aMlitikfunlcsilodtr. F(z) funbiwsulu har bir bela z nbqtaside ist)nilan tartiblildramasi var va bu tdtamolar

l,)t,t= L1 q\l) _r,, ,-, 2ri,r1q _ 4n+t-,

dlis turu i Ia hesab larur.Bu teorem l-ci teorem kimi isbat olunur.

s17. ANALITiK TUNXSiYALARTN MODLTLUNUN MAKSIMUMPRiNsiPi

Tmren Eynilik hmi sabita barabar olmayvn va g oblasttnda armlitko=f1l finksiyast moduhtnun malaimumunu, yani an bAy k qtynetinihamin oblast dmilinda ala bilm*.

75

Bu teoremi isbat finek Ugiin eksini 6rz edsk H, Ve) funksiyasr g

oblasbnn har hansr daxili zs noqtcsindo an boyrlk qiymetini alII.Onda g oblasbfln istanilen z nirqtsindt

V<'>l<lJQol,olar.

o = /<z) fimlsriyasl z = z0 ndqtosinde

n6qtonin miieyyon lz - zsl< p etra.finda

f1z)= lcne - zn)nn=O

(1)

analitik oldulundan hamin

kimi gOsbrils biler. z= zo + Fi0 olanr*-

ve burada.n

almr. (3) ve (4) bamberliklsrine esassn

olar, Bu beraborliyin her iki tarofini gdsterilcninteqrallavq:

r 2t' ^t2!'i llt o* p'' l,' de = ! i,","^ p^*'lr ot | 2t fi,n=o

n+tt t,6ZS,r, al$aq"2rI ei(n_nte do =o0

olar. Onda (6) beraberliyindsn

ylrs* pi,1.7@;*A5= lc,c^ pd+n"in, .r-in7n'n=0

t 2t, ^,7)- I lleo * p,o ) a0 = Zb)' p"'zT ot I z=0

l1@s+ p,,o\<1y1,()l

r 2r' -^a; I lI{,0 + o"'' \ ae <lf(zoN,'

(z)

(3)

(4)

(5)

iiro

(6)

(7)

almrr. Fsrziyyemizs g6re

olduf,undan

olar.(7) ve (8) miimasfuatlsrino gdre

l(zn + pzie 1= f"np'"n'on=0

1q?o + rn-1= ;dp, e-n,on=0

:rrafin gevrasi

2r! et\n-nv d00

(E)

't6

Zl,l' o"' <1"61'a=0

alanq. Belelikle, ele p > o ededi var ki, (9) borabarsizliyi Odonilir. Buradan

c, =o (i =lP)olur.

Brfna gola de (2) baraborliyin det lz - znl< p otrafinda /(z) = c6 ahnr'

p\z) = f(z)- cn

qobul etsek hamin atrafda P(z) = 0 olar.

Buradan iss aDalitik fuDksiyalann yegarclik teoremina gore g

oblasffda p(z) = o va belelikle b, l@)= co al|.JtrE.

Ahnan ziddiyyat gostorir ki, l/(z)l maksimumu g oblastmm daxili

nttqt sird. ala biLnaz.Natio 1. Forz edek ki, /(z) mohdud qapa'h e oblasxnda anfitik

funksiyadrr, Melumdur la, ll@1, g oblastnda kesilmsz firnksiya

oldulundaa hemin oblastda o, 0z rraksimum qiymstini alr'bigor tsrsftlao, sbat etdiyimiz teorome 80re l/(z) maksimum

qiymatini g oblast daxilir& ara bilmsz. Buradao bela neticsya gelirik ki,

g oblastmda analitik olan /(z) firtksilasl modulunun maksimumunu g

oblastrnrn konturu tirzaritde alar.

Naio 2 Forz edok 4 IQ), s oblasmda analitik firnksiyadr ve bu

oblastda /(z)+0. O"6u *A>h firnksiyasr da e oblasunda analitik

olar.isbat cdiyimiz teoremo gdra ra(z) ftnlsiyasr modulunun maksimum

qiymotini g oblasfinda ala bilmsz Onda vG)=+ beraberliyi gost'erirI \z)

ki, /121 frrnksiyasr modulunun minimum qiymainr g oblash daxilindo ala

bilmez.

srE. ANALiTTK FUNKStvar,Annl Qowor STRASINAAYRILI$I

L Funksional srralann on sade ndvii qiiwot slrasldrr.

cs+C1Q-a)+c2(z-af +...+ c,(" - ol +...

(e)

(r0)

(1)

n

Soklinde olan sraya qi.iwet srasr deyilk (burada C1 (t = 0,1,2,... ) vo a sabit

kompleks edaddir). Cp ededlerine qiiwot srasr n amsallan deyiLir'

Aydmdu ki, (1) gaklinde olan har bir qitwet strasr z=a noqtasinda

yr!dandr.Teorcm 1 (Abel). Yerilmis ze noqtasinde F&lan (l) qiwet srasr har

bi lz - al<tzs - ol dairBsinda mutleq yrlrlr, br bi lz - al<q < zn - a

dairasinde ise mtrtazam yPlr.isbaa (ll quwot sra$ z6 ndqtasin& yrSlan oldulundan

lin C r(zs - a)n =o oW.

YEilan ardrolh[rn mehdud oknaslna esason elo sabit M > o adodi

tapmaq olar ki, r-in biitii,n qiymatlsrinda

f ,(ro - d'l<uberabcnizliyi odenilor, Buradan, - 4.lro - 4 m0rusibotini ddayetr butiin

z ndqtalsri iigrn

c,Q -,Yl =b,Q, - d'll' - " |' rl'- 1"| | t lzo-al lzi-al

ve \a r = ,lz ' ol

hesab etsek' lzo -4

P'Q-'Yl'urdrnr. r<1 oldu$undan

M +M l+M l2 +... + M la +...

srasr (azalan handssi silsile) $rladr.Buradatr (1) qtiwst srasntn

lr-A.lro-al miiLnasibotim 6daysn istonilan z ndqtasindo miitleq yrltlan

olrust aydndr.indi Srz edek ki, lz-a{<a<lz6 -al miimasibati 6denilir. Onda (l)

srasrmn har bir hoddi

borabanizliyini (lrayer. q <lzn -{ oldrlundan j-.|olar vs buna g<irezo-q

tL

?r( o ,\'i-o \l'o-4)

7t

slrasl mlsbt hsclli yrlrlan sradrr. Onda (1) q[wst srrasr qapahlz - al< q

dairesinda miintazam yrlrlal olar.

Natia. Har harct zi ndqtasinda aagrlan ( l) qiiwat sras, V - .lrld - "lmirna<ibortini ddoyan lpr bir z noqasinds da daldandr.

DoErudan da (l) qirwet srrasr lz-{ >lri -aj miinasibetini Odeysn bir

ze ndqtesinds yrfrlan olars4 Abel teoremine gOre o, ,i Ddqtesinde doyrErlan oknahdrr Bu ise qarte ziddir.

2, (l) pklinda har bir qiiwo srnm Ug{in a"sa[dakr ii9 baldan biri olabilsr.

L Qiwet srasr istanilen sonlu z n@asinda yrfrlr. Buna

qtwet srasr misal ola bilor. (2) srasr biltrn konpleks mtlsovida ylrlr.lI. Qiiwct srasr istenilen z * a ndetssindq .laErlrn&1. lurra

1+ (z - a) + 2t(z - a)2 +....t. (z-a)'+.,. (3)qtiwat srasl misal ola bilor. (3) srra$ ancaq z = a ndqtosinde yr}rlu,miistavinin yerds qalan $ttiin r. o a6q16fufind6 da&lrr.

IIL qiwot srasr miistavinin bir sna noqtolerinds ( z * a ) yr$rlan ve birsrra ndqtelsrindo daE lafldr. G6sarek ki, her bir bele qiiwet srasr iigiinmorkozi :=o ndqtssinde ve radiusu sonlu odod olan elo dairo var ki, budairo daxilinde hemin qiiwot sfau yr[rlu, xaricind6 is6 .laB lrr.

Farz edek kr, (t) qtwst srasl zl ndqtosinde yrSrlr wa z2 n@esindoda$lr. Onda Abcl teoremine gdrs homin srra

1z - al < 121 - a{ = R1

m;inasibetini 0d6y5n bttun z ndqtslarinds yrg!EJ|, lz -o)>lz2- d1= a2(R1 <R2) mtnasibatrni ddeyen biitiin z ndgtolsrinde i$o rl,8rlar. & =n2olarsa, onda lz -al<n dairosi telab olunan dairo olar. Bu halda (1) qiiwetsrasr hemin darsnin daxilindo lz - | < X ytilar, xaricind3 i56 rlatrlat.

4 *n2 olduqda ,,=&lRz=^, n6qtesine baxrnaq lazrmdr. z32

noqt sinda (l) srasr ylrlan olsa, Abel teoremino gdrs hsmin srra

lz-al<\ dairasinda de yrgrlar. Bu halda \.V-d.Rz halqasrm yanyabdlmokle prosesi davam adirmek lazmdt. 4 noqtasinda (l) qiftvst srasrclaglan oldrqda isa lz-al>fi3 mii,nasibetini ddsyan btit[n z ntiqtslsrindeda homrn .,r2 de$rlan olar. Bu halda R3 .lr- .R, halqasrm yanyab<ilmakla prosesi davam etdirmok laandrr.

(2)

79

Belelikle, miifiakineni sonsuz da\ram etdirsak, naticada ele bir R adediatrnq ki, (l) qflwtt srasr lz-!<a dairesinin daxilinde y$lar, xaricinde

ise da$lar. Belo n adedi (1) quwat spxsrnrn Snpdrna radiusu, lz-a]<Rdairssi iss (1) qiiwsl ss5rnrn yt[ ma dairosi adlamr.

Yrlrlma dairesinit lz - al= n gevresi uzerindo qliwot srasmm hom

y[ ma ve hem de da&lma n6qtesi ola biler.Yuxanrla sd,ylediyimiz I ndv qiiwet slralafi ug0n R=@ ve II ndv

qiiwet sralan UgUn ise R=0 hesab etsek, aga[r,lakr teklifi alanq: tlor bir(l) qiiwet srasmrn s@lu vo )B soruuz R yr!ilma ndiusu vardr.

Qiiwot srasmm yr$lma radiusunu bezen sralana melum y$lrnaelametino osasen tapmaq olar.

Ferz edak ki, (l) suasrnrn emsallan Ugln sonlu vs ya sonsuz

,= ,^9-!ln--l C,

I

limiti var. Onda Dalamberin yt ma elametine giirs (1) srasr z-int+l I t4

l. lc,+rz"'' l= Ll u- lc,+r l= 1,11 . 1. ,1.1,-+l C,zn | ',-r-l C,| ' 'tmiimasibatini <ideyen qil.rnetlerinds y[ilar,

t^ .-' L

m lc"*rr"-'I _ t,t ri_ lC,*r l= trr, r. r,r, !,-+-) C nzn | ",--r.61 C, l " " l

mUnasibetini 6dayen qiymetlerindo bo da$ ar. Bu halda (l) qtiwstsrrasrmn yrlrlma radiusu

R=1=---I- o" t ,,^lc_rrtln--rol C,

I

dilsturu ile toyin olunar.Indi forz edek ki, (l) qtwet s[asl iigiln sonlu le ya sonsuz

r= tin ffi,r-+alimiti var. Bu balda Koginin 651*, yrlrlma elarnatine 96ro (l) qiiwotsfasl z-in

,*.,_iBZ=Hron #i=W.r,mnnas ibetini ridayen qiymatlarinde yrlrlar,

,' i1p7l=ra.Eiffi=pp,1

,.1lzl< -

v>i

80

m[nasibatini 6deyen qiymetlerinde ise daSilar. Demeli, bu halda (l)q[wet slrasmm yrgrtma radiust

_ I ,. 1R=-= llm

-t n_+6'Xpnl

diisturu ilo teyin olunar.

Abel teoremins goro (l) qtiwot slfirsl hor bir qapal lz-"lsR'<ndairasinde m[r ozem yBrlandrr. Ooda Veyergtrass teormino 80re qtwetsrrasrnrn csmi

(n)

flz)=Zc;(z-"Y

yr[rlma dairasidn daxlindo analhik firnlsiyadr va hemin srran yr$lma

dairssi daxilindo istenilen tertibdrn hodbeled diferensiallamaq olar:

lQ)=co tcr?-')+c2Q-)2 +"'+cn(z-a)n + "''

7'(z)=c1+lI2Q-o)+" +nc,(z - a)'-t + "''l'(r)=zcz +...+n(n -lP,(z - o)'-2 *" ,

f,lp1=,ac,. (z + 1)c,*1(z - a)+...

Bu borabsrliklerda : = a hesab etsch

f(o)= co, /'(o) = c r, 7'@) =2rcr,..., f')1"1 = ac,'...

olar. Buradan

,,=l,l,b), (n=0,1,2,... ; 0=1)nt

alanq. Bu qiymetlari (4) beraberliyinde yerim yazsaq,

I@= rb)* +G - o1+ fbQ - o)z * .. * fv@p - o1' , ... (6)

olar.(6) srasur,a /G) funksilasrmn Teylor srasr ve (5) sdedlerine Teylor

emsallan deyilir. Belelikle, biz isbat etrniS olduq ki, her bir qiiwet

$rasrnrn cBmi ylrlma dairesi daxilinde analitik firnksiladr ve bu qiiwst

srrasr 6z caminin Teylor srrasrdrr. o = o olduqda Teyl61 5116511{211 alrnan

1@= 7@)+ ff, t l'-\o)

" * */!@)

" *'

srrasma Makloren srasr deYilir.

(4)

u3. lz-/<n dairosini o6 ile ifra edek. op dairesinde /G) analitik

firnksifasur (1) geklinda qiiwet srasrna aynnraq olar.Bunu isbat etmek iigiin op dairesinin z n6qtosini 6z daxiline alan

l(-rl=Rr.x gevresini gdtilrok. o<&<Rr<R mrrnasibotini odsyen lR2

radiuslu r' gevmsi Ugiin Ko$inin inteqral diisturunu yazaq:

1s= ,t l tGY! (7)' 2ai' { -zl€ - 4 = az, h >V - 4 olduiundan

12-da=r----l<l'E-dtolar. Buradan grxr ki,

il'--\.( z-A' *. 1'' o\" "'

\€-o) \€-a) \€-o)handosi silsilasi yrfrlandrr va onun comi

I

l-"-a{ -o

ifrdcsine bcrabardir:

' =,*['-.s] .(=\'-..[=\' .. (E)

F= \€-a) \€-") \€-a)E -a

(7) ntearah alunda o12a -J- wrulrmu1-a

llllE_r= 1E -a-\az_a1= €-. t_ 1:!

(-akirni yazaraq, (E) baraberliyindon istifada etssk,

I I (z-o\ (z-a\2 (z-a\n

E - "= € - ". G -&+ fi +'"+ rt -.r*t

+'

m0nasibetini almq. Bu aynl4r (7) inteqralmda yerne yazaq:

tt)=!,l;a_or!@)ae2'r'l*=o (€ -a)-*' )SaE terofdeki sm f' uzerhdo miiDt zem ytrlan olduSundan onu

hemin eyri iiao hedbehad ideqrallama4 olar. Onda

tz - o'l' , fGV€' * zd t'G -o*t- "

olar. Burada

c"=:lt , f(€Y€ (n = oJ,2,3,...) (9)zrl,g-o1,,1

hesab etsa\ onda

.f (z) = Co +Ct(z - a)+C2Q - a)2 + +C,(z-a)o +''

aynhprnl alanq.Melumdur kq lt-dl<nz dairssinde analitik olan 1121 funksiyasrnrn bu

dairo daxilindaki idipri z n6qtasinde rstsnilon t rtibli tdromasi var vs bu

t6remeler

1't1;=Lt IGV|'zrt i., (€ _ z)'* L

diisturu ila hesablamr. Bu diisturdan istifads etmakle (9) emsallamt

co=!ttYv€ =t@\'t'df'g-a

c,=!t IEVL' -l('\!o\ Q=rzt- )" 2 f'r| -o)n*' nt

kimi ifrds eunek olar, Belalikls, op dairesinde aoalitik olan 7121

funksiyasr ( l0) qiil'vot srasma ve )a

r@ =

^d- +p - o1. !!@p - o1z *. * r\'lb) p - oy *..,

Teylor srrasrna aynlmrq

sokli hesab etmek olar.olur. (9) ifadasini Teylor smsallannm inteqral

Qpyd edek ki, yuxanda apanlan miihakimede

kifryat qeder yaxn (.R1 <fi) eded gOturiile biler.

(r0)

Rl sdsdi R edodine

Bunu nazars alsaq,

a$a$dakr toklifi isbat etmif oluruq:

Teorem 2lz-a]<n dairoshde analitik /(z) frmksiyasr hsmin daira

daxiliilds (l l) Teylor srrasroa aynlr.4. Malumdur ki, z = a n<lqtasi /(z) fiurksiya5rnrn diizgii'n n'0qtasidirse,

onda mertozi hemin nOqteda ve radiusu hfayat qodar kigik olal ele daire

vardr ki, /(z) funksilasr bu daironin daxilinde analitikdir. Buradan 2-ci

teore.fio gtira belo bir nsticc alnqki, z= a ndqtasinda analitik olan 7121

t3

firrksiyasr merkazi hamin noqade olan daire daxilinda (11) Teylor srrasna

a1,nlrr. Bu dairenin gewssi, /(z) funksiyasnrn ,=a noqt sina en ya; n

olal mexssi ndqtasinden keqir.Dernali, verilmig /(z) funksi1a5rnrn nexsusi ndqalsn melum olduqda

onun z-a qiiwstlarins g<iro (l I) aynhqrnrn y$lma radiusunu tapmaq

olar. Funlsila:m mexsusi n6qtaleri onun analitrklik oblastrmn sarhod

ndqteleri oldrlundan Tey'or aynhgmrn ylrlma radiusu a n6qtesi ile

n atsiyuo- hemin nirqt4yE en yiu(n olan moxsusi ndqasi araslndakr

mesafaden kigik ola bitnez. Teylor srrasrnrn yr$lnra radiusu bu mosafrdan

b<Eiirk ds ola brlmcz, Siimki bu halda funksilanrn maxsusi ndqtasi yr$rlma

dairssinin rlaxilina diigsr, yTlrlma dairesinin daxilinde ise qiiwat strasnm

cemi analitik olmaLrdr. Belelikle, a5a[rdakr toklifi isbat etniq oluruq:

IG) fiD1*siwuttn (11) Teylor aynhsum yt{ ma radiusu a tbqtasi ila

funksiSanu ono an yfrm olan , *sust ndqtasi arasaulah masafaya

barabardr.Mslurrdur ki, birqiymstli elomontar fiurksiyalar tayin olundulu her bir

ndqtado analitikdir. Buna g6rc do elementar funlsiyalan belo ndqtelsrds

qtiwst (Teylor) srztsuu aynnaq olar. Bu maqsodla (5) Teylor emsallarrnt

hssablayaraq (l l) sftrsmr quru4 lazmdr.Misal olaraq, bir nege olemeftar firnksiyamn Teylor srrasma aynhgrm

yzzaqi

-r2z'e. =l+z+ A+...+i+...,i -3 -Znt I.z'sinz=z-'-*; - '( 1)'futX*

-2 -4 ,2"rnsz=1---+j-.-. +(-l)'i- + ... .

Zt 4t Qn)l

Bu srratar z-in biitfln qiymotlorinda ytpln. e', sinz vo cosz

ftnksiyalamm bu Teylor aynlqlan hsmin funksiyalan teyin eden uy[unqtiwat srralanmn eynidir. tnlt + z1 funlsiyaslom Teylor aynltp

w*'t='-**4 '1*234lzj< t dainsinda ylrlr va s.

5. Belo bir sral qa$rya Fxr:z=a rbqtosinda analitik olan /(z) firnksiyasl hmin ndqto ,trafinda

mudelif qlwet srrasma aynla bilormi?

84

Aynla bilmez. Verilmig noqteds analitik /(z) fimksiyasr hamin nOqta

eFafuda yegans q&wot srasrna a),rrhr.Doflrudan d4 ferz edek ki, /121 firnksiyas z=a n6qtosi atrainda iki

miiarlif quwet srasrna ayr r:f(z) = co +cr(z-o)+c2Q-a)2 +,.

ve

!(z)=bs+\(z-a)+b2Q-af +... (12)Bnrada

oldu$rndanC* =br (r = 0,1,2,...)

olar, ysni (I0) vo (12) qiiwet srralan eynidir.Buradal bels bir natica ahnrr ki, z = a ndqtesi etrafinda y&lan

i,c.l("-o)Lk=0

qilw.t srrasrnm comi eynilikls srfra bonberdirse, y*i lz-al< p (p>oldairodndo

6iC z-a)t =o

L=0miimcibati tidenilirse, onda

Cr =o (t =0,1,2,. .)olar.

6. Fcrz edek ki, r = /(z) funksiyasr z = a ndqt si etrafinda (10) qnwetsrasrna aynhr va bu srann yltlma radiusu n -dir. lz-al<x dairasinda

/(z; funksiyas modulca sabit M od.di ilo mehdu&ursao yaai ll(z)B Miss, onda (10) qiiwat srasmtr ,msallan Ugfm

p"lr# @=o,t)..) (13)

berabonizliyi do!rudur.DoErudan d4 (10) almhgurm emsallan tigun (9) diisturunu yazaq:

c,=!. t IGY!; o=0.t.2....)'' 2n i o (€ 'o)"'Burada fe ils i:diyari l€ - 4= p . R gcvresi igars olunmugdur. Axrnncr

dtsh.[dan

85

t, "r, | 1,ffivEt, #,,,,, = faltur. Burada p-+a gertinde

baraborsizliyini almq.(I3) boraborsizliyine TeYlor

berabersizliyi deyilir.7, Farz edek 4 w =I@) funksiyasr z=o rreqtasinda analitk

funksrfarlr. Onda bu firnksiya hamin noqte otrafinda (10) qiiwet (Ieylor)srrasun aynlr.

/(z) fimksiyasrnrt z = a noqtssinde qiymeti srfi'a beraberdirse, lcni71a1= o olarsa, or:d,a z=a ndqbsine hamin fuoksiyamn srfrr deflir. Bu

haldaCs = l(a) = o

oldu[undan (I0) aynlqt

IG) = C {z - a)+ C2Q - of +... * C,(z - af +...

kimi yazlar. Qiiwat srrasrnm C1,C2,... ba;qa amsallan da srft'a beraber ola

biler.Bu amsallar lgiut

cr =c2 = ...= c n-r =0va ca +o olana, onda

limite kegsel t:leb olunaa (13)

aynhgrno emsallan iigun Koqi

(14)

ya rtortibli)f(z) =c,(z - a)' +cra1(z - a)o*r + '

olar. Bu balda z=a nikltesne /(21 firnksiyasnrn n-qat (vo

srfrr deyilir.(14) aynltSut

J1z1=Q -o)nlC,+Cn,1Q - a)+ ...1

ve ya sap tareftlaki motoria igorisindeki srantd,z) =cn *c*r(z - o)+

ile igare etsoh

71)=Q-a)nfiz) (t5)

kimi yaznaq olar. Aydlrdu ki, 421 firnksiyasr z = a n6qtesinde analitikdir

ve c, = fla) *o Ptini,ddeYir.

Q0wet srasr smsallannro ifidssini nozera alsaq, z = a neqasinin /(z)funksiyasmm ,r--qat s.frr olrnasl gsrtini

J@)= f'(a) = ... = f(z-r)1c; =0vo

t6

l<n') @) * o

kimi yaza bilerik.Indi, eytrilikla srfir olmayan analilik fiuksiyalann srfirlannrn izols

edilmig n6qtaler oldu[unu g6steren aga$dakr bklifi isbat edek.Teorem 3, Ferz edek ki, /(z) futrIGiyast 6z srfrr olan z=a noqtesinda

analitikdir ve bu noqtanin heg bir atzfinda eyniliklo sfia bsrabar deyildir.Onda homin ncr4anin ele otra.fi vardt ki, bu etraftla /(z) funlsiyaslrun

z = a ndqtasindan baqqa he9 bir stfrr yoxdur.

lfioa 761 funksiyasr z=a ndqtasinrle analitik oldu[undan onv z-aferqinin qilwetlerina gOre sraya ayrmaq olar:

l@) = Co + C rQ - a)+c 2(z - a)2 +. . + C,(z - a)n +. .

50(6 goroc6 = f@)=o

oldu[undan axnnct srram

f (z) = c rQ' a) + c 2(' -')2 +kimi yaza bilorik. Burada C1,C2,... omsallanm hamtst srfra berabor ola

bilrnez. Q[nki bu halda z=a n0qtssinin m0eyyon etrafinda (fimksiyarun

aralitik olttugu oblastda) /121 funlsiyast eynilikla srfra baraber olar k! buda teoremin gertine grtre miimkiin deyildir. Qiiwst srasrnrn srfra berabar

olmalan an kigik indeksli omsah C,(* 0) olsun. Onda

f(z) = c n(z '- o\n +cr*t?-o)*r *olar. Buradan

d,z)=c,+c,+r(z-o)+iparasini qsbul eunakla

f1z1=Q-a)nqz1gostariligini alanq.

p(z) funksiyas (16) qiiwet srrasrnrn csmi oldu[u iigtn z=andqtosinin mtiolyen etrafinda (/(z)-in analitik oldulu oblastda) analitik

fir*siyadrr. Analitik fir.nksiya kesilnuyandir. Dunali, 9(z) firriksiyurz--a n6qtcsinrn mieyyen etofinda kesilmeyondir va da)=c,+0. Onda

hamin noqtenin gdstsrilan otrafnda p(z) funksiyasr srfudan forqli olar.

DoSrudan da, kesilmezliyin torifino osa$n " = ? ** Ug1ln elo 6 >0

var ky lz-a <6 olduqda

1e1r1-4.1.r=l2

(15)

t7

olar. Buradan aydmdr ki, hemin lz-al<6 dairasinde 4z; funksipst hoq

bir n6qtedo srfra gewila bilrnaz. Cunki oks halda

9l=lo<o".flziddiyysti aluar. Onda (15) m[nasibotint Edre' JQ) funksiyast lz-ai<ddairesinde atx:4 z = a ndqtesinde srfia gewilir. Buradan teoremin ueticssi

almrr.

$19. YEGA.NOLiK TEORE}d VO ANALITIK DAVAM ANLAYI$I

l, Kogi diishrrundan aydrndr ki, analitik fttrIsiya analitiklik oblastrun

serhedi tzsrindaki qilmjtteri vasitasile tamamila ayin olunur' Analitik

fi[rksiyaru oziimiiLn bama qiymetlori vasltasile de te]'rn etmok olar: analitik

flrnksi1"dlar, oblasun hor iansr daxili o6'qt sino y$lan uai-vari.aldrctlltq

uzrs qiymstt* vasitasile do tamamile toyiD olunur' Bu taklifin do!ruIu*u

afFdalo yeganolik teoremindon aydrn&r' --

1*rr^br1*rl$, a oblastrnda aralitik /i(z) vs /21:; fiu aiyalan

homia obtasun daxiti a ntlqtesina yr$lan z, ndqtalori ardrc ltlt tiuzre

bsraber qiymetler allfs4 yoni fi(z) = J2@) (n = t 2,, .) olan4 onda biitiin

a obhstmda fiQ)= f2Q) olar.

lfiat Te//rerrf. isbat eEn.k ufilr F(z)=fi(z)-/2(2) frtqina ba)@q

F(z) firnllsiyasr o oblastrnda analitik fru:ksiyadr va zn @=1'2" )

n<iqtelori onun srfrrdlr. F(z) funlsiyasrmn kssihnaz olmasrndan gxr ki,

z, ndqteleri ardrcrlhErnrn yr[rkL$ a ndqosi da hemin funksiyanm

slfrldr: F(o) = 0 . Demeli, z = a n(htesi F(z) funlsilasrnrn stfrtdr ve onun

istonilon atrafinda hamin fuaksiyamn sonsuz sayda srfrr vardu (limit

noqtesinin terifim esasen). Onda aoalitik firnksiya slfularuun izola odilmtl

ndqtelor olmasr haqqlndakl t€oreme g610 z=o n6qt sinin ale lz-/<rsetrafi var ki, bu otraftla F(z)=o olur. Gistsrek ki, bu miina<ibet tiitiin aoblasfinda 6danilir.

Bu moqsedle F(z) firnksiyasmn sfirlan goxlu$rnun daxili n6qtelsri

goxlu$mu o ile iqare edak. D = o olarsa, leorem isbat olunmuS olar' Buna

gore a", f.., edek ki, D goxlu[u o goxlu[unrm hissesidir' Onda ogo*f,rgrron ele 1 serhod n@csi var h' bu o obLastrrun daxili n6qasidn'

8t

D goxlugmun ele f, noqtaleri ardrcrlhlrm segek ki, [rr f,, =6 olsutr.

F(z) kssilmel,sn ftnksiya ve F(€)-o oldugrrl;; grxr ki,r(a= linl F(6,)=0 olar.

f ndqtosiniE heg bir etrafnda F(z)=o ola bilmoa grtnki, eks halda 6noqt si D oblastrnrn daxili n6qtssi olarrdr (frrayysmize gora ise f sertedn0qtesidn). Onda analitik funksiya srfirlannrn rzole edilmiE noqtelerolmasr haqqrndakr teoreme gdre f ndqtosinin elc otrafi yar ki, bu etrafrlaF(z)-in 6-dan Srqli heg bir srfir yoxdur. Bu iso E n6qtesioin o (srfirlar)goxlulunun serhed ndqtasi olmasna ziddir. Alman ziddiyyot teorernmdo$u oldu[unu gOrtarir.

Natio. o oblastrnda analitik olan /1:; funksiyasr hemin oblasundaxili a ndqtosine flfilaa z, ntqblorhdo srfra baraberdirss /(z)=0,onda b0tun a oblastrnda /(z) r o olar.

Qeyd. Yegarr'l* teoreminda daxili n0qteyo yrfrlan ardrcrlhq svezinao oblastmm hissasi olan har hansr oblas!, o oblastnda yerlegon syrini vss. gd'ttumok olar. Meselon, a oblas0nda analhik ,(r) yo l2e)funksiyalan hsmin obtastda yerlegon her hansr eyri tiasrinda berabcrqil.rnatler alusa, mda bti,tiin o oblashnda fi(z)= f2e) olat.

Bundan bagqa, yeganelik teoreminrn doSulugrr 09iin ardcrll{ur daxilintiqteye ytrlmasr milhUm Frtdif. Funksiyalann beraber qiymet aldrqlannciqtelor ardrcrlhSr oblashn serhed ndqtesina y&lrtrqd+ homin frrnksiyalare1'nihkle berabcr olmaya da bilor.

2. Fotz edsk kt, W =IG) funlsiyasr E goxluSunda toyin olunmugfurkiyadr. a goxlulunu 0z daxiline alan r' goxlulrrnu gdtilrok. /(r)funlsiya.srm E goxlulundan a' goxlu[una davam etdirmeL. Egoxlu[unun n<iqtelerinde /(z)-in qiymotlorini saxtamaqta, onu E.-ta E-ys daxil olrnayan zeE'- E ndqtalorindo tsyin strek demekdir.

Aydmdrr ki, heg bir elave gart qoyulrnadqda /(z) fiutsilasril (8.-E)goxlu$unda ixtipri gehlde toyin etmek olar. Bele davamm ise ahsmiyystiyoxdur. Buna g6ra de verilmig firnksiyau miielyeh goxlula davametdirmek rigiin elavo telebler-gertlar qoyulur. Meselorq bleb oh,ne bilar ki,f goxlu[unda kasilmeyan /(z) fiur]siyasr .E,' goxluluDa ele davametdirilsin ki, J2)-ill. davar olan filnksiya biitiln E. goxlulrmdakssilmayen olsua. Funksiyam davam etdirmek iiq0n dehe a$r gsrtler datalab etnek olar-

E9

Olbetrs, verilmiq funksiyanm har bir talabi 6dayen dalammr qurmaqmiimkiim deyildir.

Kompleks daygenli funksryalar nazariyyesinda fiDksiyalann analitkdavamnm trt yiik ohamiyyeti rudr.

Verilrnig o oblasunda analitik olan /(r) ftr.ksiyasmn hsmin oblastr6z daxilina alan D oblasbra an"li1i1 davam a oblastmda analitik olan eleF(z; firnksiyasrna deyilir ki, bu funlsiya o oblastmda /(z) ils tst-[stadrigor:

F(z)=IQ), (z eo).Yeganelik teorernurdon aydrndr ki, a oblastrnda analitik olan /(r)

funksiyasmu D : o oblasbna analrtik fuvamr rsa, bu yegana olmahdrr.Ilo[rudan du, rr(r) ve F2 (z) fualsiyalan /(z)-in D oblastrna analitikdava.mrdrsa, onda z -in a oblastrndalu b[tl.h qiymetlarindo

\(z)e f(z)= F2@) olar. Buradan bilttim D oblasUnda \O) = FzO) olntastaydrdll.

Verilmig anglilift firnksiyamn analitik davafiu olan F(z) funksiyasrdaha genig oblasta amJitik davam oluna da bilsr. Belo ardrcrl analitikdavameimo prososi isto lon sayda takrar olun, bilor, Ola da biler ki,verilmig oblastda analitik olan fimksiyaru he4 bn bagqa geniq oblastaanalitik darram etdimek miimkiln olmasrn. Belc oblasa analitikfunksifanm "tobii vartq oblastl" onrn sorhsddino isc varhq oblastmmtebii serhadi deflh.

3. Funksiydann enalitik davamrna yuxanda verdiyrmiz terifi bagqa

$okild. de s6ylomek olar. Ferz edek ki, a1 va o2 kompleks miistovido

yertopn birrabitali kosiSen oblastlardr. Bu oblastlann oraq hisscsi a0)oblast (o1 ve d2 oblastlannn kesigmsi bir nega hisssden ibarat olduqda

oolarm birini aG) hesab edirik) olsun.

a1 oblastrnda analitik olan /i(z) funksiyasr o2 oblasmda analitik otan

/2(z) fuDksilaasl ila o0) oblastmda iist-usto du5dukd e, f2@) (

^(z))

90

funlaiyasma i@) Ut@)) funksiyasmm o1 (a2) oblastndan o2 (o1)

oblastma analitik davam deylir. Verilrnig /l(z) firnksiyasrnrn 62

oblashna analitik davaml v.usa, yeganolik teoremine gors bu davarn (qeyd

olunmug o1, o2 va oQ) iigtjLtr) ye8ano olar.Funksiyalann analitik davamrnrn tarifini daha i.irnumi gakilde da

soylsmek olar.Fsrz edek Vi obo2,..,oh oblastlan zanciri verilmiqdir. Bu oblastlar

zencirini te$kil eden iki qongu ok @ ot+r oblastlannm ortaq hissssi ojt)oblastr olsun.

or (k=1,2,.,.,n-t) oblasbnda amlilik fh?) (b =1,2,...,n-t) funksiyast o**,

(k =1,2,...,n-t) oblasbnda aDalitik /r+l(z) (k =1,2,...,n-t) fiuftsiyasr ila

"!!) {t =t,2,..'n-t) obtasrnda ust-uste d0$dukls, /,(z) fu-nksiyasma I(r)firnlsiyasrmn [o, I otU"ttaruancni vasitesilo o, oblastrna analitik davamr

deyilir. Qeyd edck ki, verilmig 7!12) firnksiyasrmn a, oblastrna analitikdavamr varsa, bu davam yoganelik teoremine gdre, qeyd olunmug

or,o2,...,on oblastla.r zenciri * {"[u'l obb$lan ugtln yegana olrnahdu,

hki" l".lobhstlar zencirinin hor hansr oblasu va y. l"[o'l obhstlanmn

biri <teyiSdikds analitik davam deyiSe bihr. ot,d7,.,on oblastlannn

csmini (birlogmasini) o ile iSara edak. oy oblashnda analitik /i(r)funksiyasr lrrfobhsUar zenciri vasitcsile analitik davam etdirilo bilirsa,

onda alman fi12) firnksilalarma o oblashnda teyin olunmug bir 7121

funksryasrnrn uyfun o* oblasttrdakr qiymeti kimi baxmaq olar. o1

obtastrrda birqiymetli analitik fi(z) funksiyasrndan analitik davam prosesi

9t

vasitasile o oblastnda,hhan belo 112; firntsiyasrna o oblastrnda analitikfirnksrya deyilir. o oblastnda amlitik /(z) firnksiyasr brqiymetli va yagoxqiymetli ola biler. Burada fimlsiyann oblaMa analitik olmasmaverdiyimrz terif awsllor analitik funksiyaya verdiyimiz tarifiniiLrnumilaqmosidir.

lndi farz edek ki, a1 oblasunda birqiymetli alatitik olan ,(r)funksiyasr daha geniq oblastlara analitik davam oluna bilir. Bufunksiyanq kompleks m0stovimn biitiiur miirnkun oblastlar zanciri ii.aealrnan [[1ii1 milmkim analitik darramlanna bir -f(r) fiu <siyastnm ayn-ayn oblasdardakr qiymeti kimi ba:nnaq olar. Bele /(z) funksiyasna bii'ttrv

arralitik funksiya deyilir. But6v analitik funksiyam taghl edsa ve ,(r)-indar"amlan olan birqiymetli analitik firnksiyalara hemin /12; firnksiyasurm

birqiymstli budaqlan deyilir.4. Verilrnig oblastda birqiymetli analitik firnksifaun analitik davamrnr

mii elif iisullarla qunnaq olar. Bu isullann on sadasi Veyerytrassh teklifetdiyi qiiwet sralan lisuludur.

Ferz edsk ki, /(z) firDksiyasr o oblasbnda birqiymotli analitikfulksiyadr. o oblastltrrn her bir n<iqtosinda bu frmksiyam qiiwet sra$traayraq:

* 1ltt 1a1

l(z)= 2

-tz

-af (1)L=0

Bu srralann y$lrna dairelerinin he,9 biri o oblasbndan xancagDflnrsa" ofra f(z) funksiyasmr bu oblastdan daha genig oblasta analitikdavam etdirmok mitnkun deyildir, Demsli, bu halda o oblastr /(z)funksilasmrn'tabii varhq oblash"dr.

(l) qiiwet sralanndan bozisinin yr$lrna dairesi o oblasundan >rarica

Qrxarsa, onda /(r) fimksiyasnr aralitik davam etdimck olar. Do!rydanda, hrtaq ki, (2) q[wst srasmr.n d1 yr$lrna dairssi o oblastrndan xarice

gx-rr. d1 dairosi ila o oblashnrn ortaq hissesini afl) it" i|al3

92

Yeganolik teoremino g6re (l) suasrmn dr dairrsindeki

- 1t){o'lF(z)= Z

-Q-a)"k=0

cami ile /(z) funlsiyasr d{l) oUtasmaa eynilikle baraber olar ' JQ)

funlaiyasm dr-a,tt) o5""**I@)=F(z) Qea;fL)1

bemborliyi tle taln etselq onda ehnan /(z) firnksiyasr 7+at oblastnda

enalitik funksila olar. Bu frnksiya o oblastEda analitik 7121

funksiyasmu 6+d1 oblastrnlr analitik davamldr' o oblasu iigiltr )uxanda

apardrgmlz miihakimani o +dr oblastr figiim yenidan tokrdr etnek

]rglrmdr. o+dr oblastrnda atralitik /(z) fimksiyasrm hemin oblashn her

bir ndqtosindo qtwet srasma aynnq. Neticede, /(z) funksiyastntn a+/,oblasrndan daha g errig o + d1+ d2 oblastrna aaalitik davamlu almr; ohuuq'

Bu proses analitik davam mticesinds qurulmu; firnksiyarun "tabiivsrhq oblastl" almana qodor t kmr olunur.

s2o. ANALiTiK DAVAMTN Moxrol,lr usuLLARr'VEYER$TRASS USULU

Forz edak ki, ot=IQ) funtsiyasr mileyyon o oblashnda analitik

funksiya&r.o oblasundan iEiyari z1 ndqtasini g(fiink o=,r'(z), z=zt n69lesinin

etrafuda ruralitik funksiya olclulunttan bu funksiyaru homin noqto

otrafinda qtiwot slrasr gsklinda gdstsmek olar:

Io)= |,c}\Q-ztf (l)z=0

(1) srasura a, = /(z) fimksiyasrrrn brinci elementi deyilir'

(1) su-asmrn yr[rlma radirsulu RI vo yl$lma darnsini aa' ile 4are

edsk. Oger Rl =<o olarsa, onda a5kardr lo, o= f(z) funksiyast btitii'n

mlsbviye *.litik duuu. etdirilmi$dir' lndi fsrz edek ki, R1 < +- -dir'

o& dairasidn daxrlinde i*iyai z2 nd'qtesid g6urok, bu ndqtedo /(z)fu nksiyasnrn istenilen tertiMan tdremosi olduEundan

11q21= icf\12 - 221' (2)

(3)

srrasrnr diizeldek, burada cfl =eP (r=or.). Bu srrar:rn y{rlma

radiusunu ve y! ma dairosini uyfun olaraq R3, oa, ile iSara etsak

\>R2-lz2-zxl olar vs yene dc R3>R2-lz2-41 olduqda /zG), h@)firnksiyasmrn op, oblastrndan analitik davamr olur.

Belslikle, z1 ndqtesin<bn gl)Gn, miisyyon Ia istiqamoti gottromk

yuxanda gostarilen prosesi, analitik davam miiLrnkiim olan ndqtoyr qodor

davam etdirerik.

srrasrnr diieeltnsk olar, burada da c$z) = l(\z) (r=0,-). (2) srasl:ur

yrfi ma radiusunu vo yr[rlma daresini uy[mn olaraq R2 vo rR2 ilo ilare

edek n1 vs R2 radiuslan arasmdaRz>\-],t-zzl

borabersizliyi doffudur Qtyd ctmek lazrmdr ki, fiz = Rr - lzr - zz I olarsa,

yooi anr vo ox, darmleri gevralarinin ortaq toxunma n6qtasi olarsq onda

hsmin n6qte /(z) funksiyasrun mexsusi ndqtasidir. lakin R2 >R1-lz, -22olduqda iso fr(z) firnksiyasr /(z) firnksiyasrnm aq dairssinden anelit'k

davamr olur.Do[rudan da, bfu toroftlen d1r vs rR2 dairelorinin iiLrnumi hissasinde

l(z) ve fi(z) funlsidarmm her ikisi amlitik fiDksiyadr, diger tereftlon

ise $') 1zr1= |tn) Q21 @=6fi) oldufundan yeganalik t€oremino gbro

gostrrilon ortaq biss.do /(z)=r(r) olar.

Bu iss tarifo goo ,(z)-in /(z) firoksilasrnm op, oblastndan analittk

davamr oldulunu gdstcrir.R2> \-lz1- z2l olan halda oa, dairesinin daxititrdo ixtiyari :3

noqtssini gtitruerok

72121= icf)P-4'1'

94

zl n6qtesinden gxan istiqametlar sorlsuz sayda olduEutrdan brristiqamet [zre eyni miihakimeni tokrar ebrek ot = f (z) firnksiyasrnr biitii'nmilrnktin olan analitik davamlanm qunnaq olar.

Costarilen bu tisul neticasinds o-m dz daxiline alan miiayyen o'oblasnnda ele aralrtik F(z) fimlsiyasr quolur ki, bu firnksiya qurulmug

op, dairalorinds uyFm toyln olunmu$ 4(z) ftrksiyalanna berabor olur.

Bu iisulla anlitik dararn etdirme zarnau bezan maraqh bir bal olur. /(z)firnksiyasrun analitik oldufu ele oblasta rast gelmek olar ki, heminftnksiyan heg bir istiqamatde gdstorilon oblastdan x2rise analilik davametdirmsk milrnln olmur. Bu halda hemin oblss[n serhodi tebii sofhedadlamr.

$21. RIMAN-SVARS shdlrETRIyA pRlNslpt

Riman-$vars simme*riya prinsipi, obla$da verilmig analihkfunksiyarur homin oblast konturunun miie)ryon bir hissssinden analitikdavamrm xarakteriza edon miifriim teorcmdan biridir.

Bu teoremi gerh otnedan qabaq xotd.m alalilik davam adayrgrmverok.

Ferz edak kL, aee?) firnksiyasr kontum f olan miieyyen br ooblasunda analitik fu nksiyadr.

o+7+o' oblas[nda anlitik olan o(z) fiurksiaysr (7,o ve o' oblastlankonturlannrn ortaq hissesidir) a oblastma daxil olan z ndqtesindaa@) = 6121 olduqda o1z1 funksiyasr d(z; funksiyasrmn ,, xottind.n analihkdarramr adlauur.

Giistardiyimizs g6re analitik davam varsa o, yesanedir.ihdi r - n hissesi olan 7 0Lzarine va /(z) -in verilnip oblast daxilinden

7 rizre limit qiymetlarinin iizerins miielyan $artlor qoymaqla Rimaa-$rrarsteoreminin isbatmr verek.

Mii.yyon hissesi hor bmsr 7 gevre q<ivs[ olan f konturu ilo ebatoolunmug g oblastmda ar:aljc"tk lq4 firnlsiyasr 7 iizrs kssilrnaz vs heqiqiqiymotlar alusa, onda f Q) -i 7 4an ,nalitik davm etdirmok olar. Buteoremi ovvalce xiisusi hal tigiin isbat edek.

Forz edek kr, gewe qOvsii olan ,, miioyyen duz xett hissasi olmaqlaheqiqi oxa paraleldir.

(1)

olar, burada f1, g' oblastrnm konturudur. z n6qtesi ilc 7-ya gtira

simmstrik olan z' n(\tesini gd'flirek. Aydmdrr ki, bu n([te o' oblastrna

daxil olar. o' oblasunda eyni bir 1121 funksiyasm t yin edok:

AQ)-- f (z) (z)

Indi gosterek ki, bu qayda ii,zro o' oblastnda teyh olunmu$ /i(z')firnksiyasr bu oblastda analitik furksiyadr. Bu moqssdle a' oblastrnda

z'+/r ndqtssini gtifrfrok. Onda g' oblastmda r -ya na?aren bu noqte ila

simmetrik olan noqte z+\ oW. 4 =[ oldulunu asanhqla gdmrsk olar'

Onda

Teoremi isbar emak ugiin tamamite I oblastna daxil olan g' oblas[gdtiir:k. Nehayel g'-la bidikle ele o' oblash seaek ki, r, s' w o'oblastlanmn simmetriya oru olsun.

' iolBasqa sozle, g' ve d' , y t<frhto nezaren simmetik olsunlar. Onda 7121

funksiyasr t oblastnda analitik oldu[undan Kogi dilsturuna gor: g'-e

daxil olan isanilen z ndqtesi rigiinL f0\dt

, {21= -

l '"' 2rti t-z

,^ hQ'+h)- fi(z') - rn .r(z+D-.r(z) - Iim,rr -ro h h)o h Irr-o

f(z+\.)- IQ) _71,,,\

olar. Demeli,

Ii@')= I'Q) (3)

olur. (3) beraberliyi fi(z) firnlsiya5rnrn tfiemosimn varLSmr vo hamin

tdremenin hansr dtistur vasitssilo hesablaamasrm gdsterir.

Bu mfflahizolori /i(z) firnlGiyasmm o' oblastrnda aaalilik olduiunugttst rir.

, (z') funlsiyasr ; {e aralitik oldugundan

11''1= | 1iu)&"' 2,ri ii , - z'

olur, burada ri, o' oblastuirn konturudur.

(4)

z, o' obla.stua nezerotr xuici ndqta oldufiundan, Kogixassesina gdre

:'tt!-)4=ozafi t-zolar.

7,,1=l[J<t)dt+l lhodt (6)tm\ t-z unf, t-z

\=c'+ PQ Yo fi=c'+P'Q' qabul etsok

J@=! l!(r)d! + _t I lu)dr +_-t 1ft()dt *-1 '

h\t)dt Q)' ztit. t-, 2ri ie t-z 2rit. t-z 2,ri pte' t-.olar.

PQ va r = lB arasrndakr mesa$oi d ile Uars edek.

Li

Teorernin gerthe gor: f(z), 7 iiure kesilmez furksiyadr. Ora g6ra de

.bntftvt=lf@dt (8)6"+oi' t-z AB t-'

yn l ltr)dr _ ,It$Vt (9)6)oe:p t-z iA t-z

olar. (t) ve (9) -e g6ra (7) bomberliyi

t@=Ltf$)a +-t 1I(ta*L l JrQ)dt *-r. t i()dr (10)"' 2af t-z 2ni;B t-z 2tri[. t-z 2riiA t-zkimi yazrlrr. 7 izn f(z) funksiyasr bqiqi qiymotlsr aldrfrnrl"n bu xeti)zre

^(t) = f(t) olur. Ona g6ra da (I0) diisturundan

l@=LI!Q)dt.1,iu)dt"n" t-,

- zi! t-,alulr.

Agagdah kuni kdrnekgi FO firolaiyasmr tayin edok

o,,r=[/r,) egsr, ! C uzo dayi5irss,' "' U rrl egBr. t, c' iiaro dayiqirca.

inteqraknn

(11)

(5)

97

, Doqbsi ,{ vo , noqt len Uzerina diigmadiyi hald4 FG) funksiyasrmn Cvo C' x.tloriuin her bir nOqtesinde kesilmeyen olmasr aydmdu. Eynizarnanda y fi?'.e h(t) = f (t) olduSundan FO fiulsiydsr A ve Bndqteleriade kesilmez firnksiyadr.

Onda r1r; funksiyasr L=C +C' kontuu ii,erind3 kasilmaz firnksilaolar. I konturunun ahata etdiyi oblasu 7 ile iqaro edak w z-in bu crblastda

dslqdiyini brz edarek

(t2)

qsbul edck. Kogi tipli inteqralm xassssine gdra o(z), I oblastuda aoalitikfirnksiyadrr vo homginin (ll) va (12) d[shdan nazerda tutularsae g'

oblastrna daxil olan z noqtosinde

@(z) = /(z) (13)

olar, Bu mrlbakrmoler o(r)-in /(z) ftnksiyasnm 7 xe$indan analitikdavam oldu$unu g6sterir.

G$steok ki, analitik davamrn a' oblashnda aldfr qiymatler /(z)funksiyasurn aldr[r qiyrnetlerls mtielycn ashhqla ba$tdr.

ie'), d oblasEnda analitik firnlsiya okfu[undan onun ilgiin hamin

oblastda Kogi dilstrrrunu ya.anaq olar. tlsmginin z', s' oblastma nezsrsn

xarici noqto oldugundan l@)-n I iizre Kogi inteqrah srfia beraber olar.

Ona 9610 dc (11) diisturuada oldulu kimi g6*ermek olar ki z',o'oblasham istanilsn nCqtesi ise

@e)= ^L.lFttutlfr, t-2

1,12'1=Lti?)dt + I I fiU)dr"' 2riI t-2' 2ti t t-z' (14)

olar. (13) ve (14) diisnulan nozarde tutulana, z',o' oblastrna daxil olanistcnilan n6qta olduqda

a@)= fi(z')olur.

Digar tenfilen z vo z' ndqtelori r-ya nc,zewD, simmetrik nOqtelor

olduqlanndan fi(z)=^4 ve ona gore de (15) diistunroa esasgn

AQ)= /@ olar. Derneli, z va z' n6qtaleri f -W riaz2rsr. simmetrik

olduqda analitik dav-amn, yani <D121-in z' ndqtesinde ald{r qiymrt /(z)-iu z n6qtosindeki qiymetimn qogrnasrna borabordir. Bununla da z heqiqioxa paralel oldulu hal ilgiin Riman-$vars prinsipinin isbd tamamlaor

indi ilrnumi hahn isbatrm verok.

(15)

9t

Farz edsk ki, /, f konturunun miioyyen hissesi olmaqla har hansr P

gevrosinin qdvs[dtir. Malumdur ki, ele

t = L(z) (16)

xetti funksiyasr tapmaq olar ki, P gevrssini hsqiqi oxa paralel olan

m[eyyen bir dtiz xette inikas etdirsin'poErrO"o ar" f c"trasiain 7 iizerinda olrnayan her hansr a ndqtesini

Itt=-2-d

funksiyasr vasitasile ,r=co ndqtosino inikas etdirsak, P gevresi (16)

furlsiyasr vasitosila heqiqi orla miioyyen d buca[r tcgkil eden ff duz

xettina inikas olunar.Nehayet,

t = \e-to (r7)

funksiyasr P1 diia xattini hoqiqi oxa paralel olan P2 diiz xettina inikas

etdirir.

Belslikls, 1=-L va (17) ardrcrl fir:rksiyalanorn naticssini (16) xettiz-a

fu nksiyasr evezine gtltiirmok olar.

Demali. (16), (z) mristevisinin verilmiS a oblasum (t) miistavisinin

a9 oblasEna inikas etdirir. Bu zaman a konturu.nun hissasi olan 7qovstnilq oo-rn konturu ii,zerindeki obrazl, yeni /0, (r) miistavisinin

heqiqi oxura palalel olur (burada do, d-nm inilasrdrr), (16) funksiyasnm

tars firnksitasr, = L-r(r)

a=!(z)= fv;t(t))=IoQ)

a = fo(t) (1e)

(l E)

olsun. Onda

ile iqare etsek

filrksiyasr o6 oblastrnda analitik, 76 iiaerindo kesilmez lc aldrtt qiymstler

isa hoqiqi olar. Onda bundan ewel isbat otdiyimiz tooreme g6re (19)

funksiyasmr 76 xatindan analitik <lavam etdirmek olar. Bu fimksiyanrn

amliuk davamrn Fo(r) ilo i$ar edek. Malumdur ki, t ve I , roa tTozero,lr

simmetrikn0qtab'"ttlfr=oa (20)

olur. Xetti gev[menin xassssins gdre t vo / n@elori (19) fiuksiyast 'vasitosile 7-ya nezeren simmetrik z vs ,' ndqtalerine gewilir.

v0 ya

I/(z) funksiyasrmn amlitik davamrnr tapmaq iigiim Po(r) firnksiyasmda

, avezine buna beraber olan t(z'1 -i yan4kibyotdir. Yoni

a=o'(z)=FolL(z)l (21)

funlaiyasr -f (r)-it r xettinden analirik davarm olur. Aydrnd-rr k!a'@\=FolL<Ol= Foe\= Jolo= flr'<,tl= fta

o'(z')= J@ QZ)

olur.(22) haraberliyi gdstsrir ki, z ve z' n6qteleri f -ya lwzarca simmstrik

ndqtelor iss analitik davamrn z' ndqtesindeki qiymati /(z) firnksiyasrmn z

n<iqtssinde aldr[r qiymetin qoSmasrna berabordir.Bununla da Riman-$yars prinsipinin isbatl bitir.Teorem Ferz edek ki,

a(z)-- i,$zk (23)k=0

slrasr morkozi 2=o noqtesinde vs radiusu R olan oa daimsinda yBlandlrvo

2 aorrr..orz@rad2a'<4a"a4..oo')ds =o (24)Eas'/v

diferensial tonliyinin hellidir. Gostarek ki, (23) srasurm analilift (avqsvarsa, onda bu davam da (24) diferensial tenliyinin hslli olar. z=0n6qto6ini ap dairesi xaricindo olan her hansl a ndqtasi ilo kssilmaz hamar

/ xetti ilo birlsgdirak, ap -in daxilindo ve 7 uzsrinda olan els z1 n<iqtssi

gdtiiLrok ki, bu ndqto I ils aa dairssinin kosilgdiyi ndqtayo yiDon olsun.

torqz''1= i,otf) {z - zt)k

qabul edslg burada

aot -a<k)(zi (l = o,-) (26)^k- hFerz edek ki, (25) srasmn yr$rlma dairesi op, , ap dalraslndan xarico

grxrr. BaSqa sozle, fezr edek ki, (25) srasr (23) srasrnrn analitikdavamrdu. Gostenk ki, a^, dairesindo teyin olunan a,r 1z; funksiyasr da

(24) tanliyinin hallidir. $ara giira (23) funksiya.sr (24) tsnliyinia hellioldu[undan (B)'n (24)48 yenne yazdtqdan sonra z-in q[wotlorino gore

alrnan sra op{e yr$lan olmaqla omsallan srfra berabor olar. Ogsr biz

(2s)

100

a,l(z) -in ifadesini (24)-un sol brefinde yerine yazsaq, onda G-,r)-ioq[wetlerina gdra els sra alaca$q ki, hemin sua aa dairssinda $danolacaq. Drger tarafden q(z) ftr*siyasl a,(z)funksiyasmm analitik davamt

oldu[undan d]e vo a& dairalerinin kesigmesinde (, - "r)-- qiiwotlerino

gdre ahnan sra (24)-ih sol tarsfine o1z; ifadasini yazmaqla ahnan srra ila

ilst-iiste dii$er. Bu sranrn emsallan srfu oldulundan gostormi$ oluruq k+

(24)-iiLn sol terofindr aQ) eveima ol@) yaz&qdzn sonra (z - z1)-ut

q[wetlerins g<irs alrnan sua op, dairssinds eynilik kimi srfta bsraberdir.

Bu iso gdstorir kt al l:; funksiyasr da (24) diferensial tanliyinin hellidir.

Bu dediklerimizden bele neticeye galirik ki, a(z) furksiyasmr ap

dairssindea miioyyon o oblastrna qader analitik davam etdirmokmiimkilndiirse, onda homin aoalitik davam da (23) diferensial tanliyininbolli olar.

s22. ANALITIK DAVAM 0CtrN DOYISANL(,RIN OvOz- EDILMOSI TISULU

Ferz e.dek h,, at=I@), z=0 ntt$esini dz adrilins alan o oblastnda

analitik fulsiyadr ve bu ndqte etrafirda

l1z1= i..a,zr (l)J=0'

elementi ils verikni$dk. (1) suaslun ylrlma radiusunu X ilo igars edek.

Biz Veyer$trass metofunda gordiik ki, milryyon dairo daxilinda analilikolar. f(z) fi.rnksiyasrm bu dara daxilinden analitik davarn etdkmok iigiin

hemin dain daxilinds miieyyan z1 noqtasi qeyd edib,

' !(i)QiiG)= L .' G-z)r (2)

J=0 Jt

srrasrru yirz[drq. Ogor bu sraorn yr[rlma dairasi ewelkinden xarica

gxudrsa, onda /l(z), /(z; funksiyasuun analitik davamr olurfu. ( 1)

s[asmda z = zr +6 ovsdomesi apafllmas (2)-nin alumasma ekvivalentdir.

/(z) fimksiyasfl anatitik daram etdirma metodlanndan biri de deyiSani

miieyyon manada dahe iiLrmrmi $ehlde evoz etmskdir.Bunun tigun ferz edek ki,

l0r

aqt= 7 u,g, (3)j=0'

6=9 noqtasini oz daxilino alan (f) mnst visinin o oblasonda analitikfurksiyadu, burada p6

| < n oldupunu qsbul edirik.

z=d€) (4)

oldu[unu frz eder:k (l) ihdesinde ,-i (4) ifadssi ils evez edek. Neticedc

161= i,.c,€t (5)j4

srasrl ahnq, bruada c, (;=0,-) emsallan "; (r=o,.) ve ar. (r=0,-)emsallarmrn miisyyan kombinasiyalan vasitosilo teyin olunur. (3)ia

bo = o{0)

ve (4){. zo=bo ve l6ol<n ferz olundu$rndan lzol<D olar. Demoli, (5)

suasr f = o noqtosinin miloyysn atrafinda yr$lu. Merkazi f =0 ndqtasirde

olan ela 7 g€vrosi gdtijmk ki, hsmin gevre hcm a oblastna \,lo hom do (5)

51p5rnrn yrgrldr[r oblasta diitsun. (4) banborliyinden aydrndr ki, f,/gevresi iizo deyigdikde z ntqtesi mileyyen bir gpah T' konhrnrnu cvar.

7' konhnrnun tofkil etdiyr birnbiteli oblasu o' ils igare edek, zo=ao

oldutundan o vo o' oblastlan mii.yyen oo oblash iirzro kost$orler.

Forz edsk kr, r-nm ehata *diyi dairs (4) funksilasr rrasitesilo o'oblasuna qrprhqh birqiymotli vo korform inikas olunur. Onrlo. z=d{)funkslyn5rntn 1s6 firnlsiyasr olan

6=q@) (5)

a oblastm ,, -mn ohat etdiyi oblasa birqiymetli olaraq inikas etdiror. ihdiF(O = flq(z)l=@(z)

finrksiyasrnr gotilrek. ele) ve F(€) finlsiyalamrn oyin olunduqlafl

oblastlan nozoro olsaq holcn edirik ki, dz) ftnksiyasr o' oblasunda

analitik furrksiyadf. z =h noqt sinin miioyyoD etrafinda f (z) ve o(z)

funlGiyalan iiLst-iiste du$tlr. Buradan ise hdl(n edirik lo, l(z) ve q(z)

furksilalan o6 oblastrnda bir-birins berabar olur.

Messlanin belo halli gostart ki, oger d' oblaso o{an xarice grxrs4onda o(z) funksiyasr /(z) funksiyasmm o oblastndan analitik davamr

olar.

102

S23. gvARs PnhssiPi

Ferz edak kr, o oblastr konturu iizsrinda diizgiin 7 analitik xetti

saxlayr.i*r"^ o oblasEnda amlitik vs r tzro serhed qiymatlari analitik

firnksiya olan /(z) ftnlsiyasm z xettinden analitik darem etdirmok olar'

I@)-m r iiare qiymetleri z'-rt olduqcla f(z)-n f(t) limit qiymeti ba5a

diiiriltirOwelcs teoremi xiisusi hal ligiiD isbat edek. Ferz edsk ki, 7 hsqiqi

oxun [a,r] pargasrdrr. Onda 7 -nm tenliyi*=,\ or,*pv =01

olar. $erta goro .f(r) funksiyasr ta'fl iiaerinda analitik

pargamn ro noqtssi strafinda

1,1= |, cr{,-*irL=O

olar. Burada r evazine kompleks z doyipanini yazsaq

6,1= i, cr1"-n)t (2)k=0

funksiyasr .r = ro n6qtasinin miiayysn otratrnda analitik funksilz olar'

a(z)=eQ)- f(z)ile iqare edek. Aydrndr ki, a oQ) , o* oblastrnda analitik

olmaqla 7,0 iiLzre

tim o (z) = lim eG\ - fun I Q)z-+l z-'l 2--'t

a(t)= f(,)- f(t)=oolur. 7o iizre a;(r) = o olduBundan $varsm simmetriya prinsipins gdro

ar(z) -i r xettinden analtik davam etdirmek olar, Belelille, giistermig

oluruq ki, arlz; fiuksiyasr msrkezi 16 olan ve 7,0 pargasml <iz daxilina

alau mtelyen bir ao etrafinda amlitik olrnaqla ,'ro uzre stfra $ewilir'

Onda analitik funksiyalann yeganelik teoremine g6re hsmin strafila

o(z) = 0 va yarud da

p(z)=IG) (6)

olar. Ba.qqa s)7/1e IQ) firoksiyasrnr ,',0 )€ttindon analitik davam etdirmsk

olar. xq noqtesi [d,/] pargasmm ixiyari noqtesi oldu[undan /121-i 7

oldufundan bu

(3)

ftnksiya

(4)

(s)

(t)

103

xettindsn analitik davam etdirmek olar. Bu iisuldan goftndw,li kimi dz)funksiyasr /(21 -in analitik davamdr.

lndi tirnumi hah tadqiq edek Ferz edak ki,

r aID;htjk xefiinin ranliyidir. $erta gdre /(z),oldu[undan

o(r) = flz(r)lfunksiyasrru her hansl , = ,o n(qtasi effa.finda sraya aymaq olar:

oO=; Pk!-tilu (*)k=0

$erto g0re z'(ro)+o oldulundan ,=r6'rn ela aro atrafinr tapmaq olar ki,

homrn ou-af

z= z@ (a<t< f) d:zgij,n

7 Ezre analitik filrksiYa

(e)

atrafina qargrhqlt

(7)

z = z(t)

funksiyasr vasitasilo ilo morkozi 7 iizsrinde olan 6lo

birqiymetli inikas olusun. o(r) merkezi 16 ndqtasinde olan miioyyon Kro

pargasnda enalitik firnlsiya oldu[undan bundan owalki hala gtira homrn

hrnioiy-, ,Kro pargasrndan analitik darram etdirmok olar' Bu firnlsiyarun

aralitik dar"amrm o0(,) ilo i$are edek. (9) vasitosila d.o-m d;o 'trafi

dro

etrafira qargilrqh birqiymetli inikas oldulundan , {in istonilon atrafnda

z'(t) *o (10)

olar. Ona gdrs de r = p1zf i z = r(r)-nin ters funksiyasr kimi teyin etnak

olar. Ondahe) = o s[p(z)l

funksiyasr z n6qtosini daxilina alan ve 7-mn hisssi olan miioyyan bir 7,0

qovsiinden /(z) -in aralitik davamr olar' ,0,/ qdvsiiniln ixtiyari noqtcsi

oldulundan aydrndu ki, /(z) -i 7 xettindan analtik da'ram etdirmsk olar'

Bununla da a.nalitik davam iigiin $l'ars teoremi tafiamilo isbat olunur'

$24. trMUMiLoSldg silflrDrnive pnixsipi

UmumileEnil simmetnya prinsipini tarif amoden qabaq analitik xstt

haqqrnda anlayg verek Ferz edek ki,

!,=a,l (l)ly =w\t)

104

mUolyon / xottinin toDlildir, burada r haqiqi parametr oLnaqlad<r<p

pargasmda deyigir. (l) firnksiyalan ta,pl pargasmda

*= ic|)1t-ro1k

z = z(t)

Q)

(3)

(10)

" = i cf) 1, - t;k * t i cl2) <r - tof

(5)

(6)

(7)

(E)

k4

,=iglz)e-h1k (4)*=0

$aklind, gOstorile bilorse, mda 7 arl.alitik 156 edla6r. (3), (4) aynhglanolrnaqla eyni zamanda r(r;*0, ),'C)*o ddenilino vs 7 xettinin ciitlsgmign6qteleri yoxdursa, onda 7 diizgiin analitik xett adlamr. Umumilogmigsimmetriya prinsipi bels sdylenir.

Teorcm !(z) o oblastnda koaturu diiagilrn analitik ,, rcfii saxlayananalitik fir-Dksiyafusa w !(z) -m 7 iiaarinds aldrgr qiymetler miuyyenpa$au ve ya miiayyotr r' gevte qtivsuati doldururs4 oadz l@)funksiyasur 7 xattindsn aualitik dar"am etdirmok oW (!@)-n y nz::a

qiymotlari dodikda f@)-n z-+t olduqda limit qiymatleri ba5a dligrjhir).Forz edak ki, z,/ ii,.rhde olan ndqtadir. Onda

2=x+u=dlt)+iw?)v0 ya

olar, Buradan isc

ct) +pf,z) =roile igara edcrek alrq ki,

,= lcrlt_rs)kk=0

olur.Abelin birtnci teorcmini nezero alaraq r evozine kompleks r Glgani

daxil etsoh onda@

z = .f _c o1t _ts.)k (9)h=0

firnksiyasr r = /o nftItesinm otrafinda analitik funksiya olar. Domeli, (9) ilsteyin olunan

r05

funksiyasr [cr,/] parp$ll daxiline alan mueyyen zolaqda analitik

funksiyadrr. Diger tareftlen ,'(t) ve y'(t) eyni zamada srfra bsrabor

olrnadqlarmdanz'(t) = x'<t) + iy' (t) r O (r l)

olur.Bu gtlstarir h,, la,pltt 6z daxiline alan elo d zo@r tvlar ki, hamin

zol^qdz z'(t)*o olur. Onda malumdur ki, z = z(z) funksiyasrnn tersi olan

r = o(z) (12)

funksiyasr /-nI dz daxilino 2l.h mitoyyen 6 zalapn:,, miistevisinin

miioyyeD d' zolalrna qarytqlr birqiym.efli inilcas stdrrir.@=F(t)=Ilz(t)l (13)

funksiyasrm g6tii,rak. z(r) vo /(z) funksiyalan analitik firnlsiyalar

olduqlanndan F(r) fulksiyasr haqiqi ox lzerinda olan [4./] pargasrrun bir

torofinde analitik olmaqla ta,pl pargasl ilzre al&$ qiymstlar miieyycn

parga va ya d4 miialyon gewo qdvsihu doldurur. Onda simmetriyaprinsipin g610 F(r) funlsiyasmr ta,fl pargasndan analitik davam

etdirrnok olar. F(rl)-in bu pareadan analitik davamn p(z; ils igaro edek.

d'€ daxrl olan rc [a,p] pargasma nezoron sinmetrik tl va 12 ndqtolerid

gdtiirak, Onda (10) -a gtlre hemin ndqtalaro (z) miistevisinda z1 ve z2

kimi iki ndqto uylun olar. zl vo ,2 noqtalorino r -ya nozcnn simmetnk

olan ndqtalsr delecsyik. FG)- n td,p') pargasrndan analitik dalEmJxn

miirnllin olmas gdtsterir ki, /121 funksiyasmr 7 xettindan amlitik dav"am

etdirmek olar. Melumdur ki, \ vd 12 , la,P1'ya g rc simmetrik olduqda

O(t2) =f(rl) ( l4)

olar.Ferz edek ki, sQ), f(z) frrolsiyasnrn 7 xattindon analitik daramdr'

OndaF(t)= I<zr), @(r) = s(22')

olar. (14)+ gong(z)= J@i (15)

olur. Yeni zt vu 22, l-ya aazarsn simmetrik n6qtel, iso onda anlitik

davamn z2{e aldr$ qiymat f(z)'n z;deki qiyoatinin qo$n:lsma

barabonrlir,Bununla da iimumitegmig simmotriya prinsipi isbat olunur'

106

S25. ALT ARDICILLIQ OST'LU

Ferz edok ki, /(z) firnlsiyasr lzl < n daiosinde analitikdir. Onda f(z)funksiyasr lzl< n dairesinds

f6)= | arzk (l)k4

leklinda gdstorilor.(l) srasrmn xiisusi cemini s,1z; ila i$are edek, Aydrndr ku /(z)

S1(z),S2(z),,.,,S,(z),.. (2)

ardrcrlh[rnrn limitidir. (1) suasr gi]slerilen oblastda miitbq y&lanoldu[undan ( l) suasmr els

r(z)= | o/z) (3)k=l

srrasr ils evez etmak olar ki, bu srann har bir hoddi (l) suasrnm istonilensonlu sayda hedlerinin ccminden ibarot olsun. (3) srrasrnrn xt|susi comini

Tp(z)= | ole)t=l

ile itare etsok

T1Q),T2Q),...,7 p (z),...

ardolhfr (2)-nin alt ardrcrlh$ olacaqdr, yoni (5)'i

S,, (z),5r, (z),...,Sr, (z),...

(4)

(s)

(6)

geklinde gtistsrmek olar, burada zt (t = 16) nahrl adadlordir. Ona g6re

de (2) ardrcrlhlr murtezom olilaq I@) funksiyasrna yr$lrsa" onda (6)

ar&crlhlr da miiurtazem olaraq /(z) firnksiyasoa y$lar, takin (l)srasmdan (5) ardrcrll,E'nr diizaldikde els nt ([ = t,o ) n6mroleri do ola

biler ki" (6) yr[rldrqda (2) y[rlmasur.Demali (2)den ela (6) ah ardc ldr segmek olar k, hsmin ardcrlhq

lzlcn obalstrm Oz daxilirn alan genig oblastda miirntezsm olaraq ,c1z1a

yrfrlar. Qeyd etdiyimiz kimi (2)-nin yfrldrg her bir noqtede (6) da ygrlr.

Bundan belo neticaya galirik ki, (6)-mn yrlrldrlr oblast lzl < n dairssindan

geni$irsa, onda F(z)firnlsiyasr /(z) funksiyasrrun lzl < R dairosinden

amlitik davamr olur.

107

S26. ANALITIK TUNKSIYANIN BIR YARAQLiLiK OBLASTI

Verilrnig o oblasunda birqiymetli analitik /(z) funksiyasrm qtiwot

sralan iisulu ile analitik davam etdirsrken miixtalif veziyyotler emsle gsle

bilar. Buna g6re de bir srra meseleler haqqmda olava izahatlar vermeklazrm gelir.

/(z) fulrlsiyasrnr o obhstrun her bir ntiqtasinde qUwet srastna

ayrarken, aluan qiiwet sralannm mtxtclif y$ ma dairolari olur. Bu

dairelsrin bir negesi kssigs bilar. Moselen, fon edek ki,

r<o= lo4lff-1,-n 'qiiwot slrasltrrD ar yrprlrna dairesi ilo

r,>=.V^ffi,-"r>h (2)t=0

qi.iwet srasmn d2 yr$in'a dairosi kesigir, Bu dairelarin ortaq hissesi D

olsun, Burada iki hal mtignkii,nd[r: (1) ve (2) sralarmu cemleri D -nin

btilun noqtolorind. borabor ola bilor vo ya boraber olrnaz,

(1)

Birinci halda dt w d2 dairalsrini ortaq D hrssesi iizrs bir-birina

yap$drara{L belo hesab edecsyik ki, onlar "bir veraq" emele gstirir. ikincihatda yeni qtwet sualannm comlsri D tizerinda bsraber olmadqda

hemin d1 ve d2 dairelerini bir'birins ,"ap$&rmrnq, onlan bir-birinin

iizorine qoyulmus kimi tasewiiLr edirik. Bu hdda, dr vo d2 dairolori D

iizarindo "iki veroq" smsle getirmiS olar.

4 ve d2 dairolerini D ii'zo yaprgdudrpmv halda z e D n<Sqtasmda

/(z) fttrksiyasun qiynstini (1) vo (2) suirla un hsr hansr biri ils

i..oUur"q of*. Bu halda firnhsiya D iuarinde brqil'msthdir. ikinci

LUu m z . a noqtesinde firnksiyanm qiymetmi hesablamaq iiigun hamin

nfrenin hensr veteq iizsrinde yerleqdiyini bilmek lazrmdrt z e D ''te z e d1

IOE

olduqda firnksiyanrn qiymati (1) srasl, zeD ve zed2 otduqda ise

funksiyanm qiymeti (2) srrasr ile hesablanrnaLdu' Bu bald4 /(z)funksiyasr D iizerinde ikiqiynttlidir.

nitetit lo, noticade alnq ki, birinci hakla flrnksiyaurn D nzaitllLda

varhq oblastr "birvsnqli", ikinci halda ise "ikivoreqlidir".

Iiidro 9o* sayda yr$lma dairesi kasi$ikds da qmi qayda ile horakct

edirlar. Bu dairelerin ortaq hisso8indo qtvust sralannrn cemlsri barabor

olduqda hemin hissa iiare daireleri yaprgdrraraq biwarsqli varhq obhsrahnq. nu dairslarin ortaq hissclerini, yeni qfiwet srralan cemlarinin

barabor olmadrg hissaleri fist-tists qoyaraq goweraqli varhq oblastr almq'

Belelikle, ahnai goxvaroqli oblastr Riman ssthi deyilir'

Ahnan neticcni agsdakr kimi s6ylomek olar: analitik davam

noticcsindo ahnan biit6v aaalitik firaksiyanrn tobii varlq oblastr birvereqli

olduqda o birqiymstli goxvoleqli Riman sothi olduqda ise goxqiymetli

funksyadrr.

s27. LORAN SIRASI

l. Verilmig r<lz-al<n halqasrnda (oblastrnda) anditik olan /G)funksilasr hemil oblastm daxilindo z - a hrqinin menfi- ve miisbat

qtiwcilerine g6rc dnzshig a;a$dakr srra $oklindo gdsGrilo bilar:

lQ)=ic/,-af (1)k=0

Bu teklifin doSulu$una inatrmaq ugun hamin halqanur daxilinde

yerlslcn istoniten z noqtcsinde (l) ayrl4rmn do[ru olmasrm gostermek

iAAv.tair. tlemin halqa daxilinde yerlsgsn ele 16 - ,l = n, w l€ - d= nz

gevrrlari g&tirsk ki, z n6qosi bu gevrelerh alasrnda yerlapin:

r <\ =p - al<lz - d;<l€ - dt= Rz <R .

goxrabifeli oblastlar iigiim KoSi disbruna gore

rt't=)- r lG\aE.'. 2 tt;r2 l_zve ya

f € 12 olduqda

r1t-z=@4<z-d)

t ,IG\dC t,leVqtrzt=;1, 6-z -fi1, E-,l€ - dtrl, - 4 vo buna g6re d.

109

Bu gevrslari 11 ve 12 ile, hamin gevralar ile htdudlanmrg ikitertibli oblash

ise a ile r5ara edak. 7(z) furksiyasr o oblastnda aaalitik oldulundan

(2)

G-06r--)I I 2 G-o)k

4.-a, z-a f=o2 -a\k+l{-a

Bu snanrn her iki ta *f"i H ifadasine wrsaq,

r .IG) = | J-.. IG) .,"-ort (3)2n 4-z t1o2*i (q - o)k'[ '

alanq. (3) slfilsl f2 Q€vrcsi ilzerindo milntezem yrfrlan oldu[undan oou

hsmin gevro iiuao hadbahed irteqrallamaq olar:

t tlc\t€=$(z-a)k. I I\1\. dt2/i 12 € - z ;-4 zd i, t6 - o)t*, -

Burada

co=!. I fG)r-roq (r=0.r2....)zn yr({ _ a). , ,

evademasini aparsaq,t t IG,)d€ = lc1r_ r)k

2n12 q-z L_r"

alanq.

ierr olduqda i - 4.1, - 4 v3 ["na g6rs de

l l t : (6-a)t-l€-,=;;==-i, e;,r

z-oolar. Bu boraberliklcrdcn

l- fS) = -;. ! re\€ - "tr-'

.

zrti €-z k=\zn

(4)

(s)

I.---ilz -o)

(6)

ll0

miinasibetiri ahnq. (5) slrasr q gewasi iiaerinds miiLntezem yrg an

oldulund,n onu hedbshed irreqrallamaq olar:

| ,rGV€ : l. ,.6_o)r_rIGi€.*1, f "

=-irt,-of zat'Burada

o*=!Jc-o)b-t tna€ (,t=0,r,2,...) (7)tn f,

iqaresini qebul eunaklc,t tlGV€=-F 6r

zal, €-z Et@-a:rksrasrru alanq.

Qeyd edak ki, (4) va (7) inteqrallarmrn ikisini de r<lz-/<Rhalqasrnda yerlsgsn vs mcrftazi a ndqtesinds olan her hansl r g€vmsi [zogotumok olar. Onda (4) vo (7) amsallanm

ck=;[cffiL;!@r-gg (r = 0,1,2,...)

vo

b, =! K€-,)i-t ^€u€

(k=0,12,..)^ zni'kimi tlyin etmak olar. Bu boraborliklerden aydmdrr ki, formal olaraq

Dr = c-* miirasibstleri 6denilfu. Buna gdro da (8) srasmr

t,l?v€_ 3 c-t2nl, r-z --h\z-dt

kimi yaznaq olar. (5) vo (9) borabarliklerinden istifade stsolq (2)

miinasibetinden

121= ic e1z -at* * E t-* ,h=0 k=t (z - a)"

ve ya (1) ayn\rru alanq. Burada Cp emsallan

^ 1 , J+ni (r=0.1.12'..) (ro), r = zrtrte_o>",,diisturu ile teyin olunur.

(l) srnsrna /(z) fimksiyasrrun ,.|"-d,<R halqasrnda Loran srasrdellir. Loran srrasnm emsallan (10) dtstuu iL hesabla r.

(r)

(e)

lll

l,orao srrasr iki hisssden ibaretdn. Loran strasrmn (z-a) Srqinin

miisbet qiiwetlerhe 96rr diizelmig V,ruG-rf birinci hissesino onun

diiLzgun hissesi defllir. (z-a) ferqinin menfi qiiwstlerine gore dnzehiS

i c-o , suasna ise Loran srrasmrn bag hissesi deyilir.Erp-o1k

2. lnran srrasmn yrlllma oblastrm tedqiq edak. Loran srasrrun

dii?giin hissasi

di= isil,-"Y (1Dk=o

bizs molum olan adi quwet srasrdr. (ll) Qtiwet srasrtrn ylrlrna oblastt

merkozi a noqtssinde olan R radiuslu daimdir. Bu dainnin lz-al=Rgevrasi iizcrinde p(z) funksiyasrorn vs eleca de (l) Loran srasuun comi

olan ,rG) funksiyasrnrn heg olmasa bir moxsusi ndqtesi olmahdr. Demeli,

(I) L,oran suasmrn d[zgtn hissesi her hansr lz-alcR dairosi daxilinde

ytilandr.Loran srasrnm bag hissesi olan

(12)

(13)

't'Q)=;, c'k

'" tZr@- o)k1

srrasr I = --l- deyr$enine gora qiiwet srasldlr:z-a

@

z<t)= ic-,Ltkk=l

(13) qiiwet sfasrnrn y$lrna oblastr ise mer*czi t =0 n<jqtesinda olan

her hansr p radiuslu daire olar. Bu daironin lrl = p g€vnsi iiz.rinda hemut

srantn zO ceminia heg olrnasa bir moxsusi noqtasi olmahdr- r = Iz-o

gevnmosrnden z deyigsnini tapaq: z = a+!.I

Ayrtmdr ki, t dsygeni merkozi r=0 n6qtasrncla olan p radiuslu daire

daxilitrd. dayr$dikde, yoni l4.p olduqda' lz-a]>l ohr, yeni z dayqam'p

meiKszi a noqtasmda olan r = ! radiuslu dairanin xaricinde doy$or'p

Bura<lan aydrndu ki, (12) srrasrnn yrprlrna oblasu ry*?? ' ndqtesindo

il;.diJ; h.r tans, oairoolo xaricidir: l' - " 1 7 !u daironin l" - al = r

tt2

gevresi iiarinds ise (12) srrasmrn cami olan ryQ) fur*siyasmn vs bura

gttre ds, (l) Loran srrasr ceminin he9 olsrasa bir maxsusi n<iqtasi olmahdu'

Buradatr grxr ki, (1) Loran srasmrn ba$ hissssi her hansr lz-al>rdairssi xaricinda YPilandrr.

Aldrlrmrz neticaler g6starir ki, (I) Loran srasrun y[rlrna oblastr

r<lz-f<a geklinde halqadr ve halqamn lz-al=7 ," ya lz-al=Rgevralari irzcrinda onun ceminin he9 olmasa bn maxsusi ntiqtesi olmddlr'

Xisusi halda, Loran srrasmrn cemi lz - al < R dairasi daxilinde aaalitik

funksiya olarsa, leni z = a n6,qtosi /G)-in diizgiim nt'qtosi olarsq onda

l,oran srrasrnrn manfi indeksli bii$n

c-r=!lG-oth-'fcvezBf

amsallan srfra boraber olar: c-1 =0. Bu halda (l) l'oran srasr, emsallan

(10) diisturu ile hesablanan

fG)= fc,.(,-"fk=0

Teylor suasna gewilsr. Domsli, Teylor srasr Lomn srasmrn xiisusi

hahdu.3. Verilmig halqada analitik firnksiyamn Loran

yeganadir. Do!rudan ata tutaq ki, her hansr iisulla

, .V - d. R halqasrda YFlan

7Q\= ic{,-o)kk=-o

slrdsma aynlmlgdr. GostorJk ki, bu srra Oz oominin I-oran srasldr'

Bu moqssdle (14) baraborliyinin her iki torsfini (z-a)-a-t,(n=0,t1J2,...) frrnksiyasma wrub, f(z-al=pY G.p.R) gevrosi ftao

inteqrallayaq:

I ;fo * = t!r?:* @ - at-' + k - t)az

(14) srasr r gernesi \z-/= D iizerinde mii'rtozem yrlrlan

oldufundan, onu (r-r)-'-l funlsiyasun wrduqdan sonra hamin gevre

iizrs hedbehod inteqrallamaq olar. Onda

, f(z) a= icp 1 1" - o1-"rl-t 47[;-Aa t=-<o r

va buradan

srrasrna ayntgl7(z) tuksiyast

(14)

t13

Io,lz*

m+-li, m=-l

v0 ya

!(z-o)ndz=rbsraberliyins ssascn

pJ!-a,=z.ic,flz - a)

c.=.1 [ /(') .,dz (n =o,rt,=2,...)" 2ri pP - a)n+L

mtnasibati a}flr. (15) diisarru lrran amsallanr:rn hesabland& (10)

diiLsturunun eynidir. Demeli, (14) aynh;r ;(z) firnksilasrru-n Loran

ayntgdu.Loran srast amsallamu ihGsinden homin emsallar iigtn Kogi

berabenizliyini almaq olar: r <)=lz-dy<R halqasmda (l) [.ran srrasua

aynlan ve l2 - a\= p (r < p < R) gevrosi nzarhde modrlca sabit M edodi ila

mehdud olan /(z) funksiyasrmn (10) Loran emsallan ii91u Kosinin,MPAt; (r=0rr,i2,..)

beraborsizliyi dofrudur.DoFudan da, (10) diistuua gdro

t,t,*,,-L_,ffiwa'ffive ya

,^' Mr-*'7olar.

4. Funksiyalann Loran aynlgrndan istifrde ederal onlann rzola

edilmig moxsusi n(hteleri etrafinda 6zlerini oecs aParmasm mtireyyon

efiirk olar.r' = /(z) funksiyas trltfr. z =4 mexsusi noqtcsino o zaman izola edilmig

moxsusi nqa deyilir ki, bu nOqtanin yaxrn etrafnda hsmin .fimtsiyaon,-a- Uqqe^ lreg iir mexsusi noqtasi olnrasm Bu. o demekdir^ h' z =o

iqt t-;.b etrafi vardrr ki, bu noqto mustesna olmaqla /(z) firnksilast

hemil strafrta aoalitikd ir.

7(z) firnksiyasrnrn izol6 edilmig mexsusi ndqt'lorini iig n0vo aylrmaq

olar:

(1s)

(16)

114

l. Aradan qalhnla bitan mafiusi nagolat izole edilmig z = a

mox$si noqtasi o zaman aradan qaldrnla bilen moxsusi nOqta adlanr h,tim /(z) limiti sonlu olsun.

ll. Polyudan z--ra fertinde f(r)-*,Yeil l:rrn"f (z)= o olarsa, onda

izole edilrniq mexsusi z = a n(htesine /(z) funksiyasmm polyusu deyilir.

IlI. Tabii noxsusi ndqlalar. z -+a fortinde /(z) funksiyasmrn heg bir

limiti yoxdursa- onda izole edilmi5 maxsusi z = a ndqtesins /(z)funksilasrmn tabii msxsusi ntr,qtasi deyiltr.

Yuxanda verdiyimiz terife gdro z = a n6qtcsi 7ft) firnksiyasrmn izole

edilmig mexsusi ndqtasidirse, onda homin n6qtenin elo 0 < lz - al <,i etrafi

rar kr, bu otrafrla 7(z) funlsiyast aoalitikdir. Bu strafr biz halqa kimi baxa

bilarik. Onda /(z) fir*silasrnr z . a n0qtcsinin hemin otrafinda

r(,)=;ch|-"fL=--<b

loran srasma ayrmaq olar. Loran srasmrn ifidosi vasitosila z =a ndqtesi

7(z) funksiyasrnrn hanst n6v msxsusi ndqlssi oldu!,unu teyin etmek olar,

Teorem L z = a niiqtesi /(z) funksiyasmm aradan qaldmla bilon

msxsusi noqtssi olmasr ilgiln 1Q)-in hemrn n@a strafinda.kr lrcran

aynhgurda ba5 hissenin i5tirak euaomesi zeruri va kafi gsrtdir.

lsban. 7(r) funksiyasrmn ,=4 ndqtasi orafindah Loran aynhgnda

bag hisss olrnadrqda

f(z)= co +crG - o)+c2Q - a)2 +...+cn(z- a)' +.. (17)

olar. Buradan alrrur ki,[m /(z) = Co 't6'z-+ a

Bu da z=a nfutasi /(z)-in aradan qaldrnla bilen mexsusi n6qtosi

oldu$rnu gclsterir.

indi, arsini isbat odak. Forz edek ki, z = a n@esi 7(z) funksiyasrmn

aradan qaldmla bilen moxsusi n<iqtesidir. Onda terife gOre sonlu lim /(z)

limiti rar. z-+4 $ortinde /(z)-in sonlu limiti olrnasudan glxr ki, z=anoqtrsinitr yaxm etrafinda hamin funksiya mehduddur: l1(r\<u < t- .

Loran srrasr amsallan tigun Koginin (16) beraharsizliyiru 96rr

tcA.4p"

t15

olur. Burada p ededini qox kigit gotiirmtk olrr. Onda & ededlan menfi

olduqda p+0 gortinde

P ls Mp-k -+ o

ve yaCt = o (,. = -l'-2'- 3. )

almrr. Demeli, /(z)-in Loran ay,rlhqr (17) qoklinde olar, yeni hamin srada

bag hisse iqtirak etmez.Aparrfulrmrz mii'hakime gostorir ki, isbat €dilen taklif aqa$rdakt

gekilda da doSudur: z = a nbqtasi 7ft) funksilasrnrn amdan qaldrnla bilon

msxsusi noqtosi olrnasr iigiin 1(z) -in hamin n6qte etrafinda mehdud

olmasl zeruri vs ka.fi qsrtdir.

z = a ndQtssi 7(z)-rn aradan qaldrla bilan moxsusi ntiqtesi olduqda

l(a)= tm tb)=coz)oqebul ederelq 1(z) firnksiyasmr z=a ndqtasinde analitik etrnek olar'

BeloliHe da, z =a ntiqtasinrn /(z) fird<siyas [9tn maxsusi n(4ta ohnasr

aradan qaldrnhr.5. Ferz odsk ki, z=a n0{tssi /(z) fu*siyasrmn polyusudur. Onda

ixtlyari M > 0 cdedi itih a noqtesinin ela otrafi var ki, bu otrafda

lf (r\, u Uralersizliyi iidenillr. Buradan aydrndr ki, FG)= +' f(z)funlaiyzsr hemin atraftta analttikdir (a qtasi m stesna olnaqla) va

mohduddur. Bundan bagqa

lm FG)= u'' --L^ =oz)a z'+a I (z)

olur. F(a) = o qabul etselq r(z) funksiyas z = a noqtasinde analitik olar'

Beleliklo almig olunrq ki, z=a ndqtesi /(z)funksiyasmm polyusudursa,

onda homin n6qts analitik FG)= + funksiyasrmn srfrrdr' Bu taklifinI lz)

tersi de do[rudur.

z=a ndqtesi ,d\=h finksiyasrmn zr -tsrtibli srfrr olduqd4 ona

7(z) funksiyasrnrn z -tertibli polyusu doyilir' Melumdur k1 z=a ntiqtasi

FA\= + fuokiyas,nrn n -tertibli srfrr olmasr iigirn hamin firnksiyanm' I \z)

-L-e-o\,olz)f\z)(lE)

116

$eklinda gdstariknesi zaruri ve kafi $ertdir. Brrxu'" eQ\ fiurksiyasr z=andqtesinde annlitikdir ve 9(a)+o.

(18) mirna<i!51infu1lltiz)=-.-

(z - a1n 9Q)

va Va vQ)= fi ib i$are etselq

IG)= vQ)(z - o)^

(1e)

beraborliyini alanq. (19) g<istoriliqindeki s(z) fiurksiyasr z=a ndtosindoanalitik vs y(a) * o qertini tideyeD fiDksiyadr.

(19) miinasibetindsn de (lE) gdstorili$irli almaq olar. Buradan aydrndrki, z = a ndqtssi /(z) funksiyasmrn n -tartibli polyusu olmasr iigiin heminfunksiyamn (19) geklmdo g6sterilmesi zeruri ve kafi gertdir. (19)munasibetindo igirak edon q/(z) funlsiyasr z = a ndqtcsinin miioyyonotmfinda analitik oldulrmdan onu hemin ndqta otrafinda

vlz) = c-n +C-.*1(z- o)+...+Cg(z - a)h +...+C1(z-a)^*r +...kimi Teylor srr:rsma ayrmaq o1;:rr: C-, *y(a\**. (I9) boraberliyindar7(z) ovezine onun bu aynh;rm yazsaq, z = a ndqtesinin yaxn otrafinda

k'>=fut;:fu+" +L+co+c(z-a)+" +cp(z-a)k + (20)

miinasibstini alanq.Bu miihakimeni tanine aparmaqla, /(z) fimksiyasr iigiin z = a

n<iqtasinin her hansr stafnda (20) avnLgun do[ru olmasrrdan hemintudrsiya ti6in (19) gii,sarilipini almaq olar.

Belalikle agafrdakr miihakimoni isbat etsnig oluruq:Tarem 2. z =a n0qtasi /(z) frrnksiyasrnm polrusu olmasr iigifn /(z)-

in hemin noqta etafindakr Loran aynhgrnm bag hissesinde sorlu saydahsdd igirak eunesi zsruri ve kafi gertdir:

7P1= S=l * 1-^-' c '1z-o1^ P-ffi+" +-'-+ ZCtG-a)* '

6. Yuxanda isbat etdilmiz l-ci va 2-ci teoremlerden agagdakrteorernin dofrulu!'u aydmdr:

Teorem 3. z=a ndqtesi y(z) fimksiyasmn tsbii mexsusi noqtosioknasl iigiln /(z)-in hemin nOqte etrafindalo Lomn aynhglrun ba5hissasinde sonsuz sayda hsdd i$tirak etnesi zeruri va kafi qertdir:

ll7

1121=ic4z-a1k * I ,"-'=k=0 k=l(z - a)'-

Funksiyanm tsbii mexsusi ndqto etrafrnda 6zii[t nece apamuslY.V.Soxotskinin a$aFdakl teoremi ile miieyyen olunur: z=a natqrsei f (z)

firnksiyasrrnn abii mexsusi nciqtesidirse, onda her bir kompleks .,{ edadi

iigiin a-ya yEtlan ela zp ndqtaleri ardrcdltlr var ki,ttn f (zr)= 'et-+6

olur.Indiye kimi verilrniS /G) furksi5rasrn,n moxsui ndqta atrafnda

oz[nii neca aparmasuu odqiq ede*en mexsusi ntiqtelenn kompleks

miistovinin sonlu hissasinde yerlegdiyrm ferz edirdik. Sonsuz uzaqlagmtg

ndqto ds /(z) fimksiyasrnrn izole edilrnig mexsusi nOqtasi ola bilsr. Bu

halda msxsusi ndqtelorh tesnfau yuxandakrna a.oaloji qayda ila apanlu,Morkazi koordinat baSlanlrcrnda vo radiusu kihyat qsdsr btiyiik olan

dairsnin :raricine sonsuz uzaqfumrs noqtonin atrafi deyilir. Sonsuz

uzaqlagmA n6qtanin hor hansr etrafiada /(z)'in - {an bagqa ho9 bir

mexsusi ndqtasi olrm<hqda, hemin ndqteye /(z) ftnksilasmrn zolo

edilmig mexsusi ndqtcsi deyrlir. /(z) fuoksiyasr sonsuz uaqlagmrg ndqte

etra.finda6/'

l1z)= l'! + lcpkk=0 z" t=l

kimi Loran srasrn ayrlrr. Bu bald4erco*i?h-l z"

srasma (21) aynh$mtr dUzgutr hissosi,

ZC rz't=l

sfasrna ise hemin aynhgro ba5 hissesi deyilir'(21) ayntgt

(21)

7121=cn+.i,\E=l Z'rin hor haosr otrafinda 7(z) frrnksiyast

$oklind. olduqda z=@ noqtasu

mohdud olar. Bu hal& 2=co n6qtcsi hamin fulsiyafln aradan qaldnh

u'it* .rooti ooqt sidir va /('o) = c6 qabul etdikdo /(z) firnksilasr z = .o

noqtesinde analitik olur.-- ' jtrl n "f"iy*rmn

aynh;r z = "o no'qtasi atrafinda

lrt

1111= i.9!*c1z*Czz2 +...+c^z^ (C- *0)' k=0 zE

qaHinda olduqda, hemin n6qtoye /(z) funksiyasrmn z -tartibli potyusu

deyilir. Bu halda lim /(z)=co olur.z-+@

/(z) funksiyasrnur z=co ndqtesi etrafindak (21) aynhEmm baq

hrssesinde sonsuz sayda hadd istirak etdikde hemin n6qtayo /(z)tunksiyasmm tabii moxsusi noqtcsi deyilit. Bu halda ,!i /G) ttniti

yoxdur.Sonsuz uzaqla6ml$ noqtonin verilni$ 7(z) fir*siyasmm haosl nov

izols editmiq moxsusi ndqiosi olfiasu ftxanda isbat etdiyimiz 1-3-ca

t€oren ar tipli tskliflarle teln etmek olar.

s28. Izol,o EDILMI$ NoQTALORIN TOSNIFATI

Fsrz edek ki, z=a n0qtesi @=/(z) funksiyasrnrn izole edilmig

moxsusi ndqtcsidir,Bu ntiqtenin miieyyon etrafinda /(z) -ln modulu mehduddursa, onda

hamin ndqte /(z) fimlsiyasrnrn aradan qaldrnla bilen mexsusi n(qtesi

adlaflr.l,trn /(z)=a olduqda z=a noqtesi /(z) firnksiyasrnm polyusu ve

z -+ a olduqda /(z) fuksiyasr heq bir limite yaxnla$mrsa" on,lJe- z = a

noqtosi bu fiu*siyarur muhilrn ve Fxud da tobii moxsusi ndq-tosi adlanf.

Asanhqla gostermak olar ki, sonlu z=a nOqtesi aradan qaldrnlan

moxsusi ndqt€ ise onda venlmig funksiyarun bu nOqtayo g6re grxrlr sIfra

berabardh, Bunun iigirn z=a ndqtesinio kifiyot qoder kiglk atEfindayerle$on vo bu ntiqteni ohate edsn her halsr qarah C korturu goti[ok.Onda

resl@)=! IIO)drlEc(l)

olar. Diger terofileU lr-4= p gevrosi C -nin ehate etdiyi oblasb daxil olan

istenilen qevre olduqda

ll@dt= IlodtC/

(2)

ll9

olur.- - l"Lr" z=a n fesi aradan qaldrnlan mexsusi ndqte oldulundan ele

milalyen miisbar salit M edr,di var ki, bu tgiitr n(4t'nin istanilan qedar

kigik etrafindalIQl''M

olar. Onda rlll t@dt1<zavPlrl

oldutlndan (2) bsraberl iyins g6raI

lf\Vtl<zdlPclAxnncr bonbcnizlikds p kihyct qader kigik goturiile bildiyinden

!lovt =oC

olur. Belolikle, (l) boraborliyitr gdre rey'(a) = 0 ahmr'

Demali, biz gdsterdik ki, sonlu z = a n0qt si /(z) funksiyasrnrn aradan

qaldrrlan mexsusi n6qtesi olduqda funksiyamn bu noqtoys nezeran gxrlt*'if" U"oUrrair. fa.iit Uu hklif z = - n6qtesi aradan qaldnla bilen

mexsusi nciqa oHuqda dolnr olrnaya da bilat.Indi iz;b edilmig mixsusi ndqtelerin daha bagqa gekilda tasnifrtnt

verok.Farz edsk kr, z=a ndqtasi d(z) fiEksiya$ n zols edilmrq maxsusi

noqtesidir vo bu noqts strafinda onun aynhgt

e@)= t cL@-q. + e{2),=- I

geklindadlr, burdda q(z) z=a ndqtBsinin miieyyan strafinda analitik

funksiyadrr. (5) aynhqmda 02@) = ,!' c1Q - a)i srrasr istirak etmase z = a

noqtosi d(z) fir*siyasrrun aradan qatdrnlan mexsusi noqtasi' .

a' 12; -in

lAlsrndrki n"dorin sayr sonlu olduqda z=a noqtesi d(z)-in polyusu ve

"*; e2p1-u faaasinaeki hodler sayl soru;uz olduqda z=a noqtssi

nemin trnt<siyann muhm ve )a-xud da tabii mexsusi ndr{te'l udF""*T;I';(r) - (1) seklinda gostarili$inden istifrda ederak gosterek

ti, rroU edi'tmil mexs'usi noqteyo nozaron grxrq t-l emsahna barabordir'

ysniresfl'o\ = c-1

(3)

(4)

(s)

INolur.

Do!rudan da z=a ndqtasi /(z) furksiyasrrrn izole edilm\ maxsusindqtasidirss, onda [mumiyyetle

/@)=!cne-a)n + p(z) (6)n=_l

olar.Farz edsk ki, y,z=a ndqt sini ohate edon ve bu n6qtonin kigik

oFafrnda yerlegan qapal konturdur. (6) miloasibetinin her tarafini 7 iirzrainteqrallayaq:

! fG)dz = t cnlqz - of az + lepyz (Z)7n=_tt/

P(z) analitik firnksiya oldulundan lP(zYz=o olar. Umumiliyi po::nradan/

/ - gevre g6tiironrk z - a = p"to qpbul etsek, onda

112 - af az=ip,+lf eQl+t)lode (8)

olar. Burada z=-l olduqda ! e =z* ve r*-l olduqda iso7z-a

! 1z - a1' dz = i P"tl "lt!)" = oY L

(n +l)i.lo

olur.

Demsli, (n = -ll) olduqda !(z -a)"dz =o olur va belelikle de, (7)

miinasibetita asasan 7

!!fQt*="-'tBfva yaxud da

c-r=,esft{=![ltz)azzEl

beraberliyi almr.

t2t

S29. MEROMORT' FT]NKSiYALAR

Bilrtiiur miirsavido aralitik olan funksiyalar tam firnksiyalar adlaar,Birqiymatli kompleks deyiqenli ele firnksiyalar gostermek olar ki,

onlann her biri rigfln sonsuz sayda mexusi nOqtolor olsun.Birqiymatli kompleks daygeoli elo funksiyalar vardr ki, onlann zola

edilmit msxsusi ndqtelerinin sayr sonsuz olrnasma baxnayaraq bunoqtrlerin mustovlnin sonlu hissasindo limit tr6qt leri yoxdur.

Mrlstavinin islrniloD sonlu hissesindo mexsusi ntqlalori yalnlzpolyuslardan ibarst olan birqiymatli /12) firnksiyasrna meromorf funksiya

deyilir (Burada /(z) -in moxsusi nriqtslarinden ferqli ist nilen ndqtedr

analitik olmasr ferz olunur). Bu torifdon aydmdr ki, miistevurin istenilonsonlu hissesinde meromorf frmlsiyanrn polyuslannm say sonlu olar. Oks

halda, hemh polyuslaon miistovinrn sealu hrisse5inda limit ndqtosi ols4 bu

n0gta /(z) -in polyuslanndan ferqli mexsusi niiqtesi olardr, bu ise /iz;-inmeromorf olmasrna ziddir.

lndi ela meromorf p(u) fi&ksi),alanla bar@q ki, onlann biitinmrlstsvida polyuslarrnn say sonlu olsun. Bu hdda z=- ndqtesmin ela

etrafm tapmaq olar ki, bu #af& 9(e) funksiy2srnrn heg br sonlu mexsusi

ndqtsi olmasur. Onda bu etraf<la hsmin funksiya iigtin yegane maxsusi

ndqa olan z = co ndqtesi ya aradan qaklmla bilen, ya polyrs va yaxud tebiimoxsusi ndqte olar.

Farz edok lt, ze Q=t,n) ndqtesi p(z) funksiyasrrun uygun olaraq

tertibi ap (t=t,z) olan polyusudu. p(z) fiDksiyasm z1 n6qtssinin

strafinda Loran srasm:r a)'lraq:

ak 'tl)ra")= LL,i. af)6-,1ti (l)

J =1(z - zh)r J-0 'atAf)

Buradan aydrndrr ki, qpQ) = i ---J' - firnksiyasurn geni$lonmi$J-l (z - zk)r

kompleks miistovido yegans maxsusi n(htesi, tartibi a2 olafr' zp

pollrsudu. 7 = co n<iqtssi ise bu ftnksiyanm srfrtdr'_yp(z)= 9Q) - 9L@) le isarc edek Aydrndr ki, z=21 n'0qtosi bu

funksiyanrn diizgun noztlsi, zr,z2,4-.,2k-r n6qtalerinin hor biri ise

hamin funksiya figun polyus olar' Ona gcire dom

F(z) = o{z) - ZprQ)k--l

(2)

tnfunksiyasuun btiuin miistovido mexsusi noqtosi olmaz, ysni F(z) tam

funksiya olar.lim pt (z) = c oldulundan (2) mirnasibatindan

tlrlF(z) - q(41=o (3)z)@

almr. Bu mtirasibot gosterir h, z = @ noqtesi de F(z) 1a pQ) fimksiyalaniigun eyni xarakterli ndqtadir, lotri z=o n<iqtasi etrafnda har ikifunksiyaon Loran srasrna aynhglannrn ba$ hissssi eynidir. BumiiLhakimaler gtisterir ki. meromorf p(z) firnksi5asrnrn biiUin mlist vide

potyuslannrn say sonlu sayda ola$a, onda bele funksiya tam F(z)

funksiya ile rasional !gp(z) firnksiyasnm comim beraber olur:lc=l

frz)=F()+ !.qQ) (4)

Burada iki hala ba<aq.

Birinci halda ferz edak ki, z=-, piz; firnksiyasrnrn diizgiin

ndqtesidrr. Bu halda (4) miinasibetins g6ra z=co lam F(z) firnksiyasmm

da diizgtin noqtosidir. Onda Liuvill teoremine g0re F(z)=c ol^r. Bu halda

(4) miinasibati

ee)=c + !.q@) (5)k_l

qeklinde yazlar.lkinci halda z = o ndqtesi p(z) firnksiyasr iigun p -ci tertibdsn polyus

oldulunu frrz edek vo hamin firnksiyanrn bu n@e stratrndah ayr $mmp

bas hissosini a\z) = iypzr ils igars edek.

't =1

Onda z=- n@:si F1(z)=e(z)-a(z)- 9,e*@ tam funksiyasr tigiiurf,=l

diizgun Ddqte olar- Ona g6rs da \Q) = yn

PneQ)= iypzt + |q*Q) (6)

L=0 k=lolur. Burada tedqiq ohman iki hal g6starir ki, tam F(z) firnlsiyasr yasabitdir ve yamd da polinomdu.

9(z) frrnlsiyasmm (5) qeklinde gostariliginda tdqiq etdiyimiz iisulgostorir ki, homin ifsul @(z) meromorf firnksiyasmrn pol]Tslarmm sayr

IB

sonsuz olan bal iigiin yararur. Doprudan da bu halrn tadqiqrnda

evozina tabii olaraq sonsuz t{or (z) srrasl almr. Bu sranm yrfrlmasrL=t

haqqnda ise he9 bir miilahiza yuntrmek olmaz. Bu getinhk Mrttaq-Lefflertorsfinden asan bir yolla aradan qaldmlmr$u. Mittaq-Lefflerin bu sahade

ireli yiiriitdiiyu fikir ondan ibaretdir ki, o, har bir 9p1z; tipli rasional

fird<sryaya uylun PL(z) polinomu qosmaqla ;%(z) srasl ovozine,t=r

Z[%(z) + Pr@)l srra$ alm$ ve a]oflnq sffi.oln istonilm lzl < R dairasindet=tmiiLtrtozem yBlknasu gostermisdir.

Sonra verilmip meromorf p(e) firnlsiyasrm uy$rn tam funksiya va

EI (z) + PLQ)I sra$nul G.mi kimi gostormi$dr[=l

S3O. TAM TUNKSIYALAR IIAQQINDA VEYER$TRASSTEOREMi

Molumdur ki, her bir z deraeli P,r(r) polinomunu

P^()=c fip - or) (l)k=t

$eklindo gffiermrk olar, burada c verilrnig polioomdan aslr sabit sdoddir.P,(r) polircmunun sfulan (1) aynl$ndao asanhqla gdriiniiLr. Sftlanmsay soru;uz olan tam furksiyorn <iz srfi an vasitssi ilc vermek meselesini

birinci defe olaraq Eyler sinz funksryasr iigiin holl etmigdh Sonralar Kogi

beie aynLglara daxil olan (z-al) vuruguD4 mueyyetr ustl[ frtoksi]znnhasil gsklindo daxil olnrasrnr gostermigdir.

Lakin sonralar Veyergtrass srfirlanmn sayt sonsuz olan sanilon tam

funlsiya iiqih (1) diisnuunu iirmurnilogdirmiSdir. Aydmdr H, sO)

polinum vr ya tarn funlciya iso onda G(4=ecQ\ funksiyast da tam

fiuksiya olar v3 miistevinin heg bir nifqtasinda slfra g€wiknaz. Tercine

c(z) srfrr olmayan tam funksiya isa oada o, G(4 = es (z) $oklmtla olar'

Dogrudan da bu halda

ZwQ)

124

^.. c,tz) e)<4\z ) = G(4funksiyasr tam firnksiya olar. (2) baraberliyinin her iki terefini zi4zn z4qsdsr inteqrallasaq

rs 99) = iq1,y, = r1,1- s1,01- G(zo) )o

olar, Burada g(z) da tam funksiyadu Axnncr berabarlikden

c7)=et'G, (3)

alrnrr, burada s'72)= g(z)- g(zs)+ lgc(zo). Ferz edak ki, a, (i=[z), c1z;

tam funksiJasrnrn srfulandr (takar olunan srfirlar mtixtalif indekslarla

nomrolenmigdir)Itm T(z) =f1a11

z-+Ok

qobul etmeklo hokm edirik ki, rp1= -S(4 funkiyasr heg bir srfrr

E-{'-'r)olma,van tam fiu*siyadr' onda gihtordiyim tz kimi r 91 = le(z) geklindo

olar. Belalikla

G@)=ecG) ffG -or)h=r

olar. Demali, a, (i =ts1), G(z) tam funksiyasmm srfirlan ise onda hemin

funksiya (4) $eklindo gitstorile bilir, burada s(z) tam fiEksiyadr'

Indi forz edok k\ G(z) + corur olan tam fimksilasmrn sfularmrn sayr

sonsrzdur. Yeru qobul edak h, a, (t =fi) tam C(z) funlaiyaslrrn

srfrlandr. Aydrndr ki mtstovinil sonlu hissesinda hsmin srfrlann limit

nOqosi ola bilmoz (eks hakla G(z) = 0 olardr).

Ona gore dc istanilen R iigirn lz]<R dairesinde G(z; firnlsiyasrnrn

srfulanon sayt sonludur. G(z) firnksiyasrnu slirlamrabo2,a3r..,onr. (5)

geklinde ele duzek ki, istenilon z ugiin hrl<k,+ll olsun. Bundan elave

z=o ndzttsinde G(o)=0 olarsa" onda z = 0noqtesi (5) ardrcrlllErna daxil

olmasm.(5) ardrcrlhpmn xassesine g&e

,t3xl"l=-

(4)

125

olar. Olave qabul edak ki, c(z)-in takrar sfulan varsa, hamin slfirlar

miirolif indekslerle ndmralonmskls (5) ardrolhprna daxildir.

Owelcc ele tam Go (z) fitnksiyasr quraq ki, hemin firnksiyann stfulan

yalmz (5) ardrcrlh$na daxil olan nOqtaler olsun. / \

v <laracsli P,(z) polinomu gotiirarsk ",.,<r>

=lr - 1)"P"t't

funksiyasmr diizeldek- Aydrndrr ki, bu firnksiya yalnu z=a, n<iqtasindo

srfra gewilir. o4y(r) firksiyasr aga$dah kimi yaala biler

t(._L\*c"P1on,rQ)= s \ an) (6)

pv(z) polinomu Pr(zl=1+ 22;+...* ",, geklinds qebul edarsk' an 2a1 v o",

,l,-fl firnksiyasrm z=0 n(htesi otrafirda quwot sraslDa alrsaq,\ "")

onda (6) funksiyast, .v+1 , ,v+2l l r\ I I z I

--l-l --l -lon.,O)= e "+Llo") v+2la') Q)

kimi yazJar. Gdsterok ki, z den as r olaraq v odsdini ele segmok olar ki,

fio,,,(') (8)n=l

sonsuz haili istanilon lz < R dairasi daxilind. miinttzom yrlrlar. Bunun

[giim x-i irciyari qeyd edcrak mlisbst ela a adsdr segek ki, a <1 olsun.

Fsrz edak ki, ok (i =ri) odadbri iignn 1aS<L g =rn1 va ya a larl< R

olur. Onda istamlen n > g odedi iigiin a la,l> R olur' Demali, lzls t ve

r > g olarsan onda l7l< ap,l olar.

Yuxanda qeyd adiyimiz miilahizslare gdrs (t) sonsuz hasi[

rre)= f'tt-!-;sP'(')n=l an

z,rz)= ff 0-f-\eP"at- n=q+l An

(e)

va

(10)

$oklinde olar ifidslerin hasilioblastlarda mfrntezam yr$lanhasilhin hemin oblastlardakifayotdir. Bu meqsedle

I

kimi olar. (8) sonsuz hasilinin gdsterilenohnasmr gdstermek iigiin (I0) sonsuz

mUltezem yr$lan olmasm g6st6rmek

r | .],"',[,*"*rl. l_rrtl.rl,_....l

. I I e+rla,,l I v+zla,l v+3la,l iuh=lunl<e ' /-l

olar. lzl < R olduqda lzl c a la,l oldu[undant2

r*'-1ll , l*rl l4 +...<t+a+a2 +... = J-.v+2lo6l v+3larl l-a

Ona 96re de, ,v+lI l2l I

' ,+tlo- l bd -!n12 -leger y istanilen miisbet boqiqi ed.ddirse, asantqla yoxlamaq olar ki,

eY -l < yet

odonilor. , = +lai-' J- musbor vo hoqiqi- v+llarl l-q

, ,v+l,v+l t l'l I

,l . -l lAl . -r ."+rla"l t-d' v+ltahl l-d.

beraborsizliyi

oldulundan

Buradan iss

t ( , \'*t t ( ,\'*2,^(")="-'n\"")

-'-l;l -l

ile igars edsk. Melumdur ki, (10) sonsuz hasrli

lllu,(z)ln=q+l

srrasr ile e1,ni zamanda topla . Buna 9610 d.lzl < R dairasinde mtintezcm yr! rr.

z istenilsn eded olduqda

"- .ll.

"l'l -tI

ddenilir. Ona gore da (l l)den

(t l)

(12)

gO'starek ki, (12) srasr

tnI

. I z(+l el-ot,l - <

- -l" v+l arl l-a

elo y segmek olar ki, umumi n"aai[l'-' olan srra lzl<x dairssindel",l

mii,ntezem toplansm. Demoli, (12) srrasmo miiotezom toplarunasl onugOsterir ki, (I0)-sorsuz hasili miirtazam yr$lr.

831. MEROMORF FUNKSIYALARIN FOLYUSLARINA GOROAYRILI$I OqUN KO$I OSULU

Ferz edek ki polyulan(l)abo2,,..anr..

olan rlzy meromorf firnlsiyasl verilir. Tutaq ki, (1) ardrcrlhfirna daxil olan

ndqalar larl<lar*rl (r=t,-) genroi iideyr vo a=o bu ardrcrlhs daxil

deyildir. Onda lim la,l="o olur. Bu paraqnfila meromorf .

F1z;n-rq

funksiyasru vorilmi; polyuslanm gOra smrya aymtq.F(z) funksiyasuln "r (i=r,-) polyusuna nezaren bag hissssini

G,l I ilo r$are edsk. Mittaq-Letrler teoremine gdre ele Fl(r)'\2-ai)

funksiyasr qunnaq olar kr, bu ftnksiyarun mexsusi n6qteleri yalnu (1)

ardrcrllfrna daxil olan n6qtelsr olsun va a, (i=l,o) nttqtosine uy$mlt\

aynhtrn baS hisscsi ql --l- | olsuo. Derneli, rizl-4121 ftrqine berabor\z'41)

tarn o1(z) fimlsiyasl qura bilsclq onda F(z)=fi(z)+ol(z) lazm olan

aynhgr verer, indi meromorf fiuksiyanrn polyuslanna gdro a)T tll$r iigunkoginin tektif etdiyi iisulu verek.

Koordinat bsflarBrcml obata edon els cr(z = G) konturlan gdrttiLrek

ki, bu konuular (l) ardrcrlh&na daxil olan nOqtalorin heg birinden

kegmesin. Derneli, hsr bir ar pol]'usu iiiun elo z1a1; ndmresi tapmaq olar

ki, n2n(ap) olan biiuin n-lar ugiin a1,, Cn'nim tagkil etdiyi biitiiur o1

oblastlanna daxl olsun. C,-nin daxilindo olan ve polyuslan beraber

olmayan itiyari z nOqtasi rigun

l2t

r_t"t= t I F(t)dt (2)"' 2ni t-zideqraLfl gotiirrk-Owelcc

gOsterek ki, TnQ) funksiyasr F(/ firnksiyasr ile bu

fiurksiyarun c, daxilinde olan polyuslan-oa g6re grxqlannrn camine

beraberd.ir. Ferz edok ki, ap, F(z) funksiyasrn'n tortibi z olan polyusudur'

Onda F(z) -in bu ndqtr etrafindak aynlqtat e!!l

F<2)= Z, -: - + el\z)v=l(z - ak)'

olar, burada 6t(z) uygun dii'zgiin hissedir. t-nm c,etssk

]-=- I =-l -',-okrL4t-i- - 1z-"011t-oo1 z-ot (z -at)2 (r - at)3

(3)

tlme deyigdiyini fsrz

1 -rot -ok

(4)

beraberliyi a,{sn giltiiriilmtig va bu daire daxilhde olan sanilsn a1-ya

berabar olamayan z n6qtesi iiqiin dopru olar'

Oger (3) ve (4) baraborliklsrini tarof-tarefo l'uniaq ve

emsahm teyin etsalg onda bu emsal

_At-Az__Anz-ot (z-ot)2 (" . ot)'

olar. Doneli, {() funksiyasrnrn ar noqtesino nazoron grxrEl

- r ,_g n!|t (s)Gk(-r-"k)=-it(z_.ky

olar. Eloce de 44 6.15;ya56r1 ,-z ndqtoshe gdro glxrgr nozero

ahnarsa, cnda gxrqlar nazerilyasinin esas teoremios gors

,r,r-- 2o(-J-)*r,1,1 (6)c' \z- at )

daxlinda ar noqtelerina g6re gxrqlann csmini gdstarir.

-l 616,5iyaeg

llzzPzP+l

- = -+- +....+-+-+...

t-z t 12 tP+L tp+z

olar. ! cemr C,cn

kimi va ya

ilo ia$rs edck.

129

r -! z" -(1\e+t. t

r-z- fn y*r '\1 ) t-zkimi gdstormsk olar.

,<a=:ol 'lt]-tF\')d' (8)C, \z-ok) ta6n t-z

ifrdcsinde (7) beraberliyrnin sa! terafini yazmq onda

F(")= LG(_t_). * 1"4..l.,-J'-' *.ii,,* !.y (e)

F (t\l g, ll) = -f trnxsiyasrnrn ,=o noqteshe nezeron gurE.r

r0_1\o)(v-Dl

olar. f0,61 fuoksipsu n c, daxilinda olan a* moxsusi ndqtesina nezarsn

grxErnl a['-t) ils iSare edok. Onda yuxarda gdsterdiyimiz miilahizelero

gdro

_t , r(r)ar _ r('{)(o) * E al,-tt (lo)2di, t" (v-l)! F,'olar. Bu hatda (10) haraborliyina g6re (9) haraborfil

r1,.y= ! t pe'tror. zlc,|,]-)- ,[o) *of),*..,o[d,r)-v:oYt c,L \z-ok) ^ I (ll)

,r , p(t)(,\Ptt *

zxi i^, - z\t )kimi yazdar.

indi gostarek ki, mtreyysn $ortlar daxilinda istanilen z+a1 n@esiiigiltr

,,9-dl"'(+)*'[o) *'f)"* *'p") (r2)

ifadasi sonirdur. Bunu gostermok [gtn

^ ,p+t , p1t,s dtI(-=- |

--" 2,ti i, tP tft - z\

(13)

(,,

130

c, konturu ilo z=o ndqtesi arasndah mesafe d, ve c, kon!,rrunun

uzunlu[u ,, olsun. C] (e=1,-) kontudanm ela segak ki, aqaltdalo gertler

cidanilsin; ele milsbet tam p edadi, sab,it miisbet Mt ve lz 2 adadleri olsun

ki,

rl l,-rF(,)|.* <Mt (k =t,a1

ttz1l!t--1. u ,

ldr I

berabersizlikleri <rdenilsin. Aydrndrr ki r noqtasi c,, konturu iizre

dayigdikde [>d, olar.

Farz edak k! z qeyd olurrnug ndqtodir.

n-i ele byiik segek ki, d > lzl olsun. ( 13) berabcrliyinden R, -i

qiymetlendirek

.-, lrlo'' ,lF(r) ld,lt*" ; l^It:!i:al) borabersizliYini nezera alsaq

w.B#*[#tolar. [-zl>lrl-lzl va lrl> a, oldu[undan l-zl>6,-lzl olar' d, >lzl

oldulundan ise 6,-Vlro olur, lt-zl>0,-lzl bsraborsizliyindon

-]- a =l ahnr. Ona gclrs de R, -ni Odoyen axnncr borabersrzlikdenV-zl dn -Fl

lzlP*t M rl,tD )? |

t .rt_ 216116, _lzf

almr. 2)-ni nezsra almq buradan,

E,I.Y;#olar. z qeyd olunmuq noqta ve liE- d,I =o oldugundan axflncl

borabersizlikdentim R,, = 0,..}0

ahnu. Ona gdre de (1l)den

F(z) = .ii"8.o'.

r3l

xal*L - -) * 4ot * "r;t'

* " *';'t' o)

almq.

$32. MEROMORF FUNKSiYANIN AYRILI$I

Farz edek kt, at= l(z) firnksiyasr merornorfdur' Giistarok ki, (z)

miist visinh isbnilen sonlu a n6qtosi strafinda

f(z)=(z - a)'fo +Cr(z - a) +Cr(z - a)2 +...1 (I)

geklinda gdstarilo bilar. Burada z stfir, manfi tam va yarud da miisbet tam

edsddir. Aydrndr ki, verilmil z = a ndqtesi o = /(z) funksiyasnm )a

requlyar n(htosi vo yaxud da polyusudur.

Owelce fez edsk ki, z = a ntqtasi 712; funksiyasrrun requlyar

n6qtesidir, onda bu n6qtenin ela ao strafi var ki, /(z) ftnksiyasl bu noqt

em.finda analitikdir. Ona gors da bu etzfda 712; -in aynhEr

f(z)=(, - OqbP + c{Dg - a1+C!) (, - o12 +..,1 Q)

goklinde olar, buada r,1 slfir vs ya:od da mfisbet tam edaddir.

indi z = a ndqtesinin /(z) funlsiyasr iigtn pol}trs oldulunu farz edek'

Bu halda /(z) fru:ksiyasrn-rn bu ndqte etra-findakr aynllSt

ft"l=i--!' -*|P,P-o1iFl(z - a)' ,=0

qsklinde olar. Buradan ise

1 1r'1 = 1, - "y- ^p[2t * glz t

@ - a1 + c \zt p - o12 + ...1 (3)

(2) ve (3)Soklinde 1'azla biler' Burada v =-m tmr manfi ededdir'

boraberliklorini birleqdirmekle telsb edilan (1) aynhgr almu'

132

s3:,. qrxrQLAR NAZARIYYASi

L Ferz edek ki, z = a nOqtesi /(z) fiuksiyasmrn izola edilmi$ maxsusi

noqtasidrr. Bu ndqteni oz daxilina alar: ela qapal f konurm g6tiirek ki, bukontur daxilinde /(z) funksiyasL z = a n6qtasi mtistesna olmaql4 analitikolsun.

Onda

!1fi">a"2frfkemiyyetrnc /(z) fur*siyasl n z = a ndqtesino nozarsn grxr[r deyilir ve

F(es/(o=*tl@dz (l)

ilo i,tara olunur. Kogi teoreminden aydrn&r ki, /(z) firaksiyasrnrn 2=anciqtesine nezeran gxlEl f konumnun geklinden as t deyildir.

loran srasr smsallanmn ifadasinden aydrndu ki, /(z) ftnksiyaslrxnz=a nriqbsino nezaran grxf,r onun homin n6qta etrafindah Loran

aynhgrmo msnfi indelsli birinci C_, omsalua barabardir:

F(eslk|)=*lI@dz=c-t.

Bura&n grnr ki, z=a n6qtssi /(z) fuoksiyasrnm aradan qaldmla

bilan maxsusi ndqtesidirss, onda hemin ndqtayo nezoron f(z)firnksiyasrnrn gur$ stfra boraberdir. /(z) ftnksiyasmn diizgii'n adqtoyenezemn da gxrlr stfra baraber olar.

/(z) funlaiyasmm <iz polyuslan vo izole edilmig rnaxsusi ndqtslsrinonazsran gxrqlan, iiLrnumiyyetle, srfra beraber deyildir. Polyuslara nezcrengrxlr hesablamaq Ugiin sado qayda g6starmak olar.

2. Farz edak ki, z = a ndqtasi /(z) fimlcilasmrn n-tortibli polyusudur.Onda bu noqte etrafinda f(z) firnksiyasuun Loran aynlgr

121= J-z- + + L *co +Clz - a) +...' (z - a\'

133

kimi olar. Bu berabarliyin her iki terefini (z-a)' funlsiyasma r,rrraq ve

almr borabarliyi z4 toafitn (,n -1) t rtib&n diferensiallayaq:

d::J!( 1:,it-) = ,- -t tn-t r ' t l

&,-t 1tc;+i,-tl<z-a)'ozc*tz-alr )'

Burada z -+ a goninde limite kegsok,

'' d'-l r.IP"L^-'K' - a^ /(z)l = (D' - l)rc-r

v0 ya

"= i-:y"#l'-o't<'lolar. Buradan z-tartibli polyusa nezarsn gxr[r hesablamaq iiglm

n"yt,l=Ah,rT,i;k,-"t' fl,tl tul

dtsturunu alarq.z=a nOqtasi /(21 firnksiyasmrn sads pollusu (z=1) olduqda (2)

diisErutrdanPtesl{p)= ttrnoll'-"''7"'7 (3)

mitnasibott ahrur.Ferz edek ki, /(z) funksiyasr z = a n(lqtosi etrafinda amlitik olan iki

d(z) ve vr@) fimksiyalarrnrn nisbsti geklinds gcharilir:

fp'1=9().' v@)Bundaa ba$qa, e<a)*o va z=a noqtosi rg1zl funksiyasrmn sada

srfrrdrr. Bu halda homin nOqto /(21 firoksiyasrnrn sade polyusu olar re bu

polyusa nozersn onun gxt$

I(es!@)=ffi (1)

dusun ile hesablaru.DoErudan d4 (2) dilstuura gOre

- q<z) ,. e{z) ,. dz) do)KeJtla)= tun

-= tun ---:-:--_- =

-.,-o' VG) ,-"YE) z '+a V/\z) - tl'/la) V/'@)

3. Qxrqlar nszariyyesini u,, 9o* '.rlru.io hihfe teoiq eae*aD,

grxqlar nozariyyssinil esas teoremi adlanan aga$dak teklifo asaslanmaqlazun gelir.

114

Teotem l. Qapah r konturu ile ehata olunmuq rabiteli o oblastuun

riaxilinde yerlaqea a; (k --1,2,...,h) n6qtaleri miistesra olmaqla" hamin aoblastrnda aaatitik olan /(z) fi[r]siyasrnrn I konturu frae inteqrah bfrttnizole edilmiq ak (k =1,2,...,n) moxsusi nOqtolorine nezeon firnksiyarun

glxrqlan cemi ile 2z'l -nin hasiline bcrahardir:

!J@)dz=2ri !Res!1as! (5)f k=l

lsbat Taremi isbat etsnek tgiim o oblasEnda yerlsgen, bir'biri ilekesigmayen ve a1, (k =1,2,...,n) n0qtelerini ehat eden qapah f1 konturlan

g6tiiLrek.

/(z) ftnlGiya$ miiLrokkeb r , ifu = 7 komuru ils ehatc olunmug o1k=l

oblastrnda analitik funksiya oldulundan goxrabit li oblastlar iigun Koqi

t€oremim goro

I fQ)dz = o

folar. Buradan

lf@dz = L lfiz>dzI t=tl&

berabediyi ahmr. Qrxlrn tarifine gore

I

=- I fQ\dz =Re{(a1)trt fLk

ve ya

I f Q)dz =2ri.Fresf (ap)fr

(6)

-/'/':+- \/ -\'", /. \-

rA / o\_/ a F

-lrfv,\ra-q \)< /

r35

oldulundan (6) mtiLnasibetindan talsb olrrnan (5) baratnrliy a.hnr.

4. Analitik /(z) fiuksiyasrn r n

ItoTPll =l'ktf(z)

loqariftirik t<iramesinin z = a noqtosino nezeron grxrlrna hamin firnksiyamna n6qt sine nezaran loqarifrrik grxrpr deyilir. Aydmdr ki, verikni$ /(z)furksiyasrrun mrxsusi ndqtolora ve stfidanna nezersn loqariftnikgrxlmdan danlgmaq olar.

Ferz edak h, v = I@) firnksiyasr qapah f konturu ii'zerinde analitik

ve srfra gevrilmeyan fimksiyadr. f konIrru daxilinde /(z) funlsiyasnm

sonlu sayda o1, {k =l),..,n) polyuslan va bj (i =1,2,..,n) slfirlan vardr'

ar polyusunun tertibini a1 ile, 6, sltlmn tortibini ise 01 lla iqara edc,k.

Onda verilmig /(z) firnksilasrnm r koffuru ile ahata olunmuS a

oblastmdah polyuslannm saj'rP = at +a2 +,..+dn

N = h+ p2+...+ p,nvo srfulanmn sayt

olar.z=4[ noqtosi /(z) frEksiyasmrn ap -tertibli pol;usu oldu[undan

hamin n@anin yaxrn otrafinda /(z) funksiyasu

fl4=-&9-(z - aL)aL

kimi g6stermek olar. Buradakr 91(z) funksiyasr hsmin etrafda analitik va

91@1) + o partini ddeyan fuoksiyadu. Onda

;1rr= l'@) =- ot *dQ)"" ' ftz\ z-at lz)

olar. fs ile 4r ntjqtesini 62 daxiline alan qapah kiglk konutru i$ara etsck,

! t f-\?*=-"r =Rey'o(ar)tafr!\z)(6')

alanq.z=6j n6qtesi /(z) funksiyasrnm f 1 tcmbli srfrr olduqda ise homin

funksiyan Dl ndqtosinin ya n otrafinda

Ie)=O_bj)P) tt,j@)

136

kimi g6stermek olar. Bu halda '/j (z) funksiyasr hemin etrafda analitik va

v j @ j) * 0 Eartini ddeyon firnksiyadr. Onda

6, ,, = | Gl = 0i *w'i \z)

""' . Itz) z_bj vrje)vo ,/ noqtesini 6z daxilino alan qapah kigik 7, konturu iila"e

I *a,=p, =tuy',(r,)tr J lz)

(7)

olar.Dediklorimizdon aydrndr ki, /(z) firksiyasmn ap (k =1,2,.,,n)

polyuslan w b' (i =t,2,...,n) sfirlan 49 r.qurit lt toremsnin sadaJ@)

polyrslan&r. Bu polyuslann hamrsr I konhuu daxilinds yerlegdiyindongrxqlar nezeriyyssinin esas teoremr.ns va (6')-(7) baraberliklsrina gdre

! t*! * = La",to@i * imgo<t,t =ztdif@ f=t r=r

= fi + P2+ ...+ P, -st-q2 -...-an = N - Pv5 ya

| ,[',@),_!_;z=N_p (8)tfi t Ilz)

Belalikls, loqarifinik gxrq haqqnda a$a$Iak teoremi (yuxandas6ylediyimiz gsrtlar daxiLrnde) isbat eulig oluruq.

Teorem 2 /(z) fimksilesmm qqpal f konturuna nszeren loqaritnikgrxlr hemin funlsiyarun bu kontur daxilinde yerlegen srfirlanmn sayr ilopolyuslar sayrun ferqinc berabordir.

Xiisusi hald4 I konturu daxilhd. /(z) funksiyasr her yerda analitikolars4 P=0 olar vs burn gdro de fimlsiyanrn qapah f konturu daxilindeyerlagan bthin srfrlannm say'r

p= t 1!'Qt*2il i It')

diisfirru ila hesablanar.5. Isba etdiymiz 2+i tmremi baqa geknds de soylamek

maqsedle (8) beobarliyinin sol tanfindeki urteqraln handesiizah edek. Bu inteqralt

)- t f1? a, =I ianlrrrrl + L I d arp tr zt21d'r f (z) 2d i 2, i

olar. Burn nas0r

(e)

131

kimi yaznaq olar. Burada Ln ve rg ila uyEun goxqiymatli fuDksiyalafln rkonuru iizerinde kasilmeyon budaqlan iSare olunmugdur.

(9) beraberliyinin saS anfindski birinci inteqral srfi'a beraberdir:

idby(z) = hl,/(,)lr =0.r

ikinci inteqral iss z nOqtasi r konturu iizro tam dtw etdtkde w = lQ)nciqtasinin W =o etrafrna nege deb dolandr$m (d<iw etdryim), yeni

a, = 11r1-n arqumentinin tarn dayigmasini gostarir. Bu dayqmani

Lr tE f O) ile igaro etsek (8) ve (9) boraborliklerinden

w-r=|4a1a>)tffiamii na <ibatini alanq.

Belsliklo, arqument prinsipi adlanan aglIdakr taklifi isbat etmb

oluruq:Teorem 3. /(z) funksilasrnrn qapal f kodunmun daxilmde yerlegsn

srfulannrn sayr ila polyuslan saprn frrqi z ndqosi I konturu iiLze tam

d6vr etdrkdo W = !(z)-n f =O otrafina etdiyi tam ddvrler saylmn 2t -ye

nisbotine bsrabardir.6. Qxqlar nezeriyyesi ,nrlizin br 9ox messlslorinrn holliile genig

tstbiq olunur. Bu mesololorden bin, sonlu vo ya sorlslrz serhadli m0eyyon

iuteqra[arin hesablanmasrdr.

Qrxrqlar nezeriyyasinin m[3yyon inteqralafln hesablanmasrna

tstbiqini iiunumi gekilde bele tssvir etmak olar. Tutaq ki, sonlu vs ya

sonsrz [a,r] pargasrnda teyin olunmus hoqiqi dsyi5enli 7111 funksipsrrunb

l/@eo

int€qralm hesablamaq laamdr. Bu zaman bu inteqrah miieyyan gevrrme

vasitasils ya qapah kontur tiao gottrulmu$ mteqrala gevinrleL ya dz la,bl

pargaslnl mfioyyrn 11 eyrisi rrasitssile tamamlayardq qapah kontur ahdar'

/(r) fitDksifast ise bu konturla ahata olunrnug a oblastrna analitik davam

etdirilir. IIar iki bald4 alrnan qapah f kootru ilro goulriilmu;

!fi,)e (ll)r

inteqralma grxrqlar haqqrnda esas teorem t tbiq olunur. (l l) inteqrah /(z)-in o oblasondakr biitin ap polyuslan izra gxrqlan vasitasilo ifada

olunur:

(t0)

138

I I@W = 2a.ZRe{(at) .

rBirinci halda, bu berabarlikdan l71ry* i*.q*I, taprlr. lkinci halda

isa, axrrmcr borabarliyrb

J lQfu+ I f @)dz = 2xi.lResf (ae)afL

kimi yazaraq, ,/(z)dz inteqralru mtxalif 0sullarla hesabladrqdan sonraq

lsls$ slunen inteqrah tapdar.'7. Indi farz edok ki,

tIG)e

inteqrahm h"sablamaq-larr.du Qebul €dak ki, z=<o noqtosi /(z)funksiyasmrn en azr ikiortibli sftrdr. Onda

rcl=9.2*c-t:::t +. (v>21 (12)z, 2v+l

olar. Olave olaraq fsrz edek ki, /(z) fiuksiyasr hsqiqi ox iizsrindeanalitikdir vo yuxan yanmrriirstevida onur ancrrq sonlu sayda ap

(k =t2,...,n) polyuslan vardu, qalan ndqt lerda ise o anelitik fiDlciyadr.Bu halda morkszi z =0 ndqtasindc olan va )u:ran yanmmiistevida yertegsnR radiuslu els op yanmdairosi g6tiirok l<t, ap (k =1,2,...,n) ndqtolerininhamrsr bu yanmdare daxilinda yerlepsin.

-Ropox yanmdarrosinin serhodi r=[-R,R]+rR olsun. Onda grxqlarnazeriyyesinin esas teoremine g0ro

RNlIGb+ | I@)dz = 21d. ltusf (ap) (13)

-R IR *=lolar. Gostorek ki, dediyimiz gertler daxilinda

t19

nn lfQ)dz =0R-+ory

olur. DoErudan da, ( I2) miinasibotini

(14)

(15)

kimi lnzsaq vs R-in kiByst qedar boytk qiymetlerinde

lc-t,*rl * C-t,Ja

*..,1 . ,iR Rz I

oldulunu nazara alsaq, rR uarbdo

lr(r\l<9-'l*lR,

berabonizliyini alanq. Buadan

ll,r{.nf *-,e;i-E'vo z>2 oldufundan

tin lfQ\dz=oR-+o fp

olar. Belelikle, (14) beraberliyrns ssasen ,R -+@ gortinde (13)-dan

I f O)e = 2n . ZReEf (ok)

mrlna<iboti atnrr.t. Yuxanda apardr[rmz milfiakimsdon aydrndr ki, (15) beraberliyinin

dolnr olmasr iigiin muhiiun prtlarden biri (14) boraberliyininodonilmesidir. (14) bamberliyinia <idenilmesini isbat edarken z =on6qtasinin /(z) fioksiyasrnrn otr az ikitertibli srfrt olmasrndan istifado

etdik. Bu qert odenilmadikda, yani z =o nOqtosi /(z) funksiyasrnrn en azr

ikitortibli sfrr olmadrqda, Cpx zaman Jordan lemmasr adlanan a5afrdakr

t klifibn istifrdo ettrlek lazrm gsl[.Ferz edak ki, giz; fimksiyasr haqiqi ox iizerinde analitih yuen

yEnmmiistAvide ancaq sonlu *ydz 4 G=12,..,n) polyuslan olub, qalan

nt4telerde iso anditik olar firnlsiyadu. Bu funksiya ugun lim s1u)=o

garti odeuilirse va /(z) ftnksiyasl

J@) = e'E d")

tq

$eklindedirse, onda markezi z=O ndqtsshde olan ve )T rxanyanmmtstevide yerlogen R radiuslu fi yanmgevnasi ilro

ttn Jf@)dz =oa_ofR

olur.Burada Jordan lemmasrnln isbafi v€nlnir.Bu halda, yeoo ds /(z) firnksiyasl ifiin (13) berabsrliyini lazmq:

RnI /@)rlx+ I f @)dz =za' lRcsf (ay).-R rR t=l

,t-+o gortrnds limio kegssk vs Jordan lemmaslndan istifade etsak,

bir daha yuxandak (15) diisturunu atnq:@nIIGNx=2a'|tu$@t).

l4l

II BOLMO

s 1. KoMPLEKS ODODLOR VO OM-AR UZORiNDOOMOLLOR

z=x+iy kompleks adadin c*i iakli adlontr. Bumda x va y

ixfiyan haEqi adadlar, i'isa xalvli vahid adlantr. x vay tt7'Sun olaraq

haqiql va xayali hissalar dlamr va x=Rez, y= imz kimi iSara

olumtrlar.z=t-iy kompleks adadi z=x+t! kompleks adadinin qoSnast

adlanr.

xt=xz rd yr=y" olduqda zt=4+iyt va z2=x2+iy, komplela

adadlari barabar hesab olunur.

z = x + ry komplel<s addi xoY rni)stavisinde t<oorditutlan (t,v\

olanu(x,y) noqtasi ile vo ya bailangw o(o,o)

ndqt esinda olan vehorla gdstari li r.

OM veHorunun uzunlugu z tamPbk

adin mdulu adlarur va

p=lzl=',Fi$akl l.

kimi i;ard olunur. OM vektorunun xonlrrun m sbet istiqamoti lla amala

gatirdiyi p buufit z konpleks ad inin arqumenti ad]antr va 9=Argz

kimi iSaru olunut. z komplelcs ad inin arqumenti goxqiynatlidir. Belaki,

g = ArgT I = Argz = aq.z + Zkr (k =O,xl,tZ,. .)

Burafu aqz, Argz 'in bag qiyn2ti olub, -E<atgz<t $arti ila

tayin olunw. Yani

t44

I I (a- ib)2 (a+ ib12

a2 - zabi -b2 + a2 +2.abi - b2

- - 1]azy=r[,-u'\b'*o'Y'

S (7). ' , *J . =1 (r,y,n,v-haqiqi adadlerdir) tenliyinda rvay-x+,y u+Di, r va v ile ifada edin.

- u2 +v2 -u vcavab: x=

O_;y;7,t =-*f;T

6 (E) i = z2 gertini 0doym bUt0n kompleks edodlari tapm.

cavab: z1=0,22=123='L-,*,r, =-:-,+7, z=-sn1-irxrsl kompleks adsdinin modulunu ve arqumentinitE

tapm.

Eatli .r=-sinl<0, ,=-*?ro oldulundaq arqumentin ba$

qiymeti (1) dusnnuna g0ra ap$dato qayda ile tap ar:

ts z = -. * *", r{rr i) = - " . -" tlr{; - +)1=

( 3z.\ 37t 5n=-19 + uct\tg

s )=-1s+-=--.

ofia erp=-5!+2kr,(k = o,rl,rz...) olar. Modulu ise"8

kl= srn'-+cos--=l8EE (9). Kompleks odadlarin modulunu vo arqumentin

tapm. la) z=4+3t Cavab: P=5,q= q's1g:

b) z=-2+zJli.EeUi Tenfa gOrc

p = lzl=l- 2 + 2.1-34= J c + D = q'

bag qiym.stini

145

r---2<o, y=zJ1>o oldu$undan Argz=,r + scttL dtisurundao istifado

2J, - r 2ttetsok, afanq: Afgz = t + qrctg

- r r - q'clg i 3 = n - - = - .

vl z=J -i;,ltq) z=-co6-+ism-;

d) z =4 -3i;

Cavab: p=5J1, e=-t * *.8+.

C,awab: e=t, 9=!.Cavab: p=5, g=--"ql

e) z=cosa-isina (r.".I) Cavab: p=1, e=ur-q.9, z = -L - i Ji kompleks edadini triqonometrik gskilde g<isteria.

1129i 2= p(crls?+ isin 9) ihdssine kompleks adcdin triqonometrik

gskli deyilir. Bwada p komplels sdodin modulu, 9 ise arqumentin ba;qiymetidir. Buna gdre ewelcs kompleks odedin modulunu tapaq:

ld=1L,F+.frF = 2, x= -1 <0, y = -Ji <ooldufiundaa

e=_r +*cBJ, =-"-i=_+aLrnar. Beloliklo, verilen kompleks sdedin triqonometrik gokli

-, -,f =,[-,(-+).,,-(- ?)]kimi olar.

ixiyari kompleks edsdi , = F't b=14, q=ers\ iistlii gekilde

qa.anaq olar.10 (10). ASattdah komplela adadlari triqonometrik Sakilda gdstain:tl z =-2;b) z=2i.

Cavab: 2(cos z + tsinz).

H"ltL bl=l2il= 2, x=0, y =2>o oldu$undan e=;. OnM kompleks

ededin triqonometrik 5ekilde gihbrilmesi diisturundan istifade edek:

z =izKcqe+ isnq) oldupndan 2i =z@sl+ isir!).

vl z=-"D+iJ1; Cavab: ,[*"f ',r.?).(-z\

q) z =[-sina +icosa, |\0.".i.J

146

Halll x =l - sno. >0, /=cosa>0,

vt= 0 - sina)2 * "or2

o = Jl - 2"io q + sin2 <, * oos2 q = .1, -2ri" = {z,lt-"a",

q?"-'til!drw= arc rsffi = *as;4 _;fu *l o = o,"

t*ry1 ,sl*81, , o=arcts*-a=ardffi=i*i,,-tS 2 tgi-rg,

--l ,r d. r q.1z = J2 Jl - sin4

Lcos(, +

t) +rsln(

4 + 7l .

61 ,=l+cosa+isina |,0.r.!l; cavab: t(cosa +isioa).' l+cosa -isma \ 2 )11 Q0). Komplelcr dlari ts a SeHlda g1starin:

q4q)s- + sln-11t8-;---cos- - srn-22

el z=-Z;

il z=i;z) z=1.Halll x=0, y=-l<o. Bu halda o=-i olu.

lzl= l- il = t oldulundan - i sdedinin 0stlt Sskili

Cavabi 2e" .

1-Cavab: l.e 2.

2r.Cavab: z"- t'.

- larl

Cavab: J3+e -5

nYe argz = --

I

z = rete =lzleig = e-'1

kimi olar.

i) z=-r-lr5;

l) z =5+3i;

=1, r=sina>O oldu[undan

-cosd . ,t -. ,a . ,farEz = orctg -- = -octg(ctqd) = -nct8lt8(1- d)l= -(1-o) = d - i

ta-LlBelelikle, z=l4e'42 =e 2 kimi lazanq.

h) z=sina-i,,sa (;.".")

Halli lzl- lsm2 a + 1-cosa)2

117

Deyak ki, 2., va z, l<ompleks adadleri triqonometrik Sahlda verilmiSdir:

zr= A(nsc1 +isinqt), zz= pb(@sgz + isinp2). Onda onlarn lasiliz I z 2 = 4 p2lcm(q + 9r\ + i sn(q + 9r)l

dfisturu ila taptlar. Batqa sdzla komplela ad larin hasilinin moduluonlann modullart hasilina, arqutnenti isd arqumen ainin cemina

barabardir. Yani,

Vr"rl=Vrlrrl,, Arg(zpr)= ,4rg7, a tr n,4 va 22 kampleb adadlarinin nisbati z, +o olduqda

zt =4 [cos(q -pr)+rsin(q -q)Jzt Pz

{aklinda, va ya

lztl=!,1,. *r,' = Argzl _ Argz2lzzl lzzl 22

bimi olur. z = p(asq+ isiag) konplela lnin n-ci natuml qiiwati

z' = p^(cosnq+isiong)olur. Baiqa sdzta ltl=W , Aryzn = nArgz +2kr (h =,0rr,12....) kimi

taP r, Buradsn (cosg+isirpf =c.csnp+isir.ne. Muavr d stunt almrr'

tz ft+iJlf hesablaym.

Holli Owalca - I + ,J3 komplelc edadini triqonometrik gekildo yazaq

r= -l<0,),= JJ>0. Buradan g =, * *"rrif = o-1 =iI atmn. Onda

-t+ i.,E=z(v;s24*rr-+) ahnq. Kompleks sdadin n daroceli qiiwoti' \ 3 3)diisMunu totbiq etsok,

(-rriJiP = z@l *"?1 * i

"-2'1'o = z*(*"*.'a+ isin6o I)=-' l*" 3 ""-l I -' [*"-- I ''.--- 3 )

= 260 (cos 4oz' + I sin 4or) = 260

alanq.lj (12), Ssa4r6^yt ifadoleri hesablayn:

/ \40

d Itlfral hesabtayrn.

[ ,-, ./

Halti Bwa g a cabri gekilde verilmig suret ve mexreci triqonometrikgakilde yazaq:

l'lt

zr =l+iJJ, Vi=z, uerr= *",gJi =lOdur ki, z1 kompleks sdedinin triqonometrik gakli

a=r.rn=z(-"f*i,i"f)kimi olar.

lndi 22 =r-i kompleks edadinin triqonometrik Ssklini tapaq:

l, z.l= Jl, *s,z = -arctil = -i,, 12 = t - t = Ji("^i-,.t ;)4 ye 22 kompleks sdodinin her birins Muavr dllsturunu t+biq etssk,

alanq:

(,.,vi)* = lr[*,;.,,';)]* =,*(*-Y.,""Y) =

= r*(*"(". ;).-,'.('. ;)) = -z'("*{ .,.,";) =

= -z& )o * i ^!-l = -z3e (t * i"fi)

,, = [O(*. ;- -,,,o f)]* = z't"* r0r + isin r0r) = 220

Bunlan verilon tap$ulqda D.zoro alaq:

frt'rl* ' -z3e[r*rJ:)

l,-, .1 =-+-) zte(r*ifr.)'

b) (z-2tl .

Halll Owalcc z = 2 - 2i komplels ed.dini triqonometrik gakildaya7a4:

121= Jt * = zJi, *s, = *"rs| = -ucter = -f, .Bu halda

z =2 -2i = 2Jil o,sr - r)

* irir,(-I)l= zJl[*.1 -,r-1]L 4 4.] L 4 4)alanq. Bu r&deni verilen mrsalda nezero alsaq ve Muaw diistunrndanistifada etsolq

tz - z,l' = f

zo(*. i -, "-X))' = z'o "D(*! - i,,, f ) = z'o o * a

olar,

t49

Cavab: t'1289 (J: -arf ;/. ,\3

O l,-=J : cavab: l'

u Osl, fl*"g"\^ =l+ i,tsna

beraborliyinin doErulugrnu isbat' \l-itga ) I - itgna

edin.IIaIli Muaw dEsqru:rdan istihdo edek:

i+nnay =[r*rfu")" - (cosa + isina)' - csnq + isitrna

,r.-.r"1 -l' ' 'cosa] o,s, q c,,', q

(r - itge)n = (, -,#)' =*' ii,:""Bunlan verilon tapgrn[rn sol terefinde nezara alaq:

(t, ina'ln @Bna +isEna | + itgnq

l.l rB"l = *.r" - rtt""" = | - lts""'

15(14) (oosa +tdnal =l olduqda (cota -isinaf =t olduEunu

isbat edin.16 (15). Mt:aw diisuuundaa istifade edsrok aga$dah funlsiyalan

sinp,cosg ile ifrdc edin:

a) inlp, b)cos3g.

Haltl (oosq+ lsnpf = cos 3p + isir3qIki edadin caminin kubuou hesablayaqr

(cos 9 + r sin 9f = cos3 I + 3icos2 Ps inp - 3oos9sn2 I - i sirl 9=

= oos3 p - 3os gsin2 9 *,{:*r 2 pri'p -,i,3 9)Kompleks odsdlerin boraborliyins esason, ya2arq:

w39 = ct"3, - t*t qsin? q = 4oos7 I - 3 coo g,

sia3p = 3cos 2 gsin g - sin3 I = 35;19 - 4163 ,Burada

tin2 g=1- "*2, lta aasz 9=l - 3Y12 g

diisMlarudan istifrda edilmi$ir.v) sin49; d cos4p; d) sin59; c) cos59;

Cavab: v) 4cos3 9s no' +sin3 pcc, 9; q) cos4 q - 6cos2 9sin2 I + sin4 q ;

d) 5sinocos4 p - locos2 9sn3 I + sias 9 ;

e) cos5 p -10cos3 psin2I + 5cosgsin4I

r50

z komplels addinin n daracali k0lc goxqiymatlidir va asa{rdalakimi hesablarur:

\f =,M(*" e:?-., "^e:Y), (k = o.xt,.,z. ..q = arl z)

17. t/Ii kompleks odedinin biirtln koklerini tapm.

Halll Qwalca z=l-i kompleks ododini triqonometrik gokilde

gostank:

lrl=11- 4= Jr, x=l>0, y=-l <0, e= *as(-t)= -iOdur k!

t -, =..41"o,(- r .)

*,,i,f - 1l I' L'l. 4i \ 4/-l

ahnq. zdaroceli kokiin diisturundan istifrde etsek, yazanq:

( -T*z* -! *zrt\,lr ,=,Jrlcos 1-i,s -ri-

l; *=o,tr,':, ,,

(lt = 0,1,2,3 gotiirmokle

/ _ .. z)k=o , Vt-i =V2lcosG-rsrn;j,

k=r, t'E='..E[.*f-,,i,#),

k -- 2. tlt i =,Ji( *rV*,,i, !!o') = VZf co. a * i.io a).' -l. 16 t6) \ 16 t6)

k=3, \tT- ='J1(*"+.i*fr)=u(*,ff -,.,"ff)18 (16). Asapdah nisallarda kdlc n bfrttin qiwatinl tapm:

a) 1l-1 .

Halll Verilen kompleks edadi triqonometnk qekilde yazaq:

l- tl=t, q=r kompleks sdeddan n-ci deroceden kdkalma diishrundan

istifade etsokt + 2ktt . . r+2htV-l=cos-l-+rsrD---;-

y47arq.

r5l

* = o. 1l-r = oosi*i'-f, = f{r*iIr=r, v-r =c!6f ,,"^1i = -i., i=-jt,-,rt = z. tt:1 = *"T* i"i"f =-f tr * iI

r, = t. *t- = *"! * rc^! = j0 - t\

orat: +$(r+r).

cavab: l(t,5+i). -i.2'c"*u, tl*r4-i"u!l*'-- t

[--- s '*eJ'{l; Cavab: tl ; *,.

HalE z = -l+ i kompleks sdadini triqonometrik qokilde yazaq:

l|,=l.t+ 4= Jr, usz=t -arctst= r i=+odur k! - t +i = J7(*,? -,.,a?) oldufundan

I 'a **o 3l *zrrl'r-=*1"*" , .-,'t+

laturar. Buradan k =o,L =l,k = 2 otdugu hallar i4tin

k = o. 3J - t + i =llr("^i.,,*X)='f;t,. ,) = f {r. i),

* =r, tl - * i =6Ji[*'f .,,-f,) = U(- *'fi .,'i"fr),

t = z. 3,[- w i =111f'.; -,*";)tapilu.

g ,tz-z-z.ta; cavab , t(.6-,zo.uat fal*,;.,*;)Cavab:'{/2(oos6' + isin6'); rVz(oos7s' + isiaTE');

b)f;v)!i ;

il !l-i;te (17 (a)\.b).3J-t+i.

-(*'f;-,'.f;)

towir edir.EaAL

t52

r9Z(coststr +;sints e\; tUi(szzzo + isnzz2o);

9f@os294'+ isin294').21. trrz2 > 2 gerti kompleks miistovide hansr ndqaler goxlu[unu

,2 =G*iyY =b2 -f)*2r,,, a-7\tttl

z=r+ty olduqda

olur.

Onda [nz2 =2xy alu.tr. $arto g610

2xy >2 w ya ry >l . Bu tenlik birfucivo rh[ncu rubde olan miistavininndqteler goxluludur.

22 lzl+Rez <l qorti ila ha.nsr oblast towir olunur?

I{alll Deyakkt, 2= fcosg+tsnq) olsun. Onda lzl=p, F.ez=pcrr,g

olar. $ertg g6re p+ pc.ose<l oldutundan

o.. L ahnq. Bu ;an p = --I- oyisi ilel+cosp l+cosgebats olunmug ntiqteler goxlulunu g6sbrir. Buisa polyar koordinatlada parsbola tonliyidlr.

A7a[dab Sartbrla veilmls gorluqlar kompleb mlistaib hamtndqtalar goxlupru tesvit edir.

23 (19). a) lzl>2.flalli Tutaq ki, z = r+ t! gskilds verilm\dir. Onda

lzl=lr+tyl- 1F +y' olar. garta gor" ,p *y'rz. Buradan ,2+y2>4.Bu morkozi kmrdinat baglanlrcrnda, radiusu 2-ye beraber olan daironinbiitiln ndqtcler goxlugudur.

b),1,>r' z+o'lz

Cavab: b) Merkozi koordinat bElan$cmde radiusu I olan qapahdairs (merkaz istrsna olrmqla),

9l!<2.,*0.lzl

Halll z=*ty kirni gOUi|Iek.l,l=,f,, +7 oldulundan ,I<u

partire g<ira

x'+y'2!.gs gerti ddsysn nOqtelsr goxlulu markozi koordind

153

baqlan$crwi', radiusu |a beraber olan dairanin xaricinda olan n0qteler

goxluEudur2a Q0. al lz - sil=e.

Cawb : a) Merllaa z = 5i nciqtasi, radiusu t-a boraber olan gewo '

b)lz-t-il<t,Halll $m lz-(t+i)sl kimi yazaq.Bu merkezi l+r noqtesinds'

radiusu 4-a berabar olan dairenil serhaddi daxil olrnaqla biltiio noqtelar

goxluEudur.

25 (20. a) l<lz+,1<2, i.**.iHdlll Bw A^n l, +il> rtrsrabersizliyinin miistavi iizorinda hanst

C4xluEu teyin etdiyim miiaylcn edsk: Bu merkezi -i ndqtesinde, radiusu

io bo-raber olan dairaain xarici nOqtclor goxlu$udur'

lz+rl<z -bu ise mortozi -i ndqtcsinde, radiusu 2-ye boraber dairenin

daxili ndqtaleri olw.l.wr.! ohnasr onu gffierir ki, bu noqtol'r hemin

frshemn i vs I hissssi arasmda qalan hissesidir'

b) 2<14<1, i.wr.!Cavab: b)Mcrkrzi z = 0 n6qtesi , radiuslan uy[un ol^taq r =2, t =3

olan halqanrn ugr = L va *Er =+ Srialan amsrnda qalaa hissesi

1q12=7 olur. Odur ki, o<y<t arasurda

noqtoler goxlugu v=o, v=l arasmdakt

-(z+i) noqtesinds, radiuslan

gevrBlerin arasrndalfl ndqt€lar

hiss.; v) r=l

za fn. a'l l4a Cavab: a) or oxu daxil olmaqla saE vanm

miist3vi.b)o<lnz<1.HallL z = x + ry oldu[undan

doyigir. Bu onu gostsrir ki, bu

mlaqda yerlegir.

27 (23). a) t<lz + 2+ il<2.

Halll Bu koosentik gevreler msrkszi

uyBun otamq I va 2 olan konsertrikgoxlufunu tayin eder.

b) lz - 1l< lz - il; !\ r<r.ez<2

Cavab: b) y =; diiz ;pffiaf,ea a$lrda yerlagen miistsvi

vs x = 2 xatleri arasrnda qalan zolaq.

151

lt28 (24). lz-/<lt-d1, (irl.l olnraqla a- lraqiqi sdeddh)ttHalll z=x+ty,i=r-y {abul edarek, verilen ifadsni bir qeder

sadelegdirsol alanq:

lx + iy - /<lt - a(x -a) = l(x - a)+ 4,1 <(r - *) + al,

G-ii.Ja;F;77.,2 -2,&*o2 n y2 .l- 24+ a2x2 +a2y2,

*'(- o')* y2(- ,2).r -,2. 12 * y2 .1.A*anlan @telsr goxlugu vahid radiuslu dairenin daxili n<iqteleridir.

29 (25). a) ll1> 2 + tmz .

Halli. z=x+iy gdtiirsk. Onda ,p*f ,Z*y alanq. Buradan

t2 +y2>4*4y+y', y.t -t.4

Axtanlan n<iqtoler goxlu$u bu parabot"n'n xaricinda yerle$ir.b) lzl- ne z < o . Carab: b)O(o,o) ndqtesi daxil olrnaqla hsqiqi zolaq.

30 (2Q. tmz2 <t.

Halli z=x+iy,i=x-i qebul edok Orda

i2 =1,-ryf =x2 -y2 -zryialanq. Burada tmi2 =-2xy oldu[undan ry<-t. Bu hiperbolamn daxilindqtolori arhnlan nOqteler goxluludur.

jl. lz+cl+lz-cl=2a fsnliyr hanst e)rriai gdsterir? Burada a vo c

heqiqi milsbet edsdlerdir( a > c).Halll lz + cl ifadasi z ve - c n([talori arasrndalo rnesafedir. lz - cl ise

z ve c niiqteleri arasrndakt mosafini g6storir. Sertrr 96ro z ndqtasi ils

\=-c,22=c noteleri arasmdalo mesafolarin cemi sabit odaddir. Bu onu

gdsterir ki, z ellipsin daxilindadir. Bu ellips 5r;=, anliyi ilo tesvir

olunur- Burada b2 =a2 - "2.

- *(, = i tenliyi ile hanu eyri tesvir olunur ?

155

1lHattl Deyek ki, z=x+i olsun. onda *f]l=*===-=--- --- ---\2./ 2 2zz ,',y'

olar. $erta gora ,a ,=+ ve ya x2+yz-4x=0 olar. Bu isax'+y' 4

(x-zf + yz =a gE,,,I26i1.

3 3 (3 1). Av6dakt 1pfli[161 hansr eyrileri g<lstarir?

a) lmzz =2.Halll z=r+iy qebul edak. Onda ,2 =Q+iy)2 =r2 -y2 + 2,ry

alrnar.Burada Intz2 =Zry otmasr aydrndr. Bunu verilan misalda nezara

alaq: ry=1. Bu xet hiperbola tanliyidir,

b) xei'z=t; Carrab: 12 -y2 =l hiperbola.

,) rJl)=1'\z)2HailL!= L. = :-tv.=

--t-J "2 X+ty r' +y' x'+l' x'+y'

oldulundan tllj= - -' , olar, Bunu verilsn misalda nezsro alsaq,\z/ x.+y-

vlyaz2rq: - jlr= ), ,2 r(y+tf =1. Bu eyn radiusu ,l-a borabar,

merken ts p,-il noqtasindc olan gevrenin tanliyidir.

gevre.

37 (3 5), a) lz - tt+ lz + il=e;

b) lz - il-17 + il=z; Cavab: OIOxutzro _l{en _co _a qeder.

i4(32). a)n (t)=r;

Dwf-;l=2-^,,i5 (3j) zz +ix =t;

36 (34). zzz + (2. + i)z +(2. - i)i = z;

c"u"u, (r- 1)'* r, =l cero.\ 2)' 4',

Cawb: xy = -l hiperbola.

Cavab: rr - r'=l hioerbola.'2Cavab: (r+t)2 -(r-;)' =;

ca"at: t'*t'=reuins.

38 (36). a) lzl-ttmz=a;

b) 3lzl,-R.ez =121,

156

/ e\2lv+.| -2

Cavab: \ ,1i ---:--=l hiPerbolaft)" (3,tq)"I,rl i,,l

t. r)2l r-- I

Cavab: \ 2/ 4-J"-=1 s[ip6.re)' w2r\z)

3& t. (37(a)) lz - 2l=|1- 2zl

39. Ar+ BY+C =0duz xatt tsnliyini kompleks gakilda yazm. ,_,

Hetll z=x+ry, ;=r-y g<jtrirok. Buudan r='--i-:. y ='----:i2'2alanq. Bunlan (l) - de nszaro alsaq ,l(z+z)+e(z-z)+2C=o vo Ya

(A+iB)z +(A - tB)z +2c =oalanq. A+iB=a, A-tB=d kimi igareetssk (2) tanliyini

kimi yazanq.

4A x2 +y? +2r..+2Y=o

gevro tanliyini kompleks qekilda 1azn.Ilalli x2 + y2 =lzl2 = zz , 2x =, + z, 2, = ,(t - z)olduB'unu (3)-d5

nezers alsaq zz+(l-iV+(l+i)z =0 alanq

41. zz + i(z - z)-2=o (4)

terlll,i xoy miistevisiada hansr eyrini tesvir edir?

Halll z=x+ty, z=x-y olduEundan E=12 +yz alanq Bunlan

(4)-da nozers alsaq x2+y2-2y-z=o veya t' +(v-r)'?=: alanq'

Bu iso markazi (o,r) noqtesinda, radiusu R = J1 olan gelre tenliyidir'

42 (38), A1afrdah ntti tenlikleri bmpleb dayisenla yazut-

Cavab: x2 +yz =1 S€vro.(l)

(2)dz + E. +2c =0

Cavab:i-z=ow z+z=o.Cauab: , r, +i(, -2)=0.

(3)

a) ox ve @,kootdr:nat oxlannr;

6,) y=x duz xettini;

t) y=b+b diiz xsttini;

Cavab: tQ+i)+zt+iQ-i)=o (bumda t,, haqiqi odedlerdir).

43 (39). a) Prlnle.artersfli hiperbola ,' - v' =o' .

Cavfi: z2 +22 =2a2b) x2 +y2 +2r=0 gevrasi. Cavab'. zi+z')=O.14 (41). za -423 +622 -42-15=o tanliyini hell edin

lazun olan buca$ tapm.

flalll $erta gdro

157

Cavab: - l; 3; l; + 2i .

15 (44). - J1+ti vektorunu 9f -e fulalsaq, hansr vektora gewilar?

Car"ab: -3-i..516 (45). -"!1-i vektorunu l2o'-a firlatsaq, harsr veklora gevriler?

Cavab:JJ-i.

47 (46), 4-3i veklorunu gc"UU, -{*}i vektoru almaq iigiin- J2 .12

(e - ri)(cosp + islup)= f Cr * O oldu[undan

.,o, = f , * * = -+ bagqa sdzla tse = -+ aro.q. Btrada o = --as )

$ 2. KOMPLEKS DOYi$ONLI TUNKSTYA

Tutaq H, D z komptela adadtaintn mtiayyan goxlu[udur' z'in D

goxlu{undah her bir qiyrnatlno bir W knmpleks adadini qarSt qoyan

qamtn gAsbildikde, deyirlar H, D goxlugundaw = l(,) (t)

konpleb funbiyast veilmiSdr. z-a sarbest dayisan va ya arqument, w -

ya isa asfi dayt$an w ya rtmbla fuyrllr. D goxluguo funkeDnntn t?yin

oblast deyilir.Fan edak ki, z=x+iy ya V =u+iv olnn. Onda V = f (z) yzrhsr It

lany'ela deyigrdi rtmbiryr ila z dafsanl arastndoh as tq ih h4iqideyiSanli u va u funhiyalan tla try. olunur' Yani'

7Q)= u(x,y) + iv(r,y\. burada Re/(z)= u(r'v), tm/(z)=v(x.r),

4& w = z3 - il . firnksiyaslnrn hsqiqi ve xoyali hisselerini aynnHalti Deyokkt, z=x+iy ve W --u*iv olsun Onda

, * in =G +,y)3 -i(x-iy)=a3 +3x2yi-3xy2 -i''*-y== \"t -t,y' - y)* iQ"' y - y' - rl

olar. Buradan

lu(x'Y\= x3 -3oz - '14,,Y\=t'2Y-Y3-'

alanq.ig (55). A;a&dah funtaiyalann hoqiqi w xayali hisselxini taptn.

158

a)w=r-izz', b'1w=22+i; u)w =;-23

ow=!;z

qw=#; 4*=:Cavrb: a) u=x+2xy, u=y'-r'-y; b) u=x2 -y2, v=l+2xyi

v)u=3ry2-xl, v=l- 3x1y+y1; q) ,=-j ,, u= .' ,,' + y'' ,' t y''

,, x-2xy-v+l x2 +y-y2 +x -O)u = - ,""'-J-;-! ^-, v(x+r)z+y2' -(I+I,+;',-'

^, t' - y2 Zxye) u = --'

j-, v = - --;--;.x'+y- x'+y'50 (56). Verilan ndqtalarin gdstarllan funkslyalarla hdkasuda

tasvi arini toptn.

a) zo=-i, W=22 i b) zo =1-;, W=(z-i)'?;

v) zo=1, *=* , <t) zo=2+3t, w =Z ;

Cauab: a)w =-t; b)w =-3-4t; I w =l; ilw =-sL!Tutaq ki, z m[stovisinda eyn F(x,y)= o tenliyi ils verilrnigdir.Bu

eyrinin rr mnstsvisinde O(u,v). 6 tsviitoli W = 1Q)= z + rv firdailasrvasitsi ile tapmaq ii(iin

lu = u(x,y\1"=4*,v)[r(''Y)= o

tontlderinden x ve y-i yox otrnck lazmdr. Ogsr eyri tonliyi parametrik

qeutda rerite.s" {'='!')., ro fa z=zO={r)+a,O. Bu syrinin' [y = y(r)

W = JQ)= u +iv funksiy6sr ile aksi

I, =r{r( Iv(01=,(,)1,=,t*lrtI=*)

olar.SL Vahid radiuslu lzl=t daile W=22 fiurksilasr ils bansr eyriye

inikas olunar?

atlL $arta gdre lzl=1 oldulundan tt=lzl2 =r. Beleliklo z

miishvisinde lzl= t dairasinin inikasr ,ru mtistevisind. lrzl= I dairesine

inika.s olnnur. / = z2 olduBurdan ArgW = ZAt gz + 2*a . Bu iss onu g6stsrir

ki, bu inikas 2 dafe olur.

t59

52 w =! fiuksiyasr ile z =Roosr +lRsinr (ost<2r) inikasdaz

t svirini taDE.Ilal/i Fuksiyarun heqiqi ve xayali hissslsrini tapaq.

, ,2 (r + iv)2 x2 - v2 * zxvi x2 - v2 2xv

z zz lx - iyl\x + U) r' + y' x' + y' ,' - y'

uraaan ,='1r-v1 , t= !7, tapanq. , vo v - nin ifadclarindex'+yt x'+y'

.r = Rcosr, y = Rsinr olduBunu nezgm alsaq, onda dairenin tesvirini alanq:

*"2, - "io2, - 2sinrcostu=-- =cof 2r. y= --- ------:- =srnLlcosr, +sin', cos', + sin',

vi yt u2 + v2 =7 . Bu da wahid radiuslu dairodir.

53 (5D. z = I fudsiyasr ils z miistovisinin ayrisirin ,r/z

miistcvisinde harsr eyriye inikas olunduSunu miieyyanleSdirin:

d Et=L- D) Rez = 0.

Cavab: a) Saat oqrbi istiqamctindo g2 qvz =1 dainsim; b) oll oxuewelcp 0 - dan +co - a, sonra -o -'lan Q - 416s9fu.

53. KOMPLEKS DAYT$ONLi ASAS ELEMENTARFT'NKSiYALAR

1. Kasr-msiorul funbiy,,, anz' + qznl + . .+ a,

bnz^ + b1z'-L +...+b^

atsusi hado goxhadli rasional funlaiya oh bilar:14 = qr7' + alza-t +.,.+a,

2. Ostlil fanksiya e'- in b t n komleb mltstavida tmztleq y$Aanstasutfi cami atagldah Sakilda gostarilir.

-2 "32'=1.1-7s'-1--1..+''+..2l 3:! nl

Ostltt fmbiyann asofrdah xasselari vardr:a) e't*'t = 2', . e't , zr va z" ixtilari lanpleks addlardir.

b) e'+zki =e' (k=0, +1, x2,...) bosqo sdzla e' zri d0vrltifunksiydr.

160

3. sinz va casz triqonometrik funloiyalan aSa{tdoh srralarla veilir:-3 ,zn+l

su,z =, - i + .. * (-t)' fr,,r;,

*'.2 ,2n

cos z = I - a +... + (- r), fu *

Bu svalar z-in istanilan qiym?tinda ytplan sralardt. Bu funbiyalar2r d\vrlri funlaiyalar olub, uy$un olaraq z = ktr va z = ! + kr kimi

stfirlan var. Buradq t =O, tl, +2,..

e', snz, cos z funlsiyalan hgtln Eylet dlisturuei' =cnsz + isitz, e'i" =cosz'isiz, (1)

Haradahel2 + e-t eiz _e-1,

*r=2,slnz=-r.

Ez Ya ctgz I nksb'alansinz cos zctF=--.- (J,,- coltz $nz

kimi tayin olurur. Haqiqi dayt$anli tliqonometik funlaiyalar a ) olan

dLsnrlar u q wasinda qalt.4. H i p rboli k funksi yalor

sls=e, _e-, , chz=e,

+_e', G)22

th, ="-!1, cthz =+ O)"- chz sladtisfifrlart ila leyin olumtrlar.

5. Trtqonometrlk va htperbolik funbiyalar arasmda asapdahttu nasibatlar vardr:

a)

sinz = -lshiz,w z = chiz,

tEz = -ithiz,cW = icthiz

'

shz = -isiniz,chz = @8iz,thz = -itsiz,

c,hz = ictgiz

6. Asilt) fioilsiwtn tarsi olan ua loqanfuikfunhsiyaba =l+l+ i,atgz =$f +ia4z+2ki (k=0, +1, !2,...) (6)

kimi tayin olunur. Bu Jfunksiya goxqiynatli funlaiyadtr. Bu funktyorun baS

qiwatini almaq'i9 n k=0 gdtiirmak laztmdtr. Bu qiymot lnz kimi iSara

ohmur:lnz=144+ iarez.

161

Odur ki, Izz =nz + zkli (k=0, , r.2,...) olur. Ipqanlmik funksiya lqiinaSafuah mfrnosibatlar doEr dut:

ltr(zrzr)= 2P, * t'-r' u( ':\= tt , - t*r'\zz )

7. Tars triqorometrikfunlaiyalar Arcsi!.z, Arcoosz, Arctgz, Arcctgz. Bu

fur*siSalar goxqiymatli olub, loqanffiik funlaiyalorla agapdah Hmi ifadaolumtrlar:

*""a, = _ul, +,!l- rr) o)(8)A*" ,=-ib(,+J7j)

i - l+izArcl"z = -- b1-- 2 l-iz

i - z+iercctsz = -1h;_j

Tars triqononetrik funbiyulann baS qiymati loqanfmik fiotbiyalartn baS

qiymotlainin knmeyi ile ahntr.8. Amtnt qtiwd funbiwt w = z' fnbiwtdtr. Burada a = q + if

ixtyart konpleb ada ir.-e - -olrt

kimi tayin olunur. Bu jmlaiya goxqiymatlidtr va bat qtynfi zo =eoh' Hmitayin olunur.

9. Amumi ilstlil funblw lt =a" ( a*O ixtlyri lamplela d dir)asapdah hni taytn olumtt.

a'="bBu fnkiynm baS qiymeti a' = e'ho hml tayin oltmur.

ASafidah funbiWlarm haqiqi va xoyali hisselartni tayin edin.

54 (59) a) ll =22-1, Czvab'. u=2x-t,v=2yb)lt=z+22.IIaUL z=r+iyvaw =u+iv oldu$rmu rozere alsaq, yazaflq:

u+iv=x+iy+(r+ryP,

u+iv=x+iy+12 +2iry-y2.Buradan hoqiqi ve xeyali hisseleri tapmaq olar.

u(r,Y)= a2 -Y2 *', t\',Y)=7'Y*Y

v1 w=!, Qat$: u=--J-r-,t=- +-. z x-.y- x- +y_

55 (60). a) lV =e-'z , Cavab'. u =e-'cnsy, v= -e-'siny.

(e)

(10)

162

Cavab: u="*'-v'oos2ry, ,t = -e-'1-t2 sit2ry-b)W=e',f W =sinzEalli

z+rv=sin(r+ry)u + ,v = sio tcos r/ + cos t si.n i1.,,

t] +iv =silxchy +icos* ty

Yuxandakr qayda ilo heqiqi ve rc'ali hisseleri tapaq:u(x,y)=s1aY1o- v(x.Y)= 6es oio.

Q w = ch(z -i\ Cavab:u = cltxcosbt -l), v=sftrsin(y-t).

fi(61).a)w=2".allL Lqaifri*- funksiyanrn xassasine g0ro yazanq:

y ="z2hr2 = "(*+0Yb2 ,

, * r" = "(" *',*'r')"

,

u *iu = "k'-Y')nz 'nz*Y'loz '

, *,r, = "Q' - r')^ r 1*" z'r,,t 2 + i sin zxy kt 2\

u + in = 2i' - v' l*"(zry irr z) + i sin(zry h z)].

tbqiqi ve xeyali hissolori mirqayiso etsoh alarq:

u (x' Y\ = 2*' - t' w(z' rY b 2\

v(x' Y) = 2" - t' srn(zr7tn z)

fl W =snz; v) W=tgz

Cavab: b) =chxcoly, v = clprsity,. sul,rcos r

V) u = ----a- --.-, v=ch' y - su]' r

57. w =sinz funksiyasmrn "="+iuQ+tE) ndqtssindo modulunun

qiymctini taprn.alll z=x+ty olsun. Onda

llz = sinz = sin(x + ry) = smxchy + islry c4,s x

alanq sinz firnlsilasmm modulu

l"*rl=,[;^' ,"n\ * "t\'*t * =

=J"*;.;Fr;74-l",4= I

shychy

ch2y-sm2x'

x+rh2y

indi sin z

hesablayaq:fiurlsi)asrnrn modulunu z=r+inQ.*,Js) qiymetinde

;"(z*.r) - "-n(z*Js)i.-ft*ir"(z *.6) =,/,[r"(, +.6)]=

z+Ji .-!-2+,15

2

Buradan aydm gdriiLnur ki, triqonometrik sinz firnksiyasrnrn modulukompleks oblastda vahidden b6yuk qiymet alr.

Aqatdah ndmralarda verilan funksiyalarm gdstailan ndqtadamodullarmtn qiymatinl v, arqumentlarlnin bq$ qiymatini tapn.

5E (62). a) W =aosz, z=1+iir.2.

Halll z=x+iy, ll =u+iv oldu[unu qabul edeL Onda yzzanq:n+rv=cos(r+4I

u + iv= e*sxeos ly - sinrsini,u + iv = @s x.lty - i sitl. xslty,

p =posl= tloos2 xch2y+sn2 xsh2y =

=.6r;F;;pffi = gnz"nz, _ ;^2,

l*,(;-,tr)= f ,rn,rn2l= l-,rrrn2l= ,r r='^' -i-^' =1

c4=.sw =_+

b)W=oos2, z=ty+iltr2.

s9 (63).

60 (64).

HalliW = zien =d(ryllsr+isinr)=-a,p =Vyl=l_ dl= n,

q=*ew=-i61 (65). w = ch2 z, zo = ih3 .

W =shz, zo =1+ iIW =zez, zO=zi.

Cavab: b) o=f. n=".Cavab: P=st11, eo=;

t64

Halll "ro

="' *-"-" olduEundan "*-"th3 *-"-'h3 olar. Eyler2-2

diishnmdan istifida etselq alanq:

chz = ! (cot br 3 + i s i n ht 3 + cu ln3 - I sin h 3) = cos h 3 .

2'Belelikle,

"h2z = rxts2 ta,3 ol<lu[u almr. Buradan p = El = cos2 (u r) alanq:

q =61914 = qragY-= O q =0.

62 (66) ASa{dah dadlain loqaifirustru tapu.a) z=e; Ca',tstl. l+zkvi', (*=0, tl, +2,...)b) z = -i odedinin loqarifrnssur tapn.

HalE l,n(- i)= t\1- il + t ors| i)+ zhni oldufundan

bl-il=0, arg(-i)= *sE+= -!z

Bunlan ra(- i)-nin ifrdssinda nezers alsaq

tnl- i\=o -iL +2ko = n(x -!)2 \ 2)alanq.

u) z=i; Cauab: Zf *i;d z=-l-i.HalE Lnz =hlzl+ i*gz +2hxi, k=o,r112,... dlstunmdarl istif'do

edek.

lz =l-t-il=Jr,r=-l<0, y=-lco oldu8undan

argz = -r + arctgy = -t + or'ctgl = -t + i=-+Belelikle,

uz =!nz -3d *zka,24d) z=3-2i. Carnab: u.fi*(xr-*ncz-\

\ J,,I

63 (6D. a)z=ii-rm hesablayrn.Halli Bt,m getrc imumi iistlii funksiyann yazrhflndan istihdo edek:

it - e'lrt - et(lall+t ldict+xnl

Burada tnlrl = o. arc,=I olduftundan-2I

b) z=iiEalli laqarifinin tcrifindanIL

z = ii = ei kimi pzaq. Onda

Lz*u"\ -(l**lii=e\2 l=e\2 , alanq.

istifade edarak venlan funksilam

b,i =;i t2kd k =o,!1,r2,...

olur. Odur ki,

! l/1*2 =;' =4 \2

alurrr.

v) z=11- Cavab:

q),=(-r)f ; Cavab:

il,=(Y\".' \J2 )

'*) ="?u,

e-2kn

"J1(x+tfu

flalli Bura& yene tarifdan

UnZ=e

Mslum d[sturdan istifade etsek

istifrdol+iJ2

d.k. Onda

olduBundan r,nfde naz:re alsaq:

r,H =tlYl*i*"1!*u,,.t2 l./2 I -,tz

ilHl=t,=0,lv2i

l+i rary

7V = arctgt =

4

^' I+r

=!irzkni (t=0,11,+2,...) alanq. Bu ihdani "=r*n7'4

,(\*r*,) -l.Lr-),=" \4 ) =e \2 ).

'i (,-,{r.,]L. Cavab'. e \ o'r

! ,(u,-l)-t(L,nfi-u.\C1nab: 22e \ 4/ \4 )

.

,,'=l+-;)'

i1 z=(t- if-3t

166

64 (6E). Kompleks odadlsrin p moduluau vo I irqumentini tapm.

a) thn .

HalL tna=thd ="'-" n

-"1n -l -aos2t+isit?r-l -r.chni erll +e-,i a2fr 11 oos2t + isin2t +lOdurki, o =ltnal= 0 , p- arqumenti iso teyio olunmaylb.

b) toi .

Ilalli Taifdao istifide etselq z=l0r komplets odedini z=e["rokimi yazanq- Burada lzl0=lzll0l+iarglo+2bci, k = 0,x1,r2,... oldulrmdan

ar8 lo =0. Odur ki, zzlo=/zlo+zhi. Belelikla, , =;(tnto+zt''U) 4n r.Buradan q=atgs = lnlo + Zloci. p =lzl= e-x' a16a1.

v) 32-t . Cavab: p=9"2ht, e=-ln3+Zmr, (b,n =O,tl,*2,...).

65. Arcsn?- i cabri gokilde yazrn.1

Halli Blnnl gdre (7) dlstuundan istifrds etselq alanq:

' ri ,u(-t,.tlZ).,4.cs,r,J = _,r,|._ J, !,. rj

Buradan

,,",'+ = --l-[;.,F+) =,['[;.,F4]. ".*,1 =

= 12,.r),-,r"[.,".fZJ,o=0.',,r.,

ve

(t =0, rl, r 2,...).

66 ArctgQ+ i\-nt cebri gakilde yazrn.

HaAL Bttn g1te (9)dtisturunda z =l + i yazsaq, danq'.

Arc te \t + i\ = - t-

t t t t:,411\

= - ;* r' _, = -', *f i, i,) =

=,HfA ;).,"'l=

''[,t4 ,,F+

=)b

ArcsinL = -i.1

I

= - i[tt i. ?{., *(- ]. ],). ro"f= - 1l- ̂ a . po + r)a - ia'"Ezl=

= -L *"rsz *(zh *r)l* rt",B (ft = 0,r1,r2,...).

Agafidah venlmig kompleb ddlai cabri Sakilda ynn

D) h(r-,)Halll r-i kompleks edsdinin modulunu tapaq: ll-4=J, oldulundan

rn(r -i)= rrrfr - il + iarg (r - i\ + zta = )tnz -3], *u o.

6t (70), a) sna .

EalE z= sinri = irbc.

b) csa. Cawb'. chrc.

v) ttri .

HallL z=pIi=ihn ."2 2

69 (71), a) ctsa; CaYab'. -ichrb) Arcsiti.

erc sin z = -iltt(E +{-r') atittu-no-

'1. r

6t \ag. u1 ,'i' . cavat: a)f * i f .

trIali Bunrm holli Esiln

isti&& edek:

trc slJoi = -ibt(i. i + $ +) = -n(a - tl. z*

v) Arctgta; cu*u, (zr. j)"-irn(J7+ r) (zr -.l), -'"(a -r\70 (72), a) Arc@st . v) thi

Cavab: a) 1n,,iV (t=0, tt, r2,..); v)o

b) z='ni

Ilaui z=sni=i'.|=i .

71. sitz =3 tanliYini hell edin.

nAd S" messlenin helli z = lrcsin3 kemilyatinin taprlmasrna

gotirilfu. (7) dusturundan istifida edareh alanq;

z =,qrcsat = -ilnbi + { 8).

158

J- a = +J8i oldu$unu nszere alsaq, alanq:

" = +[2,(r * trs)r] "s, = -tfu$ -.n)l ".gft

* J8)l= *g(r - Je),|= :l(r-rE),1=r- J6, 16-J0){=r- J0 olduSundan

r,,(:r JE)d=m(rr Jt)+ ! +*a, (k :o,rt,+2,...).

Belelikla,

z=L+zt.r-inb+{B), (t=0,rt,12,...)

ASagdah tenLkleri hsll edin.72 (73). e-' +t=o.Ealll e-z =-t oldu[undan

, = _2a(_1) = lztc +t1 a.

73 (74). e'+i=0. c,l*t, ,,=(u,-))a, (r=0, rr, +2,...).

74 (75), 4wz+5=0. Cav-ab: zL=(2k+l)/.tiln2. (r=0, *1, 12,.,.).

75 (76). shE = -i ; Cavab'. z 2 =(r - ;)", ( e = 0, 1 l, r 2,... )

76 (77). siaz = td .

Ealli z=Arcsinxr, burada ,trc stnz = -ttn(iz+J J) au*rr"a-istifada edek:

z = Arc sin ri = -i tn(, . "tl;J) = -il,(-. ..-4 =

= -u(.t'7 -,)= -,(hlil;7 - I.,d,) =

V (78). eE =oosa; (r -haqiqi ododdir).Cavab: x= 0, (ft=O,rl,+2,.,.)78 (79), e2' +24' -3=0.Ealli Yeilon tsnliyi e"-mechul,,n, gOE kvadrat tsnlik kimi hell

etseh alaflq: ez = -l t 2. Buradan ez =1,e2 = I kini iki tenltk dmr.Bunlann her birini hell edak:

s z

= 1 1 2 = 6,1'1 = 1n[l + i og | + ztki = 2nJd, k = 0,r1,r2,...,

e'z = -3 > z = bt(- 3) = tal- ll + i arg(- l) + 2r*t = ln 3 + 2r.ki, k = 0,11,12,...

7e(t0). cta=i; Cavab: z"=u(t+^/z).1*.i), @=o,*1,+2' );

,r=u(a-r).(z*-l)a.80 (St). a) t"(r+i)=o; b) tn(i-z)=tCavab: a) z=f i; b)z=-e+i.

s4. KOMPLEKS DAYi$ONLI TUNKSiYANIN LiMiri

Deyak ki, {zn\ konpleb adadler ardrcrlltfi veilmisdtr' Yani

21'22t..'21".,

Tarif 1. lxnyrl mtlsbat E >o adadina qary ela N + N(e) ndmrasi wrsa

h, zo- ardrc h!,mrn btt elementlort 9 t,

lz, - al<e n >.V(a)

Sartl ldmtrsa, a adadl lz,l komplelx adadlat ardcrll$mtn limlti odlanr'

fi,,="Hmi iqaru olunut.

Iiar bir 1",\ lonpleks adadlar ardtctlhp iki {t,} va lv,\ haqtqi

adedlar ardwtl*ma uyfiundur' Harada ki,z,--x,+ly,, n=1,2,..

Toil 2. lz,=x,+v,\ ardarlhgt a=o+tB addine o vmt yt{ t'ki,t$,,=o, H-r"=fl.

barabarltHai ttbnsin,Teril 3. Ogar ela mtisbat M adilt varsa H, lz^l<u barabarsizliyi

ddansin, onda deyirlar H, {z,l u&ctlh[t maMudur'

Teoren 1, B w yt$tlan ardrc lqlar maMtddun

Itplan kompleb ailadlar ardrc h{mtn mssaladni qeyd edak:

fi'"= " Yo :tnl cD = b

olarsa, ondof

,*_"(r. * s)= "xt

2 bn(z,s")= ab

j, inSL=1 G,+o,b*o).r+6gh b

t70

EI. z,=!-J, n=1,2,... ardc hEmm limitinin a=1 oldufunu' n+l86storin.

Halll Deyek ki, ixtiyari 6 >o ededi yerilmi$dir. Gdstorok ki, ela Nn6mrasi var ki, bundan sonra gelen n > N iigtin lz, - 1l < a iidenir.

t,,-l=ld-,1=14=!'1' lr+l I ln+ll n+l

lz, -ll<a berabersizliyi onda odoner ki, {?.." ve yu ,r{-,' n+l ' e

berabanizliyi <idensin. Belolikla, M kimi r .1

rv = v(a)=l 11 - r l+ r'' le jgditiirmek olar.

t2 Deyek ki, {2,} ar<hcrlhllrrn limiti a- ya berabordir. Gdstorin ki,

{z,l} ardcrlh[rmn limiti lal- dr.IIal/i Dogrudan da ,!gzr = a, olarsa

j*k,-,1=o (1)

<idonir. Digar tarafden z, ve a kompleks odadleri iigiin

lu,i-l4l'1,,-4 Q)6denir. Onda (l) vo (2) - den

,gl,,l'l,loldulu almrr.

ss. KoMPLEKS ARDTCTLLTGTN YTGTLMAST UCUN KAFI $ORT

Deyak ki, zn=pnete,, bwada p, =lz"l,q, = argz, . Onda agar

lim p,= pn,lim p, = psolarsa, li;rn zn= poetpo ddaair.n-+@

,r.,lg(, - ;)' = "' bvada z = x + * oldu[unu gosterin.

naui,, =(t * Z)' e ieao edok onrla

t7t

j*k i=Jr-l(,-;)'|=.E i('.r' .'il' =x{,.t t;-y =".

v

*=*e(t.i)=-.,s#=*o*Onda

*g", = usl t * 1\' = n u{ r * 1\ = n*",s -l-\ n) \ n) n+xalanq. Buradan

" orag-z- Y

)y2o^ = ttn nuae,*," P"-i: \l = talrmr.

n+r n

Kompleks ardrcrll{m uEilmasl iigiin kafi Frte gdra

*|,' * r)' =ex et' = ex-t! - e' ',--\ n)olur. Bu da telob olunurdu.

Er'. Ferz odsk ki,xn=l + poosq + p2 cosltt +.. + p'oosna

bruada 0 < p < 1,/, = 1,2,.... ,hm

x,- ni tapaq.

Halll y, = psita + p2 sin2a +.., + pn dr.na glfiirek. z, = x, +iy,ardrc hSmn limitino baxaq.

zn =rn + iy, =7+ p(aosa + isinq)+ pz(crxla +isn}a)+.,.+ p'(cosna + isnna).t = faosa + isina\ ltl= p <l

grittirok. Muaw r"a handesi silsilonin csmi dustunmdan istifado dsokalanq:

- 1 tn+t

zn=l+t+12 +.-.+t'=;l

ve ltl<l oldulundan

,H',=*alanq, Do[rudan da ,

[m r- - ne-l- - nn--,- " l-l l-p(coaa trsina)

172

_ l-P6,sa =-7-P*o .- (l- p*""f * P2 sio2 o 1- 2Pco,a + P2

Ogar ixtiyari bdyiik M>o ededine qarlr ele natural Ir' odadi.varsa ki,

burdai sonra galsn z>iy' nqfu lz,l> M beraborsizliyi (ldonsin' Onda

z, - ardrcrlhbna sonzuzlula Yrlrlan arrdrc hq deyilrr va ,!r.

z, ='o kimi

iparo olunur.Oger kompleks aii.6ui z = o - la tamamlaflrsa' onda bu miistera

geniglsnmig kompleks miistcvi adlartrr,

ASaPdah ardrctlhqlafl ltmilni taPh:n/ l\ l-

E5(82). z,=ll+:le a.\ nJ

Halll eE =cosx+isinx Eyler aynlpodan istifade etsa! yzzanq:

,- =(r*1'l["*I*irin"']. Burada z-+o gerti ile limice kegssk, alanq:" \ r,.,\ t 4)

rim z- = tm(r*]Y"rrI *irrrl)=1.,*.-" ,--\ 'r/l n n)

u(sil) z,=: Cavab: 0

E7 (&4). z, =(l+3,f .

Halll z, =('t+li)' =r'.t'(r*i'1yaahsrndan istifada edsk:-

tn(l + 1i) = lnl + ltl + i aBi + fi) + }xld = b1 2 + i@ctt3 + 2Llti' k = 0'xl,t2,'

Axrnncr ifadeni (l)-ds nszere alsaq:

- -n(l^2+ tatctgl +zt*t)zfi-? '

Burada , - - gerti ilo timito kogsok, alanq:

lim z, = h.m "fhz+tams7+2*t)

=a ',-+.o /,J@

Bu haLla timit toyin oluomayrh

Es (85). z, = '- Cavab: 0n

Al0lQ. z,=ffil?alli Kompleks ardrcrlhq iizerindo mfio]yon gevirmo aparaq:

n+2i (n * 2i\1n -7i) 3n2 +74 n

" = ;Ji= 6, *6^ -ti1= * - 4r-' ;7; 4,

(1)

t73

Burada n -+ co gerh ila limita kegak:

tim z,= ti21 3n1+u - hn - L-=]-, o=l

n--+- " n-+o 9nz + 49 n4<o 9r1z + 49 J J(, t \

90 (87). z"=e t2 zt't ) ; Cavab: -,91 (t8). zo = 25in1

flelll l.r.dtollt$r

. sin!z,=nsinl-=;'--!nL

n

$eklinde yazaraq, ,-ro Softinde limita keg.k:

,ir llim z, =t lim ---Z=i'n r0 ,-O t,

92 (89). z, =n@s+ + imu!! ; Cavab: Teyin olunmalrb.

st(eo). 4=+ . cavab: o

$5. KOMPLEKS DOYI$Or{I,I TUNKSiYAMN KASiLMOZLiYI

Tarif 1. zs noqtasinin elrafi z dayt$anlnin el, naqbldidir ki' zn- t 0z

dNilinda saxlayt; zo nbqtasldn 6 affafi marknl zo n()qtasitldo, rudiusu

6 -ya berabar olon dairenin datlinda z deyiieninin ndqtelal goxlugl/dur.

BaSqa sazla lz - zsl<6 .

Tutoq h, lb) funkiyst zo n\qtesinin istonilan D alrafnda (zo

naqosi mfistasna olmoqla) teyin olunnq fnlsDradt.Tartl 2. ixtiyan e>0 adadi , ?tin 16 =6(6)>0 adi vana h, zeD

atrafindah bttfrn z-lar gLnva la 0<lz-zol<6 barabarsizliyini ddaym

z - ler gtin $e) - el< e

174

barabarcizliyi adansin. Onda e,-ya f(z) funksiyasmtn limfti deyilir vatrm JQ)= e kimi iSara olunur. /(z)=u(x,y)+ iv(x,y) fnl<siyasmtn

lw IQ) limitinin varhdt fturdazn=xo+i/ lim U(r,y) ve Bm vQ,y);7;\ ;7k

limitlainin varh$ il" eyni glicl d r.fuSqa sAzla

t^ f (')= lim U(r,7) + i tn v(r'Y)z-+20 ,-)ro ,-+ro

f'+!o Y+Yoolmastdr.

Funhtyarun limtinin aqapfuh xnsselarl vardtr.ttrr, /G)*A, t* gG)=r

2-) 2A z-rzo

rtn l1r'(z)x g(z\l=,a+ n, nn VU)'s(z)l= A B,z'+zo Z-+zO

)Y"#=1. 'd')r'o'8*oTari! 3. zs o oblasnna dwtl olduqfu

li,",fG)="rG.)

limiti varsa, ondt l(z) funtsiyast zo ndqtestnda kasllmazdtr.

fuSqa sdzla ixdyai R>0 dadina qarSt ele 6 =6(e)>o varsa ki,

lz-zsl<6 berabarsiltyini adayan (zeo) b{tt n z -lar ttgln

lf(z)- tQol< tb arab ar sl zliyi tidens i n.

Belehkla, f(z)=u (x,y) + w(x,y) funlaiycsmm zo=xo+yo ndqtasinda

kasilmaz olmast Q n zarurl va kafi Sert U(x,y\ ve v(x,y\ .fimksiyahnnm(xo,yo) ndqtasinda x va y -lore n zaran kesilmaz olmasrdr.

Tarif 4. Ogar l(z) funlciyau D oblasfinu har bir ndqtasinda

kasilmazdirca, onda l\z) fiubiyasma hamin oblastda kasilmrzdir deyilir.

1G) va g(z) funksiyalan D oblastmda kasilmaz finbiyahrdrsa,onda onlann camlai, ferqlei, hositlan, sG)*o olduqdo & nisbettari

8\z lda kasilmaz olar.

175

94, w=f(z)=oz+D rcth firnlsiyasr verilmildir. Burada a ve b

kompleks sabittordir. G6stonk ki, bu firnksiyanrn z0 n6qbsinde limitr var

va bu limit wo=ozo+b-yabar*ardi.Halll ifryan

" , g ed3dini g(rtrrek. Necs ki,

lf(z)-wol=l(az +b)-(ozo + b)=l/lz - zol.

indi a-ru a=fl kimi segak. Onda o<lz-zol<a olduSundanpt

lf(z)-Wol<e olar. Bu onu gdsterir yi, Wa=azo+b f(z)=a+bfunksiyasrnrn ,o ndqtesindo limitidk. Yani bn,/(z)= uo + b = f (zo\

It w - 22 funksiyasrun z - in biitth qiymetlerinda kesilrnez olduSunugostorin.

HIIIL ifiyai e > 0 adrdini vc ixtiyari zo ndqtesini giitil'ak.

1v =JQ)=z2 fiuksiyasrun zo ntiqtcsinda qiymoti /(ze)= 262 oldulundan,gdstorak ki, ele a(o)>o var ki, lz - zol< 6 olduqda

l1Q) - rQo'l=lz - zo'l' 'berabarsizliyi b'denir.

z + zo olduqda lM >0 sdadi var ki, lzlcu w lzol<M 6donir- Onda

t"' - "o' l=1Q - fi . (z + a) = lz - z ol.lz + z ol.- (14 + l,o) l" - "

ol < 2M lz - znl

olar. Ogar 6=* Sr/drse\P - rol., olduEusdan

lrz - "oz i.2M6 s

"olar. Yotri F = z2 funksilasr zs ndqtosinde kesiknezdir.

Ltndtln bnfinden isnfada edarak asatdah baraberliklaindo{rulugltnu g0 stari n :

96 (92). um2z+l=t.' ' 2'+lz+297(93). llgl lr=5.

z-+3-41

Ai afrdoh li rni tl efi hesfr loyn :

-2 L1;- 79t (94). lim Cavab: i.

,-+-i Z+t

99 (9s). tut -YlL . Cavab: .,[.t chtz + ishtz4

100(s6). tn+' z)0 tnE

101 (s4. r^ "2:*r,lt e'+i

ASaP.dah finksiyalann bt)t n komplels mtistavida bsilmaz oldu[unu

gdst?rin:102(e8). IU)=2.103 (9e). lG)=Rez'ru4 0N\. tQ)=r[;.z.105 (103). r,=a' funksiyasrmn bttiin kompleks miistsvido kosilmaz

oldu$rnu giisorin.

s 7. KOMPLEKS DoYI$oNLl FUNKSiYANIN ToROMOSI.KoSl-RiMAN$oRri

Farz edek H, w = 1Q) funksiyst D oblasntda z komplel$ doyiSenina

gdra laytn olunmus funbiYadr'- Tutaq h, z va z +Az nbqtalarl D oblosnna Mldlr'

tW =Q+Li- I(z), Az=Ax+ iAY

olduluru qabul edek.

Tafif L L! dsbatinin Lz stftra Wula{dtqdo sonlu llmttl varsa,'Lz

W = JQ) funbiyst z e D nbqtasinda dlferensiallanot funlaiya&rsa' otdo

bu linita f(z) funl",slyvsnn 2 ndqtdslnde tdramesi deyilit va l'(z) kimi

iSare olunur. Yanl

",=f@=y,# a)

Ogar W = f(z)=u(r,y)+tv@,y) funbiyw z=x+tv nAqasinda

diferenslallarandrsa

176

Cavab: - i.

Cavab: -2.

tarti Adanit. Bu $ort Koti-Nrnan Sarti dlarur'

a)

[0u 0v

)ar ayldu 0v

lay or

177

Tarslna agar loqiqi dayganli !G,r\ (r,i rto*rialur tig:in (2) Saniddanirsa, onda w = lG) fun*siyas z=x*u ndqasindediferewiallatmndr.

Tal 2. Ogar w=lQ) funksiysr zeD nAqbsindodiferensiallanotdvsa, onda bu lunlaiya hamin nbqoda analitikfunksiyadv. W = l(z\ funtsiast D oblastnm bfitfrn nnqabrindediferens iallanandvsa, onda bu fun*s iya ham in ob las tda analitikdir.

lxtiari analitik f(z) funlaian ilgiln

flt=!. t! = !- t! =! - t! = ?" *,!ox ox oy dy dx dy oy dx

706 w =ez funksiyasrnrn b0ttln kompleks oblastda analitik oldulunugOstarin"

Helll 17 fitr*siyasnt e' = e"o = e' (cosy + isiny) kini yazaq. Buradan

u(x, y) = 2' s6 r,,\r, y) = d sin t . lndi Kogi-Rimsn prtini yoxlayaq:du . du 0v dv- =e- co6 y.- = -{- sin, j=e'siny, i=e'cos/,0t ''0y " 0x '' 0y - --

0n 0v . 0u 0v--=-^-=e- @ji t, :- = -:- = -f- msyox oy oy d,

Kogi-Riman gerti Odenir. Verilen funksiya analitikdir. (3) dttsturuna g0re

b"l =Q, ^ r\,' . ft,siny),' = s,sos, * ie. sn y =

= e'(cos y + i sin y) = e'+ =e'alanq. Belalikle, (r') =r' a[ng.

107. W = zi funksiyasr ho9 olme"se bfu noqtedo amlitikdirmi?Ealll z--r+i, t=x-ry olduEundan

zz = (x + ty). (x - iy\ = x2 + y2

ahnu.

u(r,y)= az 1r2, t(r,y)=o,

!=4-2r=o-x=0,0x 0y0v 0u_=-_=_2y=0 a y=00x dy

Belalikle, Kogi - Riman gerti ancaq (op) nqtasinda 6denir.

o)

r7t

Kos i-Riman gartinden is tifada e'darak asafidah fanks iyalann analiti kolduf,unu gdstarin.

ruS OA) a)w = z2 z, Cavab: analitik deyil'

b) W = ze' funlsiyasmrn analitik olduEutru gdsterin'

Ealll z=x+iy,e'=e'*e =e'(ryos! + isinv) oldutundan

7 =(x + ty)'(as y + isln y)= et (xaos y - ysiny)+ tet (xsmv + yans y)

almr. Buradan

u(x,y)=s'1r*t, -vsinv), (av)= e'(xsinv + vcosv)'

Indi Koti - Riman $ertini Yoxlayaq:9! = e' csy + xe' coa | - yex tut y = 2x (l ess y + cos y - yshy),o,

91 = er(-rsiry-sin y - r @sy\dI

# =

" ("i'r t Y*'Y *

'ior)

!l = e'(.rcosy + cos r - ysby\0y0'=d"

= r'1r*r+ cosy - ysiny)d, oyou

= -! = "'(r"ioy + ycosY + sin Y)0Y 0x

Kogi-Riman gertinin odendiyi ahnr. Bununla verilen funksiya verilen

oblastda aoalitikdir.e)w =lzlz, Cavab: analitik deYil'

q1 W="".IIelll u + n = eG

+,yY = ;x2

+xcrp rz = 42 - t2 (cos z:;y + i anzry).

Kompleks adedlerin beraberliyi gertinden

'[''Y)=""-r''"*z'Y'4''Y)=

"'-Y' '"ioz*Y'

indi Kogi-Riman Frtini Yoxlayaq:

179

L = 2o" -Y' ca2xy -zya'2 -t2 "ir2r.(fr

! = -2:n" -t' *"zry - 2o'2 -r2 sin2,y,oY

! = 2o'2 - Y' "iozrt

+ 2y'2 -12 *ro,Ax

? = -zy" -Y' "azry -

zx"'z -Y2 aszrY.dy

! = f; = {-;,, "^'4 + 2rcs 2ry1x2 -t2

! = -? = 2(ya.-lry + xsinzry\'2 -t20t 0x

Verilen firnksiya biitiin kompleks miistovido amlitikdr,O w =14RezHalll i=r-U, z=x+ty, Ftei =Rs(, -D)=, oldufundan

1zl =1. + tyl= ,p + 1] ohr. Bu halda verilen firnksil'am u * ,t = ,,li *7kimi y,azanq. Buradan iki kompleks edodin bomberliyi ;ertine g6ra

u\x.y)= vtrz * ,z ,

,{r,v) =oKogi-Riman qertitrs goro

x

!r +.y

a _ xy d=o. b =0.4 l,z,rz' a aY

Aydra gorii,ntr h, Kogi-Riman $otl, sncaq x = 0, 1, = 0 olduqda o'dsnir.

e) ll =sir3z - i . Cavab: analrtikdir.

109 (105). t)t{ =ixez, Carab: analhik deyil.

b)V --zlnz.Eatll z=x+ty, i=x-ry oldulundan 7n2=il6(t+iy)=y olar.

Bunlan verilen funksiyada oozars alaq:

uG, i * *, y) = y{, - iy) = ry -,y2Iki kompleks dedtarin beratarlik gertinden istifrde edak. Onda yazanq:

'(''Y)= 'Y' v(r'Y)= -Y2Kogi-Riman gsrtini yoxlaYaq:

AtAx

2r2 * y2,2 +y2

1t0

Alfu0v^4,..._=y- -=i -=v- -=-zv.Ax"ayAxAY

0u avfu Av

-*---*--0x Ayfu 0x

Koqi-Rmar Serti 6denmodiyi iigtln verilen firnlsiya r = 0, y = 0

noqtasinden ba$qa he9 bir noqtade amlitik deyil.v)W =lzllnz. Car,ab: analitik deyrl.

q)ll =clz. Carrab: analitikdir.Kogi-Riman ;ertinden istifide odorak analitik 7(z) fiuksilasrrun

hsqiqi u(r,y) ve 1"4 xrydi "(r,y)

hisselari malum olduqda onu berpa etmek

olar.

110. (x,y)= oasY-.

trIalli Bunun iiglin Kogi-Riman qortindan istihdo edsk:Avx4uAuray=7;7= a,' u=7.y'z

Axnncr ihdani imeqrallasaq, alanq:

,G'v)=t =] .*=ltl*2 *v2l*".\,,, J x2 +yz 2 |

w = 1Q) =,t(x, y) + fir,y) oltlu[un<lan td) = lt$'1, yzl* i*"4L o " alnar.

111, u=2tnxchy- x.

Helli Kogi-Rirnan gertinden istifrds edak: *=zrorot y -r.

?'=3 oHog*du n ? =2cos rchy-l olar, Axrnncr beraberliyi y-eAaA-Aynozoron intcqrallayaq:

v(x,y)= !(Zasxctty - lW =2cos rshy - y + c,

f(z)=n +n =(2,llrntchy- t)+ i(2. cos xshy - y)+ic.Axnncr ifade axtanlan firnksiyadr.

,/2 Funlsiyanrn hcqiqr u(x,y)= Ze'cosy 're slave 7(o)=Z 651g6

olduqda w = 1(z) analitik funksiyasro apn..tlal/i Kogi-Riman gartine g<ire

6:=2" *"Ydx

almr.Ko5i - Rimanrr brinci gertins 96ro

I

0u 0v0x 0y

yazanq. onda

?! =2"'*, .

0yBuradan

t{x,y) = !2e' as ydy -- 2e' smy + f,r\Surada eG) malum deyil. v(r,y)-i Kogi-Rirnann 2-ci gartina gOre

difoensrallasaq

2.e' saY t q'lrl = -! = z"' "- YAy

alanq. Buradan 9'(r)=o aftnrt. Inteqrallasaq 9(r)= c alanq, burada

c = conrr. Belal.iHe, v(r,y)=2s'" t * c ahnq. Onda'

tQ) = u(x,v) + n'(x'v)= 2"' q v + rb"' "i,,v

+ "):= 2e'(cos y + isin/) +lc-2et ei! +lc=Zct+i! +ic=2e2 +ic.

c - sabitrni /(o)=2 gertindon tapaq.

2 =2eo +lc =c=0almrr, Onda JQI= ?E' al6q.

Haqtqi, xeyalt hissaleri va /(z) malum olduqdo zo hl$tasi a artnda

7Q) analtnkfunbiyastn berpa edin.

113 (114). a) u = l' .. 114=! Avab: 7Q)--! ., ,2 *yz. .', n

b) u=o"EL (r>0I /(l)=0. C,avab: t(z)=uz.rv) u=12 - y2 +2x, f!).2i-1. Cavab'. 1\2)= 22 a2".

114(115). a) v =Z(chxsny - xy), f(o)=0. Czvab:2shz-22.

b) u =2sinxchy - x, ,/(O)=o Camb: I(r)=Zsnr-2.v) v =2Q.thxsmy + ry\ 1o)4 Camb l(z)=4chz+ z2 -t

ilS OtA. a)v = -2sm2xlh2y + y, l@)=2 Czuab:7(z)=2as2r*r'

b)v=2csxtlty-x2 *y2, 1@)=2. Cavab: /(z)= 2r(cos z -l)- izz +2.

/x,y) funkiyasnm D oblasnnda 2 - ci tartiba qadar h*ilnez fistlsifirenalai varsa va bu oblastda laplas tanliyru adayina, onda bu

funkiya hami n oblas tda ha rmonik funla iyadt. Ymi

I82

orq _ or? =narz 6v2 -

Ogar l(z)= u + iv finbilwst o oblastmda arulitik funksiyadtrsa, onda

onun haqi@ va xayali hissalai hamin oblastda analitikfunhiyalardr.Ogar iki hormonik funlaiya KoSi-Riman Sartini lldayirsa, onda bu

funlrsilalar qoSma harmonik fu nhiyolar adlarur.

116 (11O. AqaErdakl ftd$iydlann harmonik oldu[unu g6starur,

a) u=rz +2r-y2.HallL

a!='**z' 9!i=2'ox oxtOu ' 02'-

-- -ty, ------. = - 1,oy '' oy,ozo . *u -, -, -n---- . - - -.0 x" 01'"

Yeni verilen funksiya Iaplas tenliyini iidayir. Odut ki, verilonfu nksiya harmonik firrrksiyadr.

b) u=2ercosy,

v)u

HollL-t2 *y2

6'']f'

0u =_ 2ryaY G'."Y'-)d-

E2 Q'-tl

,2 * y2'

-zi +ary2

IE3

indi harmoniklik $artid, yoni u7 *u'+=o yoxlayaq. ondail'

?x. - 6xy: +-?xt + 6p'.2 =o oldugunu alanq. Bu ise onu gdstorir kl,

G',r'f G'*r'f

Calzb: ola bilmez

verilen fu nksiya harmonikdir.

0 u = - --l---r,x-+y-

d) u = aragL,re) u =trr\x2 +y2).

117 (118). ASafidah funbtyalar f(z)=u+n arulitik funl<styasmtnhoqiql va xefli hissalari ola bllarmi?

a) u =x2 - y2 +2ry.l12ll[ lnna g0ro harmoniklik gertini yoxlayaq:

!=zt*zr, *=r,dM

!=-zy*2,. *--2,qil"O2u O2u

-+_.=0=2_2=0.Av' Ar'Betolikle verilan fiuksia anafit* /(z) fimksryasrnm heqiqi hissesidt.

b) u=x2,

v1 r=u,lrz *rz).Holll Eym qayda ila /(z) flr*siyasron harmoniklik gertini

yoxlayaq:

Ae_

E

-2x2 + 2y2

F;7'zx2 - zy2

k'*r'Ytlarmonikltk qartine g6re

o2u . d2v -2x2 +2y2 2x2 - ?y2*.i,=p;f--ffi=','

2x

x'+y'

2y

,2 *y7

d2v

d2v

av"

Av

ot

I84

Belolikle, harmon*lik gefii 6danir. Verilan funlsiya analitik /(z)fulksiyasrnrn xeyali hissssidr.

a1 u=t!).r'. Cavab: ola bilrnaz."2IIE (120). Asa[dah funksiyalaru qoSna harmonik oldtf,itnu

m eylanla;dirina1 u =tQ2 - f). u =t*2y - ,t .

EalA Blm^ g6rs har bir funksiyamn harm@iklik gertini ddadiyiniyoxlayaq:

tuO2u-=-=6r' ---; =o'&au . O2u

-=4Y' -;= --o'qil-O2u O2n--*+{ =5 -6=0&' Av'

oldulundan r(r,y) funlsiyas'harmonikdir,indi ,(',r) ftnksiyasrun harmorik oldu[unu yoxlayaq:

Av d2v -^- = 6lr,

" =bl,ox

!=-rr'. *=ur,dy Ay"

d2v d2v --+ + -; --6Y - 6Y =0-Ax" A'l'

v(r,y) firnksiyasr da narrrroo*At.Belelikle, u(x, y) va "(,,y) firnksiyalan qogma harmonik frrnksiyalardrr.

b)u=-!. ,, u=- "f ,. Cavab: ha.x'+y' x'+y'

u) u=r,v=-y,q) u =e'cosy +l,v= I + e'siny

Cavab: yox.

^Ealli Bundan ewalki tapgrnqda olduiu kimi hell edek:

rt5

a! - 02u

Or=e^oosY, *=r'a*Y,tu 02u

Ay= -'"-Y' ,;i='€'cnsY'62u d2u"-1 1"--1 = st pos y - er cns y =O.Ax" Ay'

r(r,y) firnlsiyasr barmonik funksiyadr,

Ae A\it=

e' sl[y, b2

= e' s,JIy'

? ="'*"y, a2l =*'rio-v,ay ay'

d2, O2v" 'r r" i=e'snY - er sinY =9e' av'Betslikls, ,{x,y) firo}sifasr da harmonik firnksiya olur' Odur ki,

verilon funtsiyalar qosma hrrmonik funksiyalardtr.

Ilg (119). u(r,y) = s2 +2bry +cy2 iighedlisi hansr prt daxilinde

harmonik fiuksiya olar?Hatll Bu:n gore verilon funksilB tigiin harmoniklik gertini yoxlayaq:

?=z*rzut, *=r,in

*=zb*+z"y *=".dy ay'

Alalitrk tuIsiyanm hamoniklik gortino gore #.#=, olrnahdrr'

Ondt 2a+ b =0 ve W a + c =o prti odanmelidir.

S8.TORAMONIN MODULUNUN VA ARQUMENTiNiNHANDASi MONASI

Farz edak h, f(z\ funbi\vst zo noqtasinda a'alitikdir va f(z)+oOnda funlsiyanrn toram?sinin mdulu lf (zo\l,tt = f (z) funk:iyauntn z

lE6

miistavisini w m stavisin" inil<asnda zo nbqtasirdaki dantlmoybarabardir. fuSqa sozla l1'(zol>t danilnant, il'(zol<t swlnuntxaralderiza edir.

Omumiyyatla 7'(zo\ tdramasinin nodulu lJ'Qn\l,v = 1Q) fnksiyastvasitasila apnlan inilusda zo ntqlasirdah xatti datfilma amsahnabarabardir.

l'(z)*o oldu4da torumanin arzf'Q) arqtmenti v= f(z) funbiyas,vasitasila aparrldn tnikasda zo n()qtastndah wt a bucatma barabardir.

120, *=22 funksiyasr lle zo=Jl+iJi n<tqtssind: apanlan inikasda

tlart nra omsalmr ve &!nme buca[rm tapm.lTalli. Funlaiyamn ttirsmesi r+,'(z)= 2z oldulunrlq'r, tor:menin qiymeti

*'('\,= Jr*,,,q = z Jl + izJl

olar.Cabri gekildc olan zJi + z.fa kompleks ededini triqouometrik gokilde

yazaq:

Demoli,

lI'Q)|,-a.,a=+'*efe),=Jr,a=X

aLmr.

Buradan dartrlma amsah r=4, d6nme bucalrru e=f, oHugunu

aldrq.

121 (132). a) W =e' fi:nksiyasr vasitasrle z1=la)aiI n6qtosinda

apanlan inikasda darhlrna emsal r - i vs dtinme buca$ p -ni taprn.I/alfi. Funlsiyamn tdremBsi r,' = e' olduEundan

I az*,| .- i7 / -"'l =e '4 -"h2'"'a =zlcos'+i"ir,'l

la=r.z+,I \ 4'--4)

alurrr. Buradan dartrlma amsah r=2, d6nme bucaE, e=t al-rr.

za. zrzt = r(!.,f) = o(*, ;.,', ;)

1t?

ASaPdah /unksiyalm vasitasila apnlan inilasdo dort ma amsoltr -i ua dtuna bucafi g -ni tapu:

122 (132 (a)). w =ez, z2=-t-i; n<{tesinde.

cawb.., =L. ,= -,e' ' 2

123 (82 AD . raioz 4=0 ve zz = I + i n6qtalorinde .

Carrab: 4 =1, q\ = o, t2 = J "n'- tn\, n = -qctg(tst.tht) .

124 (li2 (v). w-71 2r=)-i vo zr=rL,;L ndqtelorinds.

cavab: 1 = t5,s,,= --,r!,, =tl,. l),o r= * - *nr* .

$9. KOMPLEKS DOYi$ONLI TUNKSTYANIN iNTEQRALI

Tutaq kl, l(z) blrEyatll fiinksiyan D oblasnnda tayin otunub va

kasilnazdlr. C -lsa hlsse-hissa lamar aqq va ya qaph istiqame anfit;eyisl D oblasfitn daxildtr.

Tutaq ki, z=r+iy,f(z)=yaiv-dtr. Burafo u=u(x,y\ y =(x,y)lunlsiSalan h4lqi dayiSanli x,y arqumentla nin finhtrydr.

z -dzyiSonintn fnbiyst 1Q) lnteqrah adi eynxatlt inteqralagatinlir. Yani,

lf|\y'2=ltl*r-vdy+tlvdr+tdy (l)

l1Q\dz -inteqrah intaqrallamo yolu C -dan asrltdr.

Ogar /(z) funlaiyast birrabrtali D frlastudo anolitildirse, onrninteqtah inteqrallann yolundot as t deyil. Bu lnlfu

ffQW=o

Burda t - D oblaswa dmil olan ixtiyai qapah ayndir.Ogat C aynsinin tanliyi parametrik, iekida veilibsa, x= x!\y = yb)

va C ar,r'tsinin baslan!rc t=to, son t--4 qiynatlari olarso, onda 1(z)

funksiyasmtn inteqrah

tfdv"=ivd)h'dv, (2)

rtt

olat. Burado ,Q)= rQ)+ iy@ qabul olumtr'

Agor 7Q) funksiyasr bitabitali D oblasttndo analitidirsa, onda

inteEal Nyuton - I*ybnls d sturu ila hesablantr:, . tz.

Ir?Y'=ol',)-o('")-oG)l,l A),o lto

htrda o(z) 1Q) finksiysmtn har hans ibtifui fmbiyostdtr Y*ti D

oblastuda o'e)= ye)

do$rrdur.- ' ir*q h, f(") va flz) funlcstylan blrrabiteli D oblasnnda

analitwirsa, zovo zt D oblastmtn ixttyart n\qt'larldirsa' onda hisso 'ht s s e i ntaqrallann dttsturu dogrudur:

i A,v av, = V Qhl4l - I e\"\J' au,,o 'o

125, l(l+i' zz)dz inteqraluu z1=o' z2=1+t noqtalerini birlosdircn

xett boyunca hesablaYm.

l) Xet boyunca' 2)l=r' parabolasr bo;unc4 3) z'=t s16"da

zrzrzr lnYlula.a,,

.Bafli lnteqralah fuksiyam a+aFthk kimi yt'a.q ,t + t - 22 = t + t' 2G -iv)= (l - 2r)+ t(l + 2v)

burada u = 1 - 2r,v = t + zy. ihdi (l) dusturunu tatbiq etsek, alanq:

1 $ i t - zz\z = 1Q - z xfu - (t + z vfu + i ! (t + t' vfu + (r - zrpv'

l) z1 =0 vs z, =l+i n6qtolerhilan kegsn duz xsttin tonliyi y=r olar kU

dy=&,0<x<1. Ondatl

!(t+ i-zzv=i$-zx)-(t+zrDrb+if[(r+ zr)+(- zr)p = z(r -t)'c00

2) y=12 parabolas I tt)tln dv =zxdE (o<r<t) alanq:tt t

rz*2\*+\h*zr2 +(t-2r\2xh=-2+!i.c0

3) ZlZt pareasl boyunca y=0dy=0,0<*<1. ztzt boyunca

x =l,lx =o, o<y<l oldu[undan alanq:

!(t + i - zrv = J(l + i - 22fu + I (t + i - 2iW = l(t - 2xfu + i I e -c ztz'! z3z2 0 0

l1-J(t*ztW*iJQ-2 lW=1,00

Bu onu g6starir ki, kesilmez olaD, analitik olmayan funksiyanninteqrah artaq yoldan as tdr.

na !Q2 + zrfu, inteqrahm hosablayn. Buada c, lzi= I g€wosinin

cqdvsiidtlr. (o < a z < r).

I1alL Kompleks z odadini tstlii gekilda z=e'e gdtiirek. Bu halda

dz -- ietede oldulundan

le', .V =i, "'

n (** * rb, =,ib''' * "

n\ e = t(!' ""' * : *)W =c00

=!. ",t* * ",. -l-r=-l-r-1-r=-!33333127, le'dz i*eqralmr hesablayn. Burada c, /=-r diiz xottinin zr =0

ye 22 = t - I ft noqtelorini birlegdiren pargasrdu.

frelli x = t,y = -t c >otinin pram€trik tcnliyidir. Bu kompleks

gakilde z=r-ir olur. Burada 0<r<r arahfimda &yigir.(2) d0surrunu tetbiq etselq alanq:

pz & ='1",*,,Q -t\t =1r- tyi"$*'lat =1r- 4. -L"tH,!li = [' * r).rd o '6 l+l lo

D8, 2i'

br'z + zrh inteqrahnr hesblaym.l-r

Halli lnteqral all;. 7Q)=122 a2z firnlsiyasr analitik funlsiyadr'

DoSrudan da

tG\=* *ryY +2(x+ty)=3vz -3y2 +2x+6ie+Ziv=

= 3x2 -3y2 +2x+i(6ry + 2y\,

u(t,y)=312 -3v2 +2r, t(''Y)=6ry s 2r,

9!=?!=a,*z *!=-!=ur.0x 0Y 0x dY

Kogi-Riman prti odenir. Beleliklo, 7(z) - fixrksiyxr analitik

funksiyadrr. Bu inteqralm hesablanmasr [9un Nyuton'-Leybnis

diisturutrdan istifrde etnak olar:

190

'.i 6* *r,fo =(l * ,,)l?!; =, -rr,

129. I zcos ztlz inteqrat hesablalm.0

HaAL tQ\=z ve p(z)=oos z fuDksiyalan analitik fimksiyalar&r. Hisse

- hisso inteqrallama diisturunu tatbiq etssk, alaflq:

lzcnsuz=,dz='du,r="h, l= ztml O - lsurzu = rsln, + c61O =

=isini + ms, -l=-rrl + cht - l=l - e .

sro. qoxQlyMoTll ruNKstYANrN BIRQIYMOTLI B!.JDAGI.- BTJDAQLANMANOqTOLORI

O oblosnnda analttik olan w =JQ) funkstyasr D oblasnnt G

oblasnna ele inikas etdirlr H, s = 9(w) ters funk:t1nu G oblastudagoxqiymath olsun.

Ogar G oblasmda eb blrqiymatli onlitlk z=q@\ ,=sz@\...,

funlaiywlan varsa, verTlm w = lQ) funktyast bunlar 9 n tars

funksilndr. Ot1fu q@\ 97@),... funfutyalan G obl.ashnda tayln olurunuS

flz) funhryasmu bttqiytn2tll budaqlan adlantr.

Masalan, agar w -= p eta funkiyastdtrsa, onda n -ci qiymet z, = rut?t

dt)sturu ila hesablamr. Burada r=ili, ct=9*2! (_r<0<tt,n4

k =O,1,2,...,h -1).

1J0. l+ inteqrahnr hesablayn. Burada c,lzl-r gewesinin yruxant .,t z

qovstidrir. G ugtin Ji = -t buda[r gdiiriirliiLr.Halll I flsrul. € fimksipsrnrn iki qiyrneti var:

,E = .[o( *"? t iar,9\''l 2 2ja = rUl*(Z.,).,,,"(;. C]

= -.i,("""7.,,x!)llaradakr, p = argz. z - n qiy,nLati lzl = I gsvrosl iize g<irfirti[dtyiiLnden

r91

^[z =qs9 +is;o? - G=-"-9-i"ir,P22'22gotiiriiftir. Jt=-t prtini z-in ikiaci qiymeti 6dcyir:

"=-"*l-i"-!Do$udan da z=l olalsa, argz=o

{ =-cos0 -lsin0 = -lNyuton-l€ybnis dfrstsrrunu atbiq etsslq alanq:

t *

= I $ = zJ;l-,' =r(.l-r - ri)'".12 \ .lz ll(4) diistuunda z = -l gdtiiLrsoh tapanq:

(4)

#,=i#-=iff1a=i'"{"-.)o'='"'(r16='1"';-u''J='o-'r

J- r =-[*,"'gl- D.,,t"*eL!]= -("*i*,,-f )=-,Budalr ,/i=-r qskilde gotiirilldtyilura gora, alanq: I*=rtr-,1'"lz

ll 0tr,u]. z=peiP gotiirsalc, p=l oldu[undan p 0-la a arasmda

deyigir. Ji=-r prtinden Je''? = e'11" )a1n'. Onda

131. lzl=l gcwasi boyrnca i4* *** hesablayrn. Buradal'

ln z - loqarifina.mn bat qiymrti, lnl = 0.

I{aIIi I lisul. Nyutm - Leybms diishtrunu tetbiq ederelq alanq:

'[\ * = !^, *t^,t = f [ = ]'', = ill^ = *

II ilsul. z=e'P( p=lzl=t oldqda ) gouirok. Onda 42=isi?69'g391L

1* " =;tW *'', * =','\: o * =;':' * = tf, = *inteqrallan hesablaYrn.

132 (140), lzlmz2dz, c Vt=l ( n <arez so) Cavab: -l'

t92

liS 7t,lt1. Pl"l' g"*, c'.21=o, z2=l+i ntrqtelerini birtagdiren d[z

xettdir.

o'uo, |("'-r)(r*i)134 (142). lbzdt (nz -lc4larlftnanrn ba; qiymetidir), c: lzl = I

c

a) lnteqrallama z0=l naiqtasindan baStaylf, b) z0=l saat oqrabinin slsistiqametinda aPanlu.

Cavab: a) zfi b) -zil135 (14i). lzRezdz, c:lzl=t' tloroktt saat oqrebinin eks istiqameti

c

g<i,tilrtilii'r. Cavab: 0

1i6 (144). l;?nz, clzl=t, Horokot saat oqmbrnin oks istiqarnati

gritiiLriiliir.Carrab:0

1

137 (145). I ze'dz .

1

Holll Yeilen inteqrah hesablamaq iigiin hisss-hisse inteqrallama

diistuunu bnib edak:

, lr--u.at=e'd) .li i. ". , ,lilzczdz =f -'-'

- l=2"'l -le"dzae' -e-e'l-=1- - t.4r=4y,y="' I It i ll

= iei -e-ei *"=Q -t)et,liE (146). l*ezdz, a)c: z=(z+t)t (o<t<r) C-auab'. a)z+i.

-l-,139(14D. lQz+ia Cevab: -2(1+r.

1+l,+l

140 (148). I z3a Carab: -1.0

i, .t4r (I4e).'1Qt -25fo. caEb: :(,-,).

I

142 (150). le'e,c: a) y=x2 paratolasmm 4=o ve z2=l+i

ndqtelerini birle$irsn qdvsdiir; b) Bu nfutolsri birleldirsn diiz xatdir.Ealli a)

r93

'l'"'p="'llt' ="t+i -eo -e ei - I = e(cor I + i srz l)- r=e.cos.-7+iesinr.6pq 'f'"'6="'ll^*i

= "r..' -"0 =e.@sr-r+iesinr.;' lu

143. I z sin zdz.0

Halll

I zsinzdz =l l=-z@szl +looszdz=i pz = du,v =_Cf,st1 l0 6

= -icosi + sinzf = -.lchl + sini = -iclrl + isil.

144 (152). I+,ct a)c:kl=r g€vresirin yuon hissesidir. J7-rn.,1z

budaqlanmasmda Ji = I gdtii,rtilur .

Halll z-reiq kimi giitUrok. r=lzj=t oldu[undan z=eie olar. lhrtarsfi diferensialhsq & = ieledq alanq,

,! ,- -tQ- ,9.lz=e 2,

7z=e 2 . i"1949 = i. s 2tr9 .

Bunlan verilan inteqralda nezere alsaq:

!# =,i"\ * =,i,,i,1;; =,,1 ;;

=,[,], -,.l =,(-, ; * i *. i - r) = zri - r)ca. o 0 \-/ " l. , .

_.7g l$, c.lzl=txez>o,^Ft=*t'-i) Cavab: zrE.;'t z /

145 (lit). lqs zilz ","1=! va zr =r+i ndqtolsrini birlcgdircnc2

duz xott pa$asrdr.HallL

lr+ilas raz ='i'ux zaz =snrln =su(r+,)-sinl=,itz

= -sini - I = -lrftl - 1 = -(irfil + 1)

194

-2

146 (1s4).'i("' -,)", *l+i

EatlL Ba inteqra.L hisss-lusso inteqrallama qaydasr ile hesablayaq:

- ,2 - ,2 - ,' , ,t I ,'lI p -

") i ; a, = 1,Q, -,),, * =i b' -,),2 ol "i|--l =, -,,, =,a l=r+r l+i l'l \' ) ldl =2zrlz, t

- 6' -,y*ll'.,-,i,"+,1+1=b,r' -,1"ry -b,,t' -,hb* -'"]P' =ll+,

=-5r'2 -(zi -t)ei - 2e-2 + ?et = -le-2 +?zi +l)et .

I

117 (155). lzaszdz. Cavab: e-l -1.0

i148 (156) Jzsnzdz. Cavab: cosl-sinl-ie-r'

I

i149 (15D. !(z-i\e-'az. Carab: t - ooat + (sinl - t).

0

fiO ( I ss). in(' * I o, lzl = I gevrasi boyunca, Im z > o.Rez > o.

i z+l

cavab: - t( 4 **' z), iluz.8[4 ) E

tsl {tsl1. ib=* zt=l va z2=; n6qtclerini bkle$diren diiz xst1Z

;2pary{ur. Cavab: -i.l+i

152 (160), lsitzcos zdz.0

flal/i Sade gevirmaden sonra inteqrah hesablavaq:t

f' r. " *r r* -- l' jt r,, 2rd, = - ! "o,

2r[*' = - +"r, 20 *,) * ] ..o t'o 4 l0 4 4

153 (161). i!!+d.. zr=r \t. zz=i ndqtolerini birlsgiron xstttoos" z

bolunca hesablayrn:

HallL

ld3=ik_iffi={.]#==,r, -,rt. | ;!,-t L =,*r- ot,: ;rr- :

154 (163). i Re(sin z)cos zdz, ":lmzl<t,*", =L.

c.*u,(|,r,2-J),

155 (164) p-rQ')a", c:llmzl<t, Rez=r. Cavab: -].i.1

156 (165). lzez dz

cos I

Cavab: 0,

157 (lc/i), I rgzdz, c:y =v2 parabolasrrun z=o'z=l+i noqtalerinic

birleqdirsn q6vstin uzunluludur .

Carab: -uJJ'r**Jr + iotctsQst' thl)

SI1. KOSTNIN TNTEQRAL DITSTITRU

Agar 7Q) furb@n (D oblastmda analitik) hissa-hissa mahdud. c

konturu ila alata olunmuS D obhsnnfu analitikdirsa, onda bu funksiyagfrn Kotinin inteqral d sturu fuf,rudur:

fl,n\= ) /l'W (zseD) 0)' '"' 2ri'.2- zn

Ko{inin inreqrat A)sturu bit sra i eqruIlaru hesablanmasmda geniq

istifada olurur.

15& t --:!L--d, inreqraLn hesablayrn.t-i-" z' + 42+31.1-.

IIaAL Vl=z dairesinin daxilinde inteqralahr funksiyanm mexr:cr

z6 = -l n6Qtesindo srfia gewilir' (1) diistunuu t'tbiq etmok frgiiLn venlen

inteqrah miioYYen qedor gevrak:

l%

L&E a,= t , "U -*= r @ro*

1,i.22'+42+3 1,1'=2(z*lXz+f;,,l.zz+lErul:ld^ lQ) = *firnksiyasr lzls 2 dairesindc analitikdir. Ona g6rs

1 , "hZ 4, =zr1(t)=z; "4- i) = chi = ;,*"t

1,i=zz' +42 +3 2

I59. Koginin inteqral diistunmdan istifide eders\ t:u - *inteqrarru hesablayrn.

cz'-62

Ogar: l) c:lz-zl=t,2) c:lz-71=3;31 c:lz-21=5Halli l) Mshdud oblastda lz - 2l = I dainsi daxilindo nt€qralaltr

funksiya analitik oldu[untlaq Kogi teoremine gdro

,"_!r_,h*=,2) iz - 4=3 rooMud oblastda aacaq z = o Ddqtosi yerlegir, yoni mexrec

srfi'a gevrilir, Inteqrah aysrdakr kimi yazaq:

"7

-, e'

I +4'= I '-6a".z'-bz p-4=i 2

,2

lO=: - firnksiyasr verilsn oblastda analitikdi, Odur ki, Koginur- " 2-6inteqral ditsturunu tatbiq etmak olar:

^,1 ",' | =t*(-!\=-n1 ]--=az=za: _l -'^(-Al--Tl,_A=.tz- _bz

" _ol,

=O3) lz-zl=s mahdud oblasunda futeqralaltr funksiyanm msxreci

z =0,2 =6 ndqtolerindo srfra gewilir. Bumda (l) diisuuundan bilavasiaistifidc e'trnak ohnaz. Bu irteqrah hesablamaq tigiln bagqa ggu;dan istifideetnek lavmdr. ;f Usrio; sade kesrlore ayraq. yani' 2'-62

1 I I tlV _ 6"= 6' ,4-e';

Bunu iateqralda nszera alsaq, alanq:

Ilz 2Fs

tvt

=1,,;*-:J,.*=1^ .. l - "x -l-lA e-- -- )a=td

-

663Koginin inteqral diishmnun kOmeyi ila a$a$dah inteqrallan

hesablayn.-z160(16r. I --42.

lzl=t z' + 2z

Eolli z=0 maxsusi ndqtesi lzl=t gevrerinin daxilinde yertogir. Odurki, imeqralaltr firnlsiya z=0 ndqtositrd.n bagqa br yerda analitikfunksiyadr. Verilen inteqrah agagdakr kimi yazaq:

e2-2-I . dr= : -; ^ dr= I zt-z dz.

lzl=t z' + 22 lzirz\z + 2) lzl=t z

Axrrrncr inteqrala ll9az =zaf Gsl Koginiu inteqnl diistunrnu atbiqcz-zo

edek. Onda alnq,e'

1-r*2dr=2;1 ", ll =2o.4=*l,i=r '

'2+2'12=0 2

DE161 (t6S). I :---e. Cavab'.I=o-t.

]z-tl=l z' +l e

.Esm-162(169). I .J-=d,.

lz-tl=2|'+22-3Halll Molcasi vuruqlara ayrraq:

z2+22-3=0 a 2=-11J1i-3=-li2 = z=t, z=-3.Burada z=1 noqtasi lz-11=2 gevrosinin daxilinde yerlegir. Odur ki,

intEqralaltr kompleks deyi5* i funlsiya z=I ndqtesindcn basqa hor yerda

analitik funksiyadr. Verilen imeqrah aSa$dalo kimi ya.aq:

silE-E E )

S[l- SID_: ----=t -____2 _a= I ------]---* = I z+3 dz.

1"-il-zz2 +22-z p-iF2G-l\(z+3) 2-i1=2 z-r

Arflnncl int€qrala Koginin rnteqral difsturunu t tbiq edek

.*l -62

t9E

.r2llil

-. ,t2

I z+3. az=za]- it . z-L z+5

,ESID -)lt42

- srnE

lztszz'-42+3

I -lcl-nz.lzt=l ze/1,+21

Hatll z=0 ve z=-2 moxsusi ndqtelardir. z=0 nd{tasi ]zl=t geuasina

daxildir. Odur ki, rnteqralaltr fiurksiya z=o n(htosindrn bagqa her yerde

analitikdir, inteqralr ap[rdah kimi yaaq ve Koginin inteqral diistuunu

atbiq edok:

t E? ar= , ,ul'tl) dr=26l,it ,rX*zt VCr z

=zii+=o.

16s(172). t "oi9+nla,l'zFt z\e' + 2l

Halll ifrrtqo'lzln funksrya z = o ntqtcsindon baEqa lzl= 3

her -verinde analitrk firnksiyadu, Odur ki, verilsn funksiyaru

bagqi gekilde yazaq va Koginin intqral dfistrunu Btbiq edsk:

"or(, * ,)

16s (170).

164 (171).

Cnvab a,hl.

E, )ljit;t )lz

*(, * ,)'\l--lle, +2 )lz=o

oblastmn

bir qeder

- cos ti 2.,=!tu.-=-DcnE.33Il,l=r

= I -r'n d"=r '(cos(z+a)r,t, z \ ez +21,1=s z

\ffi(173). t +-.lzl=s z' + 16

167 (174). I . tu, ..

zl4(2" +9)V +9)

sn ^Ie+i)168 (t7s). I -*-lzlt z' - 2z

Cavab: 0.

Cavab: - a.45

Holll inteqralahr firnksiya z = o n@asinden baqa lzl = t oblasunda

analitik firnksiyadr. Odur ki, Ko5inin inteqral diisturunu tetbiq edsk:

199

,hx^(z+i **! ("rIt-all

t #z= ! "12 dz=z,l +ll1,lr z'-22 l,Ft 'z I

z-L )lr=o

=-n sh+=-d istr;=r

t6g (176). , sin zs-in(z - lt cavab: o.

zl=Z z' - z

Oger 7Q) funlaiyas D oblastmda va onun sarhaddi c-de

analitlldirsa, orda ixtiyari n ti94n aSa(dakt dtistar doyudur:

tJW'-=za ro6^1 G)t,G - ,oY" nt 'Burda zseD, zeC. Bu dtlstuntn tarbtqlen ib natgul olaq'

170, [ ,'bo,,& inteqahm hesablayrn1,-1pr (2, _ rI

Halll inqrdzltr tuksiya /(z)=ffi ,o=l ndqtoshdon ba$qq

lz - rl< 1 obla-*urda analitik funlcsiyadrr' Irteqralaltr /(z) funksiyasrrun bu

oblastda arul.itik olan hissesini ayuaq. Ona gdra f (z) furksiyasrnr

a5agdakr kimi Yazaq, ,io.

Analitik funksiYa kimi

got[rssk, alanq:

indi t6romeni taPaq:

sinz* - (z + t)2-

Q'-rI' Q-\',th-.. -ni g6tursk. (2) diisturunda r-l(z+ry

sir:tz

t V*t\a"=z;t'!)1,-'r1=r (z - l)'

" ( snP \ rasz (z +l)-zsnn/1,)=[G;Pj =___?.rr_

B*ud^ I Q) =ziy+]ya = -! Alrn'' Do[ru&n <la

,.1,=,t*,n-r?="(-:)=-*'alnq.

"L tlrr, # - rl& inteqralur hesablaYm'

IIaZi inteqralatu ttd= 1,ffi4 turksiyasmrn maxraci kl=2

oblasunda iki z=l va z=-l ndqtolerinde srfra gewilir. . -!-(z+rf(z-r)ihdasini sada kesrlere ayrraq:

llllllllt(,-rfc:r,=8 ;-4 ,.'-+ (;;y-; 6*y

Inteqralm xettilik rcssesinden istihde €tselq alariq:

,],6ftn" =1;,*" - 1,1,#* -i,1,#" - i,,1,fft o,

Birinci iki intoqrala (l) Kopi d{isturunu t tbiq edek:

| "tu dr=za"ht. I tu &=zra"tt.zi=2

2 -l Vi-22 +ltlguncri ve ddrdiincii inteqrallar (2) d0rErunun k6mel ils hosablanr:

! r"tu-oa,=u("nll =-r^*r,l,F, (z + lr-

1,. -'

1 :E-a,= ?t"*l'l =dchtt,iz(z tl)' 2l ' ' l"=-t

Yekun olaraq inteqrahn hallini alanq:, chzdz 2dchl znicht I ^ . ._ I . .- shl - chl n

r,fr(.-r)(r-r)= e -

-+-znsht-'Fcht=-vi=--'A;a gldah i hte qra llan hes ablayu.

172(17D. t r+a.lzl=t z-

Halll lntqralahr $ nrnrciyasr z=0 nqbsinden bagqa lzl=tz"oblasunda her yerd. analitik firnksif,adu. Ona 9610

l'>aa= fr tffi 6iir6mxraen istifade edek. oger /(z) tunlsiyasr

NI

D oblastrnda va onun C sarhaddinde amlirtik firksila&rsa, onda i&yari ztig[n yuxan&kt dtsnr do-gr.rdur. zoeD, zeC. (cosz)'= -sinz,(cos z)' = - cos z oldulundan, yrxandah diistua nazeran

,t ffa,=f,zar-*,\,=o=-alz\=l 2-

Carrab: 2a

f'(z) =

173 (r7s). I **bl=t z'

srn-z174(r79).

l,lrFrd.ft5"sio!,

HalE latf4talali /(r)=, .+ . firnksiyasr lz-lr=t obhstmdalz-t)'(z-3)

z=l n6qtosinden bagqa her yords arulitik funksiyadr. Odur ki, bundanewelki misalda isifade etdiyimiz diisturu tstbiq ede bilarik:

s-u1 zsia! z 4

I ---4- dz= I z-t=dr.p-i1=r(z -l)u(z-3) i,-rl=r(z-tF

sm-zf(z\ = 4 isare etsak:z-1

tntt-@s-2.\z - ll - stn- z

.----c-3T--'_lV'@l

lz=tBunlan yuxandakt

_L.t _l=-f#J= , o, "=_#,,t.u

7U--t-ms-.(-z) - sm-

inteqralda nazere alaq :

stn-z4

p)1=rffi*=t'')-<i*r>='n

,E175 (IS0). ! , ?boe . Cavab: 0.

lzl=r\2. _t)

t{+ll.'2

202

176 (ta\. ,,\="Caft-_0,

Halll --1-

fi:rksiyasr lz-31=6 oblastrncla z=2 ntjqrosindon(z -zf (z + c)

bagqa her yerdo analitik frr.oksifadr. I@=-1 . i$arc edek. Bundan

awelki iki misalda istifrde adiyimiz diisturdan isti-frd. etsnok [9ih .f(z)fu nksiyasrnrn ikinci tsrtib t{iramosini tapaq:

Itd,= ---L.-f.tz)=- ! I R 8

tz+4)- v+ aY' l"<zti-z=- Q;$=-A'. zdz I- / 8) ri

=--!?t--'=--

k-il=o(z-zP(z++) 2t \ 6t J 2't

,iE177(182). I + "dz.

1z-21=t z" - 42'

Halll intr{rralaltr ffi *"o^r z=0, z=4 ntiqtelorindon basqa

lz - 2l= 3 661^1-n her yerindo analitik fi.r::ksiyadrr. Bu kasri

IIABCT-A=7;q=;-7'=

kimr sade kasrlara ayraq.

A=-t a=-!. c=!I6', 4' t5tapdrqdan sonra

I I ll ll,1 -4"2 ,21r-41 16 z 4 72 16 z-4

alanq. Onda verilen ir:teqral aga[rdakr kimi olar:

I=-l , theio d"-! 1 "E\r* I , che'E 0".t6 p-)1=t z 4p-4=t zt 16 p_i1=3 z-4

Bu rnteqrallann har birini aynhqda hesablayaq:

- i'u''-]"*"=-zT i'f,cneo =-"*t'

"!"_i*=o, l"ot-1"n,I

G1,-!=,

?t*n ol

= oi'"o'rtn'E oldulundan

L*" "11 =zi."rhsten^l. ,k=0 lz=0

-ip_Lprl 42Bunlan 1 inteqrahnda nezare alsaq, yazanq:

I =-Ifcht+Ez sht+oi "ht='2

,hl.E2E2I7t(tss). I,\"^-l-a.

Ft=;'

ruaa )*"J- turksiyasr z=0 nOqtesindon bqq" H=; obkstrnm

her yllrinda analitik fiulsiyadr. 1121=oosJ- ilam edak Bu funksiyanrn

ikinci tertib tOramesini hesablayaq:

,. - /, -.,.- 2E ,f o2 Ef'\')=

,r*rys'n ,+t, I t')=- e+rfsm--.-G;ra-@s--.,

re) ^=,2.le=01

crnda I f.^ u &=2ri.!:=23i."-J

z+1 A

',71

17g (IS1). I .:1--e .

1"_4=rQz ++f

rso (rst). I t-Y' e.t4=, ''

HaUi t:+ funksiyasr z = 0 n6qtssindan bagqa lzl= ] obhstmrn herz'

yerinde analitik funlsiyadu' odur ki, IG)=l-snz itara edak:

f'(z)=-cosz', /'t,ll, = o

= -r '

Bu halda

= z bhl,

I che"- I - .. r'= I ---;---d=-..,/,Et.rtshl=-:

1

'!- s1r1.chelE

Cavab: 0.

2U

I t-Y'a=zoi.(-t)=irivt=; "

almar.

Isl(Is6)' ,,L:ff cavab: - 1+ i

"'.2

s I2.KOMPLEKS OBLASTDA SIRALAR

Deyek ki, komplels hedlsrdon ibarat sua verilmigdir

zt + 22 + ...+ zn + ,,,= Lznn=l

Butada zn=xn+iy..Ogar

\+ x2+...+ xn+,..= Lx,n=l

yr+ y, +,..+ y, +.,.= ly,,-l

srralarr yrt vsa, onda (1) aras da y$thr.

lz,l+lzrl+...+lz,l+...=fll G)

svau ytphrsa, onda ()) srau nfrtlaq y*lldn sva adlarur. Q),Q) va @svalon hqiqi hadli svalardn Odur ki, loqiqi dayganli oblastda stralark n olan alanatbr konpleks oblastda da 6z g c,inda qalr.

@ 'inlE2, E+ srasmr tadqiq edin.n=l n'

Helll et'=cosrr+isinn oldu[undan verilan sranm ylE masl atagdrkrhaqiqi oblastdatr sualarm yr$lmasrna getirilir:

S *' P sin zta 't Ye I ---;'n=l n- n=l n'

Bu sralarm har biri m0tleq yrprlan sralardr. Odur ki, verilen sra m0tleqvf, r.

I

,u, E+ srasrmn y[rlmasmr tedqiq edin.

(t)

(2)

(3)

205

,, - *tlHolll e'" = c$L a lliaL .H.E*d"q

E-;4srasr yr$rlr. Odw ki, verilen sra daSlan sradr.

A4apdah sralann yt$tlmasmr tadqQ edin:

rc1 fitn. igtlhlz

Ealll cosin = cLn =" +j-' olduEundao verilor sna

.rfo Slll -

stasr daErlt, !;a

kimi iki sranm cemind3a igfip1 s1ur. Bfuinci toplanand*, ,ir(i)' ,rr",

e>2 oldulundan .l.grlan sra, ikinei fsptanandskt ;f:l' srast ise' Ei2e)yrglan sradn. Onda bu iki yr[rlan ve da{ an sranm cami da$rlan sraolar.

Its ilBtr $ rsiniz.FlJ

186(rDs). ;+"=t 5"

Hcll cuin2 -- clm2 =l{"n' -r-,' I olduEundan verilan sra iki sranm2\ ) -cominden ibarat olur.

g cosin2 =1 S ," *1S I =l S lg)" *1i ,

"1r-{- z ;r7 -i,irG.Y' - 2

^"=t\s ) z,it(s"Y'

.,,a2

;,(.;,) sutsr ? < s oldufundan azalan handesi silsile bgkil edir' odur ki'

yrf,rlan sradr. E 17 ""^tat azalan hendesi silsiledir, yani yrlrlrr'

n=r(sey

Belslikle iki yrlrlan sranm cemi yr[ an sta olur'

S *i, = g en +e-n _t 3 1.g')'*1 S (!)'

,?: z' ,1 2"+t 2"1{2) z,i-r\k )

Cavab: yrtrlr

206

@ ^an187 (190). 2 " -. Cavab: yr[rlr.n=l nlJn

i16 anItg(I9I).2!r=.

n=l al n

Eclll e n = sosl a ;si1 l: @yler d0sturuna esasen yazrhn$dr). Bunnhalda verilen sta iki sranm csninden ibarat olur:

iTnrr- os- - 3E-:

==I __!+i2__!.

n=t4n n=t 4n n=t 4nBurada cosx va shr fiuksiyalannn molum Makleron ayntgroden istifade

It. €S-

etsek t --+ slrasl t + srasl ib ekvivalent sraolu. Odur ki, daSrlr.,il',1, ErJn.,7

- SE-E -/ srasr ise f + srasl ila ekvivalent sra ohu. Bu srran=l \ln t=l I

n20oumilegmig harmonik sradr. Melum oldugu kimi yrg tr. Demeliverilen sra yg an ve dalllan sranrn ceminden ibarat olur. Bu da onug0stsrir ki verilan sra da! an sradr.

18g (192). E 9.'f . Cavab: miitleq yrgrlr.n=l -

22 oosin

rso (!ss). E 'htJ;a=l S[rI[

Halll sittin=ishn, shiJn =isinJn, sh=lGn - e-') oHuEundan verilen' 2'sranr agaSdakr kimi yazrnaq olor:

f srr6 _ $ sinJz _. 3 sinJz " 3 e' -. r

,L=l t'^i, = ,lr thn ='rl-r r" -"-'='71fi11sn4n '

lsirJzl<l oldu[und^ ir; _ srasrnrn yr[rlmasr agkardr. Odur ki,

verilan srra yrtrlan sradr.

207

lst (tsq. ; + 6u,65' dqirlu.,-l shm

-.t- ch-

ret.l. (les) Prfr .

HalE chiL = c,qt , Ilz-lr gotiimok, onda verilen slranl a$aBdalfl kiminn

yazmaq olar:

a chiL . *[srFl,L-- ht, - L-- ;h=ln h=l n

*r1= t gotiir"ek (melum Matleron ayhgna nezeren) onda axnncr su-a ; +n - ' n=t nn

srrirsl elo ekvivalent srnr olw. Bu sramn yE nrasD Dalamber olamotino gdroasadrqla gostormek olar. Odur ki, verilon sra yrBllan sradll.

191,2. Q%) V -L . Cavab: dafrlrr.n=l,g' et

gl3. Qtlr/voT STRASI

C9+C1z+C222 +...+Crzn *...= i,",r' (5)n=0

$aHinda srrayd q w"t stras deyilir. Bwada C, C,,..., C*... kompleb sabitlar,z lamplzlc dayigandlr.

Abel tcoreml Ogar (5) q wat srav z=2, ndqtasinda yfihrsa, onda

lzl<lzol sanini ilzyan b tiin zJer igiin miitlaq yt$lrt. Ogar (5) sll.ast z=zo

ndqtasinda yElhrsd, onda pt> zol sartini ddoyan b tfrn z Jar gin da[thl(5) arasmm ytfilmt oblosn markzzi hDordinat baslan{rctnda olan

dairadir./iwat xrasmtn Ytfrhfla oblostt

R= rm f4 (c,,0),-+{D lc ,+l I

,l

R= tim :,--,- {lc,l

(6)

(7)

wya

tt smrbn ila taYin olunur.

192, ,6 in zn sfasmrn yl$lma radius:nu taprn.

Hdtll C "

= *"rn - "-' ! "' -chz oldulu melurrdur.

Yr$lma radiusmu tapmaq iigtn (6) diisturunu totbiq edok:bbt' ch

R= lim ,',=hm ,?rr=tmo--+alchln+ll] , a-ch\n + l) n-t*

.. I I -,= lift

-=

n -+* chl + lhtrrhl chl+ shlBurads

Iim drz = Iim en t e-' =, r t e-i1

- rn -r.o n-* e' - e-n a-+al-e-2n

oldulu nszoro afinfl$r. Belelikle, verilen srramn yr[rlma radiusu R = e-I '

193. i,$ + tY z' qii,r /et sra$run yl[ fia radiusunu tapux

Ecttl c, = (t + lf emsahmn modulunu tapaq

9,1 = [r. rf l = P. 4' =(JrY = z;

Yrplma radiusunu tapmaq iigiin (7) diisturunu totbiq edok:

n= ri",:= r*+=+H*glc) "+- 421 ,t2

Yrtrrlma radiusr R=1.- .12

AgaBdah misallarda yfitbna rdtuunu taptn:

194 (197). iet'zt.'el

EalE Cn=ein, C n+r = e1(n+1) . Yrfrlma radiusunu tapmaq iigiin:

n= tim ,fi, 1c, *or.z-+.oPr*11'

dtishrrundan istihde edek:

^= ,* ]*= Ii,. ld-il=Fosr*,sinrl=r.z-+.le(z+l) ,-+-l I

Belalkle, ,R = I yrErlma radiusu olur.

clm' 'clm .chl + shnshl

209

Csvab: R=1.tss (teq. f e'; z",t=lal -\ht95(199- rl' 1.' ;u-,/

Helll. C,= | -. Yrlrlma radiusuou x= lim -"...- aUtur- ila t4aq:(l - il' - ,--'. dlc"l

t_-:=ll-r=J2. R=J2.ll rl

,dl-------1llla-o'l

o/-\,197(200). Llj_l .

z=lVz,,/

tsE (201). V "t

Lr' .

rFl n

flelL cn = s6! = cos! ,

n= rim ,lc,l ,=z-+o lCr* 1l

s.l z I

3\tl.in) '

ii" r" .,FO

R= lim

^lC,+l =C(X-.=rn+l

Cavab: .R = co

Cavab: R = o199 (202).

200 (203).

HrM cn=in. Yrglna radiusunu ,=,ljg# dusturu ib tapaq:

R= rm +=+=r, R=r.'--dl"l ol

201 QA). t. "iollrn . Cavab: R = 1

n=l n

202 (205). i. r^'*'.n=l ^ln

flatli c, = c6" ! oHu[undan, yrlrlma radiusu\ln

R= [m -L= finn-,*flCrl n-+*

203 ooo. i :' ,.' ' fisin'(l+lz)

201 (207). ib*i)," .

r0flclll Cn=@+i), C*1=(n+l+i). Y{rlma 1x6;*r,

1

i - z;lrdlcos,'_ll/l ,l

Cavab:

lim 1 =1 , R=1.

n--+a

"yLn

,R=co.

F;-!n'+l

=1, R=l"=

s- -.]4]- = ,. . h*,1 .,= ri.z-+o lCr*11 ,-+.olr, +i+ll ,r-+@

205 (20E). loos in.z' .

,E0Csvab:.R =e-l

va analitik

(10)

(1t)

(12)

n +1)2 +l

$11. TEYLOR VO LORAN SIRALARI

Ogar f(z)funksia* z = zo ndqtasinda birqiymatli

funksiya&rsa, onda bu ndqto "trafoda

Tq or svasma

f(z)= lc"(z - zoln-O

diisaru ila aynhr.Burada Cn amsah

,, = * t r# = PP (, =o,r,z,'. )

disturu ila tayin olunur. f - markozi z=zo ndqtosirda olan gevradir.

tn(t + z\ (t + zf funlaialan iigfrn za = o ndqtasi ?trofinda Teylor aynhst

n$*,)=,-f,*']-...*(-rf " *.,. 1a=i

(E)

(e)

(r * ,y =r* * *&); +d(d -t)(4 -2) ; + ...+

.*Al#Az,+... (n=r)

xiisusi halda a = -1 olarsa,

L=1- rarz -l+ z

(11)4an alanq:

... + (- t)'2" +... (n=t)

olar.

2lt

(10) d stu'undon istifada etsak b,(t + z) funbiyasnm Teylor srasr

t (rt')='-l*1- +zni

206. l(z\ = . l frrnksiyasrm zo=0 n6gtesi etafn& Teylor- " z'-22-3srrasrna ayrrul

Halli z2 -22-3 =(z+l)(z-3) kimi yuaq. Onda verilen firntsiyamn sade

kesrlere aynl4tz 11 3l

71u3=i ur*i=kimi olar.

Sa$ terefi a9a{rdakr kimi yazaq:

tu=:*-i+r-J

(12) ayrrhgrndan istifade etsek, alanq:

r(,1=r-(r -, + ,2 - z, *..1- l(,.:*" - l=' 4[ 3 e )

= !( -!, *9,, - ?! r, * ...')= - i ,2=,'-1,rt ,...4\3 9 27 ) 33',

verilen fimksiyen'n zo =0-a yaxrn mexsusi n6qtesi z=-l ndqtesidir'

Ona gdre verilen srann yr$lma radiusu R:1 olar-

207. f (i= i- firnfsiyasmr (z-r) ferqinin qiiwetlerine Sitre qilwot

srrasna ayrltn./:IaIIi Bu fulksiyam a;a[rdah kimi gevirek:

lllil3-rz= 3-fi-T;r= 4-2(24=-, ;75

1.( 12) disttuunda z-i ;(r-, ile evz etsek, alanq:

*= -\l' io -i*l\' -tt'-i t-"' ] =

=-l .1a-tl-'le4)'*2:G-31 - .

3 3r. , 33. 34

Bu sua

2t2

l?c-r'r1., veva l,-1.113' 1 ', ', 2

olduqda yr[:lr. Yrlrlma radiusu e = ] -e beraberdir.

208. f(z)= ryz fimksiyasrrul z-in qiiwetlerine gdre aynhsa bir negcheddini ve yrlrlma radiusurnr taprn.

Eelli Deyek kJ. /(z) -itr qiiwot srasr

f(z)=Co +CF +Czzz +.. +c,2" +geklirdedir. Bruada

r1,r)c,=+ b=o,\2....).

7(o)101= 710; = o, /,'11r1-it z = 0 ntiqtesinde qiyrletini tapmaq iitiinfirnlsiyam diferensiallayaq. Onda alanq:

^,) = # ve y a f' (z) =r + /2 (z)

Jv Q) = 2b I''z b\ + 4 tt QV' Q) + /(tv ) QY Q)l

(13)ve (la)-de z=0 gtitiirsek, tapanq:

/(o)=r, /(o)=0, /'(o)=2, 7trl\o)=0, fv)(o)=t6,...Tiiromonin t4lllrrug qiymotird srrada yerine yazsaq alanq:

2 ' 19"t r... (15)l8z = z+-z' + -Sl

z = 0 -a on yaxrn mexsusi n6qte z = I nilqtssidir. Ona gdre alnan uranm

vrir}na radiusu -R = I olar.2

Hazv aynhslardan istifade edank, wilan fimksiyalor Teylor srasnacytnn va stantn ytfi ma radiusunu taptn.

209 (210). (z + r)-in qiiwedorine g6re sin(22 + r) fimlsiyasrm,.llal/i Owelce verilen firnlsiyam z + I qiiwetine gdro yazaq:

sin(22 + l) = sitr[2(z + 1) - l) = sill 21, * 1;*s I - cos 2(z + 1)sitr t.!o33 srn: vs cosx firnksiyalanrm mslum Makleron aynl4r diisturlanndanistifads edak:

t'Q)=z/(z)t'b\J'Q)=2v'2G)+ t4)f,b)lt I v (") = 2b f ' (4 r Q) + / (z') t' Q)l

(13)

(14)

213

.r3r5,r2r4smr=r- 3i+, - , cosr=l--+--..r

siz(z +t) = ztz + t)- z3tz-+rl3 * zlg1ql -,

c$2(z+1)=1-44*24(;\ -Bunlan venlen firnksiyada mzere alaq:

srn z<: + rt =

[z{z + r, - z3 (z

-! t)3 * zs (z

-+t)s - .

].* r -

-1, .22<z +r)2 r 2o(,*t)'-...],io,.L21 4, ]

Bu artan qfrwot srasr oldu$undan y$rlma ndisunun R=co olrnasr a$kar

gorilnii(.

210 (211). {, + f )-un Utiwetlerine g6re msz firnksiyasrnt.

c"",r, ;[,.(,.- l- ;1,..r)' - i[,. ;)' . ]^ =.

211 (212). (22 - l)-in qirwotlorine gdre e' finkiyasrm.

flalll Buro g0re ez funksiyasmr

1r:r-tr ! lrz, -tt"z ="2 .e2 =.1;.e2

gsklinde yazaq. Sonra ise

,r2r3zfle' =1 1 21 -1 -+....1 - +.,.21 3l nl

aynhgrndan istifrda stseh alanq:

", =,6,1rr, -rr=.[f,*](r,-,)*

-!tr,-,F . I'-f^'z'-- '' 2122'-- ' )Yr[rlma radiusu R = codur.

21 2 (2 I 3).(z + 2)-nin qiiwdlsrine g6re --l- fio,t"iyu",o''

Cavab: -1[,-]t..ri-4t,'rF.4(,.rP..-1, n=f5L 5 sL 5' I '

213 (214). z-in giiwetlerine 96 * ;'ri, fimksivasrnr'

214

IIatlL Ovvalca verilsn rasional kssri sads kesrlere ayrraq ; z2 + 4z - 5 = 0

tsnliyini holli etsek ?l =1, z=-s alanq. Onda firnksiya f1z1= --J1!-(z -1)(z +,

kimi olar. Brmu sado kesrlen aYrmq:

zrl _ A B _A(z+t+B(z-l)(r-lxz+r r-i-r.5= (,-lX,.,

Buradan

(,1.+B=t

lrr-r=,alanq. Bu sistemh hellinden n=1, a =l arnar.

Brmlan /(2,) kasr-rasional ftnksiyada nezero alaq:

- z+l I I 2 I I I 2 Ifr,\ = = --+- -.

J\-' G_t)(z+5) 3z:t tz+5 3t-z t5t+z5

' u. I kosrlarinin sraya aynhgrndan istifido edak:

l-z l*15

rrl-zz2--L =l + z. z' +.., -

-=l--+--.,.l-z "'l

5 5'

Bunlan yuxanda nezere alsaq,

n,r = -! (r + z + z2 r . .1, l-{', - z. 4 -. .)..r"-r- 3\. -,- '..t.15l(. 5.s2 .,

olar. Yd ma radiusu isa R = I olur.

214 (215). z-in qiivvetbrine giire ,1 furksiyasmr.- zt +lCavab: -iz+23 + iz5 -z7 -..., R=\.

215 (216). z-in qiiwetbrine gdra "*'! frr*"iyrs,ru.-2

EalliMatutrd,i.t*d.r i"t fad" iest,

t <"> = *' i = i(t + ca ay = f,e + crzl

chz fmksilasrm "o = , , '] * '] * .. . ayr qrnr nezero almg yazanq:

y 1,1 = ! 1r * "n4 = f,(,,,. *. +. )='. )(*.'l. )Yrlrlma radiusu I = oo -dur.

216 (21D. z-in qfiwotlerino g6rc sh2 l funksiyasrn-r.

c^*a, t(,i*i-,j... I ^=-2l2t 4! 6t I

117 (21t). z-in qtwotlorino giirB h(2 - z) frtDksiyssm.IIaIli Verilon funksiyaor bagqa gekilde Jazaq:

f (z) = b(2 - z) = tnz O - l) = t" z * t'{n - ;) .

Burada melum aynh$aan istifade etselq alanq:

.r(z)=ln2 +rno-'=l =r,, -lfz - !. ! r. l.' 2' 2L2 2.4 3.8 I

Yri maradiusuR=2dir,

218 (219), z-in qiir.vetlorine g6re h(z + z - z2) firnlsiyasrnr.- <-2 t-3

Cavab: ln2+i _!L+2 _...- R=I.2 2.4 3.4Aoa*dah misallarda z-a g6ra ayr ryda bir neqa haddi v? srrantn

wfi na radiusrmu tapm:

llg (22D. | . Cavab:l+e'

tzo1zzt1. =l .l+stnz

lllr3.---Z]-2' +-Z' +.... R= n.2 22 3!2' st2l

cavau, f -{"* 4,'-1,"'* . n.=,ff\-,[).-,2.2 22 azt 312!

2t6

221 (222).

Cavab: !*l="- 4.12* l=r'r..., n=J?i'.6 62 2t6r 316r

222 (223). n(r +,-') . Cavab, tnz - l, * \ "2 - \,a *..., n =, .

t 212' 412'

223 (224). tawz. Cawh: - !r2 -1ro -*"' t .., R=!..2t 4t 6! 2

-2 -4224 (225). h(t +cosz), Cavab: taz-r--' - rj.ro *..., a=r.

I

225(2251. er- , C"rab, "f

r*r*L 12 *)rr....1, n=r.(2! 3tI226 (227). lzl < I dairosinde analitik, lzl = t gevresinde

a -.{B0+ista47 -rt"*e n' d>t' u=atgz

qiymetini alan (z) frmksiyasrru tapm.

Cavab: tG\= | .llt.t.227 (228). Tutaq ki,

t@= Loo'r

fimksiyasr lzl<l daircindo amlitikdh. G6sterin ki, 4 *tr"r.,o o*qiymeti lz = I gevresinde ar -e beraberdir.

lslala Deyek ki,C., , C-, . *-..* C-, *...-- ; C-,z-zs'(,-zo)z'"'(r. roY " -

!.,r(z - zslsrasr verilmigdir. 0g6r c-, * o vo

,= m E--tl.n-- P-,1 '

limiti varsa, onda bu srraz_41>r

oblastrnda yrfdr.

22e. f(t + i)*r

srasrmn yplma oblastru tryln.n=l z

(16)

(17)

(18)

217

Ealll C-,=(t+,)'*r, c-,-, =(t+l)*'?, zo =0 oldn.rEu molurndw. Buna

gdro

limll+il=Jz.l(r r ir.'l

r = lim i--] =,-_ ;1r

* i),.'lVerilen sua 14>2 oblasunda. yt r.

22g. ; "b! srrasmrn ytlrlna obtastnr tapm.fi(z+iY

Helti C -, = sinin = ishn, c-^r = rt (r + 1) oldulu melumdur. Ona giire

.. lrii(z + r) .. si(n + l) ,. en+t - {D-t ,. " - "-2n-lr = lrm _,--+ = bE '= lrm .--- = Lna - 1.,-=e-

"* lklul }.-+@ sh,, , -* "n - e-

n n--+@ 1 - e- '

Beleliklg sra lz +ii> e oblasttnda yttlr.

Aqafidah stralann yfilma oblasnnr lapn

2i0 029t. $ I

'Et(r-iYzErttlc-,=-) -, ,-,-, I

(l-D" =g-ff

Yrlrlma radiusunu tapmaq iigiin

.= liro g-'-ll';; g-'l

diisturundaa istihde edek :

(1)

pl , .|,

Uu srranrn yrlrlma oblasE olur.

231(230).2,@!t

ztz(ztr\. i. '-",.,=1 cos lr'

k'-"1 I Ir= lim .t __ _r_ =,--[i-t)'*1i l,-tl J2

C-avab: lzi> 2.

Halli

Burada clu

2tt

^tl^lC_,= . =--, C_n_r=--= Yrglrna radiusu6n cnn chln + l)

, lch(n +l)l ,. . ch(n+t)r=lrln_.-=Im-.n--+* lchnl n-+@ ch

firnksiyasrmn chr = e' +-e-x

diisturundan istifade etseh alanq:'2

,. en+l -t-e-n-l -. " "2'+l Ir = tllrl

-

= Lm ------, -,-.: = -n-+a gn sg'D a-+- ez'+l e

Yrf,rlma oblasr lzl> I olar.e

2i3 (232). 7"'@r'.n=l

s-lEr4'(z +t)n

Cavab: lzl> e .

234 (233).

Halli C-, = i,,-,-r=l. . vrgil*u.ai*u^t puq,

'= * -l1L=,;;[".t] I

1z +1 > 1 yg rna oblash olur.

23s(234).2_,#. cavab:lz-z-ii>j

236 035t. ; 3'+l' ' Er(z +zif

Halll C-^ =3' +1, C-n-t=3'+l+1, Yr[ ma radiusu:

]l'*l - tl .,+rr= lisr l----=l = lim ' *r=l

"-- lr, + rl n:* 3n +t

219

Yrlrlma oblastr lz + 2il> 3 olu.

237(236).:,q# Careb: lz+l-il>r

,ic^1"_,,1^ =

-r,*#_Zr,e_zof =

=...+; c-'r; +...+ c-' *co*c,(r- zo)+.,.+ cn(z-zof +... (1g)

G -,oY z- zo

srasum yritlma oblasa

i, .-,.= = c-r * .-91 - *. eo)frQ-roY z-zs (2-zsl

Vc,Q-roy =go rc1(z - zn)+ c2Q - zn\z +.. (21)n=O

srralomrn y$ na obhsttdr.Tutaq ki, (20) srasr lz-zol>r oblasnnda, (21) sras ise lz-zol<R

dairxinda ytPhn Onda : l) r > R ol&tqda (19) sran har yerda dafiltr.2) r < R ol&qda (19) strasr r <lz - zsl< n halqasnda yr[tW.

2JE ;, "'.- -i(z+l)' suasrmn yrf, ma oblastmr taprn-fr(z+l)' -*o

""-)HruL 3 "'' suasrnda

7t(z+tYC-n=e , C-n-, ="rl*t\

l,(aa)lr=timL-J=1..-,-

l""l

oldu[undan

belelikle I -ci sua lz + 1l > I oblastrnde yrlrlu. lG '- a,Y qirwet suasr iiryib

,-l -,t*r)-lC,--e 2, Cn*t=e

oldu$rndaa onun Yrlrlma radiusu

2m

l" ."-jl

n = r,-,g,1,= r,_ _!__1_ =r.-' ;;E*,1 "-,-l -rt*r>llr,IBeleliklo, 2-ci sra lz+ tl < I oblastrnda yrlrlrr. Bu onu g6sterir ki, verilen

srra hor yerdo da} r.

*, fiffi -2[' .J')" ,,"",,'n vf,rlma oblastmr taprn'

,ru- | Q + qi)' arrasr iifiin C-^=Q+u)',C-,-1=(3+4t\n+r oldrfundao

ij(z + 2i)'

ahmr. Yeni l-ci sra lz + 2il > 5 obtastrnda ylrlu'

it:4Y srrasr iiqiin cn=6-n, ct+t=6-n-t olduSrmdan bu qiiwet

""-\ 6 /

suastntn yt[tlma radiusu

oldufiundan, omrn yrfrlma oblastl lz+2,1<6 oht' Beleliklq r=5<R=6 Yeai

verilen srra 5 <lz +2il<6 halqasmda yt![r.

Asafidah sralann y$tlma oblasnnt ayin edin

240 (2i7).,!,(i -,l1)t, . ,. ,l' Cavab: lz +1+il<t.

k-ln= [nJ--l=6

""- F-" I

: (, -,fL_--.n=r 2"

=; c*r=#. Qii*vat srrasmm

dtistuu ile tapil&Erndan yazaq ki,

241 (238).

Halll C,

r_tR= lim -r r.:!

a-+o p;111

yrlrlma radiusu

221

l+l ,,, 1R= lim 'r' r'= [m a- =z

n-->al | | n--t- 2n

FIBu halda yrglma obla.str lz - ,l < 2 olur.

242 (239). 3 --L* - i1r * tn11, - z * il. Cavab: 0 <lz - z + rl<t.n=ln"(z-2+rf' n=O

243(240). E(i)' . Z(1)'6 /'r\' 6 an

Halti il 1l = i I spasr lgiin C-n=2o, C-,-t=2 +t oldulundanE[z ) it zn

' - 1;,,, 9-,-tl- 1i-n-+a p-,1 n-+@

Yr[rlrna oblastr ly'> z olar.

6 (z\n - zn - I

2,lo) = Irr,-r*$rugun c' =4- '

2 < lzl< 4 kimi olur.

211(211). t --a--ln(z+t-if .

n=llz +l - i)" n=o

a.fi245 (242). 2 -;* L.:*t

n=l z n=U t

1,+l

n)@ 2n

c*r=i Yrfrlma radiusu:

Cavab: her yerde daEIlr.

111l,,]

un= ri. F,l = l* ldl = i-4' 4=a.

z--r-c,+rl ,-,,o1 ' I ,-+,. 4,

R > r oldulundan verilen sra ylllr. Belalikls verilan sranm yr[rlrna oblastt

222

EilrL ;.1 .r. .rn yrlrlma oblast c-n=c-n-r=l oldu[undan r=ln=lz"

olur. Belelikla, bu sratrln yrgrlma oblasn l, > I otar. ! jf su-asmm yrgrlman=U z

oblasnm apaq:

^l^l"' 2*t ' -n+r ,n+2'

l,i, = ,'- , 8'l = ri,,, l2'*'l = t-

z-+olCr*11 n-+ol I lz--r-aal

Bu sranm yrlrlma oblastr lzl < 2 olar. Umumiyyatle verilon stra iigun y&lma

oblasu t<l:l<z olur.

2td(24i). I .'t? * ; ('-l)' ior=u.n=1(z - i)' ,=11 nt

Cava'b: lz - tl> e.

247(244). i,#.F.,#Nattl it-!# srasrrun yrglma oblastm tapaq:

- (-l)' ^ (-1)'+l

n' (r + l)'4.. n[m

-=

l.,-+- 1z + l)a

Bu sra iigih yErkna oblasu lz]> t olar.

I -1; srasrrun yrEllma oblastm tapaq:n=|n-2n

^l^tL"= n ,-,

Lr+l= r *g;Ji

tn.t2

28

Bu halda ylrlnra radiwu

n = 5- ic, . = 11r., lt' *')' z"*'l= , * t-l = ,,-+-Pr*11 ,-+-l n.Zn | ,-- n

Bu sra iigiin lzl < 2 yrlrlma oblastrdr. Beleliklo verilen srramn y{ ma oblastt

t<lzl<2olar.

Carab: lz + tl> 2.218(24s). i,#.F_#21s (24 6). -

rC 9- - l,!rt-, Y

Qdj

Halti Btreda ancac ; (-D'(', 'l- srrasrnm yr$llma oblastn tapmaqh4 (2i)"

lazrmdr.

^ (-D' ^ (-1)'*l

"= (zi)" L'*l = t'F'

n= r,o, 4'1,= Ii,, l(-l)' (2i)'*r|-o-l-2.a_+_ lCn+ll ,-.11_1y,+l . 12i1, | ' '

Bu sra iigiin yrlrlma oblastr lz - il < 2 oldu[unda4 verilan sranm ylrlma

oblastr o < lz -il < 2 olat.

250(247).L*Vt. Carrab: o<lzl<t.z n=0

2st (24s). - I * E(-rf (,-D'z-t n=o

Halll Bumda "*uq

i (- r)' . (, - 1)' stasmln yrsrlma oblas-on tapmaqn=0

lazrmdr.

C, = (-1)n, C,*1 = (-l)'+r, ^ =,l1i# =,TJ5#1=,

224

Bu stamn yr[Lrlma oblastr lz - tl < t olur. Odur ki, verilen srra:ln y[ nu oblasu

o<lz-ll<lkimiolar.

2s2(24e). i4'; ! (t*o).n=12" n=Qb

Cavab: l) Oger la > 16l olars4 her yerde datrlt. 2) Ager ll < lal olorsa,

l"l . lrl. lal balqasurda Y$lu.

Ogar !(z) fittksiyat r <lz-znl< R lolqosmda birqiynelli va

analitiMirca, onda bu halqafu asafid& qayda ila I'omn svasrna cynlt:

1Q)= ic,(, - z,f - i c,(, - +Y + i,c,(, -,oY eD,-. '=o

burada C, amsah

,_=r 1,IG)a:, (n=o,rl,+2,...) (2t)za tre _ zsf't .

d sturu ilo tapthr. Burada l'markazi zo-niqt"sinda olan' bu halqantn

daxilinda yrlaS an gevradir.-loIC-G-z^\' =Lr "-'.= Loran srrostnm bas hissasi' lc,(z - z)';. n=t\z - zo I ,r'o

isa Lomn srasmm d zgiin hissasi dlarur.Praloik olaraq imsallann (2i) ifrsnru ila tapinasmdan gox istifada

olwunur. Bu d san'tlan istifada etdikda gox vaxt gatin hesablamalar-qarmaqlaztm galir. Buna gdn fimtaiyalann Teylnr srmsrna aynhsmdan istifado etmak

laztmdrr.

25i. tk'l= T)---\r firnksiyasul o <lz-11<2 halqasmda Loraa srmlna ay[m.

V'-tfHalli Birinci iisul ld)= -:-- funksiyasr 0 < lz - ll< 2 halqasrnda

V'-rfanalitikdir. Loran omsah (23) d'trsuuu ile hesablanu:

1

n -r,p-tl ,-. r 1 dzc.=;l r n= r^lr1,_tya1";$,bruada r - merkszi zo=1 ndqtesinde olan, bu halqada yerleqen ixtiyarigeuedir.

225

Agor z + 3 < 0 vo yB r? < -3 olarss, imeqralalt --Jr----- funksiyasr- (z - l)*'(z + lf

r gevrsi daxilinde ? = I ndqtosi de da:ril olmaqla analitik funksiyaftr. Buhalda

,dz| 1z - r)*r (z + r)')

bagqa sdzle n = -3,4,... oldrqda C,=Ooh[. Ager z+3>0 vsya z>-3 olarsa,onda $6 dalo (2) diisturuna gtho

r(_r),(":rl1 _Grf(n*3)6;, G.rf;rl.,_ ,, _olar. n = -2,- 1,0,1,2,... iigiin

,,=wolar. 0 < lzai < 3 halpsnda bu fiuksiya iigiin Loraa srasr

oi = -i",r'-rY = 2 L'r-(iCP- rYv" -t) n=-2

vo ya

@ -f =i#-i ,-,r--*-*r'-t1'f,Q-t)' - jl'-'I.

I*hci isal. /(z)-i (z-l)-in quwetlerine g6re yazaq:

11,7= -!-o =L(r - -Lf =' Q'-t 4\z-t z+r)

=!. ltlltll4 (,-rY-i;*; ,t,-;G.F Q4)

(24)-do birirci iki toplana.n lzrm olar gekildedir. Axrnrcr iki toplanam yazaq:

*=*=:;! dr=i[,.(?)]""=-2 orduEunu (r2)'ni

2

tatbiq etdilde nezore elsaq, sfftra ( I I >o 9610

-I =l[-.:-i.f.--'l'-f=']'. l, (2s)z.r 2l' 2 \2) \2/ .l

_ r a"'l r li-(z+r)-dz,ir[G;f]l-, -

# =i,,+. -:+P(+)'1 *' z(-z -t)(-z - z)(?)'. ] o,

(25) ve Q6)n Q4)"de nezre alsaq, alarrq:

r r l rr.*Llr_r-r*(,-rl'-frLf-.].@-,y=26-9-;,=-tl'- 2 -\ 2 I t z )' l*fL -r,-r)*1 (,-rf - 1t,-rf *.'l'ro[' '- ' 2"- ''

23 \' '' " )

vo ya I I I I I .3-1t,-O-1(,-r)'-](,-r)P*...F:f

=4GlT +=-16-," 'tt (A\' '' 64'-

251 \Q)=z'*"! fimksiyasrm zo=0 nrtiqtsi etafinda Lotan srrasrnaz

avlnn.HIIIL ixtiyri 6 -i iigiin Yazarq:

*'a='-{*{-{* '2! 41 6r

l6=-yusaq,alanq:

z,,|/III),III

z'cos' . z'i l- --.+-----"- +... l=z- -: *-. - --- *.,.- -"- , - l. 7lr2 4,.2o 6lzu ) 21 4tz" 6tz"

vo ya

", *"!=.,L*", *_L__!*.

z 2 4lz'J 6l 24

Bu diishu ixtiyari z+0 iigiin dofrudu. /(z) fimksiyasr o.lr-01.*-halgsurda analitikdir. Burada r =0, R=+@, zo=0.

255' zo =o trihtosi otrafirda

1ro1-- -1::t -z'+z-Z

fimksiyasm Loran s[asrna t)ruultirUi f@ fimlsiyasrmn z1=-2, z2=l kimi iki mexsusi niiqtesi var'

zo =0 ndqtesi otafinda iig halg var ki, bunlaln her birinde 712; funksiyasr

analitikdir.a) lzl<l dairesi

b) 1<lzl<2 halqa

v) 2 <lzl< +*, lz]< z dairesinin xarici.

a7

Biittin bu tlz,llrrda f(z) fimksiyasrnm Loran aynhgna baxaq. f(z)frrnksiyasuu iki elementar kosrin cemi geklinde giisterek:

/(,)=+.F+ e7)-" z+2 z-la) lzl< t &iresinde aynl4. (27!ni a.ga{rd"h kimi g€virek:

t7)=)_*f_=l f _: (28)z_t z+2 Z l+1 t_z2

(12) distunmdar istifade esek, alanq:

'}-.=1*, + r' +.., lzl<t, (2g)

r--2-3' =l -: aL- != +... 1A<2 (30)t,z 2 4 E

2(29) va (30|r (28)-de nezare alsaq, alanq:

2zrl I z zt z' l- . , \ I 3 7 , t5 ,___:.........._ _=--.-+--- +...- lL+z+z'+ z' +...1= - -_' 2- -z'- -z'+...z'+z-2 2 4 I 16 2 4 8 16

Bu /(z) fimlsiyrsmn Teylor aynhgrdu.

b) I<lrl<2 halqasrnda aynhg. (30) suasr iifiin -! firotsiyasr Uu

t+12

halqada yr[rlandr.

(29) sfasr iiq,in -L fioksiyosr ]zl> lilfiin daf,rlu. Ona g&e /(z)' t-zfirnksiyasmr aga$dqh li6i 961,ire1

_,, I I I I/\z)=:.-+.- (31)..2 z It*

2 t__

(12) diistunrnu tetbiq etsek, alanq:r =t+!***. . (32)

,lzz'z

lr I

Bu srra lll < t tiryrin yfulr.lzl

(30) re (32)-ni (3l)-de nezere alsaq, alarq:2z+l Lzz2 z3 1l l'tlzz2z3

--+---+._.+-+-+._.= _.*-* - t- --* ---+...22 17-) 2 4 E 16 z zz z' z 2 4 8 16

vo ya

224

22 +l : I l3z'zz + z -2 frz' 2 ?=o2'

v) lzl> 2 tdun oynl$. (30) srasr lzl> 2 oldrqda I firnksiy*, ,igiint+1

2

rigiin ylrlu, /(z)dafrtr. (32) suasr lzl>2 oldrqda1J fiuksiyasr

funksiyasrm aSaldah kimi gtistorek: r)-,. r l I t ll I I IJV)== 1+-.- =;l .;*J l.

'1,: r-- rt+- r--lz 2 \ z z)(12) d:sturundan istifade etsek, alanq:

rr,t=!(r-? * 1-I* ..*r*1*l . l*..)="" z( z zt / z z' z' )

=.r[z-1 .1- 1* .)z[ z 2', z' )vo ya

2z+1 2157V*r-z=r-?.7-7*'

Bu misal onu gdstorir ki, eyni bir fimksiyamn l-oran ayrrhgr nli:rtelifarahqlarda eyni olmur.

256 f(z)= ;22: | . fturksiyasrm mexsusi niiqtelsri etrafinda Loran' ' z" -32 +2

sfiaslna ayum.Hetll z =1, z=2 f(z) firnksiyas n moxsusi niiqteloridir.

1) 712; firnlaiyasm zr=l niiqtssi etrafrnda, bagqa sdzle 0<lz-11<l

halqasmda aynltgr.

/(z) fir.ksiyasmt elementar kosrlerin cemi kimi g6sterek2z-3 t I

7 4,rt=;* '1'Sa[ terefi bir qeder bagqa gskilde yozaq:2z-3 I I

j i"_z==- Hz_r-)z-i - (z-l) -le evu etmekle (12) aynfuul tetbiq edek.

;-h=^ [-'1'-'1.1'-'Y. ]

Ye ya

;*== F=Y-"'(33)

2) 7iz; fimksiyasrnr z:2 ndqtesi etrafindq bqqa siizle o<iz-2j<rhalqasmda aynhp. Onda

2z-3 I I 1 I

z2- 3z +2= -z -l- ;2= , a+ 1+Q - z)=

= l= +r -(r - z\+(z-z), -(z-rf + .z-2vo ya

u"a' -= ' .r f1-r1'1r-rY e4)z--Jz+z z-2 ;iASafidah funksiyalan = 0 niqtasi atrafinda Lora strasma a)nnn.

2s7 (2sq. ry. cavab: 1 -i,l -':, .zt .,i5l 7!

'',2ss (250. sy I

.

Halli Yerilan fiuksiyanu z = 0 ndqtesi atrafinda Loran srasur,a ayrmaq

tleuu sin2z=10-oos2z) dilstsmndan tr'p cosz=l -+-+- aynhqrndan' 2' 2'! 4t '

istefrda edek. Onda alnq:

I I 22 22 7424 )z t3"3flz) -- :-(t - cos 22\ = 1$-t+----:-- ? * l= ,--;*

oz,2259(252)."-, Carab: l+t+-3+1+....zz2l 3l

260 (25r. e-.z'

Ealll e' 61afuiy6sInrn mslum Maklercm aynhyndan

"" =r+r+*+.. +4+ .. istifade edck:

'z ,( ,2 ,3 ,4 zn ) , I I I z,rtd=;= ,[r+z* z,

rr*A* *;* ,l=

-T+-+-+_+-+....

229

I

261 (2s4). se; .

262 Q55), za ees\.z

Halli Bunda cos z funksiyastrun

263 (2s6).

261 (2s7).

Ealll cos z

no

Cavab: z3 + z2 + 1* 1* 1* ...' 21 3rl 4lz

-2 -4 -6cosz =t-i+i-

" +... a1'nltgmdan

istifada edek:

rr,t=ra*"!=rth --!*+-l*....)=rn -t r,*L- r,z \ zrr. cr,.-AF* ")=' -r'-*i-i?''

42 44 46UavaD:

---+--....2!22J 4122', 6l2zt

r,,,].f = ?-Ll,-,,+-+.'* )=* 'i,-*

265 125E1. " -t

,

z

266(25q.\+.llalll qs z funlisryasrmn Makleron aynhEndan istifade etssk, alanq:

t+co', t(- ,2 ,4 ,6 ) z I t 2 ,4rQ)= 4 =V1.,*,-r*? -A-..)= l-;i.4r -A "E- .'

lllzLavab.-_-+_- +...,zt 2lz 31 4l

Gdstailan niqta atrafinda v*ilan funkslalat Loran srro:trut aymn:

268(261). l,*j,

,o=-, Carab: I - I =.z+t (z +tf

26s (262). fi. "o=,c^vab : Y - * e - z) - *Q - 2)2, "!0,? Q - z)3. $ t, - 4o - . .

I t2-sln -.

l-cosz-_ _;!

,

z

funksiyasrnrn melum aynhqrndan istifade edak:

c^t b:l*' *'2 n'3 n..,.21 3t 4l

231

I

270 (263). zez+i , zo = -i.

Cavab: (r -,) - (z +,l - (+ - i )*,. (+ - r,# - =,:,1#rl - ;],,. n"Asa*dah halqalnrla veilat funlciyahn Inrot srrasma aytnn.

271 (2M). G_fu' a12<lzl<3.

Ilalli , ^!, -- kesrini sade kasra ayraq:(z-2Yz-3)

l=A-B-A(z-3)+B(z-2)(z-2\z-3) z-2 z-3 (z-2\z-3)

ft+a=0. lA=-r,{={l- 3A -28 =t [8=1.

Bunlan sade kssrde nezers alsaq:

I __ l 1 I I I I

e-ry^z-3)' ri* r4=--;-a =z3

3*24a I = 1a'+12 +'3 +.,. srrasrndan istifrds etsslg alanq:l-r

I coll\u-l t r o /'\, a 1n-l I e (z\nG*$=- "'=,1) ;-;,:,l.;.J = -,a,'T - ;,! ol;)

272(2641. 6+-r, 6)3<lzl<+o. C^r*,|r\!)273 (25s). ); o)o.lzJ.r; 6)l < jzl< to.

Cavab: ,;l- i (-D'r', D) i qgz n.o n=0 t"- "

274 (266). -]- -. a')t<lzl< 4, fia<lzl<+a,lz+2ft+z')

. r(22+t z7 +2 24 -t 25 -2 )cavab: a)aynlmr ri,fT-'i.i-i- ")

275 (26D. ""*t , t.vl.z.z" +32 +2

212

HalE Yerilan 21:1- kosr rasional firnlisiyam sad6 k srlere ayraq.z2 +32 +2

Buna g6re mexreci srfrlara geviran ndqtelsri tapaq:

z2 +32+2=o = z- -3+'6{ -3tl2=2.zt=-t,22=2.

Bunlan kosrde nszers alsaq, yazanq:

t,,.,- -]1jL= 2z+3 - A - B -A(z+2)+B(z+ll .t"''

,2 *3"*2 O+lXz+2) z+t' z+2 (z+l[z+2)A=t, B =t.

ltltlltlzl=-+-=z+t z+2 , t*! 2 t*i3*264 -1- = 1 -, + ,2 - *3 + ... aynhgrndan istifada etsek /1zl funksiyasr iigiin

1+xa$qBrdzlo Loran aynhglanm alanq:

- t(- | l r \ r( - , ,2 ,3 ) r l I lr t4 = ;l' - ;* j - F. ..J. ll,, - r. V

- 2,... )= )

- j +, ^ 1 +.. +

,( - -2 -3 \ -.il, - ;.'i - i' ,J=,i,,-,* -'

nL -,?_o# u

226 (26s). i _#i { lzl<r, b) r<lzl< 2, vl 2<lz <a

cavab:oi[,-{:g}' ', o, 2h.i_#,", ") 1.itq4

277(269). ]-, t.lz+21.3, Caub: ; t - | (z+2)n .' ' ,2 -l n-=l(z + 2)t aig 3n+1 '

27t (270). *^ r<P+21<4. Cavab: Aynlmrr.

-La279 (271). -,-, 2<lz-tl<,..

z'-42+1trIal/i Verilsn kasr rasional fimksifan sads kosrlero ayrraq.

z2-42+3=O I 2=21t4-3=211 z1=1, 22=J.Bunlan kesrdc rrzere alsaq, yazanq:

z+2 z+2 A Bttz)=

-=

-+-''

z2 _42+3 Q-l\z-3\ z-l z-3'

233

rA+B=t [^=-il_te_a=z =

lr=i '

tlt=-1. 1*L l =- 3 *1- I =-1 1*2 z-l 2 z-3 2(z-l) 2(z-l)-2 2 z-l

5 r l 31 5,l.. z z2 23 I*, ; ,-2-=-l;r* z =lt*;* 1,-,;z *1,-rT.

l-z-l3 r slr z z2 Iz z-t 21r-r 1r-rP (r_r, l

rlt 2 22 l==.'11,:7. 1,:F. (, -iF .

l

2s2(274). i -, o.b-,1.r.

Halll t<zl=|- funlsiyasrm sada kasrlsre ayraq.

ra= i,l-t=- -t-)= ;l* ;;rr= ;f,+ ; -=]ikinci topltnrn, * = , -, * ,' - 13 +... aynhSrm totbiq etsek, yazanq:

f(d=!)-- t-(t-z-i *(z-i)2 -(,-i)3 * l=,rr-, 4i'1t- 2i - oT-i,f - f___, +l!(_t)",r_,ya2(z-i) 4o=g12iyn

283 (275). , I ,., +.lz+21. +-.V'-nf

2Bo 12221. , "t ,", 2 .lrl . *.".V'-of

2ErA4r?r_fuq, 1.1r.2

* ln+ 2\nlcavao: z +,X_o'17#r _.

1 - -2n+lCawb. - uLo!-l}rl

Cavau, E,ffi

2i4

$1s. FUr\KSiYAlrrN STFTRLART

Tutaq ld, f(z) frnbiyas z" ndqtasinda analitik funbiyadt. Ogar f(z)funksrya$ nqiln

/(<)=0, lQ)=0,...,/G-r)(zo)=0, 7@Q)+ogarti ddanirsa, onda zo iqAsi f(z) ftnksiyannrn n tartibli srfn adltntr.

Ogar n:l olarsa, onda zn sada stfi.r adlanr. zo nnqtasi f(z)funksiyasmrn n tartibll polyu:u adlan,r o v.txt ki,

f(z)=(z- zsldr)barabarlil ddawin. Burda 9(z) zo ndqtasinda MdlitiWir va 9(z)*Oddenmalidlr.

284, n:- -a ftn*siyasurn mqsusi ndqtolorini tapm ve xarakteriniz-V'+4)

glistorin.

Xaili 1Ql= iQ2 +l) frrnkriyas,rr,', srfularm tryaq. Belo ki,

f(r) = rt Q' * q)= 13 (z' a)2 (z + 2t)1

olur.Funtsiyarun 3 srfn var: zr =o- ttinofi tertib srfir, z, =Ztv@ zt=-2, iso

ikinci tortib srfulardu. Belelitle, I ' '";e-*lfrmtsiyasr

iigiiur zr = 0 iiciitrcii tertib

polyus, z, = 2; vs z! = -2i iso ikinci tertib potyuslardrr,

2SS :- firnksiyasrnn mexsusi ndqteloriDi tapm ve xarakterini gdsterin.sul2

HaU, l- firnlsiyasrnrn slfulaflm lqq. z2 = t*, k =0,t1,l:2,,.. sttzstnz

funksiyasrmn srfirlandrr. t * 0 olduqda, bu srfular birirrci tertibdir. Bele ki,(sin z)'2. = cp5 2, = 6er zf = (- tf * o

olur. Bu onu g<hterir ki, bu niiqtelerda 1 615iy656n sade polyuslan var.

]5#=,oldu$undan z=0 n<iqtesi -1 ft,nk"iyas,ruo aradan gdtiiriile bilen mexsusi_ srnzniiqtesidir.

286. zzei fi-mksiyasmrn mexsusi noqtolsrini tapltr ve xarakterini gdsterin.ll

Halll z2ei firnksiyasr z=o flthtosinden bagqa her yerde requly ardtr. z2 elfimksiyasrm z-e gdre Loran suasma ayuaq:

,1 :r l , l lz-et= > ._=z' +z+_+_+...7.d z,-" 2t 3\z

Bu aynh$an aydn g6r[niir ki, z =0 osas mexstBi noqtedir.-8

2E7. f(z)= " - firntsiyasrmn zo = o srfulanm tertibini taprn2- SmZ

EaAL siaz firnksiyasrnrn zo =0 n6qtesi etrafrnde Tefor srasmaaynhgrndan istifrde edel oda alanq:

-t -t "t "5,/-\J\,,- z_{ttz---( 23 S -1-}-j--T-T

z_l z --+*-... | ---.t... ---+...[]1 5t)31 t3! 5!

dn=--+-'L-,1n...3t ,

ofia' IQ)= 25 qG). Burada 9(z) firnksiyasr ,o = oda anatitikdir. Ham de

/ro)=s * o . Belelikle, zo = 0 verilen fimksiya t4rin birinci tertib srfirdrr.

ASafinah funkstyalann stfirlannr lqm 'tta xaraHeini gdstain:288 (276). t) l(z)=2a a42z .

Ealtl 7121=o gdtilrssk z4 +422 =0 alanq. Bu anliyi hsll etmekle z=o

va z2+4=0 - 21=2i,24 =-21 olduEunu alanq.

: = o -rn tcrEbini mueyyan edak :

If(z\l = 0.,' lz=o .L

.t'(z) = 4zt +82, f',@)l ^=0t f"(z)=r2z'+8, f"@1 ^=Er0.' ' '12=O rr-U

2 =o l(z) fu.oksiyasrnm ihnci tcrtib srftndr.

z = -2i -ni yoxlayaq:L

f@l - -- l-2D4 +4 (-2i)2 =16-16=o;12 = -2,

,ll'(r)=+r3 +82, !'p)l -.=4 (-2i)3 +8 (-2.r) = 32' - 16, = 16' * 0- \z=-zt

236

z = -2i f (z) fiurksiyasuun sada srfuidu.

z = 2i -nt yoYJayaq:

f<rll ^ = 12i74 +4.12i12 =16-16=0ilz=ttt,

f'e)lz - 2 = 4 \2i)' +8 (2') = -32i +r6i = -rri + o'

z =2i f(z) frmksiyasrmn sade srfindrr.

b) f(i=l-g1.zEallL 1121-9 gotilrsolq sinz=O alanq. Buradan z1 =kE (b =0,+1,+2,.).

I

zk=k' ni yoxlasaq /<rlo=m=o alanq. Bu ise onu gdsterir ki' z=ktt

(r = o,+r,t2,...) /(z) frrnksiyasrnrn sada srfrr&r.

2e9Q7D.a) f(z)=z23st2; b) lG)=+Cavab: a) z=0 - iigiincii tertib, zn=p1 (rr=11,12,..) - sade;

b) z =0 - sadle, z, - pt (" = ttSz, .\ - ikinci tertib.

290 (27E). t) J\z) =1+ chz.

Carab.a)zn=(2n+r) ri (n = +1,*:2,.. )-ikinci tortib

b) MJ-y)Cavab. b) z^=(+n+llri (n =0,*1,t2,..) - ikinci tottib

2g1. /(4= jlz+4. Cavab: z1=-r, z2=-4 birinci tertib polyus.

2ez^)=Fffii

Cavab: z=rr ikinoi tertib polyuslar, "=-i aradan gdtiiriile biton.

293. 7Q)=tg222.

Cavab: z1=f,Q* +l) (t = 0J1,i2,,..) ihnci tertib polyus.

2et. 1Q)=--t -*r-,

217

Cavarb: z1 =+L+2* (fr = OJ1,+2,...) birinci tertib polyus.

295. 7Q)= z2 "a!. Cavab: z=0 esas mexsusi n(h!e.z

Asafudah fink:iyalann zo = o stfrrlmtntn artibini tapm.

2s6(28r). t@= ---l- .r.iil -l"nil\2, \. 2i

EaAL snzl funksiyasrru z =o n6qtesi €trafinda Teylor srasma ayraq:

,3 ,5sin:=: --i-+--*2 2 23.3t 25.5t

( r\2 (. ,\2 ( r\2 (, ,3 25 \' (" , ,3 ,5 )'[;J -['*;J =l;.1 -l;-;;..s-. )=l;-;-,,r, t'r,* ,J'(z z ,1 ,5 \ ( ,3 ,5 Y ,3 ,5 )

' f 2 *

2 -r1- *rs

r-j =lm I;]l' - il r fi- )=

=ul;r-*,,)[, *a.* )Axrurcl ifadsni verilen funksifada nozers alsaq, alanq:

/o=a,--i Y,=.,o-)[r "- il

- I'-l r-.r; - ,J

Bclelikle aydrn gdruniiLr ki, z = o /(r) fttrksiyasmm ikinci tertib srindrr.

297 (282), !(z)= eshz -"tsz. Cavab: iigiiuci.i tertib.

2es(2s3). JQ\= " =.1+z-e'-2 -n

Ealli ez =l+z+1- *...*"- ,... aynhqrndan istifade edak:

_2 _r, _ =_"2(r_*r* *r"-r. lt+z-ez =t+z-l ,-;- a! 12! 3t ni )

Axrnncr ifrdani verilan firnksiyada nezerc ala4'.

f(z)=.( , , ,n-2 I r , "n-2-'-[zr+d+'+

^ t

),+-+ +-+'

Aydra g6riiLniir ki, z = o furksiyamn sada sfrrdr.299 (254). IQ) = 2("h, - t) - 12 <ktrdiincii tertib.

3oo(2ss). t@=$ ,=i*YEalll IG)=o gffiirsek I - cs 2z = 0 + cos 2 z = l, z = (k = 0l,1,12,...)

alanq._l -5 -2 -4sk = z +'- +'- +.... ooar = l- a+a -..31 51 21 4l

alnl$lanndar istifad. etsek :

t- *,2, = L - 1*..=,2[t-'2 * .1.2t 4t [2! 4t )lrnlan vsrilsn funl'.siyadz rczaro ala4:

,a(t _,2 * )2 .o[t 4. l' ,(t _t ...)'

,! ,5 ^(t ,2 ) r ,2,-,_ 3t-'-... ,"lA*A..J ,*3i_"...

q(r) = i^ i6arc etsek, p(z) firuksiyasr z = Oda sfirdan ferqli olublzz-+-+...3! 5t

e@l ^ + 6 olur. Bu ise oru gdstorir k! z = 0 fimksiyamn birinci tertiblz=0

srfrrdr.. / 2\

iLI (286). lQ)=1"' -e'' )rn(r-z). Cavab: kinoi tertib.

302 (2s7). t{i=,r(a' -t)

Halll ylzl firnksiyasrm srfra borabar ve e22 =t+22*4*... uf",t,g.dan21

istifade etsek ,,lr-,, **- -,,|="r[,.*. I *o Bu ise onu gdstenrl. 2! ./ (2,)

239

ki, z=o firnksiyanrn slfridrr. tlam da z=osfn&r.

303 (2st). \Q)=e" ) * )Q6 .o).

$16. izol,o EDlLrdg Moxsusi Noere

zo n<iqteoi 7(z) fiuksiyasrnn o vaxt izola edilmig morsusi ntiqtesi

adlanu ki, bu rSqtedsn banc bu ndqtenin yaxrn etrafinda /(z) fiuksiyasranalitik olsun

€gm zo n6qtesiode fiulsiyantn limiti varse, bu n{iqte firnksiyannaradan gtitiirtile bilen niiqtesi adlaarr.

.2 -1,04. /(z)=' - '.

EaUL zo = o tru funksiyanrn morsusi ntiqtesidir.

t'n-,|(zl= t"9t) =1'

Belelikle, ro = 0 bu firnksiyann uadan gdtiiriile bilen motsrsiniiqtcidir. Agor lim /(z) = o olarso, z, 7(z) fir*siyasmrn polyusu adlaor.

zo niiqtesinin {z) funksiyasrrun srfin olmssr iigih zoruri ve kafi gert

,"-^ rk) = h fimksiyasrmn srfin olmasrdt.

zo oiiqtesinin /(z) firnksiyoqrnrn z(n > l) -tertibli polywu olnasl iiglin zo

- rn dr)= -=l- fimlsiyzsmm n-tenibli srfur olmahdr.I \z)

its. tG\=L.z-

Ilal/i Mexsusi nii+e zo = o {u. 7 = pete k:mi gptiirok. Onds fu =#olar. Aqkudu ki, l/G) = + d".

PBr:radan giirflntir ki, z-ixtiyari qayda ile srfua yaxrdadrqda [(z)

sonsz b6yny[r. veni tiq/G)=* olduirm<hn zo =0 firnksiyanrn polyusudu.

firnksiyanm ddrdiincii tortib

Cavab: On begirci tertib.

210

zo=o q4z)= 23 fimksiyasrnrn fi{fitrcfi tofiib srfindr- Bu ise onu giisterir ki,

"o = o 1Q)= ) fiurksiyastnrn iigimcii tortib Polyu.erdr.

Frmtsiyaun zo ndqtesinde fG)=A kimi g6sterilmesi, zo-n !(z)\z - zol'

firnksiys$nln n-tortibli polyusu obnasr iigiin zoruri ve kafi gertdir. Buradaq(zo)*o ve q(z) funksiyasr z" ntlqtesinde aoalitikdir.

i06 lv)=---:yz -z- +2'-z-l

Halll IG\ tmtsiyasrmn z =l ve z = -l kirnl il6i srexsusi nihtwi var.

z = -1 niiqteeini tetbiq edek. Ona giire 7(z) fimksiyasrmsinz

fil='4.\z+lf

kimi giiserek. furada {z)={ fiurksiyasr z=-l niiqtssinin etrafinda

analitikdir, hem de r{-l)-}to Belolikle z=-1 verilsn funksiyanm ikiqu

polyrsudur.Eyni qayda ile f(z) fiulsiYastu

,Q)=9+kimi yazaq.

z = I funksiyarun sede polyusdur.Oger f(z) fiuksiyasrnrn z, niiqtesinde sonhr ve sonsuz limiti yo:rdursa,

onda bu nihte fimksiyamn esash mexstsi ndqtesi adlaarr.I

307. f(i = e7 fldrsiyasrmn z = 0 n6qtosinde mexsusi niiqtesinin

xaralcerini mtieyyen edin,Eolli Btt fimlsiyamn heqiqi ve xeyali ox iizerinds dziinii,aParmaErm

miieyyen edek z = r heqiqi ox iizerinde r -+! oldr.rqda /(r) = e7 -+ co olur.

Xeyali z = ty iizerinds y-r0 oldrqda tb)="V +0 olur'Belelikle, z=0 n6qtesinde fimksiyanm ne sonh! ne de soDsuz limiti

..car. z=o nbqtesi 7(z) fuoksiyasnrn esash mexsusi @tesidir.

241

SOe /(4= OlU, frrksiyasmrn z=o ndqt$inde mexsusi ndqtesinin

xarakterini miieyyen edin.Ilalti z=o ndqtesi mexrecin srfin oldr$rndao bu /(z) fiotsiyasrnrn

polyusudur. *) = fry=

z * "' - 2cAz firnksiyasmr baxaq. Bu firnlsiya iiryiin

e(o) = o. gu frmlGiyaorn stfulanrun tertibini tepaq.

q'(zl = zz - zste, 6lo) = o,

dlz)=2-\chz, d\o)=0,f(z)= -zshz, p'(0)-0,y'Y(z)=-zcte, e@)--2*o

Belelikle, z = 0 nihtesi fiz) frroksiyatrun d6rdiincii tertib srfindu. Buonu gOoterir ki, z = o niiqtasi 7(z) furksiyasrnrn dii(diirlcii tsrtib polyusufu.

i09. l(zl = -+E^ funtsiyaernrn z = I n6qtssirde mexsusiyyetinin'\' 22r-t_22_lxarakrerini rriieyyen edin.

Haui s(z)= -\ - -2e' t - z2 -t funksiyasrna boxaq.

I \z) stlaz = I nihiesi msrrcin <kirdiimcii tertib srfmdr:

wi\-y,1 - r, -, ,y(t)=0, ,y'(l*Q",'t -zrl,4=0,

o' 1r'y =Qr*r - zl*t= o, y/' (tl = zcz -t l, =F 2 + o.

z =1 ntqtesi mov\fttc sirz finkriyasrmn birinci tertib srfrndr. Do{ndan da

z=1 ndqtesi (z) fimksiyasrnrn 3-1=2 tsrtibli polyrmr ohu.zo = o msxsusi noqtolorinde oga[rdalo firnkriyalann mexsusiyyetlerinin

xaralterini noiieyyen edin.

i10(2s0). tl Jt">=-).z - slt\z

Hatll "in, =r-4*4-... ayrrtrsrnaaa istifads €isok:3t 5t

.r3r5z-sm a = Jt -J! +..

Axnncr ifrdoni /(z) finksifastnda nozore alsaq, yaunq:

l(z)=-, f ^ ., e(4=j- =z3l:-*. I.,(r ,2 ) " lQ) [r I )z-l --- + '- |

[3r s! )

2+2

Buradan aydrn g6riiniir ki, z = 0 /(z) firnksiyasmtn iigiiLncu tertib izols edilmiqmexsusi ndqtesidir. DoErudatr da,

,<ol ^=o;12=u

.,(,\_3"r( L_,: r...)*rr( ,, \ ,..1

\3r n 1 \-r* r' e(z)1,-o=tr;

,",,, = u'1,;- +. J."'(- ?- ). "(- i. ), e"<'tl, - o= o;

(', .2 ) t

,'1,r=of.r, -sr , ), , r'r,rlr=6=rro.

t) ltzt=-L ,cosz-l+zl

2

HIIIL cr,s z firnksiyasrmn Makleron aynhgmdan istfade stsek

*, - r,'1 =, - t * I - ... -, * I ='1. *'u -. . = "of !*

" -....],*'''2'2t 4t '''i- 4t '6r "-'[a ei J'

,t,t= 1 =,af!_4_4.. ..l."' lG) l.{! 61 8! J

Yoxlama&n aydm gdrifniir ki, z =o IG) firnlsiyas rrn ddrdiiurcii tortib izole

edilmig mexsusi ntiqtasidir.

v) IG)=-=L.e-'+z-l,1

flalll e-z -t-rti-i+... avnhsrndan istihda etsek

f@= -- -t- =e-"+z'-l - z' z'|-r+'--- l-..+ z -'l21 3l

)a

t Jt , ,2 )e{,)= f@=,-l. - -a-

.J

. )' ,'r,ll =o;.) lz=u

'r( t , ,2 ')

z-l _-_+--... I

f2! 3! 4t )

q<,ti ^ = o;

.,r,t=2,('. -r*4- )* ,'( -!,2'-[2r 3! 4r ) \3t 4l

213

,",,, =,(i - i.'i, - )-, "(- :,,'; - ). "(-,, .

),,",,,1" - o =, * o,

Bu ou gosbrir ki, z = 0 funksiyanm ikinci tartib izols edilmig moxsusi

ndqt$idir.

3II (2s1). ,) ;#.t q * Cavab: a) sade polyus; b) 2-ci

tortib polyus.ASafidah fimksiylann norsusi ndqtalarini tapm vD ramfueini

m alyan edin.

iI2 (292).") ltrt =.]-.I - Slnz

Cavab: a) z,=(+" +r)i (" = o,tr*2,...) - 2-ci tertib polyus.

b)1s1=t-$1 .

z'

t allu^ as z = t - !* 4 -... "y.,l,s,ndao

istiftde etsek:2t 4l

r-"o,=r-r+4- {, =,r( !-" *....],2t 4t [2r 4t )- t 't(t ,2 ) r ,2 -. I 1ra)=iz'lr- 4t-. )=;- ;,-. r(,)1,_o- *o

z=o nt qtesinde f<r>=l*o oldu[undan z=0 firnksiyanrn aradan qaldmJa

bilon maxsusi n@tasidir,I

i13 (293). a) e,+z; b) *r1.Cavab: r) z = -2 esash morsusi niiqte; b) z =0 mash mexsrsi n6qte.

314 (2s4). t) J@ = j;;{ + S.Halli z5 +224 + z3 =o tz31z2+22+l';=0=z=0,22+22+l=0

- z =-lt0 , z= -l;- , I

-;

q4r1= _\=rr(rr*zr*t).J\4=;1;-,n *,t= ?1+2,+ry !\z)z = 0 n6'qtesindo

I

oQ)1, _ o= o'

u4I2(zz+z), c'e\l -=o;P=U

9'Q) = 2z(22 +22 +l) + z

p"G)=2(22 +22 +l) + 2r(22 + 2) +2r(22 +21+222 , 9'g1l ^=2so.l?=0z = 0 noqtasi /(z) firnksiyasrnrn ikinci tertib mexsusi nOqtasidir.

rlle?)l .=0; e'Q)l .=o; e'G)l .=2*olz=-t lz=-L lz=-l

z = -l n6qtesi /(z) fi.rnlaiyasrnrn ilonci tortib mo)6usi niiqtasidir.l1

b) /(z)="--' a',e-' -l z"

Hallle-z +l=0 .+e-z =-7>z = -Ln(-l) - -(tnl- tl +t.otctgo+2kxi)=-2kEizk=-zbni (r=0Jt,12,,..) moxsusi noqtalorden biridir, fuinci msxsusi n6qta

z = 0 trdqtosidir.-l

e1Q)=e-2 *1, a1.Q)|,=*rt-e-2k1ti +t=oos2Lt-t n2hl- +l+2*0.

Bu sads mssusi ntiqtcdir. 9r1ry = -f funksiyasrnr yoxlasaq hrnun ikirci tortibz'

mexsusi ndqte oldu[u aydmdr.,|

315 (29q. e),r(,)= ;,,1,Ealli" z=0 moxsusi ndqtalerden biridir cosz-l=O-z=21d,

(r = o*1,i2,...) ikinci ortib moxsusi noqtadir.22

lim z =- lim ' = -2 lirn ---!-=-2*0.z -+0coez-l z-+02rin2 1 z-+O( z\2

a tstn-l' t+ltzlBu onu g0starir ki, z=o funksiyamn aradan qaldrnla bilen moxsusi

ndqt sidir. g(z) -- cc z -1 ile igars edak.IaQ\l =l-l=0;"'lz=2kr

I

e'lz\ = sinz, e'Q\\, =Zto=g'n2k,,

=Oi

,"r,r = " ,, t"i">l ^, =cos2r'=r+oV = 2ktt

u5

Belelikla, z = 2a* (L = o,rl,t2..-.) ikinci brtib mexsusi ndqtadir.

b) fl,t=!-"i!1.@32

Ealll Mexsusi ndqtslori tapaq: t-sinz=0 = zy=L+2ktt,

L = o,tt,!2,... . z = L + 2kr ndqasi aradan qaldmla brlan mexsusi noqtadir.'27 = -{ + Zkr ise sada mexsusi o6qtedir.

2

v) 112'1= !:a-sin':

Ealll z-r=O + z=E moxsusi r6qt6loEdn biri olub, sado mexsusi

nciqtodir. sin z = 0 + zh = * (k =011,12,...; iss ikinci tartib mexsusi niqtodir.

cirr2 , I@(r)=-=- 'z-rf J\2)VG) = sir2 z; tt(F)'o;ty'(z) = 2ria zols z = *oZr, v'Oll,.rr=O;

w'(z) = 2co822,,r'ell, - nr= z +0.

316 (299.a) ,*, bl ,ir-"-, v1 a6l.z+l ' zCavab: a) z=0 es&sh morsusi niiqte; b) z=-l mexsrsi n6qte; v) z=0

esssh mex8usi n6qto.

As a$dah taHifl n do[rud w:1) 1Q) finbiyastntn zo ndqt"sinda Loran aynhgmm baq hissasi istirak

etmirsa, bu zo-tn nadln gdt riila bilan tnaxswi niiqla olmas iqiin zarui va

kafi qan adlantr.2) OSar f(z) fimksiyastrun zo nqtasi atrafinda Loran aynhynda baq

hissadan ancaq sonb sryda hedd iStirak edirca, bu zo nbqtasinin f(z)funksiyasrnn polyust olmax igin ham zarui va ham da lufi Sartdir.

y(z)= -. c-L

., + ..* jr * i"pl, - "sf (c-1 - *o)"' l" - roY z-zo tr=o'3) 1Q) fnbiyastnm z$ ru;qtasi atrafinda Loran aynhsmda bas

hissadan sonstz sayda hadd istirak edirsa, bu zo niqtasinin t(z) fubiyasmtnasash matsusi ndqta ohtwsrfi g6slair.

246

iI7. f(z)-l-e' funksiyaslmn zo = o nqtcindo mexsusi ndqtesinirz

xarakerini miieyyon edin-

Halll zo = o noqtesi etrafrnda a-" fimksiyasrmn Teylor ayrr\rndanistifade etse! srfu n<iqtesi atrafinda 7(z) fimksiyasrmn Loran aynhgrru alanq:

r(,)=16-,')=1l- r-( r-, r" -4. ll-t\-' z\ "L ( 21 3r ))

=!(,-!.1- l=, i*4 - .z(2t3x)AllBu q1nh9 ba$ hisseni Oziinde sotlamrr. Odru ki, zo =0 nihtesi aradan

gtitiiriile bilen mexsusi niiqtedir.

31& fo=t-+1 firnksiyasrmn z0 = 0 msxsusi noqtesinin xarakterini

miieryyen edin.Halli as z firnksiyasrmn z-in dereasine giire Toylor aytr lqrm yazsaq, bu

ele 1(z) fulksiyasrnrn srfu etrafinda Loran aynhgrdrr:

.. r ,l f ,2 ,4 ,6 ,E ,to ')l/(z)-*(t-co.z) -=l t-lt-:- 11- L 1a -L+... ll=r\-, z7\ " z7L l\ 21 4t 6! I l0 ))

t(r2 ,4 ,6 ,E ,lo ) r I t , ,3= -l --:

+ - -+-

. li - ---+-

--+--..,,7 [ zl 4! 6t 8! lol ) 2tz) 4tzr 5lz & l0l

7(z) firnksiyasrmn zo = 0 niiqtesi etrafinda Loran aynhgrnda menfi iistluq[wetden sonlu sayda elemsnt igtirok edir. Belelikle, zo = 0 ndqtesi besinci

tertib polyus adlamr.

llC, IQ)=Q-\* firnlsiyasmrn z = I msxsusi ntiqtesiuin xarakterini

miieyyen edin.

Ealli "' = t * u * ,4

*! *... aynhprndan istifade edsk ve ,=l nesab

etsek, 7(z) fimksiyasrmn zo = I ndqtesi erafrnda loran aynhgrm alanq:Illll

/(z)= (z - t) t. -

+

-+-+

r=T' "-t a(z-t)') rl(z-rf .l

=r+(,-r)+;p!-r(,h-.Bu ayrrhSa (z - t)-rn menfi q&wetlerinin sonstz sayda elenenti igtirak

edir. Odur ki, "o=1 .f(z) firnlsiyasrnrn esash rnorssi ndqtesi adlanu.

24'1

ASafidah misallarda maxnui nfitalain xaralaeini rtary^ edil320 (29D. 714=\lffa, "o=r.

Halll Bttnz gOJa mijloyyen elemeDtar gevirme aparaq:

@s z = @G( z - n + t) = - @s\ z - n) = -1, -<' --:>' * U-llo - l'L2t4t]

t+"- =t-t.+t!t--o-t)a *...=(z- n)2 -(z-ts)a *....a 4l 21 4l

Bunlan verilon funksiyada nazaro alaq:

- t lrz-*t2 tr-*\4 I r I r

' ,-rL 2t 4t I2l' 4l '

Burada loran srasr tr ba5 hissasi i$ink etrnir. Odur ki, r0 = z ndqtssi aradan

qaldrnla bilen maxsusi ndqt dir._2 t_, .t

321 (8t) !.-'"-', ,o=r. Cavab: Sade polyls.z'-22+l

322 (29g). f()=lI!7,,0 -0.z

_3 _5llalll sin z = z -'-- + a= - ... Makloron aynhgmdan istlfads etsoh3! 5r

- ll ,3 ,5 1r,' ,oJQ)= 2ir- - +- -...r=--:- i. --zL lz 31 5!

Burada toran smrs lrn baf hissssinden bir hodd i$irdt edir. Odur ki, z6 =ondqtosi sado polylrs nOqtesidir.

32i (iM). !8, ,, -0. Cavab; Aradan qaldrnla bilen.z

324 (301). f1z!= ms)-, zs=-r.

Helll *r, =t-!* {-..aynfinaan istiftdo etselq venlsn 11212! 4l

funksiyasru aqagdakt kimi yazarq:

l(z) = t- --- t-2!(z + tt)z 4it(z + x1a

/(r) fur*liyaslrnn Ioran aynltqrnrn bag hissesinda soosuz sayda eleme

igtirak edir. Odur kr" z = -r m.)xsusi noqtosi tsbii maxsusi noqtsdir.

ut

-2tz" +22' + z'

Cavab: z = 0 d6rdiincii tertib polyus, z = -t sade polytrs.

326 (303). /<r; - h(l*-"), ro=o''"zz

-2 -3 -4 ,-DHalE ln!+z)=z-'T-'T-

O . -(-l)'-r 1+.,. aynftlrndan istifada

edek:/- -6 -9 ) -l -7

r(') = +rn(r+23) = ll,3 - | *'- -...1 -, - | *' - -..."' ,2' ,21 2 3 ) 2 3

Bu aynhqda lomn srrasmrn bag hissssi i$tirak etmk. Odur h, ,o = o n6qtosi

aradn qaldrnla bilen moxslBi ndqt dir..2

327 (304). Ill, zo =0, 6uuo5, 4larlen qaldrrla bilen.z

z+e325 (i05). 71"1="-,

^ = -r.

z+e

Halll ez = t* , *! t ... * !+ ... aynb$mdan istih& etsoh razanq:2l trlz+e l- l

1111="1J1= I ll*,r*")*('*")- *('*")- *,..1=,+e ,+.1 21 3l l7 - 2+e lr+e\z--+l+-t - +..,

2+e 21 3l

/(z) firnksryasnrn Ioran aynhgmda bag hisseden bir hsdd igtirak edir.

Odur k! z6 = -e sado pol)Trs niiqtesidir,

32g (J06). *.]*rio2= -, ,o=0. Cavab: Aradan qaldrnla bilenz2zmsxsusi ndqts.

330 (30D. f@1 = 7. sh!, 7o =n.z

-3 -5HalE s*z=z+L*i-+.. aynh$ndan istifrda edek:

f(r\=uht-=z(!+-t I \ I I

z 1z 3'ri+f,i' )=|+-' "+'-''+ '

Burada Loran aynlqrnm baq hissesindan sonsuz sayda hsdd igtirak edir.Odur ki, g<isterilen moxsusi noqte tebii mexsusi ndqtedir.

249

$17. FT.TNKSiYANTN CTXTGI

Tutaq lci, zo ntiqtasi l(z) imb\tasrn n Eole edilmif moxsusi niqt?sidir.

1Q) ftnksiyasrnn zo nQtainde gmiz resf eo) kit ti itara oharur va

I*"lQo)= 2d! l@d"

(t)kimi iSara olwur. r konturu kimi markazi zn niiqtasinda yerlagan kigik rdiuslupwa gdtiirmak olar. Bu gevra /(z) fnulciyaxnn tayin oblastmdan bnaro7D(mtr va bu ndqta atafinda l(z) fwbiasmtn hsqa maxsusi niiqtasi yoxdur.

f(z) fimbiyasmth z = zo nEtasinda 7afit, |Q)-n Loran aynhgtnda ttonfiqiivwatin biinci amsahna b*a bardir :

res !(zs)= "-.t Q)Aradan gdtiirfrla tnlah ndqtanin 1rxrE7 stfira barabardir.Ogar zo n\qtasi f(z) fio*siyasrun n-tartibli polyusudwsa, onda grxtq

, *r r^', = h "Y "fi b ax, - ^rln=1 slduqd4 yani sada polyus fiqiin qaq

resJQ)= t"^UGYv-ily

(4) ')'n

distw ila hesablantr-Ogat l(z) funksiyasr zo ndqtxi atmfinda iki analitikfrmksiyarun nisbati

bmi veilarca, yrni IQ)=*|, burada eQn)+o, vQo\=o. v'Qo)+o, ba$qawtz I

sdzta zo fQ) funbiyasntn sada polysudur, onda f(z)an ga$t

,",7Q0)=$), Ov,6)diisnnt ila hesablarur.

Ogar zo nbqtasi J(z) fnksiyastnrn asash maxswi n.iiqtasidirsa, ond.a

1Q) funlaiyasrn n zo niiqtasinda ganfit resf(zn) fimksiyastnm Loranaynlqmda c) arnsahha bambardir.

i31. JQ)= "6'=' fim.ksiyasmrn mexsusi ndqtelerdoki gxrlmr taprn.z- --z'

4

(3)

EaA lG) fi.nrlsiyasrnrn mexusi noqteleri z = 0

n@tesi iigiin

y6 2=L-6g1. 2=g4

250

-. -, . -. sinz2,. I 4lun ,r lz, = ltm -':-z lo ,-tA ZL z-ro z_A ,t

Beletikla, z = 0 n0qtmi /G) funksiyasrnrn aradan g6tririile bilenmaxsusi n@tesidir. Oua giire res 7@) = o.

,=I n6qtesinds l_iO=-, y^, "=; niiqrasi firnksiyanrn birinci

tertib polyusudu.Onda (4) diisturuna g6re

,"rr{')= w, rb'{ ,-L\=r' sin z2 (r. r''l= * tiol2- to"',,t2' \4 / ,-9" ' '( 4 ) ,-1rt _1rt\ 4 ) ,-L "z 12 16

4444332 f(4= -a]---6 fimksiyasrnr,, 6615ssi ndqtelerdeki gxrlrnr tap,n.

tQ'z + tlHaA f(z\ firnksiyasmn mexssi ndqteleri :t=9, z2=li, rx=-)i

noqteleriCir. zr .0 iigiincii totlib, z2=2i, z:=-2i ise ikipi tertib polyusntiqteleridir.

,", t @ = r\,tyi "frk - ^)'

t {nldist,nrnu tetbiq etsek alanq:

r l d2l . I I'3,'t r;ry

= I PoEl'" i7;i )=

=::""a,lgal=;;{'5]= ;r: 76;4

= i r-,ila "r' o -g o;a]=.. al r .].. I 3 2 I r=,|!,,aln ;4 )= :nf 7 1,;;7' 7 d;rF )= a'

':; i:i = | "':,,L1t

.''t' 4fi 1, ^9)==,y,,il*,r]=,*,[1; r;e]= i

25r

333.

^)=;i fi.mksiyasrn,,, mexsusi nEtolrydoki gluFn, tapm.

HaA fQ) furksiyasrnm mexsusi @teleri za + r = 0 tenliyinin kdkleridir.., .3t .3,

Buradan z, = r'r, ,, = "'-l , ,, = "-'-{ , "o

= "''i mexsusi ntiqteleri a1nrr.(5) disturuldan istifade etsek, alanq:

*,rQ)=*

""rl\r)=#l

*,^d=*)

334, IQ)= S sin]' fimlsiyasrmn mexsre i ndqtedeki gxrEru tem.

Halll z =0 n<iqtesi /(z) fiurksiyasrnrn osash mexsusi niiqtesidir.Dogrudsn da z=0 nttqtqsi erafinda y(z) fimksiyasrmn t oran aynhgr

rU,=;()=-l_* r,.-'l=,- , r , -" .-. - ( 12 3tz6 :,zr0 ...

) - lr3 5tz7

.

ohu. Buradan aydrn gdriiuiir ki, ba9 hissedeq sonsrz sayda element igtirakedL.

/(z) firnksiyasrnm Loran aynhgrnda c_, ursah sfia beraberoldu$unda!, /(z) funksiyasun z = 0 n6qtesinde gxr[r srfta beraberdir.

335. /(r)=;f'-1sPz funksiyasmrn z=o ndqtesinde gxrluu taprn- " (sioz- z)sinz

HrAi z:lni4tosi sueti-n, dz)= sm3z - 3s:mz furksiya.srmq hem demexrecin y(z)=(snz - z)sitz finksiyasrorn srfrrdu. si.r z fimlsiyasrrun z=0ndqt€si otrdfinda. toran aynlryrndan istifade ederef, bu firnlsiyalannslfillsrnrn tqfibini milayyen edek: 1 (

"-,=,-f,*t_Onda

,",tQ)=#l,=:i=i"+,

* = !"-'7 ,

I ,--

li-

,=,"i 4-

252

fu)="n32-3s,.z="-+-+-

=-!-'r.' *35 "3,s - .=,391Q)31 5!

Burada.. rr-3 35-3,q(z)=-?tLr zz - ,q(o)=-t+o:

,y(z)=(ainz-,)"^,=l-+,+ J[, +. J=

=,(-i'.+- ,)l'-*. )=,^u,

Beleliklq. ' sin 3z - 3 sin z ,'o,l') q(')

r \" - (tio z - z)sio z zatYv(z) z'Y1\z)

a(o)+0. rz,(0)+o otdulurdan z=o rdqtosi verilm firnksiyanrn sade

pofy*'rA*. Ona gitro bu fiDksiyeorn z = o niiqtesinde 9nl$n tapmaq iiqiin (5)

diistruu toibiq €doroksin3z-lsinz - * q(t)r.r=

i!'o(,,or-rt,o' lio z''Y1Q) -

=q,9) =-_!=zt-ao--:--alanq

I$6 fQ) = L fimksiyasurrn m*susi niiqtelerde gxr[ru taprn'

alli z=1 ;e z=0 verilen fimksiyafln mexsusi ndqteleridir' z=t sado

polyrsdur, odur ki,rl

"=r' ' - ll

t,=.,

-,(,-+.+')=

,,@=(- +,, + - J[' - +. ),-,')=

-] *o

253

z = 0 noqtosindo mexsusi nthtenin xaraktsrini mloyysn etnok iigiir! bundqte etrafinda verilen fimksiyam lomn s[asrns ayraq, Onda alanq:

Iez =r *-l-* -]--=-- * -f ^ *...,z 2'!zz 3lzt

I - | + z + ,2 * ,3 * ...l- zBu sualar bir-birine vursaq, alanq:

I

:---(r*!* I * I * ).(r*,*,2*,3* )-t-r-l." z'2t?-3'.5 ' J r-'

(- | r )r r=l'+r+t+...J-+"_r?*diizgfln hisse. Burada e-, *0, k =2,3,... .

Aydm g6dirtr ki bag hisse Loran aynhgrnda z-i-o merfr qiiwetlerindensoi$z hodd saxlayr. Odur ki, z = 0 ndqtesi esash moxsusi ntiqtodir.

Bu firnksiyamn z=o ndqtqindo grxlr

res f(z\=c,=1+ I * I +...-"-1.z=o- " 2! 3

i37, .l(z) = w zsta] n-miyr"rrr- z=0 mexsusi n6qtssindo grxtgmrz

tapm.Ealli z=0 niiqtesinde mexsusi n6qtenin xarakterini miieyyen etmek

iigiin verilen firnksiyafi Irran srnsura ayraq. Onda alanq:

-2 -4

"orr=l_i*a-...,.rlr5slnz=z-T+Ji..,.

Bu sualan bir-birine vrusaq, alanq:

r(,)=.",,,roI=[r -" *"0 -. .)fl--1

.+- l=

diizgtn hisse. Burda c,,,.-,, * 0, k = 1,2,...

Loran srrssmda ba9 hisse sonsuz z sayda hedden ibaradir' Odrr ki'z = 0 ndqtesi esash mexsrsi n6qtedir. Axtanlan gxrq agatrdakr kimi olar:

=lt*I*l*...'ll-f t * t * t *.)l* 't- z:r +l /z \oB! 2b! 4!7! ),3

,,rr(*r.uf)=",=i, .,'1-o\-----* z) -' f*Qn)tQn+r)t

33& 1Q)= z2 s;o-l - funksiyasmrn mexsusi ndqtedeki grxSnr raprn.z+l

Ealli z=-l bu funksiyenrn mg:rsusi ndqtosidir. Bu nhtenin xarakterinimiieyyen etmok ibih verilen f(z) firnlsiyasrm bu niiqte etafinda Loransrrasrna aynaq. Buna g6,re z'-rl z-(-l)=z+ I qiiweti ile ifade edek. fua

z1 =l(z+r)-rf =(z+tf ^z(z+r)+l (l)z=-l ndqtasi otratnda ,;r-f toUiyr"lnrn Irran oynhgr a'a[rdah

kimi olar:.ll1t

-+-...

z+l z+1 3t(z+tf 5t(z+rf(2\

(l) ve (2)-ni bir-birine vursaq, alanq:

r,'t=,, "r*=k.r;, _z(,*r).d.1* *h.5l(,h .]=

=['-])*.i ;F.(i-i)dy- +r-r *(z+r)]

Belelikle, z=-l n6qte,si verilen frrnksiyamn 6sash mexsrsi niiqtesidir.

onnn bu nilqteye nezeren gurlr f1, f G)=tL=1kimi hesablamr.

Agapdah gutqlan hesabloyn

33g. n" sn2z -22- .

z=o(l-coszFEalE z=O n0qtesi p(z)=Bitr2z-22 siiLretinin va y(r)=(t -"osr)2

maxocinin srfindrr. indi bu srfularm tortibini mtieyyen edek. Buna g6ro sinzvo cosz fi[ksiyalannLln z=O n0qtesi etrafirda Teylor aynhgrndan istifrdaedsk:

dz) = sin2z - 22 = 2" - +.+ - - r" =,r(-+.+ - .)= r,o6

burada q(z)=-:+ +ln

m{,)1, = o=

_i,

255

e,121=(r-cosz)2 =1,-,.+_+._1' =*(i_*. )'

=,nvlt t

t. z \2o*"au rrr,r=f] ";.

) , ,rr"tl,=o=I,rr<o>=-1, rzrror=|,

,"" "''"' - ?1 =,.'3rrG)' = e'lol =-l= -,,=o(t-crxrY ,='o "a

vrtQl tzr(o) I 3

i4g. ,"" (1- chz)shz

z+ g - cos z)sin2 z

HaUi z =o noqtosi suret ve mexrocin sr.findu. Ona gtire e@)=(t _ chz)shz,

y(z)=(l- cas z)sin2 z \arelamosini qsbul edek. Burada clv, slra, cos z, sinzfu nksiyalannn Makleron ayn\rndan istift de edok:( -z -'- Y-,,3 ,5, )- (,, .,0 * ),e(,)=[r-r- z-'at-^\,*;.;- .1=-l;-; )

,(,*1*t* l--,r[t*4* ll,*,-'.,0 * Il. 3r sr J (2r 4! .'|.' 3r sr .'

q(z) = - z3 qt( z\, ^,,,

=(*.+. ]['.+.- +. ), er(o) =! *0.

"(.2-4)/-:-s\2v/(r)=(r-cas,)sio',=[-,.;- * * ,,|t,-;-i- ) =

=lt-1. .\(,-,3 *,s - \2 --o(r .' , )=l, -r' j['-r'o -'J =' la " . j'

(-2-4)2"|.'-;.;-

,J ="4v{,)

,,,,,=[]-*- J[, :1.* )', *,r0,=].0.

,"" (, - "*)"n = ti^ "3,h( r\

" = Ag, =l_ =, .

, = 0(l "os

z)sinz z z -+O 2qyr1r1 VI(O) L

256

ASa$rdah funksiyalarm matcsusi niqtalarda gtnfitru tapm'

341 (s14). lk)= -Lsz--z- - -z4

Halll z =0 , z =L, zk =;+ * G = o,r,t,tt,. .) mexsusi ndqtalerdir'

Bunlann har biri iigtin grxrlr hesablayaq:

res f(z\= lim tF= z= rim @= ={=o'l?0"'' ,-o rg-L1 z--+o z-'!o -t-

fr

rus-l(z)= rr^- --L&-.'{t - L) = ll,.r'+ =+ =:',=L ,.Lz(z-7) - ,-+i' 7'44

I

312(i15). lG)=f"). CavaU: *do)=j

313(316).

^4=a#(,-).Ealll z21t=0 3 z=-.i, z=i, z=3 ndqteleri msxsusi noqtalardf Bu

n6qtalere nezoran verilrniq funksiyam

chzirzt =

-

"'- 12 - i11z +iYz - 31

kimi yazmaq olar. Bunlann har birine n'zaren flxrp tapaq:

chz , chz chi,es t e) = t"n

G :i:;i.,e 5 Q - i) =,t\ i a ;i4 = zirt - tt

-

__ c46l --(3+i)oosI=-l l-3'*rl.2i(3 - i) 20, 20

=7; .

I -+rEla

0,*1,+i1,,..

sin zi

z(z- -l'4

trl4)

*n-x-1

)(t*

+

,u JQi tl2 +

lim,f.,

1

4+

tL

l,lz

d

25'l

,. chz ,. chz ch(-i)- i" z-+-i(z- iXz+ixr-3) z--r-iG-i[z-3) (-i-it-i-3)

ch(-i\ (3 - i)cos l I _- -..=__(l+Jr|COSl-2i(3 + i) 20i 20'.. chz ,. chz ch3 ch3

z=3' z r 3 (z - iX, + i)(z - 3) z )3G-i\2+i) (3-iX3+r) tO

a2i44 (31t). Il,l= -;L-

z' (z - l')Halli z=0, z=l noqtsleri moxsusi n6qt5lordir. z=O Ugiincu tortib potyus

noqosidir. Odur ki bu ndqtcya near3n qlx,q

,," rG) = #i ,t:,ofiltun, - ,o*1

dtisturu ile hesablaff.

-",^.rr,r = ;, ri, o #liTrl= :,',:,*li-]== i ;,:,*lt#l= i ;:Fti#- = i.

34s(3te). *l= o;y;zyI

i16(i2o). lG)='',.l+ z'

,, 3,HollL . t+24 =o tonliyini holl edok. ,r="'i,"r="'-i

3t24 =e 4 m.xstsi noqtolerini ahnq. Bu n@alsrin har birine aezarcn f G)fi:nksiyasurn gxlmr hesablayaq. Buna g6rs kasr-msional funksilamngrxlrmn hesablmmasr qaydasndan istihde edak:

res fQ)= nn e'-(z -l) -z=7 z-alz'(r-l) t +lz!

Cavab: res IQ)= ),,"' tQ)= -*

I_21

,",f(z')=\l .,r ,425 | ';V=e '

l,="'z ,,

258

.n=. z =cos-+i8rn =r22

oldulundanI2l

" " 1.,lz'=i

I

,31 .n =t r-lz=e 4

.t -(c4

_l

.1t

(" 4)3

i=coel+isinlrei,

3ti

I

- z'l,*rot>=jl,-,riI_-;

,*/l\\=;

"t =- l=(l''\"''

1- i 4J2'

3t 3t I I I..--_+isin -_: =-_ +i---== --_(t-r),4 4 J2 .!2 .t2

"i -,li

-arr-,r 4

,t2 '

.3t .

2=e 4

1

,21

t,rc" J(

.9trt- 9tr 9r I -. ..a =coc-+istn-=-(l+l),44J26il

3t 5rffa= " " =co3t'r-rstn, = -I'

e-i l-i -i,^\=-=-a-z' - !-a +i\ 4J2

J2'

I- .l

lz2

-l2l 'i; ---t .-,-E - ,

" ,2 ="-i.,'l- =" z = coo; - rsrn; = -t.

t.a.n 3ri

)l,r= <,-' a 13 = "- -t =*'f -"ln'+ = iu. u

,u 7t,;= -l ^= -)-=o-,)"-',

-7=2lt+tt

t 92ri

irt ="- t =*u2-i"in21=]r,-1.' 4 4 J2'3zt 3ni;) -^ 3z 3r1)- =e z =co$=_isin:=_i,"r)

z = 0 -da verilen funksiyarun msxsusi n6qtasidir. Bu nOqtoya rnzaren f (z)

funksiyasmrn gxrlr tapaql _ I

*"1'o'=11 =o'43 lz=o '

347 (321). /(z) =:':sin -l c: resf(o)=--].z"6345 (322). /(z)= cssl * r:.

zHalll z=0 /(z) fiEksiyasmn moxsusi ndqtasidir. Bu frrnksiyanu z=0

ndqtosino noz€rsn flxr$rm tapmaq tetln cos | fufisiy25rnrn Loran aynhgmdan

istifrda edek:

JG)=t- | *-L- *'3'zlr2

' 4tz4 ""'

Burada /1zi-in Lorm aynhgrndq C-1 omsah yoxdur. Odur ki, verilenfunksiyann z = 0 noqtssino nozenn grxrlr srfira borabardir, Yoni,

rus lQ) = 0'z=O

34s (s2s). Ie)= " )b2' .,z(r+ilr-!l," ,,\" z)

rl - -'lz4

z'l = (elz4

I- 2l- ez I ^ I

,"" 11,at=jl _,3a = ;jr{t+it"-'.P=e

cavab: rcs t(.it = itn,*.,", 4;) = -+(" -1,-

3so (324). rG\=t,,*',.z' lz -3)

260

HelE z=o, z=3 n<iqtelari mexsusi nd,qt lardir. Hem da z=0 f(z)funksiyasuun rigiircii t€rtib polyusudur. Odur ki, bu ndqtaye lare7atea fO)fimksiyasrnr n grxrlt

*" t @ = ; Dt, t:, ofilr nu -, or1

dusnrm ila hesablarur. Yeni

r .. d2 I t-*", ,l r,, a2 lt-*"r1r*orQ)= a,t\oalfi''" l= ,)\o7l "-3 l=I a lr, - ti"in , - fl - *, ,)l

=:- lim -l

' ' : l=zia'satl e-3\2 lI .. lsin, +(z - 3)cos, - sit z\z - 3) - 2l(z - 3)sin z * (l - cos z)l -- - rrin- 2 r'\o (, - 3)'

_!.(-3X-3)__ e -_1,2 -27 2.21 6

,. 1-crsz. ., ,.- 1-cosz ,-.or, Z"io2 ]*'r11'l= r\rr1r-l>lz-r'= z\3 z3 = n ' nrl

351 (325). f(r\=6 "2 , Cavab: rerT(o)= o.

3s2(326). n=v!,p;talll z=t, z=-1, z=-3 diqteleri /1zi funksiyasmrn mexsusi

niigteleridir. Bunlarrn hsr birine nozarsn grxrqlan hesablayaq:

resrrn) = tim "' .(z-l)= lir , 1,1 -, =!,'--'t'' , i tG -l)(z + lxz + 3) zal(z+ly'z+3) 8

*,1 cr) =

"y,_r* ff tx, + tl t,. rl = "^_r#= -*,

'b .-.-1rt3,1= li^ "E =,esft-3)= zltt.o4G-tl;i\z+3). z -+ -3e -t),z + t)

"-3i "- 3i

=G3-lx-3+D= 8

I

3s3(32D. Ad=f;j Cavab: resl(o) = - i,^ 4;) =,

3s4(32s). f(zl=3-Helll z = i /(z) fimksiyasrnrn moxsusi noqtosidir.

E2

/s/(i) = lim L.lz-i1= lia cE =en =cost+isinr=-1.z-riz't z)i

-2n3sS (329). tG)=! - (z>o-tam).' (, -t)'

cav ab:,e " 1Q\ = 24n - t\zn - z\ "lu - (" - z)l

---6-u-l-356(330). IQ)=as2,.

HalE crgz=*sz oldufundarr einz=0 t nliyinin hollindsn zp =z[srn z

(r = 0Jl,*2,... ) noqtoleri 421 funlsiyasmrn mexsusi noqteleridir.

/srltz)= lun -d:- = '- !51 =0,

4''-' ,-- ozsnzcos z 2-+g?sinz

'et f(z)=o, k = 0'tl'*2" 'z=t*

3 57 (3 3 1). !(z) = sn zrxlsL. c*"1' - i,6;fu,I z=ondqtesinds.

3st (332). f(z)=ez-tIlalti Aydur gOriiuriir ki, z = I /(z) firnksiy35rnrn mexsusi n6qtssidir' 7121

funksiyasrmn grxrlm lapmaq ngrn funksipmn bir pdat goklini doyi6sk:z z-l+l t. I l

f(z)=ez-1 =2 z-1 =" z-l =c'ez'l .

Burada fimksifanm Makleron aynhgrndan istifade edek:

rel="Ir, r * I .*--!.*...1"-' -t' " -r' 211, -t12 3l(z -r13 .1

res l(z)=C -rz =l.l

sln_3se (33i). lQ)=--z .

= [m -4.(z-l)=e.z -+l z -7

x2

Cavab: z=0 ndqtesinde sinl, z =1 ndqtesinde -sinl.

1

360(334). ra=*Halll z=a, z=-l nOqteleri /(z) funlaiyasmrn msxsusi n6qteleridir.

Owolcs z = -t ni,qtesim nozeron glxrF tapaq:

rcs f (z)- 1ir, "16 * r1= lim el = e-t .

z=-1 z-) -lz+t z--t-l I

z=0 ntjqtesine aeze-;;a f(r) fuirksiyas,r'rr' gxt!1a1 tap,maq iigiin ,i ys -Ll+ zfunksiyalarurro Makleron aynlqmdan istifade edek:

I

rr"t= | "l =(r-r*12-,3*.,.)[r*l* l= *-!*. l=" " 1.2 \ ,/\ , 21/ 3lrr )

=r-[r *l*l*"]l*c-'' |*\ 21 3l )z ' ,2,es fG\ =l-C -1 =l-e-l '

z=Oz2 +l

361 (335), lQ)=e , Cavab: z=0 nii4esinde !-te

.. I * l-t),362 (336). f(z)=s"n:. Cavab: z=o nilqtesirde,I.(rm*,1,-

S18. qDilQI,AR HAQQINDA KO9I TEOREMi.

I. Qxqlar haqqrnda Kogi teorcmiTeorem, Ogar D oblasn daxilinda 21,22..,2o ni)qtalai miistasna

olmaqla, 1(z) funhsiyasr D oblasarun sarhaddi olan C4a arulitikfunlalndrca, onda 1(z) finbiyastnn C izra inaqrah

! tQY'=zai'"' /(")disnru ila hesablarur.

3

Its. I "i-t a" inteqrahm hesablayrn-t-i ,z'+ z

Eatll z =0, z = -l n6qtelerindon bagqa lzl< + oblastrnda

^)=

e;:!zt +z

firnksiyasr analitikdir. Odur ki, grxlqlar haqqrnda Kogi teoemina giire-2 1

I I az = zzifresl(o) + rerfl-lf.lzl=4z'+z

z=0 n6qtesi y(z) firnksipsrnrn aradm giiriiLriilo bilen n6qtesidir,

yr"i ,1,-_r#+ = r -dir. Ona gdre rerflo)=0, z=-l ndqtesi t-ci tertib

polyrs n6qtasidir. o&u ki. -,G,)=,g,jf;$(z+r))=r-l atnq.

Beletikle, | "'= tar=zJr-!)l'iaz'+z \ a/

354. lgzdz iteqralm h€sablayu.l,l=z

Eolll lzl<2 oblastrnda 7(z) frrnksiyasr z=L yo z=-L rfiqtelerinden

baSqa her yerde analitikdir, BtFr. zo =L a 6i /(z) fimtsiyasrmn mexsusi

n6qteleri D oblastrndan kenardadr. Onda

JA "ir* I*'tlt)=,*"il=;=-,

-,[-l]= .b, I =-r.'-( zl_O,ll,=_i ,

Ona g6re ltgzdz = -aa ola.bi=z

I

365. I *" inr€qralu hesabtayr., ', 1z' + lt,-,F;

1

EaUL D: lz-il=1I out^t-d"

^4=;i fimksiyasrmn iki moxsusi

ndqtasi var: z = rbirinci trartib polyus vo z=0 esash mox.slsi adqts'(5) diisturuna osason

$9Jt

.iresJ(t)=';l=t=;.

z:0 ntiqtesinde 7(z) fimksiyasrun gxr[uu hesablamaq "giitt ,fG)

firnlsiyasnr .z = 0 nilqtesi strafinds Irran sllasmD eylrmaq laamda' Lakin

bu halda firnksiyam ioran smsrna ayu:na$a ehtiyec yoxdur. Sele ki, 7(z)

funksiyasr ciit frrnlsiya olfu$undan, orun Loran ayr r$l z 'n' f -i, "itz

qiiwetlerini sexlayr. C-r =o oldrlrurdrn recl(o)=o olar.

+Kopi teoremine gdr e ! -{-a, = L

"1*rr.' '12'+1 e

| ,)if,a ! Lsra!6 inteqralrnr hosablayrn-

l,l=2- - 'IIollL lzl<zd*esinda intqralaltr fimtsiyamn iki z=l ve z=0 kimi

moxsusi rdqtolori var. AsanLqlo yoxlamoq olar ki, z = I sade polyusd['Odurki,

r

"' ( I u;"11=

ttl' 1"-'=sinl'

,=l \z-l z) (z-r)"-'

z=o moxsusi niltesinin xatskterini fidi€Yyon etrnek iiryifur

firnksiyasrmn bu niiqte etrafinda Loran ayrrhgrm yazaq' Onda

I "i,,f =- I ,r,l--[*r*r'*...1-l +.+ -...)=

z-l z I z z ' \z 3!z' 5!r' )

= fr-!.!- -l

L ,"-1 a"-l+...,- [' 3! 5l /z z2 z'+ diiag0o hisso c-P +O' k = 1',3' "

Belelikle, Loran aynhgr z-in meofi qiiwotlerinin sonsuz elementini

6ziinde saxlayrr. z=0 osaslt moxsusi rdqtdir. Bu ni\tede inteqralaltt

funksiyamn 9rx!t

11_ sltl_z-l z

265

.1srD- I I I \,"i-_i ;i="-,= 11- i'

+ ; - J=-s'ntolar.

Dofurdar da [ | 'r-!4, =2;1pin t -sint) = o alanq'

ttt.

inte qral I an he s ab la1ot.

3661. (sj7)' lzgne,l,t-'

Halli l4=1 oblashnda zrg.z fiutksiyas'nrn iki 2 = -1+2dc ve

z=!+2* (t = 0.11,12,... ) mexsusi ndqtoleri var. Bunlafln har birine2

nozoren ztgd funksiyasrnrn glxrErm hesablayaq. Buna gdre

n! llidz =2td 2 rcs!(zp\ diisturundan istifade edok:

c k=l- L zcinP 'l =!tzk-res Jr,z1l t ..-_= 1,3 (-"-y= -ilr_ L+z*t zlz = --+,tldt Il'- z -'"' z-+-i+2fr' | 2

I zsi, ,orut f( z\l lrm''""-12-!+2dt i _ . (@s'z)'t 2 z)-+ Znk

I zts,z dz - 2d ( :. zt - | +l*l = o.

Ii=t \r t t

222367 (33s).

!1"_rft;r1, w , 'i *v5 =3r cavab: 0.

i6E (33s). I ::d' ,lzl=22'\z + l)

IIallL z = 0 v5 z = -l noqtaleri ideqralaltr fuaksiyarun mexsusi

ndqtcleridir. Odur ki, bunlann her birina nezeren inteqralaltr funlsiyarunqDoBmr tapaq:

=-t(7.2a,)= -i-z*.

ez l-. d2 ezt?J-=-14--,r3z=ozJ(zt D 2lz)odiz z3e+D

= i ::,1(4#f)= +,y,il*) = ;.8(,' +,"')Q +r)-zn,

./ -\I d'I e" I=r,\o7l^)=

(r+tf

I _.

2z-+0

- 1.ze' +z'e' +e' +ze" -zzea

(z + t)3

eZres _=z = -t z3 (z +r),Y^,{ *' u "'l =

"':*ri = *.',

. "'d, - I II ^-= zti(=- -l-7l- 2 zr lz + l) -2

e-

2

JGg (iro). I ". -L.ar. cavat:z|,r -1')rlz-il42t -,z l. e,/

370 (341). ! z2 sil.ldz.12

t4=;

alll z=0 no'qtcsi inteqralaltl ftnksiyanm mexsusi ndqtssidir.

f (z). z' sn: firnksi;asrnrn grn&nl tapmaq UgiD /1zy funlaiyasmr Loran

,r** "yr"iq',2rn!=,2(t-. r ur_ l=,_,.,.-, _, l, 3tr3 stzs ) 3tz' 5113

'.

Buada c-r = +

= * oldufundan ]":o,2 ",^! =c -r= -I ohr. Odur ki,

1 zz snl - f l\ tri,, I

- d2 = tE t'l-- )=

--.lzl=-" 2

371 (342), 1 sn-e a, cavab: o.l4=$ z' - z

172(343). I 4Llz+tl=4 s' -l 3

, ( ,2 *tl,'l ,. \ / I2z-+o (z +tf 2

Ealll ez +1=o taniiylrrri

maxsusr noqtesini tapaq:

funlsiyasrnn

ln3

fuafuiya5rnrn 7 = l,birine nazeran 112;

267

Irell efnekto f(z)= "ez +3

.. z ln3Im _=---z -+lt3ez a3 sb3 a3 6 '

1 z dz =2r i E!=Itrnr.

lz +tl= 4ez 13 6 3

37i (itl). I Z,'* Cawb: 2ni .

lzl=t sru'zcos z

171 (345). 1 -:'?-. Cavab: [cosl+sinl+r(sirl-c6t)]1lz-4=tz' *2" *'

175 (i46). J ,"o *". cavab: d.14=t(z - *f

zcos- 7 1

376 (347). J--.2 * g,{*!'=1.cz'-4 9 4

z

Ealli z2 - t =oronliyifln hallinden l@ = :,z' -4

z = -2 kimi ikr maxsusi ndqtosi almr. Bunlann herfu nkq[1axsu11 911s$rm tapaq:

ZZcos_ cos _res IQ)= lim 2 .(z-2)= lim

-2 - cosl

z=2 z -+2Q-Z)(z+2) z_+2\za2) 4'.zcos_ cos_

res /(z)= tm -l-.(z+2)= lim --2

--coslz=-2 z)-2@-2)(z+2)' " ,l\"-2) 4'

@s-I ^

2 az=zrillmsl-1*stl-0.czt-4 \4 4 )

i77 (345). l^j _r* ", x2 + y2 -2x=0. Cauab: z;.e13

z = hl3l = h 3, res f(z) =z=lt3

a

J7s(i4s). t,ine c l'Y'=''cv, -\

Halll z=1, z= -l ndqtalari f@=ff+ firnlsiyasu:rn maxsusi

noqtaloridir. Bu nOqtalere nezersn /(z) irnksilas'ntn glxrpnt lapaq:

sin.u *41 *- , r,-u2 l=res f ( z\ = res -- '---; ='i! "'- ,:i17 -t)2(z t t1t zutdzlQ -ll'(z+lY I

-i*,#Lffil=Y,*f.#w=+= ires f(z)=or. =1l3-,.r-.,, = "-

l[--q< ' t'*"-]=

;::( "' ;:-\z-l)2(z+D' z-t-t&l1z-r1'Q +D'

= * g[+:,1 = .*,ryv[Sw-+= iz+tdzllz-11') z+

sirj, - .( o n\ -2,

[fao'="'[-;-;';=-" '

37s (350). F;-"

c: Y2 + Y2 =16

tso(ist). [ffi" ''*.*='EalE z =t ntiqtBsi /G) = ""1"!91 fiurlsiyasrnrn mexsusi n<iqtesidir'

Bu no'qto /(z) funl$ilasfln d0dtioc tsrtib polyus nOdesidir' z = 1

no'stositrs nazeron fimksiya n gl.'(rE1nl tapaq:"-- ri,, = ir\#1,#, u')= *1y,f, ""-

n =

= *r5r*or, - "*", = *)),.#cos z + c,oE z - zrinz) ='

=*,,\r!urr*,,-,"^n=iP.,r*(-2sinz-sinz-zcosz)=

= )t^.f,e"^, -' *") = fi lqt-r "ou

z -casz + zsinz) '

Cavab: 2d,

269

= )lr*,<-+*", * rsin zl = I (-4cosl + sinl).

Axrrrcr ifadani melum d[sturda nezera alsaq, onda almq:

I zsb' h =2ni. | (-4cosl+sinl)=a(sitrl-4cosl).

b7-r)s u'

3SI (352). !4- ", ,2 + y2 =2*. Cwab: -1.' ' '"za +l 42

352 (353). ! ,3 s;nLa.l'l=r z

Halll z=0 f(zl = z3 sia! firnksiyasrnm mexsusi nthtosidh. /(z)z

funksiyasmm moxsusi noqteya nezaren gtxlgml tapmaq [9tln /(z)

funksiyasmr Loran srasma ayraq:

f(21=23s1a!=23(!-+*tlltllz z az' sS-7*"J='- - r* ,,?- ,tr"'l:oran suasrnm ba$ hissesinin bag hissesinin C-l emsall stfra barabardir,

Odur ki, 7121 firnksiyasrnm z = 0 ncqbsina nozeren 9ur[r srfra baraberdir.

Beloliklo,

1 z3 "nLaz =o

l,l=t z

olur.

I353 (3s1). IG+tY:-a.

l'l=l,,3Cavrb: 3d.

3u (3ss).,.t=u(,.) *,,' *,Y. cavab: o.

270

$r9. soNsuz UzAQLA$Dfl$ NoQTOYO GOROFT]NXSTYANIN CDfiGI

Sorcw uzaqlagmry 2=o nSqtaya gdn aaalitik funlciyanan gutB,

agar funksiya ,@=4;) isa (=o n6qasinde analttikdir. Masalan,

l@="tt: lunksiyas z=@ ndqtasinda analitilcdir. Neca ki,

q4d= 4[)=$"€ funksivast e =0 ndqtasinda analitikdir' Tuaq ki z =a

miktasna olmaqla bu n6qtanin atrafinda analitikdir- Ogar bu ndqtaninyum atrafinda f (z) funksiostrun maxsusi ndqtasi yoxdursa, onda bu n6qta

izoh edilmg maxsusi ndqa adlanrr. fO= 4- Iunksiyastnu sonsuzluqda

izola edilm$ marsuslryeti yoxdur. k -+ o oduqda z1 = t* polrylartsonsuzlufia yt[fir.

Os* f(r) funbiosmm )!*IQ) A^ia yotdtrsa, onda z =oniqtasi aradan gdtiinila bilan n6qta adlanr.

Tcorcn 1. Ogar z=a niqtdsi atrafinda f(z) fun*siyastnn Loranaynhsmda z-in mibbat qiiwatlari orda z =o funk-siyannaradan gdtfuila bilan ndqtasi odlanv. Ogar 2=o polyusdursa, bu rynhqsonlu sryda mfrsbat qtwatlai sulayr.

Deyak ki, l(z) finlsiya* 2 =o n6qbsi atrafitda analit*funk-siodr.

Bu niiqta atrafinda ftz) funksiyasum ga$t

resri-,)=*!re\e o)I

d sturu ila hesablanr. Burada 7- kifayat qder biiyiik radiuslu lzl= pgevrdir-

Bu teifdan qanr ki, sonsuzluqda funksiyantn ganfu z-l-in !(z)funksiyasmm Loran aynlrymda emsahna barabardir.

resl(.o) = --s-*

3tS. tG\=4 fimlsiyasrnrn gxrgm hesablaym.z

IIaIIi Fuksiyao 7Ql=1!)=*L kimi yazaq. Buna ele funksiy6s1

sonsuz uzaqlagmrg n6qte etrafinda aynhgr kimi baxanq:

nl

flIG)=r'z=.o noqtosi aradan gotiiriile bileu niqtedir. /(-): l. Ofu ki, c-,=!.Beleliklq resl(.o)= -1

Teorcm 2. Ogar 1Q) funks@trun genislaruniS kompleks miisaidasonlu scyda maxsusi ndqtalai varsa, onda bu ndqtalara nazann gutqlannami (sonsu uzaqlasmrs dqta da dail olmaqla) sftra barab*dir.

,es !(n)+ ires 1(a)=o

vaw

retl@)=-fresl(a1) A)

Btrada a1,a2,,.,a,-lar 1Q) funbiyastrun maxsusi ndqtalaidir.

,86. t= | , d', inteqrahm hesablayn

fti2t + z

Ilatli Inteqralaltr lQ\=# fimksiyas,",,, polyuslan smlu saydadu.

za = -t tsnliyinin ki5Hei 21,22,4,20 lzl= z gowesinin daxilinde yerlagir,

l(?)= --

| - fi.rnksiyas'nrn son*z uzeqlaplg rttqtoyo g6rs aynlryl" " l+2"agalrdak kimidir:

IlllllJ\zt= t;4= ,r._ | =7_ lrl .

,-7Bumdan eydm goriirdit ki, pecf(-)= -c-1 =0. (2) beraberliyire gifre

I = 2nilrcsf(z-)= -2tiresf(o) = o.

"'' '= ,"{-,F. F;fd' inl€qalmrhablavm'

Ilalli intqralallJ. fimksiyam4 yeni

tt,\- 217

"-' 6'*'l['-')'Funlsiyasrmn ]zl=l dairosi daxiLindo beg moxsusi ndqtesi var. Qxrqlarhaqqrnda esas teorcmir totbiqi bii),iik hesablamaya gotirft. Odur ki, buinteqrah hesablamaq ugiin (2) diishuunu tetbiq edek:

t =-zniresl\*) (2)

11'

/G) fturksiyasrm aqaEdakl kimi g6storok:

tu=A.fu;t

' [,*]l'f,,{1"\ 2'z./ I 23)

Aynh$a-n aydrn gdriiniiLr ki' sonsuz uzaqlaqmrg z = m ntrqtesino gdre

Loran aynhgrmn diizgin hissesi I hddi ilt b"sl"yo'

Belelikle, res f(*)= 't. fu qiymeti (z')-de nezere als4o t=zni

alanq.

ASa$tdah funfuiyatann sonsuz uzaqlasmq ndqtasinin xarabeinim alyan edin

,3 .2 -,,3SS (356). f(z)=

z- z-'z'6. Canab: 7=o sade polyus'

iss(357). M=+Cavab: z =.o aradan qalilmla bilen mexsusi ndqte'

o7Jg| (355). f @=i. Cavab: z = ' esash moxsusi ntiqte'

z'_t

391 (259). IQI=*rt.Cavab: z-* aradan qaldrnla bilon moxsusi nihta'

I

i92 (360). f\z)= sz-

Cauab: z=* aradan qal<l-rnla bilon mexsusi rd\te'I

3g3 (361), f(r)=23"i. Cavab: z=' iigiincii tertib polyus'

funsi uzaqlasrus nbqtaya gdra ga$tn hesabl.anmastndan istifada

eil arah inteqrallan hesablaYn

3s4 (363). I 4,!"vl=t ,'

"1.))'*1. u]-)'

Catzb:2i.

zl7

m

i95 (364).

396 (36s).

397 (356).

ige o67).

399 (35t).

,dzp[ru,". l0{oz+2 -

141=rru*n*'

t -!La,.l,i=t z -t

! ,2 rioldz.l,l=t z

.9

t[,i;*'

Carrab: 0.

Carrab: 0.

Cavab. 2ni.

Cavab:

Cavab: 2a .

E.- -t3

s20. qrxrQrrrRrN MoOyyaN h{TEQRALnTHESABIIT]\IMASINA TOTBIQIFRi

1. Rosional funksiyalann hteqrah. Deyak yQ) funlaiyasr

A|=PA kini rusional fankiyadtr. Bumda p^O, a^(r) uyfiun otoraq' o"\4m va n darxali goxh Edir. Odar l(r) funbiyas b tiin haqiqi oxdalasilmaz fimWyadtsa (Q-Q)*O ya n+>n +2), onda

IIQW=zao O)

Bwada q 1p'1= Pafl

f,-f"iyortnm , y, Wnn tistaviila hirin"' a,@"po$uslara g6ra qurqltntn camidir.

QN. t=i t :'e.n (a > o) imeqrahru hesablayrn.oV'+a')

flrfli Inteqraleh f(r)=, -" -r, fimksiyasr cilt funlBiyadu. /(z)- V""'ffuoksiyasr yuxan yanmmtstsvido z = ai kiai iki artibli polyusa malikdir.Bu polywa g6re 7(z) funtsiyosrmn gDogr ata$dakr kirni hosablarur:

n4

*, rbn = B, LV\,\, -,,r1= n\liA)=,:*, r,ih = *(3) diisturundatl istifido etsoh slanq:

,=l j, ,"*,. =!r,l=i2!-V, ,orl 2 4ai 4a

As o[tdah inteqrallan hesablaYn'r'-2 ' r

101(369). lr7;*

402 (t7o). riF;rfu;A

(a > o. D > o)

4oi(r7t).T.+--_ [r. +lf

tot(J72).rf r+^.-_

1r +r,l

40s673).*i, * ,r.-; (r, + 4x + l3)'

Cauaa: l1Carab: --1-- .

ab\a + b)

Cavab:1,r.E

*uuo..Q")) r-2, o.btY

cawb: -fi.

uaozo.T-rffi;4.

a*a,ffi(ti.+)+- -3 -r

107(37s). Iil"+a -2m

408 (t76). J^;F"4os(377)..i#

lroo7s).*i, ^ *

u-,t$z +2x+Zl

lCa.wab -- t .

3

Carab: --i-. tm+Lnsu|

-,,n

Cavab:

Gvab:

2-*3

,f

2

275

4rr (379), *f

, 'o*^n (a>0,6>o)_-p+bx.l

2. I R(x)cos )xtu, J,t(r)srn,lxzt gaHinde inteqrallann hesabhnmost00

_ Bwada R(x) - dluzgnn rosional bsr, l >O - ixtb,ai haqiqi adarltlir.Bela inteqrallan hesablanaq iigin Jordan lemmasrndan istifada enakla undr.

Iordan lemmasr Deyak H, gQ) rthkiya$ yuxan yarunmiistavidasonlu sayda maxswi ndqtalar miistasna olmaqla analitik va buyanwruistaida lzi-+ ., oldqda sftra borabar olur. Onda ), > o olduqda

bn Is2bttodr=0.*.*i,Bta'ada CR- yuxan yotmmfislavida merbz 0 va radiusu R olan

yanmdoi ranin knntuttdur.

412. t=i++d, (a>0, /<>0) inreqralnr hesabtayur?rx" + k"

Halli. Kdmekgi

^n=

:!;0, tunksiyasrm daxil edek Asanhqla

giirmok olar ki, z=r oldqd+ I-lG) p(r= 5# inteqralalrr fimksiya

ile iistrjsts dl$fu. n-ir kifryet qedor boyiik qiymotlorindo ca kontunr

tizerinde cA= 7;F fir::ksiyasr le(r).;{7 Sortini itdeyir 1€ R -) €o

olduqda g(z) firaksiyasr srfira borabor olur. Onda Jordan lemmasrna g6re

t^l1" =ar=oa..* l,zt +k2

Cavab:;#;/i

(4)

olur.

n6

irtiyari n > l Jar riq0n grxrqlar haqgrnda t€oreme g610R td --io,

1^f;pa. !,fadz=2io'Bsrada

Cav$:fte-z(ze -r).

Cavzb:L"-13

Cruun -!=, fi(*.9 * rio9).2J2 t J2 ,,12 )

Coa;b:|e-'.

Cavab.l-"--o2a

"=xl#)='r-l#-a-*t)=:'"(4)-ii nezere alsaq, alanq:

Li**=""-* '

Sa! w sol terefde heqiqi ve xeyali hisseleri ayrsa4 alanq:

!.ffi*=*-"Oger nezore alsoq ki, intcqralaltr frrnksiya ciit firnksiyadrt, onda

alanq

,=i,

inaqrallan hesablaYn:

t1i(isr).ti7ryr* Carab: f e-3(cos r - 3 surr).

ltl (iEz), tf,

. t"t'

^.-6x' + 4x +20

Ats(iss).TGrHFn

416 (3s4). r:?*4r7(lss).jff;* r,,r.

itl (3s6).ioffia (,,0\

l\s(3s7).iffi* a,o. ,r0)

Carrab: Le-a (2 cos 2 + sin 2)

120 (3EE).

421 (3E9).

Carrab:

(2 ,o) . Cavab:

'r5r-; If,-e

. .st[_ .

r (

"-t' -l "<'t\16\ 3 )

122(3s0).ffi* a,,123 (|st).i'i*"*

o [,2,rf1 2 1 ( is2).

T I. r-lo *" ^,*.ov' + b'lQavao:ar"-b^$t2 -12 -.t$0, *o2)1.

rzs. ,=iffi& e>0, b>o)

Hclli z = x olduqda trTQ) itteqralaltr funlsiya ile iist-iisto di$sn

/(zl = t, +-;A firnlsiyasrm da'il edok. 7(z) firnksiyasr z = 0 ndqresirde

moxsusiyyeta malikdir ki, bu da birinci tertib polyus ndqtesidir. Ona gtirekootu inteqrahm gekilde gosterildiyi kimi g6tflrot 1z=o mexsusi nii{'tesikigik radiuslu yanmdairenin daxilirde qalsrn. c,G<bl,

-cR-

yanmdairesini ele gdtitek ki, b < tt olsun).Belelikle, qspah konturun daxilinde ancaq funksiyasrmn bir z=6t

polyus nolteci yerlegir.

Cauab:f,e-ab-".

Cavab: 0.

(5) inteqralmr hesablayrn.

Qxrqlar haqqrnda Kogi teoremine g6re

na

! ̂ ff4". 1.ffiey "i ffe1* !,ff;,y = 2a o (6)

Buada

"l-o='|esbfr\F)=

(6) ifrdssinde birirciinteqalla birlsf,Lselq alanq:

kimi 66stere bilerik:

=': (7)

-:-le evq ederek, iigiloii

,. ew (z - bllnvlinteqralde x-i

y"# = i oldr$mdau inteqralaltr #1firnlsivasru

eloIdalil

(8)

(e)

(10)

(11)

et* I | ,/(z)

zQz +b2) b2 z z

Burada rra'l(z)=0, z=rer 86tiinok, t$anq:

l.#a" = ; t.!. ;P * = - f;

.,i;

r --r o otdqda (9) incqrahnrn sa{ terefinde

F;i"*t'b*=oohu. Jordan lemms$ne g6re R --r 'o olduqda (6) ifadeeinde &T d[E iintoqal srfira berabor olur' Bagqa sdzle lzl'+'o oldrq$a c!)=fr:;F1

funlsiyasl srfua beraber olur'

wt-!^..-;,ryr.

* Ur)e=0

Belolikle, R -r co ve r + - oldrqda (6) ifrdesi (7H I l) ifadelerini

ngzop alsaq, aga$dakr kimi olar:

I sinc i e- ob

zitfritr}d_ U=_n oz .

*-" iffi a=J.ft-" ^)il*..q.

t"'nh*

Inteqrall@t hesab@n:

t26 (3sil.is.uo:e.o'r

127(3s4).ffi*

r2t(Jss). T*-;*"* (a>0, D>o)ox'

lzs (3e6). ?-, 'gzl_a.o tV' * o'Y

Cauab:1.

**';(,-:)

Czvab:b ,o

, .

(12)

OBAO d^ilresi rcktordru. OA= OB-R ve Leoa=i an

drxilindo 7(z) firllksipsr asalitikdir. Kogi rcoromiue giire:.x.

1"t'* = i"s *+ [ ""'d,+ !"o'dr=o1BAO 0 Cr AO

G6sterek ki,

^ , t c-^d ( 2\LaVaD: .......: -....'_l ti +- I

2aa a"J \ a)

3, 0sllfr lanksiyater duil olan iatcqrallann hesobhnmos*

4j0. t, = lcosx2&, tr= lsin *ax Frenel inteqrallanm hesablayrn00

t;'},*=tJ1

hteqrah moftrmdu.

Helti Kdmekgi f(z)="ik6giirok

ul R B

firnksiyasrru ve aga$rdakr kimi kontura

\konturun

(13)

280

lin Ie"'dz--oR-a:

,z = 6 gilirc,- o*,a a, = !1. !""' * = [ 4oc ^torq..',J5 ci rrr 'vr

(14)

Bnrada f^: - n2 radiuslu qiivsiin hissesidir cG\= +q funlaiyasr Jordan

lemrmstmn gertini 6deyir, yeni

tuo I !'- dt = tm le?z dz = o.n--,- y^r 21€ R-ro6,

tL',{o retti boynnca ,=p'tr, r'=p7s'' =pzi,o<p<RBuradan

r 0 t i7 ilR -t!ea'dz= !e-P'e a4p=-s a le-P- dp

AORO(I3)-de R-+"o geni ile limite kegsek, (t2) ve (14), (15) nezerealurrq.

lro'*="'I i

j-r r'a *,J.,. r' * = :[, -, : EBuradan alanq:

i""t*=1fi, i"-t*=if;asl.ti Aa, (o.o.t) iqteqralrru hesablayrn.

tattl IQ)=# k6makgi tunlsiyasrm sogok.

(15)

alsaq,

vo ya

nt

Kontnru qokild,a gdserildiyi kimi (terefleri 2R Ye 2E olan

diizbucaqh) gitirek. Bu konturun da:rilinde z = a niiqtesinden baqqa 7(z)fimlsiyasr her ycrde amlitikdir. z = , noqtosi funksiyann sade

polyusudx. Od:r ki,

,", 1l)= "- l- -="on =-.'nz4i |+e'l'-n en

Qxrqtar haqqrnda Kqi t€orEmine gdro:

J fGW* llQ\ft+ I 1Q\x+ JlQpz=-zae'* (16)

DA IB BC CD

Dl pargas boyunce r=x, -R<r<./Q oldr[undanRd

I f@d,= l-e (17)

DA -RI i?,4X pargasr boyurrca: , = R + iy, o s y <2r oldr$uodan

I e* | ledR-tv)l_ e'R

l' -7=lr;7'r'l=FrDerreli,

Analoji olaraq--cl

ll rcV'3 r- 2r --r 0 olur fl --r "o

olduqda

BC pargssl boyrnca: 2=x+2rd, -.R!.t(R old{undan

! tGW=i:^')?*=-*"1 \a, (20)

Bc -Rtre 2n lpl+er

(16)-da R -+.o $6rti il6 limib keqsek ve (17) - (20)-i nezere alsaq, alanq:

'i e- *- "z-\ ,- &= -znr",

-l- t + r' :f, 1+e-

: ,- 2aeo' t

132 (3g7). !e-*'oosbrh (a>0, D>o) inteqrahm hesablayur

0

foowl:[;or={-o n-+o ord'qla (oca<t) (1E)

(1e)

242

G0sterit: f(r)= r--' fimlsiyasrm ve terefori

diizbucaqltm kontur g6tiiriin. Catab::[?

gekili gdtiirmeli.

t 33 (3 s s). \:i*

(o < a < l, 0 < 6 < l) inteqrauor hesablayrn.

G6sbrit!

^n="-"r:--:: fimksiyasuu ve kontur olaraq 427deki

Csvrb: "r I - I

r.'aimat stnbr'

1(vo

b2.G

I ol-2a

2,r', J.n(ms r,sin r)uto g.klinb hreqtuUozn hcsblnna* (21)

0

Bwadt R-rasional funlwiya olub, inteqrallama pargasmdamah&tddur.

dz z2 +l ,2 -l ,e'= z Eoturs?4 Ac=E e? *r=-E-, artr=- olo..

Aydrndr *i, bu hada lzl=t, 0<r!2r. Bu halda (21) inteqrah

Ir(,\a, QDc

SeHi ahr. Bumda Cmarkozi koordinat fuSlanfuuda, radtusr vahidolan gewadir. Q$qlor haqE rda KoSi teorertna gdra (22) inbqral, 2roi-ya barabar olar.

Bwada o - Cgevni daxilinda polyusl*a giira gurqlann caminigdstarir.

"^ t:[Cfu (c>a>o) inteqralmr hesablovrn'

Eolli et = z ov{zlomesiDi totbiq edek Sado gevirmeden sonra

t=!1, e,==!.za*,":rb,\i t@r2 *z-,tf i Et

a>6>0 qertinde vahid radiuslu daire dorilide ikiqat arraq birpolyrx n6qtesi vrr:

-o*J74

Bu polynsa gora F(r)=@;*q firoksiyasrn,n 9xt[t

,", 4") = P",*{#*4}= xt"' - uYi

olar. Belelikle, t= 2- ,.b''o"i'

intuqrallor hesablayn.

135 (3gg)L T * "

(o.p.t). crabi 2' i.o l-ZpcGx+ p' l- P-

etcuoof[;* (o.p.t). ca'ab: +P$7(tor).! *M ,(p,r)

o l-2owx+ p'c^o"v,;ff)

13s (to2),7 ** "

(0. p. r) cavab: o.o 7-2psiax+ p'

13s (103).! e p,r1.o 4+@Sr

410 (101)L'!r,cG - oW (roa > o).0

2t ,)41 (105), [ 'T-' a (a >D > o).

;4+Daosx

2, .t-U2 (106). 1' - (o<a<t)

o I + 4GOSr

143 607).1 ! p.o."y0 4 + DCO6 r

ca'abt4(,-G:F)

Czvab:-Z:.lt - "2

La\Iab:.-.^loz -az

2rLevab:

-.^li-r

Czvab'. s.

2U

g2r. gDflQLARrN X6rravi ir,e nezi SIRALARTNCOMiNhY TAPILMASI

1. Tutaq ki, 1Q) fnk:iyasr lamplck: mfrstat)inin sonlu srydapolyu ndqtabn zt,z2,..,zt mfrstasna olmaqla analitidir. Farz edek ki,

l(z) funbiysr z -+ * olduTda 71")- OQ-2) qa*ni iidayir. Onda

E fu)=-"! *,y1,y,gn1.

*, |F+j,,.r'.*,-, 1,r,,,*,,.

AeUi t@ = /Tfirnksiyasrna buaq. Bu firnksiya z' = ot, zz = -oi

ntiqtelerinden boqqa her yerde analititdir. Bu niiqteler sade polyuslardrr.

Funksiyaru 714= -)- kimi yazaq. Bruadan gdrtiniir ki, z -+ -,'lrr\l

\ z)

(2'

polyuslardr. Ona gdre, grxqlar

:::rffi=Yi,-,,=ry, 0',,,

olar.Onda

,?.; u- = '(T r"*:')=1i"'s@i '1"*-alanq.

Axrnncr beraberliyin sol terefini a;alrdakr kirni yazaq:

!@r_*r.l.l_,1...r2 *o2 \-of +o2 Cz)' *oz (l2+a2 02+a2

r l I I.": I

l'+a' 2'.a' n'+ot a' n=lnlta.Buradaa gdriiriik ki,

orll+ld^ j:t=o(,-'). 1z:1 ai.t r"rn" tetbiq etsek, alarrq:

i - I -=-"f *,+EE\, ,", ++1

,=*n' t o' Lz=d z' + a' z=-at z' t a' l

funksiyas tbiin \=at, zz=-oi n6qtolori sadoclt Ez2 +a2

x5

= I l= I I\ _:_ ) ___2rn2 + a2 2 ou-n2 * a2 2a'

Onda axtanlan srrarun cemi: I It I nclh'@-l) _.._= --clh 2--?rn2 +a' 7a 2oz 2a'

a - tam eded olmadrqda, nsaErdakr sralann comini tapm.

lls(4oE). ir7+146(40s). 2r;+147 (4ro).

-i ,-J--.

1=--aln + af

t4s(411). i --+n-ol2t +lY

c?Iwlbt\#v

c"zraa:\-f,Gtsn+ctha)2

Carrab:-a-sin' zz

c^n a:4.8

$22. LoQARiTMtK 9DilQ. ARQUMENT PRiNSiPi.- RU$YETEOREMI

f(z\ fimbltawm loqaifmik ttuamasi ela 9Q) funk:iyuna tuf ilirki,

tu4t"^il=#Sarti dansin

9Q) finksiyastnm noxsusi niiqtotai ufir va ya 1Q) funlsiyasnmmaxsusi niiqtalai ol4 bilar.

f(zl'f;rn}siyasmtn loqarifnik tdnmastnin qu$t' 7 Q) funlaiyastnm

s{trlot va polyuslannn nrtibina giira hesablant'

t4g, f@= ,Y fiDksiyasrnrn loqarifinik tdremesinin go<r[rnr

funksiyamn srfulanna ve polyuslanna giire hesablayn'

- iaL Bu fimksiya ** *ydi stfirlara z = /r (t = o'tt'tz'"') ve

sade bir z = -l potyusuna matikdir' On&s,Juuuu '- '';;#r:'(t=o'tr't2' I i'=:'ffi=''

2t6

ASafudah funbiyalann lqanfmik $tznosinin qn$tnt fakslonnstfirlanna va pfuusuna gdra hesablayn.

150 (416).

^4=strL1.tsl (417). -f(,\=*,3 ,.

lst (4I8AD. JQ)=anz.

$2(Is(a)). f(,)=rycAvab ::iH = -,.,:;: *# =. ru=0,+r,r2,...)

2

caabt :fl#=r (t =0, r l, r 2,...).

Fan edak ki, /(r)*o jnksiyas qapab c konturunun biitiin

niqulainda axalitikdir. O"a" )l ffia, kamiyyatina f(zl funkiyasuun

c kontuntna ntzaran lqanfmik 1a$t &yilir-Lqarifmik gnq haqqtndt teorcm. Deyok ki, f (z) fiotksiyas qapah

D odasnntn sonlu sayda polytts ndqtalai ot stasna olmaqla har yeindaanalitidtr. Bu oblastm C sarhaddinda na srfir, na da polyus nbqtabi var.Onda f(z) fratksiastnrn D obhshnda sftr va potywlonn farqi, 7(z))

lwksilnsmtn C qapah konntuna nazaran loqaifnik gtnfina barabardir:

' tt'Q*=r-,2d'- flz)

Burada N edadi 714 lnt'oiyasrn n D obtastllda stfirktn, P adadi isa

1(z)tn D oblasttnda plyuslannm saydr.

Q,Q)= la.zt goxhadlisinin C kontu.una nazaran bqanfmik ganp,k=0

bu goxhadlinin C lonturu ila ahata olotmuS D oblasnndala stfirlannsayuta barabardir.

*a. fl)=!\ firnksiyrsrmn

loqarifinik grxrlrnr taprnEaAi 7Q) flmksiyasrn,n z, srfirlanu hpaq. Onda g6ro chz=o

tenlilni hell edok. Bu tenliyi e, +e-, =0 kimi yuaq.

c: lzl = 8 konhguna nueren

2A7

eb +r=o+22= tn(-r)=(x +tfui. Belelikle, + =@ ;t)a zm =zmir

(t = o,trjz, ..) (bfittin srfular sadodfu). "fG) funksiyasmrn polyuslanm

tapmaq [gtn e'" -l =o yo ya ea =7 tenliyini hell edelciz =b(1)=2nn (l,, = o,tt,*:,...) lzl<e dairesinde 7(z) firnksiyasrmn srfirlan

,r=4!, (e=0J1,i2,.,.) ve sade polyuslon z, =2ma (n1=s,11) slsr.

Srfulafln say lr'=6, polyuslann rayr P=3. On&

' t I'\4*=u-r=,2d rL^j@*

_ "_, -"

455, lzl=r gevresine Ztxe 1121=,l+.,1'1- fimksiyasrrun loqariftrik| - @gliz

gxrf,m lapulIIeAi tQ) fimhiyasrnrn sade crfidannr upmaq iigiin I + z2 = o

terliyini hell edek a, =-i, a2=t l-cos2a=o tonliyini hell ederek f(z)firnlsiyasun polyuslamt tryeq. 2E=2nt=zn=n, n=0l],L2,...polyusun teaibi * = 2 - dv. lzl< r daircsindo /(z) fimlsiyasrnrn

at = -i,a2 =i kimi iki sado srfin ve z1= -3,2, = -),2, = -1,zo=O,zr=\20=L,zr=lkimi yeddi ikiqat polytsu vu. Belelikle,N -- 2,P -'l . Loqarifinik gxrq haqqrnda olan teoreme gbre 7Q)firnlsiyasurn lzl= r gewesine nezeren firntsiyamn loqarifinik gtxt$

I t f\')a,=z-j.2=-t2.2n

bi=, I\z)

I/eilm konhrhra gi;ra ata*dah funbiyalann loqaifmik gmfinrtapfit:

156 (419). f@= -:= c'. 12,--2. Carab: -2.l+ z'

157 (120).,/(r)=.osr+tiot c: ll=a. Carab: 3.

lss (121). tl,)=b' -zY c: l)1=E Cavab:6.

159(122). l(z)=uu c: ll=a. Cavab:-l

460 (423). |Q)=ts3z c:1y'=a. Cavab: -3.

161 (424). 1Q)=r-ttzz c: lzl=2. Cavab: 4

2at

Arqument prinsipi (uqumcnt Prti). f (z\ ftmfuiyasmtn qqah C

kntwwrc nazaran loqaifuk C,xrCr, f (z) lunksiyastntn ott,mtn'n

t, Argt(z)-m 2r -ya bdliinm?sina barabardir:

)tffi"= jo"n'*atBelali&a, 1 Q).funksiyas trun srfiiannm.'ta Tnlyuslmtnrn farqi

v-p=!4,+gt(,\2r

162. p5Q)= z5 +"4 +223 -82-l=0 tonliyinin sa{ yarrmmiistevide

Re z>o kiiklerinin saymr taplrl,E rrr. Arqument prinsipine gttre C konhrrumn daxilinde goxhedlinin

srfirlanmn sayt

u =|4e,gg,(z).Buada C konhuu diametri xeYali ox

C*:lzl-R, Rez>0 yanmgewenin iizodndodir'

goxhedlisinin srfirlan safyanm miistevide yerlegir;

a,G)=s(r.1.4 ) ;)Buradan

iiaerinde olanBelelikle, Q'b)

V[,lis

o,ro,a = n, rl,' (, +. ) - ; - ;))= ^*' - n r(, . i, ) ) - i) =

=s.trz*A,sl+Lri ) ;)c * -rn miisbot istiqsmetinde Q , (z) goxhedlisinin arumr

tg,AryQ5|)=s^c^e,sz + k^e,e(r +:. ) ) ;)Axrnncr bsrabetlikdo ,R -+ o gertinde limito kcasek

!*^c, ArsQsQ\'s;T:acr,{rsz + ng"o

tc, *s(r *! * \ i })sag terefdeki her iki limit uylun olaraq:

LctArgz = r

hn a".Arg( r+) +4 - 9-1)=,R+ " \ z z" z- z")beraberdirler.

ul9

Belelikle, almq:

^-fr ^-*lcr,l,sQslr1=s*

Aga[rdakr tenliuarde sa$yanm miistevide ktiHerin saylllr tapm"

163 (125), z4 + 221 +322 + z +2=o.

461(426). f -2"-s=0.165 (127), ,3 -4r2 ,s=0.466 (42t). 223 -22 -'72+5=0.157 (129). z5 +524 -5=0.465 (1i0L zr2 - z +7=o.

Cayab: 2.

Cavab: l.Carrab: 1,

Carrab: l.Grab: 2.

Cavab: 6.

Rfig1e uoreml Faz edak h, l(z) vo e{z) fun*siyalan C kontw ilaahata ohr*nus qqah D oblasfitda analitik funbiyalodtr. Bu konno'un

daxitinda hitiin ndqtalerda l/(zl>fl2\j Sarti 6danir. Onda bufimksiyalann

carni F(z)- l(z)+ dz) va fG\ fioirsiyat bu oblosfrn daxilinda eyistfirlara nnlik olur.

159, r(z)= zt -425 +r2 -l firntsiyasrnrn lz <l dairosindo sfirlaflrutrssyltx t8prtr.

Hclll F@ fiu*si)'asrn'n iki 7Q)= -tz5 , d")= ,' * ,' -tfirnlsiyalannn cemi kimi g6storok. Onda lzl = 1 gevresi tzerinde, alanq:

VQI=I-+"51=t'

lful=l't *'2 -rl<klt *l'12 *r=r'Bolelikle, kl= t dairesinin serheddi iizerinde llllrlfu')

berabersizliyi iHpnir. /(z)- -4za firnlciyasr koqdirut baglan[rcrnda beg

srfua malitdir. RiiLpe teoremine g6re fimksiyanl:,r(z)= lQ)+ q(z)= z' - 4"t + z' -1.

lzl<l dairesinde beg srfin vs. Qeyd edok ki, /(z) ve p(z) fiuksiyatannr

IG\= ,' - crt , q\r)= ,' -r kimi de gdtiiLrmek olar'

170, z6 -62+10=o tonliyinin lzl<l dairesi daxilinde kiiklerinin sayrm

f (z) =10, dz)= 26 - 62 kimi gdtruok lzl= t gevresi iiaerirde

l/G) =10, loQ'l= 1," - o,l< 1,u 1 q'1= t

t8pm.Halli

alanq:

290

Belalikle, lzl = t gwresinin biittn niiqtelerinde llQlrlfu)berabersizliyi tidenir. 7(z)=to firnksiyasrmn lzlct dairesi daxilinde srfin

yoxdur. Riigye teoremine gdre z6 - 6z +lo funksiyasr da srfira malik deyil.

Riig1.c teoremindan istifada edaralltanliWain l<riVainin ssyrn taP.rl

171(431). ,a -3r3 -1=o, lzl<2.

172 (432) i + z+t=o, ly'<!,

17i (433). z5 + z2 +t=o, lzl<2

474 (434). zt + 6z + 1o =0, ly'<1.

475 (135).721r -t8z+10=0, lzl< l.

176 (136), zt - 626 - z3 +2=0, lzl.t.

177. I<lzl<l halqasrnda za 5z+l=0 tenliyinin nege k6Hi var?

trtti T]Ur'.,iq ki, I < lzl < 2 halqasrndo verilmig tenliyin lr' k6kii var-

Ogor lzl<1 dairesinde tenliyin k6klerinin sayr lfr, lzl<2 datussindo iso

tenliyin kOklerinin sayl lv2 olarsq onda M=rVz- r olar. Asanhqla

giiriiniiLr ki, lzl = I gevresirde tenliyin kiikii yoxdur. Oger lzl = t olorsa,

l,o - sz + rl> r.

Mr-i tapmaq iignn /(z)= -sz, fu)= zo +t gittiirek' l/(z)=l-szl=s,p(r)=l,o +rl<lrnl+lrl=z oldufundan lzl=t govresi iiaerinde Vllrlfuliidenir. /(z) = -sz fimksiyasrmn [l< t gevresi iizerinde slfirr yoxdt. Odur

ki, ,i4 = l.N, -d tapmaq iry-un /(r)= ,o , d")=t-s, giitiitek.

lfQ)=|,'l=2' =t6,le!l=lr-szt<t+sz=11 olduSundan lrl.2 q€vrosi

iizerinde llQ\rle{rl, berabersizliyi tfienr. 7Q)= za firnksiyasmt lzl< z

dairesinde diird ktikii oldwunde4 z = 4 ohu.

za -52+l=O tenliyinin t<lz;<2 halqasroda kiiklerinin sayr

ir'=4-l=3 olar.

gdstailan oblastlarda verilan

Cavab: 3.

Cavab: yoxdur.

Cavab: 5.

Cavab: yoxdur.

Cavab: I I.

Carab: 6,

29t

Gtisailan halqalatda veilan tanliklain kiHainin saytnt tapm.

178 (434. 424 -2922 +25=o, z<lzl<1.

179 (435). ,7 -sr4 * "2 -2=0, t<lzl<2.

180 (439). z6 - sz + to = o, I < lzl< 3.

Cavab:2.

Cavab: 3.

Cavab:4.

Cavab:2.

Cavab: 4,

Cavab: yox&u.

Cavab: 1.

Cavab: l.

lEI. z1 -a, =0,[0.r.1) tan]iyinin lzl<r vrhid dairede kdkterinin\ €./

soyrDr tapln.

Halll f(z)= z2 ve flz)= -ae' gdtiirek lzl=r gevresi iizerinde

l/Q\=P,l=t,

ld,l =l- *, l= +, l= fi,+ul= oe* < ae . r

-lJ.r<l ve o<a<-l gertioden istifade edik- Oger izf =t olana,e

lfllrldrl. /(r) = ,' tunksiyasmrn lrl. r dairesinds kmrdinaatbaglanlrcuda ikiqat k6kt var. Domeli, Rt5ye teorcmine s6re verilentenliyin gtisterilen daimde iki kdhi var.

Gisbilan oblastdn veilan tanliHain ktiHarinin sayrru tapm.482 (440). e'-x =z (l>t\ lzl<t. Cavab: l.

483 (441). ez = @n,n -lrafi)t;r)edaddir va lo>"!. El.a. Cavab: z.

154 (112). z2 -.os"=o, lzl<2.

155 (443). ,a - snz =o, bl< *.

186 (141). z2 + "ni, =0, l4.i .

1t7 (115). clz = z2 *42, zl<l.

lEt (416). z' =42, lzi<|.

I. evrilar arastnth bacafra sa antbtosti;;;n,-; iGi fuifi'ivas, zo nbqtasinin har hanst. atrafinda

ai7"o*,io,tL*ndt te"|\zo)+o zt niqt?sindan .("o

= oQ6\tx e (a ' p))

igan y,"=oQ), d<t< p ayrisini nazardan fugirck (Sakil l)'

$aHl I0 -ila y ayrisina zx ndqtesinde gakilan totunonn-haqiqi orun miisbat

isiqonati ila etnela gotirdil hrcafi iga'a edak Aydn&r ki'e = *"o'ko\.

Farz edak h, 7' ayT isi 1 aynsinin a = !(z) inifus zamaru obraztdt'

yaniy':a=o(t)= floQ\1,' a<t<p ndqt2si isa'o('o:/["(rol=/(ro))'ndqtxinin iir-i oiin ondd mfirakkab funbiyarun difercnslallannasr

qaydasna gdraa,'(ro)= /'('.)'"'(t)' 0)

$?rta 8tit2 t'(2")+o ve, ondo o'Q)*O' Ymi 1' alisinin oto

ndqtxind, ,irunon, ir. Farz edak 1i, 6' = aaa'(n\ Onda (1) Aistunna

Ei;ra0' = *g a' Q') = rg 7'('o) + arg o'(6)

292

s23. KoNFORM h.riKAS ANLAYT$r

e'=e * ure.f'Q).va yxud

(2)

a=0'-0 komiwati y ay,risinin zo ndqtasindo @=f(z) inikas,

zamant d6wna bucap adlamr. (2) disatrundan ayfundt ki, agar f'(z)+ o

olarsa, onda zo ndqtasinda diinme htcalt ayidan as t deyil, yani zo

niiqtasindan kegan bit n ay'iler a= JQ) inikas zamaru (J'Q)*o) .y*btrcaq qadar - t\rumanin arqunentinin z, ndqnsindaki qiytotina barabar

bucaq qedar ddniir.

istiqotatinca dayiSmaz saxloyr (Sakil 2).

,, ,1 <o = f(z),. f \-/................-\d-,,x

$aldl 2.

4Eg. /(z)=z-:0, Imzo=yo>o oldrqda o=f(z) ini.kasrnrn z.z-zo

n<lqtcindeki d<iome buca[rnr taprn.

iletti f'(z)= ?4 -:?;olduf,undan fG")= =]-= -!-, r"

\" - 'o[ - -l^' 'o =xo * oo

olar. Oda a=xs1'(q.o)=-i alarry

2. Darbhnoun sabitliyl Tuuq ki, , = JGI z, ni\taininhar hanst atmfinda diferensiallanandtr va f'(z)*O. y ayrisi iizarinda zo

ndqtasina hfayat qadar yann yerlaSan btiyai z nti,qtasi gdtbak (gakil 3).

293

BelaliHe, /(z) fmbtyas zo niqtasinin atmfnda difercnsiallatanoduqda va f(z)+o olduqda ,=7Q\ tnikz.sl. zo niqnsindan lcegan

ayrilar arosmdah bucafi ham kamiyyztca, ham d.a hesablona

$"kil 3.

{ @::9z" l/ M

(

Lz=z-zoya

orifndan aydmdt

buradot

vaWud

knnform olar.' Qeyd 1. l'(zol*o ohna

ndqtasinda sftrdan larqlia = JQ)= u(v,v\ a 1u(r,v) inikasr

294

L@ = IG)- l(zJ= a' - an isara edak

h, f;= fl,)*,(az) a(az)-+0.

^,,{f,1=rlr,,r

l^a,l = l/(zo). l&l + o(&l)

sarti a = f (zl inikasrrun Yakobiyanmm zo

olmasr demaMir- Dolrudan da'

"="(r,y\ , -"(r,y\

f'(zo) tiiramasinin

hz-->o oduqda

(3)

ahno.Tutaq ki, 1z- zol=ltzl= o, harada ki, p bfoyat qadar kigidir' Onda

(3) diisturundan alanq ki, lz - zol= p gewasi at = 7\z) inilast zonanr

getradan gox kiqikfarqlanan ayriya la - anl= olf'Gol' c"*it"'Basqa sdzla, ot =l(z) inikasr Lz-a nhba'an daha yiibak tartiM

kigilan daqiqlii ila 14. p e"rrnini l1'Qo\ dafa darttr'

& = [* l4gl adili a = f(z) inikasr zamam v ayisinin zo niiqtasindaaJ-.01 A, I

xatti dartinam adlarur. Demali, zo niiqtasinda xatti darabna arT inin

lormaanilan ta istiqamatindan osh deyil ua * = ['fu\-a barabardir'

3. Korform inikasu tarifi Fan edak ki, 1(z\ fimlsiysnondqtasinin har harct almfnda1"yin olunmusdw'

Tarif 1, Ogar i = 1Q) inikas z(Dtont zo ndqtasinda ayrilar

ar rrrdai bucafir saxlayrsa va darfilma sabit qahrca, onda a=f(z)inilasma zo niiqtxinda konform tnikas deyilir'

Yutinctah deyilenlardan tydtndr ki, agar a=f(z) funbiyas zs

ndqtasinin har hanst atrafinda difetensialhnotdtrsa vo ,!'(zo)-+o sarti

\d)nifirsa, on.da a = f(z) funlaiyasr vasitasi ila hayan l<eqiilan inifus

(4)

inikast ila ekvivalent olar.Malumdur ki, (4) inilanrun Yalahant

A, Aul

- lax aul 0u du tu 0ur =lau 5"j= e u- o, ala, El

295

@ = fG) funlsiyast dilerensiallanan oldufiundan KoSi-Riman gartiAu AD Au Ao:_=:-,:-=--:-ardtoyd

iidanilmalidir. Bumt nezara alsaq

,=(q\'*(gt\'- (aj '(a"./alanq.

Diger tarefdrn ft)=ff-tff va bumdan da

V@J?\'.(?\'=t\d,/ \d)

alanq.BelaliHa, agar f'(zo\+ O olarsc, onda ,t(zs)+O olar.Taif 2, Fan edak ki, f(z) lunksryasr D oblasnnda birvaraqlidir va

a=|(z) tnikas D oblasfinut har bir ndqtesinda konforndur. Onda bui ni kas ko nfo rm adla n t r.

Funksiyarun bintar4liliyinin tarirtndan ( f(z) Iunksiyail EQoxlufundo bimar4li adlanv. Ogar E goxlu[unun mhtlnf iH n1qtasindan xtalif qiymetbr alrsa) va taif I -2.dan va tjramenin xassasind)n ganrki, agar !(z\ funksiyat

1) D oblasnnda diferensiollanandrsa,2) D oblasfinda birvaraqlidirsa,3) Bu oblostda onun tiramasi srfirdan farqlidirsa, onda a=f(z)

inikas konform adlanw.

lndi isa tronform iniktsa misallar giistatah.

a89,L a= l(z)= az + b,(a* 0,b koryteks ededlerdir) (5)fuoksiyasmn biitiin kompleks mtstevide konform oldu[unu gtistorok.

HIUL Btt moqssdle firnksiyasrnm yuxandskl l-3 tortloriniiidodiyini giisoorsk

Funksiyanm biitiin komplels miistsvide diferersiallanan olmasr vetiiremenin srfira beraber olnamasr

1Q)=Qz+bl =a+ogertinden aydmdf.

(5) xatti ftrksiyasr bilttln kompleks milstevide hem da birvareqlidir,gtlnki ters firnksiya

296

,=fui=L'u,-L (6)

firnksiyasr birversqlidir.iS; nrokiyasr geniglendirilmig kompleks miistevini z geaiglenmig ar

miiscvisine i"ifi* "iAUi.

Bu halda 7 = o niiqtesi @ = co ntiqtasino keqir

r", "" , miistovilerhin sonlu ndqteleri arasmdakr uyfunluq (5)' (6)

diistudan vasitosi ile tayin olunur.D = o hahnr nezerden kegirek. Ooda

o=@ (7)

Buradan da

lrl=lrl'lrf usa=u:sa +aasz ' (8)

(8) beraberlikterinden alrnr ki, (7) inikasr z m[stevisioi le] defe

dartmaqla, sxgg!' inik s etdirir. Bu balda oxgarhq merkezi koordirat

Uar""gici ofur ve bttiin miistevi z = 0 u6qbsi etrafinda a = uga buca$

qeder inlanu. (7) inikasr zaman argz=9 gfiasr arga=Q+a giiasrna, lzl=rgevresi lol= lal

. r gevresine inikas olunur (gekil 4)'

l,@affi.'-=H!:v.

\1@lF,\r'rr\lv

$ekil4.

lzl < a dairesi ise bu inikas zamanr l4{ < lal'x dainsino inikas olunur'

eger lal=r olarsa, yeni a=ero olatla, onda (7) inilasr mtistevinin cr

buca[.r qsdor d6nmesinden ibaretdir. Xiisusi halda ar=z miisevinin fbucalr qeder ddnossindan ibaretdir' ar=-z gewilmesi miistevinin z=0niiqtesi etrafinda zr bucalr qeder d6nmesinden ibaretdir, o = -z .

(3) gevirmesi agalrdah gevirmelerin srperpozisiyasrndon ibaretdir:( =lol' z, e =(etao, a=e+b.

Ooa g6re da a=@+b gevirmesini aga[rda giisorileo qayda ilegevirmeleri yerine yetirmekle almaq olar:

a) z mtstavisini lal defe oxgar ilarmaqla (oxgarlrtm morkezi z=0

n6qbsindedir);

29

b) ( miistevisini a=o troqtosi etrafinda a=qga bucalr qedsr

d6ndermekle (fu latnaqla);c) a miistevisini b vehoru qeder paralel k69iirmek1e.

4go. ,=! (9)

firnksiyasr geniglenrrig korryleks tiistevini z geniglonmig korpleks

miistwiye ro inikas etdiri, bele ki, ters firnlsiya z = 1 birqiymetlidir. Bu

halda z=0 ui\tosino 4.o n6qtesi, 7=oo nliqtesine ise ar=O niiqtesiuylun gelir. (9) inikasr zerna orgz=e griasr arga=-p gliasma" lzl=t

' " I hiresi ise larl, I oblastrna inikas olumu.9evlosl la,l=- 9ovresrno, l2l<r( ( R

Konform inikaan bir nege xtssasini qeyd edab:

1 ) Konform inikasm tarsi oltn inikas da konform inikasdv.

2) iki konform iniknsm suprpozisiyasr da kot{orm inikasdtr.

Konlorm inikas iqiin asafidala coremfundantental say r:Teorcm (Riman teoruni). Tutaq l.i, D kompbks mihtavinin

biftabitali oblastdtr va ontm sarhaddi bir ndqt an deyll, gor niiqlalardan

ibaratdir.

Onda:

1) D oblasrru lall<l dainsina inikas etdiran ar = 1(z) funbiyas var;

2) fho\=ro, a4|QJ= a garti i)danilditla bufwksiya yegonadir'

Burada zx, ao veilmig ndqtalar (zs E D, laol<l), u wnlmig hqiqiada&lir.

Nrnan teotemindan asafrdah natica ahntr.Nrtid. Turaq H, D va G oblastlwr binabitalidirlar va sarhadlari

birdat gox ndqlatlan ibaratdir. Onda yalruz va yalna bir a=f(z)funksiyat vs ki, bu funbiya D oblasaru G oblostna konform iniktsetdinr va

lQ)='o, argf'(2.)=qolrr. Burada zseD, oneG, a -haqiqi adaddir.

(10)

Isbut Varhq. Nman teoremira gi)ra D oblasanr lel<l dairusina

inikas etdiran q = sG) konfortn inikas T E vo s!o)=o, *es'(ro)= 0 (Sakil 5).

29t

E=[6,

E=sQ).

o = (z)= v[s@)] 0l = v(6)

$ekil 5.

Analoji olaraq ( = tda) konform inikasr var ki, o G oblastmt (l<ldairasina inilau etdiir ve h(a)=o,a6'(ro)= -a olar. Onda a = y((\

funksiyasr ( =h(a) finksiywsrnm tari olub lQ<t dairasini G obbsnnakonform inikas etdirar va ,y(o)=a.o, ersv'@\=q. Denali, a = 1Q) = VlgQ)lfunlrsiyas D oblastmt G oblastma konform inikas etdirar va (10) Sadaniidanilar.

Yeganalih Fan edak ki, iH fr(z) va lr(z) funbiyalan D oblasanr G

oblasttna konform inikas etdirir va

f,Q)= lrQo)=0,*slt' Q)= o,rre"fr' (zo)=o.

G)starak ki, f1Q)= lr(z), z e D.

Riman teotemina gdra lngana ( = n(o) konforn inikas var ki, Goblasnnr Pl<t dairasina inikas etdiir va n(r,t)-- o,xxh'(r) = o ol*.: = s,(z\= hUQ)) Q =r,z) funhivakn D oblasfiru l€l<t doinsina initusetdiir ua 8j(20)=0, argg't(zi=a, J =1,2 prtlai 6danilir.

Belalikla, Nman teorumina gdra sr(r\= gr(z\ yarn h(flz))= hlJrG)\buradan lQ\= 1rQ) alma'.

191. a) lxl=22 vo b) lrl=(z-2)'z fimksiyalan ile apanlan inikes hansr

obla.ga konformdur?a) lrl=22 funlsiyasr z oblastrn& birvereqli ve malitik frmksiyadr.

f'(z)=z+o oldufundan bu fimksiya ile apanlan inikas britiin kompleksmiistwide konform inikasdr.

b) l.l=(r-2)' firnksiyasr ile apanlan inikas z=2 n6qtosi ftiistosnaolmaqla her yerde konfomdru. f'(z\=zQ - 2)

192 (4fl). Agaldah inilcaslann hart oblasta inikas oldu{wugdstxin:

D

a) ly'= "-3' . Cavab: B&iin nnlssvide.

b) lxl= 22 - a2. Cavab: z=2 n6qtesinden baqqa biitiin miistevide.

v) ltt: -iz2 C.avab z=0 noqtesinden baqqa biitiin mtstevids.

O ll =,h(r - "). Cavab: ",

+(r,. )),,* =0,r1.r2,.. noqrolorind€n

bagqa, bfitiin mistevide.

tI) lxl=(z +2t)3 . Ca,r?ib: z=-2i ndqtesinden bagqa biitiin miistevide.

r'9L D oblash y, x2+y2 *2x=0 konturu ile ohsto ohuunWdur.

lu,]=32+i firnlsiyasr verilmi$ir. Bu frrnksiya ile D oblasu harsr oblasra

inikas olumr?

Deyek ki, z=x+iy, ly/t=u +iu olsun. Onda verilen ftnksiyaru

z+iu=3(r+ry)+i=3x+tp7+t) kimi yazaiq. Buradan

u=3x, u=3y+t=r=:, y=+,l-kotrtuu I. kontuuna inikas ohrmr:j' 3

[l)' * l,gl)' - r1= 0 veva (n-3)] +(v- r)2 =e.[1.] [:)-t" \'"'''Bu merkezi (31) noqtesinde radiusu 3-e beraber olan gewedir.

494. y=x diiz xettine simmetrik olan z,=t13; .,to z2=3+zi

ni\teleri verilmi$ir. Glosterin ki, bu niiqteler lnl= "-': , funtsiyasrvasitesi ile z, ve z, niiqteleri /=*x diia xotine nezeren simmetrik olan

lylr=l-? vo lt42=2-3i ndqielerine kegirler.

_i1trIalli Asadtqla gdstarmek olar ki, lvl=e 22 fi:nlsiyalar vasitesi ila

_t!/=r diiz xetti ll=-x d'uz xettine inikas olunur. 14=" 2, funtsiyasr heryerde analtikdir. Simmetriya prinsipine gire 7, = 2 13i vo 22 = 3 + Zi

ndqteleri / = 'r diiz xettino nezeren simmetrikdir. Bu gevimra ile y = -a -snqzeron simrnetrik olan lr{, =: - 2; ve llr=2 - 31 niiqtalerine kegir.

3m

97A.xorri l =u+b. l4=!vo KosR-xorrl l/=7!,FTINKSTYALARI iLO APARILAN KONFORM h{KASLAR

1, Xatti funksiy* Xatti l}y',= qz a 6 funbiyan z fuimpbb naistaiini

l"tl bmoteb miistaisit E inil@s etdiir' Bwada a'b saht konpleks

adedlardir (a+o\ Bela ki, l,l ="*o'Xfrsusi hallar:I) lwl= z + b (t) paralcl l<dgiirmani icra edir'

2) lr+l= ei" z (2) (a 'haqiqi adaildir)' Koordinant baslanpct atrafinda

o brcaEt qadar gevirrn , aPanr'" "- , \j=ri Ol 6-naiqi m sbat adaddir) ma*azi laordinat

baslanErctia olan oxSar geirnani h?yata t@qiit' r-oxSarhq amsaltdrr'

Amumi halda xatti iniktts

ld1= az + b, burda a = retd

H)ardml tatbiq ennada aPanlt'

2. FunksiYt l'l= i 6)

Mo va M, ndqtalei i gewasina nazaran simmetrik o vaxt olurlar b'

1)" Bu niqtaiar 9e'tronin mirkazindan guan bir qfrantn zainda

olhnda:"'--7) AurWrn natkazdan olan mesafalatin hasili gevranin kvadrahna

baraber okluqda OM 'OM' = R2

495. l4=3 gevresinin li= 4 n*tiy"t' ila inikasrnda tewirini taprn'

Halli I iisul z=x+iy, lt4=u +iuqebul edek' Onaa pl=f agafrdakr

kimi yaza bilarik:

301

u*iu=z-= :s".-t+ .t+ry x. +y. x- +y-Buradan

u= ?5'.. u=- ^25! = ()"2*y2' ,'*y'

alanq. lzl= 3 gevresinin tenliyi dekaft koordimnt sisteminde

x2 +y2 =9 (**)kini yazrlu. (t) ve (r+)-den: ve y-i yox etsel alartq:

u' * u' =(25\' .t3iBu merkezi koordinant ballaalrcrnd4 rrdi.r* f+l olan gevrenin' \.3'

tenliyidir.II frsul z ve lvl-ni ustlii formada yazaq:

z - pe'e , l:n\= /eto .

Ood" lr= 25 fultsiyasr ilo inikrsdrn atanq:z

* = o*'t<

Buradan r.'j, g = . s, bwad.a p = 3 v o o s I < 2r. Belelikle.o ,ul=?!"-'p

3

axtanlan inikasds oksi alanq.

196 (458). lrl=1 n nrciyasr 0<Rez<1, ,ttz >O yanmmlannt hansrz'

oblasta inif, as etdirir?

Gkbri$, z=r+iy, l4=r*iu gOtUrsek u==] , tr=- ,l:-,x- +y' r- +y-

ala.q. c.r"b,l, - +1.+

1g7 (459). 1* = 1 firntsiyasr ile initasda verilen goxluqlann tosvirini'2

tapla.

' r Cauab. arc.n = -1 .a) argz= 1. _ j

302

b) lzl=t,7 a^rrr.r. Covab:llu,ll= r, -r<argw<-1.4--4v) 2<x<4 y=o. Cavab:]<r<], ,=0.42'Q) -2<y<-1, x=0. Cavab: ]<u<1, z=0.

2

d) o<Rez<1. Ou*,1,-]1,l, u,o.I 21 2

3. Kes>ntti fuaksiya.

lrl-*'b, (6)" cz+d

Bwada, 4 b, c, d kompbks sabitlar, d -bc*o obnaqla bufunlaiyaz oblasfiru geniglanmig lwl oblastm inikas ekliir.

1g8. l,r4 = d t b; kesr-xetti funlsiyrmn Im z > 0 yuxan yanmmristevini

" cz+dyuxan yanmmiisteviye inikas etdimro gortini tapln-

Helli z=x+ty, lnl=u*iu giitiirek' Onda alarq:

kr + bYcx+ dl+ acv2 (d -bc),vr.+irr=++i#.(*+d)'+y' (cr+d)'+y'z

B*rdro r= ("d -,h)(cx+d)'+y2

l,>o oldu$rnd0n moxrec miisbot odeddi. Belelikls, d-bc>oSortini almq.

Kasr-xatti gevirma nin x os s alai.l. Dainvilih xassasl Kasr-ratti gevinnoda gevra qcvraya inilus

olunur.2- C gevrasina gtira simmetrik olan z.t va 22 niiqtalai, I gevrasinin

l4t * l4z niiqtalaina inikas olunur.

3- Eb ygana lasr-xatti funfuiya var l<i, z miistaviinin zy, 22, z3

kimi i4 niqt?sini, lwl miistavisinin l"1r,l.lz,l*[ g nbqtasina inilas etdiir.Bu oyfidah funksiyadtr:

l,l- 1", lrl -lrl, =z-zt.,3-221,1-;"{, l,,lr -lnl, z-22 4-21

(7)

303

499. zr=1, 22=i, zt=-r ndqrolorini 14, =-L lriz=0, l.l, =ln6qtelerina kegersn kesr-xetti fiEtsiyam taprn.

,UaIIi (7) dlshurmdaa istifade etse! alanq:

lwl+ r l_O z_t _t_i,-o

--- -Bulsdan h, = j 1- almar.i+z

500. z, ndqtesini lu[=O noqtesinq z2 -ndqtesini lul, =co niiqtesineinikas-eldiren kqr-xetri funlsiyao taprn.

Helll z, ve z, ferqli ixtiyari z, niiqtesini gdtifuek Deyek ki, z,

nfutesi tll3-e kegir. Brmtan (7){e nezere alsaq, alanq:

l"'1-o I z-zr 2t-z.tI w=;i;Bruadan irrl=( z-zl

alano.z-22

Bwda K =23 - zz

hel1. K-ixtiyari konpleks eded olub ,( +0 gortini23-zr 'J

6deyir.

Kosr-xatti inika.sda vqilan oblastlqn tasvidainl taptn

501 (161).;", = I! msiyrs r ile t < z <2 helqesinin.z+2

curut, i, - ll ,l. , . lI 31 3 4

502 (462), h,l= :11 firnksiyasr ile lzl> r daireoin xaricine inikaqda

Cavab: Rer+ > 0.

503 (163), lq = li-l lr6ir*r ite lzl< I daireshe inikas.' " z+iCavab: z<u.

304

S2s. oRIJiNALA NozaRoN Tosvhix repu'pr'lsr

t) Tttaq ki, bfitfin haqiqi oxdo tayin otunmut f(x) Iunksiwst ileiln

*Y:f,;:Hryl:;: qivmattoinda, vmi t <o otduqda I@ =o otul'

20. iiirnrlr, ,onlu prgado findynm m gont sonlu sayda biinci nlv

kesllma naqtesi wr&i, yam hissa-hissa lasllmeymdir'*-'i. E; sabit 3s va M addloi vardt h'

' -nin bfrflin t>o

qiymatlartnda1'J"'- ly1t11<ue6ot, t>o (1)

b arab arslzliYi ddani r.*'-;;;;;i;r; drvan har bir funbiv oniinal ue va boslofirc funbiva

adlat.

5Ar. G0sterin ki'-" 1"2"^3'' '>of(t\= I"' [0, r<o

fiuksivasr firnksiya orijinddtr''- i#'D"dd- aa, lal firnt<sivasrnr ixtivan sontu [4't2] parqasmda

inteqrallasaq, Ymit.

ie! sm3rdtIt

20 sarti odanilir' lxtiyari t ugtin' t2'noStls"vll

30 garti iigiiro do = 2 gotiimlek olar' Verilrnig orijinal /(') fimksiyast iigum

Fe)= le- Pt f3)dt, P= s + i6 Q)

0

bsraberliyiileayinolurrarrkompleksdayrlgnlir,(P)fulksiyasmaonun

Laplas gorirmesi vo ya I.aplas sueti deyilir vo f(t)=F(p\ kimi yaalr, (2)

intenrah oewi-moxsusi inteqraldr' Ona Laplas irteqralt deyilir'*-Veriiri.- Uii-t" sur*inin ve tersins, verilmig surrte nozeron

"rijir"it;1;1h#, meselelori ile operasiya hesabr me;lpl olur' . .

sos. renraen istifrdo ederek /o='z ftDkiyas'nrn tasvirini taprn'

305

Holll 71t1=ev funlsiyasr U91ln ,So = 2 olur. B,,n gdro F(p) tewiriRep > 2 yanmm[stevisinde teyin olunu[ y5 analitikdil;

+6 +oFq)= j;!a-F*= 1"<t-z)t a1- --1- -"4,-r, F=, l; (Rep=322y

00r@)=\ frrnksiyasr p=2 ndqtssindcn bafla Rep>2"' p-2yanrmiistovisinde aoalitik frrnksiyadrr.

5M (512), ,f(t) = r fimlcbasmn terifdan istifado edorok tosvirinitapn.

allL

507 (514). Terifdan istifrda darek tQ)=tet firnksiyasrnrn tasvirinitapm.

HallL+@ +@ +(o

F(D= I I()e-Ptd, = I t.et .e-Fdt = I t.e-@-tydt=

b !", dv=s-(Pnrr4 I o

=ldr=ttu. v = ---j-"-l.o-l,l= --!- "-tp-r), H'+ I *f s-rc-rrt41=f'-*' '-, -r'" I P-,r " P-t'o

=- ' "-O-l\t ri6= '(p-f- 'o (p-l)'Belelikls 7g1=l funksiyasmrn tssviri r1p;=-J ^ $sklinde atmr.b-v

T anfdan i stifada edera k a yfidoh ftnlctiy lann t asvi rini taprn.

F (p'1 =*f t . e- ct at =k :'* i : :t!!r,l = - ! "- o, fr. * L'f

"- c, 41 =o

=-;,1-o' t;-=i,' ,r!r=;" P o

sN (sls). /O=sin3r,

5W (515). /k)= t4, (a> -t),

Carab: -L.P'+9ca\ab: f(a 1l)

Pd+l

laplo s gevi rnasi ni n xa s s al ari :I. Yeganalik teoremi. Ogar ih he) va I2G) funbilnlanmn

+@F(p)= [ l(De'Ptdt

0

306

Iaplas gevlrmasi eyri olarso, onda bu funlcsiyalm blittin t >o Wn a 'frsta

d sfirler.lo. Xattilik xassasi. iki kompleLs a va p sabitlan ?im

qf(t) + Ps(t) = aIt(P)+ PG(P)

do$ndur (Burada lo=F(P)' g()=G(p) qabut olunnusdur)'

(3)

510 (517). lG)=r+t

Halll Terifs

Flp)= ! fi +De-Pt olar.0

finksiyasnrn tesvtrini taPn.

eszrsen rg1=*i71r1"-o'at oldugundan0

Cavab:

il1 (51g), J (t) = t + le-t

fimksiyasrnrn tasvirini taprn'

IIalIi Terifr esason

ahnar.512 (5lS), ./(r) = 2sinr - cost funlsiyasurn tasvirini taprn'

IL Oxsarlq rtssasi. f(t)=F(D olduqdo ixti)'an l>0 sabiti *?tin

r 1 p1 =+f 1t, ry- t, * =lol i,' l=-t ::i!l = - :r* rl -- *

'& r \ .,-.o f tt p'*ra i !{/dt=;-v,-o,l o =;. i=?

r 1 p1 =+f 1 ge- ct ar =* | t, * ! "-' 1"- r' a, =*f rc - nt a t + I'i r-t e-tl' at -,t=uo, dv=e1ldP.l_ i --,ll- -lYinro,- "

' I --r,+ri,l +-'- t , *-' 'P

o- ' - 1

-P2 +2P+2

- r\p.D' '0 p2'o z(P*l) p2 {p+l) 2p2(p+l\

307

rGD=;Fq\' Rcp>rso

barabarlii dotrudur.

513 (520). Oxgarlq teoremindan istifada edemk le)=edfirnks iyasrn m tasvirini tapm.

IIe lll Owalca "f(r)=€,

funksiyasmm awirini tapaq:

F(fl=J ete-ttat=*i "-v-r)ta= --J_r-r,r-rrl -

=_L0 0 P-t lo p-l

e'=l 66*S"rliyinden isifrde edorsk oxSarlq xassasine nezeron'p-l

eot = l tasvirini almo..p-q

511 (522). a/ Oxgarlq xassesinden istifade edarak f(r)= cosril.

funksiyas rnrn tesvirini tapm.flelll Owelce cosl funksiyasrnrn tasvirini tapaq:

F(p'1=*i ooste-nt*=*i"" *:" "-c,4=!*f "-{o-,t,4, a!*f

"tn*tv 41--o o 2 2'.0 2'o

=-L t "-to-,vl*- -,-L"-,r*r,l *- t * t - p

2 p-i I o 2 p+i I o 2(p-i) 2qp+l ,2 *1'

Belalikla co*=-!- alanq. Oxguhq xassesine trlZA?at clrsat= P' p2 +l p2 *r2

tesvirini alrrq.O4arlq xassasindan istifada edarak aSap-dah funksiyalann tasvirini

toprn:

[tS (521),,r(r) = sin4r; 6syab; --i-.p" +16

516 (522). I0\= shtt; Cavab: -L.p'-9517 (521). f(r)=siaz r firnksiyasrnrn tasvirini xattilik va ox$arhq

xasselarinin kdmeyi ile tapm.

(4)

30t

Hatlt lQ) = sa2 r funksiyasmur geklini dayigak' Odur ki'

1q =f,6- osztl kimi yazaq. Bu halda tasvir r1p1=l'i \t-w'u9-Pta

kimi Eprlar, Owalca cost funksiyasmm tasvirini tap8q:

F @) =f cos t e- o I a =* i d' Y- u

"- o' a = Lf

"-tt- tt' a * l*i "-

< o * tt' a =

- -1 I .-rt-Dtl** -L-f-"-ror,r,l *'

= ---!- * -_!- = +-=-rpi' lo 1p+i- lo -z1p-i1 ' 2(P+D p2 +r'

65s1 = --Z-- olduf,uodon c$21 = --!-- almar' Bundan istifada etselq' pz +l p'+4

yuzanqi

F(p) =+i sinz t e- t' a = f,'f O - "nx) e- Pt & =

= iT u'' * -1-y *"o' "-' d = * - d *= r? *515 (526), ./(r) = cc3l funksiyasrnrn bsvirini xattilik ve oxgarhq

xasselarinin komoyi ilo taPm.

EalttfQ)=coislfimksiyasrnmpklinideyigekansl=el|+e-lt2

oldu[undan *"',=E$" *"-"il =it' +ktt +3e- +e-3tt)'

funksiyalann her birinin t svirid tapaq. e" towirini tapmaq 09un awelc€

tanrlrnrl e"';;| baraberliyinden istifado etssk: ,' =*'

Eyni qayda

Bu

ile "3t'= | =r, "-t''p-Jt

' I -7ir' I- p+i' - . p+3i'

Bunlan cos3 t funksiyasrnrn ifadasindo nezare alsaq

"*, = i(#. ;:. #. #) =

* (F*;#.#. F")=

3@

=!( zp * ao ):ff p . r, )E[P'*c o2 +t) tlrz +g' P2 +tl

SI9 (52E). f(t)=saa t firnksiyasmn tosvirini xettitik ve oxgarhqxasselarinin kdmayi ila taprn.

HaltL !(t) = sita t funksiyasmn geklini deyigek:

f(t)=sin4t=l]:(pt, -"-ol]a =] lOe, -*u *u-*-zit *"-ett).L2' ! 16'

e4 =_L. ,2 = I .t=!. "-zi,

_ t "-4t = |

' p-4t' . p-?) p' . p+2i' . p+4t

olduf,unu sina I funksiyasmrn aynltgrnda nazara alaq:

.r t( I 4 6 4 l )stD'r=-l -+-r=

.16\p-4i p-U p p+A p+4i)

=!l p=*$ -qp--i,i +6 -4p-+Ei + p-4i l- r I zp - sp . o]-

r6[p2+16 p2*4 p p2+c' p2+rc)- l5lp2+16 prA- i )-t( p ap .3\= tl/."-7 *-;S

,ayruah funbialarn tasvirbrtni xattilik ya oxsorhq xossalaininkimayi ila npar.

520 (525).,f(r)=sinnrmsrr; Cav*: -=41A12;t) - .(J/ +m2 +n212 -4^zr2'

521 (52D. "/(t)=sinnrsinzr; Cw*: n7;;ffi;ry.522 (s29). .f(t)=o;snrarl,nti cavaa, -rLla!;t) -

.

lpt + mz + nz12 - 4m2 n2 '

fiL Orijimlm diferensialhnmast Ogar f(),f,(t),...,1(n)()

funlsiahrmrn orijirallan malumdwsa va l(t)= F(p) yarso, onda

f'(t)= pF(p)- l(0),

310

f"(,)= p'r@)- pf(o) -.r'(o),

f(n) ()= pnF(p)- p"-r 1191- pn-2l,(0r -... - 7('-l) 19;

do!rudur. Burada f@@) ( k =1,2,...'n-,/, ,gto/(t)(') kini ba$a dfrsnlfrr'

523. Orijinahn cliferensiallanmasr xassesinden istifado edarek

IQ) = dmz t funksiyasrmn tosvirini tapm'

Halll T\@q ki, f (t)= F(P'I do$udur' onda l'(t',= PF(p)- f(o)'

/(0) = sia2 6 = s, /,(r) = 2sinroost = s azt = j- oHupundan

=l = cr {t)' pt +4 P'+4

alrnn' Buradan r1p'1=-] =tin2l alartq'P(P' + 4) '

521 (530), Orijinahn diferensiallanmast xassasindan istifada ederak

f (r) =ca"2 t funksiyasurn tesvirini tapm'

HeM Tutaq l<t, l(i= r@) do$udur' Onda f'(t\= pF(p) - !(o) '

/(0)=cos2o=t, f'(t)=-2stliturlt=-"iaa=-;;i

- =2 =pF1p\-1, pF(pt=t'+ .=+' ,ror=-t;l='*ztp2+4.,'"' pz+4 p.+4 p(p'+4'l'

almr.- 525 (532). Orijinalm diferensiallanmasr xassasinden istifade ederek

f (t)= tsinar funksiyasrnm asvirini tapm'

Holtl f(t\= F(p) oldu[unu qabul edek'

otdulundan

311

I Q) = str.o t + @ t c,os o) t, f (t) = pF(p) - /(o), f (t) = si,. ar + ar (r)sot

astnO, = ----- ---,' p'+o'

,, *.,, =,;Y = lln,., * "-,,, )' ?.i,Q,,, * ",

a t\e- ot ctt =

= i* i Qr, -, ",, + "1

e* ^ rb t = t(C*. ;r,l)=_a 2(p2 - a2) _o(p2 -a2)

2 1p2 + ,2)2 (p2 * r2)2

./'(o)=0, pF(p)=-J . +qQ"' -:l) ='U:4:eg--el.P'+a' (P' +o')' (P'+a')'

pr@)= l'P", = rg1= --P!-,(p'+a')' (p" + a')'526 (i34), Orijinalm difereasiallamasr xassesindan isufada ederok

f Q) = t as a,r funksiyasmm tasvirini tapm.

Halll f @= F(py oldulunu qobul edek. f @= pF( - f (o)

diisturundan istifads edek. fQ)=rxy,ott-arsu,at, 6so1=-- Lo'*r'

malumdur. indi ,sin@, fuoksiyasrnrn asvirini tapaq. ,sh@, funksiyasrnr

tsnat =!1Q''' -"-i''1 kimi yazaq. onda bu funksiyamn towirini

aqa$r<lah kimi tapanq:

2D@ 2pa2lsrn@, = - - 1-- alslno I = +.b'*,'l b'*,'l

Belalikle,

.os @t - @t si- - p zp.2 oC' -.?.\",t: p\,r-G\.zr=frd

312

ahrlq. !'(t)= pFQt)-/(o), /(o)=o oldulundan

alanq. Buradan

,,@)=#d

F@=6#allrar.

$afid& funt<siylann tesvinni oiii ahn dilerensiallanmast

xossasi,4in kamayi ila tdptn:

527 (531), f (r) =sin3 t;

525 (53i). .tQ) = *"4 t;

529 (5s5). f(r)=t"';

IV Tesvirin diferensiallanmast f(t)=F(il oldtqda istanilatt

nstural n addi lQ n

(-t)n lQ)= F@)@)

barabarlil do[ntdur.

530. IQ)= tzet fuoksiyasrnm tasvirini taprn.

flalli e' = I o619, malumdur. Tssvirin difersnsiallanmasrp-t

xassssino *zeroo ( ' l' =-ret ahtar. Buradan ,_-]--:; = r€r alflr.\p-r) \p-t)"

Ax,rncr ifrdoni dtf6lsnsia Iasaq

cawb: .j. .

(p'+t)(p'+9)

9^*6. Pa-+16P2:24p(p' + 4)(P' +16)

Cavab:---.! . .

(p - l)'

(6)

3t3

t*] 1-'Q')u'v fi=''"'alanq.

531 (536). !(t) = t2 *rt fimksiyasrmn tesvirini taprn.

Ealti 6s = -!- oldu[u melumdur. Tasvirin diferensiallanmasr' p'+lxassosina nazersn

rt'[ =' I =-,*.,, p2-*t-?!2 =-,"*t, ,P2

-l==rc*t.\p'*1) b, *rf b, -rf

Axnncr ifrdeye yene xasssd tatbiq edok. Onda(^\I _a: I =_,(rc*r), -2n3 +6o' n 2or -6o

lbr*,IJ -ffi=-t2cc"

ffi=t2*"t532 (1iE). /(r) = (r+ 1)sin2, fi.roksiyasron tasvirini tosvirin

diferensiallanmasr xassosina nazeren tapm.

.)Halll smu = i- tsvirinden istiftde edak. Onda xasseye gcire' p'+4

yaanq:

[,*)=-,.',,-ffi=-,"^,,eandan a!Po--rstu2, atnrr. Onda

lP' * t'J

4P * ^2 = r'in2r - sb2r,b' '+Y P2 + 4 -'-'-- ---' '2p2 + 4p,!a

=1r +t1s;n2t.b'*oY

314

ASapdah f nks@ann tasvirini tasviin diferensiallanmastx4ssdsinin ldmayi ila tapu.

^. 2

533 (53D. f G)= t(et + cht); gu*6 4?'-+ p +t)- --

\P2 -t)2

534 (53g) -[(t)=tsh3t; Cavah: -]L-' (P2 -t)2'

V. Orijinalm inteqrallanma*. Oniinal lQ) funbiyasrntn inteqraht.

otan pQ)=iJQ)dr finbias da orijinaldtt va l(t)=F(p) olduqda0

e<t)=if@dt=!!D (z)oP

do/rudur.

t535, le-* firnlsiyasrnrn teevirini tapm.

0

HalE et =-\ oldr[undan orijinalrn inteqrallaomasr xassssine g6re' P-L

l,

!ta"l:)= t

o P P(P-l)aLnar.

t536 (510), fi t ) = lsinrna firaksiyaernrn tewirini tapta

0

Haltl s*'crl- ol&r$mdan orijinahn inteqrallanmasr xassesine'P'+l

nez6ron1

t. oz +l II sinadl=L- = -=-=-6 p p(p"+l)

Iahnar.

537 (542). f( t ) = lashzdl funksiyasrnrn tesvirini tapm.0

altl dt ) = tnzt fi.rnlsiyasrmn tesvirini tapaq:

3t5

elo = tshu =:rb" -r-ztl!'i pz' -e-:,.r )e- pt d, =-=!T u<p-zf

o '^2 i)

td' -: l'e-@+z)t d''

I t =u, dv=e-Q-z\dt I r@

I re-lp-2lt at =l _ t "<p_zyl=-

!-e-tn-z\l +'" Y'=*'u= o-, r -- - ro

+ 1 ie-e-2r,& = _ | "-(r_i,l

_ I

p-2'o @_Dz lo e-z\z'Eyni qayda e julrzt'at= . I - - almgr. Bunlan yr51 1rtqkro (p+2f

firnlsiyasrmn tesvirine nuzere alaq:

,sin2,=11 I = - t .1= +-p .= 4pzl_\p - ztz 1p + 212 ) (p _ z)2 (p . zY G, _qY

'

Orij inalrn inteqrallanmasr xassosine g6re , yszanq:4p

lonza,=@-'ai. = .l.'o P G'-oY.

535 (541). 11q=tcnor dt firnksiyas,nrn lswiri; tapr.0

Halli qG)=chgr. firnksiyasrmn tesvirini t4aq. "t*, =)Q* *u*)

kimi yazaq. Ond4

9(t )

"r., = )' ib* + e d)e / dt = !+f

"1c- o)t

41,, ll e-@+ a)t dr =

r( t I '\ l 2p p-rlp-,' p-,)-ra-J-7 -jchat = ---!-.

P'-a'Orijinahn inteqrallanmasr xassesine nezeren, alanq:

pt D2-o2 Ilchadr=t--0 P P2 -a2'

316

ASajttlala fnbiyalann t"sviini taPt t:t

539 (541). f() = lG +Dcos@tdt.0

curob'. P' t l' * P",: t' .

P(12 * '21s10(s13). fpy=!oos.otdr c"""b,fr;#r)

511 (51s). 11r\=t1t2e-tdr. Cavab:---l . '

o PG'IY

YI. Tasviin inteqrallounast. iF(c)dp qeyn-maxsusi inuqratr

yptrsc onaa Ou * Iwrtr:iyasmtn tesviidir' Yani

f =irre ut $)

slz, 1t11:!f tunksiyasrmn tesvirini taprn'

Ealll snt = ]- tesviri melrmdur' Ona g6rep' +l

sint' 7 dP =*"rst1i=l_*"wt 'rn2 +lot -1

543 (516 (a)). f r t I =? fiEksiyasrmn tewirini taptn'

flrlll ",-t= l.-l oldu$u melunrdur. Odur ki, tdvirinp-t p

inteqmllamlasl xasseshs nszoron yazanq:

+ =\* ;)a = tr,to - l-'lllx = "l?lf = "Flt .-l

544 (516 (b))' ltt)='-: fimksiyasrnrn tesvirini tapm'

-.1 IHIIIL l-e-I =.i- p-l melum olduSrmdan tesviri:r

intoqrallanmasr xassssire nozsran yazanq:

311

# -{i *F = t"t,t - "t,.lu ='l#; = 4#s15 (515 (v)). f rl--"t'i t tunksiyasun tesvirini taprn.

Halli Yerilmrg firnksiyam fft)=r-Tz' gcktinda yazaq. Onda

!l- coszt I firnlsivasrnrn osviri2't-q,s2r t(t " )

'z ='\i-ia)

oldufundan osvirin inteqrallFnmasl xassesine nezerea yazanq:

*, p(;- *)* = i(,r,r - ;q,, . -t)'," = 1,14A S a fi dah fun ks iy a lar.n tal i i ni tap m.

s16 (517 a)l f frl = I -

I'. Cr"rb, ,oJ o'j'

517 (s17b)). 71,1=lostcosZ. C**, lnfi51E (54E t)). ffO=!-P tunksiyasmr tesvirini taprn.

Cavab: h P - 1

p-l p

slg (sls b)). lo=1-- funksiyasrnrn tesvirin tapm.

Cavab:: lo P + I .

p -1

Tdsviin inteqrallanmast xassasinin kinsyi ila bir sra qeyi-marsusiinteqrallan asanhqla hesablanaq olur.

Tuaq ki, .f (t)= F(p) olsan va l!9-6 qryr;-^rousi inteqraloI

y$ an olsun. Mai r1)a=irr pwl-0

do[ndur. Bu inteqral ancaq mfrsbat yarunoxda inteqrallarur.

(e)

318

s50. 'ty!a inteqra'nr hesablayrn.6t

Helll sat = ,- J - olduEundan (9) dtistuuna gdre yazanq:p'+l

-, sint i& ,6 r! , ^=l-r\t=*tslo=1.'

6--at - --bt

551 (519). l' -' a (a>0,b>0) intcqralmt hesablaym.itt

flelli e-d = I , "-u- I - oldufun.lqn (9) diisturuoa giire

. p+a' .P+b

yazanq:

'1.!-4 d =i{ a -i"-! a =i 9- -i-q =6 ' i , o , sP+a np+D

= (rnlp + al - rnlp + alf = t#; = t:@--dt - o- 0'

5s2 (551). j9-'-:3-I-s1a1141 (a>o,p>o,n>0) intcqrahnr

hesablavrn.

niU g*.1". p-a -"-frlnnt fuoksiyasrmn tesvirini tapmaq

lazmfu. lnr* =l(e'- -er-)oHu[unu nazors alsaq

lr-o - r- Fr)snnr = ;G-- - "-s,)Q^, - {,*)

kimi yazmaqla tesviri tapmaq olar.Bundan bagqa verilen funksiYam

Q-a -"-fi)sinnt = ea sinmt - -e-Ft sintkimi yazsaq ve haar diisturlardan istifado etsok

'me' sin rnl = ---------;----;,.(p+a)'+n'

e-fr sinmt = m= =(p+P)z+mz

melum tewirleri alanq.Bu axrnncr ifadelerdan (9) diisturu:rda istifade etsel alanq:

319

It "i" ^a, =f ---!---.at = ^ . ! *",r p *

= l' = l - *as !,0, Olp.d)" +n, m - mls 2 m

l"-fr";rrr14,='-ron06 2 "mBu neticelere esasen

2"-- -e-fr - ,l:--------:sinmtd, =1 -*"81-l* -"g! =*ar0- -*"q96 t 2 -tt 2 "m -m m

ahnar.

55i (isi). i"^ o' -_"otu'r, (a>0,b>0) inteqralrru hosablayrn.6t

HIIIL "asat = iP ,, c.osbr = ,P .-U melum iosvlrlari esasmda (9)p'+d' p, +b,

diisturundan istifada edek:

i.^l-"""%=f( ,o "- ,, -\r=,o t ilp, *", p, * t, 1.

I oz * ozil-

V;F["Cavab:

2e-a stn at -), , " (a>o,a>o)'

2 Ae-@ + Be-fr +Ce-v + De-&gt

Cavab: ,lU4 + aln !*Cn!.dPv556 (551).i"ls:ybt d, (4>0., >o).

6l

_b=h-

a

ooctg-17

ssl (sso).

sss (5s2).

dofntdur.

6u*6, 16itll2 la-bi

=(1"1,, sS 14., . r,1)[ = ;t

dt.

YlI. Yerday$na teoremi. J()= F(D otos4 irtiyvri po dadi knn

ePot 7111= rq - po1 (10)

320

557. 711 1 = s-t sss2' fimksiyasmln towirini tapm

Halli. cosu = ! oldulu mehrmdur' Po = -l old{undanP'+4

yerdeyignr teoremine gOre

"-t "$21 = -!:)-(p+rf +4

allnar.55s (s55 a))' .f(t)=e2t sint funksiyasrnrn tesvirni tapm

flali sirt. = l-' po = z oldufundan yerdeyigme teoreinine g<ire

po +l

"a 5;n1 =

-L --(p-2)2 +t

ahnar.55g (555 b))' f(t)=et"otnt funksiyasrmn tewirini apur

HaIIL rrlsn = -! ., Po = I oldu$rndalp'+n'

,t o*n1= --l=-Qt-lf +n'

allnar.560 (557)' I(r)=e'sht fimksiyasmrn tesvirini tapm'

' I _ oldu1undan srsrrl = l. ahmr.HalE po=1ve sh,-

^--t - @_t). -lP_561 (55g). f(r) =e1' s 2 t fimksiyasrnrn tewirini tapn

Ealti Owelce /f ,) fiDksiyasmm elverigli gekilde yazaq:

J1t1=s3tsin2 1=L"'t (l ',coszt 1=!"t -li'"os1t

pn -- 1, as T = 1 9l6256dan istifade ederek, yerdeyiSma teorcmininp" +4

kbmeyi ile yzanq:

I()=;", -lS' *"2, =lL= :C# *

32t

ASa[rdah fwbialdnn tasviini tapu:

562 (556). /(t)=e-'f. Cavab:-l ,.**:r"

^553 (555). l\r) = u' 61sr . Cauab:

"P - zP - .

U)' - 2p +2)"

564(55g) f(t)="3'"-2r. Carab'--L -1.---l::-2lp -3t 2 @_3)2 +4

565 (560). f(r) = "-t o(s2 pt. Cawb:==\ + ----!!! -

2(p +a) zl,ip +a)z +q021'

YIIL Gecibna torumi. f(t) = F( melum olarsa, ixtilnri mlsbot t

nn

/(t -t1=s-et P(P' Ul)

rfadosi doptdtr.M,ixtalif arohqlarda baqqa-baSqa fornado venlmig arulitik

funlaiylann tesvirtni tupnaq 0 n bu teoremden lstifada etn ak dohaolveri;lidlr.

566 Ie - t) = (t -1)2a( - l) fiulsiyasnm tosvLini tapm.

Halli" /(0=t2t1) funksiyasr iigiin 7g;={ molumdur. GecikmsP'

teoremin g6io (r -l)27(r - l) firnlsiyasr tigrla

(r - l)z rt( -t)=e-P ]-

'. prahnar.

Ogsr ba:otaa fimksiya ,(r)=(r-l)2a(r) kimi olars4 bu firnksiya

iigiin fi(r) = (/2 -u +t)ne) pznuqla x*tilik xassesins esasan yazanq:

rr-u2a1r;={-l+I'P'p'P567 (561). lQ) =sin(t -b).4( -r) firnksiyas'nrn tosvnini taprn.

r22

Halli 11t1= 3ra1r 'b)',1(t - b) = e

-^bP

P2 +l'

ha$fuh finkryalaru tasirini topm -_bp ^-_bp

565 (562). Jtt\=cnsz(r -o) tt(-o). 6ura6; "-i1* -4r-2P 21pt +47

-2D569 (563). I(t\=e'|-2',tu . 2)- Cavab. "-i .p-l

IX. Vurms teoremi. iki r@) va o( tasvirlainin hosili de tawitdir va

F(p)@@) =\fiidt -r)tu (t2)0

dopadur.

I570, y4g = !1t -tletdr funksiyasmm tesvirini tapm.

0

HalE y19 funksilasr [91rn ,f(r)=, vo P(r) = etoldufundan, vurma

teoremine trazoren

t t) = tt/(p\= F(pp(p)= + *p' P-lalmar.

I571 (559). fO=let-t siEdr funksiyasrmn osvirini tapm.

0

Halll et = -! "" ,io, = -L oldugundan wrma teoremino gore

. p _l p" +l

I

i"t-'s, a' =+ --Lo p-l p2 +t

almar.t.

572 (591). 7111= l1t - tlzchrdr fimksiyasrntn tssvrnni tapm.o

HatE 12 futksiyasmm t€svidni tapaq:

,, ;i,r"-,,* =l'' =u'

^=i''*l=-,:"-prp,2\*-et4=6 lzrd=du, u=-.-, o'l p l0 pi

-l'=" du=".-''dl- ? --r,p*z(_t "-p,l**ti"-n,a\==l*=*,

"=-);,,1=-i" ' lo

-;1-;' lo -ri' - f

--z "-o,P= z

p3- lo p3'

crr = -*-olduEundan, onda vurma teoremine g0re' P'-1

'11r -,f "n, a, = 4. -+- = --]-o p' p'-t p'(p'-t)

ahnar.

573 (5g3). j"z?-r\12dr firnksiyasrnn tawirini taprn.0

Heln e-2' = - I va 12 = { oHufundan vurms teoremine goro' P+2 p'

l"z{,-r\}dr =0

almar,

A S afizdah funkiy larm tasl) irini lapm.t-

571 (590). lcos(t - tpzt dt0I

s7s (592). l( - t\f(t)dt.0

Cavab: ----l ^ .

(p-2\p'+t)

Cav*:ffi

Birinci qtrma teoremi. Ogar . . . . funksiyast sonstz uzaqlasmqnOqtada analitik funksiyadrsa va bu noqtada stfra barabardirsa, bundanba{qa F(p) I nks$asnrn sonsuz uzaqlasmrs ndqtada Loran ayr qt

F@)=L+t=t p

321

iaubrdadisa, onda F( funl6iyastnl,n oriiitah

r1t1= [ --Q-'t-t" r]r(t - D!

saHinde funlrsiya ohr. Bu sra b tin t -lar g n y$thr.

576 F(p\= -+- funksiymrna baxaq. Bu firnksiya sonsuz I'zaqlaSurrgp'+l

noqta etrafinda analitikdir ve bunun bu noqta etrafinda Loran aynhgr

agatdah kimidir:

r1p1=!= p- = l.="'r'l o2+r p21r+{) p0++)

p' P-

=10-+*a-...-r-u" I *...r= B (lr)lP P' Pa

"' \ '' P?rt

' "- '^ Ou*'

onda r.(r)= i (-D"2'-"o.r.'"

"-1o Qn'lt

Tasvira gdra oriiinahn taprbnasr.

F(p\ tasvi-.lno Sdra f(t) oriiinat n n tap mas, ilgiin ata*ldah sulu

tatbiq edok:

I. Ogar tasvir F(p)=ffi SaHirfu olnaqh, dilzgiin rasiotul

kasrdirsa, onda bu losri sada bsrbra ayrtmaqla, her bit sada bsrino rij inahn t tap nnq o lar -

I

577. F(p\= -----)-- fimksiyasmrn orijinalm taprn.p(p-r\P'+a)

fl.A F@) kesrini sada kosrlat syraq:A. B .Cp+Dr@)= ' ==r-r J- =

p(p - l)(p2 +4\ o P-t p2 +4

A(p3 - pz +4p-4)+ t(p3 +tp'l+cd - t'S+ D<p2 - p)

p(p-lfu? +4)

325

A=-i.

,+c=1.4'

-c + D=L.4

48 - D=l

) A=-1 . a=3. o=!. c=-t .4 10' 5' 20Omsallann bu qiymatlerini )uxanda nezeo daq'.

ll.Frr)=- I *3 I *- ro-o*-t =-, +3 I -l .P +L |

=4p l0 p-l p2 +4 4p l0 p-l 20 p2 +4 5 p2 +4 .

.13,1 - I -=__+-d __cos2r+-smz.. 4 10 20 5

575. f q =-l fimksiyasrrun orijina[nr taprn.lp" + l)'

IIellL br halda verilsn F(p) funksiyasrnm kesri sadr kosrdir. Buna

gdre yuflra t€oremindcn istifada edok -l- = r-, oldu[u melumdur.p'+l'

l1r(P)=-; . =-(p'+1)' p'+l

= 1il.o., -*dz, - r)Hr = ]rocr - l"in(zr -,)[ =?it' 2 4 '.p

= l r"orr - -lrio, - I ,io; = 1"-1- Ir;o1.

24422579. F\D = :- funksiyrsmm orijinalmr taprn.

p+ t

flolll e-p vurudunun olrnasr onu Sostorir kl, gecikma teoremini

tetbiq stmak la mdu. Burada "=1. l="t oldulundanp+l

A+ B +C =O,

- A-C + D=O,4A+48 - D=0,

- 4A=l

(a,o=!.+i2'-[48-D=l

P2 +l

.t= lstD:(t - t)siot d, ='0

r

"-o = "_<r_r)rr, _rr.

p 17 .

I. ikinci attrma teoreminin kbnayi ile, miiaryan tartlar doxilinda

F @) fitks iya strun o rtii na It

l(t)= ZrcLFQ,YP)Qk)

dflsnnt ila hesablanr. Burado g*tqhnn comi bfrt n F1fi funksiyasmtn

maxsusi naqblari fizra hesablarur.

Xfrsusi halda, agar f<c>=ffi kasn dizgiin hasr olarsa, onda orrun

onjinatt I(t) aSa[tfuh kimi hesablantr:

,,n= * I t^ do'-',lr@)"0'(p- pin'l rrt)' ' ' Ett"t - l\l p-+ pt ipn*-lBurada pp FQ, rtnbiwmm nk tdrtibli plyuudur va cam F(P)

funlcsirymm b tun polytslanrun cami Hmi gdt r llir'' F(p) funksiyasmn polyshn sode polruslardtrsa (1j) dxruru

sadalrtir va asagdah Hni Safirul t:l.p=i4!r\4l (14)

' ' ' ii;R'(Pt)

5t0. pfD=-i . firnksiyasrnrn /(r) orijinahnr taprn.(p'-t)'

Ealll rql firnlsiyasrrun P=-1, p=l kimi ikittrtibli polyuslan var'

581 (609), rO=4 firnloiyasrrun 71r; orijinaLnr uprn'P"

Ilalli p =s noqt€si F(p) fitakiy"slnm ugiincfi tertib polyusudur' (13)

dnshrrundan istifrda edek:

(13) diisturuna gOrs alanq:

ru\=tu\l-!_a] - *.f---l =+*,'" ''' )-rl\p*t12 ) o c-'sl@-r)'l o z

t @ = + n^,41T- ", ffi., *,fi @1, -,, p

| =

= m lfut - g"t-rlrl= ,;, n-ryzrtr-t)p =(t-t)2.p-+o &' ' l-+7'

--2 p582 (61l). F(p)=; tunksiyasrnrn /(r) orijinalmr rapn.

HallL

lA)= fi^laa "P't, -

,l'l= sro "(t-2\o

- ,t-2.p-+tLp-t ) p-rt

553 (6Ii). r@=-;f tunksiyasrnm /(r) orijinalmr tapm.p'+4p+5

fraIE Yeilan tesviri F(p)=---l . teklinde yazaq. S0r0$mo

teoremino g0ro

Fo)= -J-- = s-zt stal@+2). +t

almr.

581 (615). \p)= -J . firnksiyasrnrn /(r) oriiinalmr rapm.(p + t)'

Halll p=-1 nOqtasi F(p) firnlsiyasrnrn ikinci tartib polyusudur.Orijinah t4maq 09ihr ( I 3) dUshmndan istifade edak:

t o = t ^,*lCfu *,,o * r,)= o,y_,*b,,|= w lt + pun,l="-, _1r-t =11-tte-, .p'.-l'

sss (6ID' F(P\=;# I

tunksivasrnn /(') oriiinalrnrtapm.

Halll rqpl= --f-- -- = -1---

yazrl4rndan aydm gdrODUr ki,pQ+2p+ p') p(t+ d'

p=0 noqbsi F(p) firnksiyasrnm birinci tartib polyusrl p=-1 16q6s;

iser(p) funksiyasrnrn ikinci tertib polyusudur. inai r1p; = -J-kesrini sade kasrlera ayrraq:

p(l + p)2

1 A. B C -A(P2

+2P+\)+B(P2 + P)+CPl(ol=-=- +-+-"\P'-i+t)2 p p+l (p+l)2 p\p +ll2

le+n=0, [n=r'l2A+B+c=0. = {8=-l'[, =, [.=-t.

Bunlan nazare alsaq F(p) firnksiyast

rr,r=!---!-- I =". p p+l 1p+t)z

kimi olar. I , -! sada polyuslan olan kesrlerdir. Odur ki, onlarm orliinalr

P P+L

I =1 -!-="-' ot*. ;f kasrinin orijinahnl tapmaq ugiln (13)p. p+l . (p+l).

dOsturunu totbiq edok:

i,l=,ly-,*llgu''o.")=,^--,*b'llY-|".'=n-''Bunlan F(p) fimksiyasrmn sada kesrloro aynhgrnda nezare alsaq, onun

orijinalmt

l()=l- e-t - te-t

qaklinds al-rug olanq.

st6 (619). F(p\=4:tPL+ fiuksiyasrnrn /(,) orijinalmrf +2pa + 2Pr

tapm.

HelL Ft o's =2p3=+ p2 t2'*-' -zt + ?2 +zp+2 kesrini sade

p5 +2p" +2P" P'(P'+2P+2\kesrlaro ayuaq:

r1r1=24* !2 *2P*z =4*4*tr*-P: t-.p3 (p2 +2p+2) n o2 ot p2 +2p+2

Omsallari A=0, B=0, D=0, C=1. E=2 kimi aplnq. Bunlan sada

kesrlarda nazara alsaq:

F(P'=i.73e.r=i_C#;'

329

l't27 1' a#--2e'sin''

oldu[unu bilarek, F(p) tesvirinin orijirahor

f(t)= rt2e-tslntkimi yazruq olar.

I-' 15'

ls+n+c-o,l-2A+B-C+D=O,

ltt+u-zc -o =t, +

l-gs + +a -to=2,

B=!.5

c =-1 .t0

D =,25

ss7 (621)' F(il= @+tx::#;\4)

tunksit'asurrn /(') orijimlur

tapm.alli p =-1, p = 2 nfiteleri F1p) funlsiyasrmn sads pollnrslandrr.

F@) firnlsiyasrm sade kasrlere alrraq:

rupt=-------!l) -- = A * B rCP,' D -" (p+t)(p \Qt r 4) P't P Z pt,4- 2p7 +4p-E\+ + p2 +1p+4)+Ci

(p+lxp- +4)

Bunlan F(p) fulksiyasrn,n ifadosindo nazere alaq:t2

I I I I -roP-i I I l I t p

t5 p+1 6p-2 p2*4 15 ptt 6p-2 l0 p2+4

-i-]- = - I "-, *!"2, -lcoszr Isuzr.5p2+4 l5 5 l0 5

588 (625). F( o\ = --L. futrksilas'nrn /1r1 onjimlmr taprn.P. +L

Ilalli" Yeiler. F(p) firnksiya$m sade kasrlera ayuaq:

330

A BP +Citpt-----=-'- ----i -"''

,3,1 rp+t)(p7 p-D P+l p2 p+t

- A(p2 - p+1)+ BQt2 + p)+C(P+l) .

1p+l)(p2 p +l\

e=-! t=\. c =!,l' I lI I I P .l It\P)= -.-.1 i ,\ o,1- 1 ,, u.,

l-t_=e',p +l

p - P - '-l -,r,: o'1 ;o-!rz *! l.: (.5)2 2

a rc_ 1t_ ,1t

1

l = r _=L,1,{!,o2 r,l '" f JJ2 J3 )

rp- ,.r.

*l z )

Axrmcr orrjinallan (*) borabarli) inda nozara alaq/ r - t -\

fti- -!t' t, ]l,l-,*, **,I,'9, l, -f.;,,'f ,-3- 1[- *-2 v3 2 )3lr 2

r tl -,ti ,, l -.- {3,J .1" ,=lnll.o. f ,- ,,J,,n JI,l L. .__ezlcos_r+_Esn;rJ -r. -]._t.* 2,.","., .2,.r I

589 (627). r@=---4- fimksiyasrmn /(r) onjinalmr tapur'@ t)'(p +2)

I{allL p =t ikinci, p = -2 iso F(P) firnksi}asrmn birinci terub

polyrslandrr. F1p) fimksiyasm sade kesrlors ayrraq:

F(p)=- -!-= n.,_u.. j-

lp 1)'(P+2) P't P | (P It"

(*)

r, - !,: *1,.,5]2t)l_ \-_/

= "i"r, f

, * t=rlrir,-6,.. 2 .,,',3 1

33t

Buradan e=!, a = -1, c =! oldulunrr ahnq, Omsallarm9 9' 3

qiymotlerini F(p) funksiyaslrun ayrr}ynda nazere alaq:

^lltltttatDt=_.- - _._+_._' 9 p12 9 p-l 31p l)2

l2tp+2. ;f = "' oldrEu mslumdur.

;} ,*'r'u"rnln

orijinalm tapmaq tigiio ( t3) dtlstunrndan istrfrde edsk:

r _ ,n Ll\",,,_rt)=;:r*bn,l= hn,tec, =tetqp-t12 r;rdlllp t

Orijirallann taprlmrg qiymatlarini (1)-de nezora alaq;

Fo) .;" 2'- L"'*:tu'

5g0 (631). Frp)- "-" , firnlsilasrnrn /(r) oriJinalm tapm.(p + l)"

IIellL p=-1 F(p) firnlsiyasmu ikinci artib polyrs n<iqtasidir. (13)diishrrundan istifade edsk :

,,,, = ,l1,*l#",'qo *,f).- w ,Llon'-'tl-= [,n.[rr -lYx'-r)]=rr - rt"-t'-r)

p'+ ,-l'

bu

(1)

5s1(610). F(il='7 .

p

se2 (612). F(il=#.se3(6t4). ru)= . -L.p'+4p+3

5s4 (616). F(D=d+D,

ses(6rE). F@=;;7

Cauab: qt * zlaqt - 21.

Cavab e-x'-3)rr(t - 3).

fsya! 11, I - r-r,1.2'

Cavab:llsi,,r.7

_t6'u*6 2J3,'z

r;r', J"'3 r.92

3T.

596(620). F\p)---+ ^ (-'arab: r-srn''p'(p' + t)

nls97 (522). Ftp) = i,n){;*D-,.p +,1

Cayab: I . 112 t a Lng -l)t:2' - .. + (-l)ne- "'r .

Is98 (623). Fiet =

;4 ;ri;# ;;t

c"*u, ],-il l.^,**,-, -' f'l, llr ' 1lp2.tLp-l __. Cavab: e'r1l -r2.y.

599 (624). F( p)= r;j-tp, I

6m626). rtpl-_-1 - ,' P'+4P'+5P

- -2tCavab: 1 t lrlsinr -3cosr),

t2 + 2o-lelgzE). F(Pt=irti;l

cAvab'. 2{t - "'l{,*{, - *,*')

602(629). F\il=*

cavab: I"'-t,,-il,*f ,- "t.,,fu,l

603 (630) F (p) = ;, -h. or*

Cawb. ! e' -r sio2(, - l)4(' -' 1) + cos 3(' - l)tt Q - 2)'

604(6s2). F@)-#4,

60s (633). F(D=+ .Q-o +2e-3P +3e-4p\'

Cavab: sin(r - 2)r(, - 2) + 2 filfi(t - 1)rt Q -. 3) + 3 3in(' - 4h(' - 4)'

Carab:,l-1r7ir -q - 41r- t;.

333

606 (6Jr). F( = 1P + P".2e .p'-l p'-4Cavab: $(, -l)?(l - t) + ch2(t - 2)tt? - 2).

_p-2

607 (635), F(p) = ---: ^ .p\p +t)(p. +4)

Cavab:

!, r, - lS - !,-

Q - i) n <, -

)> - j*" x, - )n r, - )t - l"^ r, - )t <, - f,i

.

60s (636). r1o1="-P- *u-l.e *a'-tp .p' p3 p4

Cavab: (, - D7(, - l) + (t - 2)2 nQ - 2) + (t - 3)3 n( - 3).

_p

6oe (637). 16=-l j-.dP' +t)

cavab: 7g - ,1;

- ccg - llr1 -!1

026. sA3fr aMSALLI ADI DhERENstr,r, rexllr<r,aR UqUNKo$l Masolast{h{ HoLLt

Tutaq ki, biza ihinci artib sabil amsalh diferensial tanlih verilmgdir:d2x &

ao d?

+ oti+ a2r{.t)= l() 0)

Burada on,q,a2=corst, ao*0, f(r) orijinal funlcsidtr. (l) tanliyinin

{0) = x6 , r'(0) = vr (2)baSlan$tc Aartini ddayan halli ctanlv.

(1) tanliyinin har Arafna operasia metodunu tblbiq etdikdan sonra (2)baSlanlrc Sartinin kdmayi ila operator tanlik altnr:

(asp2 + ap+ a2)x( - (dopto + rlo\ + a4o)= F(p) (3)(3) barabarliindan

,tpl=\EI!!PWaOP'+alP+a2

ahnv. Btr operator hall adlant. x{p) tasvirinin x(t) orijinalmt almaqla

(1)-(2) Kosi masabsinin hallini alvtq.n tartibti adi diferensial tanliyin lolli prinsip etiban ila n=2 brtibli

tanliyin hallinden farq bnn ir.

610. x'+ x =Zcosr, x(o)=O, x'(o)=-l Kogi meselasini hell odin.

Ilallt x(t)= x(p), x'(r)= px(p)- x(o)= px(p),

rapmaq ugtin tesvirin difereDsiah

X(p) = tstr-t - sint =(, - l)sinr.

Yeni Xf, = (, - l)sin i .

x'1t1 = p2 x1p1- px(o) - x'(o\= p2 x(d+1,

-"t = -*- oldulunu nezars alsaq, operator tanlik' p'+l

o2x{t'7*t* x1P7=ft,

gaklinde almn. Bwad:m x(ol= Ofu-

j. ahnl. x(p)-nin orijinahnr

tapaq:

I-;-=sm''p'+l'

+- funksiyasrnrn orijinahnrp'+lteoremindan istifada etnak lazmdt:

zp =-( 1 ) ..,-.77i,7=-17;)o='"'''

Bu halda

335

llerilnii baslangtc Sartlar daxilinda a;agdah dlferensial tanliklarihall edin'.

611 (64D. -Y'+ X =e-t, x(o)=rIIallL Tenliyin hor rorsfino operasiya iisulunu totbiq

edek. X(r)= X(p,, x'O= p,Y(p)-X(o')=pxrp). 1. e-t -- -l 616uBunda.ap +l

operator tsnlik aga[dalu kimr ahar:

iQ)-t+ :aW)=l-. x(t)@ +t)-r.r t,p+t p+tx@) funksiyasum onjinah tapaq:

I. p'+l

[.t + o =0,jra*c=0, -[.-l+2C=1,

A=!,)

s=-)5'

7

5

Bunlarn X(p1 fil*siyasrrun aynhqtnda nozero alsaq. yalzaflq:

x, p1=-!7J-(1 + l)'

-' = ; y-,n*l##'o'1p *')' ] =,,t*,fik,, -'*'l=

= *,F' t r1p+z1e f=s't t re | =tt +t)e t.p "r-l'

Belol klo.l(0=rr+l)e t a1nq.(;12 (649), )a'+2X =stnt, X(o)=Q

llaltl X(O- X( , x'ttt = pxtpt- Xto)= px\ti. sin,

Bunlan verilan Lrnlikde nazore alaq:

pz +7 pz tt' (p + 2)(p2 +t1'Opentor tenliyi hell edok:

, r-.'.._l _1l.Bp+L: _A(p2 +tt+B(pz +22)+C1p+2.)"' '.p+2Np:+ll P+2 p2r1 (p+:Xp2 -l)

336

l2I I -rP-s I I -! r' *i l--

x\P)= i p4' 7;- s p-z- 51tt 5p2+l

= l"-r . I-rr., ,}rior.'5 5 )

e-21 -coer t2sin'x(')=- - -'

613 (631). x'+ x =1, r(o)=0, x(0)=l'

y2pi X (rl X(p), x'(tt= px\' X(0\= px(p)'

x'(n = p2 x( ' px(o\ - x'<q- Pzxy)'l

Bunkn diferensial tsnlikde naesre alaq"* r)rl,^- or,ol=i - @) + p\'Ytpt=Eif - x@)= ,i

.vot=)=rp'

614 (653). X'+3,{'=et, x(0)=0, x(0)=-l

alll x1t1= x(p), x'(t) = Px (p) * x (o) - p^ (p) '

1

X'( = p2 -Y (ltt - pXOl -x't})= p'X(p\ rl' e' =-1

Bunlan verrlan tonlikdo nezars alaq:

-t---It2x(p)*t+3px(p\,-- -,, (p' + 1p\x(p)=-1,

2 o 2-Pp1p + t1x(il-il, xt.p) -

iG_\.:-t(p +1)

Orijimh tapmaq iiqirn x(p) ifadesini sada kasrlere ayraq:

337

- D+'; .4 B c -.4@t +zp-3)+B(p2 r3p)+Cet2 - p)"' p@ -l)(p+3) p 1-l p+t pQ-1)(pt3\

IA+B+C=o,124 t3B -C =-\.l-r.r=z

=) ,t= -!. a =!. <' = s

3 .t' t2

y16=. ?.1 '!. | .,.1.- I --?*1" * 5.-.rt' 3p 4p-ll2p+3 l4 t2

615(655). ii'+2,(' 3-i=e-', x,o)=o x(n)=1.

)Ialll x 1t1= X (fi , .-{'(t)= px(pt - x()) = pi:(D,

x"(tt= p2,Y(ti- x(o) -X'(O= p2X(p) -1, " '=hBunlz.n verilan t nlikdo nez;rrs aLrq:

p2xqp1-t+zpx{p) - 3-r(p)= 1

',p+lt+2 7X0r) = - ___-r- + 2p -.t=O

Q + l)Q:' + 2p - j)

y16--J!2"'(piIXp-l\pt3)-t.(p) fitlk ri).asm sad,y [6sr1s15 3fraq'

yto\..A +B_r( = !tp'?:]l:.) + B(p2 +4p+3)+C(p2 -Dp*l p'l p-3 (, rlxr-l)(r* 3)

1B=:.8

A=_!.4

y1,,1=-1.-l-*1. I -1. ' =-f"-, *1", -t-"-t,4p+l 8 p-l 8 p+3 4 8 8

(iI6 (657). I'+2-Y'=ts;\,, x(0) =.0, X(O)=r.

tp2 +.tp - 1x(d =P + l-,

p+.:, p .. ..'l 1 2, p1=,1, p. = -f .

lt+ t+c=0, lc =-A-u

42A t 48 = I, :) 12.4 + 48 =l -)f-r.r*ra-c= z l- e*u=z _l

8

33t

llalll x1t1= x(D, :t'(t)= Px @t - X (0) = p): (p) ,

x'(tt' p2-((pt' xlo) - x'\c\= P2x\?), rs;rlr=1f,,i,

^..D.,2p'xtp) t 2ox(pt-- br;rF- "ro,= *;tilf

x(p) funktiyasxll sada kasrlore aynaq:2 A Bo+C DPrE

x(P' = t p t D@\)'1

= P + 2' ;';' F i'1 1 :=4 o=-?. t-!.n-;' '= u' ' )s' 5 5

2 | 2 P 4 I 2 /' .! I

;((p' = 2s p, z x o\r' ui;-,-G, j' 56r;f;

| --,.2t J- =cost. -2!- -=tsit:, -,L-=,ar.pt2 ' t2 +t (p'+1)' P +l

I ---11,.n"t-t-rurl.(P" I1)' \r ' )

Bu axmnct naticeleri x(p)'nin sade kesrlar: a trrlglnda rnzsra alsaq'

alanq:) ^- t 4 I 41 1

.( (p) = X (t) . ;5e zt - -:-oost l :-srnl - ;'sin'

- 5 (ltcosI - lsur

t =

=.L; ' L,,,stt Iirit,,-lrr,nl ;t"o"r.:5' 25 --' 25 5 :

t;17 (659). )[" - ]" =sirt, J'(0)= r(0)'.xi(o)=0.

llalli x1t';= x(P), :('(t)= Px(pt-x(t))= fr'(p),

.Y" (t) -- p2 X t:t)) - lX (o) " X' (ot = Pz -Y (,

),*\t\=p3X\,,)+X'(o)- px (o - p2.r\ol- p3x tr), ""'-;+1,

339

Baglanlrc gsrtlsr i nezare ahnaqla axrnacr n:ticelsri taniikda nezar;r alsaq,yazutq:

prx1p1 - p2t 1p1= |-, xtrl ----fp'rt p-@. t<p" +t)

,Y(p) funksiyasrru sad> kesrlars ayrraq:

x1p.t=-', .='' +,+r+'!-p'tp-l\p''1t P p' p-t p. +t

_.eQ4-pt+p2-p).t.8(p3-p2 -p,tt+C(i,a + tr)1peo - p,)*t(pt -pr)p2 1p _typz t t1

X'1r1=p2f gtl- pXgt-X,:g)=p2x1pt-t. ",.) .p-l

Bunl rn verilen tonlikda nezrre alaq:

,2x1y1-t- 2pxrplt lqpy= l- , (p2 - 2p.1)l'(pt= P-P.-l' " p-l

-Y(p)= P ,.tp_ )"

p=l ndqttsi I(p) :iuksilasn n iigtncii tsrtib pollusudur. OCurorij in rh taparken. ( I 3) dtisturunda r istifado ertek:

l,trc+t=0. lB- t. l, !l-,t+D-D+t=0, l,r=-r. I l'le- s,c . t=t -. ]c*a=r , ]r =,.l-,n,a-t l, r=o I il-B=t L-o, r=o lu-l

Oms:.llann tap lnrg qr yrnetl lrini lado kesrlsrCe no:zors alsaq:

xlpt- -.-) ---.=--'- I .1-1 -*l-p -]-tP' .P'tYP"tt t' P1

'';1-' "\t''7i-

- -l-r rl"' . 1-, I I '2 2 + -aLrl - -t e' +crsr{srlr). (--lt

t,ilt (661). ,!'-2.y'+t =", , X(o =0, r,(0).=1.

ilalll xO= X(,), -t,(t)= px(pt-x())= p:{@).

hi,

-,r=iy,#lrt,_;",'u,-u'f=i'-x#b"")=l*.yftk"+p'let'\=

"IY,ftt""'."" * e""o')=l(' ' t'l' "L""' *"'

t;19 (663). ti" -2Y' + 2-Y =1' x(0 r = x'(0) =0

llalli x1t!= X(i, .Y'(t)= Px(ct - x1't1= *"*r,

Y"tr)'' p2 x ' p) - tx Q) x'(lt=p2-r<ol,'=!r'

Axrnrrct naticcleri tanl ikde Irezera alaq:

P: x (pt - 2 P^ (P\ +':x 1P1 = !, x <Pl = -

l-- -p' p1p'-2p+2\

.r@) funkriyaslu sad I rasional k:srler) ayr;rq:

A Bp +C A(P1 -2t +21+ BP2 CP.Y(p)-- t -;- -P p' ;Ptt PtPt -2P+7)

fA+ B =o

l'2.4 + C ==0

[,, =,

A=L2

g=-l-"2'

C-l

Omse llaru, qiymotlerir x(,r -nb aynlqrnda azan ala<;

rrrr=Ll -l = p -+-. t -=].

l-l--"- *-!-' tp zp.-2p+! p--ii-;i-1ap-rf .r (p-l)2+'

r- l- - p

----p-- r"l - --P-\-,

-i . = e'(ccsr+sinr),'-,.'

1p-112 rl (r-l)2rl ,.p l)z+t (p-1)rrl'

-]^ - = "t.t,,,r.(p-rf'rAxnrrcr naticaler asas tnda

I l' l ' .rr"' tinr= lo-(rcosr+ersirr,)X(,)= 2- r" ros, - te'su.. Z.

620 (665). X" +2-Y'+ S =12 , v1n'1=1, xlo) = o '

341

ilalll X (t) = x(,tr, .{'(t)= pXQ)t - x()) = p{Q) -1,

Y"(D .p2x O- E@) -x'(ot-p2tgt1'' p, ,2=2'.p-

Axrn rcr neticelari tenlikde nazsr: alaq:

p: x<p) - p t..px(r)-21 xtp,=i

02 t2p+Dx(!)=1*ptz, r-101-r+pa +2p'

-l-=t++p' t' (p+ )' p'(p -l)'p=0 no{t:,si ug:inoti,ertib. p--l nthtosi ikinci ertib polyu slardr r. Od:u

ki, ,l (p) f,mksi..4asmr r oriJnahn, taprBq ti.iin (.3) diEhruodan istifada

edek:

r,, = i ::i'el7,#,f " rf.;s.,+l\#f", o, r,] =

= ,,,n 4i, ! +2P\-+2"xln 6 :,.lpo z!' ,z-"0,

=: jJo.pt | {p tttt J t --rdt I p"

= ' ,,. llk"lrq 'b' *'{u;u *'o' -fu.'L_.,An ." r 'z)'

o'l .

. ;':i tpl rp.r r;' l

, ,.- LUrfu' p+tp4 +?p3 *2tupt' ,4t *ro':l'\-+ lrm ---I -r-t Po

= ,t^ Ll"o'fut 'urt'ur' 4+r\'5.+zt\43'ztAf s"'' .,r-,'. p-+o bl 1p + t)' l

= ,,,n [,6r' +npz +oyl+Qpa +tlp3 +ttp2 -:l+PQs +3p4 +273 +''P-..o '

+. ?+z)'.lp+t -z[,,,n *or' ,e12 -a)',(et '3p1 2p3 ,ror,)l;'--'/ \r ,ro.t\o

_le-t _ t"--t = rz - 4t -6 ,5.-t - k -r .

t;21 (66D. -Y" +,1 = cos r, x,l0) = - 1, x'io) = L

)Ialll x 1t|= x(p), -t-"(r)= p2x(p) -pr(o) - x'(o) = p2-t'11t1+ p-t.

142

cos, _ __+_,p'+.

Bunl''n velilen t,rnlikd a nez.re alilq: 1 7

p2 X(p) r p 1 +x(1\=-L-, @2 +t)Xtp)= /+t:1,p: +7' P' 'l

12,,- . -p +D +t-ltDl=-----' b,. rl

X(p) fiutkriyaslrr sad; losrlero ayraq:

tt+P tl APt 'l Ct+DX(Pt- J.r; ---- r -rr'- (r2*rf P't. lp'*tf

A=- , 8.1, C =1, D=0-D I ,

X 11', - -. '- .' -- | '- ---;,P; tt I *t \p2 tf

,orr= j-, sir,,=--1-, lrc-, 'f n'/,1 p,-r - lp, ,fx@= cos r +sinr +ltsinr'

2

6.12 (6( 9),,1" + 2-l ' + 5-\ =3, x(0)=L r'(0)"0'

haolti X(t)= X(1,t. t'(r)=,uYQi-X(ot= pti(D- ,

Y"lr),'p2x p7- fi@)' X'(lr= p2 Y(P) P' =1'

Bunl:;n ver ilen t,rnlikcls nez.rrs aLrq:

pt X(p) - p + :pX(fl - Z + sX1P1=1 ,p

o2 t 'o+3 12 +2'r+3(p') 2r t 5)^(p)= -t-

nrr'=i7\u*r)'f (p) funkriyasurr sad) kesrlera ayraq:

p2+2pt3 A. -Bp+rl - AQt2 tZP+3)+BP2+(p

t{rl ' _ -=-+

- --''YY'

^r\zp rs\' n' ot rro*t t1p2 ^2p+51

I,B,C emsallanfln tap m$ qiymatlerini X(p) aynlsmda yerins yazaq:

xtp>=) !-: _L.1 ._L. r= l,s P 5 p'+zp+S 5 pt-2ptS p'

^ P = P-= P*l - t'

=e tqs2t-le-.sn2t,p2+2p+5 (p+l)2 +l gr+l;2r 4 lp+lf t4 "-'

2

-L - -f-

-l-e-t sin2t .P' t2P'5 \P tl)t | 4 2

Almmry ncticalori x(p) ayrrl$rn& nezers akaq, orijinal tapanq:

X tq = | + | e-t oosu- ]e-' sin 2r + ?-"-' "*zt =1 n ? ;rcos 2r + 1e / sin2r.' 5 5 5 5 -- 5 5- ---' s-

623 (671). x" +2X'+2X =r, x(0)=x,(o)=0.

Halll x1t1= x(p), X,(r)=px@)-x(o)= p71p1,

x"(t) = p2 x (p) - px (o) - x,(o) = p2 x (p), l:L.P

Bunlan verilon tenhkde nezers alaq:

p2xtp1rzpx1pt*2-y1p1=l , x(p)- --=]- ,P plp'+2p+2),Y(p) funksiyasrm sado kssrlare ayraq:

171py=4 *--!ltc =P pa +2p+2

le+a=0.124+C =0 =lze=r

AQt2 +2p+2)+Bp2 +9!+2p+2)

I

^-r's =-!.

2

C = -1.

It+a=ylze*c =z =[sz=:

5

1A=1-

5

)B=:J

_4

x(o\=L.L-\- P -=-,1-=l l-1 oll ,.^\v)- 2 p 2 p2 +2p+2 p2 +2p+2 2 P zG+l)z +lI I I I I I P+l I I

- ; a;f;- -@;F;=' i-' @.f;-' tp - rF;

t= l. P*=l = e-t cosl, --)---=r-'"in,.P (p+l)z +l (P + l)' + I

Bunlafl xO = .r(p) ifadosinde razan daq:

x o> = l - l;' "* r - ! ;',*, = ii - "-' "*r -'-"iot)'624 (673), X"+4X=t, x(0)=1, x(0)=0'

IIallL x(t)= X(p), X"(t1- p2xGD - px (o) - x'(o)= p2 x(p) - p,

Il=__a.

p

Noticoleri tenllkdo nszera alaq:

p2 x1p1- P + +x1P1=)p2'

. al +I@"+4)X(P)=-2,

,r+l A B Cp+D A(p3 +4p)+B(p2+4)+Cl:Dtx (il = fi7i= i. ?. ?;= ---'-7a r,,

(A=o'(a+c=l. I

'lr*r=0. l'=i'loo=0,

* l.=,'

[ra =r, I ":_!t" 1'

,_._ I r p -.!._t I=,, -!-=coszr, -]-=lsuz,\ =i' 1+7-4'1 ;rJ'7 '' p2*t p2+4 Z

rlx () -- :', + cos2r - E

smzt .

625 (675). X"' + X =0 , x(o) = o, x'(0) = -r, x'(o) = 2

Eolll x1r1= x1p1,

345

x"'(O=p3x(d- p2x1o1- px'101- x'(o\= p3X( +p-2,

Bunlan tonlikde nezare alaq:

p3 xgtl + p-2+x(p)=0, (p3 +t)x(D= Q-2)

x(D\=-P^- 2 = -P:2 - A., !.Ptc ,Pr +l gt + l\(P' ' P+l) P+L P" - P+l

A(p2 - p +l) + B(p2 + p) + C(p +l) = - p + 2,

lA + B=0. fA=t,1-A+BtC=-1, + ia=-1,' [. -,.tlrc=2

It D I I p-, I I

.\ \P)'-----] - .-T-p+t p'-p+t p'-pat p+r ( ri2.l'21- r12.1'f'-r.l 'i lP ;) r

o

!,nl-Xirt = e-t - "r'*,

!1r', I ;r J3

2 '7'e'sll-t

6% (67D. X"' + X' = et , x (o) =o, x'(o)=2, x'(0) = 0

Halll X 1t'1= X(D, x'(t)= px(p)- x(o)= px(fi,

x"'(t)=ptx@)- p2x1o1- px'101-x'(o)= p3x(p)-2P, et = |p-l

Bunlan tanlikde nez::c alaq,

p3x(p) -zp + px (D= #, <p3 * ptx(p) =di#,x@-4- x1p' - A '-!-'cP*Dp@-l[p- +tl P P-l P2*l'

A(p1 - p2 + p-\+ B(p3 + p1+C(p3 - p21+ og2 - p1=2p2 -Zp + 1,

x(ot---!* I I *.1 -!- *1-)-."\r'- P 2P'| 2p2 tl 2p2+l'

x(t)- -t+let *1*", * i,-627 (679), ;:" + X' =erJst, X(0)=2, l(10)=0.

Ealll .r91- x(p), x'(t)= px(p)'x(o)= px(p)-2,

x"(O = p2,Y @) - px (o) - X' <q = t x @) - z t, c,oat = -{ . .

Bunlan verilen tonlikda nozere alaq:

p2x@) 2p+ p)(Qt)-2=+-, @2 + p)x(fi=-!- -+2p+2,p'rl P'+l

v*1'-2p3 +2p2 +!p t'2 , x@)--4* B ','or*' 'p(p-l)(p'+l) P P+t p'+l

A(p3 * p2 + p+t)+B(p3 + p)+cQt3 + pz1+ Dlpz + p)=2p3 +2p2 +1p +2,A =2,

3=12

c=-1.2'

o=1.7'

Brrnlan 71p; funksiy'asrmn aynhgmda nezare alaq:

--2lllDLlx ( o).= _ - - -

- -_--- { :_;-,"' p Zp+l 2pza1 2pz+l'

x (r =2 +!e-t - 1*", * l"ior."222

l,r+n+c=0. [A=-1, [=t:l-,q.cro=2. la*c=t. | 2

fer n-o=-z = )-c*o=r = l.=1.[_.4=,r ta_D=_r. lr_;,

[,a+ n +c =2, le=Zl,q*<'* o.z, ls*C=0, C =-a,1o* a * o=1. = 1-a*o=o 'ltle=z laro=t,

741

628 (6El). X"'+X'=q{r-t, .r-(o) = 0, x,(o)=-2, x,(o)=o.

aui xg1= x(p), x'(t)= px(p) - x (o) = px(p),

x"'(t) = p3x(p)- p2x1o'1- px,1o1- x,(O)= p3x1p1+2p, "*r=-J-Bunlan diferensial tcnlikde nazsre alaq:

P2 +l'

p3x{p1*zp t px(il=-!-, er + p)X1p1='2Pr'' P,p- +t p" rl

-t ^2 r

X (P) -- --:!'----: .

(p' + t)'x1p; funksiyasrm sads kasrlars ayuaq:

x<pl- .2{' ,J. =2'u n "0"'or,(p- tt)- p. +t \p. + t)"A(p3 + p)+ B(p2 +t)+Cp + D 6 -2p2 -t,A=0, B=_2, C =O, D=t

Omsallann bu qiymstlorini x(p) firnksiyasmn aynl4lrda nszars alaq:

xOt= - l-, , -l--, -L=sior.p.rt b2+tf n,+r

, , ,. =_l.lr*,_1r_r'],IP"'Y t' 2 )

Onda X(rr) frrnksilasurn orijinah

.{(t)=-2sinr-1rc I 3 I. 2 rosr+-slnr+- -srnr-;tcosl

olar.

629 (683). X" -X'+x.e-t , X(o)=0, X,(o)=1.

Ealli x1tl= X(O, X',(r)= px( - x(o)= px(p),

X"1r1=p2Xqp1- pX(O) - X,(01= p2X1,pt_t, e1 - 1 - .p+l

Bunlan tenlikdo nezars ala4:

1 p2 - p +1)x (t) = 1, x @) = Gif P + D

x(p) funksi1'asrm sade kasrlore ayraq:n+2 A BP+C)(tP)=G;;7r n\= .,7 _ P,r.

A(pz - p +1)+B(P2 + P'1+C(P+t1= P +2,

Omsallarm bu qiy'rnotlerini x(P) fimksiyasmrn aynhgrnda nezare alaq:

x(,\=!)- -l-.L- ':---1 ., , '-+,^'"'-3p*l 1p2-prl 3pz'Prl P+t

p - p = o-1 .)-- t-=^, --r-r rr2 r f t\2 3 2f l\' 3p -P+'|

lo t) .i l.r-;l 'i \o-;) .-o

. !., ,5. r l,-,_Ji.= ez as - t +

Jlez sttr-'t

I I z .l' ^,-J1 ,7;=l:.ai: f,1e'su'-t1.. :l 4

Taprlmrg bu orijinallara Soro x(P) firnksiyasrmn x(') oflJinah aga{rdakr

krmi olar;t, - l. E .^ l,

17 s1.!r"-'- l,,i' *.{, r #,i' r-*r, #"'"^t' =

348

p2 x 1p1 -t - px 1p1 * x (D = #,

3

-l3

s/--:-3

[A+B=0, (B = -A')- o, a ,c --r. . lc -z-.t, r[r*.-r. l. 't'-'t*z- 't'r'

'1-l ,-t * 3:.;' shJ'l , -,-"1t *"!,.-l' J5- 2 3 2

349

630 (685). X"' +X =et, x(o)=0, x'(o) = 2, x'(o)=0.

Halli xe)= x(D,

x"'1t1- p3xqp p2xtot- px'to)-x'(o)- ptx(p\ 2p. et -JplBu qiymatleri tanlikda nazere alaq:

p3 x1p1 - zp + x1p, = *, ro' * Dx (e\ =+x(p)-- - :?iP2

-.2P.t I

lp-l|g)+t[p' - p +l\x@) firnksiyasm sada kmrlero ayraq:

2p2-2ptl A B Cp+Dn\P)- b -rb, rrlp2 - p a= e-l' p t l- p' r n'

A(p3 +t)+B(p3 -2p2 +2.p-t)+c(pl -p1+D1p2-t\=zp2 2p+1,

Omsallann bu qiymotlorirf ,r@) furksiy'asrmn ay,nhgmda nozara alaq:

... I I 5 I I p I I I I -tx(P)=rp)-e p+t* tir- o;r.37 -p.r' " ,ir' p..r'."'tlI

ft*B+C=0, lc=-A- B.

l- zn * o=t. lo=zrzn.{-?{Jl2B C=-2, l2B+A+ 8=-2,le- s - o=t, lA-B 2-28-r,

l-l-.-t J3 1;t J3= e. @s - I + -i=e. sln

-Ii.2J32

Bu halda ,Y@; funlsiyasrnm ir(r) orijimL alagrdalo kimi olar:

,l2

5B=-:.6

^l3

I

3

p = p-r*, _ p-i *l |

=o2-ott t 1\2 3 / l\2 I f t\2 I 2r l)2 j

lo-r) .olp-l) rolp-z) ,i l,;) ,o

350

x u\ = + - Z"-t* i.i' *. 9, r r!r"l' "n*, - #"i' "' f ' =

631 (689). X"+ 4,f =2cosr'cos3l, X(0)=x'(0)=0.

Ealti x1r1^ x(p), x"(t) = p2x1p1- p,vqol-x'(o\= p2x(p),

2c4srcosJr=cos4r +.*2r I ;P p pt2p2 +2o) 2p(p2 tlo)

,-,ru'7;=Gffit4r=6,--"f-n'p2xqp1-tx1p1=ffiffi *ror= rffffi'

x1p1,4!)! , !P*P,r*!t! .^,,, ,, tt $z *af .

n2 +ro,

e65 +20 p3 +a+p1+B(pa+20p2 +64)+c(p3 +16p)+D(pz +16)+

+ E(p5 +8p3 +l6P)+F(pa+8p7 +16)=2pt +20p,

A= | .12

B =0,

D =0,_l' t2'F-0.

Bu qiymstlori aynhsda nozere alaq:lpPtP

"rt,- u ** $r*al-.o;t."'!- l..*zt, , P ;; =t-ti-2t, -!- = cosct.

p2 +4 ' b, ,oY o pt +16

Bunlanx(p) funksiyasurrn ay, rlgrnda nezsre alsaq, onun orijinahx()-nitapanq:

"'s-, 11, Jt r.1'.Jj=---P ' +-22 COS-:-I+-e. srtr-L2 6 3 2 J3 2

A+ E =0,B+F=0,20A +C +8E =).,2OB+D+8F=0,64A +l6C +l6E =20,64,8 + 16D + I6F =0,

E =-4,F = -8,l2A+C =2._a5128 + D =0,484 +l6C =20,488 +l6D =0,

351

x(r)= -l cos2r+ 11"62- I "*4, =

1sin2r+!(cos2-cos+tr.'124t24t2'6i2 (691). X"-X'=tet, x(o)=1, x'(o)=0.

Hatll x1r1= x(D, x'(,)= px(p) - x(o)= px(p)-1,

x"1t1-- p2 x1p1- px(o) - x'(q= p2x@) - p,

n, ==f -,b-trBu qiymatleri verilen t nlilde nezen aq

p2x\p)- p- px(p)+r-- -)-(p -r)2'

xg1= P3 -!P2 +-l P '

p(p - r)3x(p) funksiyasru sade kasrlors ayuaq:

ABCD,r\p)=i+ p_t+ A. Dz -t ,f ,

Aet3 ,3p2 +3p-t) t B(p1 -2p2 + D+C(p2 - p)+ Dp= p3 -3pz *3p,(.t + B =t, l.t-0.l-u-ru*c=-r. lu=,,lru*u-, *r=r, - l"=-,,[-r=o [r=,

Omsallafln taprlfitg bu qiynatlarini .r(p) funksiyasmn aynhplnda nezsra

alsa4

xtpl = ]- - -L.- * .-]-r ... . p. t Lp -rl, b .tyx(/) tesviruin orij161, -J- =rt, ) .. -n' , =) - =!t2"'p-t (p-t). b ty 2

x to= et - tet t!/r, = r, qt - 1 111

olar.633 (69i) X"'-2X" +X'=4, x(0)=1, ,r'0)=2, X'(o)=-2

p1p -yxr.p1=t-1t!)t,b-tr

352

ilalli x1r|= x(p), x'(t)=px(p)-x(0)= px(p)-r'

x"(r)= pzx(o px(o) - x'(o)= p2x(p)- p-2,

x"'1t1= p3x1p1- p2x(o)- px'(o) - x"(o)= P3x(p) - P2 -2p +2'

Tesvirlerin taprlrnrg qiymatlarini verilan tanlikda nezera alr:q:

p! xqpt - o2 2p+2-2p2X1p1+2p+4t pX(p). l=!,

4 *"-5' xrP;=P3' 5P +:p'X\D -2p'x\p)* pX(P)=i p.\p -r)-

x(p) kesrini sado kosrlera aYraq:

x@=i.1,fr,;pAel -zp2 + fi+ B(p2 -2p +l)+C1pi - p21+ Dp2 = p3 -5p + 4,

l,t +c =r, {n=t'l- zt, a- C+D=0, lB=4,))<lt 'za--s lc =-2'

[, =o [r=oOmsallam tapftmg qiymatlerini x(P) -nio aynl$Dda nataa alq:

142X(P)--1- --'"''' P pz P-\

X(p) tosYirinin or{inah X(r)-ni tapaq:

x(t)=3+4t-zet'634 (6gs). x"-x'=t2, x(o) =0, x(0)=l tanlivini hell edin

IIallL x1t!= X(p), X'(t)=px(D-x(o)= PX(p),

x"(t)=p2xQ\ pxlo)- .Y',(o)= p2x(il -', '' =j

Tesvirlsrin bu qiymotlorini verilon tanlikde nozore alaq:

p' x 1py -r - px e,t = \. x1e1= o'l:2 -- p" p \P-tt

353

x(p) iftdesini sade kcrlara ayrraq:..ABCDE^@,=i*7*7*7*;r'

A(pa - p3)+B(p3 - p21*c1p2 - p1+ o(p-t)+ Epa = p3 +2,

IA, E-0. lA = -1,l- e* s =t. la--2.ttI C-D--0, lD=-|.,[-, =, [, =,

Omsallann bu qiymatleini x(D frmksiyasmrn aynhgmda rnare alaq:

,.. -3 2 2 2 1

^w)= r -i-V_1, pt.1(p) tosvirinir orijinah X1t; -ni trpaq:

x1t1---t-zt-? -l** .

3

635 (64t). x'-x =t, x(0)=-1. Cavab: x(O=-t.

636 (650).X" =1, x(o)=0, x(0)-1. Camb: X1t1=1*!r2.

637 (652). X" + x =0 x(0) - l, x'(0) = 0. Carab: X(r) = cos r

63t (654). x" -2x'=etu x(o)=x(o)=0.

Cav-ab: n( )=i0 - 12', 2t 1 1.

639 (656). x"' + x' --t x(0)=x'(0)=x'(0)=0.Cavab: X(r)=r-sinr,

640 (658). x' + 2x' + x '- strlt, 1(0)=0, x(0)=-1.

Carab: X(r)=l(e't te-t - cnst).2'

641 (660). x"' + x' = t x(0)=0, 1'(0) = -1. ,r'(0) = 0.

Ca'rab: x (t'1 -lt2 - I + cos/- sitrr.

642 (662). x"' +2X" + 5X' =0 x(o)=-1 x'(o)=z, -r1o)=0.

Cavab: X{r) =\re-t snzt - le-' oosu -1.64 j (664). x' + X' =cgt, X(0) = 2, X'(0) = 0.

Cavab: x(r) = : + l(e-r -cos, + sitrr)." 2'

354

644 (566). x"'+X" =stnt, x(0)=x(0)=1, x'(o)=0'l

Cavab: x(r) - 2, r )(e ' + cos, sinr).

645 (665). x"'+x" =t, x(0)=-3, x'(0)=1, x'(o)=0

cavau: x<r;=|y' !r2 +2r-4+e-t.

646 (570). x|v -X" =colt, x(o)=0, x'(0)=-1, x'(0)=x'(0)=0.t

Cavab: x1r)-ilcosr+crr) 'r- l.

647(672). x'*i=r, x(o)=-l xlo)=0.Cavab; x1r;=t-2cost.

645 (574). x" - zx' + 5x =r- t, x(0)=x(0)=0,

Car"ab: x1r1 - |- tt-

)t *"u + ll su,2r.

649 (576). x"' + X" = cosr, X(0) - -2, x(0) = x'(0) = 0 '

ICavab: X1r;-' t- |{coet+sinr+e-tt

650 (67E). xIV - x" -1 x(o) = x'(0) = x',(0) = x'(0) = 0

t.C,avab" x(,)=cht :t" -l'

651 (5E0). x" - x' = kt , xQ)=x'(o)=0.

Calab: x(r). "trl-t rll't -l652 (682). x" + 2x' + X = t, {(0) = x'101 = e.

Cavab. x7t1-ze-t +te-t tt- 2.

65i (584). x" - x =alr;,.t x(0) = -1. x'(0) = 0 .

Cavab: xul - - f "' -1" ' -r;"nt '

654 (686). x" + X =zsitr.r x(0):1, x10) = -l '

Cavab: x(r) =cos, .rcosr'

655 (ftEE). X" + ?X' + X = 2cos2 t ' x(0)=x'(0)=o

Cavab: x(,)=l'Jr"' -9r*-' - fi.or:r' fit,rrzr'656 (690). x" + X =,et +43int, x(0) =X'(0)=0'

Cavab: x(0 = |( - l)er + ]sosr

+ 2sinr - 2tcost '

355

657 (692). x" + x' = sin2 r, .t(0)=0, x'(0)=-1.

Cavab. x (t) = zt - z* :" -' - ](rio zr * z* s zt * ze'')." 5\658 (694). X" - 3x' + 2x :et , .r(o)-r(o)=0.

Cavab. X1t1= el -et -1at.

659 (696), x"' + x :Lf et , x(o) = r,(o) = -r,(o) = o.

cayab: xtr=!,,(,2-1,* 1) ,t -i, E^^,,8. ^^,8., t --t4 \ 2r+ 1e'\"lssw-t - s)s -tt- -e ''

6il (69E). X" + n2X = qsin{nt + q),,r(O) = X'(O) =0.

Cauab, X O = 4[sinrrrcosa - ldc6(r/ r- a)].2n'

661 O^q. Xn +2x" +x = t io,t x(0)=x'(0)=.r"(o)=x"(o)=0.

Cauab: x1q= . L13rcosr + 1r2 -3;sin4.

662 (701), x' - 2d{' + 1a2 + p2yx =0, x(0):0, x,(o),=1.

Cawb'. x(t= Led nBt."p663 (702). x" + ax = sirr, x(0) -,r'(o)= o.

Cavab: -Y (rl = lsinl - 1sin zt.-- 3 6

664 (703). x"' + x' =et , x(o) = x,(o) = -rID = o.

Cavab: X(t\=Le, !., l*r1- 1r6y.'- l0 2 5 5

665 (704). XIV +Xt" =costt x(0) =x(o)=x'(o)=o, x-,(o)=y.

Catab: x14=v-12 +0 /), + (/ - t) + ( !- rv-' ,j,"o", ,ro.

666 (?05). x"., +x = sinirsin f r, x1o; = t, x'(0) = 0.' 2 2'Cavab: x rrl - 9ar2r - ]*, r + ]"o" 2r.-' 80 I0 16

667 (706). xIV -sx,'+tox,-6x *0, x(o)=1, x,(o)=o,x"(0)=6,x"(0)=-14.

Cayab: x(l) = er(cos, + sin, - l1* I

"-r,.2.2668 (707), X" +X'+ X =tet, x(0)=x,(o)=0.

Cavab:

69 (70E).

Cavab:

670 (709).

Cavab:

671 (710).

Cavab:

d72 (7tr).

Cavab:

673 (712).

Carabl

X,,, + X =|,

356

x <o = !;' t2 a*f , * f "nf ,> * l<,

- w' .

X'+ X =toost, X(0) = -f (0) = 0

X@ = !41t2 smt + tc,os, - sinr)

x"'+3.X" -4x -0. x(0)=xto)=0, x10)=2.

xl)=ld -r-2'Qt*t)).

t{"' +3X" +3x', + X = 1, ,Y(0) " X',(o) - x'(0) = 0

xot =r-,-'[11*r * rl.\r )

x(0)!x(0)=/10)=0.

x(t1=r-!;r -?"'l'**r.x' + a2x =4r1(t)-40-b)1' x(o)=x'(o)=o.

x $1 = \1st? !,1 61 - m2 9!:9 11 s - t17.

Sz/. XOTTI ADi Dtr'ENENSIAL TANLI<I-OR SISTEMiNiN" OPERASIYAfiSULUII.O HALLI

Szbit emsalh xatti difercnsial tenhHor slstemtntn operaslya llsulu ila

halli, bir adi diferenslal tenliln halllrda oldu{u Hmt apanhr' -

htaq k, iilwi tartib di/erenstal ta tHar ststeml vettlmisdir:

F=,1**.t,,**"n*)';;u, ('=t'2'"'n) (t)

bur& ai1,, bik, cib=const. Baslanpc qattlarl:

x1(0)=aP' 4@) = 0rOperator tanliklare keganda tasvirlari tty$un olaraq *tb)' FtQ)

isara edakOperator tanliklar sisteni aSapfuh qavla d'nS r:

LQ *02 + b p n + o11t,rl = 4 <rl * .!l@,7 p + t*p o + a * a *) Q -- t'z"n) ( i)

k=i k=r

a)kimi

357

(i) sistemini x"tti cabi tanliklar sistemi Hmi hall edarak xk(D tasyirlarinitaptb, sonrq rygun oloaq 4(1 G =1,.2,...,n) orijinallarmt tqrq.

fx'=3@-r+z\,lr" =,-,.1,, = -,.

r(0)=r'(0)=0,

/(0) = o, /'(0) = -1,r(0) = l, z'(0) = 0

(l)

Q)

(1) tonlikbr sisteminir (2) ba.plangc aertinda hellini tapm,

HallL x1r) = 4A , y@ = yQ) , z(,) = z(D qebul etmokle o,perator

tanliklari yazaq:

lc2*til =tb4tt -,{p) + z@)L

1P2Y(P) ' l={P)-Y(P)'t,

lP- 2\P) - P= -z'

Bu sistemi x(p), yQ), z(p)-ya nozerrn holl etseh alanq:3(, - l)tt'D=_;-"'

P2 (P2 *4)'3(p-l) I

'\Pt'--",' p2@2 +\gt2 +4) p2+t'

4D=-:-p'+lr(p)-oin orijinaL::r tapaq. Ona gdro onu sads kesrlors aylraq:

. 3(r-l) A B Co+Dr\P., = ---;----=- = - T --; i _-r

p'(p'+4) p p' p'+4A(p3 + 4p)+ B(p2 +4)+Cpx +op2 =3p-3,

l,t +c =0,

la*o=0,

14A=3,t48 = -3

2

A= 1,4

a =-1.4'

_3-4'

t4

674,

35E

Omsallann qiymetini aynhgda nozare alaq:31 31 3 D 3 Ix(D)= ------ +- r_: i--''' 4p 4pz 4pr+4 4pz+4

'rrt= f - 3-t - lcosl - lsinzr.'" 4 4 4 E

indi lpl tesvirinin orijinaltm tapaq. Ona gore yipl fimksiyasm sada

kosrlora alraq:

3o -3 A B,t, pr(p, + l)(p2 +4) p p2

Cp+D . Ep+ Fp'+l p'+4

*tp31*n(po *tp2)*A(ps +5pl +4p)+ B(pa +5P2 +4)+C(P5

t t1p5 + p31+ r(1,n * p')=.3

A+C+E=0,B+D+F=0,5A+4C+E=0.58+4D+F=0,4A=3,48 =-3,

p -3,?

"4'1

8=-1.4

C =t,D=1.

p = --1.4

-14

Omsallann bu qiymotini /(P) aynh$mda nezero alaq:

. 31 3l P | 7 P I ItGl= o- 1j,7;rl;- s}A- 4F.4

71p) funksilasrnm yO orijinalt33 11

,(r) = '- - ;, + cos, + sin, - 5

cos 2, - 4

sin2r'

z(P)= z(t) = c$t '

fr'+v=O-675 (75q.I'y,-+v,-=l' n =,, .(0)=-1 tanliklarsistemini holledin

Halll Opentor tanliklari Yazaq

359

prQt)-r+ y(p) =0,

Fr@)+1+ x(p) =0,

rtl,(p)=;. l,tr)=,, .( ?<lyo)=--t lvo= -"'I P- I

r(0)=r(0)=r'(0)=0 tonliklor626 (760. [r'- y' -2x+2y=t-2t,lr'+2y'+x=O,

sistemrnin hallini tapm.EaIIL Optaor t4,nlikleri yazaq:

I Pr(P)- w@l - 2x(P) t zv1p1= L 2-'

1 ,,',lp2 r1p1 , z py1p1 * ,1p1= g,

[ro - rorr, - to - r)y{ d = +.1e'l1p2 -r1xQt1+ zpy.p1= o.

L\D- y{p)-ya noz,rsn cabri tanliklar si*emini hatl edsrsk. tapanq:

'(pl = l-, y\-p) = ;P 't ; .

po + t)' P'(P t t)'{p)-nh ifr.l.sini sade kasrlara ay,aq:

.ABCr(p)= ---: . =" r:. t -i--;.p(p+l)' P Prr (p+l)-AQt2 +2p+l)+BQt2 * p|*Cp = 2,

fe. a=0. (A-2.lljz,t+t+c=0, + la=-2.le=2, [c = -z

Omsallann qiymetini aynlqda nczere alaq:

t(p)=?- 3--=-?---, r(t) =z - ze-t -2!e-t.o p+r (p +t)..y1p; -nin ifadasini sade kesrbre ayrraq:

. -p2-r A B c D,\P) = ----------= =. 7 -; r

- ' -----------=-.

P'(p+l)' P pz P+t \p+l)'A(p3 +2p2 + p)+B(p2 +2p+t)+C(pl + p2y * Dp2 =-pz -1,

360

[,t+c =o,lz,q,*B*c*o=-t,i:)lA+28=o,I

[8 = -1,2122y(p)=1- :-- -. --, t4t) =P p' P+t (P +1)'

{A=2.

l, = -,.1, =-r.lo=-r.

2-t-2e-t -2te'

(-' - _,,677 (762).

l'r,-=r1- rr, r(o)=y(o)=t t flliklor sistsminin h5llini

tapm,flalll Oprator tantiklsri yazaq:

r(r) = x(p), y(t)= y@),

r(O=px(p) -r(o)= Px(D -1, y'(t)= py(p) - y(o) = p(p)-t

Bu qiymetleri sistemdo nszers alaq:

I px(P)+ AP)=t.\PY( P1- zx1P1- zY1P1=1'

x@) ve y(D ye Lzaron cabri teolikler sistemini hall edorek, tapanq:

D-3 P+2xlP )= _.-, Y\P)= _a-'

p'-2p+2 P' 2P+2

x(D, lD funlsiyalarmm orijinallam apaq:

ro\= -1- = o-!. - ', = er cos r - 2er sinr,(p-l)'+l (p-l)'r I (P-l)'+l'

,tol= Pr! -- P-.' * 3. -et .j.Jst+3et srnt.

\p- l)z +l (?-1)' +l (Jr-l)'+ IBelalikls, x(r)=er(cosr-2sinr), 7(r) = er1co31q rsirr) orijinallann alurq

ly'= -y - z,

678 (766). lr'=-*-r, x(o)=-t, v(a)=a, z(o)=l tsnliklor sisteminin

1,,=-,-,hellini tapn.

Holll Orflrl;lor tanliklari Yazaq:

x(t)= x(D , YO= fD , z(t)= z(P)

361

x'(t)=px(p) - x(o) = pt(p)+r, y'(t)=py(D - t<o) = pt@),

z'(t)= pz(D - z(O) = pz(A -1.

Bu qiymatleri sistemds nezera alaq:

I pxQt) + y1p1 t z1p1= -1,I

1xQ,) + wQ) + z(P)=o,

lx{P) + YQt) + Pz(P)=1.x(p), y(D,z(p)-W nezersn xati cebri tenliklor sistemini holl ederek,

g<isarilsn tawirleri tapaq :

,Ot= -!, x(0= -etp-lv(p)=o, At)=o,

z(p)=) ., z(r)=et.P-lr,

679. (759) lx+x =v+ e''

r(0)=/(0)=l.lY*Y'=*'"''

C-ar|'ab. x(t)=et, Aq ="t .

6 E0 (76 t) Il ;i',:T !! r: : r;': r,,(o) = r,(o ) = r,( o) = 0. y(0) = |

Car,ab: -r1ry =l1e'I -"3' +2t 3t1, 14t7 =\1s"' -"3'-2t"3'y.

lr'=-x+y+z+et,681 (765) ]t'=r-t*r*"3', {0) = /{o) - z(0) -- o.

lz'=t+y+z+4,t

Cavab: rrtt=--!e-z *p"t -2*!", *?"2, -j-,"1'-'' 15 12 6 3 20

"o= L"-u ,D". -2-!"' *?"2' *L"t'.t5 12 6 3 20

,1q=-D"-'-!r, ,lrtu * 1."3, ."t22-34

lr'=y+2,68206n )y'=t,*,.

lz' =tx + y,

c;rvab: t1D=1@11 -e-h),fr'=3v - x.

6E3(768)L' 'o,ly.=y+x+e ,

r(0)= 0, rr(0) = 1, z(0)=1.

y<r) = i}"t' * z"-tu), "O =l(3e1t + \e-tu 1.

r(0)=1, /(0) =1,

!n-2t ot-Aav} kdLavab: r(r) = ---)*'-4lZ;; *

o2 4,.. "-2' 0l-4ats'l (a+l1ed

l\t)=- *ua+ orr. o, * or.+'(x'=2x-y+2,

6s4 (76s) ly' = *, ,.lz'=-:r+y-22,

Cavab: x(r)=2'e-t , y(t)=2- "-t , z(t)= ze-t -2 '

fx'=-2x-2Y-42,6S5 (770) ),/=-2x+t-22, x(o) = l0) = z(0) = I '

lz'=5r+2y+12,Cavab: x14 =6s' -"\ ' 4r3' , y(t) =3et -21t, z(t1=6au *"\ -6'' '

s2s. Bozl RfYAzl rlztKA ToNLIKLORININ oPERASIYA' 0suLUlLaHoLLi

Ancaq lki x vo t dayiSanlntnden asit t tltwartn halli tla magSul olaq'

Burada i-a faza laordinan, t 'ya iso zonan hmi bannq'Masalan i sfilild<egltma tanliyina bomq:

au , O2u": =oz-* f (x.t\dt afq2-sabitdir.

(t) tanliinin binnci sarhad masalxina bcaaq

0<x<1, t >O olmaqlau(x,O) = q(r')

r(0)=1, /(o)= 1, z(0) - 0.

(1)

( I ) dife re nsi a I txliyi ni n

(2)

762

363

baglandrc,

u(O,t) = tt4r), u(t,t) = V2e)sarh Saftini ddayan u@,t) hallini tapnnh

d2u( x,t\u(x,t), :-:;1:, f(x,D fuirlxtyalarva oijinal hmi

lunblasnffi tasviico

uQt,)= lu@.t)e- Pt dt (4)0

kimi i;aro edilmi;dir. Mo0u ;du _", - du*-!*" "o'=;'

02u d2o

rt- d-,olar. Orijinalu diferensiallanmast teoremina nezarantafilen d@ilinde

Au.at=

pl -d.x) (6)

yamnq. Qabul edak H, WO, tt z(t) orijinallqrdtr va tasyirlar

w!)=rn@), v2e)=v2@)

yanhr. Onfu (i) serhd Sartlarina asasen

(3)

bacaq. u@,t)

6)

va (2) baslangrc

o)

liul__o= vt@t , ,1,

= "=

wze) (B)

dofirudur. Belalikla, operaslya suluna nazaran (l),(2),(3) masalasi

',62uo' "-tu+e(x)+F(x,fi=A e)

dferensial tanliyinin hallina geirlir. Burada F(x,p) = f(x,q kimi i;ara

olurvnuqdur. (9) tanliyini hell edarak u@,t) funk iyastht tarytq. Analojiolaraq basqa istilikkegt rme tanlilcleri va simin raqs tanliklan- hall-oluntr.

364

Aq&doh sinin raqs tanliklorinln hellina baxaq'

ifi Si, x=0, r=1 ndqtclerinda berhdilmigdir' BaSlanltc aarti

u\r,q = AsnE (o<r<I)

veriln$dir. Ba$anlrc siiEt slfra borabordir' I > 0 olduqda '(''') meylini

tapmth,Xalll Mesala

o2u I O2u

;r=?&d dz(r.O) ^,(r.0)=,4sn-,

O, -=u

u(O,r)=u(',')=O (l2)

odsyen hellinin tapilmasma ptirilir' Oger tasvire kegsak,

* 4,= 4"^*, (r3)a' o'

(10)

(11)t nliyinio

ballarErc

sarhed gertrni

yanaq:

liul -ul -0l'=o ,r=r

(13) bnliyid hel stsalq alanq:F

u(x, P) = qe a +'2e

(14) srhed qertlerini nezare alsaq, taparq:

u<''t>=--4 .1"*]p-,

t2

Bu finksiYamn orijinah

u(x'O='toosffsmf

kimi olur. Bu da qolnrlau mesolanin helli olur-

A1a$doh riisusi tdromeli dfereruial tenlikldn hdll edin:

Uz Otel.!=xfr (r>0,r>0), r(o,r)=,,0, s(r'o)=o

(14)

(t)

' " 'f "-" *1.Cavab:u(x,tl=uoll- h| '" o

)

dss (t2o). * = -# (r>er>o), z(0,0=0,

r

Cav ab: u(x,t) = u, ft'T "- "' * .

e(r,o) = lJt .

6tg (S2I). *=-# (.r>0,r>0), u(o,r)=as6s61, (r,o)=0.

r;cavab:u(x,r) = re "lX r O -,ffi) - iio;

a ".,fr . TipO690 (522). *=-* (r>0,r>0), u(o,t)=asinox,, r(r,0)=a.

(t;\cavab: ztr,o =

{e-' I u

"irlr, -, E t + 9'1 "-

c' "1", f #, )

691 (523). *=* U& (x>0,r>0), u(o,t)=e<t),, z(x,o)=0.

_K2Czv ab : u(x, t\ = -L!^rf f

* .

356

O D OB IYYAT

l Hebibzade O. Kompleks deyiganli ftrnlsiyalar nezeriyyasi. Bakr,

1952.

2. Kpacnos M.JI., Kncener A.1I., Maxapemto f.H. Oyusum

xoMrurexcHoro [eIFMeIrHoro. onepal[rororoe ncsnclerure, Teopnr

ycmtumoora. - M,: Hayxa, 19E1,

3. Errpa$on M.A., Craopos IO.B., ilreaeprcx M.B., IIIa6ymr M.H.'

Boranos K.A. C6opmx 3a,qaq tro reoptrn auarxtrrq€cruD(

Qym<wn.-M.: Hayxa 1969.

4. EnrpaQoa M.A. Ana.nrmlqecxxe rlyrxrgxr.-M.: Hayxa, 1965.

5. Jlarperrmea M.A., IIIa6sr E.B. Mcro.Er reopw t[ynoum

roururer@Hom [epeuerroro.-M.: Hayxt, 1973,

6. Ilproanon I4.H. Bregeaue B reopnlo $ytrss{fi xoMrrrercHono

repeMeruoro.- .-M.: HaYo, 1977.

7. Bonxosucnd I.H., Iynq f.JI, Apauaxosnu H'I. C6oplux sagav

no reoplnl auanarflqecloo< rpynxr4nr.-M.: Hayx4 1970.

367

M [TNDaRi CA T

GiRr_S ... ..... ....I BOLMO

$t. Kompleks odedler92. Kompleks sdedlor tiaerinde hesab amolleri ..........., . . .

$3. Modrlua va arqumemin xassaleri$4. Kompleks odedden k6kalma . ..., ... .

$5. Kompleks ededlcr ardrcrll[r. Riman hiLresi......06. Kompleks miistevido oblast vo oyriler ...............................$7, Kompleks deyigcnli funlaiyalann limiti ve kesilmozlivi ...$t. Funksional srm|ar.............iS. Elementar transse"d-t fr,"I*;y"hr ........... ..... .._... .........g 10. Kompleks deyi$enli firnksiyalafln t6ramosi .......................gI l. tlarmonik fiuksiyalar ....... ...........$ I 2 . Tilrammin modulu vt arqumenti$13. Obhstlann konform inikasr .. ..g 14. Kompleks deyiScnli frrnlsiyatann iuteqrah ...,.................,..$15. Kogircoremi...........................$16. Ko;idn hteqral diisU.ru. Liuvil teorerni

tl? Anatitk lmFilalann modulunun maksimum prinsipi .....$ I E Analitik ftnlsiyalann q[wct sras"a aynhlr .......,. _...._...gl9. Yeganelik tmremi ve analitk davam un V,i, .. .. .. ... ....$20. Analitik davamra miiudelif tisullan, Veyer$trass iisufu ......$21 Riman-gvars simmetriya prirsipi . . . .. ........ .... ........ .....922 . Analitik davam iigitn dayigenlerin svoz edilmssi tisulu . . . . .

923. $vars prinsipi ...,................,......

924. IJmumilsEnig simmetriya pdnsbi ........ .. .. .. .

$25. Alt ardcrllq [sulu ...................$26. A@litik fuDtsiyanrn bir veroqlilik oblastr .........................$27, toran srrasizt irore eailmis -r*"*i roqt"r..i, ;rrfe :.........................929. Meromorf fu nksiyalar ..,..........930 Tam fiulsiyalar haqqmda Veyergtnss teor€id$3 I . Meromorf fiurkiyalann polyuslanna gdro aynlryr

iigunKoqiteoremi............., . .,.932. Meromorf funksiyann aynlqr ...........,...............933. Qr:oqlar n02ariyy0si .................

3

4

4E

l0t2l417

2025

3lq4t5t55

576l6t74

7687n94100

102103

106

t07l0tIlE12r123

127l3lt32

$1.02.$3.

$4.$5.$6.$7.

0E.

$e.$10

36t

II BOLMOii.irl"t" .a.O* va onlar tzerinds onraller " """" '

xomoleks deyi$nli fimksiloiL.'riit. aryinti esas eierneotar fitoksiyalar " ""iiorir"f.. arvii.nti firnksiyanrn limiti " "" ' "'i".ii"f" .tai,hgrn yrsrlrnasr 09iin kafi.Plii"iii"r.t o+p,l firnGivanrn kesilmedivi " '

[l'iiiili* iiiir"ti nr*iivamn toremasi Kosi-Riman

sarti ........ .......,..tLr.r", *"Jrtunun ve arqumontinin hsndasi msnast "

iiip-r"r. U.ylp"ti ftnksiyaon inteqdt "" '':'- j "'' '

b'l-]i1v";,r;ir;*sivanrn birqivmstli buda$ Budaqlanma

nOqtolsriKoqinin inteqral diisuruKompleks oblastda sralar "" " '

Qiiwrt sraslTevlcr va Loran stralan " '

Funksiyamn srfulan " " ""'izolo edrlmh mexsusi n6qte

FunkriYanm gtxltCrxolar haqquda Koli teoremI^il, ,r-ii".tns noqoye goro ffuksiyarun gur$. " - "

l:"^;tr;;;;" inteqral-rn tresautannasuu tetbiqleri "

Ifrilr.t i.J.i"vi ilo bszi srralann csminin tap mas" '

G;t"it g*i. Arqument prinsipi Rugye teoremt

Konform inikas anlaYD: ) + tXetti l"t,=a+b,fi=! ve kesr xatb l4=;;d

141

141

157159169

t70173

176Ir5tE7

r90195

2042072lo2342392492622702n2E42t5292

$ugrz

013.$14$15

$16$17!18$le$20$21

|.22923924.

furksiyalan ile aparrlan konform inikaslar

625. Oriiirela nczoon tawirin taorlrnasl " " '

ffi. ;ffi-;ffili--uai aie"'i*iut tonlikler uctn Koti

mesolesinin halli " "'Ezz.'ili'"aT ali","i,ia

"oriltrnt sisteminin operasiya irstrlu

i-la halli '

pt "srri ;)r- fizika tenlklerinin operasiya [sulu ile holli "

ODOBTYYAT

3003M

333

356362366

Qapa imzalanmrgdr: 15.03.2010.

Kafirz formatr 6Ox84 | 116, gap varaqi 23,2

tiraj 300, sifarilNs'q!

<Ozizo[lu - H> MMC metbasinde

9ap olunmugdur