kompleksna analiza

Kompleksna analiza

Bilješke s predavanja prof. dr. sc. Dražena Adamovića u akademskojgodini 2011/2012. Po istim ili sličnim predavanjima su predavali prof.

dr. sc. Goran Muić i prof. dr. sc. Liljana Arambašić.

Natipkao: Petar Mlinarić

Sadržaj

Sadržaj

1 Kompleksne funkcije 1

2 Lokalno uniformna konvergencija 10

3 Redovi potencija 14

4 Laurentov razvoj 19

5 Izolirani singulariteti 22

6 Reziduumi 24

Literatura 29

Indeks 30

1 Kompleksne funkcije


Definicija 1.1 Definiramo skup kompleksnih brojeva C := R2 sa operacijama zbrajanja imnoženja

∙ (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2), ∀𝑥1, 𝑦1, 𝑥2, 𝑦2 ∈ C,∙ (𝑥1, 𝑦1) · (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2, 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1), ∀𝑥1, 𝑦1, 𝑥2, 𝑦2 ∈ C.

(C,+, ·) je polje. Neutralni element za zbrajanje je 0 = (0, 0), a za množenje 1 = (1, 0). Inverzproizvoljnog kompleksnog broja 𝑧 = (𝑥, 𝑦) = 0 je

𝑧−1 =

(𝑥

𝑥2 + 𝑦2,− 𝑦

𝑥2 + 𝑦2

).

Kompleksni broj (𝑥, 0) poistovjećujemo sa realnim brojem 𝑥, a (0, 1) označujemo s 𝑖. Tako dobi-vamo

(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0) + (0, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 · (0, 1) = 𝑥 + 𝑦𝑖.

Za kompleksni broj 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 realni broj 𝑥 nazivamo realni dio od 𝑧 i označavamo s Re 𝑧, a 𝑦imaginarni dio i označavamo s Im 𝑧.

𝑥

𝑦

|𝑧|𝑧

𝜙

Definiramo apsolutnu vrijednost kompleksnog broja 𝑧 sa|𝑧| =

√𝑥2 + 𝑦2. Vrijedi 𝑥 = |𝑧| cos𝜙 i 𝑦 = |𝑧| sin𝜙, gdje je

𝜙 = Arg 𝑧 ∈ ⟨−𝜋, 𝜋] (argument od 𝑧). Vidimo da je 𝑧 =|𝑧| (cos𝜙 + 𝑖 sin𝜙), i to zovemo trigonometrijski oblik kom-pleksnog broja 𝑧. Oznakom 𝑒𝑖𝜙 = cos𝜙 + 𝑖 sin𝜙 dobivamoda je 𝑧 = |𝑧|𝑒𝑖𝜙. Adicijskim formulama se može pokazati da je𝑒𝑖𝜙1𝑒𝑖𝜙2 = 𝑒𝑖(𝜙1+𝜙2).

Uočimo da za svaki 𝑧 ∈ C vrijedi |Re 𝑧| 6 |𝑧| i | Im 𝑧| 6 |𝑧|. Također za sve 𝑧1, 𝑧2 ∈ C vrijedi|𝑧1 + 𝑧2| 6 |𝑧1| + |𝑧2| (nejednakost trokuta).

Za 𝑧0 ∈ C i 𝑟 > 0 definiramo otvorenu, odnosno zatvorenu kuglu s centrom u 𝑧0 radijusa 𝑟sa

𝐾(𝑧0, 𝑟) := 𝑧 ∈ C : |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟 ,

odnosno𝐾(𝑧0, 𝑟) := 𝑧 ∈ C : |𝑧 − 𝑧0| 6 𝑟 .

Niz (𝑧𝑛)𝑛∈N kompleksnih brojeva konvergira kompleksnom broju 𝑧0, oznaka

lim𝑛→+∞

𝑧𝑛 = 𝑧0,

ako(∀ 𝜀 > 0)(∃𝑛𝜀 ∈ N)(∀𝑛 ∈ N) 𝑛 > 𝑛𝜀 ⇒ 𝑧𝑛 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝜀).

Neka je 𝑧𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑖𝑦𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 ∈ R, 𝑛 ∈ N0. Tada je

lim𝑛→+∞

𝑧𝑛 = 𝑧0

ako i samo ako jelim

𝑛→+∞𝑥𝑛 = 𝑥0 i lim

𝑛→+∞𝑦𝑛 = 𝑦0.

Podskup Ω ⊆ C je otvoren skup ako

(∀ 𝑧0 ∈ Ω)(∃ 𝑟 > 0) 𝐾(𝑧0, 𝑟) ⊆ Ω.

Napomena 1.2 Nadalje će Ω uvijek označavati otvoreni podskup od C.

1


Skup 𝑆 ⊆ C je zatvoren ako je C ∖ 𝑆 otvoren. 𝑆 ⊆ C je ograničen ako postoji 𝑀 > 0 takav daje 𝑆 ⊆ 𝐾(0,𝑀). 𝐾 ⊆ C je kompaktan ako je zatvoren i ograničen.

Kažemo da je otvoren skup Ω ⊆ C povezan ako za svake dvije točke 𝑧, 𝑤 ∈ Ω postoji neprekidnopreslikavanje 𝛾 : [𝑎, 𝑏] → Ω (put) takvo da je 𝛾(𝑎) = 𝑧 i 𝛾(𝑏) = 𝑤.

Otvoren skup Ω naziva se područje ako je Ω povezan. Ukoliko Ω nije povezan, može se napisatikao unija disjunktnih područja.

Funkcija 𝑓 : Ω → C je neprekidna u 𝑧0 ∈ Ω ako

(∀ 𝜀 > 0)(∃ 𝛿 > 0) 𝐾(𝑧0, 𝛿) ⊆ Ω i 𝑓(𝐾(𝑧0, 𝛿)) ⊆ 𝐾(𝑓(𝑧0) , 𝜀).

Definicija 1.3 Funkcija 𝑓 : Ω → C je diferencijabilna u 𝑧0 ∈ Ω ako postoji kompleksan broj𝑓 ′(𝑧0)

𝑓 ′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)

𝑧 − 𝑧0.

Napomena 1.4 Neka su 𝑓, 𝑔 : Ω → C funkcije.

(i) Ako je 𝑓 diferencijabilna u 𝑧0, onda je 𝑓 neprekidna u 𝑧0.(ii) Ako su 𝑓 i 𝑔 diferencijabilne u 𝑧0, 𝜆, 𝜇 ∈ C, onda

(1) 𝜆𝑓 + 𝜇𝑔 je diferencijabilna u 𝑧0 i

(𝜆𝑓 + 𝜇𝑔)′(𝑧0) = 𝜆𝑓 ′(𝑧0) + 𝜇𝑔′(𝑧0)

(2) 𝑓 · 𝑔 je diferencijabilna u 𝑧0 i

(𝑓 · 𝑔)′(𝑧0) = 𝑓 ′(𝑧0) 𝑔(𝑧0) + 𝑓(𝑧0) 𝑔′(𝑧0)

(3) ako je 𝑔(𝑧0) = 0, onda je 𝑓𝑔 diferencijabilna u 𝑧0 i(𝑓

𝑔

)′

(𝑧0) =𝑓 ′(𝑧0) 𝑔(𝑧0) − 𝑓(𝑧0) 𝑔′(𝑧0)

𝑔2(𝑧0)

(iii) Neka je Ω′ ⊆ C otvoren, ℎ : Ω′ → C, 𝑓(Ω) ⊆ Ω′, 𝑓 diferencijabilna u 𝑧0, ℎ diferencijabilna u𝑤0 = 𝑓(𝑧0). Tada je ℎ ∘ 𝑓 diferencijabilna u 𝑧0 i

(ℎ ∘ 𝑓)′(𝑧0) = ℎ′(𝑓(𝑧0)) 𝑓 ′(𝑧0)

Teorem 1.5 (Cauchy1-Riemannovi2 uvjeti) Neka je 𝑓 : Ω → C, 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦)+𝑖 𝑣(𝑥, 𝑦),𝑢, 𝑣 : Ω → R. Funkcija 𝑓 je diferencijabilna u 𝑧0 = (𝑥0, 𝑦0) ako i samo ako je (𝑢, 𝑣) diferencijabilnau (𝑥0, 𝑦0) i ako vrijede Cauchy-Riemannovi uvjeti:

𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0) =

𝜕𝑣

𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0) i

𝜕𝑢

𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0) = −𝜕𝑣

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)

Dokaz:

𝑓 ′(𝑧0) = 𝑎 + 𝑖𝑏

⇔ lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)

𝑧 − 𝑧0= 𝑎 + 𝑖𝑏

⇔ lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0) − (𝑧 − 𝑧0) (𝑎 + 𝑖𝑏)

𝑧 − 𝑧0= 0

⇔ lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0) − (𝑧 − 𝑧0) (𝑎 + 𝑖𝑏)

𝑧 − 𝑧0

= 0

⇔ lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0) − ((𝑥− 𝑥0) + 𝑖 (𝑦 − 𝑦0)) (𝑎 + 𝑖𝑏)|√(𝑥− 𝑥0)

2+ (𝑦 − 𝑦0)

2= 0

1Augustin-Louis Cauchy2Georg Friedrich Bernhard Riemann

2

http://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann


⇔ lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

⎛⎝𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑢(𝑥0, 𝑦0) − 𝑎 (𝑥− 𝑥0) + 𝑏 (𝑦 − 𝑦0)√(𝑥− 𝑥0)

2+ (𝑦 − 𝑦0)

2+

+ 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑣(𝑥0, 𝑦0) − 𝑏 (𝑥− 𝑥0) − 𝑎 (𝑦 − 𝑦0)√

(𝑥− 𝑥0)2

+ (𝑦 − 𝑦0)2

⎞⎠ = 0

⇔ lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑢(𝑥0, 𝑦0) − 𝑎 (𝑥− 𝑥0) + 𝑏 (𝑦 − 𝑦0)√(𝑥− 𝑥0)

2+ (𝑦 − 𝑦0)

2= 0

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑣(𝑥0, 𝑦0) − 𝑏 (𝑥− 𝑥0) − 𝑎 (𝑦 − 𝑦0)√(𝑥− 𝑥0)

2+ (𝑦 − 𝑦0)

2= 0

⇔ 𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0) =

𝜕𝑣

𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 𝑎 i

𝜕𝑢

𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0) = −𝜕𝑣

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0) = −𝑏

Primjer 1.6 Promotrimo 𝑓(𝑧) = 𝑧 = 𝑥− 𝑦𝑖. Vidimo da je 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 i 𝑣(𝑥, 𝑦) = −𝑦. Uočimo

𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦) = 1 = −1 =

𝜕𝑣

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦) .

Dakle, 𝑓 nije diferencijabilna niti u jednoj točki.

Definicija 1.7 Funkcija 𝑓 je holomorfna (analitička) na Ω ako je diferencijabilna u svakoj točki.

Korolar 1.8 Neka je 𝑓 : Ω → C, 𝑧0 ∈ Ω i 𝑓 diferencijabilna u 𝑧0. Tada je

𝑓 ′(𝑧0) =𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖

𝜕𝑣

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0) .

Korolar 1.9 Neka je 𝑓 : Ω → C. Pretpostavimo da parcijalne derivacije od 𝑢 i 𝑣 postoje i ne-prekidne su na Ω, te da zadovoljavaju Cauchy-Riemannove uvijete. Tada je 𝑓 holomorfna na Ωi

𝑓 ′(𝑧) =𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑖

𝜕𝑣

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦) .

Teorem 1.10 (Lokalna konstantnost) Neka je 𝑓 : Ω → C diferencijabilna tako da je 𝑓 ′(𝑧) = 0, zasvaki 𝑧 ∈ Ω. Tada je 𝑓 konstantna u okolini svake točke 𝑧 ∈ Ω. Ako je Ω područje, onda je 𝑓konstantna na Ω.

Dokaz: 𝑓 ′(𝑧) = 0 ⇒

⇒ 𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑖

𝜕𝑣

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦) = 0,

𝜕𝑣

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦) − 𝑖

𝜕𝑢

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦) = 0

⇒ 𝜕𝑢

𝜕𝑥,𝜕𝑢

𝜕𝑦,𝜕𝑣

𝜕𝑥,𝜕𝑣

𝜕𝑦≡ 0

Realna analiza funkcija više varijabli povlači teorem.

Definicija 1.11 Neka je 𝛾 po dijelovima glatki put u Ω i 𝑓 : Ω → C neprekidna. Definiramo

∫𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 =

𝑏∫𝑎

𝑓(𝛾(𝑡)) · 𝛾′(𝑡) d𝑡.

Lema 1.12 (Fundamentalna ocjena) Neka je 𝛾 : [𝑎, 𝑏] → Ω po dijelovima gladak put i 𝑓 : Ω → Cneprekidna. Tada je

∫𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧

6𝑀𝑙(𝛾) ,

3


gdje je

𝑀 = max𝑧∈𝛾([𝑎,𝑏])

|𝑓(𝑧)| i 𝑙(𝛾) =

𝑏∫𝑎

|𝛾′(𝑡)|d𝑡.

Dokaz: Označimo𝐼 :=

∫𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 ∈ C.

Ako je 𝐼 = 0, tvrdnja lako slijedi. Pretpostavimo da je 𝐼 = 0. Tada je

𝐼 = |𝐼| 𝑒𝑖Arg(𝐼).

Vrijedi

|𝐼| = 𝑒−𝑖Arg(𝐼)𝐼 = 𝑒−𝑖Arg(𝐼)

𝑏∫𝑎

𝑓(𝛾(𝑡)) 𝛾′(𝑡) d𝑡 =

𝑏∫𝑎

𝑒−𝑖Arg(𝐼)𝑓(𝛾(𝑡)) 𝛾′(𝑡) d𝑡

=

𝑏∫𝑎

Re(𝑒−𝑖Arg(𝐼)𝑓(𝛾(𝑡)) 𝛾′(𝑡)

)d𝑡 6

𝑏∫𝑎

𝑒−𝑖Arg(𝐼)𝑓(𝛾(𝑡)) 𝛾′(𝑡)

d𝑡

=

𝑏∫𝑎

|𝑓(𝛾(𝑡))| |𝛾′(𝑡)|d𝑡 6𝑏∫

𝑎

𝑀 |𝛾′(𝑡)|d𝑡 = 𝑀𝑙(𝛾)

Definicija 1.13 Neka je 𝑓 : Ω → C neprekidna. 𝐹 : Ω → C se naziva primitivna funkcija od 𝑓ako je 𝐹 ′ = 𝑓 .

Teorem 1.14 (Cauchyjev teorem za derivaciju) Neka je 𝑓 : Ω → C neprekidna funkcija. Tada jeekvivalentno:

(i) Za svaki po dijelovima gladak zatvoreni put 𝛾 vrijedi∫𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 = 0.

(ii) 𝑓 ima primitivnu funkciju.

Dokaz: ⇐ Neka je 𝐹 : Ω → C primitivna funkcija od 𝑓 i 𝛾 : [𝑎, 𝑏] → Ω proizvoljni po dijelovimaglatki zatvoreni put. Neka je 𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛 = 𝑏 subdivizija intervala [𝑎, 𝑏] takva da je𝛾|[𝑡𝑖−1,𝑡𝑖] klase 𝐶1. Tada je

∫𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 =

𝑛∑𝑖=1

𝑡𝑖∫𝑡𝑖−1

𝑓(𝛾(𝑡)) 𝛾′(𝑡) d𝑡 =

𝑛∑𝑖=1


𝐹 ′(𝛾(𝑡)) 𝛾′(𝑡) d𝑡

=

𝑛∑𝑖=1


d

d𝑡(𝐹 (𝛾(𝑡))) d𝑡 =

𝑛∑𝑖=1

[𝐹 (𝛾(𝑡𝑖)) − 𝐹 (𝛾(𝑡𝑖−1))]

= 𝐹 (𝛾(𝑏)) − 𝐹 (𝛾(𝑎)) = 0

⇒ Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je Ω povezan. Definiramo 𝐹 : Ω → C sa

𝐹 (𝑧) :=

∫𝛾𝑧

𝑓(𝜉) d𝜉.

Definicija ne ovisi o izboru puta zbog pretpostavke (i).

4


𝑧0

𝑧

𝑧 + ℎ

𝛾𝑧

𝛾𝑧+ℎ

Kako je Ω otvoren, postoji 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω.Tada je 𝑧 + ℎ ∈ 𝐾(𝑧, 𝑟) ako i samo ako je |ℎ| < 𝑟. Vidimo daje

limℎ→0

𝐹 (𝑧 + ℎ) − 𝐹 (𝑧)

ℎ

= limℎ→0

1

ℎ

⎛⎜⎝ ∫𝛾𝑧+ℎ

𝑓(𝜉) d𝜉 −∫𝛾𝑧

𝑓(𝜉) d𝜉

⎞⎟⎠= lim

ℎ→0

1

ℎ

∫[𝑧,𝑧+ℎ]

𝑓(𝜉) d𝜉 = limℎ→0

1

ℎ

1∫0

𝑓(𝑧 + 𝑡ℎ)ℎd𝑡

= limℎ→0

1∫0

𝑓(𝑧 + 𝑡ℎ) d𝑡 =

1∫0

limℎ→0


1∫0

𝑓(𝑧) d𝑡 = 𝑓(𝑧)

1∫0

d𝑡 = 𝑓(𝑧)

Teorem 1.15 (Goursat1-Pringsheim2) Neka je 𝑓 diferencijabilna na Ω. Tada je za svaki trokut ⊂ Ω ∫

𝜕

𝑓(𝑧) d𝑧 = 0.

Napomena 1.16

(1) (2)

(3)

(4)

Vidimo da je ∫𝜕

𝑓(𝑧) d𝑧 =

4∑𝑖=1

∫𝜕(𝑖)

𝑓(𝑧) d𝑧.

Iz nejednakosti trokuta slijedi

𝐼 =

∫𝜕

𝑓(𝑧) d𝑧

6 4∑

𝑖=1

∫𝜕(𝑖)

𝑓(𝑧) d𝑧

.

Neka je 1 ∈ (1),(2),(3),(4) takav da je ∫𝜕1

𝑓(𝑧) d𝑧

= max

𝑖∈1,...,4

∫𝜕(𝑖)

𝑓(𝑧) d𝑧

.

Tada je ∫𝜕1

𝑓(𝑧) d𝑧

> 1

4𝐼.

Dokaz: Induktivno definiramo niz trokuta

= 0 ⊇ 1 ⊇ 2 ⊇ . . . ⊇ 𝑛 ⊇ 𝑛+1 ⊇ . . .

takvih da je

1Édouard Jean-Baptiste Goursat2Alfred Israel Pringsheim

5

http://en.wikipedia.org/wiki/Goursat

http://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Pringsheim


(a)

∫𝜕𝑛

𝑓(𝑧) d𝑧

6 4

∫𝜕𝑛+1

𝑓(𝑧) d𝑧

(b) 𝑙(𝜕) = 𝐿, 𝑙(𝜕𝑛) = 2𝑙(𝜕𝑛+1)

Po Cantorovom aksiomu slijedi ⋂𝑛∈N

𝑛 = 𝑤.

Neka je 𝜀 > 0 proizvoljan. Kako je Ω otvoren i 𝑓 diferencijabilna u 𝑤, slijedi da postoji 𝛿 > 0 takavda je 𝐾(𝑤, 𝛿) ⊆ Ω i za svaki 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑤, 𝛿) je

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑤)

𝑧 − 𝑤− 𝑓 ′(𝑤)

< 𝜀,

tj.|𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑤) − 𝑓 ′(𝑤) (𝑧 − 𝑤)| < 𝜀 |𝑧 − 𝑤| < 𝜀 𝑙(𝑛0

) .

Vrijedi 𝑤 ∈ 𝐾(𝑤, 𝛿) i 𝐾(𝑤, 𝛿) otvoren, pa postoji 𝑛0 ∈ N takav da je 𝑛0⊂ 𝐾(𝑤, 𝛿). Funkcija

𝑧 ↦→ 𝑓(𝑤) + 𝑓 ′(𝑤) (𝑧−𝑤) ima primitivnu funkciju na Ω, pa po Cauchyjevom teoremu za derivaciju(Teorem 1.14) slijedi da je ∫

𝜕𝑛0

[𝑓(𝑤) + 𝑓 ′(𝑤) (𝑧 − 𝑤)] d𝑧 = 0.

Dakle, ∫𝜕

𝑓(𝑧) d𝑧

(𝑎)6 4𝑛0

∫𝜕𝑛0

𝑓(𝑧) d𝑧

= 4𝑛0

∫𝜕𝑛0

[𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑤) − 𝑓 ′(𝑤) (𝑧 − 𝑤)] d𝑧

1.126 4𝑛0𝜀 𝑙(𝑛0

)2

= 4𝑛0𝜀

(𝐿

2𝑛0

)2

= 𝜀𝐿2

Definicija 1.17 Skup Ω ⊆ C je zvjezdast ako

(∃ 𝑧0 ∈ Ω)(∀ 𝑧 ∈ Ω) [𝑧0, 𝑧] ⊆ Ω.

Teorem 1.18 (Cauchyjev teorem za zvjezdast skup) Neka je Ω zvjezdast i otvoren, 𝑓 : Ω → Cholomorfna. Tada 𝑓 ima primitivnu funkciju.

Dokaz: Ω je zvjezdast, pa postoji 𝑧0 ∈ Ω takav da za svaki 𝑧 ∈ Ω je [𝑧0, 𝑧] ∈ Ω. Definiramo𝐹 : Ω → C sa

𝐹 (𝑧) :=

∫[𝑧0,𝑧]

𝑓(𝜉) d𝜉.

𝑧0

𝑧

𝑧 + ℎ Neka je 𝑧 ∈ Ω proizvoljan. Kako je Ω otvoren, postoji 𝑟 > 0 takav daje 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω. Neka je ℎ ∈ 𝐾(0, 𝑟) proizvoljan. Kako je Ω zvjezdast,slijedi da je = (𝑧0, 𝑧, 𝑧 + ℎ) ⊂ Ω. Po Goursat-Pringsheimovomteoremu (Teorem 1.15) je

0 =

∫𝜕

𝑓(𝑧) d𝑧 =

∫[𝑧0,𝑧]

𝑓(𝑧) d𝑧 +

∫[𝑧,𝑧+ℎ]

𝑓(𝑧) d𝑧 +

∫[𝑧+ℎ,𝑧0]

𝑓(𝑧) d𝑧

= 𝐹 (𝑧) +

1∫0

𝑓(𝑧 + 𝑡ℎ)ℎd𝑡− 𝐹 (𝑧 + ℎ)

6


Dakle,

limℎ→0

𝐹 (𝑧 + ℎ) − 𝐹 (𝑧)

ℎ= lim

ℎ→0

1∫0


1∫0

limℎ→0


1∫0

𝑓(𝑧) d𝑡

= 𝑓(𝑧)

Korolar 1.19 Neka je 𝐾 = 𝐾(𝑧0, 𝑟) i 𝑓 : 𝐾 → C neprekidna. Ako za svaki trokut ⊂ 𝐾 vrijedi∫𝜕

𝑓(𝑧) d𝑧 = 0,

onda 𝑓 ima primitivnu funkciju.

Dokaz: Kao u dokazu Cauchyjevog teorema za zvjezdast skup (Teorem 1.18).

Lema 1.20 Neka je 𝑓 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C neprekidna. Neka je 𝑤 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟) tako da je 𝑓 diferencijabilnasvugdje osim eventualno u 𝑤. Tada 𝑓 ima primitivnu funkciju.

Dokaz: Definiramo 𝐹 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C sa

𝐹 (𝑧) :=

∫[𝑤,𝑧]

𝑓(𝜉) d𝜉.

𝑤 𝑧

𝑧′

𝑧1

𝑧2

Dovoljno je dokazati ∫𝜕

𝑓(𝜉) d𝜉 = 0,

za svaki ⊂ 𝐾(𝑧0, 𝑟) tako da je 𝑤 vrh tog trokuta. Neka su𝑧, 𝑧′ ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟) ∖ 𝑤 i 𝑧1 ∈ ⟨𝑤, 𝑧⟩, 𝑧2 ∈ ⟨𝑤, 𝑧′⟩ proizvoljni.Tada je∫𝜕(𝑤,𝑧,𝑧′)

𝑓(𝜉) d𝜉 =

∫𝜕(𝑤,𝑧1,𝑧2)

𝑓(𝜉) d𝜉 +

∫𝜕(𝑧1,𝑧,𝑧2)

𝑓(𝜉) d𝜉 +

∫𝜕(𝑧,𝑧′,𝑧2)

𝑓(𝜉) d𝜉

1.15=

∫𝜕(𝑤,𝑧1,𝑧2)

𝑓(𝜉) d𝜉1.12−−−−→

𝑧1→𝑤𝑧2→𝑤

0

Dakle, 𝐹 je primitivna funkcija.

Lema 1.21 Neka je 𝛾 kružnica s centrom u 𝑧0, radijusa 𝑟 (𝛾(𝑡) = 𝑧0 + 𝑟𝑒𝑖𝑡, 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]). Tada jeza svaki 𝑤 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟) ∫

𝛾

d𝑧

𝑧 − 𝑤= 2𝜋𝑖.

Dokaz: Dobi se dodavanjem puteva. Koristi se Cauchyjev teorem za zvjezdast skup (Teorem1.18).

Teorem 1.22 (Cauchyjeva integralna formula za krug) Neka je 𝑓 : Ω → C holomorfna. Neka je𝐾(𝑧0, 𝑟) ⊂ Ω. Tada je

𝑓(𝑧) =1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤, 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟)

𝛾(𝑡) = 𝑧0 + 𝑟𝑒𝑖𝑡, 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]

Dokaz:

7


𝑧0

𝑧

𝑟

𝑅

𝑤

Ω je otvoren, pa postoji 𝑅 > 𝑟 takav da je 𝐾(𝑧0, 𝑅) ⊆ Ω. Neka je𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟) proizvoljan. Definiramo 𝑔 : 𝐾(𝑧0, 𝑅) → C sa

𝑔(𝑤) :=

𝑓(𝑤)−𝑓(𝑧)

𝑤−𝑧 , 𝑤 = 𝑧

𝑓 ′(𝑧) , 𝑤 = 𝑧.

Vidimo da je 𝑔 neprekidna na 𝐾(𝑧0, 𝑅) i holomorfna na 𝐾(𝑧0, 𝑅) ∖𝑧, pa po Lemi 1.20 i Cauchyjevom teoremu za derivaciju (Teorem1.14) slijedi da je ∫

𝛾

𝑔(𝑤) d𝑤 = 0.

Dakle,

0 =

∫𝛾

𝑔(𝑤) d𝑤 =

∫𝛾

𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)

𝑤 − 𝑧d𝑤 =

∫𝛾

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤 − 𝑓(𝑧)

∫𝛾

1

𝑤 − 𝑧d𝑤

1.21=

∫𝛾

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤 − 𝑓(𝑧) 2𝜋𝑖,

iz čeka slijedi tvrdnja.

Lema 1.23 Neka je Ω ⊆ C otvoren i 𝑓 : [𝑎, 𝑏] × Ω → C neprekidna (varijable (𝑡, 𝑧)), diferencijabilnapo 𝑧 i 𝜕𝑓

𝜕𝑧 neprekidna. Tada je

𝑔(𝑧) =

𝑏∫𝑎

𝑓(𝑡, 𝑧) d𝑡

diferencijabilna i

𝑔′(𝑧) =

𝑏∫𝑎

𝜕𝑓

𝜕𝑧(𝑡, 𝑧) d𝑡.

Teorem 1.24 (Generalizirana Cauchyjeva integralna formula za krug) Neka je 𝑓 : Ω → C holo-morfna, 𝐾(𝑧0, 𝑟) ⊂ Ω, 𝛾(𝑡) = 𝑧0 + 𝑟𝑒𝑖𝑡 (𝑡 ∈ [0, 2𝜋]) i 𝑛 ∈ N. Tada je

𝑓 (𝑛)(𝑧) =𝑛!

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑛+1d𝑤, 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟)

Posebno, 𝑓 ima derivaciju u svakoj točki.

Dokaz: Po Cauchyjevoj integralnoj formuli za krug (Teorem 1.22) vrijedi

𝑓(𝑧) =1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤.

Iz Leme 1.23 slijedi

𝑓 ′(𝑧) =1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)2d𝑤.

Induktivno slijedi tvrdnja.

Teorem 1.25 (Cauchyjeva integralna formula za kružni vijenac) Pretpostavimo da je 𝑓 holomorfnana kružnom vijencu 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅). Neka je 𝑟 < 𝜌1 < 𝜌2 < 𝑅, 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝜌1, 𝜌2), 𝛾1, 𝛾2 pozitivnoorijentirane kružnice oko 𝑧0 radijusa 𝜌1, 𝜌2. Tada je

𝑓(𝑧) =1

2𝜋𝑖

∫𝛾2

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤 − 1

2𝜋𝑖

∫𝛾1

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤.

8


Dokaz: Neka je 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝜌1, 𝜌2) proizvoljan. Definiramo 𝑔 : 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅) → C sa

𝑔(𝑤) :=

𝑓(𝑤)−𝑓(𝑧)

𝑤−𝑧 , 𝑤 = 𝑧

𝑓 ′(𝑧) , 𝑤 = 𝑧.

Vidimo da je 𝑔 neprekidna na 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅) i holomorfna na 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅) ∖ 𝑧, pa je holomorfna na𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅). Razdijelimo 𝐾(𝑧0, 𝜌1, 𝜌2) na dijelove koji stanu u konveksan podskup od 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅).Po Cauchyjevom teoremu za zvjezdast skup (Teorem 1.18) i Cauchyjevom teoremu za derivaciju(Teorem 1.14) slijedi ∫

𝛾1

𝑔(𝑤) d𝑤 =

∫𝛾2

𝑔(𝑤) d𝑤,

pa dobivamo ∫𝛾1

𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)


∫𝛾2

𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)

𝑤 − 𝑧d𝑤

∫𝛾1

𝑓(𝑤)


∫𝛾1

1


∫𝛾2

𝑓(𝑤)


∫𝛾2

1

𝑤 − 𝑧d𝑤

∫𝛾1

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤 − 𝑓(𝑧) · 0 =

∫𝛾2

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤 − 𝑓(𝑧) · 2𝜋𝑖,

iz čega slijedi tvrdnja.

𝑓 je holomorfnana Ω

𝑓 ima primitivnufunkciju na Ω

⊂ Ω ⇒∫𝜕

𝑓(𝑧) d𝑧 = 0

𝛾 PDG zatvoreniput u Ω ⇒∫

𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 = 0

𝑓 neprekidnaTm 1.14Tm 1.15 𝑓 neprekidna

Tm 2.5

Ω zvjezdast, Tm 1.18

Tm 1.24

9

2 Lokalno uniformna konvergencija


Definicija 2.1 Niz funkcija 𝑓𝑛 : Ω → C, 𝑛 ∈ N, konvergira funkciji 𝑓 : Ω → C:

(1) po točkama ako

(∀ 𝑧 ∈ Ω)(∀ 𝜀 > 0)(∃𝑛0 ∈ N)(∀𝑛 ∈ N) 𝑛 > 𝑛0 ⇒ |𝑓𝑛(𝑧) − 𝑓(𝑧)| < 𝜀.

(2) uniformno na Ω ako

(∀ 𝜀 > 0)(∃𝑛0 ∈ N)(∀ 𝑧 ∈ Ω)(∀𝑛 ∈ N) 𝑛 > 𝑛0 ⇒ |𝑓𝑛(𝑧) − 𝑓(𝑧)| < 𝜀.

(3) lokalno uniformno na Ω ako za svaki 𝑧 ∈ Ω postoji 𝑟 > 0 takav da 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω i niz (𝑓𝑛)konvergira uniformno na 𝐾(𝑧, 𝑟) prema 𝑓 .

Teorem 2.2 (Karakterizacija lokalno uniformne konvergencije) Sljedeće je ekvivalentno:

(i) niz (𝑓𝑛) konvergira lokalno uniformno na Ω prema 𝑓 ,(ii) za svaki kompaktan skup 𝐾 ⊆ Ω niz (𝑓𝑛) konvergira uniformno na 𝐾 prema 𝑓 ,(iii) za sve 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω niz (𝑓𝑛) konvergira uniformno na 𝐾(𝑧, 𝑟) prema 𝑓 .

Dokaz: (i) ⇒ (ii) Za svaki 𝑧 ∈ 𝐾 postoji 𝑟𝑧 > 0 takav da 𝐾(𝑧, 𝑟𝑧) ⊆ Ω i niz (𝑓𝑛) konvergirauniformno na 𝐾(𝑧, 𝑟𝑧) prema 𝑓 . Vrijedi

𝐾 ⊆⋃𝑧∈𝐾

𝐾(𝑧, 𝑟𝑧),

pa kako je 𝐾 kompaktan, slijedi da postoji 𝑁 ∈ N i 𝑧1, . . . , 𝑧𝑁 ∈ 𝐾 takvi da (𝑟𝑖 := 𝑟𝑧𝑖)

𝐾 ⊆𝑁⋃𝑖=1

𝐾(𝑧𝑖, 𝑟𝑖).

Slijedi da postoje 𝑛𝑖 ∈ N takvi da za svaki 𝑛 > 𝑛𝑖 i 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧𝑖, 𝑟𝑖) vrijedi

|𝑓𝑛(𝑧) − 𝑓(𝑧)| < 𝜀.

Označimo 𝑛0 := max𝑛1, . . . , 𝑛𝑁. Tada za svaki 𝑛 > 𝑛0 i 𝑧 ∈ 𝐾 vrijedi

|𝑓𝑛(𝑧) − 𝑓(𝑧)| < 𝜀.

Dakle, niz (𝑓𝑛) konvergira uniformno na 𝐾 prema 𝑓 .

(ii) ⇒ (iii) 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω je kompaktan skup, pa slijedi tvrdnja.

(iii) ⇒ (i) Neka je 𝑧 ∈ Ω proizvoljan. Ω je otvoren, pa postoji 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω.Slijedi tvrdnja.

Teorem 2.3 (o lokalnoj konvergenciji neprekidnih funkcija) Neka je 𝑓𝑛 : Ω → C, 𝑛 ∈ N, nizneprekidnih funkcija. Ako niz (𝑓𝑛) konvergira lokalno uniformno na Ω prema 𝑓 , onda je 𝑓 : Ω → Cneprekidna.

Dokaz: Neka su 𝑧 ∈ Ω i 𝜀 > 0 proizvoljni. Tada postoji 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω i da postoji𝑛0 ∈ N takav da za svaki 𝑛 > 𝑛0 i 𝑤 ∈ 𝐾(𝑧, 𝑟) je

|𝑓𝑛(𝑤) − 𝑓(𝑤)| < 𝜀

3.

Posebno je|𝑓𝑛0

(𝑤) − 𝑓(𝑤)| < 𝜀

3.

Funkcija 𝑓𝑛0je neprekidna u 𝑧, pa postoji 𝛿 ∈ ⟨0, 𝑟⟩ takav da za svaki 𝑤 ∈ 𝐾(𝑧, 𝛿) vrijedi

|𝑓𝑛0(𝑧) − 𝑓𝑛0

(𝑤)| < 𝜀

3.

10


Slijedi da je za svaki 𝑤 ∈ 𝐾(𝑧, 𝛿)

|𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑤)| = |(𝑓(𝑧) − 𝑓𝑛0(𝑧)) + (𝑓𝑛0(𝑧) − 𝑓𝑛0(𝑤)) + (𝑓𝑛0(𝑤) − 𝑓(𝑤))|6 |𝑓(𝑧) − 𝑓𝑛0(𝑧)| + |𝑓𝑛0(𝑧) − 𝑓𝑛0(𝑤)| + |𝑓𝑛0(𝑤) − 𝑓(𝑤)|

<𝜀

3+

𝜀

3+

𝜀

3= 𝜀

Dakle, 𝑓 je neprekidna u 𝑧, pa kako je 𝑧 ∈ Ω bio proizvoljan, slijedi da je 𝑓 neprekidna na Ω.

Lema 2.4 (lokalno uniformna konvergencija i integral po putu) Neka je 𝛾 : [𝑎, 𝑏] → Ω po dijelovimaglatki put, 𝑓𝑛 : Ω → C niz neprekidnih funkcija koji lokalno uniformno konvergira na Ω prema 𝑓 .Tada postoji ∫

𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧

i vrijedi ∫𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 = lim𝑛→+∞

∫𝛾

𝑓𝑛(𝑧) d𝑧.

Dokaz: Po Teoremu o lokalno uniformnoj konvergenciji neprekidnih funkcija (Teorem 2.3) je 𝑓neprekidna, pa ∫

𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧

postoji. Neka je 𝜀 > 0 proizvoljan. Skup 𝛾([𝑎, 𝑏]) je kompaktan, pa po karakterizaciji lokalnouniformne konvergencije (Teorem 2.2) slijedi da postoji 𝑛0 ∈ N takav da za svaki 𝑛 > 𝑛0 i 𝑧 ∈𝛾([𝑎, 𝑏]) je

|𝑓(𝑧) − 𝑓𝑛(𝑧)| < 𝜀

𝑙(𝛾).

Slijedi da je za svaki 𝑛 > 𝑛0 i 𝑧 ∈ 𝛾([𝑎, 𝑏])∫𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 −∫𝛾

𝑓𝑛(𝑧) d𝑧

=

∫𝛾

(𝑓(𝑧) − 𝑓𝑛(𝑧)) d𝑧

6 max

𝑧∈𝛾([𝑎,𝑏])|𝑓(𝑧) − 𝑓𝑛(𝑧)| · 𝑙(𝛾)

<𝜀

𝑙(𝛾)· 𝑙(𝛾) = 𝜀.

Dakle, ∫𝛾


∫𝛾

𝑓𝑛(𝑧) d𝑧.

Teorem 2.5 (Morerin1) Neka je 𝑓 : Ω → C neprekidna funkcija takva da za svaki trokut ⊂ Ωvrijedi ∫

𝜕

𝑓(𝑧) d𝑧 = 0.

Tada je 𝑓 holomorfna na Ω.

Dokaz: Neka je 𝑧 ∈ Ω proizvoljan. Tada postoji 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω. Po Korolaru 1.19i generaliziranoj Cauchyjevoj integralnoj formuli za krug (Teorem 1.24) slijedi da je 𝑓 holomorfnana 𝐾(𝑧, 𝑟), pa je onda holomorfna na Ω.

1Giacinto Morera

11

http://en.wikipedia.org/wiki/Giacinto_Morera


Teorem 2.6 (Weierstrassov1) Neka je 𝑓𝑛 : Ω → C, 𝑛 ∈ N, niz holomorfnih funkcija koji lokalnouniformno konvergira na Ω prema 𝑓 . Tada je

(i) 𝑓 : Ω → C holomorfna(ii) za svaki 𝑘 ∈ N niz

(𝑓(𝑘)𝑛

)konvergira lokalno uniformno na Ω prema 𝑓 (𝑘).

Dokaz: (i) Kako su 𝑓𝑛 holomorfne, slijedi da su neprekidne, pa po Teoremu o lokalno uniformnojkonvergenciji neprekidnih funkcija (Teorem 2.3) slijedi da je 𝑓 neprekidna na Ω. Po Goursat-Pringsheimovom teoremu (Teorem 1.15) slijedi da za svaki trokut ⊂ Ω∫

𝜕

𝑓𝑛(𝑧) d𝑧 = 0,

pa po Lemi o lokalno uniformnoj konvergenciji i integralu po putu (Lema 2.4) slijedi∫𝜕


∫𝜕

𝑓𝑛(𝑧) d𝑧 = 0.

Iz Morerinog teorema (Teorem 2.5) slijedi da je 𝑓 holomorfna na Ω.(ii) Neka je 𝑧0 ∈ Ω proizvoljan, 𝑅 > 0 takav da je 𝐾(𝑧0, 𝑅) ⊆ Ω i niz (𝑓𝑛) konvergira uniformno

na 𝐾(𝑧0, 𝑅) prema 𝑓 , 𝑟 ∈ ⟨0, 𝑅⟩ fiksan, 𝛾 : [0, 2𝜋] → Ω definirana sa 𝛾(𝑡) := 𝑧0+𝑟𝑒𝑖𝑡, 𝜌 ∈ ⟨0, 𝑟⟩fiksan i 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝜌) proizvoljan. Po generaliziranoj Cauchyjevoj integralnoj formuli za krug(Teorem 1.24) slijedi

𝑓 (𝑘)𝑛 (𝑧) =

𝑘!

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓𝑛(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑘+1

d𝑤, 𝑓 (𝑘)(𝑧) =𝑘!

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑘+1

d𝑤.

Za 𝑤 ∈ Ω takav da je |𝑤 − 𝑧0| = 𝑟 vrijedi

|𝑤 − 𝑧| = |(𝑤 − 𝑧0) − (𝑧 − 𝑧0)| > |𝑤 − 𝑧0| − |𝑧 − 𝑧0| > 𝑟 − 𝜌.

Neka je 𝜀 > 0 proizvoljan. Tada postoji 𝑛0 ∈ N takav da za svaki 𝑛 > 𝑛0 i 𝑤 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑅)vrijedi

|𝑓𝑛(𝑤) − 𝑓(𝑤)| < 𝜀 (𝑟 − 𝜌)𝑘+1

𝑘! 𝑟.

Slijedi da za svaki 𝑛 > 𝑛0 vrijedi

𝑓 (𝑘)𝑛 (𝑧) − 𝑓 (𝑘)(𝑧)

=

𝑘!

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓𝑛(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑘+1

d𝑤 − 𝑘!

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑘+1

d𝑤

=𝑘!

2𝜋

∫𝛾

𝑓𝑛(𝑤) − 𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑘+1

d𝑤

1.126 𝑘!

2𝜋max

|𝑤−𝑧0|=𝑟

𝑓𝑛(𝑤) − 𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑘+1

𝑙(𝛾)

6𝑘!

2𝜋max

|𝑤−𝑧0|=𝑟|𝑓𝑛(𝑤) − 𝑓(𝑤)| max

|𝑤−𝑧0|=𝑟

1

|𝑤 − 𝑧|𝑘+12𝜋𝑟

< 𝑘! 𝑟𝜀 (𝑟 − 𝜌)

𝑘+1

𝑘! 𝑟· 1

(𝑟 − 𝜌)𝑘+1

= 𝜀.

Dakle, niz(𝑓(𝑘)𝑛

)konvergira uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝜌) prema 𝑓 (𝑘), pa konvergira lokalno uni-

formno na Ω.

1Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

12

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass


Teorem 2.7 (Weierstrassov M-test) Neka je 𝑓𝑛 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C, 𝑛 ∈ N, niz holomorfnih funkcija.Pretpostavimo da postoji niz (𝑀𝑛)𝑛∈N takav da

(i) za svaki 𝑛 ∈ N i 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟) vrijedi |𝑓𝑛(𝑧)| 6𝑀𝑛

(ii)∞∑

𝑛=1

𝑀𝑛 < +∞

Tada je 𝑓 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C,

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=1

𝑓𝑛(𝑧)

holomorfna i∑

𝑓𝑛 konvergira uniformno prema 𝑓 .

Dokaz: Uočimo da je za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟)∞∑

𝑛=1

𝑓𝑛(𝑧)

6

∞∑𝑛=1

|𝑓𝑛(𝑧)| 6∞∑

𝑛=1

𝑀𝑛 < +∞,

pa je taj red apsolutno konvergentan. Slijedi da red konvergira obično, pa je funkcija 𝑓 dobrodefinirana.

Vidimo da je za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟)𝑓(𝑧) −

𝑚∑𝑛=1

𝑓𝑛(𝑧)

=

∞∑𝑛=𝑚+1

𝑓𝑛(𝑧)

6

∞∑𝑛=𝑚+1

|𝑓𝑛(𝑧)| 6∞∑

𝑛=𝑚+1

𝑀𝑛 −−−−−→𝑚→+∞

0

jer se radi o ostatku konvergentnog reda, i ta konvergencija ne ovisi o 𝑧, pa∑

𝑓𝑛 konvergirauniformno prema 𝑓 .

Po Weierstrassovom teoremu (Teorem 2.6) slijedi da je 𝑓 holomorfna.

13

3 Redovi potencija

3 Redovi potencija

Lema 3.1 (Abelova1 lema) Neka je 𝑧0 ∈ C i (𝑎𝑛)∞𝑛=0 niz kompleksnih brojeva. Ako za neki 𝑧′ = 𝑧0red

∞∑𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧′ − 𝑧0)𝑛

konvergira, onda red∞∑

𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛

konvergira apsolutno i lokalno uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝑟) (𝑟 = |𝑧′ − 𝑧0|).

Dokaz: Dovoljno je dokazati da red konvergira apsolutno i uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝜌), za svaki 𝜌 ∈⟨0, 𝑟⟩.

Neka je 𝜌 ∈ ⟨0, 𝑟⟩ proizvoljan. Po nužnom uvjetu konvergencije reda slijedi da je

lim𝑛→+∞

𝑎𝑛 (𝑧′ − 𝑧0)𝑛

= 0.

Slijedi da je taj niz ograničen, tj. postoji 𝑀 > 0 takav da je𝑎𝑛 (𝑧′ − 𝑧0)

𝑛 6 𝑀 , za svaki 𝑛 ∈ N.Vidimo da za svaki 𝑛 ∈ N i 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝜌) vrijedi

|𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛| =

𝑎𝑛 (𝑧′ − 𝑧0)

𝑛 · (𝑧 − 𝑧0)𝑛

(𝑧′ − 𝑧0)𝑛

=𝑎𝑛 (𝑧′ − 𝑧0)

𝑛 |𝑧 − 𝑧0|𝑛

|𝑧′ − 𝑧0|𝑛< 𝑀

(𝜌𝑟

)𝑛.

Uočimo∞∑

𝑛=0

𝑀(𝜌𝑟

)𝑛= 𝑀

1

1 − 𝜌𝑟

< +∞.

Po Weierstrassovom M-testu (Teorem 2.7) slijedi da red konvergira apsolutno i uniformno na𝐾(𝑧0, 𝜌).

Lema 3.2 (Cauchyjev kriterij konvergencije reda) Neka je (𝜌𝑛) niz nenegativnih realnih brojeva i

𝐴 = lim sup𝑛→+∞

𝑛√𝜌𝑛.

Ako je

(1) 𝐴 < 1, onda red∑

𝜌𝑛 konvergira,(2) 𝐴 > 1, onda red

∑𝜌𝑛 divergira.

Dokaz: (1) Izaberimo 𝐵 takav da je 𝐴 < 𝐵 < 1. Iz 𝐴 < 1 slijedi da postoji 𝑛0 ∈ N takav da zasvaki 𝑛 > 𝑛0 je 𝑛

√𝜌𝑛 < 𝐵, tj. 𝜌𝑛 < 𝐵𝑛. Slijedi da je

∞∑𝑛=1

𝜌𝑛 <

𝑛0−1∑𝑛=1

𝜌𝑛 +

∞∑𝑛=𝑛0

𝐵𝑛 < +∞.

(2) Iz 𝐴 > 1 slijedi da postoji niz 𝑛1 < 𝑛2 < . . . takav da za svaki 𝑘 ∈ N je 𝑛𝑘√𝜌𝑛𝑘> 1, tj.

𝜌𝑛𝑘> 1. Slijedi da red

∑𝜌𝑛 divergira.

Teorem 3.3 (Cauchy-Hadamard2) Neka je zadan red potencija

∞∑𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛. (*)

1Niels Henrik Abel2Jacques Salomon Hadamard

14

http://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

http://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard

3 Redovi potencija

Definiramo (uz 0 = 1+∞ i +∞ = 1

0 )

𝑟 =1

lim sup𝑛→+∞

𝑛√

|𝑎𝑛|.

(1) Red (*) konvergira apsolutno i lokalno uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝑟) (𝐾(𝑧0, 0) = 𝑧0, 𝐾(𝑧0,+∞) =C).

(2) Za svaki 𝑧 ∈ C, |𝑧 − 𝑧0| > 𝑟 red (*) divergira

Dokaz: (1) Neka je 𝜌 ∈ ⟨0, 𝑟⟩ proizvoljan i uzmimo neki 𝑧′ takav da je |𝑧′ − 𝑧0| = 𝜌. Vidimo daje

lim sup𝑛→+∞

𝑛

√|𝑎𝑛 (𝑧′ − 𝑧0)

𝑛| = lim sup𝑛→+∞

𝑛√

|𝑎𝑛| |𝑧′ − 𝑧0| =𝜌

𝑟< 1.

Po Cauchyjevom kriteriju konvergencije reda (Lema 3.2) slijedi da red

∞∑𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧′ − 𝑧0)𝑛

konvergira. Iz Abelove leme slijedi da red (*) konvergira apsolutno i lokalno uniformno na𝐾(𝑧0, 𝑟).

(2) Uzmimo proizvoljan 𝑧 ∈ C, |𝑧 − 𝑧0| > 𝑟. Vidimo da je

lim sup𝑛→+∞

𝑛

√|𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)

𝑛| = lim sup𝑛→+∞

𝑛√|𝑎𝑛| |𝑧 − 𝑧0| > 1,

pa po Cauchyjevom kriteriju konvergencije reda (Lema 3.2) slijedi da red (*) divergira.

Teorem 3.4 (holomorfnost reda potencija) Neka je 𝑟 > 0 radijus konvergencije reda potencija

∞∑𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛.

Tada je 𝑓 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C zadana s 𝑓(𝑧) =∑∞

𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛 holomorfna funkcija. Za svaki 𝑚 > 0,

𝑓 (𝑚)(𝑧) =

∞∑𝑛=0

(𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛)(𝑚)

=

∞∑𝑛=𝑚

𝑛 (𝑛− 1) · · · (𝑛−𝑚 + 1) 𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛−𝑚

je holomorfna funkcija, koja je definirana redom potencija čiji je radijus konvergencije opet 𝑟.

Dokaz: Iz Weierstrassovog teorema (Teorem 2.6) slijedi da je 𝑓 holomorfna i da se 𝑓 (𝑚), 𝑚 ∈ N,dobije deriviranjem član po član. Preostaje dokazati da je 𝑟 radijus konvergencije reda kojim je𝑓 (𝑚), 𝑚 ∈ N, definirana, za što je dovoljno pokazati za 𝑚 = 1. Vidimo da je

lim sup𝑛→+∞

𝑛√|(𝑛 + 1) 𝑎𝑛| = lim sup

𝑛→+∞

𝑛√𝑛 + 1 𝑛

√|𝑎𝑛| =

1

𝑟,

čime je dokaz gotov.

Teorem 3.5 (o razvoju holomorfne funkcije u red potencija1) Neka je 𝑓 : Ω → C holomorfna i𝐾(𝑧0, 𝑟) ⊆ Ω. Tada vrijedi

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=0

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!(𝑧 − 𝑧0)

𝑛, ∀ 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟).

Konvergencija je lokalno uniformna.1ili Taylorov red (Brook Taylor)

15

http://en.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor

3 Redovi potencija

Dokaz: Neka je 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟) proizvoljan. Tada postoji 𝜌 ∈ ⟨|𝑧 − 𝑧0| , 𝑟⟩. Definiramo 𝛾 : [0, 2𝜋] → Csa 𝛾(𝑡) = 𝑧0 + 𝜌𝑒𝑖𝑡. Vidimo da je za svaki 𝑤 ∈ 𝛾([0, 1])

1

𝑤 − 𝑧=

1

(𝑤 − 𝑧0) − (𝑧 − 𝑧0)=

1

𝑤 − 𝑧0· 1

1 − 𝑧−𝑧0𝑤−𝑧0

=1

𝑤 − 𝑧0

∞∑𝑛=0

(𝑧 − 𝑧0𝑤 − 𝑧0

)𝑛

=

∞∑𝑛=0

(𝑧 − 𝑧0)𝑛

(𝑤 − 𝑧0)𝑛+1

i da je konvergencija lokalno uniformna po Teoremu o holomorfnosti reda potencija (Teorem 3.4).Slijedi da je

𝑓(𝑧) =1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)


1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

∞∑𝑛=0

(𝑧 − 𝑧0)𝑛

(𝑤 − 𝑧0)𝑛+1 d𝑤

=

∞∑𝑛=0

⎛⎝ 1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0)𝑛+1 d𝑤

⎞⎠ (𝑧 − 𝑧0)𝑛

1.24=

∞∑𝑛=0

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!(𝑧 − 𝑧0)

𝑛.

Definicija 3.6 Red nultočke 𝑓 u 𝑧0

(a) 𝑓(𝑧0) = 𝑓 ′(𝑧0) = . . . = 𝑓 (𝑚−1)(𝑧0) = 0, 𝑓 (𝑚) = 0, nultočka reda 𝑚 ∈ N0

(b) 𝑓(𝑧0) = 𝑓 ′(𝑧0) = . . . = 0, nultočka beskonačnog reda

Teorem 3.7 (o izoliranosti nultočke holomorfne funkcije) Neka je 𝑓 : Ω → C holomorfna u 𝑧0 ∈ Ω.Pretpostavimo da 𝑓 ima u 𝑧0 nultočku konačnog reda 𝑚 > 0. Tada postoji 𝑟′ takav da 𝐾(𝑧0, 𝑟

′) ⊆ Ωi postoji 𝑔 : 𝐾(𝑧0, 𝑟

′) → C holomorfna takva da

(1) za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟′) je 𝑔(𝑧) = 0,

(2) 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑧0)𝑚𝑔(𝑧).

Dokaz: Neka je 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧0, 𝑟) ⊆ Ω. Po Teoremu o razvoju holomorfne funkcije u redpotencija (Teorem 3.5) je za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟)

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=𝑚


= (𝑧 − 𝑧0)𝑚

∞∑𝑛=0

𝑎𝑛+𝑚 (𝑧 − 𝑧0)𝑛.

Definiramo 𝑔 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C sa

𝑔(𝑧) :=

∞∑𝑛=0

𝑎𝑛+𝑚 (𝑧 − 𝑧0)𝑛.

Po Teoremu o holomorfnosti reda potencija (Teorem 3.4) je 𝑔 holomorfna. Slijedi da je 𝑔 nepre-kidna. Vidimo da je 𝑔(𝑧0) = 𝑎𝑚 = 0, pa postoji 𝑟′ ∈ ⟨0, 𝑟] takav da je za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟

′) vrijedi𝑔(𝑧) = 0.

Teorem 3.8 (princip jedinstvenosti holomorfne funkcije) Neka je Ω područje i 𝑓 : Ω → C holo-morfna funkcija. Ako skup nultočaka 𝑁(𝑓) = 𝑧 ∈ Ω: 𝑓(𝑧) = 0 ima gomilište koje pripada skupuΩ, onda je 𝑓(𝑧) = 0, za svaki 𝑧 ∈ Ω.

Dokaz: Neka je 𝑤 ∈ Ω gomilište od 𝑁(𝑓). Slijedi da postoji niz (𝑤𝑛) ⊆ 𝑁(𝑓) koji konvergiraprema 𝑤. Kako je 𝑓 neprekidna, slijedi da je

𝑓(𝑤) = lim𝑛→+∞

𝑓(𝑤𝑛) = lim𝑛→+∞

0 = 0,

16

3 Redovi potencija

tj. 𝑤 je nultočka od 𝑓 . Vidimo da je 𝑤 nultočka beskonačnog reda (u suprotnom bi bila izolirana,što nije slučaj).

Definiramo 𝑈 := 𝑧 ∈ Ω: 𝑧 je nultočka beskonačnog reda. Znamo da je 𝑤 ∈ 𝑈 , posebno 𝑈 = ∅.Neka je 𝑧0 ∈ 𝑈 proizvoljan, 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧0, 𝑟) ⊆ Ω i 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟). Po Teoremu o razvojuholomorfne funkcije u red potencija (Teorem 3.5) je 𝑓(𝑧) = 0. Slijedi da je 𝑧 ∈ 𝑈 jer 𝑧 nije izolirananultočka. Znači, 𝑈 je otvoren skup.

Definiramo 𝑉 := 𝑧 ∈ Ω: 𝑧 je nultočka konačnog reda. Neka je 𝑧0 ∈ 𝑉 proizvoljan. Po Teoremuo izoliranosti nultočke holomorfne funkcije (Teorem 3.7) postoji 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧0, 𝑟) ⊆ Ω i𝑓(𝑧) = 0, za svaki 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟), pa je 𝑧 ∈ 𝑉 . Slijedi da je i 𝑉 otvoren skup.

Vidimo da je 𝑈 ∪ 𝑉 = Ω, a kako je Ω povezan, slijedi da je 𝑉 = ∅. Dakle, 𝑈 = Ω, pa je 𝑓(𝑧) = 0,za svaki 𝑧 ∈ Ω.

Teorem 3.9 (Cauchyjeve ocjene za koeficijente Taylorovog reda) Pretpostavimo da je 𝑓 : Ω → Cholomorfna, 𝑧0 ∈ Ω, 𝑅 > 0 takav da je 𝐾(𝑧0, 𝑅) ⊆ Ω,

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=0

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!(𝑧 − 𝑧0)

𝑛.

Tada za svaki 𝑟 ∈ ⟨0, 𝑅⟩ vrijedi𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!

6

𝑀(𝑟)

𝑟𝑛, 𝑀(𝑟) = max

|𝑤−𝑧0|=𝑟|𝑓(𝑤)|.

Dokaz: Neka je 𝑟 ∈ ⟨0, 𝑅⟩ proizvoljan. Definiramo 𝛾 : [0, 2𝜋] → Ω sa 𝛾(𝑡) := 𝑧0 + 𝑟𝑒𝑖𝑡. Vidimo daje

𝑓 (𝑛)(𝑧0)

𝑛!

1.24=

1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0)𝑛+1 d𝑤

=

1

2𝜋

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0)𝑛+1 d𝑤

1.126

1

2𝜋max

|𝑤−𝑧0|=𝑟

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0)𝑛+1

𝑙(𝛾) =

1

2𝜋max

|𝑤−𝑧0|=𝑟|𝑓(𝑤)| 1

𝑟𝑛+1· 2𝜋𝑟

=𝑀(𝑟)

𝑟𝑛.

Definicija 3.10 Ako je 𝑓 : C → C holomorfna na C, kažemo da je 𝑓 cijela funkcija.

Teorem 3.11 (Liouvilleov1) Svaka cijela i ograničena funkcija je konstantna.

Dokaz: Po Teoremu o razvoju holomorfne funkcije u red potencija (Teorem 3.5) za svaki 𝑧 ∈ Cvrijedi

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=0

𝑓 (𝑛)(0)

𝑛!𝑧𝑛.

Funkcija 𝑓 je ograničena, pa postoji 𝑀 > 0 takav da za svaki 𝑧 ∈ C je |𝑓(𝑧)| 6𝑀 . Iz Cauchyjeveocjene za koeficijente Taylorovog reda (Teorem 3.9) slijedi da za svaki 𝑛 ∈ N

𝑓 (𝑛)(0)

𝑛!

6

𝑀

𝑟𝑛−−−−−→𝑟→+∞

0,

pa je 𝑓 (𝑛)(0) = 0, za svaki 𝑛 ∈ N. Dakle, za svaki 𝑧 ∈ C je 𝑓(𝑧) = 𝑓(0), tj. 𝑓 je konstantna

Teorem 3.12 (Osnovni teorem algebre) Neka je 𝑝(𝑧) = 𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧𝑛−1 + . . . + 𝑎1𝑧 + 𝑎0 polinom

stupnja 𝑛 > 1, 𝑎𝑖 ∈ C. Tada postoji 𝑧0 ∈ C takav da je 𝑝(𝑧0) = 0.1Joseph Liouville

17

http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville

3 Redovi potencija

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. za svaki 𝑧 ∈ C je 𝑝(𝑧) = 0. Definiramo 𝑓 : C → C sa

𝑓(𝑧) :=1

𝑝(𝑧).

Vidimo da je 𝑓 ponovo cijela funkcija. Uočimo da je

lim|𝑧|→+∞

|𝑓(𝑧)| = lim|𝑧|→+∞

1

|𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧𝑛−1 + . . . + 𝑎1𝑧 + 𝑎0|

= lim|𝑧|→+∞

1

|𝑧|𝑛1 + 𝑎𝑛−1

𝑧 + . . . + 𝑎1

𝑧𝑛−1 + 𝑎0

𝑧𝑛

= 0.

Posebno, za 𝜀 = 1, slijedi da postoji 𝑟 > 0 takav da je za svaki 𝑧 ∈ C, |𝑧| > 𝑟, vrijedi |𝑓(𝑧)| < 1.Funkcija 𝑓 je cijela, iz čega slijedi da je neprekidna, a time i ograničena na 𝐾(0, 𝑟), pa postoji𝑀 > 0 takav da za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(0, 𝑟) je |𝑓(𝑧)| 6𝑀 . Slijedi da za svaki 𝑧 ∈ C je |𝑓(𝑧)| 6𝑀 + 1, tj.𝑓 je ograničena. Po Liouvilleovom teoremu (Teorem 3.11) slijedi da je 𝑓 konstantna. Zaključujemoda je onda i 𝑝 konstantna, što je u kontradikciji s pretpostavkom da je 𝑝 polinom stupnja barem1. Dakle, naša početna pretpostavka je bila netočna, pa slijedi da postoji 𝑧0 ∈ C takav da je𝑝(𝑧0) = 0.

18

4 Laurentov razvoj

4 Laurentov razvoj

Definicija 4.1∞∑

𝑛=−∞𝑐𝑛 :=

∞∑𝑙=1

𝑐−𝑙 +

∞∑𝑘=0

𝑐𝑘

Teorem 4.2 (o razvoju holomorfne funkcije u Laurentov1 red) Neka je 𝑓 holomorfna funkcija nakružnom vijencu 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅). Tada je

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=−∞

𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛,

gdje su koeficijenti dani s

𝑎𝑛 =1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑛+1 d𝑤

i gdje je 𝛾 bilo koja pozitivno orijentirana kružnica s centrom u 𝑧0 radijusa 𝜌 ∈ ⟨𝑟,𝑅⟩.

Dokaz: Dokažimo da 𝑎𝑛 ne ovisi o izboru radijusa 𝜌 ∈ ⟨𝑟,𝑅⟩. Neka su 𝜌1, 𝜌2 ∈ ⟨𝑟,𝑅⟩, 𝜌1 <𝜌2 proizvoljni. Kao u dokazu Cauchyjeve integralne formule za kružni vijenac (Teorem 1.25),rastavljanjem dobivamo da je za 𝛾1, 𝛾2 : [0, 2𝜋] → C, 𝛾𝑖(𝑡) = 𝑧0 + 𝑟𝑖𝑒

𝑖𝑡 (𝑖 = 1, 2),∫𝛾1

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑛+1 d𝑤 =

∫𝛾2

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑛+1 d𝑤.

Neka je sada 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅) proizvoljan. Tada postoje 𝜌1 ∈ ⟨𝑟, |𝑧 − 𝑧0|⟩ i 𝜌2 ∈ ⟨|𝑧 − 𝑧0| , 𝑅⟩. Nekasu 𝛾1, 𝛾2 : [0, 2𝜋] → C, 𝛾𝑖(𝑡) = 𝑧0 + 𝑟𝑖𝑒

𝑖𝑡 (𝑖 = 1, 2). Po Cauchyevoj integralnoj formuli za kružnivijenac (Teorem 1.25) slijedi

𝑓(𝑧) =1

2𝜋𝑖

∫𝛾2

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤 − 1

2𝜋𝑖

∫𝛾1

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤

=1

2𝜋𝑖

∫𝛾2

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0) − (𝑧 − 𝑧0)d𝑤 − 1

2𝜋𝑖

∫𝛾1

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0) − (𝑧 − 𝑧0)d𝑤

=1

2𝜋𝑖

∫𝛾2

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧0· 1

1 − 𝑧−𝑧0𝑤−𝑧0

d𝑤 +1

2𝜋𝑖

∫𝛾1

𝑓(𝑤)

𝑧 − 𝑧0· 1

1 − 𝑤−𝑧0𝑧−𝑧0

d𝑤

=1

2𝜋𝑖

∫𝛾2

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧0

∞∑𝑛=0

(𝑧 − 𝑧0)𝑛

(𝑤 − 𝑧0)𝑛 d𝑤 +

1

2𝜋𝑖

∫𝛾1

𝑓(𝑤)

𝑧 − 𝑧0

∞∑𝑛=0

(𝑤 − 𝑧0)𝑛

(𝑧 − 𝑧0)𝑛 d𝑤

=∞∑

𝑛=0

⎛⎝ 1

2𝜋𝑖

∫𝛾2

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧0)𝑛+1 d𝑤

⎞⎠ (𝑧 − 𝑧0)𝑛

+

∞∑𝑛=0

⎛⎝ 1

2𝜋𝑖

∫𝛾1

𝑓(𝑤) (𝑤 − 𝑧0)𝑛

d𝑤

⎞⎠ 1

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1

=

∞∑𝑛=0


+

∞∑𝑛=0

𝑎−𝑛−1

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1

=

∞∑𝑛=−∞


1Pierre Alphonse Laurent

19

http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Alphonse_Laurent

4 Laurentov razvoj

Teorem 4.3 (Karakterizacija Laurentovog razvoja) Neka je 𝑓 kao u 4.2.

I. (1) Red

𝑓2(𝑧) =

∞∑𝑛=0


konvergira lokalno uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝑅).(2) Red

𝑓1(𝑧) =

−1∑𝑛=−∞


konvergira lokalno uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝑟,+∞).(3) 𝑓(𝑧) = 𝑓1(𝑧) + 𝑓2(𝑧), za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅).(4) lim

|𝑧|→+∞𝑓1(𝑧) = 0.

II. Pretpostavimo da je(1) 𝑔2 holomorfna na 𝐾(𝑧0, 𝑅),(2) 𝑔1 holomorfna na 𝐾(𝑧0, 𝑟,+∞),(3) 𝑓(𝑧) = 𝑔1(𝑧) + 𝑔2(𝑧), za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅),(4) lim

|𝑧|→+∞𝑔1(𝑧) = 0.

Tada je 𝑔1 = 𝑓1 i 𝑔2 = 𝑓2.

Dokaz: I. (1) Neka je 𝑅′ ∈ ⟨𝑟,𝑅⟩ proizvoljan. Tada postoji 𝑧′ ∈ C, |𝑧′ − 𝑧0| = 𝑅′. PoTeoremu o razvoju holomorfne funkcije u Laurentov red (Teorem 4.2) slijedi da red

∞∑𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧′ − 𝑧0)𝑛

konvergira. Iz Abelove leme (Lema 3.1) slijedi da red

∞∑𝑛=0


konvergira lokalno uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝑅′), pa konvergira lokalno uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝑅).

(2) Znamo da red−1∑

𝑛=−∞𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)

𝑛=

∞∑𝑛=1

𝑎−𝑛

(𝑧 − 𝑧0)𝑛

konvergira na 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅), iz čega slijedi da red

∞∑𝑛=1

𝑎−𝑛𝑤𝑛

konvergira na 𝐾(0, 1

𝑅 , 1𝑟

). Kao u (1) slijedi da taj red konvergira lokalno uniformno na

𝐾(0, 1

𝑟

), pa red

−1∑𝑛=−∞


konvergira lokalno uniformno na 𝐾(𝑧0, 𝑟,+∞).(3) Slijedi iz definicije 𝑓1 i 𝑓2.(4)

lim|𝑧|→+∞

𝑓1(𝑧) = lim|𝑧|→+∞

(𝑎−1

𝑧 − 𝑧0+

𝑎−2

(𝑧 − 𝑧0)2 + . . .

)= lim

𝑤→0

(𝑎−1𝑤 + 𝑎−2𝑤

2 + . . .)

= 0.

20

4 Laurentov razvoj

II. Uočimo da za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟, 𝑅) je 𝑓(𝑧) = 𝑓1(𝑧)+𝑓2(𝑧) = 𝑔1(𝑧)+𝑔2(𝑧), pa je 𝑓1(𝑧)−𝑔1(𝑧) =𝑔2(𝑧) − 𝑓2(𝑧). Definiramo 𝐹 : C → C sa

𝐹 (𝑧) :=

𝑔2(𝑧) − 𝑓2(𝑧) , 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑅)

𝑓1(𝑧) − 𝑔1(𝑧) , 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟,+∞).

Vidimo da je 𝐹 holomorfna na 𝐾(𝑧0, 𝑅) i 𝐾(𝑧0, 𝑟,+∞), pa je cijela. Vrijedi

lim|𝑧|→+∞

𝐹 (𝑧) = lim|𝑧|→+∞

𝑓1(𝑧) − 𝑔1(𝑧) = 0,

iz čega slijedi da je 𝐹 ograničena. Po Liouvilleovom teoremu (Teorem 3.11) slijedi da je 𝐹konstantna. Iz gornjem limesa slijedi da je 𝐹 ≡ 0, pa iz definicije od 𝐹 dobivamo da je𝑔1 = 𝑓1 i 𝑔2 = 𝑓2.

21

5 Izolirani singulariteti


Definicija 5.1 Kažemo da je 𝑧0 izolirani singularitet ako je 𝑓 holomorfna na 𝐾*(𝑧0, 𝑟).

Po Teoremu o razvoju holomorfne funkcije u Laurentov red (Teorem 4.2) je

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=−∞


=

−1∑𝑛=−∞


+

∞∑𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛.

Kažemo da je 𝑧0:

(1) uklonjiv singularitet ako je 𝑎−𝑛 = 0, za svaki 𝑛 > 1,(2) pol 𝑚-tog reda (𝑚 ∈ N) ako je 𝑎−𝑚 = 0, 𝑎−𝑛 = 0, za svaki 𝑛 > 𝑚,(3) bitan singularitet ako postoji beskonačan niz 𝑚1 < 𝑚2 < 𝑚3 < . . . takav da je 𝑎𝑚𝑘

= 0,za svaki 𝑘 ∈ N.

(1) 𝑧0 uklonjiv singularitet

𝑓(𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑧 − 𝑧0) + 𝑎2 (𝑧 − 𝑧0)2

+ . . . , 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟)

𝑓 se može proširiti do holomorfne funkcije 𝑓 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C, 𝑓(𝑧) := 𝑎0(2) 𝑧0 pol 𝑚-tog reda

𝑓(𝑧) =𝑎−𝑚

(𝑧 − 𝑧0)𝑚 +

𝑎−𝑚+1

(𝑧 − 𝑧0)𝑚−1 + . . . =

𝑎−𝑚 + 𝑎−𝑚+1 (𝑧 − 𝑧0) + . . .

(𝑧 − 𝑧0)𝑚 =

𝑔(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑚

𝑔 je holomorfna na 𝐾*(𝑧0, 𝑟)

𝑔(𝑧) = 𝑎−𝑚 + 𝑎−𝑚+1 (𝑧 − 𝑧0) + . . .

⇒ 𝑔 je holomorfna na 𝐾(𝑧0, 𝑟) i 𝑔(𝑧0) = 𝑎−𝑚 = 0

Teorem 5.2 (Karakterizacija izoliranih singulariteta) Neka je 𝑓 holomorfna na 𝐾*(𝑧0, 𝑟). Tada je

(1) 𝑧0 uklonjiv singularitet ako i samo ako je |𝑓 | ograničena na 𝐾*(𝑧0, 𝑟′), za svaki 𝑟′ < 𝑟,

(2) 𝑧0 pol nekog reda ako i samo ako je

lim𝑧→𝑧0

|𝑓(𝑧)| = +∞,

(3) (Casorati-Weierstrass-Sohockijev teorem) 𝑧0 je bitan singularitet ako i samo ako za svaki𝑟′ < 𝑟 je slika 𝑓(𝐾*(𝑧0, 𝑟

′)) gusta u C.

Dokaz: (1) ⇒ Znamo da se 𝑓 može proširiti do holomorfne funkcije na 𝐾(𝑧0, 𝑟), pa je ondaograničena na 𝐾(𝑧0, 𝑟

′), za svaki 𝑟′ < 𝑟.⇐ Postoji 𝑀 > 0 takav da za svaki 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟

′) je |𝑓(𝑧)| 6 𝑀 . Neka je 𝜌 ∈ ⟨0, 𝑟′⟩proizvoljan i 𝛾 : [0, 2𝜋] → C definirana s 𝛾(𝑡) := 𝑧0 + 𝜌𝑒𝑖𝑡. Tada je za svaki 𝑛 6 −1

|𝑎𝑛| =

1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑛+1 d𝑤

=

1

2𝜋

∫𝛾

𝑓(𝑤)

(𝑤 − 𝑧)𝑛+1 d𝑤

1.126 1

2𝜋· 𝑀

𝜌𝑛+1· 2𝜋𝜌

=𝑀

𝜌𝑛−−−→𝜌→0

0.

Dakle, 𝑎−𝑛 = 0, za svaki 𝑛 ∈ N.(2) ⇒ Neka je 𝑧0 pol reda 𝑚 ∈ N. Tada postoji holomorfna funkcija 𝑔 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C takva da

je

𝑓(𝑧) =𝑔(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑚 , ∀ 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟).

22


Slijedi da je 𝑔(𝑧0) = 0 i

lim𝑧→𝑧0

|𝑓(𝑧)| = lim𝑧→𝑧0

|𝑔(𝑧)||𝑧 − 𝑧0|𝑚

= +∞.

⇐ Postoji 𝑟′ < 𝑟 takav da za svaki 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟′) je |𝑓(𝑧)| > 1. Definiramo 𝑔 : 𝐾*(𝑧0, 𝑟

′) →C sa

𝑔(𝑧) :=1

𝑓(𝑧).

Za svaki 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟′) vrijedi |𝑔(𝑧)| < 1, pa 𝑔 ima uklonjivi singularitet u 𝑧0. Znači da

možemo dodefinirati𝑔(𝑧0) := lim

𝑧→𝑧0𝑔(𝑧) = 0.

Vidimo da sada 𝑔 ima u 𝑧0 izoliranu nultočku, pa iz Teorema o izoliranosti nultočaka holo-morfne funkcije (Teorem 3.7) slijedi da postoji 𝑚 ∈ N i ℎ : 𝐾(𝑧0, 𝑟

′) → C holomorfna takvada je ℎ(𝑧0) = 0 i 𝑔(𝑧) = (𝑧 − 𝑧0)

𝑚ℎ(𝑧), za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟

′). Dobivamo da je za svaki𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟

′)

𝑓(𝑧) =

1ℎ(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑚 ,

a kako je 1ℎ holomorfna, po Teoremu o razvoju holomorfne funkcije u red potencija (Teorem

3.5) slijedi da je 𝑧0 pol 𝑚-tog reda za 𝑓 .(3) Gusto znači: (∀𝑤 ∈ C)(∀ 𝜀 > 0)(∃ 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟

′)) 0 < |𝑤 − 𝑓(𝑧)| < 𝜀.⇒ Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje 𝑤 ∈ C i 𝜀 > 0 takvi da za svaki 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟

′)je |𝑤 − 𝑓(𝑧)| > 𝜀. Definiramo 𝑔 : 𝐾*(𝑧0, 𝑟

′) → C sa

𝑔(𝑧) :=1

𝑓(𝑧) − 𝑤.

Za svaki 𝑧 ∈ 𝐾*(𝑧0, 𝑟′) vrijedi |𝑔(𝑧)| 6 1

𝜀 , pa 𝑔 ima uklonjiv singularitet u 𝑧0, što znači dapostoji limes od 𝑔 u 𝑧0. Iz

𝑓(𝑧) =1

𝑔(𝑧)+ 𝑤

vidimo da ako jelim𝑧→𝑧0

𝑔(𝑧) = 0,

onda 𝑓 ima u 𝑧0 pol, a inače uklonjiv singularitet. To je u kontradikciji s pretpostavkom daje 𝑧0 bitni singularitet, pa je naša početna pretpostavka bila kriva.⇐ Kako je 𝑓(𝐾*(𝑧0, 𝑟

′)) gusta u C za svaki 𝑟′ < 𝑟, slijedi da 𝑓 nije ograničena na 𝐾*(𝑧0, 𝑟′)

niti jelim

|𝑧|→+∞|𝑓(𝑧)| = +∞,

pa je nužno 𝑧0 bitni singularitet za 𝑓 .

23

6 Reziduumi

6 Reziduumi

Definicija 6.1 Neka je 𝑓 holomorfna na 𝐾*(𝑧0, 𝑟),

𝑓(𝑧) =

∞∑𝑛=−∞

𝑎𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛, 𝑎𝑛 =

1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤)

𝑤 − 𝑧d𝑤.

DefiniramoRes(𝑓, 𝑧0) = 𝑎−1 =

1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓(𝑤) d𝑤.

Teorem 6.2 (Res = 0 za holomorfne funkcije) Neka je 𝑓 holomorfna na 𝐾(𝑧0, 𝑟). Tada jeRes(𝑟, 𝑧0) = 0.

Dokaz: Tvrdnja slijedi iz Teorema o razvoju holomorfne funkcije u red potencija (Teorem 3.5).

Teorem 6.3 (o reziduumima funkcija s konačno mnogo singulariteta) Neka je Ω otvoren, 𝑧1, . . . , 𝑧𝑘 ∈Ω međusobno različite i 𝑓 : Ω ∖ 𝑧1, . . . , 𝑧𝑘 → C holomorfna. Tada je∫

𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑘∑𝑗=1

𝜈(𝛾, 𝑧𝑗) Res(𝑓, 𝑧𝑗),

za svaki 𝛾 po dijelovima glatki zatvoreni put, 𝛾 : [𝑎, 𝑏] → Ω ∖ 𝑧1, . . . , 𝑧𝑘, 𝛾(𝑎) = 𝛾(𝑏).

Dokaz: Za svaki 𝑖 ∈ 1, . . . , 𝑘 postoji 𝑟𝑖 > 0 takav da je 𝐾*(𝑧𝑖, 𝑟𝑖) ⊆ Ω ∖ 𝑧1, . . . , 𝑧𝑘. Označimos 𝑓1,𝑖 singularni dio Laurentovog reda funkcije 𝑓 u okolini točke 𝑧𝑖. Po karakterizaciji Laurentovogreda (Teorem 4.3), funkcija 𝑓1,𝑖 je holomorfna na C ∖ 𝑧𝑖. Definiramo 𝐹 : Ω ∖ 𝑧1, . . . , 𝑧𝑘 → C sa

𝐹 (𝑧) := 𝑓(𝑧) −𝑘∑

𝑗=1

𝑓1,𝑗(𝑧).

Vidimo da se za svaki 𝑖 ∈ 1, . . . , 𝑘 funkcija 𝐹 može proširiti do holomorfne funkcije na Ω ∖𝑧1, . . . , 𝑧𝑖−1, 𝑧𝑖+1, . . . , 𝑧𝑘 jer je

𝐹 (𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑓1,𝑖(𝑧) −𝑘∑

𝑗=1𝑗 =𝑖

𝑓1,𝑗(𝑧),

pa se može proširiti do holomorfne funkcije na Ω. Iz Leme 1.20 i Cauchyjevog teorema za derivaciju(Teorem 1.14) slijedi da je ∫

𝛾

𝐹 (𝑧) d𝑧 = 0.

Dobivamo da je ∫𝛾

𝑓(𝑧) d𝑧 =

∫𝛾

𝑘∑𝑗=1

𝑓1,𝑗(𝑧) d𝑧 =

𝑘∑𝑗=1

∫𝛾

∞∑𝑛=1

𝑎−𝑛,𝑗

(𝑧 − 𝑧𝑗)𝑛 d𝑧

=

𝑘∑𝑗=1

∞∑𝑛=1

𝑎−𝑛,𝑗

∫𝛾

1

(𝑧 − 𝑧𝑗)𝑛 d𝑧 =

𝑘∑𝑗=1

𝑎−1,𝑗

∫𝛾

1

𝑧 − 𝑧𝑗d𝑧

= 2𝜋𝑖

𝑘∑𝑗=1

𝜈(𝛾, 𝑧𝑗) Res(𝑓, 𝑧𝑗).

24

6 Reziduumi

Definicija 6.4 𝛾 je po dijelovima glatka zatvorena kontura ako je 𝛾 : [𝑎, 𝑏] → C

(1) 𝛾 po dijelovima glatki zatvoren put(2) 𝛾(𝑎) = 𝛾(𝑏)(3) 𝛾 : [𝑎, 𝑏⟩ → C je injekcija

Definicija 6.5 Kažemo da je 𝑓 meromorfna ako su joj jedini singulariteti izolirani, a među njimamože imati samo uklonjive i polove.

Definicija 6.6 Neka je 𝑓 : Ω → C i 𝑧 ∈ C. Ako je 𝑧 nultočka od 𝑓 (pol za 𝑓), definiramo 𝑟(𝑓, 𝑧)kao red nultočke (pola) 𝑧 za 𝑓 .

Teorem 6.7 (o reziduumima za konturu) Neka je

(1) 𝛾 kontura unutar Ω takva da joj je unutrašnjost sadržana u Ω,(2) 𝑓 meromorfna na Ω koja nema niti nultočke niti polove na 𝛾(3) ℎ holomorfna na Ω

Tada je1

2𝜋𝑖

∫𝛾

ℎ(𝑧)𝑓 ′(𝑧)

𝑓(𝑧)d𝑧 =

∑𝑧′ unutar 𝛾𝑓(𝑧′)=0

ℎ(𝑧′) 𝑟(𝑓, 𝑧′) +∑

𝑧′′ unutar 𝛾𝑧′′ pol za 𝑓

ℎ(𝑧′′) 𝑟(𝑓, 𝑧′′).

Dokaz: Definiramo 𝐹 : Ω → C sa𝐹 (𝑧) := ℎ(𝑧)

𝑓 ′(𝑧)

𝑓(𝑧).

Po Teoremu o reziduumima funkcija s konačno mnogo singulariteta (Teorem 6.3) slijedi da je

1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝐹 (𝑧) d𝑧 =∑

𝑧 singularitetod 𝐹 unutar 𝛾

Res (𝐹, 𝑧). (*)

Jedini singulariteti od 𝐹 su nultočke i polovi od 𝑓 (pretpostavljamo da smo uklonjive singulariteteuklonili).

∙ Neka je 𝑧′ nultočka 𝑚-tog reda od 𝑓 unutar 𝛾. Tada postoji 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧′, 𝑟) ⊆ Ωi holomorfna funkcija 𝑔 : 𝐾(𝑧′, 𝑟) → C takva da je 𝑔(𝑧′) = 0 i 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑧′)

𝑚𝑔(𝑧), za svaki

𝑧 ∈ 𝐾(𝑧′, 𝑟). Vrijedi

𝐹 (𝑧) = ℎ(𝑧)𝑚 (𝑧 − 𝑧′)

𝑚−1𝑔(𝑧) + (𝑧 − 𝑧′)

𝑚𝑔′(𝑧)

(𝑧 − 𝑧′)𝑚𝑔(𝑧)

=𝑚ℎ(𝑧)

𝑧 − 𝑧′+

ℎ(𝑧) 𝑔′(𝑧)

𝑔(𝑧)

=𝑚

𝑧 − 𝑧′

∞∑𝑛=0

ℎ(𝑛)(𝑧′)

𝑛!(𝑧 − 𝑧′)

𝑛+


𝑔(𝑧)

=𝑚ℎ(𝑧′)

𝑧 − 𝑧′+ 𝑚

∞∑𝑛=1

ℎ(𝑛)(𝑧′)

𝑛!(𝑧 − 𝑧′)

𝑛−1+


𝑔(𝑧)⏟ ⏞ holomorfno

,

iz čega slijedi da jeRes (𝐹, 𝑧′) = 𝑚ℎ(𝑧′) = ℎ(𝑧′) 𝑟(𝑓, 𝑧′) .

∙ Neka je 𝑧′′ pol 𝑚-tog reda od 𝑓 unutar 𝛾. Tada postoji 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧′′, 𝑟) ⊆ Ω iholomorfna funkcija 𝑔 : 𝐾(𝑧′′, 𝑟) → C takva da je 𝑔(𝑧′′) = 0 i

𝑓(𝑧) =𝑔(𝑧)

(𝑧 − 𝑧′′)𝑚 ,

za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧′′, 𝑟). Vrijedi

𝐹 (𝑧) = ℎ(𝑧)

𝑔′(𝑧)(𝑧−𝑧′′)𝑚−𝑔(𝑧)𝑚(𝑧−𝑧′′)𝑚−1

(𝑧−𝑧′′)2𝑚

𝑔(𝑧)(𝑧−𝑧′′)𝑚

= ℎ(𝑧)𝑔′(𝑧) (𝑧 − 𝑧′′)

𝑚 − 𝑔(𝑧)𝑚 (𝑧 − 𝑧′′)𝑚−1

𝑔(𝑧) (𝑧 − 𝑧′′)𝑚

25

6 Reziduumi

=ℎ(𝑧) 𝑔′(𝑧)

𝑔(𝑧)− 𝑚ℎ(𝑧)

𝑧 − 𝑧′′,

pa slično kao gore slijedi da je

Res (𝐹, 𝑧′′) = −𝑚ℎ(𝑧′′) = −𝑟(𝑓, 𝑧′′)ℎ(𝑧′) .

Tvrdnja slijedi uvrštavanjem u (*).

Slučaj ℎ(𝑧) = 1,𝑁𝛾(𝑓) =

∑𝑧′ unutar 𝛾𝑓(𝑧′)=0

𝑟(𝑓, 𝑧′), 𝑃𝛾(𝑓) =∑

𝑧′′ unutar 𝛾𝑧′′ pol za 𝑓

𝑟(𝑓, 𝑧′′)

1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓 ′(𝑧)

𝑓(𝑧)d𝑧 = 𝑁𝛾(𝑓) + 𝑃𝛾(𝑓).

Ako 𝑓 nema polova,1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓 ′(𝑧)

𝑓(𝑧)d𝑧 = 𝑁𝛾(𝑓).

Teorem 6.8 (Rouchéov1) Neka su 𝑓, 𝑔 holomorfne na otvorenom skupu Ω, koji sadrži konturu 𝛾 injenu unutrašnjost. Tada |𝑔(𝑧)| < |𝑓(𝑧)|, za svaki 𝑧 ∈ 𝛾, povlači 𝑁𝛾(𝑓) = 𝑁𝛾(𝑓 + 𝑔).

Dokaz: Definiramo za svaki 𝑡 ∈ [0, 1] funkciju 𝐹𝑡 : Ω → C sa 𝐹𝑡(𝑧) := 𝑓(𝑧) + 𝑡𝑔(𝑧), za sve 𝑧 ∈ Ω.Primijetimo da za svaki 𝑡 ∈ [0, 1] i 𝑧 ∈ 𝛾 je

|𝐹𝑡(𝑧)| = |𝑓(𝑧) + 𝑡𝑔(𝑧)| > |𝑓(𝑧)| − 𝑡 |𝑔(𝑧)| > |𝑓(𝑧)| − |𝑔(𝑧)| > 0,

što znači da 𝐹𝑡 nema nultočaka na konturi 𝛾, za svaki 𝑡 ∈ [0, 1]. Funkcija 𝐹𝑡 je holomorfna za svaki𝑡 ∈ [0, 1], pa po Teoremu o reziduumima za konturu (Teorem 6.7) slijedi da je

𝑁𝛾(𝐹𝑡) =1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝐹 ′𝑡 (𝑧)

𝐹𝑡(𝑧)d𝑧 =

1

2𝜋𝑖

∫𝛾

𝑓 ′(𝑧) + 𝑡𝑔′(𝑧)

𝑓(𝑧) + 𝑡𝑔(𝑧)d𝑧.

Vidimo da je preslikavanje 𝑡 ↦→ 𝑁𝛾(𝐹𝑡) neprekidno, a kako je 𝑁𝛾(𝐹𝑡) ∈ N0 za svaki 𝑡 ∈ [0, 1], slijedida je to preslikavanje konstantno. Dakle, 𝑁𝛾(𝑓) = 𝑁𝛾(𝑓 + 𝑔).

Teorem 6.9 (Osnovni teorem algebre preko Rouchéovog teorema) Polinom ℎ(𝑧) = 𝑧𝑛+𝑎𝑛−1𝑧𝑛−1+

. . . + 𝑎0, 𝑛 > 0, ima 𝑛 nultočaka, računajući kratnost.

Dokaz: Definiramo 𝑓, 𝑔 : C → C sa 𝑓(𝑧) := 𝑧𝑛 i 𝑔(𝑧) := 𝑎𝑛−1𝑧𝑛−1 + . . . + 𝑎0. Vrijedi ℎ = 𝑓 + 𝑔.

Vidimo da je

lim|𝑧|→+∞

𝑔(𝑧)

𝑓(𝑧)

= 0,

pa postoji 𝑟 > 0 takav da za svaki 𝑧 ∈ C, |𝑧| > 𝑟 je𝑔(𝑧)

𝑓(𝑧)

< 1,

tj. |𝑔(𝑧)| < |𝑓(𝑧)|. Po Rouchéovom teoremu (Teorem 6.8) slijedi da za konturu 𝛾 : [0, 2𝜋] → C,𝛾(𝑡) = 𝑟𝑒𝑖𝑡 vrijedi 𝑁𝛾(𝑓) = 𝑁𝛾(𝑓 + 𝑔). Dakle, 𝑁𝛾(ℎ) = 𝑁𝛾(𝑓 + 𝑔) = 𝑁𝛾(𝑓) = 𝑛.

Teorem 6.10 (Weierstrassov pripremni teorem) Neka je 𝑓 holomorfna u okolini točke 𝑧0. Stavimo𝑤0 = 𝑓(𝑧0). Pretpostavimo da 𝑓(𝑧)−𝑤0 ima u 𝑧0 nultočku kratnosti 𝑚 > 1. Tada postoje 𝜀, 𝛿 > 0takvi da je za svaki 𝑤 ∈ 𝐾*(𝑤0, 𝜀) 𝑓(𝑧) − 𝑤 ima 𝑚 različitih nultočki u krugu 𝐾(𝑧0, 𝛿).

1Eugène Rouché

26

http://en.wikipedia.org/wiki/Eug%C3%A8ne_Rouch%C3%A9

6 Reziduumi

Dokaz: Po Teoremu o izoliranosti nultočke holomorfne funkcije (Teorem 3.7), 𝑧0 je izolirana nul-točka preslikavanja 𝑧 ↦→ 𝑓(𝑧) − 𝑤0 i 𝑧 ↦→ (𝑓(𝑧) − 𝑤0)

′= 𝑓 ′(𝑧). Slijedi da postoji 𝛿 > 0 takav da

za svaki 𝑧 ∈ C, 0 < |𝑧 − 𝑧0| 6 𝛿, je 𝑓(𝑧) − 𝑤0 = 0 i za svaki 𝑧 ∈ C, 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿, je 𝑓 ′(𝑧) = 0.Definiramo

𝜀 := min|𝑧−𝑧0|=𝛿

|𝑓(𝑧) − 𝑤0|.

Neka je 𝑤 ∈ 𝐾(𝑤0, 𝜀) proizvoljan. Tada za svaki 𝑧 ∈ C, |𝑧 − 𝑧0| = 𝛿, vrijedi

|𝑤 − 𝑤0| < 𝜀 = min|𝑧−𝑧0|=𝛿

|𝑓(𝑧) − 𝑤0| 6 |𝑓(𝑧) − 𝑤0| .

Definiramo 𝐹 (𝑧) := 𝑓(𝑧)−𝑤0, 𝐺(𝑧) := 𝑤0 −𝑤 i 𝛾 : [0, 2𝜋] → C, 𝛾(𝑡) := 𝑧0 + 𝛿𝑒𝑖𝑡. Po Rouchéovomteoremu (Teorem 6.8) slijedi da je

𝑁𝛾(𝑓(𝑧) − 𝑤) = 𝑁𝛾(𝐹 + 𝐺) = 𝑁𝛾(𝐹 ) = 𝑁𝛾(𝑓(𝑧) − 𝑤0) = 𝑚.

Teorem 6.11 (o otvorenom preslikavanju) Neka je Ω područje, 𝑓 : Ω → C holomorfna i nekons-tantna. Tada je za svaki 𝑈 ⊆ Ω otvoren i 𝑓(𝑈) ⊆ C otvoren.

Dokaz: Neka je 𝑤0 ∈ 𝑓(𝑈) proizvoljan. Tada postoji 𝑧0 ∈ 𝑈 takav da je 𝑤0 = 𝑓(𝑧0). Funkcija𝑓 nije konstantna, pa 𝑓(𝑧) − 𝑤0 ima u 𝑧0 nultočku reda 𝑚 > 1. Po Weierstrassovom pripremnomteoremu (Teorem 6.10) slijedi da postoje 𝜀, 𝛿 > 0 takvi da za svaki 𝑤 ∈ 𝐾(𝑤0, 𝜀) 𝑓(𝑧) − 𝑤 imanultočku u 𝐾(𝑧0, 𝛿) ⊆ 𝑈 , tj. postoji 𝑧′ ∈ 𝐾(𝑧0, 𝛿) takav da je 𝑓(𝑧′) = 𝑤. Dakle,

𝐾(𝑤0, 𝜀) ⊆ 𝑓(𝐾(𝑧0, 𝛿)) ⊆ 𝑓(𝑈) ,

što znači da je 𝑓(𝑈) je otvoren.

Teorem 6.12 (o lokalnoj invertibilnosti holomorfne funkcije) Neka je 𝑓 : Ω → C holomorfna,𝑧0 ∈ Ω, 𝑓 ′(𝑧0) = 0. Tada postoje otvoreni skupovi 𝑈 ⊆ Ω i 𝑉 ⊆ 𝑓(Ω) takvi da je 𝑧0 ∈ 𝑈 ,𝑓 |𝑈 : 𝑈 → 𝑉 bijekcija, (𝑓 |𝑈 )

−1: 𝑉 → 𝑈 holomorfna i

(𝑓−1(𝑤)

)′=

1

𝑓 ′(𝑧), ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑓(𝑧) = 𝑤).

Dokaz: Označimo 𝑤0 := 𝑓(𝑧0). Tada je

(𝑓(𝑧) − 𝑤0)′ |𝑧=𝑧0 = 𝑓(𝑧0) = 0.

Slijedi da je 𝑧0 nultočka prvog reda za 𝑓(𝑧)−𝑤0. Po Weierstrassovom pripremnom teoremu (Teorem6.10) slijedi da postoje 𝜀, 𝛿 > 0 takvi da za svaki 𝑤 ∈ 𝐾(𝑤0, 𝜀) postoji jedinstveni 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝛿)takav da je 𝑓(𝑧) = 𝑤. Definiramo 𝑉 := 𝐾(𝑤0, 𝜀) i 𝑈 := 𝑓−1(𝑉 ) ∩ 𝐾(𝑧0, 𝛿). Vidimo da je𝑓 |𝑈 : 𝑈 → 𝑉 bijekcija. Po Teoremu o otvorenom preslikavanju (Teorem 6.11) slijedi da za svakiotvoreni skup 𝑈 ′ ⊆ 𝑈 je 𝑓(𝑈 ′) ⊆ 𝑉 otvoren, iz čega slijedi da je (𝑓 |𝑈 )

−1: 𝑉 → 𝑈 neprekidna.

Označimo 𝑔 := (𝑓 |𝑈 )−1. Vidimo da je (𝑓(𝑧) = 𝑤)

𝑔′(𝑤) = lim𝑤′→𝑤

𝑔(𝑤′) − 𝑔(𝑤)

𝑤′ − 𝑤= lim

𝑧′→𝑧

𝑧′ − 𝑧

𝑓(𝑧′) − 𝑓(𝑧)= lim

𝑧′→𝑧

1𝑓(𝑧′)−𝑓(𝑧)

𝑧′−𝑧

=1

𝑓 ′(𝑧).

Teorem 6.13 (o homomorfizmu i izomorfizmu) Neka je Ω područje, 𝑓 : Ω → C injektivno i holo-morfno preslikavanje. Tada je:

(1) 𝑓 ′(𝑧) = 0, za svaki 𝑧 ∈ Ω,(2) 𝑉 = 𝑓(Ω) otvoren skup,(3) 𝑓−1 : 𝑉 → Ω je holomorfno.

27

6 Reziduumi

Dokaz: Neka je 𝑧0 proizvoljan i označimo 𝑤0 := 𝑓(𝑧0). Kako je 𝑓 injekcija, slijedi da je 𝑧0 nultočkaprvog reda za 𝑓(𝑧) − 𝑤0. Stoga vrijedi 0 = (𝑓(𝑧) − 𝑤0)

′ |𝑧=𝑧0 = 𝑓 ′(𝑧0), što povlači (1). Tvrdnje(2) i (3) su posljedice Teorema o lokalnoj invertibilnosti holomorfne funkcije (Teorem 6.12).

Teorem 6.14 (princip maksimuma modula) Neka je Ω područje, 𝑓 : Ω → C holomorfna i nekons-tantna. Tada je |𝑓(𝑧)| < sup

𝑤∈Ω|𝑓(𝑤)|, za svaki 𝑧 ∈ Ω.

Dokaz: Neka je 𝑧 ∈ Ω i 𝑟 > 0 takav da je 𝐾(𝑧, 𝑟) ⊆ Ω. Po Teoremu o otvorenom preslikavanju(Teorem 6.11) slijedi da je 𝑓(𝐾(𝑧, 𝑟)) otvoren. Vidimo da postoji 𝑧′ ∈ 𝐾(𝑧, 𝑟) takav da je |𝑓(𝑧)| <|𝑓(𝑧′)|.

Teorem 6.15 (princip maksimuma modula za krug) Neka je 𝑓 : 𝐾(𝑧0, 𝑟) → C neprekidna i holo-morfna na 𝐾(𝑧0, 𝑟). Tada je max

|𝑧−𝑧0|6𝑟|𝑓(𝑧)| = max

|𝑧−𝑧0|=𝑟|𝑓(𝑧)|.

Dokaz: Po principu maksimuma modula (Teorem 6.14) slijedi da 𝑓 ne postiže maksimum na𝐾(𝑧0, 𝑟), pa ga postiže na rubu.

Teorem 6.16 (Schwarzova1 lema) Neka je 𝑓 holomorfna na 𝐾(0, 1), 𝑓(𝐾(0, 1)) ⊆ 𝐾(0, 1), 𝑓(0) =0. Tada:

∙ ili je |𝑓(𝑧)| < |𝑧|, za svaki 𝑧 ∈ 𝐾*(0, 1), |𝑓 ′(0)| < 1,∙ ili postoji 𝛼 ∈ R takav da je 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑖𝛼𝑧, za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(0, 1) (rotacija za kut 𝛼).

Dokaz: Iz Teorema o razvoju holomorfne funkcije u red potencija (Teorem 3.5) slijedi

𝑓(𝑧) = 𝑓 ′(0) 𝑧 +𝑓 ′′(0)

2𝑧2 + . . . ,

pa je𝑓(𝑧)

𝑧= 𝑓 ′(0) +

𝑓 ′′(0)

2𝑧 + . . . ,

iz čega vidimo da

𝑧 ↦→ 𝑓(𝑧)

𝑧

ima uklonjivi singularitet. Definiramo 𝑔 : 𝐾(0, 1) → C sa

𝑔(𝑧) :=

𝑓(𝑧)𝑧 , 𝑧 = 0

𝑓 ′(0) , 𝑧 = 0.

Uočimo da za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(0, 1) i 𝑟 ∈ ⟨|𝑧| , 1⟩ po principu maksimuma modula za krug (Teorem6.15) vrijedi

|𝑔(𝑧)| < max|𝑤|=𝑟

|𝑔(𝑤)| = max|𝑤|=𝑟

𝑓(𝑤)

𝑤

= max

|𝑤|=𝑟

|𝑓(𝑤)|𝑟

<1

𝑟.

Puštanjem da 𝑟 teži u 1, dobivamo da za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(0, 1) je |𝑔(𝑧)| 6 1. Znači, za 𝑧 ∈ 𝐾*(0, 1) je|𝑓(𝑧)| 6 |𝑧|, a za 𝑧 = 0 je 𝑓 ′(0) 6 1. Ako za neki 𝑧 ∈ 𝐾(0, 1) vrijedi |𝑔(𝑧)| = 1, slijedi da |𝑔| postižemaksimum na 𝐾(0, 1). Iz principa maksimuma modula (Teorem 6.14) slijedi da je |𝑔| konstantna.Za svaki 𝑧 ∈ 𝐾(0, 1) vrijedi |𝑔(𝑧)| = 1, pa postoji 𝛼 ∈ R takav da je 𝑔(𝑧) = 𝑒𝑖𝛼. Iz definicije od 𝑔dobivamo da je 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑖𝛼𝑧.

1Karl Hermann Amandus Schwarz

28

http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Amandus_Schwarz

Literatura

Literatura

[1] E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis, Universitext, Springer, 2005.

29

Indeks

IndeksAbelova lema, 14

Cauchy-Hadamardov teorem, 14Cauchy-Riemannovi uvjeti, 2Cauchyjev kriterij konvergencije reda, 14Cauchyjev teorem za derivaciju, 4Cauchyjev teorem za zvjezdast skup, 6Cauchyjeva integralna formula za kružni vijenac, 8Cauchyjeva integralna formula za krug, 7Cauchyjeve ocjene za koeficijente Taylorovog reda, 17

Fundamentalna ocjena, 3

Generalizirana Cauchyjeva integralna formula za krug, 8Goursat-Pringsheimov teorem, 5

Karakterizacija izoliranih singulariteta, 22Karakterizacija Laurentovog razvoja, 20Karakterizacija lokalno uniformne konvergencije, 10

Liouvilleov teorem, 17Lokalna konstantnost, 3Lokalno uniformna konvergencija i integral po putu, 11

Morerin teorem, 11

Osnovni teorem algebre, 17Osnovni teorem algebre preko Rouchéovog teorema, 26

Princip jedinstvenosti holomorfne funkcije, 16Princip maksimuma modula, 28Princip maksimuma modula za krug, 28

Res = 0 za holomorfne funkcije, 24Rouchéov teorem, 26

Schwarzova lema, 28

Teorem o holomorfnosti reda potencija, 15Teorem o homomorfizmu i izomorfizmu, 27Teorem o izoliranosti nultočke holomorfne funkcije, 16Teorem o lokalnoj invertibilnosti holomorfne funkcije, 27Teorem o lokalnoj konvergenciji neprekidnih funkcija, 10Teorem o otvorenom preslikavanju, 27Teorem o razvoju holomorfne funkcije u Laurentov red, 19Teorem o razvoju holomorfne funkcije u red potencija, 15Teorem o reziduumima funkcija s konačno mnogo singulariteta, 24Teorem o reziduumima za konturu, 25

Weierstrassov M-test, 13Weierstrassov pripremni teorem, 26Weierstrassov teorem, 12

30

kompleksna analiza

Documents