kompleksna analiza zad
TRANSCRIPT
MATICNI BROJ STUDENTA IME I PREZIME BROJ BODOVA
KOMPLEKSNA ANALIZA2. kolokvij - 2. lipnja 2011.
ZADATAK 4
Neka su m i n prirodni brojevi. Odredi broj nultocaka (racunajuci i kratnosti) funkcije
f(z) = 1 +z2
2!+
z4
4!+ · · ·+ z2m
(2m)!+ 2zn
unutar skupa {z ∈ C : |z| < 1}.
R. Mrazovic
RJESENJE
Definirajmo cijele funkcije
g(z) := 1 +z2
2!+
z4
4!+ · · ·+ z2m
(2m)!,
h(z) := 2zn.
Ocito je f = g + h. Neka je z ∈ C takav da je |z| = 1 (dakle, s ruba podrucja u kojemutrazimo broj nultocaka). Tada je
|g(z)| =∣∣∣∣1 + z2
2!+
z4
4!+ · · ·+ z2m
(2m)!
∣∣∣∣≤ 1 +
|z|2
2!+
|z|4
4!+ · · ·+ |z|2m
(2m)!
<∞∑k=0
|z|2k
(2k)!
= ch |z|
Medutim, posto je |z| = 1, imamo
|g(z)| < ch 1 =e+ 1
e
2<
3 + 12
2< 2.
S druge strane, za |z| = 1 je|h(z)| = 2|z|n = 2.
Ovime smo pokazali da je za sve tocke z sa promatranog ruba |g(z)| < |h(z)|. Prema Ro-ucheovom teoremu slijedi da funkcije h i g+h = f na podrucju K(0, 1) imaju jednako mnogonultocaka (ukljucujuci i pripadne kratnosti). Naravno, funkcija h ima jednu nultocku (0) kojaje kratnosti n, pa zakljucujemo da funkcija f ima n nultocaka na promatranome podrucju.