komputasi geofisika new

Modul Praktikum Komputasi Geofisika

PRAKTIKUM 4

INTEGRASI NUMERIK(Metode integrasi reimann, trapezoid, simpson 1/3 dan 1/8)

I. Tujuan1) Mengetahui metode-metode yang digunakan untuk menghitung nilai

integral suatu persamaan.

2) Meghitung nilai integral dalam suatu persamaan.

II. Pendahuluan

Integral mempunyai banyak terapan dalam bidang sains dan rekayasa.

Dalam praktek rekayasa, seringkali fungsi yang diintegrasikan (integrand) adalah

fungsi empirik yang diberikan dalam bentuk tabel, atau integrand-nya tidak dalam

bentuk fungsi elementer (seperti sinh x, fungsi Gamma G(a), dsb), atau

fungsieksplisit f yang terlalu rumit untuk diintegralkan [KRE88]. Oleh sebab itu,

metode numerik dapat digunakan untuk menghampiri integrasi. Di bawah ini

diberikan beberapa contoh persoalan dalam bidang sains dan rekayasa.

a. Dalam bidang fisika, integral digunakan untuk menghitung

persamaankecepatan. Misalkan kecepatan sebuah partikel merupakan fungsi

waktu menerus yang diketahui terhadap waktu, v(t). Jarak total d yang

ditempuh oleh partikel ini selama waktu t diberikan oleh:

b. Dalam bidang teknik elektro/kelistrikan, telah diketahui bahwa harga rata-

ratasuatu arus listrik yang berosilasi sepanjang satu periode boleh nol.

Disamping kenyataan bahwa hasil netto adalah nol, arus tersebut mampu

menimbulkan kerja dan menghasilkan panas. Karena itu para rekayasa dan

listrik sering mencirikan arus yang demikian dengan persamaan:


yang dalam hal ini IRMS adalah arus RMS (root-mean-square), T

adalahperiode, dan i(t) adalah arus pada rangkaian, misalnya:

i(t) = 5e-2tsin 2t = 0

untuk 0 t T/2 atauT/2 t T

Persoalan integrasi numerik ialah menghitung secara numerik integral Tentu

Yang dalam hal ini a dan b batas-batas integrasi, f adalah fungsi yang dapat

diberikan secara eksplisit dalam bentuk persamaan ataupun secara empirik dalam

bentuk tabel nilai. Lingkup terapan bidang rekaasa menyangkut solusi persamaan

difernsial dalam medium yang terbatas (finite). Dalam integral numerik tersebut

dapat diselesaikan dengan beberapa mtode berikut:

1) Metode Integrasi Reimann

Pada metode Reimann ini merupakan metode integrasi yang digunakan

dalam kalkulus. Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x. Luasan dibagi

menjadi N bagian pada range x = [a,b]. Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi

panjang dimana Li=f(xi). Dan didefinisikan pada persamaan 1serta gambar1.


0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Gambar 1. Metode Integrasi Reimann

Persamaan yang didapat ialah:

∫a

b

f ( x )dx=h∑i=0

n

f (xi ).....(1)

2) Metode Integrasi Trapezoid

Diberikan dua buah titik data (0, f(0)) dan (h, f(h)). Polinom interpolasi yang

melalui kedua buah titik itu adalah sebuah garis lurus. Luas daerah yang dihitung

sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah garis lurus tersebut


Gambar 2. Metode Trapezoid

Pada metode trapezoid ini, setiap bagian dinyatakan sebagai trapezium, seperti

pada gambar 2 dan persamaan 2

.....(2)

Dengan h= b-a.

3) Metode Integrasi Simpson

Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan

mengunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Misalkan fungsi f(x)

dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk

parabola. Luasdaerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah

daerah di bawah parabola (Gambar 3). Untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik data,

misalkan (0, f(0)),(h, f(h)), dan (2h, f(2h)).


Gambar 3. Metode Simpson 1/3

Persamaan metode integrasi simpson 1/3

.....(3)

Persaman (3) ini dinamakan kaidah Simpson 1/3. Sebutan "1/3" muncul

karenaterdapat faktor "1/3" (sekaligus untuk membedakannya dengan kaidah

Smpson yang lain, yaitu Simpson 3/8).

Seperti halnya pada kaidah Simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang lebih

teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom interpolasi berderajat

lebih tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom

interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi

adalah daerah di bawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola (Gambar 4).

Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data,

misalkan titik-titk tersebut (0, f(0)), (h, f(h)), (2h, f(2h)), dan (3h, f(3h)).


Gambar 4. Metode Integrasi Simpson 3/8

Persamaan metode integrasi Simpson 3/8 ialah:

.....(4)

III. Tugas Pendahuluan

IV. Listing Program

Metode Trapesium

Metode Simpson1/3


Metode Simpson 3/8


TUGAS KOMPUTASI GEOFISIKA

NAM : AJENG MAHESTRI J1D11202

MUHAMMAD FAHMI J1D113

DOSEN : Bapak SIMON SADOK SIREGAR, S.Si., M.Si

komputasi geofisika new

Documents