komputeralgebra rendszerek - eötvös loránd...
TRANSCRIPT
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
Komputeralgebra RendszerekNormálformák, algebrai reprezentáció
Czirbusz SándorELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
2014. április 8.
TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
TARTALOMJEGYZÉK I1 TARTALOMJEGYZÉK
2 Az absztrakció szintjei
3 Normál- és kanonikus formaAz egyszerusítés problémájaEgyszerusítok
4 Polinomok normálformájaTöbbváltozós polinomokNormál formákRacionális kifejezések
5 MAPLE megvalósításokKifejtésSzorzattá alakításEgyszerusítésNormalizációEgyütthatók összevonásaRendezés
6 SAGE megvalósításokKifejtés
TARTALOMJEGYZÉK 2 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
TARTALOMJEGYZÉK IISzorzattá alakításEgyszerusítésNormalizáció
TARTALOMJEGYZÉK 3 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI
Objektum-szintMaga a matematikai objektum.
A forma szintjeAz objektum egy megjelenési formája a kiválasztottszimbólumok segítségével.
a(x, y) = 12x2y− 4xy + 9x− 3a(x, y) = (3x− 1)(4xy + 3)
a(x, y) = (12y)x2 + (−4y + 9)x
Az adatstruktúra szintjeAz adott forma számítógépes reprezentációja.
Az absztrakció szintjei 4 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI
Objektum-szintMaga a matematikai objektum.
A forma szintjeAz objektum egy megjelenési formája a kiválasztottszimbólumok segítségével.
a(x, y) = 12x2y− 4xy + 9x− 3a(x, y) = (3x− 1)(4xy + 3)
a(x, y) = (12y)x2 + (−4y + 9)x
Az adatstruktúra szintjeAz adott forma számítógépes reprezentációja.
Az absztrakció szintjei 5 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI
Objektum-szintMaga a matematikai objektum.
A forma szintjeAz objektum egy megjelenési formája a kiválasztottszimbólumok segítségével.
a(x, y) = 12x2y− 4xy + 9x− 3a(x, y) = (3x− 1)(4xy + 3)
a(x, y) = (12y)x2 + (−4y + 9)x
Az adatstruktúra szintjeAz adott forma számítógépes reprezentációja.
Az absztrakció szintjei 6 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI
Objektum-szintMaga a matematikai objektum.
A forma szintjeAz objektum egy megjelenési formája a kiválasztottszimbólumok segítségével.
a(x, y) = 12x2y− 4xy + 9x− 3
a(x, y) = (3x− 1)(4xy + 3)
a(x, y) = (12y)x2 + (−4y + 9)x
Az adatstruktúra szintjeAz adott forma számítógépes reprezentációja.
Az absztrakció szintjei 7 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI
Objektum-szintMaga a matematikai objektum.
A forma szintjeAz objektum egy megjelenési formája a kiválasztottszimbólumok segítségével.
a(x, y) = 12x2y− 4xy + 9x− 3a(x, y) = (3x− 1)(4xy + 3)
a(x, y) = (12y)x2 + (−4y + 9)x
Az adatstruktúra szintjeAz adott forma számítógépes reprezentációja.
Az absztrakció szintjei 8 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI
Objektum-szintMaga a matematikai objektum.
A forma szintjeAz objektum egy megjelenési formája a kiválasztottszimbólumok segítségével.
a(x, y) = 12x2y− 4xy + 9x− 3a(x, y) = (3x− 1)(4xy + 3)
a(x, y) = (12y)x2 + (−4y + 9)x
Az adatstruktúra szintjeAz adott forma számítógépes reprezentációja.
Az absztrakció szintjei 9 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI
Objektum-szintMaga a matematikai objektum.
A forma szintjeAz objektum egy megjelenési formája a kiválasztottszimbólumok segítségével.
a(x, y) = 12x2y− 4xy + 9x− 3a(x, y) = (3x− 1)(4xy + 3)
a(x, y) = (12y)x2 + (−4y + 9)x
Az adatstruktúra szintjeAz adott forma számítógépes reprezentációja.
Az absztrakció szintjei 10 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ EGYSZERUSÍTÉS PROBLÉMÁJA
Az egyszerusítés célja
Eroforrás-kímélésEmberi értelmezhetoség(x + y)1000 − y1000 vs. x1000 − y1000
Zéró-ekvivalenciaEgyszerubb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusanmegoldhatatlan:
log(
tan(x
2
))+ sec
(x2
)− sinh−1
(sin x
1 + cos x
)(−1 5 x 5 1)
Normál- és kanonikus forma 11 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ EGYSZERUSÍTÉS PROBLÉMÁJA
Az egyszerusítés célja
Eroforrás-kímélésEmberi értelmezhetoség(x + y)1000 − y1000 vs. x1000 − y1000
Zéró-ekvivalenciaEgyszerubb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusanmegoldhatatlan:
log(
tan(x
2
))+ sec
(x2
)− sinh−1
(sin x
1 + cos x
)(−1 5 x 5 1)
Normál- és kanonikus forma 12 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ EGYSZERUSÍTÉS PROBLÉMÁJA
Az egyszerusítés céljaEroforrás-kímélés
Emberi értelmezhetoség(x + y)1000 − y1000 vs. x1000 − y1000
Zéró-ekvivalenciaEgyszerubb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusanmegoldhatatlan:
log(
tan(x
2
))+ sec
(x2
)− sinh−1
(sin x
1 + cos x
)(−1 5 x 5 1)
Normál- és kanonikus forma 13 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ EGYSZERUSÍTÉS PROBLÉMÁJA
Az egyszerusítés céljaEroforrás-kímélésEmberi értelmezhetoség
(x + y)1000 − y1000 vs. x1000 − y1000
Zéró-ekvivalenciaEgyszerubb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusanmegoldhatatlan:
log(
tan(x
2
))+ sec
(x2
)− sinh−1
(sin x
1 + cos x
)(−1 5 x 5 1)
Normál- és kanonikus forma 14 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ EGYSZERUSÍTÉS PROBLÉMÁJA
Az egyszerusítés céljaEroforrás-kímélésEmberi értelmezhetoség(x + y)1000 − y1000 vs. x1000 − y1000
Zéró-ekvivalenciaEgyszerubb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusanmegoldhatatlan:
log(
tan(x
2
))+ sec
(x2
)− sinh−1
(sin x
1 + cos x
)(−1 5 x 5 1)
Normál- és kanonikus forma 15 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
AZ EGYSZERUSÍTÉS PROBLÉMÁJA
Az egyszerusítés céljaEroforrás-kímélésEmberi értelmezhetoség(x + y)1000 − y1000 vs. x1000 − y1000
Zéró-ekvivalenciaEgyszerubb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusanmegoldhatatlan:
log(
tan(x
2
))+ sec
(x2
)− sinh−1
(sin x
1 + cos x
)(−1 5 x 5 1)
Normál- és kanonikus forma 16 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTOK
E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval.∼ egy ekvivalenciareláció.
≡ a forma szintu, = az ojektum szintu egyenloség.Normál függvény: f : E→ E-re teljesülnek a következok:
f (a) ∼ a minden a ∈ E-reHa a ∼ 0, akkor f (a) ≡ f (0)
Kanonikus függvény: normál függvény és ha a ∼ b, akkorf (a) ≡ f (b)
Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomraa lehetséges beszorzásokat, majd gyujtsük össze az azonosfokú tagokat.Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. +rendezzük a tagokat csökkeno sorrendben.
Normál- és kanonikus forma 17 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTOK
E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval.∼ egy ekvivalenciareláció.≡ a forma szintu, = az ojektum szintu egyenloség.
Normál függvény: f : E→ E-re teljesülnek a következok:
f (a) ∼ a minden a ∈ E-reHa a ∼ 0, akkor f (a) ≡ f (0)
Kanonikus függvény: normál függvény és ha a ∼ b, akkorf (a) ≡ f (b)
Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomraa lehetséges beszorzásokat, majd gyujtsük össze az azonosfokú tagokat.Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. +rendezzük a tagokat csökkeno sorrendben.
Normál- és kanonikus forma 18 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTOK
E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval.∼ egy ekvivalenciareláció.≡ a forma szintu, = az ojektum szintu egyenloség.Normál függvény: f : E→ E-re teljesülnek a következok:
f (a) ∼ a minden a ∈ E-reHa a ∼ 0, akkor f (a) ≡ f (0)
Kanonikus függvény: normál függvény és ha a ∼ b, akkorf (a) ≡ f (b)
Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomraa lehetséges beszorzásokat, majd gyujtsük össze az azonosfokú tagokat.Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. +rendezzük a tagokat csökkeno sorrendben.
Normál- és kanonikus forma 19 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTOK
E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval.∼ egy ekvivalenciareláció.≡ a forma szintu, = az ojektum szintu egyenloség.Normál függvény: f : E→ E-re teljesülnek a következok:
f (a) ∼ a minden a ∈ E-re
Ha a ∼ 0, akkor f (a) ≡ f (0)
Kanonikus függvény: normál függvény és ha a ∼ b, akkorf (a) ≡ f (b)
Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomraa lehetséges beszorzásokat, majd gyujtsük össze az azonosfokú tagokat.Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. +rendezzük a tagokat csökkeno sorrendben.
Normál- és kanonikus forma 20 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTOK
E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval.∼ egy ekvivalenciareláció.≡ a forma szintu, = az ojektum szintu egyenloség.Normál függvény: f : E→ E-re teljesülnek a következok:
f (a) ∼ a minden a ∈ E-reHa a ∼ 0, akkor f (a) ≡ f (0)
Kanonikus függvény: normál függvény és ha a ∼ b, akkorf (a) ≡ f (b)
Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomraa lehetséges beszorzásokat, majd gyujtsük össze az azonosfokú tagokat.Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. +rendezzük a tagokat csökkeno sorrendben.
Normál- és kanonikus forma 21 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTOK
E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval.∼ egy ekvivalenciareláció.≡ a forma szintu, = az ojektum szintu egyenloség.Normál függvény: f : E→ E-re teljesülnek a következok:
f (a) ∼ a minden a ∈ E-reHa a ∼ 0, akkor f (a) ≡ f (0)
Kanonikus függvény: normál függvény és ha a ∼ b, akkorf (a) ≡ f (b)
Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomraa lehetséges beszorzásokat, majd gyujtsük össze az azonosfokú tagokat.Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. +rendezzük a tagokat csökkeno sorrendben.
Normál- és kanonikus forma 22 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTOK
E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval.∼ egy ekvivalenciareláció.≡ a forma szintu, = az ojektum szintu egyenloség.Normál függvény: f : E→ E-re teljesülnek a következok:
f (a) ∼ a minden a ∈ E-reHa a ∼ 0, akkor f (a) ≡ f (0)
Kanonikus függvény: normál függvény és ha a ∼ b, akkorf (a) ≡ f (b)
Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomraa lehetséges beszorzásokat, majd gyujtsük össze az azonosfokú tagokat.
Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. +rendezzük a tagokat csökkeno sorrendben.
Normál- és kanonikus forma 23 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTOK
E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval.∼ egy ekvivalenciareláció.≡ a forma szintu, = az ojektum szintu egyenloség.Normál függvény: f : E→ E-re teljesülnek a következok:
f (a) ∼ a minden a ∈ E-reHa a ∼ 0, akkor f (a) ≡ f (0)
Kanonikus függvény: normál függvény és ha a ∼ b, akkorf (a) ≡ f (b)
Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomraa lehetséges beszorzásokat, majd gyujtsük össze az azonosfokú tagokat.Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. +rendezzük a tagokat csökkeno sorrendben.
Normál- és kanonikus forma 24 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
TULAJDONSÁGOK I
TételHa f egy kanonikus függvény az (E,∼)-en, akkor
1 f idempotens, azaz f ◦ f = f ;2 f (a) ≡ f (b) pontosan akkor, ha a ∼ b;3 Minden E/∼ ekvivalencia osztályban pontosan egy kanonikus
alak van.
Bizonyítás
1 Mivel f normál függvény, minden a ∈ E esetén f (a) ∼ a,viszont a kanonikus volta miatt f (f (a)) ≡ f (a);
2 A „ha” irány a definíció; az akkor irányhoz: ha f (a) ≡ f (b),úgy a ∼ f (a) ≡ f (b) ∼ b, ezért a ∼ b;
Normál- és kanonikus forma 25 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
TULAJDONSÁGOK II
3 Létezés: Legyen a ∈ E, és a ≡ f (a). Ekkor azidempotencia miatt f (a) ≡ f (f (a)) ≡ f (a) ≡ a
Egyértelmuség: Ha a1 és a2 két kanonikus formaugyanabban az ekvivalencia osztályban,akkor a1 ∼ a2, a függvény kanonikus voltamiatt ezért f (a1) ≡ f (a2), így a1 ≡ a2.
Normál- és kanonikus forma 26 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
TÖBBVÁLTOZÓS POLINOMOK
Legyenek R egy gyuru, n pozitív egész szám, x1, x2, . . . , xnszimbólumok.Rekurzív: a ∈ R[x1, x2, . . . , xn] magadása∑deg1(a)
i=0 ai(x2), . . . xn) · xi1
Disztributív: a(x) =∑
e∈Nn axe
Polinomok normálformája 27 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
TÖBBVÁLTOZÓS POLINOMOK
Legyenek R egy gyuru, n pozitív egész szám, x1, x2, . . . , xnszimbólumok.Rekurzív: a ∈ R[x1, x2, . . . , xn] magadása∑deg1(a)
i=0 ai(x2), . . . xn) · xi1
Disztributív: a(x) =∑
e∈Nn axe
Polinomok normálformája 28 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 29 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;
ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 30 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 31 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 32 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.
Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 33 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 34 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 35 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 36 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK I
Az R[x1, . . . , xn] polinomgyuruben aKiszorzott normál forma az
f1:
i) végezzük el az összes polinomszorzást;ii) gyujtsük össze az azonos fokszámúakat;
normál függvény.Kiszorzott kanonikus forma az
f2:
iii) rendezzük a tagokat fokszám szerintcsökkeno sorrendbe.
kanonikus függvény.
Polinomok normálformája 37 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK II
Faktorizált normál forma:f3:
Ha a kifejezés∏k
i=1 pi, pi ∈ R[x1, . . . , xn] alakú, ahola pi-k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést∏k
i=1 f2(pi)-vel, ahol f2 az elozo kanonikusfüggvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik pizérus.
Faktorizált kanonikus forma:
f4:Alkalmazzuk f3-at, majd az összes f2(pi)-tfaktorizáljuk és gyujtsük össze az azonosfaktorokat.
Polinomok normálformája 38 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK II
Faktorizált normál forma:f3:
Ha a kifejezés∏k
i=1 pi, pi ∈ R[x1, . . . , xn] alakú, ahola pi-k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést∏k
i=1 f2(pi)-vel, ahol f2 az elozo kanonikusfüggvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik pizérus.
Faktorizált kanonikus forma:
f4:Alkalmazzuk f3-at, majd az összes f2(pi)-tfaktorizáljuk és gyujtsük össze az azonosfaktorokat.
Polinomok normálformája 39 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK II
Faktorizált normál forma:f3:
Ha a kifejezés∏k
i=1 pi, pi ∈ R[x1, . . . , xn] alakú, ahola pi-k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést∏k
i=1 f2(pi)-vel, ahol f2 az elozo kanonikusfüggvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik pizérus.
Faktorizált kanonikus forma:f4:
Alkalmazzuk f3-at, majd az összes f2(pi)-tfaktorizáljuk és gyujtsük össze az azonosfaktorokat.
Polinomok normálformája 40 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK II
Faktorizált normál forma:f3:
Ha a kifejezés∏k
i=1 pi, pi ∈ R[x1, . . . , xn] alakú, ahola pi-k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést∏k
i=1 f2(pi)-vel, ahol f2 az elozo kanonikusfüggvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik pizérus.
Faktorizált kanonikus forma:f4:
Alkalmazzuk f3-at, majd az összes f2(pi)-tfaktorizáljuk és gyujtsük össze az azonosfaktorokat.
Polinomok normálformája 41 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMÁL FORMÁK II
Faktorizált normál forma:f3:
Ha a kifejezés∏k
i=1 pi, pi ∈ R[x1, . . . , xn] alakú, ahola pi-k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést∏k
i=1 f2(pi)-vel, ahol f2 az elozo kanonikusfüggvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik pizérus.
Faktorizált kanonikus forma:f4:
Alkalmazzuk f3-at, majd az összes f2(pi)-tfaktorizáljuk és gyujtsük össze az azonosfaktorokat.
Polinomok normálformája 42 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
PÉLDA I
Legyen Z[x, y]-ben
a(x, y) =((x2 − xy + x) + (x2 + 3)(x− y + 1))·((y3 − 3y2 − 9y− 5) + x4(y2 + 2y + 1))q, .
Disztributív reprezentációban a kiszorzott normál forma:
fl(a(x, y)) = 5x2y3 + 3x2y2 − 13x2y− 10x2 + 3x6y + 2x6 − xy4 + 7xy3
− 3xy2 − 31xy− x5y3 + 2x5y2 + 7x5y− 20x + 4x5 + x3y3
− 3x3y2 − 9x3y− 5x3 + x7y2 + 2x7y + x7 − x2y4 − x6y3
+ 7xy3 − 3xy2 − 31xy− 20x− 3y4 + 12y3 + 18y2 − 12y− 15 .
A kiszorzott kanonikus forma:
Polinomok normálformája 43 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
PÉLDA IIf2(a(x, y)) = x7y32 + 2x7y + x7 − x6y3 + 3x6y + 2x6 − x5y3 + 2x5y2
+ 7x5y + 4x53x4y3− 3x4y2 + 3x4y + 3x4 + x3y3 − 3x3y2
− 9x3y− 5x3 − x2y4 + 5x2y3 + 3x2y32− 13x2y− 10x32− xy4
+ 7xy3 − 3xy2 − 31xy− 20x− 3y4 + 12y3 + 18y2 − 12y− 15 .
Faktorizált normál forma:
f3(a(x, y)) =(x3 − x2y + 2x2 − xy + 4x− 3y + 3)·(x4y32 + 2x4y + x4 + y3 − 3y2 − 9y− 5) .
Faktorizált kanonikus forma:
f4(a(x, y)) = (x− y + 1)(x2 + x + 3)(x4 + y− 5)(y + 1)2 .
Polinomok normálformája 44 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
ÉSZREVÉTELEK
A polinomfaktorizáció költséges, ezért az f4-et ritkánvalósítják meg;
Az f1 és f2 közötti költségtöbblet jelentéktelen, gyakranösszevonják
Polinomok normálformája 45 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
ÉSZREVÉTELEK
A polinomfaktorizáció költséges, ezért az f4-et ritkánvalósítják meg;Az f1 és f2 közötti költségtöbblet jelentéktelen, gyakranösszevonják
Polinomok normálformája 46 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK
Az R(x1, . . . , xn) hányadostestben egy elem kiszorzottkanonikus formája
f5:
i) ab alakra hozás, ahol a, b ∈ R[x1, . . . , xn]polinomok;
ii) egyszerusítés az lnko-val;iii) egység-normalizálás;iv) a számláló és a nevezo kanonikus alakra
hozása.
Polinomok normálformája 47 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK
Az R(x1, . . . , xn) hányadostestben egy elem kiszorzottkanonikus formája
f5:
i) ab alakra hozás, ahol a, b ∈ R[x1, . . . , xn]polinomok;
ii) egyszerusítés az lnko-val;iii) egység-normalizálás;iv) a számláló és a nevezo kanonikus alakra
hozása.
Polinomok normálformája 48 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK
Az R(x1, . . . , xn) hányadostestben egy elem kiszorzottkanonikus formája
f5:
i) ab alakra hozás, ahol a, b ∈ R[x1, . . . , xn]polinomok;
ii) egyszerusítés az lnko-val;
iii) egység-normalizálás;iv) a számláló és a nevezo kanonikus alakra
hozása.
Polinomok normálformája 49 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK
Az R(x1, . . . , xn) hányadostestben egy elem kiszorzottkanonikus formája
f5:
i) ab alakra hozás, ahol a, b ∈ R[x1, . . . , xn]polinomok;
ii) egyszerusítés az lnko-val;iii) egység-normalizálás;
iv) a számláló és a nevezo kanonikus alakrahozása.
Polinomok normálformája 50 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK
Az R(x1, . . . , xn) hányadostestben egy elem kiszorzottkanonikus formája
f5:
i) ab alakra hozás, ahol a, b ∈ R[x1, . . . , xn]polinomok;
ii) egyszerusítés az lnko-val;iii) egység-normalizálás;iv) a számláló és a nevezo kanonikus alakra
hozása.
Polinomok normálformája 51 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
VARIÁCIÓK
faktorizált/faktorizált;
faktorizált/kiszorzott;kiszorzott/faktorizált;kiszorzott/kiszorzott azaz a kanonikus alak.
Polinomok normálformája 52 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
VARIÁCIÓK
faktorizált/faktorizált;faktorizált/kiszorzott;
kiszorzott/faktorizált;kiszorzott/kiszorzott azaz a kanonikus alak.
Polinomok normálformája 53 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
VARIÁCIÓK
faktorizált/faktorizált;faktorizált/kiszorzott;kiszorzott/faktorizált;
kiszorzott/kiszorzott azaz a kanonikus alak.
Polinomok normálformája 54 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
VARIÁCIÓK
faktorizált/faktorizált;faktorizált/kiszorzott;kiszorzott/faktorizált;kiszorzott/kiszorzott azaz a kanonikus alak.
Polinomok normálformája 55 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
expand
Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontjaa zárójeleket" ;A kifn-részkifejezéseket „nem bántja”;A negatív kitevokkel nem foglalkozik (a nevezore különalkalmazandó);A nem-egész kitevokkel nem foglalkozik;Véges gyuruk, testek fölött: Expand(expr) mod nplusz evala;Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP).
MAPLE megvalósítások 56 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
expand
Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontjaa zárójeleket" ;
A kifn-részkifejezéseket „nem bántja”;A negatív kitevokkel nem foglalkozik (a nevezore különalkalmazandó);A nem-egész kitevokkel nem foglalkozik;Véges gyuruk, testek fölött: Expand(expr) mod nplusz evala;Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP).
MAPLE megvalósítások 57 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
expand
Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontjaa zárójeleket" ;A kifn-részkifejezéseket „nem bántja”;
A negatív kitevokkel nem foglalkozik (a nevezore különalkalmazandó);A nem-egész kitevokkel nem foglalkozik;Véges gyuruk, testek fölött: Expand(expr) mod nplusz evala;Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP).
MAPLE megvalósítások 58 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
expand
Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontjaa zárójeleket" ;A kifn-részkifejezéseket „nem bántja”;A negatív kitevokkel nem foglalkozik (a nevezore különalkalmazandó);
A nem-egész kitevokkel nem foglalkozik;Véges gyuruk, testek fölött: Expand(expr) mod nplusz evala;Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP).
MAPLE megvalósítások 59 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
expand
Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontjaa zárójeleket" ;A kifn-részkifejezéseket „nem bántja”;A negatív kitevokkel nem foglalkozik (a nevezore különalkalmazandó);A nem-egész kitevokkel nem foglalkozik;
Véges gyuruk, testek fölött: Expand(expr) mod nplusz evala;Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP).
MAPLE megvalósítások 60 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
expand
Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontjaa zárójeleket" ;A kifn-részkifejezéseket „nem bántja”;A negatív kitevokkel nem foglalkozik (a nevezore különalkalmazandó);A nem-egész kitevokkel nem foglalkozik;Véges gyuruk, testek fölött: Expand(expr) mod nplusz evala;
Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP).
MAPLE megvalósítások 61 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
expand
Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontjaa zárójeleket" ;A kifn-részkifejezéseket „nem bántja”;A negatív kitevokkel nem foglalkozik (a nevezore különalkalmazandó);A nem-egész kitevokkel nem foglalkozik;Véges gyuruk, testek fölött: Expand(expr) mod nplusz evala;Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP).
MAPLE megvalósítások 62 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
factor
Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand„testvére”.Tényezokre bontja az alapstruktúra fölött apolinomot.(Faktorizált normálforma);A K polinom a Q test bovítését írja le;Véges gyuruk fölött: Factor;Felbontási test generálása:PolynomialTools:-Split(polynom);AFactor - a C fölötti faktorizációNégyzetmentes faktorizációconvert(poly,squarefree).
MAPLE megvalósítások 63 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
factor
Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand„testvére”.Tényezokre bontja az alapstruktúra fölött apolinomot.(Faktorizált normálforma);
A K polinom a Q test bovítését írja le;Véges gyuruk fölött: Factor;Felbontási test generálása:PolynomialTools:-Split(polynom);AFactor - a C fölötti faktorizációNégyzetmentes faktorizációconvert(poly,squarefree).
MAPLE megvalósítások 64 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
factor
Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand„testvére”.Tényezokre bontja az alapstruktúra fölött apolinomot.(Faktorizált normálforma);A K polinom a Q test bovítését írja le;
Véges gyuruk fölött: Factor;Felbontási test generálása:PolynomialTools:-Split(polynom);AFactor - a C fölötti faktorizációNégyzetmentes faktorizációconvert(poly,squarefree).
MAPLE megvalósítások 65 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
factor
Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand„testvére”.Tényezokre bontja az alapstruktúra fölött apolinomot.(Faktorizált normálforma);A K polinom a Q test bovítését írja le;Véges gyuruk fölött: Factor;
Felbontási test generálása:PolynomialTools:-Split(polynom);AFactor - a C fölötti faktorizációNégyzetmentes faktorizációconvert(poly,squarefree).
MAPLE megvalósítások 66 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
factor
Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand„testvére”.Tényezokre bontja az alapstruktúra fölött apolinomot.(Faktorizált normálforma);A K polinom a Q test bovítését írja le;Véges gyuruk fölött: Factor;Felbontási test generálása:PolynomialTools:-Split(polynom);
AFactor - a C fölötti faktorizációNégyzetmentes faktorizációconvert(poly,squarefree).
MAPLE megvalósítások 67 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
factor
Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand„testvére”.Tényezokre bontja az alapstruktúra fölött apolinomot.(Faktorizált normálforma);A K polinom a Q test bovítését írja le;Véges gyuruk fölött: Factor;Felbontási test generálása:PolynomialTools:-Split(polynom);AFactor - a C fölötti faktorizáció
Négyzetmentes faktorizációconvert(poly,squarefree).
MAPLE megvalósítások 68 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
factor
Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand„testvére”.Tényezokre bontja az alapstruktúra fölött apolinomot.(Faktorizált normálforma);A K polinom a Q test bovítését írja le;Véges gyuruk fölött: Factor;Felbontási test generálása:PolynomialTools:-Split(polynom);AFactor - a C fölötti faktorizációNégyzetmentes faktorizációconvert(poly,squarefree).
MAPLE megvalósítások 69 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
Az automatikus egyszerusítés mellett szükségünk van az„igény szerinti” egyszerusítésre:
simplify
Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes: ?simplify;Értelmezés: A kifejezést egyszerusíti „igény” szerint;
Opciók : pl. radical, ln. A különbözo jellegukifejezések speciális egyszerusítoinekmeghívására. .
MAPLE megvalósítások 70 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
Az automatikus egyszerusítés mellett szükségünk van az„igény szerinti” egyszerusítésre:
simplify
Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes: ?simplify;
Értelmezés: A kifejezést egyszerusíti „igény” szerint;Opciók : pl. radical, ln. A különbözo jellegu
kifejezések speciális egyszerusítoinekmeghívására. .
MAPLE megvalósítások 71 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
Az automatikus egyszerusítés mellett szükségünk van az„igény szerinti” egyszerusítésre:
simplify
Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes: ?simplify;Értelmezés: A kifejezést egyszerusíti „igény” szerint;
Opciók : pl. radical, ln. A különbözo jellegukifejezések speciális egyszerusítoinekmeghívására. .
MAPLE megvalósítások 72 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
Az automatikus egyszerusítés mellett szükségünk van az„igény szerinti” egyszerusítésre:
simplify
Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes: ?simplify;Értelmezés: A kifejezést egyszerusíti „igény” szerint;
Opciók : pl. radical, ln. A különbözo jellegukifejezések speciális egyszerusítoinekmeghívására. .
MAPLE megvalósítások 73 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
normal
Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizáltnormálforma)
Szintaxis: normal(f [, expanded]);Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ;Az expanded paraméter a számlálót és a nevezotfelbontja;Általánosított racionális kifejezéseken is muködik;Normal + mod a véges struktúrákban.
MAPLE megvalósítások 74 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
normal
Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizáltnormálforma)
Szintaxis: normal(f [, expanded]);
Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ;Az expanded paraméter a számlálót és a nevezotfelbontja;Általánosított racionális kifejezéseken is muködik;Normal + mod a véges struktúrákban.
MAPLE megvalósítások 75 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
normal
Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizáltnormálforma)
Szintaxis: normal(f [, expanded]);Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ;
Az expanded paraméter a számlálót és a nevezotfelbontja;Általánosított racionális kifejezéseken is muködik;Normal + mod a véges struktúrákban.
MAPLE megvalósítások 76 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
normal
Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizáltnormálforma)
Szintaxis: normal(f [, expanded]);Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ;Az expanded paraméter a számlálót és a nevezotfelbontja;
Általánosított racionális kifejezéseken is muködik;Normal + mod a véges struktúrákban.
MAPLE megvalósítások 77 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
normal
Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizáltnormálforma)
Szintaxis: normal(f [, expanded]);Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ;Az expanded paraméter a számlálót és a nevezotfelbontja;Általánosított racionális kifejezéseken is muködik;
Normal + mod a véges struktúrákban.
MAPLE megvalósítások 78 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
normal
Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizáltnormálforma)
Szintaxis: normal(f [, expanded]);Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ;Az expanded paraméter a számlálót és a nevezotfelbontja;Általánosított racionális kifejezéseken is muködik;Normal + mod a véges struktúrákban.
MAPLE megvalósítások 79 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA
collect
Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): azegyütthatók összevonását végzi;A form paraméter „recursive” (default), vagy„distributed” lehet;A func opció többnyire egyszerusítés, vagy faktorizáció;Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre;LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetettkifejezés elrejtésére
MAPLE megvalósítások 80 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA
collectSzintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): azegyütthatók összevonását végzi;
A form paraméter „recursive” (default), vagy„distributed” lehet;A func opció többnyire egyszerusítés, vagy faktorizáció;Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre;LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetettkifejezés elrejtésére
MAPLE megvalósítások 81 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA
collectSzintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): azegyütthatók összevonását végzi;A form paraméter „recursive” (default), vagy„distributed” lehet;
A func opció többnyire egyszerusítés, vagy faktorizáció;Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre;LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetettkifejezés elrejtésére
MAPLE megvalósítások 82 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA
collectSzintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): azegyütthatók összevonását végzi;A form paraméter „recursive” (default), vagy„distributed” lehet;A func opció többnyire egyszerusítés, vagy faktorizáció;
Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre;LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetettkifejezés elrejtésére
MAPLE megvalósítások 83 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA
collectSzintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): azegyütthatók összevonását végzi;A form paraméter „recursive” (default), vagy„distributed” lehet;A func opció többnyire egyszerusítés, vagy faktorizáció;Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre;
LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetettkifejezés elrejtésére
MAPLE megvalósítások 84 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA
collectSzintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): azegyütthatók összevonását végzi;A form paraméter „recursive” (default), vagy„distributed” lehet;A func opció többnyire egyszerusítés, vagy faktorizáció;Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre;LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetettkifejezés elrejtésére
MAPLE megvalósítások 85 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RENDEZÉS
sort
Szintaxis: sort(A, [V] [, opt1, opt2, ... ]);„A” a polinom, „V” a változókAz opciók: a rendezés módja
Lehet a polinom fokszám-kezelési módjaLehet „ascending”, „descending”
Listákra is alkalmazható
MAPLE megvalósítások 86 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RENDEZÉS
sortSzintaxis: sort(A, [V] [, opt1, opt2, ... ]);
„A” a polinom, „V” a változókAz opciók: a rendezés módja
Lehet a polinom fokszám-kezelési módjaLehet „ascending”, „descending”
Listákra is alkalmazható
MAPLE megvalósítások 87 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RENDEZÉS
sortSzintaxis: sort(A, [V] [, opt1, opt2, ... ]);„A” a polinom, „V” a változók
Az opciók: a rendezés módja
Lehet a polinom fokszám-kezelési módjaLehet „ascending”, „descending”
Listákra is alkalmazható
MAPLE megvalósítások 88 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RENDEZÉS
sortSzintaxis: sort(A, [V] [, opt1, opt2, ... ]);„A” a polinom, „V” a változókAz opciók: a rendezés módja
Lehet a polinom fokszám-kezelési módjaLehet „ascending”, „descending”
Listákra is alkalmazható
MAPLE megvalósítások 89 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RENDEZÉS
sortSzintaxis: sort(A, [V] [, opt1, opt2, ... ]);„A” a polinom, „V” a változókAz opciók: a rendezés módja
Lehet a polinom fokszám-kezelési módja
Lehet „ascending”, „descending”
Listákra is alkalmazható
MAPLE megvalósítások 90 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RENDEZÉS
sortSzintaxis: sort(A, [V] [, opt1, opt2, ... ]);„A” a polinom, „V” a változókAz opciók: a rendezés módja
Lehet a polinom fokszám-kezelési módjaLehet „ascending”, „descending”
Listákra is alkalmazható
MAPLE megvalósítások 91 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
RENDEZÉS
sortSzintaxis: sort(A, [V] [, opt1, opt2, ... ]);„A” a polinom, „V” a változókAz opciók: a rendezés módja
Lehet a polinom fokszám-kezelési módjaLehet „ascending”, „descending”
Listákra is alkalmazható
MAPLE megvalósítások 92 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
.expand
Szintaxis: .expand([side=None]);Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a„side” paraméternek;Használható függvény formában;Léteznek .expand_log(), .expand_trig(),.expand_rational() formák is a megfelelokifejezésekre.
A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás!
SAGE megvalósítások 93 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
.expand
Szintaxis: .expand([side=None]);
Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a„side” paraméternek;Használható függvény formában;Léteznek .expand_log(), .expand_trig(),.expand_rational() formák is a megfelelokifejezésekre.
A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás!
SAGE megvalósítások 94 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
.expand
Szintaxis: .expand([side=None]);Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a„side” paraméternek;
Használható függvény formában;Léteznek .expand_log(), .expand_trig(),.expand_rational() formák is a megfelelokifejezésekre.
A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás!
SAGE megvalósítások 95 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
.expand
Szintaxis: .expand([side=None]);Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a„side” paraméternek;Használható függvény formában;
Léteznek .expand_log(), .expand_trig(),.expand_rational() formák is a megfelelokifejezésekre.
A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás!
SAGE megvalósítások 96 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
KIFEJTÉS
.expand
Szintaxis: .expand([side=None]);Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a„side” paraméternek;Használható függvény formában;Léteznek .expand_log(), .expand_trig(),.expand_rational() formák is a megfelelokifejezésekre.
A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás!
SAGE megvalósítások 97 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
A .factor() és társai
Szimbolikus gyuru fölött csak egyszeru illetve .factor()illetve egy rögtön listát adó .factor_list() függvénylétezik;Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetoség van agyurubol való kilépés nélkül modulárisan prím szerintfaktorizálni: .factor_mod(3). Ha a faktorizálássaleredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk;Szintén itt muködik a p-adikus felbontás:.factor_padic(p, prec=10).
SAGE megvalósítások 98 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
A .factor() és társaiSzimbolikus gyuru fölött csak egyszeru illetve .factor()illetve egy rögtön listát adó .factor_list() függvénylétezik;
Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetoség van agyurubol való kilépés nélkül modulárisan prím szerintfaktorizálni: .factor_mod(3). Ha a faktorizálássaleredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk;Szintén itt muködik a p-adikus felbontás:.factor_padic(p, prec=10).
SAGE megvalósítások 99 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
A .factor() és társaiSzimbolikus gyuru fölött csak egyszeru illetve .factor()illetve egy rögtön listát adó .factor_list() függvénylétezik;Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetoség van agyurubol való kilépés nélkül modulárisan prím szerintfaktorizálni: .factor_mod(3). Ha a faktorizálássaleredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk;
Szintén itt muködik a p-adikus felbontás:.factor_padic(p, prec=10).
SAGE megvalósítások 100 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
SZORZATTÁ ALAKÍTÁS
A .factor() és társaiSzimbolikus gyuru fölött csak egyszeru illetve .factor()illetve egy rögtön listát adó .factor_list() függvénylétezik;Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetoség van agyurubol való kilépés nélkül modulárisan prím szerintfaktorizálni: .factor_mod(3). Ha a faktorizálássaleredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk;Szintén itt muködik a p-adikus felbontás:.factor_padic(p, prec=10).
SAGE megvalósítások 101 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
simplify
A különbözo feladatokra A MAPLE -tol eltéroen különbözofüggvények szolgálnak:
Polinomiális kifejezésekre: .simplify();Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(), .simplify_log(),.simplify_exp(), ;Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(), .simplify_radical();Kombinatorikus kifejezések: .simplify_factorial();A .simplify_full() függvény sorrendben a„factorial”, „trig”, „rational” és „radical” futtatása.
SAGE megvalósítások 102 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
simplify
A különbözo feladatokra A MAPLE -tol eltéroen különbözofüggvények szolgálnak:
Polinomiális kifejezésekre: .simplify();
Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(), .simplify_log(),.simplify_exp(), ;Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(), .simplify_radical();Kombinatorikus kifejezések: .simplify_factorial();A .simplify_full() függvény sorrendben a„factorial”, „trig”, „rational” és „radical” futtatása.
SAGE megvalósítások 103 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
simplify
A különbözo feladatokra A MAPLE -tol eltéroen különbözofüggvények szolgálnak:
Polinomiális kifejezésekre: .simplify();Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(), .simplify_log(),.simplify_exp(), ;
Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(), .simplify_radical();Kombinatorikus kifejezések: .simplify_factorial();A .simplify_full() függvény sorrendben a„factorial”, „trig”, „rational” és „radical” futtatása.
SAGE megvalósítások 104 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
simplify
A különbözo feladatokra A MAPLE -tol eltéroen különbözofüggvények szolgálnak:
Polinomiális kifejezésekre: .simplify();Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(), .simplify_log(),.simplify_exp(), ;Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(), .simplify_radical();
Kombinatorikus kifejezések: .simplify_factorial();A .simplify_full() függvény sorrendben a„factorial”, „trig”, „rational” és „radical” futtatása.
SAGE megvalósítások 105 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
simplify
A különbözo feladatokra A MAPLE -tol eltéroen különbözofüggvények szolgálnak:
Polinomiális kifejezésekre: .simplify();Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(), .simplify_log(),.simplify_exp(), ;Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(), .simplify_radical();Kombinatorikus kifejezések: .simplify_factorial();
A .simplify_full() függvény sorrendben a„factorial”, „trig”, „rational” és „radical” futtatása.
SAGE megvalósítások 106 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYSZERUSÍTÉS
simplify
A különbözo feladatokra A MAPLE -tol eltéroen különbözofüggvények szolgálnak:
Polinomiális kifejezésekre: .simplify();Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(), .simplify_log(),.simplify_exp(), ;Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(), .simplify_radical();Kombinatorikus kifejezések: .simplify_factorial();A .simplify_full() függvény sorrendben a„factorial”, „trig”, „rational” és „radical” futtatása.
SAGE megvalósítások 107 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A .simplify()függvény részleges megoldást nyújt.
A method paraméter használata
„simple” két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elo;„full” (default) ha szükséges, az elozo többszörialkalmazása;„noexpand” csak közös nevezore hoz.
A „map” (default=false) paraméter a „true” értéknélrészkifejezéseken végzi az egyszerusítéstA .collect_common_factors()-al kikényszerítheto alehetséges egyszerusítés
SAGE megvalósítások 108 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A .simplify()függvény részleges megoldást nyújt.
A method paraméter használata„simple” két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elo;
„full” (default) ha szükséges, az elozo többszörialkalmazása;„noexpand” csak közös nevezore hoz.
A „map” (default=false) paraméter a „true” értéknélrészkifejezéseken végzi az egyszerusítéstA .collect_common_factors()-al kikényszerítheto alehetséges egyszerusítés
SAGE megvalósítások 109 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A .simplify()függvény részleges megoldást nyújt.
A method paraméter használata„simple” két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elo;„full” (default) ha szükséges, az elozo többszörialkalmazása;
„noexpand” csak közös nevezore hoz.
A „map” (default=false) paraméter a „true” értéknélrészkifejezéseken végzi az egyszerusítéstA .collect_common_factors()-al kikényszerítheto alehetséges egyszerusítés
SAGE megvalósítások 110 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A .simplify()függvény részleges megoldást nyújt.
A method paraméter használata„simple” két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elo;„full” (default) ha szükséges, az elozo többszörialkalmazása;„noexpand” csak közös nevezore hoz.
A „map” (default=false) paraméter a „true” értéknélrészkifejezéseken végzi az egyszerusítéstA .collect_common_factors()-al kikényszerítheto alehetséges egyszerusítés
SAGE megvalósítások 111 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A .simplify()függvény részleges megoldást nyújt.
A method paraméter használata„simple” két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elo;„full” (default) ha szükséges, az elozo többszörialkalmazása;„noexpand” csak közös nevezore hoz.
A „map” (default=false) paraméter a „true” értéknélrészkifejezéseken végzi az egyszerusítést
A .collect_common_factors()-al kikényszerítheto alehetséges egyszerusítés
SAGE megvalósítások 112 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
NORMALIZÁCIÓ
A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A .simplify()függvény részleges megoldást nyújt.
A method paraméter használata„simple” két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elo;„full” (default) ha szükséges, az elozo többszörialkalmazása;„noexpand” csak közös nevezore hoz.
A „map” (default=false) paraméter a „true” értéknélrészkifejezéseken végzi az egyszerusítéstA .collect_common_factors()-al kikényszerítheto alehetséges egyszerusítés
SAGE megvalósítások 113 of 113
TARTALOMJEGYZÉK Az absztrakció szintjei Normál- és kanonikus forma Polinomok normálformája MAPLE megvalósítások SAGE megvalósítások
EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA
A SAGE -ban a beszorzás utáni együttható összevonásszámstruktúra fölött automatikus. (A gyurubelifokszám-rendezettségnek megfeleloen).Szimbolikus gyuruben:.collect(sym) a megfelelo rekurzív formába alakít
SAGE megvalósítások 114 of 113