Konferensi Nasional Matematika,Sains dan Aplikasinya

ISBN:978-979-99168-1-5

Dipublikasikan oleh:Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Islam Bandung

Bandung, 26 Agustus 2015

ProsidingKNMSA 2015Konferensi Nasional Matematika,Sains dan Aplikasinya 2015

Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Islam Bandung, Jawa Barat, 26 Agustus 2015

“Linking Research Matematika, Sains dan Aplikasinya dalamMenghadapi Persaingan Pasar Bebas”

ISBN: 978–979–99168 –1–5

Cover Design : Dr. Aceng Komarudin Mutaqin, MT., M.Si.Tim Prosiding : Agung Dadi PermadySri Imelinda, S.Si.Fatma Usemahu, S.Si.Bayu Dwi PurnamaAnnisa Lisa NurjanahDwi SaraswatiAldisa GarsifandiaShobrina Nuradhanti NugrohoHilda HidayatiAzka FatharaniHudzaifah Ishmatullah IzharulhaqAtik RohayatiAmy AmallyaFaris Lailatul RamdhanYandi Eka PriatnaDipublikasikan oleh : Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Islam Bandung, Bandung Jawa Barat

Ed i to r

Ketua : Dr. Aceng Komarudin MutaqinAnggota : Suliadi, Ph.D.Dr. Nusar HajarismanDr. Yani Ramdani, Dra., M.Pd.Livia Syafnir, Dra., M.Si.Sri Imelinda, S.Si.Fatma Usemahu, S.Si.

Kata Pengantar

Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Alloh SWT, karena hanya dengan izin-Nya makadapat terselenggara kegiatan KONFERENSI NASIONAL MATEMATIKA, SAINS DANAPLIKASINYA (KNMSA 2015) oleh Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Islam Bandung pada tanggal 26 Agustus 2015 di Gedung Pascasarjana UNISBA Jl.Purnawarman No. 59 Bandung. Konferensi Nasional ini bertema “Linking ResearchMatematika dan Aplikasinya dalam Menghadapi Persaingan Pasar Bebas.”Panitia telah menerima sekitar 50 makalah berasal dari berbagai kalangan, sepertimahasiswa, akademisi, dan peneliti dan berasal dari berbagai daerah di Indonesia. Semuamakalah tersebut dipresentasikan pada KNMSA 2015 di Unisba pada Tanggal 26 Agustus2015, dalam bentuk oral dan dipublikasikan dalam sebuah prosiding. Kami ucapkan terimakasih kepada para peserta pemakalah yang telah berpartisipasi dalam rangka mempercepatpengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.Semoga Prosiding KNMSA 2015 di Unisba ini bisa bermanfaat dalam penyebarluasan ilmupengetahuan dan teknologi khususnya bidang bidang matematika dan sains di Indonesia.Kepada semua pihak, terutama Tim Prosiding yang telah bekerja keras menyelesaikanprosiding ini, kami ucapkan terima kasih.Bandung, Agustus 2015

Editor

Daftar Isi

Halaman

Editor iKata Pengantar iiiDaftar Isi vIsolasi dan Identifikasi Senyawa Flavonoid dari Daun Mimba (Azadirachta indica A.H.J.Juss.)

Siti Hairunnisa, Yani Lukmayani, Leni Purwanti 1-7Pemahaman Siswa tentang Barisan dan Deret dari Sudut Pandang Teori Apos

Syaiful 9-15Penerapan Model Pertumbuhan Populasi untuk Menentukan Nilai Manfaat pada Asuransi TakafulKeluarga

Jansilmi Nur Al-Zia, Onoy Rohaeni, Eti Kurniati 17-23Uji Tanda dan Uji Rank Bertanda Wilcoxon Multivariat (Implementasi pada Pengujian EfektifitasPengobatan Iodium Radioaktif pada Penderita Hipertiroid)

Fatma Usemahu, Suwanda, Aceng Komarudin Mutaqin 25-31Analisis Kualitatif dan Kuantitatif Residu Tetrasiklin dalam Telur Ayam Organik dan Non-OrganikSecara Kromatografi Cair Kinerja Tinggi (KCKT)

Ayu Damarani, Nety Kurniaty, Diar Herawati 33-38Penerapan Pendekatan Saintifik terhadap Kemampuan Pemahaman dan Pemecahan MasalahMatematik Siswa SMA

Asep Ikin Sugandi 39-48Penerapan Metode Topsis Fuzzy Multiple Attribute Decision Making dalam Perankingan CalonMahasiswa Baru Yang Melalui Jalur PMDK

Zenia Amarti, M. Yusuf Fajar, Respitawulan 49-57Economic Landscape dan Analisis Sektor Unggulan Provinsi Jawa Barat Berdasarkan Tabel InputOutput Tahun 2005 dan 2010

Egie Ginanjar Jayawardane, Teti Sofia Yanti, Lisnur Wachidah 59-66Formulasi Sediaan Sabun Mandi Padat Mengandung Lendir Bekicot (Achatina fulica Bowdich) sebagaiPelembab Kulit

Rinrin Wirianti, Amila Gadri, Sani Ega Priani 67-75Analisis Kandungan Etanol dalam Obat Batuk Sirup dengan Metode Kromatografi GasSpektrofotometri Massa Sebagai Jaminan Kehalalan Produk

Shalahuddin Al Madury, M.Hatta Prabowo, Rochmy Istikharah 77-84

Perilaku Dinamika Persamaan Differensial Bessel Melalui Basis Solusi Umum pada Gerak BatangElastis

Agus Nugraha, Gani Gunawan, Yani Ramdani 85-92Metode Bootstrap untuk Diagram Kendali Minimax Multivariat

Winny Fitriana Ramly, Teti Sofia Yanti, Siti Sunendiari 93-104Perbandingan Aktivitas Antioksidan Serta Kadar Flavonoid Total Ekstrak Etanol Herba Bayam Hijau(Amaranthus Hybridus L.) dan Bayam Merah (Amaranthus Tricolor L.)

Ruhdiana Eka Putra, Yani Lukmayani, Livia Syafnir 105-109Analisis Kestabilan Model Penyebaran dan Pengendalian Penyakit Tuberculosis dengan Herbal

Embay Rohaeti, Sri Wardatun, Ani Andriyati 111-118Algoritma Prediksi Tekanan Aliran Tiga Fasa (Minyak, Pasir, dan Gas) Pada Jaringan Kompleks PipaMinyak Mentah

Ira Quraesyin, Respitawulan, Yurika Permanasari 119-125Analisis Spektral dalam Penentuan Periodisitas Tersembunyi dari Data Prakiraan Cuaca di KotaSurabaya

Mohammad Sobri, Sutawanir Darwis, dan Suliadi 127-136Pengaruh Pembentukan Kokristal dalam Upaya Meningkatkan Kelarutan dan Laju DisolusiGlimepirid Menggunakan Asam Tartrat sebagai Koformer

Denisa Noviana N.U., Fitrianti Darusman, Arlina Prima Putri 137-142Formulasi Sediaan Tablet Hisap Mengandung Sari Buah Belimbing Wuluh (Averrhoa bilimbi L.)

Sani Ega Priani, Winda Kurniadewi, G.C. Eka Darma 143-146Penilaian Kredit Agunan Rumah Menggunakan Straight Line Method

Fitri Hidayanti, Yurika Permanasari, Onoy Rohaeni 147-151Pemetaan Kondisi Ekonomi Menurut Data PDRB Atas Dasar Harga Berlaku Pada Tahun 2012 MenurutLapangan Usaha dengan Menggunakan Teknik Multidimensional Scaling

Meli Meliarni, Anneke Iswani Ahmad, Nusar Hajarisman 153-157Perbandingan Komposisi Asam Lemak antara Minyak Ikan Gurami (Osphronemus Goramy Lacépède)dengan Minyak Ikan Nila (Oreochromis Niloticus Linnaeus) Menggunakan Kromatografi Gas-Spektroskopi Massa

Rizka Wulan Sari, Indra Topik Maulana, dan Undang Ahmad Dasuki 159-163Aliran Verifikasi Multimodal Menggunakan Informasi Wajah, Pola Suara dan Iris Mata

Ina Agustina, Aris Gunaryati, Fauziah 165-174Aplikasi Persamaan Diferensial Pada Model Pertumbuhan Populasi Logistik dengan FaktorPemanenan

Hilda Ayulia, Yani Ramdani, dan Respitawulan 175-181Uji Baumgartner Weiβ Schindler yang Di Modifikasi untuk Dua Sampel Berpasangan

Rini Wahyuni, Anneke Iswani Achmad, Teti Sofia Yanti 183-188Uji Aktivitas Antialergi Krim Minyak Biji Mimba (Azadirachta indica A. Juss) pada Kelinci AlbinoHibrid New Zealand dengan Metode Uji Anafilaksis Kutan Aktif

Rezsa Aprilia Rahmani, Fetri Lestari, Fitrianti Darusman 189-194

Studi Kualitas Air dan Potensi Makrozobenthos sebagai Bioindikator Kualitas Air di Sungai CilajaDesa Babakan Cimahi

Wahyu Surakusumah, Hertien Soertikanti Koesbandiah, Tina Safaria, Isthmah Waskita Sari 195-200Analisis Beta Internal untuk Menentukan Component Value At Risk Suatu Portofolio dengan AssetValuta Asing dan Saham Menggunakan Koefisien Korelasi

Diana Wulansari Hermawan, Eti Kurniati, Yani Ramdani 201-208Metode Kaplan-Meier Diboboti yang Diaplikasikan pada Data Klaim Polis Mitra Melati Asuransi JiwaBersama Bumiputera 1912

Sri Imelinda, Aceng Komarudin Mutaqin, Anneke Iswani Achmad 209-218Validasi Metode Analisis Kuantitatif Di-n-Butilftalat (DBP) pada Margarin dan Mentega SecaraKromatografi Cair Kinerja Tinggi dengan Detektor UV

Faisal Aziz Setiawan, Bertha Rusdi, Nety Kurniaty 219-224Menguji Kesamaan Dua Rata-rata untuk Varians Tidak Sama

Sudartianto, Nono Suwarno 225-232Prediksi Lama Studi Mahasiswa Menggunakan Sistem Inferensi Fuzzy dengan Metode TsukamotoContoh Kasus Mahasiswa Program Studi Matematika F-MIPA Unisba

Ferawati Anna Nurjanah, M. Yusuf Fajar,Icih Sukarsih 233-240Model Credit Scoring Menggunakan Regresi Logistik Beserta Validasinya

Ade Irma Nurwahidah, Abdul Kudus, Suliadi 241-251Formulasi dan Uji Efektivitas Sediaan Gel Antiseptik Tangan (Hand Sanitizer) Mengandung EkstrakDaun Jawer Kotok (Plectranthus Scutellarioides (L.) R.Br.)

Gia Asprilia, Sani Ega Priani, Umi Yuniarni 253-258Pengaruh Pemberian Ekstrak Auricularia polytricha (Mont.) Sacc. Terhadap Efek AntiagregasiTrombosit Mencit Swiss Webster Jantan

Sri Peni Fitrianingsih, Lanny Mulqie, Yani Lukmayani, Annisa I. Rahayuningtyas 259-264Modifikasi Gauss-Seidel untuk Menentukan Penyelesaian Numerik pada Sistem Persamaan Linear(SPL) dengan Menggunakan Metode Relaksasi

Fatimah, Gani Gunawan, Icih Sukarsih 265-275Pengujian Otokorelasi untuk Fixed Effect Model (FEM) Data Panel Menggunakan Statistik UjiModifikasi Durbin Watson (MDW)

Abharina Fadlillah, Nusar Hajarisman, Teti Sofia Yanti 277-285Uji Efektifitas Antihiperurisemia Ekstrak Etanol Daun Salam dan Daun Jamblang serta Kombinasinyapada Tikus Wistar Jantan

Diana Permatasari, Umi Yuniarni, Suwendar 287-293Kontrol Parameter pada Model Penyebaran Penyakit Menular MERS-CoV: Antisipasi terhadap JamaahUmrah/Haji Asal Indonesia

Benny Yongn, Livia Owen 295-302Pengembangan Alat Uji Carik Formalin Menggunakan Matriks Polistiren Divinilbenzen

Achmad Nafis Mufattisy Al Harishi, Diar Herawati , Rusnadi 303-307

Pemodelan Matematis Pertumbuhan Bakteri Sehubungan dengan Perpindahan Panas dalamSimulator Pasteurisasi Skala Pilot

Nurcahyo 309-315Karakterisasi Simplisia dan Ekstrak Etanol Buah Salak (Salacca Zalacca (Gaertner) Voss)

Soni Sulaksono, Sri Peni Fitrianingsih, Umi Yuniarni 317-320Analisis Penalaran Moral Siswa SMP Di Kota Bandung Mengenai Isu-Isu Sains Menggunakan TesDilema Moral

Diana Safitri, Winny Liliawati , Heni Rusnayati 321-326Analisis Pembandingan Aktivitas Antioksidan dengan Metode Peredaman DPPH pada Filtrat ProdukUtama dan Produk Samping Tahu

Leny Marlina, Hilda Aprilia Wisnuwardhani, Bertha Rusdi 327-331Metode Resistivitas untuk Identifikasi Intrusi Air Laut di Pantai Ujung Genteng, Kabupaten Sukabumi

Nanang Dwi Ardi, Mimin Iryanti 333-336Telaah Fitokimia dan Aktivitas Antioksidan dalam Biji Salak (Salacca Zalacca (Gaert.) Voss) denganMetode Peredaman Radikal Bebas DPPH

Hesty Aprianti, Endah Rismawati Eka Sakti, Esti Rachmawati Sadiyah 337-343Aktivitas Antihiperglikemik Ekstrak Etanol Daun Keji Beling dan Tapak Dara serta Kombinasinyapada Mencit Swiss Webster Jantan yang Diinduksi Aloksan

Umi Yuniarni, Nur Amanah, Siti Hazar 345-349Formulasi Sediaan Gel Handsanitizer Ekstrak Kulit Buah Rambutan (Nephelium lappaceum L) sertaUji Aktivitasnya terhadap Bakteri Escherichia coli dan Staphylococcus aureus

Wina Rahayu Selvia, Dina Mulyanti, Sri Peni Fitrianingsih 351-355Membandingkan Dua Statistik Uji dalam Masalah Behren Fisher

Nono Suwarno, Sudartianto 357-363Aktivitas Antifungi Ekstrak Etanol Biji Pala Myristica Fragrans Houtt. Terhadap Candida albicans

Muhammad Fakhrur Rajih, Suwendar, Lanny Mulqie 365-370Karakteristik Edible Film Berbasis Pati Cannaindica l. Dengan Penambahan Aloe Vera l. Burm.f.

Venny Agustien Wulandhari, Arlina Prima Putri, Anggi Arumsari 371-377

Prosiding KNMSA 2015 Fakultas MIPA Unisba, 26 Agustus 2015 ISBN: 978-979-99168-1-5

111

Analisis Kestabilan Model Penyebaran dan Pengendalian Penyakit Tuberculosis dengan Herbal

Embay Rohaeti1), Sri Wardatun2), Ani Andriyati3) 1,2)Program Studi Matematika FMIPA Universitas Pakuan Bogor

3)Program Studi Farmasi FMIPA Universitas Pakuan Bogor e-mail: embay_er@yahoo.com

Abstrak

Obat sintetis yang umum digunakan untuk pengobatan penyakit tuberculosis yaitu isoniazid, rifampisin, etambutol dan pirazinamid. Pada saat ini obat herbal banyak digunakan sebagai kombinasi obat sintetis dalam pengobatan penyakit, termasuk dalam pengobatan penyakit tuberculosis, hal ini dikarenakan pengobatan penyakit tuberculosis membutuhkan waktu yang lama antara 6 – 9 bulan, dan biaya yang dikeluarkan tidak sedikit, selain itu juga penyakit tuberculosis dapat menyebabkan kematian, sehingga laju penyebaran penyakit tuberculosis perlu dikendalikan. Fenomena penyebaran penyakit tuberculosis dan pengobatan dengan menambahkan obat herbal dimodelkan dalam model SIR (Susceptible, Infected, Recovered), langkah selanjutnya yaitu menganalisis model tersebut secara analitik dengan terlebih dahulu menentukan sistem persamaan differensial, menentukan titik tetap, mencari nilai eigen dan vektor eigen, kemudian menguji dan menganalisis titik kestabilan dari titik tetap yang diperoleh, menguji kriteria atau kondisi Routh-Hurwitz, menentukan bilangan reproduksi dasar untuk menentukan tingkat penyebaran penyakit tuberculosis. Hasil dari penelitian ini yaitu terbentuknya model penyebaran penyakit tuberculosis dengan penambahan obat herbal, kemudian model tersebut dapat digunakan untuk memprediksi, mengendalikan penyebaran dan pengobatan penyakit tuberculosis di masa yang akan datang. Penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat dalam memerangi penyakit tuberculosis yang berarti juga memerangi kemiskinan dan ketidakproduktifan dalam upaya meningkatkan kesejahteraan rakyat serta dapat menjadi dasar rekomendasi dalam merumuskan kebijakan yang berkaitan dengan pengendalian penyebaran penyakit tuberculosis.

Kata kunci: tuberculosis, model SIR, herbal, kestabilan titik tetap.

1. Pendahuluan

Pengobatan TB memerlukan waktu yang lama, biaya yang mahal dan penggunaan kombinasi beberapa obat pada saat terapi, obat yang umum digunakan yaitu isoniazid, rifampisin, etambutol dan pirazinamid. Bakteri penyebab TB juga mudah mengalami resistensi terhadap beberapa obat (Sulistia, 1995). Resistensi tersebut terus meningkat terutama di negara sedang berkembang sehingga diperlukan obat alternatif. Salah satu obat alternatif yang digunakan sebagai pendukung obat utama dalam pengobatan TB di Indonesia yaitu obat herbal (Anonim, 2012). Obat herbal merupakan produk yang berasal dari tanaman dan digunakan untuk meningkatkan dan menjaga kesehatan. (Depkes RI, 2004).

Perubahan paradigma masyarakat untuk kembali ke alam (back to nature) menyebabkan penggunaan obat herbal akhir-akhir ini meningkat. Hal ini didukung dari data WHO yang menyatakan bahwa negara-negara di Afrika, Asia dan Amerika Latin menggunakan obat herbal sebagai pelengkap pengobatan primer yang diterima. WHO merekomendasikan pengunaan obat tradisional khususnya herbal dalam pemeliharaan kesehatan masyarakat, pencegahan dan pengobatan penyakit degeneratif, kanker dan penyakit kronis. Dalam pengobatan TB, obat herbal berfungsi untuk mendukung kinerja obat dan meningkatkan sistem imun tubuh dalam melawan bakteri penyebab TB (Anonim, 2012).

Dalam menyingkapi fenomena penyebaran penyakit TB dengan menambahkan obat herbal dalam pengobatannya, bidang matematika memiliki peranan penting dalam membantu menganalisa melalui pengembangan model penyebaran penyakit TB. Meskipun model matematika tidak mampu menyembuhkan penyakit akan tetapi dapat membantu dalam memprediksi dan mengendalikan penyebaran penyakit, hal ini dapat membantu dalam menentukan strategi-strategi

Embay Rohaeti dkk.

Prosiding KNMSA 2015 | ISBN: 978-979-99168-1-5

112

pengendaliannya, sehingga tidak menjadi kasus epidemik pada masa yang akan datang mendatang. Penelitian ini juga merupakan penelitian lanjutan dari penelitian yang memodelkan penyebaran penyakit tuberculosis di wilayah Bogor Jawa Barat, yang didahului dengan merekontruksi model (Fredlina, 2012), kemudian menganalisis kestabilan model yang terbentuk pada (Rohaeti, 2015).

2. Tinjauan Pustaka

2.1. Obat Herbal

Obat herbal merupakan produk yang berasal dari tanaman dan digunakan untuk meningkatkan kesehatan. Banyak obat herbal yang telah digunakan secara empiris (turun-temurun) sebagai obat dalam pengobatan tradisional. Di dalam obat tradisional dapat terdapat bahan atau ramuan bahan yang berasal dari tumbuhan, hewan dan mineral. Biasanya obat tradisonal tersedia dalam bentuk rebusan ataupun serbuk yang diseduh dengan air. Seiring dengan berkembangnya teknologi maka bentuk sediaan obat tradisional pun mengalami perubahan menjadi cair, kapsul ataupun tablet. (Depkes RI, 2004). Beberapa jenis herbal yang dapat digunakan sebagai pendukung dalam pengobatan tuberculosis adalah daun jarong (Achyranthes aspera L) (Meles dkk, 2010), buah mengkudu (Morinda citrifolia), Habbatussauda (Anonim, 2012), kulit buah manggis (Garcinia mangostana) (Nugroho, 2012).

2.2. Sistem Persamaan Differensial Linear

Misalkan suatu persamaan differensial linear orde 1 dinyatakan )()( tgtax

, dengan )(ta dan

)(tg adalah fungsi dari waktu t. Jika )(ta adalah suatu matriks yang berukuran nn dengan

koefisien konstan dan )(tg dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh

bAxxdt

dx

, 00 xx )( . (Farlow, 1994).

2.3. Titik Tetap

Misalkan diberikan sistem persamaan differensial (SPD) sebagai berikut

)(xfxdt

dx

,

nRx .

Suatu titik x yang memenuhi 0 )(xf disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem

persamaan tersebut. (Tu, 1994).

2.4. Matriks Jacobian

Menurut Tu (1994), Matrik Jacobian J atau fJ jika elemen pertamanya adalah turunan dari

vektor fungsi ))(,),(),(()( 21 xfxfxfxf n , misal ][][i

i

ijfx

faJ

merupakan matriks

Jacobian untuk ),2( 21

2

1211 xxxxxxf maka Matriks Jacobian nya adalah

11

12

2

221

xx

xxJ f

2.5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jika dimisalkan A matriks nn , maka suatu matriks tak nol x di dalam nR disebut vektor eigen

dari A. Jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari A diperoleh xAx . Vektor x

disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai (Anton, 1995).

Analisis Kestabilan Model Penyebaran …

Prosiding KNMSA 2015 | ISBN: 978-979-99168-1-5

113

2.6. Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan diberikan matriks A =

dc

ba , jika det 0 IA , dengan I matriks identitas,

maka persamaan karakteristiknya yaitu 0

dc

ba , kemudian diperoleh persamaan

02 , dengan daAtrace )( dan bcadA )det( , sehingga

diperoleh nilai eigen dari A yaitu 2

42

,

kj

.

Analisis kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen yang diperoleh. Menurut Tu (1994), secara umum kestabilan titik tetap dibedakan sebagai berikut :

1. Stabil, jika:

a. Setiap nilai eigen real negatif ),0( jj .

b. Setiap komponen nilai eigen kompleks lebih kecil atau sama dengan nol

)),0(Re( jj .

2. Tidak stabil, jika:

a. Setiap nilai eigen real positif ),0( jj .

b. Setiap komponen nilai eigen kompleks lebih besar dari nol )),0(Re( jj .

3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif ( )0. kj .

2.7. Kriteria Routh-Hurwitz

Misalkan kaaaa 321 bilangan-bilangan real, 0ja

jika kj . Semua nilai eigen dari

persamaan karakteristik ( 1) ( 2)

1 2( ) ... 0k k k

kp a a a

mempunyai bagian real yang negatif jika determinan dari matriks jH adalah positif. Selanjutnya

didefinisikan matriks Hurwitz jH sebagai berikut:

jjjjj

j

aaaaa

aaaa

aaa

a

H

42322212

2345

123

1

0

01

0001

dengan ( )j lmH h dan 2

1 , untuk 2

0 , untuk 2 ata

, untuk 0 2

u 2

l m

lm

a l m k

l m

l m l k m

h

semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif (titik tetap stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu

0, untuk 1,2,...,jH j k , sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz untuk suatu k, k =2,3,4

disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika (untuk k =2,3,4),

1. k=2, 0,0 21 aa

2. k=3, 32131 ,0,0 aaaaa

Embay Rohaeti dkk.

Prosiding KNMSA 2015 | ISBN: 978-979-99168-1-5

114

3. k=4, 4

2

1

2

3321431 ,0,0,0 aaaaaaaaa

(Edelstein-Keshet 1998)

2.8. Basic Reproduction Ratio

Basic reproduction ratio ) adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan.

a. Jika 0R < 1, maka penyakit akan menghilang.

b. Jika 0R = 1, maka penyakit akan menetap.

c. Jika 0R > 1, maka penyakit akan mewabah.

(Blyuss dan Kyrychko 2005)

3. Metode Penelitian

Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu studi literatur, identifikasi masalah, mendatangi rumah sakit paru di Bogor dalam rangka pengumpulan data dan informasi tentang penyakit tuberculosis dan penyebarannya. Setelah itu dilakukan pengembangan model penyebaran penyakit TB yang berupa model SIR (Susceptible, Infected, Recovered) dengan menambahkan variabel obat herbal pada kasus penyebaran penyakit TB di wilayah Bogor dengan diawali pembentukan asumsi-asumsi, kemudian mencari titik tetap, menganalisis kestabilan titik tetap yang diperoleh, menentukan basic reproduction ratio.

4. Hasil dan Pembahasan

4.1. Model SIR untuk Penyakit Tuberculosis dengan Obat Herbal

Model SIR untuk penyebaran penyakit tuberculosis populasinya N dibagi menjadi tiga

kelompok individu yaitu kelompok individu yang rentan terkena penyakit tuberculosis tS ,

kelompok individu yang terinfeksi penyakit tuberculosis tI dan kelompok individu yang

sembuh tR . Adapun kompartemen model penyebaran penyakit tuberculosis sebagai berikut:

Gambar 1. Kompartemen Model Penyebaran Tuberkulosis dengan Obat Herbal

Berdasarkan Gambar 1, kelompok individu yang rentan terkena penyakit tuberculosis akan bertambah dikarenakan adanya kelahiran sebesar ( konstan), kelompok individu ini juga akan

berkurang dikarenakan adanya kematian alami )( , adanya penderita yang menggunakan obat

S I R

SN

Ib cR

S I RIt

hS hI

Analisis Kestabilan Model Penyebaran …

Prosiding KNMSA 2015 | ISBN: 978-979-99168-1-5

115

herbal yang mengakibatkan populasi yang rentan terkena penyakit TB tidak menderita TB )(h , dan terjadi kontak langsung dengan kelompok individu yang terinfeksi, dengan laju penularannya

)(b . Kelompok individu yang terinfeksi akan bertambah karena adanya perubahan yang rentan menjadi terinfeksi setelah adanya kontak langsung dengan kelompok individu terinfeksi, kelompok

ini juga dipengaruhi faktor kematian alami dan kematian yang disebabkan penyakit TB )( t , adanya penggunaan obat herbal dalam pegobatan penyakit TB yang mengakibatkan sembuh dari TB, serta adanya perubahan yang terinfeksi menjadi sembuh dengan laju c , hal ini mengakibatkan kelompok individu yang terinfeksi menjadi berkurang. Kelompok individu yang telah sembuh akan bertambah karena perubahan dari yang terinfeksi menjadi sembuh dan diasumsikan tidak akan terjangkit TB kembali, kelompok individu ini juga dipengaruhi oleh kematian alami.

Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut diperoleh persamaan matematika dalam bentuk persamaan differensial sebagai berikut :

hSSSN

Ib

dt

dS

IhcSN

Ib

dt

dIt )(

(1)

RcIdt

dR

dengan RISN

4.2. Analisis Model SIR untuk Penyakit Tuberculosis

4.2.1. Titik Tetap

Dalam menganalisis model penyebaran penyakit tuberculosis, langkah pertama yang dilakukan yaitu menentukan titik tetap dari model yang terbentuk. Titik tetap dari persamaaan (1) diperoleh

pada saat persamaan pertumbuhan kelompok individu mencapai nilai nol atau 0

dt

dS

, 0

dt

dI

,

0dt

dR

. Adapun titik tetap yang diperoleh melalui tahapan :

Jika 0

dt

dI

, maka diperoleh 00

I, kemudian jika

00 I

disubtitusi ke 0

dt

dR

, maka

diperoleh 00

R, kemudian

00 I

dan 00

R disubtitusi ke

0dt

dS

, maka diperoleh

hS0

, sehingga diperoleh titik tetap pertama yaitu

)0,0,(),,( 0001

hRIST

.

Jika 0

dt

dS

dan 0

dt

dI

dieliminasi maka diperoleh

hc

ShI

t

1

, kemudian

hc

ShI

t

1

disubstitusikan ke dalam persamaan 0

dt

dR

, maka diperoleh

hc

ShcR

t

1

. Langkah berikutnya hc

ShI

t

1

dan

hc

ShcR

t

1

disubstitusikan ke dalam persamaan 0dt

dS , diperoleh

tbch

cS

1. Nilai

tbch

cS

1 yang telah diperoleh kemudian

Embay Rohaeti dkk.

Prosiding KNMSA 2015 | ISBN: 978-979-99168-1-5

116

disubstitusikan kembali ke dalam persamaan

1I dan

1R , maka diperoleh

tt

t

bchhc

hcbI

1 ,

tt

t

bchhc

hcbcR

1, sehingga

diperoleh titik tetap ke dua dari model baru yang terbentuk yaitu

),,( 1112 RIST

,

tbch

c

,

tt

t

bchhc

hcb

tt

t

bchhc

hcbc

Titik tetap ke dua yang telah diperoleh disederhanakan dalam pemisalan sebagai berikut

cP , tbchQ , thcbZ ,

thcU

sehingga titik tetap ke dua menjadi

UQ

Zc

UQ

Z

Q

PRIST

,,),,( 1112

4.2.2. Basic Reproduction Ratio

Basic reproduction ratio )( 0R

dapat diperoleh dengan cara menurunkan laju populasi yang

terinfeksi penyakit TB (I) terhadap I kemudian dimisalkan dengan A sebagai berikut :

hcN

bSI

N

bS

I

dt

dI

A t

2

)(

Langkah selanjutnya titik tetap

0,0,1

hT disubstitusikan ke dalam persamaan A,

diperoleh hcbA t , kemudian jika dimisalkan A=M-D, maka diperoleh

)( thcbA , dengan bM dan )( thcD . Setelah nilai M dan D diperoleh

kemudian disubstitusikan ke dalam formula 1

0

MDR diperoleh )(

0

thc

bR

.

4.2.3. Matriks Jacobian

Langkah selanjutnya yaitu menentukan matriks Jacobian dari persamaan (1) sebagai berikut:

cN

hbIS

N

hbS

N

hbISc

N

hbI

N

hbISN

hbIS

N

hbS

N

hbIS

N

hbI

N

hbIS

M tJ

0

222

222

,

setelah diperoleh matriks Jacobian tersebut maka titik tetap akan dapat dianalisis kestabilannya.

4.2.4. Analisis Kestabilan Titik Tetap

Pada tahapan ini kedua titik tetap yang diperoleh akan dianalisis kestabilannya menggunakan kriteria Routh–Hurwitz sebagai berikut :

1. Analisis kestabilan titik tetap pertama pada kondisi bebas penyakit )1( 0 R

Diketahui )0,0,(),,( 0001

hRIST , dan

c

hcb

bh

M tJ

0

00

0

Analisis Kestabilan Model Penyebaran …

Prosiding KNMSA 2015 | ISBN: 978-979-99168-1-5

117

Dalam menganalisis kestabilan titik tetap berdasarkan kriteria Routh-Hurwith ditentukan:

bhcmmmTraceMa t 32)( 3322111

))(2(2

2 thcbhha

))(( 2

3 thcbha

)})(2()()){(2( 22

321 tt hcbhhhcbhaaa

Berdasarkan hasil dari 1a ,

2a , 3a dan

321 aaa yang diperoleh dan kriteria Routh-Hurwith,

titik tetap dikatakan stabil jika 01 a , 03 a , dan 0321 aaa dengan diberikan syarat

0)( thcb , sehingga dapat disimpulkan bahwa

)0,0,(),,( 0001

hRIST stabil di 10 R atau disease free ekuilibrium.

2. Analisis kestabilan titik tetap kedua pada kondisi bebas penyakit )1( 0 R

Diketahui

UQ

Zc

UQ

Z

Q

PRIST

,,),,( 1112

dengan, tbchQ ,

cP , thcbZ , dan

thcU . Dalam menganalisis kestabilan

titik tetap berdasarkan kriteria Routh-Hurwith ditentukan :

c

cbhcmmmTraceMa t )(

)( 3322111

)(

22

2

cb

ZU

c

ZU

c

Zha t

)()(

22

3

cb

ZU

cb

ZUhc

c

ZUa t

)()()(23

2

23

2

22322

321

cb

ZUhc

c

Z

c

UZhhaaa

)(

2

)()()(

22

c

Zh

c

ZUh

cb

ZU

cb

ZUh tt

2

2232

)()(

3

)(

cb

UZ

c

Z

c

ZU t

Berdasarkan hasil tersebut diperoleh nilai 01 a

, 03 a

, dan 0321 aaa

, jika diberikan

syarat 0Z maka thcbZ , dan jika diberikan 0U maka

thcU . Hal ini kontradiktif dengan syarat yang harus dipenuhi pada kriteria Routh–

Hurwitz, maka titik tetap kedua

UQ

Zc

UQ

Z

Q

PRIST

,,),,( 1112

dapat disimpulkan tidak

stabil di 10 R

.

Kedua titik tetap tersebut kemudian dianalisis kestabilannya di 10 R

dengan tahapan yang sama

seperti yang dilakukan pada tahapan analisis kestabilan di 10 R

. Adapun hasil analisis

kestabilan yang diperoleh di 10 R

yaitu titik tetap pertama )0,0,(),,( 0001

hRIST

Embay Rohaeti dkk.

Prosiding KNMSA 2015 | ISBN: 978-979-99168-1-5

118

tidak stabil di 10 R

, sedangkan titik tetap kedua

UQ

Zc

UQ

Z

Q

PRIST

,,),,( 1112

stabil

di 10 R

.

Dari analisis kestabilan untuk titik tetap pada dua kondisi tersebut secara menyeluruh dapat disimpulkan sebagai berikut:

)0,0,(),,( 0001

hRIST dikatakan stabil yang berarti merupakan titik tetap disease free

equilibrium atau tidak terjadi epidemik.

UQ

Zc

UQ

Z

Q

PRIST

,,),,( 1112

dengan, tbchQ , cP

thcbZ , dan

thcU , dikatakan tidak stabil yang berarti

merupakan titik tetap epidemik.

5. Kesimpulan

Model penyebaran penyakit tuberculosis di wilayah Bogor dengan menggunakan penambahan obat herbal sebagai kombinasi obat sintetis dalam pengobatan penyakit tuberculosis mempunyai dua

titik tetap. Pengukuran tingkat penyebaran suatu penyakit )( 0R diperlukan guna mengendalikan penyebaran penyakit tersebut, dalam penyebaran penyakit tuberculosis yaitu

)(0

thc

bR

. Adapun hasil analisis kestabilan dari kedua titik tetap yang diperoleh yaitu titik tetap pertama merupakan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap kedua merupakan titik tetap yang tidak bebas penyakit atau penyakit menjadi mewabah.

Daftar Pustaka

Anonim. 2012. www.konsultasisyariah.com/kesehatan-obatherbal. Diakses 19 Maret 2013 pukul 11.20. A.E. Nugroho. 2012. mot.farmasi.ugm.ac.id. Manggis Garcinia mangostana L : dari Kulit Buah yang Terbuang

hingga menjadi Kandidat Obat, Laboratorium Farmakologi dan Toksikologi, Fakultas Farmasi, UGM. Depkes RI. 2004. SK Kepala BPOM RI No. HK.00.05.4.2411, tentang Ketentuan Pokok Pengelompokkan dan

Penandaan Obat Bahan Alam Indonesia. D.K Meles, Zainuddin, L Nangoi, Suwarno. 2010. Pengaruh Fraksi Alkaloid daun Jarong (Achyanthes aspera L)

terhadap Jumlah dan Jenis Leukosit Mencit (Mus muculus) jantan yang diiinfeksi Mycobacterium tuberculosis, Skripsi FKH, Universitas Airlangga.

E. Rohaeti, S. Wardatun, A. Andriyati. 2015. Stability Analysis Model of Spreading and Controlling of Tuberculosis. Case Study Tuberculosis in Bogor Region West Java Indonesia. Applied Mathematical Sciences . Hikari Ltd. Bulgaria. 49-52.

G.G. Sulistia.1995. Farmakologi dan Terapi, ed.4. Bagian Farmakologi. FK-UI. Jakarta. K.B. Blyuss and Y.N. Kyrichko. 2005. “On a basic model of a two-disease epidemic”, Elsevier applied

Mathematics and computation. 160 : 177-187. K. Q. Fredlina, T. B. Oka, I. M. Dwipayana. 2012. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit Tuberculosis. e-journal

Matematika . 1: 52-58. L. Edelstein-Keshet.1998. Mathematical Models in Biology. Random House, New York. P.N.V. Tu. 1994. Dynamical System An Introduction with Applications in Economic and Biology, Springer-

Verlag, Heidelberg, Germany. S.J. Farlow. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications, Mc Graw-Hill, New York.