1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Himpuanan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah

dan himpunan bilangan bulat negatif. Dengan demikian, sifat dasara bilangan

bulat dapat diturunkan dari sifat dasar bilangan cacah dengan berbagai sifat

tambahan. Karena itu koma sifat dasar bilangan bulat perlu dibicarakan.

B. RUMUSAN MASALAH

Rumusan masalah tentang makalah ini adalah

1. Apa sajakah sifat dasar bilangan bulat?

2. Bagaimana operasi-operasi pada bilangan bulat?

4. Bagaimanakah urutan-urutan pada bilangan bulat?

4. Bagaimana pembuktian operasi pada bilangan bulat?

C. TUJUAN

Adapun tujuan dari makalah ini adalah

1. Agar dapat memahami sifat dasar pada bilangan bulat

2. agar dapat mengetahui operasi – operasi pada bilangan bulat

3. Agar dapat memahami arti dari urutan bilangan-bilangan bulat,

4. Agar dapt mengetahui pembuktian dari operasi bilangan bulat

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. SIFAT DASAR BILANGAN BULAT

Menurut Muh. Arif Tiro dkk (Teori Bilangan, 2008:111) mengatakan

bahwa Sifat dasar bilangan bulat dimulai dengan definisi, karena definisi

adalah cara formal untuk menjelaskan suatu pengertian dalam matematika.

Jika n bilngan bulat, mak – n diidefinisikan tunggal sehinggan + (n)=(-n)+n=0

himpunan bikangan bulat adalah gabungan darihmpunan bilangan cacah

dan himpunan bilangan aslii sehingga untuk setiap bilangan bulat n belaku

sifat n + (n)=(-n)+n=0. Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis dalam

bentuk daftar sebagai Z={… ,−3, −2, −1, 0, 1 ,2 ,3, … }

sifat yang berlakudalnm himpunan bilangan bulat akan dibicarakan lebih

terperinci sebagai berikut.

1. Sifat tertutup

Sifat tertutup terhadap penjumlahan ada dengan tunggal yakni

untuk setiap a dan b di dalam Z maka (a+b) juga di dalam Z

Sifat tertutup terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk

setiap a dan b dialam Z maka a x b juga ada di dalam Z

2. Sifat komutatif

Sifat komutatif penjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z

berlaku a+b = b+a.

Sifat komutatif perkalian yaitu untuk setiap bilangan bulat a dan b

berlaku a x b = b x a.

3. Sifat asosiatif

Sifat asosiati terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan

bulat a, b, dan c berlaku sifat (a+b)+c=a+(b+c)

3

Sifat asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan

bulat a, b, dan c berlaku (axb)xc=ax(bxc)

4. Siftat distributif

Sifat distributif kiri perkalian terrhadap penjumlahan, yaitu

untuk sebarang bilangan bulat a, b danc berlku sifat

ax(b+c)=(axb)+(axc)

Sifat distributive kanan perkalian terhadap penjumlhan yaitu

untuk sebarang bilangan u;at a, b, dan c berlaku sifat

(a+b)xc=(axc)+(bxc)

5. Unsur identitas penjumlahan

Untiuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a+0=0+a=a sehingga 0

disebut unsur identitas penjumlahan

6. Unsur identitas perkalian

Untuk setiap bilangan bulat a, ada dengan tunggal bilangan bulat 1

sehingga ax1=1xa=1 sehingga satu disebut unsur identitas perkalian.

Sifat kesamaan berikut penting untuk diketahui :

a. Refleksi yaitu setiap bilangan bulat a berlaku a=a

b. Simetris yaitu jika a=b maka b=a untuk sebarang bilangan bulat a dan

b;

c. Transitif yaitu jika a=b dan b=c maka a=c untuk sebarang bilangan

bulat a, b, dan c.

d. Substitusi, yaitu jika a=b, maka dapat disubstitusi untuk a, dalam suatu

peryataan tanpa merubah nilai dari peryataan tersebut.

4

B. PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT

Jika a, b, dan c anggota himpunan blangan bulat Z, dan a=b maka a + c = b + c

Bukti :

Ambil a, b, dan c anggoata Z

(a + c) ∈Z (sifat tertutup)

(a + c) = (a + c) (sifat refleksi)

a = b (diberikan)

(a + c ) = (b + c) (substitusi, 3 ke 2)

Jika a, b, dan c anggota dari himpunan bilangan bulat Z, dan a+c = b+c

maka a = b

bukti :

ambil a, b, dan c di Z

1). (a + c) (a + c) ∈ Z Z sifat tertutup

2). a + c = b + c diberikan

3). – c ∈ Z Invers tambahan

4). (a+c) + (-c) = b + (c + (-c))

5). a + (c + (-c)) = b + (c + (-c))

6). c + (-c) = 0

7). a + 0 = b + 0

8). a+0=a dan b+0=b

9). a = b

Teorema diatas biasanya dikenal dengan sifat penghapusan dari

penjumlahan

Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b)

Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan

jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b).

c + b = ((-a) + (-b)) + b sifat kesamaan

c + b = (-a) + ((-b) + b) sifat asosiatif penjumlahan

5

c + b = (-a) + 0 invers penjumlahan

(c + b) + a = (-a) + a sifat kesamaan

(c + b) + a = 0 invers penjumlahan

c + (b + a) = 0 sifat asosiatif penjumlahan

c + (a + b) = 0 sifat komutatif penjumlahan

(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b) sifat kesamaan

c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b) sifat asosiatif

c + 0 = – (a + b) invers penjumlahan

Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b)

C. PENGURANGAN BILANGAN BULAT

Bilangan bulat a dikurangi bialngan bulat bsama artinya dengan bulat a

ditambahkan dari lawan bilangan bulat , atau dapt ditulis a-b = a+(-b)

Pengurangan bilangan cacah tidak bersifat tertutup, artinya bila suatu

bilangna cacah dikurungkan dengan bilangan cacah yang lain, hasilnya belum

tentu bilangan cacah. Pengurangan bilangan cacah (a-b) menghasilkan

bulangan cacah hanya jika a≥b. tetapi, pengurangan bilangan bulatmemiliki

sifat tertutup

a-(-b)=a+b untuk sebarang bilangan bulat a dan b

bukti ;

ambil bilangan bulat a dan b

a-(-b) = a+(-(-b) defenisi pngurangan

= a+b teorema penjumlahan

6

a-b = (a-c)-(b-c) untuk sebarang bilagan bulat a, b, dan c.

bukti :

ambil sebarang bilangan bulat a, b, dan c

a – b = a + (-b) defenisi pengurangan

= ((a+(-b))+0 identitas tambahan

= a + (-b)+c+(-c) invers tambahan

=(a+(-c))+((-b)+c) asosiatif tambah

= (a+(-c))+((-b)+(-(-c))) teorema dalam penjumlahan

= (a+(-c))+(-(b+(-c))) teorema dalam penjumlahan

= (a-c)-(b+(-c)) Defenisi pengurangan

= (a-c)-(b-c) Defenisi pengurangan

D. PERKALIAN BILANGAN BULAT

Jika a, b, dan c angggota himpunman bilangan bulat Z dan a=b

maka a x c = b x c

bukti :

ambil a, b, dan c di Z

1) (a x c ) ∈ Z sifat tertutup

2) a xc = a x c sifat refleksi

3) a = b diberikan

4) a x c = b x c substitusi 3 ke 2

7

Jika a, b, dan c anggota himpumam bilanga bulat Z

maka (a+b)xc = (axc)+(bxc)

Bukti :

Ambil a, b, dan c di Z

1). (a+b)xc∈ Z

2). (a+b)xc = cx(a+b)

3). cx(a+b) = (cxa) + (cxb)

4). (cxa) = (axc) dan ((cxb)=(bxc)

5). (a+b)xc = (axc)+(bxc)

Jika a anggota bilanganbuklat Z maka ax0=0 dan 0xa=0

Bukti :

Ambil a, b, dan c di Z.

1). a = a

2). 0=0+0

3). a x 0 = a x (0+0)

4). a x 0 = (ax0) + (ax0)

5). 0 + (a x 0) = (a x 0)

6). 0+(ax0) = (ax0) + (ax0)

7). 0=(ax0)

8). (ax0) = 0

9). (0xa) = 0

8

Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua

bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah

bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif.

Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b).

bukti :

1. a x (b + (-b)) = a x 0

2. (a x b) + (a x (-b)) = 0

3. (a x (-b)) + (a x b) = 0

4. ((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (-(a x b))

5. (a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = -(a x b)

6. a x (-b) + 0 = -(a x b)

7. a x (-b) = -(a x b)

Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka :

8. (-a) x b = b x (-a)

9. = – (b x a)

10. = -(a x b)

Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Bukti :

(-a)(b + (-c))

= (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan

= (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac

= ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian

=ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)

Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

9

E. PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

Jika a, b, dann c bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka a:b=c jika dan hanya

jika a = bxc

Hasil bagi bilangan bulat (a:b) merupakan suatu bilangan bulat jika dan

hanya jika a kelipatan dari b, sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b

hasil bagi (a:b) tidak selalu merupakan bilangan bulat.karena it, pembaian

bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Mengingat bahwa (-a)x(b)= (a)x(-b)=-

(ab) dan berdasarkan defnisi pembagian, kita dapat mengemukakan sifat

berikut :

1) –(ab) : a = (-b) 3) -(ab) : (-a) = b

2) –(ab) : b = (-a) 4) -(ab) : (-b) = a

Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka:

5) ab : (-a) = (-b)

6) ab : (-b) = (-a)

Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Bukti :

(-a)(b + (-c))

= (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan

= (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac

= ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian

=ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)

Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

10

F. URUTAN BILANGAN BULAT

Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat.

Ada beberapa definisi yaitu :

1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan

dengan a < b) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif c sedemikian

hingga a + c = b

2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan

dengan a > b) jika dan hanya jika b < a atau b + c = a untuk suatu bilangan

positif c.

Urutan bilangan-bilangan bulat ini akan tampak jelas pada garis bilangan berikut.

←-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|--------|→

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Pada garis bilangan, a < b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan a

berada di sebelah kiri titik yang menyatakan b. Misalkan (-4) < (-1), terlihat pada

garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan (-4) berada di sebelah kiri dari

titik yang rnenyatakan (-1). Kita telah mempelajari bahwa jika a dan b bilangan-

bilangan cacah, maka berlaku tepat satu relasi di antara a < b, a = b dan a > b

yang terkenal sebagai sifat trikotomi.

Apakah sifat trikotomi berlaku pada bilangan-bilangan bulat? Coba

selidiki pula bahwa relasi "lebih kecil dari" pada bilangan-bilangan bulat berlaku

sifat-sifat irrefleksif, asimetris dan transitif! Demikian pula, Anda dengan mudah

dapat membuktikan kebenaran pernyataan-pernyataan berikut.

Apabila a, b, c, dan b bilangan-bilangan bulat pernyataan berikut bernilai

benar :

1) a = b maka a + c = b + c

2) a = b maka a x c = b x c

3) a = b dana.=d maka a +c = b + d

11

4) a + c = b + c maka a = b

5) a x c = b x c dengan c ≠ 0 maka a = b.

Pembuktian Sifat-sifat itu adalah sebagai berikut :

Sifat 1

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b Jika dan hanya jika

a + c < b + c.

Bukti:

i. Dibuktikan jika a < b maka a + c < b + c.

Ambil bilangan bulat a, b, dan c,untuk penyerhanaan symbol Z+

menyatakan himpunan bilangan bulat posistif.

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga

a + k = b definisi "lebih kecil dari"

(a + k) + c = b + c sifat penjumlahan pada kesamaan

a + (k + c) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + (c + k) = b + c sifat komutatif penjumlahan

(a + c) + k = b + c sifat asosiatif penjumlahan

ii. Dibuktikan, jika a + c < b + c maka a < b.

Ambil bilangan bulat a, b dan c.

a + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga

(a + c) + p = b + c definisi "lebih kecil dari"

a + (c + p) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + (p + c) = b + c sifat komutatif penjumlahan

(a + p) + c = b + c sifat asosiatif penjumlahan

{(a + p) + c} + (-c) _ (b + c) + (-c) sifat penjumlahan pada kesamaan

(a + p) + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) sifat asosiatif

(a + p) + 0 = b+ 0 invers penjumlahan

a + p = b.

a < b definisi "lebih kecil dari"

12

Dari (i) dan (ii) terbuktilah bahwa a < b jika dan hanya jika a + c < b + c

Perhatikan jika a + c < b + c maka a < b belum dapat dibuktikan apabila a, b dan c

bilanganbilangan cacah (Mengapa?).

Sifat 2.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b

maka a x c < b x c.

Bukti:

Ambil bilangan bualat a dan b serta bilangan bulat positif c.

a < b berarti ∃ k ∈ Z+ ∋ a + k = b defenisi lebih kecil dari

( a + k) x c = b x c teorema 3.6

( a x c) + ( k x c) = b x c

a x c < b x c defenisi “lebih kecil dari “, karena ( k x c ) elemen z-+

konvers dari sifat 2 juga benar, seperti di jelaskan pada sifat 3.

Sifat 3.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b

x c maka a < b

Bukti:

ambil bilangan bulat a dan b serta bilangan bulat positif c.

Diberikan a x c < b x c

a x c < b x c

(a x c) + (-(b x c)) < (b X c) + (-(b x c))

(a x c) + (-b)) x c < 0

(a + (-b)) + b < 0 + b

13

a + ((-b) + b) < b

a < b

Sifat 4

Jika a dan b bilangan bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b

maka a x b > b x c

Bukti:

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b definisi

"lebih kecil dari"

(a + k) x c = b x c sifat perkalian pada kesamaan

(a x c)+ (k x c) = b x c sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

Karena k bilangan bulat positif dan c bilangan bulat negatif, maka (k x c)

suatu bilangan bulat

negatif, sehingga (k x c) bilangan bulat positif.

{(a x c) + (k x c)} + ( -(k x c)) = (b x c) + (-(k x c)

Sifat penjumlahan pada kesamaan

(a x c) + {(k x c) + (-(k x c))} = (b x c) + (-(k x c))

Sifat asosiatif penjumlahan

(a x c) +0 = (b x c) + (-(k x c)= invers penjumlahan

(a x c) = (b x c) + (-(k x c)) Karena (-(k x c)) bilangan positif, maka

a x c > b x c Definisi “lebih kecil dari “.

14

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Himpuanan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan

bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Sifat –sifat pada

bilangan bulat adalah sifat tertutup, sifat kmutatif, sifat asosiatif, sifat

distributive dan adapula unsur identitas penjumlahan dan perkalian.

Operasi-operasi pada bilangan bulat yaitu operasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian dan pembagian

definisi relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan

telah membuktikan sifat-sifatnya. Berikut ini , kita akan mempelajari relasi

urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan

dengan a

2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , a lebih besar dari b ( di nyatakan

dengan a > b ) bila dan hanya bila b

B. SARAN

Sebagai calon pendidik di bdang Matematika, hendaknya kita

dapat mengetahui tentang teori bilangan teutama mengenai sifat dan

operasi bilangan bulat serta urutan bilangan bulat dalam garis bilangan.

Sehingga dengan begitu sebagai calon pendidik tahu secara umum

mengenai teori bilangan

15

DAFTAR PUSTAKA

http://septianari.blogdetik.com/ (di akses Rabu,12 November 2014)

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM (di akses Rabu,12 November 2014)

http://asbarsalim009.blogspot.com/ (di akses Rabu,12 November 2014)