konspekt

I. Determinandid

1 Determinandi moiste

1.1 Idee selgitus

Algul defineerime esimest jarku determinandi, siis esimest jarkudeterminandi abil teist jarku determinandi, seejarel teist jarkudeterminandi abil kolmandat jarku detereminandi jne, n-jarkudeterminandi defineerime (n − 1)-jarku determinandi kaudu. Sel-list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objektiinduktiivseks konstruktsiooniks.

Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi moistega (II.1.1).Kooloniga vordus A := B tahendab jargnevas, et A on defineeri-tud B kaudu. Seda vordust kasutame ka samavaarsete tahistustesissetoomiseks.

1.2 Esimest jarku determinant

Arvu a ∈ R determinandi |a| ehk esimest jarku determinandi de-fineerime valemiga |a| := det a := a.

1.3 Naide

| − 5| = −5, |π| = π jne.

1.4 Teist jarku determinant

Olgu a11, a12, a21, a22 ∈ R. Teist jarku determinandi defineerimearendusvalemiga∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ := det(

a11 a12

a21 a22

):= a11|a22| − a12|a21| = a11a22 − a12a21

1

2 I. Determinandid

1.5 Kolmandat jarku determinant

Olgu aij ∈ R ning indeksid i, j = 1, 2, 3. Kolmandat jarku deter-minandi defineerime arendusvalemiga∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ := det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

:= a11

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣1.6 Naide

Arvutame kolmandat jarku determinandi∣∣∣∣∣∣1 −1 31 0 −12 1 6

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣0 −11 6

∣∣∣∣ + 1∣∣∣∣1 −12 6

∣∣∣∣ + 3∣∣∣∣1 02 1

∣∣∣∣= 1(0 · 6 + 1 · 1) + 1(1 · 6 + 1 · 2) + 3(1 · 1− 0 · 2)= 12

1.7 Tahistusi

Analoogiliselt edasi toimides saame defineerida korgemat jarkudeterminandid. Olgu aij ∈ R ning indeksid i, j = 1, 2, . . . , n.Tahistame n-jarku ruutmaatriksi A determinandi det A ehk (luhi-dalt oeldes) n-jarku determinandi jargmiselt:

det A := det

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

:=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Determinandi det A ridade ja veergude all moeldakse maatriksi Aridu ja veerge. Pustkriipse | · | nimetame determinandi markideks.

I. Determinandid 3

1.8 Miinor ja alamdeterminant

Maatriksi A = (aij) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse de-terminanti, mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk al-gebraliseks taiendiks nimetatakse arvu Aij := (−1)i+jMij . Suurust(−1)i+j nimetame elemendi aij ja alamdeterminandi Aij margi-teguriks.

1.9 Determinandi (induktiivne) definitsioon

Defineerime n-jarku determinandi (n − 1)-jarku determinantidekaudu arendusvalemiga

det A :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ := a11A11 + a12A12 + · · ·+ a1nA1n

Seega det on funktsioon, mis igale ruumaatriksile A seab arendus-valemi abil vastavusse kindla arvu, A

det7−→ det A. Teisiti oeldes,funktsiooni det argumendiks on ruutmaatriksid ja vaartusteks ar-vud.

1.10 Naide (ulesanne)

Vastavalt determinandi definitsioonile∣∣∣∣∣∣∣∣4 3 −5 03 2 0 −51 0 −2 30 1 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣∣∣2 0 −50 −2 31 −3 4

∣∣∣∣∣∣− 3

∣∣∣∣∣∣3 0 −51 −2 30 −3 4

∣∣∣∣∣∣− 5

∣∣∣∣∣∣3 2 −51 0 30 1 4

∣∣∣∣∣∣− 0

∣∣∣∣∣∣3 2 01 0 −20 1 −3

∣∣∣∣∣∣Siin esinevad kolmandat jarku determinandid on omakorda voima-lik arvutada arendusvalemi abil. Determinandi vaartuse arvutami-se jatame lugejale iseseisvaks ulesandeks.

4 I. Determinandid

2 Arendusteoreemid ja arendusvalemid

2.1 Kroneckeri sumbol

Kroneckeri1 sumboli δij defineerime valemiga

δij =

{1, kui i = j

0, kui i 6= j

2.2 Arendusteoreemid

Teoreem 1. Olgu A ruutmaatriks ning Aij elemendi aij alamde-terminant. Siis

δij det A =

{ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · ·+ ainAjn

a1iA1j + a2iA2j + · · ·+ aniAnj

2.3 Arendusvalemid

Votame arendusteoreemides j = i. Saame nn arendusvalemid

det A =

{ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin

a1iA1i + a2iA2i + · · ·+ aniAni

Esimene valem on determinandi arendus i-nda rea jargi ning tei-ne valem on determinandi arendus i-nda veeru jargi. Esimesestarendusvalemist saame i = 1 korral determinandi definitsiooni.

Arendusvalemeid voib kasutada determinandi arvutamiseks.Otstarbekas on kasutada arendusi eeskatt nende ridade (veergude)jargi, mis sisaldavad nulle.

1Leopold Kronecker (1823-1891), saksa matemaatik

I. Determinandid 5


Arendame kolmandat jarku determinandi teise rea ja kolmandaveeru jargi∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = −a21

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣ + a22

∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣− a23

∣∣∣∣a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣= +a13

∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣− a23

∣∣∣∣a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣ + a33

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣Vorduste kehtivuse kontrollimise jatame lugejale.

3 Determinantide omadusi ja arvutamine

Arendusvalemid on determinantide arvutamiseks uldiselt liiga too-mahukad. Mugavam on arvutada determinante alljargnevate oma-duste abil. Enne aga defineerime kolmnurkse determinandi.

3.1 Kolmnurkne determinant

Utleme, et determinant on kolmnurksel kujul ehk kolmnurkne, kuitema peadiagonaalist allpool (ulalpool) asetsevad elemendid onnullid.

3.2 Determinantide omadusi

Teoreem 2. Determinantidel on jargmised omadused.

1) Kolmnurkne determinant vordub peadiagonaali elementidekorrutisega.

2) Kui determinandis on kaks uhesugust rida (veergu), siis ondeterminant null.

3) Determinant ei muutu, kui tema read kirjutada umber veer-gudena (loomulikus jarjestuses).

4) Vahetame determinandis kaks rida (veergu). Tulemus vordubesialgse determinandi vastandarvuga.

6 I. Determinandid

5) Korrutame determinandi mingit rida (veergu) arvuga. Tule-mus vordub esialgse determinandi ja arvu korrutisega. Tei-siti oeldes voib determinandi rea voi veeru uhise teguri tuuadeterminandi markide ette.

6) Determinant ei muutu, kui reale (veerule) liita arvkordne tei-ne rida (veerg).

7) Olgu determinandi mingi rea (veeru) iga element kahe lii-detava summa. Siis avaldub determinant kahe determinan-di summana. Esimeses determinandis on vaadeldavas reas(veerus) esimesed liidetavad ja teise determinandi vaadelda-vas reas (veerus) teised liidetavad. Ulejaanud read (veerud)on endised.

3.3 Determinantide arvutamine

Kasutades ulaltooduid determinantide omadusi, teisendame deter-minandi kolmnurkseks ning seejarel kasutame omadust 1) teoree-mist 2.

3.4 Naide

Arvutame determinandi omaduste abil∣∣∣∣∣∣∣∣4 3 −5 03 2 0 −51 0 −2 30 1 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣↔ III

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −2 33 2 0 −54 3 −5 00 1 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣−3I−4I

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −2 30 2 6 −140 3 3 −120 1 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2 · 3

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −2 30 1 3 −70 1 1 −40 1 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣−II−III

= −6

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −2 30 1 3 −70 0 −2 30 0 −4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣−2III

= −6

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −2 30 1 3 −70 0 −2 30 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= −6 · 1 · 1 · (−2) · 2 = 24

I. Determinandid 7

4 Ulesandeid

4.1 Ulesanne

Arenda determinant teise rea ning kolmanda veeru jargi ning ar-vuta tema vaartus molemal viisil. Vordle tulemusi.∣∣∣∣∣∣∣∣

4 3 −5 03 2 0 −51 0 −2 30 1 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣4.2 Ulesanne

Arvuta determinant omaduste (vt teoreem 2) abil.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 6 5 6 45 9 7 8 66 12 13 9 74 6 6 5 42 5 4 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= · · · = 5

4.3 Vandermonde’i determinant

Arvuta n-jarku Vandermonde’i determinant

Vn(x1, . . . , xn) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1x1 x2 . . . xn

x21 x2

2 . . . x2n

......

. . ....

xn−11 xn−1

2 . . . xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= · · · =

∏k>i

(xk − xi)

II. Maatriksarvutus

1 Maatriksi moiste ja elementaartehted

1.1 Maatriksi moiste

Maatriksiks nimetame (arvuliste elementidega) tabelit, mille ele-mendid on paigutatud (korrastatud) ridadeks ja veergudeks.

Olgu aij ∈ R ning i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n. Need arvudpaigutame maatriksisse A jargmiselt:

A :=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...ak1 ak2 . . . akn

:= (aij)

Elemendis aij naitab esimene indeks (i) rida (reaindeks), teine in-deks (j) osutab veergu (veeruindeks), kus element aij asetseb. Ar-vupaari k×n := (k, n) nimetatakse maatriksi A jarguks. Selgusehuvides voib maatriksi jarku naidata ka tahistuses, nt (aij)k×n.

Kui k = n, siis oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksijarguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar-vu. Elementide jarjendit a11, a22, . . . nimetatakse (ruut)maatriksiA peadiagonaaliks.

Koigi k×n-jarku reaalarvuliste elementidega maatriksite hul-ka tahistame edaspidi Matk×n := Matk×n(R).

1.2 Aritmeetilised vektorid

Uherealisi ja uheveerulisi maatrikseid nimetatakse ka (aritmeeti-listeks) vektoriteks. Aritmeetiliste vektorite elemente nimetataksetavaliselt vektori koordinaatideks ehk komponentideks.

Aritmeetiliste vektorite hulgadeks on seega Mat1×n ja Matk× 1.Maatriksi ridadest moodustatud uherealisi maatrikseid nime-

tatakse maatriksi reavektoriteks. Maatriksi veergudest moodusta-tud uheveerulisi maatrikseid nimetatakse maatriksi veeruvektori-teks.

1

2 II. Maatriksarvutus

1.3 Maatriksite vordsus

Oeldakse, et maatriksid A = (aij) ja B = (bij) on vordsed jakirjutatakse A = B, kui

1) neil on uhesugused jargud,2) nende vastavad elemendid on vordsed, s.t aij = bij .

1.4 Maatriksite liitmine

Olgu A = (aij) ja B = (bij) uhesuguste jarkudega maatriksid.Maatriksite A ja B summaks A + B nimetatakse maatriksit ele-mentidega

(A + B)ij := aij + bij

Teiste sonadega, maatriksite liitmisel liidame vastavad elemendid.

Naide: summa arvutamine

Arvutame maatriksite summa(1 2 34 5 6

)+(

3 −2 1−6 4 −5

)=(

1 + 3 2− 2 3 + 14− 6 5 + 4 6− 5

)=(

4 0 4−2 9 1

)

1.5 Maatriksi korrutamine arvuga

Maatriksi A = (aij) ja arvu α ∈ R korrutiseks αA nimetataksemaatriksit elementidega (αA)ij := αaij . Korrutis Aα defineeritak-se valemiga (Aα)ij := aijα. Ilmselt Aα = αA, sest (arvude korral)aijα = αaij .

Teiste sonadega, maatriksi korrutamisel arvuga korrutame an-tud arvuga maatriksi koik elemendid.

II. Maatriksarvutus 3

Naide: korrutise arvutamine

Arvutame maatriksi ja arvu korrutise

3(

3 −2 1−6 4 −5

)=(

3 · 3 −3 · 2 3 · 1−3 · 6 3 · 4 −3 · 5

)=(

9 6 3−18 12 −15

)=(

3 −2 1−6 4 −5

)3

1.6 Nullmaatriks

Maatriksit, mille koik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaat-riksiks ehk nulliks ja tahistatakse

0 :=

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

:= (0ij)

Paneme tahele, et nullmaatriksi tahistamiseks kasutame arvu 0(null). Lugeja peab kontekstist moistma, millal on tegemist arvuga0 ja millal nullmaatriksiga.

Seda mugavat kahemottelist tahistust on tulikas valtida. Sel-guse huvides voib nullmaatriksi jarku naidata ka tahistuses, nt0k×n on k×n-jarku nullmaatriks. Nullmaatriksi jarku tavaliselt eiekponeerita, see selgub kontekstist. Naiteks nullmaatriksi liitmis-el mingi teise maatriksiga peavad summa eksisteerimiseks jargudolema uhesugused.

Lause 1 (nullmaatriksi neutraalsus). A + 0 = A = 0 + A

Toestus. Toepoolest

(A + 0)ij = aij + 0ij = aij + 0= aij

= 0 + aij = 0ij + aij

= (0 + A)ij


1.7 Vastandmaatriks

Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit −A :=(−1)A. Teiste sonadega, vastandmaatriksi elemendid on maatriksielementide vastandarvud, s.t (−A)ij := −aij .

Lause 2. A + (−A) = 0 = −A + A

Toestus. Toepoolest

[A + (−A)]ij = aij + (−A)ij = aij − aij

= 0 = 0ij

= −aij + aij = (−A)ij + aij

= [−A + A]ij

2 Maatrikstehete omadusi

2.1 Elementaarsed omadused

Maatrikstehete lihtsamaid omadusi kirjeldame jargmiselt.

Teoreem 3. Olgu A,B, C uhesuguste jarkudega maatriksid ningα, β ∈ R. Siis

1) A + B = B + A (liitmise kommutatiivsus),2) (A + B) + C = A + (B + C) (liitmise assotsiatiivsus),3) A + 0 = A = 0 + A (nullmaatriksi neutraalsus),4) A + (−A) = 0 = −A + A (vastandmaatriksi olemasolu),5) α(A + B) = αA + αB (distributiivsus),6) (α + β)A = αA + βA (distributiivsus),7) α(βA) = (αβ)A (arvuga korrutamise assotsiatiivsus),8) 1A = A (unitaalsus).

Toestus. Me juba toestasime omaduse 3) lausega 1 ja omaduse 4)lausega 2. Toestame veel omaduse 5). Arvutame

[α(A + B)]ij = α(A + B)ij = α(aij + bij) = αaij + αbij

= (αA)ij + (αB)ij = (αA + αB)ij

Ulejaanud omadused toestatakse analoogiliselt.


2.2 Maatriksite vahe

Maatriksite A ja B vahe A−B defineeritakse valemiga

A−B := A + (−B)

Maatrikstehete omadusi illustreerib hasti jargmise teoreemitoestus.

Teoreem 4. Vorrandi A + X = B ainus lahend on X = B −A.

Toestus. Naitame koigepealt, et B −A on vorrandi lahend:

A + (B −A) = A + B + (−A) = A + B + (−1)A= 1A + (−1)A + B = [1 + (−1)]A + B

= 0A + B = 0 + B = B

Olgu Y veel mingi lahend, s.t A + Y = B. Siis

Y = 0 + Y = (−A + A) + Y = −A + (A + Y )= −A + B = B + (−A) = B −A

mis utlebki, et lahend B −A on ainus.

Jareldus 5. Vorrandi A + X = A ainus lahend on nullmaatriks.

Seda omadust kasutatakse sageli nullmaatriksi defineerimiseks.Nullmaatriks defineeritakse siis kui vorrandi A + X = A (ainus)lahend.

Jareldus 6. Vorrandi A + X = 0 ainus lahend on maatriksi Avastandmaatriks −A.

Seda omadust kasutatakse sageli vastandmaatriksi defineeri-miseks. Maatriksi A vastandmaatriks −A defineeritakse siis kuivorrandi A + X = 0 (ainus) lahend.


3 Maatriksite korrutamine

3.1 Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis

Aritmeetiliste vektorite u := (u1, . . . , un) ja v := (v1, . . . , vn) ska-laarkorrutiseks nimetatakse arvu

(u|v) := u1v1 + u2v2 + . . . + unvn =n∑

s=1

usvs

Naide

Olgu u = (2,−3, 4,−5) ja v = (4, 5, 2,−3). Siis

(u|v) = 2 · 4− 3 · 5 + 4 · 2 + 5 · 3 = 16

3.2 Maatriksite korrutamine

Olgu A ∈ Matk×n ja B ∈ Matn× l. Maatriksite A ja B korrutiseksnimetatakse maatriksit AB ∈ Matk× l, mille i-ndas reas ja j-indasveerus asetseb maatriksi A i-nda reavektori ja maatriksi B j-indaveeruvektori skalaarkorrutis

(AB)ij := ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj =n∑

s=1

aisbsj

Tahelepanek

1) Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergudearv vorduma maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise ek-siteerimise eeldust voib nimetada tegurite jarkude koosolatingimuseks.

2) Korrutises AB on samapalju ridu kui maatriksis A ja sama-palju veerge kui maatriksis B.


Naide: erinevat jarku maatriksite korrutis

(3 −1 20 1 4

) 2 10 2

−1 0

=(

3·2−1·0−2·1 3·1−1·2+2·00·2+1·0−4·1 0·1+1·2+4·0

)=(

4 1−4 2

) 2 1

0 2−1 0

(3 −1 20 1 4

)=(

2·3+1·0 −2·1+1·1 2·2+1·40·3+2·0 0·1+2·1 0·2+2·4

−1·3+0·0 1·1+0·1 −1·2+0·4

)

=

6 −1 80 2 8

−3 1 −2

Naide: rea- ja veeruvektorite korrutised

(1, 2, 3

)456

=(1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6

)=(32)

456

(1, 2, 3)

=

4 · 1 4 · 2 4 · 35 · 1 5 · 2 5 · 36 · 1 6 · 2 6 · 3

4 8 125 10 156 12 18

Naide: ruutmaatriksite korrutised

(1 23 4

)(5 67 8

)=(

1 · 5 + 2 · 7 1 · 6 + 2 · 83 · 5 + 4 · 7 3 · 6 + 4 · 8

)=(

19 2243 46

)(

5 67 8

)(1 23 4

)=(

5 · 1 + 6 · 3 5 · 2 + 6 · 47 · 1 + 8 · 3 7 · 2 + 8 · 4

)=(

23 3431 46

)3.3 Maatrikskorrutise mittekommutatiivsus

Oeldakse, et maatriksid A ja B kommuteeruvad, kui AB = BA.Eelmised naited utlevad, et maatrikskorrutamine on uldiselt mit-tekommutatiivne tehe, s.t AB 6= BA. Korrutamine on uldiseltmittekommutatiivne ka siis, kui tegurid on ruutmaatriksid.


Avaldist [A,B] := AB−BA (kui leidub) nimetatakse maatrik-site A ja B kommutaatoriks ehk Lie korrutiseks. Kommutaator onmaaratud vaid uhesuguste jarkudega ruutmaatriksite korral. Kom-mutaatori omadusi vaatleme allpool (teoreem 9).

3.4 Nullitegurid

Arvutame

(6 9

−4 −6

)2

:=(

6 9−4 −6

)(6 9

−4 −6

)=(

6 · 6− 9 · 4 6 · 9− 9 · 6−4 · 6 + 6 · 4 −4 · 9 + 6 · 6

)=(

0 00 0

)

Tulemus utleb, et leidub A 6= 0 nii, et korrutis AA = 0. Osutub,et korrutis AB voib olla null (AB = 0) ka siis, kui molemad te-gurid on nullist erinevad ja A 6= B. Seda omadust nimetataksenullitegurite olemasoluks.

Naide

(0 10 0

)︸︷︷︸nullitegur

(1 00 0

)︸︷︷︸nullitegur

=(

0 · 1 + 1 · 0 0 · 0 + 1 · 00 · 1 + 0 · 0 0 · 0 + 0 · 0

)=(

0 00 0

)= 02× 2

Korrutades aga teises jarjekorras, saame

(1 00 0

)(0 10 0

)=(

1 · 0 + 0 · 0 1 · 1 + 0 · 00 · 0 + 0 · 0 0 · 1 + 0 · 0

)=(

0 10 0

)6= 02× 2

Uhtlasi veendusime veelkord maatrikskorrutise mittekommutatiiv-suses.


3.5 Uhikmaatriks

Ruutmaatriksit, mille peadiagonaalil on uhed ning mujal nullid,nimetame uhikmaatriksiks ehk uhikuks ehk uheks ning tahistame

I :=

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

:= (Iij) := (δij)

Siin δij on Kroneckeri sumbol. Uhikmaatriksi tahistamiseks kasu-tatakse sageli ka arvu 1. Sellisel juhul peab kontekstist moistma,millal on tegemist arvuga 1 ja millal uhikmaatriksiga.

Uhikmaatriksi korrutamisel mingi teise maatriksiga peavad te-gurite jargud olema kooskolas. Selguse huvides voib uhikmaatriksijarku naidata ka tahistuses, nt In on n-jarku uhikmaatriks. Uhik-maatriksi (nagu ka nullmaatriksi) jarku tavaliselt ei eksponeerita,see selgub kontekstist.

Naide: madalamat jarku uhikmaatriksid

I1 := (1), I2 := ( 1 00 1 ) , I3 :=

(1 0 00 1 00 0 1

)jne

3.6 Maatrikskorrutise omadusi

Maatrikskorrutise lihtsamad omadused votame kokku jargmiselt.

Teoreem 7. Olgu maatriksid A,B, C sellised, et allpool esinevadtehted on maaratud ning α ∈ R. Siis

1) (AB)C = A(BC) (korrutamise assotsiatiivsus)2) (A±B)C = AC ±BC (korrutamise distributiivsus)3) A(B ± C) = AB ±AC (korrutamise distributiivsus)4) (αA)B = α(AB) = A(αB)

(arvuga korrutamise assotsiatiivsus)5) I A = A = A I (unitaalsus)6) det AB = detA · det B


Toestus. Toestame naiteks omaduse 2)

[(A + B)C]ij = (A + B)i1c1j + . . . + (A + B)incnj

= (ai1 + bi1)c1j + . . . + (ain + bin)cnj

= ai1c1j + . . . + aincnj︸︷︷︸(AC)ij

+ bi1c1j + . . . + bincnj︸︷︷︸(BC)ij

= (AC)ij + (BC)ij = (AC + BC)ij

mis toestabki noutava vorduse. Ulejaanud omadustest 1)−5) toes-tatakse analoogiliselt. Omadus 6) toestatakse determinantide teoo-rias.

Naide: ruutude vahe valem

Lause 8. Maatriksid A ja B olgu uhesuguse jarguga ruutmaatrik-sid. Siis

(A + B)(A−B) = A2 −B2 − [A,B]

Toestus. Toepoolest

(A + B)(A−B) = A(A−B) + B(A−B)= AA−AB + BA−BB

= A2 −B2 − [A,B]

Seega

(A + B)(A−B) = A2 −B2 ⇐⇒ [A,B] = 0

mis utleb, et ruutude vahe valemit voib kasutada siis ja ainult siis,kui maatriksid A ja B kommuteeruvad.

3.7 Maatrikskorrutise omadusi: Poissoni-Lie algebra

Teoreem 9. Maatriksid A,B, C olgu uhesuguse jarguga ruutmaat-riksid ning α ∈ R. Siis

1) [A,B] = −[B,A] (antisummeetria)


2) [A±B,C] = [A,C]± [B,C] (aditiivsus)

3) [αA, B] = [A,αB] = α[A,B] (homogeensus)

4) [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] (Leibnizi valem)

5) [[A,B], C] + [[B,C], A] + [[C,A], B] = 0 (Jacobi identsus)

Omadused 1)− 5) on nn Poissoni-Lie algebra definitsioonseo-sed. Neid algebraid kasutatakse laialdaselt mehhaanikas.

4 Transponeerimine ja selle omadusi

4.1 Transponeerimine

Maatriksi A ∈ Matk×n transponeeritud maatriksiks nimetataksemaatriksit AT ∈ Matn× k, mille veergudeks on maatriksi A read(loomulikus jarjestuses).

Naide

Transponeerime maatriksi

A=(

1 2 34 5 6

)∈ Mat2× 3 ⇒ AT =

1 42 53 6

∈ Mat3× 2

⇒ (AT )T =(

1 2 34 5 6

)= A ∈ Mat2× 3

Naide

Transponeerime reavektori

a = (1, 2, 3, 4) ∈ Mat1× 4 ⇒ aT =

1234

∈ Mat4× 1

⇒ (aT )T = (1, 2, 3, 4) = a ∈ Mat1× 4


4.2 Summeetria ja antisummeetria

Maatriksit A nimetatakse summeetriliseks, kui AT = A, ning an-tisummeetriliseks, kui AT = −A.

Tahelepanek

Nii summeetrilised kui ka antisummeetrilised maatriksid on ruut-maatriksid. Antisummeetrilise maatriksi peadiagonaalil asetsevadnullid.

Naide

Selles naites on A summeetriline ja B antisummeetriline maatriks

A =

3 1 −11 3 2

−1 2 1

=⇒ AT =

3 1 −11 3 2

−1 2 1

= A

B =

0 −1 21 0 −4

−2 4 0

=⇒ BT =

0 1 −2−1 0 4

2 −4 0

= −B

Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja Bolgu sellised, et allpool esinevad tehted on maaratud ning α ∈ R.Siis

1) (AT )T = A

2) (αA)T = αAT

3) (A±B)T = AT ±BT

4) (AB)T = BT AT

5) det AT = detA

Paneme tahele tegurite jarjekorra muutumist omaduses 4).

Lause 11. Iga ruutmaatriksi A korral on maatriks A+AT summeetrilineja maatriks A−AT antisummeetriline.


Toestus. Toepoolest

(A + AT )T = AT + (AT )T = AT + A

(A−AT )T = AT − (AT )T = AT −A = −(A−AT )

Teoreem 12. Iga ruutmaatriks on uheselt esitatav summeetriliseja antisummeetrilise maatriksi summana.

Toestus. Vordus

A =12(A + AT )︸︷︷︸

summeetriline

+12(A−AT )︸︷︷︸

antisummeetriline

koos lausega 11 utleb, et selline esitus (avaldis) leidub. Uhesusenaitamiseks oletame, et A = B + C, kus B on summeetriline ja Cantisummeetriline maatriks. Siis ilmselt AT = BT + CT = B−C.Vorranditest {

A = B + C

AT = B − C

jareldub, et B = 12(A + AT ) ja C = 1

2(A−AT ).

5 Poordmaatriks, selle omadusi jaarvutamine

5.1 Poordmaatriks

Ruutmaatriksi A poordmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksitB, mis rahuldab tingimust AB = I = BA.

Lause 13 (poordmaatriksi ainsus). Kui maatriksil on olemaspoordmaatriks, siis on ta maaratud uheselt.

Toestus. Olgu B ja C maatriksi A poordmaatriksid, s.t

AB = I = BA ja AC = I = CA

Arvutame kasutades maatrikskorrutise assotsiatiivsust

B = IB = (CA)B = C(AB) = C I = C


5.2 Pooratavus

Maatriksit nimetatakse pooratavaks ehk regulaarseks, kui tal lei-dub poordmaatriks. Pooratava maatriksi A (ainsat) poordmaatrik-sit tahistatakse A−1 := 1

A , s.t

AA−1 = I = A−1A

Mittepooratavat maatriksit nimetatakse singulaarseks.

5.3 Poordmaatriksi omadusi

Poordmaatriksi omadusi kirjeldame kokkuvotvalt jargmiselt.

Teoreem 14. Olgu maatriksid A,B ning arv α ∈ R sellised, etallpool esinevad tehted on maaratud. Siis

1) I−1 = I

2) (A−1)−1 = A

3) (AB)−1 = B−1A−1

4) (αA)−1 = α−1A−1

5) (AT )−1 = (A−1)T

6) det A · det A−1 = 1

Toestus. Toestame naiteks omaduse 3). Arvutame

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = A I A−1 = AA−1 = I

(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1 I B = B−1B = I

mis utleb, et B−1A−1 on maatriksi AB poordmaatriks. Ulejaanudomadustest 1)− 5) toestatakse analoogiliselt. Omadus 6) jareldubvalemist det A · det B = detAB.

Paneme tahele tegurite jarjekorra muutumist omaduses 3).


5.4 Poordmaatriksi olemasolu ja arvutamine

Teoreem 15. Ruutmaatriks A on pooratav parajasti siis, kui det A 6=0. Olgu Aij maatriksi A = (aij) elemendi aij alamdeterminant.Siis

A−1 :=1A

=1

det A

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n...

.... . .

...An1 An2 . . . Ann

T

Toestus. Kasuta determinantide arendusteoreeme.

5.5 Naide

Arvutame maatriksi

A =

1 −2 22 1 11 0 1

poordmaatriksi. Koigepealt arvutame determinandi

det A =

∣∣∣∣∣∣1 −2 22 1 11 0 1

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 −2 20 1 −10 2 −1

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 −2 20 1 −10 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 1

Nuud leiame alamdeterminandid

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣1 10 1

∣∣∣∣ = 1

A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣2 11 1

∣∣∣∣ = −1

A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣2 11 0

∣∣∣∣ = −1

A21 = (−1)2+1

∣∣∣∣−2 20 1

∣∣∣∣ = 2


A22 = (−1)2+2

∣∣∣∣1 21 1

∣∣∣∣ = −1

A23 = (−1)2+3

∣∣∣∣1 −21 0

∣∣∣∣ = −2

A31 = (−1)3+1

∣∣∣∣−2 21 1

∣∣∣∣ = −4

A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣1 22 1

∣∣∣∣ = 3

A33 = (−1)3+3

∣∣∣∣1 −22 1

∣∣∣∣ = 5

Siis saame

A−1 =1

det A

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

T

=11

1 −1 −12 −1 −2

−4 3 5

T

=

1 2 −4−1 −1 3−1 −2 5

5.6 Naide

Arvutame peast(a bc d

)−1

=1

ad− bc

(d −b

−c a

)

5.7 Ortogonaalmaatriksid

Ruutmaatriksit A nimetatakse ortogonaalmaatriksiks, kui

AAT = I = AT A

Ortogonaalmaatriksi A korral ilmselt A−1 = AT . Ortogonaalmaat-riksid kirjeldavad poordeid eukleidilistes ruumides.


5.8 Maatriksite jagamisest

Maatriksite mittekommutatiivsuse tottu uldiselt

A−1B 6= BA−1, s.t1A

B 6= B1A

Siit jareldub, et tahistus (jagatis) BA on kahemotteline. Regulaarse

A korral on jagamistehteid uldiselt kaks, parem- ja vasakpoolne:

B/A := BA−1, A\B := A−1B, det A 6= 0

Vaid kommuteeruvate maatriksite korral on jagatis uheselt defi-neeritud ning tahistus B

A korrektne.

6 Maatriksvorrandid

Maatriksvorrandites on oluline tundmatu maatriksi asetus korru-tistes. Vaatleme vaid lihtsamaid lineaarseid maatriksvorrandeid.

6.1 Tundmatu maatriks X on korrutises paremal

Lause 16. Regulaarse maatriksi A korral on vorrandi AX = Bainus lahend X = A−1B.

Toestus. Naitame koigepealt, et A−1B on vorrandi AX = B la-hend. Toepoolest

A(A−1B) = (AA−1)B = IB = B

Olgu Y veel mingi lahend, s.t AY = B. Siis

Y = IY = (A−1A)Y = A−1(AY ) = A−1B

Siit jareldub, et A−1B on vorrandi AX = B ainus lahend.

Seega maatriksi X avaldamiseks vorrandist AX = B peameseda vorrandit korrutama maatriksiga A−1 vasakult.

Jargnevad laused toestatakse analoogiliselt.


6.2 Tundmatu maatriks X on korrutises vasakul

Lause 17. Regulaarse maatriksi A korral on vorrandi XA = Bainus lahend X = BA−1.

Seega maatriksi X avaldamiseks vorrandist XA = B peameseda vorrandit korrutama maatriksiga A−1 paremalt.

6.3 Tundmatu maatriks X on korrutises keskel

Lause 18. Regulaarsete maatriksite A,B korral on vorrandi AXB =C ainus lahend X = A−1CB−1.

Seega maatriksi X avaldamiseks vorrandist AXB = C peameseda vorrandit korrutama maatriksiga A−1 vasakult ja maatriksigaB−1 paremalt.

6.4 Naide

Lahendada maatriksvorrand1 −2 22 1 11 0 1

X =

30

−2

Tundmatu maatriks X on korrutises paremal. Kasutame lauset 16.Maatriksi

(1 −2 22 1 11 0 1

)poordmaatriksi arvutasime naites 5.5. Seega

X =

1 −2 22 1 11 0 1

−1 30

−2

=

1 2 −4−1 −1 3−1 −2 5

30

−2

=

1 · 3 + 2 · 0 + 4 · 2−1 · 3− 1 · 0− 3 · 2−1 · 3− 2 · 0− 5 · 2

=

11− 9−13

Lahendi kontrollimiseks arvutame1 −2 2

2 1 11 0 1

11− 9−13

=

1 · 11 + 2 · 9− 2 · 132 · 11− 1 · 9− 1 · 131 · 11− 0 · 9− 1 · 13

=

30

−2


7 Maatriksargumendiga funktsioonid

7.1 Maatriksi aste

Olgu n on positiivne taisarv ning A ruutmaatriks. Maatriks An

defineeritakse valemiga

An := AA · · ·A︸︷︷︸n korda

Kui A on regulaarne maatriks, siis leidub poordmaatriks A−1.Maatriks A−n defineeritakse valemiga

A−n := (A−1)n = A−1A−1 · · ·A−1︸︷︷︸n korda

Kui n = 0, siis A0 := I.

7.2 Maatrikspolunoom

Avaldistp(A) := a0 I +a1A + · · ·+ anAn

kus n on mittenegatiivne taisarv, nimetatakse maatrikspolunoo-miks. Samuti oeldakse, et p(A) on polunoomi

p(x) := a0 + a1x + · · ·+ anxn

vaartus kohal A.

7.3 Maatriksastmeread

Olgu antud (koonduv) astmerida

f(x) =∞∑

n=0

anxn, |x| < r (koonduvusraadius)

Sellele reale seame vastavussse maatriksastmerea

f(x) =∞∑

n=0

anAn


ning utleme, et f(A) on funktsiooni f(x) vaartus kohal A. Vaiki-misi eeldame, et rida f(A) koondub samuti.

Seega, funktsiooni f(x) arendame (kui voimalik) koonduvasseastmeritta, seejarel asendame muutuja x maatriksiga A.

Naiteid

Monedele elementaarfunktsioonidele vastavad maatriksread:

eA :=∞∑

n=0

An

n!

sinA :=∞∑

n=0

(−1)nA2n+1

(2n + 1)!

cos A :=∞∑

n=0

(−1)nA2n

(2n)!

ln(I +A) :=∞∑

n=0

(−1)nAn+1

n + 1

(I−A)−1 =1

I−A:=

∞∑n=0

An

Definitsioon 19. Kui leidub arv λ ja vektor v 6= 0 nii, et Av =λv, siis oeldakse, et λ on maatriksi A omavaartus ja vektor v onmaatriksi A (omavaartusele λ vastav) omavektor.

Teoreem 20. Maatriksrida f(A) koondub parajasti siis, kui vas-tav astmetrida f(λ) koondub maatriksi A iga omavaartuse λ kor-ral.

Teoreem 21. Kui f(A) koondub ning λ on A omavaartus, siisf(λ) on maatriksi f(A) omavaartus.


8 Ulesandeid

8.1 Ulesanne

Lahendada lineaarne maatriksvorrandite susteem ja kontrollida la-hendit.

X + Y =

(0 1

−1 0

)

2X + 3Y =

(0 −22 0

)

8.2 Ulesanne

Lihtsustada avaldised

A(3B − C) + (A− 2B)C + 2B(C + 3A) = · · · = 3AB + 5BA

A(BC − CD)−A(B − C)D + AB(D − C) = · · · = 0

8.3 Ulesanne

Leida ( 1 10 1 )n.

8.4 Ulesanne

Leida D(α)D(β), D−1(α) ja Dn(α) (n ∈ N), kui

D(α) :=(

cos α − sinαsinα cos α

), α ∈ R

Veenduda, et D(α) on ortogonaalmaatriks.

8.5 Ulesanne

Toestada, et maatriks(

a bc d

)rahuldab ruutvorrandit

x2 − (a + d)x + ad− bc = 0


8.6 Ulesanne

Lahendada maatriksvorrand ja kontrollida lahendit.(1 23 4

)X =

(3 45 9

)

8.7 Ulesanne

Lahendada maatriksvorrand ja kontrollida lahendit.

X

(3 −25 −4

)=(−1 2−5 6

)

8.8 Ulesanne

Lahendada maatriksvorrand ja kontrollida lahendit.(3 −15 −2

)X

(5 67 8

)=(

14 169 10

)

IV. Lineaarvorrandisusteemid

1 LVS ja tema lahend

1.1 Tahistusi ja moisteid

Lineaarvorrandisusteemiks (LVS-iks) nimetatakse jargmist vorran-disusteemi:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = y2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1x1 + ak2x2 + · · ·+ aknxn = yk

Siin

• aij on LVS-i kordajad,• yi on LVS-i vabaliikmed,• xi on LVS-i tundmatud.

Tundmatute arv n ja vorrandite arv k on soltumatud. LVS-i korda-jate maatriksit A = (aij) nimetatakse lihtsalt LVS-i maatriksiks.LVS-i maatriksi laiendamisel vabaliikmete veeruga (laheb viima-seks veeruks) saadakse LVS-i laiendatud maatriks

a11 a12 . . . a1n y1

a21 a22 . . . a2n y2...

.... . .

......

ak1 ak2 . . . akn yk

LVS on ilmselt uheselt maaratud oma laiendatud maatriksiga.

1.2 Lahendi moiste

Arvude jarjendit nimetatakse vorrandisusteemi lahendiks, kui

1) jarjendi elementide arv vordub susteemi tundmatute arvuga,2) jarjendi elementide asendamine (loomulikus jarjestuses) sus-

teemi mis tahes vorrandisse tundmatute asemele muudabselle vorrandi samasuseks.

1

2 IV. Lineaarvorrandisusteemid

1.3 Lahenduvusega seotud moisteid

Susteemi nimetatakse kooskolaliseks, kui tal leidub vahemalt ukslahend. Oeldakse, et susteemi on maaratud, kui tal leidub parajastiuks lahend. Susteemi nimetatakse vasturaakivaks, kui tal puuduvadlahendid.

Naide

Vorrand 0x = 0 on kooskolaline (lopmata palju lahendeid). Vor-rand 2x = 6 on maaratud (parajasti uks lahend). Vorrand 0x = 1on vasturaakiv (lahendid puuduvad).

2 LVS-i maatrikskuju

Defineeerime maatriksid

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...ak1 ak2 . . . akn

, x =

x1

x2...

xn

, y =

y1

y2...

yk

Siis LVS 1.1 on samavaarne maatriksvorrandiga

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...ak1 ak2 . . . akn

x1

x2...

xn

=

y1

y2...

yk

Samavaarsuses voib veenduda maatriksarvutuse reeglite abil. Kor-rutades maatriksid A ja x, saame maatriksvorduse

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1x1 + ak2x2 + · · ·+ aknxn

=

y1

y2...

yk

IV. Lineaarvorrandisusteemid 3

mille vastavate elementide vordsustamine annabki susteemi 1.1vorrandid.

Seega LVS-i saab kompaktselt esitada maatrikskujul, maat-riksvorrandina Ax = y. Vorrandi Ax = y lahendi all moistamesellist aritmeetilist (veeru)vektorit, mille asendamisel vorrandissesaame (maatriks)samasuse.

3 Homogeense LVS-i omadusi

3.1 Homogeenne LVS

LVS-i nimetatakse homogeenseks, kui vabaliikmed on nullid, s.ty1 = · · · = yk = 0.

Homogeennne LVS on seega jargmine:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1x1 + ak2x2 + · · ·+ aknxn = 0

Homogeenne LVS on samavaarne maatriksvorrandiga Ax = 0.

3.2 Kooskolalisus

Lause 1. Homogeenne LVS on kooskolaline.

Toestus. Toepoolest, homogeense LVS-i uheks lahendiks on nn tri-viaalne lahend x = 0 (nullvektor).

3.3 Triviaalne lahend ja mittetriviaalsed lahendid

Homogeense LVS-i Ax = 0 lahendit x = 0 nimetatakse triviaalsekslahendiks.

Homogeense LVS-i ulejaanud lahendeid (kui leiduvad) nimeta-takse mittetriviaalseteks.


3.4 Lahendite omadusi

Teoreem 2. Olgu a ja b homogeense LVS-i Ax = 0 lahendid, s.tAa = 0 = Ab. Siis a + b ja αa on samuti lahendid.

Toestus. Toepoolest, kasutades maatrikstehete omadusi, saame

1) A(a + b) = Aa + Ab = 0 + 0 = 02) A(αa) = (Aα)a = (αA)a = α(Aa) = α0 = 0

Seega homogeense LVS-i lahendihulk (kui aritmeetilise vektor-ruumi alamhulk) on kinnine liitmise ja arvuga korrutamise suhtes.

3.5 Kui tundamatute arv = vorrandite arv (n = k)

Kui n = k ja detA 6= 0, siis homogeensel LVS-il leidub vaid tri-viaalne lahend. Kui n = k, siis mittetriviaalse lahendi olemasolukspeab detA = 0.

Toestus. Toepoolest, kui n = k, siis regulaarse A korral on vorran-di Ax = 0 parajasti uks lahend, selleks on x = A−10 = 0.

4 Crameri peajuht ja valemid

4.1 Crameri peajuht

Oeldakse, et LVS-i korral on tegemist Crameri 1 peajuhuga, kui

1) tundmatute arv vordub vorrandite arvuga,2) susteemi maatriksi determinant erineb nullist.

4.2 Tahistusi

Crameri peajuhul on LVS jargmise kujuga:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = y2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = yn

1Gabriel Cramer (1704− 1752), sveitsi matemaatik


kusjuures detA 6= 0. Maatriksil A leidub siis teatavasti poordmaat-riks A−1.

Olgu Ai maatriks, mis on saadud maatriksist A i-nda veeruasendamisel LVS-i vabaliikmete veeruga.

4.3 Crameri valemid

Teoreem 3. Crameri peajuhul on LVS-il parajasti uks lahend.Lahend avaldub valemitega

xi =detAi

detA, i = 1, . . . , n

Toestus. Kasuta poordmaatriksit.

5 LVS-i omadusi

LVS-i kooskolalisust kirjeldab nn Kroneckeri-Capelli 2 teoreem.

5.1 Kroneckeri-Capelli teoreem (astakutingimus)

Teoreem 4. LVS on kooskolaline parajasti siis, kui tema maat-riksi astak vordub laiendatud maatriksi astakuga.

5.2 Ulesanne

Naidata, et susteem

2x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 63x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 49x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 2

on kooskolaline.

2Alfredo Capelli (1855-1910), itaalia matemaatik


5.3 Ulesanne

Naidata, et susteemil

4x1 + 2x2 − 5x3 + 3x4 = 46x1 + 4x2 − 7x3 − 5x4 = − 63x1 + x2 − 4x3 + 7x4 = 10

puuduvad lahendid. Uurida (selgitada) pohjust.

5.4 Lahendite arvust

Teoreem 5. Kooskolalisel LVS-il 1.1 on

1) parajasti uks lahend kui n = r(A),2) lopmata palju lahendeid, kui n > r(A).

6 Uld- ja erilahend

6.1 Uld- ja erilahendi moiste

LVS-i uldlahend on selline parameetritest soltuv lahend, mis ra-huldab jargmist tingimust: parameetritele arvvaartuste omistami-se teel on voimalik saada antud LVS-i koik lahendid.

Lahendeid, mis saadakse uldlahendist parameetritele (koigilevoi osale neist) arvvaartuste omistamise teel, nimetatakse LVS-ierilahenditeks.

6.2 Vabad tundmatud

Osutub, et LVS-i uldlahendi parameetreid saab valida tundmatutehulgast. Tundmatuid, mis on valitud uldlahendi parameetriteks,nimetatakse vabadeks tundmatuteks.

LVS-i vabade tundmatute arvu (v. t. a.) leidmiseks voib kasu-tada jargmist teoreemi.

Teoreem 6. Kooskolalise LVS-i maatriksi astak vordub tundma-tute arvu ja vabade tundmatute arvu vahega.


Meil on seega lihtne valem

v.t.a. = t.a.− r

Kui susteemil on vahemalt uks vaba tundmatu, siis on tal ilmseltlopmata palju lahendeid.

6.3 Homogeense LVS-i mittetriviaalse lahendiolemasolu

Teoreem 7. Kui homogeensel LVS-il on tundmatute arv suuremvorrandite arvust, siis leidub tal mittetriviaalne lahend.

Toestus. Olgu LVS 1.1 homogeenne (y1 = · · · = yk = 0) ning olgutundmatute arv suurem vorrandite arvust, s.t n > k. Olgu r sellisesusteemi maatriksi astak. Ilmselt r ≤ k, r ≤ n ning

v.t.a. = n− r

= (n− k) + (k − r)> 0

Seega on teoreemi eeldustel LVS-i uldlahendis vahemalt uks vabatundmatu. Siit jareldubki, et antud juhul leidub LVS-il mittetri-viaalseid lahendeid.

7 Gaussi meetod

Nuud selgitame LVS-ide lahendamist elementaarteisendustega, mi-da kirjanduses tuntakse ka Gaussi 3 meetodi nime all.

7.1 LVS-ide ekvivalentsus

Oeldakse, et LVS-id on ekvivalentsed ehk samavaarsed, kui neil onuhesugused lahendihulgad, s.t esimese LVS-i iga lahend on teiseLVS-i lahendiks ja vastupidi, teise LVS-i iga lahend on esimeseLVS-i lahendiks.

LVS-ide ekvivalentsuse tahistamiseks kasutame sumbolit ∼3Carl Friedrich Gauss (1777-1855), saksa matemaatik


7.2 Ekvivalentsi omadusi

1) Refleksiivsus: iga LVS on ekvivalentne iseendaga, s.t LV S ∼LV S.

2) Summeetria: kui LV S(1)∼LV S(2), siis LV S(2)∼LV S(1).3) Transitiivsus: kui LV S(1) ∼ LV S(2) ja LV S(2) ∼ LV S(3),

siis LV S(1) ∼ LV S(3).

7.3 LVS-i elementaarteisendused

LVS-i esimest liiki elementaarteisenduseks nimetatakse LVS-i mistahes vorrandi labikorrutamist nullist erineva arvuga.

LVS-i teist liiki elementaarteisenduseks nimetatakse LVS-i min-gile vorrandile sama susteemi mone teise arvkordse vorrandi liit-mist.

LVS-i elementaarteisenduseks nimetatakse ka LVS-i vorranditejarjestuse muutmist. See elementaarteisendus ei ole aga soltuma-tu, vaid on realiseeritav esimest ja teist liiki elementaarteisendustekompositsioonina (analoogiline maatriksi ridade jarjestuse muut-misega).

Teoreem 8. LVS-i elementaarteisendused ei muuda LVS-i lahen-dihulka.

Toestus. Soovitav toestada iseseisva harjutusena.

7.4 Trepikujuline LVS

Utleme, et LVS on trepikujuline, kui tema kordajate maatriks ontreppmaatriks.

7.5 Gaussi meetodi idee

Gaussi meetod on LVS-ide okonoomne lahendusmeetod elemen-taarteisenduste abil. Meetodi aluseks on tahelepanek, et LVS-ielementaarteisendusi voib sooritada maatriksesituses, kasutades


LVS-i laiendatud maatriksi (peamiselt ridade) elementaarteisen-dusi. LVS teisendatakse elementaarteisendudte abil ekvivalentseletreppkujule. Meetod voimaldab

1) leida LVS-i maatriksi ja tema laiendatud maatriksi astakud,2) kontrollida astakutingimust (kooskolalisust),3) selekteerida valja vabad tundmatud (kui leiduvad),4) kooskolalisuse korral leida LVS-i koik lahendid, olemasolu

korral uldlahend.

7.6 Gaussi meetod (LVS-i lahendamine)

1) Kirjutame valja LVS-i laiendatud maatriksi, eraldades sel-gelt vabaliikmete veeru.

2) Kasutades ridade elementaarteisendusi, teisendame LVS-ilaiendatud maatriksi ekvivalentsele treppkujule. Veergudeelementaarteisendustest on lubatud vaid veergude jarjestusemuutimine, sellega kaasneb tundmatute jarjestuse muutmi-ne.

3) Leiame LVS-i maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud ningkontrollime astakutingimust.

4) Kooskolalisuse korral leiame LVS-i vabade tundmatute arvu.5) Kirjutame valja LVS-i ekvivalentse treppkuju.6) Tundmatud selekteerime juhtivateks ja (olemasolu korral)

vabadeks. Juhttundmatud asetsevad treppmaatriksi juhtele-mentide korval.

7) LVS-i ekvivalentsest treppkujust avaldame juhttundmatudvabaliikmete ja (olemasolu korral) vabade tundmatute kau-du. Kasutada saab

a) asendusmeetodit,b) Crameri valemeid,c) poordmaatriksit.

8) Kirjutame valja koik lahendid, olemasolu korral uldlahendi,naidates ara vabad tundmatud.

9) Kahtluse korral kontrollime lahendit. Uldlahendi asendami-sel LVS-i vorranditesse peavad vabad tundmatud koonduma.


7.7 Gaussi meetodi kokkuvote

LVS teisendatakse ekvivalentsele kujule nii, et eralduksid vabadtundmatud. Tulemus kuulutatakse uldlahendiks ja lahendaminelopetatuks. Juhttundmatute avaldamine on vaid mugavuse kusi-mus.

7.8 Naide

Lahendada LVS

2x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 63x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 49x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 2

Lahendus

Selle susteemi laiendatud maatriks

A =

2 7 1 3 63 5 2 2 49 4 7 1 2

Ridade elementaarteisendustega leidsime, et maatriksiga A ekvi-valentne treppmaatriks on

1 − 2 −1 −1 − 20 11 −1 5 100 0 0 0 0

Vahetades nuud (murdude valtimiseks jargnevates arvutustes) tei-se ja kolmanda veeru, saame

A ∼

1 1 − 2 −1 − 20 −1 11 5 100 0 0 0 0

Ilmselt r(A) = 2 ja susteemi v. t. a. = 4− 2 = 2.


Kirjutame valja esialgse LVS-iga ekvivalentse susteemi

1x1 + 1x3 − 2x2 − 1x4 = − 20x1 − 1x3 + 11x2 + 5x4 = 100x1 + 0x3 + 0x2 + 0x4 = 0

Triviaalsed liikmed ja vorrandid eemaldame ning juhttundmatudraamime . Siis saame

{x1 + x3 − 2x2 − x4 = − 2

− x3 + 11x2 + 5x4 = 10

Vabadeks (parameetriteks) loeme tundmatud x2 ja x4. Nuud aval-dame juhttundmatud x1, x3 vabaliikmete ja vabade tundmatutex2, x4 kaudu. Seda on mugav teha nii, et koigepealt avaldame x3

teisest vorrandist. Saame

x3 = −10 + 11x2 + 5x4

Edasi arvutame esimesest vorrandist

x1 = −2− x3 + 2x2 + x4

= −2− (−10 + 11x2 + 5x4) + 2x2 + x4

= 8− 9x2 − 4x4

Uldlahend on

x1 = 8− 9x2 − 4x4

x3 = −10 + 11x2 + 5x4

x2, x4 − vabad tundmatud

Kahtluse korral kontrollime lahendit. Uldlahendi asendamisel sus-teemi vorranditesse peavad vabad tundmatud koonduma. Kontrol-lime (uld)lahendit naiteks esimese vorrandiga

2x1 + 7x2 + 1x3 + 3x4 = 2(8− 9x2 − 4x4) + 7x2

+ (−10 + 11x2 + 5x4) + 3x4

= 6 =⇒ 6 = 6

Ulejaanud vorranditega kontrollitakse lahendit analoogiliselt.


8 Ulesandeid

8.1 Ulesanne

Lahendada LVS ja kontrollida lahendit

3x1 − 2x2 + 5x3 + 4x4 = 26x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4 = 39x1 − 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4

8.2 Ulesanne


−6x1 + 9x2 + 3x3 + 2x4 = 4−2x1 + 3x2 + 5x3 + 4x4 = 2−4x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4 = 3

8.3 Ulesanne


3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 36x1 + 8x2 + 2x3 + 5x4 = 79x1 + 12x2 + 3x3 + 10x4 = 13

8.4 Ulesanne


6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 13x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 33x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = −79x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2


8.5 Ulesanne

Lahendada maatriksvorrand ja kontrollida lahendit

X

(2 −14 −2

)=

(1 32 6

)

8.6 Ulesanne

Lahendada maatriksvorrand ja kontrollida lahendit(

2 −14 −2

)X =

(1 32 6

)

V. Kompleksarvud

1 Kompleksarvu moiste ja esitusi

1.1 Kompleksarvu moiste

Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvuliste elementidega teist jar-ku ruutmaatriksit, milles

1) peadiagonaali elemendid on vordsed,2) korvaldiagonaalil asetsevad teineteise vastandarvud.

Koigi kompleksarvude hulka tahistame C ja nimetame kompleks-arvude korpuseks.

1.2 Tahistusi

Seega maatriks z = ( z11 z12z21 z22 ) ∈ C, kui

1) z11 = z22 ∈ R,2) z12 = −z21 ∈ R.

Mugav on tahistada

z11 = z22 = a ∈ R, z12 = −z21 = −b ∈ R

Avaldist

z =(

a −bb a

)∈ C

nimetame kompleksarvu z maatrikskujuks ehk maatriksesituseks.

Naide

(2 −33 2

) ∈ C,(

π√

2−√2 π

)∈ C,

(−π

√2

−√2 π

)/∈ C,

(π√

2√2 π

)/∈ C

1

2 V. Kompleksarvud

1.3 Reaal- ja imaginaarosa

Arvu a ∈ R nimetatakse kompleksarvu z =(

a −bb a

) ∈ C reaalosaksja tahistatakse a = Re z. Arvu b ∈ R nimetatakse kompleksarvuz =

(a −bb a

) ∈ C imaginaarosaks ja tahistatakse b = Im z.

1.4 Uhik, imaginaaruhik ja null

Kompleksarvu I := ( 1 00 1 ) := 1, s.t teist jarku uhikmaatriksit ni-

metatakse uhikuks ehk uheks. Kompleksarvu i :=(

0 −11 0

)nime-

tatakse imaginaaruhikuks. Kompleksarvu 0 := ( 0 00 0 ) nimetatakse

nulliks.

Lause 1. Iga kompleksarv avaldub uheselt uhiku ja imaginaaruhikulineaarkombinatsioonina kujul C 3 z = (Re z) I +(Im z)i.

Toestus. Toepoolest

(Re z) I = (Re z)(

1 00 1

)=

(Re z 0

0 Re z

)

(Im z)i = (Im z)(

0 −11 0

)=

(0 − Im z

Im z 0

)

Liites saame

(Re z) I+(Im z)i =(

Re z 00 Re z

)+

(0 − Im z

Im z 0

)

=(

Re z − Im zIm z Re z

)= z

mis toestabki noutava vorduse. Uhesus jareldub kergesti maatrik-site vordsuse definitsioonist.

Markus

Korrutamist uhikuga (uhega) I tavaliselt ei eksponeerita. Seegakirjutatakse

z = Re z + (Im z)i = Re z + i Im z

V. Kompleksarvud 3

1.5 Kompleksarvu algebraline kuju (esitus)

Avaldistz = Re z + i Im z = a + ib

nimetatakse kompleksarvu z algebraliseks kujuks ehk (harvemini)algebraliseks esituseks.

Arvutusi kompleksarvudega sooritamegi mitte maatrikskujul,vaid eelistatavalt algebralisel kujul.

1.6 Kompleksarvude vordsuse tunnus

Lause 2. Kompleksarvud on vordsed parajasti siis, kui

1) on vordsed nende reaalosad,2) on vordsed nende imaginaarosad.

Toestus. Kasuta maatriksite vordsuse definitsiooni.

1.7 Kompleksarvu geomeetriline tolgendus (esitus)

Et kompleksarv z = Re z + i Im z soltub kahest reaalarvulisestparameetrist (Re z ja Im z), on kompleksarv reaalarvu tasandili-ne uldistus. Piltlikult oeldes kompleksarv ongi tasandiline (ehk2-mootmeline) arv. Piltlikustamiseks voib kasutada xy-tasandit,kus kompleksarvu z x-koordinaat on Re z ning y-koordinaat onIm z. Sellises tolgenduses nimetatakse xy-tasandit komplekstasan-diks, x-telge nimetatakse reaalteljeks ja y-telge imaginaarteljeks.Kompleksarv esitub uheselt komplekstasandi punktina. Joonisekoostamine jaagu iseseisvaks harjutuseks.

2 Tehted kompleksarvudega

2.1 Idee selgitus

Kompleksarve nimetatakse arvudeks ehk skalaarideks eeskatt sel-leparast, et nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist,

4 V. Kompleksarvud

lahutamist, korrutamist ja jagamist. Tehted saab defineerida maat-rikstehetena. Osutub, et tehete tulemuseks on samuti kompleks-arvud, s.t C on kinnine aritmeetiliste tehete suhtes.

2.2 Tehete definitsioon

Kompleksarvude liitmine, lahutamine ja korrutamine defineeritak-se kui maatriksite liitmine, lahutamine ja korrutamine. Kompleks-arvu poordarvuks (kui leidub) on tema poordmaatriks. Jagaminedefineeritakse poordarvu abil, seda selgitame hiljem.

3 Kompleksarvude liitmine ja lahutamine

3.1 Summa ja vahe

Kompleksarvude summa ja vahe defineeritakse kui maatriksitesumma ja vahe.

3.2 Kinnisus

Lause 3. C on kinnine liitmise ja lahutamise suhtes, s.t komp-leksarvude summa ja vahe on samuti kompleksarv. Kompeksarvudeliitmisel (lahutamisel) liidame (lahutame) reaal- ja imaginaarosaderaldi:

(a1 + b1i)± (a2 + b2i) = (a1 ± a2) + (b1 ± b2)i

Toestus. Toepoolest, kasutades (vaikimisi) maatrikstehete oma-dusi, arvutame

(a1 + b1i)± (a2 + b2i) = a1 + b1i± a2 ± b2i

= a1 ± a2 + b1i± b2i

= (a1 ± a2)± (b1 ± b2) ∈ C

V. Kompleksarvud 5

3.3 Naide: summa ja vahe arvutamine

Arvutame summa

(2− 5i) + (−1 + 7i) = 2− 5i− 1 + 7i = 2− 1− 5i + 7i

= (2− 1) + (−5 + 7)i = 1 + 2i

Arvutame vahe

(2− 5i)− (−1 + 7i) = 2− 5i + 1− 7i = 2 + 1− 5i− 7i

= (2 + 1)− (5 + 7)i = 3− 12i

4 Kompleksarvude korrutamine

4.1 Korrutise moiste

Kompleksarvude korrutamine defineeritakse kui maatriksite kor-rutamine. Korrutamistehet voimaluse korral ei eksponeerita, s.tz1z2 := z1 · z2.

Korrutamist illustreerime koigepealt naidetega.

4.2 Naide: imaginaaruhiku ruut

Kasutades maatrikskorrutist, arvutame

i2 := ii =(

0 −11 0

)(0 −11 0

)=

(−1 00 −1

)= −1

(1 00 1

)

= −1 I = − I = −1

kus viimaste vorduste valjakirjutamisel arvestasime seda, et kor-rutamist uhikutega (tavaliselt) ei eksponeerita. Uhikute mitteeks-poneerimine on heas kooskolas tahistusega I = 1.

4.3 Markus: imaginaaruhiku moistest

Seost i2 = −1 loetakse sageli imaginaaruhiku definitsiooniks jakirjutatakse i :=

√−1. Imaginaaruhik√−1 ei ole tolgendatav

6 V. Kompleksarvud

reaalarvuna (sest reaalarvude ruudud on mittenegatiivsed), kullaga spetsiifilise teist jarku ruutmaatriksina, nagu eespool veen-dusime. Korrektne on naiteks kirjutada

√−1 :=(

0 −11 0

). Leidub

ka teisi tolgendusi (esitusi).

4.4 Naide: imaginaaruhiku poordaarv

Vorduse i2 = −1 korrutame −1-ga ja kirjutame tulemuse kujul

i(−i) = 1 = (−i)i

See valem utleb, et imaginaaruhiku poordarv avaldub kujul

i−1 =1i

= −i

4.5 Naide: korrutise arvutamine

Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame

(2− 5i)(−4 + 3i) = −2 · 4 + 2(3i) + (5i)4− (5i)(3i)

= −8 + (2 · 3)i + (5 · 4)i− (5 · 3)i2

= (−8 + 15) + (6 + 20)i= 7 + 26i

Muudame tegurite jarjekorda, saame

(−4 + 3i)(2− 5i) = −4 · 2 + 4(5i) + (3i)2− (3i)(5i)

= −8 + (4 · 5)i + (3 · 2)i− (3 · 5)i2

= (−8 + 15) + (20 + 6)i= 7 + 26i

4.6 Korrutise uldvalem

Korrutise uldvalemi esitame jargmise lause toestuses.

Lause 4. C on kinnine korrutamise suhtes, s.t kompleksarvudekorrutis on ka kompleksarv. Korrutamine on kommutatiivne.

V. Kompleksarvud 7

Toestus. Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame korrutise

z2z1 = (a2 + b2i)(a1 + b1i)= a2a1 + a2(b1i) + (b2i)a1) + (b2i)(b1i)

= a2a1 + (a2b1)i + (b2a1)i + (b2b1)i2

= (a2a1 − b2b1) + (a2b1 + b2a1)i ∈ C

Muutes tegurite jarjekorda, saame kommutatiivsuse

z1z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i = z2z1

See on ka korrutise z1z2 uldvalem.

5 Kaaskompleksarv ja konjugeerimine

5.1 Kaaskompleksarvu moiste

Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarv on z∗ := a− bi. Funkt-siooni z 7→ z∗, s.t kaaskompleksarvu leidmist nimetatakse (komp-leksseks) konjugeerimiseks.

Naide

(2 + 3i)∗ = 2− 3i, (−2− 3i)∗ = −2 + 3i jne.

5.2 Tolgendusi

Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegel-dus reaaltelje suhtes. Maatriksesituses ilmselt z∗ = zT .

5.3 Konjugeerimise omadusi

1) (z∗)∗ = z

2) (z1 ± z2)∗ = z∗1 ± z∗23) (z1z2)∗ = z∗1z

∗2

4) Re z = 12(z + z∗), Im z = 1

2i(z − z∗)

8 V. Kompleksarvud

6 Moodul

6.1 Mooduli moiste

Kompleksarvu z = a + bi moodul |z| defineeritakse valemiga

|z| :=√

a2 + b2

Moodul on ilmselt mittenegatiivne reaalarv.

Naide

|2− 3i| =√

22 + (−3)2 =√

13 jne.

6.2 Tolgendusi

Geomeetriliselt on moodul kompleksarvu (polaar)kaugus koordi-naatide alguspunktist komplekstasandil. Maatriksesituses |z| =√

det z.

6.3 Ruutude summa valem

(a + bi)(a− bi) = a2 + b2

Toestus. Toepoolest, kasutades maatrikstehete omadusi, arvuta-me

(a + bi)(a− bi) = aa− abi + bia− bibi

= a2 − abi + bai− b2i2

= a2 + b2

6.4 Mooduli omadusi

1) zz∗ = |z|2 = z∗z2) |z1z2| = |z1||z2|

Toestus. Esimene valem on ruutude summa valem. Teine valemjaagu iseseisvaks harjutuseks.

V. Kompleksarvud 9

7 Poordarv

7.1 Poordarvu moiste

Kompleksarvu z ∈ C poordarv (kui leidub) on tema poordmaatriksz−1. Teisiti oeldes,

zz−1 = 1 = z−1z

7.2 Tolgendus

Kompleksarv on ortogonaalmaatriks, s.t z−1 = zT .

7.3 Poordarvu omadusi

1) (z−1)−1 = z2) (z1z2)−1 = z−1

1 z−12

7.4 Poordarvu olemaolu ja arvutamine

Teoreem 5. Igal 0 6= z ∈ C leidub parajasti uks poordarv z−1 ∈ Cning see avaldub valemiga

z−1 :=1z

=1|z|2 z∗ =

z∗

|z|2 =1z∗

zz∗

Toestus. Et z 6= 0, siis |z| 6= 0 ning z∗|z|2 on maaratud. Tuleb kont-

rollida poordarvu (poordmaatriksi) definitsioonseoseost

zz∗

|z|2 =zz∗

|z|2 =|z|2|z|2 = 1

Analoogiliselt kontrollitakse vordust z∗|z|2 z = 1. Poordarvu ainsus

jareldub maatriksi poordmaatriksi ainsusest.

7.5 Naide

Leiame i−1

i−1 =1i

=1 · (−i)i · (−i)

=−i

1= −i

10 V. Kompleksarvud

7.6 Naide

Leiame i−99

i−99 =1

i99=

1i4·24+3

=1

i4·24 · i3 =1

(i4)24 · i2 · i = −1i

= i

7.7 Naide

Leiame 2− 5i poordarvu

12− 5i

=1(2 + 5i)

(2− 5i)(2 + 5i)=

2 + 5i4− (5i)2

=2 + 5i

4− 25i2=

2 + 5i

4 + 25

=2 + 5i

29

8 Jagamine

Et kompleksarvude korrutamine on kommutatiivne, siis on jaga-mistehe uheselt maaratud.

8.1 Jagatise moiste

Kompleksarvude z1 ja z2 jagatis defineeritakse valemiga

z1

z2:= z1

1z2

=1z2

z1, z2 6= 0

8.2 Jagatise arvutamine

Poordmaatriksi arvutamise asemel on otstarbekam kasutada vale-mit

z1

z2=

z1z∗2

z2z∗2=

z1z∗2

|z2|2

Toestus. Toepoolest, kasutades maatrikskorrutise omadusi, saame

z1

z2= z1

1z2

= z1z∗2|z2|∗ =

z1z∗2

z2z∗2

V. Kompleksarvud 11

8.3 Jagatis algebralisel kujul

Naitame, kuidas jagatis algebralisele kujule teisendada. Kasutadesmaatrikstehete omadusi, arvutame

z1

z2=

a1 + b1i

a2 + b2i=

(a1 + b1i)(a2 − b2i)(a2 + b2i)(a2 − b2i)

=a1a2 − a1b2i + b1ia2 − b1ib2i

a22 − b2

2i2

=a1a2 − a1b2i + b1a2i + b1b2

a22 + b2

2

=a1a2 + b1b2 + (b1a2 − a1b2)i

a22 + b2

2

=a1a2 + b1b2

a22 + b2

2

+b1a2 − a1b2

a22 + b2

2

i

8.4 Naide

Arvutame jagatise

2 + 3i

3− 4i=

(2 + 3i)(3 + 4i)(3− 4i)(3 + 4i)

=6 + 8i + 9i + 12i2

9− 16i2=

6− 12 + 17i9 + 16

=−6 + 17i

25

9 Kompleksarvude omadusi

9.1 Arvutusseadused kompleksarvudega

Teoreem 6. Olgu z, z1, z2, z3 ∈ C. Siis kehtivad jargmised arvu-tusseadused:

1) z1 + z2 = z2 + z1 ( liitmise kommutatiivsus),2) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) ( liitmise assotsiatiivsus),3) ∃ 0 ∈ C nii, et z + 0 = z = 0 + z ∀z ∈ C

(nulli 0 olemasolu),

12 V. Kompleksarvud

4) ∀ z ∈ C ∃ − z ∈ C nii, et z + (−z) = 0 = −z + z( vastandarvu −z olemasolu),

5) (z1z2)z3 = z1(z2z3) ( korrutamise assotsiatiivsus),6) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 (distributiivsus),7) ∃1 ∈ C nii, et 1z = z (unitaalsus),8) z1z2 = z2z1 ( korrutamise kommutatiivsus),

9) ∀ 0 6= z ∈ C ∃z−1 ∈ C nii, et zz−1 = 1 = z−1z

(poordarvu z−1 olemasolu).

Toestus. Kompleksarvud defineerisime kui erikujulised teist jarkuruutmaatriksid. Tehete omadused 1) − 7) jarelduvad maatriks-tehete vastavatest omadustest. Kommutatiivsuse (omadus 8) japoordarvu olemasolu (omadus 9) toestasime eespool.

9.2 Markus: korpuse moistest

Omadused 8) ja 9) maatriksite korral uldiselt ei kehti. Arvutussea-dused 1) − 9) kehtivad ka ratsionaalarvude ja reaalarvude korral.Need arvutusseadused voetakse aluseks abstraktse korpuse defi-neerimisel. Seda kasitleme hiljem.

10 Ruutvorrand kompleksarvude korpuses

10.1 Idee selgitus

Osutub, et ruutvorrandi ax2 + bx + c = 0 lahendusvalemi

x =−b±√b2 − 4ac

2a

tuletamisel kasutatakse vaid (korpuse) omadusi 1) − 9) (vt ala-punkt 9.1) ja ruutjuuure moistet. Defineerides ruutjuure komp-leksarvude jaoks, voime seda lahendusvalemit kasutada ka komp-leksarvuliste kordajate a, b, c korral.

V. Kompleksarvud 13

10.2 Kompleksarvu ruutjuur

Kompleksarvu z ∈ C ruutjuur√

z defineeritakse valemiga (√

z)2 =z.

10.3 Naide: ruutjuure arvutamine

Leiame√−15− 8i. Tahistame

√−15− 8i = α + βi, α, β ∈ RVastavalt ruutjuure definitsioonile

(α + βi)2 = α2 + 2αβi + β2i2 = α2 − β2 + 2αβi = −15− 8i

Reaal- ja imaginaarosad peavad olema vastavalt vordsed{

α2 − β2 = −152αβ = −8

Molemad vorrandid tostame ruutu{(α2 − β2)2 = 225(2αβ)2 = 64

=⇒{

α4 − 2α2β2 + β4 = 2254α2β2 = 64

Liidame saadud vorrandid

α4 − 2α2β2 + β4 + 4α2β2 = 225 + 64 =⇒ (α2 + β2)2 = 289

=⇒ α2 + β2 =√

289 = 17

Teine juur (−17) ei kolba, sest α2 + β2 ≥ 0. Moodustame uuesusteemi

α2 − β2 = −15α2 + β2 = 172αβ = −8

Liidame ja lahutame kaks esimest vorrandit. Saame

2α2 = −15 + 17 = 22β2 = 17 + 15 = 322αβ = −8

=⇒

α2 = 1β2 = 162αβ = −8

14 V. Kompleksarvud

=⇒

α = ±1β = ±42αβ = −8

Et 2αβ = −8 (negatiivne), siis saame kaks lahendit{

α1 = +1, β1 = −4α2 = −1, β2 = +4

ning vorrand 2αβ = −8 on rahuldatud. Kokku vottes on ruutjuu-rel kaks vaartust

√−15− 8i =

{α1 + β1i

α2 + β2i=

{1− 4i

−1 + 4i= ±(1− 4i)

Kontrollime tulemust. Toepoolest

[±(1− 4i)]2 = (1− 4i)2 = 1− 8i + 16i2 = 1− 16− 8i = −15− 8i

10.4 Naide: ruutvorrandi lahendamine

Lahendada ruutvorrand

x2 − (3− 2i)x + (5− i) = 0

Kasutades ruutvorrandi lahendusvalemit, saame

x =3− 2i±

√(3− 2i)2 − 4(5− i)

2

=3− 2i±√9− 12i + 4i2 − 20 + 4i

2

=3− 2i±√−15− 8i

2=

3− 2i± (1− 4i)2

Siin kasutasime ruutjuure√−15− 8i vaartusi naitest 10.3. Nuud

saame

x1 =3− 2i + (1− 4i)

2=

4− 6i

2= 2− 3i

V. Kompleksarvud 15

x2 =3− 2i− (1− 4i)

2=

3− 2i− 1 + 4i2

=2 + 2i

2= 1 + i

Kontrollime esimest juurt. Arvutame

(2− 3i)2 − (3− 2i)(2− 3i) + 5− i

= 4− 12i + 9i2 − 6 + 9i + 4i− 6i2 + 5− i

= (4− 9− 6 + 6 + 5) + (−12 + 9 + 4− 1)i = 0 + 0i = 0

Teist juurt kontrollime analoogiliselt

(1 + i)2 − (3− 2i)(1 + i) + 5− i

= 1 + 2i + i2 − 3− 3i + 2i + 2i2 + 5− i

= (1− 1− 3− 2 + 5) + (2− 3 + 2− 1)i = 0 + 0i = 0

11 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

11.1 Tahistusi ja moisteid

Olgu z = Re z+i Im z ∈ C. Vastavalt kompleksarvu geomeetriliseletolgendusele on reaalosa Re z ja imaginaarosa Im z kompleksarvu zristkoordinaadid komplekstasandil. Lahme ule polaarkoordinaati-dele. Olgu ρ punkti z kaugus koordinaatide alguspunktist (polaar-kaugus) ning ϕ polaarnurk. Lepime kokku: kui nurka ϕ moodamereaaltelje positiivsest poolest vastupaeva, siis ϕ > 0, kui moodamereaaltelje positiivsest poolest paripaeva, siis ϕ < 0.

Uleminekuvalemid polaarkoordinaatidele on jargmised:

ρ =√

(Re z)2 + (Im z)2 = |z|Re z = ρ cosϕ

Im z = ρ sinϕ

Ilmselt tanϕ = Im zRe z . Kasutades uleminekuvalemeid, saame

z = Re z + i Im z = |z| cosϕ + i|z| sinϕ = |z|(cosϕ + i sinϕ)

16 V. Kompleksarvud

Avaldistz = |z|(cos ϕ + i sinϕ)

nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks (ehk esi-tuseks). Polaarnurka ϕ nimetatakse kompleksarvu z argumendiksning tahistatakse ϕ := Arg z.

Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumentiarg z muuta mingi taisarv korda 2π vorra. Seega on kompleksar-vu argument maaratud vaid 2π taisarvulise kordseni. Polaarnurgavaartust arg z, mis rahuldab vorratust −π < arg z ≤ π, nimeta-takse argumendi peavaartuseks. Kompleksarvu argument avalduboma peavaartuse kaudu valemiga

Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z

Sageli voetakse arg z muutumispiirkonnaks vahemik [0, 2π).

11.2 Kompleksarvude vordsuse tunnustrigonomeetrilises esituses

Lause 7. Kompleksarvud on vordsed parajasti siis, kui

1) nende moodulid on vordsed,2) nende argumentide vahe on 2π kordne.


Leida kompleksarvude ±1± i trigonomeetrilised kujud.

12 Euleri valemid ja kompleksarvueksponentkuju (eksponentesitus)

12.1 Euleri funktsioon

Funktsioonieiϕ := cosϕ + i sinϕ, ϕ ∈ R

V. Kompleksarvud 17

nimetame Euleri1 funktsiooniks. Maatriksesituses ilmselt

eiϕ =(

cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)

Euleri funktsiooni seost eksponentfunktsiooniga selgitatakse mate-maatilises analuusis, kompleksmuutuja funktsioonide teoorias.

12.2 Kompleksarvu eksponentkuju

Avaldistz = |z|eiϕ

kus ϕ on kompleksarvu z polaarnurk, nimetatakse kompleksarvuz eksponentkujuks (eksponentesituseks).

Naide

1 + i =√

2ei π4 , i = ei π

2 , −1 = eiπ jne.

12.3 Euleri valemid

cosϕ =12(eiϕ + e−iϕ), sinϕ =

12i

(eiϕ − e−iϕ)

Toestus. Kasuta Euleri funktsiooni definitsiooni.

12.4 Euleri funktsiooni omadusi

eiϕ1eiϕ2 = ei(ϕ1+ϕ2),eiϕ1

eiϕ2= ei(ϕ1−ϕ2)

Toestus. Kasuta Euleri funktsiooni definitsiooni ja trigonomeetri-liste funktsioonide omadusi.

1Leonhard Euler (1707− 1783), sveitsi matemaatik

18 V. Kompleksarvud

12.5 De Moivre’i valem

Jargnev valem kannab de Moivre 2 nime.

(eiϕ)n = einϕ, n ∈ N

Toestus. Kasuta matemaatilise induktsiooni meetodit.

12.6 Korrutamine ja jagamine eksponentesituses

z1z2 = |z1||z2|ei(ϕ1+ϕ2),z1

z2=|z1||z2|e

i(ϕ1−ϕ2)

Naide

Arvutame

(1 + i√

3)(1 + i)1− i

√3

=2ei π

3

√2ei π

4

2e−i π3

=√

2ei(π3+π

4+π

3) =

√2ei 11

12π

=√

2[cos(

1112

π) + sin(1112

π)]

13 Algebra pohiteoreem ja uhejuured

13.1 Polunoom

n-astme polunoom Pn(x) ehk hulkliige defineeritakse valemiga

Pn(x) := a0 + a1x + · · ·+ anxn

kus a0, a1, . . . , an−1, 0 6= an ∈ C on polunoomi Pn(x) kordajad, non polunoomi Pn(x) aste, x on polunoomi Pn(x) muutuja (para-meeter).

2Abraham de Moivre (1667− 1754), inglise matemaatik.

V. Kompleksarvud 19

13.2 Polunoomi juur

Arvu x0 ∈ C nimetame polunoomi Pn(x) r-kordseks juureks, kui

1) Pn(x0) = P ′n(x0) = · · · = P

(r−1)n (x0) = 0

2) P(r)n (x0) 6= 0

Naide

Arv x0 = 1 on polunoomi p(x) = x2 − 2x + 1 = (x− 1)2 2-kordnejuur, sest

1) p(1) = p′(1) = 02) p′′(1) = 2 6= 0

Teoreem 8. Kui polunoomi kordajad on reaalsed ning x0 ∈ Con selle polunoomi r-kordne juur, siis ka x∗0 on sama polunoomir-kordne juur.

13.3 Algebra pohiteoreem

Teoreem 9. Igal kompleksarvuliste kordajatega n-astme polunoo-mil leidub parajasti n kompleksarvulist juurt (kordsused kaasa ar-vatud).

13.4 Uhejuured

Polunoomi xn−1 kompleksarvulisi juuri nimetatakse n-jarku uhe-juurteks. Koigi n-jarku uhejuurte hulka tahistatakse n

√1.

13.5 Uhejuurte arvutamine

n√

1 ={

ei 2kπn := cos(

2kπ

n) + i sin(

2kπ

n), k = 0, 1, . . . , n− 1

}

20 V. Kompleksarvud

Toestus. Tahistame εk := ei 2kπn . Kasutades de Moivre’i valemit,

arvutame

(εk)n − 1 =(ei 2kπ

n

)n− 1 = ei 2kπ

nn − 1 = ei2kπ − 1

= cos(2kπ) + i sin(2kπ)− 1 = 1− 1 = 0

Et trigonomeetrilised funktsioonid cos ja sin on perioodilised, siisrohkem juuri pole.

13.6 Uhejuurte geomeetriline tolgendus

n-jarku uhejuured asetsevad komplekstasandil korraparase hulk-nurga tippudes. Hulknurga tipud asetsevad uhikringjoonel, millekeskpunkt on koordinaatide alguspunktis.

13.7 Naide

Leiame 2√

12√

1 ={

ei 2kπ2 , k = 0, 1

}=

{eikπ, k = 0, 1

}= {ei0, eiπ}

= {1,−1} = ±1

13.8 Naide

Leiame 3√

13√

1 ={

ei 2kπ3 , k = 0, 1, 2

}

Arvutame

k = 0: ε0 = ei0 = cos 0 + i sin 0 = 1

k = 1: ε1 = ei 2π3 = cos

2π

3+ i sin

2π

3= −1

2+√

32

i

k = 2: ε2 = ei 4π3 = cos

4π

3+ i sin

4π

3= −1

2−√

32

i

Seega3√

1 =

{1;−1

2±√

32

i

}

V. Kompleksarvud 21

3. jarku uhejuured paiknevad korraparase kolmnurga tippudes.Kolmnurga tipud asetsevad uhikringjoonel, mille keskpunkt onkoordinaatide alguspunktis. Joonise koostamine jaagu iseseisvaksharjutuseks.

13.9 Polunoomi xn − a juured

Polunoomi xn−a koigi kompleksarvuliste juurte hulka tahistataksen√

a.

13.10 n√

a arvutamine

Teoreem 10. Olgu a = |a|eiϕ. Siis

n√

a ={

n√|a|ei ϕ+2kπ

n , k = 0, 1, . . . , n− 1}

kus n√|a| on polunoomi xn − |a| ainus reaalarvuline juur.

Toestus. Analoogiline uhejuurte valemi toestusega.

13.11 Naide

Et i = 1ei π2 , siis

n√

i ={

eiπ2 +2kπ

n , k = 0, 1, . . . , n− 1}

Votame n = 3. Saame

3√

i ={

eiπ2 +2kπ

3 , k = 0, 1, 2}

Leiame 3√

i elemendid algebralisel kujul.

k = 0: x0 = cosπ

6+ i sin

π

6=√

32

+i

2

k = 1: x1 = cos5π

6+ i sin

5π

6= −

√3

2+

i

2

22 V. Kompleksarvud

k = 2: x2 = cos3π

2+ i sin

3π

2= −i

Tulemuseks saame

3√

i =

{±√3 + i

2,−i

}

14 Ulesandeid

14.1 Ulesanne

Arvutada kuupide vahe

(3 + i)3 − (3− i)3 = · · · = 52i

14.2 Ulesanne

Arvutada jagatis

(5 + i)(7− 6i)3 + i

= · · · = 10− 11i

14.3 Ulesanne

Lahendada LVS ja kontrollida lahendit{

iz1 + (1 + i)z2 = 2 + 2i2iz1 + (3 + 2i)z2 = 5 + 3i

14.4 Ulesanne

Lahendada ruutvorrand ja kontrollida lahendit

x2 − (1 + i)x + 6 + 3i = 0

14.5 Ulesanne

Leida kompleksarvude ±1 ± √3i trigonomeetrilised ja ekponent-kujud.

V. Kompleksarvud 23

14.6 Ulesanne

Leida hulga 6√

i elementide trigonomeetrilised kujud.

VI. Vektorruumid

1 Korpuse moiste

Hulka K = {α, β, γ, . . . } nimetatakse korpuseks, kui hulgal K ondefineeritud elementide liitmine ja korrutamine nii, et on taidetudjargmised tingimused:

1) α + β = β + α ∀α, β ∈ K(liitmise kommutatiivsus)

2) (α + β) + γ = α + (β + γ) ∀α, β, γ ∈ K(liitmise assotsiatiivsus)

3) ∃ 0 ∈ K nii, et α + 0 = α = 0 + α ∀α ∈ K(nulli 0 ∈ K olemasolu)

4) ∀α ∈ K ∃ − α ∈ K nii, et α + (−α) = 0 = −α + α(vastandelemendi −α olemasolu)

5) (αβ)γ = α(βγ) ∀α, β, γ ∈ K(korrutamise assotsiatiivsus)

6) α(β + γ) = αβ + αγ ∀α, β, γ ∈ K(distributiivsus)

7) ∃ 1 ∈ K nii, et 1α = α ∀α ∈ K(unitaalsus)

8) αβ = βα ∀α, β ∈ K(korrutamise kommutatiivsus)

9) ∀ 0 6= α ∈ K ∃α−1 ∈ K nii, et αα−1 = 1 = α−1α(poordelemendi α−1 olemasolu)

Korpuse elemente nimetatakse skalaarideks ehk arvudeks. Lisakseeldatakse, et K on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, s.t ska-laaride summad ja korrutised kuuluvad samuti korpusesse K.

Naiteid

Q,R,C

1

2 V. Vektorruumid

2 Vektorruumi moiste ja naited

2.1 Vektorrumi moiste

Hulka V = {a, b, c, . . . } nimetatakse vektorruumiks ule korpuseK, kui on defineeritud hulga V elementide liitmine ja hulga Velementide korrutamine korpuse K skalaaridega nii, et on taidetudjargmised tingimused:

1) a + b = b + a ∀ a, b ∈ V(liitmise kommutatiivsus)

2) (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ V(liitmise assotsiatiivsus)

3) ∃ o ∈ V nii, et a + o = a = o + a ∀ a ∈ V(nullvektori o ∈ V olemasolu)

4) ∀ a ∈ V ∃ − a ∈ V nii, et a + (−a) = o = −a + a(vastandvektori −a olemasolu)

5) α(a + b) = αa + αb ∀α ∈ K, ∀ a, b ∈ V(distributiivsus)

6) (α + β)a = αa + βa ∀α, β ∈ K, ∀a ∈ V(distributiivsus)

7) α(βa) = (αβ)a ∀α, β ∈ K, ∀ a ∈ V(skalaariga korrutamise assotsiatiivsus)

8) 1a = a ∀ a ∈ V(unitaalsus)

Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks. Lisaks eeldatak-se, et V on kinnine vektorite liitmise ja skalaaridega korrutamisesuhtes, s.t vektorite summad ja vektorite korrutised skalaaridegakuuluvad vektorruumi V .

Edaspidi eeldame vaikimisi, et K = Q,R voi C. Vastavat vek-torruumi nimetatakse ratsionaalseks, reaalseks voi kompleksseks.

Vektorruumi nullvektori tahistamiseks kasutatakse ka arvu 0.Lugeja peab kontekstist moistma, millal on tegemist arvuga 0 jamillal nullvektoriga. Selguse huvides voib kasutada ka tahistust0V .

VI. Vektorruumid 3

2.2 Naide: nullruum

Nullruumiks nimetatakse vektorruumi O := {o}, milles on uksainuselement - nullvektor o. Nullruumi tahistamiseks voib kasutadajallegi arvu 0. Nullruumi nimetatakse ka triviaalseks vektorruu-miks. Nullruume ule erinevate korpuste tuleb lugeda erinevateks.

2.3 Naide: korpused

Iga korpus on vektorruum ule iseenda.

2.4 Naide: maatriksruumid

Matk×n(K) on vektorruum ule K. Arvutusoperatioonid defineeri-sime II. peatukis.

2.5 Naide: aritmeetilised vektorruumid

Aritmeetilised vektorid on uherealised ja uheveerulised maatriksidelementidega korpusest K. Aritmeetilised vektorruumid on

Kn := Mat1×n(K)= {(x1, . . . , xn)|xi ∈ K} reavektorite ruum

′Kn := Matn× 1(K)

= {(x1, . . . , xn)T |xi ∈ K} veeruvektorite ruum

Tehted aritmeetiliste vektoritega toimuvad maatriksarvutuse reeg-lite kohaselt.

2.6 Naide: geomeetrilised vektorid

Geomeetriline vektor on suunatud sirgloik. Vektorite liitmine defi-neeritakse roopkuliku reegliga. Korrutamine arvuga defineeritakseloigu pikendamise voi luhendamise teel ja negatiivsete arvude kor-ral veel lisaks suuna muutmisega vastupidiseks.

4 V. Vektorruumid

2.7 Naide: loigus pidevate funktsioonide ruum

Olgu C[a, b] koigi loigus [a, b] pidevate reaalarvuliste vaartustegafunktsioonide hulk. Olgu f, g ∈ C[a, b] ning α ∈ R. Tehted defi-neerime jargmiselt:

1) (f + g)(x) := f(x) + g(x) ∀x ∈ [a, b],2) (αf)(x) := αf(x) ∀x ∈ [a, b],3) o(x) := 0 ∀x ∈ [a, b] (nullfunktsioon),4) (−f)(x) := −f(x) ∀x ∈ [a, b] (vastandfunktsioon).

Ulaltoodud tehete suhtes on C[a, b] vektorruum ule R (matemaa-tilise analuusi teoreem). Analoogiliselt defineeritakse diferentsee-ruvate ja siledate funktsioonide ruumid.

2.8 Naide: homogeense LVS-i lahendiruum

Kirjutame homogeense LVS-i maatrikskujul, Ax = 0. Ilmselt null-vektor o on lahend (nn triviaalne lahend), sest Ao = o. Olgu a jab lahendid, s.t Aa = o = Ab. Siis a + b ja αa on samuti lahendid,sest maatrikstehete omaduste jargi

1) A(a + b) = Aa + Ab = o + o = o

2) A(αa) = (Aα)a = (αA)a = α(Aa) = αo = o

Seega homogeense LVS-i lahendihulk (kui aritmeetilise vektorruu-mi alamhulk) on kinnine liitmise ja arvuga korrutamise suhtes. Siitjareldub, et homogeense LVS-i lahendiruum on vektorruum.

3 Vektorite omadusi

3.1 Esimest liiki lineaarne vektorvorrand

Lause 1. Vorrandil αx = v leidub ∀ 0 6= α ∈ K ja v ∈ V korralparajasti uks lahend. Selleks lahendiks on vektor

x =v

α:= α−1v ∈ V

VI. Vektorruumid 5

Toestus. Naitame koigepealt, et α−1v on vorrandi αx = v lahend.Toepoolest

α(α−1v) = (αα−1)v = 1v = v.

Olgu y veel mingi lahend, s.t αy = v. Siis ilmselt

y = 1y = (α−1α)y = α−1(αy) = α−1v.

Tulemus utleb, et α−1v on vorrandi αx = v ainus lahend.

3.2 Nullvektori ainsus

Lause 2. Vektorruumis on parajasti uks nullvektor.

Toestus. Olgu o′ samuti nullvektor. Siis{

o′ + o = o

o + o′ = o′o′+o=o+o′=⇒ o′ = o

3.3 Koondamisreegel

Lause 3. Olgu a, u, v vektorruumi V vektorid.

Kui a + u = a + v, siis u = v

Toestus. Ilmselt

−a + (a + u) = −a + (a + v)

Kasutades koigepealt liitmise assotsiatiivsusest, seejarel vastand-vektori ja nullvektori definitsiooni, saame viimasest vordusest

(−a + a) + u = (−a + a) + v =⇒ o + u = o + v =⇒ u = v

3.4 Vastandvektori uhesus

Lause 4. Igal vektoril on parajasti uks vastandvektor.

Toestus. Olgu b ∈ V samuti vektori a ∈ V vastandvektor, s.ta + b = o. Et a + (−a) = o, siis ilmselt

a + b = o = a + (−a)

Kasutades koondamisreeglist 3.3 saame b = −a.

6 V. Vektorruumid

3.5 Vahevektor

Vektorite a ja b vahe a− b defineeritakse valemiga

a− b := a + (−b)

3.6 Teist liiki lineaarne vektorvorrand

Lause 5. Vorrandil a + x = b leidub ∀ a, b ∈ V korral parajastiuks lahend. Selleks lahendiks on x = b− a ∈ V .

Toestus. Naitame koigepealt, et b−a on vorrandi a+x = b lahend.Toepoolest

a + (b− a) = a + b− a = (a− a) + b = o + b = b

Olgu y veel mingi lahend, s.t a + y = b. Siis ilmselt

a + y = b = a + (b− a)

Kasutades koondamisreeglit 3.3, saame y = b − a, s.t b − a onvorrandi a + x = b ainus lahend.

3.7 Naide

Vorrandi a + x = a ainus lahend on x = a− a = o, s.t nullvektor.

3.8 Naide

Vorrandi a + x = o ainus lahend on x = o− a = −a, s.t vektori avastandvektor.

3.9 Vektori korrutamine nulliga

Lause 6. 0a = o ∀ a ∈ V

Toestus. Toepoolest,

o + 0a = 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a

millest koondamisreegli pohjal 0a = o.

VI. Vektorruumid 7

3.10 Nullvektori korrutamine skalaariga

Lause 7. αo = o ∀α ∈ K


o + αo = αo = α(o + o) = αo + αo

millest koondamisreegli pohjal αo = o.

3.11 Vastandvektori arvutamine

Lause 8. −a = (−1)a ∀ a ∈ V


a + (−1)a = 1a + (−1)a = (1− 1)a = 0a = o = a + (−a)

millest koondamisreegli pohjal (−1)a = −a.

3.12 Vektori korrutamine vastandarvuga

Lause 9. (−α)a(A)= −(αa)

(B)= α(−a) ∀α ∈ K, ∀ a ∈ V

Toestus. Toestame koigepealt vorduse (A). Peame naitama, et(−α)a on vektori αa vastandvektor. Toepoolest

αa + (−α)a = (α− α)a = 0a = o =⇒ (−α)a = −(αa)

Nuud arvutame

(−α)a = (−α1)a = [α(−1)]a = α[(−1)a] = α(−a)

mis viib noutud vorduseni (B).

8 V. Vektorruumid

3.13 Nullitegurite puudumine vektorruumis

Lause 10. Vektorruumis puuduvad nullitegurid, s.t

αa = o ⇐⇒ α = 0 voi a = o

Toestus. =⇒ : Olgu αa = o. Oletame vastuvaiteliselt, et leiduvadnullitegurid, s.t α 6= 0 ja a 6= o. Siis ∃α−1 ∈ K ning

a = 1a = (α−1α)a = α−1(αa) = α−1o = o

mis on vastuolus oletusega, et a 6= o. Tulemus (vastuolu) utleb, etkorrutises αa = o peab vahemalt uks teguritest olema null.

⇐=: Olgu α = 0 voi a = o. Siis αa = o eespool toestatudLausete 6 ja 7 pohjal.

3.14 Naide

Avaldada vektorid x, y vektorite a, b kaudu, kui{

x− 4y = a

2x + 3y = b

Esitame susteemi maatrikskujul(

1 −42 3

) (xy

)=

(ab

)

Olgu A =(

1 −42 3

). Siis A−1 = 1

11

(3 4

−2 1

)ning

(xy

)=

(1 −42 3

)−1 (ab

)=

111

(3 4

−2 1

) (ab

)=

111

(3a + 4b

−2a + b

)

Seega {x = + 3

11a + 411b

y = − 211a + 1

11b

VI. Vektorruumid 9

Kahtluse korral kontrollime lahendit. Kontrollime lahendit naiteksesimese vorrandiga

x− 4y =311

a +411

b− 4(− 211

a +111

b)

=311

a +411

b +811

a− 411

b = a

Teise vorrandiga kontrollitakse lahendit analoogiliselt.

4 Lineaarne soltuvus

4.1 Lineaarkombinatsioonid

Vektorite v1, . . . , vn ∈ V lineaarkombinatsiooniks (LK-ks) korda-jatega α1, . . . , αn ∈ K nimetatakse avaldist (vektorit)

α1a1 + · · ·+ αnan ∈ V

Selle vektori kohta oeldakse ka, et ta avaldub lineaarselt vektoritev1, . . . , vn kaudu.

Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui koik temakordajad on nullid. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse mittetri-viaalseks, kui tal leidub vahemalt uks nullist erinev kordaja.

Naide

1) 1a, 1o, 1o + 0a on mittetriviaalsed LK-d,2) 0a ja 0o on triviaalsed LK-d.

4.2 Lineaarne soltuvus ja soltumatus

Vektorisusteemi (VS-i) {v1, . . . , vn} nimetatakse lineaarselt soltu-vaks, kui antud susteemi vektorite mingi mittetriviaalne LK vor-dub nullvektoriga. Vastasel juhul, s.t kui nullvektoriga vorduvatmittetriviaalset lineaarkombinatsiooni ei leidu, nimetatakse VS-ilineaarselt soltumatuks.

10 V. Vektorruumid

Sageli raagitakse vektorisusteemi lineaarse soltuvuse ja soltu-matuse asemel (susteemi kuuluvate) vektorite lineaarsest soltuvu-sest ja soltumatusest.

4.3 Naide: tuhihulga lineaarne soltumatus

Kui VS on tuhihulk, siis susteemi vektorite lineaarkombinatsiooneei leidu. Puuduvad nii triviaalsed kui ka mittetriviaalsed LK-d.Seega tuhihulk on lineaarselt soltumatu.

4.4 Naide

Uurime VS-i

e1 := (1, 0, 0, . . . , 0)e2 := (0, 1, 0, . . . , 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . .en := (0, 0, 0, . . . , 1)

lineaarset soltuvust. Peame uurima vorrandit (seost)

α1e1 + α2e2 + · · ·+ αnen = o

Tundmatud on α1, . . . , αn. Arvutame

α1e1 = α1(1, 0, 0, . . . , 0) = (α1, 0, 0, . . . , 0)α2e2 = α2(0, 1, 0, . . . , 0) = (0, α2, 0, . . . , 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .αnen = αn(0, 0, 0, . . . , 1) = (0, 0, 0, . . . , αn)

Liites saame

α1e1 + α2e2 + · · ·+ αnen = (α1, α2, . . . , αn)= o = (0, 0, . . . , 0)

Siit jareldub, etα1 = α2 = · · · = αn = 0

Tulemus utleb, et VS {e1, e2, . . . , en} on lineaarselt soltumatu.

VI. Vektorruumid 11

4.5 Vektorisusteem koosneb uhest vektorist

Lause 11. VS, mis koosneb ainult nullvektorist, on lineaarseltsoltuv

Toestus. Toepoolest, siis leidub nullvektoriga vorduv mittetrivi-aalne LK: 1o = o.

Lause 12. Uhest vektorist koosnev VS on lineaarselt soltumatuparajasti siis, kui see vektor ei ole nullvektor.

Toestus. =⇒ : Olgu {v} lineaarselt soltumatu. Siis v 6= o, sest {o}oleks lineaarselt soltuv, mis on vastuolus eeldusega.

⇐=: Kui v 6= o, siis vordusest αv = o jareldub (nulliteguritepuudumise tottu) α = 0. Seega ei leidu nullvektoriga vorduvatmittetriviaalset lineaarkombinatsiooni, s.t VS {v 6= o} peab olemalineaarselt soltumatu.

Lause 13. Uhest vektorist koosnev VS on lineaarselt soltuv para-jasti siis, kui see vektor on nullvektor.

Toestus. =⇒ : Olgu VS {v} lineaarselt soltuv. Kui v ei oleks null-vektor, siis eelnenud lause pohal oleks see VS lineaarselt soltuma-tu, mis on vastuolus eeldusega. Seega peab v = o.

⇐=: {o} on ilmselt lineaaarselt soltuv, sest 1o = o.

4.6 Vektorisusteem sisaldab nullvektorit

Lause 14. VS, mis sisaldab nullvektorit, on lineaarselt soltuv.

Toestus. Olgu {o, v1, . . . , vn} vaadeldav VS. Siis

1o + 0v1 + · · ·+ 0vn︸︷︷︸mittetriviaalne LK

= o

millest jareldub noutav lineaarne soltuvus.

12 V. Vektorruumid

4.7 Vektorisusteem sisaldab vastandvektoreid

Lause 15. VS, mis sisaldab koos mingi vektoriga ka selle vektorivastandvektorit, on lineaarselt soltuv.

Toestus. Olgu {v,−v, v1, . . . , vn} vaadeldav VS. Siis

1v + (−v) + 0v1 · · ·+ 0vn︸︷︷︸mittetriviaalne LK

= o


4.8 Vektorisusteem sisaldab uhesuguseid vektoreid

Lause 16. VS, mis sisaldab uhesuguseid vektoreid, on lineaarseltsoltuv.

Toestus. Olgu {v, v, v1, . . . , vn} vaadeldav VS. Siis

1v + (−1)v + 0v1 · · ·+ 0vn︸︷︷︸mittetriviaalne LK

= o


4.9 VS sisaldab lineaarselt soltuvat alamsusteemi

Lause 17. VS, mis sisaldab lineaarselt soltuvat alamsusteemi, onlineaarselt soltuv.

Toestus. Olgu VS {v1, . . . , vn, v′1, . . . , v′k} selline, et alamsusteem

{v1, . . . , vn} on lineaarselt soltuv. Siis leidub nullvektoriga vorduvmittetriviaalne LK

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn︸︷︷︸mittetriviaalne LK

= o

Siit jareldub, etmittetriviaalne LK︷︸︸︷

α1v1 + · · ·+ αnvn +0v′1 + · · ·+ 0v′k︸︷︷︸mittetriviaalne LK

= o

seega VS {v1, . . . , vn, v′1, . . . , v′k} on lineaarselt soltuv.

VI. Vektorruumid 13

4.10 Lineaarselt soltumatu VS-i alamsusteemidest

Lause 18. Lineaarselt soltumatu vektorisusteemi iga alamsusteemon lineaarselt soltumatu.

Toestus. Jareldub lausest 17.

4.11 Lineaarselt soltumatu VS-i laiendamisest

Teoreem 19. Kui VS {v1, . . . , vn} on lineaarselt soltumatu ningVS {v1, . . . , vn, v} on lineaarselt soltuv, siis avaldub vektor v vek-torite v1, . . . , vn LK-na.

Toestus. VS-i {v1, . . . , vn, v} lineaarse soltuvuse tottu

α1v1 + · · ·+ αnvn + αv︸︷︷︸mittetriviaalne LK

= o

Viimases seoses peab α 6= 0, sest vastasel juhul oleksid koik korda-jad nullid. Vektor v avaldub siis ilmselt vektorite v1, . . . , vn LK-na

v = −α1

αv1 − · · · − αn

αvn

4.12 Lineaarse soltumatuse tunnus

Teoreem 20. VS {v1, . . . , vn} on lineaarselt soltumatu parajastisiis, kui vordusest

α1v1 + · · ·+ αnvn = o jareldub α1 = · · · = αn = 0

Toestus. =⇒ : Olgu VS {v1, . . . , vn} lineaarselt soltumatu. Peamenaitama, et vordusest


Oletame vastuvaiteliselt, et vahemalt uks kordajatest tuleb nullisterinev. Siis oleks VS {v1, . . . , vn} lineaarselt soltuv, mis on vastu-olus eeldusega. Jarelikult peab α1 = · · · = αn = 0.

14 V. Vektorruumid

⇐=: Kui vordusest


siis ei leidu nullvektoriga vorduvat mittetriviaalset lineaarkombi-natsiooni. Seega VS {v1, . . . , vn} on lineaarselt soltumatu.

4.13 Lineaarse soltuvuse tunnus

Teoreem 21. VS, mis sisaldab vahemalt kahte vektorit, on li-neaarselt soltuv parajasti siis, kui susteemis leidub vektor, misavaldub ulejaanute LK-na.

Toestus. =⇒ : Olgu VS {v1, . . . , vn≥2} lineaarselt soltuv. Siis lei-dub nullvektoriga vorduv mittetriviaalne LK

α1v1 + α2v2 · · ·+ αnvn︸︷︷︸mittetriviaalne LK

= o

Olgu naiteks α1 6= 0. Arvutame

α1v1 = −α2v2 − · · · − αnvn

Korrutame nuud arvuga α−11 vasakult, siis saame

v1 = −α2

α1v2 − · · · − αn

α1vn

mis utleb, et v1 avaldub ulejaanud vektorite LK-na.⇐=: Avaldugu v1 ulejaanud vektorite LK-na

v1 = β2v2 + · · ·+ βnvn

Siit saame1v1 − β2v2 − · · · − βnvn︸︷︷︸

mittetriviaalne LK

= o

s.t VS {v1, . . . , vn} on lineaarselt soltuv.

VI. Vektorruumid 15

5 Moodustajad ja baas

5.1 Moodustajad

VS-i nimetatakse vektorruumi V moodustajate susteemiks, kui Viga vektor on avaldatav selle susteemi vektorite LK-na. Moodusta-jate susteemi vektoreid nimetatakse vektorruumi moodustajateks.

Naide

Iga vektorruum on iseenda moodustajate susteem, sest v = 1v. Etiga vektorruum sisaldab nullvektorit, siis see naide utleb, et vek-torruumi moodustajate susteemid voivad olla lineaarselt soltuvad.

5.2 Baas

Oeldakse, et vektorisusteem B on vektorruumi V 6= 0 baas ehkkoordinaatsusteem, kui

1) B on V moodustajate susteem,

2) B on lineaarselt soltumatu.

Kui vektorruum on nullruum, siis tema baasiks voib defineeri-da tuhihulga (see on teatavasti lineaarselt soltumatu). Nullruumibaasis oleks seega 0 vektorit.

5.3 Loplikumootmelised ruumid

Vektorruumi nimetatakse loplikumootmeliseks, kui tal leidub loplikbaas, s.t baas, mis sisaldab lopliku arvu vektoreid. Vektorruuminimetatakse lopmatumootmeliseks, kui ta ei ole loplikumootmeli-ne.

Edaspidi eeldame vaikimisi vektorruumide loplikumootmeli-sust.

16 V. Vektorruumid

5.4 Naide

Toestame, et VS

{ei := (0, . . . , 0︸︷︷︸i−1

, 1, 0, . . . , 0)| i = 1, . . . , n}

on aritmeetilise vektorruumi Kn baas.

Toestus. Naitest 4.4 teame, et VS {ei | i = 1, . . . , n} on lineaarseltsoltumatu. Peame naitama, et ta on ka vektorruumi Kn moodus-tajate susteem. Olgu a = (α1, . . . , αn) ∈ Kn. Paneme tahele, et

a = α1e1 + · · ·+ αnen

s.t ∀ a ∈ Kn avaldub (lineaarselt soltumatute) vektorite e1, . . . , en

LK-na. Siit jareldub, et VS {ei | i = 1, . . . , n} on vektorruumi Kn

baas.

6 Moode

6.1 Esimene fundamentaallemma

Vektorid b1, . . . , bn avaldugu vektorite a1, . . . , ak lineaarkombinat-sioonidena. Kui n > k, siis VS {b1, . . . , bn} on lineaarselt soltuv.

Toestus. Vastavalt eeldusele

b1 = α11a1 + α21a2 + · · ·+ αk1ak

b2 = α12a1 + α22a2 + · · ·+ αk2ak

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bn = α1na1 + α2na2 + · · ·+ αknak

Moodustame LVS-i

α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1nλn = 0α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2nλn = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .αk1λ1 + αk2λ2 + · · ·+ αknλn = 0

VI. Vektorruumid 17

Antud LVS on homogeensuse tottu kooskolaline, uheks lahendikson ilmselt triviaalne lahend λ1 = · · · = λn = 0. Et tundmatuidon rohkem kui vorrandeid (n > k), siis leidub sellel LVS-il mitte-triviaalne lahend λ′1, . . . , λ

′n, s.t vahemalt uks arvudest λ′1, . . . , λ

′n

erineb nullist. Vaatame mittetriviaalset lineaarkombinatsiooni

λ′1b1 + λ′2b2 + · · ·+ λ′nbn︸︷︷︸mittetriviaalne LK

= + λ′1(α11a1 + α21a2 + · · ·+ αk1ak)

+ λ′2(α12a1 + α22a2 + · · ·+ αk2ak)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·+ λ′n(α1na1 + α2na2 + · · ·+ αknak)

(avame sulud ja ruhmitame liidetavad umber)

= + (α11λ′1 + α12λ

′2 + · · ·+ α1nλ′n)a1

+ (α21λ′1 + α22λ

′2 + · · ·+ α2nλ′n)a2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·+ (αk1λ

′1 + αk2λ

′2 + · · ·+ αknλ′n)ak

= 0a1 + 0a2 + · · ·+ 0ak

= o

Naitasime, et leidub vektorite b1, . . . , bn nullvektoriga vorduv mit-tetriviaalne LK. Jarelikult peab VS {b1, . . . , bn} olema lineaarseltsoltuv.

6.2 Teine fundamentaallemma

Olgu VS {b1, . . . , bn} lineaarselt soltumatu ning VS {a1, . . . , ak}olgu V moodustajate susteem. Siis n ≤ k.

Toestus. Oletame vastuvaiteliselt, et n > k. Siis peaks vekto-risusteem {b1, . . . , bn} fundamentaallemma 6.1 pohjal olema li-neaarselt soltuv, mis on vastuolus eeldusega.

18 V. Vektorruumid

6.3 Teoreem vektorite arvust baasides

Teoreem 22. Loplikumootmelise vektorruumi koikides baasideson uhepalju vektoreid.

Toestus. Olgu A = {a1, . . . , ak} ja B = {b1, . . . , bn} loplikumoot-melise vektorruumi V baasid. Peame naitama, et k = n. Panemetahele, et

{B = {b1, . . . , bn} on lineaarselt soltumatu,A = {a1, . . . , ak} on V moodustajate susteem.

Lemma 6.2 pohjal n ≤ k. Analoogiliselt, kui A ja B vahetavadkohad, saame k ≤ n. Kokkuvottes saame k = n.

6.4 Moode

Loplikumootmelise vektorruumi mootmeks ehk dimensiooniks ni-metatakse vektorite arvu selle vektorruumi baasis. Vektorruumi Vmoodet tahistatakse dimV .

Nullruum on 0-mootmeline, dimO = 0 (nullruumi baas ontuhihulk).

Markus

Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud teoreemiga 22.

Naide

Eespool toodud naite 5.4 pohjal dimKn = n .

6.5 Vektorisusteemis on rohkem kui dim V vektorit

Teoreem 23. VS, milles on rohkem kui dimV vektorit, on li-neaarselt soltuv.

VI. Vektorruumid 19

Toestus. Tahistame dimV = k. Olgu

{{a1, . . . , ak} vektorruumi V baas,{b1, . . . , bn>k} mingi VS.

Lemma 6.1 pohjal on VS {b1, . . . , bn>k} lineaarselt soltuv.

6.6 Vektorite arvust moodustajate susteemis

Teoreem 24. Vektorruumi V igas moodustajate susteemis on vahemaltdimV vektorit.

Toestus. Tahistame dimV = n. Olgu

{{b1, . . . , bn} vektorruumi V baas,{a1, . . . , ak} vektorruumi V moodustajate susteem.

Peame naitama, et k ≥ n. Paneme tahele, et {b1, . . . , bn} on li-neaarselt soltumatu (baas). Lemma 6.2 pohjal n ≤ k.

7 Homogeense LVS-i lahenditefundamentaalsusteem (LFS)

7.1 LFS-i moiste

Homogeense LVS-i lahendiruum on teatavasti vektorruum. Homo-geense LVS-i lahendite fundamentaalsusteemiks (LFS-iks) nimeta-takse selle susteemi lahendiruumi baasi.

7.2 Homogeense susteemi lahendituumi mootmest

Teoreem 25. Olgu homogeense LVS-i tundmatute arv n ja sus-teemi maatriksi astak r. Siis susteemi lahendiruum on (n − r)-mootmeline.

20 V. Vektorruumid

See teoreem utleb, et homogeense susteemi LFS koosneb n− rvektorist. Homogeense susteemi uldlahend avaldub (vektoresitu-ses) lahendite fundamentaalsusteemi vektorite lineaarkombinat-sioonina, kusjuures kordajateks on suvalised konstandid (uldla-hendi parameetrid).

7.3 LFS-i leidmine

LFS-i saame, kui vabadele tundmatutele (mille arv on (n − r))omistame sobivalt arvvaartusi 1 ja 0.

7.4 Naide

Leiame homogeense susteemi

2x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 03x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 09x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 0

lahendite fundamentaalsusteemi. Susteemi uldlahend on

x1 = −9x2 − 4x4

x3 = 11x2 + 5x4

x2, x4 − vabad tundmatud

Uldlahend vektoresituses on

x =

x1

x2

x3

x4

=

−9x2 − 4x4

x2

11x2 + 5x4

x4

Susteemi LFS sisaldab 4− 2 = 2 vektorit. Vabadele tundmatutelex2 ja x4 omistame nuud arvvaartusi 1 ja 0. Saame erilahendid

v1 =

−91110

, v2 =

−4051

VI. Vektorruumid 21

Susteemi uldlahend avaldub lahendite fundamentaalsusteemi vek-torite lineaarkombinatsioonina, kusjuures kordajateks on suvalisedkonstandid (vabad tundmatud):

x = x2v1 + x4v2

8 Koordinaadid ja koordinaatvektor

Olgu B = {b1, . . . , bn} vektorruumi V baas, dimV = n. Eelnevastteame, et iga vektor a ∈ V on avaldatav baasi vektorite LK-na

a = α1b1 + · · ·+ αnbn

Selle lineaarkombinatsiooni kordajaid α1, . . . , αn nimetatakse vek-tori a ∈ V koordinaatideks baasis B = {b1, . . . , bn}. Vektori akohta oeldakse, et ta on arendatud baasi B jargi. Vektori a koor-dinaatvektoriks baasis B nimetame uheveerulist maatriksit

CB(a) =

α1...

αn

Pohjus, miks kasutame veergu rea asemel, selgub hiljem.

8.1 Koordinaatvektori omadusi

Olgu B vektorruumi V baas. Siis

1) CB(v1 + v2) = CB(v1) + CB(v2)2) CB(αv) = αCB(v)

Toestus. Soovitatav toestada iseseisva harjutusena.

8.2 Vektori koordinaatide uhesus antud baasis

Teoreem 26. Vektori koordinaadid antud baasis on maaratuduheselt.

22 V. Vektorruumid

Toestus. Olgu B = {b1, . . . , bn} vektorruumi V baas ning

a = α1b1 + · · ·+ αnbn = α′1b1 + · · ·+ α′nbn

Vordusest a− a = o saame

α1b1 + · · ·+ αnbn − (α′1b1 + · · ·+ α′nbn)= (α1 − α′1)b1 + · · ·+ (αn − α′n)bn = o

Baasi B lineaarse soltumatuse tottu peab

α′i = αi, i = 1, . . . , n

mis tahendabki koordinaatide uhesust antud baasis.

8.3 Vektorite vordsuse tunnus

Teoreem 27. Vektorid on vordsed parajasti siis, kui on vordsednende vastavad koordinaadid (koordinaatvektorid) mingis baasis.

Toestus. Olgu B = {b1, . . . , bn} vektorruumi V baas ning a, c ∈ V .Siis

a = α1b1 + · · ·+ αnbn ja c = γ1b1 + · · ·+ γnbn

Arvutame

a− c = α1b1 + · · ·+ αnbn − (γ1b1 + · · ·+ γnbn)= (α1 − γ1)b1 + · · ·+ (αn − γn)bn

=⇒ : Vordusest a = c jareldub, et αi = γi (i = 1, . . . , n), sestB on lineaarselt soltumatu.

⇐=: Vordustest αi = γi (i = 1, . . . , n) jareldub ilmselt, eta = c.

9 Baasiteisendused

9.1 Uleminekumaatriks

Vektorruumi baas ei ole uldiselt uheselt maaratud, s.t vektorruu-mis voib olla rohkem kui uks baas. Olgu B = {b1, . . . , bn} ja

VI. Vektorruumid 23

B′ = {b′1, . . . , b′n} n-mootmelise vektorruumi V kaks baasi, vekto-rite arv neis on teatavasti uhesugune (vt teoreem 22). Arendamebaasi B′ vektorid baasi B jargi

b′1 = α11b1 + α21b2 + · · ·+ αn1bn

b′2 = α12b1 + α22b2 + · · ·+ αn2bn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b′n = α1nb1 + α2nb2 + · · ·+ αnnbn

Maatriksit

PB←B′ :=

α11 α12 . . . α1n

α21 α22 . . . α2n...

.... . .

...αn1 αn2 . . . αnn

nimetatakse uleminekumaatriksiks baasilt B′ baasile B. Ulemine-kumaatriksi PB←B′ i-ndaks veeruks on baasivektori b′i arendusekoordinaadid baasis B:

PB←B′ =(CB(b1)CB(b2) · · ·CB(bn)

)

9.2 Vektori koordinaatide teisenemine

Teoreem 28. Olgu B ja B′ vektorruumi V baasid. Siis

CB(v) = PB←B′CB′(v) ∀ v ∈ V

Toestus. Arendame vektori v ∈ V baaside B ja B′ jargi

v =λ1b1 + · · ·+ λnbn = λ′1b′1 + · · ·+ λ′nb′n

= λ′1(α11b1 + α21b2 + · · ·+ αn1bn)+ λ′2(α12b1 + α22b2 + · · ·+ αn2bn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ λ′n(α1nb1 + α2nb2 + · · ·+ αnnbn)


= + (α11λ′1 + α12λ

′2 + · · ·+ α1nλ′n)b1

24 V. Vektorruumid

+ (α21λ′1 + α22λ

′2 + · · ·+ α2nλ′n)b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ (αn1λ′1 + αn2λ

′2 + · · ·+ αnnλ′n)bn

Vektori arendus baasi jargi on uhene. Jarelikult

λ1 = α11λ′1 + α12λ

′2 + · · ·+ α1nλ′n

λ2 = α21λ′1 + α22λ

′2 + · · ·+ α2nλ′n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .λn = αn1λ

′1 + αn2λ

′2 + · · ·+ αnnλ′n

mis on vektori v koordinaatide teisenemisvalemid baasilt B′ baa-sile B. Tulemuse voime ilmselt kirjutada maatrikskujul

λ1

λ2...

λn

=

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n...

.... . .

...αn1 αn2 · · · αnn

λ′1λ′2...

λ′n

Naide

9.3 Uleminekumaatriksi omadusi

Lemma 29. Olgu dimV = n ning B = {b1, . . . , bn} vektorruumiV baas. Kui A on n×n-maatriks, siis

A[CB(v)] = o ∀ v ∈ V =⇒ A = 0

Toestus. Toepoolest, A[CB(bi)](= o) on maatriksi A i-s veerg, sestCB(bi) on uhikmaatriksi In i-s veerg.

Teoreem 30. Olgu B,B′ ja B′′ vektorruumi V kolm baasi. Siis

1) PB←B = I2) P−1

B←B′ = PB′←B (pooratavus)3) PB′′←B′PB′←B = PB′′←B (transitiivsus)

VI. Vektorruumid 25

Toestus. Esimese omaduse jatame iseseisvaks harjutuseks.Teine omadus jareldub esimesest ja kolmandast. Vottes kol-

mandas omaduses B′′ = B, saame esimese omaduse pohjal

PB←B′PB′←B = PB←B = I

Analoogiliselt, kui B ja B′ vahetavad kohad, siis

PB′←BPB←B′ = PB′←B′ = I

Seega uleminekumaatriks on pooratav ja teine omadus (valem)kehtib jareldusena esimeset ja kolmandast. Jaab ule toestada kol-mas omadus.

Kasutades teoreemi 28 voime iga v ∈ V korral kirjutada

CB′(v) = PB′←BCB(v), CB′′(v) = PB′′←B′CB′(v)

Asendades viimases vorduses CB′(v), saame

CB′′(v) = PB′′←B′PB′←BCB(v)

Kuid jallegi teoreemi 28 tottu voime kirjutada

CB′′(v) = PB′′←BCB(v)

Seega lahutades eelviimasest vordusest viimase, saame

(PB′′←B′PB′←B − PB′′←B)CB(v) = 0 ∀ v ∈ V

Kolmas omadus jareldub nuud lemma 29 kaasabil.

Teoreem 31. Uleminekumaatriksi astak on dimV , s.t

det PB←B′ 6= 0 6= detPB′←B

Toestus. Arvutame (ulemineku)maatriksite determinantide kor-rutise:

det PB←B′ · detPB′←B = det(PB←B′PB′←B) = detPB←B = det I= 1

Kuna korrutis on 1 6= 0, siis tegurid ei saa olla nullid.

26 V. Vektorruumid

10 Alamruum ja lineaarne kate

10.1 Alamruum

Vektorruumi V alamruumiks nimetatakse tema sellist mittetuhjaosahulka V ′ ⊆ V , mis rahuldab jargmist tingimust:

a, b ∈ V ′ =⇒ αa + βb ∈ V ′ ∀α, β ∈ K

10.2 Naide

Vektorruum V on iseenda alamruum. Nullruum {O}, mis koosnebvaid vektorruumi V nullvektorist 0, on V alamruum. Neid alam-ruume nimetatakse vektorruumi V triviaalseteks alamruumideks.Koiki ulejaanud alamruume (kui leiduvad) nimetatakse mittetri-viaalseteks.

10.3 Naide

Defineerime V ′ ⊂ K2 jargmiselt:

V ′ := {(x,−x) ∈ K2|x ∈ K}Kontrollime alamruumi tingimust. Olgu (a,−a), (b,−b) ∈ V ′, siis

α(a,−a) + β(b,−b) = (αa,−αa) + (βb,−βb)= (αa + βb,−(αa + βb)) ∈ V ′ ∀α, β ∈ K

Tulemus utleb, et V ′ on toepoolest aritmeetilise vektorruumi K2

alamruum.

10.4 Naide: alamruume funktsioonide ruumis

1) Diferentseeruvad funktsioonid moodustavad alamruumi pi-devate funktsioonide ruumis.

2) Siledad funktsioonid moodustavad alamruumi diferentseeru-vate funktsioonide ruumis.

Need on matemaatilise analuusi teoreemid.

VI. Vektorruumid 27

10.5 Lause

Vektorruumi iga alamruum on samuti vektorruum (ule sama kor-puse).

Toestus. Sest kehtivad vektorruumi aksioomid.

10.6 Lineaarne kate

VS-i {v1, . . . , vn} lineaarseks katteks Lin{v1, . . . , vn} nimetatakseselle susteemi vektorite koigi LK-de hulka

Lin{v1, . . . , vn} := {α1v1 + · · ·+ αnvn|α1, . . . , αn ∈ K}

10.7 Teoreem

Lin{v1, . . . , vn} ⊆ V on vektorruumi V alamruum.

Toestus. Kontrolli alamruumi tingimust.

10.8 Teoreem

VS on lineaarselt soltumatu parajasti siis, kui ta on oma lineaarsekatte baas.

Toestus. =⇒: Olgu VS lineaarselt soltumatu. See susteem on kaoma lineaarse katte moodustajate susteemiks. Jarelikult on tege-mist (lineaarse katte) baasiga.

⇐=: Kui VS on (oma lineaarse katte) baas, siis peab ta ilmseltolema lineaarselt soltumatu.

11 Vektorisusteemi astak. Astakuteoreem

11.1 Baasalamsusteem

VS-i baasalamsusteem on tema selline alamsusteem, mis rahuldabjargmisi tingimusi:

1) baasalamsusteem on lineaarselt soltumatu,

28 V. Vektorruumid

2) taiendavate vektorite lisamine vektorisusteemist baasalam-susteemi muudab saadud (laiendatud) susteemi lineaarseltsoltuvaks.

Luhidalt oeldes on VS-i baasalamsusteem selle susteemi maksi-maalne lineaarselt soltumatu alamsusteem.

11.2 Teoreem lineaarse katte baasist

VS-i baasalamsusteem on selle VS-i lineaarse katte baas.

Toestus. Teoreemi 4.11 pohjal avaldub VS-i iga vektor oma baas-alamsusteemi vektorite LK-na. Jarelikult on VS-i baasalamsus-teem selle VS-i lineaarse katte moodustajate susteemiks. Baas-alamsusteemi lineaarse soltumatuse tottu on tegemist baasiga.

11.3 Teoreem vektorite arvust baasalamsusteemides

VS-i koikides baasalamsusteemides on uhepalju vektoreid.

Toestus. Teame, et VS-i lineaarne kate on vektorruum. Vaide ja-reldub teoreemidest 11.2 ning 22.

11.4 Vektorisusteemi astak

VS-i astakuks nimetatakse vektorite arvu tema baasalamsusteemis.

Markus

Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud teoreemiga 11.3.

11.5 Teoreem vektorisusteemi astakust

VS-i astak vordub selle susteemi lineaarse katte mootmega.

Toestus. Jareldub teoreemist 11.2.

VI. Vektorruumid 29

11.6 Astakuteoreem

VS-i astak vordub selle susteemi vektorite koordinaatide maatriksiastakuga.

Astakuteoreemi on mugav kasutada VS-i astaku leidmiseks.

12 Lineaarse soltuvuse uurimine

Kirjeldame luhidalt, kuidas leida VS-i baasalamsusteemi.

12.1 Ulesanne

Olgu dimV = k. Uurida VS-i {v1, . . . , vn} lineaarset soltuvust.

Lahendus

Peame uurima vorrandit (seost)

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = o

Tundmatud on λ1, . . . , λn. Olgu B = {b1, . . . , bk} vektorruumi Vbaas. Kasutame arendust baasi B jargi

v1 = α11b1 + α21b2 + · · ·+ αk1bk

v2 = α12b1 + α22b2 + · · ·+ αk2bk

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vn = α1nb1 + α2nb2 + · · ·+ αknbk

Vektorite v1, . . . , vn koordinaatide maatriksi tahistame

A =

α11 α12 . . . α1n

α21 α22 . . . α2n...

.... . .

...αk1 αk2 . . . αkn

=

(CB(v1)CB(v2) . . . CB(vn)

)

30 V. Vektorruumid

Asendades ulaltoodud arendused seosesse λ1v1 + · · · + λnvn = o,saame

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = λ1(α11b1 + α21b2 + · · ·+ αk1bk)+ λ2(α12b1 + α22b2 + · · ·+ αk2bk). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ vn(α1nb1 + α2nb2 + · · ·+ αknbk)


= (α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1nλn)b1

+ (α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2nλn)b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ (αk1λ1 + αk2λ2 + · · ·+ αknλn)bk

= 0

Et baas B on lineaarselt soltumatu, peavad kordajad olema nullid

α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1nλn = 0α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2nλn = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .αk1λ1 + αk2λ2 + · · ·+ αknλn = 0

Paneme tahele, et selle LVS-i maatriks on vektorite v1, . . . , vn

koordinaatide maatriks A = (αij). Olgu r maatriksi A astak. As-takuteoreemi jargi on VS-i {v1, . . . , vn} astak r, s.t tema baasa-lamsusteemis on r vektorit. Kasutades Gaussi meetodit, lahenda-me viimase LVS-i, mis on homogeensuse tottu kooskolaline. Va-bade tundmatute arv on teatavasti n − r. Olgu λ′1, . . . , λ

′r juht-

tundmatud ning λ′r+1, . . . , λ′n vabad tundmatud. Juhttundmatud

avalduvad lineaarselt triviaalsete vabaliikmete ja vabade tundma-tute kaudu (kui leiduvad). Selekteerime ka vektorid vabadeks ja(olemasolu korral) juhtivateks. Vektorit, mis asetseb LK-s vabatundmatu korval, nimetame juhtvektoriks. Vektorit, mis asetseb

VI. Vektorruumid 31

LK-s juhttundmatu korval, nimetame vabaks vektoriks. Siis voimekirjutada

juhttundmatud︷︸︸︷λ′1v

′1 + · · ·+ λ′rv

′r︸︷︷︸

vabad vektorid

+

vabad tundmatud︷︸︸︷λ′r+1v

′r+1 + · · ·+ λ′nv′n︸︷︷︸juhtvektorid

= o

Juhtvektorid (kui leiduvad) avalduvad vabade vektorite lineaar-kombinatsioonidena, kui vabadele tundmatutele omistada sobivaltarvvaartusi 0 ja 1. Vabad vektorid moodustavadki VS-i baasalam-susteemi. Kui vabu tundmatuid ei ole, siis ei leidu ka juhtvektoreidning VS {v1, . . . , vn} osutub lineaarselt soltumatuks.

12.2 Ulesanne

Uurida VS-i{

v1 = (6, 3, 3, 9), v2 = (4, 2, 2, 6), v3 = (5, 4,−2, 1)v4 = (2, 1, 1, 3), v5 = (3, 2, 0, 2), v6 = (1, 3,−7, 2)

lineaarset soltuvust. Leida astak ja mingi baasalamsusteem. Juht-vektorid arendada baasalamsusteemi jargi. Kontrollida arendusi.

13 Skalaarkorrutis

Olgu V jargnevas vektorruum ule R.

13.1 Skalaarkorrutise moiste

Oeldakse, et reaalses vektoruumis V on defineeritud skalaarkorru-tis, kui igale kahele vektorile a, b ∈ V on vastavusse seatud reaalarv(a|b) ∈ R nii, et on taidetud jargmised tingimused:

1) (a|b) = (b|a) (summeetria)2) (a + b|c) = (a|c) + (b|c) (aditiivsus)3) (αa|b) = α(a|b) ∀α ∈ R (homogeensus)4) kui V 3 a 6= o, siis (a|a) > 0 (positiivsus)

32 V. Vektorruumid

Reaalset skalaarkorrutisega vektorruumi nimetatakse eukleidiliseksruumiks.

13.2 Naide: skalaarkorrutis nullvektoriga

Skalaarkorrutise 3. omaduse pohjal ilmselt

(o|a) = (0o|a) = 0(o|a) = 0 ∀ a ∈ V

Siit jareldub, et ka (o|o) = 0.

13.3 Skalaarkorrutis reaalses aritmeetilisesvektorruumis

Olgu a = (α1, . . . , αn) ∈ Rn ja b = (β1, . . . , βn) ∈ Rn. Skalaar-korrutise defineerime valemiga

(a|b) := α1β1 + α2β2 + · · ·+ αnβn ∈ R

13.4 Skalaarkorrutis funktsioonide ruumis

Olgu f, g ∈ C[a, b]. Skalaarkorrutise defineerime valemiga

(f |g) :=∫ b

af(x)g(x) dx ∈ R

14 Vektori pikkus

14.1 Vektori pikkuse moiste

Vektori a ∈ V pikkus ehk norm |a| := ||a|| defineeritakse valemiga|a| :=

√(a|a). Vektori pikkus on ilmselt mittenegatiivne reaalarv.

14.2 Aritmeetilise vektori pikkus

Aritmeetilise vektori

a = (α1, . . . , αn) ∈ Rn

VI. Vektorruumid 33

pikkus on

|a| :=√

α21 + α2

2 + · · ·+ α2n

14.3 Funktsiooni norm

Tahistades f2(x) := f(x)f(x), on funktsiooni f ∈ C[a, b] norm

||f || :=√∫ b

af2(x) dx

14.4 Teoreem (homogeensus)

|αa| = |α||a| ∀α ∈ R, ∀ a ∈ V

Toestus. Toepoolest, arvutame

|αa| =√

(αa|αa) =√

α2(a|a) =√

α2√

(a|a) = |α||a|

14.5 Uhikvektor

Vektorit pikkusega 1 nimetatakse uhikvektoriks. Uhikvektori kohtaoeldakse, et ta on normeeritud.

Naide

Vektorid ei := (i−1︷︸︸︷

0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) on uhikvektorid (ehk normee-ritud).

14.6 Lause (vektori normeerimine)

Olgu a 6= o. Siis on vektor a|a| uhikvektor.

Toestus. Toepoolest, arvutame∣∣∣∣

a

|a|

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

1|a|a

∣∣∣∣ =1|a| |a| = 1

34 V. Vektorruumid

15 Schwarzi vorratusja vektoritevaheline nurk

Karl Hermann Schwarz (1843-1921), saksa matemaatik.

15.1 Schwarzi vorratus

Teoreem 32. Olgu V eukleidiline ruum. Siis

|(a|b)| ≤ |a||b| ∀ a, b ∈ V

Toestus. Iga α ∈ R korral peab kehtima (αa − b|αa − b) ≥ 0.Kasutades skalaarkorrutise omadusi 1− 3, saame

(αa− b|αa− b) = α2(a|a)− 2α(a|b) + (b|b) ≥ 0

Kui a = o, siis vorratus ilmselt kehtib. Olgu a 6= o ning votame

α =(a|b)(a|a)

Saame

(a|b)2(a|a)(a|a)2

− 2(a|b)2(a|a)

+ (b|b) ≥ 0

Taandame esimeses murrus teguri (a, a) ning korrutame saadudvorratust positiivse arvuga (a|a). Tulemuseks saame

(a|b)2 − 2(a|b)2 + (a|a)(b|b) = −(a|b)2 + (a|a)(b|b) ≥ 0

millest omakorda

(a|b)2 ≤ (a|a)(b|b) =⇒ (a|b)2 ≤ |a|2|b|2 =⇒ |(a|b)| ≤ |a||b|

mis ongi noutud vorratus.

VI. Vektorruumid 35

15.2 Schwarzi vorratus reaalses aritmeetilisesvektorruumis

Olgu a = (α1, . . . , αn) ∈ Rn ja b = (β1, . . . , βn) ∈ Rn. Siis onSchwarzi vorratus

|α1β1 + · · ·+ αnβn| ≤√

α21 + · · ·+ α2

n

√β2

1 + · · ·+ β2n

15.3 Schwarzi vorratus funktsioonide ruumis

Olgu f, g∈C[a, b]. Siis on Schwarzi vorratus

∣∣∣∣∫ b

af(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤√∫ b

af2(x) dx

√∫ b

ag2(x) dx

15.4 Vektoritevaheline nurk

Olgu V eukleidiline ruum. Olgu V 3 a 6= o ja V 3 b 6= o. Vektoritea ja b vaheline nurk ϕ defineeritakse valemiga

cosϕ :=(a|b)|a||b| , 0 ≤ ϕ ≤ π

Markus

Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud Schwarzi vorratu-sega.

16 Kolmnurga vorratus

16.1 Teoreem

Olgu V eukleidiline ruum. Siis

|a + b| ≤ |a|+ |b| ∀a, b ∈ V

36 V. Vektorruumid

Toestus. Kasutades Schwarzi vorratust, arvutame

|a + b|2 = (a + b|a + b) = (a|a) + 2(a|b) + (b|b)≤ |a|2 + 2|(a|b)|+ |b|2≤ |a|2 + 2|a||b|+ |b|2 = (|a|+ |b|)2 =⇒ |a + b| ≤ |a|+ |b|

mis ongi kolmnurga vorratus.

16.2 Kolmnurga vorratus reaalses aritmeetilisesvektorruumis

Olgu a = (α1, . . . , αn) ∈ Rn ja b = (β1, . . . , βn) ∈ Rn. Siis onkolmnurga vorratus√

(α1+β1)2+ · · ·+(αn+βn)2 ≤√

α21+ · · ·+α2

n+√

β21 + · · ·+β2

n

16.3 Kolmnurga vorratus funktsioonide ruumis

Kui f, g∈C[a, b], siis on kolmnurga vorratus√∫ b

a(f(x) + g(x))2 dx ≤

√∫ b

af2(x) dx +

√∫ b

ag2(x) dx

17 Ortogonaalsus ja ristbaas

17.1 Ortogonaalsus

Oeldakse, et eukleidilise ruumi V vektorid a, b ∈ V on ortogonaal-sed ehk risti, kui (a|b) = 0. VS-i nimetatakse ortogonaalseks, kuisusteemi iga kaks erinevat vektorit on ortogonaalsed. VS-i nime-tatakse ortonormeerituks, kui

1) ta on ortogonaalne,2) susteemi vektorid on uhikvektorid, s.t normeeritud.

Naide

Nullvektor on ortogonaalne eukleidilise ruumi iga vektoriga, kaasaarvatud iseendaga.

VI. Vektorruumid 37

17.2 Teoreem

Ortogonaalne VS, mis ei sisalda nullvektorit, on lineaarselt soltu-matu.

Toestus. Olgu VS {a1, . . . , an} ortogonaalne, s.t

(ai|aj) = 0 ∀ i 6= j

Peame naitama, et

α1a1 + · · ·+ αnan = o =⇒ 0 = α1 = · · · = αn

Arvutame

0 = (o|aj) = (α1a1 + · · ·+ αnan|aj)= α1(a1|aj) + · · ·+ αj(aj |aj) + · · ·+ αn(an|aj)= αj(aj |aj)

Et aj 6= o, siis (aj |aj) 6= 0. Jarelikult αj = o (j = 1, . . . , n).

17.3 Ristbaas

Eukleidilise ruumi baasi, mis on ortogonaalne, nimetatakse orto-gonaalbaasiks. Eukleidilise ortonormeeritud baasi nimetatakse karistbaasiks.

17.4 Teoreem

Eukleidilise ruumi ortogonaalne moodustajate susteem, mis ei si-salda nullvektorit, on baas.

Toestus. Jareldub teoreemist 17.2.

17.5 Teoreem

Eukleidilise ruumi ortonormeeritud moodustajate susteem on ris-tbaas.

38 V. Vektorruumid

17.6 Teoreem

Olgu {e1, . . . , en} eukleidilise ruumi V ristbaas. Siis arenduse

a = α1e1 + · · ·+ αnen ∈ V

jaoks kehtib αi = (a|ei).

Toestus. Toepoolest, arvutame

(a|ei) = (α1e1 + · · ·+ αnen|ei)= (α1e1|ei) + · · ·+ (αiei|ei) + · · ·+ (αnen|ei)= α1(e1|ei) + · · ·+ αi(ei|ei) + · · ·+ αn(en|ei)

= αi(ei|ei) = αi|ei|2 = αi

mis toestabki vorduse.

18 Ulesandeid

18.1 Ulesanne

Lihtsustada avaldis

2(a+3c)− 3(2c− b)− 3[2(2a+ b− 4c)− 4(a− 2c)] = · · · = 2a− 3b

18.2 Ulesanne

Toestada, et funktsioonisusteem {1, sin2 x, cos2 x|x ∈ R} on li-neaarselt soltuv.

18.3 Ulesanne

Toestada, et funktsioonisusteem {sinx, cosx|x ∈ R} on lineaarseltsoltumatu.

18.4 Ulesanne

Olgu VS {a, b} lineaarselt soltumatu. Toestada, et siis on ka VS{a + b, a− b} lineaarselt soltumatu.

VI. Vektorruumid 39

18.5 Ulesannne

Toestada, et funktsioonisusteem {eiϕ, e−iϕ|ϕ ∈ R} on lineaarseltsoltumatu.

18.6 Ulesanne

Naidata, et VS{

v1 = (1, 2,−1,−2), v2 = (2, 3, 0,−1)v3 = (1, 2, 1, 4), v4 = (1, 3,−1, 0)

moodustab baasi ja arendada vektor x = (7, 14,−1, 2) selle baasijargi. Kontrollida arendust.

18.7 Ulesanne

Leida VS-i astak ja mingi baasalamsusteem, juhtvektorid arenda-da baasalamsusteemi jargi. Kontrollida arendusi.

{v1 = (1, 0, 0,−1), v2 = (2, 1, 1, 0)v3 = (1, 1, 1, 1), v4 = (1, 1, 3, 4), v5 = (0, 1, 2, 3)

18.8 Uleasanne

Leida (a|b), kui a = 4, b = 12 ja |a− b| = 10.

Vastus

(a|b) = 30

konspekt

Documents

markusselle

uhmitame liidetavad

pol unoomi

avame sulud

lopmata palju

vabade tundmatute

ilmselt mittenegatiivne

maatriks andeneeritakse