konu 6_geri̇lme ve Şeki̇l deği̇şti̇rme dönüşüm bağintilari(1)

2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer Johnston DeWolf Mazurek

7- 1

GERLME VE EKL DETRME DNM BAINTILARI

Genel ykleme durumunda, bir Q noktasn boyutlu olarak temsil eden kbik gerilme eleman zerinde 6 bileeni gsterilebilir: x , y , z , xy , yz , zx.

zx

y

z x

y

x

z

y Sz konusu kbik eleman x-y-z eksenleri yerine dndrlm x-y-z eksenlerine paralel alnsayd gerilme bileenleri; x , y , z , xy , yz , zx olacakt.

Gerilme dnm bantlar kullanlarak x-y-z eksen takmndaki 6 gerilme bileeninin dndrlm baka bir eksen takmndaki karlklar bulunur.

Q



FifthEdition


7- 2

Dzlem gerilme durumunda dnm bantlar

Yapsal bir elemann veya makine parasnn d/serbest yzeyinde dzlem gerilme durumu (yzeye uygulanm dkuvvet/kuvvetler yoksa) ortaya kar.

3 boyutlu kbik eleman

0zyzxz === nce bir plakada orta dzlemde etkiyen kuvvetlerden dolay dzlem gerilme oluur.

nce cidarl basnl tank ve tplerde de dzlem gerilme durumu sz konusudur.



FifthEdition


7- 3

x

y

x

x

xyy

y

xyy

x

x

y

x

y

y

xy

x

n

n

Dzlem gerilme eleman

n-n hatt boyunca bir kesim yaplrsa:



FifthEdition


7- 4

( ) ( )( ) ( )

cossinsinsin

sincoscoscos0

AAAAAF

xyy

xyxxx

==

( ) ( )( ) ( )

sinsincossin

coscossincos0

AAAAAF

xyy

xyxyxy

++==

bantsnda = +90 yazlarak:

Trigonometrik dnm bantlar kullanlarak bu denklemler u ekilde dzenlenebilir:

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

xyyx

yx

xyyxyx

y

xyyxyx

x

+=

+=

+++=

2

2cos1cos2 +=

22cos1sin2 =

22 sincos2cos =

cos)90sin(sin)90cos(

=+=+

22cos1cos2 +=

22cos1sin2 =

22cos1cos2 +=

22 sincos2cos =2

2cos1sin2 =2

2cos1cos2 +=

22 sincos2cos =2

2cos1sin2 =2

2cos1cos2 +=

22 sincos2cos =2

2cos1sin2 =2

2cos1cos2 +=

22cos1sin2 =

22cos1cos2 +=

22 sincos2cos =2

2cos1sin2 =2

2cos1cos2 +=

22 sincos2cos =2

2cos1sin2 =2

2cos1cos2 +=

22cos1sin2 =

22cos1cos2 +=

22 sincos2cos =2

2cos1sin2 =2

2cos1cos2 +=

cossin22sin =

(1)

(2)

(3)

cossin2cossin 22 xyyxy +=

)sin(coscossin)( 22 += xyyxyx

cossin2sincos 22 xyyxx ++=

yxyx +=+

K dzlemi



FifthEdition


7- 5

(1)ve (3) nolu denklemler yeniden dzenlenip kareleri alnarak taraf tarafa toplanrsa parametrik bir daire denklemi elde edilir

Mohr emberi, Asal Gerilmeler ve Maksimum Kayma Gerilmesi

2

xyyx

2yx

x 2sin2cos22

+=

+

( ) 2xyyx2yx 2cos2sin2

+=

( ) ( ) 2xy2yx2yx2ortx 2 +

=+

( ) 22yx2ortx R=+

yx

max

min

x

x

yx ort

K

2xy

2yxyx

ort 2R;

2 +

=+=

Mohremberi

)( )( +Mohr emberinin izimi

yx

xyp

ortminmax,

22tan

R

==

X dzlemi

Y dzlemi

x

y

Verilen dzlem gerilme durumu iin X ve Y dzlemlerindeki gerilmelere karlk gelen noktalar - eksenlerinde iaretlenir. Bu iki noktayap kabul eden bir ember izilir. emberin merkezi (C noktas) orijinden (O noktas) ort kadar uzakta yer alr.



FifthEdition


7- 6

En byk ve en kk normal gerilmeleri (asal gerilmeler) Mohr emberinden de rahatlkla bulunabilir:

0yx Asal gerilmelerin meydana geldii dzlemlerde kayma

gerilmeleri 0 dr. Buna gre asla gerilme dorultularn(p) veren bant:

=yx

xyp

22tan

=

Maksimum kayma gerilmeleri

2yx

ortx

+==

2xy

2yx

max 2R +

== Burada s aralarnda 90o

bulunan iki maksimum kayma gerilme dzleminin normalini vermektedir. p ile s arasnda 45olik bir a vardr. Maksimum kayma gerilmeleri ortalama normal gerilme dzlemlerinde meydana gelir.

xy

yxs 2

2tan =

2xy

2yxyx

minmax, 22 +

+=

Gerilme eleman zerinde kadar bir dnme Mohr emberi zerinde 2 kadar bir dnmeye karlk gelmektedir. Burada p aralarnda 90o bulunan iki asal gerilme dorultusunu gstermektedir.



FifthEdition


7- 7

rnek:

120 MPa

60 MPa

70

45 MPa

c

Yanda verilen gerilme durumu iin;a) Asal gerilmeler ve dorultularn bularak bir gerilme eleman zerinde gsteriniz,b) c dzlemindeki normal ve kayma gerilmelerinin deerini hesaplaynz.

Burada analitik zm verilmitir (Mohr emberi ile de zm yaplabilir).



FifthEdition


7- 8

0, === xyyx AP

JTc

xyyx === 00

JTc

iin.dolik45

xyyx ===

rnek: Eksenel ykleme iin Mohr emberi

A2P

iin.dolik45

xyyx ===

rnek: Saf burulma (pure torsion) durumu iin Mohr emberi



FifthEdition


7- 9

rnek:ekildeki dzlem gerilme durumu iin (a) asal gerilmeleri ve dorultularn, (b) maksimum kayma gerilmelerini ve dzlemlerini, bulunan dzlemlerdeki normal gerilmeleri bulunuz.



FifthEdition


7- 10

rnek:ekildeki dzlem gerilme durumu iin Mohr emberini izerek (a) asal gerilmeleri ve dorultularn/dzlemlerini, (b) maksimum kayma gerilmelerini ve dzlemlerini, bulunan dzlemlerdeki normal gerilmeleri bulunuz.

Asal gerilmeler ve dzlemleri :

3040

CFFX2tan p == = 6.26p

5020max +=+== CAOCOA MPa70max =5020min === BCOCOB MPa30min =

MPa40FXMPa302050CF ===

( ) ( ) MPa202

10502

yxort =+=+=

( ) ( ) MPa504030CXR 22 =+==Yarap:

= 6.26p



FifthEdition


7- 11

+= 45ps = 6.71sR=max MPa 50max =

ort = MPa 20=

Maksimum kayma gerilmeleri ve dzlemleri/dorultular



FifthEdition


7- 12

rnek: ekildeki dzlem gerilme durumu iin (a) asal gerilmeleri ve dorultularn, (b) elemann 30 derece dndrlmesiyle elde edilen yzeylerdeki gerilmeleri bulunuz.

MPa1325280CAOCOA

max

max

=+=+==

MPa285280BCOCOA

min

min

====

4.22048

CFXF2tan p ===

clockwise7.33 =p= 4.672 p

==+=+=====

==

6.52sin52

6.52cos52806.52cos5280

6.524.6760180

XK

CLOCOLKCOCOK

yx

y

x

MPa3.41

MPa6.111MPa4.48

=+=+=

yx

y

x

=30 deki gerilmeler

( ) ( ) ( ) ( ) MPa524820MPa80

260100

22222 =+=+=

=+=+=FXCFR

yxave



FifthEdition


7- 13

rnek: 600 N luk kuvvet D noktasnda z eksenine paralel olarak ekildeki dairesel kesitli dirsee etkimektedir. Buna gre; H noktasndaki bir gerilme elaman (x-y dzleminde) zerinde a) meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini gsteriniz, b) asal gerilmeleri ve dorultularn bulunuz.



FifthEdition


7- 14

rnek:D ap 300 mm olan ekildeki elik boru 6 mm et kalnlndaki bir san kaynatlmasyla (22.5 lik helis asyla) retilmitir. P=160 kN ve T= 800 N.m iin kaynaa paralel (teet) ve dik dorultulardaki gerilmeleri (kayma gerilmesi ve normal gerilme ) bulunuz.



FifthEdition


7- 15

rnek: 19.5 kN luk kuvvet D noktasnda ekildeki gibi 60 mm apl dairesel kesitli dirsee etkimektedir. Buna gre; H ve K noktalarndaki asal gerilmeleri ve maksimum kayma gerilmelerini bulunuz ve dorultular ile birlikte gsteriniz.



FifthEdition


7- 16

Genel gerilme durumunda dnm bantlar ve Mohr emberi

Statik dengeden = 0nF

xzzxzyyzyxxy2zz

2yy

2xxn 222 +++++=

222ccbbaan ++=

zz x

y

x

y

A

B

C

ABC noktalarndan geen

ve yzey normali N olan

(dorultman kosinsleri x,

y, z) bir dzlemde kesim

yaplrsa:

, ve yzey

normalinin (N)

srasyla x, y ve z

eksenleriyle yapt

alar olmak zere:

x=cos , y=cos,

z=cos

Herhangi bir N dorultusundaki normal gerilme (not: kayma gerilmeleri de benzer ekilde bulunabilir)

3 boyutlu kbik gerilme elemanna

etkiyen kuvvetler sadece normal

gerilme/asal gerilme ise (yani kayma

gerilmeleri yoksa):



FifthEdition


7- 17

ab

c

Her bir daire/ember; kbik gerilme elemannn asal gerilme eksenleri etrafnda dndrlmesiyle oluan normal ve kayma gerilmelerini gstermektedir. Yani ,ekildeki BC emberi a etrafndaki bir dnmeye, ACemberi b etrafndaki bir dnmeye, AB emberi c etrafndaki bir dnmeye karlk gelmektedir.

minmaxmax 21 =

boyutlu durum iin Mohr emberi:

En byk kayma gerilmesi byk emberin yarapna karlk gelmektedir:

Not: Daha nce dzlem gerilme durumunda 2 asal gerilme hesaplanmt. Ancak gerekte deeri 0 da olsa ncbir asal gerilme de vardr. Mohr emberleri buna gre oluturulabilir. zellikle dzlem durum iin bulunan max ve min deerlerinin ikisi de pozitif veya ikisi de negatif ise; nc gerilmenin 0 olarak gz nne alnmas son derece nemlidir. nk maksimum kayma gerilmesi deeri ve kayma dzlemi deimektedir.

max dzlem ii (in-plane) kaymaya neden olur.



FifthEdition


7- 18

rnek: ekildeki dzlem gerilme durumu iin (a) asal gerilmeleri ve dorultularn, (b) maksimum kayma gerilmelerini bulunuz.



FifthEdition


7- 19

Akma ve Krlma Kriterleri (Dzlem Gerilme)Eksenel olmayan yklere maruz makina paralarnda hasarn meydana gelip gelmeyeceini tahmin etmek iin eitli teoriler gelitirilmitir. Bu teorilerde genellikle, asal gerilme bileenleri gz nne alnarak edeer bir gerilme deeri bulunmakta ve bu deer eksenel yklemedeki akma veya krlma mukavemet deerleri ile karlatrlmaktadr.

1- Snek Malzemeler iin Akma Kriterleri

Maksimum Kayma Gerilmesi Kriteri (Tresca Kriteri):(Maximum Shearing Stress Criterion, Fransz mhendis Henri Edouard Tresca, 1814-1885)

Bu kritere gre; ok eksenli durumdaki maksimum kayma gerilmesi, deneysel olarak elde edilen tek eksenli durumdaki kayma akma gerilmesine ulatnda malzemede akma balar.y

y

y

Tek eksenli ykleme durumu

Asal gerilmeler (a ve b) ayn iarete sahipse: 22or2maxYba



FifthEdition


7- 20

arplma ekil Deitirme Enerjisi Kriteri (Von Mises Kriteri):(Maximum Distortion Energy Criterion, uygulamal matematiki Richard von Mises, 1883-1953)

Bu kritere gre; birim hacim iin, ok eksenli durumdaki arplma ekil deitirme enerjisi, deneysel olarak elde edilen tek eksenli durumdaki arplma ekil deitirme enerjisine ulatnda malzemede akma balar. Kriter asal gerilmeler cinsinden aadaki gibi ifade edilir. Birim hacim iin kullanlan ekil deitirme enerjisi bants daha sonra karlacaktr.

( ) ( )2Y2Y2bba2a 00G61G61 +



FifthEdition


7- 21

rnek: ekildeki dzlem gerilme durumu, bir makina parasnn kritik bir noktasndaki gerilmeleri temsil etmektedir. Sz konusu elik parann eksenel yklemedeki akma gerilme deeri y=250 MPa olduuna gre, Tresca ve von Mises kriterlerine gre parann mevcut gerilme durumu iin emniyet katsaysn bulunuz.



FifthEdition


7- 22

ekildeki BD elik millinin akma gerilme deeri y=276 MPadr. Emniyet katsaysn n=2 alarak, milin emniyetli apn maksimum kayma gerilmesi kriterine gre (Tresca) bulunuz.

rnek:

x

y

zP=44 kN

150 mm200 mm



FifthEdition


7- 23

a

b

UT

UT

UC

UC

2- Gevrek Malzemeler iin Krlma Kriterleri Maksimum Normal Gerilme Kriteri:

Bu kritere gre; ok eksenli durumdaki maksimum normal gerilme deeri, malzemenin deneysel olarak elde edilmi tek eksenli durumdaki krlma deerine ulatnda krlma/hasar meydana gelir.

Srtnme Teorisi -Coulomb Kriteri:Bu kritere gre; malzemenin hasara uramasnda maksimum gerilme ile beraber i srtnme kuvvetleri de etkilidir. Gevrek malzemelerin eki ve basdaki mukavemet deerleri de (malzeme iindeki sreksiz noktalar ve malzeme kusurlar nedeniyle, micro krklar gibi) birbirinden farkldr.

Kriteri ifade eden aadaki bantda a ve b srasyla maksimum kayma gerilmesini ve i srtnmeleri karakterize eden parametrelerdir. Bu katsaylar basit ekme ve basma testleri ile bulunur.

)(ba baba +=

b2/a

basma

burulma

ekme

Sadece ekme durumunda:

)1...()(ba baba +=

0, bUTa == )0(ba0 UTUT += )2...(ba UTUT =

UCba ,0 ==Sadece basma durumunda:

)0(ba)(0 UCUC =)3...(ba UCUC +=

(2) ve (3) nolu denklemlerden

( ) UCUTUTUC bb ++=UTUC

UTUCa

+=

UTUC

UCUTb

+=

emniyet iin

olmaldr.

{ } UTbaUC ,



FifthEdition


7- 24

UTbUC

UTa

=

UTaUC

UTb

=a ve b ifadeleri (1) noludenklemde yerine yazlrsa, hasar olmamas iin;

olmaldr.1UC

b

UT

a

Not: bu bant karlrken UT ve UC aretleriyle beraber (+ ve ) kullanld. Bu nedenle bantda mutlak deer olarak yazlmaldr. Yani her ikisi de + olarak yerlerine yazlmaldr.

rnek:

Dkme demirden imal edilmi ekildeki kolun ekme ve basmadaki mukavemet deerleri srasyla UT=180 MPa ve UC=300 MPa dr. Emniyet katsaysn n=3 olduuna gre, milin OA ksmnn ap iin emniyet kontrol yapnz.



FifthEdition


7- 25

p dA

1 dA

1 dA

p dA

2 dA

ten basnca maruz ince cidarl kaplarda gerilmeler (dzlem gerilme)

tpr42

12)planeinmax( ==

( ) ( )xr2pxt20F 1z == Teetsel Gerilme

P i basncna maruz iki ucu kapal, ince cidarl (r>>t) silindirde gerilmeler

tpr

1 =

Eksenel Gerilme ( ) ( )22x rprt20F ==

21 2 =t2pr

2 =

1 = teetsel gerilme, 2 = eksenel gerilmeBurada 1 ve 2 ayn zamansa asal gerilmeleridir. nk kayma gerilmesi yok.

A ve B noktalar srasyla teetsel gerilmeyi (1) ve eksenel gerilmeyi (2) gstermektedir.

Maksimum dzlem ii (in-plane) kayma gerilmesi:

Dzlem d (out-of-plane) maksimum kayma gerilmesi:

tpr22max

== Emniyet kontrolnde veya tasarmda gz nne alnmasgereken kayma gerilme



FifthEdition


7- 26

Burada 1 ve 2 ayn zamansa asal gerilmeleridir. nk kayma gerilmesi yok. Her ikisi de Mohr emberinde ayn noktay gsterir. Bu nedenle;

nc asal gerilme 0 olduundan; maksimum kayma gerilmesi;

0plane)-max(in =

P i basncna maruz ince cidarl (r>>t) kresel kaplarda gerilmeler

tpr221

==

tpr412

1max ==



FifthEdition


7- 27

rnek: 1.2 MPalk i basnca maruz bir hava tank silindirik ve kresel ksmlardan olumaktadr. Silindirik ksmn et kalnl 10 mm kresel ksmn et kalnl 8 mm ise;a)Kresel ve silindirik ksmlarda meydana gelen maksimum normal ve kayma gerilmelerini b)Kaynak dikiinde meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini bulunuz.



FifthEdition


7- 28

Dzlem ekil deitirme ve dnm bantlar

( )0zyzxzxy,yx,

===

Gerilme dnm bantlar ile ekil deitirme dnm

bantlar arasnda benzeim vardr.Gerilme dnm

bantlarnda yerine ve yerine /2 yazlarak

dnm bantlar elde edilebilir.

2cos2

2sin22

2sin2

2cos22

2sin2

2cos22

xyyxyx

xyyxyxy

xyyxyxx

+=

+=

+++=

yxyx +=+

2

Dzlem ekil deitirme durumunda:

xx

y

z



FifthEdition


7- 29

2xy

2yxyx

ort 22R;

2

+

=+=

( ) 22max 2 xyyxR +==Dzlem ii maksimum kayma birim ekil deitirmesi

Asal birim ekil deitirmeler ve dorultular

R;R

2tan

aveminavemax

yx

xyp

=+==

Dzlem ekil deitirmede Mohr emberi Asal gerilme dzlemleri ile asal ekil deitirme dzlemleri ve dorultular ayndr. nk kayma gerilmeleri ve dolaysyla kayma ekil deitirmeleri yoktur (Hooke bantlar).

Dzlem ekil deitirme durumunda asal gerilmelerin ncsgerilmede olduu gibi 0 dr. Bu durum gz nne alnarak Mohr emberi izilmeli ve maksimum kayma birim ekil deitirmesi bulunmaldr.

Dzlem gerilme durumu iin asal ekil deitirmeler:

( ) ( )babacba

b

baa

1E

EE

EE

+=+=

+=

=

a ve a asal gerilmeler

c=0 ise de c0;



FifthEdition


7- 30

Deformasyon Rozetleri: Strain-Gages

Strain gages birim ekil deitirme lmnde kullanlan direnlerdir.

45o lik bir rozet ile x ve y dorudan , xy ise dolayl olarak llm olur:

3332

32

3

2222

22

2

1112

12

1

cossinsincos

cossinsincos

cossinsincos

xyyx

xyyx

xyyx

++=++=++=

Aralarnda herhangi bir a bulunan rozetler kullanlrsa, x-y dzlemindeki normal ve kayma birim ekil deitirmeleri 3 bilinmeyenli 3 denklem kullanlarak bulunur. Burada 1, 2ve 3 strain gageslerdendeneysel olarak elde edilen deerlerdir.

( )( ) ( )

( )yxOBxyxyyxOB

xyyx

+=++==++=

2

45

cossinsincos

21

22



FifthEdition


7- 31

rnek: Bir makina parasnn serbest yzeyindeki bir noktadan strain gage ler ile yaplan lmlerden yararlanlarak asal ekil deitirmeler a=+400 ve b=-50 olarak hesaplanmtr. lm yaplan malzemenin Poisson oran =0.3 olduuna gre; a) maksimum dzlem-ii birim kayma deformasyonunu, b) gerek maksimum birim kayma deformasyonunu bulunuz (E=200 GPa).



FifthEdition


7- 32

rnek: T burulma momentine maruz ekildeki ii dolu mile yaptrlan bir strain gageden =+250 deeri okunmutur. G=75 GPa olduuna gre Tnin deerini bulunuz.



FifthEdition


7- 33

75 mm

75 mm

rnek:ekildeki ykleme durumu iin A noktasndan okunan strain gage deerleri 1=-60 ,2=+240 , ve 3=+200 olarak okunmutur. E=200 GPa, G=79 GPa ve =0.3 olduuna gre, uygulanan P ve Q kuvvetlerini bulunuz.



FifthEdition


7- 34

rnek: Basnl gaz tamada kullanlan 600 mm apndaki ve 20 mm et kalnlndaki bir tankn yzeyindeki bir noktaya ekildeki gibi boyuna ve enine yaptrlan straingage lerden 1=+255 ve 2=+60 deerleri okunmutur. G=80 GPa olduuna gre, a) tank iindeki basnc ve b) tankn cidarndaki asal gerilmeleri ve maksimum kayma gerilmesini bulunuz.

6

0

0

m

m

GERLME VE EKL DETRME DNM BAINTILARIDzlem gerilme durumunda dnm bantlarGenel gerilme durumunda dnm bantlar ve Mohr emberiAkma ve Krlma Kriterleri (Dzlem Gerilme)ten basnca maruz ince cidarl kaplarda gerilmeler (dzlem gerilme)Dzlem ekil deitirme ve dnm bantlarDeformasyon Rozetleri: Strain-Gages

konu 6_geri̇lme ve Şeki̇l deği̇şti̇rme dönüşüm bağintilari(1)

Documents