kor+forgo

Fizika alapismeretekBSC

I. évfolyam nappali tagozat

II. Fizika előadásdr. Seres István

BSc Nappali I. évfolyam http://fft.szie.hu

Fizika alapismeretek Tehetetlenségi erők, forgómozgás

Gondolkodtató problémák:Newton III.: hatás- ellenhatás elve alkalmazva a lovas kocsira: Amekkora erővel húzza a ló a kocsit előre, ugyanakkora erővel húzza a kocsi is a lovat hátra.Akkor hogyan mozoghat?! És ha mozog, miért előre?

FAB = - FBA



Gondolkodtató problémák:

III. axiómához

Mérleg: megváltozik-e a mérlegegyensúlya, ha belenyúlok a vízbe?



Dinamikai feladatokÁltalános megoldási módszer (recept):1. A testre ható erők felvétele2. Erők felbontása

gyorsulással párhuzamos, ésgyorsulásra merőleges összetevőkre

3. ΣFmerőleges =0, ⇒Fnyomó ⇒ Fs

4. ΣFpárhuzamos = ma



Egyenletes körmozgás értelmezéseEgyenletes körmozgás:Körpályán keringő test azonos idők alatt azonos íveket fut be.

A test sebessége állandó

A test gyorsulása nulla



Egyenletes körmozgás értelmezéseA pillanatnyi sebesség vektor mennyiség!!!

A sebesség nagysága állandó,de az iránya nem

A sebesség, mint vektornem állandó !

Van gyorsulás!



Egyenletes körmozgás értelmezéseMilyen irányú a gyorsulás?

A

B

vAvA

vB

vBAB vvv rrr−=∆

tva

∆∆

=r

r

BA vvv rrr=∆+

∆v

Tehát ∆v középpont irányú ⇒ a is középpont irányú Centripetális gyorsulás



Egyenletes körmozgás értelmezéseCentripetális gyorsulás

Ívhossz:s = R·ϕ

⇓v = R·ω

s

ϕ

22

cp RvRva ω=ω==

Iránya:a kör középpontja felé mutat.

a = -ω2·RDeriválással (később):

nagysága:



Egyenletes körmozgás értelmezéseacp - centripetális gyorsulás

⇓

Fcp = m·acp - centripetális erő.Ilyen erő nincs !!!Közvélemény kutatás

„32 nevem volt” (Ságvári Endre) – fedőnév !

A centripetális erő is fedőnév!

ΣF = m·a

Fcp = m·acp

acp – a gyorsulás fedőnevekörmozgásnál

Fcp – az eredő erő fedőneve



Egyenletes körmozgás értelmezése

A körmozgás = gyorsuló mozgás!

Ugyanúgy oldjuk meg, mint a haladó gyorsuló mozgásos problémákat.

⇓Semmivel nem nehezebbek ezek a problémák sem, mint az egyenes vonalúak !



Dinamikai feladatokÁltalános megoldási módszer (recept):1. A testre ható erők felvétele2. Erők felbontása

gyorsulással párhuzamos, ésgyorsulásra merőleges összetevőkre

3. ΣFmerőleges =0

4. ΣFpárhuzamos = ma



Példa egyenletes körmozgásra

R

L α

v

Kúpinga

Egy L=0,4 m hosszú fonálraerősített testet mekkora vízszintes sebességgel kellmeglökni, hogy a fonálnak a függőlegessel bezárt szögemindig α = 30° legyen?




α

oldalnézet

KúpingaRecept:1, erők felvétele:

G - gravitációs erőK – kötél erő

Centripetális erő nem hat!G

KX

KKY

2, erők felbontása - kötélerőKY = K·cosαKX = K·sinα




Kúpingaα

oldalnézetGKX

KKY

3, ΣFmerőleges = 0(3) KY = K·cosα =mg

4, ΣFpárhuzamos = ma(4) KX = K·sinα = macp

( )( ) Rg

vmg

Rvm

mgma

tgcosKsinK

34 2

2

cp ===α=αα

=




R

L α

v

Kúpinga

α⋅⋅=⇒=α tggRvRgvtg

2

R = L·sinα = 0,4 ·sin 30° = 0,2 m

Behelyettesítve: v = 0,99 m/s.




Centripetális erő tehát nincs, ez csak az eredő erőnek egy fedőneve körmozgásnál.

És a centrifugális erő micsoda?



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerből

Inercia-rendszer: olyan koordináta-rendszer, amelyben igazak a Newton axiómák.

Vizsgáljunk meg egy forgó koordinátarendszert!Pl. régi lemezjátszó lemezén kering egy radír.

A testre ható erők:G - gravitációs erő, T - tartóerő,Ft – tapadási súrlódási erő

T

GFt



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlforgó koordinátarendszer

Ha a forgó lemezhez viszonyítunk:A test áll, de a három erő eredője nem nulla!G-T = 0, de Ft megmarad, nincs ami kiegyenlítse!

T

GFt

0 ≠ ΣF = ma = 0

Így 0 ≠ ΣF = ma = 0Azaz 0 ≠ 0 ! Ellentmondás!

Itt Hol a hiba?!



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlA forgó koordinátarendszer nem inercia-rendszer

Hiba!

0 ≠ ΣF = ma = 0

T

GFt

Nem teljesül a dinamika alaptörvénye, mert nem teljesülnek a Newtonaxiómák !!!

Hogyan tudunk számolni forgó koordinátarendszerben?



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlforgó koordinátarendszerHogyan tudunk számolni forgó koordináta-rendszerben?

T

GFt

Be kell vezetnünk egy fiktív erőt:Centrifugális erő sugár irányban kifele!

Fcf

RvmmRF

22

cf =ω=

ilyen erő nincs, de felvételével mesterségesen igazzá tesszük a Newton tv-eket !



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlFeladat:Mekkora fordulatszámmal forgassunk egy centrifugát, hogy az oldaláról ne csússzon le egy test?µ = 0,2, R = 0,2

oldalnézet



Mozgás vizsgálata inercia-rendszerből

Recept:1, erők felvétele:

G - gravitációs erőFt – tapadási súrlódásN – fal nyomóereje

Centrifugális erő nincs !!!

oldalnézet

GN

Ft

2, erők felbontására nincs szükség




3, ΣFmerőleges = 0Ft =G, azaz

(3) µ·N ≥ Ft = mg

4, ΣFpárhuzamos = macp

(4) N = mRω2

oldalnézet

GN

Ft




µ·mRω2≥ Ft = mgoldalnézet

GN

Ft

perc1151

s15,2

Rg

21n

Rgn2

==µπ

≥

µ≥π=ω



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlUgyanez forgó koordinátarendszerből

oldalnézet

GN

Ft

Fcf

Recept:1, erők felvétele:

G - gravitációs erőFt – tapadási súrlódásN – fal nyomóerejeFcf - centrifugális erő!

2, erők felbontására nincs szükség



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlCentrifuga vizsgálat forgó koordinátarendszerből

A test a forgó rendszerben áll!3, ΣFmerőleges = 04, ΣFpárhuzamos = 0

(3) Ft = mg(4) Fcf = mRω2 = N

oldalnézet

GN

Ft

Fcf

Ugyanaz az egyenletrendszer !



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlCoriolis erő: Forgó rendszerben mozgó testre oldalirányban (a sebességre és a fogástengelyreis merőlegesen) ható erő.

Egy forgó asztalon kifele gurított golyó az asztalhoz képest oldalirányban eltérül. (az asztal elfordul alatta a sugárral arányos kerületi sebességgel).

Az asztalhoz viszonyítva olyan, mintha oldal-irányban hatna egy erő ⇒ Coriolis erő



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlCoriolis erő: Tengeráramlatok

Földrajzi Világatlasz, Kartográfia Kiadó, Budapest, 1992.



Mozgás vizsgálata nem inercia-rendszerbőlCoriolis erő: Szélrendszerek

Földrajzi Atlasz, Cartographia Westermann Kiadó



Gondolkodtató kérdésGeostacionárius műholdpályaHa egy testet elengedek, leesik. Ha magasabbra emelem és elengedem, akkor is leesik.Vannak olyan műholdak (pl. Astra, Hotbird), amelyek a Föld egy adott pontja felett „állnak”.Miért nem esnek le? Ott már nem hat a Föld gravitációja? De akkor a messzebb levő Hold miért kering a Föld körül? Ki tudjuk-e számolni, milyen messze vannak ezek a műholdak?



Gondolkodtató kérdésFoucalt inga:

Egy gömbcsuklóval felfüggesztett, meglengetettés magára hagyott inga lengési síkja elfordul.

Milyen erő fordítja el a lengési síkot?



Tesztkérdés a mintafeladatsorból:(www.om.hu)Egy pilóta repülőgépévelaz ábrán látható módon függőleges síkú körpályán repül. Mekkora a sebessége a pálya tetőpontján, ha sem az ülés, sem az öv nem fejt ki rá erőt?

gR2 d, 2gR c, gR b, 0,5gR ,a



Általános megoldási módszer (recept):

2. Erők felbontása gyorsulással párhuzamos, merőleges összetevőkre

3. ΣFmerőleges =0, ⇒Fnyomó ⇒ Fs

1. A testre ható erők felvétele

mg

4. ΣFpárhuzamos = ma ⇒ mg = ma ⇒ acp = g



Általános megoldási módszer (recept):

acp = g, azazV2/R = g

⇓

mg

gRv = Tehát a b, válasz a jó!



Egyenletes körmozgás értelmezéseA centripetális gyorsulás – deriválással(emelt szintű matek érettségi !!!)x = R·cosα; y = R·sinα,

Egyenletesen forog:α = ω·t

x = R·cos(ω·t), y = R·sin(ω·t),

αx

y

A sebesség az elmozdulás deriváltja

vx = x = R·(- sin(ω·t)·ω), vy = y = R·cos(ω·t)·ω, vx = -R·ω(sin(ω·t), vy = R·ω·cos(ω·t),



Egyenletes körmozgás értelmezéseA centripetális gyorsulás – deriválással(emelt szintű matek érettségi !!!)

x = R·cos(ω·t), y = R·sin(ω·t), α

vx = -R·ω(sin(ω·t), vy = R·ω·cos(ω·t),

R a

ax =vx = -R·ω(cos(ω·t)·ω, ay =vy = R·ω·(-sin(ω·t)·ω), ax = -R·ω2(cos(ω·t) = -ω2x, ay = R·ω·(-sin(ω·t)·ω) = −ω2y,

a = -ω2·R



Gondolkodtató problémák:

Értjük-e az alábbi mondatot:A csúszási súrlódási erő a mozgás-iránnyal ellentétes?

Magyarázzuk meg a kísérletet:Egy lejtős forgatott hengerről csúszik le a kulcskarika, ha a hengertforgatom (ha nem forgatom megáll)!



Összetett mozgások

Egy test általános elmozdulása felfogható•egy eltolás és•egy elforgatás

egymásutánjaként.

Az elforgatás mértéke mindegyik esetben azonos.



Összetett mozgások

Egy test általános elmozdulása felfogható•egy eltolás és•egy elforgatás

egymásutánjaként.

Egy kiterjedt test általános mozgása egy haladó és egy forgó mozgásból tehető össze.



Kísérlet forgó mozgásraMiért látjuk néha a filmeken, tv-ben a haladókocsi, kerékpár kerekét visszafele forogni?

A jelenség modellezése stroboszkóppal:(nem folytonos, hanem gyorsan villogó világítás).

Kísérlet: forgó ventillátort stroboszkóppalmegvilágítva hol előre, hol hátra látjuk forogni (közben látszólag néha megáll) a megvilágító frekvencia függvényeként.



Kísérlet forgó mozgásraMiért látjuk néha a filmeken, tv-ben a haladó kocsi, kerékpár kerekét állónak?

Magyarázat:A küllő elfordulásakét felvillanás közöttugyanakkora, mint aküllők szöge.



Kísérlet forgó mozgásraMiért látjuk néha a filmeken, tv-ben a haladó kocsi, kerékpár kerekét visszafele forogni?

Magyarázat:A küllő elfordulásakét felvillanás közöttkicsit kisebb, mint aküllők szöge, s emiattúgy képzeljük el, hogy nem sokat fordult előre, hanem keveset hátra.



Kísérlet forgó mozgásra

A hétköznapi életben is tapasztalható: Pl. otthon is elvégezhető kísérlet:kerékpárkerék forgása neon fénycsővel,megvilágítva ugyanezt a jelenséget produkálja,vagy ha este kerékpározunk ugyanezt tapasztalhatjuk (mountain bike - rücskös kerék).

Forgó gépek mellett csak izzószálas égő használható!



Haladó és forgómozgás analógiájaHaladó mozgás Forgómozgás

s- elmozdulás ϕ – szögelfordulás

v – sebesség ω – szögsebsség

a - gyorsulás β - szöggyorsulás

F – erő M – forgatónyomaték

m - tömeg Θ – tehetetlenségi nyomaték



ForgatónyomatékAz ajtókon mindig azon az oldalon van a kilincs,amelyik oldalon nyílik.

Miért ?!

felülnézet

zsanérkilincs F

kL Fpár

Fmer

M = F·k = F ·L ·sinα = F ·sinα ·L = Fmer ·LForgatónyomaték = erő x erőkar



Haladó és forgómozgás analógiájas-ϕ v-ω a-β F-M m-Θ

Forgómozgásϕ = ω·t

½·Θ·ω2

ΣM = 0 ⇒ Θ·ω = állandó

ΣM = Θ·β

Haladó mozgáss = v·t

½·m·v2

ΣF = 0 ⇒ m·v = állandó

ΣF = m·a

atvv ,t2atvs 0

20 +=+= t ,t

2t 0

20 β+ω=ω

β+ω=ϕ



Tehetetlenségi nyomaték

R

Tengely körül forgó pontszerű test:•Egyenletes körmozgás

Emozgási = ½mv2

V = Rω

Emozgási = ½m(Rω)2 = ½·mR2·ω2

Eforgási = ½·Θ·ω2

mR2

Θ=mR2



Tehetetlenségi nyomatékSzabályos testek:

Tömegpont: Θ= mR2

Henger: Θ=1/2mR2

Gömb: Θ=2/5mR2

Rúd: Θ=1/12mL2



Tehetetlenségi nyomatékSteiner tétel

Tömegponton átmenő tengelyre Θtk

ΘA = Θtkp + md2

dtkp

A

Rtkp

A

ΘA = 1/2mR2 + m(R/2)2 = 3/2mR2



Merev test általános mozgása

ΣM = Θ·β - forgómozgás mozgásegyenlete

ΣF = m·a - haladó mozgás mozgásegyenlete

a = R·β - kényszerfeltétel

Gondoljuk végig egy feladaton keresztül.




Feladat: Mekkora gyorsulással gurul le egy golyó egy α hajlásszögű lejtőről? Mekkora tapadási súrlódási együttható kell ehhez? (α = 30º)

a = ?




A testre ható erők:G – gravitációs erőFny - nyomóerő,Ft – tapadási súrlódási erő

A gravitációs erőt felbontjuk merőlegeskomponensekre:

Gm = mg·cosα,Gp = mg·sinα

Fny

Gp

Gm

Ft

G




A lejtőre merőlegesen a test nem mozog:(1) Fny = mg · cosα

A lejtővel párhuzamosan:(2) mg·sinα – Ft = m ·a

A test forog is, a tapadásisúrlódási erő forgatja:

(3) Ft ·R = Θ·β

Fny

Gp

Gm

Ft

G




ak

a

a ,ak

Kényszerfeltétel: a golyó gurul ⇒ a lejtőn levőpontja nem csúszik:A lejtőn levő pont gyorsulása = lejtő gyorsulásaa-ak = 0, ak =Rβ

(4) a = R·β




Fny

Gp

Gm

Ft

G

(1) Fny = mg·cosα(2) mg·sinα – Ft = m ·a(3) Ft ·R = Θ·β

(4) a = R·b




(2) mg·sinα – Ft = m ·a(3) Ft ·R = Θ·β(4) a = R·β

(3) Ft ·R = 2/5·m·R2·β /:R

(3) Ft = 2/5·m·R·β = 2/5·m·a

Θ = 2/5·m·R2




(2) mg·sinα – Ft = m ·a

(2) + (3) mg·sinα = 2/5ma + ma = 7/5ma

a = 5/7·g·sinα

(3) Ft = 2/5·m·a

a = 3,57 m/s2




a = 5/7·g·sinαFt = 2/5·m·5/7·g·sinα

(3) Ft = 2/5·m·a

µt·mg·cosα = µt·Fny ≥ Ft = 2/7·mg·sinα

µt ≥ 2/7·tgα = 0,165



Miért jó a lendkerekes autó?

Lendkerék: lapos, nagy átmérőjű henger

Θ = ½ mR2 Eforgási = ½ Θω2

Azaz a felpörgetett lendkerék energiát tárol:Nehezebb felgyorsítani a lendkerekes autót, de tovább gurul.

A gyakorlatban is több helyen alkalmazzák ezt az elvet.



Gondolkodtató kérdésPörgettyű

Egy gyorsan forgó pörgettyű (búgócsiga) akkor sem dőlle, ha ferdén áll, hanem a tengelye körbe forog.Miért?

Válasz a www.asta.hu oldalon

http://www.asta.hu/



Gondolkodtató kérdésPörgettyű

Segítség a kérdéshez:

A forgatónyomaték valójában vektor:

R

F

MM = R x F



Köszönöm a figyelmet!

kor+forgo

Documents