kostjan aref+
TRANSCRIPT
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КОСТЬЯН Наталія Леонідівна
УДК 681.3.057:518.12
МЕТОДИ І ЗАСОБИ ФОРМУВАННЯ ТА ЧИСЕЛЬНОЇ РЕАЛІЗАЦІЇ
ІНТЕГРАЛЬНИХ МОДЕЛЕЙ ЗВОРОТНИХ ЗАДАЧ ДИНАМІКИ СИСТЕМ
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Черкаси − 2015
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Черкаському державному технологічному університеті
Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: кандидат технічних наук, доцент
СИТНИК ОЛЕКСАНДР ОЛЕКСІЙОВИЧ,
Черкаський державний технологічний
університет, завідувач кафедри
електротехнічних систем
Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор
ФЕДОРЧУК ВОЛОДИМИР АНАТОЛІЙОВИЧ,
Кам’янець-Подільський національний
університет імені Івана Огієнка, завідувач
кафедри інформатики
кандидат технічних наук
СПЕРАНСЬКИЙ ВІКТОР ОЛЕКСАНДРОВИЧ,
Одеський національний політехнічний
університет, старший викладач кафедри
економічної кібернетики та інформаційних
технологій
Захист відбудеться 26 листопада 2015 року о 15-30 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради К73.052.01 Черкаського державного технологічного
університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бульвар Шевченка, 460.
З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Черкаського державного
технологічного університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бульвар Шевченка, 460.
Автореферат розісланий 26 жовтня 2015 року.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради А. В. Гончаров
1
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Розвиток сучасних систем вимірювання, контролю,
керування і діагностики визначається підвищенням вимог до якості показників,
розширенням функціональних можливостей, зростанням складності дослідницьких
та проектних задач при їх створенні. Одним з істотних показників розвитку методів
оперативної обробки інформації системами даного класу є зростання долі методів
розв’язання зворотних задач у загальному переліку задач, що вирішуються.
Традиційним підходом до розв’язання задач динаміки є застосування
звичайних диференціальних рівнянь. До зворотних задач відносяться задачі
ідентифікації, які полягають у визначенні коефіцієнтів рівнянь за відомими правими
частинами (зовнішнім впливом) та розв’язками (реакцією об'єкта), а також задачі
відновлення вхідних впливів, що полягають у визначенні правих частин по заданим
коефіцієнтам (параметрам об’єкта) та розв’язкам (реакції об'єкта). Методи
розв'язання зворотних задач динаміки зазвичай ґрунтуються на застосуванні
оптимізаційних алгоритмів, при реалізації яких можуть виникнути труднощі,
викликані складністю пошукових процедур.
Все більше ускладнення моделей і труднощі при обробці експериментальних
даних призводять до необхідності розгляду способів побудови альтернативних форм
представлення динамічних моделей, зокрема інтегральними рівняннями Вольтера, і
подальшого розвитку методів їх чисельної реалізації. Перевагами інтегральних
моделей є згладжувальні властивості інтегральних операторів, простота і висока
стійкість чисельних операцій інтегрування.
Таким чином, сукупність досліджень та розробок з формування інтегральних
моделей зворотних задач динаміки, розробки алгоритмів та програмних засобів
чисельної та комп’ютерної реалізації інтегральних динамічних моделей,
представлених рівняннями Вольтерра, при розв’язанні задач ідентифікації і
відновлення вхідного сигналу динамічного об'єкта являє собою актуальну науково-
технічну задачу.
Суттєвий внесок у розвиток методів і засобів математичного і комп'ютерного
моделювання динамічних систем на основі інтегральних рівнянь і операторів
належить роботам Абдусатарова Б.Б., Апарцина А.С., Бакушинского А.Б.,
Бекмуратова Т.Ф., Васильєва В.В., Ватульяна О.О., Верланя А.Ф., Гальченка В.Я.,
Грановського В.А., Задираки В.К., Засядько А.А., Іванова В.В., Конета І.М.,
Лаврентьєва М.М., Меньшикова Ю.Л., Мокіна Б.І., Мороза В.І., Павленка В.Д.,
Положаєнка С.А., Пупкова К.А., Тихонова А.М., Сизикова В.С., Старкова В.Н.,
Ситника О.О., Худаярова Б.А., Форсайта Дж., Aburdene M., Baker С., Strejc V.,
Vrancic D. та ін.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне
дослідження проводилося в рамках науково-дослідної роботи «Створення методів і
засобів математичного та комп’ютерного моделювання динамічних процесів в
автономних енергетичних силових установках при побудові сучасних систем
керування, діагностики і випробування» (№ д/р 0111U007792).
Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є підвищення
ефективності методів і засобів математичного моделювання при розв’язанні
2
зворотних задач динаміки на основі створення методів формування та
обчислювальних алгоритмів і програмних засобів комп'ютерної реалізації
інтегральних динамічних моделей.
Для досягнення зазначеної мети необхідно вирішити такі завдання:
− аналіз та систематизація зворотних задач динаміки систем, а також підходів,
методів та програмних засобів їх розв’язання; обґрунтування підходу до розв’язання
зворотних задач динаміки на основі інтегральних динамічних моделей; вибір
програмної платформи для проведення досліджень та створення спеціалізованого
комплексу програм;
− розробка методів формування та числової реалізації інтегральних
динамічних моделей при розв’язанні задач ідентифікації динамічних об'єктів;
побудова та дослідження способів обробки та представлення експериментальних
даних для реалізації методів ідентифікації; розробка та програмна реалізація
обчислювальних алгоритмів розв'язання задач ідентифікації динамічних об’єктів в
інтегральній постановці;
− розробка та дослідження методів і алгоритмів відновлення вхідних сигналів
динамічних об'єктів на основі застосування інтегральних динамічних моделей у
формі рівнянь Вольтерра І роду із забезпеченням стійкості обчислювальних
процесів на основі методів регуляризації та побудова базового набору алгоритмів
стосовно до створення програмних засобів з різними вимогами до точності
результатів моделювання;
− розробка комплексу програм комп’ютерного моделювання, що реалізує
запропоновані методи та алгоритми розв'язання зворотних задач динаміки;
проведення обчислювальних експериментів при розв’язанні модельних і практичних
задач.
Об’єктом дослідження є процеси моделювання зворотних задач динаміки
систем.
Предметом дослідження є методи та засоби математичного та комп'ютерного
моделювання зворотних задач динаміки на основі застосування динамічних моделей
у формі інтегральних рівнянь.
Методи досліджень. Робота виконана з використанням елементів теорії
інтегральних рівнянь (при формуванні та реалізації математичних моделей), методів
еквівалентних і апроксимуючих перетворень рівнянь динаміки (при побудові
альтернативних форм моделей динамічного об’єкту); методів апроксимації функцій
(при обробці експериментально отриманих даних); елементів теорії матриць (при
застосуванні псевдообернених матриць щодо розв’язання систем лінійних
алгебраїчних рівнянь); методів чисельного аналізу (при розробці квадратурних
алгоритмів реалізації інтегральних динамічних моделей); методів організації
програмних засобів на основі типових пакетів моделювання (для обробки та
апроксимації експериментальних даних при вирішенні задач моделювання); методів
проведення обчислювальних експериментів (при дослідженні динамічних систем).
Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна роботи
визначається наступними результатами:
− уперше розроблено інтегральний метод ідентифікації динамічних об'єктів,
що полягає у формуванні динамічної моделі у вигляді інтегрального рівняння
3
Вольтерра II роду, дискретизація якого за допомогою квадратурних формул являє
собою «прямий» (не оптимізаційний) спосіб отримання та стійкого розв’язку
алгебраїчної системи щодо шуканих параметрів;
− уперше розроблено спосіб відновлення сигналу на вході лінійного
динамічного об'єкта за фазо-частотною характеристикою, отриманою при
змішаному наближенні функціями з постійним нахилом і параболічними відрізками
для різних діапазонів логарифмічної амплітудної частотної характеристики, що
дозволяє застосовувати даний спосіб для всіх діапазонів частотної характеристики;
− удосконалено метод багаторазового інтегрування в задачах ідентифікації
динамічного об'єкта, який відрізняється використанням довільних початкових умов,
застосуванням нормалізації функцій вхідного та вихідного сигналу та формул
інтегрування по частинам, що дозволяє отримати рекурентні процедури розрахунку
шуканих параметрів, в тому числі для систем високого порядку, та досліджувати
процес на виході об’єкту, викликаний вхідним впливом довільного характеру, а
також уникати впливу похибок швидко змінного сигналу;
− удосконалено та досліджено способи побудови моделі об'єкта у формі
дробово-раціональної передатної функції за реакцією на вхідний вплив довільної
форми на основі перетворень Лапласа-Карсона: перший спосіб відрізняються
поданням функцій вхідного впливу і відгуку об'єкта рядами Тейлора, другий −
формою апроксимуючого поліному та можливістю ітераційного уточнення шуканих
параметрів, що забезпечує максимальну швидкодію розв’язання задачі ідентифікації
динамічних об'єктів з зосередженими та розподіленими параметрами з необхідною
точністю;
− набув подальшого розвитку метод аналітичного представлення функції часу,
заданої таблицею експериментально отриманих даних, у якому, на відміну від
попередніх, функція представляється у вигляді розв’язку однорідного лінійного
різницевого рівняння з постійними коефіцієнтами на основі z-перетворення при
використанні методу псевдооберненої матриці, за рахунок чого досягається
підвищення точності апроксимації;
− набув подальшого розвитку метод чисельного диференціювання як окремий
випадок розв’язання задачі відновлення вхідного сигналу динамічного об’єкту за
інтегральною моделлю, який відрізняється застосовуванням структурних моделей
динамічних систем зі зворотним зв’язком, що містять контури інтегрування, за
рахунок чого отримано покращення точності результатів порівняно з традиційним
різницевим методом, реалізованим у пакеті MATLAB/SIMULINK;
− набули подальшого розвитку алгоритми для розв’язання рівнянь Вольтера І
роду, які на відміну від традиційних забезпечують необхідну швидкодію та
підвищену точності за рахунок використання формул вищих порядків та організації
багатокрокових обчислень, надаючи можливість вибору квадратурної формули
залежно від виду ядра.
Практичне значення отриманих результатів роботи полягає в наступному.
На основі ефективного використання платформи системи MATLAB вперше
створено комплекс програм, який дозволяє розв’язувати широкий клас зворотних
задач динаміки технічних об'єктів і систем з можливістю забезпечення необхідної
точності та швидкодії. Розроблені програмні засоби завдяки сумісності зі
4
стандартними засобами середовища MATLAB, дозволяють підвищити якість і
розширити функціональні можливості методів і засобів моделювання зворотних
задач динаміки стосовно до проектування та функціонування комп’ютеризованих
технічних систем оперативної обробки сигналів.
Результати дисертації використовуються в проектно-ремонтній організації
ТОВ «Спецтестсервіс» під час робіт з діагностики електронного обладнання
цифрового зв'язку FCM-05 та в навчальному процесі Черкаського державного
технологічного університету.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що
винесені на захист, отримані автором особисто. Роботи [1, 4, 6, 9, 12-13, 15-18]
написані особисто. В опублікованих працях у співавторстві особисто дисертанту
належать такі результати: у [2] − запропоновано метод розв’язання погано
обумовлених систем лінійних рівнянь, що оснований на пошуку локального мінімуму
при розв’язанні задачі ідентифікації; у [3] − запропоновано метод ідентифікації,
заснований на використанні інтегральної моделі об’єкту з запізненням; у [5] −
застосовано ряди Тейлора при апроксимації вхідного впливу і відгуку динамічного
об'єкта; у [7] − отримано розрахункові вирази для реалізації інтегрального методу
ідентифікації динамічного об'єкта в узагальненій постановці і проведення
обчислювального експерименту; у [8] − запропонована ідея аналітичного
представлення експериментальних залежностей як розв’язку однорідного лінійного
різницевого рівняння; у [10] − реалізовано спосіб визначення передатної функції при
ідентифікації приймача теплових потоків; у [11] запропоновано метод апроксимації
частотної характеристики при відновленні вхідного сигналу динамічного об’єкта
частотним способом на основі експериментальних даних; у [14] − запропоновано
квадратурні алгоритми відновлення вхідних сигналів динамічного об'єкта, засновані
на використанням властивостей ядер, що розділяються.
Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати
дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на міжнародній науково-
практичній конференції «Актуальні проблеми технічних та соціально-гуманітарних
наук у забезпеченні діяльності служби цивільного захисту» Академії пожежної
безпеки імені Героїв Чорнобиля, Черкаси, 2013 р.; на всеукраїнських науково-
практичних конференціях «Інформаційні та моделюючі технології» Черкаського
національного університету імені Богдана Хмельницького, Черкаси, 2013-2015 рр.;
на міжнародному науковому семінарі «Інтегральні рівняння в математичному та
комп’ютерному моделюванні» Інституту проблем моделювання в енергетиці імені
Г.Е. Пухова НАН України, Київ, 2014 р.; на міжнародній науковій конференції
«Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації»
Кам’янець-Подільського державного університету, Кам’янець-Подільський, 2014 р.;
на міжнародній науково-практичній конференції «ІНТЕРНЕТ-ОСВІТА-НАУКА-
2014» Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і
науки України, 2014 р.; на міжнародній науково-практичній конференції «Обробка
сигналів і негаусівських процесів» Черкаського державного технологічного
університету, Черкаси, 2015 р.
Публікації. Основні положення і результати дисертаційного дослідження
опубліковані автором особисто і у співавторстві – всього в 18 наукових роботах, з
5
яких 10 наукових статей надруковані у виданнях, що входять до переліку фахових
видань (1 з них входить до міжнародних наукометричних баз: РІНЦ, Index
Copernicus, EBSCO), 1 наукова стаття входить до міжнародної наукометричної бази
РІНЦ та 7 робіт опубліковані в матеріалах всеукраїнських та міжнародних
конференцій.
Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу,
4-х розділів, висновків, списку використаних джерел з 183 найменувань та
додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи становить 220 сторінок, у тому
числі 150 сторінок основного тексту, містить 31 таблицю.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вступ містить загальну характеристику роботи, актуальність проблеми, мету
та завдання дослідження, відомості про зв'язок обраного напрямку досліджень із
планами наукових досліджень організації, де виконана робота, відзначені наукова
новизна й практична цінність отриманих результатів, особистий внесок здобувача в
роботах у співавторстві, відомості про апробацію результатів роботи.
У першому розділі «Зворотні задачі динаміки систем» визначаються
зворотні задачі динаміки систем, проблеми їх розв’язання та сфери застосування,
проаналізовано особливості інтегральних моделей, визначено переваги їх
використання при розв’язанні зворотних задач динаміки, обґрунтовано вибір системи
MATLAB в якості середовища комп’ютерної реалізації динамічних моделей.
З розвитком методів і засобів управління і обробки інформації актуальність
зворотних задач динаміки помітно зростає, тому що на основі їх розв’язання
виявилося можливим створювати нові й ефективні процедури обробки та формування
сигналів в технічних системах. На основі поняття зворотних задач і властивих їм
математичних моделей розв’язуються задачі діагностики та контролю, проектування
технічних об'єктів і управління ними. До основних видів зворотних задач відносяться
задачі ідентифікації динамічних об'єктів і задачі відновлення вхідних впливів.
Задачі ідентифікації динамічних об'єктів. Розглядається клас об'єктів, що
мають властивість безперервної функціональної залежності вихідних сигналів від
вхідних. Дану залежність у досить загальному випадку можна представити
математично у вигляді операторної динамічної моделі
0)],();,();,([ txQtxFtxYA , (1)
де ],0[ Tt − час, ),,,( 21 mxxxx − вектор просторових координат моделі
динамічного об’єкту, А − довільний в загальному випадку невідомий оператор, що
задовольняє умові існування безперервної неявної функції Y , що являє собою
вектор вихідних координат (сигналів) динамічного об’єкту, F − вектор вхідних
координат (сигналів), Q − вектор невідомих параметрів. В роботі розглядаються
задачі знаходження по рівнянню (1) вектора ),( txQ при визначеній структурі
оператора A, що задовольняє достатнім умовам існування неявної функції ),( txQ .
Розглядаються детерміновані методи пошуку параметрів динамічних об’єктів, що
потребують найменшого обсягу апріорної інформації для розв’язання поставленої
задачі.
6
Традиційний підхід при розв’язанні зворотних задач в якості динамічних
моделей об'єкта передбачає застосування звичайних диференціальних рівнянь виду
r
i
ii Tttftytq
0
)( ],0[),()()( , (2)
де )(tqi − змінні коефіцієнти, що підлягають визначенню із (2). Для досить
широкого класу динамічних об’єктів застосування інтегральних динамічних
моделей і, зокрема, моделей, еквівалентних моделям (2), дозволяє отримати
принципову основу для побудови нових високостійких обчислювальних алгоритмів
розрахунку параметрів динамічних об’єктів.
Задача відновлення вхідних впливів. Дана зворотна задача полягає в тому, що за
заданою моделлю динамічного об’єкту fAy і експериментально отриманим
вихідним сигналом y визначається вхідний сигнал f. Розв’язання задачі відновлення
полягає в отриманні і чисельній реалізації оператора 1A , зворотного до оператору
А, тобто у застосуванні співвідношення )~
(~ 1 fAy , де y~ і f~
− відповідно обтяжені
похибками вхідний і шуканий вихідний сигнали. Реалізація оператора 1A в
реальних технічних системах виконується комп'ютерними засобами, тобто
програмно або апаратно (спеціалізованими обчислювачами).
Аналіз публікацій з тематики, що розглядається, свідчить про те, що підхід,
заснований на використанні інтегральних рівнянь залишається недостатньо
дослідженим і, судячи з існуючого досвіду вирішення практичних завдань, є досить
ефективним і перспективним.
Інтегральні моделі зворотних задач динаміки. При розгляді задачі
формування динамічних моделей за заданими зовнішніми впливами і реакцією
динамічний об’єкт описується інтегральними рівняннями Вольтерра II роду, які
відносно невідомої функції u (t) мають вигляд )()(),()(
0
tfdssustKtut
t
],[ 0 Ttt ,
де права частина f(t) і ядро K(t,s) – відомі функції (істотне значення для розв’язання
має вид функції K(t,s), яка є динамічною характеристикою об’єкта та називається
апаратною функцією). Згідно до методу інтегральних рівнянь, задача відновлення
зовнішніх впливів при заданій структурі об'єкта зводиться в загальному випадку до
розв’язання рівняння Вольтерра I роду t
t
tfdssustK
0
)()(),( , де f(t) − вихідна змінна;
u(t) – вхідний сигнал, що потребує визначення. При виборі обчислювального методу
для розв’язання зворотних задач динаміки слід враховувати їх специфіку, а також
призначення програмних засобів, що реалізують методи.
Аналіз розповсюджених у практиці пакетів програм свідчить, що по набору
функцій, необхідних для чисельної реалізації інтегральних динамічних моделей,
найбільш потужним прикладним пакетом є MATLAB.
У другому розділі «Інтегральні методи ідентифікації динамічних об'єктів» розглянуто способи формування динамічних моделей у вигляді інтегральних
рівнянь, дано опис запропонованих методів і алгоритмів ідентифікації динамічних
7
об’єктів, а також аналізуються їх якість і особливості шляхом обчислювальних
експериментів.
В роботі розглядаються наступні способи отримання інтегральних моделей
динамічних об'єктів по заданим диференційним рівнянням: метод перетворення з
розщепленням; спосіб послідовного інтегрування на основі використання формули
інтегрування по частинам; спосіб підстановки; спосіб інтегральних перетворень на
основі застосування перетворення Лапласа та теореми про згортку, а також
структурний метод при заданій структурі та динамічних характеристиках об’єкту.
Застосування отриманих інтегральних динамічних моделей дозволяє мати основу
для побудови високостійких чисельних алгоритмів для розв’язування зворотних
задач.
У роботі розглядаються наступні запропоновані методи ідентифікації
динамічних об’єктів.
Інтегральний метод ідентифікації. Розв’язується задача ідентифікації
динамічного об'єкта, модель якого представлена рівнянням
1,0,)0(),()()( )(
1
)()(
mkcutftuptu kk
m
j
jmj
m , (3)
де f(t) та u(t) – визначені вхідний та вихідний сигнали відповідно; p − вектор
невідомих параметрів моделі; с – вектор початкових умов; ],0[ Tt . На основі
застосування методу послідовного інтегрування до рівняння (3) отримано
еквівалентну форму моделі об’єкту у вигляді інтегрального рівняння Вольтерра II
роду
1
00
1
1
1
00
1
).(!
)()!1(
)(
)!()(
)!1(
)( m
j
j
j
t mm
j
jm
k
jk
k
t j
j tuj
tcdf
m
t
jk
tcdu
j
tp (4)
Із (4) для моментів вимірювання it та j ),1( Ni таких, що Tttt N 100 ;
TN 100 , вважаючи, що ,Nm на основі використання операцій
інтегрування за методом квадратур задача зводиться до розв’язання системи
алгебраїчних рівнянь відносно наближених значень вектору параметрів
:)~,...,~(~1
Tmppp ,
~~~bpA де
T
mm
jiij bbbAA~
,...,~~
,~
11,
визначаються як
1
00
1 1,)!(
)(~)()!1(
1~ jm
li
jli
l
N
kk
jkiikij NN
jl
tcutW
jA
i
;
NMtuv
tcftW
mb i
m
vi
vi
v
M
kk
mkiiki
i
1,)(~
!)(
~)(
)!1(
1~ 1
00
1 ;
ijW – ваги квадратурної формули; u~ і f~
− відповідно значення вихідного та
вхідного сигналів, що отримано експериментально з деякими похибками.
Задачі ідентифікації нестаціонарного динамічного об'єкта із зосередженими
параметрами описується інтегральним рівнянням
8
)()(),()()()()(),()()( 2)(
221)(
11
21
tdftKtfttdutKtuttGtG
, (5)
де i , iK , i )2,1( i − шукані величини; u и f – визначені в (3), )(tGi − області
інтегрування ( ],0[],,0[)()( 21 TtttGtG ).
Для розв’язання рівняння (5) дискретизується модель в вузлах Niti ,0, та
застосовуються квадратурні формули, в результаті чого отримується алгебраїчна
система відносно шуканих параметрів, що містить 1N рівнянь:
.,1,,1
),()(),()()()()(),()()(
),0()0()0()0()0()0(
0222
0111
2211
NiNNM
tftKWtfttutKWtut
fu
ii
M
jijjiijii
N
jijjiijii
ii
Дана система може бути недовизначеною, що потребує застосування
відповідних методів її розв’язання. Результати розв’язування тестових задач при
використанні квадратурної формули трапецій та методу найменших квадратів
свідчать про такі властивості інтегрального методу ідентифікації, як висока
стійкість та точність, ефективність за обсягом обчислень, простота реалізації.
Метод багаторазового інтегрування. Модифікація методу параметричної
ідентифікації передатних функцій динамічних об’єктів на основі багаторазового
інтегрування лівої та правої частин відповідного диференціального рівняння
)()()()()( 1)1(
1)( tkxtytyatyatya n
nn
n ( ia − шукані параметри (коефіцієнти
знаменника передатної функції, ni ,1 ; )(ty і )(tx − відомі значення вихідного та
вхідного сигналів; k − коефіцієнт передачі) шляхом нормалізації вхідного і
вихідного сигналу динамічного об’єкту та подальшого використання формули
інтегрування по частинам дозволяє отримати еквівалентні математичні моделі у
вигляді інтегральних рівнянь. Рекурентні формули розрахунків параметрів моделі
мають вигляд
])()1()([)(
)1( 1
011
1
l
iili
il
l
l yraxkryr
a , при x(0)=x(∞)=0;
)()0(
)()0(
xx
yyk , ])()1()([)1(
1
011
l
iili
il
ll yraxra , при x(0)≠ x(∞),
де )()(1)(;)()(1)( 11 xtxtxytyty ; dtyl
tr
l
l
0
1
)!1(.
Метод багаторазового інтегрування дозволяє визначати динамічні властивості
досліджуваного об'єкту при довільному вхідному впливі та значно знизити вплив
похибок, пов'язаних з неточним фіксуванням вхідного сигналу, який швидко
змінюється.
Спосіб побудови моделі динамічного об'єкта по реакції на вхідний вплив
довільної форми. Запропоновано спосіб побудови моделі у формі дробово-
9
раціональної передатної функції на основі перетворення Лапласа і наближення
експоненти рядом Маклорена. Для передатної функції H(p) в точці p*=p+α, де α –
довільне додатне дійсне число, отримаємо
0
*
00
** )(
!
)()(
k
k
kkt
k
k
pPdtttek
ppH , dttte
kP kt
k
k )(!
)1(
0
,
де Pk − к-й момент Пуассона; )(t − імпульсна перехідна функція. Якщо при
проведенні експерименту зареєстрована не функція (t), а реакція y(t) на сигнал x(t),
то спектр Пуассона nkHk 2,0, визначається за виразами
000 XYH , 0
1
0
)( XXHYHk
mmkmkk
.
де Xk и Yk – послідовність моментів Пуассона вхідного впливу x(t) і реакції об’єкта y(t).
Запропонований алгоритм дозволяє на основі пасивних експериментів
обчислити коефіцієнти дробово-раціональної передатної функції з точністю до 0,1%.
Одним із продуктивних напрямків розглянутого моментного підходу до формування
динамічних моделей є отримання передатних функцій об'єктів з запізненням.
Аналітичне представлення експериментальних залежностей. При розв'язанні
зворотних задач динаміки істотний інтерес представляють аналітичні вирази
залежностей функцій часу, представлених дискретними значеннями (таблицями),
що отримані експериментально або в результаті розрахунків. В роботі доведено, що
будь-яку дискретно задану функцію часу можна з наперед заданою точністю
апроксимувати розв’язками однорідного лінійного різницевого рівняння з
постійними коефіцієнтами. На основі z-перетворення вихідного диференціального
рівняння
1,)(0
1
0)1(
n
n
j
jnjn
n
i
inin azazbzF
отримано вирази для розрахунку параметрів 01 fbn , 0112 fafb nn , …,
012110 ... fafafb nnn де jf − експериментально отримані дані. Параметри
чисельника передавальної функції обчислюються з системи алгебраїчних рівнянь
0
2
1
132
12212
13222
121
0121
1
2
12
1
)1(
a
a
a
ffff
ffff
ffff
ffff
ffff
f
f
f
f
f
n
n
mmmnmn
nnnn
nnnn
nn
nn
mn
n
n
n
n
на основі методу псевдообернених матриць, що забезпечує покращення точності та
зменшення часу на розрахунки.
Отримані параметри передатних функцій є також коефіцієнтами відповідних
диференціальних рівнянь, що дозволяє отримувати еквівалентні математичні моделі
у вигляді інтегральних рівнянь.
10
У третьому розділі «Методи і алгоритми відновлення вхідних сигналів
динамічних об'єктів» запропоновані методи і алгоритми розв’язування задачі
відновлення вхідних сигналів динамічних об’єктів, в тому числі швидкі алгоритми
методу квадратур, алгоритми на основі квадратурних формул вищих порядків та
багатокрокові алгоритми розв’язання інтегральних рівнянь задачі відновлення, що
забезпечують отримання результатів з різними діапазонами точності; запропоновано
метод чисельного диференціювання на основі реалізації інтегральної моделі та
частотний спосіб відновлення вхідного сигналу динамічних об’єктів.
Динамічні характеристики і явні моделі динамічних об’єктів. Динамічні
характеристики є основою формування інтегральних моделей динамічних об’єктів.
Конструктивно використовується імпульсна перехідна функція tg , яка дозволяє
отримувати явну модель для лінійного стаціонарного об’єкту у вигляді інтегралу
згортки t
dftgty
0
.
Запропоновано інтерполяційний метод формування дробово-раціональної
передатної функції шляхом апроксимації експериментально отриманої перехідної
функції і застосування перетворення Лапласа-Карсона. Перехідна функція
представляється у вигляді
n
i
ii
x xaeax1
10)( ,
де ia − шукані коефіцієнти; jx − дискретні точки визначеного процесу, −
коефіцієнт загасання. Вибір параметру дозволяє мінімізувати складність моделі.
Квадратурні методи розв’язання рівнянь Вольтерра I роду. Шляхом
«обернення» явних інтегральних моделей отримується головна модель задачі
відновлення вхідних впливів у вигляді інтегрального рівняння Вольтерра I роду
x
TxxfdtttxK
0
,0),()(),( . (6)
Стійкі алгоритми розв’язання (6) різної точності будуються на основі методу
квадратур. У випадку довільного ядра час обчислення залежить від числа кроків
дискретизації. Дане утруднення долається при представленні ядра у вигляді суми
добутків незалежних функцій, тобто у вигляді:
,,,1,!1
1
!1,
1
1
11
1
1
NmmlsxsxСml
sxqsxK l
m
ll
llmm
l
lm
lm
ll
де lq − невідомі величини, x і s – незалежні змінні, !!
!
mnm
nC m
n
,
,11
lmlml xCx l
l ss .
Тоді рекурентні формули для наближеного розв’язку рівняння (6) методом
трапецій при постійному кроці (h=const) набуває наступного вигляду:
11
ni
xxW
xxWxxf
xixa
aa
afa
il
m
lili
i
jjjlji
m
lli
i
l
m
ll
,2,
~
~,1,,~
1
1
111
1
. (7)
У такому випадку кількість обчислень на кожному кроці залишається незмінною,
що дозволяє побудувати швидкі алгоритми.
Розроблена і досліджена низка алгоритмів розв’язання рівняння (6) для
випадку 0),( xxK , 0)0( f і найбільш складного випадку 0),( xxK ,
0)0()0(0),( 'x f f ,xxK з застосуванням традиційних квадратурних формул
трапецій та формул підвищеної точності Сімпсона, Грегорі I і II порядку. Показана
збіжність і працездатність алгоритмів на основі аналітичних оцінок і
обчислювальних експериментів. Зокрема, для тестової задачі розв’язання рівняння
))exp(cos(sin2
1)())exp(1(
0
xxxxdttxtx
(точний розв’язок xx sin1)( )
наближені розв’язки наведені в таблиці 1; в таблиці 2 наведені похибки, що
обчислені за виразом )()(max10
iih
nixx
, де )( i
h x − отримані розв’язки,
)( ix − точні значення.
Таблиця 1
Результати розв’язання тестової задачі методами квадратур
ix
Метод трапецій I Метод Сімпсона IV Метод Грегорі II Метод Грегорі III
0 1,050816 1 1 1
0,1 1,100579 1,099837 1,120897 1,099837
0,3 1,296069 1,294139 1,291325 1,295508
0,5 1,479757 1,478884 1,479720 1,479413
0,7 1,644318 1,643541 1,644087 1,644206
0,9 1,783192 1,782978 1,783210 1,783317
Таблиця 2
Похибка обчислень розв’язку тестової задачі методами квадратур при різній
кількості точок вимірювання N
N I II III IV
10 2101,5 2101,2 4104,1 3108,1
20 2105,2 2101 5101,1 4105,5
40 2103,1 3103,5 6109,1 4105,1
60 3103,8 3106,3 7101,6 5107,6
80 3103,6 3107,2 7102,4 5108,3
100 3105 3101,2 7107,3 5104,2
Для досягнення більш високої точності при розв’язанні рівнянь Вольтерра І
роду запропоновано багатокрокові методи, засновані на використанні
екстраполяційних формул типу Адамса, згідно з формулами інтегрування для
0),( xxK :
12
)()()()()(ˆ)( 10
10
100
1
yRxyωhyrxyb hyrxyahy(t)dt iν
i
ν,νi
i
qj
q
νjνjνq
q
ννν
xi
,
де a − ваги квадратурної формули Ньютона-Котеса з 1q вузлом,
q
j ,q jj
b0
0 10,0,1
1)( при похибці апроксимації )()( 1
1
qi hOyR .
Для розв'язання (6) з ядром 0),( xxK використовується вираз
)()()()()(ˆ)()( 1
1
0,1
11
00
1
yR xyh yr xybh yr xyah dtty i
i
i
i
qj
q
jjq
qxi
,
q
j qj j
b1
1,0,1
1)( , )()( 2
1
qi hOyR .
Задача чисельного диференціювання. Задача полягає в тому, щоб знайти
)()( tfty , де функція f(t) – задана в дискретному вигляді. Якщо позначити
tt
dfy00
)()( , то розрахунок похідної зводиться до розв’язання рівняння
Вольтерра I роду (ядро дорівнює 1): tt
ftfdfy0
00
)()()()( . Шляхом
еквівалентних перетворень та введення в рівняння параметра регуляризації
отримуємо рівняння
)0()()(~)1()(~)(~
0
ftftyytyt
,
чисельна реалізація якого найбільш зручна при застосуванні методики, закладеної в
системі MATLAB/SIMULINK. Реалізована в системі MATLAB/SIMULINK модель у
випадку 1-ої похідної представлена на рис. 1.
Рис. 1. SIMULINK-модель процесу розрахунку 1-ої похідної від f(t)
13
Запропонований метод шляхом додавання до моделі додаткових контурів
інтегрування дозволяє покращити результати обчислень для визначення похідних
вищих порядків порівняно з штатними засобами MATLAB.
Частотний метод. Розроблено метод відновлення вхідного сигналу
динамічного об'єкта за його амплітудно-частотною характеристикою )(A і
значеннями )( iq tY квантованого сигналу на виході об’єкта в дискретні моменти часу
it на основі перетворення Гільберта та апроксимації його параболою порядку 1n .
Для підвищення точності обчислень запропоновано комбіноване використання
апроксимацій лінійними залежностями з постійним нахилом і параболічної
апроксимації. Використовуючи зв'язок між Фур'є-образами )( jY і )( jX вихідного
і вхідного сигналів )(ty і )(tx отримуємо розрахункові вирази:
deyjY j
0
)()( , )(
)()()(
A
ejYjX
j
,
0
)cos(Re2
)( dtjXtx .
У четвертому розділі «Програмні засоби розв'язання оберненої задачі
динаміки. Вирішення прикладних задач» представлена структура комплексу
програм в системі MATLAB;
виконано опис програмних
модулів, що реалізують
розроблені алгоритми; наведено
результати розв’язання
прикладних задач.
Для створення програм
застосовано моделююче
середовище системи MATLAB,
що надає можливість
використання модульного
принципу та ефективної
реалізації всіх видів
обчислювальних алгоритмів, що
запропоновані в роботі.
Комплекс складається з
дванадцяти основних модулів,
призначених безпосередньо для
вирішення задач ідентифікації і
відновлення вхідного сигналу
динамічних об'єктів, семи
модулів, що реалізують віконний
інтерфейс і забезпечують
діалоговий процес вирішення
модельних прикладів, а також
одинадцяти додаткових
підпрограм, що викликаються
основними модулями.
paramsMSM
Квадратурний алгоритм
ідентифікації
(інтегральна модель)
Оптимізаційний алгоритм
ідентифікації
(диференціальна модель)
Аналітичне представлення
експериментальних
залежностей
(різницева модель)
Відновлення вхідного
сигналу динамічного
об єкту
(інтегральна модель)
Оцінка точності розрахунків
Інтерполяційний алгоритм
ідентифікації динамічних
характеристик об єкта
paramsLM
MSM_general
inv_general
Основні функції комплексу
програмОсновні модулі
volt1Mod
volt1Trad
calcZ
calcPInvZ
polyCoef
coefH
errorMiddle2
errorMax
Рис. 2. Структура комплексу програм
14
Структура основних модулів розробленого пакету програм наведена на рис. 2.
Основні модулі розробленого пакета програм: MSM_general, inv_general – реалізація
інтегрального методу ідентифікації на основі методів найменших квадратів та
обернених матриць відповідно; paramsMSM, paramsLM – розрахунок параметрів
диференціального рівняння методами найменших квадратів та Левенберга-
Маркарда відповідно; calcZ, calcPInvZ − аналітичне представлення
експериментальних залежностей на основі зворотного z-перетворення передатної
функції з використанням методів найменших квадратів та псевдооберненої матриці;
polyCoef − визначення коефіцієнтів перехідної характеристики динамічного об'єкта;
coefH − розрахунок коефіцієнтів передатної функції на основі перетворення
Лапласа-Карсона; volt1Trad − розв’язання інтегрального рівняння Вольтерра I роду
на основі традиційного підходу; volt1Mod – реалізація модифікованого алгоритму
розв’язання інтегрального рівняння Вольтерра I роду на основі властивостей ядер,
що розділяються, з можливістю вибору типу ядра; errorMiddle2, errorMax –
розрахунок середньоквадратичної та максимальної абсолютної похибки вихідного
сигналу відповідно.
Для оцінювання ефективності інтегральних методів розв’язання зворотних
задач виконаний цикл обчислювальних експериментів. Зокрема розв’язується
типова тестова задача ідентифікації: задано вхідний сигнал 2.014)( 2 tetf ;
вихідний сигнал tety 21)( ; порядок моделі, для якої визначаються параметри,
m=5; початкові умови 5,1, iCi ; вектор точних значень 5,1, ipi . Параметри
моделі розраховано на інтервалі [0; 2] з кроком h=0,01. Значення вихідного сигналу
y(t) та )(~ ty , які отримані експериментально та за результатами моделювання
відповідно, час обчислень, максимальна абсолютна похибка розв’язку
)(~)( tytyy з урахуванням завад )sin()( ttkf наведено в таблицях 3, 4.
Таблиця 3
Результати застосування інтегрального методу ідентифікації, m=5, h=0,01
k ymax T, с 1p 2p 3p 4p 5p
0,01 0,000189 0,103491 0,023311 -6,49706 6,37588 15,83192 -0,23627
0,05 0,000310 0,089377 0,00475 -1,49317 5,514835 -6,05629 -0,2662
0,10 0,000340 0,084081 0,003691 -1,016305 5,387974 -7,63575 -0,32318
Таблиця 4
Результати застосування методу Левенберга-Маркарда, m=5, h=0,01
k ymax T, с 1p 2p 3p 4p 5p
0,01 0,055796 0,092078 129,9511 4971,802 5075,571 -8483,68 85,11122
0,05 0,111028 0,012793 128,5888 4742,03 2141,363 -13428,8 221,1721
0,10 0,113844 0,010860 125,861 4203,769 1789,687 -12070,3 382,1129
Результати проведення даного та інших експериментів свідчать про стійкість
та високу точність розроблених алгоритмів.
15
На основі алгоритмів реалізації інтегральних моделей розв’язано практичні
задачі: побудови теплодинамічної моделі резистивних структур; ідентифікації
ділянок довгих ліній (RC-об'єктів) та корекції динамічних спотворень вимірювача
теплових потоків. В додатках наведено А – опис алгоритму ідентифікації динамічних моделей з
запізненням, Б − тексти розроблених програм, В − документи впровадження результатів роботи.
ВИСНОВКИ
Основним результатом дисертаційної роботи є розвиток методів
математичного моделювання зворотних задач динаміки систем на основі
ефективного застосування інтегральних моделей у вигляді рівнянь Вольтерра І і ІІ
роду, створення обчислювальних алгоритмів і програмних засобів їх чисельної та
комп'ютерної реалізації, в тому числі отримано наступні результати.
1. На основі аналізу та систематизації зворотних задач динаміки, дослідження
властивостей та особливостей розглянутих видів динамічних моделей
запропоновано підхід щодо розвитку відповідних методів математичного
моделювання на основі використання і реалізації інтегральних моделей у вигляді
рівнянь Вольтерра І і ІІ роду, визначено їх функціональні можливості при
дослідженні різних класів задач, а також сформульовано особливості, що впливають
на вибір методів їх числового розв’язання; шляхом порівняльного аналізу пакетів
математичного моделювання, що використовуються на практиці, здійснено вибір
програмного середовища для розробки засобів забезпечення проведення необхідних
обчислювальних експериментів та розв’язання прикладних задач.
2. Запропоновано способи отримання інтегральних моделей, які є основою для
побудови алгоритмів розв’язання зворотних задач динаміки для досить широкого
класу динамічних об'єктів; розроблено інтегральні методи ідентифікації динамічних
об'єктів, що дозволяють отримати стійкі не оптимізаційні алгоритми обчислення
параметрів математичних моделей; запропоновано рекурентні способи
параметричної ідентифікації передатних функцій динамічних об'єктів при
довільному вхідному впливі (отримані параметри передатних функцій є також
коефіцієнтами відповідних диференціальних рівнянь, що дозволяє отримувати
еквівалентні математичні моделі у вигляді інтегральних рівнянь); набув подальшого
розвитку метод представлення дискретних функцій, отриманих експериментально, у
вигляді розв’язку однорідних лінійних різницевих рівнянь; дослідження алгоритмів,
що реалізують запропоновані методи ідентифікації, дозволяє зробити висновок про
їх ефективність в сенсі обсягу обчислень та простоти реалізації, а також високу
точність розрахунків параметрів моделі;
3. Розроблено квадратурні алгоритми чисельної реалізації лінійних
інтегральних моделей у вигляді рівнянь Вольтерра I роду, які забезпечують
необхідні точність і швидкодію процесу моделювання при відновленні вхідного
сигналу; використання параметра регуляризації та послідовне застосування операцій
інтегрування в задачах відновлення сигналів забезпечує стійкість розрахункових
алгоритмів; досліджено та модифіковано квадратурні алгоритми моделювання на
основі формул квадратур вищих порядків, запропоновані багатокрокові методи
16
відновлення вхідного сигналу динамічного об'єкта, які засновані на використанні
формул типу Адамса, що дозволяє підвищити точність розрахунків; запропоновано
метод чисельного диференціювання, що зводиться до розв’язання рівняння
Вольтерра I роду з підвищеною стійкістю та допускає реалізацію в системі
SIMULINK; розроблено частотний спосіб відновлення вхідних сигналів динамічних
об'єктів за заданими амплітудно-частотною характеристикою і масивом значень
дискретного вихідного сигналу (в рамках задачі відновлення розв’язуються задачі
знаходження фазо-частотної характеристики та передатної функції об'єкта,
використання даного методу дозволяє визначати вхідний сигнал на всьому інтервалі
частот); наводиться спосіб оцінки результатів відновлення вхідних сигналів.
4. На основі запропонованих алгоритмів вперше розроблено комплекс
прикладних програм для моделювання динамічних об'єктів з реалізацією
інтегральних моделей Вольтерра в середовищі MATLAB; застосування інтегральних
динамічних моделей і розроблені алгоритми та програмні засоби дозволили
ефективно розв’язати ряд прикладних задач, у тому числі задачу отримання
теплодинамічної моделі резистивних структур; задачу ідентифікації ділянок довгих
ліній (RC-об'єктів); задачу корекції динамічних спотворень вимірювача теплових
потоків. Результати, отримані в ході розв’язання перших двох задач, впроваджені в
проектно-ремонтній організації «Спецтестсервіс» і використовувалися, зокрема, при
діагностиці електронного устаткування цифрового зв'язку FCM-05.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Костьян Н. Л. Исследование интерполяционных алгоритмов компьютерной
идентификации динамических моделей по экспериментальным данным /
Н. Л. Костьян // Технологический аудит и резервы производства. – 2015. –
№ 2/5 (22). – С. 22–26. РІНЦ, Index Copernicus, EBSCO.
2. Kostian N. The Result of the Study for Solving Ill-conditioned Systems of Linear
Equations by a New Method / N. Kostian, I. Bilan, S. Gladun // Eastern European
Scientific Journal. – 2015. – vol. 2 – С. 155-158. РІНЦ.
3. Костьян Н. Л. Способы формирования передаточных функций приемника
теплового потока / Н. Л. Костьян, С. Ю. Протасов // Математичне та комп’ютерне
моделювання. Серія: Техн. науки : зб. наук. праць. – Кам’янець-Подільський :
Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2015. – Вип. 12. – С. 65-77.
4. Костьян Н. Л. Метод многократного интегрирования для исследования
систем при произвольном воздействии / Н. Л. Костьян // Вісник ЧДТУ. Серія: Техн.
науки : зб. наук. праць. – Черкаси : Черкаський державний технологічний
університет, 2014. – № 3. – С. 32–38.
5. Иванюк В. А. Способ построения динамической модели линейного объекта
по реакции на входное воздействие произвольной формы / В. А. Иванюк,
Н. Л. Костьян // Электронное моделирование : журнал. – 2014. – Т. 36. – № 3. –
С. 113–121.
6. Костьян Н. Л. Основные формы и особенности явных интегральных
динамических моделей / Н. Л. Костьян // Математичне та комп’ютерне
моделювання. Серія: Техн. науки : зб. наук. праць. – Кам’янець-Подільський :
Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2014. – Вип. 10. – С. 89–100.
17
7. Diachuk O. A. 175. The method and algorithms for identification of dynamic
objects on basis of integral equations / O. A. Diachuk, N. L. Kostyan, A. A. Sytnik,
F. A. Halmuhametova // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Техн.
науки : зб. наук. праць. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т
ім. І. Огієнка, 2013. – Вип. 9. – С. 52–67.
8. Костьян Н. Л. Метод аналитического представления экспериментальных
зависимостей / Н. Л. Костьян, О. А. Наконечная // Электронное моделирование :
журнал. – 2013. – Т. 35. – № 6. – С. 27–35.
9. Костьян Н. Л. Метод идентификации интегральных моделей линейных
динамических объектов / Н. Л. Костьян // Вісник ЧДТУ. Серія: Техн. науки : зб.
наук. праць. – Черкаси : Черкаський державний технологічний університет, 2013. –
№ 2. – С. 84–89.
10. Иванюк В. А. Способы формирования передаточных функций приемника
теплового потока / В. А. Иванюк, Н. Л. Костьян, А. И. Махович // Математичне та
комп’ютерне моделювання. Серія: Техн. науки : зб. наук. праць. – Кам’янець-
Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2013. – Вип. 8. –
С. 61–69.
11. Костьян Н. Л. Частотный способ восстановления сигнала на входе
линейного динамического объекта / Н. Л. Костьян, Б. С. Аскарходжаев,
В. В. Понедилок // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Техн. науки :
зб. наук. праць. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім.
І. Огієнка, 2012. – Вип. 7. – С. 88–94.
12. Костьян Н. Л. Применение многошаговых методов для решения задач
восстановления сигналов на входе динамических объектов / Н. Л. Костьян //
Інформаційні та моделюючі технології ІМТ 2015 : матеріали Всеукраїнської
науково-практичної конференції, Черкаси, 28–30 травня 2015 р. / Черкаси :
Черкаський національний університет імені Богдана Хмельницького, 2015. – С. 41.
13. Костьян Н. Л. Интерполяционные алгоритмы компьютерной идентификации
передаточных функций динамических систем / Н. Л. Костьян // Обробка сигналів і
негаусівських процесів : матеріали V Міжнародної науково-практичної конференції,
20–22 травня 2015 р. – Черкаси : Черкаський державний технологічний університет,
2015. – С. 41–43.
14. Одокиенко С. Н. Особенности применения интегральных моделей для
решения обратных задач динамики / С. Н. Одокиенко, Н. Л. Костьян // ІНТЕРНЕТ-
ОСВІТА-НАУКА-2014: матеріали дев’ятої міжнародної науково-практичної
конференції, 14–17 жовтня 2014 р. – Вінниця : Вінницький національний технічний
університет, 2014. – С. 138-140.
15. Костьян Н. Л. Применение метода многократного интегрирования для
исследования систем при произвольном воздействии / Н. Л. Костьян // Інформаційні
та моделюючі технології ІМТ 2014 : матеріали Всеукраїнської науково-практичної
конференції, Черкаси, 29–31 травня 2014 р. – Черкаси : Черкаський національний
університет імені Богдана Хмельницького, 2014. – С. 66.
16. Костьян Н. Л. Об одном методе аналитического представления
экспериментальных зависимостей / Н. Л. Костьян // Сучасні проблеми
математичного моделювання, прогнозування та оптимізації : тези доповідей VІ
18
Міжнародної наукової конференції, 4–5 квітня 2014 р. – Кам’янець-Подільський :
Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2014. –
С. 88–89.
17. Костьян Н. Л. Решение задачи идентификации интегральных моделей
линейных динамических объектов / Н. Л. Костьян // Інформаційні та моделюючі
технології ІМТ-2013 : матеріали Всеукраїнської науково-практичної конференції,
Черкаси, 17–19 травня 2013 р. – Черкаси : Черкаський національний університет
імені Богдана Хмельницького, 2013. – С. 17–18.
18. Костьян Н. Л. Об одном способе восстановления сигнала на входе
линейного динамического объекта / Н. Л. Костьян // Актуальні проблеми технічних
та соціально-гуманітарних наук у забезпеченні діяльності служби цивільного
захисту : матеріали Міжнародної науково-практичної конференції, 4–5 квітня 2013
року, м. Черкаси. – Черкаси : АПБ ім. Героїв Чорнобиля, 2013. – С. 376–394.
АНОТАЦІЯ
Костьян Н. Л. Методи і засоби формування та чисельної реалізації інтегральних моделей зворотних задач динаміки систем. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Черкаський державний технологічний університет, Черкаси, 2015.
Дисертаційна робота присвячена проблемі дослідження та подальшого розвитку методів розв’язання зворотних задач динаміки шляхом використання можливостей інтегральних динамічних моделей. На основі аналізу зворотних задач динаміки систем, а також підходів, методів та програмних засобів їх розв’язання розроблено методи формування та чисельної реалізації динамічних моделей у формі інтегральних рівнянь Вольтерра при розв’язанні задач ідентифікації та відновлення вхідних сигналів лінійних динамічних об'єктів; побудовано набір алгоритмів, що забезпечує створення програмних засобів з різними вимогами до точності результатів моделювання. На основі запропонованих алгоритмів розроблено комплекс прикладних програм для моделювання об'єктів і систем в середовищі MATLAB. Основні результати знайшли застосування в ряді практичних розробок.
Ключові слова: зворотні задачі, інтегральна динамічна модель, інтегральні рівняння Вольтерра, задача ідентифікації, задача відновлення вхідного сигналу, комп’ютерна реалізація, чисельні алгоритми.
АННОТАЦИЯ
Костьян Н. Л. Методы и средства формирования и численной реализации
интегральных моделей обратных задач динамики систем. – Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по
специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные
методы. – Черкасский государственный технологический университет, Черкассы,
2015.
Диссертационная работа посвящена проблеме исследования и дальнейшего
развития методов решения обратных задач динамики путем использования
возможностей интегральных динамических моделей.
19
Решение задач динамики проводится, как правило, в рамках некоторой
математической модели изучаемого объекта или системы, при формировании
которой традиционным подходом в настоящее время является применение
обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных
производных. Процедура решения обратных задач связана с определенными
математическими трудностями. Успех ее сильно зависит как от качества и
количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее
обработки. К обратным задачам динамики систем относят задачи: идентификации и
восстановления входных сигналов динамического объекта. Все большее усложнение
моделей и трудности при обработке экспериментальных данных приводят к
необходимости рассмотрения способов построения альтернативных форм
представления динамических моделей в виде интегральных уравнений типа
Вольтерра и дальнейшего развития методов решения обратных задач динамики.
Методы численной реализации интегральных динамических моделей имеют в
общем случае существенные отличия от широко распространенных методов
реализации динамических моделей в виде дифференциальных уравнений.
Преимуществами интегральных моделей является сглаживающие свойства
интегральных операторов, простота и высокая устойчивость численных операций
интегрирования.
Формирование интегральных моделей обратных задач динамики, разработка
алгоритмов и программных средств численного и компьютерной реализации
интегральных динамических моделей, представленных уравнениями Вольтерра, при
решении задач идентификации и восстановления входного сигнала динамического
объекта представляет собой актуальную научно-техническую задачу, которая до
настоящего времени решена в недостаточной степени.
Целью диссертационной работы является повышение эффективности методов
и средств математического моделирования при решении обратных задач динамики
на основе создания методов формирования, вычислительных алгоритмов и
программных средств компьютерной реализации интегральных динамических
моделей.
Достижение цели обеспечено благодаря решению следующих задач: анализ и
систематизация обратных задач динамики систем, а также подходов, методов и
программных средств их решения; обоснование подхода к решению обратных задач
динамики на основе интегральных динамических моделей; выбор программной
платформы для проведения исследований и создания специализированного
комплекса программ; разработка методов формирования и численной реализации
интегральных динамических моделей при решении задач идентификации
динамических объектов; построение и исследование способов обработки
экспериментальных данных для реализации методов идентификации; разработка и
программная реализация вычислительных алгоритмов решения задач
идентификации динамических объектов в интегральной постановке; разработка и
исследование методов и алгоритмов восстановления входных сигналов
динамических объектов на основе применения интегральных динамических моделей
в форме уравнений Вольтерра І рода с обеспечением устойчивых вычислительных
процессов на основе методов регуляризации и построение базового набора
20
алгоритмов, обеспечивающего создание программных средств с различными
требованиями к точности результатов моделирования; разработка комплекта
программ, реализующего предложенные методы и алгоритмы решения обратных
задач динамики; проведение вычислительных экспериментов по решению
модельных и практических задач.
Решение этих задач позволило разработать комплекс прикладных программ
для моделирования линейных объектов и систем посредством реализации
интегральных динамических моделей в среде MATLAB. Основные результаты
нашли применение в ряде практических разработок. Ключевые слова: обратные задачи, интегральная динамическая модель,
интегральные уравнения Вольтерра, задача идентификации, задача восстановления входного сигнала, компьютерная реализация, численные алгоритмы.
SUMMARY
Kostian N. L. Methods and tools for formation and numerical implementation of
integral models for inverse tasks of system dynamics. – Manuscript.
Thesis for the Candidate degree in technical science, majoring in 01.05.02 –
mathematical modeling and computational methods. – Cherkasy State Technological
University, Cherkasy, 2015.
The research work is devoted to the problem of research and further development of
methods for solving inverse tasks of dynamics through the use of integral dynamic models.
On the basis of analysis of inverse problems of system dynamics and approaches, methods
and software for their solving the methods for the formation and numerical
implementation of dynamic models in the form of Volterra integral equations in solving
tasks of identification and recovery of input signals of linear dynamic objects have been
developed; the set of algorithms that provides the creation of software with different
requirements for accuracy of modeling results has been created. On the basis of the
proposed algorithms the application package for modeling objects and systems in the
environment MATLAB has been developed. Basic results are adopted in a number of
practical works.
Keywords: inverse tasks, integral dynamic model, Volterra integral equations,
identification task, input signal recovering task, computer realization, numerical algorithms.
21
Підписано до друку 21.10.2015.
Формат 6084/16. Папір офсетний. Друк різографічний. Гарнітура Times.
Умовн.-друк. арк. 0,9. Обл.-вид. арк. 0,9. Тираж 100 пр. Зам. № 28-15.
Надруковано в редакційно-видавничому відділі
Східноєвропейського університету економіки і менеджменту
18036, м. Черкаси, вул. Нечуя-Левицького,16; тел. 64-70-55
Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до державного реєстру
видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції серія ДК № 3734
від 17 березня 2010 р.