kumpulan rumus matematika - idschool...fungsi kuadrat bentuk umum: ax bx c 0 2 + += cara menggambar...
TRANSCRIPT
-
Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
1
123
Kumpulan Rumus
MATEMATIKAtingkat SMA/MA/SMK
-
Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
2
PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum Persamaan Kuadrat:
2ax bx c 0+ + =
Akar-akar persamaan kuadrat:
2
1,2
b b 4acx
2a− ± −
=
Nilai Diskriminan: 2D b 4ac= −
Kriteria dari nilai diskriminan: mmm1. D ≥ 0 (Akar Real)
• D = 0 → Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar
• Dua akar berbeda: D > 02. D < 0 (Akar Imajiner/tidak real)
Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat:
1 2
1 2
1 2
bx x
ac
x xa
Dx x
a
+ = −
⋅ =
− = ±
Rumus lain terkait akar-akar persamaan kuadrat:
( )22 21 2 1 2 1 22
2
2
x x x x 2x x
b c2
a a
b c2
aa
+ = + −
= − −
= −
( ) ( )33 31 2 1 2 1 2 1 23
3
3 2
x x x x 3x x x x
b c b3
a a a
b bc3
a a
+ = + − +
= − − −
= − +
1 2
1 2 1 2
x x1 1x x x x
bc
++ =
= −
Susunan Persamaan Kuadrat Baru
Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya meliputi x1 dan x2 memiliki susunan persaman kuadrat seperti berikut.
( )2 1 2 1 2x x x x x x 0− + + ⋅ =
TIPS & TRIK IDSCHOOLRumus cepat persamaan kuadrat baru dengan
akar-akar persamaan kuadrat baru
Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka persamaan kuad-rat baru yang akar-akarnya:
Akar-akar Baru Rumus Cepat Persamaan Kuadrat Baru
1 2
1 1dan
x x 2cx bx a 0+ + =
1 2n x dan n x⋅ ⋅ 2 2ax nbx n c 0+ + =
1 2x n dan x n+ + ( ) ( )2a x n b x n c 0− + − + =
2 21 1x dan x ( )2 2 2 2a x b 2ac x c 0− − + =
1 22 1
x xdan
x x ( )2 2ac x b 2ac x ac 0⋅ − − + =
1 2 1 2x x dan x x+ ⋅ ( )2 2a x a b c x bc 0+ − − =
-
Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
3
FUNGSI KUADRAT
Bentuk umum: 2ax bx c 0+ + =
Cara Menggambar Kurva/Grafik Fungsi Kuadrat:
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.
2. Menentukan titik puncak melalui titik koor-dinat yang dinyatakan melalui rumus
b D
,2a 4a−
−
Hubungan nilai a, b, c, dan D dengan Kurva:
1. Nilai a berhubungan dengan bentuk kurva, apakah terbuka ke atas atau ke bawah:a. Untuk a > 0: kurva terbuka ke atasb. Untuk a < 0: kurva terbuka ke bawah
2. Nilai b berhubungan dengan letak posisi kurva, kriteria nilai b dan kurva ditunjukkan seperti gambar di bawah.
b > 0
b < 0
b = 0 b < 0
b = 0 b > 0
3. Nilai c berhubungan dengan titik potong den-gan sumbu y.a. Untuk nilai c > 0, memotong sumbu y positif.b. Untuk nilai c = 0, memotong sumbu y = 0.c. Untuk nilai c < 0, memotong sumbu y negatif.
4. Nilai D menujukkan jumlah titik potong kurva dengan sumbu x.a. Untuk nilai D > 0, kurva akan memotong
sumbu x pada dua titik.b. Untuk nilai D = 0, kurva akan menyinggung
sumbu x (memotong sumbu x pada dua titik).
c. Untuk nilai D < 0, kurva tidak memotong sumbu x.
Kriteria definit:1. Definit positif: a > 0 dan D < 02. Definit negatif: a < 0 dan D < 0.
CONTOH SOAL
1. Persamaan kuadrat (p − 1)x2 + 4x + 2p = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda. Maka nilai p yang memenuhi adalah ....A. p < −1 atau m > 2B. p ≤ −2 atau m > 1C. 1 < p < 2D. −2 < p < 1E. −1 < p < 2Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang berbeda maka nilai D > 0, sehingga
( )( )
( )( )
2
2
2
2
D 0
16 4 p 1 2p 0
16 4 2p 2p 0
16 8p 8p 0
8p 8p 16 0
p p 2 0
p 2 p 1 0
>
− − >
− − >
− + >
− − >
− − >
− + >
Harga nol: (p −2)(p + 1) = 0Diperoleh nilai p = 2 atau p = −1Mencari daerah yang memenuhi
+ + + + + +− − −
−1 2
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah −1 < p < 2.
Jawaban:E:
-
Pertidaksamaan
4
CONTOH SOAL
1. Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan 2
x 2 5 x 2 6− < − − adalah ....A. x < − 6B. − 6 < x < 0C. 0 < x < 6D. x < 0 atau x > 6E. x > 6Pembahasan:Misalkan: p = |x − 2|maka akan diperoleh pertidaksamaan kuadrat
( )( )
2
2
p 5p 6
p 5p 6 0
p 3 p 2 0
< −
− + <
− − < Harga nol: (p − 3)(p − 2) = 0 Diperoleh p = 3 atau p = 2 Daerah yang memenuhi pertidaksamaan
kuadrat.
+ + + + + +− − −
2 3 Sehingga, diperoleh hasil pertidaksamaan
berikut.
2 p 3
2 x 2 3
< <
< − <
Untuk | x − 2 | > 2
x 2 2
x 2 2 atau x 2 2x 2 2 atau x 2 2x 4 atau x 0
− >
− > − < −− > − < −> <
Syarat I
0 4
Untuk | x − 2 | < 3
x 2 3
3 x 2 33 2 x 3 2
1 x 5
− <
− < − <− + < < +
− < <
SIFAT-SIFAT PERTIDAKSAMAAN
Sifat-sifat pertidaksamaan:1. Jika a > b, maka
• a ± p > b ± p• ap > bp, p > 0• ap < bp, p < 0• a3 > b3
2. Jika a > b > 0, maka• a2 > b2
•1 1a b
<
3. Jika a > b dan b > c maka a > c4. Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Untuk a > 11. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x)
dan f(x) > 0, g(x) > 02. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x)
dan f(x) > 0, g(x) > 0
Untuk 0 < a < 11. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x)
dan f(x) > 0, g(x) > 02. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x)
dan f(x) > 0, g(x) > 0
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
1.
x, x 0
xx, x 0
>= − → > < −
4. 2 2x y x y< →
-
Pertidaksamaan
5
Syarat II
0 6
Gabungan antara syarat I dan syarat II
4 6
Jadi , h impunan penyelesaian untuk per t idaksamaan 2x 2 5 x 2 6− < − − adalah 0 < x < 6.
Jawaban C:
-
Relasi dan Fungsi
6
PENGERTIAN FUNGSI
1. Relasi dari A ke B disebut fungsi (pemetaan) jika setiap anggota A dipasangkan satu kali ke anggota B.
2. Domain, Kodomain, dan Range
A B
Domain Kodomain
Rang
e
a. Domain: daerah asalb. Kodomain: daerah kawanc. Range: daerah hasil
3. Jenis-jenis fungsi
a. Fungsi Injektif (Fungsi Into)
b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)
c. Fungsi Bijektif (Fungsi Korespondensi Satu-Satu)
FUNGSI KOMPOSISI
1. Simbol untuk komposisi fungsi adalah o (bundaran).
2. Fungsi komposisi h(x) = g o f (x) = g (f(x))
A B
f(x)
C
g(x)
h(x)
3. Fungsi komposisi h(x) = g o f (x) = g (f(x))4. Sifat-sifat fungsi komposisi
a. Tidak Komutatifb. Asosiatifc. Memiliki elemen identitas
FUNGSI INVERS
1. Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi tersebut merupakan fungsi satu-satu.
2. Invers f(x) dinotasikan f −1(x).
3. Jika y = f(x) maka x = f −1(y)
4. Fungsi invers untuk komposisi fungsi
-
Relasi dan Fungsi
7
5. Beberapa rumus cepat menentukan fungsi invers.
Fungsi f(x) Invers Fungsi f −1(x)
f(x) ax b= + 1 x bf (x)a
− −=
ax bf(x)
ax b+
=+
1 dx bf (x)cx a
− − +=−
nf(x) ax b= + n1 x bf (x)a
− −=
xf(x) a= 1 af (x) log x− =
pxf(x) a=
11 a pf (x) log x− =
af(x) log x= 1 xf (x) a− =
2f(x) ax bx c= + +2
1 1 b 4ac bf (x) xa 4a 2a
− −= ± + −
6. Sifat invers fungsi pada komposisi fungsi.
a. ( ) ( ) ( )( )1 1 1f g x g f x− − −=
b. ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1f g h x h g f x− − − −=
c. ( )( )( ) ( )( )( )1 1f g g x g g f x f(x)− −= =
d. ( )( )( ) ( )( )( )1 1f f g x g f f x g(x)− −= =
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui fungsi f(x) = x + 2 dan 3 x
g(x)2x 1
−=
+
maka ( ) ( )1f g x− adalah ....
A. x 6
5 2x−
−
B. x 62x 5
−−
C. x 6
2x 5+−
D. x 6
2x 5−+
E. 2x 5x 6
−+
Pembahasan:1. Mencari komposisi fungsi
( ) ( )( )
( )
f g (x) f g x
3 x2x 1
3 x2x 1
2 2x 13 x2x 1 2x 13 x 4x 2
2x 13x 52x 1
= +
= ++ +
− + +
2. Mencari invers dari komposisi fungsi yang telah diperoleh di atas (gunakan panduan rumus cepat).
( )
( ) 1
3x 5f g (x)
2x 1x 5
f g (x)2x 3
x 5 12x 3 1x 5
3 2x
−
+=
+− +
=−
− + −= ×
− −−
=−
Jawaban: A
-
Gradien dan Persamaan Garis
8
GRADIEN
1. Gradien merupakan nilai yang digunakan untuk menyatakan kemiringan suatu garis.
2. Kriteria nilai gradien:a. Condong ke kanan = positifb. Condong ke kiri = negatifc. Datar: 0d. Tegak: ∞
3. Cara menentukan nilai gradien:a. Persamaan garis y = mx + c Nilai gradien = mb. Persamaan garis ax + by + c = 0
Nilai gradien a
mb
= −
c. Melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)
Nilai gradien 2 12 1
y ym
x x−
=−
d. Sudut antara garis dengan sumbu x positif adalah α maka gradien nya dinyatakan melalui fungsi tangen, m = tan α.
4. Persamaan garis dengan gradien m yang melalui titik (x1, y1) adalah y − y1 = m(x − x1).
HUBUNGAN GRADIEN DUA GARIS
1. Hubungan gradien garis yang saling sejajar: m1 = m2
2. Hubungan gradien garis yang saling tegak lurus:
m1 × m2 = −1
3. Garis membentuk sudut α: 1 21 2
m mtg
1 m m−
α =+ ⋅
4. Jarak titik (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0
1 1
2 2
ax by cd
a b
+ +=
+
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Garis 2x + 3y = 6 saling tegak lurus dengan garis (1 − p)x − 6y = 7. Maka nilai p adalah ....A. −10B. −8C. −6D. −4E. −1Pembahasan:
Informasi di soal menerangkan bahwa kedua garis saling tegak lurus, maka m1 × m2 = −1.
Mencari nilai gradien garis 2x + 3y = 6:
12
m3
= −
Mencari nilai gradien garis (1 − p)x − 6y = 7:
2
1 pm
6−
=
Mencari nilai p:
1 2m m 1
2 1 p1
3 62 2p
118
2 2p 182p 16
16p
28
× = −−
− × = −
−=
− == −
= −
= −
Jadi, nilai p adalah −8.Jawaban: B
-
Program Linear
9
LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN PENYELESAIAN OPTIMUM
Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan soal program linear dengan metode titik sudut.1. Menggambar garis lurus pada soal yang mewakili
fungsi kendala dari soal yang diberikan.2. Menentukan daerah layak yang memenuhi.3. Menentukan titik-titik sudut perpotongan dua
garis yang memenuhi daerah layak.4. Menentukan nilai fungsi objektif pada setiap titik
sudut.a. Jika fungsi tujuan atau fungsi objektif
memaksimalkan maka pilih nilai yang paling besar.
b. Jika fungsi tujuan atau fungsi objektif meminimalkan maka pilih nilai yang paling paling kecil.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Seorang pedagang besar untuk perabot rumah tangga meja dan kursi akan membeli paling banyak 30 buah barang dagangan. Sebuah meja mempunyai harga senila Rp100.000,00 kemudian akan dijual seharga Rp115.000,00. Sedangkan sebuah harga dibeli dengan harga Rp50.000,00 kemudian akan dijual dengan har-ga Rp60.000,00. Jika pedagang tersebut mem-punyai modal sebesar Rp2.000.000,00 maka keuntungan maksimum yang akan diperoleh pedagang tersebut adalah ....A. Rp500.000,00B. Rp450.000,00C. Rp400.000,00D. Rp350.000,00E. Rp300.000,00
Pembahasan: Misalkan jumlah meja dan kursi yang akan
dibeli diwakilkan oleh dua variabel berikut, Meja = x Kursi = y Fungsi tujuan (fungsi objektif ): memaksimalkan fungsi f(x) = 15.000x + 10.000y Fungsi kendala: x + y < 30 100.000x + 50.000y < 2.000.000 →2x + y = 40
Menentukan daerah layak:
40
10
30
20
10
0
50
y
x20 30 40 50
A(0, 30)
B
C(20, 0)
10x + 5y = 200
x + y = 30
D(0, 0)
Mencari titik pojok dari daerah layak:a. Titik A (0, 30)b. Titik B (metode eliminasi dan substitusi) Mencari nilai x:
x y 302x y 40
+ =+ = −
x 10x 10
− = −=
Mencari nilai y:
x y 3010 y 30
y 30 10y 20
+ =+ =
= −=
c. Titik C (20, 0)d. Titik D (0, 0)Mencari nilai fungsi tujuan:
Titik Nilai fungsi tujuanf(x) = 15.000x + 10.000y
A (0, 30) f(x) = 15.000(0) + 10.000(30) = 300.000
B (10, 20 ) f(x) = 15.000(10) + 10.000(20) = 350.000
C (20, 0) f(x) = 15.000(20) + 10.000(0) = 300.000
D (0, 0) f(x) = 15.000(0) + 10.000(0) = 0
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diper-
oleh adalah Rp350.000,00.
Jawaban D
-
Trigonometri
10
SEGITIGA
1. Pembagian Kuadran
x
y
Kuadran IAll (+)
Kuadran II
Kuadran III Kuadran IV
Sin danCosec (+)
Tan danCotan (+)
Cos danSec (+)
2. Hubungan sisi segitiga dengan sudut α
α
ry
x
ysin
rα =
xcos
rα =
ytan
xα =
1 rsec
xcosα = =
α
1 rcosec
ysinα = =
α
1 xcotan
ytanα = =
α
TIPS & TRIK IDSCHOOLPerhatikan segitiga di bawah!
α
Sisi M
iring
Sisi Depan
Sisi Samping
Jembatan Keledai: SinDeMi CosSaMi TanDeSa
3. Identitas Trigonometri
sin2x + cos2x = 1
4. Aturan Sinus
a b Csin A sin B sin C
= =
AB
C
ba
c
5. Aturan Cosinus
AB
C
b
a
c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
= + − ⋅
= + − ⋅
= + − ⋅
JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
1. Rumus dua sudut trigonometri
( )sin sin cos cos sinα + β = α β + α β
( )sin sin cos cos sinα − β = α β − α β
( )cos cos cos sin sinα + β = α β − α β
( )sin sin cos cos sinα − β = α β + α β
( ) tan tantan1 tan tan
α + βα + β =
− α β
( ) tan tantan1 tan tan
α − βα − β =
+ α β
-
Trigonometri
11
2. Rumus sudut kembar
sin2 2sin cosα = α α
2 2cos2 cos sin2 1 2sin2 2cos 1α = α − α = − α = α −
2
2tantan2
1 tan
αα =
− α
sin2α sin2α
JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI
1. Jumlah dan selisih → perkali
( ) ( )1 1sin sin 2sin cos2 2
α + β = α + β α − β
( ) ( )1 1sin sin 2cos sin2 2
α + β = α + β α − β–
( ) ( )1 1cos cos 2cos cos
2 2α + β = α + β α − β
( ) ( )1 1cos cos 2sin sin
2 2α − β = − α + β α − β
2. Perkalian → jumlah dan selisih
( ) ( )2sin cos sin sinα β = α + β + α − β
( ) ( )2sin sin cos cos− α β = α + β − α − β
( ) ( )2cos sin sin sinα β = α + β − α − β
( ) ( )2cos cos cos cosα β = α + β + α − β
RUMUS SUDUT TENGAHAN
1 1 cossin
2 2− α
α = ±
1 1 coscos
2 2+ α
α = ±
1 sintan
2 1 cosα
α =+ α
1 1 costan
2 sin− α
α =α
1 1 costan
2 1 cos− α
α = ±+ α
LUAS SEGITIGA SEMBARANG
ABC
ABC
ABC
1L bc sin A
21
L ac sin B21
L ab sin C2
∆
∆
∆
= ⋅
= ⋅
= ⋅
A
B
C
b
c
a
SUDUT ISTIMEWA TRIGONOMETRI
1. Kuadran I
Sudut 0o 30o 45o 60o 90o
sin α 0 12
12
21
32
1
cos α 11
32
12
212
0
tan α 01
33
1 3 ∞
-
Trigonometri
12
2. Kuadran II
Sudut 120o 135o 150o 180o
sin α1
32
12
212
0
cos α12
− 1 22
−1
32
− –1
tan α 3− –11
33
− 0
3. Kuadran III
Sudut 210o 225o 240o 270o
sin α12
− 1 22
−1
32
− –1
cos α 1 32
−1
22
−12
− 0
tan α1
33
1 3 ∞
4. Kuadran IV
Sudut 300o 315o 330o 360o
sin α 1 32
−1
22
−12
− 0
cos α 12
12
21
32
1
tan α 3− –11
33
− 0
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Tentukan besar sudut sin 105o + sin 15o!Pembahasan:
o oo o
o o
120 90sin105 sin15 2sin cos
2 22sin60 cos45
1 12 3 2
2 21
62
+ = ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
-
Limit
13
LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. Hasil akhir substitusi dari x a
f(x)lim
g(x)→memiliki
bentuk tak tentu
00
a. Kerjakan dengan pemfaktoran:
( )( )x a x a
x a
x a f(x)F(x)lim lim
G(x) x a g(x)
f(x)lim
g(x)f(a)g(a)
→ →
→
− ⋅=
− ⋅
=
=
b. Kerjakan dengan L’ Hospital:
x a x a
F(x) F'(x)lim lim
G(x) G'(x)F'(a)G'(a)
→ →=
=
2. Hasil akhir substitusi dari xf(x)
limg(x)→∞ memiliki
bentuk ∞∞
n n 10 1 n 0
m m 1x0 1 m 0
0, n ma x a x ... a a
lim , n mb x b x ... b b
, n m
−
−→∞
<+ + + = =+ + + ∞ >
3. Bentuk [ ]xlim f(x) g(x)
→∞−
a. ( )2 2x b plim ax bx c ax px q 2 a→∞−
+ + − + + =
b. ( )( )2 2x 2ab plim ax b a x px q 2a→∞−
+ − + + =
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Persamaan dasar dalam limit fungsi trigonometri:
1. x 0
sinxlim 1
x→=
2.
x 0
sin ax alim
bx b→=
3. x 0
ax alim
sin bx b→=
4. x 0
tanxlim 1
x→=
5.
x 0
tan ax alim
bx b→=
6. x 0
ax alim
tan bx b→=
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nilai dari ( ) ( )2
2x 0
x x 2 sin x 1lim ...
x 2x 1→+ − −
=− +
A. 12
−
B. 14
−
C. 0D. 2E. 4Pembahasan:
( ) ( )
( )
2
2x 0
x 0
x x 2 sin x 1lim
x 2x 1
x 1lim
→
→
+ − −
− +−
=( ) ( )
( )x 2 sin x 1
x 1
+ −
− ( )
( ) ( )( )x 0
x 1
sin x 1lim x 2
x 1
2 12
→
−
−= +
−
= ×=
Jawaban: D
-
Turunan
14
RUMUS DASAR TURUNAN
1. Persamaan turunan
( ) ( ) ( )
h 0
f x h f xf ' x lim
h→+ −
=
2. Tabel fungsi dan turunannya
Funsi f(x) Turunan f’(x)
f(x) = k f’(x) = 0
f(x) = xn f’(x) = n⋅kxn−1
f(x) = u ± v f(x) = u’ ± v’
f(x) = u ⋅ v f(x) = u’v + uv’
uf(x)
v= ( ) 2
u'v uv'f ' x
v−
=
y = f(g(x)) y’ = f’(g(x)) ⋅ g’(x)
y = sin x y’ = cos x
y = cos x y’ = −sin x
PENGGUNAAN TURUNAN
1. Menentukan gradien (m) garis singgung Jika titik (x1, y1) terletak pada y = f(x) maka
gradien garis singgung di f(x1, y1) dapat diperoleh dengan persamaan m = f ’(x)
2. Menentukan nilia dan kriteria kurva (naik/turun, minimal/maksimal) a. Turun f’(x) < 0b. Naik f’(x) > 0c. Maksimal f’(x) = 0 f’’(x) < 0d. Minimal f’(x) = 0 f’’(x) > 0e. Titik belok f’’(x) = 0
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Fungsi ( )2x 3
f xx 1
+=
− akan turun untuk nilai x
yang memenuhi ....A. x < −1 atau x > 4B. x < −3 atau x > 1C. −1 < x < 1 atau 1 < x < 3D. −3 < x < 1 atau x > 1E. −3 < x < −1Pembahasan:
Syarat untuk fungsi turun adalah f’(x)
-
Integral
15
DEFINISI INTEGRAL
1. Simbol integral: ∫
2. Jika turunan fungsi F(x) adalah f(x) maka
f(x)dx F(x) C= +∫
3. Fungsi integral untuk eksponen dengan n ≠ 1 diberikan melalui persamaan di bawah.
n n 11x x dx Cn 1
+= ++∫
INTEGRAL TAK TENTU
Tabel rumus dasar pada integral tak tentu:
Fungsi f(x) Hasil Integral
nkx dx∫ n 11
k x Cn 1
+⋅ ++
1 1x dx dxx
− =∫ ∫ ln x C+
( ) ( )( )f x g x dx±∫ ( ) ( )f x dx g x dx±∫ ∫ sin x dx∫ cos x C− +
cos x dx∫ sin x C+
( ) sin ax b dx+∫ ( )1
cos ax b Ca
− + +
( ) cos ax b dx+∫ ( )1
sin ax b Ca
+ +
INTEGRAL TENTU
[ ] a
b
ab
f(x) dx F(x)
F(b) F(a)
=
= −
∫
JENIS INTEGRAL
1. Integral Substitusi
( )( ) ( ) ( )f g x g' x dx f u du=∫ ∫
2. Integral Parsial
u dv uv v du= −∫ ∫
INTEGRAL TRIGONOMETRI
1. sinx dx cosx C= − +∫
2. cosx dx sinx C= +∫3. tanx dx ln cosx C= − +∫4. 2sec x dx tanx C= +∫5. cotan x dx ln sin x C= +∫6.
aa cos bx dx sin bx C
b= +∫
7. a
a sin bx dx cos bx Cb
= − +∫
8. n n 11
sin x cos x dx sin x Cn 1
+⋅ = ++∫
9. n n 11
cos x sin x dx cos x Cn 1
+⋅ = − ++∫
10. 2cosec x dx cotanx C= − +∫11. sinx tanx dx sec x C⋅ = +∫
12. cosec x cotanx dx cosec x C⋅ = − +∫
13. 2dx
dx cot x Csin x
= − +∫
14. 2dx
dx tan x Ccos x
= +∫
-
Integral
16
APLIKASI INTEGRAL
1. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurvaa. Dibatasi Sebuah kurva
a b
y = f(x)
y
x
b
a
L f(x) dx= ∫
b. Dibatasi Dua Buah Kurva
f(x)
g(x)
y
xa b
( ) ( ){ }= −∫
b
a
L f x g x dx
2. Menghitung Volumea. Dibatasi sebuah kurva dan diputar pada
sumbu x
a b x
y = f(x)
y
x
y = f(x)
y
( )b 2
aV f(x) dx= π∫
b. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu x
a bx
y1 = f(x)
y
b x
y
y2 = g(x)
y1 = f(x)y2 = g(x)
( )( )b
2
a
V f x dx= ∫
c. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu y
c
d
x
y = f(x)
y
x
y = f(x)
y
( )d 2
cV f(y) dy= π∫
-
Integral
17
d. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu y
c
d
y
x
y1 = f(x)
y2 = g(x)
y
x
y1 = f(x)y2 = g(x)
( ) ( )( )d 2 2cV f(y) ( g(y) dx= π −∫ dy
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Perhatikan gambar di bawah!
0 a b c d
y
x
f(x)
g(x)
Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus ....
A. ( )b d c
a b bf(x) g(x) dx g(x) dx f(x) dx− + −∫ ∫ ∫
B. ( ) ( )b d
a bf(x) g(x) dx g(x) f(x) dx− + −∫ ∫
C. ( )d
af(x) g(x) dx−∫
D. ( )d d
a cf(x) g(x) dx g(x) dx− −∫ ∫
E. ( ) ( )b d
a cf(x) g(x) dx g(x) f(x) dx− + −∫ ∫
Pembahasan:
Bagi luas daerah menjadi beberapa bagian, seperti terlihat pada gambar di bawah.
{0 a b c d
y
x
f(x)
g(x)
( )b
a
f(x) g(x) dx−∫
( )c
b
f x dx∫ ( )d
b
g x dx∫
Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral pada soal yang diberikan adalah
( )
b d c
a b bf(x) g(x) dx g(x) dx f(x) dx− + −∫ ∫ ∫
Jawaban: A
TIPS & TRIK IDSCHOOL Rumus cepat menghitung luas daerah yang
dibatasi kurva yang memiliki bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0:
dengan D = b2 − 4ac
-
Lingkaran
18
BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
1. Bentuk umum persamaan lingkaran:
2 2x y Ax By C 0+ + + + =
2. Pusat lingkaran:
1 1Pusat A, B
2 2 = − −
3. Rumus jari-jari lingkaran:
- 2 2
1 1Jari jari(r) A B C
4 4= + −
PERSAMAAN LINGKARAN BERBEDA PUSAT
1. Persamaan Umum Lingkaran Pusat O(0,0) dan jari-jari r
y
r−r
r
−r
xO (0,0)
2 2 2x y r+ =
2. Persamaan Umum Lingkaran Pusat P(a,b) dan jari-jari r
r
y
b
a x
P (a,b)
( ) ( )2 2 2x a y b r− + − =
KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN
Kedudukan titik (x1, y1) terhadap lingkaran dengan persamaan 2 2x y Ax By C 0+ + + + = dapat dilihat dari hasil substitusi titik ke persamaan lingkaran, dengan kriteria seperti berikut ini.
Kedudukan Titik Kriteria
Di dalam lingkaran x12 + y12 + Ax1 + By1 + C < 0
Pada lingkaran x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0
Di luar lingkaran x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0
KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN
Kedudukan garis y = mx + c terhadap lingkaran dengan persamaan 2 2x y Ax By C 0+ + + + = dapat dilihat dari nilai diskriminan pada hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.
Kriteria kedudukan garis terhadap lingkaran adalah sebagai berikut.
Kedudukan Garis Kriteria
Memotong lingkaran di dua titik
D < 0
Menyinggung lingkaran(hanya ada satu titik potong)
D = 0
Tidak memotong lingkaran D > 0
-
Lingkaran
19
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
Diberikan dua buah lingkaran dengan pusat P1 dan P2 serta masing-masing lingkaran memiliki jari-jari berturut-turut r1 dan r2, dan r1 > r2,
Kedudukan Kriteria
Memiliki pusat sama | P1 P2 | = 0
Bersinggungan didalam lingkaran | P1 P2 | = r1 − r2
Lingkaran kecil terletakdi dalam lingkaran besar | P1 P2 | ≤ r1 − r2
Berpotongan di dua titik r1 − r2 < | P1 P2 | < r1 + r2Bersinggungan di luar lingkaran | P1 P2 | = r1 + r2
Tidak bersinggungan (saling lepas) | P1 P2 | > r1 + r2
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, −1) adalah ....
A. x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 B. x2 + y2 − 4x − 6y − 25 = 0 C. x2 + y2 − 4x − 6y − 13 = 0 D. x2 + y2 − 2x − 3y − 10 = 0 E. x2 + y2 + 2x + 3y + 25 = 0
Pembahasan: Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan
jari-jari r memiliki persamaan:
(x − 2)2 + (y − 3)2 = r2
Substitusi titik (5, −1) ke persamaan lingkaran (x − 2)2 + (y − 3)2 = r2 untuk mendapatkan nilai jari-jari.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x 2 y 3 r
5 2 1 3 r
3 4 r
9 16 r r 25
− + − =
− + − − =
+ − =
+ = → =
Sehingga, persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, −1) adalah
( ) ( )2 22 2
2 2
2 2
x 2 y 3 25
x 4x 4 y 6y 9 25
x y 4x 6y 4 9 25 0
x y 4x 6y 12 0
− + − =
− + + − + =
+ − − + + − =
+ − − − =
Jawaban:A
Mau kumpulan soal latihan yang lebih banyak lagi dan cara mengerjakannya?
Ayo kunjungi idschool.net
-
Irisan Kerucut
20
ELIPS
1. Bagian-bagian penyusun elips
a−a
b
−b
xO (0,0)
yLoctusRectum
Garis Arah(direktris)
Garis Arah(direktris)
Q
F1(−c,0) F2 (c,0)
Keterangan:Penyusun Elips Bagian
Pusat elips O
Sumbu mayor −a → a
Sumbu minor −b → b
Puncak elips −a, −b, a, b
Fokus elips F1 dan F2
2. Persamaan pada elips horizontal
Pusat O(0, 0)
a−a
b
−b
xO (0,0)
y
x
P (p, q)
y
p
qa satuan
b satuan
Pusat P(p, q)
Keterangan Elips Horizontal Pusat O(0, 0)Elips Horizontal
Pusat P(p, q)
Pusat O(0,0) P(p, q)
Fokus (±c, 0) (p ± c, q)
Panjang Sumbu Mayor 2a 2a
Panjang Sumbu Minor 2b 2b
Puncak (±a, 0) dan (0, ±b) (p ± a, q) dan (p, q ± b)
Bentuk umumpersamaan
2 2
2 2
x x1
a b+ = ( ) ( )
2 2
2 2
x p y q1
a b
− −+ =
Garis arah (direktris)2a
xc
= ±
2ax p
c= ±
Panjang Loctus Rectum22b
LRa
=22b
LRa
=
Eksentrisitasc
ea
=c
ea
=
-
Irisan Kerucut
21
3. Persamaan pada elips vertikal
Pusat O(0, 0)
y
P (p, q)
xa
bb satuan
a satuan
Pusat P(p, q)
a
−a
b−b xO (0,0)
y
Keterangan Elips Vertikal Pusat O(0, 0)Elips Vertikal Pusat P(p, q)
Pusat O(0,0) P(p, q)
Fokus (±c, 0) (p ± c, q)
Panjang Sumbu Mayor 2a 2a
Panjang Sumbu Minor 2b 2b
Puncak (±a, 0) dan (0, ±b) (p ± a, q) dan (p, q ± b)
Bentuk umumpersamaan
2 2
2 2
x x1
a b+ = ( ) ( )
2 2
2 2
x p y q1
b a
− −+ =
Garis arah (direktris)2a
yc
= ±
2ay q
c= ±
Panjang Loctus Rectum22b
LRa
=22b
LRa
=
Eksentrisitasc
ea
=c
ea
=
-
Irisan Kerucut
22
PARABOLA
1. Parabola dengan pusat O(0, 0)
x
y
F(p, 0)
garis arah (direktris)
Titik Fokus
Titik Puncak
y
xF(0, p)
garis arah(direktris)
Titik Fokus
Titik Puncak
Keterangan Parabola Horizontal Parabola Vertikal
Puncak O(0,0) O(0, 0)
Fokus (p, 0) (0, p)
Garis arah (direktris) x = −p y = −p
Bentuk UmumPersamaan
2y 4px= 2x 4py=
2. Parabola dengan puncak P(a, b)
y
x
F(a, b + p) garis arah(direktris)
Titik Fokus
Titik Puncaksumbu simetri
x = a
x
y
F(a+p, b)
garis arah (direktris)
Titik Fokus
Titik Puncak
a
bsumbusimetri
y = b
Keterangan Parabola Horizontal Parabola Vertikal
Puncak P(a, b) P(a, b)
Fokus (a+p, b) (a, b+p)
Garis arah (direktris) x = a − p y = b − p
Bentuk UmumPersamaan ( ) ( )
2y b 4p x a− = − ( ) ( )2x a 4p y b− = −
-
Irisan Kerucut
23
HIPERBOLA
1. Bagian-bagian penyusun hiperbola
F2(c, 0)
y
x
pusathiperbola
titik puncak
F1(−c, 0) A(−a, 0) B(a, 0)
garis arah(direktris)
garis arah(direktris)
C(0, b)
D(0, −b)
cb
a
2 2 2c a b= +
asimtotasimtot
-
Irisan Kerucut
24
2. Persamaan pada hiperbola denga pusat O(0,0)
F2(c, 0)
y
xF1(−c, 0) A(−a, 0)
B(a, 0)
C(0, b)
D(0, −b)
cb
a
Hiperbola Horizontal
F2(c, 0)
x
y
F1(−c, 0)
A(−a, 0)
B(0, a)
C(−b, 0) D(b, 0)cb
a
Hiperbola Vertikal
Persamaan terkait hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal
Keterangan HiperbolaHorizontalHiperbola
VertikalPusat O(0,0) O(0,0)
Fokus (±c, 0) (0, ±c)
Puncak (±a, 0) (0, ±a)
Garis arah(direktris)
2ax
c= ±
2ax
c= ±
Asimtot by
a= ±
by
a= ±
Eksentrisitas ce
a=
ce
a=
Loctus Rectum 22bLR
a=
22bLR
a=
Bentuk umumpersamaan
2 2
2 2
x y1
a b− =
2 2
2 2
x y1
b a− = −
-
Irisan Kerucut
25
3. Persamaan pada hiperbola denga pusat P(p, q)
Hiperbola Horizontal
F2
y
x
F1 A B
C
D
(p, q)ab
(p, q)
F2
x
y
F1
A
B
C D b
a
Hiperbola Vertikal
Keterangan HiperbolaHorizontalHiperbola
VertikalPusat P(p, q) P (p, q)Fokus (p ± c, q) (p, q ± c)Puncak (p ± a, q) (p, q ± a)
Garis arah (direktris)
2ay q
c= ±p
2ay q
c= ±
Asimtot ( )by q x pa
− = ± − ( )by q x pa
− = ± −
Loctus Rectum22b
LRa
=22b
LRa
=
Bentuk umumpersamaan
2 2
2 2
(x p) (y q)1
a b− −
− = ( ) ( )2 2
2 2
x p y q1
b a
− −− = −
-
Dimensi Tiga
26
BAGIAN-BAGIAN PADA DIMENSI
1. Diagonal Sisi: AF, AH, AC, BE, BG, BD, CF, CH, DG, DE, EG, dan FH
A B
CD
E F
GH
2. Diagonal Ruang: AG, EC, BH, dan DF
A B
CD
E F
GH
3. Bidang Frontal: ABFE, BCGF, CDHG, DAEH, ABCD, dan EFGH
A B
CD
E F
GH
4. Bidang Diagonal: BDHF dan ACGE
A B
CD
E F
GH
KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG
1. Kedudukan Titika. Kedudukan titik pada garis
A B
CD
E F
GH
Titik A terletak pada garis AB
b. Kedudukan titik di luar garis
A B
CD
E F
GH
Titik C terletak di luar garis AB
c. Kedudukan titik pada Bidang
A B
CD
E F
GH
Titik A terletak pada bidang ABCD
d. Kedudukan titik di luar bidang
A B
CD
E F
GH
Titik C terletak pada bidang ABCD
-
Dimensi Tiga
27
2. Kedudukan Garisa. Garis terletak pada bidang
A B
CD
E F
GH
Garis AB terletak pada bidang ABFE
b. Garis memotong bidang
A B
CD
E F
GH
Garis BC terletak pada bidang ABFE
c. Garis sejajar bidang
A B
CD
E F
GH
Garis GH terletak pada bidang ABFE
3. Kedudukan Bidanga. Berimpit
A B
CD
E F
GH
Bidang ABFE berimpit dengan bidang ABFE
b. Sejajar
A B
CD
E F
GH
Bidang ABFE sejajar dengan bidang ABFE
c. Berpotongan
A B
CD
E F
GH
Bidang ABFE berpotongan bidang ABCD
JARAK PADA DIMENSI TIGA
1. Jarak Titik ke Titika. Jika diketahui letak titik pada gambar kubus
(dimensi tiga) dapat menggunakan rumus pada theorema pythagoras.
2 2r a b= +b. Jika diketahui dua titik koordinat A(x1, y1, z1)
dan B(x2, y2, z2)
( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2AB x x y y z z= − + − + −
2. Jarak Titik ke Garis Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang
garis tegak lurus titik A ke garis g (proyeksinya titik A pada garis g).
A
A’g
-
Dimensi Tiga
28
3. Jarak Titik ke BidangJarak antara titik A ke bidang α adalah panjang garis tegak lurus dari titik A ke bidang α.
A
A’α
4. Jarak Garis ke Garis Jarak antara dua garis adalah panjang ruas
garis yang menghubungkan antara garis pertama dan garis kedua, di mana ruas garis tersebut tegak lurus dengan garis pertama dan garis kedua.
g
h
P
P’
5. Jarak Garis ke Bidang Jarak antara garis dan bidang merupakan jarak
antara garis dengan garis proyeksinya pada bidang.
Ag
A’
α
6. Jarak Bidang ke Bidang Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke
bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut.
α
β A
A’
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D terhadap bidang ACH adalah ....A. 2 cmB. 2 3 cmC. 3 cmD. 3 3 cmE. 4 3 cm
Pembahasan:Perhatikan gambar berikut!
H’6 cmA B
CD
E FGH
D’
Jarak titik D terhadap bidang ACH sama dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’.BD = diagonal bidang = 6 2 cmmaka
1DH' BD 3 2 cm
2DH 6 cm
= =
=
-
Dimensi Tiga
29
sehingga,
2 2
2 2
HH' DH DH'
6 (3 2)
1836
54
3 6 cm
= +
= +
= +
=
=
Selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)!
H
D
D’
H’
6 cm
3 2 cm
36 cm
Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh:
1 1·HH'·DD' ·DH'·DH
2 2HH'·DD' DH'·DH
DH'·DHDD'
HH'3 2·63 6
18 2 63 6 6
18 1218
12
2 3 cm
=
=
=
=
= ×
=
=
=
Jadi jarak D ke bidang ACH adalah DD’ = 2 3 cm
Jawaban: B
-
Eksponen & Logaritma
30
EKSPONEN
1. Sifat-sifat Eksponeni. ap ⋅ aq = ap + q
ii. ap : aq = ap − q
iii. (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp
vi. (ap)q = apq
v. p
p
1a
a− =
vi. q
p qpa a=
vii. p p pa b a b⋅ = ⋅
viii.
pp
p
a ab b
=
xi. p q pq pq1
a aa
= =
x. p q pqrrpqr
1a a
a= =
2. Grafik Fungsi Eksponena. Untuk nilai x > 1
y = ax
y
x
(0, 1)
0
b. Untuk nilai 0 < x 0 dan g(x) > 0
5. Pertidaksamaan Fungsi Eksponeni. Untuk a > 1
• Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)• Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x)
ii. Untuk 0 < a < 1• Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)• Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)
LOGARITMA
1. Sifat-Sifat Logaritmai.
a ylog x y a x= → = , dengan a > 0, a ≠ 1, dan x > 0
ii. a a alog xy log x log y= +
iii. a a axlog log x log y
y= −
iv. a p alog x p log x= ⋅
v.
ca
c
log blog b
log a=
vi. alog a 1=
vii. a log ba b=
viii. c
da d a ac dlog b log b log b
c= = ⋅
2. Persamaan Fungsi Logaritmai. ( ) ( ) ( ) ( ) a alog f x log g x f x g x= → =
ii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f xlog g x log h x g x h x= → =Syarat: f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x) > 0
-
Eksponen & Logaritma
31
3. Grafik Fungsi Logaritmaa. Untuk nilai 0 < a < 1
y = alog x
y
x(0, 1)
0
b. Untuk nilai a > 1
y = alog x
y
x(0, 1)0
4. Pertidaksamaan Logaritmai. Untuk 0 < a < 1
• Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0
• Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0
ii. Untuk a > 1• Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x)
dan f(x) > 0, g(x) > 0• Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x)
dan f(x) > 0, g(x) > 0
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. ( ) ( )2 23 3
3
log36 log4....
log 12
−=
A. 2B. 4C. 8D. 12E. 18
Pembahasan:
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 23 3
3
3 3 3 3
13 2
3 3
3
3 3
3
3 2 3 2
3
3 3
3
3
log36 log4
log 12
log36 log4 log36 log4
log 12
36log36 4 log
41
log 122
log 144 log 91
log 122
log 12 log 31
log 122
2 log 12 2 log 31
log 122
2 log 12
−
+ −=
⋅ =
⋅
=⋅
=⋅
⋅ ⋅=
⋅
⋅=
3
2 11
log 122
× ⋅
⋅
2 2 112
8
× ⋅=
=
Jawaban: C
-
Barisan & Deret
32
DERET ARITMETIKA
1. Beda = b = U2 − U1 = U3 − U2 = U4 − U3 = ....
2. ( )nU a n 1 b= + −
3. ( )
( )( )
n n
n
nS a U
2n
S 2a n 1 b2
= +
= + −
4. n n n 1U S S −= −
5. nta U
U2
+=
6. k l k l2
U U 2U ++ =
DERET GEOMETRI
1. Rasio = 32 41 2 3
UU Ur ...
U U U= = = =
2. n 1nU ar−=
3. ( )n
n
a r 1S
r 1
−=
−
4. n n n 1U S S −= −
5. t nU a U= ⋅
6. 2
k l k l2
U U U +
⋅ =
DERET GEOMETRI TAK HINGGA
1. Untuk deret geometri konvergen (mempunyai jumlah) dengan −1< r < 1, maka berlaku rumus jumlah deret geometri tak hingga berikut ini.
aS
1 r∞=
−
TIPS & TRIK IDSCHOOL
Jika di antara bilangan a dan p disisipkan n buah bilangan dan membentuk sebuah deret/
barisan geometri baru maka rasio deret/barisan tersebut dapat diketahui melalui rumus berikut.
n 1p
ra
+=
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Jumlah penduduk suatu kota setiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2069 nanti akan mencapai 3,2 juta orang. Pada tahun 2019, jumlah penduduk kota tersebut mencapai ... orang.A. 100.000B. 120.000C. 160.000
D. 200.000E. 400.000
Pembahasan: Misal: U1 = jumlah penduduk tahun 2019 Un = jumlah penduduk tahun 2069
Berdasarkan soal, diperoleh informasi seperti berikut.
r = 2 (Jumlah penduduk suatu kota setiap sepuluh tahun menjadi dua kali lipat)
n = 6 (Jumlah penduduk suatu kota setiap sepuluh tahun menjadi dua kali lipat)
Un = 3,2 juta orang (Menurut perhitungan, pada tahun 2069 nanti akan mencapai 3,2 juta orang)
Sehingga,
n 1n 1
6 11
51
1
U U r
3,2 juta U 2
3,2 juta U 2
3.200.000U 100.000 orang
32
−
−
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= = Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada
tahun 2019 mencapai 100.000 orang.
Jawaban:A
-
Logika Matematika
33
KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI, DAN EKUIVALENSI
1. Konjungsi (atau): ∧2. Disjungsi (dan): ∨3. Implikasi (jika ... maka ...): →4. Ekuivalensi ( ... bila dan hanya bila ...): ↔5. Nilai kebenaran untuk konjungsi, disjungsi,
implikasi, dan ekuiivalensi.
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q
B B B B B B
B S S S S S
S B S S B S
S S S S B B
IMPLIKASI, KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
p q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q→~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI DARI SUATU IMPLIKASI
p → q q → p
~p → ~q ~q → ~p
Konvers
Konvers
Invers InversKontraposisi
Sutau implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
SIFAT-SIFAT EKUVALENSI
1. p ∧ (q ∨ r) ≡ (q ∧ r) ∨ (q ∧ r)2. p ∨ (q ∧ r) ≡ (q ∨ r) ∧ (q ∨ r)3. p → q ≡ ~p ∨ q4. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q5. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q6. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q7. p → q ≡ (p → q) ∧ (q → p)8. p → q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)
PENARIKAN KESIMPULAN
1. Modus Ponen
1
2
P p q (benar)
P p (benar)
q (benar)
= →=
∴=
2. Modus Tollens
1
2
P p q (benar)
P ~ q (benar)
~ p (benar)
= →=
∴=
3. Silogisme
1
2
P p q (benar)
P q r (benar)
p r (benar)
= →= →
∴= →
-
Matriks
34
KOMPONEN MATRIKS
1. Susunan matriks: baris, kolom, diagonal
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
x x ... xx x ... x
X
x x ... x
=
Baris
KolomDiagonal
2. Ordo matriks: banyak baris × banyak kolom
OPERASI MATRIKS1. Penjumlahan dan Pengurangan
a. Am×n + Bm×n = Cm×nb. Berlaku sifat A + B = B + Ac. Am×n − Bm×n = Dm×nd. Contoh:
a b e f a e b fc d g h c g d h
+ + + = + +
a b e f a e b fc d g h c g d h
− − − = − −
2. Perkaliana. Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah
kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks ke dua.
m n n k m kA B C× × ×× =sama
b. A × B ≠ B × Ac. Contoh:
a b p q r ap bs aq bt ar buc d s t u cp ds cq dt cr du
+ + + × = + + +
DETERMINAN MATRIKS
1. Determinan Matriks Orda 2 × 2
a bA A ad bc
c d
= → = −
2. Determinan Matriks Orda 3 × 3
( ) ( ) ( )
a b cA d e f
g h i
a b cA d e f
g h i
e f d f d ea b c
h i g i g h
a ei hf b di gf c dh ge
=
=
= − +
= − − − + −
TIPS & TRIK IDSCHOOL
a b cA d e f
g h i
A aei bfg cdh gec hfa i
a bd eg h
db
=
= + + − − −
− − −+ + +
INVERS MATRIKS
1. 1a b d b1
A Ac d c aad bc
− − = → = −−
2. AX = B → X = A−1B3. XA = B → X = BA−1
4. A−1⋅A = I
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui matriks 1 2
A3 4
=
dan matriks AB
yang memenuhi persamaan 1 0
AB0 1
=
.
Matriks B yang dapat memenuhi persamaan tersebut adalah ....
A. 2 1
3 12 2
− − −
-
Matriks
35
B. 2 1
3 12 2
− −
C. 2 1
3 12 2
−
D. 2 1
3 12 2
− −
E.
2 13 12 2
− −
Pembahasan:
1
1 0AB AB I
0 1
B A−
= → =
=
Mencari Invers A:
1
1 2A
3 4
4 21A
3 14 6
4 213 12
2 13 12 2
−
=
−
= −− −
= −− −
= −
Jawaban: D
2. Jika 1 2
B3 5
=
dan 1
2 1AB
4 3− =
maka A = ....
A. 5 9
13 23
B. 13 59 23
C. 5 39 13
D. 9 5
12 3
E. 3 59 23
Pembahasan:
1
1
2 1AB
4 3
2 1 1 2AB B
4 3 3 5
2 1 1 2A I
4 3 3 5
2 3 4 5 5 9A
4 9 8 15 13 23
−
−
=
⋅ =
⋅ =
+ + = = + +
Jawaban A:
-
Transformasi Geometri
36
PENCERMINAN
1. Pencerminan Terhadap Sumbu-x
( ) → = = = − − Sumbu ' 1 0, '
' 0 1x a a aA a b A
b b b
Matriks Transformasi:
y
x
A’(a,b)
A(a,–b)
a
b
–b
0
2. Pencerminan Terhadap Sumbu-y
y
x
A’(–a,b) A(a,b)b
a–a 0
( )− −
→ = = =
Sumbu ' 1 0, '' 0 1
y a a aA a b Ab b b
Matriks Transformasi:
3. Pencerminan Terhadap Garis y = x
( ) = → = = =
garis ' 0 1, '' 1 0
y x a a bA a b Ab b a
y = x
x
A(b, a)
A(a,b)
a
a b0
b
y
Matriks Transformasi:
4. Pencerminan terhadap Garis y = − x
y = –x
x
A(–b, –a)
A(a,b)
–aa–b
0
b
y
( ) =−− −
→ = = = − − garis ' 0 1, '
' 1 0y x a a bA a b A
b b a
5. Pencerminan Terhadap Titik Asal O(0, 0)
( ) ( )− −
→ = = = − −
titik 0,0 ' 1 0, '' 0 1
O a a aA a b Ab b b
x
A(–a, –b)
A(a,b)
–a a
–b
0
b
y
6. Pencerminan Terhadap Garis x = h
( ) =−
→ = =
garis ' 2, ''
x h a h aA a b Ab b
x
A’(2h – a, b)A(a,b)
2h – aa0
b
y
x = h
-
Transformasi Geometri
37
ROTASI/PERPUTARAN
1. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α
α αα α
− = =
' cos sin'
' sin cosa a
Ab b
x
y
α
P(a,b)
P(a’, b’)
O(0,0)
2. Rotasi dengan Pusat P(m, n) sebesar α
x
y
α
A(a,b)
A’(a’, b’)
P(m,n)
α αα α
− − = = + −
' cos sin'
' sin cosa a m m
Ab b n n
3. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α kemudian diteruskan sebesar β
x
y
α
A(a,b)
A’(a’, b’)
O(0,0)
β
A’’(a’’, b’’)
( ) ( )( ) ( )α β α βα β α β
+ − + = = + +
cos sin''''
sin cos''a a
Ab b
4. Rotasi dengan Pusat P(m, n) sebesar α kemudian diteruskan sebesar β
'' cos( ) sin( )''
'' sin( ) cos( )a a m m
Ab b n n
α + β − α + β − = = + α + β α + β −
x
y
α
A(a,b)
A’(a’, b’)
P(m,n)
β
A’’(a’’, b’’)
DILATASI
1. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala m
x
y
A
Bc
A’
B’
= = =
' 0'
' 0a m a am
Ab m b bm
2. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) den-gan faktor skala m
x
y
A
BP(k,l)
A’
B’
− = = + −
' 0'
' 0a m a k k
Ab m b l l
-
Vektor
38
PENYAJIAN VEKTOR
1. Bentuk Analitik
x ai djy bi ejz ci fj
= += += +
2. Bentuk Komponen
x a d x a dy b e y b ez c f z c f
+ = + → = + +
3. Penyajian Vektor pada bidang kartesius
5u
3
=
5v
3−
=
5w
5−
= −
5 sat. ke kanan
3 sat. ke atas
3 sat. ke atas
5 sat. ke kiri
5 sat. ke kiri
5 sat. ke bawah
Keterangan:
a. Tanda positif (+): arah vektor ke kanan atau ke atas
b. Tanda negatif (−): arah vektor ke kiri atau ke bawah.
VEKTOR POSISI DAN PANJANG VEKTOR
1. Vektor Posisi pada Dimensi Dua
1
2
xOP p
y
= =
y1
x1
y
xp
2. Vektor Posisi pada Dimensi Tiga
1
1
1
xOA a y
z
= =
z1
x1
z
x
ya
3. Panjang Vektor
VektorVektor Posisi Panjang Vektor
p
p (x, y)=
2 2p x y= +
a
b
1 1a (x , y )=
2 2b (x , y )=
( ) ( )2 22 1 2 1AB x x y y= − + −
q
q (x, y, z)=
2 2 2q x y z= + +
c
d
1 1 1c (x , y , z )=
2 2 2d (x , y , z )=
( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1CD x x y y z z= − + − + −
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR
1. Penjumlahan Vektor
2 22 cosa b a b a b+ = + + α
A A
B B
a x i y j
b x i y j
= +
= +
( ) ( )A B A Ba b x x i y y j+ = + + +
2. Pengurangan Vektor
2 22 cosa b a b a b− = + − α
( ) ( )A B A Ba b x x i y y j− = − + −
A A
B B
a x i y j
b x i y j
= +
= +
-
Vektor
39
PERKALIAN VEKTOR1. Sifat-sifat perkalian
a. =
ka akb. ( ) ( )− = − k a k ac. =
ka k a
d. ( ) ( )= km a k ma , ∈,k m Re. ( )+ = +
k m a ka ma , ∈,k m R
f. ( )+ = + k a b ka kb2. Sifat-sifat Perkalian Dua Vektor
a. ⋅ = ⋅
a b b a
b. ( )⋅ + = ⋅ + ⋅ a b c a b a cc. ( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ = ⋅ k a b ka b a kbd. ⋅ =
2a a a
PEMBAGIAN/PERBANDINGAN VEKTOR
1. Perbandingan Vektor di Dalam
P
A
B
m
n
m B n Ap
m n⋅ + ⋅
=+
2. Perbandingan Vektor di Luara. Titik pembagi berada sebelum ruas garis
AP
Bm
n
m B n Ap
m n− ⋅ + ⋅
=− +
PA : PB m : n
AP : PB m : n
=
= −
b. Titik pembagi berada setelah ruas garis
BA P
m
n
m B ( n) Ap
m n⋅ + − ⋅
=−
AP : BP m : n
AP : PB m : n
=
= −
CONTOH SOAL PEMBAHASAN
1. Titik sudut segitiga PQR adalah P(3, 0, 6), Q(0, −3, −3), dan R(1, 0, −4). Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2. Titik B merupakan titik yang berada di tengah-tengah ruas garis PR. Sedangkan titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1. Nilai perbandingan panjang AB : BC adalah ....A. 1 : 3B. 3 : 1C. 1 : 2
D. 2 : 1E. 2 : 3
Pembahasan: Ilustrasi segItiga pada soal dapat dilihat pada
gambar di bawah.
P(3, 0, 6)
Q(0, 3, −3)
A
B
C
2
1
11
2
−1
R (1, 0, −4)
Mencari titik koordinat A:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3,0,6 0,3, 3A
2 16,0,12 0,3, 3
A3
6 0,0 3,12 ( 3)A
36,3,9
A 2,1,33
+ −=
++ −
=
+ + + −=
= =
-
Vektor
40
Mencari titik koordinat B:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3,0,6 1,0, 4B
1 13 1,0 0,6 ( 4)
B2
4,0,2B 2,0,1
2
+ −=
++ + + −
=
= =
Mencari titik koordinat C:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1,0, 4 ( 1) 0,3, 3C
2 12,0, 8 0, 3,3
C1
2 0,0 3, 8 3C
12, 3, 5
C 2, 3, 51
− + − −=
−− + −
=
+ − − +=
− −= = − −
Panjang AB:
( ) ( )( )( )
2 2 2
AB B A
AB 2,0,1 2,1,3
AB 2 2,0 1,1 3
AB 0, 1, 2
AB 0 ( 1) ( 2)
AB 0 1 4 5 satuan
= −
= −
= − − −
= − −
= + − + −
= + + =
Panjang BC:
( ) ( )( )( )
2 2 2
BC C B
BC 2, 3, 5 2,0,1
BC 2 2, 3 0, 5 1
BC 0, 3, 6
BC 0 ( 3) ( 6)
0 9 36
BC 45 9 5 3 5 satuan
BC
= −
= − − −
= − − − − −
= − −
= + − + −
= + +
= = × =
Sehingga, perbandingan AB : BC adalah
AB 5BC 3 5AB 1
AB : BC 1: 3BC 3
=
= → =
Jawaban: A
-
Statistika dan Peluang
41
STATISTIKA
1. Mean, Median, dan Modus Data Kelompoka. Mean: rata-rata
1 1 2 2 n n
1 2 n
x f x f ... x fx
f f ... f+ + +
=+ + +
n
i i1 1 2 2 n n i 1
n1 2 n
ii 1
x fx f x f ... x f
x atau xf f .... f f
=
=
+ + += =
+ + +
∑
∑
b. Median: nilai tengah data setelah diurutkan
k
2i
1n f
2Me Q Tb pf
− = = +
c. Modus: nilai yang paling sering muncul (mempunyai frekuensi paling tinggi).
1
1 2
dMo Tb p
d d
= + +
2. Rumus Kuartil, Desil, dan Persentila. Data Tunggal
• KuartilJenis
KuartilRumus KuartilData Tunggal
Kuartil Bawah ( )1 1 n 14
Q x+
=
Kuartil Tengah ( )2 1 n 12
Q x+
=
Kuartil Atas ( )3 3 n 14
Q x+
=
• Desil
( )i
i n 1D datake
10+
= −
• Persentil
( )i
i n 1P datake
100+
= −
b. Data Kelompok• Kuartil
k
ii
in f
4Q Tb pf
− = +
• Desil
k
ii
in f
10D Tb pf
− = +
• Persentil
k
ii
in f
100P Tb pf
− = +
PELUANG
1. Permutasia. Rumus Permutasi k unsur dari n unsur
( )n k
n!P , k n
n k != ≤
−
-
Statistika dan Peluang
42
b. Rumus Permutasi a dan b unsur dari n unsur
n!P
a!b!=
c. Permutasi siklik
( )P n 1 != −
2. Kombinasi
( )
n kn k
Pn!C , k n
n k !k ! k != = ≤
−
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Dalam sebuah kotak ada 4 bola merah dan 3 bola hitam. Dari dalam kotak tersebut diambil satu buah bola pertama dan satu buah bola kedua secara berturut-turut tanpa pengembalian. Peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua putih adalah ....
A. 27
B. 37
C. 57
D. 25
E. 35
Pembahasan:A : kejadian terambilnya sebuah bola merah
pada pengambilan pertama
4
P(A)7
=
B : kejadian terambilnya sebuah bola hitam pada pengambilan kedua
( ) 3 1P B | A
6 2= =
Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua hitam adalah:
( ) ( )
( )
( )
P A B P(A)·P B | A
4 1P A B ·
7 22
P A B7
∩ =
∩ =
∩ =
Jawaban: A
2. Perhatikan tabel di bawah!
Berat Badan Frekuensi
50 – 54 4
55 – 59 6
60 – 64 8
65 – 69 10
70 – 74 8
75 – 79 4
Kuartil atas dari data pada tabel adalah ....A. 69,50B. 69,78
C. 70,08D. 70,78
E. 71,08
Pembahasan:Kuartil atas = Q3Jumlah data = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 + 4 = 40
Letak kuartil atas (Q3) pada data ke 3
40 304
= × =
Perhatikan tabel yang sudah dilengkapi dengan frekuensi komulatif kurang dari (fkk) dan letak kuartil atas.
Berat Badan Frekuensi fkk
50 – 54 4 4
55 – 59 6 10
60 – 64 8 18
65 – 69 10 28
70 – 74 8 36
75 – 79 4 40
Letak Q3fi = 36
Tb = 70 – 0,5 = 69,5
fkk sebelumkelas Q3
panjangkelas (p = 5)
Sehingga, nilai kuartil atasnya adalah:
3
3
3
3
3·40 28
4Q 69,5 536
30 28Q 69,5 5
36
2Q 69,5 5
36Q 69,5 0,28 69,78
− = + ×
− = + × = + ×
= + =
Jawaban: B