kumpulan soal geometri
TRANSCRIPT
BAB II
TEMPAT KEDUDUKAN
Jarak Antara Dua Titik
1. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 4, B = 3, C = -2
a. Jarak antara titik AB
b. Jarak antara titik AC
c. Jarak antara titik BC
Jawab
Jarak antara titik pada garis =
a.
a.
c.
2. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 2, B = 1, C = -2
a. Jarak antara titik AB
b. Jarak antara titik AC
c. Jarak antara titik BC
Jawab
Jarak antara titik pada garis =
a.
a.
c.
Hubungan Koordinat Cartesius dan Kutub
1. Diketahui koordinat cartesius titik tentukan koordinat kutib titik
P?
Jawab :
Koordinat cartesius titik maka dan
karena titik P berada dikuadran IV maka :
Jadi koordinat kutub titik P adalah
2. Diketahui koordinat kutub titik tentukan koordinat cartesius titik
A ?
Jawab
Koordinat kutub titik maka dan
Jadi koordinat cartesius titik A adalah
Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain
1. Misalkan diketahui titik dan dan titik T terletak pada ruas
garis AB dengan perbandingan . Tentukan koordinat tikik T
Jawab :
Jadi koordinat titik
2. Misalkan diketahui titik dan dan titik T terletak pada ruas
garis AB dengan perbandingan . Tentukan koordinat tikik T
Jawab :
Jadi koordinat titik
Jarak Antara Dua Titik
1. Diketahui dua buah titik A(2,4) dan B(8,8). Tentukan jarak antara kedua titik ?
Jawab :
2. Diketahui dua buah titik A(5,7) dan B(6,3). Tentukan jarak antara kedua titik ?
Jawab :
Tempat Kedudukan Titik pada ruang
1. Tentukan jarak dari titik pusat O ke titik P bila :
a. P(4,3,2)
b. P(-2,3,6)
Jawab :
Titik asal dan
a. P(4,3,2)
b. P(-2,3,6)
2. Tentukan jarak titik A ke titik B bila :
a. A(4,2,2) dan B(2,1,1)
b. A(1,2,0) dan B(2,1,0)
Jawab :
Titik asal dan
a. A(4,2,2) dan B(2,1,1)
b. A(1,2,0) dan B(2,1,0)
Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain pada Ruang
1. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(1,2,0) dan B(5,-8,-1) dan
C(1,3,1). Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi
BC. Tentukan koordinat titik D.
Jawab :
Berdasarkan dalil garis bagi maka :
Jadi koordinat titik D(1,4625;1,728;0,768)
2. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(3,6,9) dan B(4,8,12) dan C(1,3,1).
Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi BC.
Tentukan koordinat titik D.
Berdasarkan dalil garis bagi maka :
Jadi koordinat titik D(3,1;6,5;5,9)
3. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(3,4,1), B(7,-8,-2) dan
C(2,4,1). Tentukan titik berat segitiga ABC ?
Jawab :
4. Tunjukan bahwa ketiga titik berikut segaris A(2,5,-4) B(1,4,-3) dan C(4,7,-6)
Jawab :
Karena BC = AB + AC maka titik-titik tersebut segaris
BAB III
GARIS PADA BIDANG
1. Misalkan diketahui persamaan garis :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik pangkal O(0,0) dan titik potong
garis .
Jawab :
Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik potong kedua garis
dan gunakan persamaan berkas garis
Merupakan persamaan garis yang melalui titik potong garis dan , karena
garis yang diminta melalui titik pangkal O(0,0) maka .
Maka
Substitusi ke persamaan (1) maka :
Jadi persamaan garis adalah
2. Misalkan diketahui titik A(4,1) dan garis . Tentukan jarak
dari titik A ke garis g.
Jawab :
3. Misalkan diketahui titik A(4,2) tentukan persamaan garis yang melalui titik A
dan bersudut 450 dengan garis
Jawab :
Misalkan persamaan garis yang dimaksud berbentuk
Garis membentuk sudut 450 berarti
Garis melalui titik A(4,2) berarti koordinat titik A memenuhi persamaan
garis :
Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah
B. GARIS PADA RUANG
1. Diketahui dua buah titik A(3,4,1) dan B(1,7,2) tentukan persamaan garis
melalui titik A dan B.
Jawab :
Maka persamaan garis AB melalui titik A adalah
Vector cosinus arah garis adalah
BIDANG
1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier melalui titik A(3,2,1) dan
B(-1,-2,6) dan C(1,7,2)
Jawab :
Persamaan parameter
Persamaan linier :
2. Tentukan persamaan bidang melalui ketiga titik (3,4,1) (-1,-2,5) dan (1,7,2)
Jawab :
3. Tentukan sudut antara bidang 2x + 3y + 6z + 9 =0 dan bidang 3x + 2y + 2z – 8
= 0
Jawab :
4. Apakah empat titik (4,2,1) (-1,-2,2) (0,4,-5) (½,½,0) sebidang dan tentukan
persamaan liniernya ?
Jawab :
Empat titik akan sebidang jika dan hanya jika :
Titik (4,2,1) (-1,-2,2) (0,4,-5) (½,½,0) maka
Karena determinannya nol maka keempet titik tersebut sebidang.
Persamaan linier :
5. Tentukan persamaan linier bidang melalui (6,-4,8) dan tegak lurus garis
Jawab :
Persamaan linier bidang rata :
6. Tentukan persamaan linier bidang :
a. Melalui (3,-6,-8) yang horizontal
Jawab :
Maka
Persamaan liniernya adalah :
b. Sejajar sumbu z memotong sumbu x positif sebesar 4, memotong sumbu y
negative sebesar 6.
Jawab :
- bidang memotong sumbu x positif di (4,0,0)
- bidang memotong sumbu y negarif di (0,-6,0)
- bidang memotong sumbu z positif di (0,0,2)
c. Melalui (6,-4,8) tegak lurus
Jawab :
Persamaan linier bidang :
d. Melalui (-3,-6,-9) tegak lurus garis yang melalui (-6,6,12) dan (10,8,2)
Jawab :
Kemudian garis g menghubungkan (-6,6,12) dan (10,8,2)
Karena bidang w tegak lurus garis g maka
sehingga persamaan bidang :
e. Tegak lurus potongsn garis P(-4,4,-6) dan Q(12,8,5)
Jawab :
7. Tentukan persamaan linier bidang :
a. melalui (-2,4,8) dan sejajar bidang rata
Jawab :
b. Sejajar bidang rata dan berjarak 2 dari titik asal
(0,0,0)
Jawab :
c. Sejajar bidang rata dan berjarak 5 dari titik (5,2,-2)
Jawab
Persamaan liniernya :
8. Tentukan titik potong ketiga bidang berikut :
Jawab :
Dari persamaan (1) dan (2)
Dari persamaan 2 dan 3
Dari persamaan 4 dan 5
Substitusi persamaan (6) ke persamaan (5)
Substitusi persamaan (7) ke persamaan (1)
LINGKARAN DAN BOLA
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 5 cm
Jawab :
Lingkaran brpusat di (0,0) dan berjari-jari 5 mempunyai persamaan
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 12 cm
Jawab :
Lingkaran brpusat di (0,0) dan berjari-jari 12 mempunyai persamaan
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Jawab :
Persamaan lingkaran :
Pusat lingkaran :
Jari-jari lingkaran :
4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari-jari 4
Jawab :
5. Tentukan persamaan bola yang berpusat di (4,6,-2) berjadi-jari 8
Jawab :
Persamaan bola :
6. Tentukan persamaan bola yang mempunyai diameter ruas garis yang
menghubungkan (2,1,-3) dan (2,-2,5)
Jawab :
Diameter bola
Jari-jari bola
Pusat bola merupakan titik tengah diameter AB, berarti koordinat titik pusat
bola adalah
Persamaan bola :
7. Tentukan persamaan bola yang berpusat (-4,4,6) melalui titik (6,8,-2)
Jawab :
Melalui titik (6,8,-2)
Persamaan bola
8. Tentukan persamaan bola melalui empat titik A(1,1,1) B(1,2,1) C(1,1,2)
D(2,1,1)
Jawab :
Persamaan bola
Melalui titik (1,1,1)
Melalui titik (1,2,1)
Melalui titik (1,1,2)
Melalui titik (2,1,1)
Eliminasi Persamaan (1) dan (2)
Eliminasi Persamaan (2) dan (3)
Substitusi persamaan (5) ke (6)
Eliminasi persamaan (3) dan (4)
Substitusi nilai A,B, C ke persamaan (1)
Maka persamaan bola adalah :
9. Tentukan koordinat pusat dan jari-jari bola
Jawab :
A = 4, B = -6, C = 8, D = 29
Pusat bola
Jari-jari bola
8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang tegak
lurus garis
Jawab :
maka
Misal garis singgungnya adalah g maka
Persamaan garis singgung :
9. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
a. mempunyai gradient 3
b. membentuk sudut 60o terhadap sumbu X
c. sejajar dengan garis 3x – 4y + 10 = 0
Jawab :
a. mempunyai gradien 3 maka persamaan garis singgung :
b. membentuk sudut 60o maka
Persamaan garis singgung :
c. sejajar garis
Persamaan garis singgung adalah :
10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang
sejajar dengan garis
Jawab :
Lingkaran berpusat di (1,-2) dan jari-jari 3.
Persaman garis singgung :
11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (-2,1)
Jawab :
Persamaan garis singgung
12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (2,2)
Jawab :
Persamaan garis singgung :
13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di
titik (7,2)
Jawab :
Persamaan garis singgung :
14. Tentukan persamaan garis singgung bola di titik (2,2,2)
Jawab :
15. Tentukan persamaan garis singgung bola di titik
(1,2,1)
Jawab :
16. Tentukan persamaan garis singgung bola di
titik (1,1,1)
Jawab :
17. Tentukan persamaan bidang kutub bola
dengan titik kutub (1,1,1)
Jawab :
18. Tentukan kuasa titik P(3,2,1) terhadap bola
Jawab :
Kuasa P(3,2,1) terhadap bola
Karena k > 0 maka titik P(3,2,1) berada di luar bola S = 0
19. Tentukan titik kuasa empat bola berikut :
20. Tentukan persamaan bola S = 0 yang melalui lingkaran potong bola
dan melalui titik O(0,0,0)
Jawab :
Persamaan bola S = 0 memenuhi persamaan perkas
Persamaan bola S = 0 adalah
Persamaan bola S = 0 melalui titik O(0,0,0) berarti titik tersebut memenuhi
persamaan (a) sehingga diperoleh :
Substitusi pada persamaan (a)
21. Tentukan persamaan bola S = 0 melalui lingkaran potong bola
dan bidang dan melalui titik P(1,1,1)
Jawab :
Persamaan berkas adalah
Bola S = 0 melalui titik (1,1,1) maka koordinat tiik P(1,1,1) memenuhi
persamaan bola (a). substitusika koordinat titik P(1,1,1) pada persamaan (a)
diperoleh harga pada persamaan (a) diperoleh
22. Tentukan titik limit dari berkas yang dibentuk oleh bola :
dan bola
Jawab :
Persamaan berkas adalah
Koordinat titik pusat bola adalah
Jari-jari kuadrat bola adalah
Karena bola berbentuk bola titik maka r = 0 atau
Maka atau
Untuk maka
Untuk maka