kursi i master gjeostatistikëkorini.dibmin-fgjm.org/gjeoinf_gjeostat_l1-2019.pdf · 11/7/2019 1...
TRANSCRIPT
-
11/7/2019
1
Gjeostatistikë
Th.Korini, 2019
Fakulteti i Gjeologjisë dhe i Minierave
Ku
rsi
I M
as
ter
Gje
oin
form
ati
kë
Leksioni 1
GJEOSTATISTIKA
Fjala gjeostatistikë formohet nga dy pjesë gjeodhe statistikë (në mënyrë të ngjajshme me gjeofizikë apo gjeokimi) dhe përdoret në dy kuptime të ndryshme:
Si tërësia e gjithë metodave statistikore dhe probabilitare të aplikuara në gjeoshkenca;
Si një emërtim për teorinë e variablave rregjionalë.
Gjeostatistika studjon fenomenet që ndryshojnë në hapësirë dhe/ose në kohë (Deutsch, 2002)
-
11/7/2019
2
Hipotezat dhe objektivi i gjeostatistikës
Kërkimi
Në këtë etapë, kemi të bëjmë me lokalizimin e një trupi të mineralizuar. Procedohet nëpërmjet punimeve të kërkim-zbulimit (shpime, transhe etj.), vendosja e të cilave udhëhiqet nga konsiderata të tipit gjeologjik. Kërkohet të verifikohet prania e mineralizimit dhe të vlerësohet cilësisht (mineralogji, tektonikë etj..).
Fezabiliteti
Studimi i fezabilitetit duhet të lejojë, me ndihmën e një serie shpimesh me rrjet të rrallë, të merret vendimi ose i pritjes së një konjukture ekonomike më të favorshme, ose i vazhdimit të series së shpimeve me synimin për të shfrytëzuar vendburimin. Kjo seri shpimesh duhet të lejojë të përcaktohet tonazhi dhe përmbajtja e vendburimit, pra sasia e metalit Q.Ky është vlerësimi global që realizohet me ndihmën e gjeostatistikës.
Projekti minerar
Në qoftë se sasia Q është e mjaftueshme, kalohet në fazën tjetër, pra në llogaritjen e projektit.
Duhet të përcaktohen:
• Metoda e shfrytëzimit;
• Mënyra e marrjes (seleksionimi);
të cilat do të lejojnë llogaritjen e projektit.
-
11/7/2019
3
Llogaritja e rezervave të rekuperueshme është një objektiv kryesor i gjeostatistikës.
Ky objektiv është i dyfishtë: duke u nisur nga shpimet duhet vlerësuar përmbajtja e blloqeve (kemi të bëjmë me kriging-un) dhe nga ana tjetër rezervat që mund të paraqiten nëpërmjet dy kurbave:
maxT
T zc
zc
100%
Përqindja e tonazhit total të rekuperuar në funksion të zc
Duke e ndarë vendburimin në blloqe, me z(v) përmbajtjen në bllok, do të shfrytëzohet një bllok në qoftë se z(v) është më e lartë se përmbajtja kufi zc.
zc
mzc
Evolucioni i mesatares së përmbajtjeve në funksion të përmbajtjes kufi
-
11/7/2019
4
Programi i shfrytëzimit
Shtrohet problemi i shfrytëzimit të vendburimit.
Shumë pyetje kërkojnë përgjigje: p.sh. dimensionimi dhe numri i fronteve që do të shfrytëzohen, materiali që do të përdoret etj...
Nga ana tjetër, një kufizim i rëndësishëm parashtrohet nga fabrika e pasurimit e cila kërkon një përmbajtje uniforme të mineralit të dërguar në të. Pra, kërkohet një harmonizim ndërmjet fabrikës së pasurimit dhe minierës, që sigurohet ose nëpërmjet krijimit të një stoku, ose nëpërmjet një “elasticiteti” të përdorimit të fabrikës së pasurimit.
Gjeostatistika mund të parashikojë përmbajtjen e mineralit dhe lejon kështu një program më optimal të shfrytëzimit.
Disa elementë të statistikësVariabël i rastit X (vr): një funksion, që i ve në
korrespodencë çdo rezultati matjesh një numër real. N.q.s. vlerat e mundshme të X shpërndahen në mënyrë të vazhdueshme në një interval, X konsiderohet si një vr i vazhduar. Në këtë rast nuk shqyrtohet probabiliteti që vr të marrë një vlerë të caktuar, por që vlera e tij të përfshihet në një interval të caktuar.
Shembull:
përmbajtja e Cu në një karotë me gjatësi 1m
Trashësia e një trupi minerar
Përqëndrimi i një ndotësi në ujin nëntoksor
pH i ujit të shiut.
Le të jetë X një variabël i rastit (vr). X (madhësia fizike) është matur në n pika dhe x1, x2, x3, …, xn përbëjnë një mostër të këtij variabli të rastit.
-
11/7/2019
5
Paraqitja e variacionitHistogramaÇdo grup matjesh mund të ndahet në një numër klasash. Për një variabël i cili matet në një shkallë të vazhduar, ndajmë zonën ku shtrihen matjet në klasa me gjerësi të njejtë dhe numërojmë matjet që i takojnë çdo klase.
Bashkësia e frekuencave që përftojmë përfaqëson shpërndarjen e frekuencave.
Grafiku përkatës (me frekuencën në ordinatë dhe vlerat e parametrit të matur sipas klasave) quhet histogramë.
Numri i klasave përgjithësisht merret në intervalin 5 deri 20 (numri më i vogël merret kur kemi më pak të dhëna)
Shpërndarja kumulative:
Histograma kumulative është paraqitja në trajtë histograme në të cilën çdo klasë përfaqëson numrin progresiv (të kumuluar) të matjeve në gjithë klasat deri në klasën në fjalë.
-
11/7/2019
6
Treguesit statistikorë:
Mesatarja:
Në qoftë se kemi n matje x1, x2, x3, …, xn atëherë mesatarja artimetike do të jetë:
1
1 n
ii
x xn
Mediana, M, është pika e mesit e madhësive të vëzhguara, kur ato janë të renditura në rendin rritës. Gjysma e vlerave janë nën medianë dhe gjysma mbi medianë. Me të dhënat e vendosura në rendin rritës mediana mund të llogaritet me formulën:
1
2
12 2
n.q.s. është tek
n.q.s. është çift
n
n2
n
n n
x
M x x
Moda: është vlera e cila takohet më dendur. Praktikisht moda identifikohet me brezin më të gjatë të histogramës.
Varianca e një serie të dhënash jepet nga:
dhe është mesatarja e katrorit të diferencës së vlerave të matura me mesataren e tyre.
Devijimi mesatar kuadratik: është rrënja katrore e variancës.
1n
2
22
1
1 n
ii
m x xn
2
2
1
1 n
ii
x xn
-
11/7/2019
7
Koeficienti i variacionit: është tregues relativ, i cili shpreh madhësinë relative të raportit ndërmjet dispersionit dhe mesatares aritmetike të matjeve që studjohen:
vKx
shprehur si koeficient
% 100vKx
shprehur në përqindje
Sa më i vogël të jetë koeficienti i variacionit, aq më homogjene janë të dhënat e serisë së matjeve të kryera.
Koeficienti i disimetrisë: i korrespodon masës së asimetrisë të të dhënave të matjes. Përfaqëson parametrin e parë të formës. Llogaritet duke u nisur nga momenti i tretë statistikor:
3
31
1 n
ii
m x xn
Koeficienti i disimetrisë do të jetë:
31 3
mg
-
11/7/2019
8
Në se m3=0, atëherë seria e matjeve është plotësisht simetrike
Në se m3>0, atëherë seria e matjeve ka asimetri të majtë
Në se m30 shpërndarja është me kulm më të theksuar, ndërsa për g2
-
11/7/2019
9
Shembull:
Nga shpimet e kryera ka rezultuar trashësia e trupit xeheror dhe përmbajtja e bakrit si vijon:
Trashësia Cu %
17 0.984
18 0.85
17.5 0.957
19 1.26
22 1.709
24 0.9
27 0.952
23 0.982
23.5 1.773
15 0.829
23.5 1.723
25 1.422
16.5 1.264
19.5 1.58
12 1.511
18.5 1.367
18 1.757
14 0.602
19 1.261
13.5 1.859
18 1.401
19.4 1.565
13 0.798
14 0.971
19.5 1.66
16 1.654
16 1.014
19 1.171
19 0.835
21.5 2.477
22 1.917
20.5 1.403
11 1.089
26 1.117
22 0.628
26 0.877
16 0.642
16 0.23
Të llogariten treguesit statistikorë.
Trashësia Cu %
Shuma= 720.400 46.991
Mes= 18.958 1.237
Të dhënat e renditura:
Nr Trashësia (m) Cu %
1 11 0.23
2 12 0.602
3 13 0.628
4 13.5 0.642
5 14 0.798
6 14 0.829
7 15 0.835
8 16 0.85
9 16 0.877
10 16 0.9
11 16 0.952
12 16.5 0.957
13 17 0.971
14 17.5 0.982
15 18 0.984
16 18 1.014
17 18 1.089
18 18.5 1.117
19 19 1.171
20 19 1.26
21 19 1.261
22 19 1.264
23 19.4 1.367
24 19.5 1.401
25 19.5 1.403
26 20.5 1.422
27 21.5 1.511
28 22 1.565
29 22 1.58
30 22 1.654
31 23 1.66
32 23.5 1.709
33 23.5 1.723
34 24 1.757
35 25 1.773
36 26 1.859
37 26 1.917
38 27 2.477
1
2 2 n.q.s. ësht n2
ë çiftn nx x
M
19 20
19 19= 19
2 2
x xM m
Për trashësinë:
Për përmbajtjen e Cu%:
19 20
1.171 1.26= 1.2155%
2
2
x xM
-
11/7/2019
10
Llogaritja e treguesve statistikore (trashësia e trupit xeheror)
xi xi-mes (xi-mes)^2 (xi-mes)^3 (xi-mes)^4
17.0 -1.96 3.83 -7.505 14.695
18.0 -0.96 0.92 -0.879 0.842
17.5 -1.46 2.13 -3.099 4.518
19.0 0.04 0.00 0.000 0.000
22.0 3.04 9.25 28.153 85.644
24.0 5.04 25.42 128.185 646.320
27.0 8.04 64.68 520.127 4182.915
23.0 4.04 16.34 66.042 266.950
23.5 4.54 20.63 93.707 425.627
15.0 -3.96 15.66 -62.000 245.390
23.5 4.54 20.63 93.707 425.627
25.0 6.04 36.51 220.579 1332.764
16.5 -2.46 6.04 -14.849 36.497
19.5 0.54 0.29 0.159 0.086
12.0 -6.96 48.41 -336.848 2343.751
18.5 -0.46 0.21 -0.096 0.044
18.0 -0.96 0.92 -0.879 0.842
14.0 -4.96 24.58 -121.869 604.212
19.0 0.04 0.00 0.000 0.000
13.5 -5.46 29.79 -162.583 887.362
18.0 -0.96 0.92 -0.879 0.842
19.4 0.44 0.20 0.086 0.038
13.0 -5.96 35.50 -211.484 1260.002
14.0 -4.96 24.58 -121.869 604.212
19.5 0.54 0.29 0.159 0.086
16.0 -2.96 8.75 -25.879 76.547
16.0 -2.96 8.75 -25.879 76.547
19.0 0.04 0.00 0.000 0.000
19.0 0.04 0.00 0.000 0.000
21.5 2.54 6.46 16.428 41.761
22.0 3.04 9.25 28.153 85.644
20.5 1.54 2.38 3.667 5.655
11.0 -7.96 63.33 -503.958 4010.447
26.0 7.04 49.59 349.227 2459.292
22.0 3.04 9.25 28.153 85.644
26.0 7.04 49.59 349.227 2459.292
16.0 -2.96 8.75 -25.879 76.547
16.0 -2.96 8.75 -25.879 76.547
Shumat 720.40 612.59 273.447 22823.188
mes= 18.96 var= 16.12
sigma= 4.02
m3= 7.196
Koeficienti i disimetrisë g1= 0.111
m4= 600.610
Koeficienti i kulmimit g2= -0.689
Asimetri e lehtë majtas
Shpërndarja është më e shtruar se ajo normale
Trashësia e trupit xeheror:
Klasat Qendra Nr. Frekuenca Fr.Kumul
11-12.5 11.75 2 0.053 0.05312.5-14 13.25 2 0.053 0.10514-15.5 14.75 3 0.079 0.18415.5-17 16.25 5 0.132 0.31617-18.5 17.75 5 0.132 0.44718.5-20 19.25 8 0.211 0.65820-21.5 20.75 1 0.026 0.68421.5-23 22.25 4 0.105 0.78923-24.5 23.75 4 0.105 0.89524.5-26 25.25 1 0.026 0.92126-27.5 26.75 3 0.079 1
Ndërtimi i histogramave:
0.000
0.020
0.040
0.060
0.080
0.100
0.120
0.140
0.160
0.180
0.200
11.75 13.25 14.75 16.25 17.75 19.25 20.75 22.25 23.75 25.25 26.75
Fre
kue
nca
Trashësia (m)
Trashësia e trupit xeheror (m)
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
11.75 13.25 14.75 16.25 17.75 19.25 20.75 22.25 23.75 25.25 26.75
Fre
kue
nca
ku
mu
lati
ve
Trashësia (m)
Trashësia e trupit xeheror (m)
-
11/7/2019
11
Përdorimi i Matlab ose Octave:
% Ndërtimi i histogramës dhe llogaritja e parametrave statistikoreclear allclose allclc
% Vektori x përfaqëson të dhënat% Vektori z përfaqëson qëndrat e klasave
x = [ 17 18 17.5 19 22 24 27 23 23.5 15 23.5 25 16.5 19.5 12 18.5 18 ...14 19 13.5 18 19.4 13 14 19.5 16 16 19 19 21.5 22 20.5 11 26 22 26 16 16 ];
z=[11.75 13.25 14.75 16.25 17.75 19.25 20.75 22.25 23.75 25.25 26.75];
mes=mean(x);varianca=var(x);devmes=std(x);printf('Mesatarja është: %.3f\n',mes);printf('Varianca është: %.3f\n',varianca);printf('Dev.Mes.Kuadratik është: %.3f\n',devmes);figure(1);hist(x,8); title('Histograma e trashësisë (8 klasa)'); xlabel('Trashësia (m)'); ylabel('Frekuenca');figure(2);hist(x,z); title('Histograma (klasat e përcaktuara)'); xlabel('Trashësia (m)'); ylabel('Frekuenca');
histfit(x,8);
x – vektori i të dhënave
-
11/7/2019
12
histfit(x,z);
x – vektori i të dhënavez – klasat
Llogaritja e percentileve:
Percentilja e p-të përcaktohet si madhësia në bashkësinë e të dhënaveqë i ndan ato në dy pjesë: pjesa e poshtme përmban p përqind të tëdhënave dhe pjesa e sipërme përmban të dhënat që mbeten (të cilatjanë [100-p]%, sepse totali është 100%).
Mediana është percentilja e 50-të: madhësia nga bashkësia e tëdhënave për të cilën 50% e të dhënave ndodhen nën të dhe 50% mbitë.Si llogariten:1- Renditen N të dhënat nga vlera më e vogël te më e madhja (nërendin rritës). Numri rendor përcakton rankun;2- Llogaritet ranku (R) i percentiles përkatëse nëpërmjet formulës: Në qoftë se R është një numër i plotë, percentilja e p-të është numri qëi korrespodon rankut R. Kur R nuk është një numër i plotë, atëherëpercentilja e p-të llogaritet me interpolim si vijon:- Përcaktohet IR si pjesa e plotë e R (numri në të majtë të presjes
dhjetore).- Përcaktohet FR si pjesa dhjetore e R (pjesa pas presjes dhjetore)- Gjenden vlerat që i korrespodojnë rankut IR dhe IR+1- Interpolohet duke shumëzuar diferencën ndërmjet vlerave (të IR+1 me
atë të IR) me FR dhe duke ja shtuar vlerës së IR
1100
pR N
-
11/7/2019
13
Shembull:Jepen vlerat e matura: 3, 5, 7, 11, 8, 9, 15, 13Të llogaritet percentilja e 25%1- renditen vlerat dhe përcaktohet ranku
Vlerat Ranku
3 1
5 2
7 3
8 4
9 5
11 6
13 7
15 8
2- llogaritet ranku i percentiles 25:
25
1 8 1 2.25100 100
pR N
3- llogariten IR dhe FR: IR=2, FR=0.25
4- gjenden në tabelën e renditur vlera që i korrespodojnë rankut IR dhe IR+1, të cilat janë 5 dhe 7.
5- Interpolohet duke shumëzuar diferencën ndërmjet vlerave (të IR+1 me atë të IR) me FR dhe duke ja shtuar vlerës së IR, pra (7 - 5)(0.25) + 5 = 5.5
Në këtë mënyrë percentilja e 25% është e barabartë me 5.5
IR
IR+1
Kuartilet:
Ndajnë bashkësinë e të dhënave në 4 pjesë:
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3min max
Q1 – kuartilja e parë – percentilja 25%
Q2 – kuartilja e dytë – percentilja 50%
Q3 – kuartilja e tretë – percentilja 75%
Diapazoni interquantil IQR (interquartile range): IQR = Q3 - Q1
Jep një ide mbi shpërndarjen e 50% të të dhënave të pjesës qëndrore.
Llogaritja e Q1, Q2 dhe Q3 kryhet duke ju referuar llogaritjes së percentileve përkatëse (25%, 50% dhe 75%).
=QUARTILE.EXC(Range,1)
=QUARTILE.EXC(Range,3)
Në Excel
-
11/7/2019
14
0 kuartile = 0 kuantile = 0 percentile
1 kuartile = 0.25 kuantile = 25 percentile
2 kuartile = .5 kuantile = 50 percentile (mediana)
3 kuartile = .75 kuantile = 75 percentile
4 kuartile = 1 kuantile = 100 percentile
Përdoret edhe nocioni kuantile:
Outliers: janë vlera tepër të vogla ose tepër të mëdha në bashkësinë e të dhënave
Vlerat jashtë intervalit [Q1-1.5(IRQ), Q3+1.5(IQR)] janë outliers
P.sh: për të dhënat 4, 6, 11, 13, 16, 17, 19, 22, 51
Llogarisim Q3 dhe Q1
Q1=8.5
Q3=20.5
IQR=Q3-Q1=12
1.5*12=18
Q1-18=-9.5
Q3+18=38.5
Çdo vlerë jashtë intervalit -9.5,38.5 është një outlier
51 është më e madhe se 38.5, pra është një outlier.
Paraqitja e shpërndarjes së të dhënave nëpërmjet BoxPlot:
BoxPlot është një paraqitje grafike e shpërndarjes së vlerave të vrojtuara me anë të zonave IQR (interkuantile).
IQR
Q1-1.5(IQR) Q3+1.5(IQR)Q3Q1
Mediana
Outlier
Outlier
-
11/7/2019
15
BoxPlot në raport me shpërndarjen normale: