kutateladze number

20
Eect of tube diameter on ¯ooding M. Vijayan, S. Jayanti * , A.R. Balakrishnan Department of Chemical Engineering, Indian Institute of Technology, Chennai 600 036, India Received 8 February 2000; received in revised form 30 July 2000 Abstract This paper describes an experimental study on the eect of tube diameter on the mechanism of ¯ooding in vertical gas±liquid countercurrent annular ¯ow. Flooding experiments were conducted with three dif- ferent tube inner diameters, namely, 25, 67 and 99 mm with smooth inlet and outlet conditions for air and water. The results indicate that the mechanism of ¯ooding is qualitatively dierent in the small and the large diameter test sections. While ¯ooding in the 25 mm diameter section occurred essentially by the upward movement of large waves created near the liquid outlet, no such waves could be seen in the 67 and the 99 mm diameter test sections. Here, ¯ooding occurred by droplet carryover or by an unstable, churn-like motion in the liquid ®lm. The results are compared with existing correlations. The eect of test section length on ¯ooding was also investigated. Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. 1. Introduction Flooding is closely associated with the limit of stable countercurrent gas±liquid ¯ow and as such it is an important design criterion in a variety of process equipment such as falling ®lm absorbers, evaporators, heat pipes, re¯ux condensers and in some aspects of nuclear reactor safety. Although ¯ooding has been studied for a number of decades, there is still some uncertainty about the precise mechanism by which ¯ooding takes place in countercurrent gas±liquid annular ¯ow. It is generally believed Suzuki and Ueda, 1977; McQuillan et al., 1985; Govan et al., 1991) that ¯ooding occurs when large waves, formed near the liquid outlet, are swept upwards by the gas phase. However, recent experiments involving careful measurements of the ®lm thickness Zabaras and Dukler, 1988; Biage, 1989) did not reveal the presence of these upward-moving waves at the ¯ooding point. In some cases, this discrepancy can be attributed to the inlet and outlet conditions for the gas and liquid phases Govan et al., 1991), however, the experiments of International Journal of Multiphase Flow 27 2001) 797±816 www.elsevier.com/locate/ijmul¯ow * Corresponding author. Tel.: +91-44-4458227; fax: +91-44-2350509. E-mail address: [email protected] S. Jayanti). 0301-9322/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII:S0301-932200)00045-8

Upload: diego1980b

Post on 29-Dec-2015

57 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

Kutateladze

TRANSCRIPT

Page 1: Kutateladze Number

����� �� ��� �� ���� �� ������

�� �������� �� ������� �� ���� ������� !���

���������� ���� ��� ��� ���� ��� ��� �� ���� ���� ��������� ������ ��� ���� ��� �

�����"� # $������ %&&&' �����"� �� ��"� � ��� (& ���� %&&&

��������

)!� *�*�� � ���� �� �+*��� ����� ��� �� �!� ����� �� ��� �� ���� �� �!� ��!��� �� �������� "������� �� ,��-�� �������������� ������� ��.� $������ �+*��� ��� .��� ������� .��! �!��� ��/������ ��� ����� �� ���� � �� ���� %0� 12 �� 33 .��! ���! ����� �� ������ �������� ��� ��� ��.����� )!� �� ��� ������� �!�� �!� ��!��� �� ������ � -��������"��� ������� �� �!� ��� �� �!� ������� ���� �� � ������ � 4!��� ������ �� �!� %0 �� ���� ������ ������� � �������� � �!� �*.�� �"� ��� �� ����� .�"� ������ ���� �!� ��-�� ������� �� ��! .�"� ���� � ��� �� �!� 12 �� �!� 33 �� ���� �� � ������ � 5���� ������ ������� � ��*��� ������"�� �� � �� �� ����� �!���/���� ����� �� �!� ��-�� 6� � )!� �� ��� ��� �� *��� .��! �+� ���� ����������� � )!� ����� �� �� � �����������! �� ������ .� �� � ��"� ������� � %&&7 �� �"��� ������� 8�� ��� ���!� �� ��"��

� ���� ������

$������ � ��� ��� � ������ .��! �!� �� �� �� ���� �������������� �� ,��-�� ��. �� � ��! �� � �� � *������ � ��� ��������� �� � "������ �� *���� �-��* ��� ��! � ������� 6� � ���� � �"�*������ � !��� *�*� � ����+ ����� �� �� �� � � � *��� �� ������� ������� ������ ���!���! ������ !� ��� ���� ��� � �� �� �� ���� � �!��� � ���� � � ��������������� �!� *���� � ��!��� � .!��! ������ ���� *���� �� �������������� �� ,��-�� ���������.� 9� � ��������� ����"� :��;��� �� <��� 7322' ��=������ �� ���� 73#0' >�"�� �� ���� 7337?�!�� ������ ����� .!�� ����� .�"� � ��� � ���� �!� ��-�� ������� ��� .�*� �*.�� � �!��� *!� �� 5�.�"��� ������ �+*��� ��� ��"��"��� ������� �� ��� ��� �� �!� 6� �!����� :@���� �� A������ 73##' ������ 73#3? � ��� ��"��� �!� *�� ���� �� �!� � �*.��/ �"���.�"� �� �!� ������ *����� 9� � � �� � � �!� � ���*���� ��� � �������� �� �!� ����� �������� �������� ��� �!� �� �� ��-�� *!� � :>�"�� �� ���� 7337?� !�.�"��� �!� �+*��� ��� ��

9������������ ������� �� �����*!� � $��. %2 :%&&7? 232,#71...��� �"������ B������B�� ����.

�C���� *����� ���!��� )���D E37/FF/FF0#%%2' ��+D E37/FF/%(0&0&3�

���� � �������� �������G��� ������ :�� �������?�

&(&7/3(%%B&7BH / �� ����� ����� � %&&7 �� �"��� ������� 8�� ��� ���!� �� ��"��

I99D �&(&7/3(%%:&&?&&&F0/#

Page 2: Kutateladze Number

����� :73#3? !�.� �!�� �"�� .��! ���! ����� �� ������ �������� ��� ��! *!� � � � ������*.��/ �"��� .�"� .��� ��� � ��"�� 9� � ������ �!��������� ���� ������� �� ��� :7331?���� �!� ��� �� ���� � �!� ���� ����� ������ �� �!� .�� �!�� ������ ����� � )!�� ������!�� ������ ���� ����� � ��� �� �.� ��!��� � �� ���� �*.�� ���� *��� �� .�"� ���������� �!� ��-�� ������ �� ������"�� �� ��*��� ������ �� �!� �� � ������� 9� � ����� ���� .�"� .� ��� � �� � �� � ������� �!�� �� .��� �+*������� ������� ��� ����� �� � ��� �� ���� �� � ������ �!�� �� � ����� �� ���� �� � ������� )!� � �!� ���� .�"� .!��! ��� ��� � �� � �������6� .��� � ��� ������ �� � .�*� �*.�� �� � ��� �� ���� ���� < ��� � �� ��� �� �!���� ����� �� .�"� � �!�� ����� �!�� �!� �� ��. ���� ��-���� �� ��� � .�"� �*.�� �� � ������� ���� ��� .��� � !��!�� �!�� �!�� ��-���� �� �������� ������ � �!� ��*��� ������� ��� ��!��� �� �!� � � ��� �� �!� � � ��-�� ��. ����� )!� .��� �+*���� �!� � ���� ���*.��/ �"��� .�"� �� �!� �+*��� ��� �� @���� �� A����� :73##?� .!� � � � �� � �������� ���� �� 0&�# � ��� �!� �+*��� ��� �� .!��! �*.��/ �"��� .�"� .��� ��*���� !� ����� ���� �� �� �!�� (% �

)!� ��!��� *��*� � � ������� �� ��� :7331? �**��� *��� ��� �� �� � � �� ��� ���+*��� ����� � ��"����� � �� �� � �� ��� �� ��� ����� �� � � � .�"� !�*� �� � �������6� � )!� �� ������� �� �!��� ����������� �� � �� ��� ��� � ����� ��� �!� ���� �!�� �!��� ��� ���� �� ��*����� �!� .���/� ���� !� ����� �� ������ ��� ��-�� ��. ���� �� �!� �������� "�������� 9� *��� �� �!� � �� � ���� �!�� �!��� � � �� � ��� ��"� �������� � �� �������� �!� ����� ����� �� ���� �� ������� )� �!� ��� �������������� ��. �+*��� ��� !�"� ��� ������� ���� � ������ �� %0� 12 �� 33 ��� �� ���� .!����� �!� ��!��� �� ������ .� � ��"�"� ������ )!� �� ��� ������� �!�� �!��� � ���� � ����� ����� �� ��� �� ���� �� ������� ���� � .�� �!�� .� ��� ���� ��� � ������� �� ��� :7331? �� �!��� �!��������� ����

� ������������ ������

�� � !�" � ��� �

)!� �+*��� ����� ���* � � �� �!� *�� ��� ��� � !�.� �!� �������� �� $��� 7� 9� ��� � � ���!��� �������������� ��. ���� � !�"��� �������� �� ���� �� %0� 12 �� 33 .��! �� ����� �� .���� ���������� � ��� � �� �� �!� �� � ������ ��� ��� �� �!� �!��� ��� �� *�� �� :.��! �+� � ��*������ �� #� %&� �� %&& (B! �� �)I �������� ? �������� �� ���� � � ����� "��"�������� �� � ����� �!� �������� �� ���! �� � ������� � � � ��� ��. �������� 4���� � *� *���� � �� ��"��� �!����! � *��/6���� �� � �� ���� �!� �� � ������ � �.� *� * � ���! !�"��� ���*����� �� &�0 !*� �������� �� ���� � � �*� ������� � *��"�� �� ��� �;� �!� ��� �� �!�*� * �� �� ������� �!� .���� ��. ���� ���� ��. ��. ���� �������� �

���! ���� � � �� �� ���� *����� ������� *�� ��� ������� �� !� � ����� �����! �� F �4���� ����� �� �+�� ��� �!� �� � ������ �!����! � 6���� � � �� �� *��"�� ���! ����� �������� �������� � )!� 6���� � � �� ��� � � �� �!��� ��� ��� D � �!�� ������ � ! .!��!*��"�� ����� �� � ����� �� ��.' � *�������� ���������� *����� .!��! *��"�� ������� �� �!� � !' �� �� ����� ������� .!��! !�� � �!� �.� �� .!��! � �������� �� �!� *� * �� �!��� ��"��� �!����! � "��"�� )!� ������ ���� � ! ��� � � �� �!��� ����� � )!� ����� ����� !� ��� ���� *��� �;� �� %0 � �� � ����� � �� �.� ����� �� �� ���� *��� �;� �� 7&& � � )!�

23# #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 3: Kutateladze Number

� ! � .��**� ���!��� �� ����/.��� �� �� �!� �� �� �� � ���������� *�������� *���� !�"����� ����� �� ���� ���!��� ������� �!�� �!�� �� �!� �� � ������ ��! �!�� �!� .!��� � � �� !� ������� �� ���� �-��� �� �!�� �� �!� �� � ������� )!� *�������� ������� � 6+� �� �� � *�� *�+������� .��! �!��� ��;;�� �� .!��! ��+��� !� � ��� �������� �� ��� .���� ���� �!� �� � �������� �!� �� � �� �� ����� �� �� �� �"� .���� ��� �� �� �!� �� � �� �� ������� 9� �!� 6���� � � ����!� ���������� *�������� *���� *��"�� �!� ������� �� .��! ��� �!� ����� *�� ��� ��* ���� �!� � ! �� ������� ������ ��. .!��� �!� �!��� !��� �� ������ � ! *��"��� ��� ��� ������� �� ��� ���! �� ������ ����� ����� �!� ����� ������� �� �!� �� � ������� )!� ����� ��

$��� 7� ��!� ���� ����� �� �!� ���� � � �� !�.��� �!� �!��� �� � ������ �

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � 233

Page 4: Kutateladze Number

�!� ����� ������� ��� 6+� ������ ��.��� �.� ����� � �� �!� .!��� � � �� � �������� ���!� �� � ������ �� ��"� � �����B������ ��� �!� .�����

)!� !���!� �� ���! ���� � .� F ' !�.�"��� �!� �����! �� �� � ������� ����� �!� !���!� ��.����!� .���� ����� �� �!� .���� ������� .� %�& ��� �!� %0 �� ���� �� � ������ �� 7�# ����!� 12 �� 33 �� ���� �� � ������ � )!��� � �!� ���� 7 �����! �� *�*� ���! ���. ����"� �!� �� � ������� .!��! ��"� �� *��"�� ���! ����� �� ������ �������� ��� �!� ��� ��.� .���� ��� �� .����� �� ���� ���"� �!� �� � ������ ��� �!� ��* �!����! � I�C *�*� �� ��� �*����� �� �� �*�� ����� 4���� � �� ��� �� �!� ��� .���� ���� � ���"���� )!� *�� ��� �����! ���� � ���� � ��������� � � "��"� ������ �� �!� I�C *�*��

���� .���� � /" 0 ���� 1�� � ���� ��

J�� �� �!� �� �� �!� �+*��� ��� .� �� � ��"� "� ����� �!� ������ �� �!� ��������� �������������� *�� ���� �� �*.��B�.�.�� �"��� ����� .�"� � ��*��� ��� ������ ����� �� ����������/���� ��.� )!� .� ��� � �!� ���� ��� ���������� �� ���� *!������*!� �� "������*!� .���� � �� !��* "� ����;� �!� ��. ��������� 9� ���� *!������*!�� �!� �� ��� .� 6+� �� � ���"��� ��� � �� �!� "� ����;����� ������ �� �!� �� ! .� 6+� �� �� ����� �� 7#&� �� �!� �� ����)!� �� ! .� �������������� �������� �� �!� �� ��� � �!�� �!� �� ��� !����� ���� �*�� �� �!� � � �� � � �!� �� !� ����� *���� ����� �+*��� ��� � �� .� ���� �!�� ��� *������ ���� ������� .��! � �� ! ������� �� 7B(&�&&&�! �� � ����� ���� *������ � �� � *�� �� (& ��� � *�� ����� .��� ����� �� �!� ������ ���� � �� ����� � ����� ���� ������ �� �!� ��������� ������ ��.��� �"��� !�**����� �� �!� ������ �� �!� � �� �!� ������

���� ������������ �

)!� *�� ��� "������ �!�� .��� �� ��� ����� �!� �+*��� ��� .��� �!� *�� ���� �!�*�� ��� ��*� �!� ��*�� ��. ���� �� ���! *!� �� �!� ��. ���� �� .����� �� ���� �!����! �!� .���������� �� �!� 6� �!����� � ��� �� .���� ��. ���� ���� �!� �� � ������ .��� �� ��� � ��� �����6�� ���� �� � ��� �� ���� ���� � �� *����"���� )!� ����� *�� ��� �� �!� ���� � .� �� ��� � ��� � *�� ��� ������ .!��� �!� *�� ��� ��* .� �� ��� � ��� .���� �� ������/6��� ��� ���� � )!� .���� ��. ���� �!����! �!� ��* ������� �� ���� .� ���� ��� � ������������ �� � �� ����� �� � �"�� � *���� �� �� �� )!� �� *���� "�������� �� �!� 6� �!����� .� �� ��� � ��� �.�/*�� ��*� �� ���������� *��� :5�.���� 73#%' ������� �� ���� 733&?� �� �!� ���� ��� � �� � �� �!� *�� ��� *�*���

��2� �3��� ������ ��������

)!� ��"� ���* !� ��� � � �� �� ��� *�� ��� ��* �� 6� �!����� ��� � ����� �� ����� .���� ��. ���� �!����! � ��"�� �� � ������� 9� ���! ���� �!� .���� ��. ���� .� �� �� � *���6� ��"��� �� �!� ��� ��. ���� .� ������ � �� ��� ����� ��� ��� � *��� ������� 6� �� ������� ���! ����� ��� �� �!� ��� ��. ����� �!� ��. .� ����.� �� ����� ��� � ��. ����� �� �!���. ���� �� ���! *!� �� �!� *�� ��� ��* �� �!� �� � ������ �� �!� 6� �!����� �� �!����������� �� �!� �� � ������ .��� ������� )!� ��. ��������� ����� *�� ���� �� ����� .�"� ���*��� � ����� .� � ��"� � �!� ���� ��� �� ������� :5��! *�� *!������*!� ��

#&& #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 5: Kutateladze Number

"������*!� �� �!� ��. .��� ��� �*��������? )!� .���� ��. ���� �!����! �!� ��* ������� �� ����.� �������� �� � �� ����� �� � �"�� � *���� �� �� �� ����� �!� � �� ��� ��� .��� �"��� �!���� ��. ���� .� ����!�� ������ � � � ��� ����� ���� )!� � �� ��� ��� �� � ��"����� .��� �� �� �"���� ��� ��. ���� ���!� �* �� �� ���� �!� *���� �� ������� )!� �+*��� ��� .��� �� ������� �� ��� ���� ����� *�� ��� ��������� �� �!� �� � ������ *�� ��� .� ����.��� �!���� ��� ��� �� ��� ���!���! �!� "�������� .� ���� )!� �+� � �� � ������ *�� ��� ���!� !��!� � ��� ��. ���� ��� ���! .���� ��. ���� .� ��*������ �� �!� ���� �� &�0 �� :�����?� )!��� ��� ��� �"���� ��! �+*��� ����� ��� � ������� �� �!��� �� ���� ���� � �"�� � ����� ��.���� ��. ���� � ��� � �� � ���.�

� ��������� �� ��� ���

�� � �� ��� � � /� ��

9� � ��������� ����� �!�� ������ ��� �!� �� �� �� ���� �������������� ��.� ��� ����!�������� � �� ���!�� �!� �� ��. ���� �� �!� ��-�� ��. ���� .��� � �����;� �!� �������������� ��.�� ��� ��/������� ��. ��"� �!� ��-�� ������ )!� �� ������� �� �������������� ��. � ����� ���� �"���� .�� :������ �� 8��� 73#%?D

:�? ��� �� � �� �!� *�� ��� ������� �� �!� �� � �������:��? �**������� �� � � ����� ��-�� ��. ��"� �!� ��-�� ������:���? �������� �� �!� �.� ��. ���� �� �!� ��-���:�"? �**������� �� � !��!�� � ���� 6� ��.�

��� �!� � ����� ��� �����/������� $�� �+� *��� �!� !��!�� � ���� 6� ��. �� ��� �� � ����������� � �� �!� *�� ��� ������� �� � �������� �� �!� �.� ��. ���� ��� � � ����� ���� �� �!��� � �� �!� ��*�� ��-�� � ������ �.�� � �!� �� ���� ���� �!� ��-�� ������ 9� ������ ���!� � �� � � ��� � ���� � :C���� �� ���� 7311' @���� �� A������ 73##? �!�� �!� �.� ��. ������ �!� *� �/������ ���� � � ��� ���� �� �!�� �!� ��-�� �.� ��. ���� �� �!� ������ *���� � �!� �+� � *� ��� �.� ��. ���� ��� � ��"�� �� ��. ����� ��� �� �!� � ����� ��� �� ��!�"� ���� � � � � ��������� �� ����� �!� �� �� �� ������ �� �������������� ��.� � � �/�6������ �� :��? ��"�� >�"�� �� ��� :7337? �6�� ������ � �!� *���� �� .!��! ��-�� �**����:�� ��� ���� ����� ������ �.�� � �!� �� ���� ? ��"� �!� ��-�� ��������� *����� 9� �������� �!� �� �!� .�� ������ � ����� �� �� � ��"� �� � �� *���������� ���������� �� ��� � $���+� *��� ��=������ �� ��� :73#0? �� >�"�� �� ��� :7337?� � ��� ��!�� � � � ���!� �*�� ��/�;������ �� �!� ���� �� &�&0 ��� �� ����� ������ .!��� ��!�� ��! � A����� �� � ��! :73#%?�� @���� �� A����� :73##? ����� ������ � �������� ������ ��� �!� ��� ��. ����� 9� "��.�� �!� *� ��� � ���*����� �!�� �� ��� � �� � ��� �!� � "����� �������� �� ���� ��� �!������� *����� ������� �+*��� ��� !�"� ��� *����� � �� ������� �!� *!��� ��� �!�� ����� ���� ,��-�� �������������� ��.� )!� � ��� � �� � ���.�

���� 4������� � ������������� /"

)!� "����� *!��� ��� �!�� ����� �� �������������� ��. ��� � � ���� ��� � ������ �!���. *��� ���� � �!� ��� ��. ���� � ������ � �� ��� ��* .!��� ���������� � ��� ���� �����

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � #&7

Page 6: Kutateladze Number

��-�� ��. ����� � ��*���� �� �� �� ��� ������ �� ��� ��! ��� �� �!� %0 �� ���� ��� � !�.� �� $��� %� 5���� �!� .���� ��. ���� .� �� �� &�&%2# ��B �� �!� ��� ��. ���� .� "�����"�� � .�� ������ )!� *�� ��� ������� �� �!� �.� ��. ���� �� .���� ��� *����� � � ���������� �!� ��� ��. ����� ��"���� ���� *!������*! �� �!� �� � ������ .��� �� � ����� .��! � �� !������� �� 7B(&�&&&�! �� � ����� �� � � �� �!� � ��� !�.� �� $��� ( �� ���� ����� �!� ��������� ��������� 9���������� .�"� ��� *�� ��� �"�� .!�� �!��� � �� ��� ��. ���� :$��� (:�??� 5�.�"����!� � �**��� �� � �� ������ ��� � *������ )!� ����� *����� *���� �� $��� % � ���� � *����� �� �� ��� � ��� �!�� �!� *�� ��� ������� � "��� ���� � �!� ��� ��. ���� � ������ �������� � *����� .�"� ���� �� ��� �� ���� ������� ��*��� ��� !���� �.�� ��� ��� )!� *!��� ���� � ��*���� �� �� ��� �� � !�.� �� $��� (:?� )!� *���� � ���� � �� �!�*�� ��� ������� *��� :$��� %? �� �� ��� � ��� �!�� �!� *�� ��� ������� ���� �!� � �������� :�� �� �� �� ��*��� ������� ���? � ���� "��� ���� �� ���!��� !��!�� ��� ��. ���� � �!� ���� ��������� ��� �� ��*��� ������ � �� ��� ��* ��� � ��� �� �!� ��� :$��� (:�??� 5�.�"����!� � ��� ���6�� �� �!� ���� !��� �� �!� �� � ������ �� �� ��*��� ��� ������ ���� �!���-�� ������ �� �!� *����� ����� .�"� ��� ��� � ���� ������� �� �!� *�� ��� ������� �� ��� "��� ���� � �!� ��� ��. ���� � ����!�� ������ �� �!� � ������� �� �!� ��������� ��� � ���*�������� :$��� (:?? �� �!� .�"� � *����� �**��� �� ������ � ��� ���� ��� 5�.�"��� �!�.�"� ��� ��� ��!����� ����� ������������ )!� *�� ��� ��* �� �!� *����� ���� A �� $��� %� � !��!�� �!�� �� *���� � �� � ���� ��� ������ �� �!�� �!�� �� ������� �� � ����� ������:$��� (:�??� ����� � *������ ����/��*� .�"� ��� ��� � �� �!� ��������� ��� � !��!�� � *���J�� ������ ������� � �!� � ���� �� ��*��� ' �� �!� %0 �� ���� ���� �!� ��*���

$��� %� ��������� �� �!� *�� ��� ������� �� �!� �.� ��. ���� .��! ��� ��. ���� �� � .���� ��. ���� �� &�&%2# ��B ��

�!� %0 �� ���� �������

#&% #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 7: Kutateladze Number

������������� �� ��� "��� ��� ���!� �* �� ������� )!� *�� ��� ��* ���� �� ��� ��. :*����� �� $��� %?� �� ������ *����� � � �� �!� � ����� � *����� .�"� ��� ������ �* ��*������ �������� *����������� )!� �������� �� �!� ��������� .��!�� �!� �*.��/ �"��� .�"� �**��� �� ��!����� .��! ����� � *����� .�"� :$��� (:�?? ���� *�� ��� �� �!� ���������� )!� *�� ��� ��*��� � "��� !��! :*���� $ �� $��� %?� )!� ��. �������� �� *� �/������ �������� � ��*�������!��������;� � ��� ������ ������� ��� �� ��� �� �!� ��-�� 6� :$�� � (:�? �� :!??� $��� %������� �!�� �!� *�� ��� ������� �� ��� "��� !��! ���!���! �!� � ��� !��!�� �!�� �!� "���� ��*���� $�

$��� F !�. �"���� ���� *!������*! ����� �� �!� 12 �� ���� ��� ���� �!� ��-�� ��������� � .���� ��. ���� �� &�777 ��B � 9� $��� F:�?� .!��� �!��� � �� ��� ��.� �!� ��������� �**��� ��� ��"��� .��! � �� �� �� .�"� �� �!� ��������� �**��� ����!�� �!�� �!� ����� *����� ����� �!� %0 �� ���� �� � ������ :$��� (:�??� � �!� ��� ��. ���� � ������ �� ������ � *�����.�"� ��� ��� � ��� .!��! ��*��� ��� ���� ��� )!� �� ��� �� �!� ��� ����� �� �� �� ����*��� �� "����� �;� :$�� � F:? �� :�?? ������ �� �!� �� � �� %0 ��� �� ����� .!��� ����� ��. ��*��� ��� � ���� )!� ��� ����� �� �� .�"� :����� �����! �� ��� �� ��*��� ��/����� ���? � ���6�� ��������� �� �!� ���� *��� �� �� � ������� 5�.�"��� ��*��� ���� � �������!�� �* ���� � � � �� �!� � ��� ������ �.�� � �!� ��� ���� � � �!� ������ ��� "������� � �**����!� ��� � ��"�� .���� ��. ����� ������ .�"� ��� ��� � �� � � �� �!� � ��� ����� �* � !��� � ����� � �!� ��� ���� � )!� � �!�� �����* � �� ��"� �� � �� �+��� �"� ��*��� ������� ����)!� *���� �� ����� .�"� ����������� ���� ������ �* �� ������� �*� � ��*���� ��������� ���

$��� (� ����� *!������*! �� �!� ��. �� �!� %0 �� ���� �� � ������ �� � .���� ��. �� &�&%2# ��B �� �� �� ��� ��.

���� ��D :�? &' :? &�&&(1' :�? &�&&&F((' :? &�&&&1&' :�? &�&&&11' :�? &�&&&#0' :�? &�&&7((' :!? &�&&(2 ��B �

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � #&(

Page 8: Kutateladze Number

��"��� �!� �**������� �� �!���/���� ��. �� �!� ��-��� )�*������� �!� �!������ ���� � � ���6���� � ��� �����! �� �!� ���� � *!������*! �� �!� �!���/���� ;��� � !�.� �� $��� F:? .!��! � ����� �� �� ��� ��. ���� �� &�&00 ��B � �� !��!�� ��� ��. ���� � �!� �!������ ����� ��� � ���"������ :$��� F:�?? �� �� *��� �* �!� ���� )!� ���6�� �!���/���� ��. �������� �� ����**��� �� �!� %0 �� ���� ����

)!� *�� ��� ��* �� �!� �.� ��. ���� �� �!� �� � ������ �� ��� �� �!� 12 ����� ���� ��� !�.� �� $��� 0 ��� �!� � � .���� ��. ����� )!� � !�. �!�� �!� *�� ��� ��* �� ��� �!���� �**������� � ���� � �!� ��� ��. ���� � �� �K����� �� ������ �!� �!���/���� ��. ��������� �� ������� �!� �.� ��. ���� ���� �� ����� � ���� ����� �!� ��� ����� �� �!���/����������' ��� ��*��� ������ �.�� � �!� ��� ���� ��� ������ � "��� ��� *��� �� �!� ����� ��-����. �����

�� � �� �!� ���� *!������*! ����� �� 33 �� ���� ��� ��� !�.� �� $��� 1� A�� �� �!������ �� ���� �� �!� ���� �!������ ����� ���� � ������ ���� �� �!� �� � �� �!� ����� �*� ��� .���� ��. ���� �� &�FFF ��B �� *!������*! ��� �!� .���� ��. ���� ��� !�.�� 9� ���� ��� ��� $��� 1:�? �!�� �!� ��*��� ��� �������� �� ������ ��. ��� ��. ���� � �� �!�� �����.�"� ���� � ������ ���� �� ��! !��!�� ��� ��. ���� � )!� ������� *������ �� �!� ��. �������� � � ���� �� �!�� �� $��� F ��� �!� 12 �� ���� ���� )!� ��. �������� �� �!��!������ ;��� :$��� 1:?? �� �!� !��!� � ��� ��. ���� � � �� �!� �� � ������ � � ���� �� �!�� ��$��� F:? ��� �!� 12 �� ���� ���� 9� �**��� ������ �!�� �� !��!�� .����B��� ��. ���� ���� �� ��� �!����� 6� ��.� � �"���� �� $��� F:�?� �� �� � � ��!��"� �� �!� 33 �� ���� ����

$��� F� ����� *!������*! �� �!� ��. �� �!� 12 �� ���� �� � ������ �� � .���� ��. �� &�777 ��B �� �� �� ��� ��.

���� ��D :�? &' :? &�&&(3' :�? &�&73' :? &�&1%' :�? &�&23 ��B �

#&F #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 9: Kutateladze Number

$��� 1� ����� *!������*! �� �!� ��. �� �!� 33 �� ���� �� � ������ �� � .���� ��. �� &�FFF ��B �� �� �� ��� ��.

���� ��D :�? &�&&0' :? &�&FF' :�? &�&0%1' :? &�&0(# ��B �

$��� 0� ��������� �� �!� *�� ��� ������� �� �!� �.� ��. ���� .��! ��� ��. ���� �� � .���� ��. ���� �� &�777 ��B ��

�!� 12 �� ���� �������

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � #&0

Page 10: Kutateladze Number

)!� *�� ��� ��* �� �!� �� � ������ �� �!� �.� ��. ���� �� ��� �� �!� 33 �� ������� ��� !�.� �� $��� 2� J��� ������ �� � �"���� �!�� �!� ��� ������ � �� �!� *�� ��� ��������� � ��� ����� � �� �!� �.� ��. ���� ��� *� ��� ���� ����� � �!���/���� ����� � �������� �!� ��-�� 6� �

���� !�� �� ������ ��� ��� ��� �5��� ��6� � ������

)!� ��"� � �� ��� �� �!� "����� �"��� �� *!��� ��� �!�� ����� .!�� �!� ��� ��. ���� � ������ � .!��� ���������� �!� .���� ��. ���� ��� ���� ��� �� �!� *� ��� ��!��� ��������� L��*��� �� �� �!�� ������ �� � �� �� !�"� ������� .!�� ��-�� � ���� �/��� �!� ��-�� ������ ����� :�� ��� �.� � � � ����� �!���!�? � ����� ��!��� ��� � �����������6�� )!� � ���D :�? �*.�� ���� *��� �� ����� ����/��*� .�"� � :? ������"�� �� ��-�� �� �!���� �� �������� ��*��� � �!� �� ���� �� :�? ������"�� �� ��-�� �� �!� ��� �� ����� .�"��� �!���/���� ��-�� ��.� )!� �������� �� �!� ����� �� .!��! ���! �� �!� � ����� ��� �/ ���� ���.�

���� � !�� �� 6� ��"��� �������� � ������� "�0��)!� ��!��� � ���� �� ����� ���� �� �!� %0 �� ���� ��� �� ��� �� �!� 12 �� 33

�� ���� ��� � 5���� �� ��. ��� ��. ���� � �!� ��-�� 6� ��. �.� � �������� ��� ���� ��!� *�� ���� �� �!� ���� �� !��!�� ��� ��. ���� � ������ � *����� .�"� ��� ��� � ���� �!� ��-��

$��� 2� ��������� �� �!� *�� ��� ������� �� �!� �.� ��. ���� .��! ��� ��. ���� �� � .���� ��. ���� �� &�FFF ��B ��

�!� 33 �� ���� �������

#&1 #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 11: Kutateladze Number

������ ��� .!��! � � ��*��� ��� !���� ��� 5�.�"��� �!� � ��*��� ��� �*� ��� .��!�� � !��� � ����� ��� �!� *���� �� ����*���� �� � ��� ����! �!� ��* �� �!� �� � ������� 9� �!� �����. ���� � ����!�� ������ �� �!�� ��� ��*��� �� � ��� � �� ����� �!� ��*���������� ��� ���� ��� � ����6���� �����!� ����/��*� .�"� ��� ��� � �� �!� ��������� ������!� *���*!��� �� �!� ���� J��� �������� � � �� �!� � ��� ����� �* � �!� �� ���� ��� � !���� ������ �� ���� !��!�� ��� ��. ���� � �!� � *����� �� �!� � ����/��*� .�"� ��� � ����������! �� ����6������ �� ����� �!� ��� / �������� ���� �"������ ��� ��� ��.� ������� �� �!� ��� �� ����� �� � � �� � � �� �!� ����� � � �� �!� � .�"� ��� .�*� �* ���� �!� ��-�� ������� �� ���"�� � �!� ������ �����! �� �!� �� � ������� 9� �!� ��� �� .���� ��. ���� ��� ��. �������� ��� ����� �!�� �!� *���� �� ����� .�"� ��� ����� ���� �!� ��-�� ������ �� �!������� .�*� �* ���� �!� ��-�� ����� !�**�� ��*������ �� ������ ����� � )!��� � � ������ ���� �� ��� ������� ��� �� �!� � ����� �*.��/ �"��� .�"� � )!� ��*� �� ������ ���� *���� �"�� � ��� ����� �� ��� ��. ���� �� � � ���� ���*!�� *���� :5�.���� 73#3?� )!�*�� ��� ������� !�. � ��� �� � �� �!� �� �� �� ������� �� �� ��� � � ��� �������� ��.!��! ������ �� �!� ��*� ����� �

������ !�� �� 6� �����0�� � 7� � � ��� �� ����� ��� �������)!� ��!��� � ���� �� ����� �� �!� ����� :12 �� 33 ? �� ���� ��� �� ��. ��-��

��. ���� ����� 5���� � �!� �� ��. ���� � ������ �� ��� ��*��� ��� ��� � ���� �!���-�� ������ �� �!� � ��*��� ��� �*� ��� � �������� � �!� �� ��. ���� � ������ �����!��� �!� ��*��� ��+ ������ � �� �!� ��*��� ��� � ��� �� !��!�� *���� �� �!� �� � ������� �� �K������� !��! �� ��. ���� � �!� ��*��� ��� ������ ���� �!� ��-�� ����� ����. ��� �� �!� � �� �!����! �!� ��* ������� )!� � ���� �!� � �������� � �!��� � � ����� �������� ��. ���� �� ��-�� ��� �!� ��* ������� �!� ��� �������� ������� �� �!� ����������� �*.��/ �"��� .�"� ��� ��� ���� 9� � � �� � � ����� .�"� �� � *�� ��� �� �!����� !��� �� �!� �� � ������ �� �!� ��* *��� !� ���� ��*��� � 4��! ����!�� ������ � �� �!��� ��. ����� ���� �!� ��*��� ��+ ������ � � �� �!� .�"� � ��� *��� �� �!� ������ �� � ������� )!� *�� ��� ��* �� �!� �� � ������ �� ��� !�. � ���* �� � �� �!� �� �� �������� � �!� ��!��� � 5���� � ��� �!� � � ��������� ��� ������ .��� � ��������� ���!� �� ��

������ !�� �� 6� �����0�� � 7� � � ��� �� ����� "�0�� � ������� 8� /")!� ��*� �� ��!��� � ���� �� ����� �� �!� 12 �� ���� ��� �� �K������� !��!

��-�� ��. ���� :�� �� � ����"� �!��� ��"�� �K����� ��� ��. ����� �� .��� �� � ����� �� �!�33 �� ���� ���?� �� !��! ��-�� ���� �� ��. �� ��. ���� � ����� .�"� ��� ��� � �����!� ���� .!��! �"� �* ��� �!� !��� � ����� �� �!�� ���� �*� ��"��� �� � �� � �� �� ����*��� � )!� ��*��� ��� � ������� �*� ��� ���� � �� �!� ��. �� ��. ���� � ��*�������������� �� ��������� �*.�� �"� ��� �� �����* � �� �!� � ����� .�"� ��"� �� �� �*/*������� �� �!������ ������ )!� *���� ���� � � �� � �� � ���� !� ��*������� �� �!� ������ �"���� ���� � ����� �!� � �!������ ����� � ���6�� ���� �� � ��� ������ ���� �!���-�� ������� �� �!� *����� ��*��� ��� � ��� �� �!� ��* !��� �� �!� �� � ������� �� �� �����.�"� ��� *�� ���� � �!� �� ��. ���� � ����!�� ������ �� �!� �!������ ������ ��� � �+���� �� � ������ ������ �� �!� ���� �� � � �� �!� ��*��� �� �"�� ����! ���� �!���-�� ������ 5�.�"��� �!��� � "��� ������ ��+ �� ��-�� ��� �!� ��* ������� J��� �!� �!������

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � #&2

Page 12: Kutateladze Number

������ *��� �* �� �!� ������ ���� !��� �� �!� �� � ������� �!� �������� ��� � �� ���"��� ��� ��. ����� �� �!� *����� .!��� �!������ ����� � ���6�� �� �!� ���� !���� �����.�"� ��� ����� �* *���������� ����� �!�� ���� ��� ���� �!� �!������ ;���� 9� �!� �� ��.���� � ����!�� ������ � ���!���� �!�� � � �� �!� � .�"� �� ����! ���� �!� ��-�� ����� ��.!��! *���� �!� �!������ ����� *��� ��.�� �� �!� ����� �� ����� �� �!� �!� �������� � ������ �� � ���� �!������ ������ J��� �!� !�**�� � ��-�� � ��� �� �� � ��� ���!� ��* ������ � �������� � � .�"� 6� � $���!�� ������ � �� �!� �� ��. ���� ��� �� �������� � �� �!� �!������ ����� ��� ���� �!� ����� �� � ����� � ���� �!� ������� �� �"���������!������ ����� ��� � �� �!� ���� ���� �!� ������� )!� � � ����� ��������� �!�� �� �!� ��!��� � �!� ������ � ���*����� �� .!�� !�**�� �� �!� ��-�� ������ �� � ���� ���� �!� ��� �������� �� �!� ��-�� � �� ����� �!����! �!� ������ )!� *�� ��� ��*� �� �!� �� �� !�. � ��� �� � �� �!� �� �� �� ������� �� �!������� �� ��� � � ��� �������� �� .!�������� �� �!� ��*� ����� �

)!� �� ��� ������ �� �!� *�� ��� ��� �� �!� ��!��� �� ������ ��� *����� �� ����� ���.��! �!� � ������ � ��!�� �� ����!�� �� � ���� ��� ����� � )!� 6� � ��!��� � �� �����*.�� ���� *��� �� ����/��*� .�"� � !� ��� � ��"�� � ��� ��!�� � � ��;��� �� <��:7322?� ��=������ �� ��� :73#0? �� >�"�� �� ��� :7337?� 9� � �� � ������ ���� �� ���� �!�� �!� ����� ���� �� ��� �!� � ���� � ������ ��� :�� �!�� (% ?� )!� ���� ��!��� ���� �� �!�*�� ��� ���� �� ���� ������"�� � ��*��� ����� .��!��� ��� .�"� ���� *�� ��� �� �!� ��-������� !� ��� ��� ��*���� � ��!�� � )!� �!�� ��!��� � ����� ������"�� �� �!���/���� ��-����. �� �!� ����� !� ��� � ��"� ��������� � @���� �� A����� :73##? �� ����� :73#3?�@���� �� A����� ���� �� �!�� ������ ������� � ��. ��"�� �� .��!�� ����� .�"� �������� �!� ������ ����� �� ��� ���� ��� �!��� 6� �!����� �� ��� ��� �!�� �� �K������� !��! �����. ���� � ����� .�"� .��� ������ ���� �!� ���� �� �!��� �!����� �� � ��� / ������ ��&�%0� &�&%0 � 4��! ������ ��� ��� ��. ����� �!� � ����� � *����� .�"� *��� �* �!� ���� �������� ������� ���� .!�� ����� � *����� .�"� .��� ������ ��� � �� �!� ������ )!� � �+������!� �������� ������ "� ����� �� �!� *�� ��� �+*��� ��� �� .!��! �!� �!�� ��!��� *��"�����@���� �� A����� ���� �� �*.��/ �"��� .�"� �� �!��� �+*��� ��� .!��� ����� �� ��� ��/*���� �!�� �!� ����� .�"� �"� �* ���� � !��� � ������ ��������� 4�� �� �� 5�.��� :733#?������� �+��� "��. �+*��� ��� �� � �� � ������ �� #% �� ���� �� ���� �!�� �!��� .����� ����/��*� .�"� �� �!� ������ *����� )!�� ��*���� �!�� ������ .� ��� � � �� �� �����!���/���� ��. �� �!� ��-�� 6� �

)!� *�� ��� �+*��� ����� �� ��� ��� %0� 12 �� 33 �� ���� ��� � ����� �����!�� .��!�!� ��"� � ��"����� ��� ����������� ������� �� � ����� �+���� �!� *� ��� ��!��� � .!��!������ �� ������ >�"�� �!� ��-�� � � � ����� �* ���� �!� ��-�� ��������� *���� ��������� �� ������ �!� *�� ��� ��� !� �����6� �!��� *� ��� ��� �� ������ �.�� �+�� ��-�� ��. ����D ���!� ��� �!� ���� �� �!� ��� �� ��!����� .�"� ' �� �!� ��� �� ��*��� ' ���� �!� ��� �� ���/��!����� .�"� ��� � ��� � �� �!� ������ 9� �!� 6� � �� �� �� �� � � �+������� �!� ���� �� �� �!� ������ *���� � ���� ��� � .!�� !�**�� ��� � �� �!� ��-�� ������.!��� �� �!� �!�� �� �� .!�� !�**�� ��� � �� �!� ����� � �� *�� � � *�������� �� � �� �!� 6�������� �� �!� ��!��� ���� �� ��� �����.�� �!���!� ��� �+� *��� !�. �!� ��. *��� ����� ��� � �� �!� ����� �� �!� �!�� ��!��� � �� �!� *���� ��� ��� ����� �� ����� � *������ �����.�"������! .�"� ��� � �� ������� �� �!� ������� �� ����/��*� .�"� �� ������� ��� �� /���� �

#&# #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 13: Kutateladze Number

� ��� ������ �� ����� �� ��� ���

)!��� ��� � �� �� �� ����������� �� �!� ���������� �� *����� �!� �� �� �� ������� ����� ����������� �!� �� ��. ���� �� .!��! ������ .��� ����� ��� � ��"�� ��-�� ��. ����� )!� ������������ ���� ����� ���� �!��� ��������� D

:�? C���������� �� �!� 4���� /��*�� .!��� �!� ������ �� �� ��-�� �*��6���� "�������� ������������ � :4���� � 7317' 5�.��� �� 4���� � 731(?�������

� �>

� � �7

������� �

8

� � �%� �7�.!��� � �

> �� � �8 ��� �!� � �� ����� �� �� ��-�� �*��6���� "�������� ��"�� �

� �> � �>

�������������>

����

��� � �

8 � �8

�������������8

����

�� �%�

:��? C���������� �� �!� L�������;� ��*�� .!��� �!� ������ �� �� ��-�� �*��6���� "�������� ��� ��������� � :���� 7323? �� ��� �� �!� *!� � L�������;� �� ��

���7�F> � �(���7�F8 � �F� �(�

.!��� ���> �� ���8 ��� �!� � �� ����� �� �� ��-�� �*��6���� "�������� ��"�� �

���> � �>

�%>

����

� �7�F

�� ���8 � �8

�%8

����

� �7�F

� �F�

:���? C���������� ��"��"��� ��!�� *��� ���� .!��� �!� �� �� ��-�� �*��6���� "�������� ������������ �� ��� �� ��!�� *��� ���� � ��� �+� *��� � $��� :731&? �

��>

��8

�8

�>

� �&�F �>

�8

� �&�20

� 7�F� 7&F � 7(&&�%�

� �7�%

� �0�

.!���

� � 3%�&� � &�(( �� ��8 � 71&&�

� � (70�F� � &�0 ��!��.� ��

.!��� 9��8 � � � �� �!� �*��6���� ��-�� "������� �� �!� ��� �� �����)!� 4���� /��*� ����������� !� �!� ��� �� ���� � � *��� ���� �� �!� L�������;�/��*�

�� ���� )!� !� �� �� � � ���� � �� .!��!�� �� ��� �!� ��� �� ���� !� �� ����� �������� �� ���� *� !�"� ��� �� �� ��������� �!� �.� "��. � ���!��� :73#7? �� ������� �� ���:7331? ���� ��� � � �� ������� ���� ��� � �!�� �!� 4���� /��*� ����������� .��� .��� .����� ��� �� ���� ��� �� �!� L�������;�/��*� �� ����� �� ���� ��� � 9� ���� �� "����� �!� ���� ����� �!� ��� ������ �� �!� *�� ��� ��� ��� �� *��� �� $�� � #:�? �� :? .��! �!������������ �� 5�.��� �� 4���� :731(? �� �� ��� :7323?� $��� #:�? !�. �!� ��� ��� %0 �� ���� ���� �� �� ��� � ��� �!�� �!� 5�.��� �� 4���� :731(? ����������� :.��! �!� ��� ���� �7 �� �% !�"��� "���� �� 7�& �� &�##� �� *����"���? *����� �!� ��� ����� ���!���!� �� !��!��-�� ��. ���� � �!� ����������� ��� �!����! � ��� � �!�� � ��� *!� ������ *� ���� )!� ����� �!� 12 �� ���� ��� ��� �� *��� �� $��� #:?' !��� �!� ��� :7323? ����������� �� �!�

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � #&3

Page 14: Kutateladze Number

L�������;�/��*� :.��! �!� ��� ���� �( �� �F !�"��� "���� �� 7�& �� 7�23� �� *����"���?*����� ��! ����� �!�� �!�� �� �!� 5�.��� �� 4���� :731(? ������������ .!��! �"�� *����� �!� ������ "�������� ��� �������

$��� #� :�? C� *��� �� �� �!� �+*��� ����� ��� �� �!� �� "������� �� ������ .��! �!�� *������ � �!� ����������� ��

5�.��� �� 4���� :731(? :�!�� ����? �� ��� :7323? :�!��� ����?� )!� � �� ��*�� ��� ��� ������ ��� �!� *�� ���

�+*��� ��� �� �!� %0 �� ���� ������� :? C� *��� �� �� �!� �+*��� ����� ��� �� �!� �� "������� �� ������ .��!

�!�� *������ � �!� ����������� �� 5�.��� �� 4���� :731(? :�!�� ����? �� ��� :7323? :�!��� ����?� )!� � ��

��*�� ��� ��� ������ ��� �!� *�� ��� �+*��� ��� �� �!� 12 �� ���� �������

#7& #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 15: Kutateladze Number

���!���! �!� �.� ��*� �� ����������� �+!��� �!� �+*���� ���� .��! ������ ��� ��� �� ���������!�� �� �!� � �� *������ ��� �������� ��=������ �� ��� :73#0? �� *��� �!� *����� ���� �� �"���� � *������ �� � �/� *������ ����������� ����� � � ��� �� �� %21% ��� *���� �� *������ �!� ���������� �� ������ ��"��"��� ��� ������ � ��� � �� �� �� ��� �� � ����� ������� ��� �� ���� �� �� � ������ �����! � )!�� ������� �!�� � ��� �!� � *������ ����������� ��!�� �� ���� ��" �� ��� :732%? *����� � �!� � � .��! � .���!�� ����� �� %#M

��> � &�%021���&�%% ��&�%1� �1�.!��� :�> � �!� �� *!� � L�������;� �� �� �6�� ��"�� �� !� �� ; ��� �!� $������ �� �� �!� ��� �� ��� �� *����"���� �� ��� �6�� �

�� � �8�&�%0��8 � �>�&�20�&�20

� �2�

� � �%��8 � �>���

� �#�

��=������ �� ��� :73#0? *��*� � �� � *��"� "�� ��� �� �!� ����������� �� ���� ������� ��"� �� ��� �� ��-��

��> � &�%1# �&�%1���&�%% 7

�� ��8

��&�7#

)!� ����������� *����� � ������ .��! �!� .���!�� ����� ���� ����� �� %1M� � ��� �!� � �/� *������ ����������� � �!�� ���� �!�� �!� ����������� �� �!����!�� �� ��� :732#? *����� ��!� � � .��! � .���!�� ����� �� (0M

%�.� �%8

�7 � ��% �%��� �%

>

�%�0� �7� ��� �3�

�� � �. � 7F�1�7� ��7�#2��. � &�&&0�

�7&�

9� "��. �� �!� � ���� ������� � �!� ��� ������ �� �!� *�� ��� ��� �� �!� %0 �� 12 �� ���� ��� ��� �� *��� .��! �!� *�������� ��� �- � :1? �� :3?� )!� �� ��� ��� !�.� ��$��� 3� 9� ��� � ��� �!�� �!� ����������� �� ���� ��" �� ��� !�. �+������� ����� ��� .��! �!���� ��� �!� %0 �� ���� ��� :$��� 3:�??� �� �!�� �� ����*����� �!� ��� �� �!� 12 �� ���� ��� :$��� 3:??� )!� ����������� �� �!����!�� �� ��� �"��*����� �!� ��� ��� ������ ����! �!� �� � �

)� � ���;�� �!� ��"� �� *��� �� .��! "����� ����������� !�. �!�� �!� ��� �� �!� %0 �� ���� ��� *������ .��� � �!� ����������� �� 5�.��� �� 4���� :731(? �� ���� ��" �� ���:732%? ��! �� .!��! !�"� �!� ��� �� ���� � � ����6���� *��� ����� )!� ��� �� �!� 12 �� ���� ��� ��� *������ .��� � �!� L�������;�/�� ��/� � ����������� �� ��� :7323?�.!��! �"��*������ ��� ������ �!� ��� �� �!� ����� �� ���� ���� )!� � � ��"����� ���������� �� �!� ���� ��� �!�� �!� ��� �� ���� � �� � *������ *��� ���� �� ���� ����� �!������� "�������� �� ��� ��� �� ���� �

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � #77

Page 16: Kutateladze Number

$��� 3� :�? C� *��� �� �� �!� �+*��� ����� ��� �� �!� �� "������� �� ������ .��! �!�� *������ � �!� ����������� ��

���� ��" �� ��� :732%? :�!�� ����?� ��� :7323? :���� �!��� ����?� 5�.��� �� 4���� :731(? :�!��� ����? �� �!����!��

�� ��� :732#? :���� �!�� ����?� )!� � �� ��*�� ��� ��� ������ ��� �!� *�� ��� �+*��� ��� �� �!� %0 �� ����

������� :? C� *��� �� �� �!� �+*��� ����� ��� �� �!� �� "������� �� ������ .��! �!�� *������ � �!� �����������

�� ���� ��" �� ��� :732%? :�!�� ����?� ��� :7323? :���� �!��� ����?� 5�.��� �� 4���� :731(? :�!��� ����? �� �!����!��

�� ��� :732#? :���� �!�� ����?� )!� � �� ��*�� ��� ��� ������ ��� �!� *�� ��� �+*��� ��� �� �!� 12 �� ����

�������

#7% #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 17: Kutateladze Number

� � ��� �� ������

)!� ����� �� �� � ������ �����! �� ������ !� ��� ��"� ������ � � �� �� �� �� ����!�� �5�.��� �� ��� :7310?� ��;��� �� <�� :7322? �� ��=������ �� ��� :73#0? ��*���� �!�� �!� �� "������� ��-���� ��� ������ ������ � �� �!� � � ��-�� ��. ���� � �!� �� � ������ �����!����� � � 5�.��� :7322? ��*���� �� �����! ����� .!�� � !��* �+�� �������� .� � � �� �� �"��!� ��-��� @���� �� A����� :73##?� .!� � � � *���� ����� ��� ��-�� ������ ��*���� �������! ����� �� �!��� �+*��� ��� �� � 0&�# �� ���� ���� ��������� ����� �� N� :7311?��*���� �!�� �!� �����! �� �!� �� � ������ !� �� ����� �� �!� ������ "������� .!�� ���! ������� ������ �������� .��� ������ ��� �!� ��-�� ��.� �� �!� �� � ������ �����! � ��� ����� ��� !��* �+�� .� *��"�� ��� �!� ��-��� 9� �!� *�� ��� ���� �!� ���� .� ��� �� � �� .!�� ���"������� .� ��-���� �� ��� � ������ �� �� � �� !�. �!� ������ .� ��� �� )� �!� ����+*��� ��� !�"� ��� ������� �� � �� � ������ �����! �� &�0 :�� ������ �� �!� � ��������*���� ��� � �����! �� 7�# ? *���6����� �� ��� �� �!� ��!��� �� ������ �!���� .��! �� � ������ �����!�

9� �!� %0 �� ���� ���� �!� ����� �� �!������ �!� �� � ������ �����! .� ��� �� ������ ���!�� ������ ��.�� ������� � �!� �*.�� .�"� ���� *��� ��!��� � )!� ���� �!���� �� �!��� ��� ��.��� �!� �.� �� � ������ �����! .� �!�� �!� ��� ��. ���� ��-���� ��� ������ .� !��!�� �� �!� &�0 ���� �� � ������ �� �!� � � .���� ��. ����� )!� �������� .� ��� �� ��..���� ��. ���� �

9� �!� �� � �� �!� 12 �� ���� ���� �!� �� ��� ��� �!� &�0 ���� ��� !�.� � -��������"��!���� ��� �!� � ������ �� �!� 7�# ���� ��� �� �!� � � ��-�� ��. ���� � 9� .� ���� �!���� �!� &�0 ���� ������� ������ � ��� ����� ��� .���� ��. ���� &�&00� &�&#( �� &�777 ��B �"�� �� �!� !��!� � ��� ��. ����� 9� �!� 7�# ���� ������� �!� !�**��� ���� �� &�&%2# ��B � �������� ������� � �!� ���� ��!��� :��*��� ������"��? ��� .���� ��. ���� �� &�&00 ��&�&#( ��B �� � �!� �!�� ��!��� :������"�� �� �� �!������ �����? ��� !��!�� .���� ��.���� � 9� �!� &�0 ���� ������� ������ � �!� ���� ��!��� ������� �� &�7(3 �� &�711 ��B �� �!� �!�� ��!��� *��"���� ���� �� !��!�� .���� ��. ���� � )!� � � ����� � �����! �� �!��� � ������ ����� �!� �� �� �� ������ � �!� �!�� ��!��� � �� ��� ��. ���� � �� .� �����!�� � !��!�� ��� ��. ���� .� ��-���� ��� ������ �� ���� *���� �� �!� !����� �� � ������� )!� �� � �������� �� �!� .�"� !���!� ���� �� �� � !����� ������ ��� �!� � � ��-�� ��. �������� � �� �!� !����� OO����!PP �� � ����� �"������ ��� �!� ���.�! �� �!� .�"� �

���!���! � �� �� �� ���� �� ������ !�"� ��� ������� �� ������� ��� �����! � ����������!� �� 5�.��� :733%? !�"� *��*� � � ����������� �� ���� �+*����� ������� �� �!� �����! �� �!��� � ������� < ��� �!� ��� �� 5�.��� �� ��� :7310? �� � ��� �� ���� �� (7�# � �!�� ���� �� � ��6������ �� �!� 5�.��� �� 4���� :731(? ����������� �� ���� ������� �� �!� �����! �����D

��������� �

�>

� � ���������� �

�8

� � �� �77�.!��� �!� ���K����� � � �!� �������� �� <B� �� � ��"�� �

� � &�73%#� &�&7&#3��

� �� (�20F � 7&�0 �

� �%

�� ��� � 7%&�

� � &�31 � 7 �� ��� � 7%&�

�7%�

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � #7(

Page 18: Kutateladze Number

$��� 7&� :�? C� *��� �� �� �!� �� "������� ��-���� ��� ������ �� �!� �� � ������ �����! �� &�0 : -���� �� ����

����? �� 7�# :�� �� �� ��� ����?� )!� � �� ��*�� ��� ��� ������ ��� �!� *�� ��� �+*��� ��� .!��� �

�!� ���"� ��*�� ��� �!� ����������� �� ������� �� 5�.��� :733%? ��� �!� %0 �� ���� �� � ������� :? C� *��� �� ��

�!� �� "������� ��-���� ��� ������ �� �!� �� � ������ �����! �� &�0 : -���� �� ���� ����? �� 7�# :�� ��

�� ��� ����?� )!� � �� ��*�� ��� ��� ������ ��� �!� *�� ��� �+*��� ��� .!��� � �!� ���"� ��*�� ��� �!�

����������� �� ������� �� 5�.��� :733%? ��� �!� 12 �� ���� �� � �������

#7F #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �

Page 19: Kutateladze Number

)!� ��"� ����������� !� ��� �**��� �� �!� *�� ��� ��� ��� &�0 �� 7�# ���� �� � ������ ��� �!� �� ��� ��� ��"�� �� $��� 7&:�? ��� �!� %0 �� ���� ��� �� �� $��� 7&:? ��� �!� 12 �� ���� ���� 9� ��� � ��� �!��� ���!���! �!� ����������� *����� �!� ���!� ����� ����� ������ ����� "������� .��! ����� ��� ��� �����! ��� � ��"�� ��-�� "�������� �!� *�������� � ��� ���!-���������"���� )!� ����� �� �!� �� � ������ �����! �� ������ �!������� �� ��� �� � -�����6������������

! "�����# �� ���������

9� �!� *�*��� �+*��� ����� �� ��� ������ ��� ��. "� ����;����� ���� �� *�� ��� ��*�� �.� ��. ���� �� ��� ��� �� �!��� ��� �� ������� �� ���� ��� *�� ����� )!� ����*!��� ��� .!��! ����� �� �������������� ��.� � ��� � ������ � ��� ����� ��� �����6��)!� � ��� �!� ��� ����� �� ����� .�"� ' �!� �������� �� ��*��� ' �!� ��� ����� �� ����/��*� .�"� �� �� �*.��/ �"��� .�"� �� �!� %0 �� ���� ���� 9� �!� 12 �� 33 �� ���� ��� ��!� �� � �.� ��� � ���� 5���� � �!���/���� �� ���� ��-�� 6� ��. ���� � ����� �� � *���� ��������� )!� � *!��� ��� *��"�� �!��� *� ��� .�� �� .!��! ������ �� ���� *������� ���� � �*.�� ���� *��� �� .�"� ' � ������"�� �� ��-�� �� �!� ��� �� ��*��� ' �� �������"�� �� ��-�� �� �!���/���� ������ )!� 6� � �� �!� � ��!��� !� ��� ���� �� ��������� �� �!� %0 �� ���� ���� )!� ���� ��� ����� �� �!� 12 �� 33 �� ���� ��� ����. ��-�� ��. ���� .!��� �!� �!�� ����� �� ����� ��-�� ��. ���� �

)!� � �������� �� ��� ��� �� �!� *�� ��� ������� �� �!� �.� ��. ���� ����� .��! ��."� ����;����� !�. �!�� �!� ��� �� � �� *�� ��� ������� � � ������ .��! �!� ��� ����� ���*.�� ���� *��� .�"� � �� �� �!� �!���/���� ������ )!� ���������� �� ��*��� �� ��� ��� ���� �� ���� �!� ���* �� � �� *�� ��� �������� )!� � �!� *�� ��� ������� "�������� .��! ��� ��. ����� � ��� �������� �� ������� �+��*� �� �!� ���� ��!��� .!��� ������ ����� � ���/���"�� �� ��*��� � 5���� �!� *���� �� ������ !��� � �� � �!�� ��. ���� �� .!��! � � ��-���**��� ��"� �!� ������ )!� ������ "�������� ������ �� �!� *�� ��� ��� �� �!� %0 �/� ���� ��� ��� *������ .��� � ����������� ��"��"��� �!� ��� �� ���� � � ����6���� *�/�� ���� :��� �+� *��� �!� � �� 5�.��� �� 4���� � 731(' ���� ��" �� ���� 732%? .!��� �!� ��� �� �!�12 ��� ��� *������ .��� ���� � �!� L�������;�/��*� �� ����������� �� ��� :7323?� .!��!�� ��� ��"��"� �!� ��� �� ���� � � *��� �����

)!� ����� �� �� � ������ �����! !� �� � ��� ��"� ������ � ��������� ������ �+*��� ��� �� � �� � ������ �� &�0 ���� �� ��� �!� �!��� ��� �� ���� � 9� !� ��� ���� �!�� ����� ��� �!������! � ��� �!���� �!� ��!��� �� ������ �� �!� %0 �� ���� ��� �� � � �� � ��� � �� �!� 12 �� ���� ���� 9� ��� �!� �� � � �� .� ���� �!�� � !��!�� �� "������� .� ��-���� ��� ������ �� �!� !����� �� � �������

��$��%�� �������

)!� .��� � ���� �� �!� *�*�� .� ������ ��� � *��� �� � �� ����! *������ �������� � �!�A�*��� ��� �� ������� �� )��!������� 9����

#� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- � #70

Page 20: Kutateladze Number

&���������

���� ��"� ��I�� I����;���� ����� >��� � �"� I���� 732%� A���� ������� �� ������ ���� �� ������� *������ � 5���

)��� � , ��"��� �� � F� 703,71(�

������� ��>�� 8��� ��C�� 73#%� � �������� ��"��. �� �!� ������ ����������� <� N������ ���������� C� � ���� ��*���

N�� N<��>BC�/(&1&�

�!����!��� A�� 4���� � >���� ���!����5���� 732#� ���,.���� �������������� ������� ��.� �I�9 ��*��� N�� NI/2#1�

������ ��� 73#3� ��������� � �� ������ ���� ��� 6� ��-��� ��� ����� �� ��� *��-�� *���� "�������� �� �� � � ��

������������� � �� D ���� ����� "�� 7������� ��� ��������� � ������� I!�A� �!� � � 9� ����� N�������

I����!���-�� � >������� >������� $������

C����� ��C�� I����!��� C�8�� N��� ��� ����� 7311� )!� ����� �� "� �� ��� �� �!� ������ �������� �� .���� .���

���� � � C!� � ������ ���� %7� #2,30�

A������ ����� � ��!� 8�� 73#%� ).�/*!� � ����������� �� ������� ������� ��.D ���� �� �!� ������ ��!��� �

������ ��*���� N�� 73#0,J����� 73#2� N<��>BC�/&172� <� N������ ���������� C� � ���� 4� !�������

AC�

$���� $�� 731&� $������ ��-�� 6� .��! �������������� ��� ��. �� "������� ��� � �A9/$�� �!��� �!���� F#7� %1�

>�"��� ��5�� 5�.���� >�$�� ���!���� 5���� ������ ��� 7337� $������ �� �!��� ��. �� "������� *�*� � 9��� �� �����*!� �

$��. 72� %2,FF�

5�.���� >�$�� 73#%� 9�D 5�� ����� >� :��?� 5����� �� �����*!� � $��. �� �� � ��>��./5���� N�. Q����

5�.���� >�$�� 4���� � >���� 731(� $������ �� � ������ *!��� ��� �� ������� 6� ��. �� � "������� ���� <L���

��*���� ���� �/F&%%�

5�.���� >�$�� 8����� I���C�� N��!��� � �� 7310� )��� ����� �� 6� ��. �� � "������� ���� �� *� �� �� ).�/*!� �

$��.� I�*�� �F� �+����� �������

5�.���� >�$�� 7322� 9������� �� �� �������� � ��� ����������� �� *!� ���� *��*����� �� ������ �� �� ,��-�� ��. �

<L��� ��*��� N�� 5)$�/��%%%�

5�.���� >�$�� 73#3� C������������� �.�/*!� � ��. 9�"��� �������� $����! 9������������ )�*���� ������� �� N������

������� )!�� �� 5������� � L��� ��!�� >�� ����

�������� ��� 5�.���� >�$�� 733%� I�������� �� �!� ���/��/�!��� ��. ���� ����� �� "������� �.�/*!� � ��.� 9��� ��

�����*!� � $��.� 7#� #F2,#1&�

�������� ��� )����;� ��� 5�.���� >�$�� 7331� )!��������� ��"� �������� �� �!� �� ���� ����� �� ������ ��

�������������� ��.� 9��� �� �����*!� � $��. %%� (&2,(%F�

�������� ��� 4���� � N���� C������ A���� 5�.���� >�$�� 733&� )!� *�������� �� ��. �"�� ����! ������ �� ��

�**�������� �� �!� �����*�������� �� ��!��� �� !���;����� ������� ��.� I���� ����� ���� 8��� �F(7� 27,##�

������ ��5�� N�� 5�C� �+*��� ����� ��� �� �!� *�*� �����! �� *�*�/�� ��� ���� �� ������� 9��� �� �����*!� �

$��. %%� F33,07F�

��-������� L�4�� 4!������ I���� 5.����� >�$�� 73#0� $������ �� "������� �.�/*!� � ��.� 9��� �� �����*!� � $��. 77�

2F7,21&�

���!���� 5���� 73#7� $������ �� ��� �� ������� 9��� �� �����*!� � $��. 2� 1F2,10#�

���� L�5�� 7323� $������ ����������� ��� �4� ���� �**�� ���*���� �� ���� ��/����� ���6�� � 9�D ��;������

)�N� :��?� I�������� �� �����*!� � $��. �� 5��� )��� ��� �� *� �� 4��� !�*� ��� � ����!� $������ **�

7170,71(0�

��;���� L�5�� <��� )�� 7322� ��!�"���� �� ��-�� 6� �� ������ �� �������������� �.�/*!� � ��. I��� 7� $��. ��

�������� ��� � 9��� �� �����*!� � $��. (� 072,0(%�

4�� ��� ��� 5�.���� >�$�� 733#� ����� �� �� ���� �� ������ ���������� ��!��� � )!�� 9������������ C���������

�� �����*!� � $��.� 8���� $������ ���� #,7% 733#�

@���� � >���� A������ ����� 73##� C������������� �� ,��-�� ������� ��. �������� �!� ������ ����� �9C!� (F�

(#3,(31�

#71 #� $ %���� �� ��� & �������� ��� '����� #��� ����� !�" �( )��� * (+(,- �