kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y...

160

Upload: others

Post on 15-Jul-2020

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��� ����

������ � �� �� � �������

���� ����� ��

��� ���� �����

���������� � ����

������ ����

Page 2: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

������

����� ������ �� �� ������ �� ��� ���� ���� �� ���� ��������� ������ ����� �� �������� ������ ��� ������ ���� ������ ������� �� ������� ������������ ����� ��� �� ���������� ������� � !������� ����� �����������" �� �� �������� �� ���� �� ��������� ���� ��� ��� �� �� ������ �� � ���� �� ���� � � ��� ��������� �� ����� ������ � �# �� �� $�� ����� ��������� �� ���� %������� � ��� � �� � �������� �& �� �� ������ ������ ���

'�� ��� ����� ���� �� ����� �� ��� ��� ������ �� ������ ���� � �� !��� ��#� �����( ����) *+,-.'/,01 �2 *!010 2�1"�3!0� �������� �"� ������� +�/� ������ �445� ����� �� ��� ��� � � � � ����������� �����

.��� ���� �� �� �#� ��������� ��� �� ���� �������� �� �� $��� ������6������ � ������� � ������� ���������� ������ � �� ����� �� ����� �� �������� ������� ����� ��� ������ �� �������� � ���� � ��� �� �������

��� ���� � -�������������� �

Page 3: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�������

� ����������� ���� *��� ���� �� ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 5��7 2� ���� ����� �� ��������� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � 8

��7�� -������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �7��7�7 ,���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �8

��9 2� ���� ����� �� ��� � ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � 7���) ���� ������ 6 ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 7)

��)�� :����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 7)��)�7 .6������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 74��)�9 -����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 9���)�) *���� ������ �� ������ 6 ����� � � � � � � � � � � 9;

��< / ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 95

��������� �� �������� ��7�� � ��� �� ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 94

7���� %*������ �$�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )87�7 =��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � <�7�9 -��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � <;

7�9�� 0� ���������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � ;�7�9�7 %3��� �� �� ���������� �������� � � � � � � � � � � � ;9

7�) ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;<7�)�� 1������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;;7�)�7 :������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;57�)�9 ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;87�)�) =�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 5�7�)�< ������� ��� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � 597�)�; ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 557�)�5 %3��� �� ��������� 7�<<� 7�<5� 7�;� � 7�;� � � � � � � 587�)�8 -������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 897�)�4 %3��� �� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � 857�)��� ,����������� ���������� � ��������� � � � � � � � � � � 84

9

Page 4: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

7�< >#6��� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4)7�<�� >� ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4<7�<�7 .6������ �� ������ ��������������� � � � � � � � � � 487�<�9 %3��� �� ������ 7�87 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

7�; / ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��9

� ������� ������� ���9�� *#� ����������� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��99�7 �������������� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��<

9�7�� %��� � ��� �� �������� �6�� � � � � � � � � � �7)9�7�7 %��6�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �749�7�9 %3��� �� �������������� ��� � � � � � � � � � � � � � � �9�

9�9 / ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �9)

� ������� ������������������ ���)�� ��� ?��� ������� �� �������� �� � � � � � � � � � � � � � � �94)�7 %3��� �� !������� ����� ���������� � � � � � � � � � � � �)5)�9 / ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<�

����� ���

Page 5: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

<

��������

�� ���� ����� � �� �� � ���� ��� ��� �#�� �� ���� ���� �� �� �������� @ ����� � �� � ����� ��� ��� ���� �� � ���� �� �� ����� ���� � A �B�C� " ���� ������ ��� �� ����� ���� ���� �� ���� ��������� �� �� � ���� ���� �� �� �������� ���� ���� ��� ��� � � � � �� � ���� �� �� ���� � A �B��� ��� � � � � ��C� 2� ������� � ���� ������ ��� � ����� ��� �������� ���� ���� ����� ������ ����� �� ����� ������ ����� �� � �� � ��� � ����� �� �� ���� ������ �� ��������� ��� �� ��� � �� ���� ������� �� ������� @ � ���� ������������ �� ������������� ��� �� ���� �� ��������� ���� � �� �6� �������

*#� �� ���6���� �� ������������� �� �� �� #� ���� �� �#� ������� @��� �� �������� ��� ����� �� �� ����� ���� ���� �� ���� ��������D ������� �� �� �� �� ���� ��� ����� �� $��� �� �� ��� �� ���� ���� �� ��������� ���� ���� �� ���� �������� �� �� �� ����� �� � �������� >�� ����� �� �� ���(

% �� ������ �� ������ ���� ��� �� ��� ���� � ����� �� ����������� ���� �� ��� ���� ���� �� ������� �� ��� ��� �������� �������� �� �� ����� � ��� ������� ������ � �� ���� � ��� ��������� ���6���� 2� ���� ��� �� �� ���� �� � B�� �C �� � ���������

% �� ���� �� �� ����� ����� ��� �� �� ���6���� �� ������� � ���*� �� �� ����� ������� �� ��� ������� ��� � ������ �� ����� B�� �C � � ���� � �� ���� �� ����� �� �� ���� �� �� � ���������

% �� �� ������ ��� � �� ����� ����� ����� ����� ���� � ����� ���������� *� �� ���� � ���� ������� � ��� �������� �� �� � � �� �� ����� ���� ������� � �� ����� �������� �� -� ����� ���� � ���� � ������ �� �B�� �� � �C �� $�� ���������

% �� ����� �� ������ � �� ���� � �� �������� ���� ���� 3�������������� �������� �� �� ��� �� �� � � � � � � ��� ��� �� � � ���������� �� ��� �� �� ���� �� �B �� � � � � �C �� � ���������

.��� 6������ ��� � ���� ��� ������� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���� �� ��� �� ���������

Page 6: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

;

Page 7: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

������

����������

��� � �������� �� ���� �������

����� �� ������� ��� ����� � ����� �� ��� ��� ���� �� �� �� ��� ��������� �� ���� �� �� ���� ��������� 2� �� ���� ���� ����� ������ ��� �� ���� ���� �� �������� � �� ������ ����� ������ 6 ���� 2� ��� � �� ������ ��� ������ �� �� � �������� ��� ����� � �� �������� ����� ������ 6 ����>�� �� ��� ���� ��������� ������ � �� �� ���� ����������� �� �� ������������ 1���� �� ����� � ��� ���� � ���� ���� �� �� ���� �� ��� �������� ��� �� ������ ��� �� �� ������� ������� �� ���� ��� ������ �� �����������

��� �� ������� ���� ���� �� ����� �� ������ ������� ������� � ����� �������� �������� 2� ������ � �� ������ �� � �� ,��� �� ����� �� � ����������� �� �� �� � � �� ��� �� ���� ���� B�� �C� ������ �� ���� ���� �� B�� �C���� � � � �� ������ ������ �� �� � 2� ������ ��� �� ���� ���� �� �� �� ������ ������ �� �� � �� ���� ������ �� ���� ������� ��� �� ������ ���� �������� �� � � �� ������ �� �� ������� �� � �� ���� � ������ =������� �������� ������ �� ���� ��� �� ������ ���� �� �� � � �� ����� ��� �� �� ���� ������ ����� � B��� ��� � � � � ��C� ��� ���� �� ��� ��� � � �� �� �� �� ����� �����

2� �� ��� ����� �� �� �$���� ��� �� ���� �� �� ���� �������� ��(

� � !�"������ ������ �� � ��� ���� ������� � �� ������ �� � � �� �� �� ��������� ( �� ��

.��� �� �� ����� ����� �� � �� ����� � ��� ����� ���� B��� ��� � � � � ��C �� ������� �� ���� �B��� ��� � � � � ��C � �� 2� ������ � �� ���� ����������

��� � � � ��� ������ ���� � ���� �� �� *��� ���� ��� � �� �� ����������

5

Page 8: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

8 �������� �� ��������� �!"

�� � � �� �$���� ��

�� A ��B��� ��� � � � � ��C � B��� ��� � � � � ��C � ��

�� ���� � �� ���������� ������ �� ���� ���� �� ��������� �� �� ���� ���� �� ��� �#�� ��� �� ���� �� ���������6��� >�� ��

��� �� �� ���(

� #��������C �B��� ��� ��� ��C A ���

�� � �

����

��� ����� �� �� ���� �� �� $�� ��������

� �$�� �� ������ �� ���� �� � 2����� �� �� ���� � �� � �� �� �� ��B���7� �

�� �C� ��� �� ����� �� �� ����#���� ���� �� �������

�B���7� �7� �C A � � �� � �

9B�7C � B�

7C� A � E

�7A

�9

�7

�C �B��� ��� ��C A ������������

� ����� �� �� ���� �� �� ��� �������� � ��

�$���� �� ���� B��� ��� ��C � �� ������� B�� �� �C� ��$�� �� ������

�� � �� A ��� �B�� �� �C��

FC �B�� �� �C A �����

��������

�� � ����� �� �� ���� �� �� ��� �������� � ���$���� � ���� ���� ��� � � �� !��� ����� ��� �� �� ������ �� � �� � ������������ � ������ ��� �� � ��� ����� �� ���� ������ @ �������� ���� ����� � ��� � � ����� ���������� ��� �� ���� ����� ������ ��� � � � � ��G

��� �� ������ ��� ��������� � ��������

,� �� �� �#� �� �� ��#� ���� �� ������ �� ���� �� �� �� ��������� �� �� ������ �� � �� ������� /� �� � �� ����������� ��������� �� �� ������ �� ���� ���� ���� �� ����� ���� ���� �� ��� ��� ��� �� ���� ��� � ��������� ���� ������ �� ���� �� ������� �� ������ � ������ �� ���� >������ ��� ����������� ��������� �6� ����� �� � �� ��� �6��� �� ���� �� ��� ��������� ���� �� ��� ���� ��������� " ���� �� ������ ��� �� ���� � ���� �� �#6� �� ����� �� ��� ����� ������ ��� �� ���� �� �� � ���������

*� �� ������ ����� ����� ���� ��� ��� �� ����� � �������� � � � � ������� �� � ��� � �� ��� ����� � �� �������� � �� ���� �� �������2� ��� ��� �� ���� ���� A�B�� �C�

*#� �� �� �� ��� �� �� ��� ��� �� �� � ��� ��� ������ ��� �� ���� �� ��� �������� ��� ��� ��$���� �� � �� ������� ����� ������ 6 ���� �� ���

Page 9: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��#� ��������� �!" $% �%�� ��&�� $�!��'%!� 4

x

(x,y,0)

y

f(x,y)

(x,y,f(x,y))

z

*���� ���( :���� �� ������ ��� �

��� �� ���� ����� ����������� � ����� �������� ���� ���� ��� �� � ��� ��� =��� ��������������� � � � ��� �� B�� �C ������ � �$�� �� ������ ��� � � ��� �� $������� �� ������ � ���� ������� � � �B�� �C� ������� ���� B�� �� �B�� �CC ����������� ��� �� ���� � �� ������� ����� ������ 6 ������ ����� ������ ������ �� ������ ��� ���� ���� � � .� $��� ���� 2� �$����� ������ ���� � �������� �� ���� ���� �� ����� B�� �� �B�� �CC� ��� �� B�� �C ������ ��$�� �� ������ ��� � �

!��� ����� ��� �� �� � ��� � �� ��� ���� � ���� �� ������� ��� � �� ��� ��� �� ������� �� ������� *� �� �� � �� �B�� �C� $���� �� �#� � ������B�� �� �C� ������� ������� �� �� ����� B� � �������� �� ��� ��C ��� �� �#��� �� ������� ���� ��� ��� � �� ���� B�� �� C� *��� �� ������ �B�� �C�� � ������� � ���� ������� .� $��� ��7�

� � #�������3��� �� ��������#6 �� ��� �6���� ���� �� ��� � �� ������ ��� �� ���� �� ��� ��������� 2� ��� � ����� �� ��� ����� ��:!0 ��� �� ����� ������� ����#����� ���� ����(

�C �B�� �C A ��

�C �B�� �C A F B�� E ��C

FC �B�� �C A �����������

2� �$����� ���� ����� � ��:!0 �� �� �� �#����� �������(

Page 10: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�� �������� �� ��������� �!"

x

(x,y,0)

y

(x,y,f(x,y))z

*���� ��7( ���� ���� �� ���� �� ������

��� ����� �� ����

��� ����� �� �������������

�� ����� �� � �!���"���������#��

*� �� ����� ������ ��� � � ���� ����� ����� ��

$%��!&�������� ������ �������

$%��!&�������� ����'�'� ����'�'��

$%��!&������� ���!!� ��� ���

2� ��� � ����� �� ���������� ������ �� ����� �� � � �� *� �� �� �� ��� ���� ���� ���� � ���� � ��� ��� �9 ��� 9 � � ��� �) ��� 7� =������ �� � ���� ���� � �� $������ ��9� ��) � ��<� �

.�&�� �� ��� ����������� ������ ��� ���� ���� �� �� �� �� � ����� ��� ��� ������ ��� �� ���� �� �� � �������� ��� ��� �� ��� ���� ���� #������� �� � ��� � ��� ��� ���� �� �� �� ��� ������� �� ����� ��������#6� � � �� �� ���� ���� �� ��� ����� �� ��� �� �� ������� �6���� �� ����� ����� ��� �� �� ��� �� ���� ���� ���� ���� ����� ��� � �� � ��6���� ,����� ������ ������ �� ���� ���� �� ����� �� �� ������ ����������� ���� �� ����� 6 ��� ��� �� ���� �� ��������#6� /� �� ������� � �������� ��� ����� � �� ���� �� ������ �� ��� ������ �� � �� ����� ����� �� ����� ����

2� ��� � �� � ����� �������� ������ �� �� ����� ������� -������ ��������� ��� �� ����� � ��� ����� ���� �� �������������� ��� � �� ��� ����������� ���� 2� �� ���� ����� ����� ������� ��� �� ���� �� ���� ��

Page 11: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��#� ��������� �!" $% �%�� ��&�� $�!��'%!� ��

–4

–2

2

4

2

y

–2 –11 2

x

*���� ��9( =����� ��� �B�� �C A ��

–1

1–2

–1

12y

–2

–1

1

2

x

*���� ��)( =����� ��� �B�� �C A F B�� E ��C

Page 12: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�7 �������� �� ��������� �!"

1

2

3

4

–4–3

–2–1

12

y

–3–2

–1

12

3x

*���� ��<( =����� ��� �B�� �C A �����������

������� ,���������� �� ������ ����� ������ � ��� � �� ��������� ����� ������ � �� ������ �� ����������� �� ������ ������ �� ���� ����� ��#6����� �� �� ���� �� ������ ����������

����� �����

�� ����� �� �� �� ���� �� ������� �� �� ���� �� � �� � �������� � � � ������ �� �� ���� ��� �� �� � ���� �� �� �� ����������� �� ���� �� ���� �������� ���� �� �� �� ��������� � �� ��� ����� ������ ���� !� � �� ����� �� ����

� � #�������2� ��� � ���� �� �� ���� �� #�� �� �� ��� ������ ���

�B�� �C A 7�� E )�� �� E )�

" �� ����� �� ��� �� �H��� ��� ��������� ���� ��� ���� �� �� �� ������������� ���� �� �� ���� �� �� �� ���� ����������� �� �������������� ��� � ���� �� ����� �� ��� ����� �������

2� �#��� �� �� ���� ��� ��� ������ �� �� *� �� �� �� � A �7�� A ��� � A �� � A �� � A 7� � A 9� � A ) � � A <� ��� �� ���� ��� � ��������� ��� �� �� ������ ���� � � �������� ���� ���� �� ���� ��� ������� ����

Page 13: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��#� ��������� �!" $% �%�� ��&�� $�!��'%!� �9

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

��� � � ��

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

��� � � ��

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

��� � �

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

�� � � �

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

��� � � �

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

��� � �

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

��� � � �

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

��� � � �

*���� ��;( -������ �� �B�� �C A 7�� E )�� �� E )�

���� !� � ��� � ����� ���� �� ����� ���(

� A �7 ��� �B���7C A 7�� E )�� �7

� A �� ��� �B����C A 7�� E )�� <

� A � ��� �B�� �C A 7�� E )�

� A � ��� �B�� �C A 7�� E )� E 9

� A 7 ��� �B�� 7C A 7�� E )� E )

� A 9 ��� �B�� 9C A 7�� E )� E 9

� A ) ��� �B�� )C A 7�� E )�

� A < ��� �B�� <C A 7�� E )�� <

������ �� ������� ���� �� �������� � ���� ��� ���� ���� 0�� �� �� ��������� �� �� �6����� � ����������� .� $��� ��;�

,�� �� #��� �� �� ���� ��� ������ �� �� � ������� ����� A �B�� �C ��� ���� �� �� � �� � ������ ���������� 2� �#��� �� � A �)� � A �9�

Page 14: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�) �������� �� ��������� �!"

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–2 –1 1 2 3 4 5 6

y

��� � � ��

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–2 –1 1 2 3 4 5 6

y

��� � � �

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–2 –1 1 2 3 4 5 6

y

��� � � ��

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–2 –1 1 2 3 4 5 6

y

�� � � ��

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–2 –1 1 2 3 4 5 6

y

��� � �

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–2 –1 1 2 3 4 5 6

y

��� � � �

*���� ��5( -������ �� �B�� �C A 7�� E )�� �� E )�

� A �7� � A ��� � A � � � A 7 �� ��� ��(

� A �) ��� �B�)� �C A �;� �� E )�

� A �9 ��� �B�9� �C A ;� �� E )�

� A �7 ��� �B�7� �C A ��� E )�

� A �� ��� �B��� �C A �7� �� E )�

� A � ��� �B�� �C A ��� E )�

� A 7 ��� �B7� �C A �;� �� E )�

"���� ���� �� �������� � � � ��� � � � $��� ��5�2� ����� ��� � � ������� ����� � �� 9����� ����� ������ 6 ����

�� ���� �� ���� ����� � $��� ��8� �� $���� ����� �������� ��� $��� ��; ������ �������� �� ���� ��� � �������� ��� $��� ��5 ������ �������� ������ ��� �

� � #�������!� � ���� ���� ��

�B�� �C A ��B�E �C� �

Page 15: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��#� ��������� �!" $% �%�� ��&�� $�!��'%!� �<

–15

–10

–5

0

5

10

15

20

z

–2

12

34

56

y

–4–3

–2–1

12

34

x

*���� ��8( -������� ��� � ��� ����� ��� ������ ��� ���� �����

.� � �� �� ���� ��� ��� �� ���� ��� ��� ������ �� � � �� ����� ��������� �� � � ������� � ��� � � ���� ����� ������ ��� � � 2� ������ �������� �� � A ��� � A �� � A 7 � � A ��� � A � � � A 7� �� ���� ������� #� �� �� ����� ��(

� A �� ��� �B��� �C A ��B� � �C� �

� A � ��� �B�� �C A ��B�C� �

� A 7 ��� �B7� �C A ��B� E 7C� �

� A �� ��� �B����C A ��B�� �C E �

� A � ��� �B�� �C A ��B�C

� A 7 ��� �B�� 7C A ��B�E 7C� 7

2� ������ �������� � $��� ��4�2� �� �� �� � �� ����� ��� ����� ������ �� � ���� �� ������� ��������

!����� ������ �� � �� �6��� ������� �� �� �#6��� �#6��� ������ �� ��� �6��� ������� �� ��� ���� !��� ����� ��� �� ���� ���� �B��� �C A��B�� E �C � �� ��� �� � �� ���� �� �� �� ��� �� �������� � 6� ��� �� A ����

!���� �� �� �� ���� �� ����� ��� ����� ������ �� � ���� �� ����� ��������������� !����� ������ �� � �� �6��� ������� �� �#6��� ��� �#6��������� �� � �� �6��� ������� �� �� ��� ���� .� ���� �� �� � ����B�� ��C �� �������� � 6� ��� � � A ����

=����� ��� � ���� �� ���� ���� ����� ��������� ��� �� ������ � $��� �����

� $ #�������!� � ���� ���� ��

�B�� �C A��� � �� E 7�� �

Page 16: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�; �������� �� ��������� �!"

–4

–3

–2

–1

1

2

3

z

–2 –1 1 2 3 4 5y

��� � � ��

–4

–3

–2

–1

1

2

3

z

–2 –1 1 2 3 4 5y

��� � �

–4

–3

–2

–1

1

2

3

z

–2 –1 1 2 3 4 5y

��� � � �

–4

–3

–2

–1

1

2

3

z

–2 –1 1 2 3 4 5x

�� � � ��

–4

–3

–2

–1

1

2

3

z

–2 –1 1 2 3 4 5x

��� � �

–4

–3

–2

–1

1

2

3

z

–2 –1 1 2 3 4 5x

��� � � �

*���� ��4( -������ �� �B�� �C A ��B�E �C� �

–2 –1 0 1 2 3 4 5x–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

–4

–2

0

2

z

*���� ����( =����� ��� �B�� �C A ��B�E �C� ��

Page 17: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��#� ��������� �!" $% �%�� ��&�� $�!��'%!� �5

2

4

–4–2

24

–2

0

2

4

*���� ����( =����� ��� �B�� �C A��� � �� E 7�� ��

2� #� ��� �� ����� ������ ��� � � !� ���� � ������ ����� �� ��������������� �� ��� 2� �� �#� � �� ��� � ����� �� � �� ����� � ��� �� ������ �� �����

� A � ��� A �B�� �C A��� � �� E 7�� �

2��� ����� � �� ���� ��������� �� �� �� ������� ��� � A � �� � B�� C���

� � � E B�� �C� A ��

-������ �� ��� �� ���� ������� �� ���� ��� � ������ � B�� �C �� ��=����� ���� ���� #��� ������ �� �� ������� ���� ������ �� �� � � A �� A �� *� �� ����� ������ ��� �� ���� ���� �� �#� � ����� ������� ���� A �� ��� ������ B�� �� �B�� �CC �� ��� ���������� �� ������� �� � A ���������� ��� �� ����� ���� ������� ������� �� ��� ���� ������� 2� ��� ��

�B�� �C A��� � �� E 7 � �� � A

��� A ���

/� �� ��� ����� ������ � �� � � $��� ���� �

,�� ������ ��� �� � �� ���� ��� ��� �� ���� ����� ������� �� ���� �� ����� � ���� �� �������� �� �������� ���� 2� ��� � �� �� �� �� �� �����

� � #�������" ���� �� �� ���� ��� �� � �� ���� ����

�B�� �C A�

��� � �� ������ ��� �� �� ���� ��� ��� �� ���� ���� ��� �� ������ �� ������ � �� �� ���� �������� ������ ��� �� � ����� ������ �� �� ���

Page 18: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�8 �������� �� ��������� �!"

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4x

–4

–2

0

2

4

y

–6

–4

–2

0

2

4

6

z

*���� ���7( =����� ��� �B�� �C A �

��

������ � ���� ������ ���� 1���� ������ � ��� ����� � ���� ������ ������ ����� �� ����� � A ��� ������� ����� � A �� ��� � �� ����� ���� A �� � ���� ���� � ���� ��

�B�� ��C A��

�A �

2� �� �� ��� ����� � A �� �� � �� ���� ��� �� ����� ��� �� ����� �������.� $��� ���7� �

����� �� ����

0� ���������� ��� �� ���� �� � �� � �������� � �#6�� � �� ������ � ��� ����� � ����� ���� ���� �� �# �� ��������� �B�� �C A �� 2� �� ����� ��������������� �� ���� ���� ��� ��� �� ���������� �� ��� ���� ����� 2� ��� � �� �� �� �� ��(

� % #�������3��� ����������� �� �� �� ��� ������ ���

�B�� �C A �� E )��

*� �� $��� ������������ �� #��� �� �� �# � ���������

�� E )�� A �

Page 19: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��#� ��������� �!" $% �%�� ��&�� $�!��'%!� �4

–1

–0.5

0

0.5

1

y

–2 –1 1 2

x

*���� ���9( ,���������� ��� �B�� �C A ��E)�� �� � A �� � A 7� � A 9 � � A )�

1

2

3

4

5

z

–1

1

x

–2–1

12

y

*���� ���)( =����� ��� �B�� �C A �� E )���

>���� �# ���� ������ �� �� �� ����#������ �������� �� ������ ��� �� ���� � � �� ������� ��� ��������� ����� �# ������� ��� �� E )�� � �� ���� �� �� *� � A � ��� �� ��� �� �# ����� ������ � A � A �� /� �� � � � ������ ���� ��� ' �#��� � ����� � �#��� �� ���� ���� .� $��� ���9 �� �� �� ��� ������������ �� � A �� � A 7� � A 9 � � A )� 2� ������ ������������ ����� ����� �� �� �� ��� ������� .� $��� ���)� �

�� ������� �� � ���� �� ������ ��� �� � �� ��� �� �� ��� �� �� ���������� ������� � ����������� �� �&������ �� ����� �� ��� ������ ��� ������� ���� �� � ���������

� � #�������!� � ���� ���� ��

�B�� �C A �� � �� E �

Page 20: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

7� �������� �� ��������� �!"

c=–3

c=–1

c=–3

c=–1

c=5 c=3 c=5c=3c=1

–2

0

2

4

6

y

–4 –2 2 4 6

x

*���� ���<( ,���������� ��� �B�� �C A �� � �� E ��

*� �� ���� #�� ���� ���� ���� �� �� �#� � �� ������������� !� � ���� ������� ����� �� #� ��� �� �� $��� �# ������ ���

� A �B�� �C A �� � �� E �

,��� � A � ��� �� ����� ���� ��������� �

� A �E � E�� �

�� �

� �� � � A � ���� ���������

� A �B�� �C A �� � � � � E � A �

,����������� ���� ���� � A � E � E ������ � ���� � A � ���� �� � A � � ��������

.� $��� ���< �� �#� � ���� ����� ����� ��� ����� ������������ �� �� ��� A �� *� ���� ���� ��������� ���� ������������ �������� ��� � ���� ������������� �� � ����� ������I � A � � � A � E �� �� � ������� �� � 6� ����� ��� ����� ������������� /� ������� ������ ��� ������� �� B�� 7C�

,��� �� ��� ��� ����� ������ �� �� ����� �� ����� ��� �������� ����������� �� J����� K������������ � ��������� 2� #� ����� ����� �� ������������� �� ���� ������ �� �� ����� � � ��� �� �� �� ��� ������� ������ ������� ������� ������������ .� �#� � �� ������� ��� � A 7� B� A 7 �� ������ ����� ������ ������ B�� 7C�C 2� ��� ��

�B�� 7C A �� � 7�E 7 A B�� �C� E �

��� ���� ������� ���� �� �� ��� ���� ������������ �� � �� *� �� �� �� � �� ������ ������������ �� �� �� ������� ��� � A 7�� B����� �� � �� ������� ������ B�� 7C�C ����� ���

�B�� 7�C A ��� E 7� A �� B�� �C�

Page 21: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��(� ��������� �!" $% � � %" $�� � �� ��&�� 7�

:�� ���� ������� ��� �� �� �� ���� ����������� �� � � �� 2� �� ���� ����#� � � � ��������� ������� �� ��� �� ������������ ��� � � � ���� ����������� � $��� ���; �

� �& #�������0� �� ���� �� � � �������� �� �� ���� �� � �� �����

�B�� �C A �� E �� E �

��� �� � � � �� ������ ����� !� ���� #�� ����� ������ ��� �� ������ �� �� �� �� �� ����� ���������� � �������� 2� �� �#� � �� �������������� �� ��� � �� �� �� #��� �� �# � ���������

� A �B�� �C A �� E �� E �

-������ � ��������� �� ����� ������ �� � �� ��������� ����� ������ ���� ������ ��� ��� ��� �� � � A � A �� " ���� ��������� ���� J������������K�� ���� ������ �� � A � � ���� ��� ����� �� � A ��

-������ ��� �� ����� ����� � A �� E � $���� �� �� �� ���� ��� ����� �� ����6����� 2� ����(

�B�� ��E �C A ��E ��� E �� E � A B� E ��C� E B�E ��C

2� ������ �� ����6����� � ���� ���� � ������ ��� � �� ������ � ���� ������� �� �� ���� ������ /� �� �������� ��� ������ �� ����� � A � ��������� ������ ���

�B�� �C A �� E �� E � A �� E B�� E �C

.��� ���� ������������ � ���� �������� ��� ����� ������ ��� ������ ��� ���� ���� �� ���� �� ��� � �� � �

��� �� ������ ��� ��� � ���� �������

,��� �� �#��� ���� ���� �� ��� ����� ���� �������� ��� �� ���� ������ ����������� �� �� ����� �� ����� � �� �6 � �� ����� �� ����� � ��� 9 ����� ����� ��� �� �������� �� ����� ��� �� �� ������ ������ ������ ��� )����� ���� ���� ����� ��� �� ���� � ���� ���� �� �� ��� �� ����� �������!������ ��� �� �� ���� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� ��������� "H��� �� ���������� ��� ���� ������� J�������K � J�����������K�

!� � �� ��� �� �� ��� �� ���� ���� �� ��� ���������

Page 22: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

77 �������� �� ��������� �!"

–4

–2

0

2

4

6

z 2

4

6

y

–4

–2

24

6x

��� ���������

–4

–2

0

2

4

6

z 2

4

6

y

–4

–2

24

6x

��� �� �����������

–4

–2

0

2

4

6

z 2

4

6

y

–4

–2

24

6x

��� ������

*���� ���;( �� ����� ������ ��� �B�� �C A �� � �� E �

Page 23: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��(� ��������� �!" $% � � %" $�� � �� ��&�� 79

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–2

–1

0

1

2

��� � � �

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–2

–1

0

1

2

��� � � �

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–2

–1

0

1

2

��� � �

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–2

–1

0

1

2

�� � � �

*���� ���5( ,��������� ��� �B�� �� C A 7�� E �� E �

� �� #�������!� � ( �� � � ���� ���� ��

�B�� �� C A 7�� E �� E �

2� #� ��� �� �� ���� ��� ������ ��� � �� ���� �� ���������� � ��������,���������� ��������� �� �� �# � ���������

� A �B�� �� C A 7�� E �� E �

2� �� �� �� � � � � ��� ���� ��������� �� ��� �# ���� ��� 7�� ���� � � � � �� ���� �� � � � ��� � � A � �� �� ��� �� �# ������B�� �� C A B�� �� �C � �� � � � �� ������ ��������� � A 7�� E �� E � ������ ��� .� $��� ���5 �� ����������� � A �� � A 7� � A 9 � � A )�

��� �� � �� ����� �� ����� �������� *� �� �� �� ��� �� ���� � A ��� A � ����� A �� �� ���� �� ���� ���� �� � �������� � ��� ����� ������� .�$��� ���8�

.� �� ������ #��� � � )����� ���� ������� �#� � ��� ����������$��� ���5 �� $��� ���8� >� � �� ���� ������� � ���������� �� ���������

Page 24: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

7) �������� �� ��������� �!"

–2

–1

0

1

2

y

–2

–1

0

1

2

z

0

1

2

3

4

u

��� � �

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

z

0

1

2

3

4

u

��� � �

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

0

1

2

3

4

u

��� � �

*���� ���8( -������ ��� �B�� �� C A 7�� E �� E �

�� ������ ������ �� �� ���� ����� �� �� ������� ������� � �� ������ � � ����� $������� ���� �� ������ ��� �B�� �� C A 7��E��E�� ���� ���� �� ����������� � �� �� ��������� >�� � � ��� ����� ����D /� ��������� � �� ���� � � �������D �

� � #�������!� � ���� ���� ���� ���� ��

�B�� �� C A E��� E ��

,���������� ��� � $���� �� �� �� �# � ���������

� A E��� E ��

����� ����6���� ��� � ����� ��� �� ���� �� ���� �� �� � � �� �� ��� �

A ����� E ��

����� ��� �� � �� ����������� �� �������� ������� �� � ���� � B�� �� �C��� � �� �� ��� � $��� ���4

!� � �� �� ��� ������� �� �� " $��� ��7� �� � �������� � A ��� A � � A �� �

��� ����� ����������������

����� ������������

,��� �� ��� ���� � ���� ��� �� ���� � ������ �� �� ������ ���� �� �� ����������� � �� � � $��� ��7�� " �� �� ���������� �� �� ��������

Page 25: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��)� �!* � �%% *�!���+���,� 7<

–4–3–2–101234 x

–4–3

–2–1

01

23

y

–3

–2

–1

0

1

2

z

��� � � ��

–4–3–2–101234 x

–4–3

–2–1

01

23

y

–3

–2

–1

0

1

2

z

��� � �

–4–3–2–101234 x

–4–3

–2–1

01

23

y

–3

–2

–1

0

1

2

z

��� � � �

*���� ���4( ,��������� ��� �B�� �� C A E��� E ��

–4–3

–2–1

01

23

4

y

–4–3

–2–1

01

23

4

z

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

u

��� � �

–4–3

–2–1

01

23

4

x

–4–3

–2–1

01

23

4

z

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

u

��� � �

–4–3

–2–1

01

23

4

x

–4–3

–2–1

01

23

4

y

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

u

��� � �

*���� ��7�( -������ ��� �B�� �� C A E��� E ��

Page 26: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

7; �������� �� ��������� �!"

��� ��

� �

*���� ��7�( -���� � �� �������� � �����������

*���� ��77( /�������� ����� ����� � �� �������� � �����������

������� � �6��������� ����� ������� ����� B�� �C � �� � � $��� ��7�� >�� ���� � �� �� ����� ��� ������ ��� ���� ��� � �� �������� ����� ����������� � �� ����� ���� ��� 2������� � �� � ���� �� ���� ��� �� �������������� �� �� 7 � ��� � ����� ������ ��� � ��� �� ����� � ����������� L�� 7 C������������ L� � C�

*#� �� ���6������ ���6��� ����������� ���� ����� ������ �� � ��������� ��� �� � �� ����� �� ����6���� �� ���� ���� � ����� � �� ��������� ������������ � ������

=��������� �� ���������� �� ��������� ����������� .� �� �� ������������ ��������� � $��� ��77� -������� ��� ����� � � �� �6 ���� �� �������� � � �������� � ��� �� �� *� �� $��� ������������ ��� ������B�� �C ������ �� �#� � ��

� A��� E �� �

�������� ������ �� ��

�� � A�

��� �� � ������� � �#� �� ��# �� ���� ��� � ��� �� �� � �� �������

Page 27: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��)� �!* � �%% *�!���+���,� 75

������� ������ B�� �C ������ �� �� �� ���� ��� ������� ����� �� �� ����������������

��� ����� � �� �� �� ��� ��� �� ���� ����� @ �� �� ������� ������������� � � �� � #� ��� �� $��� � � �� ����� �� ������� @ �� � ������� ������

� A � F �

� A � �� �

� �� #�������*��� ������������ ��� ������ B�;� 7�9 C� 2� ������ �� �� ����� ��� ������ ��� ���(

� A��� E �� A

�B�;C� E B7

�9 C� A

�9; E �7 A

�)8 A )

�9

*� �� $��� �������� � ��� �� �� �� �� �� ����� �� ��� (

�� � A�

�A

7�9

)�9A

7�

��� $��� � ������� � �#� �� ��# �� �� � A ��� ������ � A �

�� � A

���� .��� ����� ���� B�;� 7�9 C ������ � ���� �������� ��� �� �� � A ��

��

:������������ ��� B�;� 7�9 C ���� ���� � A )�9 � � A ��

�� �

.��� �� ��� ���� ���� � ����� �� ���� �� ����������� B�� �C � ������� ����� � �� �������� B�� �C� ��� �� � �� �� ����� ���� ���� �� ��������� �� ���� �� �����������

A �B�� �C

� ������ ����� � �� ��������

A �B�� �C

����� ��#� �� ���� ���� �B�� �C A �B� F �� � �� �C� /��� ��� �� ���� �6������ ����� � �� ���� �� ��� ����������� �� �� ��� �� ���� �����6�� ���������

� �� #�������>�� �� ������ � A ���

���� ��� ������������ ���� �� A ���� � ������

�� A ���� � �� ���� �� �� H�� ��������� ���� �� ������ � $��� ��79� =�������� ���� ���� A ���

���� ���� �� �� �� ����� ���� ������ � ��� �� B �$��� ��7)C� �

Page 28: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

78 �������� �� ��������� �!"

0

1

z

1 2 3

r

*���� ��79( *��� ���� A ����

1z

–4–3

–2–1

12

34

x

–4–3

–2–1

12

34y

*���� ��7)( *��� ���� A ���� ����� ������ ��� ��

Page 29: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��)� �!* � �%% *�!���+���,� 74

*���� ��7<( .6�������������

2� ��� �� �� �� �� �� ���(

� �� #�������.������ �� � ���� ���� A �� � �� ��� ������������ ���� ��

A �� � �� A B� F �C� � B� �� �C� A ��BF � � � ��� �C A �� F 7� �

����� ���6� �� ��� �� ���� �������� � �� ���� � �������� �� ����� �� ���#���� �� ��������� A �� F 7�� *������� ��� F 7� ����#� � ��������� �� �� ��� ����� ����� ���� � #���� � �#���� �� ��� � F 7�� ����#���� �� � ���� ��� ��� ��� *� #� �� ���� �� �� � �� ������ �� � ��� �������� ���� � ��� ���� �

����� ��������������

/� �� �� ���� ���� �� ��� �������� ��� �� ��� �#��� �� �� ����� � ������� ������ 6 ������ 2� ��� � �� �� �� � ���� ������ 6 ����� @ 6������������� � ������������� *���� ��7< �� �� ������H��� �� ��� �������� �����I �� ����� � ���� ��� ������ � �� ���� �� � ��� �#����� ��� �� � � � .6������������� �� ���� �� ������ �� �����������@ �� ��� ���� ������ �� �� ����������� �

� �$ #�������.���� ���� ����

A �B�� �� C A B�� E ��C��

�� ���� �� 6��������������.��� �� E �� A ��� ���� ��

A ����

Page 30: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

9� �������� �� ��������� �!"

� �

!

"

*���� ��7;( -�����������

� �� #�������3� ���� ����������� ���

�B�� �� C A�� E ��

�� ���� �� 6��������������"���� ��� �� ���� ��� �� E �� A ��� ����� ���

A �B�� �� C A�� E ��

A

��

,��������� � A ��� ���� ���� �� ���������

� A��

����� ����6���� ��� � ����� ��� �����

A��

����� �� �� �� ���������� �� �� ��� �� ������� �� �� ���� �#��� �� �� �

����� �����������

" ������� ����� �� ����� � ���� ��� �� ���� � B�� �� C �� ���� �� ������� ! � � ������� � � "� *���� ��7; �� �� �H��� @ ! �� �� ����� ��� �

��� ���� " �� �������� ����� ��� �� � ����������� � � � �� �� ����

Page 31: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��)� �!* � �%% *�!���+���,� 9�

�������� � �� 6��������������� ������ �������� ����� ���� �� �

���� �������� � ��

���� �� � ��� ������ 2������� " ������ ����� � � �

��� � ������ ����� � � 7 � *� �� ����6��� �� � � �� ���� �� !� " ��� � ������� �� �#� � ��

A ! F "

2� �� � �� �� ����� �� A ����� � � ��" A ! ��"� ����� ���6� ��

� A ����� �� F � A ! F � ��"

� A ����� �� �� � A ! �� � ��"

!� � ����� � � ������� ����� � ��� � (

� �% #�������>�� ��� ���� �� ������ ���������

�� E �� E � A ��

��� � � � �� �� �� ����D*��� ���� �� ���� #� ������ �� #��� ���� ���� ��� ������� �� ������

������� ��� � ���������� ����� ���

�� E �� E � A !� F � � ��� "E !� ��� � ��� "E !� F � " A ��

��� � �� �6�� �� ����6���� � ����� ���� ��

!� F � � ��� "E !� ��� � ��� "E !� F � "

A !���F � � E ��� �

� ��� "E F � "

�A !�

� ��� "E F � "

�A !�

!�������� ��� ��� ��� �� ���!� A ��

��� ��� ���� � � ! ��� �#��� ����� ��� � �� ������ ! A � ������ 2� ������ �� �� ���� �� ���� �� �

� �� #�������.���� �

A �� E �� � �

��� ������������� 2� �� ��

�� E �� A B! F � ��"C� E B! �� � ��"C� A !� ��� "

� A !� F � "

Page 32: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

97 �������� �� ��������� �!"

�� A !� ��� "� !� F � " A �!� F 7" �

����� ���6� �� �� ��������� �� �������� �� >��� �� �������� " �� ������� �� ����� ����� � � ����� �� !�� /� �� ���� ����� �������

�������� �� �#���� �� �� "� 2� �� �� �� ���� �� " ��

��� ��

�� �������

�� " ���� �

���

���� �� �

��� � � ��� �� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ������ �� ��������� �� ���� �� ������������(

� & '#�������!� ���� ���� � ���� ���� ��

�B�� �� C A��

�E

��

��

��$�� �� ������ ��� � �� ���� B�� �� C � �� ��� �� ���� � A � � A ��2� ������ � ���� �� ����6���� ��� ���� �� ��������(

�B!� �� "C A F � � ���� "E ���� �

!��� ����� ��� �� ! ���� ������� � ���� ���� �� ����6����� ��� ���6� �� ������ ���� �� �� ���� ����� � �� � ���� ������ ���� �� ���� �� �������� �����

2� #� ��� �� �� ����� ����������� ��� � � ����� �� �� �� ���������

F � � ���� "E ���� � A �

3���� ����� �� ��� ��� �� �� �#��� ����� ��� �� ����� ��� ��������� ������# ���� �� � � �� ��� � � A � ��� ���� F � ���" A � � ��� � A �� ����� �� � �� ��� � A � ���#��� �� F � A � � � ��� ���" A �� ������� � �� ��" A �� ��� ���� �� ������ ��� ���� �� � A ! F � ��" A ����� �� � �$�� �� ������ ��� � � 2� ��� ���� ���� �� � � ��

>� � �� B!� �� "C �� ���� �� ��������� .� ����� ������� ���� ! � ���������� � ���� ��� �# ������ �� ��� �� �� ����� ������ ������ ���� *� ������� ������������ �� �� ���� �#� � �� ����� � ������ �� ���� �� ������ � ���� 2� ����� ���� ! ����� ���� �� �� ����� �� �� �� �� ! A ��

*��� ������� ���� ���� �� �� ��� ���� �� 6�������� � ����6����� ��� ��� ��� �� �# ���� � ��� � #�� �� ���� �� ����� �� �# ����� !���� �� � ���� ������ " �� �" ��� �� ������� �� �# ����� ��� � �� �� ����� ���6� ������������ �� 6������ � � ��� ������ ��� �� �#� �� ��� �� �8�Æ ��������� �� ���� ���������� �� �� ���� ����� ���� �� �� � �� � �����

Page 33: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��)� �!* � �%% *�!���+���,� 99

���� �

�� " ����� � � �

�� �� ��� �� �# ������� ���� �� ���� �� �� �����

6����������!� �#� � � �� ��� � ���� �� � � �� ������ 2� ��� ����� �� ��

��� ������� # ��

��# � #

F # � �

���# � #

����� �� ���� �� �� � �� ��� $��� �� ��� ����� ����������� �� ������ �� �� �� �� �� �� ��� ������������

*� �� �6������#�� � �� ���� �� ��������� ������ �� �� ���� �(

BF � ���"C� E B��� �C� A �

:����� �� �� ���� ������ �� ��������� �� �� ������ ��� �� �� E �� A � ��� A F � ���" � � A ��� �� 2� ��� �� ���� � � �� ���� �� � �� ����� ���������� �#���� �� F � � � � ����� �� ���� " � BF � ���"C� � �� �� � �� "�� ������

.� �� ���������� ��� �� ��� ����� ���������

"� E �� A � ��� " �

2� ����� � " A�� �� � � � A

�� F �� ��� � ���� ��� � ��� � *� �� �����

���� ������ B�� ! A �C ����� �� ��� � ���������� �� ���� �� ���������

� A ! F � ��" � " A�� �� �

� A ! �� � ��" � �" A � F � �� � A�

7� ��B7�C

A ! F " � �

����� ���� �� ����� �#��� � �6���� �� �� ��� �� ���� .� $��� ��75 ���� �� � ���� � A ��7�

2� ������ ��� 6��������� ���� �� ��� ���� �# ���� ������ ��� ��������� �� ����� ! A �� .� $��� ��78� *� �� ����� ���� ���������� ������� �� ����������� ��� ������ � ������ ���� B*���� ��74C� ,��� � #��� ��� ������ ���������������� � ����� ! A � ������� ������������� ����� ������� �#���� ����� #�� � ����� ��� ������� � .� $��� ��9�� �

Page 34: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

9) �������� �� ��������� �!"

*���� ��75( ���������� ��� �� �� �� ������ "� E �� A ��7� ! A �

–1

–0.5

0

0.5

1

x

–1

–0.5

0

0.5

1

y

–1

–0.5

0

0.5

1

z

*���� ��78( >��� ������ "� E �� A ��7� ! A �

Page 35: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��)� �!* � �%% *�!���+���,� 9<

–1

–0.5

0

0.5

1

x

–1

–0.5

0

0.5

1

y

–1

0

1

z

–1

–0.5

0

0.5

1

x

–1

–0.5

0

0.5

1

y

–1

0

1

z

*���� ��74( ������� �� ��������� �� � A ��7

–1

–0.5

0

0.5

1

x

–1

–0.5

0

0.5

1

y

–1

–0.5

0

0.5

1

z

*���� ��9�( .���� ����� ����� ! A � � ����������� � A ��7� � A � � � A )�

Page 36: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

9; �������� �� ��������� �!"

����� ����������� �� �������������

2� ��� ��� �� �� ����� ������ �� � ����� ������ 6 ������ �� ��� ��� ��� ���

(�����������:����������� B�� �C �� ����� �� ���� ��

� A� F � B���C

� A� �� � B��7C

)*������������.6������������� B�� �� C �� ����� �� ���� ��

� A� F � B��9C

� A� �� � B��)C

A B��<C

������������-����������� B!� �� "C �� ����� �� ���� ��

� A! F � ��" B��;C

� A! �� � ��" B��5C

A! F " B��8C

Page 37: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��-� %��"��� 95

��� � ����

+������ � �*��� �$�� �� ������ ��� ���� �����

�C �B�� �C A �������

C �B�� �C A ���B�� �C

�C �B�� �C A ������

�C �B�� �� C A �����������

FC �B�� �C A ��B�E �C

+������ � ���� ������� �� ���� ����� .�� �� ������� �������

�C �B�� �C A � C �B�� �C A �����������

�C �B�� �C A F � �C �B�� �C A ��MB���� ���CFC �B�� �C A � E 7�� �C �B�� �C A

��� E ��

+������ � �*��� ������������ ��� ���� ����� ���� �� �� �� ��� �� � ��� ���� ���� ���� �� ���� �� ��������C �B�� �C A )�� E 9�� C �B�� �C A ��

���

�C �B�� �C A ������

�C �B�� �C A ������

FC �B�� �C A ������

+������ � �.�� �� ������ ��� ���� ����

�C �B�� �C A 7�� E �� C �B�� �C A �� � )��

�C �B�� �C A �� � � �C �B�� �C A ��B��C

FC �B�� �C A ��B�� E ��C �C �B�� �C A�)�� � 9��

+������ � ����� ���������� �� ���� ������

�C �B�� �� C A �� E �� E � C �B�� �� C A ����

�C �B�� �� C A 7�E � � �C �B�� �� C A ���

FC �B�� �� C A �� E � �C �B�� �� C A �� � 7B�� � E C� E �

+������ � $.���� � ���� ���� ��� ������������ .�� �� �������

�C �B�� �C A �������

C �B�� �C A �� � )��

�C �B�� �C A ������

�C �B�� �C A ���

FC �B�� �C A ��

�C �B�� �C A �� � 9���

Page 38: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

98 �������� �� ��������� �!"

+������ � �.���� � ���� ���� ��� ���� 6������ � ������������� ����#� ��� � 6�� �� �� � ���������� � ����� ������ ���������

�C �B�� �� C A B�� E ��C��� C �B�� �� C A �����

�C �B�� �� C A ��������

�C �B�� �� C A � ��F���B ��C

FC �B�� �� C A �����

��C �B�� �� C A �� E �� � 7�

+������ � %3��� ��:!0 ����� �� ����� ����� ��������#6 ��� �� ����� �#����� ������(

�C �B�� �C A �

������ �7 � � � 7 � �7 � � � 7�

�C �B�� �C A <�� E �� � )� �� �7 � � � 7 � �9 � � � 9�

FC �B�� �C A �� � ������ E <��� �� �� � � � � � �� � � � ��

+������ � �3��� ��:!0 ����� �� ����� ����� ��������#6 ��� �� ����� ���������� �� �#������ ���� ����(

�C �B�� �� C A � E �� E � �� � A ��� � A � � � A ��

�C �B�� �� C A �� �� � A ���� � A �� � A �� � � A ����

FC �B�� �� C A ��

�������������� � A � � � A ��

C �B�� �� C A B�� E ��E �C�� 7B�� E ��� �C E � �� � A �� � A ��� � A �

� � A 7�

Page 39: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

������ �

��������� �� ���������

������ �� ���� �� ������� ���� �������� �� �� �������� ���� ����� �#������� ���� �� ���� ��������� *�� �� ������ � 6� ������ �� �� ��� ������� ���� �� ����� �� ������ ���� ���� ��� � �� ��� �� � �� �� ���� ����� �� ��� � ��� �� ���� ��� ��� �� �� ����� ���� B�� �C �� �� �B�� �C �� ���������� . � ���� ��� �$�� ���� ����� ���� � �� �B�� 7C ��� ���� � ���������� 9 ��� � ���� �B������ 7C � �B�� ��4444C ����� �� � �� �� ���� 9� ������� �� �6 �� ���� �� � �� ������ � �� ������ ��� �� �������� ����� ���� ��� ( �� � �� /� ������ ������� ����� �� � �� �� ���� �� ����� ����� ��� ���� �� �� ���� �� �������# � ��������&�

!������� � � ��� ��� ��� ����� ������� � �� �� ���� ���� � ���#��� � ��� � � ���� �� ��� �������������� .� ����������� �#� �� ���� ����� #� ������( �� �� "� �� �������� ������� ,� �� � ,��������� -� ����������� �������� � ������ ��� �.� �������/

2��� ���������� ��� ���� #� ������ ��� ���� �� �������� ���� ��������� �������� ���� #�� ������ ����������� ���� �� �� � �#����� >����� ����������� �� ���������� ��� �� � ���� �� #���� ����� �� � �� �� ���� ������ ������� ��� "���� ���� ��� ���� ������ �#�� ���������� ������� ������ ���� � ������� �� � �#�� �� ������ �� ���� ���� �� ���� ����������

��� !� ������ ���� ��

2� ��� ����#�� ��� ����� � ������� ������ � � �� � ��� �� ������

�� � ���� �� �������� �� ����� � �� � � ����� ���� ��� � ��� �#�� �� �������� � ���� ������ � � ����� ������������ �

0� ����� � � �� �� �� ������ �� ����� � ��� �� ����� � ��� ������������ ��� ��� � �� �� ������� �� ��� �#�� � ��� � ��� ����� �� �����

94

Page 40: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)� �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

*���� 7��( 0� ����� � � ��� ����

�� ��� ������ ���� �� ����������0��� ��� �� ����� � �� � ������� � �� � ������ � ��� �� �

������ ������� .� �� $���� 1���� ��� � �� �� ����� � �� ������ $� ������� 0� ���� � ����� �� ������ �� � �� � �� ������ �� �������� ��

!�� ��� �� � �� � ������� � � � ���� ������ �� ������ ����� ����� �� � ������� � � � �� ���� ����� � ������ �� ���� ���� � �� 0� ���� � ����� �� ��� ���� �� � �� � �� ������ � �� ���� �� ��

1�������� ��� � �� ������ �� ����� ��� � � �� ���� �� �� 2�����#��� ��� ���� � �� ������������ ��� �� � �� ��� ����� � A � � $��

!� � �� ��� �� �� ����

� #�������*���� 7�� �� �� �� ������� ������ ������ �� 2� ������ ����� ���� ���� ���������� ����� ����� ���� � �� �� � ������� ��� �� �� ��� ��������� �� �� � �������

2� #� ��� ��� �� ��������� ��� ������� � � %� &� ' � � �

:������ � ������ � ������ �� ,�� �� �� ���� �� � � �� 2� �� ��� ���� �� �� ��� ����� ���� ��� �� ���� �� ���� ���� �� ��

:������ % ������ ���� � ������ �� ��� �� ������ ���� �� ��� ���� ��� ���� ���� ���� ��� ��������� ��� % ������ ���� �� � �� ����� ��% ���� �� � ������������ ��� �� 2� ��� ���� ����� % � ��

:������ & ������ ���� � ������ �� !����� �� �� ���� ������ �������� �� ����� ��� �� .��� �� ������ �� ����� �� �� � �� �� ���� �������������� 2� ��� ����� & � �� & � $� � & � ��

Page 41: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#��� �%�%�%"���� &�" ��� )�

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������

��������

����

������ ��

� �� ��

��� ��

� � ��� �

�� � �� � �

� �� ���

*���� 7�7( ������ (

:������ ' ������ � ������ �� !����� �� ����������� ��� �� � �� ����� ���� ��� �� $��� ���� ���������� ��� ' � ���� �� � �� ' ��� �� �� ���� � ������������ ��� � ��� �� ������� ������ � �� 2� ���' � �� ' � $� � ' � ��

:������ � ������ ������� � � ����� �� ����� ��� � � �#������ ������ �������� ���� � ������������� 2� ��� � � � ��

!� � �� ��� �� �� �� ��� ��� � ���� ��������� �� �� ��� ������������ ������

#�������!� ( ���� ������ ���� B�� �C � �� � �6���� � � ����������

�� E �� � 7

� � 7�� �

!� ����#�� ����� ������� B��� �C� B��� �C� B�

�� ��C � B7� �C ������ ��

��� ������ (� *#� � �� ���� �� ������� 2� �� �� �� �#� �� ��������� ������� ������� � ( ������ �� ����� ������� �� ����� �� ����

�7 � ������

� ���� ��� ���� ��������� ����� �� ������� � ( ������ ��� � ��� ��� ����� ����� � A 7� � �� ����� ��� $����� 7�7� 2� �� �� B��� �C� B�

�� ��C � (

��� � � ������� �6���� ����� ����������� :������ B��� �C � ( ���

B��� �C ���� �6���� �� ���� ���������� ��� B7� �C � ( ��� ������ ����

Page 42: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)7 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

�6���� ��� �� ����������� 2���� �� �� �� B��� ��C ������ � �� ���� �� (�

��� ������� B��� �C � B��� �C �� ��� ���� ��� (� �

0�.��� ����� �� �� ����� � ���� �������� ��� �� ��� ���� ����� .��� �� �� ����� ������ �� � �� �� ��� � ���� ��� �� ���� �� ��� ���� �������

0� ������ ����� �� �� ����� � �������� ���� ��� ��� �������� ��� � �� � �� ������ ��� � ���� ��� � A ��

� #�������!� ����#�� �������� ��� �� �� �� 7�� � ������( ��� �� �� �� 7�7�� �� �� ����� �������

2� �� �#� � �� �� ������ �� ���� �� �� ��� ������ ' �� ���� ������� � � �� ��� �� ������ ���� ������ ��� & �� �� �� �� �� �� �� ���� �� ����� � ���� �� � ��

������ ( �� �� ���� ����� ������� �� �� ����� ������� 2� �� �� (���� �� �� �� ��� B��� �C � ( � B��� �C � $(� � �� ( ���� �� ������ ���B��� �C � $(� ��� B�

�� �C � (� �

2� ��� � �� �� ��� �� �� ��� �� ������ � �� ������ ����� �� ��(

� #�������2� ��� � �� �#����� ������� � ����#�� � � �� �� �� ����� ������(

�C !� � A �B�� �C � �� � �E � � ����C !� ( A �B�� �C � �� � �� E �

��� ���

FC !� � ���� �� ������ ����������� L��� )N �� ��C !� � A �

�� �B�� �� �C��

�C !� ) A �� �

�C !� * A �B�� C��

�2 ������ � �� � ������� � ������ � ��� ��� ��� �� ������ � A ���.� $��� 7�9� 2� �� �� ����� ��� � �� ������� � ������ �� ���� ���������� ��� � �� $� A �B�� �C � �� � � E � A ��� ��� ����� �� � � ������������� � ������ �� *#������ �� � �� �� �� ������

�2 ( �� ������ �� ���� ���� � ����� � ������ �� ����� ������ ���� ���� E �

��� A �� .� $��� 7�)� 1���� ��� ( �� �B�� �C � �� E �

��� A ��� � � �

������� �� �� � (� ����� �� ( �������

Page 43: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#��� �%�%�%"���� &�" ��� )9

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � ��

*���� 7�9( ������ � A �B�� �C � �� � �E � � ��

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�� � ���� � �

*���� 7�)( ������ ( A �B�� �C � �� � �� E ���� ��

Page 44: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)) �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

32 � �� ����������� L��� )N � ����� �� ���� �� ��� ������� �� � )� �� ��� �� � ������������ �� ��� ����� �� � �� ������ ������ ����� ��������������( ���� ������ ����������� �� ������ �������

�2 ������ � �� ���� �� ���� ���� � �� ������� ���� 1���� �� �������� �� ���� ������ ���( $� A �B�� �� �C�� � ���� ������ ���������� � �� ����� �� � �� �� �� ������

�2 ������ ) A �� ��� ����� ���� �� ��� � �� $) A �� �� ���� �����

��� /� ��� ����� ���� ��� ��� ���� �� �� ������� � ��� �� ������� ��� ������� ������ � )� ����� �� ) �� ��� ��� �� ���� �������� � �� ������� � ������ ����� ������ ����� �� $) A � � )� ��� �� �� )� �� �� ������ ������

,2 1���� ��� ������ * A �B�� C� �� ���� �� ������ B�� C� � ���� ��$* � * � ��� ��� � �� * �� ������� �

0� ����� ����� ������� �� � �� ��� � ����� ���� ������ ���� ���� B����� �����C � ��� ������ � ���� ��� ��� � �� � �� ������ ���� � �� $��� �� ���� & ��� �� ��� � & �� ���� � � �� 0� ����� ����� �� ������ �� ����� ���������

� #�������2� ��� ��� � �� ��� ������ � ����#�� � � �� ������ �� ����� ����(

�C !� � A �B�� �C � �� � � � � � � 9 � 9 � � � <��

�C !� ( A �B�� �C � �� � � � ����

FC !� � A �B�� �C � �� � � A 9�� 7 � � ����

C !� � A �B�� �� C � �� � �� E 7�� E 9� � )��

�C !� ) A ��

�2 2� �� ���� ������� $��� 7�<� � �� �� �� ������ ������� �� ������ � ��� � ������ ���� ������� ����� �� � ������ ���

�2 ������ ( �� ���� �� ���� ���� ��� �������� � A ��� .� $��� 7�;� 2� �� �� ��� ��� ��� �� �� ����� �� ����� �� ������ � ���� ��� ������( �� ���� � ������ ������ �������� ����� �� ( ������� ���

Page 45: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#��� �%�%�%"���� &�" ��� )<

����������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������

*���� 7�<( ������ � A �B�� �C � �� � � � � � � 9 � 9 � � � <�

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������

�����������������������

� � ��

*���� 7�;( ������ ( A �B�� �C � �� � � � ���

Page 46: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

); �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

� � ��� �

�������

*���� 7�5( ������ � A �B�� �C � �� � � A 9�� 7 � � ���

–2–1

01

2x

–2–1

01

2y

–2

–1

0

1

2

z

*���� 7�8( 0��� ��� � ������ �� ������ ��

32 ������ � �� �� ������ �� ��� ������ B����<C� � $��� 7�5 � � ���� ������� ��� ���� � ��$���� �� ���������� ����� ���� ��� ���� � �� ������ ������� �� ������

�2 � �� � ������� � ������ �� � ������� ���� ��� ��E7��E9� A )�.� $��� 7�8� "���� �� ������� ��� �� ��� �#��� ��� 7 ��� ���� ����� ��� ������ ���

�2 ) A � �� �� ������� �� ����� ��� �� $��� ���������� ��� ����� >� ��� �� ����� ��� ���� ������ �� �� �� ���������� ��� ������� �

0� ���� � � �� ����� � �� �� ���� �� ������ ���� �� ������ �

Page 47: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#��� �%�%�%"���� &�" ��� )5

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � �

��� ��

*���� 7�4( ������ � A �B�� �C � �� � � � �� � �B9� 7C�

�� � �� ���� $��� ���� ���� � � ���������� ��� �� .��� �� �� ���������� �� � � � �� � ���� ���� �� � � ���� ������ � ������������ ��� ������

0� ���� � ����� �� ���������������� ��� ������ � �� � ������� � � � ���� �� �� � ���� �����

!� � �� � �� �� ��� �� ������ � ��� � ����� �����

$ #�������!� � ���� ������ ���� ��

� A �B�� �C � �� � � � �� � �B9� 7C�

.� $��� 7�4 �� �� �� � �� ������� !��� ����� ��� �� � �� ���� ���� �� ������� �� � � � � ������ B9� 7C� 2� �� �� B9� 7C ���� ������ � ���������� ���� ���� �� � � ���� �� B9� 7C �� � ���� ���� �� �� "���� �� ����� ������� �� � �� � ������

������������ ��� � �� ������

� A �B�� �C � �� � � � �� � �B9� 7C�

2� �� ���� �� �������� �� ������� ��� � �� � B�� �C � �� �� � � ����� �� ��� ���� �� �� �� �� ��� � � ����� ������� ��� ������������ �� �

� #�������!� ( ���� ������ � �� ���� �� � � ������� B�� �� 7C � B � �� <��7C� 2���� ����� ( A �B�� �� 7C� B � �� <��7C�� 3���� � � ������� � ( �� � ����� ����� 2���� �� ������������ ��� ( ��� ( ���� ��� �� ( A (� /� ���� �� �� ������ � � ����� ������� ���� �� �� ���� ������� *#������ ��� ( ������������� �� ����� �

Page 48: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)8 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � �

� � ��

� � �� � �

*���� 7���( ������ � A �B�� �C � �� � � 7 � � � 9 � � ��� ��

% #�������.� �� � �� �� �� �� ��� �� $��� �������� �� ������� ��� ������ ����� ��

� A �B�� �C � �� � � 7 � � � 9 � � �

7� ��

2� �� ���� ������ � $��� 7���� ��� �#� �� �� � ������� �� �� � ���� ������ � ����� ����� ����� �� �������� �� ������� ��� ������������ ��� �������������� $���� �� �� �� �� ������ �� ������� �� � � ������� ������� ��� �� ����� ���

� A �B�� �C � �� � � 7 � � � 9 � � �

7� ��

B��� ��� �� �� ������� �� ������� �� �� � � � �� �� �� ������ �� ���������� �� �������C �������� �� ������� ��� � �� ���� � B�� �C � �

� � �6���� ���������� �7 � � � 9 � � �

�� �� �

����� ������ ��������

�� �������� �$�� ����� ��� �� ���� �� ����� �� �� �������� �� ����� � ������� ���� .��� � �� ���� �� ���� �������� �� ���� ��� �� ��� �� ��� ����� �� � � �$�� ���� �� � � ����� ���� ��� � � 6�� � ��� �� ���������� ��� �� ��� ��� � ������ � � ����� ��� �� �� �� ���

2� �$����� �#� � ��� �����

� !�"����� � � �

� � � � �� � * �� � �� ��������� ��� � ������ ��� .��� Æ � � ������ 4 � � � * � � ���

�4� �� � Æ � �*� �� � Æ

Page 49: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#��� �%�%�%"���� &�" ��� )4

,�� ��� �� �$���� ����� ��� �� ����� � �������� �� ���� ��� �����

�& !�"���������� �/� �� ��� �� � � �

� �� ��� ��� � ��� ��������� *�� �/ �/

$� A �� � �� � � �� �� �������� ��� ��

2� ��� ��� �$���� �� ���� �� �� ����� � ������������ ��� �� ������

�� !�"������� ���� � � �� �� $�� �� ����� � �� �� ���� ����� ��� � ������ � � �� � � $��

� !�"����� ����� ���� �/� � �� � � $��

�� �� � ������ ������ ��� ��� �$���� � �#�����

�� !�"������ ��� �� � � �

� ������� ������ � �� �/� ��� /���� � ��

�� !�"������ ��� �� � � �

� �� ������ ������ � A ��

2� ��� � �� �#����� ���������� ���� �� ���� ����

�� )����� � � �

� � � � �� � * �� � �� /���� ����� ��� � .�/� � 0�� .�/� �������� �� Æ � � ��/� � ��� 4 ��� ����1����

�4� �� � Æ

�� ��� / ��

���� �� �� ����� �� �� �� ��� � ���� ��� ���� ���� � � � �� ���� ���� �� ��

2� ��� ��� �$���� ��� �� ��� � �� �� ����� �� ������ ���

�$ !�"����� � � �

� � �/ �/�� � � �� ��������� ������ ��� ����� �� ���/�/�� ����� ���& ��/� � ��� ��� � � � ��

��� � &

" ����� ���� �$���� � �#����(

Page 50: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

<� �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

�� !�"����� � � �

� � � � �� � * �� � �� ����� ����� ��� � ������ � � � � �������� �� Æ � � ��/� � ��� ��� 4 � �2 4 A � � ��

�4� �� � Æ

��� ���� ��� �� �$���� �������� �� ���� � ����

�% !�"����� � � �

� � � � �� � * �� � �� ���������������� ��� � ������ � � �� � /��� �� �� /������ ����� ��� ��

2� ��� �#����� ���������� ���� �� �������� �� �����

�� )����� � � �

� � � � �� � * �� � �� ���������������� ��� � .�/� � 0��

.�/� ��� ��� .��� Æ � � ����� �� 4 � � ��/� �

� � �4� �� � Æ

��� "�����������

=��� ������� �� �� ������ ����� � ����� �� ���� ����� " ������ �� H���������� ������ �� ���� ���������� �� ��� �� �$���� ���� ���������� � ����������� 2� ��� ��� �$���� ���� ������� �� ���� ���� �� ���� ���������.����� � �� ������� ��� �� � ����� ���� ������� ��� ����� �� �� �� ������������� � ����� �� � ��������� �� � ����� ���� ��������� =��� ���������� � �� ���� ���� �� ���� �����

"�������� ���6� ������

�B4C A + �� ���� �� ������� �B4C ������ �� +

���� 4 ������ �� �� *� �� ����� �� �� �� � �$�� �� �� ���� ����� ����� ������� �� ������ *��� ���� � ��� �� �$�� �� ������ �� I ������ ��� ������ � ����� �� ��� �� �� �� ����� �� ���� ����� ��� ���������� ����D

*� �� ���� ����� �� �#� �� ������� ��� �� � �� �� �� �� ��(

& #���������$��� ���� ���� � ��

�B�� �C A�� E � E

�� �

!��� ����� ��� �� �$�� �� ������ �� ��

�� A �B�� �C � � �� � � A ��0� �� ��� �� � � ���� �������� � ��������� ��� � �� ���� �� � �����D

Page 51: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�#� " �!���� *�� <�

�C ���� ��� �

�B�� �C

�C ���� ���� �

�B�� �C

FC ���� ���� ��

�B�� �C

C ���� ��� �

�B�� �C

:����� �� � ������ �� ������ ������ � �� ���� �� ����� �� �������� �$�� �������� ��� ���� ����� *� �� �� �� ������ B)� 7C � �� ���� ���� � ������� B�����C � B�� �C ������ �� ����� ��� �� � ��� B�<� �C ������� ���� ��� �� � 1��� ��������� ��� �� ���� � �� ���� ������� �C ������ � ����� ��� ���� B�� �C �� ��� �� B�<� �C ��� ���� �B�� �C ���� �$����� �

������ � �� �� ���� ��� �� �� � �� ��� �� ������ �� #��� � ������� ������� ���

���

�B4C ��� �� �#� ������ � ����� � ������������ ��� �$�� ���

������ ��� � �>�� �� �� � ����� ����D 3#� ���� ������� � � �� � ���� �� � � ��

�� � ���� ���� �� �$�� �� ������ ��� � � !� � �� �� �� �� ���

� #���������$��� ���� ���� � ��

�B�� �C A

�� E � ��� � � �

) ��� B�� �C A B��� 9C

. #� ������ �� � ���� ���� �

�B�� �C �� � ������ ���� �� �$�� �� ������

��� � �� �� A �B�� �C � � � �� � �B��� 9C� � �� B��� 9C �� �� � ���� ������ ���� ������� ��� ���6� �� ���� B�� �C ������ �� B��� 9C ��� �B�� �C���������� ��� ��$����� ����� ��� �� �� ���� ������� ���� ���� � �B�� �C���� �� � ������ �

!������ ��� ���� �� �� ���� �� �� ���� ������� ������ �B4C �����#� �� � ���� �� � � �� �� � ���� ���� �� �� � 2� �� ���� �� ����� ������� ���� �#� ���� �$���� �� ����� � �� �� �������� �� ���� ���$�� �� ������ ��� � �

*����� �$����� �� ���� ������� �� ���� ������(

!�"������� � � ( � � � �� ������� � �� ������ �� � � �

� � � � �� ������������������ ��� �� �/ �/�� � ��� ������ ����� + �� ���� ������� ��

Page 52: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

<7 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

�B4C ���� 4 ���� �� � ������ ��� ��� ��.���� ��� , � � ����� �� ��� Æ � � ��/�� ��� ��� 4 � � ��� ����1���� ��/�.���� � � �4��� � Æ2 � �� ��B4C�+� � ,��/ ���/���

+ A ������

�B4C

:�� ���� ����� � �� ���� ���� �� �� �������� �� �� ���� � ���������� ����� �$�� ���� �� ���� ����� ����� ��#�� ������������ ����� �#������ �� �� ��� � �� �� ��� ��� ��� ����� � ������� ������������� *� ��� �6� ������ �� � �(

� )����� � � � 0��� �� ���������� � � ��/0�� � � � �3�� �� �������� � ����/0��� ��� � ���������/��� ���

���

�B4C � ������

�B4C ���/������ � � � �� ��

���������������� ��� �� ���� * ��

�� ������

B�B4C E �B4CC A ������

�B4C E ������

�B4C

#� ������

B�B4C� �B4CC A ������

�B4C� ������

�B4C

(� ������

B�B4C � �B4CC A ������

�B4C � ������

�B4C

)� ������

����

A� ����

��

� ����

���������� �� ���

���

�B4C A ��

-� ������

�B�B4CC A �B+C ����� ������

�B4C A + � � �� ����/�����/ / +�

2� �������� ���� �� ��� �� �� �#6����� �� ���� � � �� ������� ��������������� " ���� ��� �� �� ��� �� �� �� �� ����� �������� ����� �

� #�������*���

���� ��� �

�7�� ��

�2� �� ����� ����� 7 � 9 �� �� �� �� ��� ���� ��� � �� � � ) �� �� 2� �����(

���� ��� �

�7�� ��

�A 7 � �� )� A ��)

� #�������3����� ���� �������

���� � ��� �

� �

��� E

� E �� �

E �

Page 53: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�#� " �!���� *�� <9

2� �� ����� ����� 7 ��� ��

���� � ��� �

� �

��� E

� E �� �

E �

A ���

� � ��� � � ���E ���

� � ��� � � �

� E �� �

E �

2� �� �� �� �#� � ���� � �� �� ����� ����� < ���� ��

���� � ��� �

� ��� A ��� � A 7

��� ���� ���� �������� �� �� �� ����� ����� )(

���� � ��� �

� �

� E �� �

E �A

���� � ��� �

� �B� E �� �C

���� � ��� �

� �B E �C

A� � �� 7 E �� �

� E �A

�A �

����� ���� ���� ������� ���

���� � ��� �

� �

��� E

� E �� �

E �

A 7 E � A 9

$ #�������*���

���� ���

�� E ) �� �

���

2� �� ����� ����� )� �� �� ��

���� ���

�� E ) �� �

���A

���� ���

�B�� E ) �� �C

���� ���

�B���C

��� �� �������� � �������� ���� �� ��� ��� �� ��

���� ���

�B�� E ) �� �C A ���

� ��� ��� E ���

� ��� �) �� � A � E ) A <

���� ���

���� A ���

� ��� �� � ���

� ��� ��� A � �

� 7

��A

)

����� ��� ���� ���

���� � � �

���A �

A ����� �

Page 54: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

<) �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

/� �� �� ���� ������� � ���� �������� ��� �� ��� ����� ����6��� 0� �6 � ��� �� �� �� ���� �� ���� ������� �� ����� ���

���

����

� ��� ���� �B4C � �

� �B4C � � ���� 4 � �� .���� ����� J�-�K�����6��� ���� �� �� ��� ��J�-�K�����6��� J���K�����6��� � �� ������

��� �� ���� ��� �������� ���� �� ��� ���6��� �� �� ����#�� � ����� ���� ����6�� ��� �� ���� ����� ����� ����� ��� �� ��� � �� ��� ��� �� ���� � �� �� ��� ��� ����� ����� ������� ,�� �� � � �� ��� ���������� � �� ���� ������� � �� � ������ ��� ���� �� �6����� �� �� �� � ������6���� ���� ��� ��� ���� ������

!� � �� ��� �� �� ��� �� ��� ����� ����6��(

� #�������*��� ���� �������

���� ��� �

�� � ��

�� �

����� �� �� J�-�K�����6��� ���� ��� �� ���� ���� ��� � A � � � A ��� �� $��� ���� �������� 2� ��� $��� �� �� �����I ��� ��� ����6���� ���������� D !� �� #�� �� ������ ��� ��������� ��� �� ���� �� � �� �� � �� ����� � A � ��� � �� � �� �� ���� �� �� ����� ���#��� �� �6����� ����B�� � ��C ( B� � �C� ����� ���� �� �� � �� A B� � �CB�� E �� E ��C� 2� �������� � ���� ������� � ����(

���� ��� �

�� � ��

�� �A ���

� ��� �

B�� �CB�� E �� E ��C

�� �

A ���� ��� �

B�� E �� E ��C A �� E � � � E �� A 9

% #�������*��� ���� �������

���� ��� �

���

�� E ��

0� � �H� ��� ���� �� ����� � ����6���� ��� ������������ �� ���B�� �C� � ��� ���� �� � � �� ��� � �� �� � ����� �������� � �� #��� ���� ��� ������������ ������ !� � ��� � ����(

���

�� E ��A

� F � � �� ��� ��� F � � E �� ��� �

A�� F � ��� �

��A � F � ��� �

����� ������ �� �� ������ ��� ���������� ��� F � ��� � ��� ���� �������� � ��� ��� ��� � ����� ����� �� ��� �� ��(

� � ���� ��� �

���

�� E ��

A ������

� F � ��� � � ������

��� A �

Page 55: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�#� " �!���� *�� <<

����� ��� ���� ��� �

���

�����A �� �

!� ��� � �� � ��� � �� �� �� ��� ��� �� ���� �����

� #�������+��� #� ���� ��

���� ��� �

7��

�� E ��

*� �� ���� #�� ���� ������� ��� ��� �� �� #�� �� ����� ������B�� �C ���� ����� ������� ��� ��� � �� �� ������ ����� ������� �� ���� �����B�� �C A ���

������

2� �� �#� � �� ��������� � A �� �� ��� �� ��(

������

�B�� �C A ������

7� � ��� E ��

A ������

��A �

:�#��� �� �� � ��� � ���� �� � A � ���� ��(

������

�B�� �C A ������

7 � � � ��� E ��

A ������

��A �

��� ��� �� �� ����� ��� ��� �� � �� ���� #��� ��� � ���� ����� �������� ����� ������ ���� �� ��� � � A ��� ��� ��(

������

�B�� ��C A ������

7���

�� E ����A ���

���

7�

� E ��A

7�

� E ��

��� ������

A � �� � A �� ����� ������ ����6���� ��������

�� ����� ������ ���

����� ���� ������� ����� �� ���� �� ���� =��� ������� ���� ��� �

��������

���

�#������ ���� �� � ����� ��� �� � �� ���� ��� ���� �� ���6�� ���� �����*��� �� ��� ���� �� �� ���� ���� ��� �� ���� �6������ ����� ���� ��

��� �B�� �C A ��������

� ��� ������������ � ������� �� ��� �������" ����������� ��� ��

�B�� �C A7��

�� E ��A

7�� F � �� �

��A ��B7�C A �B�� �C

*��� �� ������ �#���� � ��� �� �� �� ����� ��������� �� �� ������ ������ ������ ���� .� $��� 7���� �

�& #�������+��� #� ���� �� ��� ���� ���� � ���� ��

�B�� �C A���

�� E ��

Page 56: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

<; �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–1

0

1

z

*���� 7���( =����� ��� �B�� �C A ��������

���� B�� �C� B�� �C�2� �� #��� �� ����� ��� ���� ������� ��� � � A � ���� ��(

������

�B�� �C A ������

�� � ��� E ��

A �

/� ���� ����� � A �� ��� ��

������

�B�� ��C A ������

���

�� E ���A ���

���

��

�� E �A �

����� ����� � �6� �� �� ���� ������� ���� ��� �

�B�� �C �� � ����� � �� �����

�� ����� � ���� ���5 !� � �����( ��� � �� ������ ������� �������� � A �� ���� ��(

������

�B�� ��C A ������

��

�� E ��A ���

���

7A

7

.��� � A ����� ���� ���� ������� �� � �����

*� ������ � ��� � ������� ��� �� � �� ������ ��� � � .� $��� 7��7� ��� �� �� � �� ����������� ������ �� � �� �#���� �������� � A ���>��� ���� � � ��������� � ������ B�� �C� ��� ������ ���� �� ���� � ������� �

��� #���� ���

0� ������� ����� � ������ �� ���� ���� �� ���� �������� �� �����������"�������� ��� �� �� ��� ���� � �� ������ ��� ���� ���� ����� �� ���������� �� � �� ������ ��� ���� ���� ��� ���� �� �� �6 �� ����� ����� ������������ 2� ���� �� ���� ������� ��� �� �� �� �� � �$�� �� �� ����������(

Page 57: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�(� �%!��!����� <5

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–0.50

0.5z

*���� 7��7( =����� ��� �B�� �C A ���

������

�� !�"����$��������� � �� ����/�����/ / ������� � � �� ������ � �� �� /������ �������� �� �����

������

�B4C A �B�C

�/ �/�� � � �� ����/�����/ ������ ��� �� ����/�����/ / ��� ����� / �/�����/�������� ���

,��� �� �#��� �� �� ���� �� �� ���� �������� �� �� �� � �#� �� #� �������� �� �������� ������ �� ����#�� ��� ���� ���� �� ������������ ,��� �������� ���� ���� �� �� �������� �� �� ������ �� �� ������ �$�� ���������� ��� �� ����� ����������� /��� � �� ���� ���� ���� �� �� ����� � ����������� ������������ ���� � �� ���������6���� �� �6���� �� ������������� ���� ���� �� ���� �� �� ��� ������ ��� ����� ���� ��� ��� ��� ����� ������ �� ���� ����� 2� ��� ������ �� ������ � ��� �� � �������� � � ��� ����� �� ������������ ���� ����� �� ��� �� ������� � ������ �� ����������� ���� ��� 0� ��� ������ ������ ��� �� �� ���� ������ ���� ���������

*� �� ��� ������ ��� ����� ���� �� � ��� �� ��� ��(

� )����*����� ����������� � � � �� ����/�����/ � / �2 � �� ����������� �E�2 ���2

� � � � 4�������� � �B�C A �5 �

���� � ��

*� ����� ������ �� ���� ����(

�� )����*����� � �� �� �������� � 6��� ��/0�� ��� �� ����/�����/ / � � � �� ���������� � �� ��/0�� ��� �� ����/�����/ / �B�C2 � �� ���������/� ��� Æ � � � ����/�����/ / ��

Page 58: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

<8 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

2� ��� ��� �� �� ��� �� ������������ ���� ���� � ����� �� ���������� �� � �� ������������(

�� #�������!� � ���� ���� ��

�B�� �C A 9�� � �� E 4�� E )

����� �� �� �6�� � ���������� � � �� *� �� �������� �� � �� ����������������� �� ������ 7�97�

2� �� �#� � �� ����� 9��� ��� 4�� � )� ���� � � ����6����� �� ������� �� ������������ ���� ����� *� �� �� �� �� 9�� ����������� ��� ��������6���� �� ������ �� � ������������ ���� ����� 9� � � �� :�� ��������� �� �� ����������� ��� �� �� ������ �� �� ������������ ���� ����� � �� �� ��� $�� ������� !������ �������� ��� �� 4�� � ) �� ������������� ����6���

*��� ���� � �� ���� �� �� ���� � ��������� � � ����6������ 2� ������ 7�97 ���� �� ������� � �� ����������� ���� ��� �

�� #�������!�

�B�� �� C A�� � )�

� ��

!��� ����� ��� �� �$�� �� ������ ��� � �� �� A �B�� �� C � �� � A ����*#� � �� �� �� ��� )�� � �� �� ������������ ����6�� ��� � �� ������

�� ����6�� � ���� �� ������������� ����� ��� �&���� ��� �� � )� � � �� � �� ���� ������������� .������ 7�97 ��� �� �� ���������

�� � )�

� ��

�� ����������� �� � �������� �� ���� �� ����� �� ���� ���� � ������������� ��� �� ������ ����� �� ���� ���6� ����������� � �$�� �� ��������� �� .� �$�� ���� 7�9�� !��� ����� ��� ���� ����������( +����� �$��� �� ������ ��� �� ���� �� � �� � ������������ ��� ��� ��$����� �

�$ #�������2� ��� ��� � �� �� ���� �� ���� �� �� ��� �� ������ !� � ���� ���� ��

�B�� �C A

�� E �� � E �� � �� ���� � �

F B�� �C ���� � � �

��� �� ����� �� ���� �� �� �� �� ����6����� �E�� �E��� �� � F B�� �C������������ �� ���� B�� �C � �

� � B*� �� �� � �� F B� � �C �� �����������

Page 59: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�(� �%!��!����� <4

������ �� ������ 7�99 �� �� � �� �� ������� ���� �� ����� � � � ��� � F B�C�� ������������C . #� ������ �� ��� ���� �� �� ������ � � � ����6����� ��#��� �� ����� ��� �� ����������� ���� �� ���� ����� � A ��

��� � �� ���� � A � ��� � � E �� � E �� � �� ���� ��(

� E �� � E �� � �� A � E �� � E � � �� �� A �

� � ����6���� F B�� �C ���� ��

F B�� �C A F B�� �C A F B�C A �

.��� ����6����� �� ����� � ��#��� �� ���� ���� � ������������ �

2� ��� ��� � �� �� �� �� �� �� � ����������� ���� ��� >�� �6���� �� �� �� �� �� 7�9��

�� #�������!� ���� ���� � ���� �$���� ��

�B�� �C A

����

������� B�� �C A B�� �C

� �� B�� �C A B�� �C

2� �� �� �$�� �� ������ ��� � �� ���� �� � +����� ��� �� � ���� �� �������������� ����6���� ���

������ . #� ������ �� � � � �� ����������� � B�� �C�

��� ��� �� �� �� 7�9� ��� �� �� ���� �������

���� ��� �

���

�� E ��

���� �� � ������ ����� ��� �$�� ���� �� ���������� �� � ���� �� ������������ � B�� �C� �

��� $��� � �� �� �� ��� �� ���� ���� � ���� �� ������������ � �� �����

�% #�������!� ���� ���� � ���� ���� ��

�B�� �C A

���� ����� �� � � � � ����� �� �� �����

� �� � � �� �� ���� � � �� ���� ����

7 �� � � �� ���� ���� � � �� �� ����

9 �� � ���� � � � �� ���� �����

2��������� ��� �� ������� � ��� � ���� B�� �C $��� �� ���� �� ���� � $���6 ��� ���� ����� ��� ���� � ���� ����������� � �� ����� �

Page 60: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

;� �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

����� ������ ���������

.����� � ������ ��� �� � ����� �� ��� $��� ��� ����� � ���������������� ���� ���� �� ���� ��������� " ���� �� ������ ��� �� � �� �������� �� � ����� �� ��� ����� � ������������� $��� �

2� ���6���� �� �$�� �����

�� !�"������ ����� � / ����/�������� ��� �/� � ����� �� ������ ���� �������� ������������� � ������ �B�C �B4C ��� ��� 4 / ����/�������� ��� �/� � ��/�������� ����� � �� ������ � � �������� ��� � ������ �B�C � �B4C ������ 4 / ����/�������� ��� �/� � �

0� ��� ����� 6��6� ��� ������ ��� ���� ���� �� ������� ��� ���� �����"��� ���� ���� ���� ��� ��� ����� � ������� ���� @ �� ��� ���� ��

� ��� ���������� ��� ����� ���� ������ � �� ��� � �� ���� �� � ������ �� �� #��� ����� ���� ���� � ���� ��� ������ ��� ��� 2���� ���� ���� �� � ����� � �� �� ����������� ���� �� �$���� �� �� ������� ������ �� ������ �� ��� �� ����� � �������� � ��� ���� ����� >� � �� �� ����� � � �

����� ��������� �� � �� $��� �� ���� . ��� �� �4� �. �� ���� 4 � ��

�& )���� 6#�����������������2� � � �

� �3�� �� ������2 0� ������ ��� ��2 � �� � � ( � � � ������/�����/ � * .� � ���/��7 � �/�/��������

!� � �� � �� �� �� ��� �� ������������ �������

�� #�������!� � ���� ����������� �B�� �C � �

� � � � � � 9 � � � � � � <�� 2� ����$���� ���� ���� � �� � �� �������

�B�� �C A 7�� �

+����� � ��� �� �B�� �C ���� ��$����� =����� �� �� ��� � $��� 7��9� .���� �� �� ������ � ������ �� ����� ��� �� ���������� �������� �� � ������� ��� ���� ���� � ������� ���� �� �� �� ���� �������� �� ������ �� � �� �� ����� ���������� � � � � 9 � �� � � � < ��� �� �� � ���< � 7� � � � 5� �������� ��� �� ����� �� �B�� <C A �< � �B9���C A 5������ �� �� �� � ����� �� ��� �������� 5 � ������ B9���C � �� � ����� �� ����������� �< � ������ B�� <C� �

� #���������$��� ���� ���� � ��

�B�� �C A)�� 9

�� E �� E �

Page 61: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�(� �%!��!����� ;�

–2

0

2

4

x–2

0

2

4

6

y

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

z

*���� 7��9( =����� ��� �B�� �C A 7�� � �� � � � � 9 � �� � � � <�

� �� �$�� �� ������ ��� � ����

�� A �B�� �C � �� � �� E �� � 4�=����� ��� � ��� �� ������ � $��� 7��)� .��� �� �� �� ������ � ������ �������� ��� ����� �� ���������� �������� �� �� ��� $��� ��� ����� �������� ���� �� �� �� ������ ��� �� � �� ��� ���������� ��� ���� ������ ��� ������������� ��� ���� �������� �� ���� �� ����6���� �� �� ���� � ���������� ��� �� �� ��� � ���� #��� �� ��� ���������� ��� �B�� �C ���������� ��� � A � �� ��� ����� � ������� ������� ��� �� 2� �����

�B�C A �B�� �C A)�� 9

�� E �

2� �� ������� � $���� �� �� ��� ������ ��� � �� �� � �� ���� ���������� � � A 7� 2���� �� �B��

�C A �) ������������� ��� �� ����� �� �� �� �

��� ��� �������� � � B7� �C � ����������� �) � B���� �C� �

" � � � �� �� ���� ��� �� ��� �� �� ���������� �������� �� ��� ���� �� ��� ������ �� ���� ������ � � ����� ��������� ��� ������������ ��$���� �� ������ � ������ �� ������� �������� ��� ���� ��� ������ ������� ����� ��� � �� ��� ��� ����� ��� �� �� ������ ���� ����������� ��� �� ���������� �������� ���� $��� � � �������� �6� �� ���������� ��� ����� � ����� �� �� $��� �� ������ ����� .��� � �� ����������� �� ���������� �������� �� �� ��� ��� ���� �� �� ����� ����� ������ ����� �� �� ��� �� �� �� �� �� � �� �� $��� ���� ����� .��� ��� ��� �� ���������� �������� ����� � �� ������# � ������ ��� ��� � �� ������ ��� � ������ �� #� ������ �� ����� � ������������ J-��

Page 62: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

;7 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

–3–2

–10

12

3x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–4

–3

–2

–1

0

1

z

*���� 7��)( =����� ��� �B�� �C A �����������

�� �� E �� � 4�

�� $��� �� ��������� ��������� �� �� �� ���� �� ��� �� ����������� ����� �� �� � �� ��� �� ���� ����� ��DK� �� �� �� �� ���������� �������� �� ���6���� ��������� � �� �� ��� �� ��� �� �� ���� ������ ���� �� � ������� ���� ����� -����������� ���� ���� �$���� �� �� ������ � ������ ������� ��� ���� �� �� � ���� �� ��� �� ��������� ��� �� �� �� ��� ��������� �� �� $��� ��� ����� � ������� ���� �� ���� �����

*#� �� �� �� ���� �� �� ���� �������� ��� �� � �� ��� �� �� ��� � �� �� �� �� �� �#������� ���� ���� �� �$�� �� ������ � �� ������� ������ ���

�� #��������C !� � ( �� � � ���� ���� �� �B�� �C A �� E ��� .��� � �� ����� ��

������������ ���� ���� �� ���� �� ����� ���� �� � �� �� �� ������������� ��� � ��� ����� ��� ��������� ��� �� ��� ��� �B&� �C A&� �� �� �� ���� ��� �� �� �� &���

�C ���� �� � � �� ���� �� ������ ��� ��$��� � ( �� � �� �B4C A �4��

�� �� � ������������ ��� ��� � �� ������� ��� ��� � �� ���������� ���������� � ��� �#������ ���� �� �� ��� ���� �����

FC .� ����� �� �B�� �C A �� E ��� ��� ��� ����� �$�� �� ������ ��� �B�� �C ��� �� �� E �� � �� � �� ������� ������������ ��� ��� ���������� ��� ��� ��� ��������� *��� �� ������ � ��� ������ ���� ��� ���� � �$�� �� ������� ��� �� ��� $��� B�� �C �� ��E�� � � ��� �� �B�� �C ������ ���������� ��� ��

C ���� �� � � �� ���� �� ������� �� ��� � �� ��� � �� ��� ���� � �

Page 63: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�(� �%!��!����� ;9

���� �� �� � �� ��$��� � ( �� � ��

�B4C A�

�4� ���� �� � �� ����������� ���� ��� ��� ��� �� ��� $��� ���� � ����������� ��� �� �� � ������� �� � ��� �#������ ���� �� ��� ���� �����

:���� �C � �C �� �� �� �� �� �#������� ���� �� �$�� �� ������ �������� �� �� �� �� ���������� �������� ��� ����� ���� ���� ��� ����FC � C �� �� �� ��������� �� �$�� �� ������ �� �� �#����� �������� ��

����� �! �� �� ������ ���������

7����8 *� �� ���� ��� ���� ��� ��� �� �� �� ���� ��� �� �#6� ���� �� ���� �� �� ���� ���� �� � ��������� 2� ����� ��� �� �� � � �

� �� ��������� ������ �� ����� � �� � ( �� � �� ������������ 2� ��� �� � �� ���� �� ��� ���� ���� @ ���� �� �� �� � ��� �� �� �� ������� ���� �� �����������

2� ��� / ���� �� ��� �� #��� ������� ��� � (

/ A � ��B4C � 4 � ���� �� ����� / A� ��� ���� ���� � �� ������� �� �� >� � �� �� #��� ������ �� �� ������� ( �� � �� ���� � ��� �� �� ���� � � ( �� � �#��� �������� �� ��� ��� �� #��� ������� �� ����� ����� ��� ���� ���� #��� �������� �� ����� � (� >� � �� �� ������� ��� � �� ��� �� ���� ��������� � ������ �� �������� ( �� � ������ ���� ��� �� ����$���� ��� ��#��� �������

.��� �$�� �� ������ � �� ������ ��� ��� �� $��� �� ������ 0� �� �� & � �������� ���� �� � $��� 7��<B�C� 2� ��� ��� ���� �������� � $�� ����� �������� 0�� 0�� 0�� 0� �� �� �

� � �� � � $��� 7��<B�C� !�

/�� /�� /�� /� ���� � ����� ��� � ��� � ����� �� � � ������ ������������ �� 0�� 0�� 0�� 0�� �� ��� �

/� A � ��B4C � 4 � � �0��� ��� ������ ��/��/��/�� ��� � �� �� ������� ��0�� ��0�� ��0����0� �� ��� ����� ����� �� �� � ��� ������ �$���� �� ��� ������ /O���

.��� ��0�� ��0�� ��0�� ��0� ��� ����� ����#� ���� �� ��� ��� �H�� �� ������� /�� /�� /�� /� ���� ��� /� !� 0� ���� �� �� �����������0�� 0�� 0�� 0� ��� �� �� ����#���� /� � ����� ������ �� ��� /�

Page 64: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

;) �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

��� ��� ��������� ������ �

�� ��

��� !!�"��� �� ��

*���� 7��<( 3��� �� �� ���������� ��������

2� ��� ��� ������ � �6��� �� 0�� 2� ���� ���� �������� � $������� �������� � ������ �� �� �� � � ���������� 0�� ��� ��

� ��B4C � 4 � � �0�� A /�

*�� ����� �� �� ���� ������ ���� �� �� ����� 0�� 0�� 0�� � � � � 0�� � � � �� ���� ����� �������� ��� ��

� ��B4C � 4 � � �0�� A /

�� ���� �� *���� 7��; �� �� ����� �� ��� ����� ��� � ��� �� ������������������� �� � � �#��� �� ��� ����� �� 0�� 0�� 0�� � � � .��� � ����������� �� ���� ����� �� ��� � �� ���������� � ��� � �� ���� ��������0� ��� ���� �����

���

B�� � �� & �� �������� � �� ��������� ��������0�C�

!� B��� ��C ���� ��������� ��� �� ����� ��� ��� ��#���� � 0�� ����� ���� �� � �� ���� � ���� �� �� ��� B�������������C �#����� � � ���� �� ���� ������ �� ��� B��� ��C ������ ������� �� �#� �� �������� 0��2� ���� ������ �� �#���� ����������� � �� ��� ���� $��� ���� �� � ����� ���

����� A �� ���

����� A �� ���� ��� �� B��� ��C �� �� ����� ���� � 0�� .���

�#���� �� ��� 0� ���� �� ����� ��� � �� B��� ��C ��� �� B�� �C�2� �� ��� ����� ��� �� �� ����� ���� ��� .��� / �� � ����� ��� � ���

���� �� ������� � � 0�� ��� �� $��� �� �#��� �� ���� �B��� ��C� ��� ��B��� ��C � � �0� �

������

�B��� ��C A /

Page 65: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! ;<

���������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������

��

��

��

��

��

*���� 7��;( .����� �� 0�� 0�� 0�� 0�� 0�� � � �

2� ��� ������� � ������ �� B��� ��C � B�� �C� .��� ����� ���� B��� ��C ���� � � � � �� ������� �� ��� � �� ���� �� B�� �C ����#�� �� ����� ��

�B�� �C A ������

�B��� ��C A /

��� � �� ������������ ����� ���6� �� B�� �C �� �� ��� ���� ���� �� � � ����� �� �� �����#��� �

" ���� �� �� �� ���������� �������� ��� �� �� ���� ���� ����� ����� �� �� ��� �#���� � �� � / ���� 7�; ��6 �� � � ���� �� ���� 1������ ������� ���� ����� ���� � �� �� ���� �� ����

0� ���������� �������� ���������� �� �� � ���� ���� ��� ��� ����� �������� ����� ��� �� ��� ���� �� ���� � ����� �� ��� $��� � � ������� � ��� � � ����� �� �� ����� �� ��� ���� ������� ��� ����� ��������

��� $��������

*� �� ���� �� � A �B�C �� H�� �������� �������� �� �������� � �B�C ������ ���� ���� �� �� � ������ � @ ���� �� �� ���� ����� �� ����� � ���� ���� ��� ��� ���� �� ������ #�� �� � �B�C�� *� ���� ���� �� ���� ���������� ���� ���� ��� �� �� ���I �� ��� ���� �� ���� ������ ���� � � �� ������� ����� �� �� ���� ���� ����� ���� �6� ��� ��� ������� ������� �� ���� ��*#� �� ������ �� ������� ������ ��� ���� ���� ��� �� ���� � �$ ��� �������������� �� �� ������ ��� �� ����� �� �H��� ��� ����� �� ������� �������(

Page 66: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

;; �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

-���� �� �.����� �� �������

=����� ��� �

*���� 7��5( "H��� ��� �$�� ���� �� ������� ��������

����� "�������� �

�� !�"������� � ���������� � ( �� � �� ������� � �� ������ �� � � �� � � ��� �� /���� ����� / �� ���� � � �� ��� �� ������� *�� ������� ����������� � � ������ � � ��������� �� /�� ���

� �B�I C A ������

�B� E �C� �B�C

4�������� � ����� ������ ���/������ �����8� ��/ 5�

*���� 7��5 �� �� �H��� ��� �$�� ����� :������� �E� �� � ������� ������� ��� ��� �� ������ � � � ���� � ������� � 2� �� �� ������� ��� � ������� ������ ��&���� �� �B� E �C � �B�C �������� ��� �6� ���� ����#��� ���� �� ������� �� ���� �������� � ��#���

�B� E �C� �B�C

�� #������� �� ���������� ���� �� ������ �� � �����������

�� #�������!� �B�� �C A �� E ��� 2� ��� ������� �� ������� �������� � �B�I C ����

Page 67: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! ;5

� A B�� �C� A B7� �C� *#� � � ������� �� ��

� E � A B�� �C E �B7� �C A B� E 7�� �C�

� ��� �B� E �C A B� E 7�C� E B� E 7�C� A � E <� E ;��� ��� ������ ���B�C A �B�� �C A �� E � � � A �� 2� ����

� �B�I C A ������

�B� E �C� �B�C

�A ���

���

B� E <�E ;��C� �

A ������

<�E ;��

�A ���

���B< E ;�C A <�

>�� ���6� ���� �� �������D !��� ����� ��� �� ������ ��� ������� �� �� A�7� E �� A

�< � ��� � �� ���� �� �6��� �

�< � ������� �� ������� A

B7� �C� ��� ���� �� ������ ���� �� B������C � �B�I C � � A < � �� �

��� �� ����� � �� �� ��� ��� �� ������� �������� �� �� � ������� �������� � @ � �� � �B�I C ���� � ���� ������� ������ ��� ������ � ������� ������ ������ �� ������� ��������

����� ������ �� �

.�� ����� ��� �� � �� � � �� ��� �6��� �� �6 ����� �� ���� ������� ������ �� �� �� ����� ������� ������� �������� ��� ���� ���� �� ������������� ��� �� ������� ���� �#�����I �� ���� �� ������� ������� ��������� ��� �� �#�� �6� �� ������ ������� ��� ������ ����� �� �� ���� ������ H�� ��������� *#� �� �$����� ������� ��������� �� �� ������ ��� ���� � ������� ���

��� 1��� ������������� �� � �� �� �������

�� A B�� �� � � � � �� �� �� � � � � �C�

���� �����

�������� �� �� 1��� �������� ���

�$ !�"����� � ( � � � �3�� �� �������� � � ��/0�� � � � �3�� �� /���� �����

/ �� *�� 17�� ���� ��� ��� ����� ��

���B�C �� ��� ����/� ����/����� � � / ����/�

� ��� 17�� ��.����������� ��9 ��� �/� �/

$�

$��B�C A � �B�� ��C

�������� � ��� ����/� ����/����� ���/�������

Page 68: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

;8 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

���� ��� ���� �� ��

���B�C �� ���B�C � ��B�C� �� ������� �������� �� ��� ��

������� ������� ��� ���� ���� �������� �� �������� ���� .������ �� ���$�� ���� � ������ �� �� ��

$�

$��

B�C A � �B�� ��C A ������

�B� E ���C� �B�C

A ������

�B��� ��� � � � � �� E �� � � � � ��C� �B��� ��� � � � � ��� � � � � ��C

��� � �� ����6���� ��� �� ������ ������ �� �$�� ���� �� ������ ��������+��� ���� �� � ���������� ��� �� ���� ���� ��� ������� �� �� ��

$�

$��B�C A ���

���

�B�� E �C� �B��C

����� ���6� �� �� ��� $��� �� ������� �������� ��

������� ������� ����6����

� A �B��� � � � � ��� � � � � ��C �� ��� 6� �� �� ��� �� ����� � � ���� ����� ���������� �� �� �������

�� #�������*��� � ������� �������� ��

��� ��

����� ���� ����

�B�� �C A �� E ��� E ��B��C�

*��� $��� ��

���������� �� ����6���� �� ��� 6� �� � ��� �� ����� � �

� �� �� �� ����($�

$�B�� �C A 7� E �� E � F B��C

*� �� $��� ��

���������� �� �� ��� 6� �� � ��� �� ���� � �� ����(

$�

$�B�� �C A � E 9��� E F B��C� A 9��� E � F B��C

����� ��#��������

2� ������� �� �� ��������� �� � �� ���� �� �� ���� �������� ��� ������� �� �� �� ��� 6� �� ����� ��� -�������� �� ��� ����� ����� ������� ������� �� �� ���� ����� �� �#��� �� � ���� ��� �� ��� �6��� ���� ����������/� �� ��� � �� �� �� ������ �� ����� � �� ���� ���� �� �� ���

�% !�"������ �������� � ������� � �� ��� ��� �� � �� �� ������ �� ���/��� ��7�/����� ���/������ � � � �� ����/�����/ ��

Page 69: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! ;4

>�� �� �� ���� ���� � ���� ��� �� �$�� �� ����� � �� �� ������ � ���� ��D ����� ������� �� ���� ����� ��� �� �� ��� ������� �$��� �� ������ #������ �� ��� � �� �� ��� �������� ������ ����� *� ������������ ���� �� � �� �� ���� ������ ��� � �� ����#�� � �� �� �� �� ������ �� �� �

2� ��� � �� ��� �� �� ���(

�� #�����������#� � � ���� ��

�B�� �C A ���� �� E 9���

�� �� �� ���� ���2� $���� � �#� � � ������� ��������� 2� ���(

$�

$�B�� �C A ���� �� E 9��

$�

$�B�� �C A � F B�C���� �� E ;��

.��� ������� �� � ������� �������� �� �6���� �� ���� �� �� ��� ������ ��� ����� ���� �� � ��� ������ � � ������������ ���� ����� ���F � �� ��� ��

��� ��

������ ������������ ���� ����� ����� �� �� �� � �� ���

�& #�������+��� #� ������ ���� ���� � ���� ��

�B�� �� C A��� �� E

�� �� ������� ���2� $���� � ������� ��������(

$�

$�B�� �� C A � ��

�� ��

$�

$�B�� �� C A

$�

$B�� �� C A � �

�� � �� ���� ������������ ���� ����� ��� ���� ����� ��� �� ��

������ �� �$����

�� � A �� ��� � � �� �$���� ���� ����� �� ���� �� ����� ��� ������ � A � �� ���� � �� ���� �� �$�� �� ������ ��� � � � �� �������� ����� �� �� �� ��� ��� � � ���� �� ���� #��� � � �� ���

2� �� ���� �� � �� �� �� �� ���� �� �� �$�� �� ������ �

Page 70: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

5� �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

�� #�������.� �� �B�� �C A �B�� �C� A

��� E ��� ����� �� ���� ���� � ������ ���

����� ��� ������ B�� �C ��� ���� � �� �$���� �� ���� �� 0� � �� ������� ��D

2� $���� � ������� ��������(

$�

$�B�� �C A

���� E ��

$�

$�B�� �C A

���� E ��

>�� �� �� �� � ������� �������� �� � ����� � �� ������������ ��� ��� ���� ���� ��� � �� ���� #��� ���� ��������

���� ��� �

$�

$�B�� �C � ���

� ��� �

$�

$�B�� �C

��� �� � �� � ���� �� � ������ ����� �� ���� � �� ������� ��� >�� �� ������������ B�� �C ��� �$�� �� ������ ����� � ��������������� ���� �$������ ������������� ����� ��� �� � �� � �� �� �� ��

� �B�� �C�� �

����� $������

" ������ �� ���� ���� �� �� �������� ��� �� ��� ����� � ��� ��� ������ ��� ������ ���6���� ��� *� �� �� �� ������ �� �� �������� ��� �� $������������� ����� ��� �� $��� ����� ��� ���� � ������� �� ���� ����� ������ ��� �� 6�� � � ������ �� ���� �������� ��� �� �������� ���������� ����� �� ��������I � ������� �������� � ���� ����� ��������� � ���������������� �� �� ���� ���� ��� *��� ��� ���� �� �������� �� ����� �� ������������� �� � �� ������� ����� � +��� ��� �� �#� � �$���� ����������������� ��� �� � �� �� ��� ����� �� ��� �� ����� �� ������� �������� ��������� ����� ��� ����� � �� ���� �� ��� $��� ������� ��� �� �� ���� ���� � �������� B����� ��������6 �� ��� � �#6��� ���� ����C�

� !�"����"��/����� �/� �� �������� � � � ��/0�� / �� /���� ����� � / ����/�����7��� ��� �� ��������

��B�C A�$�

$��B�C� � � � �

$�

$��

B�C

0� �� ���� ��� �� �� �� ���� �� �� � �������� �� ��������� ��� � �

B�� �C �� ���� ��

��B�� �C A�$�

$�B�� �C�

$�

$�B�� �C

Page 71: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 5�

2� �� �� ��� ����� �� �� ���(

�� #�������*��� ��������� ��� �B�� �C A 9�� � ) ��B�C � ������ B��� 7C�

2� $���� �#� � � ������� ��������(

$�

$�B�� �C A ;�

$�

$�B�� �C A �)

.����� �� ��� B�� �C A B��� 7C ���� �� ��

��B��� 7C A �; � ��

��B��� 7C A �7� �����

��� �� ��������� � B��� 7C ��(

��B��� 7C A B�;��7C

�� #�������!� ���� ���� � ���� ���� ��

�B�� �� C A 7�� E �

2� ��� ��� $��� �� ����� �� ���������� *#� � $���� �� � ������� ��������(

$�

$�A 7� �

$�

$�A 7� �

$�

$A 7

����� �� ��������� ��� � � B�� �� C ���� �� �������

�� A B7�� 7�� 7C

2� ��� ��� ����� ���� ���� �� �� ��� ��������� �� ������� ����� �� � ��������� �� ��� �� #� ������ ���� � ����������� ��� ���� �� �������( J-���� $��� �� ��������� ��������� �� �� �� ���� �� ��� �� ����������� ����� �� �� � �� ��� �� ���� ����� ��DK .����� �� ��� ��� �� �� �� ��������� ��#��� ���� ����� ��� ������� ��������� �������� ������� ���?���������� � �� ������ � �� � � �#���� ��� ������ �� ��� �������� �� �� ����������������

��� �#� �� �������� ��������� ��������� � � ������� �������� ��� ���������(

Page 72: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

57 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

�� )������� � � �� ��� * ���/������ ��� ����/� ����/����� � �B�I C �

� �B�I C A ��B�C � 3��� �� �� ���� �������� $���� � ������ � �� �� 7�)�5�+�������� ��� �������� ��� ��� �� ����� �� �6����� ������� � �����

��� �� ���������(

�$ )������� � � �� �� � � � �/ �� / ��� /���� � ����/�������� ���� * ����� ��/����� ��B�C / ��� ����/� �� .��� � ������ .���/ �� / ������� ��

7����8 !� � ���� �� ����� ������ *��� ���� � �� �� ������ � � ����������� � ��� � �B�I�C �� �#� �� .��� � �B�I�C A ��B�C � � � ���� ������� ��B�C � � ��� �� �#� �� ���� ���B�C� ��� A ���B�C� ���� � ���B�C �� ���������� �� �������� ���� �� �

*�� �������������� ���� ��� �� �� ������������ ���#��� �������������� ������ ��� �� �#����� ������ � �� ����������� ���������(

�� )������ ��7�������� � ������� � ����� � / �� �� ����/�����/ � ��

"���� �� ���� ���� �� ��� �� �� 7�)�5�*#� �� ���� ����� �� ������ ��� �� � �� �� �� �� �� ��� �� ������

��������� �� ��� ������ ����

�% #�������!� � ���� ���� ���� ���� ��

�B�� �C A �� � 9��� E <��

2� ��� �#� � ������� ����� � �� ��� ������� $��� ���������� � ��� ���� ��� �� ������� � ������� �������� ��� � � B�� �C � ����������(

�C A B�� �C� �C A B��� 9C � FC A B������C

2� ���6���� �� �� $��� � ���������������(

$�

$�A �;�� E <�

$�

$�A )�� � 9�� E <�

Page 73: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 59

2� �� �� � � ����6����� �� ������������� ����� �� � �� ������� ���=�������� �� ���� ��

��B�� �C A B�;�� E <�� )�� � 9�� E <�C

*� �� $��� ������� �������� � B�� �C ��������� �� ��������� � ���� ������(

��B�� �C A B<� )C

����� ���(

�C � �B�� �I �� �C A ��B�� �C � B�� �C A B<� )C � B�� �C A < � � E ) � � A <

�C � �B�� �I��� 9C A ��B�� �C � B��� 9C A B<� )C � B��� 9C A < � B��CE) � 9 A 5

FC � �B�� �I ������C A ��B�� �C � B�

�����C A B<� )C � B�

�����C A �

�E 7

�9

����% &�����'��� ��� ����

" ������ �� ���� ���� �� �� �������� ����� �� ����� �� �������� �� ��$��� ������������ ��� �� ���� �� � � �� ���� �� 2� ��� � �� �� ��� �������������� ��� �� $��� ������� ��� �� ���� ���� �� � ��������� � ���������6 �� ��� �� ���� ���� � ��� ����� ���� ��������� ��� �#� � ��� �� �$������� �� ����� �� ������� ��� � ��������6 �� ���� *���� 7��8 ���� ��������� �� ������� ��� ��� � �� �� �� ���� �� �� � ���������

" �� ����� � �� �� �� �� �� �� B����C �� �� � ����� �� �� ���� ��� "� �������� �� ���� �� ���� �� � ��� ����� �� �����(

�B�� �C A ��E �� E �

��� �� � � � �� �� ������ " ��� �������� ��� �� �� ���� �� �����

�B�� �� C A �� E �� E � E �

����� �� �� �� � � � �� ������� ����� ��� �������� ��� ��� ������ ����� 0��� ���� �� � � ������� ��� �����

�B��� ��� � � � � ��C A ���� E ���� E � � �E ���� E �

��� ��� ��� � � � � �� � � �� �� ������� .���� ���� ���� ��� � �� ����� ����������( �B4C A � 4 E �� ��� A B��� ��� � � � � ��C�

" �� �� �� ���� �� �� �� ������ ��� �� ���� ��� ������ ������ �� � �#6������� ���� �� ������ ��� �� �� ���� �� �� �� �6 �� ���� ,��� �� #� �����

Page 74: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

5) �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

–4–3

–2–1

01

23

4

x

–4–3

–2–1

01

23

4

y

–2

–1

0

1

2

3

z

*���� 7��8( 0� ���� �� ��� ������� ����

��������6 �� ����� ��� �� ��������������� �� � � �� ���� � �� �� ��� ������� $��� �� �� ���� ��� ��� ���� �� ���� ������� � ��� � �� ���� ���

!� ����� ������� �� ���� ���� �� �� ��������� �� ��� ������������ ���� � � ���� � �� �� �� � �� ��� ���� ��� � � �������� �� � �� ���� �� ����� ������� ����� ��������� �� #��� �� � ������#�� ��� ���� ��������� 2���� �#����� �$�� ��(

�� !�"������� � � �� �� �������� ������� � � � �

� � � ( �� � � �� �� ���������� �/ �/�� � � �� ���� � / � � � ������

������

�B4C� �B4C

�4� �� A �

"���� ���� ���� ��� �� �� ���� �� ��� �������B�6 ��C ��� ��� �� ���� ��� � ����� ���� �� ��� ��� ����� �$�� ���� ��� ��������� �� .������������ �� �� ���� �� �� �� �� �� � �� ������ � ��� �� �� ����� ����� �� �������� �#��� �� �� �������B�6 ��C ����� ��� � � � ���6�������

$& )����*����� � �� �� /���� ����� / �� 2 �� �� ���.1�������� �/� � / � ���1�/ 2�������� � ��� ���/�������

>���� $���� �� ������� ����� ��� �� ���� ���� �� � � �� ���� �D��� � � �� �� � � ��� ��� �� ���� �� ���������� ����� �� ������

Page 75: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 5<

$� )������� � � �� �� � � �� /���� ����� / �� � * �� �� �������� �/� � / ����1�/ � /�� ��� ��������

�B4C A �B�C E��B�C � B4� �C

�� � ��������� ��� ���� � � �� �� 7�)�5�!� � �� �� �� �� �� ��� �� �� �� ������ ��������� ��� ������� ���(

$ #�������!� ���� ���� � ���� ���� ��

�B�� �C A �� E �� E ���

� �� � ���� ������� ����� ��� � � ������ B�� �C� 2� ��� $��� ������� ��� ��2� ������ �� �� ����� �� � ��������������� ��� � (

$�

$�A )�� E ����

$�

$�A 7� E ����

=�������� �� ����

��B�� �C A B)�� E ����� 7� E ����C

2� ����� ��� B�� �C A B�� �C � $���� ��

��B�� �C A B�� 7C

.������ 7�;� ��� �� ������� ��� � ��

�B�� �C A �B�� �C E��B�� �C � BB�� �C� B�� �CC

2� ����� ��� �� � � �� � ����

�B�� �C A 7 E B�� 7C � B�� � � �C A 7 E �E 7� � 7 A � E 7�

������� ����� ��� �B�� �C A �� E ��E ��� � ������ B�� �C �� �B�� �C A �E7��.� $��� 7��4 �

$� #�������!� � �� ���� ���� ��� �� �� �� ��;� � ��� ���� �� �������

�B�� �C A��� � �� E 7�� �

Page 76: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

5; �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

–3–2

–10

12

3

x

–4–3

–2–1

01

23

4

y

–1

0

1

2

3

4

5

6

z

*���� 7��4( =����� ��� �B�� �C A �� E �� E ��� � ������� ����� � B�� �C�

2� ��� $��� ������� ����� ��� � � B)� <C� 2� ���6���� ���� $��� � ����������������(

$�

$�A

�� ���� � �� E 7�� �

$�

$�A

���� � �� E 7�� �

2� �� ���� ��� � A ) � � A < $���� �� �� ��������� � B)� <C ��

��B)� <C A B�9

)�<

)C

������� ����� �� ���� ������ ��� ���� ���� � ���� ��

�B�� �C A �B)� <C E��B)� <C � BB�� �C� B)� <CC A �9

)�E

<

)� E

9

)

.� $��� 7�7�� �

2� �� ������ �� �� �� �� �� �� �� $���� ��������6 �� ��� �� �� ���� ���� ��� ��������(

$� #�������!� � ���� ���� ���� ���� ��

�B�� �� C A��

� E � E 7

Page 77: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 55

–5

0

5

10

x

–10 –5 0 5 10

y

–2

0

2

4

6

8

10

z

*���� 7�7�( =����� ��� �B�� �C A��� � �� E 7�� � � ������� ����� � B)� <C�

*��� ��������6 �� ����� ��� � � B7� ����C��� ������� �������� ��(

$�

$�A

�� E 7��

B� E � E 7C�

$�

$�A

�� E 7��

B� E � E 7C�

$�

$A

��� E ���

B� E � E 7C�

=�������� � ������ B7� ����C ���� �(��B7� ����C A B�� �� ;C

*�� ������� � ������ 7�;� �� �� �� ��������6 �� ����� �� ������ ��� ���� �����

�B�� �� C A �B7� ����C E��B7� ����C � BB�� �� C� B7� ����CCA �7 E B�� �� ;C � B�� 7� � � �� E �C A �E ; E 7

��������6 �� ����� �� ������ ��� �B�� �� C A �E ; E 7� �

����( )� *�+�

2� ��� ��� ���� �$���� ������������ �� �� ���� �� �� ���� ���������=������ ��� ���� �� �� �� ��� ����� �� ������� ����� � ��� � �� ��������� �� #� ���� " ������� �� � �� �� ���� ����� �� ��� �#�� �� � �� ��� ����

Page 78: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

58 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

����� ��� ��� �� ������ � 6� ���� �� ���� �� �� ���� � ����������2� ��� �#����� �$�� ��

$� !�"������ �������� � �� ���/���0� / � ������ ��� ����� �� ���1�/ �� ������ ��/� � / ��

���� �� ������ 7�;� ��� �� �� �� ���� ������� ���� �� ����������� "���� ������ ��� �� ����� ����� �� ��� ��� � ���� �� �� �������� � �� �������� �� � �� �� ������ �� �� ����������

����, �! �� �� ������� ��%%- ��%,- ��(. �� ��(�

2� ��� ��� � �� ����� ��������� 7�<<� 7�<5� 7�;� � 7�;� ���� � � �� ����� �� ���� �� �� � � � ���� ���� ��� � � ��� ������ � �� �����������#� � ��#�� �� ����� �� ����� �� �������� ����� �

.������ 7�<< � �� �� �� ������� �� � �� � ����� � ������� �������� �

� �B�I C A ��B�C � 2� ��� ��� ���� � ���� ���������

7���� ,� ����� ��8 2� ��� ��� � �� ��������� �� ���� ���� ��� ��������� 3��� �� �� � ��� � �� �� ���� �� ��� � ���� ��������� ������ ����6�� ���� ������� � ���� ���� ��� ���� ��� ��������� ��� � ��� ���� ���� �� ����� �#� � ���� �� ������� ���� ����� �� �� �������������������

2� ������ �� �� ���� ���� �� ��������� ��� � � � !�

� A B��� ��C � A B��� ��C

������ �� �� $��� �� ������� �������� � �B�I C� >� � �� ���� �� �$���� ��

� �B�I C A ������

�B�� E ���� �� E ���C� �B��� ��C

*��� ���� ����� �� ���� �� ��� �� ����� �������� �������� ��� �������� ���� ���� �� �� ��������� ��� ��� �� �� �� ����������� ���� �� � (L�� �N� � � �� ��������� �� ����������� B�� �C� $��� �� ���� � ����� � �� ��� ��

�B�C� �B�C A ��B�CB�� �C

:����� �� �� �� ����� � ����6���� �B�� E ���� �� E ���C� �B��� ��C ��� ��� ��������������� ����� ���� �� ������� �������� ��������(

�B�� E ���� �� E ���C� �B��� ��C

A �B�� E ���� �� E ���C� �B�� E ���� ��C E �B�� E ���� ��C� �B��� ��C

Page 79: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 54

2� �� ����� �� �� E ��� � �� �� ���� � � � �#� �� ����� � �� ��� ���� � � � � ��� ��� �� ����#�� � �6� ���� ���� ���� ��

��B�C A �B�� E ���� ��C

��B�C A �B�� E ���� �� E ���C

/� ����� �� �� � �� �� ���������� �����

���� ��

����� � ������ ����� ��� ��

������ �������� �������� �� �� � �� ����� � � �� ����� ��� �� ��$��� ���� �� � �� ����� ����� � � � ��� ��

��B�C� ��B�C A ���B��C � ���B�C� ��B�C A ���B��C � �

2� ����� ��� �$�� ����� �� �� � �� � ���� �� ��(

�B�� E ���� ��C� �B��� ��C A$�

$��B�� E ����� ��C � �� � �

�B�� E ���� �� E ���C� �B�� E ���� ��C A$�

$��B�� E ���� �� E ����C � �� � �

!� ��� � ����� �� ��� ����� ���� ��� �� �������� ���� ������� ��$����� � �B�I C� 2� ���(

�B�� E ���� �� E ���C� �B��� ��C

A�B�� E ���� �� E ���C� �B�� E ���� ��C E �B�� E ���� ��C� �B��� ��C

A

��

���B�� E ����� ��C � ��� E ��

���B�� E ���� �� E ����C � ���

A$�

$��B�� E ����� ��C � �� E $�

$��B�� E ���� �� E ����C � ��

,��� � � � ��� � �� �� � �� ��� �� �� 2� ��� �� � ��������������� ��

����

��

����� ������������ ���� ���

$�

$��B�� E ����� ��C� $�

$��B��� ��C

$�

$��B�� E ���� �� E ����C� $�

$��B��� ��C

���� � ������ �� �� ����� �� �� ��

� �B�I C A ������

�B�� E ���� �� E ���C� �B��� ��C

A$�

$��B�C � �� E $�

$��B�C � �� A ��B�C �

Page 80: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

8� �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

2� ��� ��� ���� � �� ������ � �� ��� ����� �� � ������ �� �� ��������� �������� ��� ������ �� ���� ��������� "������� ��� �� ���� ����� �� ���� �������� � �� ����� ������ ��� ������ � �� ���� � ���������� � ����� ���� �

$$ )���� 6���������������� ,� 9�� �������2� � �3�� �� ��7�������� � �� ��� ��� �� �� ��� � � � 4 �� �����/ � ��/� � ��� ����� �/�����1���� ������ ��� � � �� / �2 � ����� �� ��� ������� � � � ��/� �

�B4C� �B�C A ��B� E �B4� �CC � B4� �C

7����8 *� �� ��#�� ��� ���� ���� ������� ��� �� � A 4 � �� 2� �$�������� �� ���������� ���� ���� � ��

�B�C A �B� E ��C

!��� ����� ��� �� � �� �$���� �� ���� ��� ��������� � �������� �������� � � ��� ����� �6���� ����� � � 4 �� � �� 2� ��� � �� �� �� �� ���� ���� ������� �������� ��� � � ��������� �� ��� ��

��B�C A � �B� E ��I�C

.������ 7�<< ��� �� �� ������� �������� �� � ������ ���� �� � �� ������������� ��� /� ������� �� �� ������� �������� ��� ��

��B�C A ��B� E ��C � ��������� �������� �� � �� ��� � ��� � ��� �� �� $��� �� � � B�� �C ��� ��

�B�C� �B�C A ��B�C

.�������� �� ���� � ���� �� ����� ��� ������� �� � � ��(

�B� E �C� �B�C A ��B� E ��C � ��

.������ 7�<5 � �� ������� ���� �� ������������� ����� ���� �� �� ���#����� �����(

7���� ,� ����� ��8 2� ��� �� � �� ���� �������

������

��B4C� �B�C�

Page 81: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 8�

�� ��� � �� ���� � � �� �� �#���� �� ���� �� � �� ������������2� ��� �����

��B4C� �B�C� A ��B� E ��C� �B�C�

��� � �� �� ����� ����� � �� � !� ' ���� ������ �� ���� ����� ��������B!��� ����� ��� �� ' �� �� ������ � ������ �� ������C �� 4 ���� �� ���� ����� �� � � ��� ��� � ��� ������ �� ����� ���� � ������ �� ��������� ��������

!� ����� ������ 7�;; �� ���� ���������( 2� ���� � �� � ����� � � � ��� ��

�B� E ��C� �B�C A ���B� E ���C � ������� �� �� B���C �� ��B�E ��C �� � �� ���� �� �$���� �� �� ������� ������ �� ������ �B���C � �

��� � � � � � � � � � '�� B���� ������ ����������� ��� �� �� ��� ����� �� � ��������������� ��

���� ���

�� ������������ ���� ���� �� ���� �� E� � � ��� ������C ��� �� ������� ���������� �������� ��� �� $��� �� ���� . ��� �� ���B� E ���C � �� � .�� ���� � � ' � � ����� � � �� ����� ��

� � ��B4C� �B�C� A ����B� E ���C � �� � �.

/� ���� �� ��� ��� � �� �. � ��� ����� ��

������

��B4C� �B�C� A �

2� ��� ����� �� �� � �� ���� �� �� ���6����� �� ��������6 �� ���(7���� ,� ����� $&8 *� �� �� � �� ��� ������ ����� �� �� �� � ��

�� � ��� ���� ���� � ����� �������� � � �� " ������ ������ ����� ��� ����� �� � � ��� �� ��������� ��� � �� ����� �� � �� � ��� ����� ������ � �������� ���� ���� ��

.��� �O��� �� ��� ��� � ����� �� �����(

��B4C A � � B4� �C E ��

��B4C A � � B4� �C E ��

2�� �#� �� � ���� �� �� �� $��� �� ��� �� � �� ��� ����� !� � �� ����� ���6� �� �� �������� � ( ��$�� ���� ��� �� ���� �������

������

�B4C� ��B4C

�4� �� A �

Page 82: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

87 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

.��� �������� �� � ���� 4 A � ��� � �� �������� ��� �� �� ����� ����� ����� ���� ������� �� � ����� ����� ���6� �� �B�C A ��B�C� ��� �� �� ����B�C A ��� ����� �� �� A �B�C� ��� ������ �� �� A �B�C� *� �� �����#������ �� ���� ���� �� ��� �� �� � �� �������� � � � �� �����

!� � ���� �� ����� ����� � �� � � �� � � �� 2� #� ��� �� ����������� � � �� � � �� �� ���(

�� � �� � � �� A �� � ��� � � ����

2� #� ��� ��� �� ��� �#6�� �� ��� �� ����� �� ���� �������� ������

����������� A �

� �� ��� ������ �� ��� ����� ��#�� �� �� �� 4 A �E �� � �� ���� ��� � (2� ���

�� � �� � � �� A �� � ��� � � ����

A�� � ��� �B� E ��C E �B�C� � � �� E �B� E ��C� �B�C�

� ��B� E ��C� � � ��� ����

E��B� E ��C� � � ��� ���

A��B� E ��C� ��B� E ��C�

�E��B� E ��C� ��B� E ��C�

!�� �� ��� �� �� ��� ���������������

� � � ���������������

� �� ����� ����� � �� � � �� A �� .��� ���� ������ �� ���� ����� ������� � �� � A ��

.������ 7�;� �� �������

�B4C A �B�C E��B�C � B4� �C

�� ������� ����� ��� �� ������� �� � � ����� ��� ����� � �#����(7���� ,� ����� $�8 2� ��� ������� ��� �� �������B�6 ��C �����

�� ���6��� ��� � �� ��� �� � �� ���� �������

������

��B4C� �B�C���B�C � B4� �CC��4� ��

�� � ����� � �� ��� �� ��� �� � �� �� ���� � ������� �� �������B�6 ��C ������2� ����� 4 A � E ��� ��� � � � � �� �� ����� ������ :�� ���� ����� � � ���� �� �� ������ 7�<5 ��� �� �� �� ��� ��� �� ��� � ����� ���� ������ ����� ����� �� �� �� �� �������� �� ���� �������

�������

��B� E ��C� �B�C� ���B�C � ���

Page 83: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 89

� ��� ������� ���

�������

�B� E ��C� �B�C

����B�C � �

��� ������ 7�;; ��� �� �� $��� �� ���� � ����� � � �� �������� �� �� ��� ��

�B� E ��C� �B�C

�A ��B� E ���C � �

����� ��� �� ���� ������� �� ���

�������

�B��B� E ���C���B�CC � ��

.��� � �� ����� ����� ��� �� ���������

�B��B� E ���C���B�CC � �� � ���B� E ���C���B�C�!�� �� �� ��� ������ �E ��� �� � � ������������ �� � ������������������ �� ��B� E ���C���B�C� .�������� �#���� � �� ���������

� � ������

��B4C� �B�C���B�C � B4� �CC��4� �� � ���

�������B�E���C���B�C� A �

����/ ������

0� �� � �6���� �� ����� �� ������� �� ��� �� ���� ���� �� H�� �������� ���������������� 2� ��� ��� � �� ����� ����������� �������� ��� ��� ���� ������ ���� ��������� .��� ������� ��� �� ��� �� �� �� ��� �� ����� ��� ���#� � � �� ��� ������� ��������� �� ���� ����� ����� ���������

���� �� �B� 2C �� �� ������� �� � � �������� � �� �B�C � �B�C ������������ ���� ���� �� �� ��������� 2� �� ���� A �B�C � 2 A �B�C����� �� �� ����� ��� ���� ��

�B�C A �B�B�C� �B�CC

���� �� �� � ������� ��� ������ ���� �� ���� ����� � � � � �� ���� �� ��� .��� 6������ ��� � � ������ ����6�� �� � ������� �������� ��� � ���

��� ��

��� ��� ��

��� ��

��� >�� � ������� #� ��� �� ����� �� ����� ����

���� ���� � � ������� ���� ��� ������������� ���� ��� � ���� � ��� ��������� �������

��

��A

$�

$� ����

E$�

$2� ����

Page 84: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

8) �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

�� �

����

����

���������������

*���� 7�7�( ������� �� � ���� ��� �� ���

.�� �� � ��

��� ��

��� ��

��� ��

��������� �� ������ ����6��� ��� �� ���� � � ��� �

������� ���� �� $���� �� �� ����6�� �� �� �������� ��� �� " ���� ���������� ����#������ � ������� �������� ��� � � ��

��� ��

��� ���� ���� ���� �� � 2�

*� �� ��� �� ���� �� � ��� �� �� ������� A �B�C � 2 A �B�C� !��� �������� �� �� ���� �������� ������ ���� $��� ��

���� �� ���� �#������� �����

�� ���������6���� �� ��!� � �� �� �� �� ��(

$� #�������: � ���� ��� �� �� �� ����� �� �� ��� ��� �� ������ �� �� �������� ����� � � �������� � ��� �� ��� .� $��� 7�7� *�� � � ���������� ��� ���� ����� � �������� ��B�C � ��B�C � �������� ��� ��� �� ����� ��������� ����� ��� .�������� ��� �� ��� ���� ���&�� �� �� �� �� �6����B�� �C� ����#� ��� �6� ����� �6���� ����� �� �� �� ������

: � ���� �� ���� � ��

�B�C A �B�C F �B�C � �B�C A �B�C �� �B�C

.����� �6���� ���� ����

'B�C A �B�B�C� �B�CC

�� �B�C � �B�C �� � ������ "�#��� ������������� ��

�'

��A

$�

$�� ����

E$�

$�� ����

.���

��

��A ��B�C F �B�C� �B�C �� �B�C � ��B�C

��

��A ��B�C �� �B�C E �B�C F �B�C � ��B�C

Page 85: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 8<

���� ���'

��A

$�

$�B�� F � � � � �� �� �C E $�

$�B�� �� � E � � �� F �C

!� � �� �� �6�� �������� �� �������������( ���� �� �B� 2C �� �� ������� �� �� � �������� � �� �B�� �� C � �B�� �� C �� � ������� ���� �� ������������ 2� ��� � ���� �� ����� ���� ���� ����

�B�� �� C A �B�B�� �� C� �B�� �� CC

�� �� ��#�� �� ���� ����� A �B�� �� C� 2 A �B�� �� C� -�������������������� ����� �� ��� ����� �� � ������� �������� ��� � �� � ��������� � ������� �������� ��� �� � � �(

$�

$�A

$�

$� $�$�

E$�

$2� $�$�

$�

$�A

$�

$� $�$�

E$�

$2� $�$�

$�

$A

$�

$� $�$

E$�

$2� $�$

"���� �� �� ��� �� � ������� �������� ��� � � ��

��� ��

��� ��� ���� ���� ����

�� � 2� *� �� ��� ���� ���� �� �� � � ��� �� �� ������� A �B�� �� C� 2 A �B�� �� C� !� �� �� ������ �� �� �� �� �� � ����� ��������������� � ��� � �

$% #�������2� ������ �B� 2C A 2�� �B�� �� C A � E E 7�� �B�� �� C A ���� !� �#� � $��� � ������� �������� ��� � (

$�

$A 2� A B���C� A �����

$�

$2A 72 A 7B�E E 7�CB���C A 7��� E 7���� E )�����

>�� ��� �� ����� �� ���� ����� A �E E7� � 2 A ��� �� �� ����6�����

��� ��

���� ���� �� �� � � � 2� ��� ��� ����� �� � �������� ��� ���� ����

�B�� �� C A �B�B�� �� C� �B�� �� CC �� ���� �� �������������( .��� ��

��A ��

����

A 7�� ���� �� ��

$�

$�A

$�

$� $�$�

E$�

$2� $�$�

A B�����C � � E B7��� E 7���� E )�����C � 7��A <����� E )����� E 8�����

Page 86: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

8; �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

��� ��������������� ����

$���� �� �� �� ���� ��� ��

��A 7 � ��

��A �� �

������� �� ����(

$�

$�A

$�

$� $�$�

E$�

$2� $�$�

A B�����C � 7 E B7��� E 7���� E )�����C � ��A ;����� E 7���� E 7����

��� ���� $���� �� ���

�� �� ���� ��� ��

�A � E 7� � ��

�A ���(

$�

$A

$�

$� $�$

E$�

$2� $�$

A B�����C � B� E 7�C E B7��� E 7���� E )�����C � ���A 9����� E ;����� E 7����

2� �� ��� ����� ��� �� � �� �� ����� ��� ���� �� ��������������

$� )���� 6��������2� �B�� � � � � �C �3�� �� ��7�������� � / ��/0�� ������� � �� ������ �� � � ��B��� � � � � ��C� � � � � ��B��� � � � � ��C �3�� / ��7���������� � ���/0�� ������ ����/�������� ���� * �� ��� ��������� ����������

�B��� � � � � ��C A �B��B��� � � � � ��C� � � � � ��B��� � � � � ��CC

�� ��7��������2 � ������ � �� ������� / � � � A B��B�C� � � � � ��B�CC � ��

$�

$��B�C A

$�

$�B�C � $��

$��

B�C E$�

$�B�C � $��

$��

B�C E � � �E$�

$�

B�C � $��$��

B�C

-������������ ��� ����� �� �� ��� � ��� ����� �� �� ��� ��� �������� ���� ���� ��������� ���� �� �� ��� ���������� �� �� ���� ������� � @ � ��� � #���� ��

���� �� .��� � �� �� ����� ��� ���� ��� ��� �� ����� �� ����

#������� ������� � � ������ " �#� �� ����� �#��� #������� � �� ��� �� ���� ������ #��� �� 3� A

������

� �� .��� ���� #������� ���� ��� � 4��� �������� � � �

���#��� �� �� #����� �� ��

���� 3� A ��

���� ������

� � � ���� ���� �� ����6�����

.������� �� ������� ��� ���� �� ������� 4 A �� 7� � � � � /� ���� �� #�������

$�

$�� $��$��

� � E $�

$�� $��$��

� � E � � �E$�

$�

� $��$��

� �

Page 87: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 85

����� ����6���� ��� ��� �� ���� ��� �����

� �� � ���� ��� �� ������������������������ ����� �� ���� �� �������� � ���� �� ������������� B����� ������ ��� �� ���� �� ��������� ��� �� ���� �� #��� �� �� �� ���� ���� �� �� ���� �� � �� ��

���� �C� ��� �� ��� �� � �� ����� � �� ����� �������

�� �� � �� ��#��!� � �� �� �� �� �� �� �� ����� ������������� �� �� ��������(

�& #�������!� �B� 2� 5C ���� �� ������� �� �� ��� �������� � �� �B�� �C� �B�� �C ��B�� �C ���� ��� ������� ���� �� � ��������� !� * B�� �C ���� �� ������ ���� ���� ����

* B�� �C A �B�B�� �C� �B�� �C� �B�� �CC

2� ��� ��� ���� ������� �� �� ��������������� ����� -������������ ���

$*

$�A

$�

$� $�$�

E$�

$2� $�$�

E$�

$5� $�$�

����0 �! �� �� ������

��� �� �� ��� �� ���� � �������������� ��� ��� ���� �� ������� � �� ��� ��� �� ������ �� �� � ����� �� � � ��� � � ��� ���� �� ��� ���� ��������� �� �� ��������� ����� ��� �������� ��� 2� ��� ���� ����� �B4C� ������

B��B��� � � � � ��C� � � � � ��B��� � � � � ��CC

� �� ��� �� ��B�I C A B���B�I C� � � � � ���B�I CC�

�� )���� 6��������� � �����������2� �B�� � � � � �C �3�� �� ��7�������� � / ��/0�� ������� � �� ������ �� � � �B4 A B��B��� � � � � ��C� � � � � ��B��� � � � � ��CC �3��/��7����������� � ��/0��2 .��� ��� ��� ����/�������� ��� * �� ��� �������������������

�B4C A �B�B4CC A �B��B��� � � � � ��C� � � � � ��B��� � � � � ��CC

�� ��7��������2 � ������ � �� ������� / � � ��

��B�I C A ��B�B�CC � ��B�I C

Page 88: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

88 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

!� ����� �#� � �� � �� ���� ��� ���� �� ������������� �� �� ���� �� ���������� .����� �� A �� � ������� ������ ���� ��

$�

$��

B�C A �B�I ��C A ��B�B�CC � ��B�I ��C

A

�$�

$�B�C� � � � �

$�

$�

B�C

��$��$��

B�C� � � � �$��$��

B�C

A$�

$�B�C � $��

$��

B�C E � � �E$�

$�

B�C � $��$��

B�C

����� �� �� ��������� ��� ���� �� ��������������*� �� ���� � �������������� ��� �� ���6��� �� �������� ��������

�� ���� ���� �� ���� ��������� >� � �� ������ 7�;; � �� �� � � �� ��������� �� �$���� �� ���� �� ����� � �������� ����� �6���� ����� ������� � � 4� �� $��� �� ���� � ����� � � � ��� ��

�B4C� �B�C A ��B� E �B4� �CC � B4� �C

7���� ,� ��������� �.� �����,��8 2� ��� �������

������

�B� E �C� �B�C

�A ���

���

�B�B� E �CC� �B�B�CC

��$��� P�B�C A �B� E �C� �B�C � � ����� ��

������

P�B�C� A ��B�I C�

3����� �� �������� �������� �� ���� ��������� ������ 7�;;� ��� �� ��� �����

�B�B� E �CC� �B�B�CC

�A

�B�B�B�C E P�B�CC� �B�B�CCC

A�

���B�B�C E �P�B�CC �P�B�C

�� �� �� ���� � ����� � � �� !�� �� ��� � ��� �� ����� ���� ��

��B�I C A ������

��B�B�C E �P�B�CC � P�B�C

�A ��B�B�CC � ��B�� C

����� ���� �� ������� � �������������� *� �� � �� � �� �� �� ���� �� �� ������� �� �� ��� � � ��� � � � � �� �� ������� ���� �� �� ����6������B�B�CC���B�� C �6���� �� ������������ ���� ����� ����� �� �� �� ���� � ��������������� ��� � �� ������������� �

Page 89: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 84

�����. �� ���� - �� ��1�� �� �������

" ���� �� ������ ��� �� � �� ������������� ��� ����������� � ������� ��� �������������� 2� ��� ���� �� ��� ���� ���� ��� �� � � �� �������� �� �������� � �������� ���� " �� ���� ������ �� ��� �� ��� ��� � ��� �������

������� ����� �� �� ����� �� � �� ������ � ��� ����� ���6���� ����� ��� ����� ��� ��� ���� �� ��������� �6� �������� �� �H��� � �� ���� �� �� ������� �� ��� ��� �� � �� ����� ��� �� �#6� �� �� ��� 6������#���� ���������

2� ��� �#� � � �� ������������ ��� �� ���� �� �� � ��������� >� � �������������� ��� �B�� �C �� �# ���� ������ ���

�B�� �C A �

�� ����� �� ����� ���� �� 2� ��� ����� �� ����������� � ������� ������������ ������ ��� � � ����� A ��

���� �� � �� �� ��� �� �� ��� $��� ��������� � ������� ��� ��� �������!� B�� �C ���� �� ���� � �� ���� �� �$�� �� ������ ��� � � ���� ��

�B�� �C A �

��� �� ��� �������� �� �� �� �� � �� ��� ������� ����� ��� ������ ��� � �B�� �C � ������ �� ����� A �� �� ����� �� ������� ���� ������������ �������������� �B�� �C A � � ������ B�� �C� !� �� #�� �� ����� �� ����( 2���� �� ������� ����� ��� ������ ��� � � B�� �C �� ������ ��� �� ��� ���� ����

�B�� �C A �B�� �C E��B�� �C � BB�� �C� B�� �CC

�� ����� �� ����� A � ���6� ��� �� �� ��� ���� �B�� �C A �� /� �� � �������� �� �B�� �C A � ���� ��(

� A � E��B�� �C � BB�� �C� B�� �CC

*������� �� ���� $���� �� �� ������������ ��� ���������� �B�� �C A � � ������B�� �C ��� ���� ���� �� �������

��B�� �C � BB�� �C� B�� �CC A �

����� �� ����� ������ B�� �C �� ���������� ��B�� �C�!��� ����� ��� �� �� � ��B�� �C A � �� ��� ���� ����� ��� !��������

�� ������������� ��� ����������� ���� � �� ���� ���� ��������� �� ��� ���� ��������� ��� � A �� ����� ��� �� �� ������ � ��� ��� ���� ����������

��������� ���� ��� ���� ��� �#����� �$�� ��(

Page 90: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

4� �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

� !�"����� � �3�� �� ��7�������� / �� ��/0��2 � B�� �C �3�� �� /���� ����� / �� � � � A �B�� �C� *����� ��B�� �C A � �������� �/ �� ����/�� �/� �/��������B�� �C A � / B�� �C �/� �3�� /�� ���

��B�� �C � BB�� �C� B�� �CC A �

+�������� ��� ���� �$�� ���� ��� �� ����� �#����� ������(

�� )����� � �3�� �� ��7�������� / �� ��/0��2 � B�� �C �3�� �� /���� ����� / ��

� � � A �B�� �C� * ��� ��B�� �C ������ � �� ����/�� �/� �/��������B�� �C A � / B�� �C�

.��� ����������� ���� ������ �� ���� ������ ������� �� ���� �� ��#�� �������� �� ���� ��������� � �������� ���� !� � �� �� �� �� ��(

�� #�������!� ���� ���� � ���� ���� ��

�B�� �C A ����

2� ��� � �� ����������� � ���� ������ ������ B7� �C � $��� ���������� ���� �������

.����� �� ��� B�� �C A B7� �C ���� �� �B7� �C A 7� ����� �� �� �����������

�B�� �C A 7

�� ���� #��� � ���� ������ *� �� ����� ������� �� ������������ ��� ������������ ������� �� �� ����� �� ���������� 2� ���(

��B�� �C A B���������C

" ������ B7� �C ��� ����(

��B7� �C A B���7C

����� �� ��������� ���� �� ���������

� A ��B7� �C � BB�� �C� B7� �CC A B���7C � B�� 7� �C A �� 7� 7�

��������� ��� ����������� �B�� �C A 7 � B7� �C �� �� 7� A 7� .� $��� 7�77� �

Page 91: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 4�

–3

–2

–1

1

y

1 2 3 4x

*���� 7�77( ,���������� �B�� �C A ���� A 7 � ��������� � B7� �C�

���������� ��� ������ � �� �� ���� ���� �� ���� ��������� !� � ( ��� ���� �� ������� �� �� � ��������� �$���� �� �� �� �� ����� �� 2� �� �� �� ������6 ������� �� ��� � �# ���� ������ ��� �B4C A �� ���� �� � � � �6���� �B�C A �� ��������6 �� ����� ��� � � � �� ������ ���

�B4C A �B�C E��B�C � B4� �C

2� $���� ������ �� ������� � �� �� �# � �B4C A �� ����� ��� ���������

��B�C � B4� �C A �

��� � ��B�C A � ��� �� ����� ���� � �� �$�� �� �� ��������6 ��� ����� ��� ������6 ������� � �(

�� !�"����� � �3�� �� ��7�������� / � ��/0��2 � � �3�� �� /���� ����� /�� � � � A�B�C� *����� ��B�C A � �������� �/ �� ���.1�������� �/� �/�.1���6����B4C A � / � �/� �3�� /�� ���

��B�C � B4� �C A �

"���� ��� �� ����� �#����� ������(

�$ )����� � �3�� �� ��7�������� / �� ��/0��2 � � �3�� �� /���� ����� / �� � �� A �B�C� * ��� ��B�C ������ � �� ���.1�������� �/� �/�.1���6����B4C A � / ��

!� � �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� ��� ��������(

�� #�������!� � ���� ���� ��

�B�� �� C A �� E �� E �

Page 92: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

47 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

–4

–2

0

2

4

x

–4–2

02

4

y

–4

–2

0

2

4

z

*���� 7�79( ,��������� �B�� �� C A �� E �� E � ������ B7� 7� 9C � �������� ������

2� ��� $��� ������� ����� ��� ���������� � ���� ������ ������ B7� 7� 9C�2� ������ �� ���������(

��B�� �� C A �)��� )��� )��" ������ B7� 7� 9C �� �� ���

��B7� 7� 9C A B97� 97� ��8C

����� �� ������� ����� � B7� 7� 9C ���� �� ���������

� A ��B7� 7� 9C � BB�� �� C� B7� 7� 9CC

A 97B�� 7C E 97B� � 7C E ��8B � 9C A 97� E 97� E ��8 � )<7

� ��� ������� ���8�E 8� E 75 A ��9

" $��� 7�79 ��� �� �� ��� ���������� � ������� ����� � ���� ������ 6 ����� �

2� ����� �� #���� �������� �$�� ����� 7�57 � 7�5< �� �� �6 ������ "H����� �� ����� ������ � ������ �� ������6 ��������� 0� �������� ���� ����� ��� �� � ���� ���� �B�C � �B�C �$���� �� � � �� ���������� *� ���� �� ���

���� ����� �� ���� � ������ ������ B�B��C� �B��CC� /� ���� �� ������� ����� ������ � /��� ������ �� ��� ����

3B�C A B�B�C� �B�CC

��� � � � � �� ���������� � � ��� �� $��� �� ��������

3�B�C A B��B�C� ��B�CC

Page 93: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�)� *� ����'%! 49

#�������������� ����� � �����

������ ����

� � ��

*���� 7�7)( 0� ����� 3B�C � �������������� � � A ���

��� ������� �� ��������� �� ���� �� �� 3�B��C �� �������������� ��� �� �������� ���� ������ � ������ 3B��C� .� $��� 7�7)�

2� ��� � �� � �� �������� ���� ������ � �� � �� ������� �� � ���� ������B�C� ��B�C� � � �� ��B�C� /� �� ������

3B�C A B��B�C� ��B�C� � � � � ��B�CC

��� � ���� ��O��� �� ���������� �� �������������� ��� �� �������� ���������� � ������ 3B��C ���� �� 3�B��C A B���B��C� �

��B��C� � � � � �

��B��CC�

!� �B�� �C ���� �� ������� ��� "H��� �� �� �������� ������� �� ������������� ��� ������������ ���� � ��� � ���� �� � �� ��� �� �������� ������ �� ������������ �� �#� �������������� ��� �������� �������� � �$����� ���� � �� ���� �������� �� ������� ������� ��� ������������ ��� ������������� � �$���� � �$�� �� 7�57� 2� ������ 7�59 ���� �� �� ����� ��

��B�� �C � 3�B��C A �

�� � 3B�C A B�B�C� �B�CC �� �� �������� ����� � B�� �C A 3B��C� ��� ������ �� � �� 3B�C �������� ���� ����������� �B�� �C A �D -����� �� ������ ���� �� ���� � ��� ������ 3B�C ����� �� ������������ ��� �� � �� ����� ��� 3B�C� ���� ���� � �� ���� ��(

�B3B�CC A �B�B�C� �B�CC A �

����� ��������� ��� �� ������� �� ��� 6� �� �� >#6�� �� ���� �� ��� ����� ��� �� ��� �� ����� �������������� ����� ���(

$�

$�� ����

E$�

$�� ����

A �

Page 94: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

4) �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

.����� �� ��� � A �� � ��� B�� �C A 3B��C �� �� �� ���� �� �� ���� �(

��B�� �C � 3�B��C A �

����� ��������� ���� �� ��������� ���� �$�� �� �� ������������ ��� ������������� *� ������� ���� � �� ��� ����� ���� �������� ������ ��� ��������������� ��� � ���� �� �� �������� ��� ���� ������6 ������� ��� �� ����� �� �� � �� �� �������� ��� ����� 3B�C � ������ �� ������6 ��������B4C A �� ��� ������� ��� �� ������ ���� �� �� �� ��� ��6 � �����

:������� �� �� ���������� ��� �� �� �� � ���� ���� ��� � ������������� � ����������� �������� �� ������ � ������ ��� ��� ����� �� �# ���� ������� ��� ��������� �B4C A � �� �� �6�� �� �� ���� ��� �� ��� ������������� ����� ������� ���� ��� �� ���� ������� ��� ��� � ��� ����������

��� �# ��� 0� �� ����� �� ���� ������� �� �� �� � � �� �� � ��B�C���� �� ������� �� �� ���������� � ���� ������ � �������� �� ����� ����� ����� � ����������� � ����� �� �� ����6���� �� � ���6� �� ������� ��������������� � ������� ��� ��� ����������� � ����������� � �� ��� ���������� ��� �� ������� �� ���6������ �� ��������� ������ � ���

��� %&���� ������ ��������

*�� ������ �� ���� ���� �� �� �������� ��� �� �� �� ��� �� �6���� ������#����� �� ������� ��� ��� H�� ����� /� �� � ����������� ���� �� �� ����6������ ������ �� �������������� ������������� �� ��� �� �� ��������� �� �� ��� �� ����� ���� ����������

�% #�������!� �B�� �C A ���� E ��� 2� ��� � ��������������� �� �#� �� ���

$�

$�A 7��� �

$�

$�A 9���� E 7�

,��� �� ��� ����� �� �������������� ��� �� ����� ����� 2� ��� �� �� �� ��������� ��

���� ��� 6� �� � �� ���� ���

$��

$��A

$

$�

�$�

$�

A

$

$�B7���C A 7���

2� ��� � �� ������� ��

���� ��� 6� �� �(

$��

$�$�A

$

$�

�$�

$�

A

$

$�B7���C A ;����

Page 95: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�-� :;+� � % *�!� *� ��� �� 4<

2� ��� � �� ������� ��

���� ��� 6� �� ���� � � �(

$��

$�$�A

$

$�

�$�

$�

A

$

$�B9���� E 7�C A ;���

$��

$��A

$

$�

�$�

$�

A

$

$�B9���� E 7�C A ;��� E 7

��� ��������� ��� ���� ����� ������� �� �� �� ��� ����� @

$��

$��� � � � $���$���

�� �� ���� ���� �� ���� �� �� ������� ���� ���� � � ������� �#� � ����� 6� �� ���������� ��� � �� �� ��� 6� �� ���������� ��� ��

.��� � �� ���� �� � �� ��� �� ��� � �� ���� � ������� �������� ��

����� � ����� � �� ������������� ��� �� ���� ��� ���� �������� �� � ��������� ��������������� ���

�������� � ������ !������ ��� �� � �� �� ��������

��������������� ���� �� � ����� � �� ������������ �� � �� �� ���� ������ �#��� �� � ��� � � 2���� ��� �� #��� �� � � �������� ���������������� �� � ������ /� �� � � �� ���� ������������D

*� �� �������� ���� ���� ���� �� �� ���� �� ����#�� ����������� ���� ���� �� �� ��� 2� ��� �#����� �$�� ��(

�� !�"������ �������� � � � ��/0�� ������� � �� ��� ��� � � � �

� �� �� ��7

�������� ������ ��� �� ���������� ���/��� ���/�����2 ���

������2 ���/������ �

�� ����/�����/ � � ��,�� ������� �/�� �/ � �� �������� � � � ��/0�� ��� �� ������� �

����� ��� �� � � �� 2 �� �� ������ ��� �� �<�� ������ ���/������/�����2

���

���� �����������2 ���/������ � �� ����/�����/ ��

/� ����� �� ���� ����� ������ 7�<5 ��� �� ������ �� � �� �� ������� ��� � �� �� �� ������� ��� ��� �������� �� �� ������� �� � �� �� ��������� ��� � ���� � �� �� ��������� ��� � �� ������

��%�� 2��������

:�� ���� ����� � ��������� ��� �� ���� ����� �� ����� � �#� ������ ������� �������� �� >� ������ �� �� ������� ����� �� � �������� ������� ��������� ��� ��������� ��� �� ������ �� ��� � �� �� �� �� �������� >� ������ �� ���� �� ����� �� �� ��� � �� ������� �� ��� � �� ���������

Page 96: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

4; �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

!� � �� ��������� �� � ��������� 2� ��� � ����� ��������� �>� ������ �� ��� �� ���� �� �B�� �C(

=�������� ��

��B�� �C A�$�

$�B�� �C�

$�

$�B�� �C

��� >� ������ �� ��

6�B�� �C A

����

���B�� �C ���

����B�� �C

���

����B�� �C ���

���B�� �C

" �� ��������� ��������� ��� � �� �� ���� �� �� � �������� �� >� ������� ��(

6�B4C A

���

���

������B4C � � � ���

������B4C

���� � �

������

������B4C � � � ���

������B4C

���

!� � �� ��� �� �� ���(

%& #�������*��� ����6�� �� ��������� � >� ������ �� ��� �B�� �C A � F � � ����������� �� 6�B��� C�

*� �� $��� ��������� ������ �� �� � ������� �������� �� �#� �� ����2� ���(

$�

$�A F �

$�

$�A �� �� �

����� ���� ��������� ���

��B�� �C A BF ���� �� �C*� �� $��� >� ������ �� $���� �� � �������� ���������������(

$��

$��A

$

$�

$�

$�A

$

$�BF �C A �

$��

$�$�A

$

$�

$�

$�A

$

$�BF �C A � �� �

$��

$�$�A

$

$�

$�

$�A

$

$�B�� �� �C A � �� �

$��

$��A

$

$�

$�

$�A

$

$�B�� �� �C A �� F �

Page 97: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�-� :;+� � % *�!� *� ��� �� 45

����� ���� >� ������ �� ���

6�B�� �C A

�� � �� �

� �� � �� F ��

��� ���� ��������� �� >� ������ �� � ������ B��� C � ����(

6�B��� C A�� �� �

2� ��� � �� �� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� ���� �� �� ��� ��������(

%� #�������!� � ( �� � � ���� ���� ��

�B�� �� C A7�� � �

� E �

" ���� �� �� ���� ��� �� �#� � $��� ���������� ������� ��� �� $��� � ������� � �� ��� ��B�� �� C A B�� �� �C� 2� $���� �� >� ������ �� ���������� ���� � � ������� ��� ��������� �� �����

2� ������ �� ��������� �� �� $��� � ��������������� �� �#� �� ���(

$�

$�A

7�

� E �

$�

$�A

7�

� E �

$�

$A

7 � )��

B� E �C�

=�������� �� ���� ���� �� �������

��B�� �� C A�

7�

� E ��

7�

� E ��7 � )��

B� E �C�

��� � ��B�� �� C A B�� �� �C ���� �� ���� � �� �#� �� ������ �� �����

A ��

����� ��� � A �� .�� �� �� ����� ������ ��� �� �� �����

A � � ���� ��� �� � A �� ��� � � ��� ����������� ���������

7 � )��

B� E �C�A �

>�� ��� �� ��� ���� ��� � A � � � A �� ����� ���

7

B� E �C�A �

Page 98: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

48 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

� �� �� �� �# ������ �� A �� ����� ��� �� ������ �� �� �� ��� ���# ������ ��� ��B�� �� C A � �� ������ B�� �� �C� ,�� ��� ����� �� �� �������� �� � �������� ��������������� �� �� $��� >� ������ ��(

$��

$��A

$

$�

�7�

� E �

A �

$��

$�$�A

$

$�

�7�

� E �

A

7

� E �

$��

$$�A

$

$

�7�

� E �

A � )�

B� E �C�

$��

$�$�A

$

$�

�7�

� E �

A

7

� E �

$��

$��A

$

$�

�7�

� E �

A �

$��

$$�A

$

$

�7�

� E �

A � )�

B� E �C�

$��

$�$A

$

$�

�7 � )��

B� E �C�

A � )�

B� E �C�

$��

$�$A

$

$�

�7 � )��

B� E �C�

A � )�

B� E �C�

$��

$�A

$

$

�7 � )��

B� E �C�

A

7B7�� � �CB9� � �C

B� E �C�

>� ������ �� ���� ��� ��(

6�B�� �� C A

���

� ����

� ������

����

� � ������

� ������

� ������

��������������

���

2� ����� ��� ������ ��� ��������� �� ����� B�� �� �C� � ����

6�B�� �� �C A

��� 7 �7 � �� � 7

��

��%�� ������ � *����� '������� �

�� ��� ����� �������� ���� ����� ��� �� � �� �� ���� ����� B7�58� 7�8��

7�8�C �� � ������ ��������������� ����� ��� ��� � �� ���

������ ��� ���

����� ���

���

Page 99: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�-� :;+� � % *�!� *� ��� �� 44

�� ��� ���

���� ���

����� ��� ���

���� ����� �� ���� �� ������ ��� �����I �� $���

���� ���� � ��� �� ���

����� ���

������ �� ��������� ��� �� � �� �� �� �#��� ��

� ��� � ��� � ������ ��������������� ���� �����

% )����� �B��� � � � � ��C �3�� �� ��7�������� � � ��/0�� ������� � �� ������ �� � � �

� � � � �3�� �� ����� / ����/������������ * ��

$��

$��$��

B�C A$��

$��$��

B�C

��� ��� 12 4�

����� �������� ��� �� � ������ ������� �������� �� ���� �� ����� ���� �� �� ������� ��� ��� �� �� � � �������� ����������������� � ����� � �� ������������� ����� ��� ����� � �� �� ���� ����� �� �#���� ���� �������

�� ������ ������� �������� �� ����� ��� �� ����� ���#��� � �� �������� ������� �������� �� �O�� ��� ��� �� ������� �� �� ���� �� � ��������� ���� ����� ����� ���� �� ��� 6� �� ���� ��������� ��� � ��� ��� ��� �� �� �� �� �� �� � ��

$��

$�$�$$�A

$��

$$�$�$�

�� �#����� �����(

$��

$�$�$$�A

$��

$�$$�$�A

$��

$$�$�$�A

$��

$$�$�$�

/������� �� ��� � �� � ��� �������� � � �����������.������ 7�87 ��� �� �� � �� �� ������ ��� ������� � � �� ��

���� �� �� ��� �� �� �� ��#����� �� ����� �� ���� ���

������� ���

������� ���

���� �� ����� �� �� �� � � ��� � �� ����� ����� ��� ��� �� ��������������� 2� �� ������ �� �� �� �� �� �� ����(

%� #�������!� �B�� �� �C ���� ���� ��

�B�� �� �C A ��B�� E ���C� ��

2� ��� ������� >� ������ �� ��� � ���� � �� �������� ����6���� ��B�� E ���C� �� �� ��� 6� �� �� � �����

� ��� ����� �� ������� �� �� ���� �� ����6�� � �� �6� �� ����������

Page 100: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��� �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

���� ���� �� � $�� ����������� � ��� ������� +���6���� ��� ���� ���������������� /� �������� �� ��� �� ���� ��� �� ����� ��� �� ����6�� �6��� ���������� ���� ����� ���� �� ����� ������������ .��� ��� �� ��� ������ �� ������� �� ��� 6� �� �� � ����� � �� ����� ������ �� #� ��� ��� ������� ��� ����� ���� ������������ . � ���� ��� ���� � �������� ���������������� ���� ������������� ����� �� � ���

2� $���� �#� � � ��������������� �� �#� �� ���(

$�

$�A ��B9�� E ��C

$�

$�A 7����

$�

$�A ��B�� E ���C� 7�

*��� $��� >� ������ �� ������ �� �� � ��������������� �� ����� ����2� ���

$��

$��A

$

$�B��B9�� E ��CC A ;���

*� �� $��� ���

����A ���

������� �� ����� ������� ��

���� ��� 6� �� �� �����

������� ��

���� ��� 6� �� �� �� ������ �� � �� ������������ ��� ����6����

�� ��

���� ����� �(

$��

$�$�A

$

$�B7����C A 7���

*� �� $��� ���

����A ���

���������� �� �� ������� ��

���� ��� 6� �� �(

$��

$�$�A

$

$�B��B9�� E ��CC A ��B9�� E ��C

2���� ��$��

$��A

$

$�B7����C A 7���

2� $���� ���

����A ���

������ �� ������� ��

���� ��� 6� �� �(

$��

$�$�A

$

$�B7����C A 7����

/� ��� ���� ��$��

$��A ��B�� E ���C� 7

Page 101: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�-� :;+� � % *�!� *� ��� �� ���

� �

� �� � �� � �� �

� � � �

� �

*���� 7�7<( 1�������� � �

����� ��� �� >� ������ �� ��

6�B�� �� �C A

�� ;��� 7��� ��B9�� E ��C

7��� 7��� 7����

��B9�� E ��C 7���� ��B�� E ���C� 7

��

���� �� �� �� �� ����� 6������ �� � ������ ������� ��������� ���� �� �� ���#�� ����� ����� �

��

���

��

�� �

��

���

��

�� �

��

���

��

�� �

��%�� �! �� �� ������ ��/�

2� ��� ��� � ����� �������� � ������ �� � ������ ������� ����������� ���� � (

7���� ,� ����� % 8 *��� ������� ��� ���� ����� �� �� �B�� �C ���� ���� �� �� � ��������� !� � A B�� �C ���� �� ���� � �$�� �� ������� ���� �� ������� �� � �� �� ��� �� ���� ����������� � $��� 7�7< ������ � ���� �� ������ �� !�

PB�� �C A �B�E �� �E �C� �B�� �E �C� �B�E �� �C E �B�� �C

�� �� ��� �������� ���� �� ������� � ��#����� �� ���������� ����� �� ������� ��������� �� � �� $������ 2� ��� �� � �� ���� �������

���� ��� �

PB�� �C

��

�� ��� ���� ���

����B�� �C � ���

����B�� �C�

*#� � ����� �� �� ����� �������� �������� �� ���� ����

�B�C A �B�� �E �C� �B�� �C�

Page 102: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��7 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

2� �����B�E �C� �B�C A ��B�C � �

�� �� � ����� � � � E �� .����� �� ��� �� ��������� ���� ����� ������� �� ��B�C A ��

��B�� �E �C� ��

��B�� �C� �� �� ��

�B�E �� �E �C� �B�E �� �C� �B�� �E �C E �B�� �C

A

�$�

$�B�� �E �C� $�

$�B�� �C

��

����� ��� � �� �����

PB�� �C A

�$�

$�B�� � E �C� $�

$�B�� �C

��

,� �� ��� �� �� ����� �������� �������� �� ���� ����

7B�C A$�

$�B�� �C�

2� ����7B� E �C�7B�C A 7�B�C � �

�� �� � ����� � � �E �� 2� �� ����� �� 7�B�C A ���

����B�� �C ��� ���� � ��

����� $�

$�B�� �E �C� $�

$�B�� �C A

$��

$�$�B�� �C � �

-�������� �� ������� ������ �� �� ��

PB�� �C A$��

$�$�B�� �C � ��

.��� ���

������ ������������ ��� ���

����B�� �C� ���

����B�� �C ���� B�� �C� �� *#������

��

���� ��� �

PB�� �C

��A

$��

$�$�B�� �C

*��� �� � �� � �� ���� ��� �

�� ���

A ���

����B�� �C� �6���� �� � �� ������ ��� �����

������ � � � � ���������� ������ 2� ������ �� �� ����� �������� ��������� �� ���� ����

8B�C A �B�E �� �C� �B�� �C

� ��� ����� �� ������� ���� ����� � ������ ��������� ������� ����� ����� �

Page 103: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�=� %��"��� ��9

��' � ����

+������ �����#� � ���� �� ������� � �� �� �� 7�< �� �� �� ����� �������

+������ ����#� � ���� �� ������� � �� �� �� 7�) �� ������ �� ����� �����

+������ �����#� � ������ �� �� �� ����� ������ ����� ����� �� ������

�C �B�� �C � �� � ��� � � � ��� � �� �C �B�� �C � �� � � E 7� A ���C �B�� �C � �� � ��� � � � ��� � �� �C �B�� �C � �� � � � � �� �� ������FC �B�� �C � �� � ��� � � � ��� � �� �C �B�� �� C � �� � �� E �� E � � ��C �B�� �C � �� � ��� � �� �C �B�� �� C � �� � �� E �� E � ���C �B�� �C � �� � �E 7� � ��

+������ �" ���� ����� ��� �� � ���� �� ���� �� ��� ��� � �� �� ��������

�C 2� �� � � �� ���� �� ��� � ���� ��� �#����� �� �6��( *� �������

���� � � � $��� �� �� ����� ���� � ��� �� �� ���� 4 � �6�����4� �� � � �� 4 � ��

�C ���� �� ��( � �� �� �� �� ������� 2� �� � � ( � � � ( �� �� ��

�������

FC >�� � � �� � �� ����� ������

�� A �� � �� � � � ��

�� �������� ��� �� 2� �� � � �� ��� ���� ���� �� ��� � $� A$B��C�

C 2� �� �� ����� � � �� �� �� �� ��� � ���� ��� �� �������� ��

�� �������

+������ �" ���� ����� ��� �� � ���� �� ���� �� ��� ��� � ������ �������� ����� ���� �� ��#�� ���� 7�) �#� � ���6���� �� �����

�C ���� �� ��( � �� �� ������ ������� 2� �� � � ( � � � ( ��

������ �������

Page 104: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��) �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

�C ���� �� � � �� �� ������ � �� ( � �

� �� �� ��� 2� ��

�� ( A �� � � � � � (��� �������

+������ $" ���� ����� ��� �� � ���� �� �������� �� �#���� � �� �

�C !� �4����� ���� �� �#��� �� ���� � �� � *����� ��� �� ��� � �� �4������������ �� �� ���� � � �� �

�C !� �4����� ���� �� �#��� �� ���� � �� � ���������� �� �� ������ 4� � � �� ���� �� 2� �� � �� � � �� *��� �� �� �� �� � �� �� ��� ���� ���#��� �� ���� �� � ��

FC 3��� �#����� �� ���( 0� ������� � � �� �� ������ ��� � ����

��� ������ ��������� �#��� �� ���� � � ���������� �� �� ���� ���

C ���� �� � �� �� � �$�� �� ������ ��� �� ���� �� � � 2� �� � ������������� � � ��� � ���� ���

�B�C A ������

�B4�C

�� ���� �#���� �4�� � ���������� �� � � �� ���� 4� �� �� ��$�� �� ������ ��� � �

+������ �*��� ���� ��������

�C ���� ��� �

B�� E 7��C

�C ���� ���

��� ��B��C

FC ���� ��� �

���

�����

C ���� ��� �

� �����

� F B� E �C

+������ %*��� ���� �������� ����� ������� ����� ���� �� ���� �� � ������

�C ���� ��� �

����������������

Page 105: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�=� %��"��� ��<

�C ���� ��

� �

� � ������

�����

FC ���� ���� �

����������������

C ���� ��� �

���������������

�C ���� ��� �

�����

�����

�C ���� ��� �

��������

�����

�C ���� ��� �

���

�������

�C ���� ���

��

������ ��

�����

�C ���� ��� �

�������

�����������

+������ �2� �� ���� ���� � �� �����������

�C �B�� �C A �E � C �B�� �C A ��� ��B� E �C�C �B�� �C A ��� E � �C �B�� �� C A �� E �� E �

FC �B�� �C A ��

�������

+������ �&�C 3��� ������ 7�79 ��� �� ���� � ������ 7�97�

�C 3��� ������ 7�79�

+������ ��" ���� ����� ��� � ���� �� ���������������� � ��� �� ��� 4�* � �� � �� �� �4 E *� � �4�E �*��

�C 2� �� � �4� � �*� � � �4� *� �� ���� 4�* � �� �

�C !� � � �� � 2� �� ���� ���� �B4C A �4� �� �� ������������FC 2� �� ���� �� �B4C A �

����� �� ����������� �� �� �� �$�����

+������ � 2� �� ���� ���� � ��� �� ��� ���� ���� �� ������ ��

Page 106: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��; �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

�C �B�� �C A ��������

� A �B�� �C � �� � �� E �� � 4�

�C �B�� �� C A �� E �� E � � A �B�� �� C � �� � ���E ���E �� � ��FC �B�� �� � C A ������B� E ��C

� A �B�� �� � C � �� � � � � � � � � � ��

+������ ��!� � ( �� � � ���� �� ����������� ���� �� � ���� �� �� $��� �� ����� ��� �� �B�C � �� ���� ����� �� �� ���� 9 � � $��� �� & � � ��� ����B4C� � 9 ���� �4� � &� *� 4 ��� ��������� ����� ���� ��� ��� �� ��� �� �B4C���������� ������ 2� �� � ��� �� ��� ���� �����

+������ ��*��� ��������� ��� � �

�C �B�� �C A ��� E 9��� �C �B�� �� C A B� E �C��

�C �B�� �C A �����

��C �B�� �� C A � ��� �

����

FC �B�� �C A F B�E ��C �C �B�� �� C A ��F���B�E �CC �B�� �C A �� ��B���C �C �B�� �� � C A B� E C������

+������ ��*��� �� ������� �������� � �B�I C(

�C �B�� �C A 9�� E ��I � A B�� 7CI A B9���C�C �B�� �C A ��B�E ��CI � A B�� �CI A B��� �CFC �B�� �� C A ��� E �I � A B�� �� �CI A B�� ����CC �B�� �� C A ��B��CI � A B�

�� �� �CI A B��� �� 7C

+������ �$" ������� ������� �� �� ���� ���� ������ � � �� ������� ������

�C �B�� �C A ���� E 5��� � A B)��9C�C �B�� �� C A B�� � ��C�I � A B����� 9C

+������ ��*��� ������� ����� ��� ���� ���� � �� ������� �������

�C �B�� �C A �� 7� E 9� � )�� � � A B����C��C �B�� �C A �

��� F � � � A B

�9� �

�C�

Page 107: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�=� %��"��� ��5

FC �B�� �C A B� E �C����� � 3 A B)��7C�C �B�� �C A � �� ��

����� � A B�� �C�

+������ �%*��� ������� ����� � � ��� �� ���������� ��� � � ���� ������ ������ �����

�C �B�� �� C A�B� E �C� E B� � 7C� E B E �C� � � A B�� �� �C

�C �B�� �� C A ������������

� � A B;� ����C

FC �B�� �� C A ������ �� � � A B7��9� �

�C

+������ ��!� �B� 2C A � E 2� �B�� �C A 7��� �B�� �C A �E ��� 3��� ������������� ��� ��$��� � ������� �������� �� �B�� �C A �B�B�� �C� �B�� �CC�

+������ &!� �B� 2C A � ���� �B�� �� C A 7�� E � �B�� �� C A 7�B E �C� 3���������������� ��� �� $��� � ������� �������� �� �B�� �� C A �B�B�� �� C��B�� �� CC�

+������ �" ������ �� �� �� �� ��6���� ! ���� � �� ���� �� �� ������ � � ���� �������� � � 2� ��� ��� �� ! A �B�� � C� �� ���� ���� � �������� �� ��� ��� �6 � �� �� �� ��� ���� �� �� ��� ����� ������ � A � B�C ���� �������� � A � B�C ������� �� �� ���� �� 2� ��

!�B�C A$�

$�� �B�C E

$�

$�� �B�C

>�� ���� � ��� ! A � ��� �� � �� �� �� ����D

+������ � ���� ��� ���������� � �� ���� �������� 0���� #� ���� )� ����� ���#� �� ���� ����� �������� �� �� ��� � � � �� ����� ���� �������

2� ��� ��� �� �� ���� �� )� A )�B �� �C� ���� �� �� ��� ����� �� ��� � A �B�C � � A �B�C �������� �� ����� 2� �� ����� #� ���� ����� ���� ���� ��� ����6��� ��

�)�

��A

$)�

$ � ��B�C E

$)�

$ � ��B�C

Page 108: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��8 �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

+������ �2����� ��� �� 6����� �� ���� � � �#6� � �� � A ���� ,��� �#6�� ������ ��������� ��� �� ����� �� ���� � �� ���� �� � � �������� � B�� �C A ���� *����� �� ���� ����� ����� �� ��� � ��� � EP� � �#6�� ����� ����� � ��� �EP�� �� �� �������� � � ��������� ���� ��

P� � $�

$��P� E $�

$��P� A 7 ��P� E ��P��

���� �� � ��� �� 6����� ��� � ��� �� ����� ������ ����� 7 � � 7��< �� ��� �#6�� ������ ����� < � � <��< �� 3��� ������� ����� ��� ���� ��� � ���������� � �������

+������ �1��� �� >� ������ ���(

�C �B�� �C A 9��� E 7���

�C �B�� �C A � �� �

FC �B�� �C A ������

C �B�� �� C A �� � ���

" ������ � �#���� ��� �� � �� ��� ���� ���� � ���� �� �� �� �� ����� :����� �� �� �� �� �� ��� �� ��� ���� ���� � ���� �6����� �������� ��� �� �������� ������� � � ��� �� ����� �� �� ���

+������ �!� � ( � � � ���� ���� ���� �$��� ��

�B�C A

��� �� �

��� � A ��

� �� � A ��

�C *��� �� ����6�� �� � �B�C ���� � A ��

�C 2� �� � �� ��������� � � � �� � �B�C A ��

FC ����#� � � �B�C �� �� ����������� ���� ���

C 0� � ��D 0� � ���������D

+������ $!� ���� ���� � ( �� � � ���� ���� ��

�B�� �C A

�� ��� � � � � ���

� ����� �

Page 109: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

#�=� %��"��� ��4

�C *��� �� ������� �������� ��� � � ��� � � ��������� B�� �C�

�C !� A B��� ��C ���� �� ����� � �� �� �� A �� *��� �� ������� ��������� ��� � � ��� � � ��������� �

FC 3������ ����� � ���� �� ����������� � ����

C >���� �� ���� ���� ���� ���� �� ���� �� �� ��� ������ 7�<5D

+������ ���$��� ���� ���� � ( �� � � ��

�B�� �C A

���

������ �� E � A ��

� �� �� E � A ��

�C 1��� �� �� ������� �������� ��� � � ��� � ��������� B�� �C�

�C !� A B��� ��C ���� �� ����� �� �� A �� *��� ��B�� �I C�

FC 3������ �� ��B�� �C A B�� �C�

C *��� �� ������� ��� �� ��B�� �I C A ��B�� �C � ��C >���� �� ���� ���� ���� ���� �� ���� �� �� ��� ������ 7�<<D

+������ %!� ���� ���� � ( �� � � ���� �$���� �� �� ���� �� �������

�B�� �C A

��������

������� B�� �C A B�� �C�

� �� B�� �C A B�� �C�

�C 2� �� � �� ������������

�C 1��� �� � ��������������� �� B�� �C A ��

FC 3��� �$�� ���� ��� �� ����� �� ��

��B�� �C � ��

��B�� �C�

C 0� � ��D

�C 1��� �� ���� ��������

������

��

��B�� �C� ��

��B�� �C

�� ���

���

��

��B�� �C� ��

��B�� �C

�C >�� �� ���

����B�� �C � ���

����B�� �CD .����� ���� �� ������ 7�87D >���

��?����� ����D

Page 110: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��� �������� #� �%!��!����� %" *� ����'%!

Page 111: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

������ �

������� ��������

>���� $���� �� ��� ���� � � ������� ������ �� ���� ���� �� ������������D *� ���� ���� �� H�� �������� ��� �� �� �� �#� � ��� $��� � ��������� �� �#� ���������� �� ����� � ������� ���� #�� ��� ��� ���� ������ �� ����� �� � �� ������ ������ ��� �� �#� ��������� ����� �� �������� ����� �������������� " ���� �� ����� ��� �� � �� �� �� �� ��� ������ ���� ������ ���� �� ���� ��������� >������� �� � ���� � � �� �������������������� ��� ��� ��������� �� ������� $��� �� ���� ���������� �� ��� �6� �� � �� ����������� �������

" �� ����� 7 �$����� �� B������C ��� ����� � ������� ���� �� ���� ����� �� ���� ��������� 2� ��� �������� ���� ����� �� �� $��� � ������ ��� ������ ������� ������� ��� ��� ��� ����� � ����� ��� ��� � �������

� � !�"����� � ( � � � �3�� �� �������� � � ��/0��� �/ �/�� � � .� �� ��������� ��� / ������� � � � ������ ��� ����� �� ��/�� � � � ��/� � �B�C �B*C ��� ��� * � � ��� ����� �/���� ��� � �/� �9 ��� �/� �/ �*� �� � ��

�/�������� ����� � �� ����� � � ��� ������ ��� ����� �� ��/�� � � ���/� � �B�C � �B*C ��� ��� � � � ��� �* � �� � ��

��� �� ����� �� �� ������ �� ������ ���� � �� ��� ���� �� ����� �� ������ �����

!���� ��� ���� ���� �� ���� �� �������� �� ����� � � �� �� ���� ���� ����� �� ��� ����� 0� � �� ���� ����� ��� B�� �B�CC ���� ��J������ K �� ���� �� ������ � �� � � $��� 9��� 0� ����� � �� ��� ����� �� ���� �� B�� �B�CC �� �� �#6� �� ������ � �� J ��������K � ��� ����� ����#6��� � �� ��� ����� �� �� ��� ���� ������ �� .� $��� 9�7

���

Page 112: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��7 �������� (� ,���>,�! � %&��,�

–2

0

2

x

–3 –2 –1 0 1 2y

–1

0

1

2

3

4

5

z

*���� 9��( !���� �� ������ ���� � �� ���� �� �� �

–2

0

2

x –4–2

02

4 y

–4

–2

0

2

4

z

*���� 9�7( !���� �� ������ ���� �� ����� ��� �� �

Page 113: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(��� $; ���*� ��� ������! ��9

��� �&�����������������

,��� �� �#���� �� ���� �� � �� �������� �� �� $��� ����� �� ������ ����� ������ �� ���� $��� � ����� �� �������� �� � �� � ��� �� � �� ��������� �� ������ ����� ��� ���� �������� ������ ��� ���6��� �� �� ��������� ����� ��� � ��� �� �� ���� �� �� ���� ��������� � ���6���� ���������� � ���� �� �� ��������� ����� �� �#� ����������� ���(

� )����� � ( � � � �3�� �� �������� � � ��/0��� ��� � � .� �� ��������/��� ����� �/�/��� / �� * �� �����

/5 � �� �������� �/� � �����

//5 ��/����� �� ���/������ /��� / � �����

///5 ��B�C A ��

7����8 "H��� � ���� �� �� �� ���� �� � �� �� ���� ���� ��� �����������B�C �� � ����� ��� �� ���� �� >�� �� ��� �� � �� �� ���� ���� ������ ������� �� �� ������ ����� �� �� �������� ���� �� ,��� ��B�C A � ��� ��� ��� �� � ��������������� � �� ���� ���� �� ���� ���� �� ��

���B�C A �� !�

B��� ��� � � � � ��C A � � � �� �������

�B�C A �B��� � � � � ����� �� ����� � � � � ��C

.��� ��B��C A��

���B�C A � ��� ��� ���������������� �� � ���� ��� �� �����

�� ������ ���� � ��� ��� �� �#���� �� ������ ���� � ��� �� �� �� ������ ����� �� �

!� ����#�� ���� ���������� 0� ���� � �� ��B�C A � ��� �� ������� �������� ���� �� ���� ���� � � ��� � � �� �� ���� ����� �����B�C ���� �� � ����� ������ �� � �� � ������� ���� �� � � �� � ��� ������ �� ����� �������� � � ������� �� ����� ����� �������� ���� ���� ���� �� �$�� �� ������ ��� � �

0� �� ����� ���� � ������� �� �� ����� ��� ���� ����� �� ������������� ��� �� ����� �� ����������� ��� �� ���� �� ��� ������� �� ��� ��� �� � �� ������ ����� ��� @ �� ������ � ����� �� ���� � ��� �� �� �� �� ���� �6 � � �� �� �� �� �� ��� ����I �� �� �� ������� ���� � ������� �� ��� ��� ������������ � �� ��� ���� ��� � ������� �� �� ���� �� �� ����

2� ���� �� ������ 9�7 ��� �� ��� ��� ������ �� ������ ��� ����� �������� ���� ������������ ��� ���� �� ���� ����� � ����� �� �������(

Page 114: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��) �������� (� ,���>,�! � %&��,�

� � #�������!� �� #�� �� ����� ��� ���������� ��� ����� � ������� ���� �� ���� �����

�B�� �C A 9�� � 9�E 4�

� �� �$���� �� ���� �� � ���� �� �� ����� ��� ����� 2� ��������(

$�

$�A 9� � 9

$�

$�A 9� E 4

�� � �� � ����� ������� � �� ����� � ��� � ��#��� �������� ����� �#� �� � � ����� ���� ��� ����� � ������� �������� �� ����� ����� ��� ������� 6 ������

9� � 9 A �

9�E 4 A �

� ��� �# ������ � A �9� � A �� ����� ���6� �� �� ��� �� ������ ��� ���������� ������� ������ ��� � �� B�9� �C�

,� �� #� ���� �� � B�9� �C �������� �� �� ����� ��� ���� � ����� �������� ����� *��� ����#�� ���� ��� �� ����� �� ���� � �� � ��� �� �6�����2� ��� � �� ������� �� � ��� ������ � ���� ������ B�9� �C� :�#��� ���� � A �9 ����� � A � ���� ��

�B�9� �C A 9 � B�9C � � � 9 � B�9C E 4� A 4

�B�� �C A 9�� 9�E 4 A 4

�� � �������� �� �� ����� ���� ���� � �� ��� ���� ��� ���� ����#��� B�9� �C �� �� ��� ����� �� ��� ���� ����� �� ��� ����� ��� �� � �� � � ������� � � � A � E 9 � � � � A ��� 9� 2� ���

�B�� �E )C A 9�B� E )C� 9�E 4B�E )C A 9�� E �8�E 9;

�B����� 7C A �9�B� E 7C� 9�� 4B�E 7C A �9�� � �8�� �8

-������ ��� � � � A � E 9 �� �� ������ � ������� ���� �������� ���� �� �� ����� ������ B�9� �C ���� �� ��� ����� ��� ���������� � � � A �� � 9 �� �� ������ � ������� ������ ����� ��� ���������� �� �� ����� ������ ���� �� �������� ��� ��� �� ���������� ����� ���� �� �� B�9� �C �� �� ��� �����

��� ���6� �� � ���� ��� ��� ��� ����� ��� ���� �� �� � =����� ��� �$���� � � $��� 9�9� �

Page 115: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! ��<

–6–4

–20x

–2

0

2

4

y–10

0

10

20

30

z

*���� 9�9( =����� ��� �B�� �C A 9�� � 9� E 4��

0� �� ��� ����� ���� �� �� � ��� ���� ��� ����� ��������� ��� ��� �� ���� �� �����( >�� ��B�C A �� ����� ����#� �� � �� �� �&���������� � � �� �� ����� ��� ����� ������� ����� ����� �� �����D ����������� �� � �� ������� ��� ��� ����� �� �� �� � �� �� �� ����� ���� �� �� ��� ����� ��� �� #� ��� �� ��� �������� �������� ������

��� ������������������

!� � ���� �� � ������ ��������� ���� �� �� �� �������� � ���� �� � �B�C A�� �� �������� �������� ���������� �� � �� �� ����� ������� �� �� ��B�C � � � �� � �� �� ����� ��� ���� �� � � ��B�C � �� 2� ��� ������6��� ������� ���� ���� �� ��� ������ �� � �� ���� ���� �� � ������������ �� � �� ����� �� ���� �������������� ��� �� ��� � ���� ��������� ������� ���� ��� �� �� �� ��� ��� �� ���� �� �� ���� �������� ��� �� ������� �������� �������������� � � ��� �������� �� ������ ����� �� �� ��� ���� � � ������� *� �� ��� ��� ���� �� ���� ��� � �������� ����� �������������� 0� ������ �� �� � ����� ����������� ��� >� ������ ��� ����� ��� �� ����� ���� ��� ����� ��� �� � ���� ������� ��� �� ��� �#6� ���� � �� ���� ���� �� � ���������

� � )���� 6:������������2� �B�� �C �3�� �� ��7�������� � �� � B�� �C �� �� ������3�� ����� ���

Page 116: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��; �������� (� ,���>,�! � %&��,�

� � �

� A$��

$��B�� �C� ( A

$��

$�$�B�� �C � � A

$��

$��B�� �C

� � � �3�� /�� ��� � A �� � (�� * ������?

/5 :�/� � � �2 � �� B�� �C �� ����������

//5 :�/� � � � � � � �2 � �� B�� �C �� ����� �/�/����

///5 :�/� � � � � � � �2 � �� B�� �C �� ����� ���/����

*����� � A �2 /� ������ /� �� �����������

������ � � �������� � �������� ��� �� �� �� �� �� �� �� ������������ �� �� ������������ ��� >� ������ �� � B�� �C� ����� ��� ����� ��#����(

� A ��B6�B�� �CC A

���

���B�� �C ���

����B�� �C

���

����B�� �C ���

���B�� �C

A� (( �

A �� � (�

��� ��������� ������� �� �� ���������� ��� �� 7� 7������ � ��(

��B

�� �� �

�C A

� �� �

A ��� ��

3��� �� �� �������������� ��� �� ����� �� �� ����� ���� �� �� �#� � ����� �� �� ��� �� ����� �� ����� � ��� � (

� � #�������!� ��� ������� ��� ���� ���� ��� �� �� �� 9�9 � � ����� ��������������� ��� ������ � ���� ���������� 2� ��� ��� �� ���� ���� �B�� �C A9�� � 9�E 4� ��� ���������������

$�

$�A 9� � 9

$�

$�A 9� E 4

�� � �� ���� ������ ��� � ���� ��� � A �9 � � A �� ���� �� B�9� �C�� �� ����� ����� *� �� ����� �������������� ��� ������ �� �� >� ������� ��� 2� ���

$��

$��A �

$��

$�$�A 9

$��

$��A �

Page 117: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! ��5

� ���

� A

� 99 �

A �4

"�#��� �������������� ��� �� B�9� �C �� ��� ���� ��� � � �� �

!� � �� �� ���� ��� �� �� ��� �� �� ��(

� $ #�������!� � ( �� � � ���� ���� ���� ���� ��

�B�� �C A �������

2� ��� $��� � �� ����� ������� � ����#�� � � �� ����� ��� ���� ��������� � ����� ��� �����

������ �� ���

$�

$�A � � � � ����� E � � � � ����� A �B� E �C�����

$�

$�A � � � � ����� E �������B�7�C A �B�� 7��C�����

.��� ����� ���� ��� ���� ����� �� �� �� �� �# � ����������

�B� E �C A �

�B�� 7��C A �

�� �� $��� � �� ����� �������� ��� �#� �� ��������� ��� � �# ������� A �� � � A �� .����� �� � A �� ��� � �� ���� ���������� ���� �� � A ��

�A

���� .����� �� � A � ��� � �� ���� ���������� ���� �� � A �� 2� ���

��� �� ��� �� ����� ���� B������C� B����

���C � B�� �C�

,� �� ����� �� �� ����� �� � �������������(

$��

$��A ������ E �B� E �C����� A �B7 E �C�����

$��

$�$�A B� E �C����� E �B� E �C�����B�7�C A B� E �CB�� 7��C�����

$��

$��A �B�)�C����� E �B�� 7��C�����B�7�C A �7��B9� 7��C�����

2� ��� ���� #�� � �� ����� ������� ���� �� ���

Page 118: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

��8 �������� (� ,���>,�! � %&��,�

!�� ������;� ������ B�� �C8 >�� ��

� A$��

$��B�� �C A �B7 E �C����

A �

( A$��

$�$�B�� �C A B� E �CB�� 7 � ��C����� A �

� A$��

$��B�� �C A �7 � � � �B9� 7 � ��C����� A ��

����� ��� � A

� �� �

A � � �� �� A ��� ��� �� �� B�� �C �� ��� �����

!�� ������;� ������ B������C8 >�� ��

� A$��

$��B���

�7

7C A

�7

7B7 E B��CC����

���� A

�7

7��

��

( A$��

$�$�B���

�7

7C A B� E B��CC

���� 7

��7

7

���� ����

���� A �

� A$��

$��B���

�7

7C A �7B��C

�7

7

��9� 7

��7

7

���� ����

���� A 7

�7��

��

����� ���

� A

�����

�� �

� 7�7��

��

A 7���

.��� � � �� � � �� �������� �������������� ��� �� B������C �� �� �����

��������

!�� ������;� ������ B�������C8 >�� ��

� A$��

$��B����

�7

7C A �

�7

7��

��

( A$��

$�$�B����

�7

7C A �

� A$��

$��B����

�7

7C A �7

�7��

��

Page 119: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! ��4

–3–2

–10x

–2

–1

0

1

2

y–0.2

0

0.2

z

*���� 9�)( =����� ��� �B�� �C A ��������

����� ���

� A

������

�� �

� �7�7�� ��

A 7���

.��� � � � � � � �� ��� B�������C ���� �� ����� ��� �����

=����� ��� � $���� � � $��� 9�) �

!� �� ����� �� � �� �� ��� �� ������������ ��� >� ������ ���� �������

� � #�������!� � ���� ���� ��

�B�� �C A �� E ��

2� ������ �� ��������� � >� ������ ��� 2� ����(

��B�� �C A B9��� 7�C � 6�B�� �C A

�;� �� 7

��� ��� �� �� ����� ������ �� ���� � ��� �� >� ������ �� ���6�B�� �C A�� �� 7

�� ����� ��� � A � � 7 � �� A �� ����� ��� ���� �������������� ���

����� � !������ ��� �� � �� B�� �C �� �� ��� ����� .� �� ������� �B�� �C A��� ����� �� ������ �� ���� ����� ��� ���� B�� �C ���� ��� ����� ����.� ������ � $��� 9�<� �

Page 120: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�7� �������� (� ,���>,�! � %&��,�

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–2

–1

0

1

2

3

z

*���� 9�<( =����� ��� �B�� �C A �� E ���

� % #�������!� � ���� ���� ��

�B�� �C A �� E ��

�� �� ���������

��B�� �C A B)��� )��C

����� �� ��� �� ��� �� �� ����� ������� >� ������ �� ��

6�B�� �C A

��7�� �� �7��

0������� � ��� �� 6�B�� �C A

�� �� �

�� ���� �� � A �� >����� ���� �� ����

���� ���� ��� �������������� ��� ����� � ��� �� �� ������� ����� �� ����� �� �� ���� ������� �� � ��� �� � � �� �� ��� �� ��� ����������� � ���� ��� � A � � � A �� =����� $���� � � $��� 9�;� �

�� � � �� �� �� ���� �� �� �� �� � � A �� �� ��� �� ���� ����#�� ��� ����� �� ������ �� �� �� ������ ���� ����� �� ��� �����

!� ��� � � � �� �� ����� � �� �� ���

� � #��������� �� ������������ �6��� ������ �� �� ����� � ���� + ��� �� ���� ����������� � $��� 9�5� 2� #� ��� �� ������� �� ����� ������ ��� ��� �� ��� � ������ �� ��������� ������� ��� � ����� ����� � � �

�+� � �� �� �����

Page 121: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! �7�

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

2

4

6

z

*���� 9�;( =����� ��� �B�� �C A �� E ���

*���� 9�5( ����� ������ �� �� ���������

Page 122: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�77 �������� (� ,���>,�! � %&��,�

�� �� ��� ���� �� � ������ ����� � � ��� B>�� � ��� ����� �

��� �� ����� ��

������� ���� ����� ��� �� � A ���C

����� ������ �� �� ��� � �� �#6� � �� �� � � � ��������� ���� �������� +� 7� � +� 7�E 7� F �� ������� �� ����

� A�

7BB+� 7�C E B+� 7�E 7� F �CC � �� �

2� ������ �� � � �� ���� �� �� � � � � �������� ����6����(

�B�� �C A +� �� � � 7�� �� � E �� �� � F �

,�� ��� �� ����� �#� ����������� ��� ���� $��� ����� �� ���� ���� � � � � ��+

� � � � � ��� 2� $���� � ���������������(

$�

$�A + �� � � )� �� � E 7� �� � F �

$�

$�A +� F � � 7�� F � E �� F � � � �� ��� �

.�� �� �� ����

A � ��� ��

+ �� � � )� �� � E 7� �� � F � A �

� ���

F � A 7� +

7�

��� � A � � �� � A � ���� 2���� �� �� �� ���

A �(

+� F � � 7�� F � E �� F � � � �� ��� � A �

� ����� ��� ��� � A �� F � � � F � A 7� !��� �� ���� ��

+�

�7� +

7�

� 7��

�7� +

7�

E 7��

�7� +

7�

� �� A �

����� ������� ���

9�� � +� A �

��� �� ��� � A ��+� ��� ��� ������ ������ �� � $���� �� �� �� �# �

F � A 7� +

7�A 7� +

7��+A 7� 9

7A

7

Page 123: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! �79

2� �� �� � A ��� ������� �� �

�B�

9+�

9C A + � +

9� �7

�9� 7 � +

4� �7

�9 E

+�

4� �7� �7

�9 A

�9

�7+�

2��� ����� �� ��� ��� �� �� ��� ������ �� �� �� ��� ����� ������� ����

��+� � �� ���� ��� �� � A �

�+ � � A �

�� !� � ����� �� ���

����������� �� ���� �������� �� *#� ����������� ��� ���� �� ����� $�������� �� ���� �� � � �� �� �� ������ ���� �� � � � � !

�� � � � � �

��

0��������� ��� ����� ��� ���� � �� ���� ��� ������ �� �#� ������������ ��� ��� ���� ���� �� �������������� 2� ���� #��� ���� � A ��� A �

�+� � A � � � A �

� � �����

��� � � A � �� � A ��

��� � � A � �� � �� � A ��

��� � � A ��+ �� � A !�

� �� 7��

��� � � A ���� � A +�� 7���

,��� � � � � ���� � � !�

� �� 7� � �

�+�� � ���� � � � � �

�+ �� � � +�� 7�� �

��+��0� ���������� �������� ��� �� ���� ���� � ��� �� ��� ���� �� ��

������ � ������ �� ������ ���� �� � � � � ��+ � � � � � �

�� " ���

�������������� �� � � ��+�� � �� ��� �� ����� �� ������ � �� ���� ���

����� � ���� � A��

��+�� .���

��

��+� � �

�+�� ��� �� �������� �� �� ����

���� �� � ������ B��+� �

�C�

!��� ����� ��� �� �� ���� ��� ����� �������������� ���� !� ��� ��������� ����� �������� �� �� ������� ���I �� B�

�+� �

�C �� �� ��� ����� 2� ������

�� >� ������ �� ��� �(

6�B�� �C A

� �� 7� � ) �� � + F � � )� F � E 7� F 7�

+ F � � )� F � E 7� F 7� �+� �� � E 7�� �� � � 7�� �� 7�

0�������� �� >� ������ �� � �� ����� �� ������ ���� ��

6�B�

9+�

9C A

����

�9 ��

�+

���+ �

���+�

����� ���� A ��+�� ����� ��� �� �� ��� � ����� ��� ����� .��� ���

���A ��

�9

�� ������� ��� �� �� ��� ����� �

Page 124: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�7) �������� (� ,���>,�! � %&��,�

����� �3��� �� ��� �� ��������'������

0� �� ������ �������� � ���� �� �� �������������� ��� �� �� �� � �� �� ����������� �� �������� �6��� 2������� ����� ������ ������� ���� �#������ � ��� �� �������� �6��I �� ������ ������� �� ������ " ���������� #� ��� �� ����� �� ������� �� ����� ���� �� �������������� ����� ��� �� �� ��� ���������� ����� �#��� � �� ����� ������� ��� �� ��������� �6�� � � ��������� +���������� ���� ��� ��� ��� ���� ������ � ���������� ��� �� �� �� �� � ��� ������ �� �� ������ ����������������� !������ �� ����������� �� ��������� ���� �� �����

" �� �� �� 9�9 �� �� �� �������� �6���� �B�� �C A 9���9�E4� ����� ��� ���� � B�9� �C� !� ��� � �� �� �������� �������� �6��� � �#�� �� ����#�� ��� ��� �� ����� ���� �� ����

0� �������� �6�� � � �������� ��� �����(

B�� �C A � E �� E �� E ��� E ��� E ���

��� �� �� �� �� � � � �� �� ������� =�������� ��� ��

� B�� �C A B� E 7��E ��� �E �� E 7��C

� >� ������ �� ��

6 B�� �C A

�7� �� 7�

�� �� ����� ������� ��� �� �� ��� � B�� �C A �� �� ��� � �# ������ ���������� 6 �����

7��E �� A ����E 7�� A ��

���� �� �� ��� �# ���� � �� ������� ���� � ��� ����� ����� � �������� 7�� E �� A �� � �� E 7�� A ��� ��� ��� �������� ��� �� �� ���������� �� � � ���������� ���� �� ������ �� ������ ����� �� ��������� ��� �� �

�C � A � A � � � A ��

��C � A � � � A � A � �����

���C � A � A � A �

" ������� ��� �� �� �#6� �� � ������������ �� � � ������� �� ���������� ����� ���� ��� � ���� ��� ���� ������ ����� ������������ ��� �� �#� ��

Page 125: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! �7<

������ B7�� �C� � �� ������� ����� ��� �� ���� ������ ���� � B7����C� �� �������� ��� �

B7�� �C � B7����C A )�� � �� A �

!��� ����� ��� �� ���� ��������� � �� �� �6�� �� ���������� �C� ��C � ���C������ ��� �� �� � ��

� �& )����*����� )�� � �� A �2 � 0����/��� 7�� E �� A �� � �� E 7�� A �� ��/����������� �/����� ���� .� �/ �/� ��1������

7��E �� A ���� E 7�� A ��

�81��/ �� �8��/� �

!��� ����� ��� �� )�� � �� �� ������������ ��� >� ������ ��� .����������� ��� �� �� � ���� �� ���� � �� ��� �6���� B�� �C A � E �� E�� E ��� E ��� E ��� �#6����� ��� �� ����� ����� 2� ��� �������� ����� ������� � � ���������� ��� )�� � �� A �� �� ���� ���������� ������������ � ��� ���� ����� � ���� �� �� �������������� ����

!� B��� ��C ���� �� �� ����� ������� *��� ������� ������������ ������� ���� $�� � �� ����� ���� �� B��� ��C A B�� �C� 0� ��� ����#�� �6��������� B��� ��C �� �� ��� ����� !�

� A �� E ��

� A �� E ��

2� ����� ��� � �6���� � ����

B�� �C A �E �� E �� E ��� E ��� E ���

A �E �B�� E ��C E �B�� E ��C

E �B�� E ��C� E �B�� E ��CB�

� E ��C E �B�� E ��C�

A �E ��� E ��� E ��� E ���

E �B��C� E 7����� E ����

E ����� E ����� E ����

� E �����

E �B��C� E 7����� E ����

A �E ��� E ��� E ���� E ����� E ����E B� E 7��� E ���C�

� E B� E ��� E 7���C��

E �B��C� E ����� E �B��C�

Page 126: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�7; �������� (� ,���>,�! � %&��,�

.��� B��� ��C �� �� �� ����� ���� ��� �E7���E��� A � � �E���E7��� A ������� ��

B��� ��C A �� E �B��C� E ����� E �B��C�

��� �� A � E ��� E ��� E ���� E ����� E ���� A B��� ��C� 2� �� �� �� �� ����� �������� ��� B�� �C ��� B��� ��C ���� �� ��������� �#� ����� ����� ��� �6����I � �� �6� ������ 6 ����� �� �� �� ����� ������ ����

2� �� ������ ��� � �� ����#�� � ��� �� �� ��� ����� ��� �� B��� ��C������ ��� ��#�� �� �� � �� �������� ��� ����� �� ������ ��� ����� ������ ��6 ��� 2� �� #��� ���� �� ��#�� �� ������ ����� ��� �� ���� ������ ������� ��� �� ��� ���������I "C � A �� ""C � A � � """C � A � A ��

1��,���� <28 ���� � A �� 2� �� #��� �� ����

�� A ��� E ���

>�� �� � �� �� ���� � �� ��� �� ���� ��� �� ���������� �� ������� .������� ��� � �6���� ���� ��(

B��� ��C A �� E �B��C� E ����� E �B��C�

A �� E �B��� E ���C� E �B��� E ���C�� E �B��C�

A �� E �B���C� E 7������� E ���B��C� E ������ E ��B��C� E �B��C�

A �� E �B���C� E B7�� E �C����� E B��� E �� E �CB��C�

2� �� ����� � A � ��

���� �� �� 7�� E � A �� ����� ����

B���� ��C A �� E �B���C� E B���

)��� ��

7�E �CB��C�

A �� E �B���C� E)�� � ��

)�B��C�

,�� ��� �� ������ ���� �� ����6���� �� �� ��� ����� �� �� ������ ��� ������� B���� ��C A B�� �C �� �� ��� ����� �� ������� ����� �� ��� �����!� � A )�� � ���

�C ��� � � � � ��� � � �����

��A "

���� �� ��� ������� �� � ��������

B���� �C A �� E �B���C� � B�� ��C A �� E �����

��B��C� ��� � ���� �������

� ������� ���� �� ���� ��� �#���� �� �� �� ����� ������ �� �� ��� �����

��C ��� � � � � � 7� � � ��� ���� � � �����

������ ������ �� ��

�B���C� � � �����

��B��C� �� ����� ���

B���� ��C A �� E �B���C� E)�� � ��

)�B��C� ��

Page 127: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! �75

����� �� �� �� �� �� ����� ������ �� �� ��������������� �������� ��� !��� � �� ����� ��� �� B���� ��C A �� ��� � ���� ��� B���� ��C AB�� �C� +�������� �� ��� �� ���� ������ �� �� ����� �������

���C ��� � � � � � 7� � � ��� ���� � � �����

������ ��������� ��� �#����

��

B���� ��C A �� E �B���C� E)�� � ��

)�B��C� � ��

����� �� B���� ��C A B�� �C �� ��� ���� � B���� ��C A �� ��� � ������� B���� ��C A B�� �C�

1��,���� <<28 ���� �� � A �� ��� � � A �� ��� �� ����� �#������� ��������� "C� ���� ���� �� � A �� �� �� � A )�� � �� A ��� � �� 2� ������ B��� ��C A �� E ����� E �B��C� �� �� � �� �������� �� A � � �� A ���

���

B�� ��C A �� E �B��C�

B�7�

���� ��C A �� � �

7�

�B��C� E �B��C� A �� � �B��C�

����� �� ������� � ������ ���� �� ���� ����� ��� �� �� ��� �����

1��,���� <<<28 ��� � � A � A � ��� � A )����� � �� 2� �� �� B��� ��C A�� E ������ 2� �� � �� �������� �� A �� � �� A ��� ���� ��

B��� ��C A �� E �B��C�

B������C A �� � �B��C�

.��� � � �������� ������ ���� �� ��� ��� �� ����� �� ��� �����2� ��� ��� �� ��� ���� � �#����� ������(

� �� )����� B�� �C A �E ��E �� E ��� E ��� E ��� � �� � � A )�� � �� A �� *����� �81��/ ��� ������3�� �����2 B��� ��C2 ��� � �/���� ������?

/5 *����� � � �2 � ����� �� ������ ������ B��� ��C ��� �� �� ��0����� ������� �������2 � �� ���� ������ ������ B��� ��C ��� �� ����0�� ��� ������� �������� ���� �� B��� ��C �� ����������

//5 *����� � � � � 7� � �2 � ����� �� ��� / � � ��/� �

B�� �C� B��� ��C /LB�� ��C� E B� � ��C

�N

��� ��� B�� �C � �� � ���� �� B��� ��C �� �/�/����

Page 128: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�78 �������� (� ,���>,�! � %&��,�

///5 *����� � � � � 7� � �2 � ����� �� ��� / � � ��/� �

B�� �C� B��� ��C � �/LB�� ��C� E B� � ��C

�N

��� ��� B�� �C � �� � ���� �� B��� ��C �� ���/����

7����8 ��� � ���� ���� �� � ���� ��C � ���C �� �� � �� �� $��� / � � ��� �� �� ������� ��������� �����

2� ��� � �� �������� ��C� ��� � � � � 7� � �� ��� � �� ��������� �� � ����� ������ ������ >� � �� �� ��� �����

B��� ��C A �� E �B��C� E ����� E �B��C�

��� �� A ���� � �� A �� ��� !� ��� ����#�� ������������ 2� �����

�� A � F �

�� A � �� �

�� ��� ��

B�� �C A �� E ��� F � � E ��� F � �� � E ��� ��� �

A �� E B� F � � E � F � �� � E � ��� �C��

A �� E �B�C��

>�� �� � ���� ���� ���� �� �B�C A � F � �E � F � �� �E � ��� �� !� �$��� �� ������ ��� � ���� �� ������ �� ������ ����������� L�� 7 N� �� ����� ���������� �������� �� �� $��� ���� �� � �� ��� ��

�B��C � �B�C � �B��C

.��� �� ��� �� ������� ������ ��� �� �� ��� B�� ��C A �� E �B��C ���*#������ �� �B��C �� ��� �� ��� ��� �� B��� ��C A �� ��� � ���� ��� B��� ��C A B�� �C� ����� ��� B�� ��C � ��� /� �� �#���� �� �B��C � �� !�/ A �B��C� �� ��

B�� �C A �� E �B�C�� �� E/��

2� ������ ��� �� �� A B��C�EB��C� A LB����C�EB����C

�N� � �� �� A B��� ��C��� ��� ��

B�� �C� B��� ��C A B�� �C� �� /�� A /LB�� ��C� E B� � ��C

�N

� ��� �� �� ����� �� �� �

Page 129: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! �74

����� �&����� ����

!� � ���� �� ������� �� �� � �������� � ���� �� B�� �C �� �� ���� ����� 2�#� ��� ����� $��� �� �������� �6���� � ��� ���� ���� �� ������������ � >� ������ � � � � B�� �C� 2� ������ �� ����������� ����

��� � � � �� ����� ���� B�� �C� =������� ��� �� ����� �� �����(

B�� �C A �E ��B�� �C E ��B�� �CE ��B�� �C�E ��B�� �CB�� �CE ��B�� �C�

>�� #� ��� �� �� �� ����� �� ������� �� ��� ��� ��� �� � ��� 2� ������ ����������� � >� ������ �� ��� � ����(

� B�� �C A B�� E 7��B�� �C E ��B� � �C� �� E ��B�� �C E 7��B� � �CC

6 B�� �C A

�7�� ���� 7��

�-����� �B�� �C A B�� �C ���(

�B�� �C A B�� �C A �

.���� ������� � B�� �C ��� ��

B$�

$�B�� �C�

$�

$�B�� �CC A ��B�� �C A � B�� �C A B��� ��C

� ���� >� ������ � �������

���B�� �C ���

����B�� �C

���

����B�� �C ���

���B�� �C

�A 6�B�� �C A 6 B�� �C A

�7�� ���� 7��

����� �� ���� ��(

B�� �C A �B�� �C E$�

$�B�� �CB�� �C E

$�

$�B�� �CB� � �C

E�

7

$��

$��B�� �CB�� �C� E

$��

$�$�B�� �CB�� �CB� � �C E

7

$��

$��B�� �CB� � �C�

2� �� ��� ����� ��� �� �� � ��6�� ����� �� ���� ���� �� � ���������

� � )���� 61�*��� ,����2� � �3�� �� ��7�������� � �� ��/0��2 � � �3�� �� /���� ����� � � �3�� �1���������/������� �/� � � ���� �� / �� * ����� �� ��������9 � �� ��/0�� ��/� �

������

9B-C A �

Page 130: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�9� �������� (� ,���>,�! � %&��,�

� �B� E -C A B� E -C E 9B-C�-��

��� ��� �/���������/ �� - � �� �

7����8 " ���� ���� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ������� ���� �6���� �� ����� B��� ��C � ���� �� B�� �C�

>� - A B��� ��C �� �� ��$��� �� ���� �� � �� �� �������� ��

�B�C A �B� E �-C� B� E �-C

2� �� ����� ������������� �� ���� ���� �� ���� �������� $���� �� ��

��B�C A��

���

�$�

$��B� E �-C� $

$��

B� E �-C

���

� �� �� ����� ������������� ��� �� ���� ���� ��

���B�C A��

���

�����

�$��

$��$��

B� E �-C� $�

$��$��B� E �-C

�����

!������� �� ��� ����� �� ��6�� �6���� �� �� �������� ��� �� ��$��� �� ���� � ����� � � � ��� ��

�B�C A �B�C E ��B�C E�

7���B�C

!��� ����� ��� �� �B�C A � ��� �B�C A B�C � ��B�C A � ��� ��B�C A� B�C� .����� �� ��� �� �B�C � ���B�C ���� ��

�B� E -C� B� E -C A��

���

�����

�$��

$��$��B� E �-C� $�

$��$��B� E �-C

�����

*�� �$�� ���� �� �#���� �� �� ��#

������B� E �-C A ���

������B�C� 2� ����� ���

� ����(

�B� E -C� B� E -C A��

���

�����

�$��

$��$��B� E �-C� $��

$��$��

B�C

�����

2� �$����� ��� ���� ���� 9 ��

9B-C A

� �

�����

�����

����

����������� ���

�������

�����

���� �� - A �

� �� - A �

Page 131: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! �9�

��� �� � ����� ��

�B� E -C� B� E -C A 9B-C�-��

����� ���� ���� �� ��� �� �� � �� 9 �� ����������� � ���� ��� ���� �� ����(

������

�9B-C� A ������

��

���

�����

�$��

$��$��B� E �-C� $��

$��$��

B�C

���

�-���

�-�

� ���

���

�����

�����

$��

$��$��

B� E �-C� $��

$��$��

B�C

A �

>�� ��� �� ����� �� ����� � �� ��

��� � � � �� ������

���

������B� E �-C A ���

������B�C

��� � �� ��� �

����� �! �� �� ������ �����

*� �� ���� � �������������� ��� ��� �� ���������� ���� ���� � �� �� �6������ ��� ���� �� � �� �� �� ����� ���� �� � � 2� #� ��� �� $����� �6������ �� � �� �� � ���������� ��� � � �������� �� �� 0� �6�� �� ��� � �� �� ���� � �� �� ���� ���� ��� /� �� �� �������������� ��� � � �������� �� � �� ���� �� �O�� ��� �6���� ������� ���� ���� �� B4C A �B�C ��� �� �� ����� ���� ���� ��� ���������� � ������ � �� ��� �� ���� ����� ��� ���� �� � � !� ���� �#�� �� �#� ����� �6����� ����� �� �� ���� � ��� ���� ������ � �� �� �� ������������ ��� � �� �� �� ���� �� �� ������� �������� ��� � �� �#� ����� �6���� � ��� ���� ���� �� ���� � ����������� � � � ������ �� ��� � �� �� ����� ���� �� ������� ����� ���� ������ � �� ��� ������� ���� ����� ����� � �� � ��� ��� �� ����� ���� � �� �� � �

2� �� ���� �� �������� �6����� ��� �� �� ������������ ��� � ��������� �� � �� ���� �� �������� �6���� �#� �� ���� ���� �� ������ ������� � >� ������ � � � � ������ �� ����� �� ��6��� �� ���� ���� ��� � �� ����� ��� � � � �� ��� �� �� �� ��� ���������� ��� � ������� �� � �� � � ����� ��� �� �� ����� ���� � � � �� ���� �������� �� ���� �6 � �� ����� ���� ������

2� ��������� ������ 9��� �� ��6�� ����� ���� ���� � �������������� ����7���� ,� ������������� � �8 ���� �� � A B�� �C �� �� �� �����

���� �� ������� ���� � � �� � A ���

���B�C� �� � ���� ������������ ���

>� ������ �� � � � �� ���� ��6��� �� ��� ���� ��� � �� ����� ���� �� 2� ��� � �� ��� ����� ����������

Page 132: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�97 �������� (� ,���>,�! � %&��,�

1��,���� ��28 ���� �� � � � � � � �� �� ��� ������ 9��� �� �� $��� ��/ � � ��� ��

B� E -C� B�C /�-��

!� 9 ���� ���� ���� ���� � ��6�� ������ .��� ������

9B-C A � $��� �� Æ � �

��� �� �� ���� - � �� �� �-� � Æ �� �9B-C� � ��� ��6�� ����� ��� ��

�B� E -C� �B�C A �B� E -C� B� E -C E B� E -C� B�C

A 9B-C�-�� E B� E -C� B�C

2� ������ ��������� ��� �� �� ���

�B� E -C� �B�C 9B-C�-�� E/�-�� A B9B-C E/C�-��

��� � �-� � Æ ��� 9B-C E/ ��� ����� ���

�B� E -C� �B�C /

7�-��

��� �#���� �� � A B�� �C �� �� ����� ������� �� � �

1��,���� ���28 ���� �� � � � � � � �� 2� �� ������ �� ���� ����� ��������� ��C� 2� ������ 9��� $��� �� �� / � � ��� ��

B� E -C� B�C � �/�-��

2� ��� � ��(

�B� E -C� �B�C A �B� E -C� B� E -C E B� E -C� B�C

A 9B-C�-�� E B� E -C� B�C

� 9B-C�-�� �/�-��A B9B-C�/C�-��

.��� ������

9B-C A � $��� �� Æ � � ��� �� �� ���� - � �� �� �-� � Æ ��

�9B-C� � ��� �� �� 9B-C�/ � ��

�� ��� �� ���

�B� E -C� �B�C � �/

7�-��

���� �-� � Æ � �� �#���� �� � A B�� �C �� �� ����� ��� ���� �� � �

Page 133: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�#� �!!�!*� ��� ������! �99

1��,���� �28 ���� �� � � �� *� �������� �6���� ��� �� �� �� �$��� �� ����� B� E �-C � ������� ���� 2� ��� ���� ��

B� E �-C A �E ���

��� � A B�C A �B�C � � � �� �� ��

�B� E �-C� �B�C A �B� E �-C� B� E �-C E B� E �-C� B�C

A 9B�-C�-���� E ���

A B9B�-C�-�� E �C��

��� � �� ���� ������ � ����� �� ��� 9B�-C�-�� E � � ��� �� ���

�B� E �-C� �B�C �

7��

*#������ ��� ���� � ���� �� ����� ��� ���� �� � �2� ��� � �� �� �� $��� �� ����� ����� B�E�-�C � ������� ������

:�� ���� ����� � � � $��� � �� �� � � ��� ��

B� E �-�C A B�C� ����

�� ��� �� �� � �� �� ��� � �� ���

�B� E �-C� �B�C � ���

7��

����� ��� � ������ ���� ���� �� ����� �������� ��� ��� �� ���������� � ���� ���� �� �� � �� �� ��� ����� �

Page 134: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�9) �������� (� ,���>,�! � %&��,�

��� � ����

+������ � �*��� � �� ����� ������� ��� ���� ����(

�C �B�� �C A �� E 7�� � )� E )� C �B�� �C A ������

�C �B�� �C A �� E �� � �� �C �B�� �C A �� � ��E �

FC �B�� �C A �� E 7�� � 7�� E �E 5�

+������ � *��� � �� ����� ������� � ����#� � � �� ����� ��� ������ ������������� ��� ����(

�C �B�� �C A �� E �� � 7�E )�

�C �B�� �C A ���� � )�� E ;�� ;�

FC �B�� �C A �������

C �B�� �C A ������������

�C �B�� �C A �E ��B�� E ��C

+������ � �*��� � �� ����� ������� ��� ���� ����

�B�� �� C A �� � �� � �� � �

� ����#� � � �� ����� ��� ���� ������ ����� ��� �����

+������ � ��� ��� ���� �� ����� �� �����#� � ��� ����� � ��� ���� ��� �� �����1����� �� ���� �� $�� ���� �� ����� � �� ��� ��� �� ��������� �� ��� �� � � $��� 9�8� !������ �� � � ����� � ������

2����� � A �� �� ������ ��� ���� <� ��� ��� ���� �� �� ���� ������ ��� �� �� ����� ������ + �� �����#� � ���� �� ���� ��� � ������

�C 3������ �� ������ + ��� ����� �

+B�� �C A )�E 7� E���

��

� $�� � �������� �������� �!��

� �!���

Page 135: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�(� %��"��� �9<

*���� 9�8( 1�� ���� ��� �����

���� ����

*���� 9�4( -� � ���� ����

�C 3� ��� � ���� ����� �� ������ � ��#� ���������� �� �����#���� � ������

+������ � �2� ��� �6��� �� ����������� �� � ���� ���� � $��� 9�4� -� �� ��� �� �������� � � �� � �#6� � .���� J ���������K ��� �� �� ��� ���� �� �7�6��� �#� B������� �� ������ �� $�����C� ��� ����� ������ �#� �� ������6��� �� <; ������

�C 3������ �� ������� � �� �� �� �� �� B� $�� ������� �� ������C � ���� �� �� � � � ��� �����

�B�� �C A 78�E 78� � 7�� � 7�� � 9���

� $�� � �������� �������� �� �� 3� ��� ������� ���������� ����B�� �C �� ����� � �������� �������� �� ����� � ����#� � � � �������� �� ����� ������� ���� �� �� ����� ��� ���� ���� �� ������ ����� �� ������

Page 136: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�9; �������� (� ,���>,�! � %&��,�

� �

7� 7�

9�

*���� 9���( 3���� �� �������

�C *��� ��� ���� ������ �� �B�� �C �� ������ � ��� ����� ���� ��� � � � �)� � � � � �)� B3������ �#� � ����� �� ��� �� �� ������ ���� ���� $��� �C>���� �#� ��������� � � � ����� �� �� ������� �� �� �� �� �� ��� ��� �#� � �����D B3������ ������C

+������ � $0� ����� ��� ����#6� 9 � � �� ������� � ���� � �� ) ��� " ��������� ��� �� �� ��� �� ������ �� ����� �� ���� � � �#6� B����� ������C � �� ���� �� A �

���� 3������� ��� �� ��� � �� ��� ��#���

�� �������� � �� � �� ���������� $��� 9����+����� ���� ����� �� ����� � ����� ���� ��( � � � � 7� � � � � 7�

� � � 9 B� ���� � �� �� A �� �

�B�C�C� 2� ��� �� ����� � � ����

���� �������� ���#���� ��� ���������� ��� �� �� ������ ���� � ����� ��������� � ������ � �������� ���� ������ 2� ������ � �� �������� �6 ���� �� ��� ������ � ����� :�� �� �� ������ ��� �� 4� ��?�� � �� ������ ���;� ��?��� !� � B�� �C ������� ���� �� �� �� �� ���� ������ � ��� � ���� ���� � � ��

�C 2� �� �� ���� � B�� �C A �97�� ���� ��

�� ;���� � ������ �$

��� �$

���

�C *� �� ��� ��� ��� ��� ��������� ��� �� ��������� #� ��� �� �� $��� ������ �� B�� �C ��� �� � B�� �C ���� �#� � ������*��� ���� ���� �� B�� �C � �� ��� ������ ������ ��� � �

+������ � �0� ������� �� ���� � ������ �� �� ����� ��� � ��� )�� �� �� ���� ������������ � ;�� �� �� ��� � ������� +��� #��� �� �� �� �� ���� ��� ��� �� �� �� ����������� �� � �� � � �� �� ��� � ������� �� ����

Page 137: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

(�(� %��"��� �95

��������� ��� <��B�� �C ����������� � )<����E<��B�� 7�C ��� � �������� >���� ��� �� �� ���� �� �� ��� ����� ������� ���D

+������ � %� �������� ���������� ��� ���� �� ��� ����� �� ����� � ���� ������0� #����� � ��� ���� � �� ��� �������� �#��� ���� ��� ���� � ����������� � �� ���� ��������� >�� ������ � �� ���� � ������� � ������ ������ ( �� ���� � ������� � ������ �� � ��������� ������� �������� ��

� A �7����� �

7�� � �

)�� �� ������ ��

% A �7���� � �

7�� � �

;�� �� ������ (�

�C ��� � ��������� ���� ��������� � �� �� � ���� ��� ����� ���� �������� �� ���� �� ���� �� ��������� ��������� �� �������� �� �� ����� �� ��� �� ��� �� ���� ������� �� ���� �� �� � �������� ���� ����� ���� �� ��������� �� �� ���� ��#� �� ����� *������ ����� ��� �� ������� B�� �C �� �# ������ �� ������� 6 �����

$�

$�A �

$%

$�A �

� $�� ������� ��� ��� � � ( ����� �� � ���� ����������

�C 3����� ���� ��� � � � ( ��� �� �� �� �������� � ��� ��� �������� �� ��� �� ����� ������� ��� ��� ��������� ����� #�� � *���������� �� ������ ��� �� �������� �� � ��������� ����������� �� �# ������ �� ������� 6 �����

$�

$�E$%

$�A �

$�

$�E$%

$�A �

� $�� ������� ��� ��� � � ( ����� �� � ���� ����������

FC ���� �� ��������� � ����������� ��� ��������� � �� � ����� � �� ��� �� �������� � �� ���� ��� ������� �� ���� 3����� (� ��������� ��� �� �� � �#�� ���� ���� �� ��� �� ���������� ��� �#�� ��� �� ������� ��� ��� ����� ����� ����� 3�����( �� ������� �� ���� �� �� ��6�� �������� ���� �� � ��� ��� �� =��� �� � ����

Page 138: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�98 �������� (� ,���>,�! � %&��,�

�� � �� ��� �� ������� ��� �� ���� �C� ����� ��� ( ����� ��� ��� �� ����� �� ��� �� ��� �#� � ����� ������� ��� � ��� ���� �������� ��� ��� � � ( ����� �� � ���� ���������D

+������ � ��C !� �B�� �C A �� E ��� 2� �� B���C �� �� �� ����� ���� �� >� ��

������������ � �� ��� ����� 2� �� B���C �� �� ������� ���� ������ �����

�C !�� �� ���� �� �B�� �C �� B���C �� �� ��� ���� ����� ��� ���>� �������������� � B���C �� ��� �����

FC !�� �� ���� �� �B�� �C ��� �� B���C �� �� ��� ����� ��� ��� >� �������������� � B���C �� ��� �����

+������ � �&�C !� � ( � � � ���� �� ��������� ���� �� �� H�� �������� � ���� ��

�� ��� �� �� ����� ������ ��� � �� �� ����� ��� ���� � �� 2� ��� �� � �� ������ ��� ���� �� � �

�C !��B�� �C A �� �� � B� E �C���

2� �� B�� �C �� �� ��� �� �� ����� ������ ��� ��

FC 2� �� B�� �C �� �� ����� ��� ����� ��� ���� �� ������ ��� ������ �� ���� ������ ������ ��� �� ���� ������ �� ������� �� H�� � �������� �����

+������ � ���C !� � ( � � � ���� �� ����������� ���� �� �� H�� �������� � ���� ��

� ��� ����� ��� ��� � � � �� 2� �� �� $��� �� �� ����� �������� � ������ ����� � � ��

�C !��B�� �C A )���� � 7�� � ���

2� �� � ����� �� ������� ��� � �� B��� �C � B�� �C�

FC 2� �� ����� � ����� �� ������� �� ����� ��� ���� ���� ������ ��� �� ���� ������ �� ������� �� H�� � ���� ���� �����

Page 139: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

������ �

��������� ����������������

��� (���)�� �������� ��� ���������

*#� ��� � �������������� ��� �� ����� �� �� ����� ��� ?��� �������� �� ���� ���� �$��� ���� �� ������� ��� �� ����� �� � ��� ?��� �������� �� �#��� � ��� � ��� �� ���� �������� �� � ������ �� �$��� �� ������� 2� �� �� �� �� �� ��(

� � #����������� �� �� � ��� �� ��� ����������� ��� 3� ��� ��� ���� 6������������ �� � � ����� :�� �� �� �� ���� �� �������� �� ��� �6������� � ����� � � �� �� �� ���� ������ � ���� �������� �� ��� � ������=��� �� �� �� ���� ��� ���� � � ����� ��� �#6��� �� � ������������ ����� D

2� �� �� �������������� � �� ���� ��

�B�� �C A

7�� E ��

3������� �� �������� ������ ���

� A ���

)

/ ����� ���� ���� �� $��� ������� ��� �B�� �C �� ������

�B�� �C � �� � � A ���

)�

0� ����� �� ��#�� ���� �� �� �� �# � ��������� � A ����

��� ��� 6� �� ��

�� �� �� �� � ������� ���� ���� ��� � �� ����� ��� �� ���� �� �� ���������� � �� ���� ��� $��� ������� ���� 2� ���

� A)�

��

�94

Page 140: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�)� �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

����� ��� ��

�B�C A

7�� E

)�

�2� �������� � ����

��B�C A �� )�

��

!# �� �� ��B�C A � $���� �� �� � A �

����� ����� ��� ���� �� ������� � ��

��� ������ ������ ��� � �� � A �

����� �

!������� ����� ���������� �� �� ����� ����� �� �# � ��� ?��� �������� �� �������� ��� *����� �� ���� ����� �� �� �� ���� ������� ���# � �� �� �� ���������� ��� �������� ���

� )����� � � � �3�� ��7���������� � � ��/0�� ������� � �� ��� ��� �� ��� � � � � �B�C A �� � ' �3�� ��� ��� /�� ���

' A �4 � � � �� � �B4C A ��

:�/� � .� �� ����� ������������� � ' / �2 � �� �����

/5 ��B�C A � �����

//5 ��� ����� �� ��� : ��/� � ��B�C A :��B�C�!��� ����� ��� �� ' �� �� ������6 ������ ��� �� � �� ��B�C ���� ������ ��

' � ������ �� !�������� �B4C A � �� �� �������� �� � �� ����� ��� ������ � �� ' �� �� ��������� �����I �� ���� � � ' ��� �� �� $��� ������ � � � ��� �� �� ���� 4 � ' �� �4 � �� � � �� �B4C � �B�C� !������� ���� �� � �� ' �� �$���� ��� ������� ����� �� �������� ���� �� �������� � ����� �� ������ ������� ��� � �� � �� ����� �$�� �� ��������� �� ���� '�

!� ��� � ����� �� ��� ����� !������� ����� ���������� ��� ����#�� �� �� �� )�� �� �� ����� �����(

� � #�������2� ��� $��� ������� �� �B�� �C A �

��� E �� ���� �������� �� ����

�A � �

>�� �� � � � ����� �����!� �B�� �C A ����

�� 2� �� �� ���� � � � �� ������� ����� .������ )�7

��� �� �� ��� ���� ����� � ������� ��� ��������� ��� � � ��������� ���� �� ���������� 2� $���� ���� �����������

��B�� �C A B �� �E �C � ��B�� �C A B

)���

7��C

Page 141: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)��� ,���>,�! � %&��,� ,�* &���!"���� �)�

�� � �������� �� ��������� �� � �� $��� �� ���� : ��� ��

� A :

)��

�E � A :

7��

" ������� ��� �� �� �� �� �������� �� ����(

���

)A �

*� �� $��� ������� �� #��� �� ��� �� �# � ������� ����� � �� ���� �� � ���� ����������� ��� �#� �� ��������� ��� ������� ���

) A :�

��� ���� ��������� ��� �� ��

�E � A�

7�:�

,�� ��� �� �� ����� :� �� �#6�� �� �� )� �� ���� ��

�E � A�

7� � ) A 7�

����� ���� � A �� /� ����� �� ���� ��� � �������� �� ��� ��

)�� A �

� ��� �� � A � A �

����� ����� �� ���� ��� � �� $�� � �� �� �� )��� �

� � #�������" ���� �� �� ���� ��� �� $��� � ����� �� ������� ��� ���� ����

�B�� �C A 9�� <�

���� �������� ���� E �; A ��

2� ���6���� �� �� ����� � �������� �� ��� �����

�� � �� E �; A �

� �� �B�� �C ���� ����6���� �� ��� ��� ��� *� �� ����� !������� ����� ����������� ������� �� ���������� ��� � � �� 2� ���

��B�� �C A B9��<C � ��B�� �C A B7���7�C

Page 142: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�)7 �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

�������� ��� �� ���� ������� 6 �����

$�

$�A 9 A 7:� A :

$�

$�$�

$�A �< A �7:� A :

$�

$�

�B�� �C A �� � �� E �; A �

!# ������� �� ���� 6 ����� ��� ����� �� ���� �� � ���� �B�� �C A �� !� � �� �� �#� �� ���������� .��� 9 A 7:� ��� ���� � ���� �� /� ���� ���: A �

��� :�� ���� ����� ���� �� ��� �� ���� ��������� �� : A �

��� ����� ���

9

7�A : A

<

7�

��� �� ���

� A<

9�

.����� �� ��� �� � � �������� �� ���� ��

� A �� � �� E �; A �� � 7<

4�� E �; A �;� �;

4��

��� �� ��� �� A 4� ����� �� � A �9 ����� � A 9� /� � ��� ������ ��������� � �� �< � < ����� �� �

*� �� ����#�� � � ����� �� ������� B�9��<C � B9� <C �� ��� ������������ ����� ����� �� ����� ��� �� �� ��� ��� ����������� �� � � �������� E �; A �� � ���� ������ 6 ���� .� $��� )��� B!��� ����� ��� �������������� ��� � �������� �B�� �C A � � � ����� �� ��������C 2� �� ��B�9��<C �� �� ����� �������� ������������� �� �B�9��<C A �;� � B9� <C�� �� ����� ��� ����� ��� ���������� �� �B9� <C A ��;�

2� ��� ��� � �� ����� !������� ����� ���������� ��� ����� ���� $��� � ������� �� �� ���� � � ������ ����� � ����� ���� � ��� ����

� � #�������!��������

�9�� E �7�� E �� A 8�

�� ������ �� ���� �� ����� ��� � ����� �� �� �� ��� ������� " ���� ��� �� ���� ��� �� $��� ������� �� ���� �� � ������ ����� � ����� ���� ���� ���� 2� ��� �� ����6����

��� E �� ������ �� ����� ��� B�� �C ��� ���

�� :������� �� #� ��� �� $��� �� ���� ��� � ��� ����� E �� ����

�9�� E �7�� E �� A 8��

Page 143: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)��� ,���>,�! � %&��,� ,�* &���!"���� �)9

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10

x

� � �

� � �

� � ��

� � ��

� � �

� � ��

� � ���� � ���

� � ��

*���� )��( ,���������� �B�� �C A � � ������ �� E �; A ���

*��� ������� ����������� �� �� ������ � �� ���� ���� �B�� �C A ��E�� � ���� ���� ����� ����6����

��� E ��� ��� �� ����� �� ��� � ��� �������

�� �� ��� ����6���� � �� �� ��� � ��� ���� �� �� ����� 2� ��� ��� ������� !������� ����� ���������� ��� �� $��� ��� � ��� ������� ���

�B�� �C A �� E ��

���� ���� ��������

�B�� �C A �9�� E �7�� E )�� A 8�

2� ������ �� �� ����� �� ���������� ��� � � �� �� � ��

��B�� �C A B7�� 7�C � ��B�� �C A B7;�E �7�� �7�E 8�C

!������� ����� ���������� ��� �� �� $���� � ����� �� ������� �� ���# � ������� 6 �����

7� A :B7;�E �7�C

7� A :B�7�E 8�C

�9�� E �7�� E )�� A 8�

�� � �#� �� ���������� ��� ���� �� ����6�� �� :� ����� ��� ��

7�

7;�E �7�A : A

7�

�7�E 8�

Page 144: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�)) �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

2� ��6 ����� �� ���� � ����(

7�B�7�E 8�C A 7�B7;�E �7�C

7)�� E �;�� A <7�� E 7)��

7�� � 9�� � 7�� A �

2� �� ������ �� �� ���� �� �������� ���������

7

��

� 9�

�� 7 A �

�� � �# ������� �����

�A 7 �

�A ��

7

0�� ��� �� ���� ����� �������� �� �9�� E �7�� E )�� A 8�� ��� �� ��� ����#�� ���� !� � ��� � ���� ���� �� ����� ��� �# ������ �

�A 7� ����� ����

�� ���� ��� ���� � A 7�� �� ���� ��

�9�� E �7�� E )�� A <7�� E 7)�� E )�� A 8��� A 8�

.� ��� �# ������� � A � � � A ��� ����� ��� � ����� �� ������� B7� �C� B�7���C�

.�� �� �� ��������� �� ��A ��

�� $���� �� �� �� ���� ��� � A �7� � �9�� E

�7�� E )�� A 8� ��

�9�� E �7�� E )�� A �9�� � 7)�� E �;�� A <�� A 8�

.� ��� � A )� ����� ���� �� � ����� �� ������� B)��8C � B�)� 8C�2� ��� ��� �������� �� �� ������� �� ���� �� �9��E�7��E)�� A 8�

� ��� �#� � �� ��� ��� ��� �� B)��8C � B�)� 8C� ��� ������� ����� � �� ��� ��� ��� �� B7� �C � B�7���C� �

0� ���������� �������� 7�)� ��� �� �� ���� �� �$���� �� �� ������� ������ �� ����� ��� ��� ����� � ������� ����� 2� ��� ��� � �� ���� �� �� �� ����� �� ��� �������� �#� ����������� ��� �� !������� ����� ���������� �� �� $��� �� ������ ������� �� �� ��� ���� ���

� $ #�������!� ���� ����

�B�� �C A )�� � 7�� � ��

���� �$���� �� � B�� �C � �� � ������ �� ����� ������� ���� ��

�� � )�� E 78�� � )8� A �

Page 145: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)��� ,���>,�! � %&��,� ,�* &���!"���� �)<

2� #� ����� $��� �� ������ �������� .��� �$�� �� ������ ��� � �� ������� ������ �� ��� �� �� ��� � � ��� ���� $��� � ����� ����� �� �� �� �� ������� �� ���� � ���� #��� ���� �� ������ ��� � �� *� �� $��� ����� �� ���� � �� ���� �� ���� �� ������ �� �#� ����������� ���� :�� ����� ������� �� ������ �� !������� ����� ����������� !� ���� ������

������� ���� � ��� ���8 2� ����� ����� ����� �� ���� � ������

�B�� �C � �� � )�� E 78�� � )8� � ��

����� �� ������� ��� �� A �� *� �� $��� � � ������ �� �� ������������� ��

��B�� �C A B)� � 8��� )�� 7�C

.����� �� ���� ��� ���� ���� �� ������� 6 �����

)� � 8�� A �

)�� 7� A �

��� ���� ��������� ��� �� � A 7�� ����� ����� �� ��� � �� �#� �� � ����(

8�� 8�� A �

!# ������� �� � A ��� � A � � � A �� ����� �� � ������ ����� �� ������� B����7C� B�� �C � B�� 7C� ��� ��� �� �� ��� � � �� �� � ������������ � ������ ������� ���� ��� 2� ��� ��� �� ����� � � �6���� ����������� � )�� E 78�� � )8� � ��

� B����7C ��� ��� � ���)��E78���)8� ��� 57� ����� ������ B����7C������ ���� ���

� B�� �C ��� ��� � ���)��E78���)8� ��� �� ����� ������ B�� �C ����������� ���

� B�� 7C ��� ��� � �� � )�� E 78�� � )8� ��� �7)� ����� ������ B�� 7C������� ���� ���

�� ����� �� ������� � �� ���� �� ���� �� �� B�� �C � B�� 7C�

������� ���� �.� ���8 2� ����� ����� ����� �� ���� �� � �������������� ��

�� � )�� E 78�� � )8� A �

Page 146: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�); �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

!� ���� � ���� ���� ���� ���� ��

�B�� �C A �� � )�� E 78�� � )8�

!������� ����� ���������� ��� �� �� ��� $��� � ������� ��� �� ��� �� ���������� 2� ������ ���� �� ��������� ��� �� ��� ��(

��B�� �C A B�)� E <;�� )8� 7� � )�C

-����� � �� ���������� ��� ���� ��������� ��� ������� 6 �����

)� � 8�� A :B�)� E <;�� )8C

)�� 7� A :B7� � )�C

" ������� ��� �� ������

�� � )�� E 78�� � )8� A �

2� ���6���� �� �� � �� �� ���� ���������� ��� ��� � ����� �

B� E :CB)�� 7�C A �

��� �� ���� � ������ �# ������� 0���� �� : A �� ����� � A 7��

� >�� : A �� ��� �� �#� �� ��������� ��

)� � 8�� A )� � <;�E )8

����� ����6���� ��� ������� ���

�� � 5� E ; A �

>�� �� �� �� ���� �� � A � �� �� �# ����� �� � ���� �# ������� ��� A 7 � � A �9� *� �� $��� � ��� ������ � ������� ����� �� ��� ���������� �� � )�� E 78�� � )8� A �� 2� ���

� A � ��� �� � )� � 7� A �� � ��� �# ������� � A �9 � � A 5�

� A 7 ��� �� � 8� E �; A �� � ��� �# ������� � A 9 � � A <�

� A �9 ��� �� E �7� E 94; A �� � ���� ��� ��� ����� �# �����

� >�� � A 7� �#���� �� �� �� ���� ���� ��� � ��������� �� � )�� E78�� � )8� A �� �� ���� ��

)�� � 8�� E 78�� � )8� A �

Page 147: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)�#� @&���� $% ��" �!"�� ,����������% ,��%*� �)5

� ��� ������� ���7)�� � )8�� � A �

!# ������� �� � A �� ���

�; � � A � E �

��

�;� �� ��� ������ �������

�� � �� � A 7� ��

�; � � A 7E �

�;� ����� �� � ��� �� ������� ����

� � � �# ������� ��� � �� �#� �� ��������� ���� $��� :� ��� ��������� : ��� �� ���� ����� ��� ���

�� ����� �� ������� � ������ �� ����� ��� ���� �� �� ����

B���9C� B�� 5C� B7� 9C� B7� <C� B�� <

�7

�;� 7�<

;

�;C � B�E

<

�7

�;� 7E

<

;

�;C

=������ ����> �� ������8 2� �� ��� ������ �� �� �� �� 8 ����� �� ���� �� � �� ����� ������� ���� �� �� � )�� E 78�� � )8� A �� *#� ������������ ��� � !������� ����� ���������� ��� �� � � ������� �� ���� �� ��������� ��� �� ���� ��� � ����� ��� ����� 0� ���������� ��������� ��� �� ��� � � ��� ���� $��� � *� �� $��� � ������ �� ������ �������� ���� ���� �� ��� �� ������� ���� �� ������� � � ����� �� ������� �������� ����������� 2� ���� �#����� ������

����� � ���� ����� � ����B�� �C �B�� �CB�� �C �B�� 7C 7B���9C �79B�� 5C �79B7� 9C ��5B7� <C ��5

B�� ���

�;� 7� �

�;C ����

�E ���

�; � �7� �8�8

B� E ���

�;� 7 E �

�;C ����

�� ���

�; � ��98� 7;9;

2� �� �� ��� ���������� �� 7 � ��� � ������ B�� 7C� ��� �������������� �� ����

�� ���

�; � ���� � B� E �

��

�;� 7 E �

�;C� �

��� *+��� ��� ,������ � �� ������������

2� ��� ��� ���� � !������� ����� ���������� )�7� *��� ��#�� ���� ��������� �� ���� � ������� 3��� �� �� ���� � �������� �6���� �� �� �� ���� ���� ��� ������ � �� �� 7�)���� � �� ��� ���� ���� � �� ����� ������ ��� ��������� ��� ��� �� �������� ����������

Page 148: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�)8 �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

$����%���� ��� � ���

&������� �

&���� ����'������ �

*���� )�7( 0� ��� 3B�C � ���������� � �������� � � ��

� � )����� � �3�� �� ��7�������� / � ��/0�� � � �� /���� ����� / ��� *�������B�C A � � � �� �� ������ ��/� � � � ��B�C A �2 � ����� �� ��/ 3B�C2������� ��� � / �� ���� /������� ��� /���.����� �2 ��/� �

/5 3B�C A �2

//5 3�B�C A � �

///5 �B3B�CC �� ��������

����� �������� ������ � �� �����B�6 ��C���� ��� �� :�� ���� ����������� ������ �� .��� ��B�C A � �� ���������� �������� �� � �� ���� ��������� �� �� � ��B�C �� ������������� 2������ � ��� ���� �� ������������� ��� ���������� ��� � � ��B�C A ��

:�� ������ �� �� �� 7�)��� �� �� �� �������������� ��� �� ��� �� ����������� � �� ����� ���� �� ������������ ��� ����������� ��� ��� �� ��������������� � ��� ����������� $��� �� �� ��� 3B�C � ������ �� ���������� � ���� � ������������D .������ )�5 ��� �� �� ��� ��� $��� � .� $��� )�7�

2� �� ��� ����� ��� �� �� � ������ )�7�

7���� ,� ������� ������������������8 !� � � � ���� ��

���� ����� � �� ���� ����� � A �B3C � ' ���������� �B4C A �� ���� ����B�C A �� 2� ��� �� � �� �� � ��B�C � ��B�C ���� �� ��������� �� ��������� ���� � ���� �� �� ������ ���� �� � �� '�

Page 149: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)�#� @&���� $% ��" �!"�� ,����������% ,��%*� �)4

!� � ���� ���� ���� �� ��B�C �� �� ������� ����� ��� ' � �� 0� �������� �#����� ����� �� �(

� A ��B�C� ��B�C � ��B�C���B�C�� ��B�C A ��B�C� ���B�C� F � ��B�C

���B�C�>�� �� � �������� ����� ��B�C � ��B�C� .��� ��B�C � ��B�C ���� �� ��������� ��� � A �� .������ )�5 ��� �� �� $��� �� ��� 3B�C ��� �� �B3B�CC A� A �B�C� 3B�C A � � 3�B�C A �� !� � ���� ���� ���� �� �� �������� �$������

�B�C A �B3B�CC

��� �� ���� �� ��� � ���� ��� �� ����� �� ������ ���� � �� �� ��� ������ ����� �� �� ����� �� ������ ���� �� ' � �� 2� �� ���� ������ ��� � �� �� � ����B�C A �� 2� ������ ������������� ��� �� ������� � � ����(

��B�C A ��B3B�CC � 3�B�C

!� ��� � A �� ����� ���(��B�C A ��B�C � �

.����� �� ��� �� ���� ����6���� �� � ���� ��

��B�C A ��B�C ����B�C� ���B�C� F � ��B�C

���B�C�

A ���B�C�� � ���B�C�� F � �A ���B�C�� ��� �

����� �� ��B�C A � ���� � ���� �� � ����� � ��� �� ���� ��B�C � ��B�C ������ ���������� �

Page 150: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�<� �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

��� � ����

+������ � �3��� !������� ����� ���������� ��� �� $��� ��� ���� � � �������� ���� �� ���� ���� � ���� �� ����� ���������� ���

�C �B�� �C A )� � 9� ���� �� E �� A �

�C �B�� �C A �E � ���� )�� E �� A �

FC �B�� �C A �� E �� ���� �� <� A <7

C �B�� �C A �� ���� �� E 4�� A �8

�C �B�� �C A )�� E �� ���� ;�� � A 5

�C �B�� �C A ������ �� � )�� A �

�C �B�� �C A � ���� �� A �� E �� 7

�C �B�� �C A 7���� �

� ���� � E �78� A 8��

+������ � 3��� !������� ����� ���������� ��� �� $��� ��� ���� � � �������� ���� �� ���� ���� � ���� �� ����� ���������� ���

�C �B�� �� C A �� E �� E � ���� 7�� 9� E 7 A �5

�C �B�� �� C A 7�� ���� )� E � A E 4

FC �B�� �� C A � E � E ���� �� E �� � � A �

C �B�� �� C A �� ���� �� E 7�� E 9� A �7

�C �B�� �� C A )�� E 9� � �7� ���� �� E �� E � A 8)

+������ � �*��� �� ��� �� �� ����� ��� ������ �� E �E �

�A �� ��� ����

+������ � ��� ��� ���� �� �� �� ���� � � 3� �� ��� �� ���� � $�� ����������� ����� � �>���� ��� � ���� �� �� �� �� �������������� ��� ��� ��� � �����D

Page 151: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)�(� %��"��� �<�

*���� )�9( 3����� ������ �� �� ����

+������ � ��� �� 6���������� ��� �� ���� � ��� �� ����� �� �� ������ ������ 7� � �#6� 7�� B.� $��� )�9C� 3�������� ��� ������� �� � � ������ � � �� �������� �� �� � � �� �� ���� �� ���� ����

�B�� �C A ����

�� � �� �� �� �����*��� � ������ �� � � � � ��� �#� � ���� �� �B�� �C�

+������ � $��� �������� �� ��� ���� �� ����� ���� ����� �� ����� �� ���������� � �#6� �� ����� ��� ��8 ������>�� �� �� �#� �� ������ �� �� ������ ���� ��� ��D

+������ � �0� ������� �� �������� �� � � ��� ����� � A �E � E � !� ; ��������� ����� ��� ������� ��� ������� �� �� ����� �������

� A�;B;� �CB;� �CB;� C

���� �� ����� �� �� ����� 3��� !������� ����� ���������� ��� �� $������������ � ��� �� �#� �� ��������

+������ � %.� �� ��������� ��� ������ � �� ����� �� ���� �� $��� )�)� *��� �� ����6���� ������� ��� �� ��� ������ ��������� ���� �� ���� �� � �������� #� <� 8� 3��� !������� ����� ���������� ��� �� $��� ��������� �� �#� �������

Page 152: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�<7 �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

��

*���� )�)( 0� ������� ��� ������ � �� �����

��� ��� ���� ������� ����� �� ������� ��� �� ������� �� � A ���� �� �� ���

� � � �� �������� � � �� �� ������������ ���������

+������ � �0� ������ �� ���� � �6 �� ������ �� � ����� = � > � *������ ��� ���� ���� � ������� �� = � � ������� �� > �� ���� �� �������

� B�� �C A ���E 7�� � �� E ��

��

���� �� �� ����� �������� �� = � > �������� �� ���� ���� ��� ��� ������� �������� >�� �6� �� ���� ���� ��� �������� �� ��� �� �� ������ ���� ������� ��D

Page 153: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

����

+������ � �8 �C �� A ��� �B�� �C�

�C �� A �B�� �C � �� � � A � � � A ���FC �� A �B�� �C � �� � �E � � ��C �� A �B�� �C � �� � �� ���� $��� ������� � ��� �� �� � A �

�E � �

�C �� A ��� ������ �� ������ � ��� � ���� <�

+������ � �8 �� ��� ����� �� � ��� ���� � � ������� �� ��� �# ���� ������� ��� �B�� �C A ��

+������ � $8 " ����������� �� ���� ����� ���� ��(�C �B�� �C A �

��

�C �B�� �C A ��� �

FC �B�� �C A ��� � �

C �B�� �C A ��B< F � � � )C

�C �B�� �C A ��� ������

�C �B�� �C A �� F B9�C

+������ � �8 �C " 6�������������( �B�� �� C A ������ " �������������( �B!� �� "C A !� ��� "��%� ���� &��C " 6�������������( �B�� �� C A �

����� " ������������( �B!� �� "C A �

%��

FC " 6�������������( �B�� �� C A ��

�� " ������������( �B!� �� "C A ���� "�

C " 6�������������( �B�� �� C A �� ����

� " ������������( �B!� �� "C A! F B7�C ��" ���"��C " 6�������������( �B�� �� C A B� � � C ���� � ������ � ������������� � �

�� � E �

�� " ������������( �B!� �� "C A ! F B"CB��� C ���� � ������

� ������������� � �

�� � E �

��

�C " 6�������������( �B�� �� C A �� � 7�� " ������������( �B!� �� "C A!�B9 ��� "� 7C�

+������ � %8 " ��:!0 ��� ������� ����� �� �� �� �#����� �������(

�<9

Page 154: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�<) �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

�C $%��!&���$���"�#��Q�����������������C $%��!&�'��Q���Q!� ������������!!��FC $%��!&��Q'�#(��Q!��Q��'����Q ����##����##��

+������ � �8 �� ( " ��:!0 ��� ������� ��$%����$%��!& ���� �6������ >� � �� �� ������� )���$%����� ��� �� ���6��� ���

+������ �8 �C � �� ������� �� �� ����� ������� �C ( �� �� ��� FC � ��������� C � �� ������� �C ) �� ���� �� �� � ������

+������ 8 �C � �� ������� ��� �C ( �� ������� ��� FC � �� ������ ���C � �� ������� ��� �C ) �� ������� ��� �C * �� ������ ��

+������ �8 �C ������� �C �� ��� FC ������� �� �� ����� ������� C ��������C �� ��� �C ������� �C ������� �� �� ����� ������� �C �� ��� �C ������

+������ �8 �C >���( 3��� � ������� �$�� �������C >���( .� �� �� �� ������� � � ( � � � ( � ������� !� � ���� �� ���� � ������ � ���� ���� �� �� ��� �C�FC >���( 3��� �� ������� �$�� ���� �� ����C >���( 3��� �� ���� FC�

+������ �8 �C >���( �� ����� ���� ��� �� B� � (C� A �� � (� �B� �(C� A �� � (�� 3��� ���� ����� �� �� �������� ��� ���� 7�)��C >���( 3��� �� �� ( A � � (��

+������ $8 �C *#���� �4�� ���������� �� � � �� ��� �� �� ����

9 � � $��� �� ���� ? ��� �� �4� � �� � 9 ���� � ? ��C >���( ��� � � ���� �� �� � �� �� � �� ���� ���� � ��� ����� $��� �� � � � ��� �� �� ���� 4 �� �4� �� � � �� 4 � �� 3��� ���� ��� �� ������� ����� ���� �� 0� �� �� �� �� � ���� ���#��� �� ����� � �( !� � A B���C� 4� A

���

FC >���( ��� � � ���� �� ������ �� $��� �� ���� � � $� � ���� �� � ��*� #� �� �� � �� �� $��� �� �#��� �� ���� � � � ���������� �� ��C >���( ��� � � �� �� � ���� ���� ��� �� $��� �� ? ��� �� 4� A � ������ � ? � ���� �� �� ���� �� �B�C A ���

����B4�C� ��� � � ����

�� � ���� �� �� � ���� � ��� �� � ( *#� � �� �B�C A ������

�B4�C �� ����

�#���� �4�� � ���������� �� �� ��� �� �� � ���� ������ �� �$�� ��������� ���� �� �� �� � �� �� � �B�C A ���

����B4�C �� ���� �#���� �4�� �

���������� �� � �� �� � ����������� � �� *� �� �� � ���� ��� �� ���� �� �

Page 155: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)�(� %��"��� �<<

���� �� ����������� � � � �� �� #�� �� �� ������ �� �#��� � ������������ �� ��� ��� ���

����B4�C A �B�C� B3��� Æ A �

��C

+������ �8 �C 7�� �C �� FC �� C �

+������ %8 �C >���(B�� �C �� �� ����� � ��������� =��� ������� �� ���C 0� � ����� ���� ��� ��� �� ��FC .��� ���� =��� ������� �� � �

���

C 0� � ����� ����� >���( ������ � ������ ��� ����� �������C 0� � ����� ����� >���( +��� #� �������� � A � � � A ���C =��� ������� �� �� >���( .���� ��� �������������C =��� ������� �� �� >���( .���� ��� �������������C .��� ���� =��� ������� �� �

���

�C 0� � ����� ����� .��������� ���� ������� ���� ��� ������� � A � �� A 7��

+������ �8 >���( 3��� ������ 7�97 � ������ 7�99

+������ �&8 �C >���( ���� �$�� ���� �� ����������

+������ ��8 �C >���( 1� ������� �#���� �� � � ���������� �4� � �*� ��4� *� � �*� � �4� � �4� *���C >���( *��� �� � �� � �� ����������� � � ��� � � �� �#���� �� ��B4C� �B�C� A� �4� �� � ��� �� �� 3��� ������� ��������� ��� �� ���� �C�FC >���( 3��� �� ���� �C� ������ 7�97 � ������ 7�99�

+������ � 8 >���( 3��� �� ���������� ���������

+������ ��8 >���( !� 9 A ���� 3��� � �� ���������� �������� �� �����

�� �4 � �� � �4� � &� � �� �B4C � 9 A ���

�������

+������ ��8 �C ��B�� �C A B9��� E 9��� �� E �7���C��C ��B�� �C A B������

��������

��C�

FC ��B�� �C A B� ��B�E ��C��7� ��B� E ��CC�C ��B�� �C A B7� ��B���C E �� ��

�C�

�C ��B�� �� C A B��� ����B�E �C��C�

�C ��B�� �� C A B �

���� ���� ������ ��� �

������ � ��� �

����C�

�C ��B�� �� C A B ������

� ������

� ��F���B�E �CC�

�C ��B�� �� � C A B�B� E C������� 9B� E C������� 7������� ������C�

Page 156: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�<; �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

+������ ��8 �C � �BB�� 7CI B9���CC A ���C � �BB�� �CI B��� �CC A ��FC � �BB�� �� �CI B�� ����CC A ��C � �BB�

�� �� �CI B��� �� 7CC A 7

+������ �$8 �C " ��������� ���� �� ������� B7)� �59C��C " ��������� ���� �� ������� B�� �� �C�

+������ ��8 �C A 7����9� �C A �� ���� �

�9E �

��� FC A 9�E4�E8�

C A �

+������ �%8 �C ��7�E A �� �C <�E7;�E)� A �;� FC �7���8�E�9 A58 E �

�9

+������ ��8 ����

A ��

��

��

��E ��

������

A 8��� E �����

A ��

��

��

��E ��

������

A 8��� E 7�

+������ &8 ����

A ��

��

��

��E ��

������

A ������ � 7� � B7�� E C������ � 7�����

A ��

��

��

��E ��

������

A ������ � 7�� B7�� E C������ � 7B E �C���

A ��

��

��

�E ��

�����

A ������ � B7�� E C������ � 7�

+������ �8 >���( 3��� ������������� �� �� ����� ���� ���� ����!B�C A �B� B�C� � B�CC� >�� ! A � �

����� !�B�C A ��

��� ��� �� ��� ��

+������ 8 >���( 3��� ������������� �� �� ����� ���� ���� ����)�B �B�C� �B�CC�

+������ �8 >���( 3��� �� P� � � �BB�� �CI BP��P�CC��� ����� � ��������( P� � 9�8 ��

+������ �8 �C 6�B�� �C A

�;� ;� E )�

;�E )� )�

�C 6�B�� �C A

�� F �

F � �� �� ��

FC 6�B�� �C A

�B�� E )�E 7C���� �B�� E 7�C����

�B�� E 7�C���� ������

C 6�B�� �C A

��7 � 7�� �7� �)�7� �)� �7��

��

+������ �8 �C � �B�C A 7� �� ��� F �

��

Page 157: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)�(� %��"��� �<5

�C >���( 3��� �$�� ���� �� �� �������� ��� �� ����� �� � �B�C�FC >���( =��� ������� ���

���

�7� �� �

�� F �

��� � ����� �����

C � �� ���������� ��� ���� ���

+������ $8 �C ��B�� �I �� �C A ��C ��B�� �I C A �FC ��� $��� ���� B�� �C ���������� ��� ��� �� �B�� �C A ��C � �� ���� �� �� ���� �� �� �� �� �� ���� � ������� �������� �� � ������ ����

+������ �8 �C ��B�� �I �� �C A ��C ��B�� �I ��� ��C A ��FC �� ��������������� �� �$���� � ��

��A ��B�� �I �� �C A � � ��

��A

��B�� �I �� �C A �� ����� ��� ��B�� �C A B�� �C�C *� �� �� �� �� �B�� �I �� �C A � ��� ��B�� �C � B�� �C A �� �C ����� �� ������ ���� �� �� ��� � ���� �� ��� B�� ��������������� �� � ����� ���� � ���� ���� ��� ����C

+������ %8 �C >���( 1��� �� ���� ������� ���� ��� �

�B�� �C ���� �����

��� �������������C ��

��A �����������

������� ��

��A �����������

������

FC >���( *��� $��� ���� � ��

��B�� �C ������ � �� ���� ������� ���

���

�� ���� ��

����� ��� ��

��B�� �C A � � ��

��B�� �C A ��

C � �� �� ��� ��

��� ��

���� ������������ � �� � ����

�C ������

����

� �� ����

� �

�A � � ���

���

����

� �� ����

� �

�A ���

�C ��$�� ���� �� ���

����B�� �C � ���

����B�� �C �� ����� �� �� �#� �� � �� ���

�� �� ���� �������� � �� ���� �C� ����� �� ���

����B�� �C A � � ���

����B�� �C A

��� .������ 7�87 ��� �� �� �� �� ���� �� �� ���

����B�� �C A ���

����B�� �C� ��� �

�� ���� ���

+������ � �8 �C B7���C� �C B�� �C� FC B���� �C� C B��� �C� �C B�

���)C

+������ � 8 �C ������� � B���7C��C .��� ���� � B��� �C�FC ������� � B�� �C�C ��� ���� � B�

����

�C�

�C .��� ���� � B�7� �C

Page 158: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�<8 �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

+������ � �8 ������� � B�� �� �C� ��� ���� � B7� 7� 7C� B7��7��7C� B�7� 7��7C� B�7��7� 7C�

+������ � �8 �C �!��

A )� ������

� �!��

A 7� ������

�C � A �

����� � A A �

����

+������ � �8 �C ����

A 78 � )� � 9� � ����

A 78 � )� � 9�� � ��� �������� ���� �� � A � A )��C ��� ����� ����� � A ��7 ���� � A � A )�

+������ � $8 �C �$��

A ����� ;�� � �$

��A ��

��� ;��

�C � ��� ��� ���� ��� ��)� ���� � A � A ��

+������ � �8 >���( *������ ��� �� ���� �� � B�� �C A <��B���CB��)��CEB)<���� E <��B�� 7�CCB� � ;��C�*����� ����� � ���� ���� � A ;<� � � A 5<�� ����� �� �� ��� �����

+������ � %8 �C :��� �� ������� ���� � A �7���� � � A �7����� �������� � A 9;�������� � % A )8����������C 2� ������� ���� ��� �� ������� � A 4���� � � A 8����� ����� ���� A <��<������ � % A <��<�������FC :��� �� ������� ���� � A 4���� � � A �7����� ����� ��� � A 9��<������� % A <8�<�������

+������ � �8 �C .� �� �� �� 9�5� FC >���( 36�� ������ �� ���� ���� � �C�

+������ � �&8 �C ��� � �� ��� $��� �� ���� � A � ��� �� �B�C A �B�C ��� 1��� ����� �� �� �� � ����� � � � �� � �B�C A �� ��� � ����� ����� ���� �� ��� �� �� ����� ������� ���� �� � ���� �� �� ������ ��� ������ �� $��� �� �� ���� � ��� �� �B�C � �B�C� " �������� �� � � �� ���� �� �� � � � $��� �� �� ���� � �� �B�C � �B�C� ��� � �� ������� ��� ����� 2� ��� ��� �� �� � �B�C A �B�C �� ���� �� �� �� ���� ��� �� � ��� �� ��� �� �� ����� ������� ����� ��� �B�C � �B�C� *���B�C � �B�C � �B�C ��� �� �� ������� �������� $��� �� ���� � ������ � � ��� �� �B�C A �B�C� � � A � ��� � � � ������ �� ���� �� �� ������� ���� �� �� �� ���� � �� �� � �� �� �� ��� �� ����� �������FC >���( *� �� �� � �� B�� �C ���� �� �� ������ ��� ���� ��� � � �� �������� � A ��

Page 159: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

)�(� %��"��� �<4

+������ � ��8 �C 0� ���������� �������� ��� �� � ��� �� ������� ������������� L�� �N� !� � ���� ���� ������� ������� .��� � � � �� �������� ��� �� � A � � � A ��FC >���( �������������� ��� ���������

+������ � �8 �C ��� ���� � B���� ��C� ��� ������ �� �B��

�� ��C A <� ����

���� � B�����

�C� ��������� �� �B�

����

�C A �<�

�C ��� ���� � B ���

�<� �

�<C� ��� ������ �� �B �

��

�<� �

�<C A �

�<� ����

���� � B� ���

�<���

�<C� ��������� �� �B� �

��

�<���

�<C A ��

�<�

FC ��� ���� � B7����C� ��������� �� �B7����C A ��)�C ��� ���� � B9���C � B�9� �C� ��������� �B9���C A �9 � �B�9� �C A�9� ��� ���� � B9� �C � B�9���C� ��� ������ �B9� �C A 9 � �B�9���C A9��C ��� ���� � B����C� ������� �B����C A <� ��� ���� � B5� 9<C� ��� ����� �B5� 9<C A 7<45��C >�� ����� ��� � ����� ��� ������C ��� ���� � B�� �C� ������� �B�� �C A ���C ��� ���� � B�;�� <C� ��� ���� �B�;�� <C A 7����

+������ � 8 �C ��� ���� � B7��9� 7C� ������������� �� �B7��9� 7C A �5��C "���� ����� �� �����FC -���� �� ���� � B������ �C � B�� ����C� �� � �� ������� ��� ����� ������ ����� �� ������� �� �B������ �C A �� � �B�� ����C A ��C ��� �� �) ����� �� ����( B�7�9� �� �C� B7�9� �� �C B����;� �C� B���;� �C�B�� ���7C� B�� �� 7C� B�7���7���

�9C� B�7���7� �

�9C� B�7��7���

�9C� B�7��7� �

�9C�

B7���7����

�9C� B7���7� �

�9C� B7�

�7���

�9C � B7�

�7� �

�9C� ��� �� �

����� ��� ���� �� ��

�; � ��� � ������� B�7���7� �

�9C� B�7��7���

�9C�

B7���7����

�9C � B7�

�7� �

�9C� ��� �� ����� ������� ����

�; � ���

� ������� B�7���7����

�9C� B�7��7� �

�9C� B7���7� �

�9C � B7�

�7���

�9C�

�� �� ������ ����� �� ������� �� ��� ���� � ��� ����� � ���� ��� ���C ��� ���� � B��5)���

���9�5)C � B

�5)���

�� 9�5)C� ��� ������ ��

�B��5)������9�5)C A �B

�5)���

�� 9�5)C A 458� ��� ���� � B�� 7

�7�� �C�

��������� �� �B�� 7�7�� �C A �7)�7�� ��� ����� �� ������ � B���7�7�� �C

�� ������� ��� ����� ��� � ��� ����� � ���� �B�� 7�7�� �C A 7)

�7��

+������ � �8 ��� ��� �� �� ����� �� ��

��� � ��� �� ������� B��

�� ��C

� B������

�C�

+������ � �8 3����� ��� ���� ������� � �� ������� ��7� � �#6��

Page 160: kuweb.math.ku.dk/noter/filer/matintro-04.pdf · –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456 y –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z –2–1 123456. –15 –10 –5 0 5 10 15 20 z

�;� �������� )� ��" �!"�� ,����������% ,��%*�

��� ���� �

����

+������ � �8 � ��� ��� ���� ���� � A ���� � � A

������

+������ � $8 .�#� �� ���� �� );;<; �������

+������ � �8 >���( 3������ � � �� ���� �� �� �� � � � ��� ��� �#��� �� �� ��� ����� �� � ���� �� �� �� �� ������ ��������� � ��������������� ����������������� �� �� �#� �� ������� �� �� ���� �����

+������ � %8 ������� �� ���� �� � A ����B ��#E �� <E �� 8C� ��� ������

�� � � �� ���� �� �� #� < � 8 ���� �������� �� 7 A #E < E 8� $������ �� �� ���� ���� ��������� ��� �#� � ������

+������ � �8 ��� ��� ����� ������� ��� �� � A ��7< � ��� ��� A 7< � � A 5<� >� ��� ����� �� � ���� ��� �� ��� ���� ���� �E� � ����