SVEUCILISTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA MATEMATIKU

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Tea Pravdic

Kvadratna forma i krivulje drugog reda

Zavrsni rad

Osijek, 2019.

SVEUCILISTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA MATEMATIKU

Tea Pravdic

Kvadratna forma i krivulje drugog reda

Zavrsni rad

Mentor:doc.dr.sc. Suzana Miodragovic

Osijek, 2019.

Sadrzaj

Uvod 3

Kvadratna forma 4

Ispitivanje definitnosti kvadratne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Krivulje drugog reda 10

Literatura 19

Sazetak

Kvadratna forma je homogeni polinom drugog stupnja od n varijabli. Kvadratne

forme spominju se u raznim granama matematike (teorija brojeva, linearna algebra, di-

ferencijalna geometrija, diferencijalna topologija, ...). U prvom poglavlju cemo definirati

definitnost kvadratne forme. Zatim, prelazimo na skupove tocaka ravnine, kao sto su

kruznica, elipsa, hiperbola i parabola koje imaju niz zajednickih svojstava, pa ih jednim

imenom zovemo krivulje drugog reda. Jedno od zajednickih svojstava navedenih krivulja

je da se svaka od njih moze zapisati kao skup svih nultocki polinoma drugog stupnja.

Veza izmedu kvadratne forme i krivulja drugog reda omogucuje nam odredivanje o kojoj

je krivulji rijec i onda kada nam je ona zadana opcom jednadzbom, tj. kada nemamo

zadanu jednadzbu krivulje sa sredistem u ishodistu koordinatnog sustava. Najvazniji dio

zavrsnog rada, veza izmedu kvadratne forme i krivulja drugog reda, poopcen je primjerima

u svrhu boljeg razumijevanja ove teme.

Kljucne rijeci: kvadratna forma, krivulja drugog reda, hiperbola, elipsa, parabola, po-

linom

1

Abstract

Quadratic form is a homogeneous second degree polynomial of n variables. The

quadratic form is used in various branches of mathematics (number theory, linear algebra,

differential geometry, differential topology,...). In the first chapter we will define the

definiteness of the quadratic form. Next, we move to sets of points of the plane, such as

a circle, an ellipse, a hyperbola, and a parabola that have a number of common features,

and we call them second order curves by one name. One of the common features of

the curves mentioned is that each of them can be written as a set of all null points of

second order polynomial. The connection between the quadratic form and the second-

order curves allows us to determine what curve it is and when it is given to us by the

general equation, that is, when we do not have a given curve equation centered at the

origin of the coordinate system. The most important part of the this paper, the link

between the quadratic form and the second-order curves, is generalized with examples for

the purpose of a better understanding of this topic.

Key words: quadratic forms, second-oder curve, ellipse, hyperbole, parabola, polynomial

2

Uvod

Izmedu skupa tocaka ravnine M i vektorskog prostora X0(M) postoji bijekcija, pa

cemo svakoj tocki P pridruziti njezin radij-vektor−→OP . Definirajmo sada preslikavanje

A : X0 → X0 koje ce radij-vektor−→OP preslikati u radij-vektor

−−→OP

′, tj.

A(−→OP ) =

−−→OP

′=−−−−→Of(P ),

gdje je f : M → M funkcija koja preslikava ravninu M u ravninu M . Preslikavanje Azvat cemo operator.

Definicija 1. Kazemo da je operator A : X0 → X0 linearan operator ako (∀λ, µ ∈R)(∀x, y ∈ X0) vrijedi

A(λx+ µy) = λA(x) + µA(y).

Definicija 2. Kazemo da je kompleksni broj λ ∈ C svojstvena vrijednost linearnog

operatora A : X0 → X0 ako postoji ne-nul vektor x 6= 0, takav da vrijedi

Ax = λx.

Tada vektor x nazivamo svojstveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ.

Definicija 3. Kazemo da je linearni operator A : X0 → X0 simetrican ako vrijedi

〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉, ∀x, y ∈ X0.

Teorem 1. (Teorem o dijagonalizaciji simetricnog operatora.) Ako je A : X0 →X0 simetricni linearni operator na vektorskom prostoru X0 = X0(M), onda postoje realni

brojevi λ1, λ2 ∈ R i ortonormirana baza {e′1, e′2} vektorskog prostora X0, tako da bude

Ae′1 = λ1e′

1, Ae′2 = λ2e′

2.

Svojstvene vrijednosti λ1 i λ2 simetricnog linearnog operatora A : X0 → X0 su realne i

λ1 6= λ2, a odgovarajuci svojstveni vektori v1 i v2 su medusobno okomiti.

Vektore ortonormirane baze za X0 dobijemo tako da:

e′

1 =v1‖v1‖

, e′

2 =v2‖v2‖

.

Definicija 4. Kazemo da je linearni operator U : X0 → X0 ortogonalan operator ako je

〈Ux,Uy〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ X0.

Definicija 5. Kvadratnu matricu A kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki

3

0 nazivano dijagonalna matrica.

Kvadratna forma

Funkcija f : Rn → R definirana formulom

f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =n∑

i,j=1

aijxixj, aij ∈ R, x ∈ Rn

naziva se kvadratna forma.

Kvadratnu formu mozemo prikazati pomocu skalarnog produkta

〈Ax, x〉 =n∑i=1

( n∑j=1

aijxj

)xi =

n∑i,j=1

aijxixj = xTAx,

gdje su x = [x1 . . . xn]T i A = (aij), a i-ta komponenta vektora Ax jednaka

(Ax)i =n∑j=1

aijxj.

Definicija 1. Kvadratnu funkciju dviju varijabli q : R2 → R,

q(x1, x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22, a11, a12, a22 ∈ R

nazivamo kvadratna forma dviju varijabli.

Napomena. Lako se moze uociti da svakoj matrici odgovara jedinstvena kvadratna

forma, dok jednoj kvadranoj formi odgovara vise kvadratnih matrica. Na primjer, opcenito

za matricu drugog reda kvadratna forma ima oblik:

[x1 x2

] [a11 a12

a21 a22

][x1

x2

]= a11x

21 + a12x1x2 + a21x2x1 + a22x

22, aij ∈ R, i, j ∈ {1, 2}.

Za matricu A =

[2 1

1 3

]odgovarajuca kvadratna forma je:

[x1 x2

] [2 1

1 3

][x1

x2

]=[x1 x2

] [2x1 + x2

x1 + 3x2

]= 2x21 + 2x1x2 + 3x22,

4

a za matricu B =

2 0 2

4 0 −1

0 −1 3

kvadratna forma je:

[x y z

]2 0 2

4 0 −1

0 −1 3

xyz

= 2x2 + 2xz + 4xy − 2yz + 3z2.

Promotrimo i obrat. Spomenutoj kvadratnoj formi 2x2+2xz+4xy−2yz+3z2 odgovaraju,

uz gornju, jos i matrice:2 1 2

3 0 −1

0 −1 3

, 2 5 2

−1 0 11

0 −3 3

,2 2 1

2 0 −1

1 −1 3

, itd.

Primijetimo da sve one imaju iste dijagonalne elemente, kao i zbroj aij +aji dvaju eleme-

nata simetricnih s obzirom na glavnu dijagonalu. Taj je zbroj upravo koeficijent uz clan

xixj u kvadratnoj formi. Odavde takoder mozemo zakljuciti da ce za zadanu kvadratnu

formu postojati jedinstvena odgovarajuca simetricna matrica. Zato cemo u daljnjem pro-

matrati samo simetricne matrice.

Forma koja je pridruzena dijagonalnoj matrici je kanonska.

Linearnom operatoru A : X0 → X0 u bazi {e1, e2} pripada matrica A =

[a11 a12

a21 a22

]koju

zovemo matrica kvadratne forme.

Prema prethodnoj napomeni jasno nam je da cemo za matricu kvadratne forme uzeti da

je simetricna, tj. operator A je simetrican.

U nastavku cemo pokazati postupak kojim kvadratnu formu prevodimo u kanonsku

formu.

Ranije smo rekli da kvadratnu formu q(x1, x2) mozemo prikazati kao skalarni produkt

〈Ax, x〉, x ∈ X0 i x = x1e1 + x2e2.

Kako je

Ax = x1Ae1 + x2Ae2 = x1(a11e1 + a12e2) + x2(a12e1 + a22e2)

= (x1a11 + x2a12)e1 + (x1(a12 + x2a22)e2,

imamo

〈Ax, x〉 = x1(x1a11 + x2a12) + x2(x1a12 + x2a22)

= a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22 = q(x1, x2).

5

Nadalje, prema teoremu o dijagonalizaciji simetricnog operatora postoji ortonormirana

baza {e′1, e′2} i λ1, λ2 ∈ R tako da je

Ae′1 = λ1e′

1,

Ae′2 = λ2e′

2,

tj. u novoj bazi {e′1, e′2} linearnom operatoru A pripada dijagonalna matrica D =

diag(λ1, λ2) =

[λ1 0

0 λ2

]. Ortonormirana baza {e′1, e

′2} se dobije od baze {e1, e2} rota-

cijom za kut ϕ(cosϕ = e1 · e′1) u pozitivnom smjeru.

U novoj bazi {e′1, e′2} vektoru x pripadaju kordinate x = y1e

′1 + y2e

′2, a skalarni produkt

〈Ax, x〉 postaje:

〈Ax, x〉 = A(y1e′

1 + y2e′

2)(y1e′

1 + y2e′

2)

= (y1Ae′

1 + y2Ae′

2)(y1e′

1 + y2e′

2)

= (y1λ1e′

1 + y2λ1e′

2)(y1e′

1 + y2e′

2)

= λ1(y1)2 + λ2(y2)

2.

Izmedu starih i novih koordinata vektora x postoji veza:

y1 = x1 cos ϕ+ x2 sin ϕ,

y2 = −x1 sin ϕ+ x2 cos ϕ,

pa za svaki x1, x2 ∈ R vrijedi

a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22 = λ1(x1 cos ϕ+ x2 sin ϕ)2 + λ2(−x1 sin ϕ+ x2 cos ϕ)2.

Na osnovi definicije jednakosti polinoma dobivamo sljedece jednakosti:

a11 = λ1 cos2ϕ+ λ2 sin2ϕ,

a22 = λ1 sin2ϕ+ λ2 cos2ϕ,

a12 = (λ1 − λ2) sin ϕ cos ϕ,

6

iz kojih racunamo:

det A = a11a22 − a212 = (λ21 + λ22) sin2ϕ cos2ϕ+ λ1λ2( sin4ϕ+ cos4ϕ)− (λ1 − λ2)2 sin2ϕ cos2ϕ

=

(λ21 + λ22 − (λ1 − λ2)2

)︸ ︷︷ ︸

=2λ1λ2

sin2ϕ cos2ϕ+ λ1λ2( sin4ϕ+ cos4ϕ)

= λ1λ2(2 sin2ϕ cos2ϕ+ sin4ϕ+ cos4ϕ) = λ1λ2( sin2ϕ cos2ϕ)2

= λ1λ2,

tr A = a11 + a22 = λ1 + λ2.

Prema tome, koristeci Vieteove formule, svojstveni polinom linearnog operatora Akojem su svojstvene vrijednosti λ1, λ2 mozemo zapisati kao

P (λ) = (λ− λ1)(λ− λ2)

= λ2 − (λ1 + λ2)λ+ λ1λ2

= λ2 − λtr A+ det A.

Primjer 1. Neka je (O; e1, e2) pravokutni koordinatni sustav u ravnini i A =

[17 6

6 8

]matrica kvadratne forme.

• Odgovarajuca kvadratna forma je

q(x1, x2) = 17x21 + 2 · 6x1x2 + 8x22.

• Svojstveni polinom je

P (λ) = λ2 − 25λ+ 100.

Odavde dobijemo svojstvene vrijednosti matrice A, kao nultocke polinoma P ,

λ1 = 5, λ2 = 20.

• Svojsveni vektori su jednaki:

v1 = Ae1 − λ2e1 = −3e1 + 6e2,

v2 = Ae1 − λ1e1 = 12e1 + 6e2.

• Nova baza u kojoj je kvadratna forma kanonska je:

e′

1 =v1‖v1‖

=1√5

(−e1 + 2e2),

e′

2 =v2‖v2‖

=1√5

(2e1 + e2).

7

• Kvadratna forma u novoj bazi ima oblik

q(y1, y2) = λ1y21 + λ2y

22 = 5y21 + 20y22.

Ispitivanje definitnosti kvadratne forme

Definicija 1. Kazemo da je kvadratna forma

q(x1, x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22, a11, a12, a22 ∈ R

• pozitivno semidefinitna ako poprima samo nenegativne vrijednosti, tj. q(x1, x2) ≥0,∀x1, x2 ∈ R;

• pozitivno definitna ako je pozitivno semidefinitna i ako je q(x1, x2) = 0 ⇔ x1 =

x2 = 0;

• negativno semidefinitna ako poprima samo nepozitivne vrijednosti, tj. q(x1, x2) ≤0,∀x1, x2 ∈ R;

• negativno definitna ako je negativno semidefinitna i ako je q(x1, x2) = 0⇔ x1 =

x2 = 0;

• indefinitna ako prima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Neka je (O; e1, e2) pravokutni koordinatni sustav u ravnini, a {e1, e2} ortonormirana baza.

Kao sto smo vidjeli u prethodnim razmatranjima, za kvadratnu formu q : R2 → R vrijedi:

q(x1, x2) = 〈Ax, x〉, (1)

gdje je x = x1e1 + x2e2, a linearni operator A u bazi {e1, e2} zadan je matricom A =[a11 a12

a21 a22

]. Takoder, u novoj ortonormiranoj bazi {e′1, e

′2} definiranoj preko svojstvenih

vektora linearnog operatora A, vrijedi da je

q(y1, y2) = λ1y21 + λ2y

22,

gdje je x = y1e′1 + y2e

′2, a λ1, λ2 ∈ R za koje vrijedi:

λ1λ2 = det A == a11a22 − a212, λ1 + λ2 = tr A = a11 + a22.

Kriteriji za ispitivanje kvadratne forme

• Kvadratna forma q je pozitivno definitna ako i samo ako je a11 > 0 i det A > 0.

8

Dokaz:

Neka je q pozitivno definitna kvadratna forma.

Iz jednakosti (1) vrijedi da je q(y1, y2) = λ1y21 + λ2y

22 ≥ 0⇒ λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0.

Kako je q(y1, y2) = 0 ⇔ y1 = y2 = 0, slijedi da je λ1 > 0, λ2 > 0. Prema tome je

det A = λ1λ2 > 0.

Iz det A = a11a22−a212 > 0⇒ a11a22 > a212 ≥ 0⇒ a11a22 > 0, slijedi da je a11a22 6= 0

i a11 i a22 su istog predznaka.

Nadalje, tr A = λ1 +λ2 = a11 + a22, a kako je λ1 +λ2 > 0, tada je i a11 + a22 > 0⇒a11 > 0, a22 > 0.

Obrnuto, ako je a11 > 0 i det A > 0 iz det A = a11a22 − a212 > 0 ⇒ a11a22 > a212 ≥0⇒ a11a22 > 0.

Kako su a11 i a22 istog predznaka, slijedi da je a22 > 0.

Takoder, det A = λ1λ2 > 0⇒ λ1, λ2 6= 0 i istog su predznaka.

Sada iz a11 + a22︸ ︷︷ ︸>0

= tr A = λ1 + λ2 > 0, slijedi da su λ1, λ2 > 0, pa je q(y1, y2) =

λ1y21 + λ2y

22 pozitivno definitna. �

Slicnim postupkom se mogu dokazati i sljedeci kriteriji:

• Kvadratna forma q je pozitivno semidefinitna ako i samo ako je a11 ≥ 0, a22 ≥ 0 i

det A ≥ 0.

• Kvadratna forma q je negativno definitna ako i samo ako je a11 < 0 i det A > 0.

• Kvadratna forma q je negativno semidefinitna ako i samo ako je a11 ≤ 0, a22 ≤ 0 i

det A ≥ 0.

• Kvadratna forma q je indefinitna ako i samo ako je det A < 0.

Primjer 2. Ispitajmo definitnost sljedecih kvadratnih formi:

a) q(x1, x2) = x21 − 4x1x2 − 2x22

Pripadna matrica je A =

[1 −2

−2 −2

]. Kako je det A = −6 < 0 kvadratna forma je

indefinitna.

b) q(x1, x2) = −x21 + 2x1x2 − 2x22

Pripadna matrica je A =

[−1 1

1 −2

]. Kvadratna forma je negativno definitna jer je

det A = 1 > 0, a a11 = −1 < 0.

c) q(x1, x2) = 9x21 − 6x1x2 + 2x22

Pripadna matrica je A =

[9 −3

−3 2

]. Kvadratna forma je pozitivno definitna jer je

a11 > 0 i det A > 0.

9

Krivulje drugog reda

O krivuljama drugog reda radove su pisali vec stari Grci. To su bili Platonovi ucenici koji

su pisali o kruznici, elipsi, paraboli i hiperboli. No, vazna znanstvena primjena tih radova

pojavila se tek u 17. stoljecu, u trenutku kada je Johannes Kepler otkrio da se planeti

krecu po elipsi i Galileo dokazao da je putanja projektila parabola.

Definicija 1. Skup svih tocaka projektivne ravnine cije koordinate zadovoljavaju algebar-

sku jednadzbu drugog reda

a00x20 + a11x

21 + a22x

22 + 2a01x0x1 + 2a02x0x2 + 2a12x1x2 = 0

nazivamo konikom ili krivuljom drugog reda.

Gornji izraz mozemo zapisati i u matricnom obliku:

XTAX = 0

gdje je A simetricna matrica treceg reda. Ukoliko je matrica A regularna tada govorimo

o nesingularnim konikama. S obzirom na presjek konike i nepravog pravca, nesingularne

konike dijelimo u tri skupine:

• Elipsa:x2

a2+y2

b2= 1 (ne sadrzi neprave tocke),

• Parabola: y2 = 2px (sadrzi jednu nepravu tocku),

• Hiperbola:x2

a2− y2

b2= 1 (sijece nepravi pravac u dvije tocke).

Starogrcki matematicari definiraju krivulje drugog reda kao presjeke stosca ravninom,

odakle i potjece hrvatski naziv cunjosjecnice.

Takoder, krivulje drugog reda definiraju se i kao skup svih nultocaka polinoma drugog

reda dviju varijabli P : R2 → R,

P(x1, x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22 + a1x1 + a2x2 + a0, a11, a12, a22, a1, a2, a0 ∈ R,

pri cemu matrica kvadratne forme A =

[a11 a12

a21 a22

]nije nul-matrica.

Tocka (x1, x2) ravnine M je nultocka polinoma P ako je P(x1, x2) = 0.

Nas cilj je odrediti o kojoj je krivulji rijec kada nam nisu zadane jednadzbe krivulja

drugog reda sa sredistem u ishodistu. To vidimo u sljedecem primjeru.

Primjer. Identificirajmo skup tocaka dan jednadzbom x21 − 4x22 − 14x1 + 45 = 0 u koor-

dinatnom sustavu x1O1x2.

10

U ovom primjeru nemamo mjesovitog clana, tj. koeficijent a12 je jednak 0, pa nam je

potrebna samo translacija koordinatnog sustava.

Prvo napravimo grupiranje po nepoznanicama:

(x21 − 14x1)− 4x22 + 45 = 0.

Kako bismo se rijesili clana 14x1 svodimo izraz na potpuni kvadrat:

(x1 − 7)2 − 49− 4x22 + 45 = 0

(x1 − 7)2 − 4x22 − 4 = 0.

Sada, stavimo nepoznanice na jednu stranu, a na drugu slobodni clan:

(x1 − 7︸ ︷︷ ︸y1

)2 − 4 x2︸︷︷︸y2

2 = 4.

Ovo nam vec slici na hiperbolu. Uvedemo li supstituciju y1 = x1 − 7, y2 = x2 napravili

smo translaciju ishodista u tocku (7, 0).

Prethodna jednadzba sada izgleda ovako:

y21 − 4y22 = 4.

Podijelimo li tu jednadzbu s 4 imamoy2122−y

22

1= 1, a to je hiperbola u novom koordinatnom

sustavu y1Oy2.

Slika 1: Skup svih rjesenja jednadzbe x21 − 4x22 − 14x1 + 45 = 0.

Teorem 1. Neka je S ⊂ M skup svih nultocaka polinoma P u pravokutnom koordinarm

sustavu (O; e1, e2) i neka je A 6= 0 matrica pripadne kvadratne forme. Tada

11

1. ako je det A > 0, onda je S elipsa ili jednoclan ili prazan skup;

2. ako je det A < 0, onda je S hiperbola ili unija dvaju pravaca koji se sijeku;

3. ako je det A = 0, onda je S parabola ili unija dvaju paralelnih pravaca ili jedan

pravac ili prazan skup.

Dokaz. Ako uvedemo vektore x = x1e1 + x2e2 i a = a1e1 + a2e2, jednadzbu

a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22 + a1x1 + a2x2 + a0 = 0

mozemo zapisati kao 〈Ax, x〉+ 〈a, x〉+a0 = 0, gdje je A simetricni linearni operator kome

je u bazi {e1, e2} pridruzena matrica A.

Neka je {e′1, e′2} baza u kojoj je matrica A dijagonalna, A =

[λ1 0

0 λ2

]. Neka x i a u

novoj bazi {e′1, e′2} imaju oblik

x = y1e′

1 + y2e′

2, a = b1e′

1 + b2e′

2.

Tada pocetna jednadzba prelazi u oblik

λ1y21 + λ2y

22 + b1y1 + b2y2 + a0 = 0, λ1, λ2, b1, b2, a0 ∈ R. (2)

Primijetimo da ova jednadzba nema mjesoviti clan.

Kako je A 6= 0, barem jedna svojstvena vrijednost linearnog operatora A je razlicita

od nule. BSO., neka je λ1 6= 0 i λ1 > 0.

Razmatramo dva slucaja:

I. λ2 6= 0

λ1y21 + b1y1 = λ1

(y1 +

b12λ1︸ ︷︷ ︸

z1

)2

− b214λ1

λ2y22 + b2y2 = λ2

(y2 +

b22λ2︸ ︷︷ ︸

z2

)2

− b224λ2

Tada jednadzba (2) ima oblik

λ1z21 −

b214λ1

+ λ2z22 −

b224λ2

+ a0 = 0,

tj.

λ1z21 + λ2z

22 = γ, γ =

b214λ1

+b22

4λ2− a0. (3)

12

1) Ako je λ2 > 0, situacija je karakterizirana jednostavnim kriterijem: det A > 0.

Stoga, jednadzba (3) moze predstavljati: elipsu (za γ > 0) ili jednoclan skup

(za γ = 0) ili prazan skup (za γ < 0)

2) Ako je λ < 0, situacija je karakterizirana kriterijem: det A < 0. Kako je u

ovom slucaju λ1 > 0, a λ2 < 0, jednadzba (3) moze predstavljati: hiperbolu

(za γ 6= 0) ili uniju dvaju pravaca koji se sijeku (za γ = 0).

II. λ2 = 0

1) b2 6= 0.

U ovom slucaju jednadzbu (2) mozemo zapisati u obliku

λ1z21 + b2z2 + β = 0, (4)

gdje je

z1 = y1 +b1

2λ1, z2 = y2, β = a0 −

b214λ1

.

Jednadzba (4) predstavlja parabolu.

2) b2 = 0

Jednadzba (2) izgleda ovako:

λ1y21 + b1y1 + a0 = 0,

i nakon dijeljenja s λ1 i svodenja na potpuni kvadrat postaje(y1 +

b12λ1

)2

+ 0 · y2 −b21

4λ21+a0λ1

= 0

i moze se zapisati u obliku

z21 + 0 · z2 = γ (5)

gdje je

z1 = y1 +b1

2λ1, z2 = y2, γ =

1

λ1

(b21

4λ1− a0

).

Skup svih rjesenja jednadzbe (5) za γ < 0 je prazan skup, za γ = 0 pravac

z1 + 0 · z2 = 0, a za γ > 0 to je unija paralelnih pravaca

z1 + 0 · z2 =√γ, z1 + 0 · z2 = −√γ.

Time je teorem dokazan. �

13

Primjer 1. U pravokutnom koordinatnom sustavu (O; e1, e2) odredimo skup svih rjesenja

jednadzbe

17x21 + 12x1x2 + 8x22 + 20√

5x1 + 20 = 0.

Odmah iz jednadzbe mozemo iscitati da cemo uz translaciju imati i rotaciju koordi-

natnog sustava kako bismo presli u novu bazu prostora u kojoj ce nam rjesenje jednadzbe

biti ocito.

Odredimo matricu pripadne kvadratne forme:

A =

[17 6

6 8

].

Determinanta ove matrice iznosi det A = 100, sto je vece od nule i prema prethodnom

teoremu moguca rjesenja su elipsa, jednoclan ili prazan skup. Vektor a, kojeg smo defi-

nirali u prethodnom teoremu, u novoj bazi ima oblik a = 20√

5e1, a a0 = 20 je slobodni

clan pocetne jednadzbe.

Svojstvene vrijednosti dobivamo kao nultocke svojstvenog polinoma P (λ) = λ2−25λ+

100 i to su

λ1 = 20, λ2 = 5.

Svojstveni vektori su

v1 = 12e1 + 6e2,

v2 = −3e1 + 6e2.

Nova baza u koordinatnom sustavu (O1, e′1, e

′2) ima oblik

e′

1 =1√5

(2e1 + e2),

e′

2 =1√5

(−e1 + 2e2).

Skalarni produkt 〈Ax, x〉 u novoj bazi glasi:

〈Ax, x〉 = 20y21 + 5y22.

Kako operator A u novoj bazi ima dijagonalnu matricu rijesili smo se mjesovitog clana.

Ostaje nam jos napraviti translaciju koordinatnog sustava.

Nadalje, b1 = ae′1 = 40, a b2 = ae

′2 = −20 pa pocetna jednadzba prelazi u oblik (2) iz

prethodnog teorema:

20y21 + 5y22 + 40y1 − 20y2 + 20 = 0.

14

Podijelimo ovu jednadzbu brojem 5 i grupiramo po nepoznanicama te dobivamo:

4(y21 + 2y1) + (y22 − 4y2) + 4 = 0.

Svodenjem na potpuni kvadrat imamo

4(y1 + 1)2 − 4 + (y2 − 2)2 = 0.

Sada, uvedemo zamjenu

z1 = y1 + 1, z2 = y2 − 2

te tako translatiramo ishodiste O1 koordinatnog sustava (O1, e′1, e

′2) u tocku O2(−1, 2).

O2 ima koordinate (0, 0) u koordinatnom sustavu z1O2z2.

Jednadzbu 4z21 + z22 = 4 podijelimo s 4 i dobivamo

z211

+z2222

= 1, (6)

a to je elipsa u novom koordinatnom sustavu z1O2z2.

Kako je−−→OO2 = −1e

′1+2e

′2 =−4√

5e1+

3√5e2, veza izmedu koordinata neke tocke T ∈M

u koordinatnom sustavu (O; e1, e2) i koordinatnom sustavu (O2; e′1, e

′2) dana je sljedecom

vektorskom jednakoscu

x = x1e1 + x2e2 =−−→OO2 + z1e

′

1 + z2e′

2 =−4√

5e1 +

3√5e2 +

z1√5

(2e1 + e2) +z2√

5(−e1 + 2e2),

odakle dobivamo

x1 =1√5

(−4 + 2z1 − z2), x2 =1√5

(3 + z1 + 2z2),

odnosno

z1 = 1 +

√5

5x2 +

2√

5

5x1, z2 = −2 +

2√

5

5x2 +

√5

5x1.

Zato jednadzba elipse (6) u koordinatnom sustavu (O; e1, e2) glasi(1 +

√5

5x2 +

2√

5

5x1

)2

1+

(− 2 +

2√

5

5x2 +

√5

5x1

)2

22= 1,

sto odgovara polaznoj jednadzbi.

15

Slika 2: Skup svih rjesenja jednadzbe 17x21 + 12x1x2 + 8x22 + 20√

5x1 + 20 = 0.

Primjer 2. U pravokutnom koordinatnom sustavu (O; e1, e2) odredimo skup svih rjesenja

jednadzbe

9x21 + 24x1x2 + 16x22 + 50x1 − 100x2 + 25 = 0.

U ovom primjeru matrica prisutne kvadratne forme je A =

[9 12

12 16

], vektor a =

50e1 − 100e2, a a0 = 25. Kako je det A = 0 imamo treci slucaj prethodnog teorema.

Svojstvene vrijednosti su jednake:

λ1 = 25,

λ2 = 0,

a svojstveni vektori:

v1 = 9e1 + 12e2,

v2 = −16e1 + 12e2.

Nova baza u koordinatnom sustavu (O1, e′1, e

′2) ima oblik

e′

1 =1

5(3e1 + 4e2),

e′

2 =1

5(−4e1 + 3e2).

Skalarni produkt 〈Ax, x〉 u novoj bazi glasi:

〈Ax, x〉 = 25y21.

Sada je b1 = ae′1 = −50, a b2 = ae

′2 = −100 pa pocetnu jednadzu mozemo zapisati u

16

obliku (2) prethodnog teorema:

25y21 − 50y1 − 100y2 + 25 = 0.

Ako podijelimo ovu jednadzbu brojem 25 i grupiramo po nepoznanicama imamo:

y21 − 2y1 − 4y2 + 1 = 0.

Svodenjem na potpuni kvadrat imamo

(y1 − 1)2 − 4y2 = 0.

Uvodenjem zamjene

z1 = y1 − 1, z2 = y2

translatiramo ishodiste O1 koordinatnog sustava (O1, e′1, e

′2) u tocku O2(1, 0), sto je is-

hodiste novog koordinatnog sustava z1O2z2.

Jednadzbu smo sveli na izraz

z21 = 4z2 (7)

i tako otkrili da se radi o paraboli.

Kako je−−→OO2 =

√2e

′1 −√

2e′2 =

1

5(3e1 + 4e2), veza izmedu koordinata neke tocke

T ∈ M u koordinatnom sustavu (O; e1, e2) i koordinatnom sustavu (O2; e′1, e

′2) dana je

sljedecom vektorskom jednakoscu

x = x1e1 + x2e2 =−−→OO2 + z1e

′

1 + z2e′

2 =1

5(3e1 + 4e2) +

z15

(3e1 + 4e2) +z25

(−4e1 + 3e2),

odakle dobivamo

x1 =1

5(3 + 3z1 − 4z2), x2 =

1

5(4 + 4z1 + 3z2),

odnosno

z1 =1

5(3x1 + 4x2 − 5), z2 =

1

5(−4x1 + 3x2).

Zato jednadzba parabole (7) u koordinatnom sustavu (O; e1, e2) glasi:

(3x1 + 4x2 − 5)2 = 20(−4x1 + 3x2).

17

Slika 3: Skup svih rjesenja jednadzbe 9x21 + 24x1x2 + 16x22 + 50x1 − 100x2 + 25 = 0.

18

Literatura

[1] N. Elezovic, Linearna algebra, Zagreb, 2006.

[2] https : //www.mathos.unios.hr/ dbrajkovic/Materijali/GRP/Geo 2.pdf

[3] S. Kurepa, Konacnodimenzionalni vektorski prostori i primjene, tehnicka knjiga, Za-

greb, 1990.

19