KVADRATNA FUNKCIJA

Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA? Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja

je realna funkcija zadana formulom:

Koeficijenti a, b i c su realni brojevi, a 0. Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj

funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom jednadžbom.

cbxaxxf 2)(Vodeći

koeficijent

Linearni koeficijent

Slobodni član

KVADRATNA JEDNADŽBA To je jednadžba oblika:

Kao i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne smije biti jednak 0.

Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili korijen kvadratne jednadžbe.

02 cbxax

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE JEDNADŽBE

1) b=0, c 0 Jednadžba glasi:

Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

a

cx

cax

cax

2

2

2 0

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE JEDNADŽBE

2) b 0, c=0 Jednadžba glasi:

Oba rješenja jednadžbe su realni brojevi.

0)(

02

baxx

bxax

01 x

a

bx

bax

bax

2

2

2 0

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE JEDNADŽBE

3)b=0, c=0 Jednadžba glasi:

Jednadžba ima dvostruko rješenje x=0.

02 ax

021 xx

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE JEDNADŽBE

4) b 0, c 0 Jednadžba glasi:

Rješenja jednadžbe se određuju po formuli:

02 cbxax

a

acbbx

2

42

2,1

DISKRIMINANTA KVADRATNE JEDNADŽBE Diskriminanta kvadratne jednadžbe je broj :

Ako je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja. Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno

rješenje Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno

konjugirana rješenja.

02 cbxax

acbD 42

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:

A) Da B) Ne

A) 0 B) 1 C) 2

1. Smije li glavni koeficijent kvadratne funkcije biti 0?

2. Ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe D=13 koliko rješenja ima jednadžba?

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE Graf kvadratne funkcije je parabola. Da bismo nacrtali graf moramo odrediti

tjeme parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE Koordinate tjemena T(x,y) se određuju

pio formuli:

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije

?A) (-2,1)

VIDI RJEŠENJE!B) (2,1)

)4

4,(

2

a

bac

a

bT

22)( 2 xxxf

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE Nultočke određujemo tako da funkcije f(x)

izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

Primjer 2. Koje su nultočke funkcije ?

A) 0 i 1 B) 1 i 2

VIDI RJEŠENJE! C) 0 i 2

xxxf 2)( 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLAAko je glavni koeficijent (a) veći od 0 , otvor parabole je prema gore

Ako je glavni koeficijent (a) manji od 0 , otvor parabole je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA

Ako je D>0 parabola i x-os imaju 2 točke zajedničke

Ako je D=0 parabola i x-os imaju 1 točku zajedničku

Ako je D<0 parabola i x-os nemaju nijednu zajedničku točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE FUNKCIJE Kvadratna funkcija

ima ekstrem u tučki s apcisom

Vrijednost ekstrema iznosi:

Ekstrem je minimum ako je a>0 , maksimum ako je a<0 .

cbxaxxf 2)(

.20 a

bx

.4

4 2

0 a

bacy

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF KVADRATNE FUNKCIJE! Pr.

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je otvor parabole prema gore.

Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.

Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

48202)( 2 xxxf

y

x1 x2 x

T(5,-2)

48202)( 2 xxxf

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA I JESTE LI IŠTA NAUČILI

A)(-3/2,1)

B)(-4,7)

A)minimum

B)maksimum

1. Koje su nultočke jednadžbe

2. 2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcijaf(x)=-2x2-2x-3 kao ekstem ima minimum ili maksimum?

A)0

B)1

C)2

A)parabola

B)hiperbola

C)elipsa

3. Ako je diskriminanta kvadratne funkcije jednaka o, koliko nultočaka ima ta funkcija??

4. Graf polinoma drugog stupnja je:

A) f(x)=3x2+8x-1

B)   f(x)=2

C)   f(x)=x3+2

D)  f(x)=2x-1

A)6

B)8

5. Koja je od navedenih funkcija kvadratna?

6. Vrijednost funkcije f(x)=x2-4x+3 za x=-1 iznosi:

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

A) f(x)=-5+3x-2x2

B) f(x)=-3x2-7x

C) f(x)=-2(x+1)2+4

D) f(x)=-7x+3x2

A) f(x)=3(x-1)2+4

B) f(x)=3(x-1)2

C) f(x)=-2x2

D) f(x)=-2x2+1

8. Koja od sljedećih funkcija ima minimum?

9. Koja od navedenih kvadratnih funkcija ima tjeme u ishodištu?

KRAJ