kvanfysiikan+historiaa · kvanfysiikan+historiaa. 2 • heisenbergin matriisimekaniikasta juontuva...
TRANSCRIPT
1
(hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!)
• 1900: Planckin säteilylaki • 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle • 1913: Bohrin atomimalli • 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi • 1925: Heisenbergin matriisimekaniikka • 1926: Schrödingerin yhtälö • 1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate • 1928: Diracin yhtälö • 1949: Quantum Electrodynamics (QED) • 1964: Higgsin mekanismi • 1965: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) • 1967: sähköheikko vuorovaikutus • 1973: asymptoottinen vapaus • 1971-1976: supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria,
supergravitaatio
Kvan%fysiikan historiaa
2
• Heisenbergin matriisimekaniikasta juontuva nykyaikainen formalismi kvanttimekaniikalle.
• Kvanttimekaniikan luontainen kieli on lineaarialgebra, ja operaattoriformalismi hyödyntää sitä.
• Heisenbergin tavoitteena oli keskittyä siihen, mitä voidaan havaita.
• Ideana on se, että systeemin tilaa kuvaa täydellisesti tiettyjen kvanttilukujen kokoelma.
• Mitkä nämä ovat, riippuu systeemistä (eli Hamiltonin operaattorista).
• Esimerkiksi hiukkaselle laatikossa riittää n, vetyatomille tarvitaan n, l ja m.
Operaa3oriformalismi
3
• Keskeinen käsite on tilavektori, joka sisältää kaiken informaation (eli kvanttiluvut) systeemistä.
• Ei lähdetä aaltofunktiosta, se on johdettu käsite.
• Tilavektoria merkitään seuraavasti:
• Esimerkkinä vetyatomi:
• Vetyatomilla ei ole muuta identiteettiä kuin nämä kvanttiluvut.
Tilavektorit
tänne kaikki 8laa kuvaavat kvan%luvut
! = nlm n =1,2,3,...l = 0,1, 2,...,n!1m = 0,±1,...,±l
• Systeemin kaikkien mahdollisten 8lojen muodostama vektoriavaruus on nimeltään Hilber'n avaruus. Se on ääretönulo3einen vektoriavaruus.
• Tila on vektori avaruudessa, jonka kannan muodostavat Hamiltonin operaa3orin ominais8lat. Aaltofunk8oiden tapauksessa kirjoi3aisimme:
!(t,x) = ann! !n (t,x) =
a1a2a3...
"
#
$$$$
%
&
''''
!1(t,x) =
100...
!
"
####
$
%
&&&&
, !2 (t,x) =
010...
!
"
####
$
%
&&&&
, jne.
4
• Tilavektorien tapauksessa kirjoitamme:
!(t) = an !n (t)n! =
a1a2a3...
"
#
$$$$
%
&
''''
!1(t) =
100...
!
"
####
$
%
&&&&
, !2 (t) =
010...
!
"
####
$
%
&&&&
, jne.
5
• Tilavektorien välinen pistetulo on määritelty, ihan kuin tavallisten (kompleksisten) vektorien pistetulo.
• Jos 8la vastaa pystyvektoria (’ket-‐vektori’), niin vastaavaa vaakavektoria (’bra-‐vektori’) merkitään symbolilla
• Tarkalleen o3aen bra-‐vektori ei ole vain ket-‐vektorin transpoosi, vaan myös kompleksikonjugaa%.
• Pistetuloa bra-‐vektorin ja ket-‐vektorin välillä merkitään
• (Huumori: bra-‐ket, bracket.)
• Jos vektorit ovat ortonormite3uja (eli ortogonaalisia ja normite3uja), niin pistetulo on
• Tämä on kuin tavallisessa vektoriavaruudessa: jos vektorit ovat koh8suorassa, niiden pistetulo on nolla, ja yksikkövektorin pistetulo itsensä kanssa on yksi.
6
!!
nm m n
m n = !mn
dx!"
"
# !m* (t, x)!n (t, x) = "mn $ m n = "mn
• Hamiltonin operaa3orin ominais8lat ovat ortogonaalisia, ja ne voi normi3aa.
• Tämä vastaa aaltofunk8oiden ortonormaalisuu3a:
• Aaltofunk8o on normite3u siten, e3ä integraali yli koko avaruuden on 1(hiukkanen on aina jossain). Tätä vastaa se, e3ä 8lavektorin pituus on 1.
• Jos hiukkanen on 8etyssä Hamiltonin operaa3orin ominais8lassa , niin todennäköisyys löytää se mistään muusta Hamiltonin operaa3orin ominais8lasta on nolla.
7
! = cn nn=1
!
"superposi8o
ψ
2
1
3 ,...
m ! = cn! m n"mn!
= cm
Todennäköisyysamplitudi löytää 8la m 8lasta ψ:
P(m) = cm2
8
Aaltofunk8on romahtaminen ⇔ 8lan romahtaminen
nncn ⇒=∑ψmi3auksessa
! = c*n nn=1
!
"bra-‐vektorin kertoimet ovat kompleksikonju-‐ gaa3eja:
Operaa3orit kuten liikemääräoperaa3ori tai Hamiltonin operaa3ori muu3avat vektoreita toisiksi.
Vrt. matriisit ja vektorit:
Mxn = !nxnoperaa3ori
ominaisarvo
ominaisarvoa vastaava ominaisvektori
Vastaavas8 operaa3orin operoidessa 8laan
ääretönulo3einen matriisi
! " jos on M:n ominais8la
kääntyy Hilber8n avaruudessa joksikin toiseksi 8laksi, jos ei ole M:n ominais8la
M ! = M
a1a2a3...
!
"
####
$
%
&&&&
!
operaa3oreita merkitään hatulla
9
NOTAATIO:
M n!noperaa3ori operaa3orin
ominaisarvo numero n ominaisarvoa λn vastaava ominais8la
10
M !Operaa3ori operoi 8laan:
Esimerkkejä operaa3oreista aaltofunk8oiden tapauksessa:
p!(x, t) = !i!"!"x(x, t)
x!(x, t) = x!(x, t)
Paikkaoperaa3ori kertoo aaltofunk8on paikkakoordinaa8lla:
Liikemääräoperaa3ori derivoi aaltofunk8on:
H!(x, t) = !!2
2m"2
"x2+V (x)
#
$%
&
'(!(x, t)
Hamiltonin operaa3ori derivoi kahdes8 ja kertoo poten8aalilla:
Kaikki aaltofunk8ot ovat paikan ominaisfunk8oita. Tasoaallot eikx ovat liikemäärän ominaisfunk8oita. Sta8onaariset 8lat ovat Hamiltonin operaa3orin ominaisfunk8oita.
11
H n = En n
Schrödingerin yhtälö kuvaa sitä, miten systeemi vaeltaa vektoriavaruudessa:
Schrödingerin yhtälö muu3uu osi3aisdifferen8aaliyhtälöstä lineaarialgebran yhtälöksi.
i! !!t!(t) = H !(t)
Sta8onaaristen 8lojen tapauksessa saadaan (tässä n kuvaa kaikkia kvan%lukuja)
12
Operaa3orin odotusarvo
A = ! A ! ! A = dx"#
#
$ !*(t, x)A!(t, x)
8lassa ψ
Esimerkki: Hamiltonin operaa3orin odotusarvo ominais8lassaan.
H = !n H !n ! n H n = n En n = En n n = En
13
14
• Se, että joillakin havaintosuureilla ei voi samaan aikaan olla määrättyä arvoa, seuraa operaattoriformalismissa siitä, että operaattorien kertolasku ei kommutoi.
• Jos kaksi operaattoria (voi taas ajatella matriiseja) on sellaista, että niille AB=BA, sanotaan että ne kommutoivat. Jos taas AB≠BA, sanotaan että eivät kommutoi. (Yleensä ottaen matriisit eivät kommutoi.)
• Jos kahta havaintosuuretta vastaavat operaattorit eivät kommutoi, suureilla ei voi olla samaan aikaan määrättyä arvoa.
Kommutoiminen
15
• Operaattorien A ja B kommutaattori on
• Esimerkki aaltofunktioiden tapauksessa
• Voidaan osoittaa, että ylläolevasta kommutaattorista seuraa Heisenbergin epämääräisyysperiaate:
• Kulmaliikemäärän kaikilla komponenteilla ei voi olla samaan aikaan määrättyä arvoa, koska ne eivät kommutoi keskenään.
Kommutaa3ori [A, B]! AB" BA
[ x, p]! = !xi! ""x! ! !i! "
"x(x!)
#
$%
&
'(= i!!
! [ x, p]= i!
!x!p " !2
16
• Energiaa vastaa Hamiltonin operaattori.
• Kvanttimekaniikassa ei ole operaattoria, joka vastaisi aikaa. Aika ei myöskään ole koskaan kvantittunut, vaan se on samanlainen kuin klassisessa fysiikassa: jatkuva suure, joka on sama kaikkialla ja kaikille havaitsijoille ja joka kertoo, missä vaiheessa systeemin kehitystä ollaan.
• Aika ei siis koskaan ole epämääräinen, eikä ajan ja energian välillä ole samanlaista epämääräisyyssuhdetta kuin paikan ja liikemäärän.
Aika ja energia
Tahdon aaltofunk2on takaisin!
x !(t) =!(t, x) Tilan ψ projek8o paikkaoperaa3orin ominais8laan kertoo, mikä todennäköisyys on löytää hiukkanen paikasta x, kun 8la on ψ.
17
p !(t) =!(t, p) Vastaavas8 voidaan määritellä aaltofunk8o liikemäärälle, joka kertoo liikemäärän todennäköisyysjakauman. (Ei mennä tähän tarkemmin!)
Operaa9oriformalismi – miksi piitata?
• Notaa8o on kompak8mpi:
• Kvan%mekaniikan sääntöjen merkitys on läpinäkyvämpi (superposi8o, ortonormitus, operaa3oreiden epäkommuta8ivisuus).
• Tila on yleisempi käsite kuin aaltofunk8o (joka on paikka-‐avaruuden todennäköisyysamplitudi, eli vain yksi mahdollinen amplitudi muiden joukossa).
• Tilalla voi kuvata abstrak8mpia asioita kuin aaltofunk8olla. Esimerkiksi:
• tyhjö on myös 8la:
• hiukkasen spin:
dx!n*(t, x)!m (t, x)
!"
"
# $ n m
0
zss,
18
• Spin on hiukkasten puhtaas8 kvan%mekaaninen ominaisuus, jolla ei ole vas8ne3a klassisessa fysiikassa.
• Matemaa%silta ominaisuuksiltaan spin muistu3aa pyörimisliikemäärää, joten sitä voi kuvailla ”hiukkasen sisäiseksi pyörimiseksi”.
• Sähköises8 varatun hiukkasen spin vuorovaiku3aa magnee%kentän kanssa kuten hiukkasen pyörimisliike, joten voi sanailla hiukkasen olevan ”pieni magnee%”.
S2 s, sz = !2s(s+1) s, szSz s, sz = !sz s, sz
• Spiniä kuvaa vektori S, jonka pituus ja z-‐komponen% voivat olla samaan aikaan määrä3yjä (vrt. kulmaliikemäärä).
Spin
Elektronille
s = 12; sz = ±
12
”elektronin spin on ½”
20
S2 s, sz = !2s(s+1) s, szSz s, sz = !sz s, sz
• Kulmaliikemäärän tapauksessa l ja m ovat kokonaislukuja, jotka riippuvat systeemin pyörimis8lasta.
• Spin-‐vektorin pituus (eli kvan%luku s) riippuu vain hiukkastyypistä, ja se on kokonaisluku tai puoliluku. Esimerkiksi elektronille s=1/2, fotonille s=1, Higgsin bosonille s=0.
• Kuten m, sz muu3uu yhden yksiköissä välillä [-‐s,s].
L2 lm = !2l(l +1) lm
Lz lm = !m lmvrt.
s, sz = 12 ,± 1
2 ! ±
s, sz s, s 'z = !szs 'z
Elektronin spin-‐2la
kokonaisspin
spinin z-‐komponen%
21
S2 s, sz = !2s(s+1) s, sz =34!2 ±
Sz s, sz = !sz s, sz = ±12! ±
Sz s = Sz a + + b !( ) = !2 a + ! b !( )spinin z-‐komponen@
s Sz s = a* + + b* !( ) Sz a + + b !( ) = !2 a 2+ + ! b 2
! !( )=!2a 2
! b 2( )
spinin z-‐komponen2n odotusarvo
Spinin 8la on superposi8ossa epämääräinen.
Mi3auksessa havaitaan, e3ä spin on joko ylös tai alas
8la romahtaa
22
Kun 8edetään, e3ä puhutaan elektroneista, voidaan 8lassa jä3ää merkitsemä3ä kokonaisspin → usein kirjoitetaan
s, sz ! sz " ±
Yleinen spin-‐8la on
! = a + + b !
1= s s = a* + + b* !( ) a + + b !( )= a 2
+ +1!
+ a*b + !0!
+ ab* ! +0
!"# $#+ b 2
! !1!
" a 2+ b 2
=1
normitus
spin ylöspäin
spin alaspäin
23
H nlm = En nlm = !! 2mc2
2n2nlm
L2 nlm = !2l(l +1) nlm
Lz nlm = !m nlm
Esimerkki kvan@luvuista: vetyatomi
! = nlm
n kertoo energian
24
Vetyatomia kuvaa kolme kvan%lukua.
l kertoo pyörimismäärän L itseisarvon m kertoo pyörimismäärän L z-‐komponen8n
Energia ei riipu kvan%luvuista l ja m: energia on degeneroitunut.
n =1,2,3,...l = 0,1, 2,...,n!1m = 0,±1,...,±l
! = nlmsz
H0 =p2
2m!
e2
4"#01r" H0 +
e2
8"#0m2c2
1r3L # S $ H0 + Hspin
Vetyatomin tarkassa kuvailussa on huomioitava elektronin (ja y8men) spin:
kokonaiskulmaliikemäärä on J = L + S
H ! = Enl nlmsz energian degeneraa8o häviää osin
Kun huomioidaan vielä y8men magnee%ken3ä ja spin:
H0 ! H0 + Hspin + HB H ! = Enlmsznlmsz
energian degeneraa8o häviää täysin (eli jokaisella 8lalla on eri energia)
25
26
Enlmsz!En 'l 'm 's 'z
= h! spektriviivojen aallonpituudet
Esimerkiksi vedyn perus8lan ”spin-‐flip”, missä elektronin ja protonin spinit muu3uvat vastakkaisista samansuuntaisiksi:
!E = 5.9µeV " !=21cm
Vetyatomin spektri johda% kvan%mekaniikkaan. Nykyään sen energiatasoja osataan laskea ja fotonien aallonpituu3a mitata eri3äin tarkas8, ja tulokset vastaavat toisiaan. Vetyatomi on fysiikan menestystarina.
Spin ja avaruudelliset kvan%luvut elävät omissa vektoriavaruuksissaan
Sz ! = Sz nlms± = Sz nlm s± ! Sz nlm ±
= nlm Sz ±
= ±!2nlm ±
nlm
zss
z
zz
ssnlm
ssnlmnlmss
≡
⊗==ψ
voimme kirjoi3aa
Spin-‐operaa3ori operoi vain spin-‐ avaruudessa:
27
2ψ
1ψ
! = !1 !2 ! !1!2
Monihiukkas2lat Monihiukkas8la voidaan kuvata yksihiukkas8lojen suorana tulona:
! = !1 !2 ! !1!2
28
bra-‐vektoria merkitään vastaavas8:
1= (a* + ! + b* ! + )(a + ! + b ! + )
= a 2+ + ! ! + b 2
! ! + + = a 2+ b 2
Normitus:
29
Esimerkiksi kahden spin-‐1/2 hiukkasen muodostama spin-‐0-‐8la:
s1s1z;s2s2z =12±; 12! ! ±;!
1 2 1 2
spinien z-‐komponen%en summa on nolla a + ! + b ! +
Yleinen tällainen 8la on muotoa
• Suljetaan jänis laa8kkoon (koe toimii myös kissalla, jos se on hiljainen). Laa8kossa on mukana kapseli, joka rikkoutuu -‐tai si3en ei-‐ radioak8ivisen hajoamisen takia. Kapselissa on myrkkykaasua. • Meitä ei kiinnosta jäniksessä muu kuin henki. Kvan%systeemissä on siten kaksi 8laa
30
elävä jänis ! 1 ja kuollut jänis ! 2
! ! a1(t) 1 + a2 (t) 2
• Tila on laa8kon sulkemisen jälkeen superposi8ossa
a1(t)2+ a2 (t)
2=1
• Kun laa8kko avataan, jänis on joko elävä tai kuollut:
Tilan epämääräisyys: Schrödingerin jänis
Matemaa%ses8 selkeää, mu3a tapahtuuko näin oikeas8? Ensinnäkin: onko pupu todella sekaisin? (Onko kyse todella epämääräisyydestä eikä epä8etoisuudesta?) Toisekseen: miksei tällaista superposi8o8laa nähdä makroskooppisessa maailmassa (toisin kuin elektronien tapauksessa)?
31
Kvan%mekaniikan formalismin mukaan: • Annetaan Hamiltonin operaa3ori, joka kuvaa kapselin
hajoamista (ja muita jäniksen kuolemaan mahdollises8 johtavia tekijöitä).
• Sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön ja ratkaistaan yhtälö sillä
alkuehdolla, e3ä a1(t0)=1 ja a2(t0)=0.
• Saadaan kertoimet a1(t) ja a2(t).
Kysymys yksi: onko pupu sekaisin?
• Epämääräisyys ja epä8etoisuus voidaan ero3aa toisistaan kokeellises8 tarkastelemalla lomi3uneita 8loja.
• Kvan%mekaaninen 8la on kokonaisuus, joka kuvaa koko systeemiä.
• Jos joidenkin suureiden (kuten kahden hiukkasen spinin) arvot riippuvat toisistaan, niin yhden mi3aaminen muu3aa samalla toistakin... olivatpa hiukkaset missä vain.
• Hiukkasten 8lat ovat lomi2uneet (entangled).
32
Tilojen lomi3uminen
33
Esimerkki: ! 0 ! e"e+
! =12
e! + e+ ! + e! ! e+ +( ) " 12
+ ! + ! +( )spin ylös
spin alas
spin ylös
spin alas
elektroni ja positroni ovat epämääräisissä spin-‐8loissa
Pioni hajoaa elektroni-‐positronipariksi. Pionin spin on 0, ja spinin z-‐komponen% säilyy, joten loppu8lan spin-‐komponen%en summa on myös 0. Elektroni ja positroni ovat symmetrisessä asemassa, joten kummallakin on 50% todennäköisyys osoi3aa ylös tai alas:
Jos elektronin spin on alas, niin positronin spin on ylös, ja päinvastoin. Sanotaan, e3ä 8lat ovat lomi2uneet (entangled). Lomi3unu3a 8laa ei voi kirjoi3aa yksihiukkas8lojen suorana tulona.
• Jos mitataan elektronin spin, määräytyy positroninkin spin. Tila on korreloitunut raja3oman pitkien matkojen yli ja romahdus muu3aa sen väli3ömäs8 kaikkialla. (Kaukovaikutus, ac@on at a distance.)
• Mistä positroni 8etää, e3ä elektronin spin on mita3u, jos se on matkannut jo kauas pois?
• Väli3yykö informaa8ota valoa nopeammin? (Einstein-‐Podolsky-‐Rosen-‐
paradoksi.) 34
Pioni hajoaa
e+ e-‐ π0
spin ylös
spin alas
spin ylös
spin alas
• EPR-‐paradoksin ratkaisu: 8lan romahdus ei välitä informaa8ota.
• Kun elektronin spin on mita3u olevan ylös, positronin spinin mi3aaja tulee saamaan tuloksen alas 100% todennäköisyydellä. Mu3a hän ei 8edä sitä ellei elektronin mitannut kerro!
• On sa3umanvaraista, kumman tulokseen saa, joten mi3aamalla ei voi väli3ää informaa8ota. (Epädeterminismi takaa tässä kausalitee8n säilymisen 8lan epämääräisyydestä huolima3a.)
• Kvan%mekaniikka ei ole lokaali teoria! (Lokaali teoria: vuorovaikutukset
paikallisia, muutokset etenevät valon nopeudella.)
• Kvan%mekaniikka on kausaalinen teoria. (Informaa8ota ei voi väli3ää ajassa taaksepäin, syy ei voi olla seurauksen jälkeen.)
• (Mus@en aukkojen informaa@oparadoksi lii3yy 8lojen lomi3umiseen: jos osa systeemistä putoaa mustaan aukkoon, sen informaa8o menetetään lopullises8, mu3a loppusysteemi on yhä korreloitunut tuon menetetyn informaa8on kanssa. Ei mennä tähän tarkemmin!) 35
• Einstein: ”spooky ac@on at a distance” (hämyä kaukovaikutusta).
• Ehkä kvan%mekaniikka on väärin, ja elektronin/positronin spin määräytyy pionin hajoamishetkellä?
Piilomuu2ujateorioiden idea: kvan%mekaniikan taustalla on determinis8nen (ja määrä3y) ja lokaali teoria.
• Teorian todelliset muu3ujat ovat meille (toistaiseksi?) tuntema3omat, mu3a niiden liikeyhtälöiden approksimaa8ona saadaan Schrödingerin yhtälö.
• Kvan%mekaniikka on vain approksimaa8o: kaukovaikutus , epämääräisyys, epädeterminismi ovat vain näennäisiä. Todennäköisyyskuvaus johtuu 8etämä3ömyydestä.
Yllä3ävää kyllä, tätä ideaa voidaan kokeellises8 testata: Minkä tahansa determinis8sen ja lokaalin teorian, jossa systeemillä on aina määrä3y 8la, korrelaa8ot ovat erilaisia kuin epädeterminis8sen, epämääräisen ja epälokaalin kvan%mekaniikan. 36
37
Bellin epäyhtälö • Jos elektronilta ja positronilta mitataan molemmilta z-‐komponen%, niin
ei voi päätellä onko 8la määrä3y vai ei. Yleisempää 8lanne3a tarkastelemalla asiaan saadaan valaistusta.
• Mitä käy jos elektronilta mitataan ensin spinin z-‐komponen%, ja si3en positronilta x-‐komponen%? (Spin voidaan mitata missä suunnassa tahansa.)
• Kvan%mekaniikan mukaan positronin spinin z-‐komponen% on määrä3y, joten x-‐komponen% on epämääräinen. (Heisenbergin epämääräisyysperiaate.)
• Piilomuu3ujateoriassa kaikilla komponenteilla on koko ajan määrä3y
arvo. • Koska alku8lan spin on 0, elektronin ja positronin spinit ovat aina
vastakkaiset. Mi3auksen jälkeen 8edetään elektronin spinin z-‐komponen% ja x-‐komponen% yhtä aikaa.
tapausten lukumäärä elektroni positroni N1 a+, b+, c+ a-‐, b-‐, c-‐ N2 a+, b+, c-‐ a-‐, b-‐, c+ N3 a+, b-‐, c+ a-‐, b+, c-‐ N4 a+, b-‐, c-‐ a-‐, b+, c+ N5 a-‐, b+, c+ a+, b-‐, c-‐ N6 a-‐, b+, c-‐ a+, b-‐, c+ N7 a-‐, b-‐, c+ a+, b+, c-‐ N8 a-‐, b-‐, c-‐ a+, b+ c+
38
• Kokonaislukumäärä on N=ΣiNi, joten tapauksen i todennäköisyys on Pi=Ni/N.
• Voimme kirjoi3aa epäyhtälön (Ni≥0)
N3 + N4
NP(a+,b+)!"# $# ! N2 + N4( )
NP(a+,c+)! "# $#
+ N3 + N7( )NP(c+,b+)! "# $#
" P(a+,b+) ! P(a+,c+)+P(c+,b+) Bellin epäyhtälö (1964)
• Piilomuu3ujateoriassa spinillä on määrä3y arvo suunnissa a, b ja c. Voidaan lue3eloida mahdolliset mi3austulokset:
elektroni
positroni
39
• Mille tahansa lokaalille piilomuu3ujateorialle siis pätee
P(a+,b+) ! P(a+,c+)+P(c+,b+)
• Tällä välin kvan%mekaniikassa:
Jos on mita3u suunnassa a elektronin spiniksi +, niin positronin spin on 8lassa missä θab on suun8en a ja b välinen kulma. Todennäköisyys P(a+,b+) on siis ½ * sin2(θab/2). Sama ju3u todennäköisyyksille P(a+,c+) ja P(c+,b+). Saadaan siis:
!a= cos !ab
2"
#$
%
&' ! b
+ sin !ab2
"
#$
%
&' + b
todennäköisyys saada a+
sin2 !ab2
!
"#
$
%&
?
' sin2 !ac2
!
"#
$
%&+ sin2 !cb
2!
"#
$
%&
40
• Tämä epäyhtälö ei päde kaikille kulmille. Valitaan vaikkapa θac=θcb=θ ja θab=2θ. Saadaan epäyhtälöksi
• Tämä epäyhtälö rikkoutuu kaikilla kulman arvoilla .
• Teoree%ses8 siis kvan%mekaniikka rikkoo Bellin epäyhtälöä.
• Syynä on se, e3ä systeemi ei ole määrätyssä 8lassa.
sin2 !ab2
!
"#
$
%&
?
' sin2 !ac2
!
"#
$
%&+ sin2 !cb
2!
"#
$
%&
cos2 !2!
"#$
%&
?
' 12
0 !! ! "2
sin! = 2sin ! / 2( )cos ! / 2( )
• Kokeellinen testaus (1982): fotonien polarisaa8oiden korrelaa8ot rikkovat Bellin epäyhtälöä ja ovat sopusoinnussa kvan%mekaniikan kanssa. (Useita muita kokeita sen jälkeen.)
lokaalit piilomuu3ujateoriat eivät kuvaa todellisuu3a • Kvan%mekaniikan todennäköisyydessä on kyse epämääräisyydestä, ei
epä8etoisuudesta. • Empiiristä filosofiaa: maailman 8la ei ole määrä3y. Ei voida sanoa, e3ä
joko väite tai sen ris8riita on tosi. (Ei ole niin, e3ä pupu olisi kuollut, mu3a ei ole myöskään niin e3ä se ei olisi kuollut.)
• Kvan%mekaniikka muu3aa käsityksen olemisesta ja tapahtumisesta.
• (Ei voida sulkea pois mahdollisuu3a, e3ä todellinen teoria on kuitenkin determinis8nen, mu3a silloin sen pitää olla ei-‐lokaali tai muuten kummallinen. Yritykset tällaisiksi teorioiksi eivät ole olleet kovin onnistuneita.)
41
42
• Pupu siis voi olla sekaisin. Miksei tätä nähdä? Miksi makroskooppisessa maailmassa asioilla näyttää olevan määrätty tila? Miten se määräytyy?
• Kööpenhaminan tulkinta: tila romahtaa mitattaessa.
• Ongelmia:
• Onko mittaaja erikoisasemassa? Kuka kelpaa mittaajaksi?
• Kuka mittaa mittaajia? (Tulkinta olettaa klassisen kuvauksen mittaajasta!)
• Kosmologia: eikö maailmankaikkeuden tila ole määrätty ennen kuin joku kehittyy sitä mittaamaan? (Entä inflaation kvanttifluktuaatiot?)
Takaisin romahdukseen
43
• Osan pupuongelmaa ratkaisee dekoherenssi.
• Systeemi on dekoherentti, kun siinä ei esiinny interferenssiä eri mitattavien tilojen välillä.
• Vuorovaikutus ulkomaailman kanssa lomittaa systeemin ja maailman:
Esimerkiksi elävä pupu hengittää, joten laatikosta tulee hiilidioksidimolekyylejä. (Yksinkertaisempi esimerkki: isolla molekyylillä on monta mahdollista viritystilaa, ja joku niistä voi emittoida fotonin kaksoisrakokokeen aikana.)
• Vuorovaikutus kytkee systeemin ja ulkomaailman yhdeksi kokonaisuudeksi, siten että molempien tila määräytyy samalla kertaa.
• Jäniksen tila siis näyttää aina määrätyltä!
Dekoherenssi
• Mutta... dekoherenssi ei kerro miten koko systeemin tila määräytyy (romahdus) eikä sitä mikä vaihtoehdoista nähdään (epädeterminismi).
44
45
Kvan%mekaniikan yhteenveto • Kvan%mekaniikka on lineaarinen, epädeterminis8nen teoria, joka kuvaa N:n
hiukkasen systeemiä. • Systeemiä kuvaa ajasta riippuva 8lavektori, jonka aikakehitys määräytyy
Schrödingerin yhtälöstä:
• Tilavektorista voidaan johtaa aaltofunk8o ψ(t.x), joka on todennäköisyysamplitudi sille, e3ä hiukkanen löytyy pisteestä x hetkellä t.
• Planckin vakio h määrää kvan%efek8en merkityksen: klassinen fysiikka vastaa rajaa h→0.
i! !!t!(t) = H !(t)
46
• Aaltohiukkasdualismi tarkoi3aa sitä, e3ä elektroni ei ole aalto eikä hiukkanen, mu3a molemmat mallit kuvaavat oikein joitain sen piirteitä.
• Vapaan hiukkasen ratkaisu on tasoaalto, ja toisaalta sido3ujen 8lojen energia on kvan83unut. • Hiukkanen laa8kossa: hiukkasen rajoi3aminen äärelliselle alueelle johtaa
energian kvan83umiseen (vrt. hyppynarun taajuudet).
• Realis8nen esimerkki: vetyatomi. Voidaan johtaa Bohrin atomimallin energiaspektri läh8en Schrödingerin yhtälöstä.
• Koska Schrödingerin yhtälö on lineaarinen, ratkaisujen lineaarikombinaa8o
on ratkaisu: superposi8operiaate.
• Superposi8o8lassa kaikilla havaintosuureilla ei ole määrä3yä arvoa. • Joidenkin suureiden arvot eivät voi olla samanaikaises8 mielivaltaisen tarkas8
määrä3yjä. (Heisenbergin epämääräisyysperiaate.)
47
• Havaintosuureiden arvo määräytyy vasta mita3aessa. (Bellin epäyhtälö.)
• Mi3auksessa aaltofunk8o romahtaa johonkin 8laan. Tämä prosessi on epädeterminis8nen. • Kööpenhaminan tulkinta: mi3auksen tekeminen romahdu3aa 8lan.
• Moderni näkemys: vuorovaikutus ympäristön kanssa (dekoherenssi) tekee 8lan määrätyn näköiseksi.