5 – Opcije Kvantitativne finansije

Ekonomski fakultet Univerziteta u Beogradu

Letnji semestar 2011/12.

dr Miloš Božović

Sadržaj predavanja

  Osnovni pojmovi vezani za opcije

  Vrednovanje opcija u diskretnom vremenu metodom binomnog stabla

  Black-Scholes formula

1

Osnovni pojmovi vezani za opcije

2

Derivati

  Derivat je finansijski instrument čija se vrednost ili dohodak izvodi iz vrednosti ili dohotka nekog drugog instrumenta

  Instrument na osnovu koga se određuje vrednosti ili dohodak derivata naziva se osnovna aktiva

  Primeri derivata:   Terminski ugovori (forvardi i fjučersi)

  Svopovi

  Opcije

3

Vrste osnovnih aktiva

  Kamatne stope

  Valutni kursevi

  Roba i sirovine

  Akcije

  Obveznice

  Električna energija

  Polise osiguranja

  Meteorološki parametri

  ... 4

Zbog čega su derivati značajni?

  Igraju ključnu ulogu u transferu rizika na finansijskom tržištu

  Mnoge finansijske transakcije imaju u sebi ugrađene derivate

  Mnoge investicione odluke mogu se predstaviti kao realne opcije

  Obaveze kompanije mogu se predstaviti kao opcija na njenu celokupnu aktivu

5

Kako se trguje derivatima

  Berzanski   Chicago Board Options Exchange (CBOE)

  Vanberzanski (OTC)

6

Veličina tržišta derivata

7

Izvor: Banka za međunarodna poravnanja, Bazel

Za šta se koriste derivati?

  Za zaštitu od rizika

  Za ostvarivanje spekulativnog profita

  Za arbitražu

  Za promenu prirode obaveza

  Za promenu prirode ulaganja

8

Opcije

  Opcije su instrumenti koji daju pravo, ali ne i obavezu, da se osnovna aktiva kupi ili proda po unapred utvrđenoj fiksnoj ceni

  Ta cena se naziva cenom izvršenja (engl. exercise price ili strike price)

  Iskorišćenje prava datog opcijom naziva se izvršenje

  Vrste opcija prema pravu koje daju:   Opcija kupovine (engl. call option)

  Opcija prodaje (engl. put option)

9

Vrste opcija prema načinu izvršenja

  Američka opcija se može izvršiti u bilo kom trenutku važenja opcije

  Evropska opcija se može izvršiti samo na dan dospeća opcije

10

Opcija kupovine za akcije kompanije Google 15. jun 2010. Cena jedne akcije je: 497.07 / 497.25

11

Strike Price

Jul 2010 Bid

Jul 2010 Offer

Sep 2010 Bid

Sep 2010 Offer

Dec 2010 Bid

Dec 2010 Offer

460 43.30 44.00 51.90 53.90 63.40 64.80

480 28.60 29.00 39.70 40.40 50.80 52.30

500 17.00 17.40 28.30 29.30 40.60 41.30

520 9.00 9.30 19.10 19.90 31.40 32.00

540 4.20 4.40 12.70 13.00 23.10 24.00

560 1.75 2.10 7.40 8.40 16.80 17.70

12

Strike Price

Jul 2010 Bid

Jul 2010 Offer

Sep 2010 Bid

Sep 2010 Offer

Dec 2010 Bid

Dec 2010 Offer

460 6.30 6.60 15.70 16.20 26.00 27.30

480 11.30 11.70 22.20 22.70 33.30 35.00

500 19.50 20.00 30.90 32.60 42.20 43.00

520 31.60 33.90 41.80 43.60 52.80 54.50

540 46.30 47.20 54.90 56.10 64.90 66.20

560 64.30 66.70 70.00 71.30 78.60 80.00

Opcija prodaje za akcije kompanije Google 15. jun 2010. Cena jedne akcije je: 497.07 / 497.25

Razlika između opcija i terminskih ugovora

  Terminski ugovori obavezuju ugovorne strane da kupe ili prodaju osnovnu aktivu

  Opcije kupcu daju pravo na kupovinu ili prodaju osnovne aktive

13

Moguće pozicije u opcijama

  Duga pozicija u opciji kupovine (call)

  Duga pozicija u opciji prodaje (put)

  Kratka pozicija u opciji kupovine (call)

  Kratka pozicija u opciji prodaje (put)

14

Dohoci za duge i kratke pozicije

K = cena izvršenja, ST = cena osnovne aktive u trenutku dospeća opcije

15

duga pozicija, call

ST ST K K

ST ST K K

kratka pozicija, call

duga pozicija, put kratka pozicija, put

Duga pozicija u opciji kupovine

Profit za evropsku opciju = $5, cena izvršenja = $100

16

30

20

10

0

-5

70 80 90 100

110 120 130

Profit ($)

Cena akcije na dospeću ($)

Kratka pozicija u opciji kupovine

Profit za evropsku opciju = $5, cena izvršenja = $100

17

-30

-20

-10

0 5

70 80 90 100

110 120 130

Profit ($)

Cena akcije na dospeću ($)

Duga pozicija u opciji prodaje

Profit za evropsku opciju = $7, cena izvršenja = $70

18

30

20

10

0

-7 70 60 50 40 80 90 100

Profit ($)

Cena akcije na dospeću ($)

Kratka pozicija u opciji prodaje

Profit za evropsku opciju = $7, cena izvršenja = $70

19

-30

-20

-10

7

0 70

60 50 40

80 90 100

Profit ($) Cena akcije

na dospeću ($)

Terminologija

  Profitabilnost trenutnog izvršenja:   At-the-money

  In-the-money

  Out-of-the-money

  Serija (lanac) opcija

  Intrinsična vrednost

  Vremenska vrednost

20

Serija (lanac) opcija Apr 16, 2011 NASDAQ calls and puts on MSFT (underlying price = $25.39)

21

Vrednovanje opcija u diskretnom vremenu metodom binomnog stabla

22

  Trenutna cena akcije je $20

  Kroz 3 meseca vredeće ili $22 ili $18

23

Jednostavno binomno stablo

Cena akcije = $18

Cena akcije = $22

Cena akcije = $20

24

Opcija na akciju

Cena akcije = $18 Cena opcije =$0

Cena akcije = $22 Cena opcije =$1

Cena akcije = $20 Cena opcije =?

  Cena izvršenja = $21

  Vreme dospeća = 3 meseca

25

Nerizični portfolio

18Δ

22Δ – 1

  Duga pozicija u Δ akcija

  Kratka pozicija u jednoj opciji

  Uslov nerizičnosti: 22Δ = 18, tj. Δ = 0.25

Vrednost replicirajućeg portfolija

  Pretpostavimo da je nerizična stopa r = 12%.

  Nerizični portfolio se sastoji od:   duge pozicije u Δ = 0.25 akcija

  kratke pozicije u jednoj opciji

  Vrednost portfolija kroz 3 meseca je: 22 x 0.25 – 1 = $4.50

  Vrednost portfolija danas je:   4.50 / (1+r)1/4 = $4.37

26

Vrednost opcije

  Nerizični portfolio se sastoji od:   duge pozicije u Δ = 0.25 akcija

  kratke pozicije u jednoj opciji

vredi $4.37

  Trenutna vrednost pozicije u akcijama je: 20 x 0.25 = $5.00

  Trenutna cena opcije, C0 , zadovoljava uslov: $5.00 – C0 = $4.37,

tj. C0 = $0.63

27

28

Uopštenje

S0u Cu

S0d Cd

S0 C0

29

Uopštenje

  Duga pozicija u Δ akcija i kratka pozicija u jednoj opciji

  Uslov nerizičnosti: S0uΔ – Cu = S0dΔ – Cd , tj.

S0uΔ – Cu

S0dΔ – Cd

dSuSCC du

00 −−=Δ

30

Uopštenje

  Vrednost portfolija u trenutku T je S0uΔ – Cu

  Vrednost portfolija u trenutku 0 je (S0uΔ – Cu)/(1+r)T

  Takođe, u trenutku 0 mora važiti i da je vrednost portfolija jednaka S0Δ – C0

  Sledi da je

Tu

rCuSSC)1(

000 +

−Δ−Δ=

31

Uopštenje

  Zamenom Δ dobijamo

gde je

])1([)1(

10 duT CppC

rC −+

+=

dudrp

T

−−+= )1(

32

p kao verovatnoća

  p i 1 – p možemo interpretirati kao verovatnoće kretanja cene naviše i naniže

  Vrednost derivata je diskontovani očekivani dohodak, gde se očekivanje meri u odnosu na riziko-neutralne verovatnoće S0u

Cu

S0d Cd

S0 C0

33

Riziko-neutralno vrednovanje

  U modelu binomnog stabla akcija zarađuje nerizičnu stopu prinosa

  Binomna stabla ilustruju opštiji rezultat da za vrednovanje derivata možemo smatrati da je:   Prinos na osnovnu aktivu isti kao i prinos na nerizičnu

  Diskontovanje se vrši nerizičnom stopom prinosa

  Ovaj metod se naziva riziko-neutralno vrednovanje

  Ilustracija: početni primer

34

Irelevantnost stope prinosa na akciju

  Kada tražimo vrednost opcije u funkciji cene osnovne aktive, (stvarne) verovatnoće kretanja cene naviše i naniže su irelevantne

  To ukazuje na opštiji rezultat da su očekivane stope prinosa osnovnih aktiva irelevantne za vrednost derivata

35

Primer sa dva vremenska koraka

  Opcija prodaje, K = 52, r = 5%

  Svaki korak iznosi 1 godinu

50

60

40

72

48

32

36

Delta

  Delta (Δ) predstavlja osetljivost cene opcije na promenu cene osnovne aktive

  Vrednost delte je različita za svaki čvor u binomnom stablu

37

Izbor parametara u i d

  Uobičajen način je da se u i d povežu sa volatilnošću tako što se izabere

gde je Δt vrednost vremenskog koraka, u godinama.

t

t

eud

euΔσ−

Δσ

==

=

1

38

Teorema Girsanova

  Volatilnost je ista u “stvarnom” i u riziko-neutralnom svetu

  Možemo stoga koristiti procene volatilnosti dobijene iz stvarnih prinosa da rekonstruišemo kretanje cene u modelu binomnog stabla u riziko-neutralnom svetu

39

Opcije sa drugim osnovnim aktivama

  Moguće druge osnovne aktive:   Berzanski indeksi

  Valutni kursevi

  Fjučersi

  Procedura za konstruisanje binomnog stabla je ista, osim razlike u načinu računanja riziko-neutralnih verovatnoća p.

40

Riziko-neutralna verovatnoća: opšti izraz

p =a ! d

u ! d

a = er!t za opcije na akcije koje ne plaćaju dividende

a = e(r!q)"t za opcije na berzanske indekse (q je dividendni prinos)

a = e(r!q)"t za opcije na valutne kurseve (q je nerizični prinos za

stranu valutu)

a =1 za opcije na fjučerse

Black-Scholes formula

41

42

Izvođenje formule iz modela binomnog stabla

  Opcija je “u novcu” kada je

  Sledi:

C0= e

!rT n!

(n ! j)! j!pj(1! p)

n! jmax{S

0ujdn! j

!K, 0}j=0

n

"

j !n

2"ln(S

0K )

2! T n

C0= e

!rT(S

0U1!KU

2)

U1=

n!

(n ! j)! j!pj(1! p)

n! jujdn! j

j>!

"

U2=

n!

(n ! j)! j!pj(1! p)

n! j

j>!

"

43

Izvođenje formule iz modela binomnog stabla

  U1 i U2 možemo naći na osnovu binomne funkcije raspodele

  Kada broj vremenskih koraka teži beskonačnosti, možemo primeniti Centralnu graničnu teoremu

  Binomna raspodela težiće normalnoj

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑α> α>

−− −−

=−−

−+=j j

jnjrTjnjn ppjjn

neppjjn

ndppuU ****1 1

!)!(!1

!)!(!])1([

dppupup

)1(*

−+=

44

Rešenje

C0= S

0N(d

1)! e

!rTKN(d

2)

d1=ln(S

0/K )+ (r +!

2/ 2)T

! T

d2= d

1!! T