kvantna-mehanika-ispit-fizicka-elektronika-binder1_part1.pdf

Docsity.com

II KOLOKVIJUM IZ KVANTNE MEHANIKE ETF, Beograd, 17.06.2007. 1. a) Izvesti izraz za popravku svojstvene vrednosti energije po teoriji perturbacija

nezavisnih od vremena I reda. b) Pomoću teorije perturbacija II reda odrediti svojstvene energije elektrona koji se nalazi u paraboličnoj potencijalnoj jami oblika mω2x2/2 u homogenom električnom polju orijentisanom duž x ose intenziteta K.

2. a) Odrediti odnos srednje vrednosti energije u diskretnom stanju opisanom proizvoljnom normiranom funkcijom f(x) i svojstvene energije osnovnog stanja čestice u potencijalnoj jami U(x). b) Izračunati aproksimativnu vrednost svojstvene energije osnovnog stanja čestice koja se nalazi u potencijalnoj jami: varijacionim metodom, ako je probna funkcija f(x)=xe-bx/2, b=const. Uzeti m=0,038 m0,

gde je m0 masa slobodnog elektrona i a=1/6 eV/nm. Napomene: ∫∞

+=−

0

1/! nndxxenx αα ,

α=const; ћ2/(2m0)=0,038 eV·nm2.

⎩⎨⎧

>≤∞

=0 ,0 ,

)(xaxx

xU

Docsity.com

RESENJA II KOL. IZ KVANTNE MEHANIKE

odrzanog 17.06.2007.

Tekst resenja se moze preuzeti na

http://nobel.etf.bg.ac.yu/studiranje/kursevi/fe3km/?p=materijali

1. Videti novo izdanje scripta: a) (str. 36–38) i b) primer br. 2 (str. 49–51) iz teorije perturbacijanezavisnih od vremena, uz zamenu F = eK.2. a) Videti novo izdanje scripta: poglavlje o varijacionom metodu (str. 59–60).b) Ova varijaciona funkcija ima posebno ime (Fang-Howard). Srednja vrednost energije je:

〈E〉 =〈f |H|f〉〈f |f〉 . (1)

Odredimo prvo 〈f |f〉:

〈f |f〉 =

∞∫0

x2e−bxdx =2b3

. (2)

Za Hamiltonijan H = T + U :〈f |H|f〉 = 〈f |T |f〉 + 〈f |U |f〉. (3)

Drugi izvod funkcije f je:

f ′′ = (e−bx/2 + x(−b/2)e−bx/2)′ =(−b +

b2

4x

)e−bx/2. (4)

Dakle:

〈f |T |f〉 = − h2

2m

⎡⎣−b

∞∫0

xe−bxdx +b2

4

∞∫0

x2e−bxdx

⎤⎦ = − h2

2m

(−b

1!b2

+b2

42!b3

)=

h2

2m

12b

. (5)

Ocekivana vrednost potencijalne energije je:

〈f |U |f〉 = a

∞∫0

x3e−bxdx = a3!b4

. (6)

Srednja vrednost je, dakle:

〈E〉 =h2

2m

b2

4+

3a

b. (7)

Prvi izvod po b je:d〈E〉db

=h2

2m

b

2− 3a

b2= 0. (8)

Odavde sledi:

b = 3

√6a

2m

h2 . (9)

Za date brojne podatke:b = 1 nm−1. (10)

Lako se proveri da je za bilo koje b > 0 drugi izvod:

d2〈E〉db2

=h2

4m+

6a

b3> 0, (11)

tj funkcional 〈E〉(b) je konkavna kriva za b > 0. Srednja vrednost energije je:

〈E〉 = 1 eVnm2 14 nm2

+36

eV = 0, 75 eV. (12)

Predmetni nastavnik: Beograd, 18.06.2007.

Prof. dr Milan Tadic

Docsity.com

Docsity.com

Resenja 3. i 4. zadatka iz Kvantne mehanikejunski ispitni rok 2007/08. godine

3. Videti skripta (M. Tadic, Predavanja iz Kvantne mehanike, nobel.etf.bg.ac.yu).

4. Funkcional energije:

〈E〉(α) =〈f |H|f〉〈f |f〉 =

〈f |T |f〉 + 〈f |U |f〉〈f |f〉 . (1)

Ovde je:

〈f |f〉 =1

8

√π

2α3, (2)

〈f |T |f〉 =3h2

16m

√π

2α, (3)

〈f |U |f〉 =3

64mω2

√π

2α5. (4)

Funkcional energije je:

〈E〉(α) = 3h2

2mα +

3

8

mω2

α. (5)

Pozitivna nula prvog izvoda je:

α0 =mω

2h. (6)

Minimalna vrednost funkcionala je:

〈E〉(α0) =3

2hω, (7)

sto je i tacan rezultat.

Docsity.com

ISPIT IZ KVANTNE MEHANIKE ETF, Beograd, 01.07.2007. 1. (25%) Zavisnost potencijalne energije od koordinate x data je izrazom: )()( xCxU δ−= ,

C>0. Odrediti strukturu spektra, naći sve dozvoljene energije i odgovarajuće talasne funkcije. Napomena: talasne funkcije kontinualnih stanja nije potrebno normirati.

2. (25%) Čestica mase m nalazi se u sfernoj kvantnoj jami konačne dubine, tj. u

potencijalu 0)( =rU za ar < i 0)( UrU = za ar > , gde je 00 >U . Koristeći uobičajenu smenu rrRr /)()( =Ψ u jednačini za radijalni deo talasne funkcije

)()(2

)1()()(12 2

22

2

2

rErmrllrU

drrdr

drd

rmΨ=Ψ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ− hh

izvesti izraz koji definiše svojstvene vrednosti energije čestice u s stanju (l=0) u oblasti

energija 0UE < . Takođe, naći minimalnu vrednost 0U koja obezbeđuje da u jami postoji bar jedno diskretno stanje.

3. (25%) (a) Elektron se nalazi u tankoj kvantnoj tački, koja se modeluje potencijalom

oblika:

gde je m masa elektrona, ω kružna učestanost, a x i y Dekartove koordinate. Poznajući svojstvene energije jednodimenzionog linearnog harmonijskog oscilatora, odrediti svojstvene vrednosti energije elektrona u kvantnoj tački.

(b) Izvesti izraz za dipolni matrični element prelaza između svojstvenih stanja elektrona u kvantnoj tački za svetlost polarizovanu u xy ravni. (c) Koji su prelazi dozvoljeni za polarizaciju pod (b)?

4. (25%) (a) Odrediti oblike Paulijevih spinskih matrica. (b) Koristeći Paulijeve matrice,

odrediti [Ŝ2,Ŝz], gde Ŝ2 i Ŝz označavaju kvadrat spinskog operatora i njegovu projekciju na z osu.

),(21),( 222 yxmyxU += ω

Docsity.com

RESENJA II DELA ISPITA IZ KVANTNE MEHANIKE

odrzanog 01.07.2007.

Tekst resenja se moze preuzeti na

http://nobel.etf.bg.ac.yu/studiranje/kursevi/fe3km/?p=materijali

3. (a) Videti poglavlje o izotropnom 2D linearnom harmonijskom oscilatoru. Svojstvene vrednosti zaenergiju su:

Enx,ny = hω(nx + ny + 1). (1)

(b) Dipolni matricni element je:

〈Ψ|(−e�r)|Ψ〉 = −e(〈Ψ|x|Ψ〉 + 〈Ψ|y|Ψ〉). (2)

Svojstvene funkcije su:Ψ(x, y) = Ψx(x)Ψy(y), (3)

gde su Ψx i Ψy svojstvene funkcije 1D LHO za pojedine pravce. Srednja vrednost x koordinate je(videti skripta):

〈Ψx|x|Ψx〉 =

√h

mω

(√nx

2δn′

x,nx−1 +

√nx + 1

2δn′

x,nx+1

)(4)

i slicno za y. Prema tome:

〈Ψ|(−e�r)|Ψ〉 = (−e)

√h

mω

(√nx

2δn′

x,nx−1 +

√nx + 1

2δn′

x,nx+1

)δn′

y ,ny

+

√h

mω

(√ny

2δn′

y ,ny−1 +

√ny + 1

2δn′

y ,ny+1

)δn′

x,nx .

(5)

(c) Dozvoljeni su prelazi samo izmedu susednih stanja.4. (a) Videti skriptu. (b) Postupak resavanja se svodi na mnozenje Paulijevih matrica sa h/2 da bise formirale matrice Sx, Sy i Sz. Zatim se formira S2 = S2

x + S2y + S2

z i oduzmu proizvodi matrica S2

i Sz u oba redosleda. Rezultat je:[S2, Sz] = 0. (6)

Predmetni nastavnik: Beograd, 01.07.2007.


Docsity.com

ISPIT IZ KVANTNE MEHANIKE ETF, Beograd, 06.03.2007. 1. Potencijalna energija je oblika: jednaka je nuli za pozitivne vrednosti promenljive x, dok je

za negativne vrednosti promenljive x beskonačno velika. Odrediti dozvoljene energije čestice mase m i odgovarajuće talasne funkcije. Napomena: talasne funkcije kontinualnih stanja nije potrebno normirati.

2. a) (10 poena) Izračunati komutatore [ ]dxdixf −),( i [ ])ˆˆ(,ˆ rpLz

rr⋅ .

b) (15 poena) Rotator u ravni nalazi se u stanju ( ) ϕ

πϕϕ

πϕψ ie2

221sincos

23

21)( +−= .

Naći moguće izmerene vrednosti momenta zL i verovatnoće za njihovo dobijanje. 3. a) (15 poena) Izvesti opšti oblik stacionarne Šredingerove jednačine za kretanje elektrona u

elektromagnetskom polju. b) (10 poena) Poznajući svojstvene energije LHO (potencijal oblika mω2x2/2), odrediti svojstvene energije elektrona u potencijalu LHO i homogenom električnom polju intenziteta K orijentisanom duž x ose.

4. Izračunati svojstvenu energiju osnovnog stanja (l=0) elektrona mase m u vodonikovom atomu varijacionim metodom, ako je probna funkcija f=e−r/a; r je rastojanje od centra jezgra, a a je varijacioni parametar. Pretpostaviti da je masa jezgra mnogo veća of mase elektrona.

Napomena: ∫∞

+− =0

1)/(! nrn ndrer αα , α=const.




rr⋅ .


πϕϕ

πϕψ ie2

221sincos

23

21)( +−= .


elektromagnetskom polju. b) (10 poena) Poznajući svojstvene energije LHO (potencijal oblika mω2x2/2), odrediti svojstvene energije elektrona u potencijalu LHO i homogenom električnom polju intenziteta K orijentisanom duž x ose.

4. Izračunati svojstvenu energiju osnovnog stanja (l=0) elektrona mase m u vodonikovom atomu varijacionim metodom, ako je probna funkcija f=e−r/a; r je rastojanje od centra jezgra, a a je varijacioni parametar. Pretpostaviti da je masa jezgra mnogo veća of mase elektrona.

Napomena: ∫∞

+− =0

1)/(! nrn ndrer αα , α=const.

Docsity.com




rr⋅ .


πϕϕ

πϕψ ie2

221sincos

23

21)( +−= .


elektromagnetskom polju. b) (15 poena) Odrediti svojstvene energije elektrona koji se nalazi u paraboličnoj potencijalnoj jami oblika mω2x2/2 u homogenom električnom polju orijentisanom duž x ose intenziteta K.

4. a) (10 poena) Uporediti srednju vrednost energije za proizvoljnu normiranu funkciju f sa svojstvenom energijom osnovnog stanja čestice u potencijalnoj jami U(x). b) (15 poena) Izračunati svojstvenu energiju osnovnog stanja vodonikovog atoma varijacionim metodom, ako je probna funkcija f=e−r/a, a=const, a r je rastojanje od centra jezgra. Pretpostaviti da je masa jezgra mnogo veća of mase elektrona.

Docsity.com

Docsity.com

ISPIT IZ KVANTNE MEHANIKE

ETF Beograd, 02.10.2006.

1. Cestica mase m se nalazi u potencijalnoj jami oblika: U(x) = 0, za x < 0 i U(x) = 0, zax > a. U oblasti 0 < x < a, potencijalna energija je neka proizvoljna funkcija od x. Za nekuenergiju E, kontinualnog spektra odgovarajuce (nenormirane) talasne funkcije su oblika: Ψ1(x) =exp(ikx) + RLexp(−ikx), x < 0,Ψ1(x) = TLexp(ikx), x > a,Ψ2(x) = TRexp(−ikx), x < 0,Ψ2(x) = exp(−ikx) + RRexp(ikx), x > a,

Pokazati da su u vaznosti relacije: TL = TR i | RL |=| RR |. Napomena: k =√

2mE/h2.2. (a) (10 p.) Cestica mase m u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami sa apsolutno nepropusnimzidovima (0 < x < l) nalazi se u stanju reprezentovanom talasnom funkcijom Ψ(x) = Ax(x − l).Normirati funkciju Ψ(x) i naci srednju vrednost operatora impulsa u stanju Ψ. (b) (15 p.) Izracunatikomutatore [Lx, r2] i [Ly, p

2].3. (a) (15 p.) Izvesti uslov za energije diskretnih stanja u proizvoljnoj potencijalnoj jami po WBKmetodu. Poznati su oblici talasnih funkcija u jami za levu (x = a) i desnu (x = b) povratnu tackuψx>a(x) = 2C2 cos(

∫ xa pdx/h + π/4)/

√p i ψx<b(x) = 2C1 cos(

∫ bx pdx/h + π/4)/

√p, respektivno. Ovde

je p klasicni impuls, a C1 i C2 su konstante. (b) (10 p.) Koristeci izraz izveden pod (a) odreditisvojstvene energije LHO.4. Elektron mase m = 0, 026m0, gde je m0 masa slobodnog elektrona, nalazi se u beskonacno dubokojpotencijalnoj jami sirine d = 10 nm i podvrgnut je dejstvu homogenog elektricnog polja u pravcukonfiniranja intenziteta K = 104 V/cm. Izracunati energiju osnovnog stanja u okviru prva dva redateorije perturbacija smatrajuci da samo cetiri nivoa neperturbovane jame znacajno uticu na energijuosnovnog stanja sa poljem, dok je uticaj visih nivoa zanemarljiv. Za n ∈ N :

∫ d0 x cos (nπx/d) dx =

(d2/n2π2) [(−1)n − 1]. Naelektrisanje elektrona je q = 1, 6 × 10−19 C, a m0 = 9, 1 × 10−31 kg.

ISPIT IZ KVANTNE MEHANIKE

ETF Beograd, 02.10.2006.

1. Cestica mase m se nalazi u potencijalnoj jami oblika: U(x) = 0, za x < 0 i U(x) = 0, zax > a. U oblasti 0 < x < a, potencijalna energija je neka proizvoljna funkcija od x. Za nekuenergiju E, kontinualnog spektra odgovarajuce (nenormirane) talasne funkcije su oblika: Ψ1(x) =exp(ikx) + RLexp(−ikx), x < 0,Ψ1(x) = TLexp(ikx), x > a,Ψ2(x) = TRexp(−ikx), x < 0,Ψ2(x) = exp(−ikx) + RRexp(ikx), x > a,

Pokazati da su u vaznosti relacije: TL = TR i | RL |=| RR |. Napomena: k =√

2mE/h2.2. (a) (10 p.) Cestica mase m u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami sa apsolutno nepropusnimzidovima (0 < x < l) nalazi se u stanju reprezentovanom talasnom funkcijom Ψ(x) = Ax(x − l).Normirati funkciju Ψ(x) i naci srednju vrednost operatora impulsa u stanju Ψ. (b) (15 p.) Izracunatikomutatore [Lx, r2] i [Ly, p

2].3. (a) (15 p.) Izvesti uslov za energije diskretnih stanja u proizvoljnoj potencijalnoj jami po WBKmetodu. Poznati su oblici talasnih funkcija u jami za levu (x = a) i desnu (x = b) povratnu tackuψx>a(x) = 2C2 cos(

∫ xa pdx/h + π/4)/

√p i ψx<b(x) = 2C1 cos(

∫ bx pdx/h + π/4)/

√p, respektivno. Ovde

je p klasicni impuls, a C1 i C2 su konstante. (b) (10 p.) Koristeci izraz izveden pod (a) odreditisvojstvene energije LHO.4. Elektron mase m = 0, 026m0, gde je m0 masa slobodnog elektrona, nalazi se u beskonacno dubokojpotencijalnoj jami sirine d = 10 nm i podvrgnut je dejstvu homogenog elektricnog polja u pravcukonfiniranja intenziteta K = 104 V/cm. Izracunati energiju osnovnog stanja u okviru prva dva redateorije perturbacija smatrajuci da samo cetiri nivoa neperturbovane jame znacajno uticu na energijuosnovnog stanja sa poljem, dok je uticaj visih nivoa zanemarljiv. Za n ∈ N :

∫ d0 x cos (nπx/d) dx =

(d2/n2π2) [(−1)n − 1]. Naelektrisanje elektrona je q = 1, 6 × 10−19 C, a m0 = 9, 1 × 10−31 kg.

Docsity.com

Elektrotehnicki fakultet Univerziteta u Beogradu

Milan Tadic

Predavanja iz kvantne mehanike

Beograd, 2010.

Docsity.com

2

Docsity.com

Predgovor

Ovaj tekst predstavlja beleske sa predavanja na II delu predmeta ”Kvantna mehanika” koje je

autor drzao u toku sest nedelja u letnjem semestru 2005/2006. godine studentima II godine

Odseka za fizicku elektroniku Elektrotehnickog fakulteta u Beogradu.

Dati tekst je nastao kao rezultat zelje da se prezentovana materija na casu ucini razumljivijom

studentima. Autor je svestan nesavrsenosti, prisutnih tipografskih gresaka i mogucih boljih

formulacija prezentovane teorije. Svaka sugestija pazljivog citaoca u smislu unapredenja teksta

je dobro dosla.

Preferirani udzbenik za izradu materijala za ovaj deo kursa je bio: B. H. Bransden, J.

C. Joachain, ”Introduction to quantum mechanics”, Longman, 1989., mada su koriseni delovi

nekih drugih udzbenika. Treba primetiti da su u prezentovanom materijalu vektori oznaceni

boldiranim slovima i da su koriscene standardne oznake za matricne elemente u kvantnoj

mehanici.

Autor smatra da je bilo kakav materijal za pripremu ispita bolji od nikakvog i nada se da

ce prezentovani materijal pomoci studentima da lakse savladaju ispit i da ih uvede u intere-

santnu oblast kvantne mehanike i njenih primena. Bez osnovnih znanja iz ove oblasti fizike je

prakticno nemoguce pratiti savremene fundamentalne i primenjene discipline, kao sto su fizika

nanostruktura i nanosistema, nanoelektronika, optoelektronika i kvantno racunarstvo.

Beograd, 14.6.2006.


3

Docsity.com

4

Predgovor II izdanju

U ovom izdanju pripremljenom za slusaoce kursa u skolskoj 2006/2007. godini, dodata su dva

nova poglavlja o interakcijama elektromagnetskog zracenja sa kvantnim sistemom i numerickom

resavanju Sredingerove jednacine. S obzirom na uvecanu materiju, za neke oblasti koje su

obradene u ovom kursu, nije bilo dovoljno vremena, tako da nisu ni tretirane na casovima.

Takode, ispravljene su uocene stamparske greske. Studentima se preporucuje da konsultuju

svoje beleske sa predavanja, kako bi utvrdili koja je materija ispredavana i koja ce, dakle, biti

ispitivana.

Beograd, 10.7.2007.

Autor

Predgovor III izdanju

U ovom izdanju za slusaoce kursa Kvantna mehanika u letnjem semestru skolske 2007/08. godine

dodata su poglavlja o operatorima kreacije i destrukcije i nekoliko poglavlja koja se odnose na

primenu kvantne mehanike na nanostrukture. Takode, u Dodatku je objasnjena Dirakova bra-ket

notacija i prezentovana matricna reprezentacija kvantne mehanike. Autor je uocio nekonzistent-

nost uocavanja vektora u nekim poglavljima masnim slovima, a u drugim vektorskom strelicom.

Ova ispravka je ostavljena za naredno izdanje.

Beograd, 09.6.2008.

Autor

Predgovor IV izdanju

III izdanje je pripremljeno za slusaoce kursa u skolskoj 2009/10. godini. U ovom izdanju su

zadaci izdvojeni u posebnu Zbirku zadataka. Pored toga, dat je dokaz Hajzenbergove relacije

Docsity.com

5

neodredenosti. Zbog nedostatka vremena da se obrade sve predvidjene celine po programu, nu-

mericko resavanje Sredingerove jednacine se sada obraduje u kursu “Nanotehnologije i nanokom-

ponente”, gde se slusaoci upucuju na konkretan rad iz oblasti modelovanja nanostruktura.

Beograd, 10.6.2010.

Autor

Docsity.com

6

Docsity.com

1

Preliminarna razmatranja

1. Dirakova bra-ket notacija

Prema Dirakovoj bra-ket notaciji skalarni proizvod talasnih funkcija se pise u formi:

〈ψ1|ψ2〉 =∫

ψ∗1ψ2dV. (1)

Ovde je uzeto da se radi o trodimenzionom integralu, za slucaj talasne funkcije koja zavisi od tri prostorne

koordinate. Za druge slucajeve, funkcije koja zavisi od dve koordinate ψ(x, y) i jedne koordinate ψ(x) treba

umesto dV pisati dS = dxdy i dx. Integracija je po relevantnom domenu, tj granice integracije nisu eksplicitno

oznacene. Ako je talasna funkcija definisana u celom prostoru tada su sve granice sva integrala od (−∞, +∞).

Za jednostavniji slucaj talasne funkcije zavisne samo od x koordinate i konfiniranja cestice u beskonacno dubokoj

potencijalnoj jami sirine d, domen integracije, za koordinatni pocetak na mestu jednog od dva beskonacna skoka

potencijalne energije, je [0, d].

Skalarni proizvod pruza osnov da se definisu ket:

|ψ2〉 = ψ2 (2)

i bra:

〈ψ1| = ψ∗1 . (3)

Dakle, ket i bra mogu da stoje razdvojeno i tada oznacavaju talasnu funkciju datog stanja i njenu konjugovano

kompleksnu vrednost nezavisno od reprezentacije talasne funkcije (na primer, koordinatna ili impulsna). Lako

se moze ustanoviti da vaze sledeci identiteti:

〈ψ1|ψ2〉 = 〈ψ2|ψ1〉∗, (4)

7

Docsity.com

8 1. Preliminarna razmatranja

〈ψ1|cψ2〉 = c〈ψ1|ψ2〉, c = const, (5)

〈cψ1|ψ2〉 = c∗〈ψ1|ψ2〉, c = const, (6)

〈ψ3|ψ1 + ψ2〉 = 〈ψ3|ψ1〉+ 〈ψ3|ψ2〉. (7)

Pored toga, ako su funkcije ψ1 i ψ2 ortogonalne:

〈ψ1|ψ2〉 = 0. (8)

Takode, uslov normiranja talasne funkcije ψ je:

〈ψ|ψ〉 = 1. (9)

Ocekivana (srednja) vrednost dinamicke promenljive A u stanju opisanom talasnom funkcijom ψn (u oznaci 〈A〉)je:

〈A〉 = 〈ψn|A|ψn〉. (10)

Cesto u oznaci ket nekog stanja stoji samo kvantni broj datog stanja: umesto |ψn〉 cesto se samo pise |n〉:

〈A〉 = 〈n|A|n〉. (11)

Za n-to svojstveno stanje hamiltonijana, energije En, ocekivana vrednost je upravo En, tako da je:

En = 〈ψn|H|ψn〉 = 〈n|H|n〉. (12)

U teoriji se pored ocekivane vrednosti, pojavljuju i integrali oblika:

〈ψn|O|ψm〉 = 〈n|O|m〉 =∫

ψ∗nOψmdV, (13)

koji se nazivaju matricni elementi (izmedu stanja n i m, za dati slucaj). Ocekivana vrednost je poseban slucaj

matricnog elementa za n = m. Razlog za naziv matricni element navedenog integrala ce biti dat u poglavlju o

matricnoj reprezentaciji u kvantnoj mehanici.

Moze se pokazati da ketu:

A|ψ〉 (14)

odgovara bra:

〈ψ|A†. (15)

Ovo bra znaci: 1) delovanje operatora A† na neki ket (talasnu funkciju); 2) mnozenje sa ψ i 3) integraciju po

relevantnom domenu da bi se odredio trazeni matricni element. Posmatrajmo matricni element:

〈ψ|A|χ〉. (16)

Docsity.com

2.. Matricna reprezentacija talasnih funkcija 9

Oznacimo:

|f〉 = Aψ (17)

i

〈g| = 〈ψ|A† (18)

Za dati matricni element:

〈ψ|A†|χ〉 = 〈g|χ〉 =∫

ψ∗A†χdV =∫

(Aψ)∗χdV =(∫

χ∗AψdV

)∗= 〈χ|A|ψ〉∗ = 〈f |χ〉. (19)

Ako je operator koji figurise A = H u matricnom elementu hermitski (na primer hamiltonijan, H = H†),

tada ketu

H|ψ〉 (20)

odgovara

〈ψ|H, (21)

sto znaci:

〈ψ|H|χ〉 = 〈χ|H|ψ〉∗. (22)

Navedena veza izmedu ket i bra, omogucava da se pojednostave matricni elementi. Na primer, ako je poznato:

Hψ = Eψ, (23)

ali χ nije svojstvena funkcija hamiltonijana H:

〈ψ|H|χ〉 = 〈χ|H|ψ〉∗ = E〈χ|ψ〉∗ = E〈ψ|χ〉. (24)

Efektivno, ispada za ovaj primer kao da se hermitski operator “okrene” prema bra u matricnom elementu i deluje

na njega.

2. Matricna reprezentacija talasnih funkcija

Posmatramo kompletan skup ortonormiranih funkcija ψn (〈ψm|ψn〉 = δmn), gde je n ceo nenegativan broj, a

ψn su funkcije koordinata u skladu sa dimenzionalnoscu Sredingerove jednacine. Uzmimo da ovih funkcija ima

N . Ove funkcije formiraju bazis ili reprezentacju {ψn}. Proizvoljna talasna funkcija Ξ moze se razviti u red

formiran od bazisnih funkcija:1

Ξ =∑

n

cnψn. (25)

1Prisetiti se razvoja proizvoljne periodicne funkcije u Firijeov red.

Docsity.com


Za dati skup bazisnih funkcija ψn, brojevi cn potpuno odreduju talasnu funkciju Ξ. Drugim recima, koefici-

jenti cn predstavljaju Ξ u reprezentaciji {ψn}. Skup funkcija {ψn} je analogan skupu ortogonalnih osa (na

primer Dekartovog koordinatnog sistema), tj ψn funkcije su analogne jedinicnim vektorima osa. Brojevi cn su

analogni algebarskim vrednostima intenziteta projekcija datog vektora na pojedine ose. Slicno, cnψn su analogni

komponentama vektora duz pojedinih osa.

Posmatrajmo delovanje linearnog hermitskog operatora na talasnu funkciju Ξ:

X = AΞ. (26)

Rezultat je funkcija X. Ova funkcija se moze odrediti koriscenjem istog bazisa:

X =∑

n

dnψn. (27)

Koeficijenti razvoja dn se u opstem slucaju razlikuju od koeficijenata razvoja funkcije Ξ, cn.

Podsetimo se kako se moze odrediti algebarska vrednost projekcije nekog vektora duz date ose. Na primer,

x komponenta vektora polozaja je:

x = ~ex · ~r. (28)

Slicno se moze odrediti koeficijent razvoja talasne funkcije dm:

〈ψm|X〉 =∑

n

dn〈ψm|ψn〉. (29)

S ozbirom da su funkcije ortogonalne, 〈ψm|ψn〉 = δmn, tako da je:

dm = 〈ψm|X〉. (30)

Odredimo sada vezu izmedu koeficijenata u razvoju funkcije X i funkcije Ξ:

dm = 〈ψm|X〉 = 〈ψm|A|Ξ〉 =∑

n

cn〈ψm|A|ψn〉. (31)

Veza izmedu koeficijenata d i koeficijenata c moze se pisati u obliku:

dm =∑

n

Amncn. (32)

Ako se ovaj postupak sprovede za razlicite vrednosti m, ova veza se moze pisati u matricnoj formi:

d1

d2

...

dN

=

A11 A12 . . . A1N

A21 A22 . . . A2N

......

. . ....

AN1 AN2 . . . ANN

c1

c2

...

cN

, (33)

Docsity.com

2.. Matricna reprezentacija talasnih funkcija 11

odnosno:

d = Ac, (34)

gde d i c predstavljaju vektore koji sadrze koeficijente dn i cn repsektivno, dok je A matrice koja povezuje ove

koeficijente. Element matrice A je:

Amn = 〈ψm|A|ψn〉. (35)

〈ψm|A|ψn〉 je matricni element operatora A u bazisu {ψn}.Jednakost d = Ac je ekvivalentna X = AΞ, sto znaci da skup matricnih elemenata Amn (odnosno matrica A),

potpuno odreduju operator A. Bazis {ψn} moze da sadrzi konacan broj funkcija N , ali moze biti i beskonacan,

kada N →∞.

Bazis {ψn}, dakle, sluzi kao osnov za matricnu reprezentaciju talasnih funkcija. Pri tome, talasnu funkciju

predstavljaju koeficijenti razvoja (ekspanzije) cn, a proizvoljni linearni operator A predstavlja matrica A. Prema

matricnoj reprezentaciji, skalarni proizvod dve talasne funkcije svodi se na skalarni proizvod dva vektora:

〈X|Ξ〉 =∑

n

cn〈X|ψn〉 =∑m

∑n

d∗mcn〈ψm|ψn〉 =∑m

∑n

d∗mcnδmn =∑

n

d∗ncn = d†c, (36)

gde je:

d† = (dT )∗ (37)

transponovani i konjugovani vektor d, tj vrsta koja sadrzi elemente d∗m. Broj matricnih reprezentacija talasnih

funkcija i operatora je beskonacan, jer ima beskonacno mnogo skupova ortonormiranih funkcija.

Posmatrajmo sada Sredingerovu jednacinu:

HΨ = EΨ (38)

i razvijmo nepoznatu (stacionarnu) svojstvenu funkciju Ψ po (poznatim) bazisnim funkcijama:

Ψ =∑

n

cnψn. (39)

Mnozenje Sredingerove jednacine sa ψ∗m i integracija po relevantnom prostoru daje:

∑n

cn

∫ψ∗mHψndV = E

∑n

∑n

cn

∫ψ∗mψndV. (40)

Pomocu Diracove bra-ket notacije, uzimajuci u obzir ortonormiranost bazisnih funkcija, ova jednacina se moze

pisati:∑

n

〈ψ∗n|H|ψm〉cn = Ecm. (41)

Docsity.com


Ako se ovaj postupak sprovede za sve ψm, rezultat se moze pisati u matricnoj formi:

Hc = ec, (42)

gde je c kolona koeficijenata razvoja, a H je Hamiltonova matrica, ciji su elementi oblika:

Hmn = 〈ψm|H|ψn〉. (43)

Problem resavanja Sredingerove jednacine, tj odredivanja svojstvenih energija i svojstvenih funkcija svodi se

na problem odredivanja svojstvenih vrednosti i svojstvenih vektora matrice Hamiltonove matrice H. Trazenje

svojstvenih vrednosti i svojstvenih vektora je nacesce moguce uciniti numericki, dok su analiticka resenja moguca

za mali broj bazisnih funkcija. U opstem slucaju, potrebno je matricu H dijaogonalizovati, sto se svodi na primenu

unitarne transformacije bazisnih funkcija. Ova transformacija se svodi na primenu unitarne matrice. Unitarne

matrica U ima osobinu:

U−1 = U†. (44)

Pomocu ove matrice:

c′ = Uc. (45)

Za nove koeficijente, jednacina ima oblik (U†U = I, I je jedinicna matrica):

H ′ = UHU †c′ = Ec′. (46)

Uz pogodan izbor unitarne matrice U , matrica H ′ moze biti dijagonalna. U numerickom postupku, dijagonal-

izacija matrice se sprovodi iterativno. Na kraju postupka dijagonalizacije, matrica H ′ ima dijagonalnu formu iz

koje se direktno mogu procitati svojstvene vrednosti: to su vrednosti na glavnoj dijagonali matrice H ′.

3. Heisenbergova relacija neodredjenosti

Posmatramo dve dinamicke promenljive A i B. Srednje vrednosti ove dve fizicke velicine su:

〈A〉 = 〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉, (47)

〈B〉 = 〈B〉 = 〈ψ|B|ψ〉. (48)

Definisimo neodredenost kao kvadratni koren iz srednje kvadratne disperzije:

∆A =√〈(A− 〈A〉)2〉, (49)

∆B =√〈(B − 〈B〉)2〉. (50)

Docsity.com

3.. Heisenbergova relacija neodredjenosti 13

Treba obratiti paznju da je u ostatku kursa, ∆A (slicno i ∆B) definisano kao odstupanje od srednje vrednosti,

dok samo ovde ∆A ima znacenje standardne devijacije, tj kvadratnog korena srednjeg kvadratnog odstupanja.

Pokazacemo da je:

∆A ·∆B ≥ 12

∣∣∣〈[A, B

]〉∣∣∣ . (51)

Drugim recima, pokazacemo da je proizvod neodredenosti dve dinamicke promenljive veci ili jednak polovini

apsolutne ocekivane vrednosti dinamicke promenljive koja je predstavljena komutatorom operatora posmatranih

dinamickih promenljivih. Najpre cemo uvesti hermitske operatore:

A′ = A− 〈A〉, (52)

B′ = B − 〈B〉. (53)

Dakle, kvadrati neodredenosti velicina A i B su:

(∆A)2 = 〈A′2〉, (54)

(∆B)2 = 〈B′2〉. (55)

Pored ove dve osobine, moze se pokazati da je:

[A′, B′] = [A, B]. (56)

Uvedimo linearni, ali nehermitski operator:

C = A′ + iλB′, (57)

gde je λ realna vrednost. Adjungovani operator je:

C† = A′ − iλB′. (58)

Srednja vrednos CC† je:

〈CC†〉 = 〈ψ|CC†|ψ〉 =∫

ψCC†ψdV =∫

(C†ψ)∗C†ψdV =∫|g|2dV ≥ 0, (59)

gde je g = C†ψ. S druge strane:

f(λ) = 〈CC†〉 = 〈(A′ + iλB′)(A′ − iλB′)〉 = 〈A′2 + λ2B′2 − iλ[A′, B′]〉. (60)

Na osnovu (54), (55) i (56) sledi:

f(λ) = (∆A)2 + λ2(∆B)2 − iλ〈[A, B[〉 ≥ 0. (61)

Docsity.com


f(λ) je, dakle, realno i nenegativno, sto znaci da 〈[A, B]〉 ima imaginarne vrednosti. Minimum funkcije f(λ) je

u:

λ0 =i

2〈[A, B]〉(∆B)2

. (62)

Vrednost funkcije u minimumu je:

f(λ0) = (∆A)2 +14〈[A, B]〉2(∆B)2

≥ 0. (63)

Mnozenjem ovog izraza sa (∆B)2, sledi:

(∆A)2(∆B)2 ≥ −14|〈[A, B]〉|2, (64)

odnosno:

∆A ·∆B ≥ 12|〈[A, B]〉|. (65)

Za par kanonski konjugovanih promenljivih vazi:

[A, B] = i~, (66)

odakle sledi:

〈[A, B]〉 = i~, (67)

odnosno:

∆A ·∆B ≥ ~2

. (68)

Ovo je Hajzenbergova relacija neodredenosti. Na primer, za par kanonski konjugovanih promenljivih (x, px):

∆x∆px ≥ ~2. (69)

Ova relacija namece inherentna ogranicenja na merenja. Po ovoj relaciji, ne moze se realizovati stanje u kome

se znaju i polozaj (x) i kolicina kretanja (px) istovremeno sa proizvoljnom tacnoscu.

Docsity.com

2

Kvantovanje linearnog harmonijskog

oscilatora

Posmatramo kretanje cestice u potencijalu oblika, kao na slici. U okolini x = 0 potencijal se moze razviti u

Tejlorov red:

U(x) = U(0) +11!

dU

dx

∣∣∣∣x=0

x +12!

d2U

dx2

∣∣∣∣x=0

x2 . . . (1)

S obzirom da potencijal ima minimum u tacki x = 0, ako se zadrzimo do drugog stepena po x:

U(x) =12kx2. (2)

Svaki sistem kod koga je potencijalna energija ovakvog oblika naziva se linearni harmonijski oscilator (LHO).

Klasicno, ucestanost oscilacija ovakvog sistema je ω =√

k/m.

Sl. 1. Potencijal koji se za male energije (male oscilacije) u klasicnoj mehanici moze aproksimi-

rati parabolom.

15

Docsity.com

16 2. Kvantovanje linearnog harmonijskog oscilatora

Sl. 2. Potencijal LHO.

Sredingerova jednacina za cesticu koja se krece u ovom potencijalu ima oblik:

− ~2

2m

d2ψ

dx2+

12mω2x2ψ = Eψ (3)

Ukoliko se ova jednacina pomnozi sa −2m/~2, dobija se:

(d2

dx2+

2mE

~2− m2ω2

~2x2

)ψ = 0. (4)

Uvedimo smene:

E =2E

~ω, (5)

ξ = αx , (6)

gde je:

α =√

mω

~. (7)

Uz zamenu (6):

d

dx=

d

dξ

dξ

dx= α

d

dξ. (8)

Ponavaljanjem ovog postupka za drugi izvod se dobija:

d2

dx2= α2 d2

dξ2. (9)

Uz smene (6) i (5):

2mE

~2=

2m

~2

~ω2E = α2E (10)

Docsity.com

17

Prema tome, Sredingerova jednacina dobija oblik:(

α2 d2

dξ2+ α2E − α4 ξ2

α2

)ψ = 0, (11)

odnosno:d2ψ

dξ2+

(E − ξ2)ψ(ξ) = 0. (12)

Ako posmatramo slucaj |x| → ∞ (ξ2 → ∞), clan E se moze zanemariti u odnosu na deo od potencijala, pa

diferencijalna jednacina ima oblik: (d2

dξ2− ξ2

)ψ(ξ) = 0. (13)

Zadrzavajuci samo najvisi stepen ξ, moze se pokazati da resenje ima formu:

ψ(ξ) = ξpe±ξ2/2. (14)

Od dva znaka u argumentu eksponencijalne funkcije, samo je znak − fizicki opravdan. Za proizvoljnu vrednost

koordinate, fizicki opravdano resenje se moze pisati u formi

ψ(ξ) = Cne−ξ2/2H(ξ), (15)

gde je H(ξ) polinom, kao sto ce biti pokazano, a Cn je normalizaciona konstanta. Formirajmo jednacinu po

H(ξ), zamenom pretpostavljenog resenja u jednacinu (12). Prvi izvod ψ je:

ψ′(ξ) = Cne−ξ2/2H ′(ξ) + Cn(−ξe−ξ2/2)H(ξ)

= Cne−ξ2/2(H ′(ξ)− ξH(ξ)).(16)

Drugi izvod je oblika:

ψ′′(ξ) = Cne−ξ2/2(−ξ)(H ′(ξ)− ξH(ξ)) + Cne−ξ2/2(H ′′(ξ)−H(ξ)− ξH(ξ)′), (17)

odnosno:

ψ′′(ξ) = Cne−ξ2/2[H ′′(ξ)− 2ξH ′(ξ) + (ξ2 − 1)H(ξ)

](18)

Zamenom u jednacinu (12), dobija se:

Cne−ξ2/2 [H ′′(ξ)− 2ξH ′(ξ) + (E − 1)H(ξ)] = 0. (19)

Prema tome, mora biti zadovoljena diferencijalna jednacina

H ′′(ξ)− 2ξH ′(ξ) + (E − 1)H(ξ) = 0 , (20)

koja se naziva Hermiteova jednacina.

S obzirom da je potencijal parna funkcija koordinate, sva stanja se mogu klasifikovati kao parna i neparna.

Razmotrimo najpre parna stanja.

Docsity.com


1. Parna stanja

Za ovaj slucaj H(ξ) je parna funkcija koordinate ξ, tj

H(ξ) = H(−ξ). (21)

H(ξ) sadrzi samo parne stepene ξ:

H(ξ) =∞∑

k=0

ckξ2k = H(−ξ). (22)

Prvi izvod ove funkcije po ξ je:

H ′(ξ) =∞∑

k=0

ck2kξ2k−1. (23)

Ovde se pocetna vrednost brojaca k moze postaviti na 0, jer prvi clan u sumi ne daje nikakav doprinos. Drugi

izvod je:

H ′′(ξ) =∞∑

k=0

ck2k(2k − 1)ξ2k−2. (24)

Zamenom oblika funkcije H(ξ), njenog prvog i drugog izvoda u diferencijalnu jednacinu (20), dobijamo:

∞∑

k=0

[2k(2k − 1)ckξ2(k−1) − 4kckξ2k + (E − 1)ckξ2k

]= 0. (25)

Treba primetiti da je prvi clan razlicit od nule k = 1. U prvom sabirku mozemo zameniti k − 1 → k, pa sledi:

∞∑

k=0

[2(k + 1)(2k + 1)ck+1 + (E − 1− 4k)ck] ξ2k = 0. (26)

Odavde sledi rekurentna relacija za koeficijente ck:

ck+1 =1 + 4k − E

2(k + 1)(2k + 1)ck. (27)

Za k →∞,ck+1

ck∼ 1

k, (28)

sto je odnos pri razvoju u Tejlorov red funkcije eξ2:

eξ2=

∞∑

k=0

1k!

ξ2k. (29)

Prema tome, ukoliko red ima beskonacno mnogo clanova, svojstvena funkcija bi imala oblik:

ψ(ξ) ∼ eξ2/2 (30)

i dakle ne bila ogranicena u ξ → ±∞. Zakljucujemo da red mora biti konacan, sto znaci da su svi koeficijenti u

opstem ck 6= 0, k ≤ N , ali

cN+1 = 0. (31)

Docsity.com

2.. Neparna stanja 19

Da bi ovo bilo ispunjeno, energija mora imati diskretne vrednosti (treba zameniti k → N u razlomku ispred ck

u (27)):

E = 4N + 1, N = 0, 1, 2, . . . . (32)

2. Neparna stanja

Neparna stanja se mogu predstaviti polinomom:

H(ξ) =∞∑

k=0

dkξ2k+1, (33)

pri cemu je d0 6= 0. Slicno kao za parna stanja, dobija se:

dk+1 =4k + 3− E

2(k + 1)(2k + 3)dk. (34)

Ako se red prekine na k = N , tako da je dN+1 = 0, sledi

E = 4N + 3, N = 0, 1, 2, . . . (35)

Zajedno se relacije i za parna i za neparna stanja mogu pisati kao

E = 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3, . . . (36)

Zamenom E → E:

En = ~ω(

n +12

). (37)

Ovde se parno n odnosi na parna stanja, a neparno n na neparna stanja. Svojstvene funkcije su oblika

ψn(ξ) = CnHn(ξ)e−ξ2/2. (38)

Hn je Hermiteov polinom n-tog reda, koji se racuna na osnovu:

Hn(ξ) = (−1)neξ2 dn

dξn(e−ξ2

). (39)

Nekoliko prvih Hermiteovih polinoma ima oblik

H0(ξ) = 1,

H1(ξ) = 2ξ,

H2(ξ) = 4ξ2 − 2

H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ

. . .

(40)

Izgled prvih nekoliko Hermiteovih polinoma i talasne funkcije ψn(ξ) su dati na slici.

Docsity.com


Sl. 3. Hermiteovi polinomi i svojstvene funkcije LHO. Apscisa se odnosi na promenljivu ξ.

• Najniza vrednost energije je E0 = ~ω/2 i naziva se energija nultih oscilacija. U klasicnoj mehanici

minimalna energija je jednaka nuli. Energija nultih oscilacija je kvantni fenomen i povezan je sa relacijom

neodredenosti, sto je ilustrovano na jednom od primera na kraju ovog poglavlja.

• Spektar se sastoji od beskonacnog broja diskretnih stanja (jer je jama beskonacno duboka). U slucaju

LHO-a u klasicnoj mehanici, sve energije su dozvoljene.

• svojstvena funkcija osnovnog stanja je gausijan;

• u svakom svojstvenom stanju cestica egzistira od −∞ do +∞, dok su moguce vrednosti koordinate cestice

u klasicnoj mehanici ogranicene na oblast [−x0, x0] (videti prvu sliku u ovoj glavi).

Na kraju odredimo normalizacionu konstantu na osnovu uslova normiranja:

〈ψn|ψn〉 = 1, (41)

sto se svodi na:

C2n

+∞∫

−∞e−ξ2

H2n(ξ)dξ

1α

= 1 (42)

Integral1+∞∫

−∞e−ξ2

H2n(ξ)dξ = 2nn!

√π, (43)

1Videti Abramowitz, Stegun, ”Handbook of mathematical functions”, Dover, 1965.

kvantna-mehanika-ispit-fizicka-elektronika-binder1_part1.pdf

Documents