kvantová mechanika stru č ne
DESCRIPTION
Slovenská technická univerzita v Bratislave. Fakulta elektrotechniky a informatiky. Kvantová mechanika stru č ne. Robert Redhammer Bratislava, 2002. Obsah. Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky Viazané stavy - kvantová jama Tunelovanie. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/1.jpg)
Kvantová mechanika stručne
Robert Redhammer
Bratislava, 2002
Slovenská technická univerzita v BratislaveFakulta elektrotechniky a informatiky
![Page 2: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/2.jpg)
Obsah
• Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky
• Viazané stavy - kvantová jama
• Tunelovanie
![Page 3: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/3.jpg)
Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky I• Kvantové vlastnosti žiarenia
• Vlnové vlastnosti častíc
• Analógia s optikou
• Vlnová funkcia
• Schrödingerova rovnica
![Page 4: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/4.jpg)
Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky II• Operátory a stredné hodnoty
merateľných veličín• Bornova pravdepodobnostná
interpretácia vlnovej funkcie• Vlastnosti vlnových funkcií• Princíp superpozície • Rovnica kontinuity• Heisenbergov princíp neurčitosti
![Page 5: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/5.jpg)
Kvantové vlastnosti žiarenia
Svetlo - elektromagnetické vlnenie (ω, λ)
- energetických kvánt - fotónov=častíc (E, p)
Planckova konštanta
základná kvantita určujúca miery kvantových javov
kp
orovo vekt2
h
phE
2/ Js,10x 626.6 -34 hh
![Page 6: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/6.jpg)
Vlnové vlastnosti častíc
• Voľná častica: –moment p = mv –kinetickou energiou E = p2/2m
• Vlnenie:–de Broglieho vlnová dĺžka: = h/p–kruhová frekvencia a vlnovým vektorom k
pk1
1
E
![Page 7: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/7.jpg)
Vlnové vlastnosti častíc
De Broglieho vlnu voľnej častice možno potom opísať ako rovinnú postupujúcu vlnu
Vlna nie je hmotnou - len opisuje vlastnosti správania sa častice!!!
pxEt
itx
exp
2
1,
![Page 8: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/8.jpg)
Analógia s optikou
intenzita elektrického poľa postupujúcej vlny :
uhlová frekvencia a vlnová dĺžka λ
kxtiEtxEk exp, 0
c
kc2
![Page 9: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/9.jpg)
Vlnová funkcia voľnej častice
komplexná vlnová funkca (r) napr. elektrónu:
Riešením akej rovnice je táto funkcia?
)(exp),( p.rr t
iCt
![Page 10: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/10.jpg)
Schrödingerova rovnica
Vlnová rovnica komplexnej vlnovej funkcie
kde
)r()r()r(2
2
EVm
2
2
2
2
2
2
zyx
![Page 11: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/11.jpg)
Schrödingerova rovnica II
Jednoduchší zápis
kde
je Hamiltonián, Hamiltonov operátor.
EH
rH Vm
2
ˆ2
![Page 12: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/12.jpg)
Hamiltonián
Hamiltonán je Hermitovský operátor
Riešenie Schrödingerovej rovnice – vlnová funkcia je vlastná funkcia operátora.
![Page 13: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/13.jpg)
Časovo závislá Schrödingerova rovnica Časovo závislá Schrödingerova rovnica
Riešenie rovnice
=> Separácia premenných
),()(),(2
),(22
txxVtxxm
txt
i
xiEttx exp,
![Page 14: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/14.jpg)
Operátory a stredné hodnoty merateľných veličín
xix
p
yz
zyix
1ˆˆ LL
mm 22
ˆ22 p
Wk
r2
H2
Vm
priestorová súradnicax = x
zložka hybnosti
zložka momentu hybnosti
kinetická energia
Hamiltonián
![Page 15: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/15.jpg)
Pravdepodobnostná interpretácia
Konštrukcia pokusu s interferenčným obrazcom
![Page 16: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/16.jpg)
Prechod častíc cez dvojštrbinu
• Interferenčný obraz zodpovedá interferenčnému obrazu rovinnej vlny s vlnovou dĺžkou =h/p.
• Interferenčný obrazec nezávisí od intenzity zväzku - nie je dôsledkom vzájomnej interferencie elektrónov
• Každý elektrón vyvolá jedno bodové sčernenie - obrazec je súčtom sčernení spôsobených jednotlivými elektrónmi.
![Page 17: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/17.jpg)
Pravdepodobnostná interpretácia
(r) amplitúda pravdepodobnostnej vlny (nie amplitúda hmotnej vlny)
|(r)|2 hustota pravdepodobnosti výskytu častice v bode r a v elemente d = d3r
|(r)|2d pravdepodobnosť výskytu častice v elemente d
![Page 18: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/18.jpg)
Vlastnosti vlnových funkcií
1. Kvadraticky integrovateľné
2. Normovateľné
3. Ortogonálne
Spolu ... ortonormálne.
1)()(1 *
2dxxx
c
![Page 19: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/19.jpg)
Princíp superpozície
Pre riešenia rovnice
je aj lineárna kombinácia
riešením rovnice, pričom cn sú komplexné čísla – váhovacie koeficienty.
n
nn xcx
nnn A A
rrr dc nn
![Page 20: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/20.jpg)
Ortogonálnosť
znamená
kde Kroneckerová delta
nmmn dxxx )()(*
m=n pre 1
mn pre 0 nm
![Page 21: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/21.jpg)
Rovnica kontinuity
Platí pre riešenia Schrödingerovej rovnice
kde
je hustota pravdepodobnosti a
je hustota toku (pravdepodobnosti)
0. jt
2, tr
**
2,
imt
rj
![Page 22: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/22.jpg)
Vlnový balík
Superpozícia rovinných postupujúcich vĺn
vyhovuje pre opis priestorovo lokalizovanej častice.
kk
kk
dkikxkcx0
0
exp
![Page 23: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/23.jpg)
Heisenbergov princíp neurčitosti
Súčin neurčitosti polohy a hybnosti
kde x2, p2, E2 a t2 sú stredné kvadratické odchýlky polohy, impulzu, energie a času.
Dôsledok vlnovej povahy!
4
4
222
222
tEpx
![Page 24: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/24.jpg)
Viazané stavy - kvantová jama
![Page 25: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/25.jpg)
Nekonečne hlboká pravouhlá kvantová jama Hľadáme riešenie Schrödingerovej rovnice
pre potenciálový profildxV 0 pre 0
ináč V
xEdx
xd
m
2
22
2
x0
V
0d
![Page 26: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/26.jpg)
Okrajové podmienky
0da 00
![Page 27: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/27.jpg)
Ponúkané riešenie
Matematický problém vlastných čísiel, skúsme riešenie napr. v tvare
kde
m je hmotnosť, E je celková energia.
xBxAx cossin
mE2
![Page 28: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/28.jpg)
Dané okrajové podmienky
Prvá je splnená ak B = 0
a dosadením do druhej okrajovej podmienky
Parameter α je vlastné číslo
xA sin
ndn
![Page 29: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/29.jpg)
Vlastné stavy
Dosadením za α máme vlastné energie
a vlastné funkcie
22
22
2n
mdEn
dxxd
nAxn
0 pre sin
0xn
![Page 30: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/30.jpg)
Normovacia podmienka
dáva vyjadrenie pre koeficient A, teda
je sústava vlnových rovníc.
d
dxx0
2 1)(
,...3,2,1 pre sin2
nx
d
n
dxn
![Page 31: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/31.jpg)
Tvar vlnových funkcií
0 d x
(x)
![Page 32: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/32.jpg)
Konečná pravouhlá kvantová jama
Potenciálový profil
xd/2
V0
-d/2
V
0
2/ 0
2/ pre 00dxxV
dxVxV
![Page 33: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/33.jpg)
Schrödingerova rovnica
pre hodnoty v rozmedzí
)()()()(2 2
2xExxVx
xm
0 0 xVEVxV
![Page 34: Kvantová mechanika stru č ne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/56814f82550346895dbd3647/html5/thumbnails/34.jpg)
prepíšem rovnicu do tvaru kde (39)
a mimo jamykde (40)
022
2 ii
i
dx
d
022 2
VEm
022
2 ii
i
dx
d
Em2
2 2