ky thuat chon diem roi trong bdt cauchy -bdhsg

Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chuyên đề BĐT cauchy 1

KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

AM-GM (CAUCHY)

Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số.

Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị

của các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài

toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản

nhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi).

Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để

tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình

xác định chúng có nghiệm.

Moät soá baát ñaúng thöùc cô baûn

Baát ñaúng thöùc Cauchy

Cho n soá thöïc khoâng aâm 1 2, ,..., ( 2)na a a n ta luoân coù

1 2

1 2...

n nn

a a aa a a

n

. Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi

1 2 na a a .

Moät vaøi heä quaû quan troïng:

2

1 2

1 2

1 1 1( ) vôùi 0, 1,n i

n

a a a n a i na a a

2

1 2 1 2

1 1 1vôùi 0, 1,i

n n

na i n

a a a a a a

Cho 2n soá döông ( , 2n Z n ): 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n na a a b b b ta coù:

1 1 2 2 1 2 1 2( )( )...( ) ... ...n n n

n n n na b a b a b a a a b b b

Bài toán mở đầu:

VD1. Cho . Ta có . Khi đó ta có hệ quả với thì

Rõ ràng với bài toán trên là kết quả của BĐT Cauchy.

Nếu thay điều kiện bởi hay hay … thì lời giải bài toán như nào??

Bài 1: Cho 3a . Tìm Min của a

aS1



Bình luận và lời giải :

+Sai lầm :

+Nguyên nhân :

điều này mâu thuẫn với giả thiết 3a

+Xác định điểm rơi :

Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và

33

10min aS . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau

nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số a

và 1

phải bằng nhau.

Với a=3 cho cặp số

+Lời giải đúng :

Đẳng thức xãy ra 3a

Bài 2: Cho 2a .Tìm Min của 2

1

aaS

+Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số

2min21

.21

Sa

aa

aS

11

2mina

aS

93

13

3

11

3

a

a

3

10

3

10

9

3.81.

92

9

81

9

1MinS

a

aa

a

a

aaS



+Sai lầm :

Với a=2 thì 4

9min S

+Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu 2a thì 4

2

8

2

a là đánh giá

sai “

Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số


Đẳng thức xãy ra 2a

Bài 3: Cho 1

0,

ba

ba.Tìm min của

ababS

1

+Sai lầm :

84

12

4

11

2

2a

a

4

9

8

2.7

2.8

2

8

7

8

2

8

71.

82

8

71

8

1222

a

a

a

a

aa

a

a

aaS

4

9Smin

4

9

8

2.61.

8.

83

8

61

88

13

222 a

aaa

a

aa

aaS



+Nguyên nhân :

(vô lí )


Đặt

điều này dẫn đến một bài toán mới

Cho 4t .Tìm min của t

tS1

Với

Ta có :

Với 4t hay 2

1ba thì

4

17min S

Lời giải bài 3:

Do

2Smin21

ababS

2

11

2

1

21

12min

baab

ababS

4

2

1112

baabt

abt

164

14

4

11

4

4

t

t

t

4

17

16

4.151.

162

16

151

16

1

t

tt

t

t

ttS



nên

Đẳng thức xãy ra 2

1ba

Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn 2

3cba .Tìm min

+Sai lầm :

+Nguyên nhân :

trái với giả thiết .

+Xác định điểm rơi :

2

14 bat

4

17min

4

17

216

15

16

1.2

16

15

16

112

Sbaab

ababab

abab

abS

2

2

2

2

2

2 111

ac

cb

baS

23min238.31

.21

.21

.231

.1

.1

3 66

2

2

2

2

2

232

2

2

2

2

2 Sa

cc

bb

aa

cc

bb

aS

2

331

11123min cba

cbacbaS




Với 2

1cba thì

2

173min S .

Bài 5: Cho a,b,c>0 và 2032 cba .Tìm min của

164

4

1

4111

4

1

2

1

222

222

cba

cba

cba

2

173

3

2222

173

)2.2.2(2

173

16

1.173

16161617

16.17

16.17

16.17

16

1...

16

1

16

1...

16

1

16

1...

16

1

17

1517 5

175558

17168

17168

17168

173216

2

173216

2

173216

2

16

22

2

16

22

2

16

22

2

cbacbacba

a

c

c

b

b

a

b

a

b

a

b

a

aac

ccb

bbaS

cbacbaS

4

2

93



Lời giải : Ta dự đoán được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 .Sử dụng BĐT Cauchy ta có :

(1)

Mà

(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế được

Đẳng thức xãy ra 4,3,2 cba

* Baøi taäp töông töï:

Bài 6: Cho

Chứng minh rằng:

Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} . Tìm min của

84

2

93

424

3

216

4

1

39

2

1

34

4

3

816

.216

69

.29

44

.24

cba

cba

cc

bb

aa

cc

cc

bb

bb

aa

aa

54

3

242032

cbacba

13min13 SS

8;12

0,,

bcab

cba

2

12181112)(

abccabcabcbaS

3 1312a

c

c

b

b

aS



Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của

Baøi 10. Cho

, , 0

1 1 14

x y z

x y z

. Tìm GTLN cuûa 1 1 1

2 2 2

Px y z x y z x y z

.

Lời giải

Sai lầm 1:

Ta coù 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10

9 2 9 2 9 2 18 9

Px y z x y z x y z x y z

10

9

MaxP

Sai lầm 2:

3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10

3 3 2 3 3 2 3 3 2 93 2 3 .2 3 2

Px y z x y z x y zxyz x yz xy z

Nguyeân nhaân sai laàm: Caû hai lôøi giaûi treân ñeàu ñaõ bieát höôùng “ñích” song chöa bieát choïn ñieåm

rôi.

2

2

10( )2

9

1 1 14

x y z

y x z

MaxP vnz x y

x y z

, töùc laø khoâng toàn taïi 10

( , , ) :

9

x y z D P

Lôøi giaûi ñuùng: Töø hai lôøi giaûi treân vôùi döï ñoaùn MaxP ñaït ñöôïc taïi 4

3

x y z neân taùch caùc

soá 2x x x ra cho daáu baèng xaåy ra.

CBACBAT

sin

1

sin

1

sin

1sinsinsin

AC

CB

BAT

2

2

2

2

2

2

cos

1sin

cos

1sin

cos

1sin



Caùch 1: Ta coù 1 1 1 1 1 1 1

2 16x y z x x y z x x y z, töông töï vaø ta coù:

1 2 1 1 1 2 1 1 1 21

16

Px y z x y z x y z

, vaäy 1MaxP khi 4

3

x y z .

Caùch 2: Ta coù 4

24

1 12 4 . . .

2 4

x y z x x y z x x y zx y z x yz

, maët khaùc:

4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1. . .

4 2 16x x y z x x y z x y z x y z, töông töï ta coù:

1 1 1 1.4 1

16

Px y z

. Daáu “=” xaûy ra khi 1

4

x y z , suy ra:

1MaxP khi1

4

x y z .

Ta có thể thể mở rộng bài toán 10. Thành bài toán tổng quát sau.

Cho

, , 0

1 1 14

x y z

x y z

. Tìm GTLN cuûa 1 1 1

Px y z x y z x y z

.

Vôùi , , N

ky thuat chon diem roi trong bdt cauchy -bdhsg

Documents