kÉzikÖnyv a matematika 6. tanításához · előszó ne vágd el azt, amit kibogozhatsz!...

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné –Érdemes Tankönyvíró Érdemes Tankönyvíró

Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

KÉZIKÖNYV

a MATEMATIKA 6.

tanításához

Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2008-ban elnyerte az„Érdemes Tankönyvíró” kitüntető címetCsatár Katalin a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2011-ben elnyerte az„Érdemes Tankönyvíró” kitüntető címet

Illusztrálta

FRIED KATALINKATONA KATALÉTAI MÁRTONSZALÓKI DEZSŐ

Alkotószerkesztő

CSATÁR KATALIN

Szerkesztette

ACKERMANN RITA

Kapcsolódó kerettantervEMMI Kerettanterv 51/2012. (XII. 21.)EMMI rendelet 2. sz. melléklet

AP–060834

ISBN 978-963-328-304-2

© Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné –Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva, 2014

1. kiadás, 2014

A kiadó a kiadói jogot fenntartja.A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű,sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható.

Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft.9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18.Telefon: 95/525-000, fax: 95/525-014E-mail: [email protected]: www.apaczai.huFelelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt.

Terjedelem: 30,90 A/5 ívTömeg: 618 g

ElőszóNe vágd el azt, amit kibogozhatsz!

(Joubert, 19. századi filozófus)

Kedves Kollégák!

Könyvünket Joseph Joubert és Varga Tamás szellemében írtuk, vagyis szeretnénk, ha tanulóink gon-dolkozva, felfedezés útján tennének szert matematikai ismereteikre. Mi, a szerzők legalább húsz évetanítjuk ezt a korosztályt (is). Azt tapasztaltuk, hogy a játékos felfedezés nagy öröm a gyerekekszámára, és nincs ennél hatékonyabb módszer. Tudjuk persze, hogy a tanulásnak vannak rögös ésfárasztó periódusai is. A tananyagtartalom játékos feldolgozásával a gyerekek motiválása a célunk.

A feladatgyűjtemény szerkezetéről

A feladatgyűjtemény a NAT alapján készült, követi a Matematika 6. tankönyv a 6. évfolyam számáracímű kiadványunk felépítését, de attól függetlenül is használható.

Munkáltató jellegű feladatokat is tartalmaz, melyeket az arra kijelölt helyen oldhatnak meg a tanulók.A differenciált oktatás segítésére a feladatokat nehézségi szintekbe soroltuk, és ezeknek megfelelőenaz alábbi megkülönböztető jelekkel láttuk el:

1. Az új ismeretek elsajátítását, megértését igénylő alapfeladat; ezt a tanulóknak meg kell tudniukoldani ahhoz, hogy továbbhaladhassanak.

2. Az új ismeret alkalmazását, a tudás rögzítését, elmélyítését segítő feladat.

3. Többféle ismeret és képesség alkalmazását igénylő feladat.

4. Fejtörők, versenyfeladatok azoknak, akik további érdekes feladatokat szeretnének megoldani.

Internettel támogatott feladatok Modellezhető, kivágható feladat.

A matematikát magasabb órászamban tanuló csoportoknak írt kiegészítő tananyagokhoz tartozó fel-

adatokat is a fent leírt szintek szerint soroltuk, de más színnel jelöltük, így: 1. , 2. , 3. .

A fentieken kívül, ha egy-egy részfeladat nehezebb, gondolkodtatóbb a többinél, így jelöljük: 123.A kézikönyv a feladatok megoldásain kívül módszertani megjegyzéseket is tartalmaz.

Kiegészítő segédletek

Megjelent a hatodik évfolyamos matematikai felmérőfüzet röpdolgozatokkal, TSZAM- (a továbbha-ladáshoz szükséges alapismeretek mérése) felmérőkkel, valamint értékelő felmérőkkel.

A tankönyv anyagának feldolgozására és a tanórai munka támogatására digitális tananyag is készült,melyet a gyerekek tanári segítség nélkül is tudnak használni.

A tankönyvcsaládhoz tartozó, évfolyamokra bontott tanterv letölthető honlapunkról: www.apaczai.hu.

Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, juttassa el azt az ApáczaiKiadónak!

Eredményes munkát kívánunk:a Szerzők

3

Műveletek egész számokkal

Mit tudunk az egész számokról?

1. Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások az A hal-

A

−2

−1

0−7

−20

3 13

maz elemeire!a) Az A halmaz elemei között 3 pozitív szám van. Hamis.

b) A legkisebb szám abszolút értéke a legnagyobb. Igaz.

c) Van közöttük 13-nál nagyobb szám. Hamis.

d) Van közöttük 13-nál nagyobb abszolút értékű szám.Igaz.

e) A számokat nagyság szerint sorba állítva a (−1) van középen. Igaz.

2. Állítsd nagyság szerint sorrendbe, és ábrázold számegyenesen a megadott számokat!

a) −25, −8, 10, 13, −7, 5, 8, −5, −17, 24

−16 0−25

−17

−8

−7

−5 5 8 10 13 24

︷︸︸︷2 egység

b) −150, 30, −225, −90, −105, 120, −135, −210

−60 90−135

−105

−90

−150

−210

−225

30 120


c) 48, −54, 30, 18, 3, 12, −15, 36, −42, −60

−12 24−60−54 −42 −15 3 12

18

30 36 48


3.

−10 20A B

︷︸︸︷5 egységA = −5B = 25

A számegyenesen megjelöltük az A és a B számok helyét. Határozd meg a következő kifeje-zések számértékét!A + B = 20, A − B = −30, (A + B ) : 2 = 10,(A−B ) : 2 = −15, |A +B | = 20, |A−B | = 30,|B −A| = 30

4. Milyen számokat ábrázoltunk a számegyenesen?

a)

−220 −180

−230 −195 −170

−150 −125 −110 −95 −70


b)

−120 −80

−70

−50 20 40 100

110 ︷︸︸︷20 egység

c)

−20 +4−30 −26 −23 −16 −10 −7



4

5. a) Melyek azok a számok, amelyeknek az A-tól való távolsága kétszer akkora, mint a B -tőlvaló távolsága? Két ilyen szám van. Először kijelöljük a megfelelő pontokat a számegyenesen, majdkiszámoljuk, milyen számot jelentenek ezek a pontok.

−450 −300A B

−420 −330

−360 −240


b) Melyek azok a számok, amelyeknek az A-tól való távolsága feleakkora, mint a B -től valótávolsága?

−450 −300A B

−420 −330

−510 −390

c) Van-e olyan szám, amelynek az A-tól való távolsága 5-ször akkora, mint a B -től való tá-volsága?

A B

−420 −330

−345 −307� 5

A −307�5-et nem könnyű kitalálni. Gondolkozhatunk így:

5 rész

︷︸︸︷1 rész

A B C

Látható, hogy az AB távolságot 4 részre kell osztani ahhoz, hogy BC távolságát megkapjuk.

AB = 90 egység, tehát BC = 22� 5 egység.

B pont −330-at jelent, tőle jobbra 22� 5 egységgel van a keresett pont.

6. Helyezd el a korongokat a halmazábrában a címkéknek megfelelően!

−8 +6 −7 +7 −6 +8 −5 −2 +2 0

a) A: Az abszolút értéke legfeljebb 6.

B : 3-nál nem nagyobb.

A B

+6

−6+2 −2−50

−8

−7

+8

+7

b) C : Az ellentettje legalább 5.

D: Az abszolút értéke egyenlő az ellentett-jével.

C D−7−6−8−5

+6

+7+8

0 −2

+2

c) E : Legalább (−4), legfeljebb 5.E F

G

−8

−7−6−5

+6

+7

+8

0

−2

+2F : Az ellentettje nagyobb (−2)-nél.

G: Az abszolút értéke nagyobb 3-nál.


5

7. Hol helyezkednek el a számegyenesen azok a számok, amelyek

a) nagyobbak, mint (−5)?

0−5

b) nem kisebbek, mint 7?

0 7

8. Válaszold meg a kérdést, és ábrázold a megoldást számegyenesen!

Melyek azok a számok, amelyek

a) ellentettje nagyobb, mint (−5)?

0 5

b) ellentettje nagyobb vagy egyenlő 7-tel?

0−7

c) ellentettje kisebb 10-nél?

0−10

d) ellentettje (−15) és +20 közé esik?

0−15−20 15 20

e) abszolút értéke �43?

0−43 43

f) abszolút értéke 2 és 33 közé esik?

0−33 −2 2 33

g) abszolút értéke (−30) és + 9 közé esik?

0−30 −9 +9 30

h) abszolút értéke �(−20)? Nincs ilyen szám.

i) abszolút értéke nem több, mint 60?

0−60 60

9. Írj a keretekbe egész számokat úgy, hogy a nyitott mondat igaz legyen!

a) − 7 = −7 b) − −100 = +100 c) − −21 = 21


6

10. Írj a keretekbe egész számokat úgy, hogy a nyitott mondat igaz legyen!

a) 6 �− �10 lehet: −7; −8; −9.

b) 0 �− �13 lehet: −1, −2, � � � , −12.

c) −5 �− �1 lehet: 4, 3, 2, 1, 0.

11. Négy számot adtunk meg sokféle különböző alakban. Válogasd össze az egyenlőket! Ha szük-séges, képzeld el adósság és készpénz segítségével a számokat!

a) −14 + 4 b) −10 + 2 · 4 c) 3 · 8 − 22 d) −10 − (−13)

e) 5 + (−15) f) 12 − 2 · 5 g) 4 − 2 · 7 h) 8 + (−5)

i) 10 + (−12) j) −8 · 2 + 7 · 2 k) −2 − 8 l) −6 + 9

Egyenlők: a), e), g), k) = −10 b), i), j) = −2 c), f) = 2 d), h), l) = 3

12. Válaszd ki az egyenlőket!

−45 + (−13) = −58 + 45 + (−13) = 32 −45 − (−13) = −32 −45 − (+13) = −58

−46 − (+12) = −58 −46 + (−14) = −60 −46 + (−12) = −58 −46 − (+14) = −60

Egész számok összeadása és kivonása

13. Péternek kedden 15 készpénzérméje és 23 adósságcédulája, csütörtökön már 35 készpénze éscsupán 4 adósságcédulája volt.

Mi történhetett? Írj róla műveletet! 15 + (−23) + 39 = 35 + (−4)

Kapott közben 39 készpénzt, amelyből 19 adósságcédulát kiegyenlített.

14. a) Készíts összeadásokat úgy, hogy az egyik tagot az A halmazból, a másikat pedig a B hal-mazból választod!

A B

15 −15

−138

138

7

−20

−7

20

15 + 7 = 22 (−15) + 7 = −8 (−138) + 7 = −131 138 + 7 = 145

15 + (−7) = 8 (−15) + (−7) = −22 (−138) + (−7) = −145 138 + (−7) = 131

15 + 20 = 35 (−15) + 20 = 5 (−138) + 20 = −118 138 + 20 = 158

15 + (−20) = −5 (−15) + (−20) = −35 (−138) + (−20) = −158 138 + (−20) = 118

b) Hány különböző eredményt kaphatsz? 16 különböző eredményt kapunk.


7

15. A 15-ből a 72-be így juthatunk el kivonással: 15 − (−57) = 72,

és így juthatunk el összeadással: 15 + 57 = 72.

Hogyan juthatunk el összeadással, kivonással?

a) 18-ból 236-ba 18 + 218 = 236 18 − (−218) = 236

b) 837-ből 128-ba 837 + (−709) 837 − 709

c) −256-ból 5-be −256 + 261 −256 − (−261)

d) −5-ből 256-ba −5 + 261 −5 − (−261)

e) −111-ből −82-be −111 + 29 −111 − (−29)

f) 257-ből −181-be 257 + (−438) 257 − 438

Hogyan juthatunk el összeadással, kivonással?

a) 18-ból 236-ba 18 + 218 = 236 18 − (−218) = 236

b) 837-ből 128-ba 837 + (−709) 837 − 709

c) −256-ból 5-be −256 + 261 −256 − (−261)

d) −5-ből 256-ba −5 + 261 −5 − (−261)

e) −111-ből −82-be −111 + 29 −111 − (−29)

f) 257-ből −181-be 257 + (−438) 257 − 438

16. Anyának a hónap 3. napján 500 forint készpénze és 21 470 forint kifizetetlen adóssága volt.A hónap 10. napjára vagyoni helyzete így alakult: 89 125 Ft készpénz és 2800 Ft adósság.

Mi történhetett? Lehet-e, hogy Anya bevétele ebben az időszakban

A) 100 000 Ft volt; Nem lehet, mert legalább 107 295 Ft bevételének kellett lennie:500 + (−21 470) + = 89 125 + (−2800) = 107 295

B) 107 670 Ft volt; Lehet, ha 375 Ft kiadása is volt.

C) 117 670 Ft volt; Lehet, ha 10 375 Ft kiadása is volt.

D) 150 000 Ft volt? Lehet, ha 42 705 Ft kiadása is volt.

17. A következő feladatok megoldása során Panni az 1 , illetve a 2 lapocskákkal jelölt írásbeliösszeadást, illetve kivonást végezte el. Találd ki, melyik feladathoz melyik művelet tartozik!Írd mellé a sorszámát!

5 5 0+ 2 2 3

1 b), c), f), g), h), i)

5 5 0− 2 2 3

2 a), d), e), j)

a) Mennyivel több az 550 a 223-nál?

c) Mennyi (−550) és 223 különbsége?

e) Mennyi (−550) és (−223) különbsége?

g) Mennyi 550 és (−223) távolsága a szám-egyenesen?

i) Mennyi 223 és (−550) távolsága a szám-egyenesen?

b) Mennyi (−550) és (−223) összege?

d) Mennyi (−550) és 223 összege?

f) Mennyivel több az 550 a (−223)-nál?

h) Melyik az a szám, amely éppen 223-mal ke-vesebb a (−550)-nél?

j) Mennyi (−223) és (−550) távolsága aszámegyenesen?

18. 850 és 115 – ez a két számkártyád és különböző jelkártyáid vannak:

⊕ pozitív előjel, � negatív előjel, + összeadásjel, − kivonásjel, | | abszolútérték-jel.

Készíts a két számból a felsorolt jelek felhasználásával műveleteket!

Írd egy csoportba azokat, amelyeknek azonos a végeredménye!

850 + 115 = 965

850− (−115) = 965

| − 850− 115|= 965

850− 115 = 735

|850| + (−115) = 735

850 + (−115) = 735

−850 + 115 =−735

−850 + | − 115|=−735

−850− (−115) =−735


8

19. Pótold az összeadó- és a kivonótáblában a hiányzó számokat!

a)+ −17 +8

−9 −47

21

−12

−30

−17 −34

4 29 −9

−20 −37 −50

b)− −7 25 0

5 −12 −5

3

−0� 5

20

−10 35 10

−6�5 25�5 0�5

c)+ −0�8 −3

0�8 7�4

−2�8

10�3

5�8

1�6 −1�4

0�2 −0�6 6

11�1 16�9 8�1

20. Töltsd ki úgy az ábrákat, hogy bűvös négyzetek legyenek! A sorok, az oszlopok és a két főátlóösszege is ugyanaz a szám. Mennyi a kilenc szám összege?

a)

−1400 245

14 938

476

1169

−938

−1169 707

b)

−22 −1

−112 32

14

−97

−40

−79 −55

A kilenc szám összegét legkönnyebbena 2. sor segítségével számolhatjuk. 14 · 3 = 42

Itt az összeg −360.

Az átlókat is számolva a négyzetek nem bűvösek.

21. A megadott szavak közül pótold a mondatok hiányzó szavait úgy, hogy igaz állítást kapj! Ke-ress többféle megoldást!

pozitív negatív növeli csökkenti hozzáadása kivonása

a) Negatív szám hozzáadása csökkenti a számot.

b) Negatív szám kivonása növeli a számot.

c) Pozitív szám hozzáadása növeli a számot.

d) Pozitív szám kivonása csökkenti a számot.

e) Negatív szám hozzáadása csökkenti a számot.

Bármelyik mondatból tudunk újabbigaz állítást készíteni, ha ezeket a cse-réket végezzük egyszerre:

hozzáadása kivonása

pozitív negatív

22. Írj a feladatokról nyitott mondatokat, és tedd igazzá azokat!

a) Mennyiből kell (−7)-et elvenni, hogy +7-et kapjunk? − (−7) = 7 = 0

b) Mennyit kell (−2)-ből elvenni, hogy +6-ot kapjunk? −2 − = 6 = −8

c) Mennyit kell (−7) és +6 összegéből elvenni, hogy +3-at kapjunk? −7 + 6− = 3 = −4

d) Mennyit kell hozzáadni (−20)-hoz, hogy 12-t kapjunk? −20 + = 12 = 32

e) Mennyit kell elvenni (−20)-ból, hogy 12-t kapjunk? −20 − = 12 = −32

f) Mennyit kell hozzáadni 15-höz, hogy (−3)-at kapjunk? 15 + = −3 = −18

g) Mennyit kell kivonni 15-ből, hogy (−3)-at kapjunk? 15 − = −3 = 18


9

23. Tedd igazzá a nyitott mondatokat!

a) −11 + 15 = 4 b) 39 + (−17) = 22 c) −38 − (−18) = −20

d) 4�6 − −2�4 = 6 e) −2 − −10�1 = 8�1 f) −470 − (−970) = 500

g) 0�4 + −1�9 = −1�5 h) −75 + −45 = −120 i) +10 − (+35) = −25

24. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! Csak az egész számok közül válogass!

a) 8 + x �−4 x : −11, −10, −9, � � � b) −7 + y�8 y : 14, 13, 12, � � �

c) z + 1 �1 z : −1, −2, −3, � � � d) s + 3 �−4 s : −6, −5, −4, � � �

25. Ábrázold számegyenesen azokat az egész számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott monda-tokat!

a) 13 − x � 70 6

b) 13 + x � 70−6

c) 8 �7 + x � 19120 1

d) 8 �7 − x � 19−12 0−1

26. Ábrázold számegyenesen azokat a számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat!

a) x + (−4) �110 15

b) | − 3| + x �−50−8

c) |x | + (−3) = 40−7 7

d) |x − 2|�70−5 9

e) −x �00 1

f) −x + | − 2|�00 1 2 3

g) |x | − (−8) �0 Egyetlen szám sem teszi igazzá.

h) −x − (−2) �00 2

27. Pótold a hiányzó műveleti jeleket, illetve előjeleket úgy, hogy igaz egyenlőségeket kapj!

Keress többféle megoldást!

a) ( + 18) − ( + 25) = ( − 7) b) ( + 18) − (−25) = ( + 43)

−18 − (−25) = +7 −18 + (−25) = −43

c) (−7) − ( + 14) = ( − 21) d) ( + 16) + ( − 13) = ( + 3)

−7 + (−14) = −21 −16 + (+13) = −3

e) ( − 19) + ( − 11) = (−30) f) ( + 15) + ( − 7) = ( + 8)

−19 − (+11) = −30 (−15) + (+7) = −8


10

Több tag összege, különbsége

28. Számítsd ki!a) 0 + (−523) + (−111) − (−215) − (+12) = −431

b) 0 − (+3200) − (−5000) + (−300) − (+83) = +1417

c) 0 − (−13) + (+27) − (+50) + (−21) = −31

Készíts a műveletsorokhoz korongokat! Fordítsd őket úgy, és tedd olyan sorrendbe, hogy minélkényelmesebben számolhass!

29. Írd át olyan alakba a 0 + (−22) − (−35) + (+15) − (−39) műveletsort, hogya) csak kivonás szerepeljen benne, 0 − 22 − (−35) − (−15) − (−39)b) csak összeadás szerepeljen benne, 0 + (−22) + 35 + 15 + 39c) csak negatív számok szerepeljenek benne, 0 + (−22) − (−35) − (−15) − (−39)d) csak pozitív számok szerepeljenek benne! 0 − (+22) + 35 + 15 + 39 = 67

Számold ki a végeredményt!Végezd el ugyanezeket az átalakításokat ezekkel a műveletsorokkal is!0 + (−13) − (+25) + (−70) − (+27) = (−135)0 + (−515) + (−331) − (−175) − (−107) = (−564)

Számold ki a végeredményeket!

30. Végezd el a műveleteket! A feladatokban csak összeadások és kivonások szerepelnek, ezérta műveletvégzés sorrendje tetszőleges, de ne feledd, hogy a számokat csak az előttük állóműveleti jellel együtt szabad cserélgetni!a) −523 − (−517) + 23 + 3 = 20b) 189 − 24 + (−136) − (−11) = 40c) −2006 + 305 − 4 − (−105) = −1600d) −331 − 189 + 9 + 1234 − (−131) − 1234 = −380e) 25 000 − 1237 − 2199 − (−5000) − 1 = 26 563f) 548 + (−883) − (−453) + (−170) + 52 = 0g) −112 + 131 − 24 − (−69) + (−26) = 38h) 1073 − 416 − 12 + 127 − (−416) + 72 = 1260

31. Keress egyenlőket! Írd egymás mellé a betűjelüket!

a) 58 − 96 + 41 = 3 b) 58 + 96 + 41 = 195 c) −96 + (58 − 41) = −79

d) 58 − 41 − 96 = −79 e) 58 − [(−96) − 41] = 195 f) 58 − (96 + 41) = −79

g) 58 − (96 − 41) = 3 h) 58 + 41 + 96 = 195 i) (58 − 96) − 41 = −79

j) 41 − 58 + 96 = 79 k) (58 − 96) + 41 = 3 l) 58 + (96 − 41) = 113

a) = g) = k), b) = e) = h), c) = d) = f) = i), l)-nek és j)-nek nincs párja.

32. Számítsd ki a műveletsor végeredményét! Helyezz el benne egy zárójelpárt úgy, hogy a vég-eredmény ne változzon!a) 0 − 19 +

[(−23) − (−8)

]− 12 + (−31) − 40 = −117

b) 8 + (−10) − (−5) +[12 − 15 + (−12) − 25

]= −37

c) −41 +[17 − (−2) + (−27) − 4

]+ (−13) = −66


11

33. Írd le a műveletsorokat zárójel nélkül úgy, hogy az eredmény ne változzon meg!

Számítsd is ki!

a) 83 − (26 − 72) = 83 − 26 + 72 = 129

b) [54 + (−12)] − (26 + 43) = 54 − 12 − 26 − 43 = −27

c) −643 − (518 + 22) = −643 − 518 − 22 = 1183

d) 43 − (56 − 14 + 40) − (−207) = 43 − 56 + 14 − 40 + 207 = 168

34. Két szomszédos téglát egy műveleti jel köt össze. Az eredmény a jel fölötti téglába kerül.Milyen szám illik a kérdőjel helyére?

a)

+ +

+

?

100

−43

−18

143

−25

? = 168

b)

−−+ ?−100 238

100

138 38

? = 200

c)

−−− ?

100

83

52

−17

135

? = 69

35. Építs magad is piramist! A műveleti jeleket rögzítettük. A téglákba illő számokat te magadtaláld ki!

a)

+

+

−−

+

−1848

1849 1

2000 −151 −152

1984 16 167 −319

b)

+ +

− −−

+

−534

−534 0

7 541 541

6 1 540 −1

36. a) Színezd ki a számegyenest az x + 12 kifejezés szerint!

Legyen fekete az a szám, amelynél a kifejezés értéke 0!

Legyen piros az a szám, amelynél a kifejezés értéke pozitív!

Legyen kék az a szám, amelynél a kifejezés értéke negatív!

−12 0

Rajzolj számegyenest, és színezd ki a megadott kifejezéseknek megfelelően!

b) x + 30−30 0

c) x − 21210

d) −x + 330

e) 22 − x220

f) −x − 10−10 0

g) −5 − x−5 0

h) |x | + 770


12

i) |x | − 13−13 130

j) |x | + 60 6

k) |x + 6|−6 60

37. Csoportosítsd az állítások betűjelét aszerint, hogy a megfelelő állítás biztosan igaz; lehetséges,hogy igaz, de nem biztos; sohasem igaz!

a) Pozitív számból negatív számot vontunk ki, negatív számot kaptunk.

b) Negatív számból negatív számot vontunk ki, pozitív számot kaptunk.

c) Negatív számból pozitív számot vontunk ki, 0-t kaptunk.

d) Negatív számból az ellentettjét vontuk ki, 0-t kaptunk.

e) Pozitív számból az abszolút értékét vontuk ki, 0-t kaptunk.

f) Negatív számból az abszolút értékét vontuk ki, negatív számot kaptunk.

Biztosan igaz: e), f) Lehet, hogy igaz, de nem biztos: b) Sohasem igaz: a), c), d)

38. a) Töltsd ki a táblázatot!

a b a + b |a + b| |a| + b a + |b| |a| + |b|−8 6 −2 2 14 −2 14

−2 4 2 2 6 2 6

0 −13 −13 13 −13 13 13

7 −7 0 0 0 14 14

a b a + b |a + b| |a| + b a + |b| |a| + |b|−8 6 −2 2 14 −2 14

−2 4 2 2 6 2 6

0 −13 −13 13 −13 13 13

7 −7 0 0 0 14 14

b) Adj értéket a-nak és b-nek úgy, hogy a kiszámított értékek mind megegyezzenek egymás-sal! Bármilyen nemnegatív értékpár megfelelő.

Szorzás és osztás egész számokkal

39. Írd át a műveleteket úgy, hogy csak az összeadásjelet használhatod! Számítsd ki, amelyikettudod!

a) −15 · 3 (−15) + (−15) + (−15) = −45

b) −999 · 4 (−999) + (−999) + (−999) + (−999) = −3996

c) −32 · 5 (−32) + (−32) + (−32) + (−32) + (−32) = −160

d) −103 · 6 (−103) + (−103) + (−103) + (−103) + (−103) + (−103) = −618

e) x · 2 x + x

f) · 5 + + + +

g) a · 4 a + a + a + a

h) b · 3 b + b + b


13

40. Kösd össze az egyenlőket!

(−5) + (−5) + (−5)

(+5) − (+5) − (+5)5 · (−3)

(−3) + (−3)

15 : (−3)

(−3) · 5

(−5) − (−5) − (−5)

(−15) : (−3)

(−3) · 2 + (−3) · 3 +5

(−30) : (+6)

(+30) : (−6)

−102

41. a) Töltsd ki a szorzótáblát!

·−5

−4

−3

−2

−1

0

+ 1

+ 2

+ 3

+ 4

+ 5

−5 −4 −3 −2 −1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

25 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −25

20 16 12 8 4 0 −4 −8 −12 −16 −20

15 12 9 6 3 0 −3 −6 −9 −12 −15

10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10

5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−15 −12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15

−20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25

b) Keress szabályosságokat a táblázatban! Vizsgáld meg az egy sorban álló számokat! Figyeldmeg az átlókat is!

42. Számold ki fejben!

a) (−5) · (−20) = 100 b) (−25) · (−8) = 200 c) 35 · (−4) = −140

d) (−250) · 8 = −2000 e) (−300) · (−200) = 60 000 f) 630 : (−70) = −9

g) 20 · (−2000) = −40 000 h) 50 000 · (−2) = −100 000

i) (−10 000) · 300 000 = −3 000 000 000

43. Számold ki fejben!

a) (−900) : 30 = −30 b) (−400) : (−50) = 8 c) (−800) : (−25) = 32

d) (−1500) : 5 = −300 e) 125 : (−25) = −5 f) 630 : (−70) = −9

g) (−81 000) : 900 = −90 h) (−2000) : 8 = −250 i) 150 000 : (−30) = −5000


14

44. Alkoss az A = {−3; +2; +1; 0;−5;−25} halmaz elemeiből kéttényezős szorzatokat! Összesenhány szorzat készíthető? Közülük hány pozitív, negatív, nulla?

6 · 6 = 36-féle szorzat készíthető. Ha a tényezők sorrendjét nem vesszük figyelembe, akkor6 · 5

2+ 6 = 21.

Ez utóbbiak közül 9 pozitív, 6 nulla, 6 negatív.

45. A nyíl jelentése: −2-szerese

ennek ez

Pótold a hiányzó számokat!

+ 8 · 1 + 8 · (−2) −16 · (−2) 32 · (−2)

46. A nyíl jelentése: + 3-szorosa

ennek ez


(−30) · (−1) −15 · (−6) −15 · (−18) + 3 · 270

47. Töltsd ki a táblázat hiányzó rovatait!

a −8 −17

0 −13 −2

b 7 −21 −2 −9 0

a · b −56 +3 0 +117 0

a −8 −17

0 −13 −2

b 7 −21 −2 −9 0

a · b −56 +3 0 +117 0

a −8 −63 0 0 −2

b −4 −21 −2 nincsilyen

0

a : b +2 +3 0 +7 értel-metlen

a −8 −63 0 0 −2

b −4 −21 −2 nincsilyen

0

a : b +2 +3 0 +7 értel-metlen

48. A nyíl jelentése: fele

ennek ez


−144 : (+18) −36 : (+9) −36 : (+18) −18 : 18

49. Hányszorosa (−190) a + 10-nek; (−19)-szerese.

(−190) a (−10)-nek; 19-szerese.

(−190) a + 19-nek; (−10)-szerese.

(−190) a (−19)-nek; 10-szerese.

(−190) a + 190-nek? (−1)-szerese.

50. Két szám szorzatát adtuk meg. Mik lehetnek a szorzótényezők, ha a szorzat

a) −41, = 1 · (−41) = (−1) · 41

b) −39, = (−39) · 1 = (−13) · 3 = (−3) · 13 = (−1) · 39

c) 38, = 19 · 2 = (−19) · (−2) = (−38) · (−1) = 1 · 38

d) −40? = (−40) · 1 = (−20) · 2 = (−10) · 4 = (−8) · 5 = (−5) · 8 = (−4) · 10 = (−2) · 20 = (−1) · 40


15

51. Írj különböző osztásokat, amelyek hányadosa:

a) −12, 36 : (−3) � � � b) + 7, (−63) : (−9) � � � c) 0! 0 : 19 � � �

52. Mi lehet x , ha a) 13 · x = −13, x = −1 b) 13 · x = 13 : x? x = 1 vagy x = −1

53. A színes kártyára írt művelet azt mutatja meg, hogy hányszorosára, illetve hányad részére mutata nyíl. Írd az üres kártyákra a megfelelő műveletet!

(−6) · 15

(−2) · 15

3 · (−5)

12 · 60(−2) · (−45)

(−36) · 5

(−600) · (−150)

−12 · 30

: 3

: 6

·(−8)

·(−1)

·2

·(−1000)

· 4


a) (−5) · −500 = 2500 b) 30 · −1500 = −45 000 c) 8181 · (−101) = −909 · 909

d) 88 : (−11) = −8 e) −6400 : −16 = 400 f) −1313 : 101 = −13

g) 142 857 · x = −428 571 x = −3 h) (−x ) · 21 = −42 x = 2

i) (−35) · (−x ) = −700 x = −20 j) 857 142 : x = −142 857 x = −6

k) (−39) : x = 39 x = −1 l) x : (−1) = 111 x = −111

55. Két szám szorzata −150, hányadosuk −6. Melyik ez a két szám? −30 és 5 vagy 30 és −5.

56. Megadtuk két egész szám szorzatát és a hányadosát is. Mi lehet a két szám? Keress többmegoldást!

Szorzat Hányados Egyik szám Másik szám

a) −45 −5 15 vagy −15 −3 vagy 3

b) 48 3 12 vagy −12 4 vagy −4

c) −25 −1 5 vagy −5 −5 vagy 5

d) 16 −1 nincs két ilyen szám

e) 100 4 20 vagy −20 5 vagy −5

f) 0 értelmetlen bármilyen szám 0

g) 0 0 0 bármilyen szám, kivéve 0

h) −1 −1 1 vagy −1 −1 vagy 1

Szorzat Hányados Egyik szám Másik szám

a) −45 −5 15 vagy −15 −3 vagy 3

b) 48 3 12 vagy −12 4 vagy −4

c) −25 −1 5 vagy −5 −5 vagy 5

d) 16 −1 nincs két ilyen szám

e) 100 4 20 vagy −20 5 vagy −5

f) 0 értelmetlen bármilyen szám 0

g) 0 0 0 bármilyen szám, kivéve 0

h) −1 −1 1 vagy −1 −1 vagy 1


16

57. Az egy sorban álló téglák között a „malter” a szorzás.Két szomszédos téglában lévő szám szorzata a fölöttük lévő téglán van. Milyen szám van a

? téglán?

a)

· · ·· ·

·

46

92

11

0

? = 0

2024 0

22

2 0

b)

· ··

16

−48

−6

? = −864

18

−3

c)

· ··

50

−3500

350 000

? = −2

−100

−70

58. Add meg a sorozat néhány további elemét! Próbálj néhány megelőző elemet is megkeresni!

a) � � � 12, −36, 108, −324, � � � Szorozzuk −3-mal.

−49

,43

, −4, 12, −36, 108, −324, 972, −2916, 8748

b) � � �−2, + 3, −6, −18, � � � Minden tag az előző kettő szorzata.

−2, 3, −6, −18, 108, −1944, −209 952

59. A következő táblázatokat egy-egy szorzótáblából vágtuk ki. A táblázat szélein a számok egye-sével növekednek vagy csökkennek. Pótold a hiányzó számokat!

a)· 4 5 6 7

12 48 60 72 84

13 52 65 78 91

14 56 70 84 98

· 4 5 6 7

12 48 60 72 84

13 52 65 78 91

14 56 70 84 98

b)· −6 −5 −4 −3

−1 6 5 4 3

0 0 0 0 0

1 −6 −5 −4 −3

2 −12 −10 −8 −6

· −6 −5 −4 −3

−1 6 5 4 3

0 0 0 0 0

1 −6 −5 −4 −3

2 −12 −10 −8 −6

60. Sok-sok művelet rejtőzik a táblázatban −27 3 −9 −162 −171 −46 120 −4 −30 50

11 −6 3 −2 0 −2 6 −71 −1 −71

53 −3 −27 81 58 23 −44 67 30 47

−2 −69 −71 100 29 7 −11 −16 5 56

−106 3 −318 −19 2 −38 4 −54 6 −9

2 23 −5 −115 8 110 10 −72 −8 9

96 32 3 96 1 72 −6 −12 −48 −60

1 55 −11 −5 248 −4 −62 −1 10 −10

−42 −9 −33 91 −124 80 68 12 2 6

5 64 10 640 −2 −320 4 −12 5 −7

: =

−

=

· =

:

=

= +

: = + =:

+ ==

:+ =

=· =

· = : =

= · =·

=

=

:

=

=

·= ·

− =

· = = ·

az eredményével együtt. A bejelölt mű-veletek mindegyikében két számot kap-csolunk össze +, −, ·, : jellel. Keresstovábbiakat!Tedd ki a megfelelő műveleti jeleket, ésa kapott egyenlőségeket írd a füzetedbe!


17

61. Töltsd ki a szorzótáblát!

a)· −3 −7 8 11 25

−9 27 63 −72 −99 −225

9 −27 63 72 99 225

−1 3 7 −8 −11 −25

−11 33 77 −88 −121 −275

101 −303 −707 808 1111 2525

· −3 −7 8 11 25

−9 27 63 −72 −99 −225

9 −27 63 72 99 225

−1 3 7 −8 −11 −25

−11 33 77 −88 −121 −275

101 −303 −707 808 1111 2525

b)· −20 −12 −16 −40 444

−1 20 12 16 40 −444

10 −200 −120 −160 −400 4440

8 −160 −96 −128 −320 3552

−5 100 60 80 200 −2220

94 −45 −27 2 −90 80

· −20 −12 −16 −40 444

−1 20 12 16 40 −444

10 −200 −120 −160 −400 4440

8 −160 −96 −128 −320 3552

−5 100 60 80 200 −2220

94 −45 −27 2 −90 80

Több egész szám szorzása, osztása

62. A (−390)-et szorzat alakban írtuk fel. Gyűjts minél többféle szorzat alakot a többi számhoz is!

−390 = −3 · 130 = 13 · (−30) = 10 · (−39) = −2 · 195 = −78 · 5

a) −9 = (+3) · (−3) = (−1) · 9 = (+1) · (−9) = 1 · 3 · (−3) = (−1) · (−3) · (−3)

b) −75 = 3 · 5 · (−5) = (−15) · 5 = (−1) · 75 = (−3) · (−5) · (−5) = � � �

c) 24 = 12 · 2 = (−24) · (−1) = 6 · 4 = (−3) · (−8) = � � �

d) 36 = 9 · 4 = (−6) · (−6) = 3 · 12 = � � �

e) −64 = 4 · (−16) = (−32) · 2 = � � �

f) −96 = 24 · 4 · (−1) = (−3) · 32 = � � �

g) 72 = 8 · 9 = 2 · 36 = � � �

h) 165 = 33 · 5 = (−11) · (−15) = � � �

i) −625 = (−25) · 25 = 125 · (−5) = � � �

j) −270 = 10 · (−27) = 90 · (−3) = � � �

k) 555 = 5 · 111 = (−3) · (−185) = � � �

l) −2222 = 1111 · (−2) = (−11) · 202 = (−11) · 101 · 2 = � � �

63. Többet ésszel, mint erővel! Ha ügyesen csoportosítod a műveleteket, könnyen kiszámolhatoda végeredményt. Először azonban az előjelet érdemes megállapítani.

a) 7 · (−2500) · (−6) : 50 : (−30) : (−70) = 1

b) 48 · (−250) : (−4000) · (−41) · 8 : 6 = −164

c) −25 : (−10) · (−4) · 390 : 13 = −300

d) 280 : 14 · (−5) : (−25) · (−7) = −28

e) 5 : (−25) · 280 · (−7) : (−14) = −28

f) 6 : (−70) : 50 · 7 · 2500 : (−30) · (−1) = −1


18

64. Írd a nyilakra a hiányzó szorzótényezőt!

2 · 3 · (−3)

20 · 30 · 30

18 · 5

(−10) · 15 · (−15)

(−5) · 117 · 0

6 · (−12)

18 · 7

18

21 · (−6)

(−26) · (−9)

(−9) · (−2)

·−1000· −5

· −125

· 0

· 4

· −7

· −1

· 7

· −13

· −1

65. A cédulákra írt szorzatok között vannak egyformák. Tedd a betűjelüket a megfelelő dobozba!

+4200 a), b) +1485 +91 000 c), e)

−4200 d), i) −1485 g), b) −92 000 f)

a) 24 · (−7) · 5 · (−5) b) 11 · 5 · (−3) · 3 · 3 c) −7 · 13 · (−125) · 8

d) −84 · 50 e) −2 · (−7) · 13 · (−5) · 5 · (−5) · 2 · 2 f) −65 · (−56) · 5 · (−5)

g) −45 · 33 h) −5 · (−5) · 2 · 7 · 3 · (−2) · (−2) i) −28 · (−15) · (−10)

66. 180 −12 A 180-ból akarunk a (−12)-be eljutni.

A rombusz alakú műveletkártyák mindegyike osztás- vagy szorzásjelet takar.

−12 = 180 � � � � � � � � �

Írj egész számokat az üres helyekre, osztás- és szorzásjeleket a kártyákra, mégpedig úgy, hogyaz egyenlőség fennálljon, és a műveletek közül

a) három osztás legyen, −12 = 180 : 3 : 5 : (−1), � � �

b) egy szorzás és két osztás legyen, −12 = 180 : 3 · (−2) : 10, � � �

c) két szorzás és egy osztás legyen, −12 = 180 · (−2) · (−3) : (−90), � � �

d) három szorzás legyen! Nincs megoldás.

67. Csak egész számokkal számolj! El lehet-e jutni a 260-ból a (−39)-hez

a) egyetlen osztással; Nem.

b) két osztással; Nem.

c) akárhány osztással; Nem.

d) egy szorzással és valahány osztással? Igen, pl.: 260 · 3 : (−20).


19

68. Keresd meg a nyitott mondatok összes megoldását!

a) x · (x − 2) = 0 x = 0 vagy x = 2 b) x · (x − 1) · (x − 2) = 0 x = 0 vagy x = 1 vagy x = 2

c) 4 · x · (x + 1) = 0 x = 0 vagy x = −1

69. Keresd meg az összes olyan számhármast, amely igazzá teszi a nyitott mondatot! x · y · z = −8Az x , y és z is egész szám.

Az x · y · z szorzat vagy úgy negatív, ha mindhárom tényezője negatív, vagy úgy, ha két tényezője pozitív,egy pedig negatív. Az x · y · z = 8 egyenlet pozitív megoldásai:

x 1 1 8 2 1 1 2 2 4 4

y 1 8 1 2 2 4 4 1 1 2

z 8 1 1 2 4 2 1 4 2 1

x 1 1 8 2 1 1 2 2 4 4

y 1 8 1 2 2 4 4 1 1 2

z 8 1 1 2 4 2 1 4 2 1

x −2 2 2

y 4 −4 4

z 1 1 −1

x −2 2 2

y 4 −4 4

z 1 1 −1

Ez 10 db számhármas, az eredeti egyenletnek ugyanennyi olyan megoldása van, aholmindhárom tényező negatív. Ha közülük csak egy negatív, akkor az előbbi 10 db szám-hármas mindegyikéhez 3 megoldás tartozik, pl.:

Ezek még 30 megfelelő számhármast adnak. Így 10 + 30 = 40 különböző megoldás van. Ha ugyanezt akérdést úgy tesszük fel, hogy melyik az a három szám, amelyek szorzata −8, akkor a megoldásokban nemszámít másnak a −2; 4; 1 és a 4; −2; 1 számhármas.

70. Tedd igazzá a nyitott mondatot! x · (−4) · (+2) · 0 = −3 Nincs olyan szám, amely igazzá teszi.

Műveletek sorrendje

71. Számítsd ki!

a) −23 + (−3) · 51 = −176 b) 339 : (−3) − 150 = −263

c) 62 · (−100 + 98) = −124 d) [555 − (−333)] : 111 = 8

e) −25 · 8 + (−42) · (−5) = 10 f) 31 · (−20) − 15 · (−73 + 53) = −320

g) [55 − (−291)] · 10 + [−31 + (−12)] = 3417

h) 18 · (−3) − [47 − (−53)] + (−49) : (−7) = −147

72. A műveletek elvégzése előtt gondold meg, melyeknek lesz egyforma a végeredménye! Számoldis ki az eredményeket!

a) (−21 − 49) · 7 = −490 b) 9 · (−3) + 6 · (−3) = −45 c) −21 : 7 − 49 : 7 = −10

d) (9 + 6) · (−3) = −45 e) −21 · 7 − 49 · 7 = −490 f) (9 · 6) · (−3) = −162

g) (−21 − 49) : 7 = −10 h) 9 + 6 · (−3) = −9 i) 9 · (−3) · 6 · (−3) = 486

j) −21 + 49 : (−7) = −28 k) −21 − 49 : 7 = −28 l) [−9 + (−6)] · 3 = −45

73. Írd le műveleti jelekkel, majd számítsd ki!

a) (−112) és (−8) összegének az ötszöröse [−112 + (−8)] · 5 = −600

b) (−112) ötszörösének és (−8)-nak az összege −112 · 5 + (−8) = −568

c) (−112)-nek és (−8) ötszörösének az összege −112 + (−8) · 5 = −152

d) (−112) ötszörösének és (−8) ötszörösének az összege −112 · 5 + (−8) · 5 = −600


20

e) (−99) és 45 összegének a kilencede (−99 + 45) : 9 = −6

f) (−99)-nek és 45 kilencedének a különbsége −99 − (45 : 9) = −104

g) (−99) és 45 különbségének a kilencede (−99 − 45) : 9 = −16

h) (−99) kilencedének és 45 kilencedének az összege (−99 : 9) + (45 : 9) = −6


a) 5 · (−10) − 1 = −51 b) (22 + 0 ) · (−6) = −132

c) ( 25 − 25) · (−189) = 0 d) 137 · (−95) · 0 · 28 = 0

e) (25 − ) · (−31 − ) = 0 = 25 és/vagy = −31

f) −1440 : (−12) + (−220) = −100 g) (−800) : 4 − 300 = −500

h) (292 + −192 ) : (−100) = −1 i) (−225) : (15 + −240 ) = 1

j) (−12 − ) · (321 − ) = 0 = −12 és/vagy = 321

75. Gondoltam egy számot. Megszoroztam (−2)-vel, a szorzathoz hozzáadtam (−2)-t, a kapottösszeget újra megszoroztam (−2)-vel. 0-t kaptam. Mire gondoltam? A gondolt szám −1.

76. A −25 , −11 , 101 számokból a + , · műveleti jelekkel és zárójelek felhasználásávalépítettünk számokat. Köztük vannak egyenlőek is. Mielőtt számolnál, válaszd ki ezeket! Hánykülönböző szám szerepel az a) –r) feladatok között?

a) (−25 + (−11)) · 101 = −3636 b) −25 · (−11 + 101) = −2250

c) 101 · (−25) + (−11) · 101 = −3636 d) (−25 · (−11)) · 101 = 27 775

e) (−25 · 101) + (−11 · 101) = −3636 f) (−25 · 101) · (−11) = 27 775

g) −11 · (−25 + 101) = −836 h) −25 + (−11) · 101 = −1136

i) (−25 · (−11)) + (−25 · 101) = −2250 j) (101 · (−25)) · (101 · (−11)) = 28 052 275

k) −25 · (−11 + 101) + 101 · (−11 + 101) = 6840 l) (−25 · 101) · (−11 · 101) = 2 805 275

m) (−25 + 101) + (−25 + 101) = 152 n) −25 + 101 · (−11) = −1136

o) (−25 · (−11)) · 101 = 27 775 p) (−25 + 101) · (−11 + 101) = 6840

q) −25 · 101 + (−11) = −2536 r) (−25 + 101) · (−11) = −836

77. Csoportosítsd a −100 100 −45 5 −1 −11 −16 0 10 számkártyákat asze-rint, hogy igazzá teszik a nyitott mondatokat, vagy nem! Tedd mindegyik számkártyát a meg-felelő halmazba!

a) · (−3) + (−28) �20 I: −100, −45 H: 100, 5, −1, −11, −16, 0, 10

b) ( + 8) : (−9) = egész szám I: 100, 10 H: −100, −45, 5, −1, −11, −16, 0

c) a · 3 + a · 7 � −120 I: 100, 5, −1, −11, 0, 10 H: −100, −45, −16

d) · 3 − · 7 �20 I: −100, −45, −11, H: 100, 5, −1, 0, 10, −16

e) · 5 + + · 2 = · 10 − · 2 I: mindegyik H: –

f)∣∣∣ · (−31) + 72

∣∣∣ �−3 I: – H: mindegyik


21

78. Gondolj egy számra! Helyettesítsd be a megadott kifejezésbe!

Ha a kifejezés értéke pozitív lett, akkor a szám piros legyen!

Ha a kifejezés értéke negatív lett, akkor a szám kék legyen!

Ha a kifejezés értéke nulla lett, akkor a szám fekete legyen!

Színezz mindegyik kifejezéshez egy-egy számegyenest!

a) 2 · x − 20 1 2

b) (x + (−5)) · 1050 1

c)x

5 0 1

d) x · 150 1

e) (x − 11) : (−2)110 1

f) (10 − x ) · 3100 1

79. Péter a nyitott mondatok megoldásait ábrázolta számegyenesen. Olykor hibázott. Melyek ahibás megoldások? Javítsd ki!

a) |x |�60−6 6

b) (−2) · x � 180 1−5−10

helyesen:0 1−5−10

c) x · 5 �−100 1−2

d) −4 � x : 3 � 4−12 0 12

e) 0 �x · 4 �400 10

f) |x · 3|�120 4

helyesen:0 4−4

g) (x + 2) · 3 �−90−5

h) |2 · x − 1| � 9−4 0 5


22

80. Egy mondatot rejtettünk el.

Keresd meg a műveletekhez tarto-zó betűket, és írd be a táblázatba!

A = (17 + 33) · (−12) = −600

R = 180 : (−9) − (−26) = 6

J = 30 · (−5) · 4 : 10 = −60

M = (−12) · 450 : (−9) = 600

V = −6

K = 58 · 13 + (−3) · 58 = 580

Á = (−120) : (60 : 2) · (−15) = 60

T = −580

623 + (−23) + 5 · 70 + (−350) M

(17 + 33) · (−12) A

600 M

30 · (−5) · 4 A

(−5800) : 5 : 10 · (−5) K

(−50) · (−5) : (−25) · 60 A

60 · (8 − (−2)) : [1000 : (8 + 2)] R

−60 J

(120 + 60) : (−3) · (−1) Á

(50 + 8) · (−10) T

(1000 − 420) · (−1) T

[83 + (−23)] · 60 : 10 : 6 Á

(36 : 6) · (−1) · (−1) R

(−50) · (−5) : (−25) · 6 J

−482 + (−2) · 59 A

(−5800) : 50 · (−5) K

(−580) − 600 : 30 A

58 · (−13) − 58 · (−3) T

(−1800) : (−100) : (−9) · (−30) Á

(−58) · 13 + 58 · 3 T

(−180) : (−9) + 13 · (−2) V

60 Á

6 R

(1�7 + 3�3) · (−12) J

(−150) · 4 A

81. Töltsd ki a táblázat hiányzó sorait!

x −3 +3 −3 +3 −3

y −2 −2 +2 +2 0

|x | 3 3 3 3 3

|y | 2 2 2 2 0

|x · y | 6 6 6 6 0

|x | · |y | 6 6 6 6 0

|x | + |y | 5 5 5 5 3

|x + y | 5 1 1 5 3

x −3 +3 −3 +3 −3

y −2 −2 +2 +2 0

|x | 3 3 3 3 3

|y | 2 2 2 2 0

|x · y | 6 6 6 6 0

|x | · |y | 6 6 6 6 0

|x | + |y | 5 5 5 5 3

|x + y | 5 1 1 5 3

Döntsd el, hogy igazak-e az állítások!

a) Az összeg abszolút értéke megegyezik a tagokabszolút értékeinek összegével. Nem.

b) A szorzat abszolút értéke megegyezik a ténye-zők abszolút értékeinek szorzatával. Igen.


23

Tengelyes tükrözés

Képek és tükörképek

82. Válogasd szét a képeket! Melyik igazi, melyik való Tükörországból? Színezz ki mindkétfajtacímerből egy igazit!Nagy Sándor címerében egy aranyoroszlán kék harci bárdot tart. Ezüsttrónja van bíbor háttér előtt.

igazi tükrörkép igazi tükörkép

A magyar címert ismerjük, tudjuk, hogy melyik az igazi. Nagy Sándor címeréről nem tudjuk eldönteni,melyik az eredeti, és melyik a tükörkép. Eláruljuk, hogy az első kép az eredeti. Vele egyező a harmadik is.

83. Illeszd a tükröt a pillangóra úgy, hogy a mellette megadott képet lásd! Rajzold be a tükörhelyét!

a) b)

c) d)


24

84. Illeszd a tükröt a háromszögre úgy, hogy a mellette megadott képet lásd! Rajzold be a tükörhelyét!a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

85. Egy ember tükörből látja a háta mögött lévő óralapot! Rajzold meg a hiányzó mutatókat! Írdaz órák alá, hány órát mutatnak!

Ezt látjaa tükörben

Ezt mutatjaa valódi óra

2 óra negyed 11 fél 4 3 óra 10 perc múl-va 4 óra

fél 2 lesz 5perc múlva

86. Változtasd át tükörrel a betűket! Például az F betűből E lesz, ha a tükröt idetesszük: F , ésfelülről nézünk bele. Hasonló módon lehet átváltoztatni az egyik betűt a másikra. Lehet, hogya másik elforgatott helyzetben, más méretben látszik a tükörben.

Rajzold a betűre a tükör helyét!

Z M R B N M

N V Y X P B

R K T H K X

87. Egyetlen kockáról és annak tükörképéről készültek a képek. Válogasd szét az eredeti kockárólés a tükörkockáról készült képeket! Találd ki, hogy melyik betűvel szemben melyik betű vana kockára írva! A kocka lapjain az A, B, C, D, E, F betűk állnak. A – C, B – D, E – F

eredeti eredeti tükörkép tükörkép eredeti tükörkép


25

88. Egy régi újságban találtuk ezt a rejtvényt: Új olasz fagyizó nyílik a főutcán. A tulajdonos,V. AMATI úr maga is olasz, azt kérte, hogy a kirakatüvegre olaszosan fessék rá a nevét,elöl keresztnevének kezdőbetűjével. Azt szeretné, hogy a feliratot az utcáról is meg bentről,a boltból is el lehessen olvasni. Segíts a címfestőnek! Mit kell tennie, hogy teljesíthesse afagylaltos kívánságát? A nevet függőlegesen kell felfesteni!

Tükrözés mozgatással

89. Végezd el a tükrözést másolópapírral!

90. Az öreg, elhagyatott, kísértetekkel teli házat ábrázoló kép tükörképén 10 apró hiba található.Melyek ezek?


26

91. Végezd el a tükrözést másolópapírral!

a)

t

b)

tA

B

C

A′B ′

C ′

c)

t

92. Párokat rajzoltunk az egyforma hatszögekből. Tükörképe-e a kék hatszögnek a fehér? Ha igen,rajzold be a tengelyt!

A

B

C D

E

F

G

A′

B ′

C ′D ′

E ′

F ′

G ′

A

C

D

nem tükörkép

F

E

nem tükörkép

93. Keresd meg az ábrán az összes olyan háromszöget, amelyet

f

ed

c

ba

f

ed

c

ba

tengelyes tükrözéssel kaphattunk meg a fekete háromszögből!Mindegyik esetben keresd meg a tükrözés tengelyét!Jelöld meg a háromszöget és a tengelyt azonos színnel vagy be-tűvel! Egyet az ábrán példaként bejelöltünk.


27

94. Az ábrákon a szaggatott vonal fölötti rajzok mutatják, hogyan hajtogattuk össze a papírlapot. Azösszehajtogatás után mintákat vágtunk ki. A kivágott részeket a befeketítés jelöli. A szaggatottvonal alatti rajzok közül válaszd ki, melyik mutatja a vágás után kihajtott lap mintáját!

a)

A B C D

b)

A B C D

95. Egyetlen violinkulcsból szép mintát készíthetsz a másolópapíron, ha felváltva, hol az egyik,hol a másik egyenesre tükrözöd.

t1 t2 � � ��


28

96. Válaszd ki az alábbi minták mindegyikéből azt a legkisebb részletet (alapelemet), amelynekismételgetésével az egész mintát megkaphatjuk!

Válaszd ki azokat a mintákat, amelyeket az alapelemből tengelyes tükrözések egymás utánielvégzésével kaphatsz meg a violinkulcsos sormintához hasonlóan!

t1t2

t1 t2

1.

2.

3.

1.

2.

3.

Bronz szíjvégdíszek hun–avar sírokból Szűcs- és szűrszabóhímzések a 19. századból

A bronz szíjvégek esetében:1. A kijelölt részlet eltolásával épül fel a sor, nem lehet csak tengelyes tükrözéssel előállítani.2. A 2. és 3. minta a berajzolt t1 és t2 tengelyekre való tengelyes tükrözésekkel megkaphatók.

A hímzések esetében:1., 2. A minta nem tükrös, a kijelölt rész eltolásával rajzolható meg.3. Mindegyik csigavonal egyformán tekeredik, így nem lehetnek egymás tükörképei. A kijelölt minta

eltolásával folytatható a minta.

A tengelyes tükrözés tulajdonságai

97. Keress az ábrán egymásnak megfelelő részleteket! Írd fel a betűjelével a megadott alakzatokmegfelelőjét! Gyűjts magad is megfelelő alakzatokat! Színezéssel is kiemelheted azokat!

t

A B C

D

EFG

H

I

J

K

L

M

N

O

A pont J pontBH szakasz KI szakaszDEB� ONI�

FHE� MKN�HBC� KIC�

ON szakasz DE szakaszC pont C pontIKN� BHE�ABEH négyszög J INK négyszögKLM� HGF�


29

98. Képet és tükörképét látod együtt. Egy-egy részletet beszíneztünk. Színezd be a megfelelőjét!

M. C. Escher grafikájának felhasználásával

A megfelelő alakzat megkeresésében segíthet a másolópapír.

Tükrözés pontonként

99. Tükrözd a kutyát az adott tengelyre!

a) b) c)

t

t t


30

d) e) f)

t

t t

g) h)

t

t

100. Két négyzetet adtunk meg a koordináta-rendszerben. Az ABCD négyzetből tengelyes tükrö-zéssel kaptuk a másikat.

Add meg a tükörtengelyt, és betűzd meg az A, B , C , D csúcsok képeit!

a) b)

x

y

1

1

A(0; 0)

D(0; 4) C (4; 4)

B (4; 0)

t

B ′(8; 0) A′(12; 0)

C ′(12; 4)D ′(8; 4)

x

y

1

1A

D C

Bt

D ′(−2; 2) A′(2; 2)

C ′(−2;−2) B ′(2;−2)

101. Az ABCD négyszöget tengelyesen tükröztük különböző tengelyekre. Mind a három ábránmegadtuk az egyik csúcs képét, és ezt P -vel jelöltük. Rajzold be mindegyik esetben a tengelyt,és a tükörkép többi csúcsának a helyét is!

x

y

11

A D

CB

P = A′

t

B ′C ′

D ′x

y

11

A D

CB

P = B ′

t

A′

D ′C ′

x

y

11

D

C

P = D ′ A

B

t

A′

B ′C ′

102. Ebbe a gépbe a pontok jelzőszámait dobjuk be. A gép az első jelző-

(x ; y) �→ (−x ; y)számot az ellentettjére változtatja, a másodikat nem változtatja meg.A gép szabályát röviden így írhatjuk le:(x ; y) �→ (−x ; y). Itt x és y jelenti a bedobott pont első, illetve má-sodik jelzőszámát.

a) Dobjunk be a gépbe néhány pontot! Írd a táblázatba a pont párjának a jelzőszámait, majdábrázold koordináta-rendszerben az eredeti pontokat és a képpontokat is!


31

eredeti A(1; 3) B (−5; 4) C (4;−3) D(0; 2) E (1; 2) F (−2; 5) G (3; 0)

képpont A′ (−1; 3) B ′ (5; 4) C ′ (−4;−3) D ′ (0; 2) E ′(−1; 2) F ′(2; 5) G ′(−3; 0)

eredeti A(1; 3) B (−5; 4) C (4;−3) D(0; 2) E (1; 2) F (−2; 5) G (3; 0)

képpont A′ (−1; 3) B ′ (5; 4) C ′ (−4;−3) D ′ (0; 2) E ′(−1; 2) F ′(2; 5) G ′(−3; 0)

b) A gépbe most a házikó jellegzetes

x

y

0 1

1

A

B

C

A′

B ′

C ′

pontjait (A, B , C , � � � ) dobtuk be. Raj-zold meg az új házikót!Az y tengelyre történő tükrözésről van szó.

103. A sík pontjai ezt az utasítást kapták: Fus-satok a megadott (piros) egyeneshez a le-hető legrövidebb úton! Állapítsátok meg,mekkora utat tettetek meg! Ugyanazon azúton fussatok vissza kétszer annyit!

Az A pont az A′-be, a B pont a B ′-be került.

a) Rajzold meg a kutya képét! Az e egyenes amegadott egyenes.

e

AB

A′ B ′

c) Keress egymásnak megfelelő pontokat az a)és a b) feladatok ábráin!

d) Keress egymásnak megfelelő szakaszokat aza) és a b) feladatok ábráin! Hasonlítsd összeazokat!

e) Keress egymásnak megfelelő szögeket az a)és a b) feladatok ábráin! Hasonlítsd összeazokat!

b) Most az f egyenes a megadott egye-nes. Rajzold meg a kutya képét, ha aszabály változatlan!

f

A szakaszok hossza és a szögek nagysága is változhat, ha a szabály változatlan.

104. A mozgatógépekbe a pontok jelzőszá-

x

ya

b

mait dobjuk be. A gépre ráírtuk, hogymilyen szabály szerint működik. Ho-gyan mozgatja el a gép a kiskocsit?Próbáld ki más alakzatokkal is! Hasz-nálj színes ceruzát! Melyik gép moz-gatását tudnád másolópapírral követ-ni? Rajzold másolópapírra a kiskocsit,és mozgasd el a képébe!

Mit tapasztalsz? Mindkét gép eltolást jelent, a mozgás másolópapírral követhető.

a)

(x ; y) �→ (x + 3; y + 3)

eltolás b)

(x ; y) �→ (x − 2; y + 1)

eltolás


32

Szimmetrikus alakzatok

105. Melyik képnek van szimmetriatengelye, és hány?

A rajzokon a � � � azt jelöli, hogy a minta vég nélkül folytatódik.

a)

� � � � � �

Nincs.

b) c) d)

Nincs. Nincs. Van, 3

e)

� � � � � �

Végtelen sok van.

f)

� � � � � �Végtelen sok van.

106. Egy ábra színezése is lehet szimmetrikus. Színezd ki az ábrát (ha lehet) úgy, hogy a kiszínezettábrának

a) pontosan egy szimmetria-tengelye legyen;

b) pontosan két szimmetria-tengelye legyen;

c) pontosan három szim-metriatengelye legyen;

Nem lehet.


33

d) pontosan négy szimmetria-tengelye legyen;

e) ne legyen szimmetriaten-gelye!

Jóllehet, ez az ábra bármiféle színezés után is szimmetrikus marad, de a színek szimmetriájárólmégis beszélhetünk. A gyerekek szeretik ezt a feladatot, és teret ad a kreativitásnak.

107. Honfoglalás kori szíjvégek, övcsatok és egyéb ruhadíszek rajzait gyűjtöttük ide. Melyik mintatengelyesen szimmetrikus? Rajzold be a tengelyét! Melyiknek van több tengelye?

Nincs tengelye. Nincs tengelye. 1 tengelye van.

Nincs tengelye.5 tengelye van.

4 tengelye van.

Nincs tengelye. 2 tengelye van, de elég pontatlan. 1 tengelye van.

3 tengelye van.

7 tengelye van.

108. Helyezd el a nyomtatott nagybetűket egy ilyen halmaz-

A

C

BOIH

X

YVU

TM

ED

C

B

AFGJKLN

PQRSZ

ábrán!A: van legalább 1 tükörtengelye

B : több tükörtengelye is van

C : nyomtatott nagybetűk

A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U V X Y Z


34

109. Balázs tükrös alakzatokat akart rajzolni. Némelyik nem sikerült. Javítsd a rossz rajzokat! Fogal-mazd meg minden esetben, hogy a tükrözés melyik tulajdonságát sértette meg Balázs! A tükrösrajzokba pirossal rajzold be a tengelyt!

távolságtartó szögtartó

távolságtartó

szögtartótávolságtartó szögtartó

szögtartó szögtartó

Mindegyik hibás esetben megsértette a távolság- és a szögtartást is.

110. A tükrös alakzatokat színezd be! Rajzold meg a tengelyüket!


35

111. Egy galambdúcot díszít ez a szép szimmetrikus faragás. Rajzold be a tengelyeit! Melyik az alegkisebb részlete, amelyet egymás után tükrözve megkaphatjuk az egész sort?

t1 t2

112. Megadtuk egy négyszög három csúcspontjának jelzőszámait: A(2; 2), B (3; 5), C (7; 4).

Határozd meg a négyszög negyedik csúcspontját úgy, hogy a négyszög tükrös legyen!

Keress több megoldást! Másolópapírral lehet megszerkeszteni a hiányzó csúcsokat.

113. Megadtuk egy négyszög három csúcsának jelzőszámait: A(3; 4), B (5; 6), C (7; 4).

Határozd meg a négyszög negyedik csúcspontját úgy, hogy

a) egy tengelye legyen, például: (5; 0) b) négy tengelye legyen! (5; 2)

Tükörkép szerkesztése

114. Szerkeszd meg az adott alakzat tükörképét! A tengelyt minden feladatban pirossal rajzoltuk meg.

a)

t

AA′

b) A két végpontot tükrözzük,és a képeket összekötjük.

t

a

a ′

c) A sugár két végpontját tükrözzük, ésa középpont képe köré kört rajzolunk.

t

O ′

O

A

A′

d) A csúcsokat tükrözzük, majda képeket összekötjük.

t

A

B

CB ′

C ′A′

e)

t

� ′

�C

B

A

C ′

B ′

A′

A szög csúcsát tükrözzük, illetve a szárai-ról egy-egy pontot.

f)

t�

� ′

P

P ′

Q ′

Q

B

B ′


36

115. Tükrözd a téglalapot

a) az egyik oldalegyenesére, b) az egyik átlójára, Erősítsük meg a tapasztalatun-kat, a téglalap átlója nem szimmetriatengely.

c) a DE egyenesre, ha AE = AD , d) a PQ egyenesre!

A E B

CD

P

Q

116. Szerkeszd meg a kijelölt pontok mindegyikének távolságát a vastag vonallal rajzolt alakzattól!

a) b)

A

B

A

B

c) d)

AB

C

AB

C

117. Állíts merőlegeseket az e egyenesre eMN

O

a megadott pontokból!


37

Egyszerű szimmetrikus alakzatok

118. Rajzolj a füzetedbe egy pontot, jelöld O-val!

a) Színezd sárgára az O-tól legfel-jebb 2 cm-re lévő pontokat! Mi-lyen alakzat adódott? körlemez

Or = 2 cm

b) Színezd kékre az O-tól legalább 1 cm-re, de leg-feljebb 3 cm-re lévő pontokat! Mi a kékre színe-zett alakzat neve? körgyűrű

O

3cm

1 cm

c) Az a) és b) feladatot egy ábrában megrajzolva zöld lesz a sík egy része. Mi a zölddel jelöltalakzat neve, és mit mondhatunk a zöld pontok és az O pont távolságáról?

Körgyűrű (zöld), a zöld pontok a 0-tól legalább 1 cm-re, legfeljebb 2 cm-re vannak.

119. Rajzolj a füzetedbe egy pontot, majd szerkessz két olyan pontot, amelyek ettől 3 cm-re, egy-mástól pedig 2 cm-re vannak!

Egy 3 cm sugarú kör tetszőleges pontjából kiindulva illesszünk a körbe egy 2 cm hosszú húrt.

120. A megjelölt szakaszok közül melyik sugara, húrja, átmérője a körnek?

a) sugár: AO , OC , OB

húr: BC , AB

átmérő: AB

b) sugár: OB , OD

húr: AB , BD , AC

átmérő: BD

c) sugár: OA, OB , OC , OD

húr: BD , AC

átmérő: BD


38

121. Melyik alakzat körcikk, melyik körszelet, és melyik egyik sem ezek közül?

Körcikk: A, B , K , I , J ; körszelet: A, D , E , I .

122. A rácsnégyzet területe az egység. Hány egység az alakzatok területe?

123. Az ábrák 2 cm sugarú körökből kivágott körcikkekből készültek. Melyik alakzat területe na-gyobb? Az A alakzaté.

124. Szerkeszd meg a megjelölt húrok és a középpont távolságát!

125. Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe a középponttól 2 cm-re lévő húrt!

Végtelen sok ilyen húr szerkeszthető, mindegyik érintője lesz egy 2 cm sugarú körnek, amely koncentrikusa 3 cm sugarú körrel.


39

126. Szerkeszd meg a két húr felezőmerőlegesét! Mit vettél észre?

A húrok felezőmerőlegesei mindig a kör középpontjában metszik egymást.

127. Szerkeszd meg a három húr felezőmerőlegesét! Mit vettél észre?

Éppen a kör középpontájban találkoznak.

128. Szerkeszd meg a körívek középpontját!

a) b) c) d)

129. a) Hány olyan húr szerkeszthető, amely átmegy a P ponton? Végtelen sok.

b) Szerkeszd meg a P ponton átmenő leghosszabb húrt! Az átmérő.

c) Szerkeszd meg azt a húrt, amelynek a P pont a felezőpontja!


40

Szimmetriatengelyek szerkesztése

130. a) Másold át az ábrákat másolópapírra! Mindegyik ábrához új papírlapot használj! Csupán apapírlap hajtogatásával állítsd elő mindegyik rajz szimmetriatengelyét!

A körvonalat önmagárahajtjuk.

Nincs tengelye. A húrt önmagára hajtjuk.

a

b

a

b

Nincs tengelye. A b szakaszt önmagárahajtjuk.

A b szakasz egyenese atengely.

Egy szög két szárát látjukaz ábrán. Az egyiket a má-sikra hajtva kapjuk a ten-gelyt.

Egymásra hajtjuk a szög-szárakat.

Úgy hajtjuk a lapot, hogya kör és az egyenes is ön-magára kerüljön.

b) Szerkeszd meg a szimmetriatengelyt az ábrák mindegyikéhez!


41

131. Jancsinak a háromszöget kellett tükröznie a pi-ros tengelyre. A lapra azonban tintapacák es-tek. Jancsi mégis meg tudta szerkeszteni a há-romszög tükörképét. Végezd el te is a szerkesz-tést!Minden oldalról ki kell választani 2 pontot, az ezek tü-körképeit összekötő egyenesek a tükörháromszög ol-dalai.

132. Tibi az ABC háromszöget tükrözte egy-egy

a)

t

A

B

C

A′

B ′

C ′

tengelyre. Az a), b) és c) feladatok mindegyi-kében megadtuk egy-egy csúcs képét is. Ke-resd meg a másik két csúcs tükörképét! Előszörmegszerkesztjük a tükörtengelyt, majd tükrözzük amásik két csúcsot.

b)

A

B

C

B ′

t

C ′

A′

c)

A

B

C

C ′

B ′

A′

t

133. Szerkeszd meg az alakzat tükörképét, ha tudjuk, hogy az A pont tükörképe az A′ pont!

a)

O

AA′

t

O ′

b)�

A

A′

t

� ′


42

134. Folytasd a rajzot úgy, hogy a hatszög tengelyesen tükrös képét kapd! Megadtuk az egyik csúcstükörképét. A képpontot vesszős betűvel jelöltük. Pirossal rajzold meg a tükörtengelyt!

a)

A

B

C

D

E

F

C ′

tD ′

E ′

F ′

A′

B ′

b)

A

B

C

D

E

F

F ′

C ′

B ′

A′

E ′

D ′

135. Megadtuk a síkban a P (−2; 3) és a Q(4; 3) pontokat.

Írd a felsorolt pontokat a táblázat megfelelő helyére!

A(0; 7) B (7; 0) C (−5; 1) D(1;−5) E (−1; 2) F (2; 1) G(1; 7) H (1;−6)

Közelebb van a P pont-hoz, mint a Q ponthoz.

Közelebb van a Q pont-hoz, mint a P ponthoz.

A P ponttól való távolsága egyenlő aQ ponttól való távolságával.

A C E B F D G H

Közelebb van a P pont-hoz, mint a Q ponthoz.

Közelebb van a Q pont-hoz, mint a P ponthoz.

A P ponttól való távolsága egyenlő aQ ponttól való távolságával.

A C E B F D G H

Gyűjts a táblázat mindegyik részébe további pontokat!

136. Szerkeszd meg minden oldal felezőmerőlegesét!

Tapasztalatokat gyűjthetünk arról, hogy egy háromszög oldalfelező merőlegesei mindig egy pon-ton mennek át, a négyszögnél pedig ez általában nem teljesül.


43

137. Keress pontokat a koordináta-rendszerben a táblázatnak megfelelően! Néhány pontot már be-írtunk. Gyűjts továbbiakat!

Közelebb vannak az x ten-gelyhez, mint az y tengely-hez.

Közelebb vannak az y ten-gelyhez, mint az x tengely-hez.

A két tengelytől egyenlő tá-volságra vannak.

(7; 4), (−5; 1) (0; 3), (2;−4) (3;−3), (−5;−5)

A beszínezett tarto- y

xmány pontjai felelnekmeg.

A beszínezett pontok y

xfelelnek meg.Általánosítása:

x = y vagy x = −y ,

röviden: |x | = |y|.

Közelebb vannak az x ten-gelyhez, mint az y tengely-hez.

Közelebb vannak az y ten-gelyhez, mint az x tengely-hez.

A két tengelytől egyenlő tá-volságra vannak.

(7; 4), (−5; 1) (0; 3), (2;−4) (3;−3), (−5;−5)

A beszínezett tarto- y

xmány pontjai felelnekmeg.

A beszínezett pontok y

xfelelnek meg.Általánosítása:

x = y vagy x = −y ,

röviden: |x | = |y|.

138. Szerkeszd meg a sokszögek minden szögéhez a szögfelezőt!

Előkészítjük a gondolatot, hogy a háromszög szögfelezői mindig egy ponton mennek át, a négy-szög szögfelezői pedig általában nem.

139. Adottak A, B pontok és az e egyenes!

e

A

B

Színezd az e egyenes pontjai közül pirosra azokat, amelyek A-tól és B -től egyenlő távolságra vannak, kékre azokat, amelyekA-hoz vannak közelebb, és zöldre azokat, amelyek B -hez van-nak közelebb!

140. Adott az a és a b egyenes.

a

b

f

A piros pontokat az egyenesek általalkotott szögek szögfelezői metszikki az f egyenesből.

Egy f egyenes mindkettőt metszi. Az f egyenes pontjai közül színezd

• pirosra azokat, amelyek ugyanolyan távolságra vannak az a egyenestől, mint a b egyenestől;

• kékre azokat, amelyek közelebb vannak b-hez, mint a-hoz;

• zöldre azokat, amelyek közelebb vannak a-hoz, mint b-hez!


44

141. Kati, Laci és Orsi három jó barát, lakóhelyüket meg-

K

L

Ojelöltük a térképen. Ha kettesben akarnak találkozni,akkor mindig olyan helyet választanak, amely mind-kettőjük lakásától egyforma messze van. Persze csaka háztömbök közötti utakon járhatnak.a) Jelöld pirossal, hol találkozhat Kati és Laci!

b) Jelöld kékkel, hol találkozhat Kati és Orsi!

c) Jelöld zölddel, hol találkozhat Orsi és Laci!

d) Van-e olyan hely, amely mind a három jó baráttólegyforma messze esik? Van egy ilyen pont, két és félháztömbnyi távolságra mind a három jó baráttól.

142. Az ábrán egy térképvázlat látható a falu néhány

s

IO

P

B

fontosabb épületével. Ami a valóságban 1 km,az az ábrán 1 cm. Az országutat az s egyenesjelöli, az iskolát az I pont, az óvodát az O pont,a postát pedig a P pont. Rajzolj a füzetedbe teis hasonló vázlatot, majd keresd meg, hol leheta bolt (a B pont), ha tudjuk, hogy:– az országúttól legfeljebb 1 km-re van;

– az iskolától ugyanolyan messze van, mint apostától;

– az óvodától éppen 2 km távolságra van!

Készíts különböző elrendezésben térképvázlatokat, és azokon is szerkeszd meg a B pont helyét!

A feltételeket színezzük át a szövegben különböző színekkel, és egymástól függetlenül elégítsük ki azokat.Ezután keressük meg a különböző színű ponthalmazok közös elemeit.

143. Adott egy e egyenes és rajta kívül egy F pont. Szerkessz olyan pontokat, amelyek az egyenestőlis, a ponttól is 3 cm-re vannak! Szerkessz olyanokat is, amelyek az egyenestől és a ponttól is2 cm-re, 5 cm-re, 6 cm-re vannak!

Szerkessz még olyan tulajdonságú pontokat, amelyek az egyenestől is, és a ponttól is egyenlőtávolságra vannak!

A megoldást mindegyik esetben egy kör és egy egyenespár közös pontjai adják. Az ilyen pontok száma 0,1, 2 lehet, attól függően, hogy F milyen messze van az egyenestől.

Pl.: Ha F az e-től 6 cm távolságra van, akkor pontosan 1 db pont van, amely az egyenestől és az F ponttól is3 cm távolságra van; 2 pont van, amelyik mindkét alakzattól 5 cm-re van; 2 pont van mindkettőtől 6 cm-re;nincs olyan pont, amely mindkettőtől 2 cm-re lenne.

Azt javasoljuk, hogy a pontok szerkesztése előtt a gyerekek készítsenek vázlatrajzokat, hogy eltudják képzelni, hogyan is állhatnak elő a különböző esetek.


45

144. a) Hol lehet a hajó, ha tudjuk,

kikötő

kilátótorony

sziget

hogy a parttól 3 km-nél nincsmesszebb? (A rajzon 1 cm1 km-t jelent.) Színezd a hajólehetséges helyét zölddel!

b) Hol lehet a hajó, ha tud-juk, hogy a kikötőtől 3 km-nél nincs messzebb? Színezda hajó lehetséges helyét piros-sal!

c) Hol lehet a hajó, ha tudjuk,hogy ugyanolyan távol van akikötőtől, mint a kilátótorony-tól?

Színezd a hajó lehetséges he-lyét kékkel! A felezőmerőlegesvízbe eső fele kék.

d) Hol lehet a hajó, ha tudjuk, hogy a sziget partjától éppen 1 km távolságra van? Színezd ahajó lehetséges helyét sárgával! Sárga körvonal.

e) Tudjuk, hogy a hajóra a c) és a d) feltételek egyszerre teljesülnek, tehát hogy a hajó ugyan-olyan távol van a kikötőtől, mint a kilátótoronytól, és éppen 1 km-re van a sziget partjától.Jelöld meg csillaggal a hajó lehetséges tartózkodási helyeit!

145. a) Ezen a térképvázlaton s jelenti a falu főutcáját,

s

I

O

OI szakasz

felezőmerőlegese

az I pont az iskolát, az O pont az óvodát.Hol lehet most Matyi, ha annyit tudunk róla,hogy ugyanolyan messze van az iskolától, mintaz óvodától, és a főutcától éppen 2 méterre áll.

A rajzon 1 cm a valóságban 1 métert jelent.

Két feltételnek kell eleget tenni! Egymástól függetlenülelégítsük ki a két feltételt, és a kapott ponthalmazokatjelöljük színessel is. Ugyanezzel a színnel színezzük bea szövegben is a megfelelő feltételt! Fontos, hogy a gye-rekek mindkét megoldást megtalálják.

b) Egy másik faluban így helyezkedik el az iskola

s

I

O

és az óvoda a főutcához képest. Itt is szerkeszdmeg Matyi helyét az előző feltétel szerint!


46

c) Szerkeszd meg Matyi helyét ezen a térképvázla-

s

I

O

ton!Ebben az elrendezésben nincs megfelelő pont.

Ezzel a feladattal is előkészítjük a diszkussziót. Fon-tos megérteni, hogy az adatok felvételétől függ amegoldások száma.

146. Szerkessz téglalapot! Adott a téglalap két csúcsa (K és L) és egyik oldalegyenese (e).

Először készítsünk vázlatot.

e

K

Lf

El kell képzelni, milyen lesz, ha készen lesz.

Merőlegest kell állítani K -ban e-re (f egyenes), L-ből e-re,majd L-en át f -re.

147. Szerkessz négyzetet! Megadtuk az egyik oldalegyenesét (e) és a kerületén még két pontot (Kés L).

K és L lehetnek a négyzetnek szemközti vagy szomszédos oldalpárján.

a) b)

e

K L

f

a

eK

L

f

a

a

a

Bocsássunk merőlegest K -ból (az egyeneshez közelebbi pontból) e-re, legyen ez az f egyenes.

Bocsássunk L-ből merőlegeseket e-re és f -re is. A hosszabbik merőleges szakasz adja meg a négyzet olda-lának hosszát.

a) Az L-ből az f -re bocsátott merőleges hosszabb,K és L szemközti oldalak pontjai.

b) Az L-ből az e-re bocsátott merőleges hosszabb, Lpont az e-vel szemközti oldalon van.

148. Ezen a mezőn három kút van. Minden állat a

A

B

C

ACtengelyeB

C

teng

elye

ACtengelyeB

C

teng

elye

Ezek a pontok közelebbvannak C -hez, mint A-hoz vagy B -hez.

hozzá legközelebb lévő kúthoz megy inni. Je-löljék a kutak helyét az A, B és C pontok! Szí-nezd be azt a részt, ahonnan az állatok a C kút-hoz járnak inni!


47

149. Vedd fel a síkon az A, a B és a P pontot! Szí-

AP

szimmetriatengelye

BP szimmetriatengelyeA

P

B

nezd a sík azon pontjait, amelyek közelebb van-nak a P ponthoz, mint az A vagy a B pont bár-melyikéhez!Azok a pontok, amelyek közelebb vannak P -hez, mintA-hoz, egy félsík pontjai. A félsík határa (A és P

szimmetriatengelye) nem tartozik a ponthalmazhoz.

Azok a pontok, amelyek közelebb vannak P -hez, mintB -hez, szintén egy félsík pontjai. A két félsík közösrészében vannak a keresett pontok.

150. Szerkessz négyzetet! A csúcsai mind ezen a körön vannak.A

O

B

C

D

Közülük egyet ismerünk, az A csúcsot.

Meg kell határozni a kör közeppontját. Ez két tetszőleges húr felező merőle-gesének metszéspontja.

Ezután az OA egyenes és a kör metszéspontja megadja az A-val szemközticsúcsot (C ).

Az AC átló felezőmerőlegese metszi ki a körvonalból B és D csúcsokat.

151. A térképvázlaton a betűk jelentése:

p – patak, H – horgászbolt, F – fagyizó, M – mozi. Ami a valóságban 100 m, az a térképen1 cm.

p

MF

H

Itt lehetneka fák

Egy akadályverseny alkalmával a gyerekek néhány feladatot kaptak, amelyek egy-egy fa tö-vében voltak elrejtve. A fák helyéről ezeket lehetett tudni: a pataktól pontosan 100 méterre, afagyizótól pedig 300 méterre találhatod őket, közelebb a horgászbolthoz, mint a mozihoz.

Segítsetek a gyerekeknek megtalálni a térképen a fákat! Rajzoljatok különféle térképvázlatokat,és vizsgáljátok meg, melyiken hányféle megoldása van a feladatnak! Készítsetek olyan vázlatotis, amelyen nincs megoldása a feladatnak!


48

152. Szerkessz kört úgy, hogy átmenjen

a) az A ponton, b) az A és a B ponton,

A

O1

O2

O3

A

B

O1

O2

Végtelen sok megoldás van. Végtelen sok megoldás van, az AB húr felezőme-rőlegesének bármely pontja megfelel a kör közép-pontjának.

c) az A, a B és a C pontokon, d) az A, a B , a C és a D pontokon!

A

B

C

A

B

C

D

Egyetlen megoldás van, a három szimmetriaten-gely (szakaszfelező merőleges) egy ponton megyát. (Most még csak tapasztalatnak szánjuk ezt atényt, nem csinálunk korrekt bizonyítást.)

Nincs megoldás.

A szimmetriatengelyek nem egy pontban találkoz-nak, ezért nincs megfelelő pont, amely a kör kö-zéppontja lehetne.

Hány megoldást találtál az egyes esetekben?

153. Adott egy kör és a belsejében egy pont. Szerkessz olyan húrt a kör-

O

Pben, amelyet az adott pont felez! Hány ilyen húrt lehet szerkeszte-ni?Ha a megadott P pont felezi a húrt, akkor PO merőleges a húrra. Ezt a ténytfelhasználva végezzük a szerkesztést. Egyetlen megoldás van, kivéve azt azesetet, amikor P éppen O-ba esik, ekkor a kör bármelyik átmérője megfelela feltételnek.

154. Egy négyzet két oldalának felezőpontjait összekötöttük, így egyFG szakaszt kaptunk. Vedd fel az FG szakaszt, és szerkeszd mega négyzetet!

Két eset van.45

◦F

G

1. F és G pontok szomszédos oldalak felezőpontjai. Vázlat:

Az A csúcsot megkapjuk, ha az FG szakasz mindkét végpontjába 45◦-os szöget szerkesztünk (vagy felmérünk) a szakaszra.


49

Eljárhatunk másképp is, szögszerkesztés nélkül: A

QF

G

FG szakasz felezőmerőlegesére a Q pontból kiindulva felmérjük aszakasz felét, ezzel az A csúcshoz jutunk.

Ekkor az oldalak iránya és nagysága már ismert, a szerkesztés be-fejezhető.

2. Az F és a G pontok a szemközti oldalak felezőpontjai.

a

2

C

D

A

B

F

G

Az FG szakasz felét kell felmérni az FG-re merőleges egyene-sekre a felezőpontból kiindulva.

Két alakzat együttes szimmetriái

155. a) Szerkessz a Q ponton átmenő szelőket!

b) Szerkeszd meg a Q ponton átmenő átmérő egyenesét!

c) Szerkeszd meg a kört a Q pontban érintő egyenest!

156. Szerkeszd meg a kör e egyenessel párhuzamos érintőit!

a) b) c)

O-ból e-re merőleges átmérőt szerkesztünk, annak végpontjaiban az átmérőre merőlegeseket állítunk.

157. Rajzolj egy egyenest, és jelöld meg egy pontját! Szerkessz olyan 3 cm sugarú kört, amely azegyenest a megjelölt pontban érinti! Hány megoldás van? 2 megoldás van. Az adott pontban azegyenesre merőlegest állítunk, és erre felmérjük a 3 cm-t, a kör sugarát.


50

158. Vegyél fel egy 3 cm sugarú kört! Jelölj ki rajta két pontot! Szerkessz a körhöz érintőket akijelölt pontokban! Vizsgáld meg a két érintőegyenesből és a körből álló alakzat szimmetria-viszonyait!

t t

Az együttes alakzat mindig tengelyesen szimmetrikus a két választott pont szakaszfelező merőlegesére.

159. Szerkessz egymást érintő köröket a megadott sugarakkal!

Mérd meg az érintőkörök középpontjainak távolságát, majd töltsd ki a táblázatot!

Az egyikkör sugara

A másikkör sugara

A középpontok távolsága, haaz érintő elválasztja a két kört

A középpontok távolsága, ha azérintő nem választja el a két kört

a) 4 cm 2 cm 6 cm 2 cm

b) 3 cm 2 cm 5 cm 1 cm

c) 4 cm 4 cm 8 cm 0 cm

d) a b a + b |a − b|

Az egyikkör sugara

A másikkör sugara

A középpontok távolsága, haaz érintő elválasztja a két kört

A középpontok távolsága, ha azérintő nem választja el a két kört

a) 4 cm 2 cm 6 cm 2 cm

b) 3 cm 2 cm 5 cm 1 cm

c) 4 cm 4 cm 8 cm 0 cm

d) a b a + b |a − b|

160. Folytasd a minták rajzolását! Meg lehet-e rajzolni a mintát a ceruza felemelése nélkül úgy,hogy minden vonaldarabon csak egyszer szabad végigmenni?

a) Lehet. b) Nem lehet.


51

Szögek összehasonlítása, szerkesztése

161. Csoportosítsd a szögeket fajtájuk szerint!

A: konvex szögek � , � , � , � , , , �, � , B : konkáv szögek �

C : hegyesszögek � , � , D: tompaszögek , �, � E : homorú szögek �

162. A 161. feladatban szereplő szögek közül válassz ki kettőt, amelyeknek az összege

a) kisebb a derékszögnél; Például: � + b) konkáv szög; Például: � + , � +

c) összege nagyobb a teljesszögnél! Például: � + �

Keress több megoldást, és másolópapíron egymás mellé rajzolva a két-két szöget, ellenőrizd aválaszaidat!

163. a) Mérd meg a megjelölt szögeket! A szögek nagyságát fejezd ki szögperc egységben is!

b) Az ábrán jelöld azonos színnel az egyenlő szögeket!

� = 28◦ = 1680′

� = 152◦ = 9120′� = 66◦ = 3960′

� = 90◦ = 5400′

� = 114◦ = 6840′

� = 63◦ = 3780′

� = 120◦ = 7200′

� = 117◦ = 7020′

� = 60◦ = 3600′

164. Szögmásolással szerkessz ekkora szögeket a füzetedben! A szögmásolás pontosságát ellenőrizdméréssel!


52

165. Szögmérő segítségével rajzold meg a szöget, majd szerkeszd meg a szögfelezőjét!

Másolópapíron hajtogatással ellenőrizd a szerkesztés pontosságát.

a) 68◦ b) 126◦ c) 25◦ d) 310◦

166. a) Mérd meg a körcikkek középponti szögét!

b) Rajzlapból vágd ki a körcikkeket, majd hajlítsd meg őket úgy, hogy tölcsérformát kapj!Melyik tölcsér a legmagasabb? Az A, mert annak a legkisebb a középponti szöge.

167. Másold át szerkesztéssel az ábrán látható szögeket, és szerkeszd meg a szögfelezőjüket!

168. Rajzolj a füzetbe egy hegyesszöget! Szerkeszd meg a szög felét, negyedét, nyolcadát!

169. Szerkeszd meg egy tompaszög felét, háromnegyedét, hétnyolcadát!

170. Adottak � és � szögek az ábra szerint.

��

Szerkeszd meg a(z)

a) � + � szöget; b) 2� + � szöget;

c)�

2+�

2szöget; d) 3� +

�

2szöget!

A 170. feladat a szögfelezés, illetve szögmásolás gyakorlására szolgál.

171. Szerkessz az ábrán megadott két szög segítségével 10◦-os szöget, il-letve 58◦-os szöget!A kisebb szöget a nagyobb belsejébe másolva a különbség 20◦. Az ezt felezőegyenes a 68◦-os szöget egy 10◦-os és egy 58◦-os szögre osztja fel.

172. Szerkeszd meg azt a két szöget, amelyeknek az összege három derékszöggel, különbsége pedigaz egyenesszöggel egyenlő! � = 225◦, � = 45◦.


53

173. Mérj és számolj!

��

Melyik szögre, illetve szögekre gondol-hattunk a három közül, ha tudjuk, hogy

� = 155◦, � = 25◦, � = 65◦

a) az összegük egyenesszög; � és � , � + � = 180◦

b) a különbségük derékszög; � és � , � − � = 90◦

c) a háromszorosa homorú szög; � , 3 · � = 195◦

d) az összegük homorú szög; � és � , � + � = 220◦

e) ha az egyik négyszereséhez hozzáadjuk a másikat, tompaszöget kapunk; � és � , 4·�+� = 165◦

f) az összegük fele tompaszög? � és � , (� + �) : 2 = 110◦

Először csak ránézésre becsüljük meg a kérdésekre a válaszokat. Ezután lehet szerkesztésselvagy méréssel megoldani a feladatot. Ha tilos lenne mérni, és a szerkesztéshez sem lennénekeszközeink, akkor csupán másolópapír segítségével is válaszolhatnánk.

174. Egy 4 cm sugarú körbe szerkessz 135◦-os és 225◦-os középponti szöget!

175. Szögmérő használata nélkül állapítsd meg, hogy

a) 45◦-nál nagyobb-e az �szög! Nem.45◦-os szöget kell szerkesz-teni.

b) 270◦ nagyobb-e, vagy a �szög háromszorosa! A 270◦.A 270◦ a 90◦ háromszorosa,� �90◦, tehát a háromszorosakevesebb, mint 270◦.

c) 75◦ nagyobb-e, vagy a �szög fele! A � szög fele.Elég a � szöget a 67�5◦ két-szeresével összehasonlítani:2 · 67�5 = 135◦.Továbbá 135◦ = 90◦ + 45◦.

��

�

176. Szerkessz a) 315◦ = 180◦ + 90◦ + 45◦, b)(135

2

)◦=

90◦ + 45◦

2nagyságú szöget!

177. Szerkeszd meg az ábrákat! Mindegyik oldal hossza 2�5 cm.

a) b) c)


54

178. Szerkessz olyan tengelyesen szimmetrikus négyszöget, amely négy darab ilyenháromszögből áll! Keress többféle megoldást!

179. Szerkessz négyszöget

a) két darab ilyen háromszögből;

b) három darab ilyen háromszögből!


55

Számelmélet

Ritmusok, periódusok

180. Totó – Karikázd be a helyes választ!

a) Egy matematikakönyv lapjainak számozása ilyen.

Szemközti lap lesz-e a 99. és a 100. oldal?

A) igen B) nem C) nem lehet tudni

b) Most március 1. van. Milyen évszak lesz 25 hónap múlva?

A) tavasz B) nyár C) ősz

c) Milyen hangszeren játszik a 35. muzsikáló manó, ha a sorrendjük nem változik a mintán?Karikázd be a megfelelő válasz betűjelét!

A) gitáron B) hegedűn C) zongorán

d) Egy női cipőbolt kirakatának üvegére szabályosan ismételgetve matricákat ragasztottak.

Milyen lesz a 60. cipő a sorban? Válaszd ki a megfelelő cipő betűjelét!

� � �

A) B) C) D)

e) Az informatika-tanárnő a gyerekek és a saját egészsége védelmében ezt a hat ütemből ál-ló tornagyakorlatot szokta a gyerekekkel együtt elvégezni. Az óra közepén körülbelül 5-6percig ismételgetik a mozgássort.

Karemelés Előrehajlás Oldalra dőlés Tenyérnyomás Csuklótorna Bokatorna

Mi lesz a mozgássor 77. eleme? Válaszd ki a megfelelő válasz betűjelét!

A) karemelés B) előrehajlás C) tenyérnyomás D) Az előzőek közül egyik sem.

Számelmélet

56

Minden hatodik ütem bokatorna, így a 72. is az lesz. A 77. a mozgássor 5. eleme lesz, csuklótorna. Ígya D) válasz a helyes.

f) A „mintás” négyzetek és körök valamilyen szabály szerint követik egymást.

� � �

Hogyan folytatódik a sor?

A) B) C)

Minden páratlan sorszámú elem négyzet, a páros sorszámú kör. A fekete rész négyes periódusonkéntismétlődik: jobbra körbefordulva színezzük a négyzet következő negyedét, illetve balra körbefordulva akövetkező körnegyedet feketére.

g) Milyen számjegy áll a tizedesvessző utáni 61. helyen?1 : 13 = 0�076923076923 � � �

Válaszd ki a megfelelő válasz betűjelét!

A) 0 B) 7 C) 3 D) 9

181. a) 2013 áprilisában milyen napok estek szerdára, és mi-

2013.április

vasárnap

szom

bat

pént

ek

csütörtök szerda

keddhétfő

1.

2., 9., 16.,23., 30.

3., 10.,17., 24.

4., 11.,18., 25.

5., 12.,19., 26.

6., 13.,20., 27.

7., 14.,21., 28.

8., 15.,22., 29.

lyenek vasárnapra, ha április 1-je szombatra esett?Fejezd be a rajzot!Az olyan napok estek szerdára, melyek sorszámának hetesmaradéka 5. Ezek a következők: április 5., 12., 19., 26.Vasárnapra olyan napok estek, melyek sorszámának hetesmaradéka 2. Ezek a következők: április 2., 9., 16., 23., 30.

b) Most pontosan 12 óra van. Hova fog mutatni a kis-mutató 26 óra múlva?

A 26 óra 24-es maradéka 2, ezért 26 óra múlva 2 órát mutataz óra.

182. Ezt a forgót a szél az óramutató járásával megegyező irányban for-gatja. Színezd a rajzokat a feltételeknek megfelelően!

a) 13 derékszöggel fordul el: b) 35 derékszöggel fordul el:

c) 42 derékszöggel fordul el: d) 64 derékszöggel fordul el:

Számelmélet

57

A számok maradékaival számolunk

183. Kiszíneztük a számegyenes pontjait.

� � �

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

a) Milyen színűek a felsorolt számok? Töltsd ki a táblázatot!

fekete zöld fehér szürke29 29

222 222

1000 1000

fekete zöld fehér szürke29 29

222 222

1000 1000

b) Ha a számokat most csak a színükkel helyettesítjük, akkor ez az összeg + +biztosan páros.

Színezd ki a számkorongokat úgy, hogy igaz legyen az állítás! A nagyon sok lehetőség közülfelrajzoltunk néhányat.

Biztosan páratlan. + + + + + + + +

Biztosan osztható 4-gyel. + + + + + + + +

Biztosan osztható 4-gyel. + − + − + − + −

Biztosan páratlan. + − + − + − + −

184. A számegyenesen görgetünk (csúszás nélkül) egy egység oldalhosszúságú egyenlő oldalú há-romszöget. A számegyenesen lévő számokat a rájuk gördülő csúcs színével megegyezően szí-nezzük. A nullát zöldre, az egyet szürkére, a kettőt fehérre, a hármat zöldre� � �

0 1 2 3 4 5 6 7

1. 2. 3. 4. 5. 6.

a) Milyen színűre színezzük a számegyenesnek a táblázatban megadott számait? Töltsd ki atáblázatot (Z – zöld, SZ – szürke, F – fehér)!

Ezt a számot� � � 4 5 6 7 8 9 50 51 80 93 94 2013ilyen színűre színezzük SZ F Z SZ F Z F Z F Z SZ Z

Ezt a számot� � � 4 5 6 7 8 9 50 51 80 93 94 2013ilyen színűre színezzük SZ F Z SZ F Z F Z F Z SZ Z

Számelmélet

58

b) Sorolj fel 10 olyan számot, amelyiket szürkére, 10 olyat, amelyiket zöldre és 10 olyat,amelyiket fehérre színeztünk!

szürke: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

zöld: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

fehér: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32

c) A háromszög zöld csúcsa az első teljes körbefordulás után a 0-ról a 3-ra kerül, a szürkepedig az 1-ről a 4-re. Melyik számra kerül a szürke csúcs a 10., 20., 35., 40. teljes körbe-fordulás után?teljes körbefordulások száma 10 20 35 40

erre a számra kerül 10 · 3 + 1 = 31 20 · 3 + 1 = 61 35 · 3 + 1 = 106 40 · 3 + 1 = 121

teljes körbefordulások száma 10 20 35 40

erre a számra kerül 10 · 3 + 1 = 31 20 · 3 + 1 = 61 35 · 3 + 1 = 106 40 · 3 + 1 = 121

185. Az előző feladatban megszíneztük a számegyenes számait. A színezett számokból kettőt-kettőtösszeadunk, kivonunk és összeszorzunk. Írd be a táblázatba, hogy milyen színű szám lesz amegadott színű számok összege, különbsége, illetve szorzata!

a) b) c)+

kisebbítendőkivonandó

− ·

186. Keress olyan természetes számokat, amelyek igazzá teszik a következő mondatokat!

A szám kétszerese

a) 4-gyel osztható: 0, 2, 4, � � � A páros számok.

b) 4-gyel osztva 1-et ad maradékul: Nincs ilyen szám.

c) 4-gyel osztva 2-t ad maradékul: 1, 3, 5, � � � A páratlan számok.

d) 4-gyel osztva 3-at ad maradékul: Nincs ilyen szám.

e) 3-mal osztható: 0, 3, 6, � � � A 3 többszörösei.

f) 3-mal osztva 1-et ad maradékul: 2, 5, 8, � � � Azok a számok, amelyek 3-as osztási maradéka 2.

187. Matyi megkérte nővérét, a 6. osztályos Kingát, hogy ellenőrizze a matematika-házifeladatát.A feladat így szólt:

„Összesen mennyit kell fizetni 5 matricáért és 7 filctollért, ha a matricák darabja 148 Ft, atextilfilceké 665 Ft.”

Matyi válasza ez volt: „Összesen 5393 Ft-ot kell fizetni.”

Kinga nem számolta ki, hogy mennyi a helyes eredmény, így is pillanatok alatt megállapította,hogy öccse rosszul számolt. Hogyan gondolkodott? Karikázd be a helyes válasz betűjelét!

a) Szegény öcsi, eddig még egyetlen szöveges feladattal sem boldogult egyedül, miért pont ezsikerült volna neki?

b) A végösszeg nem lehet páratlan.

c) A végösszeg nem végződhet 3-ra.

Az összeg így írható fel: 5 · 148 + 7 · 665. Az összeg első tagjaként szereplő szorzat utolsó jegye 0, a másiké5. Így az összeg 5-re végződik.

Számelmélet

59

Keressünk osztókat!

188. Csoportosítsd a kártyákon levő művelettel megadott számokat aszerint, hogy teljesül-e rájuk azadott tulajdonság! Írd be a betűjelüket a táblázatba!

A 2 · 3 · 5 · 7 B 15 + 15 + 15 + 15 C (1 + 2 + 3 + 4 + 5) · 13

D 7 · 15 + 1 E 13 · 14 · 15 F 8 · 15 + 6 · 15

Tulajdonság Páros Osztható 7-tel Többszöröse 15-nek Nem osztható 30-cal

Erre teljesül A, B , D , E , F A, E , F A, B , C , E , F C , D

Erre nem C B , C , D D A, B , E , F

Tulajdonság Páros Osztható 7-tel Többszöröse 15-nek Nem osztható 30-cal

Erre teljesül A, B , D , E , F A, E , F A, B , C , E , F C , D

Erre nem C B , C , D D A, B , E , F

189. Többet ésszel, mint erővel! Melyik osztható 9-cel, melyik nem? Zsebszámológéppel ellenőrizddöntésedet!a) 9 + 48 + 52 Nem. b) 63 + 27 + 999 Igen. c) 9 · 48 + 52 Nem. d) 720 − 113 Nem.

e) 11 + 91 + 69 Igen. f) 90 · 98 Igen. g) 90 + 98 Nem. h) 9000 + 90 + 8 Nem.

i) 9009 · 8 Igen. j) 15 · 3 · 71 Igen. k) 3 · 5 · 3 · 7 Igen. l) 9 · 1001 · 8 Igen.

190. a) Egy számról tudjuk, hogy a 7 pontosan 19-szer van meg benne. Melyik állítás mond igazaterről a számról? Karikázd be a betűjelét! Ha igaz az állítás, akkor a hányadost is határozdmeg!A) A szám osztható 19-cel. Igen, 8. B) A szám osztható 14-gyel. Nem.

C) A szám osztható 38-cal. Nem. D) A szám osztható 21-gyel. Nem.

b) Egy számról azt tudjuk, hogy megvan benne a 8, mégpedig pontosan 63-szor. Melyik állításmond igazat erről a számról? Karikázd be a betűjelét! Ha igaz az állítás, akkor a hányadostis határozd meg!

A) A szám osztható 63-mal. Igen, 7. B) A szám osztható 9-cel. Igen, 56.

C) A szám osztható 7-tel. Igen, 72. D) A szám osztható 4 · 9-cel. Igen, 14.

E) A szám osztható 2 · 63-mal, vagyis 126-tal. Igen, 4.

191. JátékA START-ról indulj! Azokra a mezőkre lépj, amelyeknek a 6-tal való osztási maradéka meg-egyezik a START mezőn álló szám 6-os osztási maradékával! Írd rá a nyilakra az osztásimaradékokat! Melyik mezőre értél? Jelöld ∗-gal!

483

START

3 13 + 35 + 4 4 10 + 100 + 1000 0 663 − 63

3 4 0 0

67 · 3 3 12 · 5 + 15 3 6 + 66 + 666 0 6000 + 12 001

3 3 0 1

666 · 111 0 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 3 6 · 3 + 12 · 3 + 13 · 3 3 18 · (2000 + 20 001)

0 3 3 0

2 · 222 + 4 · 222 0 19 · 5 − 7 − 5 5 3 · (22 + 222) + 333 3 11 + 22 + 33 + 44 + 55*

Számelmélet

60

192. Igaz vagy hamis az állítás? Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)!

Hamis állítások esetén írj ellenpéldát!

a) Ha a kéttagú összeg mindkét tagja osztható 6-tal, akkor az összeg is osztható 6-tal. I

b) Ha a kéttagú összeg osztható 6-tal, akkor az összeg tagjai is oszthatók 6-tal. H, például: 2 + 4.

c) Ha egy szorzat egyik tényezője osztható 6-tal, akkor a szorzat is osztható 6-tal. I

d) Ha egy összeg egyik tagja osztható 6-tal, akkor maga az összeg is osztható 6-tal. H, például:6 + 1.

e) Ha a szorzat osztható 6-tal, akkor az egyik tényezője is osztható 6-tal. H, például: 2 · 3

193. A és a jelek pozitív egész számokat jelölnek. Tudjuk még, hogy + + = 32.

Melyik állítás igaz, melyik hamis? Indokold meg a döntéseidet!

a) páros szám. Igaz, mert a + összeg egy pozitív egész szám kétszerese, ehhez csak párosszámot adva kaphatunk páros összeget.

b) páros szám. Hamis, mert a páros és páratlan is lehet, a kétszerese mindenképpen páros lesz.

c) · páros szám. Igaz, mert a csak páros szám lehet.

d) · páros szám. Hamis, mert a páratlan is lehet, így a szorzat páratlan is lehet.

194. Biciklis tolvajokat triciklis rendőrök üldöztek. Összesen 31 keréken 12-en gurultak. Hány tol-vajt üldöztek a rendőrök? 5 tolvajt 7 rendőr üldöz.

195. Egy szálloda 12 szobájában 32 férőhely van. A szobák két- vagy háromágyasak. Hány három-ágyas szoba van ebben a szállodában? 8 háromágyas szoba van.

196. Hogyan dönthetjük el a műveletek elvégzése nélkül, hogy a378 · 436 − 56377 · 436 + 378

tört 1-nél na-

gyobb vagy kisebb szám?

378 · 436 = 377 · 436 + 436, ezért a számlálóban ezt kapjuk: 377 · 436 + 436 − 56 = 377 · 436 + 380.

377 · 436 + 380�377 · 436 + 378, ezért a tört �1.

Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei?

Oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel és 100-zal

197. Londonban készült ez a kép egy új évet köszöntő bolondos kerék-páros felvonuláson. Ha minden biciklisnek volt egy triciklis párja,akkor melyik állítás igaz?a) Az összes kerékpár pedáljainak száma osztható 2-vel. Igaz, mert

a pedálok száma 2 többszöröse.

b) Az összes kerékpár kerekeinek száma osztható 5-tel. Igaz, merta kerekek száma 5 többszöröse.

c) Az összes kerékpár pedáljainak száma osztható 4-gyel. Igaz, mert egy triciklis és egy biciklispár kerékpárjain összesen 4 pedál van, ezért az összes pedál száma 4 többszöröse.

d) Az összes kerékpár kerekeinek száma osztható 10-zel. Hamis. Ha páratlan a kerékpáros párokszáma, akkor a kerekek száma 5 páratlan többszöröse, azaz páratlan szám.

Számelmélet

61

198. a)

A B

140�x�160

A = {2-vel osztható} B = {5-tel osztható}

142, 144, 146,148, 152, 154,

156, 158

145, 155

141, 143, 147, 149, 151,153, 157, 159

150

Írd be a halmazábra megfelelő részébe a 140-nél nagyobb és 160-nál kisebb egész számokat!

b) Egészítsd ki a mondatokat úgy, hogy a ka-pott állítások igazak legyenek!

A) A 2-vel osztható számok utolsó számje-gye csak 0, 2, 4, 6, 8 lehet.

B) Az 5-tel osztható számok utolsó szám-jegye csak 0 vagy 5 lehet.

C) Az A és B halmaz közös részébe a 10-zel osztható számok kerülnek.

199. a) Írd fel az összes olyan négyjegyű számot, amelyet ezzel 0 , 0 , 4 , 5 a négy számkár-tyával ki lehet rakni!

4

0

5

0

5

0

5

0

0

5

0

4

0

4

0

4

0

0

b) Írd be a kapott négyjegyű számokat a megfelelő oszlopokba!

osztható2-vel 5-tel 10-zel 100-zal

4050, 4500,5004, 5040, 5400

4005, 4050, 4500,5040, 5400

4050, 4500,5040, 5400

4500,5400

osztható2-vel 5-tel 10-zel 100-zal

4050, 4500,5004, 5040, 5400

4005, 4050, 4500,5040, 5400

4050, 4500,5040, 5400

4500,5400

c) Melyik címke tartozik ezekhez a halmazokhoz?A

B

C

5004 50404050

45005400

4005Színezd a halmazok címkéit a megfelelő szín-nel!A = {2-vel osztható} B = {5-tel osztható}C = {100-zal osztható}

d) Írd be az a) feladatrészben kapott számokat ahalmazábra megfelelő részébe!

200. a) Mely számjegyek írhatók a helyére úgy, hogy a 325 szám osztható legyen a táblá-zatban megadott számokkal?

osztható 2-vel 5-tel 10-zel 100-zallehetséges értékei 0, 2, 4, 6, 8 0, 5 0 nincs ilyen

osztható 2-vel 5-tel 10-zel 100-zallehetséges értékei 0, 2, 4, 6, 8 0, 5 0 nincs ilyen

b) Mely számjegyek írhatók a helyére úgy, hogy a 32 0 szám osztható legyen a táblá-zatban megadott számokkal?

osztható 2-vel 5-tel 10-zel 100-zal 200-zallehetséges értékei bármelyik bármelyik bármelyik 0 0

osztható 2-vel 5-tel 10-zel 100-zal 200-zallehetséges értékei bármelyik bármelyik bármelyik 0 0

Számelmélet

62

201. Melyik állítás igaz, melyik hamis? Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamisállítások esetén írj ellenpéldát!a) Ha egy szám osztható 2-vel, akkor 10-zel is. H, például a 2.b) Ha egy szám osztható 10-zel, akkor 2-vel is. Ic) Ha egy szám számjegyei között csak 5 és 0 van, akkor osztható 5-tel. Id) Ha egy szám osztható 5-tel, akkor a számjegyei között csak 5 és 0 van. H, például a 25.

202. Négyjegyű számok néhány számjegyét letakartuk. Döntsd el az állításokról, hogy igazak-e! Írda sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamis állítások esetén írj ellenpéldát!

a) 3 4 7 Ez a szám biztosan nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. I

b) 4 7 0 Ez a szám biztosan osztható 2-vel és 5-tel. I

c) 5 Ez a szám lehet, hogy osztható 10-zel. I

d) 2 2 2 Ez a szám lehet, hogy osztható 5-tel. I

e) 2 0 Ez a szám biztosan osztható 100-zal. H, például az 1220.

203. Leírtuk az összes kétjegyű természetes számot egy-egy számkártyára. A számkártyák közülkiválogattuk egy dobozba azokat, amelyek oszthatók 2-vel. 90 kétjegyű természetes szám van.a) Hány darab számkártyát tettünk a dobozba? 90 : 2 = 45b) Hány darab számkártyán van öttel osztható szám a dobozban? 9c) Legalább hány darab számkártyát kell kivenni becsukott szemmel a dobozból, hogy biztosan

legyen a kivettek között olyan, amelyik osztható 5-tel? 37Legrosszabb esetben kihúzzuk egymás után az 5-tel nem osztható (45 − 9) = 36 számot. A 37. márbiztosan osztható lesz 5-tel.

204. Melyik egyszerűsíthető az adott törtek közül

810

1520

424

75100

160200

150125

8001000

200275

a) 2-vel; b) 5-tel; c) 10-zel; d) 4-gyel; e) 20-szal; f) 25-tel; g) 100-zal?

810

,4

24,

160200

,800

1000

1520

,75

100,

160200

,

150125

,800

1000,

200275

160200

,800

10004

24,

160200

,

8001000

160200

,800

100075

100,

150125

,

8001000

,200275

8001000

a) 2-vel; b) 5-tel; c) 10-zel; d) 4-gyel; e) 20-szal; f) 25-tel; g) 100-zal?

810

,4

24,

160200

,800

1000

1520

,75

100,

160200

,

150125

,800

1000,

200275

160200

,800

10004

24,

160200

,

8001000

160200

,800

100075

100,

150125

,

8001000

,200275

8001000

205. Egy autó balesetet okozott, és továbbrobogott. A szemtanúk a rendszámtábla betűire pontosanemlékeztek, de a háromjegyű számról mindenki mást jegyzett meg. A szemtanúk ezt vallották:

– A szám osztható volt 2-vel.

– Nem volt benne 5-ös.

– Ez igaz, de osztható volt 5-tel.

– A számjegyek összege 17 volt.

Kideríthető-e, hogy mi volt az autó rendszáma, ha minden szemtanú igazat mondott?

Egyértelműen nem deríthető ki. Két lehetőség adódik. A szám 0-ra végződik, és a tízesek és százasok helyénálló számok összege 17. Két ilyen szám van: 980 és 890.

Számelmélet

63

Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei?(Kiegészítő tananyag)

Oszthatóság 4-gyel, 8-cal, 125-tel és 1000-rel

206. A következő számoknak letakartuk egy-egy számjegyét.

64 4 987 5 452 50

Pótold a füzetedben a számjegyeket úgy, hogy a számok oszthatók legyenek

64 4 987 5 452 50

a) 4-gyel; 0, 2, 4, 6, 8 2, 6 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 4, 8

b) 25-tel; – 5 – 0

c) 50-nel; – – – 0

d) 100-zal! – – – 0

64 4 987 5 452 50

a) 4-gyel; 0, 2, 4, 6, 8 2, 6 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 4, 8

b) 25-tel; – 5 – 0

c) 50-nel; – – – 0

d) 100-zal! – – – 0

207. a) Írd fel az összes olyan négyjegyű számot, amelyet ezzel 0 , 0 , 8 , 5 a négy számkár-tyával ki lehet rakni!

5

0

8

0

8

0

8

0

0

8

0

5

0

5

0

5

0

0


osztható5-tel 4-gyel; 20-szal; 25-tel; 100-zal?

5080, 5800,8005, 8050, 8500

5008, 5080, 5800,8500

5080, 5800,8500

58008050, 8500

5800,8500

osztható5-tel 4-gyel; 20-szal; 25-tel; 100-zal?

5080, 5800,8005, 8050, 8500

5008, 5080, 5800,8500

5080, 5800,8500

58008050, 8500

5800,8500

c) Melyik címke tartozik ezekhez a halmazokhoz?A

B

C

5008 5080 58008500

8005

8050

Színezd a halmazok címkéit a megfelelő szín-nel!B = {5-tel osztható} A = {4-gyel osztható}C = {25-tel osztható}

d) Írd be az a) feladatrészben kapott számokat ahalmazábra megfelelő részébe!

208. a) Mely számjegyek írhatók a helyére úgy, hogy a 765 szám osztható legyen a táblá-zatban megadott számokkal?

osztható 4-gyel 20-szal 25-tel 50-nel 100-zal

lehetséges értékei 2, 6 – 0 0 –

osztható 4-gyel 20-szal 25-tel 50-nel 100-zal

lehetséges értékei 2, 6 – 0 0 –

Számelmélet

64

b) Mely számjegyek írhatók a helyére úgy, hogy a 75 0 szám osztható legyen a táblá-zatban megadott számokkal?

osztható 4-gyel 8-cal 20-szal 25-tel 100-zal 125-tel 1000-rel

lehetséges értékei 0� 2� 4� 6� 8 2, 6 0� 2� 4� 6� 8 0, 5 0 0 –


lehetséges értékei 0� 2� 4� 6� 8 2, 6 0� 2� 4� 6� 8 0, 5 0 0 –

c) Mely számjegyek írhatók a helyére úgy, hogy a 7 00 szám osztható legyen a táblá-zatban megadott számokkal?


lehetséges értékei bármi 0� 2� 4� 6� 8 bármi bármi bármi 0, 5 0


lehetséges értékei bármi 0� 2� 4� 6� 8 bármi bármi bármi 0, 5 0

209. Melyik állítás igaz, melyik hamis? Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamisállítások esetén írj ellenpéldát!a) Ha egy szám osztható 5-tel, akkor 25-tel is. H, például az 5-re nem igaz.

b) Ha egy szám osztható 20-szal, akkor 4-gyel is. I

c) Ha egy szám utolsó két jegyéből alkotott kétjegyű szám osztható 25-tel, akkor a szám is. I

d) Ha egy szám tízesei helyén páratlan szám áll, és 2-re végződik, akkor biztosan osztható4-gyel. I

210. Négyjegyű számok néhány számjegyét letakartuk. Döntsd el az állításokról, hogy igazak-e! Írda sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! A hamis állítások esetén írj ellenpéldát!

a) 5 2 4 Ez a szám biztosan nem osztható sem 4-gyel, sem 8-cal. H, például az 1524osztható 4-gyel.

b) 4 8 0 Ez a szám biztosan osztható 4-gyel és 8-cal. H, például a 4810 sem 4-gyel, sem8-cal nem osztható.

c) 5 Ez a szám lehet, hogy osztható 25-tel. I

d) 2 2 0 Ez a szám lehet, hogy osztható 125-tel. I

e) 2 0 0 Ez a szám biztosan osztható 1000-rel. H, például 2050 nem osztható 1000-rel.

211. Játék – A START mezőről indulj! InnenSTART 41 128 3000 61 616

7575 6174 14 142 5062

20 108 10 136 5450 32 370

111 213 45 425 81 818 31 320

42 530 10 975 11 132 46 746A S Z I

D A K H

A B R A

V P A T

E T Ő4 4� 25 4

25 – – –

4 4 25 –

– 25 – 4

– 25 4 –

csúcsban vagy oldalban szomszédos mezőreléphetsz, ha a mezőbe írt szám nem oszthatósem 4-gyel, sem 25-tel. Milyen számokhozjutottál? Színezd pirossal!Ha a START mezőről indulva sorban össze-olvassuk a helyesen megszínezett mezőkreírt betűket, akkor egy híres magyar fejszá-moló művész vezetéknevét kapjuk. Ki ő?

Pataki Ferenc (1921–) fejszámolóművész évtizedeken keresztül mindenkit elkápráztatott számolási tehetsé-gével. Még ma is (2013-ban) a processzorok sebességével végzi a műveleteket fejben.

212. Melyik egyszerűsíthető az adott törtek közül1664

125500

2501000

10002000

8003000

a) 8-cal; b) 125-tel; c) 1000-rel?

1664

,10002000

,800

3000125500

,250

1000,

10002000

10002000

a) 8-cal; b) 125-tel; c) 1000-rel?

1664

,10002000

,800

3000125500

,250

1000,

10002000

10002000

Számelmélet

65

213. Összeszoroztuk a pozitív egész számokat a) 1–50-ig, b) 1–100-ig.

Hány nulla áll a szorzatok végén?

a) 12 nulla áll a végén, mert tíz 5-tel és két 25-tel osztható van köztük.

b) 24 nulla áll a végén, mert négy 25-tel osztható van köztük.

Milyen oszthatóságokról árulkodik a szám számjegyeinek összege?

214. Ebbe a gépbe csak természetes számokat le-0

12, 15, 690, 531, 999

3, 6, 9, 30, 60, 90, 300, 600, 900,

1 13, 16, 1, 4, 7, 10, 40, 70, 100, 400, 700,742

2 14, 17, 2, 5, 8, 50, 80, 200, 500, 800,320, 410

het bedobni. A gép három rekeszbe válogatjaszét a számokat: a bedobott számot elosztja3-mal, megállapítja, mennyi a maradék. Ha amaradék 0 (a szám osztható 3-mal), a 0 jel-zésű rekeszbe továbbítja a számot, ha a ma-radék 1, akkor az 1 jelzésű rekeszbe, és haa maradék 2, akkor a 2 jelzésű rekeszbe to-vábbítja a bedobott számot.

Hová kerülnek ezek a számok?

Írd be mindegyiket a megfelelő rekeszbe!

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 30, 40, 50, 60, 70, 80,90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 320, 410,690, 531, 742, 999

215. Helyezd el a számokat a halmazábra megfelelő részébe!

A

B

számok

153 513 35145 2016

451452

20147900

2015 79 790

2013 453153, 351, 513, 79, 790, 7900, 45, 451, 452, 453, 2013,2014, 2015, 2016

A = {3-mal osztható}B = {9-cel osztható}

216. a) Írd fel az összes olyan háromjegyű számot, amelyet ez-

zel 0 , 1 , 8 a három számkártyával ki lehet rakni!

1

0

8

8

0

8

0

1

1

0

b) Írd be a kapott háromjegyű számokat a megfelelő oszlopokba!

osztható2-vel 5-tel 10-zel 9-cel 3-mal

108, 180, 810 180, 810 180, 810 108, 180, 801, 810 108, 180, 801, 810


108, 180, 810 180, 810 180, 810 108, 180, 801, 810 108, 180, 801, 810

Számelmélet

66

217. Melyik címke tartozik ezekhez a halmazokhoz? Színezd ki a halmazok címkéit a megfelelőszínnel!

B 2-vel osztható

A 5-tel osztható

C 3-mal osztható

D 9-cel osztható

A B

180

6015

12

C

D

180

60 12

15

2

218. a) Írd fel az összes olyan háromjegyű számot, amelyet ezzel 0 , 2 , 4 a három számkártyá-val ki lehet rakni!

2

0

4

4

0

4

0

2

2

0

b) Írd be a kapott háromjegyű számokat a megfelelő oszlopokba!


204, 240, 402, 420 240, 420 240, 420 – 204, 240, 402, 420


204, 240, 402, 420 240, 420 240, 420 – 204, 240, 402, 420

c) Döntsd el az állításokról, hogy igazak-e! Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)!A hamis állítások esetén írj ellenpéldát!A) Ha egy szám osztható 10-zel, akkor a szám utolsó számjegye 0. I

B) Ha egy szám utolsó számjegye 0, akkor a szám oszható 10-zel. I

C) Ha egy szám oszható 3-mal, akkor oszható 9-cel is. H, például a 3.

D) Ha egy szám osztható 9-cel, akkor 3-mal is. I

E) Ha egy szám osztható 2-vel és 5-tel, akkor osztható 10-zel is. I

F) Ha egy szám osztható 3-mal és 9-cel, akkor osztható 27-tel. H, például a 9.

219. A táblázat felső, szürke sorában lévő számokból kihagytunk számjegyeket. Úgy írd be a hiány-zó számjegyeket, hogy az így kapott szám osztható legyen

a) 2-vel és 10-zel; b) 3-mal és 9-cel!

2 7 2 7 33 33 45 16 45 23 45 24

2-vel és10-zel

0 01, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9

– bármi 01, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9

0 – – –

3-mal és9-cel

7 2 7 2+ = 3vagy

+ = 12

+ = 3vagy

+ = 12�0

2 4 3

2 7 2 7 33 33 45 16 45 23 45 24

2-vel és10-zel

0 01, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9

– bármi 01, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9

0 – – –

3-mal és9-cel

7 2 7 2+ = 3vagy

+ = 12

+ = 3vagy

+ = 12�0

2 4 3

Számelmélet

67

220. Melyik az a legkisebb, csupa 0-ból és 1-ből álló szám, amelyik osztható

a) 3-mal; 111 b) 9-cel? 111 111 111

221. Igaz-e? Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)! Válaszodat indokold meg!

a) Két egymást követő természetes szám összege mindig osztható 2-vel. H, például 2 + 3

b) Három egymást követő természetes szám összege mindig osztható 3-mal. I

Bármely három egymást követő természetes szám 3-mal való osztási maradékai: 0, 1, 2. A maradékokösszege (0 + 1 + 2 = 3) osztható 3-mal.

c) Négy egymást követő természetes szám összege mindig osztható 4-gyel. H, például 2+3+4+5

d) Öt egymást követő természetes szám összege mindig osztható 5-tel. I

Bármely öt egymást követő természetes szám 5-tel való osztási maradékai: 0, 1, 2, 3, 4. A maradékokösszege (0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10) osztható 5-tel.

e) Hat egymást követő természetes szám összege mindig osztható 6-tal. H, például 2+3+4+5+6+7

f) Hét egymást követő természetes szám összege mindig osztható 7-tel. I

Hét egymást követő természetes szám 7-tel való osztási maradékai: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. A maradékokösszege (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21) osztható 7-tel.

222. Legfeljebb hány természetes számot tudunk leírni úgy, hogy ne legyen osztható 3-mal seme-lyik kettő

a) összege, Négyet (például három olyat, amelynek a 3-as maradéka 2 és egy 3-mal oszthatót).

b) különbsége? Hármat, csak különböző lehet a 3-as maradékuk: például 0, 1, 2.

Prímszámok (törzsszámok)(Kiegészítő tananyag)

223. a) Keress olyan többjegyű prímszámokat, amelyeknek a számjegyei is prímszámok! 23, 37, 53,73, 223, 227, 523

b) Karikázd be a táblázatban az ikerprímeket! (Az ikerprímek olyan prímszámok, amelyek kü-lönbsége 2.) (3� 5), (5� 7), (11� 13), (17� 19), (29� 31), (41� 43), (59� 61), (71� 73), (101� 103), (107� 109),(137� 139), (149� 151), (179� 181), (191� 193), (197� 199), (227� 229), (239� 241), (269� 271), (281� 283),(311� 313), (347� 349), (419� 421), (431� 433), (461� 463), (521� 523), (569� 571)

A prímszámok 1-től 599-ig

2 3 5 7 11 13 17 19 2329 31 37 41 43 47 53 59 61 6771 73 79 83 89 97 101 103 107 10913 127 131 137 139 149 151 157 163 167

173 179 181 191 193 197 199 211 223 227229 233 239 241 251 257 263 269 271 277281 283 293 307 311 313 317 331 337 347349 353 359 367 373 379 383 389 397 401409 419 421 431 433 439 443 449 457 461463 467 479 487 491 499 503 509 521 523541 547 557 563 569 571 577 587 593 599

Számelmélet

68

224. a) Az előző feladat táblázata segítségével határozd meg az alábbi mondatból hiányzó szá-mokat!1–100-ig 25 (2� 3� 5� 7� 11� 13� 17� 19� 23� 29� 31� 37� 41� 43� 47� 53� 59� 61� 67� 71� 73� 79� 83� 89� 97),101–200-ig 21 (101� 103� 107� 109� 113� 127� 131� 137� 139� 149� 151� 157� 163� 167� 173� 179� 181� 191�193� 197� 199),201–300-ig 16 (211� 223� 227� 229� 233� 239� 241� 251� 257� 263� 269� 271� 277� 281� 283� 293),301–400-ig 16 (307� 311� 313� 317� 331� 337� 347� 349� 353� 359� 367� 373� 379� 383� 389� 397),401–500-ig 17 (401� 409� 419� 421� 431� 433� 439� 443� 449� 457� 461� 463� 467� 479� 487� 491� 499),501–600-ig 14 (503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599) darab prím-szám van.

b) Az a) feladatban kapott adatok felhasználásával készíts oszlopdiagramot!

1–100-ig 101–200-ig 201–300-ig 301–400-ig 401–500-ig 501–600-ig

10

20

Prím

szám

oksz

áma

c) Igazak-e az állítások? Válaszodat indokold meg!A) Az egyjegyű számok között ugyanannyi prímszám és összetett szám van. Igaz, mert négy

prím van (2, 3, 5, 7) és négy összetett (4, 6, 8, 9).

B) 1-től 600-ig a számok15

része prímszám. Hamis. A 600 szám15

része 120. 1–600-ig 109

prímszám van, ezért a számok közel 18%-a prím, ami kevesebb15

résznél (20%-nál).

225. Öt prímszám összege 2000. Vajon melyik a legkisebb az öt közül? A 2 az egyetlen páros prím. Ötprímszám összege csak úgy lehet páros, ha szerepel köztük a 2 is. Ezért az öt prímszám közül a legkisebb a 2.

226. Az úgynevezett „gyenge” Goldbach-sejtés szerint bármely 5-nél nagyobb természetes számfelírható három prímszám összegeként.

Bontsd fel három prímszám összegére a 30, a 31 és a 32 számokat!

30 = 2 + 11 + 17; 31 = 3 + 5 + 23; 32 = 2 + 13 + 17

Milyen állításokat neveznek a matematikában „sejtés”-nek? A matematikában azokat az állításokat,amelyeket még senki nem bizonyított be és nem is cáfolt meg, sejtésnek nevezik.

Milyen nemzetiségű volt a „gyenge” sejtést megfogalmazó matematikus, Christian Goldbach?Goldbach porosz matematikus volt (1690. márc. 18., Königsberg – 1764. nov. 20., Moszkva)

Ki fogalmazta meg az úgynevezett „erős” Goldbach-sejtést? A sejtést Euler átfogalmazta a kö-vetkezőképpen: minden 2-nél nagyobb páros szám előállítható két prímszám összegeként. Ezt nevezzükerős Goldbach-sejtésnek. Sem az erős, sem a gyenge Goldbach-féle sejtést a mai napig nem sikerült semmegcáfolni, sem teljesen bizonyítani. A sejtések bizonyításában fontos részeredményeket ért el többek kö-zött Rényi Alfréd.

(Forrás: http://tudosnaptar.kfki.hu)

Számelmélet

69

Összetett számok felírása prímszámok szorzataként(Kiegészítő tananyag)

227. Írd fel a következő számokat prímszámok szorzataként! Fejben számolj!

a) 14 = 2 · 7, 15 = 3 · 5, 33 = 3 · 11 b) 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3, 50 = 2 · 5 · 5

c) 4 = 2 · 2, 9 = 3 · 3, 25 = 5 · 5 d) 8 = 2 · 2 · 2, 27 = 3 · 3 · 3, 125 = 5 · 5 · 5

228. Írd be a hiányzó tényezőket!

2 3 3 2

6 3 2

18 2

36

· · ·

· ·

·

3 2 2 3

3 4 3

12 3

36

· · ·

· ·

·

2 3 2 3

6 6

36

· · ·

·

229. Írd be a hiányzó tényezőket!

2 2 2 5

4 10

40

· · ·

·

5 5 5

5 25

125

· ·

·

2 5 3 3

10 9

90

· · ·

·

2 23 2 2

46 4

184

· · ·

·

2 2 7 7

4 49

196

· · ·

·

2 5 3 11

10 33

330

· · ·

·

230. Lehet-e prímszám olyan négyzet területének mérőszáma, amelynek oldalhossza természetesmérőszámú? A négyzetek területének mérőszáma négyzetszám. A négyzetszámoknak páratlan sok osztójukvan, a prímeknek pontosan két osztójuk van, ezért a négyzetszámok nem lehetnek prímek.

231. Van-e olyan téglalap, amely oldalainak mérőszámai természetes számok, kerületének mérő-száma viszont prímszám? Nincs, mert a feltételeknek megfelelő téglalapok kerületének mérőszáma azegyetlen páros prímnél, a 2-nél nagyobb páros szám.

232. Három testvér egészekre kerekített életkorának összege éppen egy prímszám. Ha életkorukszorzatát vesszük, 24-et kapunk. Hány évesek a gyerekek? A gyerekek 1, 4 és 6 évesek.

233. Melyik az a legkisebb szám, amelynek prímtényezős alakjában a 20-nál kisebb prímszámokmindegyike egyszer fordul elő? 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 = 9 699 690

Számelmélet

70

Számok osztói, közös osztók, a legnagyobb közös osztó

Többszörös, osztó, osztható

234. a) Osztópárok segítségével keresd meg a következő számok összes osztóját!A) 20 = 1 · 20 = 2 · 10 = 4 · 5. A 20 osztói növekvő sorrendben: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

B) 40 = 1 · 40 = 2 · 20 = 4 · 10 = 5 · 8. A 40 osztói növekvő sorrendben: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

C) 47 = 1 · 47

D) 84 = 1 · 84 = 2 · 42 = 3 · 28 = 4 · 21 = 6 · 14 = 7 · 12. A 84 osztói növekvő sorrendben: 1, 2, 3, 4, 6,7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

E) 100 = 1 · 100 = 2 · 50 = 4 · 25 = 5 · 20 = 10 · 10. A 100 osztói növekvő sorrendben: 1, 2, 4, 5, 10,20, 25, 50, 100.

b) Az a) feladatrészben szereplő számok közül melyiknek van pontosan annyi nem valódiosztója, mint a 72-nek? Mindegyiknek ugyanannyi (két) nem valódi osztója van.

235. Megadtuk egy szám összes valódi osztóját. Melyek a nem valódi osztók?

a) 2, 7 1, 14 b) 2, 3, 4, 6 1, 12 c) 5 1, 25

d) 2, 4, 8, 16 1, 32 e) 2, 5, 10, 25 1, 50 f) 3, 5, 9, 15 1, 45

g) 3, 5, 15, 25 1, 75 h) 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 1, 140

236. Határozd meg a következő számok összes közös osztóját! Melyik a legnagyobb? Fejben számolj!a) 15 és 20 Közös osztók: 1, 5. (15; 20) = 5

b) 24 és 36 Közös osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 12. (24; 36) = 12

c) 36 és 48 Közös osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 12. (36; 48) = 12

d) 35 és 37 Közös osztó: 1. (35; 37) = 1

e) 12, 16 és 32 Közös osztók: 1, 2, 4. (12; 16; 32) = 4

f) 25, 35 és 60 Közös osztók: 1, 5. (25; 35; 60) = 5

237. Mit jelenthetnek a nyilak? Írd rá a nyilakra a megfelelő szót!

a) 16

1

2 4

8

osztójaez ennek

b) 72

2

6 12

36

többszöröseennek ez

Számelmélet

71

238. Két-két szám közé pontosan annyi vonalat húzunk, ahány közös osztójuk van (az 1 kivételével).Írj minél kisebb számokat az üres keretekbe! Egy-egy lehetséges megoldás.

a)

3

3

15

3321

39

b)

33

7

5

5

15

3521

55

239. Két-két szám közé pontosan annyi vonalat húzunk, ahány közös osztójuk van (az 1 kivételével).

a) Írj minél kisebb számokat az üres kere-tekbe!

9 23 4

7

545

28

20

63

b) Írd be ezeket a számokat a keretekbe:

99, 117, 44, 52!

9 23 4

13

114499

117 52

240. a) Írd a halmazábrák megfelelő részébe az adott számok osztóit!

A B58

102040

71428

124

A B

27

2, 5, 6,10, 15,18, 30,45, 90

139

A = {40 osztói} B = {28 osztói} A = {27 osztói} B = {90 osztói}

A B

321

535

17

A B7

2135

105

2575

135

15

A = {21 osztói} B = {35 osztói} A = {105 osztói} B = {75 osztói}b) Add meg a következő számok legnagyobb közös osztóját!

A) 40; 28 (40; 28) = 4 B) 27; 90 (27; 90) = 9

C) 21; 35 (21; 35) = 7 D) 105; 75 (105; 75) = 15

Számelmélet

72

c) Add meg a törtek legegyszerűbb alakját!

4028

=107

2790

=3

10

2135

=35

10575

=75

241. Alkoss törteket minden lehetséges módon! A számlálókat a 8 , 22, 27 számok közül, a neve-

zőket a 12, 30, 11 számok közül válaszd! Add meg a kapott törtek legegyszerűbb alakját is!

8

12=

23

22

12=

116

27

12=

94

8

30=

415

22

30=

1115

27

30=

910

22

11= 2

A8

11és a

27

11nem adható meg egyszerűbb alakban.

242. Alkoss számpárokat a megadott számokból minden lehetséges módon! Hány olyan számpárt

találtál, amelynek a legnagyobb közös osztója az 1? 21, 35, 50, 63

Két olyan számpár van, amelynek a legnagyobb közös osztója az 1: (21; 50) = 1 és (50; 63) = 1.

243. a) Írd be a halmazábrába a halmazok hiányzóA

B

C

0�x�31

4578 3 1 9

2618

betűjelét!A = {18 osztói}B = {9 osztói}C = {3 osztói}

b) Írd be a 30-nál nem nagyobb pozitív egészszámokat a halmazábra megfelelő részébe!A sárga részbe elegendő négy számot be-írnod.

244. Egy kisvárosban a helyi autóbusztársaság felmérte, hogy Az iskolába valóeljutás módja

A diákokszáma

gyalog 150

busszal 125

kerékpárral 75

autóval 25

Az iskolába valóeljutás módja

A diákokszáma

gyalog 150

busszal 125

kerékpárral 75

autóval 25

reggelente a diákok milyen módon jutnak el az iskolák-ba. A felmérés eredményét a táblázat mutatja. A helyiújság közzé szeretné tenni a felmérés eredményét egypiktogramon.A piktogramok jelként használt ábrák (képjelek). Szö-vegeket, utasításokat vagy akár adatokat helyettesítenekvelük. Előnyük, hogy felkeltik a figyelmünket, és gyor-san, olvasás nélkül értelmezhetők. Ráadásul bármilyennyelven, bárki számára érthetők.

Te is számos helyen találkozhatsz velük, például a tömegközleke-

– 1000 – 500A zöld figura 1000 embert,

a barna 500-at jelent.

dési járműveken ezekkel jelölik a babakocsik számára fenntartotthelyeket.Statisztikai adatokat is gyakran adnak meg különböző nagyságú ésszámú piktogrammal. Erre példa jobbra a zöld és a barna figura.

Az újságíró ezt a piktogramot válaszotta bizonyos számú gyerek helyettesítésére:

a) Hány gyerek iskolába jutásának módját célszerű ezzel a figurával helyettesíteni,hogy könnyen áttekinthető legyen az ábra?

A) 2 B) 5 C) 10 D) 25 E) 50

Számelmélet

73

b) Választásodnak megfelelően készítsd el a piktogramot az iskolába eljutás módjaihoz!

Legyen = 25 diák! Piktogram: gyalog

busszal

kerékpárral

autóval

245. Egy madarásztáborba 105 alsós, 60 felsős és 35 gimnazista jelentkezett. A táborvezető úgyakarta szétosztani őket, hogy minden csoportba ugyanannyi gyerek kerüljön mindegyik kor-osztályból. Az is célja volt, hogy a lehető legnagyobb csoportokat alakítsa így ki. Hány alsós,felsős és gimnazista került így egy-egy csoportba? A legnagyobb közös osztót kell megkeresni, ezaz 5. Öt csoportot alkottak. Egy csoportba 21 alsós, 12 felsős és 7 gimnazista került.

246. Döntsd el az állításokról, hogy igazak-e! Írd a sor végére a megfelelő betűt (Igaz/Hamis)!A hamis állítások esetén írj ellenpéldát!

a) Két pozitív egész számnak mindig van közös osztója. I

b) Két szám legnagyobb közös osztója lehet a kisebbik szám. I

c) Két egymás utáni páratlan szám szorzata mindig osztható 3-mal. H, például 5 · 7 = 35, amelynem osztható 3-mal.

d) Két egymás utáni páros szám szorzata osztható 8-cal. I

Többszörösök, közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös

247. Színezd a számegyenesen sárgával a 3, kékkel az 5 többszöröseit! Mely számok lettek zöldek?

0 10 20 30 40 50A 3 és az 5 közös többszörösei, azaz a 15 többszörösei lettek zöldek: 0, 15, 30, 45.

248. a) A 6, 12, 15, 18, 20, 30, 42 és 45 számok közül melyik szám közös többszöröse

A) a 2-nek és az 5-nek, 20, 30 B) a 2-nek és a 3-nak? 6, 12, 18, 30, 42

b) Számítsd ki fejben a következő számok legkisebb közös többszörösét!

7; 14 [7; 14] = 14 6; 15 [6; 15] = 30 5; 9 [5; 9] = 45

13; 20 [13; 20] = 260 8; 30 [8; 30] = 120

249. Határozd meg a megadott két-két szám legkisebb közös többszörösét!

a) 32; 48 [32; 48] = 96 b) 42; 60 [42; 60] = 420

c) 50; 75 [50; 75] = 150 d) 30; 45 [30; 45] = 90

Számelmélet

74

250. Melyik többszöröse a 6-nak a szorzat alakban megadott számok közül? Hányszorosa?

a) 2 · 3 · 5 5-szöröse b) 2 · 2 · 3 · 3 6-szorosa c) 2 · 2 · 5 · 7 d) 2 · 2 · 2 · 11 · 13

251. Határozd meg a megadott három-három szám legkisebb közös többszörösét!

a) 4; 5; 6 [4; 5; 6] = 60 b) 3; 4; 15 [3; 4; 15] = 60

c) 22; 3; 6 [22; 3; 6] = 66 d) 24; 15; 8 [24; 15; 8] = 120

252. Az apa egy lépése 80 cm, a fiúé 50 cm hosszú. Induláskor egyszerre lépnek ki. Ha állandóanegymás mellett haladnak, milyen hosszú út megtétele után lépnek megint egyszerre? (A fiútermészetesen gyorsabban lépked, hogy az apjával együtt haladjon. Éppen ezért csak bizonyosidőpontokban lépnek együtt.)

A) 2 méter B) 3 méter C) 4 méter D) 8 méter

253. Egy 102 cm hosszú vezetéket 15 cm és 12 cm hosszú darabokra akarunk szétvágni úgy, hogyhulladék ne legyen. Hány darab 15 cm-es és hány darab 12 cm-es lehet a vezetékdarabokközött? 1 db 12 cm-es és 6 db 15 cm-es vagy 6 db 12 cm-es és 2 db 15 cm-es.

254. Matematikaórán számkitalálós páros Tünde kérdései Laci válaszai1. A gondolt szám osztója a 30-nak? Igen.

2. Páros? Nem.3. Többszöröse az 5-nek? Igen.

4. Pontosan két osztója van? Igen.

Tünde kérdései Laci válaszai1. A gondolt szám osztója a 30-nak? Igen.

2. Páros? Nem.3. Többszöröse az 5-nek? Igen.

4. Pontosan két osztója van? Igen.

játékot játszottunk. Laci gondolt egypozitív egész számra, majd igaz vála-szokat adott Tünde kérdéseire. Az el-ső válasz alapján Tünde felírta a füze-tébe az összes olyan számot, amelyreLaci gondolhatott. Ezután minden vá-lasz után áthúzta az összes olyan számot, amely az új válasz után már nem lehetett a Laci általgondolt szám.Melyik számra gondolt Laci? Az 5-re gondolt Laci.

255. Feldobunk két szabályos dobókockát, és a dobott számokat összeszorozzuk.

a) A három esemény közül melyik a legvalószínűbb, melyik a legkevésbé valószínű? Válasz-tásodat indokold meg!

A: A szorzat végén 0 áll. B : A szorzat végén 5 áll. C : A szorzat a 7 többszöröse.Az A) esemény a legvalószínűbb, a C) esemény a legkevésbé valószínű.

b) A táblázatban színezd be a kedvező események bekövetkezésének megfelelő mezőket! El-lenőrizd, jól tippeltél-e!

A esemény B esemény C esemény

· 1 2 3 4 5 6123456

· 1 2 3 4 5 6123456

· 1 2 3 4 5 6123456

· 1 2 3 4 5 6123456

· 1 2 3 4 5 6123456

· 1 2 3 4 5 6123456

Az A) esemény következik be a legnagyobb valószínűséggel (6

36=

16

), a B) esemény valószínűsége5

36.

A C) esemény valószínűsége a legkisebb (0

36= 0), lehetetlen esemény.

Számelmélet

75

256. Feldobtunk tíz szabályos dobókockát, és a dobott számokat összeszoroztuk. Mi a legvalószí-nűbb, és mi a legkevésbé valószínű?

a) A szorzat végén 0 áll. b) A szorzat végén 5 áll. c) A szorzat a 7 többszöröse.

Az a) a legvalószínűbb. Az a) és a b) esemény bekövetkezéséhez is szükséges, hogy a dobott számok kö-zött legyen egy 5-ös. Az a) bekövetkezéséhez elég, ha egy párost dobunk, a b)-hez minden további dobottszámnak páratlannak kell lennie. Az utóbbinak kisebb a valószínűsége.

A c) a legkevésbé valószínű, hiszen lehetetlen esemény.

257. Egy táborban 200-nál kevesebb katona van. Ha kettesével, hármasával, négyesével, ötösével,hatosával vagy nyolcasával sorakoztatják fel őket, akkor mindig kimarad egy katona. Hánya-sával állítsák sorba őket, hogy minden sorban ugyanannyi katona legyen, és ne maradjon kiegy sem?11-esével, mert [2; 3; 4; 5; 6; 8] = 120, ezért 121 katonát kell sorakoztatni, és 121 osztói: 1, 11, 121.

Számelmélet

76

Műveletek törtekkel

A tört értelmezése

258. a) Mekkora részét színeztük be a téglalapnak?

A) B) C)

220

=1

10részt.

15

rész felét =1

10. Két kis háromszög területe egy kis

téglalap területével egyenlő,

így6

20=

310

.

b) Mekkora részét színeztük be a trapéznak? Célszerű az első ábrán látható segédvonalakat megraj-zolni. Ekkor könnyen leolvasható a megoldás.

A)7

12részt. B)

512

részt. C)7

12részt.

259. Színezd ki pirossal egy 6 cm hosszú szakasz34

részét, és kékkel a43

részét! Összesen hány cm

hosszú színes vonalat húztál?

A piros szakasz hossza 4�5 cm, míg a kéké 8 cm. Összesen 12�5 cm a színes vonal hossza.

260. Megadtuk a beszínezett darabka értékét. Melyik papírcsíknak mennyi az értéke?

a) 34

38

, mert a34

fele

34

34

=64

=32

34

34

34

34

34

=154

34

34

34

34

=34· 4 = 3

b) 73

73

73

73

73

73

73

= 14

76

, mert a73

fele

73

73

=73· 2 =

143

73

73

73

=73· 3 = 7

261. Írd fel az összes olyan pozitív törtet, 1-nél nagyobb

1-gyel egyenlő

1-nél kisebb

55

59

58

57

56

51

52

53

54

amelynek számlálója 5, és a nevező-je legfeljebb 9!Helyezd el a kapott törteket a hal-mazábra megfelelő részébe!


77

262. Állítsd elő hajtogatással az egységet, ha megadjuk, hogy a papírcsík egydarabja mennyit ér!Például:

︸︷︷︸Ez 3 egész, mert

37· 7 = 3. Ezt hajtogattuk 3 egyenlő részre.

a) Ez a darabka most45

-öt ér. b) Ez a darabka most56

-ot ér.

Egymás mellé hajtogatva 5 ilyen darabkát megkap-juk a 4-et, melyből kétszeri felezéssel jutunk az egy-séghez.

Most 6 kis darabot kell egymás mellé hajtani. Ígyaz 5 egységhez jutunk, melyet méréssel tudunk 5egyenlő részre osztani.

Fogalomépítéshez, a törtek értelmezéséhez hasznos feladatok.

263. Egyszerűsítsd az525

=15

;4872

=23

; − 624

= −14

;2401200

=15

;09

= 0 törteket!

264. Írd fel az összes olyan törtet, amelynek számlálója a 6 osztója, nevezője pedig a 8 osztója!Van közöttük egész szám?A számláló az {1; 2; 3; 6}, a nevező az {1; 2; 4; 8} halmaz eleme lehet. Elvben 4 · 4 = 16 tört készíthető,de közöttük lesznek egyenlők is. Tudatosan állítsuk elő a törteket, és ne „ad hoc” módszerrel. Törekedjünkarra, hogy az összes esetet tervszerű rendszerrel állítsák elő a tanulók.

Például: a számláló egy értékéhez felírjuk a nevező összes lehetséges értékét:11

= 1,12

,14

,18

;21

= 2,

22

= 1,24

=12

,28

=14

;31

= 3,32

,34

,38

;61

= 6,62

= 3,64

=32

,68

=34

.

Különböző értékű: 10. Egész: 1, 2, 3, 6.

Hasznos feladat az osztók ismétlésére, az összes eset megkeresésére és a törtek egyszerűsítésére.

265. Töltsd ki a táblázatot. Az a és b pozitív egészek, a 4 5

b 4 3

a 4 5

b 4 3összegük 8, és 1 �a

b�2!

Mivela

b� 1, ezért a � b. Ugyanakkor az

a

b�2 miatt a �2b, azaz a b � a �2b összefüggésnek csak két

számpár felel meg. A gyerekek az összes esetet fel szokták írni, és kihúzzák a rosszakat.

Tört alakban írt szám tizedes tört alakja

266. Keresd meg legalább 5 különböző alakját a48

;69

;210

; 0�3; 2�5; 1�02 törteknek!

48

=12

=5

10=

714

= 0�5 = 0�50 0�3 = 0�30 =3

10=

620

=1240

=1550


78

69

=23

=46

=1015

=1218

=6090

2�5 = 2�50 =2510

=52

=156

=208

210

=15

=3

15= 0�2 = 0�20 =

420

1�02 = 1�020 =102100

=5150

=153150

=255250

267. Helyezd el a törteket a megfelelő halmazábrába!

84

26

96

48

64

32

510

128

1510

4515

07

Egészek

84

= 24515

= 307

= 0

13

-dal egyenlők

26

32

-del egyenlők

96

1510

32

128

64

268. a) Írd a megjelölt osztópontok fölé a megfelelő értékeket tört és tizedes tört alakban is!

−1 0 1 2

− 910

− 510

− 110

110

210

410

510

610

1110

1510

1610

−1 0 1 2

−12

−14

12

54

32

−1 0 1 2

−35

−15

15

35

65

1510

95

b) Keresd meg az azonos értékű törteket! −12

= − 510

;2

10=

15

;5

10=

12

;35

=6

10;

32

=1510

;2

10=

15

269. Keresd meg a megadott számok helyét a számegyenesen!

−0�7 −0�3

−0� 5 −(

15

)= −0� 2 0� 2

25

= 0� 4

−0�5; 0�2;25

;

(−1

5

)

− 23

23

=46

−43

03

= 016

26

=13

46

; −43

;03

;26

;16

Először meg kell határozni, hogy egy beosztás mennyit ér:

az első számegyenesnél 0�1-et, a másodiknál13

-ot.


79

270. A képeken a világ leghosszabb függőhídjainakvázlatos rajzát láthatod. Leolvashatod méterbenmérve a két hídfő közötti távolságokat. Írd átezeket km-re!Kerekítsd a kapott értékeket tizedes pontosságra!

Lesznek-e így egyenlő hosszúnak tekinthető hi-dak?

Kerekítsd egészekre a kapott számokat! Milyenérdekességet tapasztalsz?

1280 m = 1�280 km ≈ 1�3 km ≈ 1 km

1385 m = 1�385 km ≈ 1�4 km ≈ 1 km

1410 m = 1�410 km ≈ 1�4 km ≈ 1 km

1991 m = 1�991 km ≈ 2 km = 2 km

Tizedesjegy pontossággal két híd, míg egész pontossággal 3 híd hossza egyezik meg.

Melyik hazánk leghosszabb függőhídja, és milyen hosszú? Hazánk leghosszabb függőhídja (azazolyan hídja, melynek a folyó medrében nincs pillére) a 290 m hosszú Erzsébet híd, amely Budapesten aDuna fölött található. Az új Erzsébet hidat 1964-ben adták át. Magyarország leghosszabb hídja 2014-ben az1872 m-es Köröshegyi völgyhíd a Balaton közelében.

271. Töltsd ki a táblázatot!

Szám Nagyobb szomszéd Kerekített érték

század tized egyes századra tizedre egyesre

4�363 4�37 4�4 5 4�36 4�4 4

3�159 3�16 3�2 4 3�16 3�2 3

6�098 6�10 6�1 7 6�10 6�1 6

2�997 3�00 3�0 3 3�00 3�0 3

Szám Nagyobb szomszéd Kerekített érték

század tized egyes századra tizedre egyesre

4�363 4�37 4�4 5 4�36 4�4 4

3�159 3�16 3�2 4 3�16 3�2 3

6�098 6�10 6�1 7 6�10 6�1 6

2�997 3�00 3�0 3 3�00 3�0 3

272. Keress a koordináta-rendszerben olyan pontokat, amelyek az x tengelytől85

, az y tengelytől25

egységnyi távolságra vannak! Írd le a jelzőszámaikat tört és tizedes tört alakban is!

Négy pont a megoldás.

A

(25

;85

)= (0�4; 1�6) B

(−2

5;

85

)= (−0�4; 1�6) C

(−2

5;−8

5

)= (−0�4;−1�6) D

(25

;−85

)= (0�4;−1�6)

273. Add meg dm-ben a hosszúságokat!

a)120 m

4= 30 m = 300 dm b)

2 m8

=14

m = 2�5 dm

c)30 cm

2= 15 cm = 1�5 dm d)

100 mm4

= 25 mm = 0�25 dm


80

274. Add meg dkg-ban a tömegeket!

a)10 g20

=12

g = 0�5 g = 0�05 dkg b)38 kg1000

= 0�038 kg = 3�8 dkg

c)3 kg20

=300 dkg

20= 15 dkg d)

7 kg25

=700 dkg

25= 28 dkg

275. Add meg dm3-ben a térfogatokat!

a)8 l16

=12

l = 0�5 dm3 b)23 m3

1000= 23 dm3 c)

3 m3

4= 750 dm3 d)

120 m3

24= 5000 dm3

276. Írd át a törteket tizedes tört alakba, majd rendezd őket csökkenő sorrendbe! Melyik szót kaptada betűk összeolvasásakor?

K =25

= 0�4 T =3750

= 0�74 R =920

= 0�45 Ö =511

= 0�45 Ö =49

= 0�4 Megfejtés: TÖRÖK

277. A rádiófrekvenciák kiosztásakor ügyelni kell arra, hogy az egyes adók ne zavarják egymást,ezért minimum 0�3 MHz frekvenciatávolságot kell hagyni az egyes adók között. Készíts szám-egyenest, és jelöld be rajta, hogy 89 és 92 MHz között hogyan lehet kiosztani a frekvenciákat!

MHz89 89�3 89�6 89�9 90�2 90�5 90�8 91�1 91�4 91�7 92

Törtek összeadása és kivonása

278. Pótold a hiányzó számokat!

a) 712

+35

−35

7160

b) 511

+34

− 522 43

445344

+2344

c) 935

+715

−3724

3523

105

− 4105

d) 549

−37

+314 31

982649

− 314

Részletszámítások:

a)7

12+

35

=35 + 36

60=

7160

b)5

11+

34

=20 + 33

44=

5344

5344

− 522

=53 − 10

44=

4344

34− 5

22=

33 − 1044

=2344

c)9

35+

37

=9 + 15

35=

2435

2435

− 715

=72 − 49

105=

23105

− 715

+37

=−49 + 45

105= − 4

105

d)5

49+

314

=10 + 21

98=

3198

549

+37

=5 + 21

49=

2649

−37

+3

14=−6 + 3

14= − 3

14


81

279. Töltsd ki a táblázatot, ha a szabály:

a) y = x +512

, b) y = x − 613

!

x36

760

− 312

112

−1724

− 512

y1112

815

16

612

− 724

015

x36

760

− 312

112

−1724

− 512

y1112

815

16

612

− 724

015

x813

− 526

6352

− 113

−1152

14

y2

13−17

26

34

− 713

−3552

−1152

x813

− 526

6352

− 113

−1152

14

y2

13−17

26

34

− 713

−3552

−1152

280. Végezd el a műveleteket!

a)711

+5

33=

21 + 533

=2633

b)415

− 845

=12 − 8

45=

445

c)4972

+5

36− 1

12=

49 + 10 − 672

=5372

d)23−

(415

+975

)=

5075

−(

20 + 975

)=

5075

− 2975

=2175

=7

25

e)23− 4

15+

975

=50 − 20 + 9

75=

3975

=1325

f)526

−(

413

− 539

)=

526

− 12 − 539

=5

26− 7

39=

15 − 1478

=1

78

A d) és az e) feladatnál beszéljük meg a zárójel szerepét! Meg lehet beszélni, hogy a két feladat

közül biztosan az e) eredménye lesz nagyobb, mégpedig 2 · 975

=1875

(=

625

)-del, mert d)-nél

kivonjuk a9

75-öt, míg az e)-nél hozzáadjuk.

281. Végezd el a műveleteket! Fontoljuk meg, hogy a törteket célszerű-e tizedes törtté alakítani vagy fordítva!

a)94

+ 7�25 +138

=18 + 58 + 13

8=

898

= 1118

= 11�125

lehetne tizedes tört alakkal is számolni: 2�25 + 7�25 + 1�625 = 11�125.

b)2425

+ 12�08 +35

= 0�96 + 12�08 + 0�6 = 13�64

c) 1�4 +1217

+ 3�6 Célszerű az összeadás előtt csoportosítani: (1�4 + 3�6) +1217

= 51217

.

d)23

+ 4�12 +56

Ismét célszerű csoportosítani:23

+56

+ 4�12 =46

+56

+ 4�12 =96

+ 4�12 = 5�62.

e)47

+ 12�12

Pontos értéket csak tört alakkal kaphatunk:47

+1212100

=47

+30325

=100 + 2121

175=

2221175

= 12121175

.

f)35

+ 0�6 +73

Ismét tört alakkal kell számolni, hogy pontos értéket kapjunk:35

+35

+73

=9 + 9 + 35

15=

5315

= 3815

.


82

282. Végezd el a műveleteket! Mindhárom feladatnál tört alakú számokkal kell dolgozni.

a) 5�12 − 512

=512100

− 512

=12825

− 512

=1536 − 125

300=

1411300

= 4211300

b) 2�8 +39

=2810

+13

=145

+13

=42 + 5

15=

4715

= 32

15

c) 4�13 − 157

=413100

− 157

=2891 − 1500

700=

1391700

= 1691700

283. Gondoltam egy számot, hozzáadtam32

-et, és5

13-ot kaptam. Melyik számra gondoltam? A gon-

dolt szám:5

13− 3

2=

10 − 3926

= −2926

. Ellenőrizzük a kapott eredményt behelyettesítve az eredeti szövegbe!

284. Pótold a bűvös négyzetből hiányzószámokat!

Az egyes bűvös négyzetek bűvös számai:a) −1�5, b) −4�5.

a)−1

4

−12

−1

−0�75

14

−32

0

12

−54

b)−7

2

−1�5

0�5 −3

0 −1

−2�5 −0�5

−2

285. A téglalap egyik oldala 4�3 cm, a másik oldala134

cm. A téglalap oldalai: a = 4�3 cm b = 3�25 cm.

a) Mekkora a téglalap kerülete? K = 2(a + b) = 15�1 cm.

b) Hogyan változik a téglalap kerülete, ha két párhuzamos oldalát csökkentjük 1�15 cm-rel?Bármelyik oldal hosszát csökkenjük 1�15 cm-rel, a kerület 2 · 1�15 = 2�3 cm-rel csökken.K = 15�1 − 2�3 = 12�8 cm.

c) Hogyan változik a téglalap kerülete, ha mind a négy oldalát csökkentjük 1�15 cm-rel? Ismét2�3 cm-rel csökken a b)-beli kerület. K = 12�8 − 2�3 = 10�5 cm.

Természetesen a gyerekek készíthetnek új ábrákat a megváltozott adatú téglalapokhoz, és úgy ismeghatározhatják az egyes kerületeket. Csak a megbeszéléskor térjünk rá az egyszerűbb megol-dásra.

286. Hány méter fémpánttal lehet rögzíteni az ábrán látható45

m

16 dm

1 m 3 cm

ládát?Mennyi fémpántra van szükség 10, illetve 100 ugyan-ilyen láda rögzítésekor? Célszerű deciméterben számolni.

a = 16 dm, b = 10�3 dm, c = 8 dm.

Egy doboznál: 4a+6b+6c = 64+61�8+48 = 173�8 dm = 17�38 mfémpánt kell.

10 doboznál 1738 dm = 173�8 m; 100 doboznál 17 380 dm = 1738 m.

287. Két szám összege175

, az egyik szám a118

. Mennyi a másik?

Nagyon fontos logikai gondolat. A két ismeretlen bevezetése kerülhető el ezzel a módszerrel azegyenletek megoldásánál.

A másik szám:175

− 118

=136 − 55

40=

8140

= 21

40.


83

288. Keresd meg a nyitott mondatok megoldásait!

Mindig visszafelé történő okoskodással oldjuk meg ezeket a nyitott mondatokat.

a) a − 47

=5

21a =

521

+47

=1721

b) b − 59

=827

b =8

27+

59

=2327

c) c − 31417

= 22734

c = 22734

+ 32834

= 55534

= 62134

d) d +928

=57

d =57− 9

28=

1128

e) 3715

+ e = 215

e = 215− 3

715

=33 − 52

15= −19

15= −1

415

f) f −(

45− 0�6

)=

23

f − (0�8 − 0�6) =23

, innen f =23

+15

=1315

.

g) 127788

− 8555999

= g − 859

Először egyszerűsítsünk! 1278− 8

59

= g − 859

, innen g = 1278

.

h) h − 43

= 1�6 h = 1�6 +43

=85

+43

=24 + 20

15=

4415

= 21415

i)47

+ 1�3 − i = 0 i =47

+ 1�3 =47

+43

=12 + 28

21=

4021

= 11921

289. Zsófi és Dani új szánkót szeretett volna venni. Zsófi összegyűjtötte a szánkó árának315

részét,

bátyja, Dani a1327

részét. Nagymamájuk pótolta a hiányzó 1720 Ft-ot, s így a szánkó ott állt a

karácsonyfa alatt.

a) Mennyibe került a szánkó? A gyerekek összegyűjtötték a szánkó árának a315

+1327

=27 + 65

135=

92135

részét. Így a nagymama a hiányzó43

135részt adta oda, amely 1720 Ft.

Innen1

135része a szánkó árának 1720 : 43 = 40 Ft. A szánkó ára 40 · 135 = 5400 Ft.

b) Mennyi pénzt gyűjtött össze Zsófi? Ha pontosan 1 éve gyűjti a pénzét egy dobozban, ésminden hónapban ugyanannyi pénzt tett félre a szánkóra, akkor mennyi volt havonta ez azösszeg?

Zsófi 5400 · 315

= 1080 Ft-ot gyűjtött, havonta 90 Ft-ot tett félre.

290. Melyik az a szám, amelyik az513

és az12

összegénél

Írjuk fel a feladatok megoldás tervét! Az összeg:5

13+

12

=10 + 13

26=

2326

.

a)23

-dal nagyobb,2326

+23

=69 + 52

78=

12178

= 14378

b)23

-dal kisebb?2326

− 23

=69 − 52

78=

1778

c) Mennyi az a)- és b)-beli számok különbsége?

A két szám különbsége:12178

− 1778

=10478

=43

. Ez éppen 2 · 23

.


84

291. Oszd fel 0-tól 1-ig a számegyenest 7 egyenlő részre!

0 27

1

Sajnos a körződ „beragadt” a27

-nél!

Elvégezhető-e a kívánt osztópontok bejelölése?

Lerajzoljuk a felosztás lépéseit: először a 0-tól indulva lépünk

27︷︸︸︷

27︷︸︸︷

27︷︸︸︷

10háromszor a beragadt körzővel (27

;47

;67

),

majd az 1-től visszafelé lépünk háromszor (57

;37

;17

).27︷︸︸︷

27︷︸︸︷

27︷︸︸︷

10Így mind a 6 osztópontot megkaptuk.

292. Határozd meg az A + B , A− B , B −A értékeket!

−15

A

0�7

B

0−15

= −0�2 és 0�7 között 9 osztópont van, így meghatá-

rozható A = 0�1 és B = 0�9 értéke.

A + B = 1, A− B = −0�8, B −A = 0�8. Vegyük észre, hogy A− B és B −A egymás ellentettjei.

293. Írd fel a −25

-öt

a) két tizedes tört összegeként, −25

= −0�4 = −0�1 + (−0�3) = 0�5 + (−0�9), természetesen végtelen sok

megoldás van.

b) egy egész szám és egy törtszám összegeként, −25

= (−1) +(

35

)= −2 +

85

, természetesen itt is

végtelen sok megoldás van.

c) két tört különbségeként, −25

=15− 3

5=

12− 9

10, természetesen itt is végtelen sok megoldás van.

d) két tört és egy tizedes tört összegeként! −25

=35

+(−1

5

)− 0�8, természetesen itt is végtelen sok

megoldás van.

294. Ferkó így szólt a barátjához: „Hétfőn elköltöttem a zsebpénzem142

részét, kedden az17

részét,

szerdán pedig az56

részét. Ma csütörtök van, a maradék pénzemen téged hívlak meg fagyizni.”

Okos Ottó így válaszolt: „Jobb, ha nem megyünk sehova.” Miért?

Ferkó csütörtökig elköltötte pénzének1

42+

17

+56

=1 + 6 + 35

42=

4242

= 1 részét, azaz az összes pénzét, így

csütörtökön már nincs miből fagyit vennie.

295. Gondoltam egy számot, kivontam belőle 1�3-et, és45

-öt kaptam. Melyik számra gondoltam?

A gondolt szám:45

+ 1�3 = 0�8 + 1�3 = 2�1 Ellenőrzés: 2�1 − 1�3 = 0�8 =45

296. Oldd meg az egyenlőtlenségeket!

a)512

+ a �712

a�16

b)45

+ b�1125

b�− 925

c) c − 0�3 �2�7 c�2�7 + 0�3 = 2�7 +13

=2710

+13

=9130

= 31

30


85

297. Oldd meg a nyitott mondatokat!

Ezt a feladatot csak a gyorsan haladóknak adjuk fel!

a) x − 613

=95− 7

13x =

95− 1

13=

117 − 565

=11265

= 14765

b)625

− 215

− x =225

x =4

25− 2

15=

12 − 1075

=2

75

c)

(12− 1

8

)− x = 0�625

38− x = 0�625, átírva: 0�375 − x = 0�625, innen x = 0�375 − 0�625 = −0�25.

298. Hány megoldása van a4

15+ a �3 egyenlőtlenségnek

Először meg kell oldani az egyenlőtlenséget: a�4115

= 21115

.

a) a természetes számok halmazán;A természetes számok halmazában a 0, az 1 és a 2, azaz három megoldás van.

b) az egész számok halmazán; Minden 3-nál kisebb egész beletartozik a megoldáshalmazba:� � �, −1, 0, 1, 2, azaz végtelen sok megoldás van.

c) a (−4)-nél nagyobb, de a 3-nál kisebb egész számok között?{−3; −2; −1; 0; 1; 2}, azaz hat megoldás van.

299. Hány megoldása van az a − 23�

45

egyenlőtlenségnek

Az egyenlőtlenség megoldása: a �45

+23

=2215

= 1715

a) a természetes számok halmazán; 2, 3, 4, � � � , azaz végtelen sok megoldás van.

b) a negatív egész számok halmazán; Nincs megoldás.

c) a 7-nél nem nagyobb pozitív egész számok között? {2; 3; 4; 5; 6; 7}, azaz hat megoldás van.

Törttel való szorzás

300. Az egységnyi oldalú négyzet oldalait felosztottuk az ábrákon látható módon. Írd le a beszínezetttéglalapok oldalainak hosszát, területét és kerületét!

a =34

b =24

T =38

K =52

a =13

b = 1

T =13

K =83

a =12

b =35

T =3

10K =

115

a =14

b =38

T =3

32K =

54


86

301. Végezd el a kijelölt szorzásokat!

a) 5 · 34

=154

b)53· 6 = 10 c)

12· 3

4=

38

d)23· 4

5=

815

e)23· 5

7=

1021

f)34· 5

11=

1544

g)35· 10

11=

611

h)07· 4

3= 0

302. A lehetséges egyszerűsítések elvégzése után szorozd össze a számokat!

a)45· 25

32=

58

b)1112

· 2433

=23

c)73

7373· 101

12=

112

d) 712· 4

5=

152

· 45

= 6

e)911

· 234

=9

11· 11

4=

94

f) 515· 3

34

=265

· 154

=392

g) 718· 2

23

=578

· 83

= 19 h)49· 1

27· 2

12

=49· 9

7· 5

2=

107

303. Többet ésszel, mint erővel! Keress egyszerű megoldást!

a)25· 5

3=

23

b)12· 2

5· 5

9· 9

11=

111

c)73· 4

5· 6

7=

85

d)35· 7

5· 4

5· 5

7=

1225

e) 413· 9

26=

133

· 926

=32

f) 125· 2

17

=75· 15

7= 3

g) 513· 6

34

=163

· 274

= 36 h) 315· 2

34· 1

322

=165

· 114

· 2522

=202

= 10

304. Töltsd ki a táblázatokat, ha a szabály:

y = x · 23

, y = x · 45− 1!

x13

23

35

−12

0 −65

214

y29

49

25

−13

0 −45

32

x13

23

35

−12

0 −65

214

y29

49

25

−13

0 −45

32

x12

−12

53

−53

38

−38

0

y −35

−75

13

−73

− 710

−1310

−1

x12

−12

53

−53

38

−38

0

y −35

−75

13

−73

− 710

−1310

−1

305. Számítsd ki! Sok problémát szokott okozni ez a feladatsor. Egyrészt 4 · 23

=83

nem azonos a 423

=143

-dal,

másrészt a műveleti sorrendet gyakran elrontják a gyerekek. Lehetőleg ezt a feladatot ne hagyjuk ki!

a)13

+ 4 · 23

=13

+83

= 3

b)13

+ 423

=13

+143

= 5

c) 523− 3 · 1

2=

173

− 32

=34 − 9

6=

256

d) 523− 3

12

=173

− 72

=34 − 21

6=

136

e) 314− 3

5· 10

7=

134

− 67

=91 − 24

28=

6728

f)

(3

14− 3

5

)· 10

7=

(134

− 35

)· 10

7=

65 − 1220

· 107

=5320

· 107

=5314


87

g)712

· 83

+712

· 13

=5636

+7

36=

6336

=74

h)712

·(

83

+13

)=

712

· 3 =74

306. Töltsd ki az üresen maradt helyeket!

·

·

16

12

23

112

118

·

·

32

56

47

54

57

· ·

·

34

125

13

115

95

25

1825

307. Írd le a műveleti jelekkel és számokkal, és számítsd is ki!

a) 5 · 6-nak a harmadrésze (5 · 6) · 13

= 10 b) 5 · 6-nak az13

-szorosa (5 · 6) · 13

= 10

c) 12-nek a23

-szorosa 12 · 23

= 8 d) 12-nek a23

része 12 · 23

= 8

e)34

-nek a34

-szerese34· 3

4=

916

f)34

-nek a34

része34· 3

4=

916

308. a) Ez a 2 Mennyi ennek a23

része? (Színezd ki pirossal!)

Három egyenlő részre osztjuk, és a kis részből veszünk 2-t.

b) Ez a 2 Mennyi a23

? (Színezd ki kékkel!) Először megkeressük az 1-et, majd azt osztjuk

fel 3 egyenlő részre, és a kis részekből veszünk 2-t.

A 308. fontos feladat a tört és a rész fogalmának elkülönítésére.

309. Induláskor az autó benzintartálya34

részig volt tele. Miután 11 liter üzemanyagot elhasználtunk,

már csak félig van a tank. Hány literes az autó üzemanyagtartálya?

Célszerű rajzzal követni a feladat szövegét, a teli tartályt az AB jelképezi.

11 l éppen a tartály(

34− 1

2

)=

14

része.A B

12 rész 3

4 rész

︸︷︷︸Induláskor︸︷︷︸

utazás után︸︷︷︸

11 l fogyott el

Így 44 l-es az üzemanyagtartály.

310. Szerkeszd meg a háromszöget, ha egyik oldala 6 cm, és az ezen az oldalon fekvő szögei a

derékszög35

részével, illetve az egyenesszög16

részével egyenlők! Használj szögmérőt!

Az oldalon fekvő szögek: 90◦·35

= 54◦, illetve 180◦·16

= 30◦. A „szerkesztést” szögmérővel tudjuk elvégezni.


88

311. Andi a húgának tizenkettedik születésnapján ezt mondta: „Te most34

-szer olyan idős vagy,

mint én.” Hány éves most Andi? Azt a számot keressük, amelynek34

-szerese a 12� Ez a szám a 16.

Andi tehát 16 éves. Ellenőriztessük a megoldást: 16 · 34

= 12.

312. Melyik számhoz jutunk, ha a25

-öt hozzáadjuk az13

-nak a95

részéhez?25

+13· 9

5=

25

+35

= 1

313. Egy gyalogos, ha siet, óránként 512

km-t tesz meg. Milyen messzire jut

a) 3 óra, 16�5 km b) 113

óra,223

km = 713

km c) 437

óra,317

· 112

=34114

km (≈ 24�4 km)

d) 2 óra 20 perc alatt? 213· 5

12

=73· 11

2=

776

km (≈ 12�8 km)

314. Egy rendezvényen a résztvevők fele nő volt, a fennmaradó rész34

része férfi, a többiek pe-

dig gyerekek. A rendezvény résztvevőinek hányad része volt gyerek? Ha 5 gyerek volt arendezvényen, akkor hány nő és hány férfi volt jelen?

Ismét célszerű ábrán követni a feladat szövegét, a rendezvényen részt vevőket az AB szakasz jelképezi.

A gyerekek a résztvevők 1 −(

12

+12· 3

4

)=

18

A BNők Férfiak Gyer.︸︷︷︸

12 rész

︸︷︷︸12 rész 3

4 -e = 38 rész részét tették ki.

Ha 5 gyerek volt a rendezvényen, akkor a rendezvényen összesen 40-en voltak, ebből 20 nő és 15 férfi.

315. Egy árucikk árát leszállították14

-szeresére, de még így sem kelt el, ezért megint leszállították

az árát14

-szeresére. Így sikerült 1250 Ft-ért eladni. Mennyi volt az eredeti ár?

Az eladási ár (1250 Ft) az eredeti ár14· 1

4=

116

-szorosa. Innen az eredeti ár 1250 Ft · 16 = 20 000 Ft.

Ellenőrizzük a megoldás helyességét az eredeti szövegbe való visszahelyettesítéssel!

Az első leszállítás után 20 000 Ft · 14

= 5000 Ft-ért árusították, a második leszállítás után

5000 Ft · 14

= 1250 Ft-ért.

316. Hány kg-os a gorilla, ha tömegének45

része 69 kg-mal több, mint a fele?

A: 280 kg B : 320 kg C : 230 kg D : 400 kg E : egyik sem

A gyerekek számára a legegyszerűbb megoldás, ha mindegyik értéket behelyettesítik a feladat szövegébe.

280 · 45

= 224. Nem jó, mert 224− 69�140. 320 · 45

= 256. Nem jó, mert 256− 69�160. 230 · 45

= 184.

Jó, mert 184 − 69 = 115. 400 · 45

= 320. Nem jó, mert 320 − 69�200. Tehát a C a helyes válasz.


89

317. Töltsd ki a totót!

1 2 x

1. A 0�57 és a 0�57 számok egyenlők az első anagyobb

a második anagyobb 3

2.Az

13

-nak az12

része és az12

-nek az13

része egyenlők 3 az első anagyobb

a második anagyobb

3.A

3012

tört tizedes tört alakja véges 3 végtelen ésszakaszos

végtelen,de nemszakaszos

4.Az

512

tört tizedes tört alakjavéges végtelen és

szakaszos3


5. Egy szám negyedrésze azonos a szám14

-szeresével.

igen 3 nem néhányszámra igaz

6. Hány tanuló végzett a nyolcadik évfolya-mon, ha a tanulók több mint a fele gimná-

ziumban,13

részük szakközép- és16

részük

szakiskolában tanul tovább?

legalább240

legfeljebb320

nem leheteldönteni,kevés azadat 3

7. Egy szám kétszeresének és felének az ösz-szege 26. Mennyi a szám tízszerese?

104 3 52 312

8. Az a turista gyalogolt többet, aki a 15 km-es

túrának már a34

részét megtette, vagy az,

aki csak a feléig jutott a 24 km-es útnak?

az első a második3

egyenlőhosszú utattettek meg

9. Hány nap alatt múlik el 1 millió másodperc? ≈ 11�6 nap

3

≈ 22�4 nap ≈ 13�6 nap

10.Melyik szám

45

része az54

?1 25

163

1625

11.A derékszög

45

része és az egyenesszög13

része közül

az első a na-gyobb 3

a második anagyobb

egyenlők

12. Milyen műveletet végeztünk egy számmal,ha a negyedrészével csökkentettük?

megszoroz-

tuk34

-del 3

megszoroz-

tuk14

-del

elvettük be-lőle a számfelét

13.Az

13

-nak a25

része és a25

-nek az13

része

közül

az első a na-gyobb

egyenlők 3 a másodika nagyobb

+ 1 Válaszaim közül jó lett legfeljebb afele

több mint afele

több mint a34

része

1 2 x

1. A 0�57 és a 0�57 számok egyenlők az első anagyobb

a második anagyobb 3

2.Az

13

-nak az12

része és az12

-nek az13

része egyenlők 3 az első anagyobb

a második anagyobb

3.A

3012

tört tizedes tört alakja véges 3 végtelen ésszakaszos


4.Az

512

tört tizedes tört alakjavéges végtelen és

szakaszos3


5. Egy szám negyedrésze azonos a szám14

-szeresével.

igen 3 nem néhányszámra igaz

6. Hány tanuló végzett a nyolcadik évfolya-mon, ha a tanulók több mint a fele gimná-

ziumban,13

részük szakközép- és16

részük

szakiskolában tanul tovább?

legalább240

legfeljebb320

nem leheteldönteni,kevés azadat 3

7. Egy szám kétszeresének és felének az ösz-szege 26. Mennyi a szám tízszerese?

104 3 52 312

8. Az a turista gyalogolt többet, aki a 15 km-es

túrának már a34

részét megtette, vagy az,

aki csak a feléig jutott a 24 km-es útnak?

az első a második3

egyenlőhosszú utattettek meg

9. Hány nap alatt múlik el 1 millió másodperc? ≈ 11�6 nap

3

≈ 22�4 nap ≈ 13�6 nap

10.Melyik szám

45

része az54

?1 25

163

1625

11.A derékszög

45

része és az egyenesszög13

része közül

az első a na-gyobb 3

a második anagyobb

egyenlők

12. Milyen műveletet végeztünk egy számmal,ha a negyedrészével csökkentettük?

megszoroz-

tuk34

-del 3

megszoroz-

tuk14

-del

elvettük be-lőle a számfelét

13.Az

13

-nak a25

része és a25

-nek az13

része

közül

az első a na-gyobb

egyenlők 3 a másodika nagyobb

+ 1 Válaszaim közül jó lett legfeljebb afele

több mint afele

több mint a34

része


90

Megjegyzések a totóhoz:

6� Mivel az12

+13

+16

= 1, nem lehet, hogy a tanulók több mint a fele menjen gimnáziumba.

7� A szám tízszerese éppen négyszer annyi, mint a kétszeresének és a felének az összege. Így 4 · 26 = 104.

8� 15 km34

része =454

km �242

km =484

km.

9� 1 millió mp =1 000 00024 · 3600

≈ 11�6 nap.

10� A keresett szám x . A45

részt szorzással kapjuk, így x · 45

=54

. Innen x =2516

.

11� A derékszög45

része = 90◦ · 45

= 72◦ �egyenesszög13

része = 180◦ · 13

= 60◦.

Tizedes törttel való szorzás

318. Végezd el a szorzásokat!

a) 7 · 10 = 70 b) 0�7 · 10 = 7 c) 0�07 · 10 = 0�7 d) 0�007 · 10 = 0�07

e) 102 · 10 = 1020 f) 102 · 0�1 = 10�2 g) 10�2 · 0�1 = 1�02 h) 1�02 · 0�1 = 0�102

319. Végezd el a szorzásokat!

a) 8 · 0�3 = 2�4 b) 0�8 · 0�3 = 0�24 c) 0�8 · 0�03 = 0�024 d) 0�008 · 0�3 = 0�0024

e) 12 · 12 = 144 f) 12 · 1�2 = 14�4 g) 1�2 · 1�2 = 1�44 h) 1�2 · 0�12 = 0�144

320. Tedd ki a táblázatban a hiányzó tizedesvesszőket!

a)· 3�2 4�8 0�35 8�5

3�2 10,24 15,36 1,12 27,2

1�7 5,44 8,16 0,595 14,45

0�45 1,44 2,16 0,1575 3,825

6�8 21,76 32,64 2,38 57,8

· 3�2 4�8 0�35 8�5

3�2 10,24 15,36 1,12 27,2

1�7 5,44 8,16 0,595 14,45

0�45 1,44 2,16 0,1575 3,825

6�8 21,76 32,64 2,38 57,8

b)· 2�6 8�4 9�7 23�2

0�5 1,3 4,2 4,85 11,6

0�35 0,91 2,94 3,395 8,12

0�04 0,104 0,336 0,388 0,928

2�05 5,33 17,22 19,885 47,56

· 2�6 8�4 9�7 23�2

0�5 1,3 4,2 4,85 11,6

0�35 0,91 2,94 3,395 8,12

0�04 0,104 0,336 0,388 0,928

2�05 5,33 17,22 19,885 47,56

321. Végezd el a szorzásokat! Ha jól szoroztál, akkor a szorzatok összegeként azt a számot kapod,amelyet leírtunk.

a) 0�3 · 0�2 = 0�06

2�5 · 0�8 = 2

7�5 · 2�5 = 18�75

0�4 · 0�5 = 0�2összeg 21,01

b) 0�35 · 0�02 = 0�007

0�49 · 0�15 = 0�0735

2�04 · 0�07 = 0�1428

6�84 · 0�5 = 3�42összeg 3�6433

c) 2�75 · 0�15 = 0�4125

0�45 · 3�02 = 1�359

4�83 · 0�25 = 1�2075

8�04 · 0�05 = 0�402összeg 3�381

322. Végezd el a kijelölt szorzásokat!

a) 1�3 · 23�4 = 30�42 b) 2�05 · 1�7 = 3�485 c) 91�2 · 4�05 = 369�36

d) 1�2 · 1�2 · 1�2 = 1�728 e) 3�12 · 0 = 0 f) 492�6 · 5�13 = 2527�038


91

323. Végezd el a kijelölt műveleteket!

a) 3�4 + 0�8 · 1�2 = 3�4 + 0�96 = 4�36 b) (3�4 + 0�8) · 1�2 = 4�2 · 1�2 = 5�04

c) (2�93 − 0�7) · 2�5 = 2�23 · 2�5 = 5�575

d) 513

+ 2�4 · 0�6 =163

+ 1�44 =163

+3625

=400 + 108

75=

50875

(≈ 6�77)

e) 0�23 + 0�49 · 5�2 = 0�23 + 2�548 = 2�778 f) 4�73 + 2�9 · (−3�12) = 4�73 − 9�048 = −4�318

324. Angliában a tömeg mértékegysége az 1 font (pound, a jele: lb), 1 font = 0�454 kg.

Töltsd ki a táblázatot!

font 1 0�3 1�2 2�4 3�6 4�04

kg 0�454 0�1362 0�5448 1�0896 1�6344 1�834 16

font 1 0�3 1�2 2�4 3�6 4�04

kg 0�454 0�1362 0�5448 1�0896 1�6344 1�834 16

325. Két szám átlaga 4�8. Az egyik a 2�3. Melyik a másik? A másik szám 2 · 4�8 − 2�3 = 7�3.

326. Három szám számtani közepe 2�4. A három szám közül kettőnek az átlaga 1�8. Mekkora aharmadik szám? A három szám számtani közepe 2�4, innen az összegük 2�4 · 3 = 7�2. Mivel két számátlaga 1�8, így az összegük 3�6.

A harmadik számot megkapjuk, ha a három szám összegéből kivonjuk a két szám összegét: 7�2 − 3�6 = 3�6.Ellenőrizzük megoldásunkat!

327. A Duna sebessége 5�6 km�h, egy hajó állóvízben 22 km-t tud megtenni óránként. Milyenmesszire jut a hajó a folyás irányában, illetve azzal ellentétes irányban a megadott időtarta-mok alatt?

12

óra 15 perc 1,2 óra 3,4 óra alatt

Folyásirányban 13�8 6�9 33�12 93�84

Folyással ellentétesen 8�2 4�1 19�68 53�76

12

óra 15 perc 1,2 óra 3,4 óra alatt

Folyásirányban 13�8 6�9 33�12 93�84

Folyással ellentétesen 8�2 4�1 19�68 53�76

A hajó sebessége a folyás irányában 27�6kmh

, míg a folyással ellentétes irányban 16�4kmh

.

A táblázatban szereplő eredmények mindegyike km.

328. Egy rúd 3�2 kg-os szalámiból az első vevő 30 dkg-ot vásárolt, a második a maradék25

részét

vette meg. Mennyit ér a bolti maradék, ha 10 dkg ára 40 eurócent?

A szöveges feladat megoldását kövessék rövid szöveggel a tanulók is.

Az első vevő után maradt: 3�2 kg − 0�3 kg = 2�9 kg.

A második megvett 2�9 kg · 25

= 1�16 kg-ot, tehát maradt 2�9 kg − 1�16 kg = 1�74 kg. (Ügyesebb gyerekek a

maradéknál rájönnek, hogy az35

részt jelent.)

A bolti maradék értéke: 17�4 · 40 eurócent = 696 eurócent.

329. Mennyi színes kartonpapírra van szükséged, ha édesapád okostelefonjához kartondobozt sze-

retnél készíteni? A telefon vastagsága 14 mm, és a ragasztásokra a kiszámolt terület18

részét

érdemes még hozzávenned. Az ábráról leolvasandó adatok: a = 5�5 cm, b = 10�6 cm. Ragasztó nélkülipapírszükséglet: A = 2 · (5�5 · 10�6 + 5�5 · 1�4 + 10�6 · 1�4) = 2 · (58�3 + 7�7 + 14�84) = 161�68 cm2


92

A ragasztáshoz szükséges: 161�68 · 18

cm2 = 20�21 cm2. Összesen 81�89 cm2 kartonpapír kell.

Ügyesebb számolás: 161�68 cm2 · 98

= 181�89 cm2. (Ezt csak a jobbaktól várhatjuk el.)

330. Egy iroda területének35

részét szőnyeg fedi. A bútorokat a szőnyegen helyezték el, és annak

mindössze a 0�2 részét fedték. A szoba hányad részére tettek bútorokat? Mekkora ez a terület,ha az iroda 75 m2-es?

Ügyesebb megoldás:35

-nek a 0�2 része:35· 1

5=

325

részen vannak a bútorok, ami 75 · 325

m2 = 9 m2.

Hagyományos megoldás: A szőnyeggel borított rész területe 75 · 35

m2 = 45 m2.

A bútorral fedett terület 45 · 0�2 m2 = 9 m2. A 9 m2 a 75 m2-nek a9

75=

325

része.

331. Zsuzsiék a Nagymamához utaztak autóval. Odafelé a benzin13

-át fogyasztotta el a kocsi.

Visszafelé másik úton jöttek, ekkor a maradék benzin 0�75-át fogyasztotta el az autó.

Melyik út volt a hosszabb, ha a kocsi egyenletes fogyasztását feltételezzük? Mennyi benzinmaradt a tartályban, ha eredetileg 36 l volt benne?

Odafelé a benzin13

része fogyott el, tehát a23

része megmaradt. Visszafelé a23

rész 0�75-át fogyasztotta

el a kocsi:23· 3

4=

12

rész. Mivel12�

13

, ezért a hazafelé vezető út volt a hosszabb.

Elhasználták az13

+12

=56

részét a 36 l benzinnek, azaz az16

része maradt a tartályban, vagyis 6 l.

Számok reciproka

332. Töltsd ki a táblázatot!

Szám12

47

83

45

−23

−65

0�2 −1013

0�632

Reciproka 274

38

54

−32

−56

5 −1�353

0�6

Szám12

47

83

45

−23

−65

0�2 −1013

0�632

Reciproka 274

38

54

−32

−56

5 −1�353

0�6

333. Határozd meg a számok reciprokát, és döntsd el, hogy az eredeti szám vagy a reciproka na-gyobb-e! A két szám közül a nagyobbat karikázd be színessel!

Szám13

5 137

0�83 −23

−54

−1�2 5�04 0�3 0�6

Reciproka 315

710

10083

−32

−45

−56

25126

332

Szám13

5 137

0�83 −23

−54

−1�2 5�04 0�3 0�6

Reciproka 315

710

10083

−32

−45

−56

25126

332

334. Számold ki a következő kifejezések reciprokát!

Hasznos feladat a törtekkel való műveletek újbóli gyakoroltatására is.


93

a)23· 5

8=

512

→ 125

b)23

+58

=16 + 15

24=

3124

→ 2431

c)23− 5

8=

16 − 1524

=1

24→ 24

d)45· 5

4= 1 → 1 e)

(45

)·(

45

)− 16

25=

1625

− 1625

= 0 → Nincs reciproka.

f)35· 1

2+

415

=3

10+

415

=9 + 8

30=

1730

→ 3017

g)35·(

12

+415

)=

35· 15 + 8

30=

35· 23

30=

2350

→ 5023

h)35·(

12− 4

15

)=

35· 15 − 8

30=

35· 7

30=

750

→ 507

335. Mekkora annak a háromszögnek a területe rácsegységben mérve, amelynek csúcspontjai:

A(0; 0), B

(2

12

; az első jelzőszám reciproka

), C

(a második jelzőszám reciproka;−3

4

)?

Ebben a feladatban a hosszúság mértékegysége a számegyenesen felvett 1 egység hosszúságúszakasz, ezért válaszodat „rácsegységben” add meg.

A keresett háromszög csúcspontjai:

−2 −1

1 2 3

−1

1

y

x

A

C

B

P

RN

Q M

S

1

23

4

A(0; 0) B

(2

12

;25

)C

(−4

3;−3

4

)

A CPBQ „befoglaló” téglalap területéből el kellvennünk az 1 , 2 , 3 és 4 területeket.

CPBQ oldalai:

CP =43

+52

=236

, PB =34

+25

=2320

T =236

· 2320

=529120

T 1 =T

2=

529240

T 2 =TARBM

2=

52· 2

52

=12

T 3 =25· 4

3=

815

T 4 =TNCSA

2=

43· 3

42

=12

T� =529120

−(

529240

+12

+12

+8

15

)=

529240

− 2315

=529 − 368

240=

161240

≈ 0�67 e2

Ötletet és sok munkát igénylő feladat, otthoni szorgalminak ajánljuk.

Osztás tört alakú számmal

336. Írd a megfelelő számokat a keretekbe, majd számolj!

a) 3 :12

= 3 · 2 = 6 b) 4 :23

= 4 · 32

= 6

c)35

:17

=35· 7 =

215

d) 212

:13

= 212· 3 =

152

e) −53

:

(−23

)=−53

· −32

=52

f) 0�7 :49

= 0�7 · 94

=6340


94

337. Végezd el a kijelölt osztásokat!

a)53

:47

=3512

b)12

:13

=32

c)54

:57

=74

d)311

:133

=9

143

e)5227

:139

=43

f) 0 :45

= 0 g)34

:3916

=413

h)57

1616:

1916

=3

101

338. Számítsd ki!

a)425

: 825

= 1 b) 1029

: 1148

=89

c) 3114

: 2056

=32

d)1575

49:

2025196

=289

339. Oldd meg az egyenleteket! Karikázd be annak a feladatnak a betűjelét, amelynek eredményevégtelen szakaszos tizedes tört!

a)59· a = 8 a =

725

b) b · 56

=78b =

2120

c)29· c = 3

13c = 15 d)

−4911

· d = 45

11d = −1

Mindegyik tört tizedes tört alakja véges tizedes tört.

340. Végezd el a kijelölt műveleteket! Karikázd be annak a feladatnak a betűjelét, amelynek ered-ménye végtelen szakaszos tizedes tört!

a)

(75

+315

):

12

=2415

· 2 =4815

=165

b)75

+315

:12

=75

+6

15=

95

c)

(4

58− 3

34

):

34

=(

378

− 308

):

34

=78· 4

3=

76

d) 458− 3

34

:34

=378

− 154

· 43

=378

− 5 = −38

341. Írd a karikába a hiányzó számokat, és pótold a nyilakról a hiányzó számokat és a műveletijeleket!

a) 34

620

·25

:25

b)−5

7−15

7

:

(13

)

· 13

c) 1615

85

·(

112

)

: 112


a)

25

része

52

része

32

35

b)

34

része

43

része

−45

−35

c)

53

része

35

része

245

143


95


a)

+

·

23

76

323

12

227

b)

· :

−

35

314

32

56

52

136

23


a) 5 :13

= 10 :23

= 53

:19

= 52

:16

b) 94

:32

=34

:12

=14

: 16

=214

: 72

345. A nyíl a kétszer akkorára mutat. Pótold a hiányzó számokat!

53

:89

10 : 83

5 :23

10 :23

40 :43

346. Számítsd ki az emeletes törtek értékét!

Ne erőltessük az emeletes törtekkel való számolást! Ez a feladat csupán azt a célt szolgálja,hogy a gyerekekben tudatosítsuk, hogy a tört egy kijelölt osztás.

a)3256

= 3 · 625

=1825

b)2

3438

=114

· 83

=223

c)2

17

212

=157

· 25

=67

d)

1113

1 − 1739

=1113

· 3922

=32

Osztás tizedes tört alakú számmal

347. Töltsd ki az üres helyeket!

a) 13�2 : 0�4 = 132 : 4 = 33

6�6 : 0�3 = 66 : 3 = 22

8�5 : 0�5 = 85 : 5 = 17

6�4 : 0�8 = 64 : 8 = 8

b) 12�2 : 0�02 = 1220 : 2 = 610

20�4 : 0�06 = 2040 : 6 = 340

16�8 : 0�03 = 1680 : 3 = 560

22�4 : 0�07 = 2240 : 7 = 320

c) 15�32 : 0�2 = 153�2 : 2 = 76�6

54�36 : 1�8 = 543�6 :18 = 30�2

30�45 : 1�5 = 304�5 :15 = 20�3

78�39 : 1�3 = 783�9 :13 = 60�3

d) 0�12 : 0�3 = 1�2 : 3 = 0�4

0�6 : 0�02 = 60 : 2 = 30

0�23 : 0�8 = 2�3 : 8 = 0�2875

0�64 : 0�16 = 64:16 = 4


96

348. Ügyesen számolj!

a) 972�9 : 23 b) 97�29 : 2�3 c) 9�729 : 0�23 d) 0�9729 : 0�023

Az osztandó és az osztó azonos arányban változott, ezért mindegyik hányados 42�3.

349. Minél kevesebb számolással dolgozz!

a) 528�36 : 4�2 b) 264�18 : 2�1 c) 52�836 : 0�42 d) 2�6418 : 2�1

Az a), b) és c) feladatoknál az osztandó és az osztó azonos arányban változott, ezért a = b = c = 125�8.

A d) feladat eredménye a b)-nek a századrésze: 1�258.

350. Végezd el a kijelölt osztásokat!

a) 36�18 : 13�4 = 2�7 b) 8�242 : 0�13 = 63�4 c) 243�712 : 0�34 = 716�8

d) 54�2 : 0�1 = 487�8 Fel kell ismerni, hogy 0�1 =19

. Így 54�2 :19

= 54�2 · 9 = 487�8.

351. Keresd meg a nyitott mondatok megoldását!

Differenciált óravezetésre alkalmas feladat.

a)75· x =

845

x =8

63b) 1�2 · x = 6�552 x = 5�46 c) −0�03 · x = 0�984 x = −32�8

d)

(1

23

+ 0�7

)· x =

54

(53

+7

10

)· x =

54

, innen7130

· x =54

, x =150284

=75

142.

e)

(3

14− 3�25

)· x = 0 x tetszőleges szám lehet. f) 9�2 · x − 1�68 = 600 x = 65�4

352. a) 0�4 · x + 845

: 4 = 7 0�4x + 2�2 = 7, innen x = 12.

b)

(3�5 + 2

14

): x = 2�3 5�75 : x = 2�3, innen x = 2�5.

c) 2�8 · x =

(5

14

: 112− 2

)· 7 A jobb oldalon lévő műveletsor eredményét kell először kiszámolni:

(214

:32− 2

)·7 =

(214

· 23− 2

)·7 =

(72− 2

)·7 =

32·7 =

212

= 10�5. Így 2�8x = 10�5. Innen x = 3�75.

353. Oldd meg az egyenlőtlenségeket, és a megoldásodat ábrázold számegyenesen!

a) 2�3 · x � 29�21 x � 12�7 b) 4�8 · x �71�04 x �14�8 c) 0�13 · x �85�02 x �654

354. Az 1998-as Guinness Rekordok Könyvéből:

A világ leggyorsabb szőlőevő embere Jim Ellis (USA).1�39 kg szőlőt evett meg 34�6 másodperc alatt. Feltételezve, hogy egyenletes ütemben cseme-gézett, töltsd ki a táblázatot!

Szőlő (kg) 1�39 0�2 kg 0�08 kg 0�12 0�92

Idő (mp) 34�6 5 2 ≈ 3 mp ≈ 22�9 mp

Szőlő (kg) 1�39 0�2 kg 0�08 kg 0�12 0�92

Idő (mp) 34�6 5 2 ≈ 3 mp ≈ 22�9 mp

355. Két szám összegének az13

része 8�4. Az egyik szám a 3�2. Melyik a másik?

A két szám összege 8�4 · 3 = 25�2. Innen a keresett szám 25�2 − 3�2 = 22.


97

356. A világ fagylaltevő rekordere Tony Doweswell (New York), aki 1�53 kg fagyit evett meg31�67 mp alatt.

Ne utánozd, inkább töltsd kiFagyi (kg) 1�53 0�765 0�96 0�386 kg 0�125 kg

Idő (mp) 31�67 15�835 mp 19�87 mp 8 2�6

Fagyi (kg) 1�53 0�765 0�96 0�386 kg 0�125 kg

Idő (mp) 31�67 15�835 mp 19�87 mp 8 2�6a rá vonatkozó táblázatot!

Feltételezzük az egyenletes fagyifogyasztást!

A tizedes törttel való szorzást és osztást gyakoroltatja a 354. és 356. feladat. Mindig becsültessükmeg a keresett eredményt és csak azután számoljunk!

357.

MiG–25

A repülőgépek szárnya fokozatosan keskenye-dik az ábrán látható módon.

Hányad részére keskenyedik el a MiG–25-összárnya, és hányad részére a Boeing–747-esé?

a = 2�88 m c = 3�85 m

b = 5�88 m d = 14�23 m

Boeing–747

MiG–25: a : b = 2�88 : 5�88 ≈ 0�489, azaz körülbelül a felére keskenyedik.

Boeing–747: c : d = 3�85 : 14�23 = 0�27, azaz körülbelül a harmadára keskenyedik.

Nézz utána, hogy napjainkban melyik a leggyorsabb utasszállító repülőgép! Hányszorosa a sebességea magyar autópályán engedélyezett maximális sebességnek?

A hangsebesség feletti utasszállító repülőgépek fejlesztése a hatvanas években volt a figyelem középpontjában, az1225 km�órás határt először a szovjet Tupoljev Tu–144-nek sikerült átlépni, igazán híressé azonban a második,a francia–brit fejlesztésű Concorde lett, amely három és fél óra alatt szelte át az Atlanti-óceánt. A legnagyobbattrakciója az volt, hogy Londonban napnyugta után szállt fel, aztán az óceán fölött 2000 kilométeres tempóvalbeérte a Föld tengely körüli forgását, és fényes nappal landolt, az utasok órái szerint még azelőtt, hogy felszálltvolna. Nem sokkal az Air France 4590-es járatának 2000. július 25-i balesete után a Concorde-okat kivonták aforgalomból, és azóta nem is készült újabb, hangsebesség felett járó utasszállító.

(Forrás: http://index.hu/tech/2010/11/05/a vilag leggyorsabb utasszallito repulojet epiti a nasa)

358. Egy fa életkorára törzsének vastagságából lehet következtetni. Egy kifejlett fa kerülete 1�5 mmagasságban évi 2�5 cm-t nő (sűrű erdőben csak a felét).

a) Egy magányos bükkfa kerülete 1�5 m magasságban 120 cm. Hány éves ez a fa? Ha ugyaneztaz értéket egy sűrű erdőben mérték, akkor hány éves fát mértek meg? A magányos bükk120 : 2�5 = 48 éven át növekedett, miután már elérte az 1�5 m mérési magasságot, így legalább 50 évesa fa. Sűrű erdőben körülbelül kétszer ilyen idős egy azonos kerületű fa.

b) A jelenlegi legnagyobb tömegű faóriás az USA-ban található, Sherman tábornok névre ke-resztelt hegyi mamutfenyő.

Ez 84 m magas, tömegét 1487 t-ra becsülik, és a kerülete 24�1 m. Mennyi idős lehet eza fa? A hegyi mamutfenyő életkora e számítási módszer alapján 2410 : 2�5 = 964 év. (Azonban a fáknövekedését sok tényező befolyásolja – például az időjárás, az erdőtüzek –, így ennek a fának a korát2500 évre becsülik a szakértők.)


98

359. Édesanya elküldte két fiát vásárolni: Csabát gyulaiért, Gyulát csabaiért. Csaba 990 Ft-ot fizetett0�45 kg gyulaiért, Gyula pedig 1520 Ft-ot 62 dkg csabaiért. Melyik fajta kolbász a drágább?

Gyulai kolbászból 1 kg 990 : 0�45 = 2200 Ft, csabai kolbászból 1 kg ára 1520 : 0�62 ≈ 2450 Ft, vagyis ez adrágább.

360. a) Mennyi a 60-nak a 0�6 része? 60 · 0�6 = 36

b) Melyik az a szám, amelynek a 0�6 része 60? x · 0�6 = 60, innen x = 60 : 0�6 = 600 : 6 = 100.

361. A táblázat téglalapok adatait tartalmazza. Töltsd ki az üresen hagyott helyeket!

Hosszúság 3�4 cm 3�06 cm 8�03 cm 56 dm

Szélesség 1�12 cm 2�4 cm 2�4 cm 42 dm

Kerület 9�04 cm 10�92 cm 20�86 cm 196 dm

Terület 3�808 cm2 7�344 cm2 19�272 cm2 23�52 m2

Hosszúság 3�4 cm 3�06 cm 8�03 cm 56 dm

Szélesség 1�12 cm 2�4 cm 2�4 cm 42 dm

Kerület 9�04 cm 10�92 cm 20�86 cm 196 dm

Terület 3�808 cm2 7�344 cm2 19�272 cm2 23�52 m2

362. Melyik mosóport célszerű megvásárolni? Mennyi a megtakarításunk 1 kg mosóporra számítva,ha az 500 g-os csomag ára 560 Ft, míg a 3�6 kg-os családi csomag ára 3600 Ft ugyanabból amosóporból. Bármilyen tömegegységgel számolhatunk.

Például 1 kg esetén az első esetben 1120 Ft, míg a második esetben 3600 : 3�6 = 1000 Ft a fizetendő összeg,vagyis az utóbbi esetben kilogrammonként 120 Ft a megtakarítás.

363. Melyik az a szám, amelynek a 0�75 része annyi, mint a 1558

-nak a27

része?

1558· 2

7=

1258

· 27

=12528

. A keresett számra felírható: x · 34

=12528

.

Innen x =12528

:34

=12528

· 43

=12521

. Ellenőrizzünk!(

12521

· 34

=12528

)

364. Mennyibe kerül egy 12 km hosszú út két oldalának fásítása, ha a facsemetéket 5�2 m távolságrakell egymástól ültetni, és egy csemete ára 1580 Ft?

Érdemes rajzolni: ︸︷︷︸5�2 m

︸︷︷︸5�2 m

︸︷︷︸5�2 m

12 000 m

12 000 : 5�2 ≈ 2307�6923 � � �.

De 2307 · 5�2 = 11 996�4 �12 000. Ha nem is fér el még egy csemete, akkor is 2308 darab kell, mert aszakasz elejére, valamint az utolsó végére is ültetünk egy csemetét.

Ezért mindkét oldalra 2308–2308 facsemete kell (ehhez kell a rajz, mert a végponthoz is kell még ültetni).

A fizetendő összeg: 2 · 2308 · 1580 = 7 293 280 Ft.

Beszélgessünk el a feladat kapcsán a gyerekekkel a faültetés fontosságáról!

365. Kertünk hossza 35 m, szélessége 32 m. Hány deszkát kell a kerítéshez beállítani, ha a deszkák12�5 cm szélesek, és a kapuhoz 2�4 m-t kihagyunk?

A kert kerülete: K = 2(a + b) = 2(35 m + 32 m) = 134 m

A kapu miatt 134 m − 2�4 m = 131�6 m = 13 160 cm deszka kell.

A deszkák száma: 13 160 cm : 12�5 cm = 1052�8, azaz 1053 darab kerítésléc kell.

366. Mennyibe kerül 1 kg alma, ha 5�4 kg-ot vettünk, és a 2000 forintból 470-et kaptunk vissza?

A feladatmegoldás terve: (2000 − 470) : 5�4 = 283�3. Tehát 1 kg alma 285 Ft-ba kerül.


99

367. JátékVegyetek elő 1 piros és 2 kék korongot! Ezeket a korongokat kell az egyik játékosnak elhe-lyeznie a tenyerei alatt (hagyhatod üresen is az egyik kezed). A padtársad rámutat valamelyikkezedre, és kihúz onnan egy korongot. Te nyersz, ha piros korongot húzott, ő nyer, ha kéket.

Figyeljétek meg, milyen elrendezésnél nyerhetsz a legnagyobb valószínűséggel!

Mindig12

valószínűséggel választja ki társunk azt a kezünket, amely alatt a piros korong van.

Lehetőségek:

1p 2k itt13

a piros választásának az esélye. Így az egyik kézből 0, a másikból12· 1

3=

16

a nyerés valószínűsége.

1p 1k 1k12· 1

2, illetve

12· 0; a nyerési esély

14

.

1p 2k12· 1, illetve

12· 0; a nyerési esély

12

.

Vagyis a harmadik elrendezés esetén a legnagyobb a nyerés valószínűsége.

Érdekes módon ezt az elrendezést nagyon ritkán alkalmazzák a gyerekek.

Legalább 20 játékot érdemes lejátszani a gyerekekkel. Ők gondolják végig, hogy milyen elhe-lyezési lehetőségek vannak, és húzzák a strigulákat győzelem esetén. Utána a részeredményeketérdemes összesíteni a táblánál; meglehetősen pontosan fogja követni a matematikai valószínűsé-get, amelyet utána a gyerekekkel együtt határozzuk is meg.

368. Triminó – Padtársaddal együtt dolgozzatok! Vágjátok szét a vonalak mentén kis háromszö-gekre az egyikőtök tankönyvének mellékletében található triminót, keverjétek össze a darabjait,majd próbáljátok újból összerakni a nagy háromszöget! Az összeillesztendő kis háromszögekoldalain azonos értékű kifejezések vannak. A társad szét nem vágott triminójával tudjátok el-lenőrizni, hogy helyesen dolgoztatok-e. Megoldás a túloldalon.

369. Hány km-re lakik a Nagyi az unokától, ha autóval utazva hozzá az út 0�2 része után tartott a

család egy rövid pihenőt, majd a hátralévő út23

részének megtétele után kávéztak a szülők,

és ezután a hátralévő 64 km-t már megállás nélkül tették meg?

Érdemes rajzolni, a teljes út AB . 0�2 rész︷︸︸︷ hátralevő út 23 része︷︸︸︷ 64 km︷︸︸︷A B

A 64 km az első pihenő után hátralevő út13

része, azaz az első pihenő utáni út 64 · 3 = 192 km. Ez a

192 km a teljes út 0�8 része. Innen a teljes út 192 : 0�8 = 240 km. Ellenőrizzük szöveg szerint a megoldást!

370. Egy üzletbe 4 egyforma láda alma érkezett. Ha mindegyik ládából kiveszünk 13�5 kg-ot,akkor összesen annyi marad, amennyi egy-egy ládában eredetileg volt. Mennyi alma volt egy-egy ládában? Mindegyik ládából 13�5 kg-ot kivéve 13�5 · 4 = 54 kg-ot vettünk ki. Az alma mennyiségeállandó. Mivel eddig 4 ládányi almánk volt, s most a 4 maradék ládányi alma összetölthető egyetlen ládába,ezért a kivett mennyiség 3 ládányi almának felel meg. Így egy ládában 54 : 3 = 18 kg alma volt eredetileg.Ellenőrizzünk!

A Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségek című témakör után érdemes egyenlettel ismegoldani a feladatot. Ha az eredeti alma mennyisége egy ládában x , akkor az x =4 · (x−13�5)egyenletet kapjuk.


100

23 reciprokának

afele

0�

75

12

3:

(21

12

)+0�2

1

3�5és

2�4átlaga

2�

95

4�4

( 32

3

) ·( 1

15

)

32

:

(54−

15

)

107

11�68+23·

1225

112

reciproka1�22

+0�12

: 0�61�

42

2�3·0·1�7+

3�2·1�5

44

5

311

+533

733

· 2


101

Háromszögek, négyszögek, sokszögek

A háromszögek fajtái

371. a) Szögeik szerint csoportosítsd a háromszögeket! B , E : hegyesszögű háromszög; A, D : derékszögűháromszög; C : tompaszögű háromszög.

b) Jelöld a háromszögek oldalai közül a befogókat pirossal, az átfogókat kékkel, a szárakatzölddel, az alapokat sárgával! Az A és a B háromszög egyenlő szárú.

372. Színezd ki az ábrán lévő háromszögekből álló mozaikmintát,

– a hegyesszögű háromszögeket pirosra,

– a derékszögű háromszögeket kékre,

– a tompaszögű háromszögeket sárgára!

373. A háromszögek kétféle csoportosítását szemléltetik a halmazábrák. A megadott címkék közülválassz a halmazábrákba illő feliratokat!A: derékszögű háromszögek B : egyenlő szárú háromszögek

C : tompaszögű háromszögek D: egyenlő oldalú háromszögek

E : hegyesszögű háromszögek F : szimmetrikus háromszögek

G: háromszögek

Melyik két meghatározás adja meg ugyanazt a halmazt? B és F

G

B = F

D

A

E

C


102

Szimmetrikus háromszögek

374. a) Rajzolj a rácsra 3 db különböző egyenlő szárú háromszöget! A háromszögeknek csak kétoldala legyen egyenlő.

b) Rajzolj a rácsra 4 db olyan háromszöget, amelynek minden oldala egyenlő!

a) b)

375. Színezd pirosra az ábrán az egyenlő szárú háromszögeket,

�

kékre a derékszögű háromszögeket!Van-e olyan háromszög, amelyet mindkét színnel be kell szí-nezni? Igen, vannak ilyenek, az egyenlő szárú derékszögű három-szögek.

A ∗-gal jelölt háromszög szárainak egyenlőségét ellenőrizzükméréssel! A többi esetben a meredekségek összehasonlításávaleldönthetjük a szakaszok hosszának egyenlőségét.

376. Keress a sokszögben olyan háromszögeket, amelyek közül egyet-egyet már berajzoltunk! Mi-lyen fajtájú háromszögek ezek? Add meg a háromszögek szögeit is!

a) Egyenlő szárú háromszögek,melyek csúcsszöge 72◦, ala-pon fekvő szögeik 52◦-osak.

b) Egyenlő oldalú háromszögek,melyeknek szögei 60◦-osak.

377. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek

a) alapja 4 cm, szárai 5 cmhosszúak;

b) alapja 3 cm, szárai 45 mmhosszúak;

c) alapja 56 mm, szárai 4 cmhosszúak!

A 377. feladatnál gyorsan ellenőrizhetjük a megoldást, a szerkesztés pontosságát, ha a diákok amásolópapírra rajzolt háromszögeket ráillesztik saját megoldásukra.


103

378. Megrajzoltuk néhány tükrös háromszög egy-egy részét. Az oldalakat vagy egy részüket fekete,a szimmetriatengelyeket sárga vonallal rajzoltuk.

A csúcsokat nagybetűk jelzik. Egészítsd ki a rajzokat!

a) b) c) d)

t

B

m

B ′

tA

C

A′

t

B

A

B ′ t

A

B ′

Fogalmazzák meg a tanulók, hogy a szimmetrikus háromszög mely tulajdonságát használták!

Például a(z):

a) feladatban azt, hogy a tengely felezi az alakzatot.

b) feladatban azt, hogy a tengely felezi a szárszöget, vagy azt, hogy a szárak egyenlő hosszúak.

c) feladatban azt, hogy a hiányzó csúcs B tükörképe.

d) feladatban azt, hogy a magasság felezi az alakzatot.

379. Az alábbi derékszögű háromszögek közül melyik lehet egyenlő oldalú háromszög „egyik fele”?Amelyik lehet, azt egészítsd ki egyenlő oldalú háromszöggé úgy, hogy az általad megrajzolttengelyre végezd el a tükrözést!

a) b)

2 cm

1cm

2 cm

2cm

c) d)

3 cm

1cm 1�2

cm

2�4 cm

380. Szerkessz tükrös háromszöget! Néhány részletét már lerajzoltuk.

t

B

B ′ = A

C

C

C

C

Szerkesztéssel fejezd be a rajzot! Hányféle háromszög szerkeszthetőezekből az adatokból? Hol helyezkednek el a hiányzó csúcsok?a) Adott a tengelye (t) és egyik csúcsa (B ).

B ′ egyértelmű, de a harmadik csúcs a t tengely bármelyik pontja lehet,kivéve BB ′ felezőpontját.


104

b) Adott két csúcs (A és B ), közülük A csúcsa tengelyen van.

B

A

B ′ = CC

C

C

C

A csúcson átmenő bármelyik egyenes (kivéveAB -t) lehet a háromszög szimmetriatengelye.A tengelyre tükrözve a B csúcsot a háromszögharmadik csúcsát kapjuk. A B ′ = C csúcsra min-dig teljesül, hogy AB = AC . Így ezek a csúcsokmind egy A középpontú AB sugarú körön van-nak. Ennek a körnek bármelyik pontja megfelela C csúcsnak, kivéve az AB egyenesre eső pon-tot.

c) Adott két szárának egyenese (a és b) és egycsúcsa (B ).

a

b

B

t2

t1

B ′ = A1

B ′ = A2

C

A szárak szögének a szögfelezője a háromszögtükörtengelye (t1 és t2). A szárak metszéspontjaadott, ez a háromszög egyik csúcsa. A B pont ésa tükörképe a másik két csúcs.

Kétféle háromszög rajzolható: BCA1 és BCA2.

d) Adott a tengelye (t) és egyik szárának az egyenese (a).

a

t

a ′ = b C A

A

B

B

A tengely és a szár metszéspontja meghatározza az egyik csúcsot. A má-sik szár az a szár tükörképe. A tengelyre bárhol merőlegest állítva (ki-véve a C pontot) kijelöljük a szárakon a másik két csúcsot.

A háromszögek belső szögei

381. Rajzold le, majd vágd ki a háromszöget! Az ábra szerint hajtsd be a vo-nalkázott részeket a szaggatott vonalak mentén, és jelöld a csúcsoknál aháromszög szögeit! Mit tapasztalsz?A három csúcsnál levő szög együtt egyenesszöget alkot.

a) b) c) d)


105

382. a) Mérd meg a háromszög belső szögeit, majd számítsd ki a három belső szög összegét!

b) Rajzold be azokat a vonalakat, amelyek mentén behajtva a csúcsokat téglalapot kapunk!A téglalap előállítását a 381. feladatban láthatod.

45�

45�

90�

66� 48,4�

65,6�

82,9�

63,4� 33,7�

34�

105,3�

40,7�

Közelítő eredményt adhatunk csak meg.

383. Rajzolj „parkettamintákat” egybevágó háromszögekből négyzethálós, illetve sima lapra!

a) b) c)

d) e)

Sokféle ábra készülhet. A megoldásokból készítsünk bemutatót!


106

384. Judit az ábrán látható kártyavárat építette. Rajzold le elölnézetbőla várat! Rajzodon a kis háromszögek szára 3 cm, a szárak szögepedig 40◦ legyen!

a) Mekkora a kis háromszögmásik két belső szöge?

= 70◦

b) Jelöld egyforma színnel azegyenlő szögeket az egészábrán!

= 40◦

385. Szerkeszd meg a háromszöget a megadott adatokkal, majd másold egymás mellé a belső szögeitegy körbe úgy, hogy azok szomszédos középponti szögek legyenek!

a) A háromszög oldalai 4�5 cm hosszúak.Szabályos háromszög.

4,5 cm

4,5 cm 4,5 cm

� �

�

��

�

b) A háromszög oldalai 4 cm, 4 cm és 5 cmhosszúak.

5 cm

4 cm 4 cm

� �

�

��

�

c) Az egyenlő szárú háromszög oldalai 4 cm és 8 cm

4 cm

8 cm 8 cm

� �

�

��

hosszúak.

386. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög hiányzó szögeinek nagyságát!

a) b) c) d)

� = 61◦ � = 35◦ � = 46◦ � = 33◦

� = 61◦ � = 35◦ � = 88◦ � = 114◦

a) b) c) d)

� = 61◦ � = 35◦ � = 46◦ � = 33◦

� = 61◦ � = 35◦ � = 88◦ � = 114◦


107

387. Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei, ha

a) szárszögének nagysága kétszerese az alapon fekvő szögeinek; 45◦, 45◦, 80◦

b) alapon fekvő szögeinek nagysága kétszerese a szárszögnek? 72◦, 72◦, 36◦

388. Számítsd ki a derékszögű háromszög ismeretlen szögeinek nagyságát!

a) A háromszög egyik szöge 47◦-os. 90◦, 47◦, 43◦

b) A háromszög legnagyobb szöge kétszerese az egyik szögnek. 90◦, 45◦, 45◦

c) A háromszög legkisebb szöge ötöde a legnagyobb szögének. 90◦, 18◦, 72◦

d) A legkisebb és a legnagyobb szög összege 120◦. 90◦, 30◦, 60◦

389. Számítsd ki a háromszög szögeinek nagyságát!

a) 56◦, 62◦, 62◦ b) 56◦, 70◦, 54◦ c) 60◦, 60◦, 60◦

34◦ 28◦

A B

C

56◦ 62◦

62◦

34◦

20◦

65◦szögfelező

A B

C

28◦28◦

70◦ � �

�

A B

C

A háromszögek külső szögei

390. Parkettázz a sávban a megadott háromszöggel!

a) Színezd ugyanolyan színnel az egyenlő szögeket!

A B

C

b) Mérd meg az adott háromszög belső szögeit! � = 63◦, � = 45◦, � = 72◦

c) Mérd meg az A és a B csúcsnál lévő külső szögeket! � ′ = 117◦, � ′ = 135◦

d) Mit tapasztalsz, milyen kapcsolat van a háromszög belső és külső szögei között? A háromszögegy csúcsához tartozó külső és belső szögének összege 180◦.

391. Másold le a teljes ábrát másolópapírra, majd vágd ki a határvonal mentén! Ezután az egyenesszakaszok mentén vágd be a kört, illetve a négyzetet a háromszög távolabbi csúcsáig! Ha jóldolgoztál, az ábra egy háromszögre és három szögtartományra esik szét. Rakd egymás mellé ahárom szögtartományt úgy, hogy a csúcsuk közös legyen! Mit tapasztalsz?

Másold egymás mellé másolópapíron a három külső szöget úgy, hogy a csúcsuk közös legyen!Mit tapasztalsz? A három külső szög teljesszöget alkot, a három külső szög összege 360◦.


108

a) b) c)

392. Számítsd ki a háromszög külső szögeinek nagyságát!

a) b) c)

a) b) c)

� ′ = 125◦ � ′ = 74◦ � ′ = 128◦

� ′ = 125◦ � ′ = 152◦ � ′ = 142◦

� ′ = 110◦ � ′ = 134◦ � ′ = 90◦

a) b) c)

� ′ = 125◦ � ′ = 74◦ � ′ = 128◦

� ′ = 125◦ � ′ = 152◦ � ′ = 142◦

� ′ = 110◦ � ′ = 134◦ � ′ = 90◦

393. Számítsd ki a háromszög belső szögeinek nagyságát, ha adott két külső szöge!

a) 65◦ és 118◦ 115◦, 62◦, 3◦ b) 150◦ és 42�5◦ 30◦, 137�5◦, 12�5◦

c) 29◦ 11′ és 31◦ 59′ Nincs olyan háromszög, amelynek két tompaszöge lenne.


109

394. Mekkorák a belső szögei annak a háromszögnek, amelynek minden külső szöge kétszerese amellette lévő belső szögnek? � + 2� = 180◦ =⇒ � = 60◦. A háromszög szögei 60◦-osak.

A megoldáshoz készíthetünk rajzot.

395. Számítsd ki a háromszög belső szögeinek nagyságát, ha

a) az egyik külső szöge háromszorosa a hozzá tartozó belső szögnek, a másik külső szöge50◦-kal nagyobb a megfelelő belső szögnél! 45◦, 65◦, 70◦

b) külső szögei közül az egyik 30◦-kal kisebb, a másik 30◦-kal nagyobb a harmadiknál!A háromszög külső szögei 90◦, 150◦, 120◦, belső szögei: 90◦, 30◦, 60◦.

396. Egy egyenlő szárú háromszög szárszögének és a hozzá tartozó külső szögének a különbsége40◦. Mekkorák a háromszög szögei? 55◦, 55◦, 70◦ vagy 35◦, 35◦, 110◦

397. Számítsd ki a megjelölt szögek nagyságát!

� = 64◦,

� = 80◦

� ′ = 116◦,

� ′ = 144◦

� = 41◦,

� = 90◦ = � ′,

� = 49◦ = �

� ′ = 139◦,

� ′ = 131◦

� = 63◦,

� = 80◦,

� = 37◦

� ′ = 143◦

398. Lehet-e a 110◦ és az 50◦ egy háromszög

a) két belső szöge; Igen, 110◦, 50◦, 20◦ a belső szögek.

b) két külső szöge; Nem, a harmadik külső szög nem lehet 200◦.

c) egy belső és egy külső szöge? Igen, a 110◦ a külső szög, a belső szögek: 70◦, 50◦, 60◦.

399. Igazak vagy hamisak az állítások? Válaszaidat indokold!

A: Nincs olyan háromszög, amelynek két külső szöge 60◦ és 50◦. Igaz. Nem lehet két belső szögtompaszög.

B : A háromszög belső szögeinek összege fele a három külső szöge összegének. Igaz. A belsőszögek összege 180◦, a külső szögek összege 360◦.

C : A tompaszögű háromszög külső szögei hegyesszögek. Hamis. A belső szögek közül csak egy atompaszög, csak az ehhez tartozó külső szög hegyesszög.

D: Ha egy egyenlő szárú háromszög egyik külső szöge 150◦, akkor a szárszöge 120◦. Hamis.A szárszög lehet 30◦ is.


110

Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval

Nevezetes szögek szerkesztése körzővel, egyenes vonalzóval

400. Szerkessz 2 cm sugarú körbe egymáshoz csatlakozva egyenlő nagyságú középponti szögeket!Egy középponti szög nagysága

a) 60◦; b) 120◦; c) 30◦;

d) 90◦.

401. Szerkessz 2 cm sugarú körbe 45◦-os középponti szöget!

45�

402. Az adott, párhuzamos egyenesekkel határolt sávba rajzolt szakaszok 60◦-os szöget zárnak beegymással.Folytasd a szakaszok rajzolását a sávban legalább három 60◦-os szög szerkesztésével!

60� 60�

60�

403. 60◦-os szögből kiindulva szerkessz

a) 30◦, 30◦ = 60◦ : 2 b) 150◦, 150◦ = 60◦ + 60◦ + 60◦ : 2 c) 240◦, 240◦ = 180◦ + 60◦

d) 300◦, 300◦ = 60◦ · 5 e) 330◦-os szöget! 330◦ = 60◦ · 5 + 60◦ : 2


111

404. A berajzolt középponti szög egyik szárától kezdve egymás után szerkessz a megadott szöggelegyenlő középponti szögeket! Szögmásolással is szerkesztheted a szögeket. Hány szög összegelesz a teljesszög többszöröse?

a) b) c) d)

� = 30◦ � = 15◦ � = 75◦ � = 165◦

Számolással ellenőrizzünk!középponti szög db ennyi teljes kör

a) 30◦ 12 1

b) 15◦ 24 1

c) 75◦ 24 5

d) 165◦ 24 11

középponti szög db ennyi teljes kör

a) 30◦ 12 1

b) 15◦ 24 1

c) 75◦ 24 5

d) 165◦ 24 11

405. Szerkeszd meg az ábrákat! Mindegyik oldal hossza 2 cm, az egyformán jelölt szögek egyenlők.

a) b)

Rajzoljuk másolópapírra a 2 cm oldalú sokszöget, a diákok ellenőrizzék szerkesztésüket!

406. Szerkeszd meg egy

a) 60◦-os szög54

-ét; 72◦ b) 120◦-os szög18

-át; 15◦ c) 240◦-os szög34

-ét! 180◦-os a szög

407. 90◦-os és 60◦-os szögből indulunk ki. A 360◦-nál kisebb szögek közül melyeket szerkeszt-hetjük meg, ha a keresett szögek mérőszáma fokban mérve egész szám?

15◦, 30◦, 45◦, 60◦, 75◦, 90◦, 105◦, 120◦, 135◦, 150◦, 165◦, 180◦, 195◦, 210◦, 225◦, 240◦, 255◦, 270◦, 285◦,300◦, 315◦, 330◦, 345◦

A megszerkeszthető szögek 15◦ többszörösei.


112

408. Készíts hajtogatással egyenlő oldalú háromszöget egy téglalapból!

409. a) Az ábrák alapján hajtogass olyan hatszöget, amelynek oldalai és szögei egyenlők!

b) Egy 6 cm oldalú szabályos háromszögben szerkeszd meg az utolsó ábrán látható hatszöget!

Háromszögek szerkesztése körzővel, egyenes vonalzóval

410. Szerkeszd meg a háromszöget!

Rajzoljuk másolópapírra a megfelelő méretre nagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzékszerkesztésüket!

411. Melyik három szakasz lehet egy háromszög három oldala?

a) 1 dm, 2 dm, 3 cm b) 3 m, 8 m, 6 m c) 2 dm, 11 cm, 0�3 m

d)56

cm,74

cm, 2 cm e) 73 mm, 0�06 m, 8 cm f)

Az a) 10 cm, 20 cm, 3 cm esetben a három szakasz nem alkot háromszöget.

A b), c), d), e) és f) esetben a megadott három szakasz lehet egy-egy háromszög három oldala.


113

412. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott három oldalának hossza!

a) a = 2 cm b = 4 cm c = 5 cm b) a = 5 cm b = 5 cm c = 3 cm

c) a

b

c

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretre felnagyított háromszögeket! A diákok ellenőrizzék szer-kesztésüket!



414. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott két oldala és az általuk bezárt szög!

a) 27 mm, 36 mm, 30◦ b) 3�8 cm, 412

cm, 120◦

c) a

b

�


114


415. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott egy oldala és az arra illeszkedő két szöge!

a) 7 cm, 90◦, 30◦ b) 4�8 cm, 30◦, 120◦

30�

7 cm

90� 120�

4,8 cm

30�

c)

Rajzoljuk másolópapírra a a valós méretre felnagyított háromszöge-ket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket!

416. Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelyben a befogók hosszúsága az alábbi!

a) 14 mm és 28 mm b) 3 cm és72

cm

c)a

b

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretre felnagyított háromszöge-ket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket!


115

417. Szerkeszd meg a tetőtéri ablak ábráját a feltüntetett méretekkel!

4,5 cm

0,5 cm

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretű háromszöget! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket!

418. Szerkessz olyan egyenlő szárú háromszöget, amelynek

a) 42 mm-es szárai 60◦-os szöget zárnak be; b) szárszöge 120◦, szára 5 cm;

c) szára ;

szárszöge !

Rajzoljuk másolópapírra a valós méretre felnagyított háromszöge-ket! A diákok ellenőrizzék szerkesztésüket!

419. Szerkessz olyan egyenlő szárú háromszöget, amelynek szára 3 cm, az alapja pedig centiméter-ben mérve egész szám! Hányféle háromszög szerkeszthető? Öt megoldás van.


116

420. Hányféle háromszög szerkeszthető, ha a megadott négy szakaszból hármat kiválaszthatunk?Szerkeszd meg a legkisebb kerületűt!a) 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm b) 2 cm, 2 cm, 4 cm, 5 cm c) 8 cm, 10 cm, 8 cm, 1 dm

a) négyféle háromszög:

4 cm, 5 cm, 6 cm

4 cm, 5 cm, 7 cm

4 cm, 6 cm, 7 cm

5 cm, 6 cm, 7 cm

b) egyféle háromszög:

2 cm, 4 cm, 5 cm

c) kétféle háromszög:

8 cm, 8 cm, 10 cm

8 cm, 10 cm, 1 dm = 10 cm

A legkisebb kerületű háromszögek:

a)

4 cm

5cm6cm

b)

2 cm4

cm5cm

c)

10 cm = 1 dm

8cm

8cm

421. Szerkessz háromszöget, ha a háromszög

a) derékszögű, átfogója 5�5 cm, egyik hegyesszöge 60◦; Másik szöge 30◦.

b) derékszögű, egyik befogója 2�9 cm, átfogója 5�6 cm;

c) egyenlő szárú, alapja 6 cm, egyik szöge 30◦! Kétféle háromszög lehet.

a) b) c)

5,5

cm

60�

30�

422. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha a háromszög

a) alapja 4�6 cm, és szárainak metszéspontja 3 cm-re van az alaptól; Oldalai 4�6 cm, 3�8 cm,3�8 cm.

b) szára 7 cm, és az alappal szemközti csúcs 6 cm-re van az alaptól; Ilyen háromszög nincs.

c) kerülete 18 cm, és szára 2�5-szer akkora, mint az alapja! Oldalai 3 cm, 7�5 cm, 7�5 cm.

423. Szerkessz olyan háromszöget, amelynek két oldala 4�5 cm és 6 cm, egyik szöge pedig 45◦-os!

Háromféle háromszög szerkeszthető.


117

424. Három egybevágó egyenlő szárú háromszögből egyenlő oldalúháromszög rakható ki. Szerkeszd meg az egyenlő szárú három-szöget, ha az egyenlő oldalú háromszög oldalai 4 cm hosszúak!

További nevezetes szögek szerkesztése (Kiegészítő tananyag)

425. 60◦-os szögből kiindulva szerkessz 345◦-os szöget!

345◦ = 360◦ − (60◦ : 2) : 2

426. Szerkeszd meg a „virágot”, majd tetszés szerint

30�

45�

2cm

színezd ki!A szögszerkesztésen kívül végezz szakasz- ésszögmásolást is!

427. Szögmérő nélkül állapítsd meg a következőket!

a) 15◦-nál nagyobb-e az �szög negyede?

b) A 150◦ nagyobb-e, vagya � szög kétszerese?

c) A 75◦ nagyobb-e, vagy a� és a � szög összege?

�

�

4�15◦

�150◦ �2� � �

� + � �75◦

428. Szerkeszd meg a háromszöget! Mérd meg a háromszög oldalait, és számítsd ki a kerületét!

a) b)

7,9 cm

7,7 cm

K = 17,6 cm

11,6 cm

K = 29,2 cm

11,6 cm


118

c) d)

6 cm

K = 15 cm

2 cm5,5 cm

K = 14,5 cm

Mind a négy esetben egyértelmű a szerkesztés, hiszen a hosszabb oldallal szemközti szög adott.

A c) háromszög szögei egész fokokban mérve 75◦, 76◦, 29◦, a háromszög szárai körülbelül egyenlők.

429. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget!

a) alapja 0�5 dm, alapon fekvő szöge 45◦ b) alapja 8 cm, szárszöge 105◦

Mérd meg a háromszög oldalait, és számítsd ki a háromszög kerületét!

a) b)

45� 45�

K 12 cm�3,5cm

3,5

cm

5 cm

430. Szerkeszd meg a háromszöget! Mérd meg a háromszög oldalait, és számítsd ki a kerületét!

a) b)

5,2 cm 5,6 cm

K = 16,8 cm

c) d)

6,6 cm

8,1 cm

2,4 cm

K = 17,1 cm 8,6 cm

7,9 cm3,3 cm

K = 19,8 cm

431. Szerkessz

a) derékszögű háromszöget, ha egyik befo-gója 5 cm, a befogóra illeszkedő szöge67◦30′; A másik szöge 90◦.

b) egyenlő szárú háromszöget, ha szára7�5 cm, egyik szöge 75◦! Kétféle háromszöglehet.

75�

75�

75�

7,5

cm

7,5cm

7,5

cm

7,5

cm


119


a) A derékszögű háromszög 5�2 cm-es be-fogójával szemben 37�5◦-os szög van.A másik szög 52�5◦.

37,5�

5,2 cm

b) Egyik oldala 4 cm, az oldallal szemköztiszöge 120◦, egy másik szöge 15◦.A harmadik szög 45◦.

15�

4 cm

120�

A négyszögek fajtái

433. Csoportosítsd a négyszögeket, majd írd a sorszámukat a megfelelő helyre!

12

34

56

7

89

10

11 12

1314

1516

17 18

Négyzet: –

Téglalap: 5, 14, 17

Rombusz: 9

Paralelogramma: 5, 9, 13, 14, 17

Deltoid: 8, 9, 11

Trapéz: 3, 5, 6, 9, 13, 14, 16, 17, 18

Húrtrapéz: 3, 5, 6, 14, 16, 17

434. Rajzolj húrtrapézokat úgy, hogy az egyik csúcsuk az A pont legyen, és a többi csúcsuk is amegrajzolt pontokra essen, például így:

A A A A A A

A A A A A A

a) Hány különböző (nem egybevágó) húrtrapézt találtál? 8-féle húrtrapéz

b) Keresd meg közöttük a téglalapokat, és színezd ki őket zölddel! 5 téglalap van.


120

435. Rajzolj olyan négyszögeket, amelyekben a szimmetriatengelyek száma pontosan

a) négy; b) három; c) kettő; d) egy!

négyzet – nem egyenlő oldalú téglalap,nem egyenlő szögű rombusz

deltoid,húrtrapéz, amely nem derékszögű

436. Szerkessz négy darab egybevágó háromszögből tengelyesen szimmetri-kus négyszöget!Keress többféle megoldást!

I. II.

III. IV.

V. VI.

A III. és IV. négyszögek egybevágók, tehát ötféle tengelyesen szimmetrikus négyszöget kaptunk.


121

437. Rajzolj egy-egy sokszöget a halmazábra minden tartományába! Ha valamelyik tartománybanem kerülhet semmi, azt satírozd be!

a) b)négyszög

téglalap trapéz

négyszög

téglalap deltoid

c) d)négyszög

deltoid húrtrapéz

négyszög

téglalap rombusz

438. Rajzolj négyszöget a halmazábra minden tartományába! Fogalmazz meg igaz állításokat az ábraalapján!

a)

trapéz húrnégyszög

húrtrapéz

b) deltoidrombusz

c) húrtrapéztéglalap

d)

ro

mbusz téglalapHáromszögek, négyszögek, sokszögek

122

439. Mely négyszögek tartoznak az egyes csoportokba?(A húrnégyszögek oldalai egy 5 Ft-osnak megfelelő kör húrjai.)konvex: A, B , C , D , E , F , G , H , I , J , K , M , N , O , P konkáv: Ltrapéz: A, C , D , E , F , I , J , K , M , O húrtrapéz: D , E rombusz: O téglalap: –paralelogramma: C , F , I , O húrnégyszög: B , D , E , G , N , P

440. Négyzetlapból sótartót hajto-gathatsz.a) Eszter beszínezte a sótartót.

A kiterített lapon hol van-nak a színes tartományok?

Az I JK , KST , FGO , OQPháromszögeket lila színnel je-löltük a lapon.

b) Keress a hajtogatás után kiterített, megbetűzött lapon szimmetrikus sokszögeket!

Írd a megfelelő sorba a csúcsainak betűjelét! Néhány sokszöget mi is megadtunk.

Hegyesszögű háromszög: XZG , YZG ,

Derékszögű háromszög: IGM , I SR,

Tompaszögű háromszög: IMN , I SC ,

Konvex deltoid: HLXN , HLNR,

Konkáv deltoid: SHQM , AFKI ,

Húrtrapéz: SMNP , SLOP ,

Rombusz: LXNC , LSRM ,

Téglalap: LSQN , CLQF ,

Négyzet: KIMS , IGQS ,

Másféle háromszög: Nincs.


123

441. Az állítások a megadott sokszögekre vonatkoznak. Döntsd el, melyik igaz (I), melyik hamis(H), és írd a megfelelő betűt az állítások után!

a) Amelyik négyszög, az tükrös. Igaz. b) Amelyik tükrös, az négyszög. Hamis.

c) Mindegyik négyszögnek legalább két tengelye van. Hamis.

d) Van olyan sokszög, amelyiknek hat szimmetriatengelye van. Igaz.

e) Mindegyik hatszögnek hat szimmetriatengelye van. Hamis.

f) Van olyan sokszög, amelynek három szimmetriatengelye van. Hamis.

g) Mindegyik sokszög tükrös. Igaz.

442. Készíts szimmetrikus alakzatokat csak hajtogatással írólapból! Mindegyik feladathoz külön pa-pírt használj! Hajtogass

a) tükrös háromszöget, b) konvex deltoidot, c) nem konvex deltoidot,d) téglalapot, e) négyszöget, f) rombuszt,g) párhuzamos egyenespárt, h) szimmetrikus ötszöget, i) húrtrapézt!

Az írólapot szemléltetheti például az AUXC téglalap a 440. b) feladat ábráján. A megoldás lehet:

a) BUX b) BJVH c) AVCI d) AJHC e) BKSC f) BKVM

g) JS és BM az egyenespár egy része h) IKSRH i) CJTX

Az a), b), d), e), f), h), i) konvex sokszögek esetén a felesleges részek hátrahajtása után csak a sokszöglaplátható. A c) konkáv négyszögnek az oldalait mutatják a hajtásélek, de a felesleg nem hajtogatható hátra.

A felsorolt alakzatok mindegyikét előállíthatjuk csupán egy üres papírlap hajtogatásával. Nagyonfontos gyakorlat ez, hiszen az adott alakzat speciális tulajdonságait tudatosan végig kell gondolniahhoz, hogy hajtogatással elő tudjuk állítani a kívánt alakzatot. Máshogy, mélyebben értik meg agyerekek azt, amit a kezükkel is végigcsináltak. Minél több érzékszervüket bevonjuk a tanulásba,annál eredményesebbek leszünk a tanításban.

A tükrös alakzatoknál először a tükörtengelyt hajtsuk meg! A d) vagy a g) feladatban merőlegesegyeneseket kell hajtogatással előállítani. Ez már tavaly is előfordult, jó ha felelevenítjük.

443. Döntsd el, melyik igaz (I), melyik hamis (H), és írd a megfelelő betűt az állítások után!

a) Minden deltoid négyszög. Igaz. b) Van olyan deltoid, amelyik trapéz. Igaz.

c) Minden négyzet téglalap. Igaz. d) Minden húrtrapéz téglalap. Hamis.

e) Minden téglalap húrtrapéz. Igaz. f) Minden rombusz trapéz. Igaz.

g) Van olyan húrtrapéz, amelynek minden oldala egyenlő. Igaz.

h) Van olyan trapéz, amelynek az átlói egyenlő hosszúak. Igaz.


124


A trapéz , deltoid , húrtrapéz , téglalap , rombusz , négyzet elnevezések közül válogass!

Minden húrtrapéz trapéz .

Van olyan téglalap, amely deltoid .Nincs olyan négyzet, amely ne lenne téglalap .

Ha egy négyszög rombusz , akkor az átlói merőlegesek egymásra.Ha egy téglalap négyzet , akkor az átlói merőlegesek egymásra.

Ha egy deltoid téglalap , akkor az négyzet.

Van olyan deltoid, amely nem rombusz .Nincs olyan rombusz, amely ne lenne deltoid .

Sok más megoldás is adható.

445. Döntsd el, melyik igaz (I), melyik hamis (H), és írd a megfelelő betűt az állítások után!

a) A húrtrapéz átlói egyenlő hosszúak. I

b) A négyzet nem deltoid. H

c) Van olyan deltoid, amelyik rombusz. I

d) Minden deltoid rombusz. H

e) Van olyan téglalap, amelynek az oldalai egyenlő hosszúak. I

f) Minden húrtrapéz alapjai különböző hosszúságúak. H

g) Nincs olyan húrtrapéz, amelynek minden oldala különböző hosszúságú. I

h) Van olyan deltoid, amelynek pontosan három egyenlő hosszúságú oldala van. H

i) Van olyan húrtrapéz, amelynek pontosan három egyenlő hosszúságú oldala van. I

j) Van olyan paralelogramma, amely nem trapéz. H

k) Minden téglalap húrtrapéz. I

446. Rajzolj olyan sokszögeket, amelyekre egyszerre teljesülnek az alábbi állítások!

(1) Mindegyik háromszög tükrös.

(2) Mindegyik négyszögnek legalább két szimmetriatengelye van.

(3) Van közöttük olyan, amelyiknek nincs tengelye.

(4) Mindegyik hatszög tükrös.

Például ez a sokszöghalmaz megfelel:


125

A négyszögek szögei

447. a) Hány négyzet van az ábrán? 6 négyzet b) Hány négyzet van az ábrán? 10 négyzetHány téglalap van az ábrán? 18 téglalap

448. a) Hány téglalap van az ábrán? 9 téglalap

b) Hány rombusz van az ábrán? 5 rombusz

449. Bontsd fel egy egyenessel egy háromszögre és egy négyszögre az alábbi sokszögeket!

450. Hány oldalú lehet az a sokszög, amelyet egy egyenes két háromszögre bont?

három-, négy-, öt-, hatoldalú sokszög.

451. Parkettázz egybevágó négyszögekkel, majd színezd ki az ábrádat!

a) b) c) d) e) f)


126

452. Mérd meg a négyszög belső szögeit, majd add meg ezek összegét! A belső szögek összege 360◦.

� = 90◦ � = 57◦

� = 123◦ � = 90◦� = 41◦ � = 131◦

� = 50◦ � = 138◦� = 23◦ � = 34◦

� = 33◦ � = 270◦

453. Másold egymás mellé a négyszög négy belső szögét úgy, hogy a szögek csúcsa megegyezzen!Mit tapasztalsz? A négy belső szög együtt teljesszöget alkot.

� = 126�4◦

� = 53�6◦

� = 64◦

� = 116◦

� = 67◦

� = 113◦

� = 67◦

� = 113◦

� = 111◦

� = 79◦

� = 111◦

� = 59◦

454. Számítsd ki a négyszög ismeretlen belső szögeinek nagyságát!a) A rombusz egyik szöge 73◦. 107◦, 73◦, 107◦

b) A tengelyesen szimmetrikus trapéz egyik szöge 110◦47′. 110◦47′, 110◦47′, 69◦13′, 69◦13′

c) A deltoid két szemközti szöge 30◦ és 70◦. 30◦, 130◦, 70◦, 130◦

d) A deltoid két szomszédos szöge 60◦ és 100◦. 100◦, 60◦, 140◦, 60◦ vagy 60◦, 100◦, 100◦, 100◦

e) A deltoid két szomszédos szöge 42◦ és 106◦. 42◦, 106◦, 42◦, 170◦ vagy 42◦, 106◦, 106◦, 106◦

f) A rombusz egyik szöge 40◦-kal nagyobb a másiknál. 70◦, 110◦, 70◦, 110◦

455. Számítsd ki az ismeretlen belső szögek nagyságát!

a) b) c)

36�


127

456. Másold le a teljes ábrát másolópapírra, majd vágd ki az ábrát a határvonal mentén! Ezután azegyenes szakaszok mentén vágd be a kört, illetve a négyzetet a négyszög távolabbi csúcsáig!Ha jól dolgoztál, az ábra egy négyszögre és négy szögtartományra esik szét. Rakd egymásmellé a négy szögtartományt úgy, hogy a csúcsuk közös legyen! Mit tapasztalsz? A négy külsőszög teljesszöget alkot, a négy külső szög összege 360◦.

a)

b)

457. Mekkorák a rombusz

a) külső szögei, ha egyik belső szöge 67�5◦; 112�5◦, 67�5◦, 112�5◦, 67�5◦

b) külső szögei, ha egyik külső szöge 105◦; 105◦, 75◦, 105◦, 75◦

c) belső szögei, ha egyik belső szöge 46�3◦; 46�3◦, 133�7◦, 46�3◦, 133�7◦

d) belső szögei, ha egyik külső szöge 35�7◦? 35�7◦, 144�3◦, 35�7◦, 144�3◦

458. Mekkorák a deltoid belső és külső szögei, ha

a) két belső szöge 72◦, a harmadik szöge 150◦;

A deltoid belső szögei: 72◦, 150◦, 72◦, 66◦. A deltoid külső szögei: 108◦, 30◦, 108◦, 114◦.

b) két belső szöge 72◦, a harmadik szöge 108◦;

A belső szögek nagysága: 72◦, 108◦, 72◦, 108◦. A külső szögeké: 108◦, 72◦, 108◦, 72◦. Ez a deltoidrombusz.

c) két belső szögének összege 180◦, a harmadik belső szöge 48◦;

A deltoid belső szögei: 90◦, 48◦, 90◦, 132◦. A deltoid külső szögei: 90◦, 132◦, 90◦, 48◦.

d) két belső szöge 45◦, a harmadik belső szöge 235◦?

A deltoid belső szögei: 45◦, 235◦, 45◦, 35◦. Konkáv szög külső szögét nem értelmeztük.


128

Négyszögek szerkesztése

459. Szerkeszd meg a rombuszt!

a) b)

460. Szerkeszd meg a deltoidot!

a) b)

2cm

461. Szerkeszd meg a húrtrapézt!

a) b)

9 cm

3cm

c) d)


129

462. Szerkessz rombuszt!

a) Átlóinak hossza 62 mm és 31 mm. b) Oldala 2�5 cm, és két egyenlő oldalú három-szögre bontható.

c) Oldala 4 cm, és egyik belső szöge 120◦. d) Egyik átlója 3 cm, oldala ennek kétszerese.

463. Szerkeszd meg a deltoidot, ha

a) oldalai 5 cm és 3 cm hosszúak, és az 5 cm-es

60� 60�

A

B

C

D

A

B

C

D

5 cm

3 cm 3 cm

5 cm 5 cm 5 cm

3 cm 3 cm

oldalak 60◦-os szöget zárnak be;Konvex és konkáv deltoid a megoldás. Szerk.: AB == BC = 5 cm, ABC= 60◦, AD = CD = 3 cm

b) a szimmetriaátlója 7 cm, és 60◦-os, illetve 240◦-os

240�60�

A

B

C

D7 cm

szöget felez ez az átló!Egyértelmű a megoldás. Szerk.: BD = 7 cm, BDA= 30◦,DBA= 120◦, tükrözés BD-re C = A′

464. Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben az A(4; 4),B (6; 10), C (10; 10) pontokat! Határozd meg a D pontkoordinátáit, ha ABCD négyszög tengelyesen szimmet-rikus! Keress többféle megoldást! 3 húrtrapéz és 3 deltoid amegoldás.


130

465. Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben a (3; 4), (5; 6),(7; 4) pontokat! Szerkessz olyan negyedik pontot, amellyelegyütt egy szimmetriatengelye van a négy pont által meg-határozott négyszögnek! Lehet-e négy szimmetriatengelye anégyszögnek?Egy szimmetriatengelye van a négyszögnek, ha a negyedik csúcs elsőkoordinátája 5, és a második koordináta nem 2, 4 vagy 6.

Négy szimmetriatengely is lehet: (5; 2) pontnál.

466. Szerkessz húrtrapézt, ha az

a) egyik alapja 6 cm, szára 2 cm, és egyik belső szöge 60◦; Kétféle húrtrapéz lehet.

b) alapjai 4 cm és 2�5 cm hosszúak, az alapok távolsága 5 cm; Egy megoldás van.

c) 5 cm-es átlója 60◦-os szöget zár be a 3 cm-es alapjával! Egy megoldás van.

a) b) c)

467. Egy húrtrapéz átlója merőleges a szárára. Rövidebb alapja 30�

60�

30�

30�

120�

egyenlő a szárával. Mekkorák a belső szögei? Szerkeszd mega trapézt, ha a rövidebb alapja 3 cm!

468. A négyzetlapból hiányzik a szürkével jelölt rész. Megfelelő hajtogatással és egy, illetve a d)feladatban két egyenes vágással készítsd el a „lyukas” négyzetet!


131

469. Szerkeszd meg a rombuszt!

a) b)

470. Szerkeszd meg a deltoidot!

a) b)

471. Szerkessz

a) deltoidot, ha a szimmetriatengelyre merőleges átlója 4 cm, és ez az átló

4 cm45�

60�

60◦-os és 45◦-os szögre bontja a végpontjánál lévő szöget; Egyértelmű amegoldás. Szerk.: AT = TC = 2 cm, BD ⊥ AC , TAB= 45◦, TAD= 60◦

b) deltoidot, ha a 9 cm-es szimmetriátlója 75◦-os szöget zár

4 cm

75� 9 cm

be a 4 cm-es oldalával; Konvex és konkáv deltoid is megoldás.Szerk.: BD = 9 cm, ABD= 75◦, BA = 4 cm, illetve BD == 9 cm, ABD= 180◦ − 75◦ = 105◦, BA = 4 cm, BD tengelyretükrözve C = A′

c) húrtrapézt, ha a hosszabb alapja 7 cm, szára 4 cm, és egyik belső

4 cm

67,5�

7 cm

szöge 67�5◦-os! Egy megoldás van.


132

Derékszögű háromszögek kerülete, területe

472. a) Váltsd át centiméterre!

31 dm = 310 cm 23�4 dm = 234 cm14

dm = 2�5 cm

215

dm = 22 cm 7 mm = 0�7 cm 12�5 mm = 1�25 cm

b) Váltsd át deciméterre!

200 mm = 2 dm 19 m = 190 dm58

m = 6�25 dm

63 mm = 0�63 dm 435

m = 46 dm 21�8 cm = 2�18 dm

c) Váltsd át négyzetdeciméterre!

7000 cm2 = 70 dm2 21 m2 = 2100 dm2 8�6 m2 = 860 dm2

29 000 mm2 = 2�9 dm2 72

m2 = 350 dm2 1�3 km2 = 130 000 000 dm2

d) Váltsd át négyzetcentiméterre!

100 mm2 = 1 cm2 17 dm2 = 1700 cm2 2 m2 = 20 000 cm2

10 500 mm2 = 105 cm2 54

dm2 = 125 cm2 2�8 m2 = 28 000 cm2

473. Számítsd ki a téglalapok kerületét és területét!

K = 8 cm

T = 3 cm2

K = 152 m

T = 1408 m2

K = 606 cm

T = 20 300 cm2

K = 28�2 dm

T = 48�6 dm2

474. Egy 45 m×81 m méretű téglalap alakú kert23

részén virágot ültettek,

a többi füves terület. Mekkora az egyes részek területe?A 81 méter hosszú oldal mentén harmadoltuk a téglalapot. A füves rész terü-

lete: T = 45 · 813

= 45 · 27 = 1215 m2, a virágos rész: T = 45 · 54 = 2430 m2.

475. Egy téglalap alakú parkot átlósan egy út választ ketté. A téglalap oldalai 150 m és 210 mhosszúak. Mekkora az út által létrehozott részek területe?

A téglalap területét felezi az átlóegyenese. A két rész területe: T = 150 · 210 : 2 = 15 750 m2.


133

476. Mely sokszögek területe egyenlő? A, D , F , H , illetve B , C , E , G sokszögek területe egyenlő.

477. Rajzolj a háromszöggel egyenlő területű téglalapot! Számítsd ki a háromszög területét!

Az egyik befogó középvonalát használhatjuk a téglalap kijelölésére.

Tengelyesen szimmetrikus háromszögek kerülete, területe

478. Hány egység a háromszögek területe?


134

479. Melyik sokszög területe egyenlő az egyenlő szárú háromszög területével?

1

AB

C

D

E

F

A C , D , E , F sokszögek mindegyike egyenlő területű az A jelű egyenlő szárú háromszög területével, a Bjelű téglalap területe kétszerese a többi sokszög területének.

480. Az alábbi sokszögeket olyan egyenlő szárú háromszögekből építettük, amelyek alapja 5 cm,magassága 6 cm, szára 6�5 cm hosszú. Határozd meg a sokszögek kerületét és területét!

a) b) c) d)

Jelölje az alap hosszát a , a szár hosszát s , az alaphoz tartozó magasságot m!

a = 5 cm, s = 6�5 cm, m = 6 cm. Egy egyenlő szárú háromszög területe, t =am

2= 15 cm2.

a) K = 3a + 2s = 28 cm b) K = 4s = 26 cm c) K = 2s + 2a = 23 cm d) K = 4s + 2a = 36 cm

T = 3t = 45 cm2 T = 2t = 30 cm2 T = 2t = 30 cm2 T = 4t = 60 cm2

481. Szerkeszd meg a háromszögeket, mérd meg a szükséges adatokat, majd számítsd ki a kerüle-tüket, területüket!

Hasonlítsd össze a b), c) és d) háromszögek kerületét és területét az a) háromszög kerületévelés területével!a) b) c) d)


135

a) b) c) d)

Kerület K = 8 cm K = 16 cm K = 24 cm K = 32 cm

Terület T ≈ 2�8 cm2 T ≈ 11�4 cm2 T ≈ 25�5 cm2 T ≈ 45�2 cm2

Hányszor akkora kerületű, mint az a)? 2-szeres 3-szoros 4-szeres

Hányszor akkora területű, mint az a)? 4-szeres 9-szeres 16-szoros

a) b) c) d)

Kerület K = 8 cm K = 16 cm K = 24 cm K = 32 cm

Terület T ≈ 2�8 cm2 T ≈ 11�4 cm2 T ≈ 25�5 cm2 T ≈ 45�2 cm2

Hányszor akkora kerületű, mint az a)? 2-szeres 3-szoros 4-szeres

Hányszor akkora területű, mint az a)? 4-szeres 9-szeres 16-szoros

482. Hány egység a háromszögek területe?

1

A: 4

B: 2,5

C: 7,5

D: 12

A: 4, B : 2�5, C : 7�5, D : 12

483. Szerkeszd meg a háromszöget! Mérd meg a szükséges adatokat, és számítsd ki a háromszögkerületét, területét!

a) b) c)

K ≈ 15 cmT = 9 cm2

K ≈ 10�5 cmT = 4�3 cm2

K ≈ 17�9 cmT = 14 cm2

484. Melyik sokszög területe egyenlő 12 rács-1

A: 12

B: 12C: 12

D: 6 E: 13

négyzet területével? Az A, B és C sokszögeké.

485. Egy 1 m3-es kocka alakú tartályt az egyik élére állítottak. A színesseljelölt részen víz van benne. Mennyi víz fér még a tartályba? A kereszt-metszeten F betűvel az oldal felezőpontját jelöltük.

Negyedrész, azaz14

m3 = 250 dm3 ≈ 250 liter


136

Tengelyesen szimmetrikus négyszögek kerülete, területe

486. Számítsd ki a téglalapba írt négyszög területét!

T = 912 mm2 T = 520 cm2 T = 12 cm2

487. Melyik sokszög területe egyenlő 6 rácsegységgel? Az A, B és D sokszögé.

1

A: 6B: 6 C: 5

D: 6

E: 7

488. a) Számítsd ki, hogy hány rácsnégyzet területével egyenlő a sokszögek területe!

b) Területük nagysága szerint állítsd növekvő sorrendbe a négyszögeket!D �B = E �A = C = F


137

489. A szükséges adatokat megmérve számítsd ki a négyszögek kerületét, területét!

a) b) c)

2,8

cm2,8

cm

4,6

cm

4,6

cm

4 cm

6 cm

2,5

cm

2,5 cm

2,5 cm

2,5

cm 2,3 cm

3 cm

2,4

cm

2 cm

4cm

d)

3cm

3cm

5 cm

9,5 cm

2 cm

a) K = 14�8 cmT = 12 cm2

b) K = 10 cmT = 5�75 cm2

c) K = 12 cmT = 3�6 cm2

d) K = 20�5 cmT = 14�5 cm2

490. Hányad része a színes négyzet területe az eredeti négyzet területének?

a)

1725

-e

b)

1325

-e

c)

2581

-e

491. Az ábrán egy paralelogramma és egy trapéz látható.

Hány egység a paralelogramma területe, ha a trapéz terü-lete 1 egység?

6 egység a paralelogramma területe.


138

492. A Tangram játék elemeit felhasználva készültek a húrtrapézok. Helyezd át az elemeket úgy,hogy téglalapot kapj!

a)

BD

B

b)

B BE

c)

BD

BE

d)

AB

E

B

AA B , illetve az A jelű háromszöget kell csak áthelyezni.

BDB

BB

E BDB

E A

B

E

B

A

493. Négy ilyen négyszög felhasználásával rakj ki tengelyesen szimmetrikushatszöget! Az elkészített hatszöget rajzold le!

494. a) Szerkeszd meg a húrtrapézt! 6 cm

10 cm

2 cm2,8 cm 2,8 cm

b) Számítsd ki a trapéz területét!T = 16 cm2

495. Igaz-e, hogy az ABC háromszög területe egyenlő a CDEF négy-

A B

C

DE

F

szög területével?

Igaz. TABF =6 · 2

2= 6 területegység, TADE =

3 · 42

= 6 területegység.

TABC = TABF − TACF , TDEFC = TADE − TACF .

Az ABC háromszög és a CDEF négyszög területe a 6 területegységnél azACF háromszög területével kisebb, vagyis egyenlő a területük.


139

Testhálók

496. a) Hány dm2?

4350 cm2 = 43�50 dm2 0�163 m2 = 16�3 dm2 53 200 mm2 = 5�32 dm2

b) Hány cm3? 81 dm3 = 81 000 cm3 39 000 mm3 = 39 cm3

197 500 mm3 = 197�5 cm3 74

m3 = 1750 dm3 = 1 750 000 cm3

c) Hány liter? 27 dl = 2�7 l 91 hl = 9100 l

1870 cl = 18�7 l 63 dm3 = 63 l 970 cm3 = 0�97 dm3 = 0�97 l

497. Rajzold le annak a téglatestnek a háló-

2 e

2 e

4,5 e

4,5 e

6 e 4,5 e

ját, amelynek élei 2 egység, 4�5 egység és6 egység hosszúak! 1 egység az ábrádon arácsnégyzet egy oldalának hossza legyen.Számítsd ki a téglatest felszínét és térfo-gatát rácsegységben!

A = 96 e2 V = 54 e3

498. a) Rajzold le annak a téglatestnek a hálóját, amelynek élei 2 egység, 2 egység és 5 egységhosszúak! 1 egység az ábrádon a rácsnégyzet egy oldalának hossza legyen! Milyen speciálistulajdonsága van ennek a téglatestnek? Rajzolj többféle hálót a füzetedbe!

A téglatest négyzetes hasáb (négyzetes oszlop).

b) Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát rácsegységben!

A téglatest felszíne: A = 2 · 2 · 2 + 2 · 5 · 4 = 48 e2. A téglatest térfogata: V = 2 · 2 · 5 = 20 e3.


140

499. a) Rajzold le annak a téglatestnek a hálóját, amelynek minden éle 3 egység hosszú! 1 egységaz ábrádon a rácsnégyzet egy oldalának hossza legyen! Milyen speciális tulajdonsága vanennek a téglatestnek? Rajzolj többféle hálót a füzetedbe!

A téglatest kocka.

b) Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát rácsegységben!

A kocka felszíne: A = 3 · 3 · 6 = 54 e2. A kocka térfogata: V = 3 · 3 · 3 = 27 e3.

500. Folytasd a gúla hálójának megraj-zolását négyzethálós lapon! Szá-mítsd ki a gúla felszínét rács-egységben! A = 85 e2

501. Egy 4 cm élű tömör kocka egyik lapjára két-féleképpen illesztünk egy 2 cm magasságú sza-bályos négyoldalú gúlát. Az egyik esetben hoz-záragasztjuk, a másikban pedig kivágjuk belőlea gúlát.


141

a) Rajzold le a keletkezett új testek háló-ját!A két test hálója ugyanazokból a sokszögek-ből áll, a két testháló lehet egyforma.

b) Hasonlítsd össze a két új test felszínét!A két test felszíne egyenlő.

Megjegyzés: A ≈ 4 · 4 · 5 + (4 · 2�8 : 2) · 4 == 102�4 cm2, mivel a gúla oldallapjainak ma-gassága egy 2 cm oldalú négyzet átlója.

502. Rajzold le, majd vágd ki a 4 db háromszöget, és készítsdel belőlük egy háromszög alapú gúla két különböző há-lóját!Mekkora a kapott gúlák felszíne rácsegységben?

A gúlák felszíne A = 24 rácsnégyzet területével egyenlő.

503. a) Négyzethálós lapra rajzoldle az ábrán látható test há-lójának kétszeresre nagyítottrajzát! Vágd ki ollóval a há-lót, és készíts belőle egy tes-tet! Milyen testet kaptál?A test paralelogramma alapú ha-sáb.

b) Számítsd ki rácsegységbenaz eredeti és a nagyított testfelszínét!

A = (6 · 5 + 6 · 4 + 25) · 2 = 158rácsnégyzet.


142

Szabályos sokszögek

504. Készíts parkettát a pontrácson ugyanolyanszabályos sokszögekkel! Ezen a pontrá-cson melyik sokszöggel lehetséges ez?Szabályos háromszögekkel és szabályos hatszö-gekkel lehet parkettázni a háromszögrácson.

505. Készíts olyan négyzet alakú faliképet a mozaikminta folytatásával, amelynek színezése alapjánkét szimmetriatengelye van!

506. Egy 9 cm oldalú négyzetből mind a négy csúcsánál levá-gunk egy-egy 3 cm befogójú, egyenlő szárú derékszögű há-romszöget.a) Hány oldalú sokszöget kapunk? Nyolcszöget kapunk.

b) Szabályos-e a sokszög? Nem szabályos sokszög. A vágásután keletkezett szakaszok hosszabbak 3 centiméternél.

c) Mekkora a területe?A nyolcszög területe: T = 9 ·9−(3 ·3 : 2) ·4 = 63 cm2. Másképp:T = 3 · 3 · 5 + (3 · 3 : 2) · 4 = 63 cm2.

507. Készítsd el olyan egyenlő élű szabályos gúláknak a hálóját,melyek alaplapja

a) szabályos háromszög; b) négyzet;


143

c) szabályos ötszög; d) szabályos hatszög! nincs ilyen gúla

508. Készíts hat darab egybevágó szabályos háromszögből egy-egy oldaluk egymáshoz illesztésévelsokszögeket! Válaszd ki közülük azokat, amelyeknek egy, kettő… hat szimmetriatengelyükvan! Van-e közöttük szabályos sokszög?

Az ábrán bemutatunk két különböző sokszöget.Rajzold fel a többit! (Összesen 12 különböző sok-szög létezik.) Azokat tekintjük különböző sokszö-geknek, amelyek semmilyen mozgatással nem hoz-hatók fedésbe.


144

Nyitott mondatok,egyenletek, egyenlőtlenségek

509. Igazak-e az alábbi állítások? Írd a megfelelő betűt (Igaz/Hamis) a sorok végére!

A) Egy gyereknek legfeljebb huszonkét tejfoga lehet. H, 24 a tejfogak maximális száma (4-gyelosztható).

B) Nem minden deltoid rombusz. I

C) 1 kbyte = 1000 byte H, 1024 a váltószám.

D) Az arab zifr szóból ered a mi cifra szavunk is, amely régen nullát is jelentett. I

E) Bolyai János, a világhírű magyar matematikus Petőfi Sándor kortársa volt. I

510. Melyik szót kell beírni a három közül a nyitott mondatba, ha azt akarjuk, hogy igaz legyen?Karikázd be a betűjelét!

a) A még ma is használatos golyós számológépeknek, más nevükön abakuszoknak nagy elő-nyük, hogy az írástudatlanok is tudják használni. Az abakuszoknál használt kalkulus ma-

gyarul jelent.

A) kövecskét B) műveleti jelet C) számot

b) A kalkulátor latin szó jelentése is módosult az idők során. A szó eredeti jelentésevolt.

A) számológép B) számvetést végző ember C) kőfejtő

c) Az 1940-es években készített, első elektronikus ENIAC számítógép elhelyezéséhezméternél hosszabb teremre volt szükség.

A) 2 B) 20 C) 30d) A napjainkban használatos hordozható számítógép, a tablet PC (magyar nyelvre lefordítva:

marokkészülék) tárolásához használt doboz minimális hosszúsága körülbelül .

A) 1 m B) 50 cm C) 20 cm

e) A számítógépek történetébe magyar matematikus is beírta a nevét.

A) Neumann János B) Kalmár László C) Bolyai János

f) A mai számítógépek egy műveletet körülbelül másodperc alatt tudnak elvé-gezni.

A) 1 B) 0�01 C) 0�0001

A feladatban szereplő három kiváló magyar matematikus közül kinek a nevéhez fűződik a sze-gedi Kibernetikai Laboratórium létrehozása? A Kalmár László által 1962-ben létrehozott KibernetikaiLaboratóriumot ma Kalmár László Informatikai Intézetnek hívják.

511. A számegyeneseken piros színnel jelöltük azokat az x számokat, amelyek igazzá teszik azegyenlőtlenségek valamelyikét. Add meg a párok betűjelét! a)–B), b)–D), c)–A), d)–C)

a) x�−6 b) x : 3�2 c)x

2� 3�5 d) −4 �

12· x

A) B) C) D)

x0 1 x0 1 x0 1 x0 1

Nyitott mondatok� � �

145

512. Ezekről a sokszögekről írtunk nyitott mondatokat. Helyezd el a cédulákon lévő szavakat anyitott mondatokba úgy, hogy igaz állításokat kapj!

a) Minden deltoid/téglalap/rombusz/hatszög tengelyesentükrös.

b) Nem minden háromszög tengelye-sen szimmetrikus.

c) Amelyiknek van csúcson át nem menő szimmetriatenge-

lye, az hatszög/téglalap .

d) Amelyik konkáv, az deltoid .

háromszög

deltoid

téglalap

rombusz

hatszög

e) Van olyan háromszög/téglalap , amelynek nincs csúcson átmenő szimmetri-atengelye.

513. a) Hány szám teszi igazzá a következő egyenleteket, illetve egyenlőtlenségeket az egyes alap-halmazokon?

Alaphalmaz

Egyenlőség,egyenlőtlenség

10 pozitívosztói

Természetesszámok

6 pozitívosztói

Az összesszám

A) + 8 = 0 nincs ilyen szám nincs ilyen szám nincs ilyen szám egy ilyen számvan: −8

B) − 0�5�−1négy ilyen számvan: 1, 2, 5, 10az összes osztó*

végtelen sok:az összes szám*

végtelen sok:az összes

többszörös*

végtelen sok:−0�5-nél

nagyobb számok

C) −1 �10+ 1

� 2 két ilyen számvan: 5, 10

végtelen sok: 4,5, 6, 7, � � �


többszörös*

végtelen sok:a −11-nél nemnagyobb vagy

4-nél nem kisebb

Alaphalmaz

Egyenlőség,egyenlőtlenség

10 pozitívosztói

Természetesszámok

6 pozitívosztói

Az összesszám

A) + 8 = 0 nincs ilyen szám nincs ilyen szám nincs ilyen szám egy ilyen számvan: −8

B) − 0�5�−1négy ilyen számvan: 1, 2, 5, 10az összes osztó*

végtelen sok:az összes szám*


többszörös*

végtelen sok:−0�5-nél

nagyobb számok

C) −1 �10+ 1

� 2 két ilyen számvan: 5, 10

végtelen sok: 4,5, 6, 7, � � �


többszörös*

végtelen sok:a −11-nél nemnagyobb vagy

4-nél nem kisebb

b) Melyik azonosság, illetve azonos egyenlőtlenség? A *-gal jelöltek azonos egyenlőtlenségek.

514. Ábrázold a számegyenesen azokat az x számokat, amelyek igazzá teszik az egyenlőtlenséget!Ügyesen válassz egységet!

a) −3 � x � 3 b) −3 � 3 · x�3 c) −3�x

3�3

x0 1−3 3 x0 1−1 x0−9 9−3 3


146

515. Mely egyenlőtlenségek tartoznak a számegyenesek színessel megjelölt pontjaihoz? Add meg apárok betűjelét! Melyik számegyenesnek nincs párja? A)–c); B) Nincs párja. C)–b); D)–a)

a) −3 � x + 3�3 b) −3 � x − 3�3 c) 3 � |x |

A) B) C) D)

x0 1 x0 1 x0 1 x0 1

516. Ábrázold számegyeneseken azokat az x értékeket, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenlőtlen-ségek! Ügyesen válassz egységet!

a) x�−8 b) x + 2�−8 c) x − 2�−8

xx �−8

−8 0

xx �−10

−10 0

xx �−6

−6 0

d) −4�x�8 e) −4 �2 · x�8

x−4 �x �8

−4 0 8

x−2 �x �4

−2 0 4

517. Ábrázold számegyeneseken azokat az x értékeket, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenlőtlen-ségek!

a) −4�x : 2�6 b) −0�2 � x + 3 � 2�4

x−8 �x �12

−8 0 12

x−3�2 � x � −0�6

−3�2 −0�6 0

c) −10�5�x

2� 10�5 d) −1

2� 4 · x � 1

2

x−21 �x � 21

−21 210

x−1

8� x �

18

−18

18

0 1

518. a) Írj az ábra üres mezőibe 10-nél kisebbtermészetes számokat úgy, hogy igaz ál-lításokat kapj!

b) Írj az ábra üres mezőibe −5-nél nagyobbés 8-nál kisebb számokat úgy, hogy igazállításokat kapj!

= 6 = 7 = 2· − = 2

− + −· − = 1

· · +4 · − = 1

2 4 6

2 3 5

1 3

= = =− + 4 = 2

· : ·− 6 · = −5

− + :8 : + = 7

1 3

1 1

2 3

7 4 12

519. Az alábbi feladatokban a betűk helyére egy-egy számjegyet kell beírni úgy, hogy helyesösszefüggésekhez jussunk. A megegyező betűk egy-egy feladaton belül ugyanazt a számje-gyet jelentik, a különbözők különbözőket.

a) AA · ABA = AAAA 11 · 101 = 1111 b) AB · AB = CAB 25 · 25 = 625

c) AB − BA = A 98 − 89 = 9


147

d) ÖT + ÖT = TÍZ A T csak 1 lehet, ezért Z = 2. Az Ö � 5, de Ö�6, mert akkor Í = Z = 2 lenne.

Így ezek a lehetőségek vannak: Ö 5 7 8 9

Í 0 4 6 8

Ö 5 7 8 9

Í 0 4 6 8

Egyenletek megoldása lebontogatással, szöveges feladatok

520. Papírcsíkok barna és sárga felére egy műveletsort írtunk fel kétféle alakban.

Például: (9 + 6) : 3 9 : 3 + 6 : 3

Miközben a papírcsíkokat kettévágtuk, az egyiknek elkallódott a barna fele. Kösd össze azokata papírcsíkokat, amelyek egy darabban voltak eredetileg!

(9 + 3) · 6

6 : 3 − 9 : 3

9 : 3 + 6 : 3

9 · (6 − 3)

(6 − 9) : 3

9 · 3 − 6 · 9

9 · 6 + 3 · 6

6 · 9 − 9 · 3

6 + 93

521. A körökben szorzatok és hányadosok, a téglalapokban összegek és különbségek állnak. Kösdössze az egyenlőket!

(x + 8) · 3 (3 − x ) · 88 − x

3(3 + x ) : 8

x

3− 8

38 : 3 − x : 3 x · 3 + 8 · 3

38

+ x : 8 3 · 8 − x · 8

522. Melyik feladathoz melyik egyenlet tartozhat? Oldd is meg az egyenleteket!

a) Melyik az a szám, amelynek 4-szerese 8-cal több, mint 60?

b) Melyik az a szám, amelyik 8 híján 4-szerese a 60-nak?

c) Melyik az a szám, amelyik 8-cal több, mint 60?

d) Melyik az a szám, amelyiknél 8-cal kisebb szám 4-szereseéppen 60?

e) Melyik az a szám, amelyiknél 8-cal nagyobb szám a 60-naknégyszerese?

a)–A) és a)–C), b)–E) és b)–F), c)–G), d)–D), e)–E) és e)–F)

A) x · 4 − 8 = 60 x = 17

B) x · 4 + 8 = 60 x = 13

C) x · 4 = 68 x = 17

D) (x − 8) · 4 = 60 x = 23

E) x = 60 · 4 − 8 x = 232

F) x + 8 = 60 · 4 x = 232

G) x − 8 = 60 x = 68


148

523. Oldd meg az egyenleteket!

a) 8 + x · 5 = 30 x = 4�4 b) 6 · x − 7 = 53 x = 10

c) 12 · (x + 4) = 36 x = −1 d) (7 − x ) · 9 = 36 x = 3

524. Tamás bácsi feladványa:

Gondoltam egy számot. Kivontam belőle 5-öt. Vettem a különbség 4-szeresét. A szorzatotnöveltem 12-vel. Eredményül 80-at kaptam. Milyen számra gondoltam?

a) Találd ki a folyamatábra segítségével, milyen számra gondolt Tamás bácsi! A folyamatáb-rában g betű jelöli a gondolt számot.

g g − 5 4g − 20 4g − 8

80681722

− 5 · 4 +12

+ 5 : 4 − 12‖‖‖‖

A 22-re gondolt Tamás bácsi.

b) Melyik egyenlet írja le helyesen Tamás bácsi feladványát?

A) g − 5 · 4 + 12 = 80 B) (g − 5) · (4 + 12) = 80 C) (g − 5) · 4 + 12 = 80

c) Oldd meg a helyesnek ítélt egyenletet! Vesd össze a kapott eredményt a feladvány szöve-gével! (g − 5) · 4 + 12 = 80

(g − 5) · 4 = 68

g − 5 = 17

g = 22 Válasz: Tamás bácsi a 22-re gondolt.

Ellenőrzés: (22 − 5) · 4 + 12 = 17 · 4 + 12 = 68 + 12 = 80. Helyes a megoldás.

d) Igaz-e? Ha Tamás bácsi a 110-re gondolt volna, akkor 408-at kapott volna eredményül.

Nem igaz, 432 lett volna az eredmény. (110 − 5) · 4 + 12 = 105 · 4 + 12 = 420 + 12 = 432.

525. Az osztályunkban a gyerekek az előző feladatban lévőhöz hasonló feladványokat mondtak atársaiknak. Ezekről készültek a folyamatábrák.

a) Mondd el szavakkal a folyamatábra alapján a feladványt a társadnak!

b) Írd be a hiányzó kifejezéseket a téglalapokba! Írj egyenletet, és oldd is meg!

A)g

80

= = = =

· 4 + 12 − 5

: 4 − 12 + 5

g · 4 g · 4 + 12 g · 4 + 7

18�25 73 85

g · 4 + 12 − 5 = 80

g · 4 + 7 = 80

g · 4 = 73

g = 18�25

B)g

80

= = = =

+ 12 · 4 − 5

− 12 : 4 + 5

g + 12 g · 4 + 48 g · 4 + 43

9�25 21�25 85

(g + 12) · 4 − 5 = 80

g · 4 + 12 · 4 − 5 = 80

g · 4 + 43 = 80

g · 4 = 37

g = 9�25


149

C)g

80

= = = =

· 4 − 5 + 12

: 4 + 5 − 12

g · 4 g · 4 − 5 g · 4 + 7

18�25 73 68

g · 4 − 5 + 12 = 80

g · 4 + 7 = 80

g · 4 = 73

g = 18�25

526. Írd be a hiányzó kifejezéseket a téglalapokba! Írj a folyamatábra alapján egyenletet, és oldd ismeg!

a)x

−2

= = = =

· 5 + 2 · 2

: 5 − 2 : 2

5 · x 5 · x + 2 10 · x + 4

− 35 −3 −1

x = −35

b)x

− 10

= = = = =

· 4 − 8 : 2 + 6

: 4 + 8 · 2 − 6

4 · x 4 · x − 8 2 · x − 4 2 · x + 2

−6 −24 −32 −16

x = −6

c)

x

−32

= = = = =

: 5 − 2�5 · 8 : (−10)

· 5 + 2�5 : 8 · (−10)

x

5x

5− 2�5

85· x − 20 − 8

50· x + 2

21�875 4�375 1�875 15x = 21�875

A c) feladat megoldása során érdemes az algebrai kifejezések sokféle alakját felsorolni.

Például:x

5=

15· x = x : 5 vagy

x

5· 8 = x : 5 · 8 = x · 8 : 5 =

15· x · 8 = 8 · 1

5· x =

85· x .


a)3 + x

10+ 4 = 6 x = 17 b)

x + 85

− 4 = 6 x = 42 c) (4 · x − 2) · 13 = 39 x = 1�25


a)

(5 · x − 10

5+ 1

)· 3 = 0�9 x = 1�3 b) (10 · x + 5) : 5 = 5 x = 2

c) {(x − 9) · 2 + 1} : 11 = −1 x = 3

529. Tamás bácsi újabb feladványa:

Gondolj egy pozitív számot! Én adok még hozzá háromszor annyit és még 6-ot. A kapott számfelét és még hármat dobd a Dunába!

Ha megmondod, hogy mit kaptál eredményül, én villámgyorsan megmondom, hogy milyenszámra gondoltál!


150

a) Hogyan tudja Tamás bácsi villámgyorsan kiszámítani, hogy milyen számra gondoltak agyerekek? A kapott eredmény fele lesz mindig a gondolt szám. Jelöljük a gondolt számot g-vel! Ígyírhatjuk le a feladványban szereplő összefüggéseket: (g+3g+6)−(4g+6) : 2−3 = 4g+6−2g−3−3 = 2g .

A műveletek elvégzése után egyszerű megállapítani, hogy mindig a gondolt szám 2-szeresét kapjuk azutasítások eredményeképpen.

b) Éva a 100-ra gondolt. A megadott műveletek elvégzése után mit kapott eredményül? Éva200-at kapott eredményül, mert (100 + 306) − (203 + 3) = 200.

c) Kázmér az 1-re gondolt. Milyen számot kapott eredményül? Kázmér 2-t kapott eredményül,mert (1 + 9) − (5 + 3) = 2.

d) Bence gondolt egy számot, és a fenti gondolatolvasó trükk minden lépését elvégezte vele.Hatot kapott eredményül. Milyen számra gondolt? Bence a 3-ra gondolt.

e) Zita 25-öt kapott eredményül. Milyen számra gondolt? Zita a 12�5-re gondolt, mert annak két-szerese a 25.

530. Ezen a 100-as táblán (100 szám szerepel az átfordítható négy-0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 51 52 53 54 55 56 57 58 5960 61 62 63 64 65 66 67 68 6970 71 72 73 74 75 76 77 78 7980 81 82 83 84 85 86 87 88 8990 91 92 93 94 95 96 97 98 99

zeteken) három számot fordítottunk át a fehér felére az ábránlátható módon. Eláruljuk, hogy mennyi a három fehér mezőnálló szám összege.Találd ki, melyik ez a három szám, és írd be a fehér mezőkbe!

Az a) és b) feladatokban a középső fehér mezőben lévő szám a másikkettő számtani közepe.

a) Az összeg 198.x−12

x

x+12

(x − 12) + x + (x + 12) = 198

3 · x = 198

x = 66

A három szám: 54, 66, 78.

b) Az összeg 216.

x+19

x

x−19c) Az összeg 149.

x

x−29

x+13

(x − 19) + x + (x + 19) = 216

3 · x = 216

x = 72


(x − 29) + x + (x + 13) = 149

3 · x − 16 = 149

3 · x = 165

x = 55



151

531. Sokszögeket és egy hasáb élvázát raktuk ki szívószáldarabkákból úgy, hogy a megegyező je-lűek ugyanolyan hosszúak. Írj egyenleteket az egyes síkidomok kerületéről, illetve az élvázhosszáról! Számítsd ki a különböző jelű szívószáldarabkák hosszát!

a) b) c) d)

k = 36 cm A deltoid oldalainakkülönbsége 5 cm.k = 36 cm

A húrtrapéz alap-jainak különbsége6 cm.k = 48 cm

A szabályos hatszögalapú hasáb oldalélei0�8 cm-rel hosszabbakaz alapéleknél.k = 40�8 cm

3 · p + 6 cm = 36 cm

p = 10 cm

2 · f + 2 · (f − 5) = 36

f = 11�5 cm

b = 6�5 cm

4s + (2s − 6) = 48

s = 9 cmAz egyik alap 18 cm,a másik alap 12 cm.

12 · x + 6 · (x + 0�8) = 40�8

x = 2Az alapél 2 cm,az oldalél 2�8 cm.


a) x + x + x + 4 = 5�5 x = 0�5 b) x + 3 · x + 2 = 40 x = 9�5c) 4 · x − x + 9 = 21 x = 4 d) x + 4 · x − 4 = 26 x = 6e) 6 · x + 9 − 4 · x = 25 x = 8 f) 10 + 2 · x − 6 + x = 16 x = 4

533. Az Airbus jelenleg a világ legnagyobb repülőgépgyártó vállalatai közé tartozik. A vállalat fo-lyamatos fejlesztésekkel igyekszik versenyben maradni. A gépcsaládokat betűvel és számokkalkülönböztetik meg egymástól. Például az Airbus A320 egy régebbi gyártású gépcsalád jelzése,az Airbus A340 jelű egy újabb gyártásúé. A gépcsaládon belül az egymástól valamiben eltérőgépeket egy további háromjegyű számmal azonosítják, például: Airbus A320–200 .

a) Egy A320-as gépen 2-szer annyi légiutas-kísérő és 90-szer annyi utashely van, mint pilóta.Összesen 186 személy utazhat a repülőgépen.

Hány utashely van a gépen? Jelöljük a pilóták számát p-vel! A légikísérők száma: 2p. Az utasokszáma: 90p. Az összes utazó személy száma: p + 2p + 90p = 186

93p = 186

p = 2

2 pilóta, 4 légikísérő és 180 utashely van a gépen. Válasz: 180 utashely van a gépen.Ellenőrzés: 2 pilóta + 4 légikísérő + 180 utashely = 186 utazó személy, 2-szer annyi a légikísérő és90-szer annyi az utashely, mint a pilóták száma.

b) Egy újabb fejlesztésű A340 -es gépen 2 pilóta teljesít szolgálatot. Ezen 29-szer annyi utas-hely van, mint légiutas-kísérő. Összesen 422 személy utazhat a repülőgépen.

Hány utashely van a gépen? Jelöljük a légikísérők számát s-sel! Az összes utazó személy száma:2 + s + 29s = 422

2 + 30s = 422

30s = 420

s = 14

2 pilóta, 14 légikísérő és 406 utashely van a gépen. Válasz: 406 utashely van a gépen.


152

Ellenőrzés: Az utasok száma 29-szerese az utaskísérőknek (29 · 14 = 406), összesen 2 + 14 + 406 = 422az összes utazó száma.

Volt-e valaha Magyarországon repülőgépgyár?

1913-ban alapították Budapesten a Magyar Repülőgépgyár Rt.-t, melyet az I. világháború után bezártak.1927-ben a Weiss Manfréd Műveket bízta meg a magyar kormány repülőgépgyár létrehozásával. Ezt a gyárata II. világháborúban semmisítették meg.

534. Öt egymást követő természetes szám összege 310. Melyek ezek a számok? Jelöljük a középsőszámot x -szel! Ezt az egyenletet írhatjuk fel: (x − 2) + (x − 1) + x + (x + 1) + (x + 2) = 310. Az összevonásután ezt az egyenletet kapjuk: 5x = 310

x = 62

Az öt szám: 60, 61, 62, 63, 64.

535. A ma élő legnagyobb termetű emberszabású majom a gorilla. Egy gorillacsalád hímjénél 30 kg-mal „soványabb” a nősténye, a kölyök tizedannyit nyom, mint a mamája. Ha együtt ráállnánaka mérlegre, az 492 kg-ot mutatna. Milyen nehezek külön-külön?

a) Három gyerek háromféle egyenletet írt a feladat szövege alapján. Mi a különbség oka?

Bence egyenlete: x + (x − 30) + (x − 30) : 10 = 492

Zita egyenlete: (x + 30) + x +x

10= 492

Lajos egyenlete: x + x · 10 + (x · 10 + 30) = 492

A gyerekek más-más ismeretlent jelöltek x -szel. Zita például a nőstény tömegét jelölte x -szel.

b) Oldd meg az egyenleteket! Válaszolj a feladatban szereplő kérdésre!

Bence Zita Lajos

A hímtömege[kg]

x x + 30 (10 · x + 30)

A nősténytömege[kg]

(x − 30) x 10 · x

A kölyöktömege[kg]

(x − 30) : 10x

10x

Egyenlet x + (x − 30) + (x − 30) : 10 = 492 x + 30 + x +x

10= 492 (10 · x + 30) + 10 · x + x = 492

Az egyen-let gyöke

x = 250 x = 220 x = 22

Bence Zita Lajos

A hímtömege[kg]

x x + 30 (10 · x + 30)

A nősténytömege[kg]

(x − 30) x 10 · x

A kölyöktömege[kg]

(x − 30) : 10x

10x

Egyenlet x + (x − 30) + (x − 30) : 10 = 492 x + 30 + x +x

10= 492 (10 · x + 30) + 10 · x + x = 492

Az egyen-let gyöke

x = 250 x = 220 x = 22

Válasz: a hím 250 kg, a nősténye 220 kg, kölykük 22 kg tömegű.

Ellenőrzés: Ha együtt ráállnának a mérlegre, az 492 kg-ot mutatna: 250 + 220 + 22 = 492 (kg).

Egy gorillacsalád hímjénél 30 kg-mal „soványabb” a nősténye: 250 − 220 = 30 (kg).

A kölyök tizedannyit nyom, mint a mamája: 220 : 10 = 22 (kg).


153

536. Mekkorák a háromszög szögei?

� = 40◦, � + 10◦ = 50◦ � = 55◦

� + 5◦ = 60◦

� + 10◦ = 65◦

� =(

1807

)◦

2 · � =(

3607

)◦

4 · � =(

7207

)◦

537. Mekkorák a háromszög szögei, ha a legnagyobb 15◦-kal nagyobb a legkisebbnél, és 10◦-kal aközépsőnél?(

5313

)◦,

(58

13

)◦,

(68

13

)◦

538. Egy jégkocka magasságának 1 tizede látszik ki a limonádéból, éppen 0�35 cm. Milyen magasa jégkocka? Melyik egyenlet írja le helyesen a szöveges feladatot?

a) x − 110

= 0�35 b) x − 110

· x = 0�35 c) x :110

= 0�35 d) x · 110

= 0�35

A jégkocka magassága 3� 5 cm, a d) egyenlet írja le helyesen.

539. Mi a közös ezekben a feladatokban?

a) Gondoltam egy számot, kivontam belőle 50-et, a különbséget megszoroztam 1�2-del, így600-at kaptam. Milyen számra gondoltam?

b) A karácsonyi díszcsomagolású bonbonokat az ünnepek után 50 Ft-tal olcsóbban adták, ja-nuárban pedig a csökkentett árat ötödével megemelték, így 600 Ft-ért árulták. Mennyibekerült a bonbon karácsonykor?

c) Egy iskolában az év végére 50 szék tönkrement. A maradék székek65

-szörösére tudnák az

új tanévet kezdő 600 gyereket leültetni. Hány székkel kezdték ezt a tanévet?

Mind a három feladatot ugyanazzal az egyenlettel lehet megoldani:

(g − 50) · 1�2 = (p − 50) · 1�2 = (sz − 50) · 65

= 600 g = p = sz = 550.

550 a gondolt szám, 550 Ft a bonbon karácsonyi ára és 550 a székek száma a tanév kezdetén.


a)5 · x − 8

3= −6 x = −2 b) x · 2�1 = 0�84 x = 0�4 c) 1�5 · x − 2 = 13 x = 10

d)−4 · x + 5

2= 1�5 x =

12

e) 7�2 : x = 3�6 x = 2 f) 60 :x − 5

4= 15 x = 21


154


a)14· x − 4

5= 2 x = 11

15

b)43· x +

34

=14x = −3

8

c) 1�6 · x − 0�8 = 2�4 x = 2 d) (x − 1�75) : 2 − 3�25 = −2�75 x = 2�75

542. Egy kétjegyű szám számjegyeit fölcseréltük, a kapott számhoz 21-et adtunk, majd az összegfelét vettük. Az így kapott szám számjegyeit fölcseréltük, így 82-t kaptunk. Melyik az eredetiszám?

Visszafelé göngyölgetve célszerű megoldani. Az eredeti szám: 53.

ab ba ba + 21 (ba+21) · 2=cd dc

53 35 56 28 82

csere + 21 : 2 csere

csere − 21 · 2 csere

= = = = =

543. Egy kártyajátékos hétfőn néhány ezer forinttal leült játszani, és megduplázta a pénzét. Ked-den elvesztett 8 ezer forintot, szerdán megint megduplázta a pénzét, csütörtökön megintelvesztett 8 ezer forintot. Pénteken megint megduplázta a pénzét, és szombaton vesztett 8ezer forintot. Így esett, hogy vasárnapra üres lett a zsebe.

Mennyi pénzzel ült le játszani hétfőn?

A kártyajátékos 7000 Ft-tal ült le játszani. „Visszafelé okoskodva” oldhatjuk meg ezt is vagy így:

x 2 · x 2 · x − 8000 4 · x − 16 000 4 · x − 24 000

8 · x − 48 000 8 · x − 56 000 = 0

· 2 − 8000 · 2 − 8000 · 2

− 8000

: 2 + 8000 : 2 + 8000 : 2

+ 8000Ebből: 8 · x − 56 000 = 0

x = 56 000 : 8 = 7000

544. Egy lovasgazda négy fiára összesen 45 lovat hagyott. A legidősebb szerzett még kettőt,a második fiú kettőt eladott, a harmadik megduplázta a lóállományát, a legkisebb eladtalovainak a felét. Így mindannyiuknak ugyanannyi lova lett.

Mennyi lovuk volt külön-külön?

Visszafelé göngyölgetve célszerű a feladatot megoldani. A fiúknak 8, 12, 5 és 20 lovuk volt.

ennyi volt

a végén ennyilovuk lett

1. fiú 2. fiú 3. fiú 4. fiú az így felírható egyenletx − 2 x + 2 x : 2 x · 2

x x x x

−2 +2 : 2 ·2x − 2 + x + 2 + x : 2 + x · 2︸︷︷︸ = 45

4�5 · x = 45

x = 10


155

Egyenlőtlenségek megoldása, szöveges feladatok

545. Mennyi pénz lehet egy borítékban, ha egy-egy feladatban az ugyanolyan színűekben ugyan-annyi pénz van? Minden képről írj egy egyenlőtlenséget, és oldd is meg!

a)

x�

6�2 + x � 10

x � 3�8 Legfeljebb 3 euró és 80 eurócent van a borítékban.

b)

x

x �

2 · x + 23 � 50

2 · x � 27

x � 13�5 Legalább 15 euró és 50 eurócent van a borítékban.

c)

x

x

x

x �

4 · x + 200 �500

4 · x �300

x �75 75 eurónál kevesebb összeg van a borítékban.

d)

x

x

x

�

3 · x + 10�96 100

3 · x 89�04

x 29�68 29 euró és 68 eurócentnél nagyobb összeg van a borítékban.


156

546. 5 · x + 6 : 3 − 4�8

5 · x + 6 : 3 − 4 �8

5 · x + 2 − 4 �8

5 · x − 2 �8

5 · x �10

x �2

Mely számok teszik igazzá az egyenlőtlenséget, ha

a) x a 9-nek pozitív osztója; x = 1

b) x negatív egész szám; x bármilyen negatív egész szám lehet.

c) x nagyobb 10-nél? Nincs ilyen x szám.

Ábrázold számegyenesen is az a), b) és c) feladatok megoldását!

a) x

10 10

b) x

−10 10

547. Tegnapelőtt hidegebb volt, mint tegnap, tegnap melegebb volt, mint ma. A három napot tekint-ve mikor volt a legmelegebb?

Tegnap volt a legmelegebb.

548. Az alábbi egyenlőtlenségek megoldását számegyenesen is ábrázoltuk. Add meg az összetarto-zók betűjelét! a)–B); b)–D); c)–A); d)–C)

a) 3 · (x − 6)�9 b) 3 · x − 6�9 c)52· x + 10�5 d)

52· (x + 10)�5

A) B)x

0 10x

0 10C) D)

x0−10

x0 10

549. Oldd meg a szöveges feladatokat! A megoldási tervedet írd fel egyenlőtlenséggel is!

a) 1 kg alma ára 400 és 500 Ft között mozog ma a piacon. Hány kg almát vehetek, ha 2000 Ft-om van almára?

Jelöljük x -szel 1 kg alma árát! 400 �2000x

� 500. Legalább 4 kg, legfeljebb 5 kg almát vehetünk.

b) Ha 8 szelet mogyorós csokit vennék, 2000 Ft-nál kevesebbet fizetnék, de ha 10 szeletetvennék, akkor 2000 Ft-nál többet fizetnék. Mennyibe kerülhet egy szelet csoki? Jelöljükx -szel 1 szelet csoki árát! 8 · x �2000 és 10 · x 2000, azaz 200 �x �250.

1 szelet csoki ára 200 Ft-nál több, 250 Ft-nál kevesebb.

c) Egy kolibri szívdobbanásainak száma percenként 500 és 1200 között van. Mennyit dobban-hat egy másodperc alatt? Jelöljük x -szel a kolibri 1 másodperc alatti szívdobbanásainak számát!

50060

� x �1200

60, 8-nál többet, maximum 20-at dobbanhat a szíve 1 másodperc alatt.

Átlagosan mennyit csap a szárnyaival a kolibri 1 másodperc alatt?A kolibri átlagosan 80-at csap a szárnyaival 1 másodperc alatt.


157

550. Egy halkereskedő mai árajánlata a következő:

820 Ft 760 Ft 960 Ft Ft

Az ugyanolyan halak ára ugyanannyi.

a) Melyik fajta hal a legolcsóbb? A sárga a legolcsóbb, darabja 140 Ft.

b) Melyik a legdrágább? A lila a legdrágább, darabja 280 Ft.

c) Összesen mennyibe kerülnek a 4. akváriumban lévő halak? A 3. akváriumról leolvasható, hogy1 kék és 1 lila hal ára összesen 480 Ft.A 2. akváriumban lévő halak árából levonva 1 kék és 1 lila hal árát, azt kapjuk, hogy 1 sárga hal ára(760 Ft − 480 Ft) : 2 = 140 Ft.A 4. akváriumban lévő halakért (960 + 140) Ft = 1100 Ft-ot kell fizetni.


a) x · 5 + 3�8 x �1 b) x · 4 − 11�−3 x 2 c) 2 · x + 3�113

x �13


a) 5 · (x + 3) � 8 x � −125

b) 5 · (x + 3) − 2 � 8 x � −1 c) (x + 5) : 3 − 2 � 8 x � 25

553. Többet ésszel, mint erővel! Írj megfelelő (�,�) jelet az alábbi két-két szám közé!

a) 8 + 2 · 8 + 5 · 8 + 3 �10 · 8 + 5 b) 5 +53

+56�2 · 5 c) 7 − 7

2− 7

4

78


a) x + 2 · x + 5 · x + 18�58 x �5 b) x +x

2+x

3+x

6�2 · x Nincs ilyen x szám.

c) x − x3− x

6�x

2Nincs ilyen x szám.


a) 5 · x + x + 4�58 x �9 b) 5 · 4 + x + x�58 x �19

c) x + 5 + x · 4�58 x �10�6


a)x

6+ 3 � −9 x � −72 b)

x + 36

� −9 x � −57

c)x + 3

6− 3 � −12 x � −57


158


a) x · 13�

103

x � 10 b) x · 54� 20 x � 16

c) x : 0�5�0�25 x 0�125 d) x :32� 12 x � 8

558. Mi ér többet: 1 kg ötforintos vagy fél kg tízforintos, ha a tízforintos kicsivel nehezebb azötforintosnál? Válasz: Az 1 kg ötforintos ér többet. Indoklás: Ha egy ötforintos tömege éppen fele lenneegy tízforintosénak, akkor egyenlő lenne 1 kg ötforintos és fél kg tízforintos értéke. Mivel egy tízforintoscsak kicsivel nehezebb egy ötforintosnál, azaz nem kétszerese annak, ezért a fél kg tömegű tízforintos értékenem kétszerese az 1 kg tömegű ötforintosnak, hanem annál kevesebb.

559. Van hat, külsőre egyforma, de csupa különböző tö-megű bőröndünk. Rendelkezésünkre áll egy kétkarúmérleg, de nincsenek hozzá mérőtesteink.a) Legalább hány méréssel tudjuk kiválasztani a leg-

nehezebbet? Kiválasztjuk bármelyik kettőt, és rátesszüka mérlegre. A nehezebbet rajtahagyjuk, és egy újabbatteszünk a könnyebb helyére. Ezt az eljárást folytatva 5méréssel kiválasztható a legnehezebb.

b) Legalább hány méréssel tudjuk kiválasztani a legkönnyebbet és a legnehezebbet? A bő-röndöket kettesével mérlegeljük. A párok közül egy csoportba kerülnek a könnyebbek, és egy másikcsoportba a nehezebbek. Ezek közül az a)-ban ismertetett eljárással kiválasztjuk 2-2 méréssel a leg-könnyebbet, illetve a legnehezebbet. Összesen 7 mérés szükséges.

c) Hány különböző tömegű bőrönd közül tudjuk legkevesebb 9 méréssel kiválasztani a leg-könnyebbet? Tíz.

d) Hány különböző tömegű bőrönd közül tudjuk kiválasztani a legkönnyebbet és a legne-hezebbet legalább 16 méréssel? Tizenkettő.

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel,szöveges feladatok

(Kiegészítő tananyag)

560. A kétkarú mérlegek egyensúlyban vannak. A bal oldali mérlegen lévő bögrék tömege meg-egyező. A mérőtesteken csak a mérőszámuk szerepel, a mértékegységük kg. Add meg a tárgyaktömegét! Írj a mérlegekről egyenleteket! Oldd is meg azokat!

a) 3 + 2b = 2 + 4b − 2b

3 = 2 + 2b − 2

1 = 2b

b =12

Egy bögre tömege fél kg.


159

b) 2 + t = 6�5 − 2

t = 4�5

A gyümölcsöstál tömege 4�5 kg.

561. Egy-egy mérleg mindkét serpenyőjébe ugyanolyan kinézetű és tömegű tárgyakat tettünk. A két-karú mérlegek egyensúlyban vannak. A mérőtestekre a tömegük mérőszámát írtuk rá, minde-gyik egysége kg.

Add meg a színessel rajzolt testek tömegét! Írj a mérlegekről egyenleteket! Oldd is meg azokat!

a) b) c)

= 5 = 7 = 6

d) e) f)

= 4 = A golyó tömege bármek-kora lehet, azonosság.

= 4

562. Válaszd ki azokat az egyenleteket, amelyeket ugyanazok a számok tesznek igazzá, mint a sorelején állót! Karikázd be a megfelelő egyenletek betűjelét!

Az egyenletek megoldásával ellenőrizd választásod helyességét!

a) 3 · x = 6 A) 3 · x − 2 = 4 B) 3 · x + 4 = 10 C) 4 · x = 6 + x

b) 2 · x = −4 A) 6 · x = 4 · x − 4 B) 4 · x + 2 = 2 · x − 2 C) 10 · x = −12

c) 10 · x + 4 = 7 · x + 10 A) 3 · x = 6 B) 10 · x − 2 = 7 · x + 4 C) 9 · x = 18

563. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! Írd be a megfelelő halmazábrába az egyenlőtlenségek betű-jelét!

a) 3 · x + 2�10 + x b) 2 · x�4 · x c) x + 5�x + 6

d) 9 · x + 3�12 + 6 · x e) 5 · x + 2�5 · x f) 2 · x + 3�4 · x + 3

Minden számigazzá teszi

e)

Van olyan szám, amely igaz-zá teszi, de nem mindegyik

a) b) d) f)

Nincs olyan szám,amely igazzá teszi

c)

564. Pali 4 kg-mal nehezebb, mint Kati, Kati 6 kg-mal könnyebb, mint Gábor. Édesanyjuk 70 kg,édesapjuk 81 kg. Hány kg lehet Pali, ha mindnyájan beszállhatnak abba a liftbe, amelyen eza kiírás áll: „Maximális terhelés 260 kg”?Válasz: Pali tömege maximum 37 kg lehet.Indoklás: Jelöljük Kati tömegét k -val! Pali tömege: k + 4, Gábor tömege: k + 6.A szöveg alapján felírható egyenlőtlenség: 70 + 81 + k + (k + 4) + (k + 6) � 260


160

Összevonás után ezt kapjuk: 161 + 3 · k � 260

k � 33

Kati tömege maximum 33 kg, Palié maximum 37 kg, Gáboré maximum 39 kg lehet.

565. Zoli minden álma egy új, 24 sebességes kerékpár. Ezt csak akkor kapja meg, ha az év végibizonyítványa legalább 4�8 átlagú lesz. Hat tantárgyból ötösre áll, egy tantárgyból biztosanhármas lesz. A többi három osztályzat még sokféleképpen alakulhat.

Hányast kellene kapnia ezekből a tantárgyakból, hogy a vágya valóra váljon?

Válasz: Mindhárom jegynek 5-ösnek kell lennie.

Indoklás: Jelöljük a három nem ismert osztályzat összegét x -szel! A szöveg alapján ez az egyenlet írhatófel: (6 · 5 + 3 + x ) : 10 = 4�8

x = 4�8 · 10 − 33 = 15

A három nem ismert jegy összege 15, ezért mindháromnak ötös osztályzatnak kell lennie.

566. A 6. b osztály az osztálykirándulás mindkét napján 1-1 órát vízibiciklizett a Balatonon. Az elsőnapon 2 db csúszdás és 4 normál vízibiciklit béreltek. A második napon mindenki csúszdássalakart menni, ezért 6 db csúszdásat béreltek, így 800 Ft-tal többet fizettek.

a) Hány forinttal drágább a csúszdás vízibicikli 1 órás kölcsönzői díja?

Válasz: Egy csúszdás vízibicikli 1 órás kölcsönzési díja 200 Ft-tal drágább.

Indoklás: Írjuk fel egyenlettel az összefüggéseket! Jelöljük cs-vel egy csúszdás és n-nel egy normálvízibicikli kölcsönzési díját! 2 · cs + 4 · n + 800 = 6 · cs . Az egyenletet megoldva ezt kapjuk: n + 200 = cs

b) Mennyiért lehetett bérelni a csúszdás vízibiciklit, ha az első napon 10 ezer forintot fizettek?

Válasz: Egy csúszdás vízibiciklit 1800 Ft-ért lehetett bérelni.

Indoklás: Az a) feladatrész egyenletébe behelyettesítve a csúszdás vízibiciklire kapott értéket ezt kapjuk:2 · (n + 200) + 4 · n = 10 000

Ezt az egyenletet megoldva arra az eredményre jutunk, hogy a normál vízibiciklit 1600 Ft-ért, a csúszdást1800 Ft-ért lehet bérelni. A szövegnek megfelel az eredményünk.

567. Hogyan lehet 57 eurót 15 pénzérmével kifizetni, ha csak 2 és 5 eurósokkal rendelkezünk?

Válasz: 9 db 5 eurós és 6 db 2 eurós pénzérmével lehet 57 eurót kifizetni.

Megoldás: Jelöljük az 5 eurósok számát x -szel! x · 5 + (15 − x ) · 2 = 57

x · 5 + 30 − x · 2 = 57

x · 3 + 30 = 57

x · 3 = 27

x = 9

Ellenőrzés: 9 db 5 eurós értéke 45 euró, 6 db 2 eurós értéke 12 euró. A kettő összege éppen 57 euró.

568. Egy tízezrest felváltottunk 100 és 200 forintosokra, és éppen 90 pénzérmét kaptunk érte. Hány100-as pénzérme volt köztük? Válasz: 80 db 100-as és 10 db 200-as pénzérme volt köztük.

Indoklás: Jelöljük a 200 forintosok számát x -szel! x · 200 + (90 − x ) · 100 = 10 000

x · 200 + 90 · 100 − x · 100 = 10 000

x · 100 + 9000 = 10 000

x · 100 = 1000

x = 10

Ellenőrzés: 80 db 100-as értéke 8000 Ft. 10 db 200-as értéke 2000 Ft. A kettő összege éppen 10 000 Ft.


161

569. Mindkét mérleg egyensúlyban van.

a) Hány golyó tömegével egyenlő egy kúp tömege? 1 kúp = 4 golyó

b) Hány golyó tömegével egyenlő egy henger tömege? 1 henger = 8 golyó

c) Hány kúp tömegével egyenlő egy henger tömege? 2 kúp = 1 henger

570. Hét teherautóval, amelyek teherbírása egyenként 3 t, 50 db kőtömböt szeretnénk elszállítani.A kövek rendre 370, 372, � � � , 468 kg-osak, azaz mindegyik 2 kg-mal nehezebb a sorbanelőtte állónál. El lehet-e egy fordulóval szállítani a köveket?

A kőtömbök nem szállíthatók el egy fordulóval, mert a 7 teherautó közül legalább egyre 8 db kőtömbötkellene feltenni.

A 8 db legkönnyebb kőtömb is túlterhelné az autót, mert 370 + 372 + � � � + 384 = 3016 (kg) 3 t.


162

Arányos következtetések, százalék

571. Egy csomagban lévő 5 db rágógumi 210 Ft-ba kerül. Mennyit kell fizetni 17 db rágóért?1 db 42 Ft

17 db 714 Ft

572. Egy dobozos gyümölcslé 240 Ft-ba kerül. Hány ilyen gyümölcslét tudunk vásárolni 1000 Ft-ból?

4 dobozzal tudunk vásárolni, és megmarad 40 Ft.

573. Egy db 1 eurós érme magassága 1�2 mm. Milyen magas lenne az 1 millió db 1 eurós érmébőlépített henger alakú torony?(Számolás előtt becsüld meg a várható magasságot!)

1 200 000 mm = 1200 m = 1�2 km

574. A táblázatban szereplő adatok 1�5 literes palackokra vonatkoznak. Töltsd ki a táblázat üresablakait!

Ásványvíz (palack) 5 7 1 6 12 18

Ár (Ft) 450 630 90 540 1080 1620

Ásványvíz (palack) 5 7 1 6 12 18

Ár (Ft) 450 630 90 540 1080 1620

575. A mobiltelefonálás percdíja a VILLÁM szolgáltatónál 48 Ft. Józsi ezzel nincs megelégedve,ezért a GONDOS szolgáltatót választja. Ők 5 perc beszélgetésért 160 Ft-ot kérnek. Többet vagykevesebbet fog fizetni Józsi 20 perc beszélgetésért?

VILLÁM: 20 perc 960 Ft; GONDOS: 20 perc 640 Ft, itt 320 Ft-tal olcsóbb a telefonálás.

576. A tej ára nem azonos a különböző üzletekben.

A táblázatban négy különböző élelmiszerbolt árai szerepelnek. Töltsd ki a hiányzó adatokat!

JÓLJÁRSZ GYEREBE TUTI RENDESTej meny-

nyisége(liter)

Tej ára(Ft)

Tej meny-nyisége(liter)

Tej ára(Ft)


Tej ára(Ft)


Tej ára(Ft)

1 180 1 140 6 1800 1 240

3 540 2 280 2 600 10 2400

5 900 4 560 4 1200 3 720

JÓLJÁRSZ GYEREBE TUTI RENDESTej meny-

nyisége(liter)

Tej ára(Ft)


Tej ára(Ft)


Tej ára(Ft)


Tej ára(Ft)

1 180 1 140 6 1800 1 240

3 540 2 280 2 600 10 2400

5 900 4 560 4 1200 3 720

Hol a legolcsóbb és hol a legdrágább 1 liter tej? A GYERE BE üzletben a legolcsóbb, a TUTI üzletbena legdrágább a tej.

577. Panni napi időbeosztása a táblázatban olvasható. Egy egész nap hányad részét teszik ki Pannielfoglaltságai? Töltsd ki a táblázatot! 120 perc = 2 óra, 90 perc = 1�5 óra, 30 perc = 0�5 óra

Elfoglaltság Iskola Utazás Tanulás Sport Olvasás Étkezés,tisztálkodás

Játék Alvás

Idő 6 óra 2 óra 120 perc 3 óra 1 óra 90 perc 30 perc 8 óra

A nap hányadrésze?

14

112

112

18

124

116

148

13

Elfoglaltság Iskola Utazás Tanulás Sport Olvasás Étkezés,tisztálkodás

Játék Alvás

Idő 6 óra 2 óra 120 perc 3 óra 1 óra 90 perc 30 perc 8 óra

A nap hányadrésze?

14

112

112

18

124

116

148

13


163

578. Sajtos rakott zöldség hat személy részére. Hozzávalók: 1 kg vegyes zöldség (zöldbab, sárgaré-pa, spárga, karalábé, kelbimbó, karfiol), 3 dkg vaj, 3 dl tej, 3 dkg liszt, 2 dl tejföl, 15 dkg reszeltedami sajt, 1 evőkanál olaj, 1 csapott kávéskanál só. Határozd meg a szükséges alapanyagokmennyiségét 8 személy részére!

vegyeszöldség vaj tej liszt tejföl edami sajt olaj só

1 személy16

kg12

dkg12

dl12

dkg13

dl52

dkg16

evők.16

kávésk.

8 személy43

kg 4 dkg 4 dl 4 dkg83

dl 20 dkg43

evők.43

kávésk.

vegyeszöldség vaj tej liszt tejföl edami sajt olaj só

1 személy16

kg12

dkg12

dl12

dkg13

dl52

dkg16

evők.16

kávésk.

8 személy43

kg 4 dkg 4 dl 4 dkg83

dl 20 dkg43

evők.43

kávésk.

579. 1�5 literes, teli üdítősüvegből hány 3 deciliteres poharat tölthetünk meg? Hányad része a pohártérfogata az üvegének? Egy 20 tagú társaságnak hány üveg üdítőt kell venni, ha mindenki3 decilitert szeretne inni?

1�5 l = 15 dl, tehát 5 db 3 dl-es poharat tölthetünk meg.

Vagyis a pohár térfogata3

15=

15

része az üvegének.

20 · 3 dl = 60 dl = 6 l-t szeretne inni egy 20 tagú társaság. Ehhez6

1�5= 4 üveg üdítőt kell venni.

580. Lóri gyalogosan 5 óra alatt tesz meg 15 km utat. Kerékpárral hatszor olyan gyorsan, motorralpedig hússzor olyan gyorsan halad.

Mennyi idő alatt teszi meg ugyanezt az utat kerékpárral, illetve motorral?

Gyalogosan: 1 km-t5

15óra =

13

óra alatt tesz meg Lóri.

Kerékpárral: 1 km-t16· 1

3óra =

118

óra alatt,

így 15 km-t 15 · 118

óra =56

óra = 50 perc alatt tesz meg.

Motorral: 1 km-t1

20· 1

3óra =

160

óra alatt,

így 15 km-t 15 · 160

óra =14

óra = 15 perc alatt tesz meg.

581. A legkisebb emlősállat a thaiföldi dongódenevér. Hossza 2�5 cm, tömege 2 g. A legnagyobbemlősállat pedig a kék bálna. Hossza 26 m, tömege 120 t. Írd fel, hányad része a legkisebbemlősállat hossza és tömege a legnagyobb emlősállaténak!

A dongódenevér hossza2�5 cm

2600 cm=

11040

része a kék bálna hosszának.

A dongódenevér tömege2 g

120 000 000 g=

160 000 000

, vagyis 60 milliomodnyi része a kék bálna tömegének.

582. A tavaszi áradáskor egy folyó menti községben, Rétfaluban naponta megmérték a vízszint emel-kedését. Április 20-án a víz szintje 260 cm-re volt az 5 méter magas gát tetejétől. Az ezt követőnapokon a folyó vízszintjének emelkedése közelítőleg egyenletes, napi 15 cm volt. Átlépte-e afolyó május 4-én a föld szintjétől (0 méter) 5 méterre emelkedő gátat?

Április 20-tól május 4-ig 14 nap telik el. Ezalatt 14 · 15 cm = 210 cm-t emelkedik a víz szintje.260 cm + 210 cm = 470 cm. Az 5 m magas gát teteje ettől 30 cm-re van, a folyó nem lépte át a gátat.


164

583. 120 cm széles vászon 1 méter hosszú darabjá-

1 m

120 cm

12

m

12

m

ból 8 db 30 cm széles kis terítőt tudunk készíte-ni. Mekkora a hossza ezeknek a kis terítőknek?Ha 5 méter anyagunk van, jut-e az ebédlő minda 75 asztalára?Az ábrán látható elrendezés szerint 8 db egyformahosszúságú terítőt készítünk az 1 m hosszú vászonból,

így12

m a kis terítők hossza.

1 m hosszú vásznon 8 db kis terítő fér el.

5 m hosszú vásznon 40 db kis terítő fér el.

Tehát nem jut az ebédlő mind a 75 asztalára.

584. Egy téglalap oldalai 5�4 cm és 3�6 cm hosszúak. Egy másik téglalap minden megfelelő oldala23

-a az előzőnek. Határozd meg mindkét téglalap kerületét és területét!

Oldalak Kerület [cm] Terület [cm2]

Első téglalap 5�4 cm, 3�6 cm 2 · 5�4 + 2 · 3�6 = 18 5�4 · 3�6 = 19�44

Második téglalap 3�6 cm, 2�4 cm 2 · 3�6 + 2 · 2�4 = 12 3�6 · 2�4 = 8�64

Oldalak Kerület [cm] Terület [cm2]

Első téglalap 5�4 cm, 3�6 cm 2 · 5�4 + 2 · 3�6 = 18 5�4 · 3�6 = 19�44

Második téglalap 3�6 cm, 2�4 cm 2 · 3�6 + 2 · 2�4 = 12 3�6 · 2�4 = 8�64

585. Hogyan változik a tört értéke, ha Az eredeti tört értéke:a

b.

a) a számlálóját kétszeresére növeljük, a nevezőjét pedig nem változtatjuk;2 · ab

= 2 ·(a

b

), tehát a tört értéke kétszeresére növekszik.

b) a nevezőjét háromszorosára növeljük, számlálóját pedig nem változtatjuk;a

3b=

13·(a

b

), tehát a tört értéke egyharmadszorosára változik.

c) a számlálóját kétszeresére, a nevezőjét pedig háromszorosára növeljük?2 · a3 · b =

23·(a

b

), tehát a tört értéke kétharmadszorosára változik.

Egyenes arányosság

586. A piacon 1 db jércetojás 38 Ft, 1 db tyúktojás 45 Ft. Töltsd ki a táblázatot!

Mennyiség 10 db 20 db 25 db 30 dbJércetojások ára (Ft) 380 760 950 1140

Tyúktojások ára (Ft) 450 900 1125 1350

Mennyiség 10 db 20 db 25 db 30 dbJércetojások ára (Ft) 380 760 950 1140

Tyúktojások ára (Ft) 450 900 1125 1350

587. Negyed kg azonnal oldódó kakaóporból 40 csésze kakaóitalt tudunk készíteni. Hány csészeugyanilyen keverékű ital készíthető 800 g kakaóporból? 800 g kakaóporból 128 csésze kakaóitalkészíthető.

588. Nyári magánnapköziben 6 gyerek napi étkeztetése 10 800 Ft. 1 gyerek 1 800 Ft15 gyerek 27 000 FtMennyibe kerül 15 gyerek étkeztetése?


165

589. Panni születésnapjára 3 barátnőjét hívta meg. Anyukája 12 db palacsintát sütött nekik, és meg-hagyta, hogy mindenki ugyanannyit egyen. Hány palacsintát kell még sütnie, ha 2 vendéggeltöbb érkezik, és mindenki szeretné megenni az eredetileg neki szánt mennyiséget?

Mindenki124

= 3 db palacsintát eszik.

Ha még 2 vendég érkezik, akkor 2 · 3 = 6 db palacsintát kell még készítenie.

590. Egy személygépkocsi 100 km út megtételekor 6�8 liter benzint fogyaszt. Ezt az egyenletesfogyasztást feltételezve mennyit fogyaszt 10 km, 28 km, 40 km, 56 km, 80 km, 250 km és400 km út megtétele alatt?

Készíts kilométer-liter tábláza- Út (km) 100 10 28 40 56 80 250 400

Fogyasztás (l) 6�8 0�68 1�904 2�72 3�808 5�44 17 27�2

Út (km) 100 10 28 40 56 80 250 400

Fogyasztás (l) 6�8 0�68 1�904 2�72 3�808 5�44 17 27�2tot, és megfelelő beosztást vá-lasztva a koordinátatengelye-ken ábrázold a fenti számpárokhoz tartozó pontokat!

05

1015202530

Út (km)

Fog

yasz

tás

(l)

0 100 200 300 400

591.

Megtett út [km]

Eltelt idő [óra]

10 20 30 40 50 60 70 80

12345

Elek egyenletes tempóban kerékpározik a Tisza-tó partján, egy óra alatt 16 km-t tesz meg. Hányóra alatt ér vissza kiindulási helyére, ha tudjuk, hogy a Tisza-tó körüli kerékpárút 80 km? Hánykm-t tesz meg 2 óra, 3 óra, 4 óra alatt?Készíts értéktáblázatot, majd ábrázold amegtett út és az eltelt idő közti összefüg-gést derékszögű koordináta-rendszerben!

Idő 1 2 3 4 [óra]

Út 16 32 48 64 [km]

Idő 1 2 3 4 [óra]

Út 16 32 48 64 [km]

80 km-t 5 óra alatt tesz meg.

592. Egy háromnapos tanulmányi kirándulás bérelt autóbusszal fejenként 12 000 Ft-ba került. Hánydiák ment kirándulni, ha az összköltség 384 000 Ft volt? 384 000 : 12 000 = 32 diák ment kirándulni.

593. Hanyag Józsi edzésre sietve nem zárta el rendesen a vízcsapot. Anyukája, aki 14 perc múlvajött haza, már 8�4 dl vizet talált a csap alatt álló kancsóban. Hány liter vizet pocsékolt volna elJózsi, ha csak 2�5 óra múlva jött volna haza valaki a családból? 2�5 óra = 150 perc alatt 90 dl = 9 lvíz gyűlik össze a kancsóban. Tehát 9 litert pocsékolt volna el Józsi.

594. Egy babákat készítő automata gép 3 óra alatt 110 db baba 3 óra alatt≈ 36�6 baba 1 óra alatt500 db baba ≈ 13�6 óra alatt készül el.

110 db babát készít. Mennyi idő alatt készít el500 db babát, ha a teljesítménye állandó?

Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a valóságban nem minden mennyiség adható meg egészszámmal. A ≈ 36�6 baba arra utal, hogy a babakészítés művelete folyamatos.


166

595. Apuka az 580 m2-es telkét rotációs kapával 1�75 óra alatt gyomtalanítja. Mennyi időbe telik,ha ugyanezt a műveletet elvégzi (ugyanilyen feltételekkel) testvére 800 m2-es kertjében?

A 800 m2-es kertet800580

· 1�75 óra ≈ 2�41 óra, tehát körülbelül 2 óra 24 perc alatt kapálja fel.

A tanulók nézzenek utána az interneten, hogy milyen eszköz a rotációs kapa, és hogy ezen kívülmilyen földművelő gépekkel dolgoznak a falusi gazdák.

596. Két mennyiség között olyan egyenes arányosság van, amelynek grafikonja áthalad az (5; 4)koordinátájú ponton. Add meg az arányosságot leíró képletet! Írj szöveget a feladathoz!

A képlet többféle alakban is elfogadható. Néhány példa: y =45· x , y = 0�8 · x

Pisti gyufaszálakból 5 óra alatt 4 vitorlás hajót készít el. Mennyi idő alatt készül el 2 db ugyanilyen hajó, haPisti ugyanolyan tempóban dolgozik?

597. Repülőn történő utazáskor minden utas csak a szabályban meghatározott tömegű poggyásztadhatja fel külön díjazás nélkül. A LÉGHAJÓ társaságnál a szabály legfeljebb 20 kg-ot ír elő.Efelett az utasnak minden kg után 6 zsetont kell bedobni az automatába, mert a futószalag csakígy engedi át a csomagot a bejáratnál. Egy zseton 150 Ft-ba kerül. Hány Ft-ot kell fizetni annakaz utasnak ezen a repülőn, aki 34 kg-os csomagot visz magával? Egyenes arányosság van-e acsomag tömege és a fizetendő összeg között?

34 kg − 20 kg = 14 kg a többlet. 1 kg többlet ára 6 · 150 Ft = 900 Ft. 14 kg többlet ára 12 600 Ft.

A csomag tömege és a fizetendő összeg között nincs egyenes arányosság, mert pl:

A csomag tömege (kg) 20 21 22

A csomag ára (Ft) 0 900 1800

A csomag tömege (kg) 20 21 22

A csomag ára (Ft) 0 900 1800

Százalékszámítás

598. Mennyi 350-nek a

a) 10%-a, 350 · 0�1 = 35,10

100=

110

b) 25%-a, 350 · 0�25 = 87�5,25

100=

14

c) 40%-a, 350 · 0�4 = 140,40

100=

25

d) 75%-a, 350 · 0�75 = 262�5,75

100=

34

e) 120%-a, 350 · 1�2 = 420,120100

=65

f) 200%-a? 350 · 2 = 700,200100

= 2

A megadott százaléklábakat fejezd ki a lehető legegyszerűbb törtrésszel is!

599. Mennyi 1530-nak a

a) 0�1%-a, 1�53 b) 2�25%-a, 34�425 c) 42�7%-a, 653�31 d)100

3%-a? 510

600. Fejezd ki az alábbi törtrészeket százalék alakban!

15

rész 20%24

rész 50%2520

rész 125%1215

rész 80%3310

rész 330%14

1000rész 1�4%


167

601. Írd fel az alábbi, százalékban kifejezett részeket a lehető legegyszerűbb törtrész alakban!

10%1

102%

150

45%9

20120%

65

90%9

10

125%54

12%3

25140%

75

100% 1

602. Kösd össze az egyenlőket!

12 5%

0�01 65 1%

50%

140% 34

120%25 1�4

75%

40%

5100

12

= 50% 5% =5

100120% =

65

0�01 = 1%25

= 40% 1�4 = 140% 75% =34

603. Melyek egyenlők?

75014

-e 45045

-e 250 75%-a 61052

-e 3050 50%-a 4500 8%-a

750 · 14

= 250 · 75100

= 187�5 450 · 45

= 4500 · 8100

= 360 610 · 52

= 3050 · 50100

= 1525

604. A táblázatba rajzolt körök területe legyen egységnyi.a) Rajzold be a megadott részeknek megfelelően a körcikkeket, és színezd ki azokat!b) Fejezd ki a törtrészeket százalék alakban, a százalék alakban megadott részeket pedig tört-

részben!c) Az így kapott kördiagramokhoz készíts szöveges feladatokat!

Törtrész35

14

45

23

Kördiagramok

216 ◦

90◦

288 ◦

240 ◦

Százalék alak 60% 25% 80%(

6623

)%

Törtrész35

14

45

23

Kördiagramok

216 ◦

90◦

288 ◦

240 ◦

Százalék alak 60% 25% 80%(

6623

)%

605. A 6. a osztály egy háromnapos, 50 km-es gyalogtúrát szervezett. Az első napon megtettéka tervezett út 36%-át. A második napon a maradék út 50%-át. Hány km maradt a harmadiknapra? Ez hányad része az egész útnak? Az első nap után 50 km − 0�36 · 50 km = 32 km, a második

nap után 32 km−0�5 ·32 km = 16 km maradt hátra. Ez1650

=32

100=

825

része, vagyis 32%-a az egész útnak.

606. Iskolánkban a 96 hatodikos tanuló 56�25%-a lány. Hány fiú és hány lány jár a hatodik év-

folyamba? A lányok(33

13

)%-a az A osztályba,

1027

része a B osztályba, a többi a C-be jár.

Mennyi a lányok száma az egyes osztályokban?A hatodik évfolyamba járó lányok száma: 96 · 0�5625 = 54, fiúk száma: 96 − 54 = 42.

Az A osztályba járó lányok száma: 54 · 13

= 18, a B osztályba járó lányok száma: 54 · 1027

= 20, a C osztályba

járó lányok száma: 54 − (18 + 20) = 16.


168

607. A hideg éghajlatú zónában élő állatok közül például a rénszarvas −31 ◦C-os hidegben ké-pes a testének kevésbé védett területeire történő véráramlást meggátolni. Ezért szájának éslábának hőmérséklete jóval alacsonyabb, mint 38 ◦C-os testhőmérséklete. Milyen lehet a rén-szarvas szájának és lábának hőmérséklete, ha az előbbi a testhőmérsékletnek 53%-a, az utób-bi pedig 24%-a? A rénszarvas szájának hőmérséklete: 0�53 · 38 ◦C = 20�14 ◦C, lábának hőmérséklete:0�24 · 38 ◦C = 9�12 ◦C.

608. Védett természeti értékeink a nemzeti parkok. Ezek Megnevezés Terület (ezer ha)Aggteleki 20�15

Balaton-felvidéki 57Bükki 43�1Duna–Dráva 49�5Duna–Ipoly 60�3Fertő–Hanság 46�7Hortobágyi 80�6Kiskunsági 56�7Körös–Maros 50�1

Őrségi 44

Megnevezés Terület (ezer ha)Aggteleki 20�15

Balaton-felvidéki 57Bükki 43�1Duna–Dráva 49�5Duna–Ipoly 60�3Fertő–Hanság 46�7Hortobágyi 80�6Kiskunsági 56�7Körös–Maros 50�1

Őrségi 44

területi megoszlását adtuk meg a táblázatban.a) A Hortobágyi Nemzeti Park területe 80 600 ha.

Az Aggteleki Nemzeti Park területe ennek25%-a. Mekkora területű az aggteleki park? Írdbe a táblázatba!

Az Aggteleki Nemzeti Park területe 20 150 ha.

b) Hány százaléka a nemzeti parkok területe azegész ország területének? (Magyarország terü-lete 93 ezer km2.)

A nemzeti parkok összterülete: 508 150 ha = 5081�5 km2.

Ez az ország terütének5081�593 000

· 100 ≈ 5�5 százaléka.

A 100% meghatározása

609. Melyik számnak a

a) 15%-a 47,47

0�15= 313� 3 b) 49%-a 101, ≈ 206�122 c) 72�5%-a 1570, ≈ 2165�52

d) 63�2%-a 183�97, ≈ 291�184 e) 124%-a 295�1? ≈ 237�98

610. Az ábrán látható szőnyeget különböző méretekben készítik a szövőgépek. Ehhez a tervezők aközépső, téglalap alakú csík méretét és annak az egész szőnyeghez viszonyított területarányátadták meg. Számítsd ki az adatokból, mekkorák a szőnyegek!

A bordó csík A szőnyeg területe

területe %-os aránya

a) 300 cm2 20% 1500 cm2

b) 120 cm2 30% 400 cm2

c) 400 cm2 25% 1600 cm2

d) 200 cm2 40% 500 cm2

A bordó csík A szőnyeg területe

területe %-os aránya

a) 300 cm2 20% 1500 cm2

b) 120 cm2 30% 400 cm2

c) 400 cm2 25% 1600 cm2

d) 200 cm2 40% 500 cm2

611. Mekkora az a tömeg, amelynek a) 18%-a 35 kg,35

0�18kg = 194� 4 kg

b) 45%-a 125 dkg,1250�45

dkg = 277� 7 dkg c) 67%-a 4551 g?45510�67

g = 6792�54 g


169

612. Hány liternek az a) 51%-a 371 dl,3710�51

dl ≈ 727�45 dl ≈ 72�745 l

b) 0,5%-a 5872 cl,58720�005

cl = 1 174 400 cl = 11 744 l c) 67%-a 453 l?4530�67

l ≈ 676�12 l

613. Egy egyenlő szárú háromszög szárszöge az alapon fekvő szögnek

Az alapokon fekvő szög � , a szárszög: �

a) kétszerese, � = 2� , ekkor � + 2� = 180◦, 4� = 180◦, akkor � = 45◦ és � = 90◦.

b) fele, � =�

2, ekkor 2�5� = 180◦, tehát � = 72◦ és � =

72◦

2= 36◦.

c) 60%-a, � = 0�6� , 2�6� = 180◦, innen � ≈ 69�23◦ és � ≈ 41�54◦.

d) 120%-a. � = 1�2� , ekkor 3�2� = 180◦, innen � = 56�25◦ és � = 67�5◦.

Mekkorák a háromszög szögei?

614. A 6. a osztály év végi tanulmányi átlaga 4�21, amely 13%-kal magasabb a félévinél. Mennyi

volt félévkor ez az átlag?4�211�13

≈ 3�726 volt félévkor az átlag.

615. A hathetes nyári olasznyelv-tanfolyam tandíja most 10%-kal kevesebb az eredetinél, így

36 500 Ft-ba kerül. Hány forint volt a tandíj eredetileg?36 500

0�9≈ 40 556 Ft volt a tandíj eredetileg.

616. Janó és Bea szeretnének egy számítógépes játékprogramot venni. Janónak hiányzik a vételár30%-a, Beának pedig a 40%-a. Ha pénzüket összerakják, akkor az összeg 1200 Ft-tal több lesza vételárnál. Mennyibe kerül a program? Janó a vételár 70%-ával, Bea annak 60%-ával rendelkezik.

Ketten együtt a vételár 130%-át képesek kifizetni. A vételár 30%-a pedig 1200 Ft. Így12000�3

Ft = 4000 Ft-ba

kerül a program.

617. Infó Márió új számítógépének üzembe helyezésekor a meghajtót két részre osztották. A Dmeghajtón 112�5 GB (gigabájt) tárhelyet alakítottak ki, amely a teljes tárolókapacitás 75%-a.Mekkora rész jut a C meghajtóra, és hány GB méretű a gép teljes tárhelye?

A gép teljes tárolókapacitása112�5 GB

0�75≈ 150 GB méretű.

Ennek 25%-a 150 GB · 0�25 = 37�5 GB a C meghajtó tárolókapacitása.

Törtrészek meghatározása százalék alakban

618. Hány százaléka

a) 52 a 73-nak;5273

= 0�7123, így 71�23%-a az 52 a 73-nak. Ehhez hasonlóan számolva:

b) 132 a 65-nek; 203�08%-a c) 15 a 42�6-nek; 35�21%-a d) 57�8 az 1270�2-nek? 4�55%-a

619. Írd fel a törteket százalék alakban!45

80%54

125% 0�1 10%82

400%23

66�6% 2�5 250%95

180%102100

102%


170

620. Töltsd ki a mellékelt táblázatot! Alap Százalékláb Százalékérték

46 17 7�82

128 76�56 981237�105 38 470,1

0�047 25,5 0,01279,03 1274�2 1007

8002,34 32,7 2616�765

Alap Százalékláb Százalékérték

46 17 7�82

128 76�56 981237�105 38 470,1

0�047 25,5 0,01279,03 1274�2 1007

8002,34 32,7 2616�765

621. a) 472 m-nek a 2350 cm hány %-a?2350 cm472 m

=23�5 m472 m

= 0�049 79.

Tehát (0�049 79 · 100)% ≈ 5%-a a 2350 cm a472 m-nek.

b) 25 perc a 2 órának hány %-a?25 perc2 óra

=25 perc

120 perc= 0�2083. Vagyis 20�83%-a.

c) 46�7 l a 279 dl-nek hány %-a?46�7 l279 dl

=467 dl279 dl

= 1�6738. Vagyis 167�38%-a.

d) 525 t a 4873�6 kg-nak hány %-a?525 t

4873�6 kg=

525 000 kg4873�6 kg

= 107�723.

Vagyis 1�077 23% ≈ 1�1%-a.

622. A kínai eredetű, tangram nevű kirakójáték darabjait kiszíneztük.Hány százalékaa) a kirakott négyzet területének az egyes részek területe;

Színkód CitromsárgaRózsaszín

PirosZöld

Barna

KékNarancssárga

Százalékosarány

6�25% 12�5% 25%

Színkód CitromsárgaRózsaszín

PirosZöld

Barna

KékNarancssárga

Százalékosarány

6�25% 12�5% 25%

b) a piros színű darab területe a sárga színű területének; 200%-a

c) a rózsaszín darab területe a zöld színű területének; 50%-a

d) a készletben szereplő háromszögek összterülete a kirakott négyzet területének?

A háromszögek összterülete a teljes négyzet területének 75%-a.

623. Hány százalékát színeztük ki az alakzatoknak? a)

58

= 62�5%

b)

410

= 40%

c)

13

= 33�3%

Állítsd növekvő sorrendbe a három alakzatota színezett területek nagysága alapján!

Növekvő sorrend: c), b), a)

624. Ákos vacsorára megette a szilvás gombócok35

részét. Az összes gombóc hány százaléka maradt

meg?35

rész = 60%. Így az összes gombóc 40%-a maradt meg.

625. Az alábbiak közül melyik változás százalékos aránya a legnagyobb?

a) Egy fa 6 méteresről 12 méteresre nőtt. 100%-os növekedés

b) Egy akvárium ára 8000 forintról 6000 forintra csökkent. 25%-os csökkenés

c) Egy ember fizetése 100 000 forintról 120 000 forintra növekedett. 20%-os növekedés

d) Egy 4 kilogrammal született kisbaba 9 kilogramm tömegű lett. 125%-os növekedés

A d)-ben megadott változás százalékos aránya a legnagyobb.(Országos kompetenciamérés, 2008)


171

626. Kata ezt mondta Hédinek: az én pénzem 60%-ához még 70 Ft-ot kell adni, hogy annyi forintomlegyen, mint neked. Hédi így válaszolt: neked csak 30 Ft-tal van több pénzed, mint nekem.Hány forintjuk van a lányoknak külön-külön?Kata pénze: k Ft, Hédi pénze: h Ft.Kata állítása szerint: 0�6 · k + 70 = h; Hédi állítása szerint: h + 30 = k , vagyis h = k − 30.A két állítást együtt vesszük figyelembe: 0�6k + 70 = k − 30, amiből k = 250 következik.Katának tehát 250 Ft-ja, Hédinek 220 Ft-ja van.

627. Egy 8 cm oldalú négyzet területéből elhagyjuk a negyedét, majd a negyedé-nek a negyedét, és így tovább. Ezt a műveletet az eredeti négyzettel összesennégyszer végezzük el. Hány százaléka a maradék sokszög területe az eredetinégyzet területének?

A maradék sokszög területe (cm2-ben)

Az I. művelet után 8 · 8 − 14· 8 · 8

︸︷︷︸16

= 48

A II. művelet után 48 − 14

(14· 8 · 8

)

︸︷︷︸4

= 44

A III. művelet után 44 − 14

(14· 1

4· 8 · 8

)

︸︷︷︸1

= 43

A IV. művelet után 43 − 14

(14· 1

4· 1

4· 8 · 8

)

︸︷︷︸14

= 42�75

A maradék sokszög területe így(

42�7564

· 100)

% = 66�8%-a az eredeti négyzetnek.

Bevezetés a statisztikába

A 628-as feladatban szereplő betűstatisztika azt mutatja be, hogy ugyanannak a szövegrésznekhárom különböző nyelvű változatában milyen az egyes betűk (nem a hangok!) előfordulásánaka gyakorisága. Az angol nyelv miatt ékezetek nélküli magánhangzók szerepelnek a táblázatban,ezért a magyar nyelv ékezetes, rövid és hosszú magánhangzói egy kategóriába tartoznak. Hasonlóokok miatt a kétjegyű mássalhangzók listázása egyenként történt. Ez egy kicsit elbillenti a magyarnyelvben megszokott arányokat (például az o-hoz számoltuk az ó-t, az ö-t és az ő-t). A lényeg ittnem a feltétlen nyelvi pontosság, hanem az összehasonlítás, amely ebben az elég nagy elemszámúmintában megfelelő szinten elvégezhető.

A listázáshoz a kötet végén található mellékletből kimásolható a tanulók számára az előre el-készített betűtáblázat. A feladat háromfős csapatokat említ. A listázásnál ajánlatos két háromfőscsapatnak összefognia, mert így mindhárom részletet 2 tanuló vizsgálhatja (egyik diktál, má-sik ír).

Érdemes megvizsgálni a szavak hosszát, a szavak számát, illetve a szóközök számát is ebben ahárom mintában.


172

A táblázatnál áttekinthetőbb képet kapunk, ha az adatokat grafikonon ábrázoljuk. (Lásd a kitöltötttáblázat alatt.)

Sok érdekes dolgot lehet olvasni az interneten arról, hogy a szavak hangrendje (magas/mély)milyen érzelmi üzeneteket hordoz.

628. Háromfős csoportban dolgozzatok! Készítsetek betűstatisztikát A. A. Milne Micimackó címűmeseregényének kiemelt részletéből! Hasonlítsátok össze a különböző nyelveken kapott adato-kat!

(A német ábécében a ß vagy ss esetén sz hangot ejtünk, a esetén pedig é hangot.)

Micimackómagyarul

Egy napon, mikor kint sétált az erdőben, egy tisztásra ért, és a tisztás közepén állt egy jókoratölgy, és a tölgy koronájából hangos döngicsélés és zümmögés ütötte meg a fülét. Micimackóletelepedett a fa alá; mancsai közé fogta a fejét, és gondolkozni kezdett. Így kezdte:

„Ez a döngicsélés jelent valamit. Olyan nincs, hogy csak döngicsélés van meg zümmögés, ésaz nem jelent semmit. Ha döngicsélés van meg zümmögés, akkor ez azt jelenti, hogy valakivagy valami döngicsél, illetve zümmög, és amennyire az én műveltségem futja, az egyetlenelképzelhető ok, ami valakit döngicsélésre, illetve zümmögésre indíthat, abban a tényben lelimagyarázatát, hogy az illető egy méhecske.”

Azután még hosszasan gondolkozott, és így fejezte be:

„Ami pedig azt illeti, ha valaki már méh, ezt a minőségét arra szokta felhasználni, hogy mézetkészítsen.”

Micimackóangolul

One day when he was out walking, he came to an open place in the middle of the forest, andin the middle of this place was a large oak-tree, and, from the top of the tree, there came aloud buzzing-noise.

Winnie-the-Pooh sat down at the foot of the tree, put his head between his paws and began tothink.

First of all he said to himself: “That buzzing noise means something. You don’t get a buzzingnoise like that, just buzzing and buzzing, without it meaning something. If there’s a buzzing-noise, somebody’s making a buzzing-noise, and the only reason for making a buzzing-noisethat I know of is because you’re a bee.”

Then he thought another long time, and said: “And the only reason for being a bee that I knowof is making honey.”

Micimackónémetül

Eines Tages, als er einen Spaziergang machte, kam er an eine freie Stelle inmitten des Waldes,und inmitten dieser Stelle stand eine große Eiche, und vom Wipfel des Baumes kam ein lautesSummgerausch. Winnie-der-Pu setzte sich an den Fuß des Baumes, steckte den Kopf zwischendie Pfoten und begann zu denken.

Zuallererst sagte er sich: »Dieses Summgerausch hat etwas zu bedeuten. Es gibt doch nichtso ein Summgerausch, dass so einfach summt und summt, ohne dass es etwas bedeutet. Wennes ein Summgerausch gibt, dann macht jemand ein Summgerausch, und der einzige Grunddafür, ein Summgerausch zu machen, den ich kenne, ist, dass man eine Biene ist.«

Dann dachte er wieder lange nach und sagte: »Und der einzige Grund dafür, eine Biene zusein, den ich kenne, ist, Honig zu machen.«

Micimackómagyarul

Egy napon, mikor kint sétált az erdőben, egy tisztásra ért, és a tisztás közepén állt egy jókoratölgy, és a tölgy koronájából hangos döngicsélés és zümmögés ütötte meg a fülét. Micimackóletelepedett a fa alá; mancsai közé fogta a fejét, és gondolkozni kezdett. Így kezdte:

„Ez a döngicsélés jelent valamit. Olyan nincs, hogy csak döngicsélés van meg zümmögés, ésaz nem jelent semmit. Ha döngicsélés van meg zümmögés, akkor ez azt jelenti, hogy valakivagy valami döngicsél, illetve zümmög, és amennyire az én műveltségem futja, az egyetlenelképzelhető ok, ami valakit döngicsélésre, illetve zümmögésre indíthat, abban a tényben lelimagyarázatát, hogy az illető egy méhecske.”

Azután még hosszasan gondolkozott, és így fejezte be:

„Ami pedig azt illeti, ha valaki már méh, ezt a minőségét arra szokta felhasználni, hogy mézetkészítsen.”

Micimackóangolul

One day when he was out walking, he came to an open place in the middle of the forest, andin the middle of this place was a large oak-tree, and, from the top of the tree, there came aloud buzzing-noise.

Winnie-the-Pooh sat down at the foot of the tree, put his head between his paws and began tothink.

First of all he said to himself: “That buzzing noise means something. You don’t get a buzzingnoise like that, just buzzing and buzzing, without it meaning something. If there’s a buzzing-noise, somebody’s making a buzzing-noise, and the only reason for making a buzzing-noisethat I know of is because you’re a bee.”

Then he thought another long time, and said: “And the only reason for being a bee that I knowof is making honey.”

Micimackónémetül

Eines Tages, als er einen Spaziergang machte, kam er an eine freie Stelle inmitten des Waldes,und inmitten dieser Stelle stand eine große Eiche, und vom Wipfel des Baumes kam ein lautesSummgerausch. Winnie-der-Pu setzte sich an den Fuß des Baumes, steckte den Kopf zwischendie Pfoten und begann zu denken.

Zuallererst sagte er sich: »Dieses Summgerausch hat etwas zu bedeuten. Es gibt doch nichtso ein Summgerausch, dass so einfach summt und summt, ohne dass es etwas bedeutet. Wennes ein Summgerausch gibt, dann macht jemand ein Summgerausch, und der einzige Grunddafür, ein Summgerausch zu machen, den ich kenne, ist, dass man eine Biene ist.«

Dann dachte er wieder lange nach und sagte: »Und der einzige Grund dafür, eine Biene zusein, den ich kenne, ist, Honig zu machen.«

Magyar:

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

71 6 12 14 99 7 37 13 39 8 22 43 34 39 46 5 0 14 42 52 10 11 0 0 18 31


71 6 12 14 99 7 37 13 39 8 22 43 34 39 46 5 0 14 42 52 10 11 0 0 18 31


173

Angol:


47 15 5 18 69 15 21 35 45 1 9 14 15 53 48 7 0 15 29 51 17 0 11 0 7 16


47 15 5 18 69 15 21 35 45 1 9 14 15 53 48 7 0 15 29 51 17 0 11 0 7 16

Német:


38 8 21 38 113 8 21 22 47 1 9 9 28 66 9 5 0 23 59 34 38 1 8 0 0 13


38 8 21 38 113 8 21 22 47 1 9 9 28 66 9 5 0 23 59 34 38 1 8 0 0 13

magyarangolnémet

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z71 6 12 14 99 7 37 13 39 8 22 43 34 39 46 5 0 14 42 52 10 11 0 0 18 3147 15 5 18 69 15 21 35 45 1 9 14 15 53 48 7 0 15 29 51 17 0 11 0 7 1638 8 21 38 113 8 21 22 47 1 9 9 28 66 9 5 0 23 59 34 38 1 8 0 0 13

5101520253035404550556065707580859095

100105110115

A betűk összeszámlálásához használható fénymásolható táblázat a mellékletben található.

629. A 6. osztályos tanulókat a tanórán kívüli elfoglaltságaikról kérdeztük. Mindenki csak a számáralegfontosabb elfoglaltságot mondhatta.

a) Készíts oszlopdiagramot a táblázat alapján!

0

2

4

6

8

10

Sport Zene Nyelv Kézm. Egyéb

Elfoglatság

Tanu

lók

szám

a

Sport Zene Nyelv Kézművesszakkör

Egyéb Semmi

5 3 8 2 2 0

Sport Zene Nyelv Kézművesszakkör

Egyéb Semmi

5 3 8 2 2 0


174

b) Válaszd ki, melyik kördiagramon ábrázoltuk a táblázat adatait!

A) B) C)

Az A) kördiagram ábrázolja az adatsort.

630. Készíts felmérést osztálytársaid körében, majd az adatokat ábrázold kettős oszlopdiagramon!(Legalább 10 tanulót kérdezz meg!) Hányan nézik a televízió adásai közül a táblázatban felso-rolt műsorokat, különválasztva a fiúkat és a lányokat?

Délutánigyerek-műsor

Ismeret-terjesztőfilmek

Sport-adás

Estimese Sorozat Akció-

filmek

Lányok

Fiúk

Délutánigyerek-műsor

Ismeret-terjesztőfilmek

Sport-adás

Estimese Sorozat Akció-

filmek

Lányok

Fiúk

A megoldás az osztályban végzett felméréstől függ.

631. Egy nyári hét minden napján pontosan délben megmértük, hány fokot mutat a hőmérő. Ábrá-zold vonalgrafikonon az adatokat, és számítsd ki a heti átlaghőmérsékletet!

Nap Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Vasárnap

Hőmérséklet 21 ◦C 27 ◦C 31 ◦C 33 ◦C 35 ◦C 34 ◦C 29 ◦C

Nap Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Vasárnap

Hőmérséklet 21 ◦C 27 ◦C 31 ◦C 33 ◦C 35 ◦C 34 ◦C 29 ◦C

A heti átlaghőmérséklet:

05

10152025

3530

A hét napjai

Dél

ihõm

érsé

klet

(C

)�

Hétfõ

Kedd

Szerd

a

Csütö

rtök

Péntek

Szom

bat

Vasár

nap

(21 + 27 + 31 + 33 + 35 + 34 + 29

7

)◦C =

= 30 ◦C

632. Egy iskolai sportkörbe 10, 11 és 12 éves lá-

024

68

1012

10 év 11 év 12 év

Életkor

Igen

vála

szok

szám

a

lányokfiúk

nyok és fiúk járnak. Arról kérdeztük őket,hogy kiket érdekel a foci. A táblázatban azigen válaszokat gyűjtöttük össze. Ábrázold azadatokat kettős téglalapú oszlopgrafikonon!

10 éves 11 éves 12 évesFiúk 6 10 8Lányok 5 9 11

10 éves 11 éves 12 évesFiúk 6 10 8Lányok 5 9 11


175

633. Egy felmérés eredményét kördiagramon és oszlopdiagramon is ábrázolták.

Mely oszlopdiagram ábrázolja ugyanazokat az adatokat, mint a fenti kördiag-ram?A) B) C) D)

(Országos kompetenciamérés, 2008.)

634. Megkérdeztük a tanulókat, hogy melyik a kedvenc mesefigurájuk. A válaszokat a táblázatbafoglaltuk. Melyik diagram mutatja a táblázat adatait?

Kedvencmesefigura

Spongya-Bob

JerryMouse

VillámMcQueen

Mici-mackó Garfield Frakk Snoopy Tom

Cat

Szavazatokszáma 11 12 22 13 17 9 7 9

Kedvencmesefigura

Spongya-Bob

JerryMouse

VillámMcQueen

Mici-mackó Garfield Frakk Snoopy Tom

Cat

Szavazatokszáma 11 12 22 13 17 9 7 9

A) B)

1 2 3 4 5 6 7 8

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8

510152025

C) D)

1 2 3 4 5 6 7 8

2468

1012

1 2 3 4 5 6 7 8

2468

1012

635. Egy felmérés alkalmával 81 gyereket kérdeztek meg, hogy melyik állatot szeretik a legjobban.A válaszok alapján készült a piktogram, amelyen az egyes állatok száma arányos az adott vála-szok számával. Határozd meg a piktogram segítségével, hogy a megkérdezettek közül hányanválasztották kedvencüknek az egyes állatokat!


176

Állatok Ló Kutya Macska Madár

Állatok száma 8 6 9 4

Szavazatok száma 24 18 27 12

Állatok Ló Kutya Macska Madár

Állatok száma 8 6 9 4

Szavazatok száma 24 18 27 12

636. A kóbor állatokat begyűjtő és azokat ellátó menhelyek száma egyre szaporodik. Néhány men-helyen tartott állat száma olvasható a táblázatban. Számítsd ki mind a négy esetben a menhe-lyi és a gazdához került kutyák számának az összlétszámhoz viszonyított százalékos arányát!Készíts az adatokból oszlopdiagramot!

Menhely neve A tartott állatok száma Ebből gazdához került

Szent Ferenc Állatotthon 673 214

Elek-Ágh Menhely 230 175

Veszprémi Állatvédő Egyesület 295 240

Rex Kutyaotthon Alapítvány 346 294

Menhely neve A tartott állatok száma Ebből gazdához került

Szent Ferenc Állatotthon 673 214

Elek-Ágh Menhely 230 175

Veszprémi Állatvédő Egyesület 295 240

Rex Kutyaotthon Alapítvány 346 294

0100200300400500600700

Tartott állatok Ebbõl gazdáhozkerült állatok

Kut

yák

szám

a

Veszprémi Állatvédõ EgyesületSzent Ferenc Állatotthon

673

230295

346

43,6

%

14,9

%

19,1

%

22,4

%

13,8

6%

11,3

3%

15,5

%

19%

214175

240294

Rex Kutyaotthon AlapítványElek-Ágh Menhely

A tartott kutyák száma összesen: 1544. Az ebből gazdához került állatok száma: 923. A számolást úgyellenőrizhetjük, hogy a második oszlopdiagramban szereplő százaléklábak összege a 923-nak az 1544-hezviszonyított százalékos arányát adja.

Fontos, hogy a két oszlopdiagram oszlopainak magassága tükrözze a menhelyeken tartott és azebből gazdához került állatok számának egymáshoz viszonyított nagyságát.

Az oszlopdiagramokat másféleképpen is el lehet készíteni (vizsgálhatjuk pédául menhelyenkénta gazdához került állatok részarányát).


177

637. Egy hatodikos fiú és egy lány napi időbeosztását adjuk meg.

Kálmán Panni

9 óra alvás 9 óra alvás

6 óra az iskolában 6 óra az iskolában

15 perc utazásra fordított idő 1,5 óra délutáni különóra

75 perc otthoni tanulás 1 óra utazásra fordított idő

1,5 óra étkezés, tisztálkodás 1 és fél óra otthoni tanulás

5 és fél óra tv- vagy videónézés 1 óra 40 perc étkezés és tisztálkodás

2 és negyed óra kikapcsolódás

45 perc segítés az otthoni munkákban

Ábrázold külön-külön oszlopgrafikonon a két gyerek időbeosztását!

0123456789

alvá

s

isko

la

utaz

ás

tanu

lás

étk.

, tis

zt.

tévé

, vid

eóóra Kálmán

0123456789

alvá

s

isko

la

külö

nórá

k

utaz

ás

tanu

lás

étk.

, tis

zt.

kika

pcso

lódá

s

segí

tség

óra Panni

638. Petra 5 könyvet olvas el fél év alatt, Joli 3-at, Hédi 5-öt, Liza 6-ot, Nóri egyet sem. Számítsdki, hogy átlag hány könyvet olvas el az öt lány egy félév alatt!

Az öt lány egy félév alatt átlagosan5 + 3 + 5 + 6 + 0

5= 3�8 könyvet olvas el.

639. Lali hétvégén összesen 6 órát töltött békamentéssel, mikor is a tóhoz igyekvő békákat átsegítet-te a forgalmas főúton. Az első órában 9 békát mentett meg, a következő órában 2-t, a harmadikórában 4-gyel többet, mint a másodikban, a negyedik órában pedig harmadannyit, mint az el-sőben. Végül az utolsó két órában óránként 11-et kapott el. Hány békát mentett meg óránkéntátlagosan a békamentő akción töltött 6 óra alatt?

Lali átlagosan9 + 2 + 6 + 3 + 11 + 11

6= 7 békát mentett meg.

640. Három fiú átlagos zsebpénze heti 400 Ft, öt lányé pedig 350 Ft. Mennyi a 8 főből álló társaságheti átlagos zsebpénze?(

3 · 400 + 5 · 3508

)Ft = 368�75 Ft a társaság heti átlagos zsebpénze.

641. Az idei focibajnokságon a hatodikos fiúk válogatott csapata a lejátszott mérkőzéseken az alábbieredményeket érte el:6. o. – 5. o.: 3 : 2 6. o. – 7. o.: 4 : 3 6. o. – 8. o.: 2 : 5Átlagosan hány gólt rúgtak és hány gólt kaptak a hatodikosok a három meccsen?

Átlagosan3 + 4 + 2

3= 3 gólt rúgtak, és

2 + 3 + 53

= 3�3 gólt kaptak a hatodikosok.


178

642. A {2, 4, 9, 12, 0, 5, x , 9, 7} adatsokaság átlaga 8. Add meg a hiányzó elemet!2 + 4 + 9 + 12 + 0 + 5 + x + 9 + 7

9= 8, ebből x = 24.

643. Határozd meg a táblázat segítségével a prímszámok gyakoriságát a megadott számközökben,majd ábrázold az adatokat grafikonon!

a) 1–100 b) 101–500 c) 501–1000

25 95 73

a) 1–100 b) 101–500 c) 501–1000

25 95 73

1-től 10-ig 4 prímszám van, 1-től 100-ig 25 prímszám van, 1-től 1 000-ig 168 prímszám van,









91-től 100-ig 1 prímszám van, 901-től 1000-ig 14 prímszám van, 9001-től 10 000-ig 112 prímszám van.










91-től 100-ig 1 prímszám van, 901-től 1000-ig 14 prímszám van, 9001-től 10 000-ig 112 prímszám van.

0102030405060708090

Prí

mek

szám

a

Számköz

25

1 100� 101 500� 501 1000�

95

73

Oszlopdiagram

1 100�

101 500�

501 1000�

25

9573

KördiagramA prímek száma 1-tõl 1000-ig összesen 193.

25

1 100� 101 500� 501 1000�

95 73

Sávdiagram


179

Megoldások – Matematika 6. felmérőfüzet

a 2b 2c 3d 2e 3f 3

15

2. Számítsd ki!

a) (–623) + (–412) = –1035 b) (–846) – (–1234) = 388

c) (–47) · (–34) = 1598 d) 536 : (–8) = –67

e) (–612) + 35 – (–312) + 65 = –200 f ) (–12) · 45 : 15 = –36

Műveletek egész számokkalA csoport

a 2b 2c 2d 2

8

1. Helyezd el a felsorolt számokat a címkéknek megfelelő halmazokba! –12, 8, 0, –7, 12, 6, –8, –6, 5, 3, –18, 7

A: abszolút értéke legalább 8 B: azok a számok, amelyeknek az ellentettje is

szerepel a felsoroltak között

A B

8–18

12

–12

035

7

6

–8

–7

–6

a –18 beírása 2 pontb –12, 12, –8, 8 beírása 2 pontc –6, 6, –7, 7 beírása 2 pontd 0, 3, 5 beírása 2 pont

a, b, d 2 pont. A kitűzött pontszámok bonthatók, ha egy helyi értéken tévedett a tanuló. 6 pontc 3 pont 3 ponte (–612) + 35 – (–312) + 65 = –300 + 100 = –200 3 pontf (–12) · 45 : 15 = (–12) · 3 = –36 vagy (–12) · 45 : 15 = –36 3 pont

a 3b 3c 4d 2

12

3. Végezd el a műveleteket! Állítsd növekvő sorrendbe a feladatok eredményeit! A = (–123) · (–3) + (–7) · 0 · 8 = 369 B = [(–13) + (–7)] : (–5) · 4 = 16 C = 12 · [–17 – (–38)] + (–168) : 24 = 245

a (–123) · (–3) + (–7) · 0 · 8 = 369 + 0 = 369 3 pontb [(–13) + (–7)] : (–5) · 4 = (–20) : (–5) · 4 = 4 · 4 = 16 3 pontc 12 · [–17 – (–38)] + (–168) : 24 = 12 · 21 + (–7) = 252 – 7 = 245 4 pontd B < C < A 2 pont

matek6_felmeroKK.indd 1 5/18/14 12:13 PM

181


4. Írd le műveleti jelekkel, és számítsd ki! a) Mennyit adjunk a (–236)-hoz, hogy 567-et kapjunk? 803-at b) Mennyit adjunk az 589-hez, hogy (–42)-t kapjunk? –631-et c) (–43) és 157 összegének a háromszorosa. 342 d) (–208) fele és a 756 különbsége. –860

a 3b 3c 4d 4

14

a (–236) + A = 567 A = 803 3 pont

b 589 + B = (–42) B = –631 3 pont

c [(–43) + 157] · 3 = 114 · 3 = 342 4 pont

d (–208) : 2 – 756 = (–104) – 756 = –860 4 pont összesen 49

Műveletek egész számokkalB csoport

1. Helyezd el a felsorolt számokat a címkéknek megfelelő halmazokba! –14, 9, 0, –7, 14, 5, –6, –5, 3, –18, 7, 6

A: abszolút értéke legalább 9 B: azok a számok, amelyeknek az ellentettje is

szerepel a felsoroltak között

A B

9

–18 14

–14

03

5

7

6

–5

–7

–6

2. Számítsd ki!

a) (–534) + (–242) = –776 b) (–756) – (–1321) = 565

c) (–38) · (–43) = 1634 d) 504 : (–8) = –63

e) (–543) + 45 – (–343) + 55 = –100 f ) (–14) · 75 : 15 = –70

a 2b 2c 2d 2

8

a 9 és –18 beírása 2 pont

b –14 és 14 beírása 2 pont

c –5, 5, –6, 6, –7, 7 beírása 2 pont

d 0 és 3 beírása 2 pont

a, b, d 2 pont. A kitűzött pontszámok bonthatók, ha egy helyi értéken tévedett a tanuló. 6 pont

c 3 pont 3 pont

e (–543) + 45 – (–343) + 55 = –200 + 100 = –100 3 pont

f (–14) · 75 : 15 = (–14) · 5 = –70 vagy –1050 : 15 = –70 3 pont

a 2b 2c 3d 2e 3f 3

15


182


4. Írd le műveleti jelekkel, és számítsd ki! a) Mennyit adjunk a (–244)-hez, hogy 562-t kapjunk? 806-ot b) Mennyit adjunk a 369-hez, hogy (–38)-at kapjunk? –407-et c) (–46) és 175 összegének a háromszorosa. 387 d) (–304) felének és a 654-nek a különbsége. –806

3. Végezd el a műveleteket! Állítsd növekvő sorrendbe a feladatok eredményeit! A = (–132) · (–4) + (–9) · 0 · 7 = 528 B = [(–17) + (–3)] : (–4) · 5 = 25 C = 14 · [–23 – (–58)] + (–144) : 24 = 484

a (–132) · (–4) + (–9) · 0 · 7 = 528 + 0 = 528 3 pont

b [(–17) + (–3)] : (–4) · 5 = (–20) : (–4) · 5 = 5 · 5 = 25 3 pont

c 14 · [–23 – (–58)] + (–144) : 24 = 14 · 35 + (–6) = 490 – 6 = 484 4 pont

d B < C < A 2 pont

a 3b 3c 4d 2

12

a 3b 3c 4d 4

14

a (–244) + A = 562 A = 806 3 pont

b 369 + B = (–38) B = –407 3 pont

c [(–46) + 175] · 3 = 129 · 3 = 387 4 pont

d (–304) : 2 – 654 = (–152) – 654 = –806 4 pont összesen 49

A

B

t

C

D

E

F

G H

I

J

K

1. Az ABCDE konkáv ötszög t tengelyre vonatkozó tükörképe az FGHIJ konkáv ötszög.

a) Mi a képe az AE szakasznak? Az IJ szakasz.

b) Mi a képe az F pontnak? A D pont.

c) Mi a képe a K pontnak? A K pont.

Tengelyes tükrözésA csoport

a 1b 1c 1

3

a A helyes szakasz megadása 1 pont

b A helyes pont megadása 1 pont

c A helyes pont megadása 1 pont


183


A

t

B

B ’

A ’

2. Tükrözd az egyenest a megadott t tengelyre! a 1b 3c 1

5

a A tükörtengelyen lévő pont képe 1 pont

b Tetszőlegesen felvett pont képének szerkesztése 3 pont

c A tükörkép egyenes megrajzolása 1 pont

x

y

0

1

1

BA

C

A’

C ’

B ’

3. a) Rajzold meg az A (0; –2), B (7; –3), C (3; 2) csúcsaival adott háromszöget a koordináta- rendszerbe! b) Tükrözd a háromszöget az y tengelyre! c) Írd fel a tükrözés után kapott háromszög csúcsainak koordinátáit! A tükörképpontok koordinátái: A’(0; –2), B’(–7; –3), C’(–3; 2).

a 3b 4c 3

10

a Az A, B, C pontok felvétele, a háromszög megrajzolása 3 pont

b A pontok tükrözése, a tükörkép megrajzolása 4 pont

c A tükörképpontok koordinátái 3 pont


184


A

t

O

O’

A’

4. Tudjuk, hogy a kör A pontjának tengelyre vonatkozó tükörképe A’. a) Szerkeszd meg a tükörtengelyt! b) Szerkeszd meg a kör tükörképét erre a tengelyre!

a 2b 5

7




a Az AA’ szakasz felezőmerőlegese, ez a t tengely 2 pont

b Az O pont tükrözése a t tengelyre: 3 pont; a kör megrajzolása: 2 pont 5 pont összesen 25

Tengelyes tükrözésB csoport

A

B

t

C

D

E

F

G H

I

J

K

1. Az ABCDE konkáv ötszög t tengelyre vonatkozó tükörképe az FGHIJ konkáv ötszög.

a) Mi a képe a DE szakasznak? Az FJ szakasz.

b) Mi a képe a H pontnak? A B pont.

c) Mi a képe a K pontnak? A K pont.

a 1b 1c 1

3

a A helyes szakasz 1 pont

b A helyes pont 1 pont

c A helyes pont 1 pont


185


A

t

B

B ’

A ’

2. Tükrözd az egyenest a megadott t tengelyre! a 1b 3c 1

5

a A tükörtengelyen lévő pont képe 1 pont

b Tetszőlegesen felvett pont képének szerkesztése 3 pont

c Az egyenes tükörképének megrajzolása 1 pont

x

y

0

1

1

B

A

C

A’

C ’

B ’

3. a) Rajzold meg az A (4; –1), B (5; 7), C (0; 3) csúcsaival adott három-szöget a koordináta-rendszer-be!

b) Tükrözd a háromszöget az y tengelyre!

c) Írd fel a tükrözés után kapott háromszög csúcsainak koordi-nátáit!

A tükörképpontok koordinátái: A’(–4; –1), B’(–5; 7), C’(0; 3).

a 3b 4c 3

10





186


4. Tudjuk, hogy a kör A pontjának tengelyre vonatkozó tükörképe A’. a) Szerkeszd meg a tükörtengelyt! b) Szerkeszd meg a kör tükörképét erre a tengelyre!

A

t

O

O’

A’

a Az AA’ szakasz felezőmerőlegese, ez a t tengely 2 pont

b Az O pont tükrözése a t tengelyre: 3 pont; a kör megrajzolása: 2 pont 5 pont összesen 25

a 2b 5

7

SzámelméletA csoport

a 33

1. Írd le a 3-mal való oszthatóság szabályát!

Azok és csak azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal.

a Helyes definíció 3 pont

a 3b 5c 3d 3

14

2. a) Írd le az összes olyan négyjegyű számot, amelyet ezzel a négy számkártyával ki lehet rakni!

1008, 1080, 1800, 8001, 8010, 8100

0 0 1 8


187



A szám osztható2-vel 3-mal 5-tel 9-cel 10-zel 100-zal10081080180080108100

mind a hat szám

1080180080108100

mind a hat szám

1080180080108100

18008100

a a) A (J – R) : 2 képlettel kapott hányados egészrészét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük.Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

3 pont

b b) Helyesen adja meg a 2-vel, 5-tel, 10-zel és 100-zal osztható számokat. A (J – R) : 3 képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

5 pont

c b) Ha a 3-mal osztható számok oszlopában a tanuló válasza „mind a hat szám”: 3 pont.Ha a tanuló a válaszában felsorolással adja meg a számokat, akkor a (J – R) : 2 képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

3 pont

d b) A 9-cel osztható oszlop válaszainál a c-nél leírtakkal megegyező a pontozás módja.

3 pont

a 2b 1c 2d 1e 2f 2

10

3. Döntsd el az állításról, hogy igaz-e! Írd utána a megfelelő betűt (I/H)! Hamis állítás esetén írj ellenpéldát!

a) Ha egy szám osztható 2-vel, akkor a számjegyei felcserélésével kapott összes szám oszt-

ható 2-vel. H Például: 12.

b) Ha egy szám osztható 3-mal, akkor a számjegyei felcserélésével kapott összes szám

osztható 3-mal. I

c) Minden 5-tel osztható szám osztható 25-tel is. H Például: 15.

d) Van olyan 3-mal osztható szám, amelyik nem osztható 9-cel. I

e) Ha egy szám osztható 2-vel és 100-zal, akkor osztható 200-zal is. H Például: 100.

f ) Ha egy szám osztható 3-mal és 9-cel, akkor osztható 27-tel is. H Például: 18.

a Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont 2 pont

b Helyes válasz: 1 pont 1 pont

c Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont 2 pont

d Helyes válasz: 1 pont 1 pont

e Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont 2 pont

f Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont 2 pont


188


a 12b 4

16

4. a) Karikázz be a felsoroltak közül minden olyan számot, amelyikkel az adott tört egyszerű-

síthető!

b) Add meg a tört legegyszerűbb alakját! Írd az = jel mögé!

A) 824

= 13

2 3 4 5 9 10 20 25 100

B) 1836

= 12

2 3 4 5 9 10 20 25 100

C) 200125

= 85

2 3 4 5 9 10 20 25 100

D) 3001000

= 310

2 3 4 5 9 10 20 25 100

a A pontozás részfeladatonként történik, a (9 – R) : 3 képlettel kapott szám egész részét vesszük. R-rel a rosszul bekarikázott számok számát jelöljük. Ha nem jelölt meg egyetlen számot sem, vagy mindet bekarikázza, akkor 0 pontot kap.

12 pont

b A helyes válasz feladatonként 1 pont 4 pont összesen 43

SzámelméletB csoport

1. Írd le a 5-tel való oszthatóság szabályát!

Azok és csak azok a számok oszthatók 5-tel, amelyek utolsó számjegye 0 vagy 5.

a 33

a Helyes definíció 3 pont

a 3b 5c 3d 3

14

2. a) Írd le az összes olyan négyjegyű számot, amelyet ezzel a négy számkártyával ki lehet rakni!

3006, 3060, 3600, 6003, 6030, 6300


0 0 3 6

A szám osztható2-vel 3-mal 5-tel 9-cel 10-zel 100-zal30063060360060306300

mind a hat szám

3060360060306300

mind a hat szám

3060360060306300

36006300


189


a 2b 1c 2d 1e 2f 2

10

3. Döntsd el az állításról, hogy igaz-e! Írd utána a megfelelő betűt (I/H)!

Hamis állítás esetén írj ellenpéldát!

a) Ha egy szám osztható 25-tel, akkor a számjegyei felcserélésével kapott összes szám

osztható 25-tel. H Például: a 25 jegyeit felcserélve 52-t kapunk, nem osztható 25-tel.

b) Ha egy szám osztható 9-cel, akkor a számjegyei felcserélésével kapott összes szám oszt-

ható 9-cel. I

c) Minden 10-zel osztható szám osztható 100-zal is. H Például: a 10 sem osztható 100-zal.

d) Van olyan 5-tel osztható szám, amelyik nem osztható 25-tel. I

e) Ha egy szám osztható 3-mal és 5-tel, akkor osztható 15-tel is. I

f ) Ha egy szám osztható 2-vel és 10-zel, akkor osztható 20-szal is. H Például: a 10.

a Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont 2 pont

b Helyes válasz: 1 pont 1 pont

c Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont 2 pont

d Helyes válasz: 1 pont 1 pont

e Helyes válasz: 2 pont 2 pont

f Helyes válasz: 1 pont, helyes ellenpélda: 1 pont 2 pont

a a) A (J – R) : 2 képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük.Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

3 pont

b b) Helyesen adja meg a 2-vel, 5-tel, 10-zel és 100-zal osztható számokat. A (J – R) : 3 képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

5 pont

c b) Ha a 3-mal osztható számok oszlopában a tanuló válasza „mind a hat szám”: 3 pont.Ha a tanuló a válaszában felsorolással adja meg a számokat, akkor a (J – R) : 2 képlettel kapott hányados egész részét vesszük. J-vel a jó, R-rel a rossz válaszok számát jelöljük. Nulla pontnál kevesebbet nem kaphat a tanuló.

3 pont

d b) A 9-cel osztható oszlop válaszainál a c-nél leírtakkal megegyező a pontozás módja

3 pont


190


a 12b 4

16

a A pontozás részfeladatonként történik, a (9 – R) : 3 képlettel kapott szám egész részét vesszük. R-rel a rosszul bekarikázott számok számát jelöljük. Ha nem jelölt meg egyetlen számot sem, vagy mindet bekarikázza, akkor 0 pontot kap.

12 pont

b A helyes válasz feladatonként 1 pont 4 pont összesen 43

4. a) Karikázz be a felsoroltak közül minden olyan számot, amelyikkel az adott tört egyszerű-

síthető!

b) Add meg a tört legegyszerűbb alakját! Írd az = jel mögé!

A) 1220

= 35

2 3 4 5 9 10 20 25 100

B) 3618

= 2 2 3 4 5 9 10 20 25 100

C) 125200

= 58

2 3 4 5 9 10 20 25 100

D) 7001000

= 710

2 3 4 5 9 10 20 25 100

1. a) Kösd össze az egyenlő számokat! b) Amelyiknek nincsen párja, azt add meg két, 1-nél kisebb szám összegeként! c) Kerekítsd a legkisebb számot tizedre! d) Kerekítsd a legnagyobb számot egyesre! e) A számegyenesen melyik van a legmesszebb az 1-től?

45

1,125

0,08 0,8

98

1 13

2015

1,1·42857

·

32

225

87

Műveletek törtekkelA csoport

a 5b 2c 2d 2e 1

12


191


a Számpáronként 1-1 pont 5 pont

b1-nél kisebbek a tagok: 1 pont. Az összegük

32

(1 pont) 2 pont

cA legkisebbet választja: 1 pont. Kerekítés:

2

25 = 0,08 ≈ 0,1 (1 pont) 2 pont

dA legnagyobbat választja: 1 pont. Kerekítés

32

=1,5 ≈ 2 (1 pont) 2 pont

e A 0,08 1 pont

a 3b 3c 3d 3e 3f 3

18

2. Számítsd ki a műveletek eredményét, egyszerűsíts, ahol lehet! Az eredményt írd az egyenlőségjel után!

a) 32

· (– 56 ) = – 5

4 b) 21,4 · 3,82 = 81,748 c) 7

4 : 8

9 = 63

32

d) – 25

· (– 1,8) = 18

25 = 0,72 e) 2,5 : 1

4 = 10 f ) 85,34 : 3,4 = 25,1

a) b) 2 1, 4 . 3, 8 24 2 8

1 7 1 2 0+ 6 4 2 0 0

c) 8 1, 7 4 8

d)

e)f) 8 5 3, 4 : 3 4 = 2 5, 1

1 7 33 4

32

· (– 56 ) = –

1 5 1 2

= – 54

74

: 89

= 6 3 3 2

25

– · (–1,8) = 1 8

2 5= 0,72

2,5 : 14

= 2,5 : 0,25 = 10

=74

· 89

a–f Tudja, hogyan kell elvégezni a műveletet: feladatonként 1 pont.A helyes eredmény feladatonként 2 pont. 18 pont


192


a 33

3. Melyik állítás hamis? Írd ide a betűjelét!

a) 5 méternek a 3 tizede = 5 m · 0,3

b) 12 kg-nak az 53

része = 12 kg : 53

c) 35 liternek a 75

-szöröse = (35 liter : 5) · 7

a Helyes válasz 3 pont

b)

4. a) Peti magassága a nagypapája magasságának 57

része. A nagypapa 175 cm magas. Milyen magas Peti?

b) Egy medvebocs 0,4 kg-mal született. Szépen gyarapodott, és most már 192 kg. Ez az

anyamedve tömegének 23

része.

Hány kg az anyamedve?

a 5b 5

10

Megoldási terv:

Ellenőrzés:

Szöveges válasz:

Számítás:

P eti 125 cm magas.

1 7 5 · 5 7 vagy 1

1

1

7

2

7

5

5

5

:

:

:

7

5 5

7 = 2 2 5 5 · 5 = 1 2 5

·

· ·

5

7 = 2 7 = 1 7 5

Megoldási terv:

Ellenőrzés:

Szöveges válasz:

Számítás:

Az anyamedve 288 kg.

1 9 2 · 23 vagy 1

2

1

9

8

9

2

8

2

:

:

:

2

3 6

2 = 9 96 6 · 3 = 2 8 8

·

· ·

3

2 = 9 2 = 1 9 2

a–b Feladatonként: megoldási terv: 1 pont; számítások: 2 pont; szöveges válasz: 1 pont; ellenőrzés: 1 pont, de csak akkor, ha javítja a téves eredményét. 10 pont


193


5. Mennyibe került 1 kg alma, ha 3,5 kg-ot vettünk, és ezer forintból 160 Ft-ot kaptunk vissza?

a) Melyik megoldási terv helyes? Írd ide a betűjelét! B) A) 1000 – 160 : 3,5 B) (1000 – 160) : 3,5 C) 1000 : 3,5 – 160

b) Oldd meg a feladatot!

a 1b 4

5

Számítások 1 0 0 0 – 1 6 0 = 8 4 0

8 4 0 : 3, 5 = 8 4 0 0 : 3 5 = 2 4 0

Szöveges válasz:

Ellenőrzés: 2 4 0 . 3, 5 = 8 4 0 1 0 0 0 – 8 4 0 = 1 6 0

240 Ft-ba került 1 kg alma.

a Jó döntés 1 pont

b Számítások 2 pont; szöveges válasz 1 pont, ellenőrzés 1 pont, de csak ak-kor, ha javítja a téves eredményét. 4 pont

6. Rozalinda és Léna nevű kutyáinknak karácsonykor összesen 15 kicsinye született. Rozalinda

kicsinyei feketék, Lénáé foltosak lettek. A fekete kutyuskák felét barátaink, a foltosak 23

-át pedig vevők vitték el. Így ugyanannyi foltos és fekete kutyust tartottunk meg.

a) Mekkora része maradt meg a fekete kutyusoknak? fele

b) Mekkora része maradt meg a foltosaknak? 1 harmada

c) Mekkora része maradt meg az összes kutyusnak?

d) Hány fekete kutyus született összesen? 6

e) Hány kutyust tartottunk meg? 6-ot

Egy a lehetséges megoldási mód: A fekete kutyák száma csak páros lehet, a foltosaké 3-mal osztható. A 15-öt ilyen kéttagú összegekre felbontva két lehetőség adódik: a második feltétel a (6 + 9) összegre teljesül: a 6 fekete kutya fele 3, és a 9 foltos kutya harmada is 3.

a 1b 1c 2d 2e 1

7

612

–e = 25

-e

fekete foltos12 36 9

a, b, e Minden helyes válasz 1 pont 3 pont

c–d Minden helyes válasz 2 pont 4 pont összesen 55


194


1. a) Kösd össze az egyenlő számokat! b) Amelyiknek nincsen párja, azt add meg két, 2-nél kisebb szám összegeként! c) Kerekítsd a legkisebb számot tizedre! d) Kerekítsd a legnagyobb számot egyesre! e) A számegyenesen melyik van a legmesszebb a 2-től?

35

1,375

0,06 0,6

118

1 14

2520

1,2·85714

·

52

350

97

Műveletek törtekkelB csoport

a 5b 2c 2d 2e 1

12

a Számpáronként 1-1 pont 5 pont

b2-nél kisebbek a tagok: 1 pont. Az összegük

52

(1 pont) 2 pont

c A legkisebbet választja: 1 pont. Kerekítés

350

= 0,06 ≈ 0,1 (1 pont) 2 pont

d A legnagyobbat választja: 1 pont. Kerekítés 52

= 2,5 ≈ 3 1 pont 2 pont

e A 0,06 1 pont

2. Számítsd ki a műveletek eredményét, egyszerűsíts, ahol lehet! Az eredményt írd az egyenlőségjel után!

a) 43

· (– 58 ) = – b) 31,2 · 2,74 = 85,488 c) 6

5 : 7

3 =

d) – 45

· (– 1,2) = e) 2,4 : 1

5 = 12 f ) 95,38 : 3,8 = 25,1

52

1835

2425

a 3b 3c 3d 3e 3f 3

18


195


a) b) 3 1, 2 . 2, 7 41 2 4 8

2 1 8 4 0+ 6 2 4 0 0

c) 8 5, 4 8 8

d)

e)f) 9 5, 3 8 : 3 8 = 2 5, 1

1 9 3= 2, 4 : 0, 2 = 1 2 3 8

43

. (– 58 ) = – 2 0

2 4= – 5

6

65

: 73

= 65

. 37

= 1 8 3 5

2, 4 = 15

=

– 45

. (–1, 2) = – 65

= 2 4 2 5

a–f Tudja, hogyan kell elvégezni a műveletet: feladatonként 1 pont. Helyes eredmény feladatonként 2 pont. 18 pont

3. Melyik állítás hamis? Írd ide a betűjelét!

a) 8 órának a 7 tizede = 8 óra · 0,7

b) 25 liternek a 75

-szöröse = (25 liter : 5) · 7

c) 15 méternek a 43

része = 15 m : 43

c)


4. a) Peti havi zsebpénzének elköltötte a 710

részét.

Mennyi pénzt költött, ha havonta 1500 Ft zsebpénzt kap?

Megoldási terv:

Ellenőrzés:

Szöveges válasz:

Számítás:

P eti 1050 Ft -o t költött el.

1 5 0 0 · 7 1 0 vagy 1

0 1

1 5

5 0

5

0

0 0

0

0

:

:

:

1

7 5 5

1 0 = 1 5 1 5 0 0 · 7 = 1 0 5 0

·

·

7

= 1 1 1 0 0 0 = 1 5 0 0

a 5b 5

10

a 33


196


b) Egy csimpánz 1,8 kg-mal született. Szépen gyarapodott, és most már 56 kg. Ez a csim-

pánzmama tömegének 78

része.

Hány kg a csimpánzmama?

Megoldási terv:

Ellenőrzés:

Szöveges válasz:

Számítás:

5 6 : 7 8 vagy 5

6

5

6

4

6

:

:

:

7

8

7 = 8 8 · 8 = 6 4

·

· ·

8

7 = 8 7 = 5 6

A csimpánzmama 64 kg.

a–b Feladatonként: megoldási terv: 1 pont; számítások: 2 pont; szöveges válasz: 1 pont; ellenőrzés: 1 pont, de csak akkor, ha javítja a téves eredményét.

10 pont

5. Mennyibe került 1 kg mandarin, ha 2,5 kg-ot vettünk, és ezer forintból 50 Ft-ot kaptunk vissza?

a) Melyik megoldási terv helyes? Írd ide a betűjelét! C) A) 1000 – 50 : 2,5 B) 1000 : 2,5 – 50 C) (1000 – 50) : 2,5

b) Oldd meg a feladatot!

Számítások 1 0 0 0 – 5 0 = 9 5 0

9 5 0 : 2, 5 = 9 5 0 0 : 2 5 = 3 8 0

Szöveges válasz:

Ellenőrzés: 3 8 0 . 2, 5 = 9 5 0 1 0 0 0 – 9 5 0 = 5 0

380 Ft-ba kerül 1 kg mandarin.

a 1b 4

5

a Jó döntés 1 pont

b Számítások: 2 pont; szöveges válasz: 1 pont; ellenőrzés: 1 pont, de csak ak-kor, ha javítja a téves eredményét. 4 pont


197


6. Bence és Piroska nagyi összesen 16 palacsintát sütöttek és töltöttek meg lekvárral vagy kakaóval. Az ebédnél a lekváros fele, a kakaós négyötöde fogyott el.

Így éppen 1-gyel több lekváros palacsinta maradt a tálon.

a) Mekkora része maradt meg a lekváros palacsintáknak? fele

b) Mekkora része maradt meg a kakaósoknak? 1 ötöde

c) Mekkora része maradt meg az összes palacsintának?

d) Hány kakaós palacsinta készült összesen? 10

e) Hány palacsinta maradt? 5

Egy a lehetséges megoldási módok közül: A lekvárosok száma csak páros lehet, a kakaósoké 5-tel osztható. A 16-ot ilyen kéttagú össze-gekre felbontva egy olyan lehetőség adódik, amely a feltételeknek megfelel.Lekváros: 6, kakaós: 10.

Így éppen 1-gyel több lekváros marad a tálon: 3 lekváros és 2 kakaós.

516

a 1b 1c 2d 2e 1

7

a, b, e Minden helyes válasz 1 pont 3 pont

c–d Minden helyes válasz 2 pont 4 pont összesen 55

a 4b 3c 4

11

1. a) Húzd alá azokat a felsorolt négy hosszúság közül, amelyek nem egyenlők 75 cm-rel!

0,75 m 7,5 m 7,5 dm 7500 mm

b) Melyik nagyobb?

50 cm2 vagy 0,5 dm2

24 mm2 vagy 2,4 cm2

50 cm2 = 0,5 dm2 Egyik sem nagyobb a másiknál, mert egyenlők. 24 mm2 = 0,24 cm2 < 2,4 cm2 Az első mennyiség kisebb, mint a második.

Háromszögek, négyszögek, sokszögekA csoport

a A helyes választások: 2-2 pont, a rosszakért 1-1 pont levonás 4 pont

b Átváltás: 2 pont; helyes válasz: 1 pont 3 pont

c Átváltás: 2 pont; helyes válasz: 2 pont 4 pont


198


2. a) Vedd fel a koordináta-rendszerben az A(–1; 3) és a B(3; 3) pontokat! b) Rajzolj olyan ABC tükrös háromszöget, amelynek az AB szakasz az alapja, a C csúcsa pe-

dig rácspontra esik! c) Hány ilyen pontot találtál? d) Add meg a C csúcs koordinátáit!

x

y

0

1

1

A ( 1;3)– B (3;3)

a 2b 1c 2d 4

9

a Az A, B pontok felvétele 2 pont

b Háromszög rajzolása 1 pont

c Minden pont, vagy annak megállapítása, hogy végtelen sok ilyen pont van: 1-1 pont, legfeljebb 2 pont (az általánosításért dicséret jár)

2 pont

d A C pontok megadása koordinátákkal: pontonként 2-2 pont, legfeljebb 4 pont 4 pont

3. Három egyforma, egyenlő szárú háromszögből raktuk ki az ábrán látható négyszöget. a) Milyen négyszöget kaptunk? Húrtrapézt.

b) Mekkorák a négyszög belső szögei? A kis háromszögek egyenlő szárúak, ezért az alapon fekvő szögeik egyenlők. 1 = 2 = 1 = 2 = 1 = 2

Egy ilyen szög 180° – 40°2

= 70°.

A trapéz hosszabbik alapon lévő szögei 70°-osak, a rövidebb alapon lévő szögei pedig 40° + 70° = 110°-osak.

c) Mekkorák a négyszög külső szögei? A trapéz külső szögei: = 110°, = 70°.

a 2b 6c 4

1240° 40°

40°

1 2 1 2

1 2


b A szögek meghatározása: 3-3 pont 6 pont

c A külső szögek megadása: 2-2 pont 4 pont


199


4. Szerkessz rombuszt, melynek átlói 6 cm és 3,6 cm hosszúak!

Összefüggés: a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást.

A szerkesztés lépései:1. Az e átló felvétele.2. Az e átló felezőmerőlegese.3. Az f átló felezőmerőlegese.4. Az e átló felezőmerőlegesére az f

2 szakaszok felmérése.

5. A rombusz oldalainak megrajzolása.

Adatok: Vázlat:

e = 6 cm

f = 3,6 cm

Szerkesztés:

e

f

e f

f 2

f 2

a 1b 1c 5d 2

9

a Az adatok felvétele 1 pont

b A vázlat 1 pont

c A szerkesztés lépésenként 1-1 pont, összesen 5 pont 5 pont

d A szerkesztés lépéseinek leírása 2 pont


200


Háromszögek, négyszögek, sokszögekB csoport

1. a) Húzd alá azokat a felsorolt négy hosszúság közül, amelyek nem egyenlők 25 cm-rel!

2,5 m 0,25 m 2500 mm 2,5 dm

b) Melyik nagyobb?

30 cm2 vagy 0,3 dm2

45 mm2 vagy 4,5 cm2

30 cm2 = 0,3 dm2 Egyik sem nagyobb a másiknál, mert egyenlők. 45 mm2 = 0,45 cm2 < 4,5 cm2 Az első mennyiség kisebb, mint a második.

a 4b 3c 4

11

a A helyes választások 2-2 pont, a rosszakért 1-1 pont levonás 4 pont

b Átváltás 2 pont, helyes válasz 1 pont 3 pont

c Átváltás 2 pont, helyes válasz 2 pont 4 pont

a Indoklás: 4 pont, rajz: 1 pont 5 pont

b Az oldalak hossza: 1 pont, kerület: 2 pont 3 pont

c Terület: 2 pont 2 pont összesen 51

5. Egy téglalap alakú kert kerületén 12 karót szúrtunk le egymás-tól 1 méter távolságra úgy, hogy a kertnek mind a négy sarkába tettünk egy-egy karót. Tudjuk, hogy a kert hosszúsága nagyobb, mint a szélessége.

a) Rajzold le a kert alaprajzát a leszúrt karókkal! Indokold meg, miért így készítetted el a rajzod!A 12 karóból 4-et a sarkokban szúrunk le, marad 8 db. Ezek felét kell a két szomszédos oldalra szétosztanunk. 4 = 2 + 2 vagy 4 = 1 + 3 osztás lehetséges. A feltétel szerint a téglalap oldalai nem egyenlők, ezért csak a második eset fordulhat elő.

b) Mekkora a kert kerülete?Az ábráról leolvasható, hogy a téglalap oldalainak hossza 4 m és 2 m.

c) Mekkora a kert területe? A kert területe T = 4 m · 2 m = 8 m2.

a 5b 3c 2

10


201


a Az A, B pontok felvétele 2 pont

b Háromszög rajzolása 1 pont

c Minden pont, vagy annak megállapítása, hogy végtelen sok ilyen pont van: 1-1 pont, legfeljebb 2 pont (az általánosításért dicséret jár)

2 pont

d A C pontok megadása koordinátákkal: pontonként 2-2 pont, legfeljebb 4 pont 4 pont

3. Három egyforma, egyenlő szárú háromszögből raktuk ki az ábrán látható négyszöget. a) Milyen négyszöget kaptunk? Húrtrapézt.

b) Mekkorák a négyszög belső szögei?A kis háromszögek egyenlő szárúak, ezért az alapon fekvő szögeik egyenlők.

1 = 2 = 1 = 2 = 1 = 2

Egy ilyen szög 180° – 50°2

= 65°.

A trapéz hosszabbik alapon lévő szögei 65°-osak, rövidebb alapon lévő szögei pedig 50°+ 65° = 115°-osak.

c) Mekkorák a négyszög külső szögei? A trapéz külső szögei: = 115°, = 65°.

50° 50°

50°1 2 1 2

1 2


b A szögek meghatározása: 3-3 pont 6 pont

c A külső szögek megadása: 2-2 pont 4 pont

a 2b 6c 4

12

2. a) Vedd fel a koordináta-rendszerben az A (–2; 3) és a B (4; 3) pontokat! b) Rajzolj olyan ABC tükrös háromszöget, amelynek az AB szakasz az alapja, a C csúcsa pe-

dig rácspontra esik! c) Hány ilyen pontot találtál? d) Add meg a C csúcs koordinátáit!

x

y

0

1

1

A ( 2;3)– B (4;3)

a 2b 1c 2d 4

9


202


4. Szerkessz rombuszt, melynek átlói 4 cm és 6,2 cm hosszúak!

Összefüggés: A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást.

A szerkesztés lépései:1. Az e átló felvétele.2. Az e átló felezőmerőlegese.3. Az f átló felezőmerőlegese.4. Az e átló felezőmerőlegesére az f

2 szakaszok felmérése.

5. A rombusz oldalainak megrajzolása.

Adatok: Vázlat:

e = 4 cm

f = 6,2 cm

Szerkesztés:

e

f

e f

f 2

f 2

a 1b 1c 5d 2

9

a Az adatok felvétele 1 pont

b A vázlat 1 pont

c A szerkesztés lépésenként 1-1 pont, összesen 5 pont 5 pont

d A szerkesztés lépéseinek leírása 2 pont

5. Egy téglalap alakú kert kerületén 10 karót szúrtunk le egymástól 1 méter távolságra úgy, hogy a kertnek mind a négy sarkába tettünk egy-egy karót. Tudjuk, hogy a kert hosszúsága nagyobb, mint a szélessége.

a) Rajzold le a kert alaprajzát a leszúrt karókkal! Indokold meg, miért így készítetted el a rajzod!A 10 karóból 4-et a sarkokban szúrunk le, marad 6 db. Ezek felét kell a két szomszédos oldalra szétosztani. 3 = 1 + 2 osztás lehetséges.

a 5b 3c 2

10


203


a Indoklás: 4 pont, rajz: 1 pont 5 pont

b Az oldalak hossza: 1 pont, kerület: 2 pont 3 pont

c Terület: 2 pont 2 pont összesen 51

Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségekA csoport

a 5b 5c 9d 9

28

1. Írd be a hiányzó kifejezéseket a folyamatábra szürke mezőibe! Oldd is meg az egyenleteket a folyamatábrák segítségével!

a) x + 4 · 2

–8

b) x · 2 + 4

–8

c) x · 5 – 10 : 2 + 8

8

d) x : 4 – 0,5 · 4 : 10

0,4

==

== = = = =

= = = =

= =

= =

x + 4 (x + 4) ∙ 2

– 4–8 – 4 : 2

x ∙ 2 x ∙ 2 + 4

– 4– 12–6 : 2

x ∙ 5 x ∙ 5 – 10 (x ∙ 5 – 10) : 2 (x ∙ 5 – 10) : 2 + 8

– 800102 : 5 + 10 ∙ 2

x : 4 x : 4 – 0,5 (x : 4 – 0,5) ∙ 4 (x : 4 – 0,5) ∙ 4 : 10

∙ 10411,56 ∙ 4 : 4+ 0,5

b) Mekkora a kert kerülete?Az ábráról leolvasható, hogy a téglalap oldalainak hossza 3 m és 2 m.A kert kerülete K = 2 · (3 m + 2 m) = 10 m

c) Mekkora a kert területe?A kert területe T = 3 m · 2 m = 6 m


204


2. Oldd meg az egyenleteket, egyenlőtlenségeket! A megoldásod lépéseit is írd le! Ellenőrizz!

a) a · 4 + 9 ≥ 27 b) 3 · b – 4 < 11 a · 4 ≥ 18 3 · b < 15 a ≥ 4,5 b < 5

c) c + 36

+ 9 = –4 d) 9 · (d – 4) = 18

(c + 3) : 6 = –13 d – 4 = 2 c + 3 = –78 d = 6 c = –81

e) [(e – 2) · 8 + 20] : 4 = 25 f ) 10 : (10 – f ) = 5 (e – 2) · 8 + 20 = 100 10 – f = 2 (e – 2) · 8 = 80 f = 8 e – 2 = 10 e = 12

a 3b 3c 4d 3e 5f 3

21

a Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 3 pont

b Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 3 pont

c Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 4 pont

d Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 3 pont

e Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 5 pont

f Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 3 pont

a Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont 5 pont

b Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont 5 pont

c Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont 9 pont

d Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont 9 pont

3. Oldd meg a szöveges feladatokat! A gondolatmenetedet követhetően írd le! Az eredményt ellenőrizd!

a) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 6-tal, majd elvettem belőle 15-öt, így 21-et kap-tam. Melyik számra gondoltam?

a · 6 – 15 = 21 a = (21 + 15) : 6 = 6

A 6 a gondolt szám. Ellenőrzés: 6 · 6 – 15 = 36 – 15 = 21

a 4b 5c 7

16


205


b) Gondoltam egy számot. Az ennél 15-tel kisebb szám 6-szorosából elvettem 12-t, így 30-at kaptam eredményül. Melyik számra gondoltam?

(b – 15) · 6 – 12 = 30 b = (30 + 12) : 6 + 15 = 7 + 15 = 22

A 22 a gondolt szám. Ellenőrzés: 22 – 15 = 7; 7 · 6 = 42; 42 – 12 = 30 c) A falunkban egy beteg kisfiú gyógyíttatására gyűjtöttünk pénzt. Összesen 360 ezer forint

gyűlt össze az iskolások papírgyűjtéséből, a felnőttek és az önkormányzat adományaiból. A felnőttek adománya kétszerese volt az iskolásokénak. Az önkormányzat 40 ezer forinttal kevesebbet tudott adni, mint a felnőttek.

Mennyi pénzt gyűjtöttek az iskolások? Jelölje x azt az összeget ezer forintban, amennyit a gyerekek gyűjtöttek! 2 · x jelöli azt az összeget ezer forintban, amennyit a felnőttek gyűjtöttek. 2 · x – 40 jelöli azt az összeget ezer forintban, amennyit az önkormányzat adott.

x + 2 · x + 2 · x – 40 = 360 5 · x – 40 = 360 5 · x = 400 x = 80

80 ezer forintot gyűjtöttek az iskolások. Ellenőrzés: A felnőttek 160 ezer forintot adtak, az önkormányzat 120 ezret. 80 ezer + 160 ezer + 120 ezer = 360 ezer Ft

a A helyes eredmény: 3 pont; ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 3 pontot.

4 pont

b A helyes eredmény: 4 pont, ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 4 pontot.

5 pont

c A helyes eredmény: 6 pont, ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 6 pontot.

7 pontösszesen 65


206


Nyitott mondatok, egyenletek, egyenlőtlenségekB csoport

a 5b 5c 9d 9

28

1. Írd be a hiányzó kifejezéseket a folyamatábra szürke mezőibe! Oldd is meg az egyenleteket a folyamatábrák segítségével!

a) x + 6 · 2

–4

b) x · 2 + 6

–4

c) x · 4 – 8 : 2 + 6

6

d) x : 5 – 0,4 · 5 : 10

0,5

==

== = = = =

= = = =

= =

= =

x + 6 (x + 6) ∙ 2

: 2–2– 6–8

x ∙ 2 x ∙ 2 + 6

– 6–10: 2–5

x ∙ 4 x ∙ 4 – 8 (x ∙ 4 – 8) : 2 (x ∙ 4 – 8) : 2 + 6

– 60082 : 4 + 8 ∙ 2

x : 5 x : 5 – 0,4 x : 5 – 0,4 ∙ 5 x : 5 – 0,4 ∙ 5 : 10

7 ∙ 5 1,4 + 0,4 1 : 5 5 ∙ 10

a Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont 5 pont

b Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont 5 pont

c Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont 9 pont

d Minden szürke négyzetbe írt kifejezés 1-1 pont; az x helyes értéke: 1 pont; ha az összes nyílra írt művelet helyes: 1 pont 9 pont


207


2. Oldd meg az egyenleteket, egyenlőtlenségeket! A megoldásod lépéseit is írd le! Ellenőrizz!

a) a · 6 + 7 ≥ 31 b) 4 · b – 5 < 13 a · 6 ≥ 24 4 · b < 18 a ≥ 4 b < 4,5

c) c + 48

+ 6 = –5 d) 4 · (d – 9) = 18

c + 48

= –11 d – 9 = 4,5

c + 4 = –88 d = 13,5

c = –92

e) [(e – 2) · 9 + 10] : 4 = 25 f ) 20 : (20 – f ) = 10 (e – 2) · 9 + 10 = 100 20 – f = 2 (e – 2) · 9 = 90 f = 18 e – 2 = 10 e = 12

3. Oldd meg a szöveges feladatokat! A gondolatmenetedet követhetően írd le! Az eredményt ellenőrizd!

a) Gondoltam egy számot. Elosztottam 6-tal, majd hozzáadtam 15-öt, így 21-et kaptam. Melyik számra gondoltam? a : 6 + 15 = 21 a = (21 – 15) · 6 = 36

A 36 a gondolt szám. Ellenőrzés: 36 : 6 + 15 = 6 + 15 = 21

b) Gondoltam egy számot. Az ennél 15-tel nagyobb szám hatodából elvettem 12-t, így 3-at kaptam eredményül. Melyik számra gondoltam?

(b + 15) : 6 – 12 = 3 b = (3 + 12) · 6 – 15 = 90 –15 = 75

A 75 a gondolt szám. Ellenőrzés: 75 + 15 = 90; 90 : 6 = 15; 15 – 12 = 3

a 3b 3c 4d 3e 5f 3

21

a Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 3 pont

b Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 3 pont

c Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 4 pont

d Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 3 pont

e Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 5 pont

f Bármilyen helyes megoldás: 2 pont (lépésenként 1-1 pont); ellenőrzés: 1 pont 3 pont

a 4b 5c 7

16


208


c) A városunkban az árvízkárosultak javára gyűjtöttünk pénzt. Összesen 520 ezer forint gyűlt össze az iskolások papírgyűjtéséből, a lakosság és a városunkban működő üzemek adomá-nyaiból. A lakosság adománya háromszorosa volt az iskolásokénak. Az üzemek 40 ezer fo-rinttal kevesebbet tudtak adni, mint a lakosok.

Mennyi pénzt gyűjtöttek az iskolások? Jelölje x azt az összeget ezer forintban, amennyit a gyerekek gyűjtöttek! 3 · x jelöli azt az összeget ezer forintban, amennyit a lakosság adott. 3 · x – 40 jelöli azt az összeget ezer forintban, amennyit az üzemek adtak.

x + 3 · x + 3 · x – 40 = 520 7 · x – 40 = 520 7 · x = 560 x = 80

80 ezer forintot gyűjtöttek az iskolások. Ellenőrzés: A felnőttek 240 ezer forintot adtak, az üzemek 200 ezret. 80 ezer Ft + 240 ezer Ft + 200 ezer Ft = 520 ezer Ft

a A helyes eredmény: 3 pont; ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 3 pontot.

4 pont

b A helyes eredmény: 4 pont, ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 4 pontot.

5 pont

c A helyes eredmény: 6 pont, ellenőrzés: 1 pont. Bármilyen módon jut el a gyerek a helyes eredményhez, megadjuk a 6 pontot.

7 pontösszesen 65

1. Réka egy baráti összejövetelre palacsintát süt. Úgy tervezi, hogy mindenki két palacsintát kap.

a) Hány darabot kell sütnie, ha a társaság 3, 4, 5, 6 tagú? 3 tagú társaságnak 3 · 2 db = 6 db, 4 tagú társaságnak 4 · 2 db = 8 db, 5 tagú társaságnak 5 · 2 db = 10 db, 6 tagú társaságnak 6 · 2 db = 12 db palacsintát kell sütnie.

b) Milyen összefüggés van a társaság létszáma és a palacsin-ták száma között? Egyenes arányosság áll fenn köztük.

c) Ábrázold grafikonon az összetartozó értékeket! Az összetartozó értékeknek megfelelő pontok egy origón át-haladó félegyenesen vannak.

Arányos következtetések, százalékA csoport

V endégek száma0

1

6

8

10

12

1 3 4 5 6

P alacsinták száma

a 4b 1c 5

10


209


a 6b 2

8

2. A világ energiafogyasztásának összetétele napjainkban a következő: Nem megújuló energiaforrások: Megújuló energiaforrások:

kőolaj, gáz 51100

rész víz, szél, nap, biomassza 19,7%

szén 1350

rész

nukleáris 331000

rész

a) Add meg a nem megújuló erőforrások összetételét százalék alakban!

kőolaj, gáz: 51% szén: 26% nukleáris: 3,3%

b) Az összes energiafelhasználás hány százalékát adják a nem megújuló energiaforrások?

80,3%

a A palacsinták számának helyes megadása: 1-1 pont 4 pont

b Helyes válasz 1 pont

c Minden helyesen ábrázolt pont: 1-1 pont; az alakzat megadása: 1 pont 5 pont

a A 100% meghatározása 3 pont

b Helyes válasz a kert területére 1 pont

c A hátralévő hányad meghatározása 2 pont

a Minden jó válasz 2 pont 6 pont

b Helyes összeg 2 pont

a 3b 1c 2

6

3. Béla bácsi eddig 27 m2 területet ásott fel, ez a veteményeskertjének 60%-a. Mekkora a veteményeskert területe?

60% 27 m2

100% 27 m2 : 0,6 = 45 m2

A veteményeskert területe 45 m2. A teljes veteményeskert hányad része van még hátra?

Hátra van még 45 m2 – 27 m2 = 18 m2. Ez a teljes kert 25

része.


210


4. Egy városi kisautó benzinfogyasztása 6,3 liter, egy nagy, családi autóé 9 liter. Hány százaléka a kisautó fogyasztása a nagyénak? (A fogyasztást 100 km út megtétele alatt mérik.)100% 9 liter 1% 0,09 liter?% 6,3 liter

6,3 : 0,09 = 70

A kisautó fogyasztása 70%-a a nagy autó fogyasztásának.

a 3b 3c 1

7

a Következtetés 3 pont

b A művelet helyes felírása: 2 pont; jó számolás: 1 pont 3 pont

c Helyes válasz 1 pont összesen 31

a 4b 1c 5

10

1. Lili egy baráti összejövetelre fánkot süt. Úgy tervezi, hogy mindenki három fánkot kap. a) Hány darabot kell sütnie, ha a társaság 2, 3, 4, 5 tagú? 2 tagú társaságnak 2 · 3 db = 6 db, 3 tagú társaságnak 3 · 3 db = 9 db, 4 tagú társaságnak 4 · 3 db = 12 db, 5 tagú társaságnak 5 · 3 db = 15 db fánkot kell sütnie.

b) Milyen összefüggés van a társaság létszáma és a fánkok száma között? Egyenes arányosság áll fenn köztük.

c) Ábrázold grafikonon az összetartozó értékeket! Az összetartozó értékeknek megfelelő pontok egy origón át-haladó félegyenesen vannak.

V endégek száma0

1

6

9

12

15

1 2 3 4 5

Fánkokszáma

Arányos következtetések, százalékB csoport

a A fánkok számának helyes megadása: 1-1 pont 4 pont

b Helyes válasz 1 pont

c Minden helyesen ábrázolt pont: 1-1 pont; az alakzat megadása: 1 pont 5 pont


211


2. A világon beszélt nyelvek megoszlása napjainkban a következő: A világ három legelterjedtebb nyelve: A többi nyelv:

mandarin-kínai 15100

rész angol, arab, portugál, orosz stb. 72,5%

hindi 651000

rész

spanyol 350

rész

a) Add meg a világ három legelterjedtebb nyelvét százalék alakban!

mandarin-kínai: 15% hindi: 6,5% spanyol: 6%

b) Az összes nyelv hány százalékát adja a három legelterjedtebb nyelv? 27,5%

a 6b 2

8

a Minden jó válasz 2 pont 6 pont

b Helyes összeg 2 pont

a 3b 1c 2

6

3. Árpi bácsi eddig 36 m2 területet ásott fel, ez a veteményeskertjének 75%-a. Mekkora a vete-ményeskert területe?

75 % 36 m2

100% 36 m2 : 0,75 = 48 m2

A veteményeskert területe 48 m2. A teljes veteményeskert hányad része van még hátra?

Hátra van még 48 m2 – 36 m2 = 12 m2. Ez a teljes kert 14

része.

a A 100% meghatározása 3 pont

b Helyes válasz a kert területére 1 pont

c A hátralévő hányad meghatározása 2 pont

4. Egy városi kisautó benzinfogyasztása 5,1 liter, egy nagy, családi autóé 8,5 liter. Hány százalé-ka a kisautó fogyasztása a nagyénak? (A fogyasztást 100 km út megtétele alatt mérik.)

100% 8,5 liter1% 0,085 liter?% 5,1 liter

5,1 : 0,085 = 60

A kisautó fogyasztása 60%-a a nagy autó fogyasztásának.

a 3b 3c 1

7

a Következtetés 3 pont

b Művelet helyes felírása: 2 pont; jó számolás: 1 pont 3 pont

c Helyes válasz 1 pont összesen 31


212

TartalomELŐSZÓ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3

MŰVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4

Mit tudunk az egész számokról? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4

Egész számok összeadása és kivonása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 7

Több tag összege, különbsége � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 11

Szorzás és osztás egész számokkal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 13

Több egész szám szorzása, osztása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 18

Műveletek sorrendje � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 20

TENGELYES TÜKRÖZÉS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 24

Képek és tükörképek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 24

Tükrözés mozgatással � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 26

A tengelyes tükrözés tulajdonságai � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 29

Tükrözés pontonként � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 30

Szimmetrikus alakzatok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 33

Tükörkép szerkesztése � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 36

Egyszerű szimmetrikus alakzatok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38

Szimmetriatengelyek szerkesztése � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 41

Két alakzat együttes szimmetriái � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 50

Szögek összehasonlítása, szerkesztése � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 52

SZÁMELMÉLET � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 56

Ritmusok, periódusok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 56

A számok maradékaival számolunk � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 58

Keressünk osztókat! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 60

Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 61

Milyen oszthatóságokat árulnak el a számok utolsó számjegyei? (Kiegészítő tananyag) � � � � 64

Milyen oszthatóságokról árulkodik a szám számjegyeinek összege? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 66

Prímszámok (törzsszámok) (Kiegészítő tananyag) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 68

Összetett számok felírása prímszámok szorzataként (Kiegészítő tananyag) � � � � � � � � � � � � � � � � 70

Számok osztói, közös osztók, a legnagyobb közös osztó � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 71

Többszörösök, közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 74

MŰVELETEK TÖRTEKKEL � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 77

A tört értelmezése � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 77

Tört alakban írt szám tizedes tört alakja � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 78

Törtek összeadása és kivonása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 81

Törttel való szorzás � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 86

Tizedes törttel való szorzás � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 91

Tartalom

213

Számok reciproka � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 93

Osztás tört alakú számmal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 94

Osztás tizedes tört alakú számmal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 96

HÁROMSZÖGEK, NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 102

A háromszögek fajtái � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 102

A háromszögek belső szögei � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 105

A háromszögek külső szögei � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 108

Szerkesztések körzővel és egyenes vonalzóval � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 111

A négyszögek fajtái � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 120

A négyszögek szögei � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 126

Négyszögek szerkesztése � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 129

Derékszögű háromszögek kerülete, területe � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 133

Tengelyesen szimmetrikus háromszögek kerülete, területe � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 134

Tengelyesen szimmetrikus négyszögek kerülete, területe � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 137

Testhálók � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 140

Szabályos sokszögek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 143

NYITOTT MONDATOK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 145

Egyenletek megoldása lebontogatással, szöveges feladatok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 148

Egyenlőtlenségek megoldása, szöveges feladatok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 156

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel, szöveges feladatok (Kiegészítőtananyag) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 159

ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK, SZÁZALÉK � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 163

Egyenes arányosság � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 165

Százalékszámítás � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 167

A 100% meghatározása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 169

Törtrészek meghatározása százalék alakban � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 170

Bevezetés a statisztikába � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 172

MEGOLDÁSOK – MATEMATIKA 6. FELMÉRŐFÜZET � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 180

Tartalom

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

Melléklet a 628. feladathoz

kÉzikÖnyv a matematika 6. tanításához · előszó ne vágd el azt, amit kibogozhatsz!...

Documents