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Autmatas CelularesMario Hernndez
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Autmata Celular (AC)
Introducidos por primera vez en 1940por John Von Neumann por sugerenciade Stanislav Ulam con el objetivo decrear un modelo real delcomportamiento de sistemas extensos ycomplejos
Se han concebido en numerosasocasiones con diferentes nombres y confrecuencia, diferentes conceptos se hanutilizado con el mismo nombre:
En Matemtica se les conoce como unarama de la dinmica topolgica En Ingeniera elctrica se les conoce con
frecuencia como matrices iterativas Para algunos estudiantes pueden ser
simplemente un juego de ordenador.
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Cada AC est determinado por:1. Un nmero de celdas.2. El radio (r) que abarca la vecindad de cada
clula.3. El nmero de estados en que puede
encontrarse cada celda.4. Una regla de transicin local, igual para
todas las celdas, cuya entrada es el estadoconjunto de las celdas que forman lavecindad.
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Concepto (intuitivamente)
Sistema dinmico discreto extremadamente simple
Ejemplo simplificado:
Sea una retcula espacial discreta y en cada celda tenemos un valor deestado ( por simplificar slo puede ser 0 1 ) en un mbito el tiempotambin discreto.
En cada instante de tiempo cada celda analiza el valor de las celdas de unentorno a su alrededor y el suyo propio y segn cierta regla local cambia no su valor.
Un AC es por tanto un sistema dinmico discreto.
Por tanto, sus elementos definitorios son:
Celda Retcula Vecindad Reglas de Actualizacin
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Los AC pues son redes de autmatas simples dispuestos sobrelos nodos de una retcula y conectados localmente. Cadaautmata simple produce una salida a partir de variasentradas, modificando en el proceso su estado segn unafuncin de transicin.
Los AC son herramientas tiles para modelar cualquier sistemanatural en el universo:
Buena alternativa a las ecuaciones diferenciales Utilizados para modelar sistemas fsicos: interacciones entre
partculas, formacin de galaxias, cintica de sistemasmoleculares y crecimiento de cristales, as como diversossistemas biolgicos a nivel celular, multicelular y poblacional.
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Las celdas
Ocupadas por autmatas que actan como elementos de memoria quealmacenan el estado
xi(t) = estado de la celda que ocupa la posicin i en el instante t.
N = el nmero total de celdas.
El conjunto {k} de posibles estados de cada celda debe ser finito,xi(t){k}
En lo que sigue consideraremos AC binarios, es decir la celda slopuede estar en el estado ``1'' (activo) o en el estado ``0''(inactivo).
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La retcula (lattice)
Red de organizacin espacial de autmatasTipos: Unidimensional: las celdas se organizan en una
lnea, de manera que cada celda tendr, como
mximo dos vecinos directos Bidimensional: cada celda tendr tantos vecinos
directos como corresponda a la topologa de ladiscretizacin
Multidimensional
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La vecindad (1D)
vi(t)= {xi-1(t), xi(t), xi+1(t),...} Es el conjunto de celdas alrededor de la celdai y la misma celda. El nmero de vecinos lo representamos por Nv.
En d=1 y tomando los vecinos como el de la izquierda y el de la derechatendramos la siguiente vecindad:
L-C-RC:celda central, L: vecino de la izquierda, R: vecino de la derecha. Eneste ejemplo estamos considerando una vecindad de radio r=1.Si extendemos el radio a r=2, tendramos una vecindad como sta:LL-L-C-R-RR En d=1 el nmero de vecinos es: 2r+1 y el nmero deposibles vecindades es k2r+1.
En un AC las N celdas se encuentra en una retcula de dimensin d.Cuando el retculo es de tamao finito siempre consideraremoscondiciones de contorno peridicas, es decir que la celda en la posicintiene como vecina a la celda de la posicin y viceversa.
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Alternativo
La vecindad (1D)
t
t+1
Alternativo
Se denomina radio r al nmero de celdas a cada lado de laactual que influyen en el clculo de su valor futuro
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Diversos tipos en funcin de la naturaleza de la retcula y la eleccinde vecinos.
P.e. para rectangular:
La vecindad (2D)
Vecindad
von NeumannVecindad
Moore
Vecindad Moore
Extendida
Vecindad
Margolus
t
t+1
Alternativo
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La vecindad (2D)
Retcula hexagonal:
Vecindad Triunfante
DominioDominio Codominio
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Q*Bert:
t t+1 Alternativo
La vecindad (2D)
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Estrella de David
La vecindad (2D)
Dominio Codominio
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Tringulo-6
La vecindad (2D)
t
t+1
t+2
Alternativo
Y otros muchos ms ...
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3D-X
La vecindad (3D)
Dominio Codominio
Y otros muchos ms ...
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Tratamiento de Bordes
Qu ocurre con los bordes en las actualizaciones?.Hay tres soluciones posibles:
1. Los bordes opuestos de la retcula se pliegan yse unen, de manera que si el AC es d=1, se
convierte en un crculo a efectos de tratamientoy si d=2 se convierte en un toro2. Las celdas de borde son especulares, por lo que
se darn propiedades de simetra
3. Las celdas fuera del borde de la retcula estndesactivadasLa primera es la ms usual
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Las reglas
Definen la mecnica de interaccin y la evolucintemporal del estado de cada celda
La regla local de evolucin nos permite obtenerel valor cuando conocemos el valor de lasceldas en la vecindad en el instante anterior.
La idea fundamental es que LAS REGLAS DE
INTERACCIN LOCAL PERMITEN ALCANZAR UNADINMICA GLOBAL
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Las reglas para AC 1D
Por ejemplo en el caso de un AC binario en d=1 (es decir,unidimensional) con r=1 la vecindad de una celda tiene que ser algunade las configuraciones siguientes (primera fila) y la regla de generacinde salida, la indicada en la segunda linea:
vecindad 111 110 101 100 011 010 001 000bit de salida 0 1 0 1 1 0 1 0
Evolucin de un reticulado. Regla 90 (expresin decimal de la reglade evolucin) . Las condiciones de contorno son peridicas.
t=0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1
t=1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
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Si-1(t-1) Si(t-1) Si+1(t-1)Si-1(t-1) Si(t-1) Si+1(t-1) Si(t)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Regla
Como hay 256 reglas posibles28, se pueden generar 256tramas de celdas (universos)distintos
En la prctica algunascoinciden
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De estos universos, aproximadamente el 25 % generanuniversos "interesantes", es decir, con una patrn.
Los dems, o tienen todas las celdas apagadas (cdigo -1),todas encendidas (cdigo +1) o no varan las filas al pasar lasgeneraciones (cdigo 2).
Otro tipo es el "fractal" (cdigo 3), ya que resulta un patrn detringulos, que se subdividen en otros tringulos, que sesubdividen en otros tringulos...
Este tipo es francamente raro, ya que solo se puede originar sihay una clula encendida lo suficientemente lejos de las otraspara no interferir.
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Ejemplo
Regla de cdigo 90. Evolucin en un diagrama espacio-tiempo dela misma regla partiendo de un estado inicial en el que slohay una celda en estado 1 y el resto 0.
El estado de las celdas se pueden representar por una lnea cambiante odibujando una lnea debajo de otra, quedando as un mosaico de clulas.Cada fila de clulas se conoce como una generacin, y todo el entramado
de clulas, universo.
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Regla 54, r=1, inicio conuna sola celda activa
Ejemplo
Regla 62, r=1, inicio conuna situacin aleatoria
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Ejemplo
Regla 30, r=1, inicio conuna sola celda activa
Regla 30, r=1, inicio conuna situacin aleatoria
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Aleatoriedad:La Regla 30 ha sidoestudiada para poner de manifiesto
como surgen procesos aleatorios apartir de reglas deterministas simples.Si por ejemplo nos fijamos en la celdacentral y vamos tomando la sucesinde valores tendremos un conjunto de0 y 1 que supera todos los test dealeatoriedad.
La regla 30 se ha usado para: Generar nmeros aleatorios CriptografaLo nico que es necesario escoger en ambos casos es la semilla inicial que hay
que poner a evolucionar.
Criptografa:con la R30 se toma unmensaje , el mensaje
cifrado y ladescodificacin se hace .
Ejemplo
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Ejemplo
Regla 182, r=1, inicio con una sola celda activay aleatorio respectivamente (1 blanco, 0 negro)
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Ejemplo
Clase 1: r=2, k=2, regla=100100
Clase 1: r=2, k=2, regla=111100
Clase 2: r=2, k=2, regla=111000
Clase 2: r=2, k=2, regla=111010
Clase 3: r=2, k=2, regla=010010
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Universo de la regla 105
Ejemplo
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Tipos de reglas
Legales:(Wolfram) son aquellas en que la vecindad nula dasiempre un valor nulo y adems son simtricas. Dicho de otramanera, del estado total cero no puede emerger ningndesarrollo.
Totalsticas:aquellas en que la regla de evolucin slo
depende de la suma de los estados de los vecinos. Lacodificacin de estas reglas se hace de manera ms sencilla.Pe. si la suma de las celdas adyacentes es 4, el nuevo estadode la celda actual es 1, en otro caso es 0.
Elementales:son las reglas legales con r=1 en d=1. Lascondiciones de simetra que impone el concepto de legal hace
que la vecindad 110 debe dar lo mismo que la 011 y que la100 debe dar lo mismo que la 001. Hay slo 32 reglaselementales.
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Propiedades Globales
Organizacin:partiendo de un estado inicial en el que seencuentren todas las configuraciones posibles, el ACevoluciona reduciendo el nmero de configuraciones finales.Hay una disminucin del desorden y por tanto una
disminucin de entropa. Irreversibilidad Local:En un AC diferentes situaciones
iniciales pueden dar lugar a la misma situacin final. Es decirque padres distintos dan lugar al mismo hijo. De estamanera conociendo slo al hijo es imposible saber quien es elpadre, no es posible ( en general ) volver hacia atrs en eltiempo y reconstruir la historia completa.
Jardines del Edn:Situaciones que slo se dan comoconfiguracin inicial.
Ti d AC U i lid d
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Tipos de AC. Universalidadde los AC
Segn S. Wolfram el comportamiento espacio-tiempo de los ACs se puede clasificar en 4grupos:
Clase I:(punto lmite)Estado finalhomogneo y configuracin que seestabiliza en el tiempo.
Clase II:(ciclo lmite)Estado finalformado por un conjunto de estructurasperidicas. Se pueden entender como untipo de filtro, l oque los hace interesantepara, pe, proceso de imgenes.
Clase III:(atractor extrao)Estado finalaperidico catico. Los patrones creados
por este tipo son una especie de curvasfractales autosimilares: Clase IV:Comportamiento ms complejo)
Aparecen estructuras localizadas ycomplejas que perduran a lo largo deltiempo (Juego de la Vida). Son capaces decomputacin universal (Mquina de Turing)
E. Inicial Aleatorio32 4
110 54
20 20
Regla
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AC 2D
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Ejemplos
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Juego de la Vida
El J d l Vid d
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El Juego de la Vida deConway (Life Game)
Es uno de los ejemplos ms simples de lo que seha denominado complejidad emergente, osistemas autoorganizados:
El estudio de cmo pueden emerger patrones ycomportamientos elaborados a partir de reglasmuy simples, permitiendo estudiar y simularcmo pueden aparecer.
Idea concebidas a finales de los aos sesentapor John Horton Conway y descritas enScientific American en Octubre de 1970 comoun universo y unas simples reglas que fuesencapaces de computacin.
El J d l Vid d
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El Juego de la Vida deConway (Life Game)
1. Superviviencia:Cada clulaviva con dos o tres clulasvecinas vivas sobrevive a la
siguiente generacin.2. Nacimiento:Cada clula
muerta con tres clulasvecinas vivas resucita en lasiguiente generacin.
3. Muerte:Cada clula viva conninguna, una, o ms de tresclulas vivas a su alrededorpasa a estar muerta.
Es un autmata celular bidimensional en cuadrcula con dos estados por
celda. Cada celda o clula puede estar viva o muerta y en cadageneracin se aplica un algoritmo que sigue estas tres reglas:
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Las reglas del Juego de la Vida estan especialmenteconcebidas para generar los comportamientos
El Juego de la Vida balancea las tendencias de nacimiento,crecimiento y muerte hacindose difcil predecir si un ciertopatrn morir completamente, formar una poblacin estable
o crecer indefinidamente. En el Juego de la Vida, como en la naturaleza, se observanmuchos fenmenos fascinantes. La naturaleza, sin embargo,es complicada y no estamos seguros de todas las reglas.
El Juego de la VidaThe Game ofLifenos permite observar unsistema donde conocemos todas las reglas. De forma anlogaa como el estudio de animales simples permite descubrircosas sobre animales ms complejos, la gente puede estudiarel Juego de la Vida para aprender , sobre los patrones ycomportamientos de sistemas ms complejos.
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El juego presenta configuraciones finales estables, peridicas o no ypresenta (segn Langton) propiedades:
Catlisis (acciones de construccin arbitrarias), De transporte (borrando estructuras y reconstruyndolas en otro
lugar del espacio celular),
Estructurales (como elementos estticos, barreras, etc.), De regulacin, De defensa E incluso informativas,
Y que por tanto estos autmatas virtuales tienen capacidades
computacionales suficientes para cumplir los papeles funcionales quejuegan las macromolculas en la lgica molecular de la vida. En definitiva, que funcionalmente, los autmatas son equiparables a
los componentes bsicos de la vida en nuestro planeta.
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These simple rules can produce various behavioural states, ranging from stable to chaotic,depending on the initial pattern of cells. The number of living cells may be ever increasing,oscillating between a finite number of values, static, or always decaying. A stable systemmay involve cells which always remain alive in future generations, or may contain groups ofcells which oscillate between two shapes periodically, known as blinkers, which willcontinue indefinitely unless distant cells approach and interfere. Chaotic and unstable statesquickly die out, just as they do in nature. Complex states can also occur, and these statesare not periodic and do not die out. There are several interesting shapes that seemingly
produce new shapes, or appear to be alive. An example of one of these complex states iscalled aglider,a period-4 oscillating pattern that moves diagonally across the grid. Thereare many Lifeenthusiasts who experiment with Lifesimply to discover new and interestingshapes, or interactions between shapes.
Conway's prediction that the system was capable of computation has been confirmed. Byusing "gliders" to represent bit streams, researchers at MIT have been able to build AND-and OR-gates and even a whole adding unit, which adds the digital values two streams ofgliders represent and sends out the result of the addition as a new stream.
A Turing Machine has also been implemented in Life, which is extendable to a UniversalTuring Machine, capable of computing any computable function. The pattern is shown inAppendix B, and requires 11,000 generations just to advance one cycle of computation.
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Propagacin de Incendios
Forestales
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Clulas
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La Sopa Primordial
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Autorreproduccin
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L-Systems
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Aplicaciones en Proceso de
Imgenes
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Redes de Autmatas
Celulares
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"Clulas" de Peter Donnelly
Es en esencia una curiosidad cientfica propuesta por primera
vez por Peter Donnelly del University College de Swansea,
Gales, y Dominic Welsh, de la universidad de Oxford.
El programa fue descrito en detalle por A. K. Dewdney en suartculo "Cinco piezas sencillas" para Scientific American.
En este artculo se bautiza al programa con el nombre de
Votacin", ya que segn el autor pretende simular una
votacin poltica algo particular.
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"Las casillas de una cuadricula rectangular estn coloreadas deblanco o negro, aleatoriamente. Se supone que cada color refleja
la opinin poltica de una persona residente en esa casilla. Un
color podra representar 'demcrata' y el otro 'republicano'. [...]
A cada seal de reloj, se selecciona al azar uno de los votantes ysu opinin poltica se somete a cambio: se selecciona al azar uno
de sus ocho vecinos y la conviccin poltica del elector se
transforma en la de este vecino, independientemente de cul
fuera su opinin anterior. [...]
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Al hacer funcionar este modelo, confesadamentesimplista, del proceso poltico, ocurren cosas llamativasy extraas. Primero se desarrollan grandes bloques devoto homogneo. Estos bloques son zonas geogrficas
donde todo el mundo es de la misma opinin poltica.Seguidamente tales bloques van migrando en torno alcuadriculado y, durante cierto tiempo luchan, como
buscando su predominancia. Finalmente, el sistema
bipartidista se viene abajo, por acabar todo el mundovotando de igual manera".
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Adems de esta interpretacin, hay otra ms aproximada, y muchoms sugerente para los interesados en la vida artificial y temas
afines.
Podemos llegar a apreciar comportamientos "cuasi-biolgicos" si
observamos la evolucin de los votantes como un ejemplo de lacoexistencia-competitividad de dos especies similares en un
mismo medio con abundancia de alimento, como podra ser el
caso de dos especies de bacterias en un fluido rico en nutrientes.
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La interpretacin es la siguiente: Cada posicin dela matriz representa una clula de una especiedeterminada. En cada ciclo se elige aleatoriamente
una de las clulas de la matriz. Esa clula muere,dejando un espacio libre. Ese espacio es ocupadoinmediatamente de la siguiente forma: Se elige auna de las ocho clulas contiguas a ese espacio
vaco para reproducirse, y el lugar dejado por laclula muerta lo ocupa una nueva clula, hija de laescogida, y por lo tanto de su misma especie.
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A partir de este comportamiento tan simple podremosobservar como el caos inicial, en el que las clulas deambas especies se hallan mezcladas, da paso a unaforma de organizacin en la que las clulas de una
misma especie forman amplios grupos. que sedesplazan, se estiran y se contraen mientras tratan desobrevivir.
Si se deja el programa funcionando durante un tiempo
una de las especies pasa a ser dominante, pudiendollegar a hacer desaparecer a la otra especie.
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Finalmente, y como curiosidad, podramos pensar en
realizar en cada ciclo la reproduccin de las clulas de un
modo algo ms inusual...
Qu ocurrira si al reproducirse una clula para ocupar el
espacio vaco dejado por otra clula muerta, tuviera una
hija de la otra especie, y no de la suya propia? Seguira
producindose la homogeneidad, o el caos inicial se
extendera hasta el infinito? A partir del cdigo fuente del
programa, y realizando una pequea modificacin se puederesolver esta trascendental duda.
H i Pl
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Hormigas y Plantas
En el programa "Hormigas y Plantas", cada una de las celdas de la rejilla en 2dimensiones es un autmata simple con los siguientes estados posibles:
- Vaco
- Ocupado por una hormiga
- Ocupado por una planta
- Ocupado por un obstculo
Cada celda cambia de estado en funcin del estado de las celdas vecinas. Por
ejemplo, una celda en estado "planta" pasa a estado "vaco" si hay una hormiga
prxima a la planta: la hormiga se come la planta. Otros cambios de estado
estn supeditados adems al resultado de una funcin pseudoaleatoria uniforme,
y se producen, si se cumplen las otras condiciones, segn una cierta
probabilidad.
Por ejemplo, una celda en estado "vaco" pasa a estado "hormiga" slo si hay
una hormiga prxima a la planta y adems con una cierta probabilidad (solo si
la hormiga "decide" tomar esa direccin).
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El estado de cada celda puede estar definido por distintas variables: las
hormigas, as como las plantas, poseen una cierta cantidad de energa.
Pero adems, las hormigas poseen una inercia en cuanto a la direccin
del movimiento, que provoca una tendencia a moverse en la misma
direccin, y un "tipo", ya que hay hormigas "rojas", "rosas","naranjas", "amarillas" y "verdes" que corresponden con distintas
probabilidades de moverse, regar, pelearse o reproducirse.
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En este autmata, los cambios de estado estn dirigidos nicamentepor las "hormigas", de forma que la "ejecucin" de una hormiga
provoca un cambio de estado en s misma y en otras posibles celdas de
tipo "planta". Este ltimo punto lleva a la posibilidad de contemplar el
programa desde otro punto de vista: como un conjunto de autmatas
simples mviles cuyo estado se define, entre otros, por su posicin en
los ejes X e Y. Es decir, en vez de ver una rejilla cuyas celdas cambian
de estado, vemos un conjunto de hormigas que se mueven por unos
ejes cartesianos. Efectivamente, el autmata no se ha programado
como un conjunto de celdas con distintas propiedades, sino como
varios conjuntos (o varios autmatas superpuestos): un conjunto de
hormigas, otro de plantas y otro de obstculos, controlando que
cualquiera de ellos no exista en la misma posicin que otro.