FILTRE LC PROIECTATE PE BAZA PARAMETRILOR DE LUCRU

1) Obiectul lucrării Măsurători asupra unor filtre LC obţinute prin sinteză pe baza parametrilor de lucru şi anume, gabaritul atenuării de lucru şi rezistenţele de terminaţie. 2) Aspecte teoretice Proiectarea filtrelor LC pe baza parametrilor de lucru necesită parcurgerea următoarelor etape:

a) Determinarea funcţiei de transfer de lucru Hc(s) astfel încât să fie îndeplinite condiţiile impuse filtrului.

b) Determinarea unui set de parametri ce caracterizează diportul LC. Pentru determinare se folosesc funcţia de transfer H(s) şi rezistenţele de terminaţie. Parametrii determinaţi pot fi: impedanţele de intrare, elementele matricei de impedanţă [z] sau elementele matricei de admitanţă [y].

c) Sinteza diportului LC pe baza parametrilor determinaţi la punctual b). Procedura utilizată este sinteza în scară cu controlul zerourilor de transmisiune.

d) Determinarea elementelor de circuit. Procedura are la bază relaţia lui Feldtkeller, specifică diporţilor pur reactivi, terminaţi la cele două porţi pe impedanţe rezistive:

1

22| ( ) | (in cj H jρ η η+ 1= (1)

unde 0ωωη = este frecvenţa normată. Coeficientul de reflexie la poarta 1 a filtrului are

expresia:

gin

ginin RsZ

RsZs

+

−=

)()(

)(1

1

1ρ (2)

unde Rg este rezistenţa de da poarta 1, iar este impedanţa de intrare la poarta 1, când poarta 2 este terminată pe Rs. Folosind normarea de frecvenţă şi normarea la rezistenţa Rg rezultă:

)(1

sZin

1)(1)(

)(1

1

1 +

−=

nin

ninin sZ

szsρ

de unde se obţine:

)

.

(1)(1)(

)(1

1

0

1

1nin

ninss

g

innin s

sR

sZsz

n ρρ

ω −

+==

= (3)

În relaţia (1) Hc(s) este funcţia de transfer compusă, care are expresia:

22( ) gc

s

RUH sE R

= . (4)

În cazul unui filtru trece jos de tip Butterworth pătratul modulului funcţiei de transfer compuse este:

nn

t

c jH 222

11

1

1|)(|η

ωω

ω+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

unde tω este frecvenţa unghiulară de tăiere a filtrului. De exemplu în cazul ununi filtru trece jos de tip Butterworth de ordinul 3 se poate scrie:

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

2 2 2 2

2

6 6

2 2

1 11 1

11 1 1 1

n nc c n c ns s

n

n n n n n n

H j H s H ss

s s s s s s

η ηη

η=− =−= − = =

+ −

=− + + + − +

=

(5)

Rezultă funcţia de transfer compusă pentru un filtru trece jos de tip Butterworth de ordinul trei:

( )( )( ) 3 22

12 21 1c n

n n nn n n

H ss s ss s s

= =1

1+ + ++ + + (6)

Din relaţia (1) se obţine:

( )

( )( )( )( )2

6

6

6

6

6

62

11111

1111 2

2222

2

nnnnn

n

n

n

sssin

ssssss

ss

nnn

+−−+++−

=−−

=

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−=−=−= ηηη η

ηη

ηρ.

Coeficientul de reflexie la poarta 1 va fi:

( )122 23

3

1 +++±

=nnn

nnin sss

ssρ . (7)

Deci în cazul unui filtru Butterworth de ordinul 3 de tip trece jos găsim expresia impedanţei de intrare normate de la poarta 1, folosind relaţia (3). Rezultă următoarele două soluţii:

1212

112221222

2

23)(

1

++

+=++++++

=

ss

sssssss

zn

nnnn

nnAin (8)

)()(

1

1

1A

in

Bin z

z = . (9)

a)

b)

c)

Figura 1. a) Configuraţia generală a unui filtru LC cu terminaţii rezistive. b) şi c) Cele două scheme duale cu valori normate ale filtrului trece jos LC de tip Butterworth cu terminaţii rezistive egale.

Schemele rezultate sunt prezentate în figurile 1b) şi 1c). Dacă considerăm o impedanţă serie cu toate elementele pasive de circuit, căreia îi facem normare de rezistenţă cu R0 şi normare de frecvenţă cu frecvenţa unghiulară 0ω , se obţine:

( )0

0 0 0 00 0

0

( ) 1 1n n

n

LZ s R s z s r s lsR R R sCR cω

ω ωω

= + + = = + + .

Rezultă expresiile valorilor normate şi denormate:

00

rRRRRr =⇒= (10)

0

0

0

0

ωω lR

LR

Ll =⇒= (11)

0 00 0

cc R C CR

ωω

= ⇒ = (12)

În cazul filtrelor din figurile 1b) şi 1c) tωω =0 si gRR =0 . Să considerăm şi siuaţia unui filtru trece jos de tip Butterworth de ordinul 3 cu terminaţiile rezistive normate şi 1=gr 2=sr . Funcţia de transfer H(sn) va fi:

23 2

( )( )( ) 2 2 1

nn

n n n n

U s kH sE s s s s

= =+ + +

iar functia de transfer compusă are expresia:

122

13

22)(2)(

(2)( 23

)2

+++===

nnnn

s

g

n

nnc sss

sHRR

sEsU

sH

deoarece 32)0( =

+==

gs

s

rrr

kH . Din relaţia (1) rezultă:

( )( )

( )( )( )( )1221229

3131

1221221

981)()(

2323

33

232311

+−+−++++−

=

=+−+−+++

−=−

nnnnnn

nn

nnnnnnninnin

ssssssss

ssssssss ρρ

(13)

Se obţin patru soluţii pentru coeficientul de reflexie de la intrare:

( )

( )122331

23

3)(

1 ++++

=nnn

nAin sss

sρ (14)

( )

( )122331

23

3)(

1 +++−

=nnn

nBin sss

sρ (15)

( )1223132923

23

3233)(

1 ++++++

=nnn

nnnCin sss

sssρ (16)

( )1223132923

23

3233)(

1 ++++−+−

=nnn

nnnDin sss

sssρ . (17)

Pentru primele două situaţii rezultă:

221

23

1

2664666

11

2

23

)(

)()(

1

1

1

++

+=

=++

+++=

−

+=

nn

n

nn

nnnA

in

AinA

in

ss

s

sssss

zρρ

(18)

21

2

13

11

2666466

23

2)(

1

++

+=

=+++

++=

nn

n

nnn

nnBin

ss

s

sssss

z

(19)

a)

b)

Figura 2. Doua scheme duale de filtru trece jos de tip Butterworth de ordinal trei, cu valori normate şi terminaţiile rezistive normate 1, 2g sr r= = .

Schemele cu valori normate obţinute pe baza relaţiilor (18) şi (19) sunt prezentate în figura 2.

Pentru un filtru trece jos de tip Cebîşev în banda de trecere putem scrie:

( ))(1

122

2

ηεη

nCjH

+= . (20)

unde ( )ηnC este polinomul Cebîşev de ordinul n şi are expresia:

. ( ) cos( arccos ), 1nC nη η= ≤η

Pentru calculul lui ( )ηnC pot fi folosite relaţiile de recurenţă: ( ) )()(2 21 ηηηη −− −= nnn CCC . ( ) 2

2 2 ( ) 1n nC Cη η= −

De exemplu în cazul 21

=ε şi n=3 avem:

( )( )

( )

( )23

23

23

2

34411

3441

34411

11ηη

ηη

ηηηρ

−+

−=

−+−=j

( )( )

( )222

222

344

1

3441

)()()( 22111

+−

+−==−

−=

nn

nn

sinninnin

ss

ssjss

nηηρρρ

a)

b)

Figura 3. Scheme duale de filtre trece jos de tip Cebîşev în banda de trecere cu ε =1/2 şi cu terminaţii rezistive egale.

Rezultă:

( )1

3

3 2

32252 22

n n

in nn

n n

s ss ss s

ρ

⎛ ⎞± +⎜ ⎟⎝=

1

⎠

+ + + (21)

( )( )1

( ) 3 21 1( )( ) 21 1

1 4 2 4 1 12 11 2 12 1

An nA n n n

in nAn n n n

nn

s s s szs s s s

s

ρρ

+ + + += = = +

− + + +s

+

(22)

121

12

11)(

)(

1

1

++

+==

nn

n

Ain

Bin

ss

szz . (23)

Cele două scheme duale cu valori normate ale filtrelor trece jos de tip Cebîşev în banda de

trecere cu 12

ε = sunt reprezentate în figura 3.

Filtrele LC de tip trece sus, trece bandă sau opreşte bandă pot fi obţinute din cele de tip trece jos prin transformări de frecvenţă sau de reactanţă. Trecerea de la tipul trece jos la tipul trece sus se face conform relaţiei:

ns

nj ss 1

= . (24)

Figura 4. Transformările elementelor de circuit în cazul transformării de frecvenţă de la tipul trece jos, la tipul trece sus.

Figura 5. Schema de filtru trece sus obtinută prin transformarea de frecvenţă a schemei din figura 1b).

Transformările elementelor de circuit în acest caz sunt prezentate în figura 4. În figura 5 este arătată schema de filtru trece sus rezultată prin transformarea schemei din figura 1b). Transformarea de frecvenţă pentru trecerea de la o schemă de tip trece jos la una de tip trece bandă este conform relaţiei:

nB

nBnj s

ss

δ12 +

= . (25)

Figura 6. Transformările elementelor de circuit în cazul transformării de frecveţă de la tipul trece jos, la tipul trece bandă.

În relaţia (25) cf

B=δ este banda de frecvenţă de trecere normată a filtrului trece bandă,

fiind frecvenţa centrală din banda de trecere a filtrului trece bandă. Folosind relaţia (25) rezultă transformările elementelor de circuit din figura 6.

cf

Schema filtrului trece bandă, obtinută prin transformarea schemei de filtru trece jos din figura 1c), este prezentată în figura 7.

Figura 7. Filtrul trece banda obtinut prin transformarea de frecventa a filtrului din figura 1c).

Transformarea de frecvenţă pentru trecerea de la o schemă de tip trece sus, la o schemă de tip opreşte bandă este:

OB

OBns s

ss

δ12 +

= (26)

În relaţia (26) c

Bf

δ = este banda de oprire normată a filtrului opreşte bandă, cf fiind

frecvenţa centrală din banda de blocare a filtrului opreşte bandă. Folosind relaţia (26) transformările elementelor de circuit sunt cele din figura 6, aceste transformări fiind operate acum în schema filtrului trece sus. Schema filtrului opreste banda obţinută prin transformarea filtrului trece sus din figura 5 este dată în fugura 8.

Figura 8. Filtrul opreşte bandă obţinut prin transformarea de frecvenţă a filtrului din figura 5.

4. Desfăşurarea lucrării

Figura 9. Schema de măsură folosită în lucrare.

Schema pentru măsurarea caracteristicilor amplitudine–frecvenţă ale filtrelor din lucrare este dată în figura 9. Multimetrul numeric poate măsura tensiuni până la frecvenţa de 100 kHz. Pentru filtrele care necesită la măsurare frecvenţe peste 100 kHz se poate folosi osciloscopul. Generatorul de funcţii va lucra generând semnal sinusoidal. A) Se ridică caracteristica amplitudine-frecvenţă a filtrului LC din figura 1c), rezistenţele terminale fiind . Se fixează tensiunea de la generator la E=2 V. Această tensiune se masoară cu generatorul în gol. Se completează tabelul 1.

0 600 g sR R R= = = Ω

Tabelul 1

f(kHz) ( )VU 2

s

gc R

REU

fH 22)( =

Se reprezintă grafic ( )cH jf funcţie de frecvenţa f, masurată în kHz. Se citeşte din grafic frecvenţa de tăiere a filtrului (kHz) la -3 dB, adică frecvenţa la care amplitudinea cade la tf

( 02

cH j , unde s

gc R

REU

sH 22)( = .

B) Se calculează elementele denormate ale schemei din figura 1c) folosind relaţiile (10)-(12), considerând tt fπωω 20 == . C) Se masoară caracteristica fază-frecvenţă a filtrului din figura 1c), folosind metoda sincronizării pentru un osciloscop cu două canale. Se masoară timpul de întârziere , între semnalul de la intrarea filtrului şi semnalul de la ieşirea filtrului, la diverse frecvenţe. Se completează tabelul 2. Faza se calculează cu relaţia:

0t

0

0 0( ) 360 360tf t fT

ϕ = − = − (27)

unde T este perioada semnalului sinusoidal aplicat la intrarea filtrului.

Tabelul 2

f(kHz) 0t

)(gradeϕ )(gradetϕ

In tabelul 2 tϕ este faza teoretică şi se calculează cu relaţia:

2

2

3

3

21

2)(

t

ttt

ffff

ff

arctgf−

−−=ϕ . (28)

Se trasează pe aceleaşi axe de coordonate graficele )( fϕ şi )( ftϕ . D) Se masoară caracteristica amplitudine–frecvenţă a filtrului Butterworth de ordinul 3 din figura 2b), având şi 600 gR = Ω 1200 sR = Ω . Se fixează tensiunea masurată în gol la

generator E=2 V. Se completează un tabel similar cu tabelul 1. Se reprezintă grafic )( jfHc funcţie de frecvenţa f masurată în kHz. Se citeşte din grafic frecvenţa de tăiere , măsurată la

-3 dB, adică frecvenţa la care amplitudinea este

tf

2)0( jH c .

E) Se calculează elementele denormate ale schemei din figura 2b), folosind relaţiile (10)-(12), considerând şi gRR =0 tωω =

0.

F) Se masoară caracteristica fază-frecvenţă a filtrului din figura 2b), procedând ca la punctual C) şi se completează un tabel similar cu tabelul 2. Faza teoretică tϕ se calculează cu relaţia (28). Se trasează pe aceleaşi axe de coordonate graficele ( )fϕ şi ( )t fϕ , pentru filtrul din figura 2b).

G) Se repetă punctul A) pentru filtrul trece jos de tip Cebîşev în banda de trecere din figura 3b). Se citeşte din graficul )( jfHc frecvenţa , care este frecvenţa limită de sus a benzii în sens Cebîşev a filtrului.

)(kHzft

H) Se repetă punctul B) pentru filtrul din figura 3b). I) Se repetă punctul C) pentru filtrul din figura 3b). Se calculează ) pentru filtrul din figura 3b) şi se deduce

(sH c

)(arg)( jfHf ct =ϕ , pentru a completa în tabelul 2. J) Se repetă punctual A) pentru filtrul trece sus de tip Butterworth din figura 5. Se citeşte din grafic frecvenţa de tăiere a filtrului la -3 dB, adică frecvenţa la care

amplitudinea cade la

)(kHzft

( )2

cH jf∞ .

K) Se calculează elementele denormate ale schemei din figura 5, folosind relaţiile (10)-(12), considerând şi 0 600 gR R= = Ω tt fπωω 20 == . L) Se repetă punctul C) pentru filtrul din figura 5. Se calculează ) pentru filtrul din figura 5 şi se deduce

(sH c

( ) arg ( )t cf H jfϕ = , pentru a completa în tabelul 2. M) Se repetă punctul A) pentru filtrele din figurile 7 şi 8. Se citeşte din grafice frecvenţa centrală a benzii de trecere şi banda de trecere la -3 dB pentru filtrul trece bandă din figura 7 şi respectiv frecvenţa centrală a benzii de oprire şi banda de oprire la 3 dB, pentru filtrul din figura 8.

cf

N) Se calculează elementele denormate ale schemelor din figurile 7 şi 8, folosind

relaţiile (10)-(12), considerând 0

2c cfω ω π= = şi c

Bf

δ = .

O) Pentru fiecare din filtrele din figurile 1c), 2b) şi 3b) se reprezintă grafic pe aceleaşi

axe de coordonate ( )cH jη şi ( )ctH jη , unde tf

f=η şi ( )ctH jη este caracteristica

amplitudine-frecvenţă a funcţiei de transfer compuse teoretice.

5. Intrebări a) De ce sunt mai uşor de realizat experimental schemele din figurile 1c), 2b) şi 3b), faţă

de cele din figurile 1b), 2a) şi respectiv 3a). b) De ce s-a preferat la filtrul trece sus din figura 5 o schemă în T şi nu una în π ? c) Cum se poate obţine schema duală a unei scheme date? d) In ce situaţii se preferă să se lucreze cu parametrii de lucru pentru un diport şi nu cu

parametrii imagine? e) Care sunt avantajele şi dezavantajele filtrelor LC în comparaţie cu filtrele active RC? f) Ce se poate constata dacă se compară două filtre trece jos de tip Butterworth şi

respectiv, de tip Cebîşev de acelaşi ordin şi aceeasi frecvenţă de tăiere?

Aplicaţii a) Să se gasească schemele cu valori normate de filtru trece jos de tip Butterworth de

ordinul 2, cu terminaţii rezistive normate 1== s . g rrb) Pentru filtrele de la a) sa se gasească corespondentele lor de tip trece sus, obţinute

prin transformări de frecvenţă. c) Pentru filtrele de la a) şi b) să se reprezinte grafic caracteristicile de fază funcţie de

frecvenţa normată.

d) Folosind filtrele de la punctual a) să se gasească filtrele de tip trece bandă şi opreşte bandă, cu banda normată de trecere, respectiv de blocare δ .

e) Să se reprezinte grafic pentru frecvenţe pozitive )(ηnC şi )(1

1(22 ηε

ηnC

jH+

= ,

pentru 21

=ε şi n=2,3.