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Introducción

La investigación que presentamos seenmarca en el trabajo desarrollado por elgrupo de investigación de la Universidad deCádiz “Desarrollo Profesional del Docente”,Hum462 del PAI de la Junta de Andalucía.Una de las agendas de investigación pues-ta en marcha, desde 1992, en el seno delgrupo, está en relación directa con los pro-cesos de enseñanza y aprendizaje del cono-cimiento probabilístico. En concreto nuestrotrabajo esta centrado en el análisis del “Tra-tamiento del Azar” en Educación SecundariaObligatoria y, para ello, comenzamos anali-zando algunos de los libros de textos pro-puestos desde las editoriales para estenivel, pues pensamos que en numerosasocasiones éstos organizan la docencia delprofesor de matemáticas de esta etapaeducativa (Serradó, 2003).

En este artículo, presentamos las caracteri-zaciones que se reflejan en una muestra delos libros de texto más vendidos en nuestro

La caracterización escolar de la noción de probabilidaden libros de texto de la ESO

Anna Serradó BayésPilar Azcárate Goded

José María Cardeñoso Domingo

La importancia del

libro de texto, como

recurso básico para el

profesor, se refleja en

la cantidad de

investigaciones

desarrolladas en los

últimos años sobre

este instrumento

educativo, pero en lo

relativo a los libros de

estadística, el tema es

de reciente

investigación.

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entorno, sobre la noción de probabilidad.Éstas surgen de los resultados correspon-dientes al análisis de los conocimientos queintroducen los textos con referencia a lanoción de Probabilidad y al cálculo de Pro-babilidades.

Figura 1

Para ello, nos formulamos los siguientesinterrogantes:

¿Cómo caracterizan los libros de texto lanoción de probabilidad? ¿Cómo caracteri-zan su medida? ¿Qué tendencias existen enla caracterización de la noción de probabi-lidad?

Una primera aproximación al análisis de lavalidez de los interrogantes formulados, ylas respuestas aportadas desde las investi-gaciones en Didáctica y, en particular, enDidáctica de la Probabilidad, la hemos rea-lizado mediante la revisión de los antece-dentes de esta investigación.

Antecedentes de la investigación

La importancia del libro de texto, comorecurso básico para el profesor, se reflejaen la cantidad de investigaciones, en tornoa este, que se han desarrollado en los últi-mos años. Estas investigaciones se orientana diferentes temáticas.

Un primer grupo de investigaciones se hancentrado en estudiar la influencia de loslibros de texto en la aplicación del currícu-lo en las aulas, estableciendo cómo loslibros de texto actúan de enlace entre lasdisposiciones curriculares y los profesores(Albatch, 1991; Apple, 1989; Gimeno, 1995;Goodson, 1989, 1995 y Konior, 1993). Elanálisis de las principales conclusiones pre-sentadas en estas investigaciones nos indi-can que, como indica Torres (1991), loslibros de texto son los principales homoge-neizadores del sistema educativo.

En el campo de la Educación Matemática,se han realizado multitud de investigacio-nes que analizan la influencia del libro detexto en el proceso de enseñanza y apren-dizaje (McGinty, Van Beyned y Zalewski,1986; Batanero, Godino y Navarro-Pelayo,1993; Sierpinska, 1993; Cardeñoso y Azcá-rate, 1995; Sanz, 1995; Harrys, 1997; Pepiny Haggarty, 2000). Estas investigacionesresaltan que los libros de texto son repre-sentaciones del currículo, y su principalpapel, es actuar como nexos entre elcurrículo y la acción. Los profesores ejercen

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Currículum

Intervención delprofesor

¿Cómo enseñar?¿Qué enseñar?

Libros de texto

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el control sobre el currículo, como si loaprobasen, usando los libros de texto, alservicio de sus propias percepciones delsignificado de la enseñanza y aprendizaje.Boostrom (2001: 242), confirma esta idea,afirmando que “el papel principal de unlibro de texto no es presentar información,pero sí apoyar la instrucción. El libro detexto adquiere el propósito de crear condi-ciones de aprendizaje”.

Un segundo grupo se centra en el análisisde los aspectos didácticos de los libros detexto, relacionándolos con las característi-cas del discurso escrito o la ilustración, laamenidad o facilidad para la comprensiónlectora, la estética y cromática o los valoresimplícitos (sexismo, discriminación delniño, racismos, etc.). En esta línea, destaca-mos las investigaciones de Rothery (1980),Murray (1988) y Sierpinska (1993) sobre lacomprensión lectora en el área de mate-máticas.

Otro de los aspectos analizados en algunasinvestigaciones esta orientada al análisisdel lenguaje que se utiliza en los libros detexto; por ejemplo, las investigaciones dePimm (1987), González (1993) y Morgan(1996) se centran en el lenguaje matemáti-co que se utiliza en los libros de texto. Yaen el campo de estudio del conocimientoprobabilístico, el estudio presentado porAzcárate y Cardeñoso (1996), trata el len-guaje del azar su significado y su relacióncon el lenguaje cotidiano y, el trabajo deOrtiz y Serrano (2001), presenta un análisis

sobre el lenguaje probabilístico en los librosde texto.

Con respecto a un aspecto más global queel lenguaje como son los sistemas de repre-sentación simbólica utilizada en los librosde textos, es interesante la investigación deGonzález (2002) sobre los “Sistemas sim-bólicos de representación en la enseñanzadel análisis matemático: perspectiva histó-rica”, trabajo que debe considerarse comoun antecedente de esta investigación alaportar información sobre las diferentestendencias en los modelos didácticos sub-yacentes en los textos analizados desdefinales del siglo XVII, enfatizando la inde-pendencia entre la tendencia del modelodidáctico y el periodo histórico analizado.

Algunas investigaciones tienen un caráctermás global, relacionado con la forma en queun material curricular está elaborado y cómo,de un modo explícito o implícito, éste deter-mina gran parte de la escolarización (Martí-nez Bonafé, 1995; 2000). Es decir, el libro detexto no es significativo sólo por el conoci-miento de la materia que aportan, sino tam-bién por las estrategias que usan, las cualesfacilitan la planificación y el desarrollo de laenseñanza al profesor (Serradó y Azcárate,2003; Azcárate, Serradó y Cardeñoso, 2004).

En esta línea, los trabajos de Chevalard(1991) y Kang y Kilpatric (1992) sobre latransposición didáctica presente en loslibros de texto ya informaban sobre losprocesos que deben realizar los autores de

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los libros de texto. Desde sus concepcioneseducativas deben transformar el sabersabio en saber escolar, asequible a losalumnos, reduciendo el contenido, simplifi-cando su presentación y tratando de bus-car ejemplos que motiven a los alumnos ysean comprensibles para ellos.

También en la misma línea está la investi-gación desarrollada por Serradó (2000), enla que presenta un análisis de la estructuraorganizativa de las unidades didácticasreferidas al “Tratamiento del Azar”, presen-te en una muestra de libros de textos dematemáticas para la ESO. Análisis que, enuna investigación posterior, se completócon el estudio del tratamiento del conoci-miento probabilístico que se reflejaba endichas unidades, analizando las formas enque las nociones fundamentales de dichoconocimiento son presentadas y tratadas(Serrado, 2003).

Estas revisiones nos indican la importanciade los estudios sobre los libros de texto enel ámbito de la investigación educativa.

Marco teórico

Para abordar los problemas formulados esnecesario disponer, en primer lugar, de unreferente conceptual que oriente el procesode investigación apoyado en las revisionesteóricas tanto de carácter epistemológico,como cognitivas y didácticas, así como en laliteratura de investigación, referente ya pre-sentado en trabajos anteriores (Azcárate,

1995; 1996b). Su elaboración nos ha per-mitido, por un lado, dispone de un marcode referencia y formular las hipótesis deinvestigación en cada uno de los aspectosconceptuales considerados en esta investi-gación, que orientan la interpretación delos datos obtenidos y, por otro lado, laconstrucción de los instrumentos de inves-tigación, coherentes con la estructura dedicha hipótesis.

Así, desde nuestra perspectiva, considera-mos el conocimiento como un sistema deideas con distintos niveles de, concreción yarticulación, que está sometido a una evo-lución y reorganización continua, según unproceso abierto e irreversible. Estas rees-tructuraciones las podemos concretar endiferentes niveles de formulación que con-figuran una hipótesis de progresión delconocimiento.

En nuestro caso particular, el estableci-miento de esta hipótesis de progresión sebasa en considerar que una secuenciaciónadecuada en el tratamiento del conoci-miento probabilístico en los procesos deenseñanza y aprendizaje ha de ser cohe-rente con la posible evolución que han dereflejar los sujetos respecto al dominio dedicho conocimiento. Así, una posible basepara la secuenciación del tratamiento delos contenidos en el aula, ha de partir de lasintuiciones primarias de los alumnos,detectando los posibles obstáculos, dificul-tades, sesgos o usos de heurísticos que rea-lizan los alumnos de forma intuitiva, para

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progresivamente facilitar la elaboración deun cuerpo de conocimiento formalizado.Los posibles momentos que caracterizanesta hipótesis de progresión del Tratamien-to del Azar, se deben considerar como esta-dios en la construcción del conocimientoprobabilístico. El avance progresivo quepermite el paso de un estadio a otro supo-ne la superación de unos determinadosobstáculos relacionados con las nocionesde azar, aleatoriedad y probabilidad, quehan de permitir al sujeto reformular el sig-nificado que se otorga a estas nociones. Esdecir, esta hipótesis de progresión no sepuede considerar como una exposiciónlineal de una secuenciación jerarquizada,sino como un referente teórico que nospuede servir a la hora de analizar las deci-siones sobre cómo se han de introducir lasdiferentes nociones en los textos.

La construcción de esta hipótesis de pro-gresión sobre el “Tratamiento del Azar”, seapoya en las hipótesis de progresión delconocimiento probabilístico presentadaspor Shaughnessy (1992), Azcárate (1996a,1996b) y Cardeñoso (2001a), en la que seintentaban construir modelos explicativosglobales del funcionamiento de los indivi-duos ante situaciones de incertidumbre,como tales son sólo referentes teóricos quenos facilitan el análisis.

Desde los estudios realizados hemos dife-renciado cuatro posibles caracterizacionesde las formas de hacer del profesorado a lahora de tratar estos conocimientos en el

aula, formas que podemos encontrar tam-bién en las propuestas presentadas en lostextos, entendidas como la concreción dela visión que sus autores mantienen sobreel tratamiento del conocimiento probabi-lístico y que nos han de servir como refe-rente teórico en nuestra investigación:

No incluye el “Tratamiento del Azar”explíctamente

No se introducen en la planificación de laintervención en el aula los bloques de con-tenidos relacionados con el “Tratamientodel Azar” de forma explícita, sino que sepresentan las diferentes nociones distribui-das por los distintos bloques. Las argumen-taciones por las cuáles no introduce estebloque de contenidos están basadas enotorgar más importancia a otros bloquesde contenidos, que se sustentan bajo unasbases deterministas.

Tratamiento intuitivo de la probabilidad

Aparecen algunas explicaciones sobre el sig-nificado del azar, estableciendo la relacióncon los fenómenos, experimentos o sucesosaleatorios. Se otorga más importancia a lacuantificación de la probabilidad que a lacomprensión de su noción. La falta de énfa-sis en una conceptualización adecuada de laprobabilidad, se intenta solucionar con unamayor incidencia en la cuantificación de laprobabilidad, desde aceptaciones subjetivascomo la referida a la contingencia del suceso

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hasta la cuantificación de la probabilidad,que se realiza a partir de razonamientos pro-porcionales asociados a espacios de sucesosequiprobables y finitos, que permiten intro-ducir la Regla de Laplace.

Tratamiento emergente

Se presentan diferentes interpretacionesdel significado del concepto de probabilidad,como puede ser la Laplaciana o la Frecuen-cial. Aplican estas nociones en la cuantifica-ción de la probabilidad en cualquier tipo decontexto (juegos, físicos, químicos, metereo-lógicos,…), como los indicados por Carde-ñoso (2001a).

Tratamiento normativo

Se presenta una profunda reflexión sobre losmodelos matemáticos para el tratamiento de

la incertidumbre (Clásico- Laplaciano,Bayesiano o Frecuencial), de sus interaccio-nes y de la complejidad de su aplicación endistintas situaciones. Estas reflexiones sus-tentan la necesidad de la introducción deuna axiomática de la probabilidad y unavisión integradora desde la Teoría de laMedida.

La siguiente tabla resume las diferentesformas que configuran esta hipótesis deprogresión en relación con el tratamientode la probabilidad, tanto en el aspecto con-ceptual como en su cuantificación. Su ela-boración nos ha permitido, por un lado,dispone de un marco de referencia y for-mular las hipótesis de investigación encada uno de los aspectos conceptualesconsiderados en esta investigación, queorientan la interpretación de los datosobtenidos.

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No inclusión Tratamiento Tratamiento Tratamientoexplícita intuitivo emergente normativo

Coceptual Se presentan Explicaciones Explicaciones Modelización

algunas subjetivas y subjetivas, (laplaciana,

explicaciones laplacianas en frecuenciales y frecuencial,

subjetivas contextos laplacianas en bayesiana) como

de juegos cualquier tipo base para la

de contexto definición axiomática

Cuantificador Se promueven Razonamientos Razonamientos Razonamientos

razonamientos aditivos sobre la proporcionales combinatorios y

aritméticos contingencia y combinatorios aplicación de

del suceso (cómo incompletos propiedades desde la

síntesis del Azar/ visión normativa

Necesidad)

Razonamientos

proporcionales

PRO

BABI

LID

AD

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Y, por otro lado, la construcción de los ins-trumentos de investigación, coherentescon la estructura de dicha hipótesis.

Descripción de la investigación

En el análisis de los libros de texto, laestrategia metodológica que se utiliza esel análisis de contenido (Bardín, 1986).Puede considerarse el análisis de conte-nido como un instrumento de respuestaa la curiosidad del hombre por descubrirla estructura interna de la información,bien en su composición, su forma deorganización o estructura, bien en sudinámica. El procedimiento se basa en elsupuesto de que las informaciones ver-bales o escritas, obtenidas en diversassituaciones, proporcionan informaciónválida para delimitar los principios querigen cualquier discurso. El análisis decontenido hace referencia a dos nivelesde análisis: el manifiesto o lo que apare-ce y el latente o lo que subyace o puedeleerse entre líneas, en el que el investiga-dor trata de codificar el significado de larespuesta o de la motivación subyacentede la conducta descrita. Es importantetener en cuenta este aspecto, porquerefleja o puede reflejar la imagen que undeterminado texto quiere promover oformar en sus lectores. En este sentidotiene una función básica en esta investi-gación, descubrir aspectos del discursode un modo más sistemático que por elsimple tanteo.

El análisis de contenido se realiza desde elmarco de referncia constituido y su fasesson: la determinación de los objetivos, lamuestra, las categorías y la hipótesis deprogresión, la elaboración de un instru-mento de recogida de información, la codi-ficación de la información en relación conlas categorías, la interpretación de losdatos obtenidos y la elaboración de lasconclusiones.

Objetivos de la investigación: Los obje-tivos que guían esta investigación son:

• Analizar las caracterizaciones que pre-sentan los libros de texto de la probabi-lidad.

• Analizar las caracterizaciones que pre-sentan los libros de texto de la probabi-lidad en relación con la identificaciónde la probabilidad con un valor numé-rico.

• Identificar las diferentes propuestas delos textos en la caracterización escolarde la noción de probabilidad.

• Relacionar las diferentes propuestas delos textos con el perfil establecido en lahipótesis de progresión.

La muestra: La elección de la muestra delos libros de texto (Anexo I) se realizó a par-tir de determinados parámetros.

• En primer lugar, la incidencia en nues-tra comunidad educativa, para ello rea-lizamos durante los años 1998 y 1999un análisis de los libros de texto que se

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vendieron en la provincia de Cádiz, apartir de la comprobación de cuáles sonlos libros de texto de Matemáticas másvendidos en la provincia y con másincidencia escolar por su mayor difu-sión. Estos libros de texto eran de laseditoriales Anaya, S.M., Santillana, Bru-ño, Casals, McGraw Hill, Guadiel, Editexy Vicens Vives.

• Por otro lado, la necesidad de analizarlibros de texto que presenten los cono-cimientos secuenciados a lo largo detoda la Etapa, nos obligaba a seleccio-nar editoriales que tengan desarrolladoel proyecto curricular de las tres etapasde Educación no Universitaria: Prima-ria, Secundaria y Bachillerato. Se supo-ne que estas editoriales deberían teneruna continuidad en el diseño de loslibros de texto y en el tratamiento delazar.

Con estas condiciones, de las nueve edito-riales se escogieron finalmente cuatro,como elementos de la muestra, Bruño,Santillana, Mc Graw Hill y Guadiel. Decada uno de las editoriales se analizaronlos cinco libros que componen el proyectocurricular (primero, segundo, tercero ycuarto opción A y B), salvo la EditorialGuadiel que sólo tiene desarrollado yaprobado el libro de texto de Matemáticasde 4º opción B.

El formulario: El instrumento de recogidade información es un formulario que cons-ta de tres secciones.

• Una primera sección dedicada a“Aspectos generales sobre la estructurade los libros de texto”.

• Una segunda sección con dos partes,dedicadas a la noción de aleatoriedad yprobabilidad.

• Una tercera sección dedicada al análisisde las actividades relacionada con elconocimiento probabilístico.

En el Anexo II se presentan las partes delformulario relacionadas con la caracteriza-ción de la noción de probabilidad. Para laorganización y análisis de los datos obteni-dos, se tomaron como referencia los indi-cadores extraídos desde la hipótesis deprogresión para caracterizar cada nivel. Acontinuación presentamos los principalesresultados del estudio en relación con losinterrogantes formulados.

Caracterización escolar de la probabilidad

Todos los textos analizados introducen enlas unidades dedicadas al “Tratamiento delAzar”, una sección dedicada a la presenta-ción del lenguaje cotidiano asociado conla expresión de los grados de creencia per-sonales sobre la ocurrencia de ciertossucesos. Estas secciones de los textos sir-ven de introducción a la presentación delsignificado de la probabilidad y su poste-rior cálculo.

En particular, la editorial Bruño establece lagraduación de la ocurrencia del suceso a

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partir del término probable, matizándolo alconsiderar los diferentes adjetivos quecomplementan el término.

La editorial Santillana establece el grado decreencia asociado a la posibilidad de ocu-rrencia del suceso, estableciendo una gra-dación acorde con la terminología utilizadapara los sucesos que va desde imposiblehasta seguro, pasando por bastante posibleo muy posible. En dicha gradación se iden-tifica el término posible con probable.

La editorial McGraw Hill utiliza indistinta-mente los términos probable y posible paracuantificar los diferentes grados de incerti-dumbre asociada a un suceso aleatorio.Enfatiza el carácter subjetivo del uso dellenguaje cotidiano, indicando que “el len-guaje cotidiano no es muy preciso, encambio, el matemático si debe serlo”(McGraw Hill 1º, pág. 246). Para otorgar uncarácter matemático a la probabilidadsugiere cuantificar la incertidumbre de for-ma objetiva a partir de la asignación de unnúmero entre 0 y 1.

Los textos de la editorial Guadiel utilizan eltérmino probabilidad y sus matizaciones apartir de adjetivos, para “medir el gradode certeza de dicha situación” (Guadiel4º, pág. 132). El uso del término certezapuede ser, en su raíz etimológica, antagó-nico al significado que adquiere la nociónde probabilidad en el estudio de los fenó-menos/experimentos aleatorios. Aunquelos argumentos lógicos y los esquemas

causales (deterministas) han tendido hadominar los argumentos científicos aso-ciados a la presentación del conocimientoprobabilístico (Borovnick y Peard, 1996).

Es más, para poder realizar comparacionesentre los fenómenos reconocidos comoinciertos, la forma por la cual es factible dichacomparación es determinar y fijar un aconte-cimiento reconocido como aleatorio, comonexo de la relación entre fenómenos. El resul-tado de tal comparación es una familia declases de referencia ordenadas, donde tienesentido plantearse la ocurrencia indetermi-nada de un cierto acontecimiento (Cardeño-so, 2001a). Bajo este supuesto, utilizamos laterminología grados de incertidumbre de unsuceso, como los elementos de la clase dereferencia ordenada de la falta de certidum-bre en la ocurrencia de un suceso.

Estas explicaciones se complementan conun conjunto de actividades con diferentesfinalidades según la editorial. El texto de laeditorial Guadiel no introduce actividadesrelacionadas con el tratamiento de lanoción cotidiana de la probabilidad. Lasactividades propuestas en los textos de laeditorial Bruño, asociadas a los juegos delazar, tienen por finalidad asignar grados deincertidumbre. Por ejemplo: “Asigna el tér-mino «muy probable» o «poco probable» alos resultados de los siguientes fenómenosaleatorios: «obtener el primer premio de lalotería de Navidad», «obtener una bola blan-ca de un bombo con diez bolas de las nueveque son blancas», «obtener la devolución del

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dinero en el sorteo de la ONCE» “. (Bruño,1º, pág. 236).

La editorial Santillana introduce la nociónde la probabilidad en el primer ciclo de Edu-cación Secundaria Obligatoria estableciendopuentes para que los alumnos relacionenel lenguaje cotidiano con el lenguaje proba-bilístico y analicen la bondad de la asigna-ción del grado de incertidumbre asociado a

situaciones didácticas relacionadas con losjuegos y ámbito cotidiano.

La tabla siente recoge las diferencias exis-tentes entre las cuatro editoriales de lamuestra con referencia a los contextos deejemplificación, exploración y aplicación, ya la finalidad que adquieren en el procesode enseñanza y aprendizaje las actividadespropuestas.

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Editorial Editorial Editorial EditorialBruño Santillana Guadiel McGraw Hill

Contextos de Generadores Generadores Generadores Generadores

ejemplificación aleatorios aleatorios aleatorios aleatorios

Juegos de azar Ámbito Social Ámbito Social Ámbito Social

Contextos de Juegos de azar Juegos de azar Juegos de azar Generadores

exploración aleatorios

o aplicación Juegos azar

Ámbito Social

Meteorológico

Finalidad de Asignar grados Asignar grados Medir el grado de Expresar el grado de

las actividades incertidumbre incertidumbre certeza confianza

Asociar lenguaje Asignar grados

cotidiano con el incertidumbre

lenguaje Asociar el lenguaje

probabilístico probabilístico con un

Analizar la bondad número de 0 a 1

de la asignación Analizar la bondad

del grado de de asignación del

incertidumbre grado de

asignado incertidumbre

asignado

Analizar paradojas

de la probabilidad

y usos erróneos

de su significado

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Caracterización escolar de la probabilidad comomedida de la incertidumbre

En este caso, las editoriales Bruño y Santi-llana, en el primer ciclo de la EducaciónSecundaria Obligatoria, definen la probabi-lidad a partir del número que asignancomo medida de la incertidumbre. En elcaso particular de la Editorial Bruño se leasigna el valor que se obtiene al aplicar laregla de Laplace. En cambio, la editorialSantillana define la probabilidad a partir dela posibilidad de otorgar un númeroentre 0 y 1, para posteriormente introducirla regla de Laplace. En ambas editoriales, ladeducción de la regla de Laplace se realizaa partir de la generalización de razona-mientos proporcionales que surgen de lacomparación de los resultados correspon-dientes a asignar posibilidades de ocurren-cia a experimentos asociados al giro deruletas.

Cardeñoso (2001b), analiza la comparacióncomo elemento definitorio de la probabili-dad. Según este autor, para poder compa-rar se ha de identificar o construir elespacio de referencia. Por lo que las estra-tegias de recuento van a ser imprescindi-bles para la posterior comparación (Kyburg,1974). Éstas pueden ser desde un simpleinventario, bien por análisis de las sime-trías del aleatorizador, bien por la observa-ción de la ocurrencia de acontecimientosdiferenciados respecto al mismo fenóme-no. En el caso concreto de la propuesta de

estas dos editoriales, la comparación serealiza mediante ruletas entendidas comogeneradores aleatorios que facilitan el aná-lisis de las simetrías.

Por una parte, el uso de ruletas como alea-torizador, con regiones de dos o mas colo-res, permiten visualizar mejor la relaciónparte-parte, comparación que consolida elrazonamiento del tipo de la Contingenciade un suceso, como expresión de la compa-ración aditiva entre las porciones de laruleta favorables a un color determinado ylas porciones desfavorables a dicho color.Ortiz y Serrano (2001) indican que unaruleta visualiza mejor la relación parte-todo, y por tanto, la regla de Laplace. Estetipo de generadores aleatorios permite alalumno realizar comparaciones de tipogeométrico que favorecen la visualizaciónde la proporción a considerar, aunque nostememos que su significado no vaya masallá del meramente espacial, como recogeMauvy (1984), en situaciones de compara-ción de una variable, no tiene problemas enrealizar comparaciones con herramientasmatemáticas descontextualizadas, de tipoaditivo o proporcional. El uso de este tipode generadores aleatorios, aunque facilitael establecimiento de comparaciones, pue-de fomentar la asociatividad, sin ningunasignificación novedosa, entre el generadoraleatorio y el tipo de conocimiento proba-bilístico a aplicar.

En cambio, los textos de la editorialMcGraw Hill que han definido previamente

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la probabilidad a partir de la estabilidad delas frecuencias, introducen de forma dife-rente la Regla de Laplace. La editorialMcGraw Hill solicita en el texto de 3º deESO, que los alumnos asignen valoresnuméricos “mediante fracciones” y realicencomparaciones, que les permitan deducirde otra forma los valores que previamentehan aprendido a determinar, a partir deanalizar la estabilidad de las frecuenciasrelativas, asociadas a experimentos aleato-rios con sucesos elementales equiposibles ono. La propuesta de comparación que pro-pone esta editorial, según la clasificaciónde Cardeñoso (2001a), estaría relacionadacon la observación de la ocurrencia deacontecimientos diferenciados respecto almismo fenómeno. La propuesta de cuanti-ficación de la probabilidad que se solicita alos alumnos es la realización de razona-mientos proporcionales.

En el texto de 2º de ESO (pág. 132) de laeditorial Guadiel se define:

Figura 2

“En matemáticas, la probabilidad de un

suceso A se mide asignándole un número

entre 0 y 1, al que llamaremos P(A)

P(A)=0 significa que el suceso A no ocurrirá

nunca al realizar un experimento aleatorio,

mientras que P(A)=1 significa que A ocurri-

rá con absoluta seguridad.

Los valores intermedios de P(A) se corres-

ponden con diversos grados de certeza:

muy probable, improbable, etc.”.

La comprensión del significado de la cuan-tificación de la probabilidad se basa en elconocimiento del significado de la palabracerteza. La falta de clarificación de la pala-bra certeza, al igual que otros términos,cobran un papel primordial en la introduc-ción de la idea de aleatoriedad. En general,la descripción de las características atribui-das a los resultados de los experimentos serealiza mediante el uso de palabras comoimprevisibles, incierto, etc., con las que sepretende que se evoquen las propiedadesde tales fenómenos, pero cuyas propieda-des no suelen clarificarse (Batanero ySerrano, 1999).

Es más, el uso del término certeza reafirmael carácter determinista que se le otorga ala noción de probabilidad. Desde un puntode vista ontológico determinista, todo tie-ne una determinada causa y un determina-do efecto. Para poder analizar estas causas,Descartes propuso un método analítico queconsistía en la reducción de todo fenó-meno físico a relaciones matemáticasexactas y sugirió la idea de certeza en elmundo científico. En el caso de la nociónde aleatoriedad la influencia del determi-nismo dificulta la construcción de lanoción de experimento aleatorio (Serradó,Azcárate y Cardeñoso, 2005). Un tratamiento

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A P(A)

0<P(A)<1

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inadecuado de la forma de contextualizar yreferenciar los objetos (acontecimientos,fenómenos, experimentos aleatorios…)puede ocasionar un obstáculo didáctico enla comprensión de la noción de aleatorie-dad y probabilidad (Serradó, Azcárate yCardeñoso, 2005).

A su vez, las afirmaciones establecidas paralos sucesos que cumplen P(A)=0 y P(A)=1se restringen a espacios muestrales finitos,configurándose a la larga como un obstá-culo en la construcción del significado dela probabilidad para espacios muestralesinfinitos. En cambio, en 4º de ESO, se intro-duce la noción de probabilidad a partir delestudio frecuencial.

Tendencias y perfiles de las diferentes editorialesen la caracterizaciónescolar de la noción de probabilidad

A partir del análisis y comparación de lasdiferentes caracterizaciones de la nociónde probabilidad que se realizan en los librosde texto, observamos que existen dos posi-bilidades de otorgar un significado objetivoa la noción de probabilidad y su cuantifica-ción.

• La editorial Bruño y Santillana:En primer lugar, caracterizan la nociónescolar de probabilidad a partir de laexpresión de los grados de creenciapersonales sobre la ocurrencia de ciertos

sucesos. En segundo lugar, se le asignaun valor numérico que permita cuanti-ficar la probabilidad de un suceso apartir del contraste entre diferentessucesos. Para posteriormente introducirla Regla de Laplace.Para finalizar, relacionan el valornumérico que se obtiene de la aplica-ción de la regla de Laplace con el estu-dio teórico de la estabilidad de lasfrecuencias relativas.

• La editorial McGraw Hill:Define la probabilidad a partir de laestabilidad de las frecuencias relativascorrespondientes a la repetición de unexperimento, introduciendo la Regla deLaplace como la ley que permite calcu-lar la probabilidad para sucesos equi-probables y finitos.

• La editorial Guadiel:En primer lugar, le asigna a la probabi-lidad un valor numérico entre 0 y 1.Matiza en el texto que los valores inter-medios se corresponden con los diver-sos grados de certeza.Define la probabilidad de un suceso apartir del análisis de la estabilidad delas frecuencias relativas.

En relación con los posibles perfiles detec-tados entre las editoriales, observamos queel significado que otorgan las diferenteseditoriales a la noción de probabilidad pue-de considerarse una probabilidad intuitiva.Las editoriales modelizan la probabilidad apartir de la relación con el significado coti-diano del término, a partir de la posibilidad

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de medir la incertidumbre del suceso otor-gándole un carácter subjetivo. Sólo en el casode la editorial McGraw Hill se considera quelos textos presentan explicaciones y activida-des asociadas al contexto de juegos que per-miten reflexionar sobre el significado de lasfrecuencias relativas y su estabilidad comoforma emergente de introducir esta noción.

Las propuestas de cuantificación de la pro-babilidad de las editoriales Santillana yBruño se pueden englobar dentro de unperfil intuitivo, caracterizado por razona-mientos aditivos y proporcionales simples,que permiten aplicar la Regla de Laplace.Además, en los textos de la EditorialMcGraw Hill se introducen actividades yexplicaciones sobre el uso de instrumentosque facilitan la cuantificación de la proba-bilidad (diagramas de árbol, tablas derecuento de datos o tablas de contingencia)que favorecen la emergencia de razona-mientos proporcionales y combinatorios.

A nivel teórico la editorial Guadiel presen-ta un perfil que debe englobarse en una

tendencia normativa, al intentar axiomatizarla probabilidad. Pero, a nivel práctico de acti-vidades propuestas a los alumnos, se reflejauna cierta tendencia a la no inclusión de sutratamiento, sustentando sus argumentacio-nes en bases deterministas que pueden inter-ferir en la construcción de dichas nociones.

Conclusión

En conclusión, la caracterización escolarde la noción de probabilidad en los librosde texto se realiza asimilándola con sumedida desde una perspectiva clásica,como el valor que se obtiene de aplicar laregla de Laplace, o desde una perspectivafrecuencial como el valor al cual tiendenlas frecuencias relativas, sin incidir en elsignificado de esta noción. Esto conlleva aenfatizar el cálculo por encima de la com-prensión de la idea, hecho que por otroparte está presente en otros muchos casosdel currículo escolar. En relación con lahipótesis de progresión presentada su per-fil se puede englobar en un Tratamientointuitivo de la probabilidad.

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Figura 3

Bruño y Santillana Guadiel McGraw Hill

Asociación a un valornumérico

Regla de Laplace

Estabilidad frecuencias

Perspectiva clásica

Asociación al grado certeza

Estabilidad frecuencias

Regla de Laplace

Perspectiva frecuencial

105

El anterior gráfico resume la diferenciaentre los dos perfiles diferenciados quereflejan formas diferentes de presentar el

conocimiento probabilístico y de propues-tas para el aula, unas más cercanas a ten-dencias racionalistas y otras a empiristas.

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Anexo I: Relación de libros de texto de la muestra

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Editorial SantillanaALMODÓVAR, J. A.; CORBALÁN, F.; GARCÍA. P.; GIL, J.; NORTES, A. (1999): Matemáticas. Curso 1º ESO.

Madrid: Grupo Santillana de Ediciones.ALMODÓVAR, J. A.; CORBALÁN, F.; GARCÍA. P.; GIL, J.; NORTES, A. (1999): Matemáticas. Curso 2º ESO.

Madrid: Grupo Santillana de Ediciones.ALMODÓVAR, J. A.; GARCÍA. P.; GIL, J.; VÁZQUEZ, C. (1999): Matemáticas. Curso 3º ESO. Madrid: Gru-

po Santillana de Ediciones.SANTOS, D.; GARCÍA, P.; VÁZQUEZ, C.; NEVOT, A.; GIL, J.; NORTES, A. (1995): Matemáticas 3º. Madrid:

Santillana, S.A.ALMODÓVAR, J. A; GIL, J.; NORTES, A. (1998): Matemáticas Opción A. Curso 4º ESO. Madrid: Gru-

po Santillana de Ediciones.ALMODÓVAR, J. A.; GARCÍA. P.; GIL, J.; VÁZQUEZ, C. (1999): Matemáticas Opción B. Curso 4º ESO.

Madrid: Grupo Santillana de Ediciones.

Editorial GuadielGUASCH, M.; MERINO, R.; SOLSONA, J. y EQUIPO GUADIEL (1996): Matemáticas 1. Sevilla: Guadiel-Grupo

Edebé.FUSTER, M.; MARTÍN HERNÁNDEZ, F. y EQUIPO GUADIEL (1997): Matemáticas 2. Sevilla: Guadiel-Gru-

po Edebé.DOMÉNECH, Mª. A.; DOMÉNECH, M.; JIMENO, M.; MORATÓ, Mª. A.; SUÑÉ, Mª. M.; TOMÁS, J. y EQUIPO GUA-

DIEL (1995): Matemáticas 3. Sevilla: Guadiel-Grupo Edebé.FUSTER, M.; JIMENO, M.; MARTÍN, F.; MARTÍNEZ, E.; MORATÓ, Mª. A.; TOMÁS, J. y EQUIPO GUADIEL (1996):

Matemáticas 4 (B). Sevilla: Guadiel-Grupo Edebé.

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Editorial Mc Graw HillPANCORBO, L.; BECERRA, Mª. V.; MARTÍNEZ, R.; RODRÍGUEZ, R. (1995): Matemáticas 1. Madrid:

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U.BECERRA, Mª. V.; MARTÍNEZ, R.; PANCORBO, L.; RODRÍGUEZ, R. (1996): Matemáticas 2. Madrid:

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U.AMIGO, C; PEÑA, P.; PÉREZ, A.; RODRÍGUEZ, A.; SIVIT, F.; ASENCIO, Mª. J; VICENTE, E. (1996): Matemáti-

cas 3. Madrid: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U.AMIGO, C; PEÑA, P.; PÉREZ, A.; RODRÍGUEZ, A.; SIVIT, F.; ASENCIO, Mª. J; VICENTE, E. (1996): Matemáti-

cas 4 Opción A. Madrid: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U.AMIGO, C; PEÑA, P.; PÉREZ, A.; RODRÍGUEZ, A.; SIVIT, F.; ASENCIO, Mª. J.; VICENTE, E. (1997): Matemáti-

cas 4 Opción B. Madrid: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U.

Anexo II. Formulario para el análisis del contenido de los textos

Tratamiento de la noción de Probabilidad

1. Si el libro de texto tiene una estructura jerarquizada, ¿los títulos dedicados a esta secciónson?

2. A la probabilidad se le asigna una naturaleza:• Subjetiva• Objetiva

3. La asignación de esta naturaleza se basa en:• El grado de creencia personal• En una base inductiva que mide el grado de creencia racional• Una base empírica• Una base axiomática-deductiva matemática

4. En el caso de asignarle un valor objetivo a la probabilidad, ¿hace referencia a las creen-cias personales? No [ ] Sí [ ]En caso afirmativo, ¿cómo?

5. ¿Contiene definición explícita del concepto de probabilidad? Sí [ ] No [ ]En caso negativo, relaciona su definición con:• El uso del significado cotidiano del término, relacionándolo con términos como …• El grado de confianza de que suceda un resultado.• La contingencia del suceso• Su medida asociada:

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- Calculada a partir de la Regla de Laplace.- A la apuesta que ocurra un cierto suceso.

En caso afirmativo, define la probabilidad como:• El límite de la frecuencia relativa en una serie infinita de sucesos.

En el caso de que introduzca está definición frecuencial de la probabilidad - ¿Considera la definición de frecuencia relativa como el cociente

entre el número de veces que sucede A y el número de repeticiones del experimento? Sí [ ] No [ ]

- Indica si introduce como propiedades básicas de las frecuencias relativas las siguientes propiedades- Número entre 0 y 1. Sí [ ] No [ ]- Suceso seguro es 1 Sí [ ] No [ ]- Un suceso y el contrario Sí [ ] No [ ]- Unión de sucesos Sí [ ] No [ ]- Intersección de sucesos Sí [ ] No [ ]

- ¿Explica qué al aumentar el número de ensayos se produce una convergencia puntual de la frecuencia relativa hacia un valor constante teórico? Sí [ ] No [ ]

- Indica si enuncia los siguientes enunciados- La primera ley de los grandes números (ley débil) Sí [ ] No [ ]- La segunda ley de los grandes números (ley fuerte) Sí [ ] No [ ]

• Definición axiomática de la probabilidad:- ¿Considera la dotación de un conjunto de sucesos con las operaciones

de la unión e intersección de una estructura de álgebra de Boole para poder definir la probabilidad sobre está álgebra de suceso? Sí [ ] No [ ]

- Define explícitamente la probabilidad como:- La función matemática definida en el álgebra de sucesos, que toma

valores reales en [0,1] Sí [ ] No [ ]- La función de conjuntos normada y numerablemente aditiva. Sí [ ] No [ ]

- ¿Interpreta la probabilidad?En caso afirmativo, ¿cómo? Sí [ ] No [ ]

6. Para asignar probabilidades a espacios muestrales:• Éstos deben ser finitos• Pueden o no ser finitos

En el caso de considerar sólo experimentos finitos, argumenta que es debido a…

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7. En función de la posibilidad de ocurrencia de todo suceso:• Éstos deben ser equiprobables• Pueden o no ser equiprobablesEn el caso de considerar sólo sucesos equiprobables, argumenta que es debido a…

8. ¿Se requiere la repitibidad del experimento para la asignación de probabilidades? Sí [ ] No [ ]• El texto aclara el problema que puede surgir con la asignación

de probabilidades a infinitos eventos, de la siguiente forma…• Aunque hace referencia a la repetibilidad del experimento sólo

la considera en una cantidad finita de eventos, debido a…

Resumen

En este artículo presentamos los resultados correspondientes al análisis de la caracteriza-ción escolar de la noción de probabilidad en los libros de texto de Educación Secundaria Obli-gatoria. Se incluye una revisión de los antecedentes relacionados con el estudio de lainfluencia de los libros de texto en la aplicación del currículo en las aulas y el análisis de losaspectos didácticos de los libros de texto. Dicha revisión ha permitido formular un marco teó-rico y la elaboración de una hipótesis de progresión del “Tratamiento del Azar”, que funda-menta el diseño de la investigación realizada. Investigación que responde a un análisis decontenido sobre una muestra de veinte libros de las editoriales Bruño, Santillana, Guadiel yMcGraw Hill, correspondientes a los cuatro cursos de la ESO. Los resultados de la investiga-ción permiten analizar y caracterizar como es presentada la noción de probabilidad en los tex-tos, tomando como referencia su uso cotidiano y mediante la identificación de la probabilidadcon su medida y su valor numérico. Además establecemos diferentes tendencias en dichacaracterización y de los perfiles de los textos según la hipótesis de progresión presentada.

Palabras clave: Probabilidad, libros de texto, Educación Secundaria Obligatoria.

Abstract

In this article, we present the results of an analysis of the characterization of the notionof probability in Compulsory Secondary Education textbooks. We include a review of theprevious research related to the study of the influence of textbooks on teaching and on

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the analysis of methodological aspects. This summary has allowed us to formulate a the-oretical framework, based on a progression hypotheses of the “Treatment of Chance”. Thiswork is the analysis of a sample of twenty books published by Bruño, Santillana, Guadieland McGraw-Hill. The results show how the notion of probability is presented in thesetextbooks, using its everyday life concept and the identification of probability with itsnumerical value.In addition, we present the different trends in this characterization and the text profileaccording to the progression hypotheses.

Keywords: Probability, Textbooks, Compulsory Secondary Education.

Anna Serradó Bayésana.serrado@uca.es

La Salle-Buen Consejo, Teresa de Calcuta 70, 11510 Puerto Real, Cádiz

Pilar Azcárate Godedpilar.azcarate@uca.es

Dpto. Didáctica, Ftad. de CC. Educación, U. de Cádiz, 11519 Puerto Real

José María Cardeñoso Domingojosem@ugr.es

Dpto. Didáctica de la Matemática, Ftad. CC. Educación, U. Granada Campus de Cartuja, s/n, 18170, Granada

Todos ellos miembros del Grupo de Desarrollo Profesional del Docente

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