la cinematica - istituto nazionale di fisica...
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1
2
La cinematica
Velocità
Accelerazione
Il moto del proiettile
Salto verticale
La lezione di oggi
3
Meccanica e cinematica ! Meccanica: studio del moto gli oggetti
! forze esterne ! dimensioni ! massa ! distribuzione della massa
! Cinematica (dal greco kinema, moto):
studio del moto ! indipendentemente da cosa lo ha causato ! unidimensionale: moto lungo una linea retta ! moto uniforme e accelerato
4
! Posizione, cammino, spostamento
! Velocità, accelerazione
! Il moto rettilineo uniforme in 2D
! Il generico moto in 2D
! Il moto del proiettile
5
Sistema di coordinate cartesiane
origine
0
verso
direzione
unità di misura
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
scala
6
Sistema di coordinate cartesiane
0 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xfinale è maggiore di xiniziale xfinale > xiniziale
xf > xi
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Sistema di coordinate cartesiane
xfinale è minore di xiniziale
xfinale < xiniziale
xf < xi
0 m 9 8 7 6 5 4 3 2 1
8
Posizione
La persona in figura è alla posizione x = 3 m
0 m 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9
Cammino
CAMMINO (quantità sempre positiva)
lunghezza complessiva del tragitto
Casa amico ! Casa tua ! Drogheria
Cammino = 2.1 km + 4.3 km = 6.4 km
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Spostamento
SPOSTAMENTO (positivo o negativo)
Cambiamento di posizione = (Posizione finale – Posizione iniziale)
Δx = xfinale – xiniziale
Δx = xf – xi
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Esercizio Un giocatore di scacchi esegue la sua mossa,
spostando la regina di 4 caselle verso nord e di 2
caselle verso ovest (lato casella = 2.5 cm).
Determinare il cammino totale
percorso dalla regina e lo spostamento.
N
E
S
W
cammino totale = 6 caselle
= 6 x 2.5 cm = 15 cm
spostamento = √ 16 + 4 = 4.5 caselle = 4.5 x 2.5 cm = 11.25 cm
12
! Posizione, cammino, spostamento
! Velocità, accelerazione
! Il moto rettilineo uniforme in 2D
! Il generico moto in 2D
! Il moto del proiettile
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• Velocità media
Unità di misura: m/s
Moto rettilineo. Legge oraria • Descrive la posizione di un oggetto in funzione del tempo
• A fianco è data una rappresentazione grafica di un esempio di legge oraria
• Questa rappresentazione è utile per introdurre il concetto di velocità
12
12
ttxx
tx
v−
−=
Δ
Δ=
14
Velocità media
La velocità è una grandezza vettoriale.
è la pendenza della retta che unisce due punti sulla curva x(t)
v
m/s236
:esempioNell'
==smv
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Velocità media
Dimensioni: [L T-1] Unità di misura (Sistema Internazionale): m s-1
NOTA " Tempo impiegato è sempre > 0 " Spostamento può essere < > 0 " Velocità media può essere < > 0
velocita' media = spostamentotempo impiegato
velocita' media = ΔxΔt
= xf - xi
tf - t i
Moto rettilineo lungo x
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Velocità istantanea
v = limΔt→0
ΔxΔt
=dxdt
Il corpo varia la sua posizione in modo continuo da un punto al successivo, percorrendo in “piccoli” intervalli di tempo “piccole”
traiettorie.
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Accelerazione media
if
if
inizialefinale
inizialefinalem t- t
v- v
t- t v- v
tv a ==Δ
Δ=
impiegato tempovelocita'
media oneaccelerazi = ]T [L [T]
]T [L 2--1
=
Unità di misura (Sistema Internazionale): m s-2
La interpreto come:
in 1 secondo, la velocità è variata di tot metri al secondo
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Accelerazione istantanea a = lim
Δt→0
ΔvΔt
=dvdt=d 2xdt2
NOTA Quando parleremo di velocità e accelerazione, intenderemo SEMPRE velocità istantanea e accelerazione istantanea.
Se si tratta di velocità (accelerazione) media,
lo si deve indicare esplicitamente
costa at; v v 0 =+=
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Le equazioni del moto uniformemente accelerato
at v v 0 +=
a
t
v
t
x
t
v0
x0
a = cost
v aumenta linearmente con il tempo
x aumenta con il quadrato del tempo
tv xx 0 +=
200 at
21
t v xx ++=
( )[ ] at2/1v at vv1/2 v 000 +=++=
Velocità vs. spazio
20
v = v0 + at =) t =v � v0
a
x� x0 = v0
✓v � v0
a
◆+
1
2a
v
20 + v
2 � 2vv0a
2
2a (x� x0) = 2v0 (v � v0) +�v
20 + v
2 � 2vv0�
v
2 = v
20 + 2a (x� x0)
x� x0 = v0t+1
2at
2
21
Esercizio Un bambino lancia dal balcone una pallina verso l’alto, verticalmente, con velocità iniziale di 6 m/s.
Determinare:
! l’altezza massima raggiunta dalla pallina
(spazio totale percorso dall’oggetto in salita)
! il tempo impiegato dalla pallina per raggiungere la massima altezza
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Esercizio Soluzione
! Per determinare l’altezza massima raggiunta dalla pallina nel suo moto verticale, si prende in considerazione la legge oraria del moto uniformemente accelerato (con so = 0; a = -g = -9.8 m/s2 )
s = hmax = (6 m/s)2 / (2×9.8 m/s2) = 1.8 m
! Il tempo impiegato dalla pallina a raggiungere l’altezza massima si ricava da:
v0
-g
0 = v0 � g�t =) v0 = g�t
s = v0�t� 1
2g�t2
= g�t2 � 1
2g�t2 =
1
2g�t2 =
v202g
v0 = g�t =) �t =v0g
= 0.6 s
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Vettori posizione e spostamento
Vettore Posizione
ovvero
sono nel punto P1
P1
Vettore Spostamento
ovvero
vado da P1 a P2
P1
P2
if r - r r
=Δ
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Vettore velocità
tr vm Δ
Δ=
" Δt è uno scalare
" e sono paralleli"mv
rΔ
trlim v
0t Δ
Δ=
→Δ
La velocità istantanea è tangente alla traiettoria
in ogni istante
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! e sono paralleli...
Il vettore accelerazione
tv a m Δ
Δ=
tvlim a
0t Δ
Δ=
→Δ
vΔ
... ma ... cosa importantissima ... mentre segue il moto, in generale non lo segue ! l’accelerazione non è generalmente parallela alla velocità
av
a
26
Esercizio Un camion si muove di moto rettilineo uniforme percorrendo
una distanza pari a 110 km in 57 minuti. Determinare la velocità media del camion.
spazio percorso
Δx = 110 km
tempo impiegato
Δt = 57 min
= (57 / 60) = 0.95 h"
Soluzione
vmedia = Δx / Δt
= 110 km / 0.95 h
= 116 km/h
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! Posizione, cammino, spostamento
! Velocità, accelerazione
! Il moto rettilineo uniforme in 2D
! Il generico moto in 2D
! Il moto del proiettile
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Il moto in due dimensioni ! e.g.: il moto del proiettile
! Si applica a qualunque corpo sottoposto solo alla forza gravitazionale (forza peso) ! accelerazione costante
! Proiettile "! Generico corpo
! Il segreto:
Applicare le equazioni del moto unidimensionale
lungo i due assi cartesiani
29
Moto rettilineo uniforme in 2D
30
Moto rettilineo uniforme in 2D
O
31
Moto rettilineo uniforme in 2D
O
32
Moto rettilineo uniforme in 2D
O
A
33
Moto rettilineo uniforme in 2D
A
O
costante v0 =
34
Moto rettilineo uniforme in 2D
35
Moto rettilineo uniforme in 2D
36
Moto rettilineo uniforme in 2D
-100 ms 0.26 costante v v ===
s 5.0 t =Condizioni al contorno
m 1.3 (5.0s))ms (0.26 t v d -10 =⋅=⋅=
! m 1.2 )25 (cosm) (1.3 θ cos dx 0 =⋅=⋅=
m 0.55 )25(sen m) (1.3 θsen dy 0 =⋅=⋅=
Metodo ‘1’
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-10-100x ms 0.24 )25 (cos)ms (0.26 θ cos v v =⋅=⋅=
-10-100y ms 0.11 )25(sen )ms (0.26 θsen v v =⋅=⋅=
m 1.2 s) (5)ms (0.24 t vx -10x =⋅=⋅=
m 0.55 s) (5)ms (0.11 t vy -10y =⋅=⋅=
-100 ms 0.26 costante v v ===
s 5.0 t =
Moto rettilineo uniforme
in 2D
Metodo ‘2’
Condizioni al contorno
!
38
Moto rettilineo uniforme in 2D:
equazioni generali
t v xx 0x0 ⋅+= t v yy 0y0 ⋅+=
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Composizione dei moti: esempio Una persona sta scendendo dalla scaletta di un vagone merci. Il vagone si muove di moto rettilineo uniforme con v=0.70 m/s, e la persona scende con moto rettilineo uniforme con v=0.20 m/s.
Quali sono modulo e verso della velocità della persona rispetto al suolo?
Vts velocità del treno rispetto al suolo
Vpt velocità della persona
rispetto al treno
Vps velocità della persona rispetto al suolo
θ"
40
Esercizio Soluzione
Si esprimono in componenti i vettori velocità del treno rispetto al suolo (vts) e della persona rispetto al treno (vpt):
Il vettore velocità della persona rispetto al suolo è quindi
Modulo e verso di questo vettore sono dati rispettivamente da …
vts = (0.70 m/s) i + (0 m/s) jvpt = (0 m/s) i + (- 0.20 m/s) j
m/s 0.70 v ps x, =
vps = [(0.70+ 0) m/s] i + [(0- 0.20) m/s] j
m/s 0.20 - v ps y, =
o1-
-1
ps x,
ps y, 16 - 0.2857) (-atan ms 0.70ms 0.20-
atan v
vatan θ ====
1-222ps y,
2ps x,psps ms 73.0)20.0()70.0( v v v v =−+=+==
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! Posizione, cammino, spostamento
! Velocità, accelerazione
! Il moto rettilineo uniforme in 2D
! Il generico moto in 2D
! Il moto del proiettile
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Generico moto in 2D con accelerazione
costante
x = x0 + v0xt + 12
axt2
y = y0 + v0yt + 12
ayt2
vy = v0y + ayt
vx = v0x + axt
Nota Questo sistema di equazioni
permette la soluzione di qualunque problema di
cinematica in 2 dimensioni (accelerazione costante)
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! Posizione, cammino, spostamento
! Velocità, accelerazione
! Il moto rettilineo uniforme in 2D
! Il generico moto in 2D
! Il moto del proiettile
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Il moto di un proiettile Un proiettile è un qualunque corpo che, avendo una certa velocità iniziale, sia sottoposto esclusivamente
al campo gravitazionale
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Moto di un proiettile ! Ipotesi: ! trascuro la resistenza dell’aria (piuma vs. ferro) ! L’accelerazione di gravità è costante (quota) ! trascuro la rotazione della Terra (missili intercontinentali)
! Ho solo accelerazione di gravità
(sulla Terra g = 9.81 ms-2), diretta verso il basso
46
Moto di un proiettile
L’accelerazione è
uguale nei 2 casi
Relatività galileiana Caduta di un grave
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Equazioni del moto di un proiettile
t v xx 0x0 +=
20y0 gt
21 t v yy −+=
gt -v v 0yy =0xx v v =
L’ipotesi è che: ax = 0
-2y ms 9.81- g- a ==
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Lancio ad angolo 0o
V0,x
tvx 0x=2gt
21 h y −=
gt - v y =00xx v v v ==
49
La traiettoria è parabolica tvx 0x=
y = h − 12
gt2
t = xv0x
2gt 21 h y −=
t = xv0x
y = h − 12
g xv0x
"
#$
%
&'
2
bx ay 2+=parabola
50
La gittata Domanda:
Dove atterra un proiettile lanciato orizzontalmente,da altezza h e con velocità v0x?
Risposta:
Posso calcolare la distanza, imponendo la condizione che la yfin del proiettile sia 0
tvx 0x=
2gt 21 h y −=
tvx 0x=
2gt 21 h 0 −=
tvx 0x=
g2h t =
g2h
vx 0x=
Gittata: (velocità scalare media) x (tempo di caduta)
t = 2hg
51
n. 54, pag. M115 Walker
Un lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale di modulo 3.50 m/s da un’altezza di 1.50 m dal suolo. Calcolare qual è la gittata del lancio se l’angolo è: 1) 20°
2) 30°
3) 40o
Esercizio
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Soluzione Un lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale di modulo 3.5 m/s da un’altezza di 1.5 m dal suolo. Calcola qual è la gittata del lancio se l’angolo è: 1) 20o 2) 30o 3) 40o
t) θ cos (v x 0=
) t(g 1/2 - t ) θsen (v y 0 200 +=
t) (3.29 x =0 1.5 - t ) (1.2 - ) t(g 1/2 2 =
s 0.69 t =
Risolvo per θ = 20o
x = (3.29 ) t = 2.26 m
Per θ = 30o
Per θ = 40o
s 0.76 t = x = 2.30 m
s 0.83 t = x = 2.22 m
53
Lancio con un angolo qualunque e x0=y0=0
t cosθvx 0 ⋅=
20 gt
21 t senθvy −⋅=
gt -senθv v 0y =
cosθv v 0x =t =
2v0 sin ✓
g
G = v0 cos ✓2v0 sin ✓
g=
v20g
sin (2✓)
Gittata (y=0):
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Lancio con un angolo qualunque e con posizione iniziale qualunque
gt -senθv v 0y =
cosθv v 0x =
Uguale al caso precedente,
ma ri-compaiono x0 e y0
t cosθ v xx 00 ⋅+=
200 gt
21 t senθ v y y −⋅+=
55
Moto parabolico (Moto di un proiettile con e senza aria)
56
Esercizio Un delfino salta dall’acqua con v0 = 12 ms-1, verso l’allenatrice che è a
d = 5.50 m e h = 4.10 m. Nell’istante in cui il delfino esce dall’acqua, l’allenatrice lascia cadere una palla.
Dimostrare che il delfino riesce a prendere la palla.
57
Esercizio Soluzione
o36.7 m 5.50m 4.10
arctan dh
arctan θ ===
Comincio a calcolare θ gt -senθv v d 0dy =
cosθv v d 0dx =
t cosθ v x d 0d ⋅=
2d 0d gt
21 t senθ v y −⋅=
2 p gt
21 h y −=
58
Esercizio Il delfino raggiunge la distanza della palla quando xd = d =
5.50m
gt -senθv v d 0dy =cosθv v d 0dx =
t cosθ v x d 0d ⋅=
2d 0d gt
21 t senθ v y −⋅=
2p gt
21 h y −=
gt -senθv v d 0dy =cosθv v d 0dx =
s 0.572 ms 9.62m 5.50
cosθv
x t 1-
d 0
d ===
2d 0d gt
21 t senθ v y −⋅=
2p gt
21 h y −=
... e questo evento succede al tempo t = 0.572 s
59
Esercizio Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza...
gt -senθv v d 0dy =
cosθv v d 0dx =
t cosθ v x d 0d ⋅=
2d 0d gt
21 t senθ v y −⋅=
2p gt
21 h y −=
gt -senθv v d 0dy =
cosθv v d 0dx =
t cosθ v x d 0d ⋅=
2p gt
21 h y −=
m 2.50 m 1.60 - m 4.10 s) (0.572)ms (9.81 21
s) 0.572())sen(36.7ms (12.0 y 22-o1-d ==⋅−⋅= ⋅
Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza di 2.50 m
60
Esercizio Al tempo t = 0.572 s la palla si troverà ad un’altezza...
gt -senθv v d 0dy =
cosθv v d 0dx =
t cosθ v x d 0d ⋅=
2d 0d gt
21 t senθ v y −⋅=
2p gt
21 h y −=
gt -senθv v d 0dy =
cosθv v d 0dx =
t cosθ v x d 0d ⋅=
2d 0d gt
21 t senθ v y −⋅=
m 2.5 m 1.60 - m 4.10 s) (0.572)s (9.81 21 m 4.10 y 22-
p ==⋅−=
Al tempo t=0.572 s la palla si troverà ad un’altezza di 2.50 m
61
Moto circolare uniforme (1) Un oggetto che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità costante in modulo è in moto circolare uniforme.
Il vettore velocità varia continuamente la propria direzione.
# Quindi l’oggetto è sottoposto ad accelerazione.
# Il vettore accelerazione è diretto verso il centro della circonferenza ! accelerazione centripeta
Il tempo impiegato a descrivere una circonferenza di raggio r è detto periodo
62
Moto circolare uniforme (2)
xP
yP θ
Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati
63
Moto circolare uniforme (3)
Modulo dell’accelerazione centripeta
Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati
64
Moto circolare uniforme (4) L’accelerazione è effettivamente diretta verso il centro della circonferenza. Infatti:
Quindi θ=φ ! il vettore accelerazione ha direzione radiale ed è rivolto al centro.
Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati
Accelerazione radiale e tangenziale
! In generale, la velocità cambia per intensità e direzione lungo la traiettoria ! Vettore velocità: sempre tangente alla traiettoria ! Vettore accelerazione può essere espresso come:
65
Il raggio dei cerchi tratteggiati è il raggio di curvatura della traiettoria nei punti A, B e C
€
a = a r + a t = ar ˆ n + at ˆ τ con versore tangenziale versore normale
alla traiettoria, diretto verso il centro di curvatura
€
at =dvdt
Accelerazione tangenziale
€
ar =v 2
RAccelerazione radiale
€
v = v ˆ τ
€
ˆ τ
€
ˆ n
La dimostrazione è nelle 2 slide seguenti (non c’è nel testo)
φ"
€
ˆ τ
€
ˆ n
x
y C
Accelerazione radiale e tangenziale
66
€
ˆ τ = cosφ( ) ˆ i + sinφ( ) ˆ j
€
ˆ n = cos φ +π2
$
% &
'
( )
*
+ ,
-
. / i + sin φ +
π2
$
% &
'
( )
*
+ ,
-
. / j
€
= − sinφ( )ˆ i + cosφ( ) ˆ j
€
a = d v dt
=
€
d v ˆ τ ( )dt
=
€
dvdt
ˆ τ + v dˆ τ dt
€
d ˆ τ dt
= −dφdt
sinφ%
& '
(
) * i + dφ
dtcosφ
%
& '
(
) * j
€
=dφdt
− sinφ( )ˆ i + cosφ( ) ˆ j [ ] =dφdt
ˆ n
€
a = dvdt
ˆ τ + v dφdt
ˆ n
Ora occorre dimostrare che dφ/dt=v/R ….
φ"
€
ˆ τ
€
ˆ n
x
y C
φ+dφ"
dφ" R
Accelerazione radiale e tangenziale
67
Nel tempo dt, il punto percorre un cammino elementare ds=vdt ! arco di circonferenza ds=Rdφ#
(1)
€
ds = Rdφ ⇒dφds
=1R
(2)
€
dφdt
≡dφds⋅dsdt
= v dφds
=vR
Quindi, sostituendo la (2) nell’espressione ricavata per l’accelerazione, si ottiene:
€
a = dvdt
ˆ τ + v dφdt
ˆ n = dvdt
ˆ τ + v vR
ˆ n
€
a = dvdt
ˆ τ + v 2
Rˆ n
68
Moto armonico (1)
xP
yP θ
Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è costante:
In un periodo T viene descritto un angolo giro, quindi
La proiezione del punto P sull’asse x (o y) descrive un moto armonico:
Questo argomento non è presente nei testi consigliati
69
Moto armonico (2)
70
Moto relativo unidimensionale
Se i due sistemi di riferimento si muovono a velocità costante l’uno rispetto all’altro, si ha:
L’accelerazione del punto materiale P è la stessa nei due sistemi di riferimento
71
Moto relativo bidimensionale
derivando rispetto al tempo, si trova:
Se è costante, allora:
72
Con la cinematica 2D risolvo il problema del moto di un proiettile
Prossima lezione: Le leggi di Newton
Riassumendo