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Prof Giovanni Ianne
LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE
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LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO
DEFINIZIONE
Assegnato nel piano un punto C, detto
centro, si chiama circonferenza la curva
piana luogo geometrico dei punti
equidistanti da C:
PC = costanteC
P
La distanza fra ognuno dei punti e il centro
è il raggio della circonferenza.
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L’ EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA
Dalla definizione di circonferenza, ponendoci in un riferimento cartesiano,
possiamo ricavare l’equazione della circonferenza.
Se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C, le
coordinate P(x;y), si ha:
. normale equazione 0 x : ottiene si
2-2a-
cui da -2b-2a
pone si Se
22 x:Sviluppo
. cartesiana equazione βyαx
r βyαx r CP
22
22222
22222
222
22
cbyaxycr
bcr
ryyx
r
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. ry x:anche scrivere può si canonica equazionel' quindi
, ) r c ( r c che inoltre Osserviamo
. canonica equazione 0cy x
0b ; 2βb
0a ; 2αa
0cbyaxyx
222
2222
22
22
Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè = 0 e =0 , l’equazione normale diventa:
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LA CONDIZIONE DI REALTA’
Non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l’equazione normale rappresenti unacirconferenza.Dall’espressione del raggio si hanno i seguenti casi:
l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario );
2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere)di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C;
l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale.
0
0
0
c4
b
4
a cβαr ;
2
bβ
2
aαcon βα;C
2222
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CIRCONFERENZE PARTICOLARI
Considerazioni sul caso ‘c = 0’.
Se c = 0 , il grafico della curva passa per l’origine perché l’equazione diventa
x2 + y2 + ax + by = 0 ,
quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il punto O(0 ; 0) .
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LA POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO A UNA CIRCONFERENZA
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LA DISTANZA DELLA RETTA DAL CENTRO DELLA
CIRCONFERENZA
Distanza maggiore del raggio:
d > r
Distanza uguale al raggio:
d = r
Distanza minore del raggio:
d < r
La retta è esterna.
Non esistono punti
comuni.
La retta è tangente.
Esiste un solo punto
comune (T ).
La retta è secante.
Esistono due punti
comuni (A e B ).
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0'''
022
cybxa
cbyaxyx
D = 0
Una soluzione.
La retta è tangente.
D > 0
Due soluzioni.
La retta è secante.
CONDIZIONE ALGEBRICA PER L’ESISTENZA DELLE INTERSEZIONI
Per trovare i punti d’intersezione, si risolve il sistema:
Il sistema dà luogo a un’equazione di secondo grado.
D < 0
Nessuna soluzione.
La retta è esterna.
Soluzioni
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CONDIZIONE ALGEBRICA PER L’ESISTENZA DELLE INTERSEZIONI
ESEMPIO
Studiamo la posizione della retta
3x – 2y + 1 = 0,
Per trovare le intersezioni:
Cioè x2 – 1 = 0 D > 0 Il sistema ha due soluzioni distinte La retta è secante
rispetto alla circonferenza di equazione
x2 + y2 + 3x – 3y – 2 = 0.
x1 = 1, x2 = –1 y1 = 2, y2 = –1 A (1; 2), B (–1; –1)
Ricavando y dalla seconda
equazione
e sostituendo nella prima:
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Per tre punti dati e non allineati, passa sempre una ed una sola circonferenza.
EsempioTrovare l’equazione della circonferenza passante per i punti A(-3,3); B(1,-1); C(1;3).
Imponiamo che la circonferenza x2+y2+ax+by+c=0 passi per i punti dati
(-3)2+32+a(-3)+3b+c=0 passaggio per A
12+(-1)2+a-b+c=0 passaggio per B
12+32+a+3b+c=0 passaggio per C
Risolvendo:
a=2
b=-2
c=-6
Dunque la circonferenza
cercata ha equazione
x2+y2+2x-2y-6=0.
Ha centro in D(-1,1) e raggio
22 x
y
O
A
B
C
D
-
1-
2-
3-
4
1 2
1
2
3
-
1
-
5
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P appartiene alla circonferenza
P è esterno alla circonferenza
LE RETTE TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA
Le tangenti passanti per un punto P
P è interno alla circonferenza
Esistono due tangenti
passanti per P
Non esistono tangenti
passanti per P
Esiste una sola tangente
passante per P
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• Sistema: .
DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER
UN PUNTO ESTERNO P
METODO
Primo metodo: D = 0
• Fascio di rette passanti per P (x0; y0) : y – y0 = m (x – x0) .
• Si impone la condizione di tangenza, cioè D = 0.
• Si risolve l’equazione in m e si ricava il coefficiente angolare delle
rette tangenti.
• Si ricava y nell’equazione del fascioe si sostituisce nell’equazione della circonferenza.
L’equazione D = 0 è un’equazione di secondo grado in m.
• Si sostituiscono i valori trovati di m nell’equazione del fascio.
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• Si determinano le coordinate del centro C e il
raggio r della circonferenza.
• Si imposta l’equazione del fascio di rette passante per P (x0; y0) : y – y0 = m (x – x0) .
• Si sostituiscono i valori trovati di m
nell’equazione del fascio.
• Si applica la formula e si ricava la distanza
della retta del fascio dal centro C.
DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER
UN PUNTO ESTERNO P
METODO
Secondo metodo: distanza retta-centro uguale al raggio
• Si pone la distanza uguale a r .
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• Si determinano le coordinate del centro
C della circonferenza.
• Si trova il coefficiente angolare m della
retta r passante per P e per C.
DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER
UN PUNTO ESTERNO P
METODO
Terzo metodo: retta tangente in un punto P della circonferenza, come perpendicolare al raggio PC
• Si calcola il coefficiente angolare m'
della retta perpendicolare alla retta r .
• Si scrive l’equazione della tangente:y – y0 = m' (x – x0) .
m = m' = –2
y – 5 = –2(x – 5)
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ESERCIZI: LA POSIZIONE RELATIVA DI UNA RETTA E
UNA CIRCONFERENZA
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ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA
CIRCONFERENZA
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ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA
CIRCONFERENZA
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ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA
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ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA
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ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA
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Alcune condizioni per determinare l'equazione della circonferenzaPDF Compressor Pro