la circunferencia. prof. cesar lozano díaz mtro. j. s. beltrán león

La Circunferencia. Prof. Cesar Lozano DíazMtro. J. S. Beltrán León

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Está dada de la forma:

El único dato que se requiere SABER es: ¡el radio !

(0,0)

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

• Hay que tomar en cuenta que en la ecuación está implícito que “r” está al cuadrado.Es decir si una ecuación está dada como :

Entonces, el radio es la raíz del número que se encuentra en la ecuación:

2 2 25x y

2 25r

25r


Algunos ejemplos:

Determine la ecuación de la circunferencia concentro en el origen y pasa por el punto P(3,4).

• Primer paso: para su solución, habrá que determinar el tamaño del radio; éste se obtiene mediante la ecuación de “la distancia entre dos puntos”

Los puntos son:

2 22 1 2 1( ) ( )d x x y y

1

2

0

3

x

x

1

2

0

4

y

y

d 9 16 25


• Segundo paso: ya que se tiene la distancia de la recta, la cual no es sino el radio de la circunferencia, se determina la ecuación.

Luego, la ecuación de la circunferencia es:

22 2r 25 , r 25 , r 25

2 2x y 25


Ecuación de la circunferencia con origen distinto al origen de coordenadas (0,0).

• Está dada de la forma:2 2 2( ) ( )x h y k r

Coordenadas donde parte el trazo del radio

¡Cuidado!

h: Es la coordenada correspondiente a la abcisa (el eje de las x)

k: Es la coordenada correspondiente a la ordenada (el eje de las y)

¡Cuidado! Un error muy común es no tomar en cuenta los signos al sustituir los valores (h, k)

k

h

C


La ecuación anterior nos lleva a definir:

• Una ecuación que determine la forma general de una circunferencia.

• Una ecuación que ayude a encontrar la forma en cómo se comporte una circunferencia en el plano, dado el radio y el centro de la misma.

• Una ecuación que permita definir cuál sería su radio y centro de la misma, solo teniendo ese dato.


La cual tiene la forma:

• Si se desarrollan los polinomios de la ecuación:

llegamos a ecuación general.

2 2 0x y Dx Ey F

2 2 2( ) ( )x h y k r


Utilizando lo anterior:

• Por lo común se pedirán que se encuentre la ecuación, dado el radio (r) y los puntos de origen (h, k).

Si el radio es 5 y el punto de origen es (3, 4):

Desarrollando:

Agrupando:

Tiene la forma general:

2 2 2( ) ( ) ( )3 4 5x y 2 26 9 8 1 5 026x x y y

2 2 6 8 00x y x y 2 2 0x y Dx Ey F


Por analogía se puede determinar:

Que si tengo la ecuación, puedo partir hacia ¡atrás!Hay que definir cómo hacerlo :• Necesito saber cuál era el punto de origen (h, k) cuyas forma de obtenerlos

es mediante:

• Necesito saber cuál es el radio que de ¡esa circunferencia!

¡Cómo lo obtengo!

2 2 0x y D x E y F

2h

Dx

2

kE

y

2 2r h k F

Ejemplo:

Determine si se trata de una circunferencia y grafique:

Como tiene la forma general de una circunferencia podemos afirmar que sí.

Obteniendo el punto del origen (x, y) = (h, k)

Solo falta obtener el radio:

Esto es (-4, 3)

2 2 8 6 3 0x y x y

4

( )

8

26

32

h

k

2 2( 4) (3) 3 25 3 22 4.6r

la circunferencia. prof. cesar lozano díaz mtro. j. s. beltrán león

Documents