la crisi delle fondamenta del pensiero matematico
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Stefano Sarao
Le Tappe della Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
Materie Coinvolte: Matematica, Filosofia, Fisica
V A p.n.i.
Stefano Sarao
Verso la Matematica Pura: Le Geometrie
Non Euclidee
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Stefano Sarao
Il Quadrilatero di Saccheri
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Sia ABCD un quadrilatero avente gli angoli A e B retti ed i lati AD e BC congruenti. Si possono fare tre ipotesi sugli angoli C e D:
•Ipotesi dell'angolo retto: gli angoli sono entrambi retti.
•Ipotesi dell'angolo ottuso: gli angoli interni sono entrambi ottusi.
•Ipotesi dell'angolo acuto: gli angoli interni sono entrambi acuti.
Stefano Sarao
Geometria Ellittica e Sferica
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Il V Postulato di Euclide nelle Geometria Ellittica e Sferica diventa:
“Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune.”
Stefano Sarao
Geometria Iperbolica
V A p.n.i.
Il V Postulato di Euclide nella Geometrie Iperbolica diventa:
“Data una retta r e un punto P disgiunto da r, esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r.”
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
Stefano Sarao
Geometria Iperbolica
V A p.n.i.
Il V Postulato di Euclide nella Geometrie Iperbolica diventa:
“Data una retta r e un punto P disgiunto da r, esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r.”
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
Stefano Sarao
Geometria Iperbolica nell’Arte: Escher
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Stefano Sarao
Le Fondamenta del Pensiero Matatematico
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Stefano Sarao
Età del Rigore
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
“Età del rigore” è quel perdiodo storico che parte dalla pubblicazione nel 1797 di “Théorie des functions analytiques” di Carnot e si può dire non essere mai terminato.In questo periodo si è definita, grazie all’opera di Lagrange, Carnot, Cauchy, Fourier, Dirichlet, Abel, Jacobi, Green, Gauss, Weierstrass ed altri, l’analisi nella sua formulazione moderna.In questo possiamo vedere l’arché del Riduzionismo.
Stefano Sarao
Riduzionismo
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Il termine “riduzionismo” deriva dal procedimento di ridurre (cioè ricondurre) ogni parte della matematica ad altre parti via via più semplici, arrivando in fine al fondamento ultimo di tutta la matematica.
Per quanto il movimento sia moderno abbiamo già precursori.
È chiaro che l’intera matematica è fondata sul concetto di numero naturale, quindi bisognava definire il numero.
Stefano Sarao
Cantor e Peano
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Cantor definì i numeri con la cardinalità degli insiemi.
Peano definì i numeri attraverso i concetti primitivi: zero (0), numero (n) e successore (n’), e cinque assiomi:1. 0 appartiene a N;2. Se n appartiene a N, allora anche n’ appartiene a N;3. 0 non è successore di alcun numero;4. Se due numeri hanno lo stesso successore, allora i
due numeri sono uguali;5. Se 0 appartiene ad un insieme M e, appartenendo n a
M allora anche n’ appartiene a M, allora M=N (principio di induzione).
Stefano Sarao
Logicismo
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Stefano Sarao
Frege
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Scrisse: “Ideografia”, “I Fondamenti dell’Aritmetica” e “I Principi dell’Aritmetica”
Gli obiettivi dell’intento logicista portato avanti da Gottlob Frege:• Risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;• Dimostrare i teoremi della matematica mediante l'applicazione dei principi e delle regole di inferenza del ragionamento logico.
Stefano Sarao
L’Antinomia di Russell
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Supponendo che I non contenga se stesso come elemento, se ne deduce che I appartiene ad I (per la definizione di I), cioè IIII; supponendo che I contenga se stesso, allora se ne deduce che I è un elemento di un insieme che ha per elementi tutti gli insiemi che non contengono se stessi; quindi risulta un elemento a se stesso, cioè non può appartenere ad I, cioè IIII.
Sia I l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi. Sia A un insieme che non contiene se stesso come elemento, allora A I.
Stefano Sarao
Predicativismo
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Hermann Weyl e Henri Poincaré sono i principali esponenti del predicativismo.
“Per l'analisi il circolo vizioso [della definizione non predicativa] che si è insinuato in essa attraverso l'incerta natura degli usuali concetti di insieme e di funzione, costituisce una forma di errore non trascurabile e non facilmente evitato.”
Hermann Weyl
Stefano Sarao
Principia Mathematica
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Questa opera monumentale è scritta a quattro mani da Bertrand Russell e Alfred North Whitehead.
La Teoria dei Tipi instaura una gerarchia dei tipi logici che non deve essere infranta.
Russel formulò “La Teoria dei Tipi Logici” ovvero l’alternativa logica alla teoria degli insiemi e costituisce l’impianto del primo libro dei “Principia Mathematica”.
Stefano Sarao
Formalismo
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Il programma di Hilbert
Hilbert era convinto che fosse possibile ricondurre tutta la matematica ad un modello assiomatico, riconducendo le teorie più complesse alle più semplici, fino a basare tutto sull’aritmetica.
Il programma doveva:• Formalizzare completamente le teorie matematiche.• Dimostrare la non-contraddittorietà.
Stefano Sarao
I Teoremi di Gödel
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula tale che, se T è coerente, allora né né la sua negazione sono dimostrabili in T.
Sia T una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T.
Stefano Sarao
“La domanda riguardo ai fondamenti profondi e al significato ultimo della matematica resta aperta; noi non sappiamo lungo quale direzione troverà la sua soluzione finale e neppure se ci si debba aspettare una risposta finale oggettiva. “Far matematica” potrebbe ben essere un'attività creativa dell'uomo, come il linguaggio o la musica, di grande originalità, le cui prese di posizione storiche disattendono la completa ed oggettiva razionalizzazione.”
Hermann Weyl
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Stefano Sarao
Thomas Kuhn
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Il capolavoro di Thomas Kuhn:“La Struttura delle Rivoluzioni Scientifiche”
Le fasi della Scienza:• Fase 0: Periodo Pre-Paradigmatico.• Fase 1: Accettazione del Paradigma.• Fase 2: Scienza Normale.• Fase 3: Nascita delle Anomalie.• Fase 4: Crisi del Paradigma.• Fase 5: Rivoluzione Scientifica.
Stefano Sarao
Le Equazioni di Maxwell
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V A p.n.i.
And God said:
And there was light.
Stefano Sarao
La Relatività Ristretta
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico
V A p.n.i.
Postulati della relatività ristretta:
1. Principio di relatività particolare: Le leggi della fisica sono invarianti rispetto al sistema di riferimento inerziale nel quale sono applicate.
2. Principio di invarianza della velocità della luce: La velocità della luce nel vuoto è indipendente dalla sorgente che l'ha emessa e dallo stato di moto rettilineo uniforme di chi la osserva.
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