2. La didctica de la matemtica como epistemologa del aprendizaje matemtico*

Bruno D'Amore (Universidad degli Studi di Bologna, Italia)

La diferencia entre nosotros y los alumnos confiados a nuestro cuidado est slo en sto, que nosotros hemos recorrido un tramo ms largo de la parbola de la vida. Si los alumnos no nos entienden, la culpa es del que ensea que no sabe explicar. Ni vale imputar la responsabilidad a las escuelas previas. Debemos tomar a los alumnos como son, y recuperar lo que han olvidado, o estudiado en otra materia. Si el profesor atormenta a sus alumnos, y en lugar de granjearse su amor, excita su odio en contra de s y de la ciencia que ensea, no slo su enseanza ser negativa, sino el tener que convivir con tantos enemigos pequeos ser para l un tormento continuo.

Giuseppe Peano [1858-1932], Giochi di aritmtica e problemi interessanti, Pavia, Turn 1924, Conclusin.

2.1. Lmites de esta resea

Conocemos verdaderamente slo aquello que sabemos explicar.

Johann Heinrich Pestalozzi [1746-1827].

La investigacin en didctica (de tipologa) B parece complemente tendiente a centrar la atencin en el fenmeno del aprendizaje, pero desde el punto de vista de los fundamentos y por tanto no aceptando un modelo nico de teora del aprendizaje (aunque si la psicologa cognitiva en este momento parece la candidata ms competente al papel de organizadora fundacional por la mucha experiencia de investigacin). Continuando ahora a afrontar la tipologa que he llamado B, sto es, la didctica disciplinar como epistemologa del aprendizaje, no podr ms que continuar a ejemplificar en el campo que me compete, es decir en el de la matemtica. Coloquios con colegas, didactas de otras disciplinas y lecturas ocasionales, sin embargo me confirman el hecho de que las problemticas generales parecen ser en muchos aspectos las mismas, pero con sus diversas especificidades. Por ello, y no queriendo (no pudiendo) salir del estrecho mbito mencionado, estoy convencido de que no seran completamente distintas las posibles analogas crticas narradas pertenecientes a otros sectores de investigacin didctica.1 Lo que har en este captulo y en el siguiente del libro es declarado a continuacin. Analizar algunas de entre las problemticas que parecen emerger con ms fuerza en los ltimos aos, * Didattica della matematica come epistemologa dellapprendimento matematico, captulo 2 (pp. 55-96) del

libro Elementi di Didattica della Matematica, Italia, Pitagora Editrice Bologna, 1999. Coleccin Complementi di matematica per l'indirizzo didattico/6. Traduccin al castellano por Vctor Larios Osorio (Departamento de Matemticas, Fac. de Ingeniera, UAQ, 2002).

Este texto ha sido traducido para su utilizacin en la Maestra en Docencia de las Matemticas (FI-UAQ, Mxico) y no persigue fines de lucro.

1 Sobre la especificidad de la investigacin en didctica de la matemtica, sugiero a Brun y Conne (1990) y Boero (1992a).

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problemticas que se han consolidado como elementos de investigacin B, y que me parece que proporcionan pretextos slidos y significativos para una posible generalizacin, de modo que proveen aportes tambin a la definicin de una didctica general. Me limitar por tanto a sealar aspectos relativos a la didctica de la matemtica, pero con comentarios tendientes a la generalizacin. Vista la naturaleza tambin expositiva de la obra, me abstendr de presentaciones excesivamente tcnicas y me limitar slo a la posicin de los diversos problemas, mostrando en resumen, en los prximos pargrafos, algunas temticas muy difundidas en mi ambiente y de particular inters. Por honradez, debo remarcar que lo que sigue no es ms que una panorama limitado, reducido a lo esencial, del todo insuficiente, teniendo slo como objetivo el de dar a los que no pertenecen a la comunidad de los investigadores en didctica de la matemtica una idea de las problemticas, y por tanto para nada exhaustivo. Muy de mala gana no tratar problemas muy debatidos hoy en da que sin embargo me haran entrar demasiado en lo especfico; buscar a veces remediarlo recurriendo a citaciones bibliogrficas oportunas. Por ejemplo, har slo un sealamiento al problema de la visualizacin, en el cual me limito a remitir a algunos trabajos especficos;2 har slo algunos sealamientos sobre conceptos figurales;3 y slo algunas observaciones sobre la demostracin en la actividad matemtica en clase;4 y otras, as como ya he anticipado en el Prlogo. Evitar tratar problemticas relacionadas con las modalidades de investigacin didctica; sin embargo, puesto que observar el comportamiento de los estudiantes y los profesores parece ser la tcnica ganadora, quiero remitir al menos a algunos estudios recientes sobre este tema y esta tcnica: Thompson (1984), Arsac y Mante (1989), Comiti y Grenier (1994), Blanchard-Laville (1997), Schubauer-Leoni (1997b) y Schubauer-Leoni y Leutenegger (1997).

2 Vase, por ejemplo, Bishop (1989) y Vinner (1992). Para iniciar de modo crtico este estudio, aconsejo a

Kaldrimidou (1987), con una vasta bibliografa. Al lector italiano le sugiero Kaldrimidou (1995) y Bagni (1997a), en los cuales se da una interpretacin particular del concepto de visualizacin que me parece til para las aplicaciones didcticas.

3 El estudio pionero sobre este tema es el de Efraim Fischbein iniciado al final de los aos 60, pero el punto de partida para quien quisiera afrontarlo es un artculo ms reciente del mismo Fischbein (1993); en este sector han contribuido mucho los trabajos de Maria Alessandra Mariotti; sealo: Mariotti (1993a,b,c,d) y Mariotti y Fischbein (1997). Al lector italiano, le sugiero adems: Mariotti (1992a,b, 1994, 1995a,b). Sobre este tema regresar brevemente en 5.10.

4 Opino que sobre este tema se debe considerar fundamental hoy el estudio de los trabajos de Raymond Duval y en particular de su libro: Duval (1995a), un libro cuyo contenido est muy dirigido a la problema mencionada. Tambin de Duval sugiero adems: (1991, 1992-93, 1995b) que el lector italiano puede encontrar traducido [y Duval (1992-93) tambin lo puede encontrar traducido al castellano (N.T.)]. Finalmente sugiero Duval (1996) que se pone como referencia ya sea para los temas aqu sealados, ya sea para cuestiones ms generales. Sealo adems las siguientes traducciones en italiano: Barbin (s.f., 1994), Hrtig (1993), Antibi (1993). Las investigaciones realizadas en este tema son bastantes, Italia incluida; la bibliografa es amplsima, y por tanto para limitar la dificultad de investigacin me limito a sealar slo Grugnetti, Iaderosa y Reggiani (1996): en realidad la importancia de esta coleccin supera el mbito de la escuela media y la bibliografa es bastante amplia; sugiero tambin la lectura de la resea de Daconto (1996). Recuerdo adems que entre los temas tratado en la Scuola di Formazione per Isegnanti, ralizada por el Ministerio della Pubblica Istruzione [el equivalente a la Secretara de Educacin Pblica en Mxico (N.T.)] y la C.I.I.M. [Comisin Italiana para la Enseanza de la Matemtica, organismo de la Unin Matemtica Italiana], Viareggio 13-19 de noviembre de 1995 y 26 de febrero-1 de marzo de 1996, Nicolina Malara ha tratado precisamente el tema del camino a la demostracin en geometra (de cada sesin de tal escuela existen las Actas que son distribuidas gratuitamente). No puedo finalmente no recordar Arsac (1988). Sobre este tema regresar brevemente en el curso del captulo 11.

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Adems evitar los estudios didcticos especficos: la didctica de la geometra, la didctica de las transformaciones geomtricas, la didctica del lgebra,5 ..., que tienen muchos seguidores y mucha relevancia en Italia y en lugares internacionales. Y tambin estudios muy detallados y especficos, por ejemplo: la didctica de los vectores, la didctica de las homotecias, la didctica de las operaciones aritmticas, ..., que constituyen el esqueleto de base para las investigaciones empricas. Y tambin evitar estudios de carcter transversal: la didctica de las demostraciones en general, la didctica de la resolucin de problemas, la didctica de las definiciones, ..., que tienen seguidores en todo el mundo.

2.2. Sobre la terminologa. Por qu buscar una teora?

Una buena prctica es el fruto de una teora verdadera.

Jos Ignacio Bartolache, Lecciones matemticas, 1769.

Si quieres proceder, haz una teora.

A. Karmiloff-Smith y B. Inhelder, en la revista Cognition, 3, 1975, 195-212.

No hay nada ms prctica que una buena teora.

Dicho popular.

Antes de proceder especficamente en el terreno de las ejemplicaciones, es necesario analizar algunos aspectos generales. Recomenzar con los terminolgicos. Supondr que el trmino educacin es ms general y comprensivo que didctica; pero no callar que sobre esta cuestin, es decir la cuestin de la doble terminologa en uso entre quienes se ocupan de investigacin en didctica, es vivaz en el debate: se debe decir educacin matemtica o didctica de la matemtica? En el mundo anglosajn, como ya he dicho, se prefiere actualmente la primera diccin, pero refirindose a esa rea de conocimiento que se refiere a los procesos de enseanza-aprendizaje de la matemtica, es decir a ese que en Francia, Alemania, Italia, Espaa, etctera, normalmente se llama comnmente didctica de la matemtica. Lo que me autoriza, por ahora, es siguiendo tanto a Steiner (1985) como a Godino (1991), a identificar las dos denominaciones; pero regresar a este punto en 2.6. Considerando tambin a Steiner (1990) se podra pensar que la teora de la educacin matemtica es parte de la didctica de la matemtica y que sta, a su vez, forma parte de ese sistema que se llama sistema de enseanza de la matemtica. Este ltimo campo comprende una vasta serie de problemticas que van desde la formacin inicial de los profesores a la formacin en servicio, desde el desarrollo del currculum a las actividades en clase en la hora de matemtica, desde el material didctico al libro de texto, hasta a los varios y muy diversos problemas de evaluacin, etctera. Aunque todo esto sea de extraordinario inters, no entrar aqu en cuestiones de este tipo, sino a travs de reflexiones que toman inspiracin de investigaciones, como veremos en los captulos siguientes. An siguiendo a Steiner, existen algunas disciplinas de referencia, con las cuales hay contactos privilegiados: obviamente la matemtica, obviamente la epistemologa y la historia de la matemtica, pero tambin la psicologa, la sociologa, la pedagoga (o, mejor, la ciencia de la educacin), las ciencias naturales, la informtica, la lingstica, etctera. 5 Sobre este tema quiero sin embargo citar al menos algunos trabajos brillantes producidos en Italia:

Arzarello, Bazzini y Chiappini (1994), Bazzini (1997), Malara (1994, 1997), Malara y Gherpelli (1996), por mencionar algunos.

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Se podra considerar todo esto, como ya he anunciado, como un sistema; pero ahora no se puede callar que existen otros sistemas anlogos, con los cuales el nuestro entra en contacto: en general los nuevos aprendizajes debidos a la evolucin de la sociedad (por ejemplo el ingreso masivo de las calculadoras en nuestra vida cotidiana y en la escuela, con todos los conflictos que eso implica) (Noss, 1998), la educacin en las ciencias experimentales y cosas as. Esa que inicialmente habamos llamado teora de la educacin matemtica es vista por otros autores de modos distintos (a veces muy distinto, a veces slo un poco distinto). Por ejemplo Higginson (1980), uno de los pioneros en este sector, propone como modelo un tetraedro cuyas cuatro caras representaran la filosofa, la sociologa, la matemtica y la psicologa, mientras que la teora de la educacin matemtica sera, con obvio significado, el espacio interno del tetraedro. La explicacin de esta visin en particular retoma de modo esquemtico aquellas que para Higginson son las cuatro preguntas fundamentales: ! qu cosa ensear (matemtica), ! por qu (filosofa), ! a quin y dnde (psicologa), ! cundo y cmo (sociologa). Sirvindose de esta imagen, al menos idealmente se pueden aclarar aspectos que conciernen a la comprensin de posiciones que muchos tienen sobre la enseanza-aprendizaje de la matemtica, la comprensin de las causas que empujan a conservar o modificar los currcula, las concepciones sobre la investigacin en didctica y sobra la preparacin de los profesores. El inters por la teorizacin en didctica de la matemtica tiene un motivo vlido de ser. Slo cuando se tiene una teora a disposicin se puede tener el recurso de un marco de referencia como gua para la fundamentacin de los problemas de investigacin y para interpretar los resultados de la misma investigacin [estoy considerando a Wenzelburger (1990)]. Sin sto, toda investigacin en el campo parece ser aislada; slo organizando el conocimiento de modo general, sto es, slo creando una teora, se tiene la certeza de contribuir al progreso unitario en un sector especfico. Escribe Godino (1991):

La teorizacin es un requisito a fin de que un rea del conocimiento consiga la categora de cientfica y pueda desarrollar su papel explicativo y predictivo de los fenmenos.

Recuerdo la metfora de la tela de araa, debida a Mostern (1987):

Somos como araas, y las teoras como las redes o telas de las araas, con las cuales buscamos captar y capturar el mundo. No es necesario confundir estas redes o telas de araa con el mundo real, pero, sin ellas, estaremos ms alejados de poderlo captar y, por ltimo, disfrutarlo!.

Recuerdo tambin que en el transcurso del V ICME (Adelaide, Australia, 1984) se decidi dar vida a un Grupo de Trabajo sobre el tema: teora de la educacin matemtica (TME) que no ha cesado sus trabajos y por tanto est an notablemente activo. Un poco arriba he hablado de modelo para introducir el tetraedro de Higginson. Pero esta palabra reviste para nosotros una importancia fundamental, tanto que le dedicar muchas pginas en los captulos 4 y 5, sobre todo a causa de la extrema variedad de significados que puede asumir. Cuando se habla de modelo didctico, los pedagogos, los didactas generales y quienes se ocupan de la ciencia de la educacin, dan varias interpretaciones; entre ellas, por ejemplo: un modelo pedaggico en sentido amplio; una modelizacin de los procesos de aprendizaje; una modelizacin del desarrollo y de la prctica didctica; la estructura conceptual del saber enseado; etctera. La situacin es vasta a tal grado que muchas veces se han intentado las clasificaciones. Por ejemplo, la clsica distincin pedaggica entre modelo autocrtico y modelo democrtico; los estudios sobre el comportamiento en el aula por parte de los alumnos, variables a segn del comportamiento del

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profesor. Ha sido probablemente este el origen (de marca toda anglosajona) que ha marcado el camino a los estudios sobre las diferentes modalidades de lecciones, sobre la pedagoga de los proyectos, sobre la individualizacin (Baldacci, 1993), sobre la didctica del trabajo en grupo, etctera (estudios muy cultivados Francia, Alemania e Italia). Se puede intentar una definicin, llamando modelo pedaggico en un sentido amplio a un complejo terico (eventualmente implcito) que pone en movimiento representaciones del alumno en situaciones de aprendizaje, de los saberes y de los instrumentos que conviene o se deben utilizar, del funcionamiento de la clase y de las metodologas didcticas y relacionales, de la funcin y del papel del profesor. En este sentido, entonces, toda pedagoga remite a su modelo pedaggico y que adems puede ser implcito o inconsciente por parte de quien hace uso de los instrumentos pedaggicos (por ejemplo, es clsica la actitud de un profesor convencido de no tener necesidad de instrumentos pedaggicos: de hecho, no obstante pone en funcionamiento un modelo pedaggico, definido por su misma postura didctica). Slo recientemente estos estudios han evolucionado, recurriendo a la didctica, por ejemplo cuando el modelo didctico ha sido expresado en trminos de modelizaciones de los procesos de aprendizaje. Por ejemplo, Meirieu (1987, pp. 110 y ss.) ha intentado una descripcin tipolgica de las operaciones mentales y ha distinguido 4 tipos: la deduccin, la induccin, la dialctica y la divergencia; para cada tipo ha analizado, ejemplicado y definido situaciones particulares de aprendizaje, retomando en parte los estudios de Beaudot (1973). Segn muchos autores aqu est la raz de la idea de los perfiles pedaggicos o perfiles cognitivos vueltos famosos gracias a la obra ahora ya clsica de Antoine De La Garanderie (1980) (que deberemos encontrar de nuevo en el futuro). El punto de partida de su reflexin se basa en las diferencias de evocaciones de la memoria sobre una idea, sobre una imagen mental; ciertas personas parecen ser por su misma naturaleza ms visuales, otras ms auditivas; es lo que l llama una lengua pedaggica materna. Como ya he dicho, deberemos regresar a este punto ms adelante. He aqu ahora que, al interior del debate sobre los modelos didcticos, entra con fuerza el individuo con sus caractersticas pedaggicas naturales (Meirieu, 1987). Y es de aqu que surge la idea de estrategias personales de aprendizaje y el concepto metodolgico de estrategias personalizadas de enseanza que tanta fortuna han tenido al inicio de los aos 90, incluso en Italia. Otras ideas de modelo didctico se refieren a algo ms cercano al profesor y su actividad de docente, la eleccin metodolgica, los itinerarios didcticos, las modalidades de acceso al saber. Por ejemplo Gardner (1993) analiza las modalidades de acercamiento a los conceptos por parte del profesor, distinguindolas en 5 tipologas (que se refieren a 5 modalidades diferentes de la inteligencia): acercamiento narrativo, acercamiento lgico-cuantitativo, acercamiento filosfico-conceptual, acercamiento esttico y acercamiento experiencial (pp. 256-257 de la edic. italiana). Otras ideas de modelo didctico tienen que ver con la estructura conceptual del saber enseado: por ejemplo aqu est la raz de la problemtica que ha llevado a evidenciar la importancia que tiene, para el aprendizaje, el conjunto de las competencias que los estudiantes ya poseen sobre un cierto tema. No se ensea jams en vaco, sobre la nada; cuando se ensea cualquier cosa, sobre esa cualquier cosa existen ya conocimientos, ideas, competencias, ms o menos correctas, ms o menos bien fundadas: no se puede no partir de este conocimiento preliminar para llegar a la conceptualizacin. Este tipo de reflexiones, como veremos en el caso de la didctica de la matemtica, ha llevado a tener cada vez en mayor consideracin el estudio de la historia de la matemtica, en cuanto fuente de ejemplificaciones sobre las ideas a-cientficas que se pueden hacer espontneamente de ciertos conceptos, antes que su formacin cientfica propiamente. Y esto tambin ha puesto en evidencia la relacin que existe entre una imagen, pensada como una cosa

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no fija, fcilmente modificable de un concepto con un acto de voluntad, por ejemplo cognitivo, de una forma no definitiva, y un modelo estable, considerado inamovible, de eso. Sobre este delicadsimo punto basar, en el captulo 5, una definicin ma que se revela cmoda en mis experiencias de investigacin y de trabajo con los profesores para comprender el recorrido didctico de la formacin de los conceptos. Pero regresemos al tema que se estaba tratando.

2.3. Hacia una teora de la didctica de la matemtica

Un descubrimiento verdaderamente nuevo, de importancia histrica, es casi siempre sobrevaluado al inicio, al menos por el genio a quien se le debe. Como ensea la historia de la ciencia, el mbito en el cual vale un principio explicativo apenas descubierto es casi siempre sobrevaluado por su descubridor. Este comportamiento precisamente forma parte de las prerrogativas del genio (...) Hasta en el estrecho crculo de una escuela cientfica, el proceso de formacin de una nueva opinin comn tiene siempre inicio con una negacin excesiva de eso que era credo hasta poco antes. Generalmente, como ya habamos dicho, es el mismo pionero de la nueva opinin quien se vuelve responsable de esta exageracin. A sus alumnos, menos geniales pero mejor provistos de capacidad analtica, les espera la tarea de pararse en el punto justo, amortiguando lo ms posible las oscilaciones. El proceso inverso da lugar en cambio a una concrecin doctrinaria que constituye un obstculo para posteriores progresos del conocimiento. Cuando en efecto el descubridor de una nueva verdad no encuentra alumnos crticos, sino discpulos creyentes, se llega a la formacin de religiones que, efectivamente, pueden tener una influencia muy positiva en la vida cultural en general, pero que son del todo indeseables en el mbito de la ciencia.

Konrad Lorenz [1903-1989], Laltra faccia dello specchio (1973).

Considerar aqu la epistemologa en una de sus posibles acepciones y esta es como la rama de la filosofa que estudia cmo se constituyen los conocimientos cientficos de un cierto sector especfico, precisamente tambin para delimitar y caracterizar esta especificidad. En este sentido existe una epistemologa de la matemtica (Speranza, 1997), por ejemplo; una epistemologa de la fsica, por ejemplo; y segn algunos est definida y segn otros en va de definicin una epistemologa especfica de la didctica de la matemtica. Slo que existen diversas acepciones en las cuales todo sto puede entenderse; aqu me limitar slo a algunas de las ms seguidas por los investigadores en didctica de la matemtica. Comenzar con consideraciones de carcter un poco ms general. Recuerdo la nocin de paradigma, refirindome a Thomas Kuhn (1962, 1968). No es fcil establecer con exactitud qu cosa se entiende con este trmino, incluso porque en las obras citadas aparecen al menos 20 acepciones distintas [sobre este... recuento estoy confortado por un control anlogo propuesto por Juan Godino, que en cambio ha contado 22; vase Godino (1993a)]. Ms o menos se puede decir que Kuhn entiende por paradigma el conjunto de las hiptesis tericas generales y el conjunto de las leyes para sus aplicaciones, comnmente aceptadas por los miembros de una misma comunidad cientfica, y que implican un acuerdo sustancial en los juicios profesionales, de mrito y de pertinencia. Hay un momento, en la formacin de una nueva comunidad cientfica, a partir del cual finalmente se puede hablar de paradigma; la fase que precede parece estar caracterizada por una desorganizacin, privada de acuerdos especficos, y con una

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constante bsqueda de debate sobre los fundamentos de la disciplina misma. De broma se puede decir que en esta fase hay tantas teoras como investigadores y una continua bsqueda y exigencia de clarificar los puntos de vista propios y de otros. Los trabajos escritos de investigacin en el campo son acompaados a menudo por largas explicaciones sobre las caractersticas generales de la investigacin misma. La tesis de Kuhn ms famosa es en la cual el progreso cientfico procede segn revoluciones, dado que se tiene un avance, evoluciona, slo despus de una crisis. [Esto evidentemente pensando en la otra famosa obra de Kuhn, La revolucin copernicana (1957).] En cuanto a lo que concierne a Imre Lakatos [1922-1974], me limito a llamar la atencin hacia la idea de programa de investigaciones [y me estoy refiriendo, entre las famossimas obras de Lakatos, a Lakatos y Musgrave (1960)]. Con este trmino se entiende una serie de sucesiones de teoras relacionadas entre s en un desarrollo continuo, conteniendo reglas metodolgicas de investigacin (ya sea en lo positivo: a seguir; ya sea en lo negativo: a evitar). Todo programa debe contener: un ncleo o centro del programa; un sistema de hiptesis auxiliares; la heurstica, sto es la totalidad de los procedimientos que se pueden aplicar a la resolucin de

los problemas. En esta sucesin, una nueva teora puede entonces considerarse un progreso respecto a una precedente si: hace predicciones que la precedente no estaba en posibilidad de hacer; algunas de tales predicciones se pueden probar como verdaderas; la nueva teora explica hechos que la precedente no poda probar. Una ciencia madura debe tener su programa especfico de investigacin. Me referir ahora a Mario Bunge (1985a,b); segn este autor, la ciencia es un cuerpo en constante crecimiento de conocimientos, caracterizado por el hecho de tratar con conocimientos racionales, sistemticos, exactos y verificables (y por tanto tambin falibles). El conocimiento cientfico coincide con el conjunto de las ideas sobre un cierto tema, establecido aunque momentneamente provisional; pero luego la concurrencia de los individuos y el intercambio de informaciones y de ideas, da lugar a una comunidad cientfica. Aquello que caracteriza la diferencia entre los campos de creencia (religiones, ideologas, polticas, ...) y los campos de investigacin cientfica es el tipo de modalidad segn las cuales suceden los cambios en las ideas. En los primeros campos los cambios suceden a causa de revelaciones, controversias, presiones sociales; en los segundos hay un cambio continuo a causa de los mismos resultados de la investigacin. Segn posturas ms dbiles, una ciencia se define cuando dispone de un objeto especfico de estudio, de un mtodo propio de estudio y de un lenguaje especfico compartido. A esta postura hacen referencia comnmente los tericos de las ciencias humanas, por llamar ciencias precisamente, sus dominios de estudio. Esta postura dbil ha hecho proliferar el apelativo de ciencias dado a muchas disciplinas. En efecto, cualquier disciplina a cuyo desarrollo concurran estudiosos que se reconozcan como expertos en ella, tarde o temprano adquiere las caractersticas recin descritas. El problema de la repetibilidad de los experimentos, de la correcta definicin de las variables en juego, del sentido que adquieren trminos como riguroso, verdadero, etctera, tiende a desparecer en la nada (DAmore, 1998a). En este sentido, sealo slo cmo, a partir de la propuesta de Michel Foucault [1926-1984] (1966) segn el cual la pedagoga, ciencia de la educacin y la didctica [general] debera ser considerada en los conjuntos tericos, como de los de multiplicidad discursiva, Vergnioux (1991, p. 168) haba intentado establecer una tipologa de los enunciados pedaggicos:

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enunciados tericos obtenidos de saberes constituidos (psicologa, sociologa, etctera); enunciados empricos sacados de las observaciones en el campo educativo y de la experiencia

de los profesores; enunciados de sntesis emprica que intentan sntesis tericas a partir de los enunciados

empricos; enunciados regulares que organizan de modo especulativo los conjuntos discursivos

asegurando, a travs de conceptos oportunos, el sentido y la finalidad de la disciplina y de los enunciados mismos.

Segn Vergnioux, todo discurso pedaggico es un conjunto de enunciados de estos cuatro tipos. Tiene sentido, a su modo ver, hablar de racionalismo didctico en los casos en los cuales, en un discurso pedaggico, hay una preponderancia de enunciados de los ltimos dos tipos. El sealamiento a la sociologa y lo emprico, no pueden no traer a la mente la concepcin de teora prctica de mile Durkheim [1858-1917] (1922) con este propsito. El problema es pensar en el estatuto de los discursos mixtos que por una parte conciernen cercanamente con la prctica de enseanza y por otra elaboran una teorizacin inspirndose en lo terico que ya ha sido elaborado al interior de la ciencia de la educacin. Cierto, aqu entran en juego cuestiones de gran alcance, difcilmente manejables, como el papel de la filosofa de la educacin, la misma meta del educar. Sobre el sentido y sobre el alcance que tiene la filosofa en estas decisiones, me limito a remitir a Best (1969, 1973) que examina tal cuestin y es un precursor de estas consideraciones. Quiero subrayar el hecho de que en el mbito de las discusiones sobre estas temticas naci la psicopedagoga (pero slo en el ambiente escolar), intentando mediar entre dos niveles distintos sobre los cuales se pone la teorizacin pedaggica; por un lado el nivel epistemolgico de unificacin conceptual, por el otro el nivel tico, de integorrogacin crtica sobre las metas. Continuando con las relaciones estrechsimas entre filosofa, epistemologa y didctica y sus influencias recprocas, sugiero aqu la puntualizacin importante de Artigue (1990) y el trabajo clsico de Ernest (1991). Existen tambin trabajos que buscan unificar las investigaciones en educacin en torno a los ncleos conceptuales o a las problemticas fundacionales. Estoy pensando en la praxeologa y en la didaxologa. La praxeologa se puede pensar como el estudio de las condiciones de ejecucin de una accin eficaz en un sector dado; es ahora obvio la referencia a la eficacia de una accin didctica, una vez definidos los trminos, estudiada por Not (1984) e Imbert (1985) por ejemplo. La didaxologa es definida por De Landshere (1979) como la ciencia de la enseanza y est basada en la investigacin emprica, haciendo referencia a un mtodo experimental. Aquello que me parece se concluye es al menos esto: que hay un deseo constante, evidentsimo, una fuerte tensin por caracterizar la vertiente didctica de la ciencia de la educacin y de la pedagoga desde un punto de vista cientfico, cualquier cosa que signifique este adjetivo. Lo que hay de comn en todas estas interpretaciones es que las teoras cientficas no pueden ser creaciones o invenciones de uno solo, sino debe ser una comunidad de personas entre las cuales rija un acuerdo sustancial ya sea sobre los problemas significativos de investigacin, ya sea sobre las modalidades en las cuales sta se explica. Con respecto a esto har referencia, para la claridad, a un trabajo de Romberg (1988) para definir las caractersticas peculiares de una ciencia consolidada y estable: debe existir un conjunto de investigadores que demostraran intereses en comn; en otras

palabras debern haber problemticas centrales que guan el trabajo de los investigadores y que son compartidas;

las explicaciones dadas por los investigadores deben ser de tipo causal;

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el grupo de investigadores debe haber elaborado un vocabulario y una sntesis comn, sobre la cual el grupo est de acuerdo;

el grupo debe haber elaborado procedimientos propios para aceptar o refutar los enunciados. Por todo este libro tratar de delinear los aspectos relevantes de la didctica de la matemtica y de algunos elementos de la investigacin actual en didctica de la matemtica, sugiriendo que sta es una teora por s misma (pero que puede aportar una contribucin decisiva a la fundamentacin de otra teora que se podra llamar simplemente didctica o didctica general: pero slo en los ltimos captulos afrontar de modo especfico este tema). Por ahora, es fundamental tratar el problema de la didctica de la matemtica como teora por s misma. Lo har, utilizando a veces de modo explcito, a veces de modo implcito, caracterizaciones seleccionadas oportunamente de los trabajos de Kuhn, Lakatos y Bunge, a veces sin mayores distinciones. Est bajo los ojos de todos la existencia de un gran grupo internacional de investigadores en didctica de la matemtica que tienen intereses comunes, para quienes existen problemticas consideradas centrales y compartidas, que dan un par de decenas de explicaciones de carcter causal, que tienen elaborado un vocabulario comn, compartido; tienen sus congresos especficos y sus revistas especficas, al interior de las cuales las propuestas de comunicacin o de publicacin son analizadas con base en procedimientos ahora ya compartidos ampliamente. Estamos por tanto en pleno en las condiciones propuestas por Romberg para poder afirmar que la didctica de la matemtica tiene todas las caractersticas para poder ser considerada una ciencia consolidada y estable. Una contribucin notable ha sido dada ciertamente por la Escuela Francesa que a veces ha creado un vocabulario que despus se hace comn, al cual poco a poco los didactas de nueva formacin se han adherido.6 Existe de modo especfico un grupo de investigadores que tienen como fin propio la definicin de la teora didctica de la matemtica; se trata del grupo TME que, como ya he recordado, se ha formado durante el ICME-V en 1984 (Malara, 1998). Para sancionar de modo definitivo esta oficialidad de existencia acadmica est luego el hecho de que son cada vez ms las ctedras universitarias de didctica de la matemtica en todo el mundo, la proliferacin (bajo diversas formas) de escuelas de especializacin o cursos universitarios de licenciatura para la formacin de los profesores (Alemania, Francia, Espaa,... y, desde 1998-99, Italia). Despus de su nacimiento, el TME ha tenido otros numerosos encuentros oficiales, por ejemplo en Bielefeld (Alemania) en 1985, en Amberes (Blgica) en 1988, en Oaxtepec (Mxico) en 1990, en Paderno del Grapa (Italia) en 1991,... En el curso de estas reuniones, se tiene cada vez una mayor profundizacin en el papel de la especifidad y se ha pasado de temas sociales (papeles, modelos, conceptos, ...) a temas especficos (por ejemplo las perspectivas del punto de vista vygostkiano en el aprendizaje). Esta ltima frase nos lleva necesariamente a hablar de un aspecto extremadamente importante al interior de nuestra disciplina: sus relaciones profundas con el campo de la psicologa. Desde este punto de vista podramos distinguir tres grandes filones de teoras y modelos relativos a la instruccin: interaccin cognitiva, interaccin social e interaccin contextual: ! La interaccin cognitiva, en la cual podramos situar las teoras de J. Piaget, de J.S. Bruner y de D.P. Ausubel, podra ser caracterizada por la idea de que la instruccin es sobre todo un paso de informacin, el objetivo es entonces el de crear situaciones ptimas para el paso privilegiado y principal, ese que va del profesor al alumno. El objetivo es el de hacer que el alumno llegase a las informaciones lo ms correctas posibles.

6 Al respecto juzgo fundamental el estudio de Perrin-Glorian (1994) que, en las pginas 98-107 y 116-118,

intenta precisamente una sntesis histrica en este sentido, obviamente referida a la situacin francesa.

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! La interaccin social da la importancia principal al papel de los sujetos que interactan, alumnos y profesores; la instruccin es el producto de esta interaccin; en este filn podramos poner a Lev Semionovich Vygostki [1896-1934] y a Alberto Bandura. ! La interaccin contextual da relevancia no slo a los sujetos, sino tambin al contexto en el cual ocurre la interaccin misma; en este filn se podran poner los trabajos de B.F. Skinner, R.M. Gagn y L.J. Cronbach. Paso de informaciones, interacciones entre sujetos, interacciones de los sujetos con el contexto... Por opcin en este campo no es posible no ocuparse, quiz de manera preliminar, al momento de aceptar una u otra de las teoras de aprendizaje o al afrontar la caracterizacin que cada uno de nosotros quiere dar a la accin en el campo didctico, si se quiere con forma de docente, si se quiere con forma de investigador. Es entonces obvio que la adhesin fue maciza por parte de los investigadores en didctica de la matemtica cuando se lanz la idea de formar un grupo de estudio sobre la psicologa de la educacin matemtica (PME) que hoy tiene sus reuniones en todo el mundo. Entre los investigadores que han dado mayor impulso a este grupo slo quiero aqu recordar a Efraim Fischbein [1920-1998] y a Grard Vergnaud.7 El Grupo PME ha rebasado la problemtica psicolgica inicial; el debate sobre la investigacin ha evidenciado la necesidad de tener en cuenta ulteriores problemticas las cuales son, citando a Balacheff (1990a,b): la especificidad del conocimiento matemtico; sto lleva en consecuencia al estudio de los

procesos cognitivos de los estudiantes a modo de que normalmente son indicados como sus capacidades o los resultados alcanzados (esto es, desde mi punto de vista, uno de los puntos cruciales que distinguen, como ya he dicho anteriormente, la investigacin moderna en didctica de la matemtica);

la dimensin social del aprendizaje de la matemtica al interior de un contexto especfico. Una tendencia en este sentido era ya anunciada por el mismo Fischbein (1990a) cuando, en un artculo que es en realidad una Introduccin, afirmaba que la psicologa de la educacin matemtica debe hacerse la educacin matemtica en general, como cuerpo de conocimiento especfico. Pero en esta famosa Introduccin hay adems otras afirmaciones fuertes que vale la pena conocer. Podra parecer que la adopcin de cuestiones, conceptos, teoras y mtodos tratados en el campo de la psicologa (general) y adoptados en el campo de la educacin matemtica, pueden dar frutos positivos y resultados interesantes. Pero la verificacin emprica ha demostrado ampliamente que las cosas no son as. Cmo dar una explicacin de sto? Fischebin sugiere que sto es debido al hecho de que la psicologa no es una disciplina deductiva; este fallo en el paso de lo general a lo particular se tiene tambin en los campos de la psicologa (general) fuertemente entrelazados con el dominio de la educacin matemtica (por ejemplo: los estudios conducidos por psiclogos sobre la resolucin de problemas, sobre la memoria, sobre las estrategias de razonamiento, creatividad, representaciones, imaginacin, etctera). Esto acarrea que tales argumentos no puedan constituir una fuente de problemticas de investigacin en el campo de la didctica de la matemtica. Por ejemplo, suponiendo tambin una cierta veracidad de la teora de los estadios lineales de Piaget y de sus ideas acerca del desarrollo de los conceptos matemticos (nmero, espacio, funcin, etctera), no es posible, segn Fischbein, trasladar tales ideas al currculum.

7 Al lector italiano le sugiero, en caso de que lo hubiese hecho antes, el estudio de los artculos de estos dos

autores en lengua italiana. En Prodi (1984) aparecen las traducciones de dos artculos de Fischbein; en Chini Artusi (1985) aparecen traducidos dos artculos de Fischbein y dos de Vergnaud; en Fischbein y Vergnaud (1992), aparecen traducidos otros cinco artculos de cada autor. Adems un libro de Vergnaud (1981) ha tenido, aunque slo hasta 1994, una traduccin al italiano [y en 1991 una traduccin al castellano (N.T.)].

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Por no ser un argumento cerrado en s, las problemticas y carcter psicolgico de la didctica de la matemtica son especficas y normalmente ningn psiclogo encontrar estos problemas en el curso de su carrera profesional. Si un psiclogo se interesa en problemas relativos a cuestiones de psicologa del aprendizaje de la matemtica, de hecho deja su campo anterior para pasar a ste ltimo. En otras palabras, los conceptos psicolgicos usuales se convierten en otros, adquieren nuevos significados utilizados en el mbito matemtico o en el mbito de educacin matemtica. En otras palabras o hay colaboracin entre los expertos de los dos sector, pero permaneciendo cada uno en su propio sector, o bien hay un cambio de frente si un estudioso de un sector se hace ilusiones de poder entrar en el otro impunemente. Hay tambin teoras del aprendizaje y es entonces obvio que se buscaran los ltimos aportes al estudio del aprendizaje matemtico.8 Tambin en este caso son distintas, dado que cada una tiene especificidad propia. En la instruccin basada en principios conductistas [descrita ampliamente por m en la primera parte de DAmore (1993a)] se tiende a partir el currculum en partes, cada una de las cuales es vista como temas de aprendizajes por s mismos; al aprendizaje se llega a travs de refuerzos apropiados; el primer paso de cada segmento curricular consiste en temas y conceptos bsicos, sobre los cuales se funda lo siguiente del conocimiento. En el caso de la instruccin fundada en la epistemologa gentica de Piaget, las competencias generales formales basadas sobre operaciones lgicas que preceden a las aritmticas basadas directamente sobre los nmeros no han proporcionado ayuda adecuada para hacer adquirir al nio la habilidad bsicas (como ms o menos ya he dicho en el captulo anterior). Una teora del aprendizaje matemtico se basa en los estudios cognitivos: el asunto de base es que el alumno construye, de modo activo, su propio conocimiento interactuando con el ambiente y organizando sus construcciones mentales. La instruccin influye lo que el alumno aprende, pero no determina tal aprendizaje. El alumno no se limita a recibir pasivamente el conocimiento, sino que lo reelabora constantemente de modo autnomo. Esta lnea, que se podra adscribir al constructivismo, es la ms seguida actualmente, segn Vergnaud (1990a), por quienes se ocupan de las teoras del aprendizaje. El punto de vista constructivista requiere asuncin de dos axiomas (Kilpatrick, 1987a): el conocimiento no es recibido pasivamente, sino construido activamente por el sujeto que

aprende; conocer es un proceso de adaptacin gracias al cual el sujeto que aprende organiza su propio de

dominio de experiencias. bien visto, hay (al menos) tres posiciones bsicas: constructivismo simple, llamado ingenuo: aquel de quien acepta slo el primer axioma; constructivismo radical: aquel de quien acepta ambos axiomas; constructivismo social: aquel de quien exalta el papel central del conflicto cognitivo (del cual

hablar ms ampliamente ms adelante) en la construccin del saber objetivo. El trmino constructivismo es hoy usado en un abanico dramticamente amplio de interpretaciones. Para tener las primeras informaciones, se puede ver Von Glasersfled (1992) y Duval (1996-1997a). Una visin interesante que conjuga constructivismo y complejidad,

8 Es obvio que no podr aqu dar, de pasada, nada ms que una pizca de esta vastsima problemtica, de entre

las ms discutidas en el mundo! Invito al lector a consultar otros textos, ms especficos, sobre el tema. Entre los tantos, por ejemplo, Pontecorvo y Pontecorvo (1985), Bruner (1961a,b), Bruner et al. (1966), Gagn (1965-1985). En DAmore (1993a) haba ya intentado aproximaciones rpidas y miradas sobre este difcil tema. Regresar no obstante en breve sobre este tema.

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refirindose al trabajo sociolgico de Niklas Luhmann, est proporcionado en Ontiveros Quiroz (1996, 1997). Un modo tambin distinto de ver el problema de las teoras del aprendizaje es el llamado recurso al modelo de la calculadora, segn el cual el funcionamiento de la mente es comparable con el de una calculadora. El aprendizaje es entonces llamado proceso informtico: se tiene la hiptesis de que el cerebro y la mente estn vinculados como lo est una calculadora y un programa y se comportaran como tales, por ejemplo de modo absolutamente secuencial. Lo explica muy bien Godino en el artculo que ya he citado anteriormente (1991):

La cognicin es alcanzada con un mecanismo de procesamiento central controlado por algn tipo de sistema ejecutivo que ayuda a la cognicin a ser consciente de lo que est haciendo. Los modelos de la mente se comparan a los modelos de las calculadoras relacionadas con un cerebro central capaz de imaginar y ejecutar secuencialmente programas escritos en un lenguaje de alto nivel. En estos modelos, la mente se considera esencialmente como unitaria y las estructuras y operaciones mentales se consideran como invariantes para los distintos contenidos; se piensa que un mecanismo nico estara en la base de las capacidades de resolucin de una cierta de clase de problemas.

Qu acarrea esta metfora, como la llama Kilpatrick (1985), desde un punto de vista metodolgico? Los hombres de ciencia cognitivos que aceptan este punto de vista realizan observaciones sobre cmo los individuos resuelven problemas, si hay o no regularidades o recurrencias en sus comportamientos especficos individuales: cuando los encuentran, los evidencian y los proponen como modelos de comportamiento general a los alumnos en dificultad. Construyen modelos de proceso en lo que atae a la comprensin y la ejecucin; tales modelos son transformados en programas de calculadora y puestos en funcionamiento para simular el comportamiento de un resolutor humano. Naturalmente no es necesario caer en el engao de tomar esta metfora como muy significativa o hasta como la realidad del funcionamiento cognitivo.9 Se dice que, gracias a la proliferacin de este tipo de estudios, se han puesto en evidencia otros puntos de vista de los procesos de aprendizaje y de resolucin de problemas, que ven ms central y activo el papel del resolutor y que dan mucha ms importancia a la interaccin social en el aula. En particular, sobre todo en obras de la ya mencionada Escuela Francesa, se ha desarrollado una concepcin fundamental de la didctica que tiene caracteres distintos: el aprendizaje es un hecho total, la didctica tiene paradigmas de investigacin propios, tiene una posicin indagatoria entre los mtodos cuantitativos y cualitativos. En otras palabras, el proceso de enseanza-aprendizaje es visto globalmente; los modelos que se han desarrollado comprenden las dimensiones epistemolgicas, sociales y cognitivas y toman en cuenta las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor al interior del contexto de clase.10 Creo que se pueden poner como fundamento de lo que estoy intentado decir dos clebres preguntas que se plante Colette Laborde (1989): cmo podemos caracterizar las condiciones que deben implementarse en la enseanza para

facilitar un aprendizaje que rena ciertas caractersticas fijadas a priori? qu elementos debe poseer la descripcin de un proceso de enseanza para asegurarse que

puede ser reproducido desde el punto de vista del aprendizaje que induce en los alumnos? Se nota lo siguiente: a primera vista, las preguntas parecen relativas al proceso de enseanza; pero el control implcito est en direccin opuesta y entonces toda la atencin est centrada en los

9 Sobre este gnero de cuestiones, vase DAmore (1998a). 10 Naturalmente, sera bueno aclarar qu cosa es y cmo se debe entender este cognitivo hoy en la

investigacin en didctica. A este respecto, sugiero la lectura de Schubauer-Leoni (1997a).

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procesos de aprendizaje (a partir de los cuales se tienen luego obviamente reflexiones sobre el proceso de enseanza). Con estas ltimas consideraciones hemos abandonado el punto de vista general, las teoras generales del aprendizaje, para llegar a situaciones bastante ms especficas, cercanas a la didctica de la matemtica. Pasamos entonces decididamente a nuestra disciplina especfica, delineando el punto de vista sistmico. Guy Brousseau (1989a) define la concepcin de la didctica de la matemtica como ciencia,

una ciencia que se interesa en la produccin y comunicacin de los conocimientos matemticos, y en qu cosa esta produccin y esta comunicacin tienen de especfico,

una ciencia que tiene como objetos especficos de estudio: las operaciones esenciales de la difusin de los conocimientos, las condiciones de esta difusin

y las transformaciones que sta produce, ya sea sobre los conocimientos ya sea sobre sus utilizadores;

las instituciones y las actividades que tienen como objetivo el facilitar estas operaciones. Es obvio que todos nosotros entramos en juego cuando el objeto explcito de sto es la matemtica y entonces se tienen peculiaridades sobre las cuales entrar en mucho detalle ms adelante. Aqu me limito a recordar que Brousseau (y, ms en general, toda la Escuela Francesa) consideran el fenmeno enseanza-aprendizaje desde un punto de vista sistmico y no como el estudio separado de cada uno de sus componentes (un poco como se entiende hoy en los estudios econmicos y sociales). Tiene sentido entonces describir un sistema didctico, como hacen Chevallard y Joshua (1982); para estos dos autores tal sistema est formado por tres componentes: profesor, alumno y saber enseado; pero, naturalmente, hay un mundo externo, la sociedad en general, los padres, los matemticos, etctera. Entre los dos sistemas hay una suerte de zona intermedia, la noosfera: en ella se articulan las relaciones entre los dos sistemas, en un todo nico, con sus conflictos (Godino, 1993b). La noosfera se podra pensar como

la capa externa que contiene todas las personas que en la sociedad piensan en los contenidos y en los mtodos de enseanza (Godino, 1993b).

Se habla en cambio de medio o ambiente (en francs: milieu) como del subsistema con el cual tiene que ver directamente el alumno (materiales, juegos, etctera). Este milieu est al inicio definido como el conjunto de todo aquello que acta sobre el alumno o sobre lo que acta el alumno (Brousseau, 1977). Se puede pensar en la interaccin entre el alumno y el milieu, en ausencia de una implicacin concreta del profesor, como lo que define una situacin a-didctica; mientras que si se analiza un sistema educativo explcito (por ejemplo el papel del profesor) entonces se habla de situacin didctica. A veces el milieu est definida sobre la base de objetos concretos verdaderos, a veces se aade una intencin por la cual estos objetos son elegidos, a veces como cualquier cosa estable, otras como cualquier cosa que se desarrolla y se modifica conjuntamente con el alumno. Para las variaciones de la acepcin de este trmino, debido al proceso de desarrollo de toda la teora, aparece igualmente clara la funcin: sirve para definir, al interior del sistema didctico, la parte ligada a usos especficos a-didcticos, predispuestos as por el profesor, y por tanto con objetivos didcticos, pero sin la presencia necesaria y constante de tales objetivos (por ejemplo, sin la participacin directa del profesor). [Una descripcin de la evolucin del concepto de milieu, se puede encontrar en Perrin-Glorian, 1994, pp. 128-130.]

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En Chevallard (1985) y Chevallard y Joshua (1982), se llega a la conclusin de que el sistema didctico es un objeto preexistente, dotado de una necesidad propia y de un determinismo propio; que se caracteriza con base en las relaciones que establece, como ya dije, entre alumno, profesor y saber. Para proseguir con la ilustracin desde el punto de vista de la Escuela Francesa, suponemos adoptar una perspectiva de molde piagetiano, sto es, que postulamos que cada conocimiento se construye gracias a la interaccin constante entre sujeto y objeto; el aprendizaje es entonces una jerarquizacin de estructuras mentales que se basan en un substrato, que son los contenidos. En este sentido, se nos pone como problema principal de investigacin el estudio de las condiciones en las cuales se constituye el saber, teniendo como objetivo alcanzar su optimizacin, su control y su reproduccin en situaciones escolares. sto acarrea que se debe dar importancia al objeto de la interaccin entre los dos subsistemas alumno y saber, y a la gestin de tales interacciones por parte del tercer subsistema, el profesor. En tal mbito podemos finalmente indicar qu se entiende por situacin didctica para despus retomar el tema ms detalladamente en 7.3. Se trata de un conjunto de relaciones establecidas de modo explcito o implcito entre el profesor, el alumno (o un grupo de alumnos) y elementos en el entorno (instrumentos o materiales), teniendo como objetivo el hacer que los estudiantes aprendan, sto es, que construyan un cierto conocimiento establecido previamente. Las situaciones didcticas son por tanto especficas del conocimiento que se quiere hacer alcanzar. Ahora, a fin de que el alumno construya su propio conocimiento, debe ocuparse personalmente de la resolucin del problema que le ha sido propuesto en la situacin didctica, debe implicarse en tal actividad. Es en tal caso que se estila decir que el alumno ha alcanzado la devolucin de la situacin. Tratar de entrar ms en detalle sobre este tema, muy importante. La devolucin es el proceso o la actividad de responsabilizacin a travs de la cual el profesor logra que el estudiante comprometa su propia responsabilidad personal en la resolucin de un problema (ms general: en una actividad cognitiva) que se convierte entonces en problema del alumno, aceptando las consecuencias de esta transferencia momentnea de responsabilidad, en particular en lo que concierne a la incertidumbre que esa asuncin genera en la situacin. Originalmente (Brousseau, 1986) la devolucin era definida como

el acto a travs del cual el profesor hace aceptar al alumno la responsabilidad de una situacin de aprendizaje (a-didctica) o de un problema y acepta l mismo las consecuencias de esta transferencia.

sto acarrea evidentemente que se busque clarificar qu cosa se entiende con situacin a-didctica. Se trata de una idea que toma relevancia al interior del modelo de la teora de las situaciones didcticas, sobre la cual deberemos regresar una y otra vez en seguida. Decimos que una situacin didctica sobre un cierto tema relativo al saber posee dos componentes: una situacin a-didctica; un contrato didctico. Se trata de un modelo terico: si en un ambiente organizado para el aprendizaje de un cierto tema se va a caer en la intencin didctica, se tiene una situacin a-didctica. A partir de 1970, Brousseau ha provisto ejemplos de situaciones a-didcticas (Perrin-Glorian, 1994, 1997) que el mismo Brousseau (1986, p. 50) describe:

La situacin a-didctica final de referencia, esa que caracteriza el saber, puede ser estudiada de modo terico, pero en la situacin didctica, tanto para el maestro como para el alumno, hay una

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suerte de ideal hacia el cual se trata de converger: el profesor debe sin descanso ayudar al alumno a despojar lo ms posible la situacin de todos sus artificios didcticos, para dejarle el conocimiento personal y objetivo.

La devolucin es por tanto una situacin con base en la cual el alumno funciona de modo cientfico, y no slo en respuesta a impulsos externos a la situacin, por ejemplo de tipo didctico. (Sobre estos puntos deberemos regresar en detalle en los captulos sucesivos.) En una primera aproximacin, la devolucin consiste en hacer entrar al alumno en un funcionamiento matemtico, de frente a un problema que se quiere resolver; por un lado el alumno sabe bien que el problema que ha sido escogido tiene sentido para alcanzar un aprendizaje, pero para poder alcanzar tal aprendizaje debera afrontar el problema privado de todo componente extra-matemtico, en particular privado de razones didcticas. Hay varios obstculos para la realizacin de la devolucin, obstculos que Perrin-Glorian (1997) sintetiza: falta de un establecimiento de los conocimientos previos, ya sea en lo que concierne a su

utilizacin o ya sea por la posibilidad de una eventual puesta en discusin. falta de confiabilidad de las tcnicas operatorias, lo que acarrea una distraccin de la atencin

del objetivo principal y un alto costo para los procedimientos complejos; falta de la capacidad de la lectura global de la peticin del problema; sta se sustituye

comnmente con una lectura selectiva, local, con la finalidad de dar una pronta respuesta. El proceso complementario al de la devolucin es, entonces, la institucionalizacin del conocimiento. Con este trmino se entiende ese proceso a travs del cual los estudiantes deben cambiar el estatuto de sus conocimientos an no oficiales, an no patrimonio definitivo, al utilizable oficialmente por ejemplo para la resolucin de problemas o los pretendidos por el profesor como saber posedo de modo oficial. Una de sus funciones,

es articular los conocimientos que los alumnos ponen en juego en la resolucin de problemas, conocimientos que resultan de saberes precedentes

que han fracasado en un intento precedente de adaptarse a

una situacin nueva y que han encontrado una nueva ocasin de uso (Perrin-Glorian, 1997, p. 54).

La institucionalizacin de los conocimientos entra en juego por ejemplo en las verificaciones de resoluciones de los problemas, en el curso de un balance de las actividades desarrolladas en clase, lo que significa que

la institucionalizacin es as como un motor de avance del contrato didctico (Perrin-Glorian, 1997, p. 56).

La teora de las situaciones es una teora del aprendizaje de clara estampa constructivas en la cual el aprendizaje se produce mediante la resolucin de los problemas.11 Ya que el conocimiento matemtico, en su peculiaridad, incluye no slo conceptos sino tambin sistemas de representacin simblica, no slo procesos de desarrollo sino tambin validaciones de nuevas ideas matemticas, debemos contemplar varios tipos de situaciones: situaciones de accin: actan sobre el ambiente y favorecen el surgimiento de teoras implcitas

que funcionarn en la clase como modelos protomatemticos;

11 Brousseau introduce en este punto la idea de comparar la resolucin al proceso de toma de decisin de

cmo resolver un juego de estrategia. Para este punto, remito directamente a Brousseau (1986).

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situaciones de formulacin: favorecen la adquisicin de modelos y lenguajes explcitos; si tienen dimensin social explcita, se habla entonces de situaciones de comunicacin;

situaciones de validacin: a los alumnos les son pedidas pruebas y por tanto explicaciones sobre las teoras utilizadas y tambin explicitaciones de los medios que son propuestos en los procesos demostrativos;

situaciones de institucionalizacin: tienen el objetivo (como hemos visto) de establecer y dar un estatuto oficial a conocimientos aparecidos durante la actividad en el aula. Normalmente tienen relaciones con conocimientos, smbolos, etctera, que se deben tener en cuenta en su utilizacin en un trabajo posterior.

Pero aprender por adaptacin al ambiente acarrea rupturas cognitivas, acomodamientos, modificaciones de modelos implcitos, lenguajes, sistemas cognitivos. Es tambin por sto que se ha revelado contraproducente obligar al alumno a una progresin cognitiva paso a paso; el principio de adaptacin puede contrarrestar el proceso de rechazo de un conocimiento inadecuado que es en cambio necesario para el aprendizaje. Ideas que sabemos que son contradictorias, en espera de su sistematizacin, resisten por as decirlo los ataques y por tanto persisten tambin cuando deberan ser superadas. Estas rupturas son tan necesarias como para tener que ser hasta previstas por el estudio de las situaciones e indirectamente por los comportamientos de los alumnos (Brousseau, 1976, 1983a). Entonces Brousseau ha introducido la idea de obstculo; tal concepto, que se ha convertido rpidamente en uno de los puntos cardinales de la investigacin mundial, se ha revelado fructfero, tanto que entra entre las palabras ms utilizadas en este momento por la comunidad internacional de los investigadores en didctica de la matemtica, formando parte del vocabulario comn del que hablaba anteriormente en este mismo pargrafo. Ya que los captulos posteriores estarn dedicados explcitamente a las palabras de este vocabulario, el captulo 6 quedar para el tratamiento de este tema en particular. Pero en el tringulo al cual se hizo un rpido sealamiento hace poco (profesoralumnosaber), un lugar de relevancia es ocupado por el saber, argumento que todava no he afrontado aqu. Lo har inmediatamente, siguiendo a Chevallard (1989). El argumento principal de estudio de la didctica de la matemtica est constituido por diversos tipos de sistemas didcticos (formados por los posibles subsistemas que tengan estos elementos: profesor, alumno, saber) que ya existen o que pueden ser creados (por ejemplo activando formas particulares de enseanza). En estas condiciones el saber no es absoluto porque depende de las instituciones en las cuales se encuentra el sujeto. Conocer una cierta teora matemtica es una frase que tiene sentido si se especifica cul es la institucin a la cual nos referimos como nivel de competencia. Luego hay que hacer una distincin entre relaciones institucionales (el saber referido al objeto conceptual considerado como aceptable al interior de una institucin) y relaciones personales (conocimiento sobre objeto por parte de una persona dada); sto ltimo puede o no ser coincidente con lo de la institucin de la cual la persona forma parte. Chevallard se plantea entonces las siguientes preguntas: cules son las condiciones que aseguran la posibilidad de recorrer12 didcticamente tal

elemento del saber y de tal relacin institucional y personal con este elemento del saber? cules son las restricciones que pueden impedir satisfacer estas condiciones? Entonces se entiende que para Chevallard el problema central de la didctica es el estudio de la relacin institucional con el saber, de sus condiciones y de sus efectos. Desde un punto de vista

12 En el original percorribilit. (N.T.)

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epistemolgico, el estudio de la relacin personal termina con ser secundario, mientras que es primario en la prctica. La relatividad del saber respecto a la institucin en la cual se presenta haba llevado a Chevallard al concepto de transposicin didctica (Chevallard, 1985). Se refiere aqu a la adaptacin del conocimiento matemtico para transformarlo en conocimiento para ser enseado. En primer lugar se preocupa del paso desde el saber matemtico al saber a ensear (este paso es riqusimo de implicaciones; de entre todas sealamos la necesaria recontextualizacin del concepto examinado, desde el contexto matemtico al cual pertenece, con base en el saber en el cual el profesor se inspira, al contexto escolar, programa, currculum, en el cual de entrar). Luego, una vez realizada la introduccin del concepto, se apodera para hacer alguna cosa; esta inmersin en el saber enseado permite la recontextualizacin del objeto del saber. Pero sto no permitir reconstruir el motivo original de existencia de la nocin, ni le devolver todas las funciones por las cuales tal nocin fue introducida. Y esto se vigila bien, no slo en los niveles bsicos de escolaridad. Tambin de la Escuela Francesa son otras ideas, fundamentales hoy para entender el funcionamiento de la investigacin en didctica de la matemtica, como la de contrato didctico (ya varias veces mencionado), campo conceptual, dialctica instrumento-objeto, ingeniera didctica y reproducibilidad, todas ellas palabras del vocabulario que nos ocuparemos en captulos posteriores.13 Naturalmente, una de las primeras aclaraciones por hacer, antes de afrontar la investigacin en didctica de la matemtica, es la de definir el significado de los objetos matemticos por cmo son usados no slo por los matemticos, sino tambin por los epistemlogos de la matemtica. Sobre este tema estn dedicados muchos estudios, necesarios como preliminares a cualquiera que quiera dedicarse a la investigacin; sealo las reflexiones de Godino y Batanero (1994, 1997) y, ms en general, Kitcher (1984), Tymoczko (1986) y Speranza (1997). Lo que quera poner en evidencia aqu era slo la existencia ya alcanzada y consolidada de un ncleo firme en el sentido de Lakatos, la existencia de paradigmas ya recurrentes, un grupo nutrido de investigadores de acuerdo en los temas y en las peculiaridades de la investigacin, una lnea de investigacin (en el sentido de Bunge), con problemticas fuertemente originales y un lenguaje ampliamente compartido. Todo sto era pedido para el nacimiento de una teora nueva, en vista de que los antecedentes no estaban en capacidad de dar respuesta a algunas preguntas especficas.

2.4. Otras interpretaciones de la didctica de la matemtica

Quien quiera que su punto de vista no sea sometido a controles y verificaciones, har bien en usar frases muy largas, ricas de subordinadas unas dentro de otra. Quien quiera someter a la verificacin y al control de los lectores los argumentos propios los pone en frases breves, lineales. Entre ms sepa hacerlo, mejor alcanzar este objetivo.

Tullio De Mauro, Guida alluso delle parole.

Lo delineado en el pargrafo precedente no son los nicos intereses cultivados hoy por quien practica la investigacin en didctica de la matemtica y no son las nicas interpretaciones existentes hoy de la didctica de la matemtica.

13 Aunque si aqu estoy trazando ideas que son por decir as francesas, es obvio que ellas, una vez nacidas,

son acogidas por la comunidad cientfica y hechas propias en otros contextos de investigaciones nacionales. Por ejemplo, la dialctica instrumento-objeto tiene en Sfard (1991) un tratamiento ejemplar.

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Segn algunos, la didctica de la matemtica debera tener como meta principal la redaccin de los currcula y por tanto contribuir a la teora y prctica del currculum y de la innovacin curricular. Por ejemplo muchos estudios actuales estn dedicados al estudio de la eficacia del currculum y de segmentos de ste. Para no adentrarnos mucho en particular, me limito a aconsejar algunas lecturas iluminantes en este campo: Fey (1980), Romberg y Carpenter (1986), Rico (1990). Estos estudios llevan a las arquitecturas curriculares que son tan complejas que... los arquitectos terminan por poner en juego un surtido de creatividad personal, juicios intuitivos, elaboraciones de test de prueba informal. La problemtica es la de transformar algo de lo intuitivo (Didctica A) en actividad controlada cientficamente; pero disponemos actualmente de muy poca investigacin que explique la dinmica del sistema que podra transformar este complejo de necesidades, intereses y valores en un currculum cientficamente fundado.14 Comprendiendo as la didctica de la matemtica, sealo que una teora que se revela interesante para la sistematizacin de la investigacin didctica en sentido curricular (segmento por segmento) es la teora de los niveles de razonamiento de Van Hiele (1986). Segn este autor, el aprendizaje es una acumulacin sucesiva, organizada en redes, de una cantidad suficiente de experiencias adecuadas en torno a un cierto tema; por tanto, existe la posibilidad de alcanzar niveles altos de conocimiento en general, de razonamiento en particular, fuera de la enseanza escolar, si se tiene la oportunidad de cumplir las experiencias adecuadas. No obstante sto, estas experiencias, que existen y no deberan ser despreciadas, generalmente no son suficientes para producir un desarrollo de la capacidad de razonamiento completo y rpido; y es por sto que la tarea de la educacin matemtica escolar es la de hacer que se cumplan experiencias ulteriores respecto a las escolares estndares, bien organizadas a fin de que sean tiles en lo ms posible. Lo que Van Hiele llama fases de aprendizaje son la etapas en la graduacin y en la organizacin de las actividades que debe realizar un estudiante para adquirir las experiencias que lo llevaran a un nivel superior de razonamiento sobre un bien determinado tema. A lo largo de estas fases, el profesor debe proceder de modo tal que sus alumnos construyan la red mental de relaciones del nivel de razonamiento al cual deben acceder, creando como primer cosa los nodos de la red (los objetos) y despus las conexiones entre ellos. Dicho de otro modo, es necesario obtener, en primer lugar, que los alumnos adquieran de modo significado los conocimientos de base necesarios (nuevos conceptos, propiedades, trminos, etctera) con los cuales debern trabajar, de modo que puedan despus concentrar su actividad en aprender a darles uso y a combinarlos entre s. Las fases de aprendizaje propuestos por Van Hiele son cinco. Fase 1: Informacin. Se trata de una fase de toma de contacto. El profesor debe informar a sus estudiantes acerca del campo de estudio en el cual estn por iniciar el trabajo, qu tipos de problemas se propondrn, qu material se utilizar, etctera. Al mismo tiempo, los estudiantes aprendern a manejar el material y adquirirn una serie de conocimiento de base que son necesarios

14 Cuando, entre 1971 y 1986, elabor junto con algunos colegas y con algunos profesores de primeria el

currculum que se llam Ma.S.E. (Matematica Scuola Elementare), utilic mucho la llamada escala de Guttman [en sus versiones ms modernas de Lord y Novick, de Resnick y de White. Para todo sto el lector italiano puede ver Gattullo y Giovannini (1989) y Resnick y Ford (1981), ste ltimo ya disponible en castellano tambin (N.T.)]. An si la escala de Guttman ha tenido grandes xitos en la investigacin en didctica de la matemtica, por ejemplo porque a travs de ella se demostr por primera vez en 1971 que las habilidades de conteo son independientes de la capacidad de establecer una correspondencia biunvoca, su valor me parecer ser ms bien heurstico e inestable; cierto es que siempre es mejor basarse en la aproximacin y en la intuicin, pero una verdadera investigacin en trminos modernos sera necesaria. El proyecto Ma.S.E. comprende hoy 12 volmenes para los profesores, publicados entre 1986 y 1996 (Progetto Ma.S.E., 1986-1996). El hecho de que para algunos de estos volmenes se haya llegado (mientras escribo) a la sptima edicin, dice mucho sobre el xito encontrado por los estudiantes. Existe tambin una serie de 5 volumen-cuadernos escritos por algunos profesores de primaria directamente para nios; en ella se proporciona una interpretacin concreta del Proyecto, muchas veces probada en el aula.

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para poder iniciar el trabajo matemtico propiamente dicho. Esta es una fase de informacin no slo para los alumnos, sino para el profesor porque permite verificar los conocimientos previos de los estudiantes sobre el tema que se est por iniciar. Como dije un poco antes, experiencias extraescolares eventuales no deben ser despreciadas dado que pueden ser utilizadas como fuente de motivacin al nuevo tema. En efecto es verdadero que muchas veces el profesor no afronta un tema del todo nuevo con sus alumnos; ellos podran ya haberlo afrontado, por ejemplo, aunque con menor profundidad crtica, en un curso anterior. El profesor aprovecha de esta primera fase, por tanto, ya sea para saber qu grado de competencia tienen los alumnos sobre el tema, ya sea para ver qu tipo de razonamientos son capaces de hacer en ese mbito. Fase 2: Orientacin dirigida. En esta fase los estudiantes inician a explorar el campo de estudio por medio de investigaciones basadas en el material que se les ha proporcionado. El objetivo principal de esta fase es el lograr que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan cules son los conceptos, las propiedades, las figuras, etctera, principales en el rea del tema que estn estudiando. En esta fase se construyen los elementos de base de la red de relaciones del nuevo nivel. Van Hiele afirma, refirindose a esta fase, que las actividades, si son organizadas de modo cuidadoso, forman la base adecuada del pensamiento del nivel superior. Objetivamente, los estudiantes, por s mismos, no podrn realizar un aprendizaje eficaz (en relacin con los resultados y el tiempo utilizado), por lo que es necesario que las actividades propuestas sean convenientemente dirigidas hacia los conceptos, las propiedades, etctera, que estn afrontando. El trabajo que estn por hacer ser seleccionado de modo tal que los conceptos y las estructuras caractersticas vengan presentadas de modo progresivo. Fase 3: Explicitacin. Una de las finalidades principales de la tercera fase sera hacer que los estudiantes intercambien sus propias experiencias, que comenten las regularidades que han observado, que expliquen cmo han afrontado las actividades, todo esto en un contexto de dilogo en el grupo. Es importante que surjan puntos de vista distintos, ya que el intento de cada estudiante por justificar la opinin propia har que tenga que analizar con atencin las ideas propias (y las de sus compaeros), ordenarlas, expresarlas con claridad. Este dilogo se comporta de tal manera que es en el curso de esta fase que se forma parcialmente la nueva red de relaciones. Esta misma fase tiene tambin el objetivo de hallar el modo de que los estudiantes terminaran de aprender el nuevo vocabulario, correspondiente al nuevo nivel de razonamiento que estn iniciando a utilizar. En algunos casos, especialmente con alumnos de escuela primaria, no es conveniente, desde el punto de vista didctico, introducir al mismo tiempo nuevos conceptos, nuevo vocabulario y nuevos smbolos. Una tcnica utilizada por los maestros para reducir este problema consiste en permitir que, al inicio, los nios dominen las nuevas figuras o conceptos o propiedades a su modo, hasta que hayan adquirido un dominio suficiente de los mismos. En esta tercera fase se aceptar que los nios hagan uso de un vocabulario sacado de la lengua materna, aunque no sea del todo correcto. Por tanto la fase 3 no es una fase de aprendizaje de nuevas ideas, sino una revisin del trabajo hecho antes, el poner un punto de conclusiones y de prctica y perfeccionamiento en la forma de expresarse. Fase 4: Orientacin libre. Ahora los alumnos debern aplicar los conocimientos y el lenguaje que estn adquiriendo a otras investigaciones distintas a las precedentes. En este punto el campo de estudio es en gran parte conocido por los alumnos pero todava deben perfeccionar los conocimientos propios del mismo. sto se obtiene, por parte del profesor, poniendo problemas que, preferiblemente, puedan ser estudiados de distintas formas o que puedan llevar a distintas soluciones. En estos problemas se colocarn ndices que mostraran el camino a seguir, pero de modo tal que los estudiantes puedan combinarlos adecuadamente, aplicando los conocimientos y las formas de razonamiento que han adquirido en las fases precedentes. Quiero hacer notar que el ncleo de esta fase est formado por actividades de utilizacin de los nuevos conceptos,

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propiedades y formas nuevas de razonamiento. Los problemas que se propongan en la fase 4 no deben ser ejercicios de aplicacin, bastante utilizados en clase, ejercicios para cuya resolucin basta recordar algn hecho concreto y utilizarlo directamente; al contrario, al menos algn problema de esta fase debe presentar situaciones nuevas, ser abierto, con varios recorridos resolutorios. Este tipo de actividades es lo que permitir completar la construccin de la red de relaciones que se comenz a formar en las fases precedentes, haciendo as que se establezcan las relaciones ms completas y ms importantes. Fase 5: Integracin. A lo largo de las fases precedentes, los estudiantes han adquirido nuevos conocimientos y habilidades, pero todava deben alcanzar una visin general de los contenidos y mtodos que tienen a su disposicin, en relacin con los nuevos conocimientos en otros campos que han estudiado anteriormente; se trata de condensar en un todo nico el dominio de conocimiento explorado en las cuatro fases de la 1 a la 4, hacindolo coincidir con los conocimientos ya adquiridos. En esta fase el profesor puede favorecer este trabajo solicitando o sugiriendo comprensiones globales, pero es importante que estas comprensiones no comprendan ms conceptos o propiedades nuevas para el estudiante: en esta fase se debe tratar slo de acumulaciones, confrontaciones y combinaciones de cosas que ya conoce. Completada esta fase, los estudiantes tendrn a su disposicin una nueva red de relaciones mentales, ms amplia de la precedente y que la sustituir, y habrn adquirido un nuevo nivel de razonamiento. Como se ve, se trata ms de una organizacin didctica que de propiamente una teora del aprendizaje; y acaso es por esto que las ideas de Van Hiele han tenido tanta fortuna con los profesores. Existen muchsimas pruebas de aplicaciones a varios conceptos, sobre todo en Geometra, en los distintos niveles escolares: he visto usarla para estudiar los cuadrilteros; para introducir las traslaciones y, ms en general, las isometras en el plano; para estudiar una clasificacin de los polgonos respecto a la medida angular. En Italia no me parece muy difundida aunque varios autores la citan. En otros pases del mundo, en cambio, esto ms bien advertida y seguida; un ejemplo reciente de aplicacin al estudio de los ngulos en la escuela media est en Afonso Martn, Camacho Machin, Socas Robayna (1999). Un pargrafo como este se arriesga de no estar terminado. El hecho es que los autores a citar y de los cuales reportar ideas y teoras ya son ahora muchsimos. Y todava la naturaleza de este libro necesita una seleccin drstica. No puedo sin embargo cerrar el pargrafo sin al menos dar notas bibliogrficas sobre la fenomenologa didctica de las estructuras matemticas, para la cual remito directamente al trabajo de Hans Freudenthal (1983, 1991).

2.5. Ulteriores posiciones a las actuales en la investigacin en didctica de la matemtica

No hay duda de que podemos estudiar los fenmenos y los objetos que nos circundan, considerndoles la composicin y estructura, o los procesos y mutaciones a los que son sometidos, o el modo en el cual han tenido su origen. Al mismo tiempo es claro y evidente, sin necesidad de alguna demostracin, que se puede hablar del origen de un fenmeno cualquiera slo despus de que este mismo fenmeno ha sido descrito.

Vladimir Jakovlevich Propp [1895-1970], Morfologia della fiaba.

La educacin matemtica ha visto formarse a los didactas en posiciones que van de un extremo al otro, a veces incluso de modo conflictivo.

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Hay quien afirma que la didctica de la matemtica no llegar jams a ser un campo poseedor de fundamentos cientficos; entre ellos, muchos confirman que ensear es un arte (la cosa est an bastante ms difundida de lo que pudiera parecer, en especial entre aquellos que profesan la investigacin no en didctica de la matemtica, sino ms que nada en matemtica; es por esto que regreso al tema). Hay quien afirma que la didctica de la matemtica se reduce a problemas de eleccin de contenidos, currcula, mtodos de enseanza, desarrollo de habilidades, interacciones particulares en el aula, etctera; no mucho ms que la didctica A. Es necesario poner atencin, sin embargo, antes de clasificar con ligereza: no basta mirar las afirmaciones y las palabras, sino es necesario analizar tambin las intenciones. En su trabajo de 1989, el mismo Brousseau (1989a) identificaba una primera acepcin de la didctica de la matemtica como arte de ensear, conjunto de medios y procedimientos que tienden a hacer conocer la matemtica. Distingue dos concepciones de carcter cientfico: una concepcin pluridisciplinaria aplicada y una concepcin autnoma (llamada tambin fundamental o matemtica). A modo de articulacin entre las dos se inserta una concepcin tecnicista por la cual la didctica coincide con las tcnicas de enseanza:

invenciones, descripciones, estudios, producciones y control de medios nuevos para la enseanza: currculum, objetivos, medios de evaluacin, materiales, manuales, programas, obras sobre la formacin, etc..

La concepcin pluridisciplinaria constituye para la didctica de la matemtica slo una etiqueta de comodidad para indicar las enseanzas necesarias para la formacin tcnica y profesional de los profesores. La didctica como rea de conocimiento cientfico querra ser

el campo de investigacin llevado a los trminos de la enseanza en el cuadro de disciplinas cientficas, clsicas.

(se entiende: psicologa, semitica lingstica, epistemologa, lgica, neurofisiologa, pedagoga, psicoanlisis, etctera). Si se acepta esta lnea, la naturaleza del conocimiento didctico se formara de una verdadera tecnologa fundada en otras disciplinas. Pero no siempre las otras disciplinas de referencia son consistentes; y esto, por otro lado, explica en consecuencia la aspiracin de muchos investigadores, por ejemplo de la Escuela Francesa, por construir un rea de estudio propio, independiente de los otros campos. Se ve ahora la discordia entre esta posicin y la pluridisciplinar de Steiner (1985), que no admite esta insistencia en buscar teoras internas (que llama home-theories); l ve en esta postura el peligro de restricciones inadecuadas. Segn Steiner la naturaleza misma de este tema y las problemticas levantadas necesitan de procedimientos pluridisciplinarios: es intil insistir en buscar razones, conocimientos y metodologas que otras disciplinas han sabido construirse. Desde su punto de vista no existiran entonces lmites entre las disciplinas enlistadas un poco arriba y la didctica. Es cierto que, de frente a estas posiciones ms bien generales, viene a ponerse un problema... aplicativo. Termino diciendo que la investigacin en didctica de la matemtica debe tener una recada concreta en los procesos de enseanza-aprendizaje,15 qu cosa puede llevar el profesor a su accin en el aula, cotidianamente? No se debe esperar (sera ingenuo, intil y daino) la produccin de didcticas-modelo que el profesor debe imitar,

15 El que, y honor a la verdad, es a veces puesto a discusin por quien piensa que la investigacin puede

tambin resolverse por s misma, sin la necesidad verificaciones o de aplicaciones prcticas.

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pero es razonable pensar que el desarrollo de la investigacin propondr algunos conocimientos que volver capaces a los profesores para afrontar el difcil problema didctico de conducir la vida de esta sociedad cognitiva original: la clase [durante las horas] de matemtica (Balacheff, 1990b).

2.6. Educacin matemtica y didctica de la matemtica: desarrollos interpretativos recientes

Se proseguir como auspiciamos, la indagacin no se desarrollar por consiguiente sobre un eje lineal, sino un espiral: regresando regularmente a los resultados ya conseguidos, y girndose hacia nuevos objetos slo en la medida en la cual su conocimiento permitir profundizar aquel del que inicialmente habamos tomado tan slo los rudimentos.

Claude Lvi-Strauss, Il crudo e il cotto.

No obstante sus evidentes xitos como teora por s misma, la didctica de la matemtica es, an para algunos, redirigible a teoras ms consolidadas y generales, como la psicologa, la pedagoga, la sociologa, la epistemologa, la didctica o a sus concepciones pluridisciplinarias. De hecho, sin embargo, la historia muestra cmo la teora psico-pedaggica o las teoras nacidas de tales disciplinas, como el conductismo, las varias teoras del desarrollo, el constructivismo, etctera, por s mismas, aplicadas a la enseanza de contenidos especficos, simplemente resultaran insuficientes e ineficaces. Es lo afirmado con razn, con vigor, en Brousseau (1989a), Chevallard (1992) y otros. Tambin Freudenthal (1991) asume una posicin crtica de frente a esas teoras psicolgicas o pedaggicas que intentaban modelos institucionales generales para los procesos de enseanza y aprendizaje de la matemtica. El saber puesto en juego, entonces, se hace central para muchos estudiosos, en la tentativa de construir teoras de carcter fundamental que explicaran el funcionamiento del sistema enseanza-aprendizaje. Recientemente el debate se ha desarrollado fuertemente, como lo demuestra la coleccin de intervenciones sobre este tema producida en ocasin del ICME 8 (Malara, 1998). Precisamente partiendo de estas reflexiones recientes, buscar delinear en pocas lneas cuales son algunas actualmente vistas. Se puede partir ciertamente del trabajo de Steiner (1985), segn el cual la complejidad del sistema global de la enseanza de la matemtica se puede descomponer en Teora, Desarrollo y Prctica, para notar como la educacin matemtica es un sistema social heterogneo y complejo, en el cual se distinguen tres mbitos (Godino y Batanero, 1998): La accin prctica reflexiva sobre los procesos de enseanza y aprendizaje de la matemtica; la tecnologa didctica que se propone poner a punto los materiales y recursos, usando los

conocimientos cientficos disponibles; la investigacin cientfica, que trata de comprender el funcionamiento de la enseanza de la

matemtica en su conjunto, as como el de los sistemas didcticos especficos (profesor, estudiantes y conocimiento).

Ahora, si es verdad que estos mbitos ataen a un mismo objeto y ste es el funcionamiento del sistema didctico, teniendo como fin ltimo comn el de mejorar el resultado de la educacin matemtica, es tambin verdad que algunos de ellos se distinguen por tiempos, objetivos, recursos, reglas, restricciones, condicionamientos, etctera.

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En particular: el primero atae principalmente al profesor y su necesidad de las informaciones que tienen el

efecto de mejorar la eficacia didctica de la enseanza; el segundo atae a aquellos que se interesan en los currcula, a quienes escriben manuales

didcticos, a quienes crean materiales didcticos; el tercero atae sobre todo a la investigacin que, normalmente, se desarrolla en ambientes

universitarios (aunque en varios Pases del mundo, Italia incluida, se asiste a una proliferacin de grupos de investigacin formados por profesores universitarios y no universitarios).

Segn Godino y Batanero (1998) los primeros dos componentes pueden ser pensados juntos como investigacin para la accin, mientras que la tercera sera equivalente a la investigacin para el conocimiento, retomando una distincin de Bartolini Bussi (1994). Es obvio que tales especificidades estn presenten y, en cierto sentido, son necesarias, porque cada una ofrece contribuciones especficas. Por ejemplo, la necesidad prctica de soluciones inmediatas a problemas especficos no puede ser satisfecha por la investigacin cientfica la cual an no est en capacidad de elaborar a partir de los resultados de sus propias investigaciones aparatos resolutorios de todos los problemas (un poco como ocurre con la economa o la medicina). Resulta por tanto que, existiendo relevantes y numerosos casos estudiados por la investigacin, an la tecnologa didctica se debe servir como base la evidencia, la experiencia, la intuicin, el sentido comn, etctera. Este tipo de reflexiones est llevando a distinguir cada vez ms las dicciones educacin matemtica y didctica de la matemtica que, hasta ahora, haba propuesto como sinnimos. La didctica de la matemtica sera la disciplina cientfica, aquella ligada a la tercera de las tres componentes precedentes. En ella encabezara tambin el estudio del intento de

adaptar y articular las contribuciones de las otras disciplinas interesadas en la enseanza y el aprendizaje de la matemtica (Godino y Batanero, 1998).

La educacin matemtica estara en cambio interesada en las primeras dos componentes: teora, desarrollo y prctica. Del ltimo artculo citado tomo prestado un grfico y dos definiciones que ilustran bien la situacin hasta ahora descrita y que parecen ser anticipatorios de desarrollos futuros y de no fciles discusiones.

EDUCACIN MATEMTICA

EPISTEMOLOGA

SOCIOLOGA

CIENCIAS de la EDUCACIN (Pedagoga, Didctica,...)

MATEMTICA

PSICOLOGA

OtrasDIDCTICA de la MATEMTICA

SEMITICA

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Didctica de la matemtica: es la disciplina cientfica y el campo de la investigacin cuyo fin es identificar, caracterizar y comprender los fenmenos y procesos que condicionan la enseanza y el aprendizaje de la matemtica. Educacin matemtica: es el sistema social complejo y heterogneo que incluye teora, desarrollo y prctica relativa a la enseanza y el aprendizaje de la matemtica. Incluye a la didctica de la matemtica como un subsistema. Las reflexiones precedentes se arriesgan apenas a dar la idea de la complejidad de la didctica de la matemtica, si se comienzan a considerar los sectores disciplinarios limtrofes que muchos autores han hecho referencia a partir de los primeros avisos de la necesidad de una disciplina por s misma (Lunkenbein, 1979) y que siempre ha constituido una de sus caractersticas. Escribe Sitia (1984, p. 135):

Las principales dificultades de esta investigacin [dar una fundamentacin a la didctica de la matemtica] dependen del hecho de que la Didctica de la Matemtica es un campo cuyos dominios de referencia y cuyas actividades estn caracterizadas por una extrema complejidad.

El aparato de investigacin que informa y construye la didctica de la matemtica parece tener como meta principal la descripcin, explicacin y prediccin de los sistemas didcticos; mientras que la meta de la educacin matemtica parece ms ligada a resolver problemas en situaciones y contestar datos. De modo que la didctica de la matemtica recae en las epistemologas de todas las investigaciones: est guiada por la teora, intenta desarrollar teora, cumple cuidadosos anlisis bibliogrficos, propone afirmaciones que se deben integrar en un cuerpo de conocimientos en continuo crecimiento, est sujeta a pretensiones de rigor, debe ofrecer aparatos de investigacin reproducibles, debe ser conforme a las solicitudes de validez, de coherencia, de objetividad, etctera. Se puede tambin avanzar la peticin de que las investigaciones producidas sean originales y relevantes. En lo que respecta a las actividades internas de la educacin matemtica, en cambio, los criterios seran diversos: las caractersticas ms deseables son la utilidad, la facilidad del alcance del resultado, el bajo costo (en todos los sentidos), la rapidez, la eficacia, el rendimiento, etctera. Y no obstante es obvio que los dos sectores estn ligados mutuamente, tanto ms si se mezclan las instituciones en las que las investigaciones