MAGNITUDES Y MEDIDASantiago Fernández Fernández

Asesor de Matemáticas del Berritzegune Nagusia-Bilbao

Se le pregunta a un niño de diez años qué cantidad de agua sale de un grifo en un minuto. Unos minutos más tarde el niño está delante del grifo con una regla graduada tratando de medir el chorro de agua.

Introducción

En nuestra vida diaria las personas tenemos que efectuar muchos tipos de medidas para resolver cuestiones cotidianas: ¿cuánto tiempo tardaré más o menos? ¿cuánto me gastaré por término medio? ¿ qué superficie de terreno he de sembrar? ¿cuántos litros cabrán en la piscina?. En muchas ocasiones este tipo de problemas se resuelven con una simple estimación, en otras hay que utilizar una serie de fórmulas y procedimientos matemáticos más o menos sofisticados.Lo que nadie duda es que desde la antigüedad medir es una necesidad vital para el hombre. Todas las culturas se han enfrentado a problemas de medida que en su día fueron de suma importancia. Por poner un ejemplo:

El tunel eupalianoHacia el año 550 a C. Polycrates regidor de la ciudad de Samos (al sur de la península italiana), encargó al ingeniero Eupalinos la construcción de untúnel que atravesara el monte Kastro a cuyos pies se situaba la ciudad. El túnel conectaría un manantial de agua con la ciudad, asegurando así el suministro de agua. Como su construcción era muy urgente, Polycratesobligó a realizar la obra comenzando por las dos bocas simultáneamente,lo que claramente supuso un reto para Eupalinos. El túnel en cuestión tenía 1.036 metros de longitud, y es de señalar que las dos ramas que debían juntarse en el interior del monte se desviaron menos de 1%. Dicho túnel, que aún se mantiene en pie, y su construcción es motivo de asombro entre los visitantes fue sin duda una gran obra de ingeniería.

Desde un punto de vista esquemático: La montaña a excavar tenía dos entradas, que llamaremos A y B y el túnel debía construirse mediante un segmento que uniese los puntos A y B. En la figura adjunta se representa la planta del monte y, en trazo discontinuo el túnel que se desea construir

Es evidente que el problema clave es conocer la dirección de la recta que une los puntos A y B. ¿sabrías resolver tú este problema? Al final del capítulo puedes encontrar algunas ideas para resolverlo.

1

1.- La importancia de la medida

Medir es una actividad universal e importante para el desarrollo de ideas matemáticas, se ocupa de comparar, ordenar y cuantificar cualidades que tienen valor e importancia. La medida en general se ocupa de comparar cosas en función de una cualidad compartida. Los problemas de medida tratan de responder a una pregunta general “¿cuántos?” Según ( A. J. Bishop,1999) la medida constituye una de las principales actividades humanas. Está presente en todas las culturas, desde las más antiguas, ya que permite resolver muchos problemas cotidianos, como: comparar, estimar o calcular con más o menos precisión distintas magnitudes. Sin duda, todos estos procesos son necesarios para el conocimiento de nuestro entorno. Podemos señalar multitud de ejemplos en los que necesitamos el conocimiento de la medida: desde la confección de calendarios, que permitió organizar el tiempo y predecir las estaciones, la medida de terrenos, hasta los actuales sistemas de control y seguimiento de la trayectoria de una nave espacial.

La mayoría de los sistemas educativos han reconocido esta importancia práctica de la medida, y la han reflejado con más o menos acierto en sus diseños curriculares. Si analizamos los contenidos y criterios de evaluación incluidos en el REAL DECRETO por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria.(BOE: 5/ Enero /2007), nos encontramos con los siguientes apartados:

Contenidos Medida y cálculo de ángulos en figuras planas. Estimación y cálculo de perímetros de figuras. Estimación y cálculo de

áreas mediante fórmulas, triangulación y cuadriculación. Obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras. Volúmenes de

cuerpos geométricos. Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes.

Aplicación de la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras para la obtención indirecta de medidas.

Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana. Utilización de otros conocimientos geométricos en la resolución de

problemas del mundo físico: medida y cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etc.

Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico

Medida de longitudes, áreas y volúmenes. Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes

Criterios de evaluación Estimar y calcular longitudes, áreas y volúmenes de espacios y objetos

con una precisión acorde con la situación planteada y comprender los

2

procesos de medida, expresando el resultado de la estimación o el cálculo en la unidad de medida más adecuada.

Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas e indirectas en situaciones reales

1.1- ¿Qué medida se enseña en nuestras aulas?

Es curioso señalar que si bien todos admitimos que es muy importante desarrollar los contenidos de la medida mediante situaciones significativas: combinar las mediciones y la reflexión sobre ellas, utilizar distintos lenguajes, aplicar y conocer distintos sistemas de unidades etc. Sin embargo, si abrimos al azar, cualquier libro de texto, tanto en Primaria como en Secundaria, lo más probable es encontrarnos, casi exclusivamente, con actividades de medida de este tipo:

Expresa en gramos: 2Kg, 4 Dg, 6 g. Si la diagonal de un cuadrado mide 81 m, ¿cuánto mide el lado del

cuadrado? Calcula el perímetro y área de un círculo de radio igual a 14 cm. Calcula el volumen de una esfera de r = 5 cm Si a = 7m, b = 5m y C = 80°, obtén c, A y B.

Es decir, cálculos y más cálculos y aplicación de fórmulas y más fórmulas. Actividades descontextualizadas y en algún caso sin sentido. Es difícil encontrar en los actuales libros de texto actividades de estimación, de medición de objetos reales, de cálculos de áreas y volúmenes mediante la descomposición y recomposición de figuras, de medición indirecta, de resolución de problemas complejos e interesantes, de proyectos de investigación, etc.En definitiva, la mayoría de nuestros los alumnos no han tenido la oportunidad, en su escolaridad, de medir directamente, realizar estimaciones, calcular medidas de superficies y volúmenes de diversas figuras y cuerpos geométricos mediante variados procedimientos, comparar pesos de distintos objetos, medir ángulos, realizar mediciones mediante procedimientos indirectos, etc. y de esta manera ir apropiándose poco a poco de los procesos fundamentales de la medida.

Nadie duda de la necesidad social de incluir contenidos relacionados con la medida en la escuela. Esta consideración social de la medida es la genera una curiosa paradoja en su enseñanza. En efecto, la impartición de estos contenidos se suelen limitar a un trabajo formal de cambio de unidades en el Sistema Métrico Decimal y a la aplicación de una serie de fórmulas que en esencia encierran en sí mismo una falta de sentido en relación con los aspectos verdaderamente importantes de la medida como son la medición, comparación, estimación… de objetos de reales, así como la resolución de problemas de medida en diversos contextos.

Si bien el conocimiento de la medida es esencial para que los alumnos puedan comprender lo que ocurre a su alrededor, ya que les permite interpretar la realidad y en su caso posicionarse ante ella. Sin embargo, su trabajo en el

3

aula se reduce, en la mayoría de los casos, a un mero saber escolar, con muy poca utilidad, y muy lejana de su práctica diaria.

El gran reto didáctico es trabajar en el aula situaciones significativas que permitan a los alumnos la construcción con significado de los contenidos esenciales de la medida. Aunque ya han pasado varios años, es interesante acercarse a la siguiente reflexión, en relación con la medida, realizada por grupo Cero (1984)

“ Es natural que una de las primeras cosas –si no la primera- que se tenga en cuenta para poner en la lista de lo que es deseable que todos los alumnos sepan, sea el sistema métrico decimal: Comprender y usar las relaciones entre mm, cm, dm, m y Km; entre gramo, kilo y tonelada; entre ml, cl y litro; entre cm2 y m2;entre cm3, dm3, m3 y litro.Ya sería algo el que todos los alumnos supiesen eso. Pero a nosotros nos parece que cabe el peligro de considerar estos conocimientos como un fin en sí mismo, con lo cual la consolidación de ellos podría reducirse a la práctica de medir perímetros de polígonos, superficies de suelos para saber cuánto costaría enmoquetarlos o calcular sin mucha significación el volumen de un cuboide de aristas 3, 5 y 8 cm.De acuerdo con que el dominio de las relaciones expresadas arriba es necesario, pero es solamente un medio en el interior del concepto de medida. No es suficiente […] Y no es el uso mecánico de unidades ya dadas y su aplicación a situaciones estáticas lo que mejor puede dar ocasión a una actividad que no resulte aburrida para cualquiera y a una reflexión que no empequeñezca al alumno ante aparatos de medida más precisos que él, pero menos dotados para hacer preguntas pertinentes y tomar decisiones adecuadas al contexto.”

1.2- Pensando en voz alta con respecto a algunos temas didácticos relacionados con la medida.

En las siguientes líneas, a modo de píldoras, se presentan algunos puntos que seguramente nos harán pensar y obrar en consecuencia:

Bajo el epígrafe de actividades de medida se esconden un conjunto de situaciones que poco tiene que ver con ella. En efecto, si hacemos un análisis riguroso de varios libros de texto se puede constatar que las actividades propuestas son una excusa para trabajar aspectos del llamado dominio aritmético (ordenación y descomposición numérica, trabajo con números decimales, etc.). Si bien este aspecto es importante, no es el objeto central de la medición, en la literatura didáctica se denomina a este cambio de orientación: sustituciones de saberes.

Hay contenidos esenciales como son los que surgen de la estimación y aproximación de medidas que están prácticamente fuera del contexto escolar a pesar de ser contenidos obligatorias en nuestro currículo escolar.

Sería deseable que los alumnos que entren en la enseñanza Secundaria tengan una buena comprensión de los contenidos de medida, que dispongan de unas ciertas destrezas en mediciones y además que tengan un adiestramiento en lecturas directas de los instrumentos más habituales de medida, así como el haber realizado mediciones mediante procedimientos indirectos.

4

Las actividades de medición pueden y deben exigir una interacción dinámica entre los estudiantes y el entorno. La medición debe constituir una exploración activa del mundo real.

A pesar de que la medida es un tema habitual en todos los currículos de matemáticas, el equipamiento de los centros educativos en lo que respecta a instrumentos de medida en el aula puede calificarse como mínimo. Los centros escolares cuentan como mucho con reglas, cintas métricas, transportador de ángulos, una balanza y poco más.

Tanto en la enseñanza Primaria como en la Secundaria la magnitud más tratada es la longitud, seguida del tiempo, la masa, la capacidad y la superficie y bastante distancia está el volumen. Hay un cierto desequilibrio en el tratamiento de las diversas magnitudes.

En definitiva, somos conscientes de que la medida es un campo complejo donde confluyen operaciones mentales y lógicas, habilidades espaciales, gráficas y numéricas y habilidades estimativas que en la mayoría de los casos requieren un planteamiento riguroso y bien secuenciado en el tiempo. El problema aún se agrava más si queremos avanzar rápidamente en aspectos formales, primando excesivamente la asignación numérica frente a la comparación de magnitudes; introduciendo las unidades estándar sin antes haber trabajado con una amplia variedad de medidas, entre ellas las antropométricas, ya que son un instrumento de primer orden de cara a estimar.

1.3.-Propuestas de trabajo en el campo de la medida.

Actualmente la mayoría de los colectivos dedicados a la enseñanza de las matemáticas proponen prestar una especial atención al aprendizaje de los aspectos más significativos de la medida y que en muchas ocasiones han sido olvidados a favor de los más algorítmicos. En esta línea Los Principios y Estándares para la educación matemática (NCTM, 2000) propugnan dedicar:

Más atención Menos atención- Sentido de la magnitud y de la unidad de medida.- Realización y estimación de mediciones en contexto.- Uso de mediciones para explorar propiedades o resolver problemas.- Sentido espacial - Resolver problemas en los que se involucren aspectos de la medida.

-Transformaciones mecánicas entre unidades.- Utilización de fórmulas.- Mediciones fuera de contexto.

Para conseguir ese horizonte deseado propone trabajar en los siguientes aspectos:

Comprender los atributos mensurables de los objetos y las unidades y sistemas de medida.

5

Reconocer atributos de longitud, peso, área, volumen, tiempo, amplitud de ángulos.

Comparar y ordenar objetos de acuerdo a los atributos de longitud, peso, área, volumen, tiempo y amplitud de ángulos.

Utilizar tanto medidas estándar como no estándar Realizar conversiones entre unidades, dentro de un mismo sistema Comprender y usar las unidades del Sistema Métrico Decimal Comprender que las mediciones son aproximaciones y que la

elección de unidades afecta a la precisión de la medida. Seleccionar la unidad apropiada de cara a realizar mediciones de

objetos. Estudiar qué le ocurre a las medidas de una figura bidimensional,

como el perímetro o el área cuando cambia su forma. Estudiar la medida de figuras tridimensionales y diferenciar el área y

el volumen de dichas figuras.

Aplicar técnicas, instrumentos y fórmulas apropiados para obtener medidas.

Desarrollar diversas estrategias para estimar el perímetro, área y volumen de diversas figuras y cuerpos, con un apropiado grado de precisión.

Seleccionar y utilizar referencias para estimar medidas Desarrollar estrategias para calcular el área y volumen de figuras y

cuerpos que son fácilmente descomponibles. Comprender y utilizar fórmulas para calcular el área y volumen de

diversas figuras y cuerpos geométricos. Resolver problemas relativos a factores de escala, utilizando razones

y proporciones. Resolver problemas de distancias mediante técnicas trigonométricas. Analizar la precisión, exactitud y error cometido al analizar diversas

situaciones de medida.

1.4- El Tratamiento de la medida en la Educación SecundariaEl estudio de la medida demuestra la utilidad y las aplicaciones prácticas de las matemáticas, mientras que la necesidad de comunicarse con precisión subraya la importancia de disponer de unidades normalizadas y sistemas comunes de medida. Las actividades de medida permiten una interacción dinámica entre los estudiantes y su entorno, por tanto su didáctica debe pivotar de manera prioritaria en resolver situaciones relativas a experiencias de medida.

Los estudiantes pueden encontrar ideas sobre la medición dentro y fuera de la escuela, las oportunidades para utilizar y comprender la medida surgen de forma natural en otras partes de las matemáticas, las ciencias, la educación tecnológica, el arte, la arquitectura, la lectura e la interpretación de mapas, etc. Hay que constatar que la mayoría del profesorado dedica mucho tiempo yun gran esfuerzo al estudio de la medida, sobre todo en Primaria, y en la mayoría de los casos con escaso éxito. Al llegar a Secundaria, los alumnos tienen dificultades no sólo porque muchos de ellos han olvidado el Sistema

6

Métrico Decimal, sino porque también carecen de los conceptos y procedimientos básicos relativos a la medida y que afloran en otras situaciones.

Para trabajar adecuadamente la medida en la Educación Secundaria partimos de la base que los alumnos en la Educación Primaria ya han hecho bastantes experiencias, puesto que han medido objetos, también conocen las unidades de medida más importantes (metro, kilogramo, litro, metro cuadrado…), han calculado la medida de longitud y superficie de algunas figuras elementales, han realizado comparaciones entre distintos objetos, etc.

En la Educación Secundaria el alumnado tiene que avanzar y profundizar en los siguientes aspectos:

Utilizar un vocabulario adecuado para interpretar y transmitir informaciones bastante precisas sobre el tamaño de los objetos.

Trabajar con estimaciones de medida, de esta manera se refuerza el concepto de medida y de paso se relaciona la medida con el campo numérico.

Entender la estructura y el uso de los sistemas de medidas. Realizar diversas mediciones con los instrumentos adecuados a la

medición y al nivel de exactitud, profundizando en los distintos errores que son susceptibles de todas las medidas.

Estudiar la acotación de errores al estimar, medir o aproximar una magnitud.

Trabajar la medición indirecta a través de fórmulas como la medida de áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas.

Utilizar los conceptos de proporcionalidad geométrica para realizar mediciones indirectas y aplicar estos conocimientos en la resolución de diversos problemas de medida.

Utilizar el teorema de Pitágoras para resolver un abanico de situaciones de medida.

Conocer y utilizar contenidos trigonométricos básicos de cara a resolver problemas de medida.

Trabajar con la medida de ángulos y el sistema sexagesimal.

En definitiva se trata de que el alumnado amplíe la comprensión y utilización de la medida en diversos contextos y la relacione de una manera significativa con otros campos de las matemáticas. En este sentido, hay que señalar como la medida está estrechamente relacionada con la geometría y el campo numérico. El concepto de semejanza, por ejemplo, puede usarse para resolver situaciones de medición indirecta, para representar medidas se utilizan los números decimales,...,

1.5- Alternativas y experiencias en torno a la medidaEn el apartado anterior se ha querido poner de relieve la atención que debemos prestar a la medida a lo largo de la Educación Secundaria.

Pero, además, y como valor añadido, la medida es un contexto excepcional para desarrollar otras facetas educativas más amplias, como son:

7

Mostrar la evolución histórica de las Matemáticas, vinculada al desarrollo humano y tecnológico.

La utilidad que tienen las Matemáticas en otras ramas del conocimiento como la tecnología, dibujo, geografía, etc.

La posibilidad de resolver problemas, simples o complejos, de la vida cotidiana.

La utilización de distintas formas de trabajo: manual/intelectual, individual/grupal, creativo/ rutinario.

La posibilidad de utilizar los distintos recursos: gráficos, numéricos, calculadoras, instrumentos de medida...

La posibilidad de relacionar distintas parte de las Matemáticas entre sí.

2. ¿Qué entendemos por Medir?

Medir es relacionar una magnitud con otra u otras que se consideran patrones universalmente aceptados, estableciendo una comparación de igualdad, de orden y de número. El acto de medir, por tanto, implica realizar un experimento de cuantificación, normalmente con un instrumento especial (reloj, balanza, termómetro, cinta métrica, etc.)

2.1.- Magnitud y cantidad. El Diccionario de la RAE define la magnitud como la propiedad física de un cuerpo que puede ser medido, por ejemplo la longitud, la superficie, la temperatura o el peso. Por tanto, la magnitud es una propiedad que poseen todos los objetos, que permite que puedan ser medidos y dicha medida, representada en la cantidad, puede ser expresada mediante números sobre la base de una comparación con otro cuerpo o fenómeno que se toma como patrón. La masa, el tiempo, la longitud, el volumen, la velocidad, la temperatura, la superficie, entre muchas otras, son magnitudes. Hay magnitudes que pueden ser directamente apreciables por nuestros sentidos, como los tamaños y pesos de los objetos, o más indirectas como la aceleración, la energía, etc.Cuando se consigue que la cuantificación sea objetiva (no dependa del observador y todos coincidan en la medida) se llama magnitud física (tiempos, longitudes, masas, temperaturas, aceleraciones, energías). Hay otras magnitudes que no resultan cuantificables universalmente: gustos, sabores, colores,…aunque pueda existir alguna propiedad física relacionada, como la potencia sonora con el ruido, la longitud de onda de la luz con el color, etc.La Oficina Internacional de Pesos y Medidas por medio del Vocabulario Internacional de Metrología (BIPM, por sus siglas en francés, Bureau International des Poids et Mesures) define la cantidad como un atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente.

Por tanto, Cantidad es lo que resulta de la medición de una magnitud y se expresa con números seguidos de la unidad correspondiente. Por ejemplo 120 kg, 10 cm, 3 horas, 16 ºC, 80 km/h, son ejemplos de cantidades que, a su vez, son resultado de medir las magnitudes masa, longitud, tiempo, temperatura y velocidad respectivamente.

8

No debe confundirse magnitud con cantidad. La magnitud es la propiedad, la cantidad es cuánto de eso tiene la magnitud. Por ejemplo, la longitud es una magnitud, pero 3 metros es una cantidad.

De una manera más general y precisa, el resultado de una medida lleva asociado tres aspectos: una cantidad, una magnitud y una precisión, este último aspecto se suele olvidar, pero hay que señalar que la incertidumbre es innata a la medida, ya que puede ser disminuida pero nunca anulada. Ejemplo: la cuerda mide 13, 20 metros con un error de ± 5 centímetros

La unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Las primeras se conocen como unidades básicas o de base, mientras que las segundas se llaman unidades derivadas. Un conjunto consistente de unidades de medida en el que ninguna magnitud tenga más de una unidad asociada se denomina sistema de unidades.

Algunas actividades de medida1. Busca en Internet o en una enciclopedia el valor aproximado de los

distintos objetos, cuerpos, edificios y señala la unidad de longitud que utilizarías para medir las magnitudes que te proponemos: ancho de un folio, tamaño de un lapicero, longitud de un grano de arroz, altura de la torre Eiffel, altura de un autobús, distancia de tu casa al instituto, largo de un campo de baloncesto, longitud de la muralla china, longitud del río Tajo, tamaño de una ballena, distancia de la tierra al sol, altitud del monte Everest, radio de la tierra.

2. Indica qué unidad de capacidad utilizarías para expresar la medida de los siguientes recipientes: un vaso de agua, una botella de refresco, una piscina olímpica, el depósito de gasolina de un automóvil, un pantano.

3. Escribe cinco productos de un supermercado que venden por kilogramos y otros cinco que venden por gramos.

2.2 - Estimación y aproximación

Parece claro que cuando medimos un objeto, el resultado debería tener un cierto sentido; las estimaciones y las referencias ayudan a reconocer cuándo es razonable una medida. ¿Qué estrategias utilizan los alumnos a la hora de estimar medidas?

En un conocido estudio sobre la comprensión de las Matemáticas por parte de los adolescentes (Hart y otros, 1981) se muestra, entre otros, los siguientes resultados para la edad de 14 años:

a) El 22,8% de los alumnos y alumnas del estudio referido, entre otras cosas, a la estimación de medidas, responden que la medida del segmento AB, con una regla graduada en esta posición, es 7 cm.

9

b) Para un 45% del alumnado encuestado, la longitud de estos dos segmentos, dibujados sobre cuadrícula, es la misma.

c) El 15% del alumnado opina que las áreas de estas dos figuras son diferentes

Evidentemente las respuestas obtenidas no son muy alentadoras ¿ porqué es tan difícil la estimación?

Para trabajar adecuadamente este tipo de situaciones hay que distinguir entre dos conceptos claves: la aproximación y la estimación

o Aproximar un resultado o una medida de un objeto consiste en sustituir su valor exacto por un número próximo a él. Si decimos que el número pi es igual a 3, 14 estamos realizando una aproximación.

Cuando el valor aproximado es mayor que el real, la aproximación se llama por exceso, y cuando es menor, por defecto. Las aproximaciones pueden realizarse por redondeo o por truncamiento, como más adelante veremos.

o La estimación de una medida es un “juicio a priori” sobre el valor del resultado de la medida de una cantidad. Si decimos que en un kilogramo de arroz hay unos 2.000 granos de arroz estamos realizando una estimación, esto es un juicio a priori.

Dentro de la estimación en el campo de la medida se distingue entre dos grupos de magnitudes: continuas y discretas. Por ejemplo, una estimación, para el caso de magnitudes continuas, es la valoración que hacemos sobre la

10

estatura de una persona cuando la comparamos con la nuestra; para el caso de magnitudes discretas un ejemplo puedes ser la estimación del número de personas que asisten a un acto o el número de naranjas que hay en un saco de 10 kg, etc.

Algunas actividades de estimación

1. Estimar la longitud de la mesa del profesor (en cm).2. Estimar la superficie de la una mesa (en m2).3. Estimar la capacidad de la papelera (en litros).4. Estimar el peso de una silla (en Kg.).5. Haz un cálculo estimativo de los pasos que das en una hora y

estimar la distancia que has recorrido.6. Calcula de manera estimada, el peso de los siguientes objetos:

una llave, un libro de 200 páginas, un bolígrafo, un coche vacío, un autobús vacío, 1 litro de aceite.

7. Estimar el tiempo que tarda un avión en realizar el trayecto Barcelona- París

8. Estimar el número de alubias que hay en un kilogramo.9. Estimar la altura de un edificio10. Estimar la cantidad de litros de agua que gastamos al

ducharnos.

2.3.-Medición directa y medición indirecta.o Medición directa es aquella que se realiza aplicando un instrumento

para medir una magnitud. Por ejemplo: medir una longitud de una distancia mediante una cinta métrica, conocer la masa de un objeto utilizando una balanza, etc.

Sin embargo, no siempre es posible realizar una medida directa, bien porque no disponemos del instrumento adecuado o porque el valor a medir es muy grande o muy pequeño o porque hay obstáculos de otra naturaleza, etc. En este caso realizaremos la medición aplicando fórmulas u otro procedimiento.

o La medición indirecta calcula el valor de la medida mediante una fórmula (expresión matemática), previo cálculo de las magnitudes que intervienen en la fórmula por medidas directas. Un ejemplo de una medida indirecta puede ser calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo conocidos sus catetos, o bien calcular la superficie de un terreno a través de sus medidas lineales.

11

2.4.- La medida y los errores

Todas las medidas vienen condicionadas por posibles errores experimentales (accidentales y sistemáticos) y por la sensibilidad del aparato. Como no es posible conocer el "valor verdadero" (x) de una magnitud nos interesa calcular el posible error y de aquí surge la llamada teoría de errores. Hay dos conceptos claves que conviene tener muy claros: el error absoluto y el error relativo de una medida, ya que no es lo mismo cometer un error de 5 centímetros al medir una vara de 1, 5 metros que cometer el mismo error al medir un camino de 30 metros.

El error absoluto de una medida es la diferencia entre el valor real de una magnitud y el valor que se ha medido. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). El error absoluto tiene por tanto las mismas unidades que las de la medida.Dado que el valor exacto no se conoce en la mayoría de los casos, se considera como exacto el valor promedio de los valores obtenidos. El error relativo de una medida es la relación que existe entre el error absoluto y la magnitud medida, este error es adimensional (no tiene dimensiones), Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto.

En general, efectuar una única medida de una magnitud es poco fiable. Como sabemos, variados factores pueden influir en que sea incorrecta, como por ejemplo haber leído mal la escala del aparato, un despiste a la hora de apuntar la medida, etc.

12

Para evitarlo se debería repetir la medición de la misma magnitud x variasveces. Como resultado obtendremos una serie de valores x1; x2; :::; xn, lógicamente cada uno afectado por el error de precisión ¿Pero qué valor es el que representa mejor a ese conjunto de valores?¿de estos valores cuál es el más fiable?. La mejor aproximación al verdadero valor de x viene dada por la media aritmética ( ) de las medidas, esto es:

El error cometido al aproximar el valor verdadero de x por es el llamado

error accidental E que se calcula a partir de la siguiente expresión:

Ejemplo.   Las medidas de la longitud de una mesa efectuadas por cuatro alumnos han sido las siguientes. 3,01 m; 3,11 m; 3,20 m; 3,15 m

1. El valor que se considera exacto se obtiene calculando la media aritmética de los cuatro valores:

Por tanto, aproximando, consideramos 3, 12 m como el valor exacto de la longitud de la mesa

2. Errores absolutos y errores relativos de cada medida:

Medidas Errores absolutos Errores relativos

3,01 m3,01 - 3,12 = - 0,11 m -0,11 / 3,12 = - 0,036    (- 3,6%)

3,11 m3,11 -3,12 = - 0,01 m -0,01 / 3,12 = - 0,003    (- 0,3%)

3,20 m3,20 -3,12 = + 0,08 m +0,08 / 3,12 = + 0,026    (+ 2,6%)

3,15 m3,15 - 3,12 = + 0,03 m +0,03 / 3,12 = + 0,010    (+ 1,0%)

Medidas indirectas y la propagación de errores

Como ya sabemos en ocasiones no podemos medir directamente el valor de una magnitud y la única manera de conocerlo es utilizar una fórmula. Pero el resultado obtenido mediante dicha fórmula también tiene una imprecisión( o error) que dependerá de la imprecisión con que conozcamos las magnitudes

13

que intervienen en la fórmula. Por tanto debemos conocer previamente los valores de las magnitudes que intervienen en la fórmula y sus imprecisiones. Veamos un ejemplo:

Queremos calcular la superficie de un rectángulo de lados a = 15,3 ± 0,1 cm y b= 8,2 ± 0,1 cm

La superficie del rectángulo, según sabemos, es S =a.b, si no tenemos en cuenta los errores, la superficie sería.

S =15,3 · 8,2 =125,46 cm 2

¿Pero es ésta realmente la superficie? ¿qué error estamos cometiendo?

Para hallar la imprecisión tomamos las dos dimensiones con el exceso de sus imprecisiones. Serán 15,4 y 8,3 y obtenemos el área por exceso S’ =127,82 cm 2. Haciendo lo mismo por defecto, obtenemos S”=(15,2)(.8,1) = 123,12 cm 2

Estos últimos cálculos nos indican que realmente el valor de la superficie está comprendida entre los valores numéricos: 123,12 y 127,82. Luego si comunicamos que el valor es de 125, 46 estamos asumiendo de entrada un error. Sería mejor comunicar el resultado de 125,46 ± 2 cm 2. Un aspecto interesante es estudiar como se propagan los errores de una medida al aplicar determinadas fórmulas.

2.5.-Comunicación de una medida y las cifras significativas Las cifras significativas de una medida están formas por los dígitos que se conocen no afectados por el error, más una última cifra sometida al error de la medida. Así, por ejemplo, si decimos que el resultado de una medida es 13,82 m, queremos expresar que serán significativas las cifras 1, 3, 8 y 2 y que los dígitos 1, 3 y 8 son cifras exactas y además que el dígito 2 puede ser erróneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta las centésimas de metro (centímetros), aquí es donde está el error del aparato y de la medida. Por tanto, si estamos trabajando en un contexto de medida has de tener en cuenta que no es lo mismo 13,80 m que 13,8 m. En el primer caso queremos decir que se ha precisado hasta los centímetros mientras que en el segundo caso sólo hasta los decímetros.Cuando el resultado de una operación matemática nos dé como resultado un número con demasiados dígitos hemos de redondearlo para que el número de cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.

Errores de truncamiento y redondeoEl error de truncamiento consiste en suprimir una serie de cifras de entre las menos significativas.Ejemplos Si queremos truncar a tres cifras decimales 0.02367 y  - 3.8913

0.02367  se convierte en 0.023

14

-3.8913 se convierte en -3.891

Es evidente que Los números positivos disminuyen su valor cuando se truncan. Los números negativos aumentan su valor cuando se truncan.

El error de redondeo, por su parte, consiste en dejar una serie de cifras significativas y suprimir otras de acuerdo a las siguientes reglas:

Reglas de redondeo1- Si la primera de las cifras a suprimir es menor que 5, entonces las cifras anteriores no se modifican. Ejemplo si el número es 13,82; como el último dígito es 2 (menor que cinco), quedaría 13,8. 2- Si la primera de las cifras a suprimir es mayor que 5 (o igual a 5 seguida de alguna cifra no nula), se incrementa en 1 la última cifra conservada. Ejemplo si el número es 13,86; como el último dígito es 6 (mayor que cinco), quedaría 13,9.3- Si la primera de las cifras a suprimir es igual a 5 seguida de ceros, se incrementa en 1 la cifra conservada si ésta es impar, y no se modifica si es par.

Errores propagadosSe llama errores propagados a aquellos errores que se van acumulando cuando se operan con números que ya poseen un error previo.

1. Calcular los errores absolutos, relativos y porcentuales que se comenten al tomar como valores de π como a) 22/7, b) 333/106, c) 355/113

2. En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 300 Km, 300 m. ¿Qué error relativo es mayor?.

3. Como medida de un radio de 6 dm hemos obtenido 60.6 cm. Calcula: el error absoluto y el relativo de la medida del radio, el error absoluto y relativo de la longitud de la circunferencia de tal radio, el error absoluto y el error relativo del área.

4. Midiendo una longitud con una cinta de agrimensor cometemos errores del 0.5 %. ¿Cuál es el error absoluto y el relativo en la medida del área de un terreno rectangular de 60 x 50 m?.

5. Hemos realizado diez veces la pesada de un cuerpo obteniendo los siguientes resultados, expresados en gramos:

12.372 gr. 12.373 gr 12.372 gr 12.371 gr 12.370 gr 12.374 gr 12.374 gr 12.373 gr 12.371 gr 12.372 gr Expresar correctamente el resultado de la pesada y calcular su error relativo.

6. Queremos determinar la distancia que hay entre dos paredes con una cinta métrica que aprecia hasta milímetros. Realizamos cinco medidas y obtenemos los siguientes valores:

80,1 cm; 79,5 cm; 80,4 cm; 79,8 cm; y 80,0 cm.

¿Cuál es el resultado de ésta medida? ¿Cuál es el error

absoluto y relativo de ésta medida?

3.- Breve historia de la medida

15

Desde la antigüedad medir es una necesidad vital para el hombre. Desde los albores de la humanidad surgió la necesidad de disponer de un sistema de medidas para realizar intercambios. Según los últimos estudios científicos las unidades de medida empezaron a utilizarse hacia unos 5.000 años a.C.

Los egipcios tomaron el cuerpo humano como base para las unidades de longitud, las longitudes de sus antebrazos, pies, manos o dedos. El codo, cuya distancia es la que hay desde el codo hasta la punta del dedo corazón de la mano, fue la unidad de longitud más utilizada en la antigüedad, de tal forma que el codo real egipcio, es la unidad de longitud más antigua conocida.

También los soldados romanos, en sus marchas, usaban la medida de los pasos, relacionaban 5 pies con un paso y 1.000 pasos hacían una milla. En las vías romanas se marcaban con mojones de piedra los miliarios. Otra medida de longitud se relacionaba con las falanges del dedo pulgar, de allí se origina la pulgada. La máxima abertura de la mano originó el palmo; y la longitud del brazo dio lugar a la yarda. La longitud de un palo determinado dio lugar a la vara; el alcance de una flecha o de un tiro de ballesta también fue una medida de longitud muy usada; el radio de máxima visión en un terreno plano es el origen de la legua que fue una unidad muy antigua entre las medidas galas.

Pero cada vez fue más necesario establecer una correspondencia entre unas unidades y otras, y así aparecen las primeras equivalencias: una palma tiene cuatro dedos; un pie tiene cuatro palmas; un codo ordinario tiene un pie y medio, esto es, 6 palmas; y si a ese codo se le añade un pie más, tenemos el grado o medio paso que es igual, por tanto, a un codo más un pie, o dos pies y medio, o diez palmas; y por fin el paso que es la distancia entre dos apoyos del mismo pie al caminar. En la siguiente tabla se pueden observar algunas equivalencias.

16

Es evidente que cada una de estas medidas se corresponde, de alguna manera, con una medida humana. Así, la braza en algunas culturas correspondía a la altura del cuerpo humano, mientras que la vara, al doblar los brazos, es lo que mide el hombre de codo a codo.

Del mismo modo que muy pronto se utilizaron diversos patrones para calcular la longitud, se tardó bastante en relacionar las medidas de superficie con la extensión de un largo y un ancho. Estas medidas al principio se las relacionaba con la siembra de terrenos, es así como surge el acre, que era la superficie arable en una mañana por un labrador. En tiempos del rey Enrique VII de Inglaterra se estableció que un acre era la porción de tierra de 40 varas de largo y 4 varas de ancho. Como curiosidad, en la antigua Babilonia las medidas de superficie estaban determinadas por la cantidad de granos necesarios para poder sembrarlas.

Los problemas de volumen, la capacidad y el peso, desde un principio se relacionaron de una manera muy estrecha. Así el volumen era una medida que se asociaba con la capacidad del recipiente y el peso de este con su contenido. Las primeras medidas de capacidad eran reconocidas en objetos naturales: como la capacidad de una calabaza de tamaño medio o la capacidad de una cáscara de huevo. La primera medida exacta de capacidad que se conoce pertenece a la cultura babilónica: era un cubo hueco de un palmo de arista. Este cubo lleno de agua era la unidad de capacidad de agua que contenía. El peso de ese cubo lleno fue su unidad de peso.

17

3.1.-Nacimiento del Sistema Métrico Decimal. A medida que el comercio se fue extendiendo por Europa, surgió la necesidad de ponerse más o menos de acuerdo y así tratar de unificar un sistema de medidas coherente y práctico. Es de señalar que la falta de uniformidad de las medidas no tenía una influencia decisiva en la vida cotidiana de la mayor parte de los ciudadanos; ni los artesanos ni los campesinos sentían las dificultades que esto conllevaba, incluso para algunos la diversidad de unidades representaba una ventaja pues les permitía modificarlas para cobrar más y pagar menos. Pero existían muchos colectivos que sí necesitaban una cierta unificación. A finales siglo XVIII ya existía un clamor generalizado exigiendo esta unificación de medidas. Había un hecho constatable y era que cada región o inclusive cada aldea disponía de sus propias medidas, lo que suponía un obstáculo muy importante para las relaciones comerciales, además de originar serias disputas entre mercaderes y entre los ciudadanos y los funcionarios que recaudaban el fisco. La primera adopción oficial de tal sistema de medidas ocurrió en Francia, en 1791, después de la Revolución Francesa. Cien años antes, en 1670, el sacerdote Gabriel Mouton, tuvo la ocurrencia de definir una unidad de distancia basada en las dimensiones de la Tierra y también propuso que las unidades fraccionarias no fueran como las de otros sistemas al uso (en que 12 pulgadas hacen un pie y 3 pies hacen una yarda, por ejemplo), sino unidades decimales, esto es que fueran divisiones entre 10 unas de otras.

El trabajo de unificación de un sistema de medidas fue encargado a la Academia Francesa de las Ciencias. En los estudios preliminares se propuso como unidad de distancia la longitud de un péndulo que va y viene en un segundo (la idea era buena; sin embargo, el movimiento del péndulo se altera con la intensidad de la gravedad ya que ésta varía de un lugar a otro, si bien el cambio es muy pequeño, se podía detectar ya en el siglo XVIII). Después de controvertidos debates, la Academia diseñó un sistema completo de unidades, basado en el metro, con una gran coherencia, pero extremadamente complejo. Primero porque el metro era un concepto abstracto poco relacionado con la vida cotidiana. Segundo, porque fijaba la relación entre diversas unidades basándose en el criterio de numeración decimal. Sin duda, estos acuerdos supusieron una gran revolución. El científico Lavoisier llegó a decir de esta propuesta que "nada más grande ni más sublime ha salido de las manos del hombre que el sistema métrico decimal".

Los propulsores de la reforma pretendían garantizar la uniformidad y permanencia de las unidades de medida tomándolas de propiedades derivadas de la Naturaleza, además el sistema debía cumplir dos condiciones, la primera que estuviera basado en la observación científica y la segunda que fuera un sistema de carácter decimal. Actualmente no somos muy conscientes de la ventaja que representa esta coincidencia entre numeración y medida, porque, al no suponer ninguna dificultad, nos pasa desapercibida.

La Academia de Ciencias recomendó, después de arduas deliberaciones, que la unidad de distancia del nuevo sistema llevaría el nombre de metro. El metro se dividiría en fracciones decimales: el decímetro (la décima parte del metro), el centímetro (la centésima parte), el milímetro (la milésima), etc.

18

Pero, ¿qué era un metro? Una comisión de distinguidos científicos, entre los que se encontraban J. L. Lagrange y P.S. Laplace, se encargó de estudiar en profundidad la unidad de longitud. El 21 de septiembre de 1792 quedó fijado como valor del metro como “la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre que pasa por París” Para determinar la longitud exacta del metro,  los astrónomos J. Delambre y P. Mechain dirigieron una expedición entre Dunkerke, y Barcelona. En 1793, con la medida aún por precisar, se construyó un patrón provisional que daba la medida del metro a partir de datos geodésicos incompletos. El trabajo fue completado en 1798, llegando a concluir que el cuadrante terrestre tenía exactamente 10.000.000 metros (ahora sabemos que el cuadrante de la Tierra es 10.001.966 metros). En junio de 1799 por fin se llevó a cabo la presentación formal del metro ante las autoridades francesas y se adoptó un lema para el nuevo sistema de medidas: "Para todos los pueblos, para todos los tiempos"

Es de señalar que pese a la adopción oficial del sistema métrico, ni siquiera los franceses lo usaron en seguida. Napoleón tuvo que permitir que se siguiera usando el viejo sistema medieval de medidas y no fue hasta 1840 cuando el sistema métrico decimal se convirtió en el único legal en Francia.

Si el metro era la unidad de longitud, la pinte (luego renombrada como litro) era la unidad de capacidad, que se definió como el volumen que contiene un cubo de lado igual a la décima parte del metro.

El trabajo para determinar la unidad de masa fue asignado a A. Lavoisier, el padre de la química moderna. Su historia pasó por muchas vicisitudes. Inicialmente la unidad de masa fue el grave (renombrado después como kilogramo). El kilogramo correspondía a la masa de 1000 cm3 de agua pura a 4ºC. Esta adopción supuso una serie de problemas ya que se hacían muchas mediciones de masas menores que un kilogramo; de hecho, el gobierno francés optó inicialmente en adoptar como unidad de masa el gramo; pero para definir una unidad de masa —como para definir la unidad de distancia— había que construir un patrón, esto es un objeto cuya masa sería oficialmente un gramo lo que resultó muy complicado. Por tanto en vez de utilizar un patrón de masa de un gramo, se propuso como patrón el equivalente a mil gramos: un kilogramo.

Hay que diferenciar una unidad, que es una idealización abstracta, y un patrón o modelo, que es la materialización de la unidad. Desde el origen del sistema métrico, los patrones han tenido varias revisiones para reflejar una precisión creciente a medida que avanzaba la ciencia de la metrología. Por citar un ejemplo: el patrón metro ha sufrido varias transformaciones, el año 1889 era la longitud de una barra de platino e iridio que se guardaba en París, en 1960, se definió el metro como 1.650.763,73 longitudes de onda de una determinada línea espectral; en 1983 se adoptó una nueva definición del metro basada en la velocidad de la luz, el metro era medida como "la longitud del camino atravesado por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1 / 299.792.458 de segundo” . De esta forma, el metro recobró su relación inicial con un fenómeno natural, esta vez realmente inmutable y universal, como es la velocidad de la luz. El kilogramo, sin embargo, permanece formalmente definido basándose en el patrón que ya tiene más de dos siglos de antigüedad.

19

El prototipo internacional del kilogramo,, el único patrón materializado que permanece para definir una unidad básica del SI.

Resumen del Sistema Métrico Decimal Lo primero que se fijó fue la base de numeración, eligiendo la decimal o base 10

(Lagrange, al inicio de las discusiones, defendía la base 11 y algunos otros la 12). Lo segundo fue acordar que la unidad de longitud, que se llamaría "metro" (medida

griega antigua), serviría también para medir las áreas y los volúmenes. En tercer lugar se acordó que sólo habría una unidad básica para todos los

tamaños, formándose las unidades de tamaños distintos como múltiplos y submúltiplos, anteponiendo prefijos latinos o griegos a la unidad básica.

En cuarto lugar se acordó que los múltiplos y submúltiplos del metro se aplicarían también a las demás unidades. En realidad se estableció la unidad de superficie igual a 100 m2, que se llamó un área, y la de volumen igual a (0,1 m)3, que se llamó un litro.

En quinto lugar se acordó elegir 1 m=1/10 000 del cuadrante del meridiano terrestre (hoy día esto es 0,9998 m) y no la longitud del péndulo que bate segundos que defendía Talleyrand (que es 0,994 m), En 1799 se fabricó el metro patrón con dos muescas en una barra de platino iridiado (para estabilidad mecánica, química y térmica).

En sexto lugar que la unidad de peso (no se distinguía de la masa) sería la de 1 millonésima de la unidad de volumen (es decir 1 cm3) lleno de agua a 4 ºC (primero se pensó en agua a 0 ºC), y se llamaría un gramo (primero se llamó un ‘grave’). Finalmente, por razones prácticas se construyó un kilogramo patrón (el primero tenía 1000,03 g, pero posteriormente fue corregido).

También se decimalizó el tiempo, usando como unidad el día, sus múltiplos y submúltiplos. Duró 12 años este calendario (12 meses de 3 décadas cada uno más 5 o 6 días de fiesta).

En España su empleo es oficial desde 1849, aunque sobre todo en el ámbito agrario ha coexistido con las medidas tradicionales, y así son aún frecuentes términos como yugadas, robadas, varas, celemines, fanegas, etc.., que además varían de unas regiones a otras.

3.2.-Sistema Internacional de Unidades El siglo XX aportaría nuevas necesidades de precisión a las sucesivas definiciones del metro y la introducción de otras unidades que satisficieran las necesidades sociales y científicas de los nuevos tiempos, dando lugar a un Sistema Internacional de unidades para la ciencia y la técnica, basado en el sistema métrico. Así pues, el viejo Sistema Métrico Decimal de la Revolución Francesa se ha convertido hoy en día en un sistema más moderno, más universal y más completo, conocido como Sistema Internacional de Unidades(SI).Las siete unidades básicas que componen el SI, están enumeradas en la siguiente tabla. Es claro que a medida que avanza la Ciencia y se mejoran los métodos de medida, se ha tenido que revisar las definiciones de las siete unidades. Actualmente, se definen de la siguiente manera:

20

Magnitud Unidad Símbolo Definición

longitud metro m Distancia que recorre en el vacío la luz en 1/299 792 458 de segundo

masa kilogramo kg Masa del prototipo internacional

tiempo segundo sDuración de 9 192 631 770 oscilaciones de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133

corriente eléctrica ampere A

Intensidad de una corriente constante que produciría una fuerza de 2 x 10-7 newtons por metro de longitud entre dos alambres rectilíneos paralelos de longitud infinita y sección circular despreciable puestos a una distancia de un metro uno del otro en el vacío

temperatura kelvin K Fracción 1/273.16 de la temperatura del

punto triple del agua

cantidad de materia mol mol

Cantidad de materia de un sistema compuesto de tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12

intensidad luminosa candela cd

Intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 hertz y cuya intensidad energética en esa dirección es igual a 1/683 de watt por esterradián

Estas siete magnitudes se denominan magnitudes fundamentales. Hay otras magnitudes que se llaman derivadas, o compuestas de las fundamentales, es decir, las que se deducen de las fundamentales mediante fórmulas o cálculos indirectos, como son la velocidad, la fuerza, la superficie, el volumen, etc. …

Evidentemente un sistema de unidades bien definidas facilita la comunicación entre las personas. ¿Podríamos imaginarnos cómo sería nuestra socieda si siguiéramos usando unidades locales? Por ejemplo, en algunas escuelas tendrían que aprender cuántos litros es una arroba, cuantas varas hay en una legua, etc.,y en otras escuelas otras relaciones.

Hay que señalar que no todos los países han adoptado un sistema tan “universal”. Por citar un ejemplo dramático: la nave Mars Climate Orbiter, que se estrelló contra Marte en 1999, falló porque los científicos se equivocaron con las unidades. Investigaciones posteriores al accidente demostraron que la firma aeroespacial, fabricante de la sonda, trabajaba con datos correspondientes a las medidas anglosajonas en lugar de las Sistema

21

Internacional. El resultado de este error hizo que la nave viajara a una latitud inferior a la razonable y el rozamiento con la atmósfera marciana destruyó la nave, error que le costó a la NASA 125 millones de dólares.

Múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI

Múltiplos Submúltiplos

FACTOR PREFIJO SÍMBOLO FACTOR PREFIJO SÍMBOLO

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 milli, mili m

1015 peta P 10-6 micro

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto h 10-21 zepto z

101 deka, deca d 10-24 yocto y

4.- Magnitudes4.1.- Magnitudes: longitud, masa y capacidad Sin duda la magnitud más estudiada y conocida dentro del ámbito escolar es la longitud. Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas veces entra una unidad de medida en el largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es fija, universal e invariable. Pero en muchas ocasiones el metro resulta demasiado pequeño o demasiado grande, de aquí la necesidad de crear los múltiplos y submúltiplos del metro.

22

UNIDADES DE LONGITUD

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS

Nom

bre

Kiló

met

ro

hect

ómet

ro

decá

met

ro

met

ro

decí

met

ro

cent

ímet

ro

milí

met

ro

mic

róm

etro

nanó

met

ro

picó

met

ro

Símbolokm

hm dam m dm cm mm mm hm rm

Equivalencia 103 m 102 m 10 m 10-1 m 10-2 m 10-3 m 10-6 m 10-9 m 10-12

m

Hay otros múltiplos como Mega, Giga y Tera que no se suelen emplear en las medidas de longitud, sin embargo sí se utilizan con frecuencia las siguientes: unidades referidas bien a distancias grandes o bien a distancias pequeñas.

UA = unidad astronómica = radio medio de la órbita de la tierra en torno al sol = 149680000 Km.

Año-luz = distancia recorrida por la luz en un año @ 9.4608´1012 Km. (Velocidad de la luz = 300.000 Km/seg,

Parsec (pc) = 3,26 años-luz. Para átomos y moléculas se usa el Amstrong ( )=10-10 m.

Siguiendo un esquema similar presentamos la unidades de masa

23

UNIDADES DE MASA

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOSN

ombr

e

Kilo

gram

o

hect

ogra

mo de

cagr

amo

gram

o

deci

gram

o

cent

igra

mo

mili

gram

o

mic

rogr

amo na

nogr

amo

pico

gram

o

SímboloKg.

Hg. dagr gr. dgr cgr mgr mgr hgr rgr

Equiva-lencia

103

gr.102

gr.10 gr.

10-1

gr.10-2

gr.10-3

gr.10-6

gr.10-9

gr.10-12

gr.

Las medidas de capacidad son unidades derivadas, pero de uso cotidiano y al igual que la masa y la longitud, van de diez en diez.

UNIDADES DE CAPACIDAD

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS

Nom

bre

Kilo

litro

hect

olitr

o

deca

litro

litro

deci

litro

cent

ilitro

mili

litro

SímboloKl.

Hl. dal l dl cl. ml

Equiva-lencia

103 l 102 l 10 l 10-1 l 10-2 l 10-3 l

Hay otras unidades que suelen aparecer en textos de prensa o revistas son:De longitud: Pulgada = 2,54 cmPie = 30,48 cm = 12 pulgadasYarda = 0,9144 m = 3 piesMilla terrestre = 1,6093 Km. = 1609,3 mMilla marina = 6080 pies = 1,8531 Km. = 1853,1 mDe masa:Onza = 28,35 gr.Libra = 16 onzas = 453,6 gr.Arroba = 28 libras = 12,7 Kg.De capacidad:Pinta = 0,568 litrosGalón británico = 8 pintas = 4,546 litrosBarril americano = 158,98 litros (Para petróleo)

24

Como seguramente observarás, las unidades que hemos presentado son múltiplos o divisores de diez con respecto a la unidad principal. Todas siguen un mismo patrón, es el siguiente:

MÚLTIPLOS Uni-dad

SUBMÚLTIPLOSDivisores.

Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca 1 deci centi mili micra nano pico

TG M K h da d c m m h r

1012 109 106 103 102 10 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12

4.2.- Magnitud: SuperficieÁrea es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficialesPara medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.

UNIDADES DE SUPERFICIE

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS

Nom

bre

Kiló

met

ro

cuad

rado

Hec

tóm

etro

cu

adra

do

decá

met

ro

cuad

rado

met

ro

cuad

rado

decí

met

ro

cuad

rado

cent

ímet

ro

cuad

rado

milí

met

ro

cuad

rado

SímboloKm2

Hm2 dam2 m2. dm2 cm2 mm2

Equivalencia 106

m2104

m2102

m21 10-2

m210-4

m210-6 m2

Ha a ca

Hec

táre

a

área

cent

iáre

a

UNIDADES AGRARIAS

La comprensión de los conceptos de perímetro, área y volumen se amplían y profundizan en la educación secundaria. Además de comprender y aplicar las fórmulas pertinentes de cara a realizar los cálculos pedidos, los alumnos deberían desarrollar procedimientos significativos, a través de investigaciones, en vez de memorizarlos. Un dominio particularmente rico y asequible para realizar estas investigaciones lo constituye el cálculo del área de figuras en el plano. Una vez que los estudiantes han descubierto que es posible hallar el área de un rectángulo , en principio de medidas naturales, cubriéndolo

25

mediante un cierto número de cuadraditos( aspecto que ya se ha trabajado en la educación primaria),y posteriormente relacionar ese número con el valor numérico que resulta de aplicar a fórmula del área del rectángulo( base. altura), ya están preparados para explorar y descubrir otras relaciones , como las que existen entre el área del rectángulo, el paralelogramo, el triángulo, el trapecio, etc.. Esta exploración permite a los estudiantes la oportunidad de ver como se relacionan entre sí las ideas matemáticas y además razonar de manera deductiva. Son procesos simples pero de una gran potencia, en los que únicamente se aplican procedimientos, más o menos inteligentes, de descomposición y recomposición de figuras en el plano.En los siguientes dibujos se puede observar cómo se puede calcular y justificar el cálculo del área de determinadas figuras que mediante transformaciones elementales se relacionan con otras figuras de área conocida.

Área del paralelogramo

Área del triángulo

Área del trapecio

Ärea del Hexágono regular

26

Ärea del círculo

Para ejercitarte, calculando áreas de figuras, trata de razonar, descubrir y justificar el área de las figuras que se muestran en relación a las siguientes composiciones

Ärea del trapecio

Área del triángulo

Proyecto de investigación: problemas de cuadratura

Los problemas geométricos de disección plantean la partición de figuras geométricas en trozos de forma que al unirse se obtengan otras figuras geométricas. Lógicamente la figura inicial y la que resulta de volver a unir

27

todos los trozos son figuras equivalentes( del mismo área). Los problemas de cuadratura son aquellos en las que se trata de realizar distintas divisiones, en nuestro caso de figuras planas, (por ejemplo un polígono regular) de forma que con las piezas obtenidas pueda construirse un cuadrado. Los siguientes ejemplos son soluciones de cuadratura de diversos polígonos. Trata de comprender la figura e investiga cada uno de los casos.

PROBLEMAS DE CUADRATURA

Medida de terrenos y la fórmula de Herón. Si queremos calcular el área de un terreno triangular aplicando el procedimiento académico, esto es calcular la base y su altura correspondiente… tenemos serios problemas ¿cómo medir la altura?. Para resolver este problema existe un método llamado el método de Herón ,¿ quién fue Herón y qué hizo?.Herón de Alejandría vivió hacia el siglo III a. de C. se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados. No es necesario por tanto conocer la altura ni ninguno de los ángulos. Si llamamos s al semiperímetro y a, b, c a los tres lados. Entonces el área del triángulo puede expresarse como

28

5.- La trigonometría y el sistema sexagesimal

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Su conocimiento se utiliza frecuentemente para resolver problemas de medidas y para ello se vale de las razones trigonométricas y de algunos resultados notables, como los teoremas del seno y del coseno.Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo. Se definen:

Para resolver algunos problemas de medidas es también necesario conocer los llamados teoremas del seno y del coseno, que dicen lo siguiente:

Teorema del seno: En cualquier triangulo, la medida del lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Teorema del coseno: En cualquier triangulo, el cuadrado de un lado es equivalente a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo que forman.

Nota: Es claro que para agilizar los cálculos hay que utilizar una calculadora científica.

29

El Tiempo es la magnitud física que mide la duración o separación de acontecimientos sujetos a cambio, esto es, el período que transcurre entre el

estado del sistema cuando éste aparentaba un estado A y el instante en el que A registra una variación perceptible para un observador (o aparato de medida). El tiempo es una magnitud que permite ordenar los sucesos en secuencias, estableciendo un pasado , un presente y un futuro, y da lugar al principio de causalidad , uno de los axiomas del método científico

El segundo es la unidad de tiempo en el Sistema Internacional de Unidades. Un minuto equivale a 60 segundos y una hora equivale a 3.600 segundos.El símbolo del segundo es s (adviértase que no es una abreviatura: no admite mayúscula, punto ni plural). Hasta 1967 se definía el segundo como la ochenta y seis mil cuatrocientosava parte de la duración que tuvo el día solar medio entre los años 1750 y 1890 y, a partir de esa fecha, su medición se hace tomando como base el tiempo atómico. Además del segundo, minuto, hora, día , semana, quincena, mes, año y siglo se suelen emplear en ocasiones muy especiales los siguientes múltiplos y submúltiplos del segundo.

Submúltiplosdel segundo

Múltiplosel segundo

Valor Símbolo Nombre Valor Símbolo Nombre10–1 s ds decisegundo 101 s das decasegundo10–2 s cs centisegundo 102 s hs hectosegundo10–3 s ms millisegundo 103 s ks kilosegundo

30

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. Unidades de medida de ángulosLa unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado. Un grado es el ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Para medir ángulos con más precisión y exactitud, se utilizan unidades menores que el grado: el minuto y el segundo.

• Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1° = 60'• Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1' = 60"Los ángulos también se miden en radianes (El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.)- Unidades de medida de tiempoUnidades de medida de tiempo son el siglo, el año, el mes, el día... Para medir períodos de tiempos menores que el día utilizamos la hora, el minuto y el segundo.

1 hora tiene 60 minutos 1 minuto tiene 60 segundos

10–6 s µs microsegundo 106 s Ms megasegundo10–9 s ns nanosegundo 109 s Gs gigasegundo10–12 s ps picosegundo 1012 s Ts terasegundo

Desde un punto de vista filosófico el tiempo es un concepto primario que no se puede definir en referencia a ningún otro concepto más básico. Su definición es difícil y se basa en la experiencia universal de que el tiempo existe y que tiene ciertas propiedades. Dicho de otro modo, es algo de lo que tenemos un conocimiento tosco. Si acudimos a los distintos diccionarios, nos encontramos con algunas de las siguientes características respecto a la magnitud tiempo: es aparentemente continuo, no comparte características con el espacio ,los sucesos están ligados al tiempo (de hecho es imposible la existencia de un suceso sin el tiempo y medimos el tiempo como el intervalo entre dos sucesos).Lo sucesos ocurren secuencialmente en el tiempo., el tiempo corre en una sola dirección. No se puede ir “hacia atrás” en el tiempo.Estas propiedades percibidas del tiempo condicionan nuestra forma de representarlo. Desde un punto de vista matemático, el tiempo se pueden representar mediante una sucesión creciente de números reales.

Problemas propuestos1. Estás ascendiendo por un camino y ve una señal que le indica que el

camino tiene una inclinación del 5% , o sea que asciende 5 m por cada 100 m de camino. ¿Cuál es el ángulo entre el camino y la dirección horizontal?

2. Un árbol de 30 m de alto proyecta una sombra de 40 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento

3. Calcula la altura de una torre, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su punto más alto bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

4. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 70º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura del río

5. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 180 m y 50 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

6. Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C, que dista del primero 50 m, desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 52º y BCA = 61º. ¿Halla la distancia entre A y B?

7. Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D, separados por la longitud de 70m . Suponiendo que los ángulos ACD = 81º; BCD = 40º, BDC = 32º y ADC = 23º . Determinar la distancia AB.

8. Dos coches, con velocidades respectivas de 70km/h y 80km/h, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de 60º ¿Qué distancia habrá entre ellos a los 5 minutos de viaje?

9. Un viajero parte con una velocidad de 75km/h; a los 10 minutos se da cuenta de que se ha equivocado de carretera y toma otra que forma un ángulo de 120º con la anterior (a la misma velocidad) ¿A qué distancia

31

del punto de partida se encuentra a los 20 minutos de haber tomado esta segunda carretera?

10. Tres personas están en tres puntos distintos de la orilla de un lago, la primera dista de la segunda 1,2 km, la segunda de la tercera 1'3 km y ésta de la primera 2km ¿Qué ángulos forman entre sí dichas personas?

11. Un aeroplano vuela a 160 km/s hacia el nordeste, en una dirección que forma un ángulo de 52° con la dirección este.  El viento está soplando a 20 km/h en la dirección noroeste, formando un ángulo de 30º con la dirección norte. ¿Cuál es la "velocidad con respecto a tierra" real del aeroplano?

Proyecto de investigación: El método de Eratóstenes para medir la circunferencia de la TierraEs increíble lo que se puede hacer con una vara de madera, un poco de geometría y algo de imaginación. La idea se le ocurrió por primera vez a Eratóstenes de Cirene, científico griego nacido por el año 280 a.C. Eratóstenes. Los griegos de la época de Eratóstenes ya sabían que sabían que la Tierra era redonda. Lo que no conocían era de qué tamaño.En un papiro que encontró en la biblioteca de Alejandría, Eratóstenes leyó acerca de un lugar llamado Siena (hoy Asuán), situado al sur de Alejandría, que los rayos del Sol caían a plomo a una hora determinada en el día del solsticio de verano. Esto se sabía porque en Siena había un pozo muy profundo en cuyas aguas se podía ver reflejado el Sol justo al mediodía en el solsticio de verano. Mientras que clavando una vara en el suelo en Alejandría a la misma hora y el mismo día, Eratóstenes observó que la vara producía una pequeña sombra. En definitiva, la vara proyectaba sombra en Alejandría, pero no en Siena. Si realizamos un esquema tenemos:

Eratóstenes dedujo lo siguiente: si los rayos del Sol inciden directamente en Siena, pero en Alejandría hacen un ángulo con la vertical, ese ángulo es igual al que formarían las verticales de las dos ciudades si las prolongáramos hasta el centro de la Tierra, es decir, es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría. Llamemos a este ángulo A.Una vez medido el ángulo A, Eratóstenes contrató a un camellero para que se fuera caminando a Siena y midiera la distancia entre las dos ciudades. La distancia resultó ser de cerca de 840 kilómetros. El ángulo A, como comprobó Eratóstenes, era de alrededor de 7.5°. La distancia de Alejandría a Siena, era

32

de unos 5.250 estadios. Un estadio es una medida antigua que equivale a cerca de 157.5 metros. Con esta interesante información en manos, Eratóstenes se dijo: el ángulo A (7.5°) es la cuadragésima octava parte de un círculo completo (360°), por lo tanto, la distancia entre Alejandría y Siena (5.250 estadios) debe estar en la misma proporción a la circunferencia total de la Tierra, o sea, ésta debe ser 48 veces 5.250 estadios, o 252,000 estadios: 40,000 kilómetros, aproximadamente. Cometiendo un insignificante error.

Proyecto de investigación: Eratóstenes calculó el radio de la tierra basándose en el hecho de que en uno de los lugares la vara no proyectaba sombra. Pero si esto no fuera así. ¿cómo calcularías el radio de la tierra empleando algo de trigonometría?

6.- Thales y la medida

Sin duda la aplicación “Thales” es una de las más socorridas a la hora de calcular distancias de medidas indirectas. El historiador griego Plutarco, nos describe el método que el mismo Thales, siendo aún adolescente, empleó para calcular la altura de la gran pirámide de Keops. De acuerdo a Plutarco el joven Thales razonó de la siguiente manera: "La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.". De ahí dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura."

Thales se valió, únicamente de un bastón, una cuerda . Así calculó que la sombra proyectada por su altura, guardaría una proporción similar a la sombra de la propia pirámide con respecto a la altura de ésta.

Es muy importante que los alumnos comprendan y utilicen el concepto de semejanza, ya que está muy relacionado con la proporcionalidad y con la idea funcional de correspondencia. De cara a la resolución de problemas es un contenido clave y merece dedicarle tiempo y esfuerzo de cara a que los estudiantes tengan un dominio claro y funcional del mismo. Los problemas relativos a la construcción e interpretación de escalas son situaciones que nos pueden ayudar a relacionar e incrementar el conocimiento de la semejanza, la proporcionalidad y la razón y desde luego para resolver problemas de medida, como ya hemos comentado.

El llamado teorema de Thales, dice lo siguiente:

33

"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos rectas transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales”

Mediante este teorema se pueden resolver multitud de problemas, veamos algunos:

1. Un poste vertical de 6 metros de alto, proyecta una sombra de 4 metros. ¿ Cuál es la altura de un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 2,8 metros ?

2. Encuentra la altura de un poste, tomando en cuenta que la estatura de un hombre es de 1.75 m y a cierta hora de un día soleado su sombra de 1.2 m, y en ese mismo momento la sombra del poste es de 3 m

de longitud.3. También podemos aplicarlo para resolver multitud de situaciones

interesantes de medida( se pueden ver muchas más en el libro de Vicente Meavilla)

calcular la anchura de un río calcular la distancia a un barco

calcular la altura de un edificio utilizando un espejo

Calcular la altura de un objeto con pie no accesible

34

calcular la anchura de un río( método de los postes Chino)

Calcular la altura de un objeto con pie no accesible

7.- El Teorema de Pitágoras

Es sin duda unos de los resultados más conocidos en la matemática escolar. Establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se cumple que:

35

El resultado de este teorema es, en ocasiones, imprescindible para realizar mediciones indirectas, como veremos en algunos de los siguientes ejercicios:

1. Calcula la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 20 cm.

2. Calcular la medida de la diagonal de un rectángulo con lados 30 y 40 centímetros respectivamente.

3. Calcular la altura de un triángulo equilátero de 40 cm de lado.4. Calcula la apotema de un hexágono regular de 30 cm de lado5. Calcula la diagonal más grande de un paralepípedo de medidas: 14, 15 y

16 cm respectivamente.6. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias

inscrita y circunscrita a un cuadrado de 6 m de diagonal.7. El perímetro de un trapecio isósceles es de 120 m, las bases miden 45 y

35 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.8. A un hexágono regular 20 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se

le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.9. En una circunferencia una cuerda mide 4,8 cm y dista 0,7 cm del centro.

Calcular el área del círculo.10. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y

29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

11. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:1 Los catetos.2 La altura relativa a la hipotenusa.

13. Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de acero. Si se desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia de 4 m de la base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán?.

14. EL siguiente problema fue hallado en el capítulo IX del libro chino: "Chu Chang Suan Shu" o "Arte Matemático en Nueve Secciones"

Crece en medio de una laguna circular de 3m (300cm) de diámetro un junquillo que sobresale 30 cm del agua cuando se inclina hasta que lo cubre de agua alcanza justamente la orilla de la laguna, ¿qué profundidad tiene el agua?

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y aficionados a las matemáticas han dado sobre este teorema. Se muestran a continuación algunas de las más conocidas. Trata de comprenderlas y en su caso demostrarlas.

36

8.-El Volumen y su dificultad

A pesar de ser seres tridimensionales los seres humanos tenemos muchas dificultades al afrontar problemas en los que aparezcan situaciones espaciales que requieran el cálculo de medidas de volúmenes. Nos resulta más o menos familiar trabajar con el cálculo de las medidas de algunas figuras como el cubo o el paralepípedo; pero tenemos verdaderas dificultades para calcular el volumen de otras figuras ¿cuál es el problema?

El volumen es un concepto matemático rico en significados que ocupa un lugar relevante en la matemática escolar. A pesar de que algunos investigadores se han interesado en este tema, comparado con otras nociones, el concepto de volumen ha sido estudiado muy poco. El profesor Vergnaud ha realizado uno de los estudios más científico y exhaustivo hasta la fecha sobre el problema del volumen, y de una manera muy esquemática estas son sus conclusiones:

37

Considera que hay dos maneras de considerar el volumen:1) Como una magnitud unidimensional, en la que se presta especial

atención a la medición directa y la comparación. Este acercamiento requiere estructuras aditivas.

2) Como un producto de medidas. Requiere una estructura multiplicativa y su comprensión es más difícil y compleja.

Según Vergnaud, la utilización de la segunda vía de cara a trabajar con el volumen presenta mayores dificultades; mientras que el modelo aditivo, si bien nos puede dar una idea más clara del concepto de volumen, puede presentar un obstáculo para la comprensión del volumen como un producto de medidas. Nos queda por tanto una vía híbrida, que consiste en partir de la práctica, por ejemplo: rellenando cubitos para calcular el volumen de un paralepípedo, acompañando su cálculo con la utilización de la fórmula que nos da de una manera rápida el volumen del paralepípedo.El interesante trabajo de Vergnaud nos alerta sobre las dificultades que los alumnos tienen a la hora de comprender el concepto de volumen, sus conclusiones son las siguientes:

a) El concepto de volumen nos es dominado por alumnos de 11 a 15 años, sin embargo es enseñado hacia los 12 años.

b) Los alumnos confunden, en muchas ocasiones, el volumen de los cuerpos con la superficie, en ocasiones con el perímetro y a veces mezcla los dos aspectos expresando que el volumen de un paralepípedo es igual a la superficie de la base más la altura.

c) El cálculo directo del volumen de un paralepípedo, presenta una dificultad similar a la de encontrar una de las dimensiones, conocido el volumen y las otras dos dimensiones.

d) El cálculo del volumen en relación a otro, es una tarea compleja para la mayoría de los alumnos entre 11 y 15 años. Hacia los 15 años se suele solventar satisfactoriamente esta dificultad.

e) Las dificultades para comparar volúmenes de esferas en función de su radio son enormes.

Como resumen de estos aspectos podemos señalar que la adquisición del concepto de volumen requiere una cierta paciencia y que la manipulación y construcción de paralepípedos permitirá una mejor aprehensión de la fórmula multiplicativa del volumen.El Concepto de volumen.Los cuerpos ocupan un lugar o extensión en el espacio. Llamaremos volumen de un cuerpo al número que expresa la medida de su extensión en el espacio. El volumen es una magnitud física derivada. Como sabemos La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). Para medir el volumen de los líquidos y los gases también podemos fijarnos en la capacidad del recipiente que los contiene, utilizando las unidades de capacidad, especialmente el litro (l) y el mililitro (ml). Existe unas equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad:

38

1 l = 1 dm3        1 ml= 1 cm3

UNIDADES DE VOLUMEN

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOSN

ombr

e

Kiló

met

ro

cúbi

co

Hec

tóm

etro

cú

bico

Dec

ámet

ro

cúbi

co

Met

ro

cúbi

co

Dec

ímet

ro

cúbi

co

Cen

tímet

ro

cúbi

co

Milí

met

rocú

bico

Símbolokm3

hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Equivalencia 109 m3 106m3 103 m3 10-3m3 10-6 m3 10-9 m3

Hay varios procedimientos para medir el volumen de diversos cuerpos. Veamos como calcular el volumen de una pirámide y de una esfera.

8.1.-Volumen de una pirámide.

Los dibujos siguientes son suficientemente explicativos.

Primero dibujamos un cubo y trazando sus cuatro diagonales en el espacio, dividimos al cubo en 6 pirámides iguales con misma base que el cubo y altura la mitad de la arista del cubo. Como el volumen del cubo es igual al volumen de 2 cajas o prismas cuadrados con misma base y altura la mitad de la arista del cubo (que es la altura de las pirámides).Concluimos que 6·Volumen pirámide = Volumen cubo = 2·Volumen caja o prisma.

Es decir, 3·Volumen pirámide = Volumen prisma.

Por tanto, el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con las mismas dimensiones.

39

Hay otro procedimiento muy interesante para calcular de otra manera el volumen de una pirámide, es el siguiente:

1.- Tomemos un prisma que tiene inscrita la pirámide en su interior.2.- De este prisma nos quedarnos solo con un cuarto, por ejemplo, el de la derecha ( tal como se muestra en el dibujo)3.- Este cuarto de prisma, que contiene a su vez un cuarto de pirámide, le dividimos en dos partes, tal como se muestra en el dibujo. 4. Si nos fijamos en el trozo que no es de la pirámide, y lo dividimos en dos, la mitad es un trozo igual a un cuarto de pirámide, y la otra mitad, aunque no se igual en forma, es igual en volumen, de manera que en un cuarto de prisma, entran tres cuartos de pirámide.Luego en un prisma entero, entran tres pirámides enteras, con lo que deducimos que el volumen de la pirámide es el área de su base, multiplicada por su altura y dividido entre tres

Haciendo una analogía o similitud entre prisma y cilindro, puesto que el cilindro es el cuerpo de un prisma cuya base tiene infinitos lados, podemos concluir que las fórmulas de un prisma se pueden aplicar a un cilindro. Lo mismo sucede con el cono y pirámide, que tienen fórmulas muy parecidas....

8.2.-Dos maneras de calcular el volumen de una esfera:

a.- Método hindú

Consideramos la esfera dividida en multitud de pequeñas pirámides iguales con vértice común en el centro de la esfera. La base de cada una de las pirámides es muy pequeña, por lo que podemos considerarla plana y aplicar la fórmula del volumen de una pirámide. Así, si llamamos Ab al área de la base de la pirámide, su volumen es:

40

Volumen de la Pirámide = área de la base · altura/ 3 = Ab · r /3 Como el volumen, V, de la esfera es la suma de los volúmenes de todas las pirámides:Volumen de ESFERA = (Ab1 + Ab2 + Ab3 + ... ) r /3 La suma de las bases de todas esas pirámides será el área total de la esfera (que, como ya sabemos, es 4πr2): Por tanto el volumen de la esfera será: V ESFERA = (4πr2 ) · r/ 3 = 4/3( π r3)

b- Arquímedes y el volumen de la esfera.

Como sabemos el volumen de una esfera de radio R es:

Esta fórmula se debe al genial científico Arquímedes ( siglo III a.C), sin duda fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.

Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:, tal como se muestra en la siguiente figura:

Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:

Cilindro: la sección es una circunferencia de radio R. Semiesfera: la sección es también una circunferencia pero de distinto

radio, digamos r. Mirando la siguiente figura

y usando el teorema de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2.

41

Cono: La sección es también una circunferencia, pero ahora, como podemos se ve aquí

El radio de la sección circular es d. Por tanto tenemos:

Sección cilindro = πR2 = π(r2+d2) = πr2+πd2 = Sección semiesfera+Sección cono

Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras( realmente estamos aplicando el famoso principio de Cavalieri):

Si para cada rebanada se tiene la relación anterior es claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:

Volumen cilindro =Volumen semiesfera+Volumen conoPero Arquímedes ya conocía los volúmenes del cilindro y del cono:

Por tanto:

De donde el volumen de una esfera de radio R:

Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:

En lo que respecta al volumen de los sólidos geométricos podemos poner resumirlo en el siguiente mapa conceptual.

42

8.3.-Medición del volumen en cuerpos no regulares

Cuando un sólido no tiene una forma geométrica estándar, que permita determinar por cálculo su volumen, se suele utilizar un procedimiento se le atribuye a  Arquímedes. Supongamos que se desea saber el volumen de un objeto irregular pequeño. En un recipiente graduado vertemos un líquido y, a continuación, sumergimos en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer. Lógicamente se ha producido un aumento de de nivel del líquido nos permitirá, mediante una simple resta, determinar el volumen del objeto. El siguiente diagrama muestra un objeto irregular y un recipiente con 9 centímetros cúbicos de agua. La cantidad de agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser sumergido en ella. Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua que provoca:

43

Al introducir el objeto al recipiente el agua subió su nivel marcando un volumen de 25 cm3 . Antes de introducirlo el volumen del agua marcaba 15 cm3  por tanto la diferencia de volumen se debe al volumen que aporta el objeto.

El volumen del objeto se obtiene restando el volumen del agua, con el objeto, menos el volumen del agua sin el objeto:  V   =  25 cm3   -  15 cm3    =    10 cm3 Por lo tanto el objeto tiene un volumen de 10 cm3 

  9.- Las unidades de las nuevas tecnologíasCon la aparición de las nuevas tecnologías han surgido por doquier una serie de términos que para muchas personas son casi desconocidos. Así, se habla de bits, byte, gigas, megas, tera, etc. Pero qué son y qué significan.

Un bit es un dígito del sistema de numeración binario. Como sabemos en el sistema de numeración decimal se usan diez dígitos, mientras que en el binario se usan sólo dos dígitos, el 0 y el 1. Un bit o dígito binario puede representar uno de esos dos valores, 0 ó 1. Por tanto el bit es la unidad mínima de información empleada en cualquier dispositivo digital. Con el bit, podemos representar dos valores cualesquiera, como verdadero o falso, abierto o cerrado, blanco o negro, norte o sur, masculino o femenino, triste o alegre, etc. Basta con asignar uno de esos valores al estado de "apagado" (0), y el otro al estado de "encendido" (1). Evidentemente, podemos encontrar cuatro posibles combinaciones utilizando dos bits, son las siguientes:

Con estas cuatro combinaciones podemos representar hasta cuatro valores diferentes, como por ejemplo, los colores blanco, verde, azul y negro.

A través de secuencias de bits, se puede codificar cualquier valor discreto como números, palabras, imágenes,…Por ejemplo con cuatro bits se pueden representar hasta 24 = 16 valores diferentes; con ocho bits se forma un octeto, y se pueden representar hasta 28 = 256 valores diferentes. En general, con un número n de bits pueden representarse hasta 2n valores diferentes

Un Byte es una voz inglesa, que la Real Academia Española ha aceptado como equivalente a octeto, es decir a ocho bits. La unidad byte no tiene símbolo establecido internacionalmente, aunque en países anglosajones es frecuente B mientras que en los francófonos es o (de octeto). Se usa comúnmente como unidad básica de almacenamiento de información en combinación con los prefijos de cantidad.

44

Los prefijos usados para medidas de byte normalmente son los mismos que los prefijos del SI utilizados para otras medidas, pero tienen valores ligeramente distintos. Se basan en potencias de 1024 (210), un número binario conveniente, mientras que los prefijos del SI se basan en potencias de 1000 (103). La tabla inferior ilustra estas diferencias.

Nombre Abreviatura. Factor binario Tamaño en el SI

bytes B 20 = 1 100 = 1

kilo k 210 = 1.024 103 = 1.000

mega M 220 106

giga G 230 109

tera T 240 1012

peta P 250 1015

Así podemos establecer las siguientes equivalencias:

8 bits = 1 byte1.024 bytes = 1 Kilobyte1.024 kilobytes = 1 Megabyte1.024 MegaBytes = 1 GigaByte1.024 GigaBytes = 1 Terabyte1.024 Terabytes= 1 Petabyte

Para hacernos una idea de la posibilidad de almacenamiento, medido en las magnitudes mencionadas, aquí tienes una muestra

Tamaño Capacidad de almacenamiento aproximada1 B Una letra10 B Una o dos palabras100 B Una o dos frases1 KB Un cuento corto10 KB Una página de enciclopedia (tal vez con un dibujo simple)100 KB Una fotografía de poca resolución1 MB Una novela entera de unas 500 páginas10 MB Todas las obras completas de Pérez Galdós

45

100 MB Varios metros de libros.1 GB Una furgoneta llena de páginas con texto1 TB Una pequeña biblioteca de barrio10 TB Todos los libros de la biblioteca Nacional

Proyectos de investigación relacionados con la medida.1.- El tiempo y el calendario Para controlar y organizar el tiempo disponemos del calendario, ¿qué es el calendario? Nuestro calendario se denomina gregoriano, actualmente utilizado de manera oficial en casi todo el mundo. Así denominado por ser su promotor el Papa Gregorio XIII, vino a sustituir en 1582 al calendario juliano, utilizado desde que Julio César lo instaurara en el año 46 a.C. El Papa promulgó el uso de este calendario de manera universa, algunas de sus características son las siguientes: establece tres tipos de años, año común de 365 días, año bisiesto de 366 días, año secular, el terminado en "00" -múltiplo de 100-Estudia con detalle las características del calendario gregoriano.

2.- Estimar el volumen de la madera de un bosque

Para resolver esta situación hay que comprender el problema en su globalidad y además entender una serie de conceptos que son claves para resolver la situación. Por ejemplo, el concepto de «densidad» de madera de un bosque, que podemos definirla como el volumen de la misma por unidad de superficie de bosque. La solución de esta situación nos implica recurrir de una u otra manera a los siguientes aspectos

b) Estudiar la trigonometría, para medir la altura aproximada de los árboles. c) Medir el área de superficies no regulares (bosque), bien mediante plantillas de papel milimetrado transparente, o bien aproximando mediante su descomposición en rectángulos o triángulos sencillos. c) Aplicar fórmulas de longitud, superficie y volumen de circunferencia, círculo y cilindro.d) Aplicar conceptos probabilidad, de cara a seleccionar y estudiar una muestra de determinados árboles del bosque.e) Comprender y utilizar el concepto de la densidad del bosque ocupada por árboles, utilizando la escala, para ello podemos utilizar una foto aérea del bosque.Para afrontar el proyecto hemos de resolver una serie de subproblemas como los siguientes. : a) Estimar el valor medio de la altura y del perímetro de los árboles del bosque;b) Realizar una comparación entre las estimaciones realizadas y los valores medidos en la realidad para ver cuales son los errores cometidosc) Calcular el valor promedio del volumen del tronco de un árbol( suponiendo que el árbol es un cilindro)d) Comprender y aplicar el concepto de «densidad» de madera del bosque .e) Calcular el área del bosque, a través de una foto aérea;f) Calcular el volumen total de madera.

46

3.- Google Earth y las medidas Google Earth es un programa informático (Software), que permite visualizar imágenes en 3D del planeta, combinando imágenes de satélite, mapas y el motor de búsqueda de Google. Permite ver imágenes a escala de un lugar específico del planeta y muchas cosas más, como

Observar la Tierra en tres dimensiones y rotar la vista. Explorar las Estrellas, otros Planetas Visualizar ciudades en diferentes países del mundo, cambiar de un país

a otro o de un continente a otro, y recorrer desiertos o selvas. Observar calles, edificios, casas, monumentos, ríos, etc. Seleccionar un lugar específico, aproximarse a él desde la atmósfera y

observarlo desde diferentes alturas Medir la distancia entre dos sitios por medio de una línea recta o

trazando una trayectoria. Observar e identificar tipos o formas de relieve en cualquier lugar del

mundo (volcanes, cordilleras, valles, picos, etc.) y conocer la medida exacta de su altura sobre el nivel del mar.

Conocer las coordenadas de cualquier punto de la Tierra con solo ubicar el ratón sobre el sitio.

El proyecto que te proponemos es calcular distancias y áreas de diversos elementos: longitud de un río, área de un terreno , pendiente de un terreno, etc. utilizando el Google Earth.

La solución del túnel Eupalinos

Es evidente que hay que recurrir a una construcción auxiliar como el siguiente.

Se traza una línea poligonal AHCFBA, en la que los ángulos AHC, HCF y CFB son ángulos rectos. Dadas esas condiciones, las longitudes x e y determinan los puntos E y G y por tanto la dirección AB, que era el objetivo a resolver del problema.

Bibliografía

1. BISHOP, A. (1999): Enculturacion matemática: la educación matemática desde una perspectiva cultural, Paidós, Barcelona.

47

2. CHAMORRO, C. y J.M. BELMONTE (1988): El Problema de la Medida: didáctica de las magnitudes lineales, Síntesis, Madrid.

3. DE PRADA VICENTE, M.D.(1990). Cómo enseñar las magnitudes, la medida y la proporcionalidad. Agóra. Málaga

4. DE LORENZO PARDO, J. A.(1998) La revolución del metro. Celeste5. DEL OLMO, M.A. (1989): Superficie y volumen ¿algo más que el trabajo

con fórmulas?, Síntesis, Madrid.6. GRUPO CERO (1984): De 12 a 16, Mestral. Valencia.7. GUEDJ, D.(2003): El metro del mundo. Anagrama.Barcelona8. LUELMO M. J. Medir en Secundaria: algo más que fórmulas X JAEM.

Ponencia P83, pp. 727-7379. MEAVILLA, V.(2001). Aspectos históricos de las matemáticas

elementales. Universidad de Zaragoza10.REAL DECRETO de las enseñanzas mínimas correspondientes a la

Educación Secundaria Obligatoria.(BOE: 5/ Enero /2007)11. WIKIPEDIA: http://es.wikipedia.org/

48