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a Divine proportion de Luca Pacioli

La Divine Proportion de luca Pacioli

Luca Pacioli (env. 1450-1514) est originaire de Borgo San Sepolcro comme Piero della Francesca. Moine francis

éologien, il enseigne avec talent les mathématiques dans de nombreuses villes italiennes et se lie d'amitié avecrtains des plus éminents esprits de la Renaissance : Alberti, Piero della Francesca et Vinci. Son œuvre majeure,umma di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita", véritable encyclopédie mathématique, publiée e94, lui assure la célébrité. En 1509 est imprimé à Venise "De Divina Proportione" (1) dont le manuscrit avait été o

usieurs années auparavant à Ludovic le More, Duc de Milan. Illustré par Léonard de Vinci, l'ouvrage comprend un

rtie principale consacrée à l'étude des propriétés de la proportion suivi d'un court traité d'architecture, du tracé d'phabet antique, et du "Libellus", une suite d'exercices mathématiques portant notamment sur les polyèdres réguli

n "vra i trésor caché "C'est ainsi que la première dédicace de l'œuvre désigne la Divine Proportion, " trésor d'un précieux et si rare secron Daniel Caietano auteur de la seconde dédicace. Le sous-titre est plus explicite, il s'agit d' " une œuvre

écessair e à tous les esp rit s p ers pi cac es et cu rieu x, où ch acu n d e ceu x q ui aim ent à étudi er la Phi lo so ph ie

rsp ectiv e, la Peinture , la Scul ptu re, l'Arch itectu re, la Mus iqu e et les autres d isc ipli nes m athématiqu es,

uv era un e très délic ate, subt ile et adm irab le do ctr in e et se délect era de d iver ses q ues tio ns to uc han t à un

ès sec rète sci en ce ". Nous ne sommes donc pas en face d'un pur traîté de science mathématique au sens où no

ntendons aujourd'hui. Dans l'esprit de pacioli, le terme a une acception plus large : "Pour notre propos, par sciendisciplines mathématiques, nous entendons Arithmétique, Géométrie, Astrologie, Musique,Perspective, Architec

cosmographie ainsi que toutes les sciences qui en dépendent " (chap. III). e sont d'ailleurs des considérations de théologie chrétienne qui justifient aux yeux de l'auteur, l'importance accora dite proportion dont les caractéristiques "concordent avec les attributs qui appartiennent à Dieu... Le premier enicité... le second attribut concordant est celui de la Sainte Trinité ; c'est-à-dire que, de même qu'en Dieu une seu

bstance réside en trois personnes, le Père, le Fils et l' Esprit Saint,de la même façon, il convient qu'un même rap

proportion se trouve toujours entre trois termes". Troisième attribut :"De même que Dieu ne peut se définir en teopres et que les paroles ne peuvent nous le faire comprendre, ainsi notre proportion ne se peut jamais détermin

r un nombre que l'on puisse connaître, ni exprimer par quelque quantité rationnelle, mais est toujours mystérieuscrète, et qualifiée par les mathématiciens d'irrationnelle". Quatrième attribut : " De même que Dieu ne peut jamai

anger et est tout en tout et tout entier dans chaque partie,de même notre présente proportion est toujours la mêmujours invariable..." Cinquième attribut " De même que Dieu confère l'être à la Vertu Céleste appelée Quinte Essepar elle aux quatre autres corps simples, c'est à dire aux quatre éléments Terre, Eau, Air et Feu... de même notr

inte proportion donne l'être formel au ciel même, selon Platon qui dans son Timée attribue au ciel la figure du cor

pelé dodécaèdre... lequel ne se peut former sans notre proportion..." et Pacioli de montrer les propriétés des cinqrps platoniciens circonscrits dans la sphère et le rôle éminent de la divine proportion dans la construction de deu

entre eux : l'icosaèdre et du dodécaèdre .

ttp://www.ac-poitiers.fr/arts_p/b@lise14/pageshtm/page_4.htm (1 of 7)22/1/2004 23:03:04


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e partage en moyenne et extrême raisonCette divine proportion ou " prop ort ion ayant un m oyen et deux extrêmes " n'est plus depuis longtemps un secathématique quand Pacioli rédige son ouvrage. Il suit de très près Euclide qui en donne une claire définition danséménts (3 ème définition du cinquième livre): " Une droite est dite divisée en moyenne et extrême raison quand toquantité est au plus grand segment comme ce dernier est au plus petit ".



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Le partage d'un segment en moyenne et extrême raison est une moyenne géométrique continue (à trois termes dpe a/b = b/c) particulière, dans laquelle le troisième terme est la somme des deux autres, soit a/b = (a+b)/a, a étaus grand segment. L'ouvrage de Pacioli consacre de nombreux chapitres à ses " effets " remarquables ; signalonemple le neuvième effet, supérieur selon lui, à tous les autres : les diagonales du pentagone régulier se coupenttre elles selon la proportion (chap. XVIII). Pour ce qui est de l'approche mathématiques nous renvoyons le lecteuuvrage " Le nombre d'or " (3) de M. Ghyka et à la seconde partie de " Le Nombre d'or, radiographie d'un mythe / vine Proportion" (4).Représentons géométriquement quelques occurences de la proportion (désignée par Ø ou nombre d'or au XIXèmrmi les plus remarquables en suivant ainsi le conseil de Pacioli (5).



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ne "très sec rète s c ience " ?

a référence de Pacioli à Vitruve, dans l' "Architecture" est manifeste mais ni Vitruve, ni Alberti, Serlio ou Palladiocun autre architecte de la Renaissance n'ont explicitement mentionné dans leurs écrits l'usage de nombre irratioce n'est V¯2 . " Aussi loin que nous puissions voir, voici le seul nombre irrationnel d'importance impliqué dans la

éorie architecturale des proportions à la Renaissance " (6). Fort de ce constat, Wittkower est convaincu que "il esobablement exact de dire que ni Palladio ni aucun autre architecte de la Renaissance n'a usé des proportionsationnelles". Ce point de vue est partagé par des historiens qui dénoncent comme M. Neveux (4) le caractèreeudo-scientifique des spéculations des " mystiques du nombre d'or", des"pyramidistes", des explorateurs de laéométrie secrète" (7) dissimulée dans d'hypothétiques tracés régulateurs. Le plus souvent, cependant, c'est laoyance en une essence de la beauté, beauté transcendante, objectivée dans les mathématiques, qui est est enuse. Dans "Le nombre d'or, radiographie d'un mythe"(4), l'auteur analyse avec rigueur le renouveau de cette théopartir du XIXème siècle en Allemagne, théorie qui connaîtra un succés certain, au siècle suivant entre les deuxerres, avec notamment les ouvrages de M. Ghyka. Mais Marguerite Neveux est moins convaincante quand, pousoins de sa démonstration, elle entreprend de montrer que " ni chez Pacioli, ni chez Piero della Francesca, ni chonard de Vinci la divine proportion ne se trouve dotée d'une valeur esthétique ". La préoccupation du Franciscain



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rticulier serait d'ordre strictement mathématique ; quand à l' Architecture et au Libellus, il conviendrait de lesnsidérer comme des annexes indépendantes du texte de base.Mais alors à quelle " très secrète science" Pacioli peut-il bien faire allusion puisque toutes les donnéesathémathiques qu'il avance sont connues depuis Euclide ?A plusieurs reprises Pacioli prend soin de souligner la valeur esthétique et symbolique de la Proportion : "Je nerlerai pas de la douce et suave harmonie musicale, ni de la suprême beauté et de la satisfaction intellectuelle cré

r la perspective, non plus que de la disposition architecturale que présentent tant la disposition de l'univers marit

terrestre que l'exposé de la course des astres et des aspects du ciel : car cela ressort clairement de ce qui a été

squ'ici "(DP chap.II). Au chapitre VII, " notre divine proportion envoyée du ciel s'accorde avec les autres en défini

en conditions, et ne les diminue en rien, mais bien au contraire les magnifie davantage... ". Au chapitre LIV, à procorps de 72 bases, " on trouve, écrit le moine, un très grand nombre de ces monuments élevés et disposés selo

s proportions en divers lieux, comme en témoigne l'inestimable temple antique du panthéon ". Dans le premierapitre de l' Architecture, intitulé " De la mesure et des proportions du corps humain de la tête et des autres membodèle de l'architecture", la référence à Vitruve est des plus claires et ne ressortit plus exclusivement de la pureathématique "... la nature, ministre de la divinité, lorsqu'elle façonna l'homme, en disposa la tête avec toutes lesoportions voulues, correspondant à toutes les autres parties de son corps : aussi les anciens, en égard à la

sposition du corps humain, édifièrent toutes leurs œuvres, et principalement les temples sacrés, selon ces

oportions. Ils trouvaient en effet dans le corps de l'homme les deux figures les plus importantes ( le cercle et le cans lesquelles il est impossible de faire quelque ouvrage que ce soit ..."

" De Harmonia Mundi totius", 1525, Venise, xylographie

Médiathèque Michel Crépeau - La Rochelledroits de reproduction et de diffusion réservés

A propos de l'inscription du corps dans le cercle une petite incohérence, étonnante de la part d'un observateur auerti, nous apparaît comme symptomatique du désir d'en dire plus qu'il n'est d'usage : " Pour ce qui est du cercle, ut le vérifier lorsqu'un homme s'étend sur le dos et écarte autant qu'il le peut les bras et les jambes : l'ombilic ser

actement le centre de tout l'espace qu'il occupe, en sorte que si l'on a un fil assez long dont on fixe une extrémité

dit nombril, et dont on fasse tourner l'autre extrémité tout autour de l'homme, on constatera qu'il touchera très

actement le sommet de la tête, l'extrémité du doigt qui est au milieu de chaque main et celle des gros orteils des

eds..." Une telle inscription n'est possible, comme dans la gravure d'Agrippa de Nettesheim ou dans celle qui figu



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ns De Harmonia Mundi , que si le centre du cercle se trouve à la hauteur du pubis et non à la hauteur de l'ombilie présente l'intérêt de mettre en évidence des relations entre le corps humain et la Divine Proportion introduite pantagramme, version "étoilée" du pentagone régulier.

Pacioli n'est pas avare de conseils à l'égard des distingués tailleurs de pierre en particulier ceux de Borgoan Sepolcro auxquels il dédie son deuxième livre et explique (chap.XVIII) "comment les dits corpsathématiques valent louanges et éloges aux tailleurs de pierre et autres sculpteurs". Ce corps de métier qnt son savoir-faire de la tradition médiévale, entretient avec ces nouveaux détenteurs du savoir et du poue sont les architectes humanistes des relations complexes au sein de rapports de force qui expliquent, pre, en partie, la prudence d'un Pacioli, attentif à ne pas divulguer ouvertement des pratiques de corporatioatiques souvent peu rationnelles mais qui participent d'une culture et d'une organisation économique duvail bien ancrées(8). A la charnière de deux mondes, le médiéval et le moderne, notre théologien qui

aborde pas encore les mathématiques en pur rationaliste, trop attaché à leur symbolisme métaphysique e

igieux (9), en soulevant le voile qui dissimule encore cette très secrète science annonce aussi son déclin

) De Divina Proportione, traduction française par G. Duschesne et M. Giraud, Librairie du Compagnonnag80) Le texte du " Libellus " est si proche de celui offert par Piero della Francesca à Guidobaldo d'Urbino soue " De quinque corporibus regularibus " que Vasari accuse Pacioli de Plagiat. Certains spécialistes penc

utôt pour une collaboration entre le peintre agé et le mathématicien plus jeune.) Le terme nombre d'or désigne au XIXème siècle le partage en moyenne et extrême raison. Les racines quation sont (1+V¯5) / 2 soit un nombre irrationnel proche de 1,618 et (1-V¯5) / 2 soit environ -0,618 poucine négative.



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) " Le Nombre d'or, radiographie d'un mythe " Marguerite Neveux, Edition du Seuil 1995, seconde partie Divine Proportion " version abrégée de " The Divine Proportion. A Study in Mathematical Beauty " de H.

untley, Dover Publications Inc. New York, 1970.) Dans le chapitre XIX de " Architecture ", l'auteur précise l'importance du tracé géométrique dans le cas oportions irrationnelles : " Si toutefois vous en êtes empéchés (d'utiliser des nombres entiers ou des fractmples) par l'irrationalité, comme c'est le cas dans le rapport entre le diamètre du carré et de son côté, voudiquerez sur votre dessin leurs limites par des lignes, à l'aide de votre équerre et de votre compas. Car, s

n ne peut pas toujours indiquer une superficie par un nombre, on la peut toujours indiquer par des lignes,

en que la proportion soit moins précise dans la quantité continue que dans la quantité discrète...") Wittkower : ouvrage cité, page 94.) Voir l'article de Jean Guillerme : "proportion", Encyclopædia Universalis 1980.) Le conflit qui opposa, en 1434, Phillipo Brunelleschi à la corporation des maçons et des menuisiers illuss rapports tendus qui pouvaient exister entre les corps de métiers constitués et les nouveaux "inventeurs"our avoir construit la grande coupole de Florence sans avoir acquitté sa cotisation annuelle à la corporatiofouant ainsi l'autorité des consuls et les statuts de l'association, Fillipo fut emprisonné et ne dut sa libéra'à l'intervention énergique des Fabriciens de la cathédrale.(Actes de la Fabrique de la cathédrale deorence, 1434, cités dans "Brunelleschi", L'Equerre - Direction de l'Architecture, 1978)) Ce symbolisme est très clairement exprimé par le philosophe Nicolas de Cues au quattrocento : " De tos oeuvres de Dieu, il n'est de connaissance précise qu'en lui qui en est l'auteur ou, si si nous en avons

elque idée, nous la tirons du symbole (ex aenigmate) et du miroir bien connu de la mathématique.(...) Toen considéré, donc, nous n'avons rien de certain dans notre science que notre mathématique et c'est elle

t notre symbole pour aller à la chasse des oeuvres de Dieu " (Dial.de possest ), ou dans " la docte ignora, 11) : " Puisque aucune méthode ne s'offre à nous pour atteindre aux réalités divines sinon par desmboles, c'est à des signes mathématiques que nous pourrons recourir avec plus de convenance qu'à

autres, à cause de leur irréfragable certitude. " cité par E. Cassirer, " individu et cosmos dans la philosophla Renaissance ", Les éditions de minuit, 1983 "

Michel

cadémie de Poitiers

ourrier électronique : [email protected]

Dernière mise à jour : 30/06/01
mailto:[email protected]:[email protected]://www.ac-poitiers.fr/arts_p/b@lise14/pageshtm/page_5.htmhttp://www.ac-poitiers.fr/arts_p/b@lise14/pageshtm/page_3.htmhttp://www.ac-poitiers.fr/arts_p/b@lise14/pageshtm/index.htm

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