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LA ECUACIN DE LA ONDALaecuacin de la ondaes una importante ecuacin diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden; que describe la propagacin de una variedad deondas, como las ondassonoras, las ondas deluzy las ondas en elagua. Es importante en varios campos como la acstica, elelectromagnetismoy ladinmica de fluidos.la ecuacin de onda hace referencia a una funcinu(x , t)que satisface:

2Supongamos las siguientes condiciones:

La cuerda es perfectamente flexible.La cuerda es homognea; es decir su masa por unidad de tiempo de longitud P es constante.Los desplazamientos U son pequeos en comparacin con la longitud de la cuerda.La pendiente de la curva es pequea en los los puntos.La tensin T acta tangente a la cuerda, y su magnitud T es la misma en todos los puntos.La tensin T es grande comparada con la fuerza de gravedadNinguna fuerza acta sobre la cuerda

Considere una cuerda de longitud L, tensada entre dos puntos en el eje X.

Sea u(x , t) el desplazamiento vertical de cualquier puno sobre la cuerda, medido desde el eje X para t>0.

El desplazamiento vertical u(x,t) de la cuerda vibrante de longitud L, se determina:

(1)

(2)

(3)

SOLUCIN: 1)SEPARACION DE VARIABLESCon la suposicin usual de que u(x, t) = X(x)T(t). La separacin de variable en (1) se obtiene:

As que(4)(5)

8 Las condiciones de frontera (2) se traduce en X(0) = 0 ,y, X(L) = 0. La ecuacin (4) junto con estas condiciones de frontera (6)

Existen tres posibilidades usuales para el parametro =0, = -2 0. Solo la ltima opcin es una solucin no trivial.

Correspondiendo a = 2 > 0, la solucin general de (4) es: X= C1 cos x + C2 sin x

X(0) = 0 y X(L) = 0 indican que C1= 0 C2 sin L = 0.La ltima ecuacin indica de nuevo queL= n/L= n/L

10Los valores propios y las funciones propias correspondientes de (6) son:

Sean An = c2c3, Bn = c2c4, soluciones que satisfacen tanto a la ecuacin de onda (1) como a las condiciones lmites (2) son (7)

(8)

Al sustituir t = 0 en (8) y usar la condicin inicial u(x, 0) = f(x), se obtiene:

Puesto que esta ltima serie es un desarrollo desemiintervalo para f en una serie de seno, podemosidentificar An = bn

(9)

2) Solucin: Coeficientes de Fourier