LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS

Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

La ecuación de la curva es del tipo , para la cual se necesita tener el valor de b, el semieje menor. Puesto que se conocen a y c, b se determina de la expresión que las relaciona:

1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es

el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3. Además, a = 5.

12

2

2

2

=+ay

bx

222 cab −=222 35 −=b

162 =b 12516

22

=+yx

2. Se pueden determinar todos los elementos que caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y

representarla en el plano coordenado:

Centro: C(0, 0)

Eje focal: eje y

Vértices: V(0, 5) y V’(0, –5)

Focos: F(0, 3), F’(0, –3)

Distancia focal: 2c = 6

Longitud del eje mayor: 2a = 10

Longitud del eje menor: 2b = 8

Longitud de cada lado recto:

Excentricidad:

( )532

5162

=22ba

=2 2 3= < 1

5c a bea a

−= =

GRÁFICA EJEMPLO 2

3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0) y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente

manera:

Por los vértices se sabe que es una elipse con centro en el origen, que su eje focal es el eje x, y que a = 4.

Por la definición de la excentricidad: por lo tanto, , y c = 3. Entonces La ecuación es

ace =

443 c=

222 cab −= 734 222 =−=b

1716

22

=+yx

4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la

fórmula

Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene: Para (4, 3): Para (6, 2): Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a

y b. Para resolverlo se puede despejar b2 de las dos ecuaciones e igualar los valores para determinar el valor de a2:

12

2

2

2

=+by

ax

1342

2

2

2

=+ba 2 2

16 9 1..................... (1)a b+ =

1262

2

2

2

=+ba 2 2

36 4 1..................... (2)a b+ =

Cont….ejemplo 4.

De (1): De (2):

191622 =+ba

2222 916 baab =+

( ) 222 916 aab −=−

2 22

2 2

9 9 ... (3)16 16a aba a

= − =− −

143622 =+ba

2222 436 baab =+

( ) 222 436 aab −=−

2 22

2 2

4 4 ... (4)36 36a aba a

= − =− −

Cont….ejemplo 4.

Igualando (3) y (4): Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4): La ecuación de la elipse es: Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c.

364

169

2

2

2

2

−=

− aa

aa ( ) ( )2 29 36 4 16a a− = −

2 29 324 4 64a a a a− = − 02605 2 =−a 5252602 ==a

( )3652524

3642

22

−=

−=aab 13

162082 ==b

11352

22

=+yx

222 cab −=22 bac −= 391352 =−=c

Cont….ejemplo 4. Los elementos de la elipse son:

Centro: C(0, 0)

Eje focal: Eje x

Vértices: V( , 0) y V’( , 0)

Focos: F( , 0), F’( , 0)

Distancia focal:

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje menor:

Longitud de cada lado recto:

Excentricidad:

52 52−

39 39−

2c =2 392a = 2 52

2b = 2 1322ba

= 21

5226

=

aba

ace

22 −== 39

52=

Cont….ejemplo 4. GRÁFICA

V'(- 52 , 0) V( 52 , 0)

( 39,0)FF'( 39 ,0)−

5. Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(–2, 4) y sus focos los puntos F(5, 4) y F’(–1, 4), encontrar su ecuación, elementos y gráfica.

Como los vértices y los focos tienen la misma ordenada, la elipse tiene su eje mayor paralelo al eje x, de manera que la fórmula a utilizar es:

El centro de la elipse está en el punto medio de los

vértices (y de los focos) por lo tanto sus coordenadas son

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx

1 2

2x xx +

= = ( ) 2226=

−+

Cont…..ejemplo 5

• La distancia del centro a cualquiera de los vértices es el valor de a, de modo que:

• Y c es la distancia del centro a cualquiera de los focos:

• Para determinar la ecuación es necesario conocer el valor de b:

1 2

2y yy +

= = 4244=

+

426 =−=a

325 =−=c

222 cab −= 79162 =−=b 7=b

Para

x = 0

y1 = 6.3 y2 = – 1.7

(0, 6.3)

(0, –1.7)

Para

x = 4

y1 = 6.3 y2 = – 1.7

(4, 6.3)

(4, –1.7)

Para

x = 2

y1 = 6.65 y2 = 1.35

(2, 6.65)

(2, 1.35)

( ) ( )2 20 2 41

16 7y− −

+ =( )

411

74 2

−=−y 3

4=

4211682 =+− yy

043324 2 =+− yy 2218±

=y

( ) ( )2 24 2 41

16 7y− −

+ =( ) 174

164 2

=−

+y

( ) ( )2 22 2 41

16 7y− −

+ =( )240 1

16 7y −

+ =

( )241

7y −

=2 8 16 7y y− + = 4 7y = ±

Cont…ejemplo 5. GRÁFICA

6. Para la elipse cuyos vértices son los puntos (–3, 7) y (–3, –1) y la longitud de cada lado recto es 2 encontrar la ecuación, sus

elementos y su gráfica

Como los vértices tienen la misma abscisa la elipse es vertical ya que el eje mayor, y el focal, son paralelos al eje y. La ecuación que le corresponde es:

El centro es el punto medio del eje mayor Su abscisa es la misma de los vértices y su

ordenada es

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

aky

bhx

'VV

1 2

2y yy +

= =( ) 3217=

−+ C(-3, 3)→

Cont…..ejemplo 6.

La longitud de su eje mayor es la distancia entre sus vértices:

Como la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2, se tiene:

y la longitud de su eje menor es 2b = 4 La ecuación de esta elipse es: Para determinar las coordenadas de los focos se

calcula el valor de c a partir de la expresión:

a = 4→( ) 8172 =−−=a

22 = 2ba

( )422 2 =b 4282 ==b 2=b

( ) ( ) 1163

43 22

=−

++ yx

222 cba +=

Cont….ejemplo 6.

• Por lo tanto, los focos son los puntos:

•  su excentricidad es:

222 bac −= 124162 =−=c 3212 ==c

( )3, 3 2 3F − + ( )' 3, 3 2 3F − −

23

432===

ace

Cont…ejemplo 6. GRÁFICA

7. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2), uno de los focos es (6, 2) y pasa por el punto (4, 6),

Como el centro y el foco tienen la misma ordenada, el eje focal y el eje mayor son paralelos al eje x. Por tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es:

Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2): Hay que determinar a2 y b2.

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx

( ) ( ) 1212

2

2

2

=−

+−

by

ax

Cont….ejemplo 7.

Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface su ecuación:

Para obtener una ecuación con una sola incógnita,

se hace la sustitución

( ) ( ) 126142

2

2

2

=−

+−

ba1169

22 =+ba

2 2 2b a c= −

Cont…ejemplo 7.

Para determinar su gráfica se localizan los vértices, los focos y el centro, y se sabe que su eje mayor mide 2a = 2(4) = 8 y su eje menor,

de manera que los puntos de intersección de la elipse con su eje menor son

Cada uno de sus lados rectos mide: Otros puntos de la elipse, con valores aproximados

de la ordenada, son:

2b = 2 7

( )2, 4 2 7B + ( )' 2, 4 2 7B −

22ba

= 5.3414

=

8) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9. Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0). • La distancia c es:

• El lado recto es:

330 =−=c2 2 2b a c= −

922 −= ab

,

92 2

==abLR

• Sustituyendo:

• El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.

( ) 992 2

=−

aa

01892 2 =−− aa ( ) ( ) ( )( )( )22

182499 2 −−−±−−=a

4159

4144819 ±

=+±

=a 6424

1 ==a

23

46

2 −=−=a

• La ecuación de la elipse es:

922 −= ab

279362 =−=b

13627

22

=+yx

9) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad. • El eje focal es paralelo al eje y. • El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.  La distancia entre los focos es: k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)   2b = 8 b = 4

8 2 32

c −= =

222 cba += 259162 =+=a

• Ecuación de la elipse:

• Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)

• Excentricidad:

( ) ( ) 1255

163 22

=−

+− yx

cea

= =53

10) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el resultado. • Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):

• Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:

1d = ( ) ( )22 04 −+− yx

2d =2116

+

−x

El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a

1 212

d d= ( )2 24x y− + = ( )1 162x −

( ) ( )2 22 14 164

x y x− + = −

( )2563241168 222 +−=++− xxyxx

21 8 644x x= − +

2 23 484x y+ =

( )

2 23 14 48 48x y

+ = 14864

22

=+yx

482

11) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales. Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la

elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación es del tipo , con el

semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45.

Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

12

2

2

2

=+by

ax

• La ecuación es: 1

20255625

22

=+yx

Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:

Puesto que y es una longitud (la altura de los

postes), se toma sólo la raíz positiva.

( )2 2251

5625 2025y±

+ = 120255625

625 2

=+y

120259

1 2

=+y

98

2025

2

=y

18009

162002 ==y 230=y