la enseÑanza de la proporcionalidad, mÁs allÁ de la …

LA ENSEÑANZA DE LA PROPORCIONALIDAD, MÁS ALLÁ DE LA REGLA DE

TRES

Wilson Fabián Cortés Barajas

John Jairo Cruz Beltrán

Dirigido por:

Dr. Luis Ángel Bohórquez Arenas

Informe de tesis

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de educación

Maestría en Educación

Julio de 2018

AGRADECIMIENTOS

Es para nosotros una gran satisfacción y orgullo dar por terminado este proyecto de

investigación, por lo que deseamos agradecer a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas

por las valiosas enseñanzas y acompañamiento en este proceso de formación, así como también a

nuestro director el Dr. Luis Ángel Bohórquez Arenas y su gran paciencia y dedicación con

nosotros.

Deseamos agradecer a nuestras familias por el apoyo anímico en el cumplimiento de esta

meta, aunque nos aislamos en grandes espacios de tiempo, siempre nos motivaron y alentaron en

esos momentos en que creímos que no culminaríamos. Gracias a nuestros padres, esposas, hijos

y demás familiares que nos tuvieron su paciencia.

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

1. Resumen ejecutivo……………………………………………………………………………...6

2. Planteamiento de la temática o del problema de investigación………………………………...8

3. Objetivos....................................................................................................................................11

4. Antecedentes y referentes..........................................................................................................13

5. Metodología…………………………………………………………………………………...19

6. Recolección y análisis de datos..................................................................................................24

6.1 Análisis de los resultados de la prueba de entrada...................................................................24

6.1.1 Ejercicios 1, 2, 3 y 6..............................................................................................................24

6.1.2 Ejercicios 4 y 5......................................................................................................................29

6.1.3 Ejercicio 7.............................................................................................................................32

6.1.4 Ejercicios 8, 9 y 10................................................................................................................34

6.1.5 Ejercicio 11...........................................................................................................................38

6.1.6 Ejercicio 12...........................................................................................................................40

6.1.7 Ejercicio 13...........................................................................................................................42

6.2 Análisis de la secuencia didáctica............................................................................................45

6.2.1 Actividad 1............................................................................................................................45

6.2.2 Actividad 1-A........................................................................................................................52

6.2.3 Actividad 2............................................................................................................................56

6.2.4 Actividad 3............................................................................................................................63

6.2.5 Actividad 4...........................................................................................................................65

6.2.6 Actividades 5 y 6.................................................................................................................69

6.3 Análisis de los resultados de la prueba de salida....................................................................76

7. Conclusiones............................................................................................................................. 81

7.1 Principales resultados de la investigación………………………………………………….. 81

7.2 Recomendaciones y reflexión final………………………………………………………… 82

Anexos.......................................................................................................................................... 85

Referencias bibliográficas............................................................................................................103

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1...........................................................................................................................................23

Tabla 2...........................................................................................................................................24

Tabla 3...........................................................................................................................................29

Tabla 4...........................................................................................................................................29

Tabla 5...........................................................................................................................................31

Tabla 6...........................................................................................................................................32

Tabla 7...........................................................................................................................................33

Tabla 8...........................................................................................................................................35

Tabla 9...........................................................................................................................................38

Tabla 10.........................................................................................................................................38

Tabla 11.........................................................................................................................................39

Tabla 12.........................................................................................................................................40

Tabla 13.........................................................................................................................................41

Tabla 14.........................................................................................................................................42

Tabla 15.........................................................................................................................................44

Tabla 16.........................................................................................................................................46

Tabla 17.........................................................................................................................................74

Tabla 18.........................................................................................................................................75

Tabla 19.........................................................................................................................................75

Tabla 20.........................................................................................................................................75

Tabla 21.........................................................................................................................................76

Tabla 22.........................................................................................................................................76

Tabla 23.........................................................................................................................................76

Tabla 24.........................................................................................................................................77

Tabla 25.........................................................................................................................................79

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1..........................................................................................................................................25

Figura 2..........................................................................................................................................25

Figura 3..........................................................................................................................................26

Figura 4..........................................................................................................................................26

Figura 5..........................................................................................................................................26

Figura 6..........................................................................................................................................27

Figura 7..........................................................................................................................................27

Figura 8..........................................................................................................................................28

Figura 9..........................................................................................................................................28

Figura 10........................................................................................................................................30

Figura 11........................................................................................................................................30

Figura 12........................................................................................................................................30

Figura 13........................................................................................................................................31

Figura 14........................................................................................................................................32

Figura 15........................................................................................................................................33

Figura 16........................................................................................................................................33

Figura 17........................................................................................................................................35

Figura 18........................................................................................................................................35

Figura 19........................................................................................................................................35

Figura 20........................................................................................................................................36

Figura 21........................................................................................................................................36

Figura 22........................................................................................................................................36

Figura 23........................................................................................................................................37

Figura 24........................................................................................................................................37

Figura 25........................................................................................................................................39

Figura 26........................................................................................................................................39

Figura 27........................................................................................................................................40

Figura 28........................................................................................................................................40

Figura 29........................................................................................................................................41

Figura 30........................................................................................................................................41

Figura 31........................................................................................................................................42

Figura 32........................................................................................................................................43

Figura 33........................................................................................................................................45

Figura 34........................................................................................................................................47

Figura 35........................................................................................................................................47

Figura 36........................................................................................................................................48

Figura 37........................................................................................................................................48

Figura 38........................................................................................................................................49

Figura 39........................................................................................................................................49

Figura 40........................................................................................................................................54

Figura 41........................................................................................................................................58

Figura 42........................................................................................................................................64

Figura 43........................................................................................................................................68

Figura 44........................................................................................................................................71

Figura 45........................................................................................................................................73

6

1. RESUMEN EJECUTIVO

El aprendizaje de la proporcionalidad está enmarcado en el sistema educativo colombiano ya

que se encuentra en los planes de estudio, tanto en la educación básica como en la media, lo cual

puede ser referenciado en los Estándares (MEN, 2003) y los Derechos Básicos de Aprendizaje

(DBA) (MEN, 2016). Así mismo, la relación de proporcionalidad es de gran uso o aplicabilidad

para las personas en diferentes contextos sociales, como son: la utilización de porcentajes en el

contexto comercial, aspectos sociales de densidad de población, lecturas de mapas, situaciones

de concentraciones en la preparación de alimentos, entre muchas otras. De ese modo, surgió la

pregunta: ¿qué impacto tiene la implementación de una secuencia de actividades que acude a la

resolución de problemas y al GeoGebra en la comprensión del concepto de proporcionalidad de

los estudiantes de grado séptimo?

La propuesta se orientó en una intervención en el aula de un grado séptimo de un colegio

distrital de Bogotá, a través de una secuencia didáctica basada en una serie de problemas y la

utilización de un software de geometría dinámica, en nuestro caso el GeoGebra, con lo que se

pretendió desarrollar algunas habilidades y destrezas en los estudiantes con respecto al

aprendizaje de la proporcionalidad, sin acudir, como suele ser, al uso indiscriminado del

algoritmo de la regla de tres. (Godino & Batanero 2002). Utilizamos la metodología

Investigación-acción como eje central, la cual fue de tipo cualitativo con algunos elementos

cuantitativos, con carácter descriptivo e interpretativo. La finalidad de la educación basada en

esta metodología es mejorar la práctica, al tiempo que se mejora la comprensión en los que se

realiza. (Carr y Kemmis, 1988).

Como nuestro estudio estaba basado en la comprensión, se buscó desarrollar esta habilidad

fundamentándola y fortaleciéndola en el pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que el

estudiante sabe y cuyo reconocimiento se da por medio del desempeño que se ejerce entre

7

aprendizaje y enseñanza (Stone 1999), entendiendo los desempeños de comprensión como la

capacidad de actuar flexiblemente con saber.

Por otro lado, la innovación tuvo en cuenta la adecuación de la tesis doctoral

Proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor

Oller, A. (2012), de la cual se tomaron actividades relacionadas con la proporcionalidad directa y

que estaban encaminadas a la comparación e identificación de razones, proporciones y

condiciones de regularidad.

Realizamos un análisis cualitativo de las respuestas de las pruebas aplicadas al inicio y al final

de la intervención. Así mismo, asignamos un valor numérico jerárquico a la categorización

(unidades de análisis) de las respuestas dadas, que al final nos permitió realizar el análisis

cuantitativo con ayuda de la prueba T-Student. La secuencia de actividades presentaba una

estructura que se inicia con una introducción, seguida de los objetivos, una descripción y por

último un análisis cualitativo de los resultados obtenidos en cada actividad.

Los resultados de la investigación muestran que los estudiantes del curso avanzaron en la

comprensión de aspectos referentes a la comparación e identificación de razones, teniendo como

base situaciones problema, para lo cual la secuencia fue una acertada guía del impacto causado

en el aprendizaje. Los resultados obtenidos en las conversaciones, las entrevistas y el material

escrito sobre el impacto del sofware en la comprensión de aspectos relacionados con la

proporcionalidad, mostraron que, desde la manipulación de la secuencia, sus variables, entre

otros aspectos, apuntaron a una correcta interpretación y comparación de razones. El manejo de

la proporcionalidad aplicado a porcentajes no mostró ningún avance significativo en la

propuesta.

8

2. PLANTEAMIENTO DE LA TEMÁTICA O DEL PROBLEMA DE

INVESTIGACIÓN

Investigaciones indican que adolescentes y adultos tienen grandes dificultades en resolver

problemas que exigen el razonamiento proporcional (Hart, 1981; Vergnaud, 1983; Behr, 1987),

estas dificultades se deben, en buena medida, al bajo grado de comprensión por parte de los

estudiantes, de los conceptos implicados en este tópico matemático (magnitud, medida, razón,

proporción fracción, fracciones equivalentes, división, multiplicación, etc.) (Heller, Ahlgren,

Post, Behr y Lesh, 1989), y a la falta de destreza para aplicar correctamente las técnicas más

frecuentes de la regla de tres (Cramer & Post, 1993). También el manejo que se hace en los

textos escolares y el manejo direccionado de los profesores en el aprendizaje; pues éstos

presentan propuestas difusas y exiguas relaciones en la manera en que se aborda la

proporcionalidad (Guacaneme, 2002). Un factor determinante puede ser el paso que hace el

estudiante de los algoritmos matemáticos a la solución de situaciones problema, en este pasaje se

evidencia, en muchos casos, que el estudiante no maneja ese lenguaje, esa interpretación de

determinada situación, o simplemente no identifica las operaciones a realizar (Obando et al.,

2014). Todo esto se evidencia de manera justificada en pruebas internas y externas, como son las

pruebas Pisa, Icfes Saber 11, entre otras, que corroboran las dificultades anteriormente

anunciadas del manejo de la proporcionalidad.

Otros estudios manifiestan que la enseñanza basada en destrezas y técnicas aplicadas sin

ningún criterio en la proporcionalidad, conduce a resultados no tan efectivos como se desearía en

la comprensión o el razonamiento en los estudiantes, como lo evidencian teóricos que han

identificado dificultades en manejo de la transición de lo aditivo a lo multiplicativo (Fernández

& Llinares, 2005), el uso indiscriminado de la regla de tres (Godino & Batanero 2002) y la falta

9

de un contexto, el cual es visto por el MEN (1998, p.35) como «algo que tiene que ver con los

ambientes que rodean al estudiante y que le dan sentido a las matemáticas que aprende».

Es importante tener en cuenta las implicaciones en la manera de enseñar la proporcionalidad

respecto a la construcción del significado del concepto «razón», y su desarrollo del pensamiento

multiplicativo (Steffe, 1994). Asimismo, la forma en que se enseña la proporcionalidad a los

estudiantes a lo largo de básica y la media, que aunque dan respuestas de manera correcta en los

problemas proporcionales, es de manera incorrecta en los problemas aditivos. Las respuestas

aditivas correctas usadas en los problemas aditivos, disminuyen en secundaria, por lo que se

plantea la necesidad de centrar la atención en la enseñanza sobre el análisis de las relaciones

entre las cantidades de las situaciones como un objetivo explícito (Fernández & Llinares, 2012).

Existen estrategias que permiten trabajar las diferentes dificultades en el aprendizaje de la

proporcionalidad; el manejo de tablas de números proporcionales y no proporcionales, en

contextos reales, permite ayudar a los estudiantes a identificar las relaciones entre los números

(Lamon 1999; Singer, Kohn & Renick, 1997). Como también la necesidad de usar diferentes

tipos de razones (enteras y no enteras) al introducir la idea de «razón» como un índice

comparativo y la utilización de diferentes tipos de problemas en contextos aritméticos y

geométricos en donde se muestren relaciones proporcionales y no proporcionales, con las cuales

el estudiante desarrolle la capacidad de diferenciarlos por medio de actividades de clasificación,

sin necesidad de resolverlos (Fernández & Llinares, 2012).

Dadas estas problemáticas de las razones, proporción y proporcionalidad, se busca incluir

herramientas tecnológicas que ofrezcan la oportunidad de crear ambientes de aprendizaje

enriquecidos, para que los estudiantes perciban las matemáticas de una manera más vivencial y

acorde con su cotidianidad. Estas nuevas tecnologías de la información y comunicación (TIC),

ofrecen la capacidad de interacción entre los estudiantes, donde no solo elaboran mensajes, sino

10

que además pueden decidir la secuencia de información a seguir, establecer el ritmo, cantidad y

profundización de la información que desean (López, 2003). Los softwares como GeoGebra,

Cabri o CarMetal, son instrumentos informáticos que facilitan establecer propiedades,

interpretaciones, relaciones, que apuntan a favorecer el aspecto geométrico de la

proporcionalidad. Las regletas de Cuisenaire y el propio Tangram son materiales didácticos que

permiten realizar comparaciones de medidas de razones y por consiguiente fortalecer el

pensamiento lógico de los estudiantes.

Es por estas razones que se ve la necesidad de diseñar nuevas propuestas encaminadas a

reconstruir procesos de enseñanza y aprendizaje acerca de la razón, la proporción y la

proporcionalidad, y considerar como uno de los objetivos fundamentales de este trabajo:

investigar las dificultades de comprensión del concepto, el método con el cual se enseña y con

base en ellas, realizar una propuesta de actividades que ayude a superar dichas dificultades.

La propuesta va a estar mediada por software de geometría dinámica, así como también por

instrumentos de diseños de problemas (que ya estén construidos o que con el quehacer de la

investigación se vea la necesidad de rediseñar de acuerdo al contexto donde se vaya a aplicar la

secuencia), regletas, entre otros, que posibiliten el trabajo frente a las representaciones de la

proporcionalidad desde un entorno gráfico, simbólico y numérico, y que a partir de una

secuencia de actividades, permitan representaciones más precisas, ya sea desde lo cualitativo

para realizar el paso a lo cuantitativo, en donde se ayuda a la visualización, identificación e

interpretación del concepto. Para dar solución a esta propuesta y realizar un favorecimiento de la

enseñanza y por consiguiente del aprendizaje en los estudiantes del concepto de

proporcionalidad, se generó la siguiente pregunta orientadora:

11

¿Qué impacto tiene la implementación de una secuencia de actividades que acude a la

resolución de problemas y al GeoGebra en la comprensión del concepto de proporcionalidad de

los estudiantes de grado séptimo?

3. OBJETIVOS

3.1 GENERAL:

Implementar en un aula de clase de grado séptimo una propuesta didáctica que favorezca la

comprensión del concepto de proporcionalidad mediante una secuencia de actividades.

3.2 ESPECÍFICOS:

Promover el razonamiento proporcional en los estudiantes y desarrollarlo, utilizando

operaciones contextualizadas sin acudir a la regla de tres.

Gestionar la secuencia didáctica a través de la resolución de problemas y la mediación del

software educativo Geogebra, para determinar los avances de los estudiantes en relación

con la comprensión de la proporcionalidad.

12

4. ANTECEDENTES Y/O REFERENTES

En la labor docente, la enseñanza que se realiza de la proporcionalidad se ha caracterizado por

la adquisición de una serie de habilidades y metodologías que permiten resolver problemas, en la

mayoría de los casos direccionada por los textos escolares, y finalizando con la infaltable regla

de tres. Pero, estas técnicas de enseñanza en este caso particular, han demostrado una eficacia

parcial y en muchos casos ninguna, en el aprendizaje, ya que a los estudiantes se les satura

mecánicamente de algoritmos, iniciando por la definición de razón, pasando rápidamente a las

proporciones y terminando con una larga ejercitación del algoritmo de la regla de tres. La

mayoría de estas en situaciones de problemas aislados de su contexto y evidenciando

dificultades en interpretar cuando existe proporcionalidad entre dos magnitudes o relacionando el

algoritmo con unas «flechas», sin el sentido real de lo que se está realizando.

Una buena cantidad de trabajos en educación matemática se han dedicado al estudio de la

proporcionalidad desde el punto de vista didáctico. Entre otras razones, por considerarse un

concepto de gran importancia dentro de los planes de estudio, sin embargo, aún se sigue teniendo

un tratamiento deficiente de este concepto, lo que impide su comprensión y el desarrollo del

pensamiento matemático necesario para otras disciplinas, como lo son el álgebra, la geometría, la

biología, la física y la química.

Estas investigaciones muestran que la conceptualización que logran los estudiantes es muy

baja en la mayoría de los casos y que además es bastante lenta, incluso, se dice que hay

evidencias de que un número alto de estudiantes nunca la logra. Dentro de las causas encontradas

13

está la ya mencionada exagerada manipulación de símbolos y fórmulas que se dan en la

educación básica (Behr et al., 2014).

Desde una mirada epistemológica del concepto de proporcionalidad, en los Elementos de

Euclides (edición 2007), el concepto de razón no está definido, en el libro VII este término

apenas aparece, mientras que en el libro V todo lo que se menciona es que «una razón es

determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas» (V, Def. 3)

y que «guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra»

(V, Def. 4). Lo que parece quedar claro a partir de estas dos definiciones, es que la razón no es,

en modo alguno, un número. Este carácter no numérico de las razones en los Elementos está

reforzado por el hecho de que no se haga ningún intento por definir sistemáticamente

operaciones entre razones; además, nunca se habla de igualdad de razones, sino de «guardar la

misma razón» (V, Def. 5) o de «guardar una razón mayor». (V, Def. 7).

Es importante tener en cuenta que el libro V se centra en las magnitudes que, aunque no sean

iguales, mantienen cierta relación. Por esto, se enunciarán a continuación las primeras cinco

definiciones: Definición 1: una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor,

cuando mide a la mayor. Definición 2: y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por

la menor. Definición 3: una razón es determinada relación respecto a su tamaño entre dos

magnitudes homogéneas. Definición 4: se dice que las magnitudes guardan razón entre sí,

cuando, al multiplicarse, puedan exceder la una a la otra. Definición 5: se dice que una primera

magnitud guarda la misma razón con una segunda, que una tercera con una cuarta, cuando

cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o

resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta,

respectivamente y tomados en el orden correspondiente.

14

Teniendo en cuenta esta mirada desde Euclides en el libro Descartes y la ciencia del siglo

XVII, en el capítulo Descartes lector de Euclides (Álvarez & Martínez, 2000), Descartes

descubre un tratado que establece el fundamento de la tradicional división de las dos disciplinas

clásicas de la matemática: aritmética y geometría, y encuentra la clave que permitirá tratarlas

bajo una misma visión de integración, pese a su naturaleza distinta. Desde la proporcionalidad, la

lectura que hace Descartes de Euclides establece que

«Dados dos segmentos a y b, de la introducción de un segmento o tomado a voluntad y considerado

como “unidad”. El producto c de la multiplicación de a y b será el segmento encontrado a partir del

teorema de Tales, o bien de la proposición VI-12 de Euclides, que permite encontrar, dadas tres líneas

rectas, la cuarta (línea recta) proporcional». (Álvarez & Martínez, 2000, p.128)

El proyecto Edumat-Maestros , cuyo director es Godino (2002), elabora un texto que permite

analizar las implicaciones que tiene la enseñanza de la proporcionalidad en la educación básica y

enfatiza en la necesidad de presentar de manera muy clara los conceptos ligados a la

proporcionalidad como lo son: razón, proporción y magnitudes proporcionales; este énfasis va

muy de la mano con la teoría de los campos conceptuales de (Vergnaud, 1991), quien argumenta

que ningún concepto se construye solitario, sino por el contrario, ligado a una red de otros

conceptos que le aportan sentido, en el caso particular del campo conceptual de las estructuras

multiplicativas que encierran todas aquellas situaciones y problemas, cuyo estudio las identifica

como proporciones simples o compuestas, y que por lo tanto, para ser abordados, requieren de la

multiplicación, la división o de ambas operaciones. En el texto, además se hace una crítica

importante a la regla de tres reconociendo que da cierta ventaja algorítmica, pero que dificulta

comprender en muchos casos la naturaleza de los problemas que se pretenden solucionar.

Desde el punto de vista de la transición del pensamiento aditivo al multiplicativo, y a partir de

resultados de estudios realizados en los que se evidencian las dificultades de los estudiantes para

15

discriminar situaciones con estructura aditiva de las situaciones proporcionales, las

investigaciones elaboradas por Fernández y Llinares (2012), de la estructura aditiva a la

multiplicativa: efecto de dos variables en el desarrollo del razonamiento proporcional, realizadas

con 197 estudiantes, plantearon problemas proporcionales, aditivos y distractores, y concluyeron

dar especial relevancia entre estas dos situaciones porque la noción de razón en las situaciones

proporcionales no proviene de la estructura aditiva. Es también importante tener en cuenta que

en la conceptualización de la razón como unidad se debe considerar que las relaciones

multiplicativas enteras y no enteras desempeñan varios papeles en la forma del manejo de los

estudiantes de la covariación de las cantidades en las situaciones proporcionales.

Teniendo en cuenta todo lo que implica la proporcionalidad directa y su tratamiento, es

importante tomar en cuenta que para desarrollarla debemos tener un buen razonamiento lógico-

matemático y basándonos en el documento, Estándares básicos de competencias, el cual enuncia

que es conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos

espaciales, métricos y geométricos, el razonamiento numérico y, en particular, el razonamiento

proporcional apoyado en el uso de gráficas (MEN, 2003, p.54), realizaremos algunos aportes

referentes a este tipo razonamiento. Lamon (2005) propone que el desarrollo del razonamiento

proporcional se debe entender como la habilidad de establecer relaciones multiplicativas entre

dos cantidades y de extender dicha relación a otro par de cantidades es un objetivo en el

currículo de Educación Primaria y Secundaria.

Otras investigaciones muestran que estudiantes que eran capaces de identificar las relaciones

multiplicativas entre dos cantidades y extenderlas a otro par de cantidades en problemas

proporcionales, también empleaban relaciones multiplicativas en problemas donde no eran

aplicables (FERNÁNDEZ et al., 2011; MODESTOU; GAGATSIS, 2010), lo cual que el

estudiante tendría que tener la habilidad de diferenciar situaciones proporcionales de las que no

16

lo son. Asi mismo, el desarrollo del razonamiento proporcional conlleva varios procesos

cognitivos interrelacionados, que van desde el pensamiento cualitativo hasta el razonamiento

multiplicativo (BEHR et al., 1992; KAPUT; MAXWELL, 1994) pasando por tres etapas. La

primera pertenece al uso de correspondencias cualitativas, la segunda corresponde a las

compensaciones aditivas o al uso de la razón como el doble y en la tercera se pueden establecer

relaciones multiplicativas entre dos cantidades y extender dichas relaciones a otro par de

cantidades.

Por otra parte, nuestra investigación está apoyada en «resolución de problemas», que, según

este énfasis, como método integral para la enseñanza de la matemática, se apoya en la

concepción que Ernest (1988, p.97) sintetiza así: «[…] hay una visión de la matemática

(conducida por la resolución de problemas) como un campo de la creación y la invención

humana en continua expansión, en el cual los patrones son generados y luego convertidos en

conocimiento». Es básico en el trabajo realizado que se generen inquietudes en los estudiantes

sobre el concepto a ocuparse, por lo que en palabras de Bosch y Gascon (2004):

Solo interesan los problemas fecundos que están llamados a reproducirse y desarrollarse para

formar tipos de problemas cada vez más amplios y complejos, tipos de problemas cuyo estudio

provocará nuevas necesidades tecnológicas que, a su vez permitirán construir y justificar técnicas

«nuevas» capaces de resolver nuevos tipos de problemas y hasta problemas formulados en el nivel

tecnológico respecto de la organización matemática inicial. (Bosh & Gascon, 2004, p.205-206).

Es importante tener en cuenta para nuestro estudio el libro de la Fenomenología didáctica

de las estructuras matemáticas, Freudenthal (1983), en el cual en este texto, defiende el poner

por delante la fenomenología, o sea, las situaciones problemas que inducen a la acción

matemática, al desarrollo de maneras de actuar, que en una fase posterior se regularán

mediante el discurso teórico correspondiente. Es importante tener en cuenta que sus

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propuestas de acción didáctica se centran en poner al estudiante ante las situaciones-

problemas (fenómenos), con lo cual se comenzará a constituir objetos mentales, es decir, una

estructura cognitiva personal que posteriormente podrá ser enriquecida con la visión

discursiva cultural y aplicada a una ciencia o disciplina cualquiera.

También se va a tener en cuenta el apoyo de nuevas tecnologías en el aula, en concordancia

con el mundo actual de los estudiantes que se encuentran en su cotidianidad con estas, y que

permiten el apoyo en programas de Geometría Dinámica, que posibilitan llegar de una manera

más fácil a su ambiente escolar. Su principal ventaja consiste en que las figuras dejan de ser

estáticas: del papel saltan a la pantalla del computador y estas animaciones les permitirán

observarlas desde distintos puntos de vista e incluso interactuar con ellas al modificar ciertas

condiciones en el diseño, y analizar qué es lo que ocurre de una manera más vivencial.

Algunos proyectos como Descartes tienen como principal finalidad promover nuevas formas

de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas integrando las TIC en el aula como herramienta

didáctica. Este aparece en el año 1998 con la intención de romper esa tendencia tradicional

aprovechando las circunstancias que se dan en este nuevo siglo, tanto desde el punto de vista

económico y tecnológico, como es el abaratamiento de los equipos, la aparición de las líneas de

alta velocidad para la transmisión de datos, la utilización generalizada de Internet a bajo costo,

etcétera; en el marco de lo social, la utilización generalizada del ordenador y de Internet en la

sociedad y, en particular, el interés de muchos profesores de matemáticas por las TIC.

También se sabe que los maestros experimentan serias dificultades para integrar el software

educativo (especialmente el de geometría dinámica) en la enseñanza, a pesar de su gran potencial

didáctico (Acosta, 2005), la geometría experimental se propone como una práctica de referencia

de la GD (Geometría Dinámica).

18

El profesor Jonathan Borwein (Citado por Acosta, 2005) habla de la necesidad de reconocer la

utilización de computadoras en la investigación matemática como una práctica legítima, para lo

cual propone definir las matemáticas experimentales como aquellas que utilizan la computadora

para generar datos y poner a prueba sus conjeturas. En este enfoque, se hace énfasis en los

procesos de construcción del conocimiento más que en su formalización y se reconocen las

ventajas de la formalización del conocimiento, pero no se considera dicha formalización como

condición indispensable para la investigación. Reconociendo así la legitimidad del conocimiento

validado por la experiencia, en espera de una posible formalización. Esto, en síntesis, resume lo

que se quiere al implementar la secuencia didáctica, pues se espera reconocer destrezas,

habilidades y cómo construyen los estudiantes el conocimiento, más que centrarse en la

formalización, aunque luego en plenarias se trate de conectar el conocimiento de ellos con el

«saber sabio» (institucionalización).

Por otra parte, García (2011) dice que la formación, experiencia y actitud positiva,

constituyen tres factores estrechamente relacionados, que van a influir decisivamente en la

incorporación de las TIC en la educación escolar. Cuando los docentes conocen cómo enseñar

con las TIC y viven experiencias positivas, en las que comprueban que los alumnos aprenden, e

incluso que están más motivados, su valoración de este modo de enseñar se hace más positiva, lo

cual, a su vez, les anima a seguir formándose. Del mismo modo, las actitudes de los profesores

dependen de su habilidad en el manejo del ordenador y de sus ideas sobre el valor de las TIC en

la enseñanza y aprendizaje.

Otros autores como Arias, Maza y Sáenz (2005), sostienen que la integración de las TIC en el

aula de matemáticas no solo mejoraría, en relación con la metodología tradicional de enseñanza,

el aprendizaje de matemáticas por parte de los alumnos, sino que sería evaluada por los ellos y

19

por los profesores como una metodología eficaz y satisfactoria, y constituiría una mejora

sistemática independientemente del nivel educativo del alumno.

Es importante para nuestro estudio determinar unas ideas básicas sobre la enseñanza para la

comprensión, dentro de las cuales se pueden enunciar que comprender es la habilidad para

pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que uno sabe, y se es reconocida por medio del

desempeño que se ejerce entre aprendizaje y enseñanza (Stone 1999). Entendiendo a los

desempeños de comprensión como la capacidad de actuar flexiblemente con saber. Actuar

flexiblemente significa la posibilidad de resolver situaciones nuevas, crear productos, reorganizar

nuevas informaciones con saber. Significa un conocimiento disponible y fértil (Pogré 2012).

La comprensión es reconocida no solo mediante un desempeño flexible, sino que podemos

afirmar que es el desempeño flexible. Relacionar, operar, describir, comparar, diferenciar,

adecuar, relatar, diagramar, analizar, decidir, representar, secuenciar, organizar, etc., son

desempeños que si bien permiten reconocer la comprensión, se puede afirmar que son la

comprensión misma. En este sentido es importante discriminar que los desempeños en términos

de acción no implican sólo y necesariamente “acciones observables a simple vista”. Procesos

mentales complejos como conjeturar, discernir, el pensar mismo, son desempeños (Pogré 2012).

5. METODOLOGÍA

Para responder a la pregunta orientadora: ¿Qué impacto tiene la implementación de una

secuencia de actividades que acude a la resolución de problemas y al GeoGebra en la

comprensión del concepto de proporcionalidad de los estudiantes de grado séptimo?, la

metodología Investigación-Acción como eje central fue de tipo cualitativa con algunos

elementos cuantitativos, con carácter descriptivo e interpretativo. Con ello se dio un

acercamiento a lo planteado en los objetivos de la propuesta.

20

Este trabajo está direccionado a ser un modelo que sigue líneas de investigación como las

realizadas por Castro (1994), Romero (1995), Gairín (1999) y Escolano (2007), que han sido

concebidas dentro de la metodología denominada Investigación-Acción y fundamentalmente este

método de investigación es reflexionar sobre la práctica en general , con la intención

fundamental de mejorar la calidad de dicha práctica educativa (McNiff, 1992) a través de una

indagación introspectiva colectiva (Kemmis y McTaggart, 1988). De este modo, el campo de

actuación de esta metodología se limita a entornos reducidos que permitan la introducción de

modificaciones y el análisis de las consecuencias de dichas modificaciones por un pequeño

grupo de investigadores. Esta perspectiva permitió comprender aspectos de la realidad existente

e identificar fortalezas y debilidades propias del estudiante y su contexto, y describió la forma en

que el estudiante comprendió el concepto de proporcionalidad. La metodología condujo a lograr

un proceso de autorreflexión tanto en el estudiante como en los investigadores. Las

características de la investigación – acción se resumen en cuatro etapas básicas que son:

observación, planificación, acción y reflexión. Estas etapas constituyen un proceso continuo en

espiral donde se van dando los momentos de problematización, diagnóstico, diseño de una

propuesta de cambio, aplicación de la propuesta y evaluación, para luego reiniciar de nuevo.

Instrumentos de recolección de datos

Las pruebas y actividades se tomaron de la tesis doctoral Proporcionalidad aritmética: una

propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller, Antonio (2012),

desarrollada en la Universidad de Valladolid en el programa de doctorado Investigación en

Didáctica de las Ciencias Sociales, Experimentales, y de la Matemática. Con ayuda de esta se

realizó un análisis cualitativo de las respuestas dadas por los estudiantes en el instrumento

aplicado al inicio y al final de la intervención, adaptándolo del lenguaje de España al lenguaje

http://www.monografias.com/trabajos13/diseprod/diseprod.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtml

21

propio de Colombia y solo tomando las preguntas y actividades referentes a la proporcionalidad

directa, ya que dicha prueba y actividades analizaban de una manera más extensa y detallada

todos los tipos de Proporcionalidad.

También se hizo un análisis cuantitativo a esta prueba, teniendo en cuenta que se le asignó un

valor numérico a la categorización o unidades de análisis de las respuestas dadas, las cuales se

tomaron de la tesis doctoral antes mencionada. Todo este análisis estaba enfocado en la

comprensión de los aspectos conceptuales relacionados con la proporcionalidad y a la aplicación

de dichos aspectos a la hora de resolver problemas relacionados con la proporcionalidad.

La metodología para la práctica en el aula, fue observar el estado actual de los estudiantes en

el tema de la proporcionalidad y de acuerdo con el estudio teórico se plantearon las actividades

que buscaron mejorar la comprensión y posterior análisis de los resultados obtenidos.

Los instrumentos que permitieron la recolección de datos para esta investigación inician con

la prueba de entrada, la cual permitió indagar, diagnosticar y a su vez establecer los conceptos

previos de los estudiantes; fue un insumo valioso de la efectividad de la secuencia ya que al final

se aplicó nuevamente como prueba de salida, y ayudó a contrastar los beneficios de la

secuencia aplicada.

La prueba de indagación constó de 13 problemas en total y pretendió reconocer en las

respuestas de los estudiantes la comprensión que tienen sobre la proporcionalidad en aspectos de

situaciones de intercambio, búsqueda de cantidades desconocidas, repartos y porcentajes; esto

permitió construir el concepto de razón entre dos magnitudes e introducir las ideas básicas

relacionadas con el mismo. También buscó la extensión del concepto de razón a situaciones de

no intercambio, caracterizando así las magnitudes directamente proporcionales, teniendo especial

22

atención a condiciones de regularidad y por último el uso de la razón como «tanto por uno»,

donde se establece como la cantidad de una magnitud que se corresponde con una unidad de otra

magnitud, en situaciones de proporcionalidad directa. Dicho ejercicio se utilizó como prueba de

entrada y salida, y permitió determinar el impacto en la comprensión de la proporcionalidad en

los estudiantes a los cuales se les aplicó, en concordancia con la realización de la secuencia de

actividades.

La secuencia didáctica constó de siete (7) actividades (dos de ellas con el software

GeoGebra). Se realizó en clases consecutivas y su metodología fue específica para cada

actividad; su aplicación se estructuró en el planteamiento de objetivos, la organización de la

actividad (Espacios y tiempos), breve descripción (lo planteado en la guía de actividades) y el

análisis de los resultados. La recolección de datos se complementó con grabaciones de audio y

video, esto con el fin de observar circunstancias que no son expresadas de manera verbal o

escrita y es un enfoque apropiado para obtener determinados datos e información de los

estudiantes respecto al tema de investigación, así como también entrevistas semiestructuradas

que nos permitieron aclarar algunas respuestas dadas por los estudiantes, las cuales no son fáciles

de explicar para ellos en público.

En la secuencia de actividades aplicada se desarrolló un análisis cualitativo a un grupo de tres

estudiantes seleccionados aleatoriamente, de tal forma que los datos que se obtuvieron fueron

analizados de acuerdo con trabajos escritos, grabaciones de las discusiones del grupo, cuaderno

de campo y algunas entrevistas semiestructuradas, lo que permitió detallar las respuestas y la

manifestación más precisa de la comprensión de la proporcionalidad, y el impacto que generaron

en los estudiantes las distintas actividades problemas junto con el uso del GeoGebra. También se

23

realizó un análisis cuantitativo a partir de la prueba T-Student, en el que se realizó una

comparación estadística de las muestras antes y después de haberse realizado la intervención.

Descripción de los Participantes

La muestra de esta investigación se realizó en una institución educativa del distrito capital de

carácter oficial en la localidad de Engativá (10). Se seleccionó esta institución porque en ella

labora uno de los integrantes del grupo de trabajo y es el titular de los cursos de matemáticas en

grado séptimo. Por esta razón seleccionamos uno de los grupos a cargo: el curso 701 de la

jornada tarde. El grupo está compuesto por 42 estudiantes, entre los cuales se encuentran niños y

niñas en edades entre 11 y 14 años.

Para el análisis de las actividades propuestas, es necesario aclarar que las pruebas de entrada

y salida fueron afrontadas por los estudiantes de manera individual, pero la metodología del

trabajo de las sesiones o actividades de la secuencia se llevó a cabo organizando 14 grupos de

tres integrantes cada uno, teniendo en cuenta que de manera aleatoria se escogió un grupo

referente para realizarle el seguimiento especial y diferenciado en la recolección de datos, el cual

correspondió al grupo 9, denominado G9 y que de acuerdo con los talleres y las grabaciones de

video y audio, se dispuso hacer la identificación de cada uno de los tres integrantes por las

iniciales de la palabra estudiante, es decir estudiante E7, estudiante E10 y estudiante E37,

teniendo en cuenta el código de número de lista en que se encuentran en el curso.

24

6. ANÁLISIS DE DATOS POR INSTRUMENTO

De acuerdo con la adecuación de actividades para responder la pregunta orientadora: ¿Qué

impacto en la comprensión del concepto de proporcionalidad tiene la implementación de una

secuencia de actividades que acude al GeoGebra y a la resolución de problemas, en estudiantes

de grado séptimo?, esta permitió indagar y analizar implicaciones que tiene la enseñanza de la

proporcionalidad en la educación básica, al igual que se enfatizó en la necesidad de presentar, de

25

manera muy clara, los conceptos acuñados por Godino (2002) ligados a la proporcionalidad

como son: razón, proporción y magnitudes proporcionales, también desde el punto de vista de la

transición del pensamiento aditivo al multiplicativo y a partir de resultados de estudios realizados

en los que se evidenciaron las dificultades de los estudiantes a la hora de discriminar situaciones

con estructuras aditivas de las situaciones proporcionales, las investigaciones elaboradas por

Fernández y Llinares (2012), se pudieron comprobar en las actividades propuestas.

6.1 Análisis de los resultados de la prueba de entrada

Se realizó un análisis por separado de los tipos de respuestas dadas por los estudiantes en cada

uno de los ejercicios o problemas propuestos, para lo cual se agruparon según la característica de

lo que se está indagando o buscando con relación con la proporcionalidad. Por ello, las unidades

de análisis para las respuestas de los alumnos fueron distintas en cada tipo de ejercicio.

6.1.1 Ejercicios 1, 2, 3 y 6:

En estos ejercicios las magnitudes involucradas pueden suponerse directamente

proporcionales y, además, la razón es la herramienta más útil a la hora de comparar las dos

situaciones presentadas. Las unidades de análisis son las siguientes:

Tabla 1

Unidades de análisis ejercicios 1, 2, 3 y 6

0 No entrega o no asiste a clase

1 Respuesta en blanco

2 Respuesta incorrecta sin usar razones

3 Respuesta incorrecta usando razones

4 Respuesta correcta sin razonamiento o con razonamiento incorrecto

5 Respuesta parcialmente correcta

6 Respuesta totalmente correcta Fuente: Proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012)

26

De acuerdo con estas unidades de análisis los resultados obtenidos por los estudiantes en estos

ejercicios se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 2

Resultados respuestas ejercicios 1, 2, 3 y 6

0 1 2 3 4 5 6

Ejercicio

1

#Respuestas 2 1 8 2 29 0 0

% 4.8 2.4 19 4.8 69 0 0

Ejercicio

2

#Respuestas 2 0 17 2 14 7 0

% 4.8 0 40.4 4.8 33.3 16.7 0

Ejercicio

3

#Respuestas 2 0 16 3 15 6 0

% 4.8 0 38.1 7.1 35.7 14.3 0

Ejercicio

6

#Respuestas 2 2 30 1 7 0 0

% 4.8 4.8 71.4 2.3 16.7 0 0 Fuente: Elaboración propia

Como se puede observar, el porcentaje más alto de estudiantes que responde correctamente el

ejercicio 1 (ver anexo prueba de entrada) se encuentra en la categoría 4. Aunque son respuestas

correctas, no presentan razonamiento o un razonamiento incorrecto, este grupo es de

aproximadamente el 70 %. El ejercicio con un menor porcentaje de aciertos es el número 6. Esto

es, hasta cierto punto, esperado, ya que la situación involucra razones decimales. El ejercicio 2

presenta un mayor porcentaje de aciertos entre las unidades de análisis 4 y 5, seguramente por

presentarse en un contexto muy común para los estudiantes como es el fútbol. En el ejercicio 1

aparecen diversos errores muy interesantes. Algunos reflejan los problemas de los alumnos a la

hora de manejar el orden en el que aparecen las magnitudes además de indicar el hecho de que

los alumnos no comprenden bien la expresión «cambiar euros a dólares».

En el ejercicio 3 se puede observar que el 70 % de los estudiantes está dividido en partes

iguales entre los que responden incorrectamente y correctamente sin ningún tipo de

razonamiento, donde la respuesta correcta se da casi desde lo intuitivo. Ante la dificultad de

tener que «invertir» una de las dos situaciones que plantea el enunciado 1, la gran mayoría de los

27

estudiantes acierta ya que opta por elegir aquella situación en la que el enunciado proporciona la

información requerida de un modo directo: «Al banco B porque te cambian € por $».

Figura 1. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes en la prueba de entrada.

También hay errores cometidos por alumnos que todavía no han asimilado las estrategias

multiplicativas relacionadas con el concepto de razón, es decir, dificultades en manejo de la

transición de lo aditivo a lo multiplicativo (Fernández & Llinares, 2005). Así, en este caso, hay

algunos estudiantes que tratan de aplicar estrategias aditivas basadas en la diferencia entre euros

y dólares. Lo interesante de la respuesta de este estudiante es que habla de proporción como

muestra la figura 2.


En el siguiente caso, figura 3, el error del estudiante es una dificultad de comprensión, puesto

que implicaría que los euros tienen el mismo valor que los dólares. Posiblemente este error sea

debido a que la situación del cambio de moneda no es significativa para el alumno.

28


En el ejercicio que se muestra a continuación, aunque el 33 % acertó en la respuesta, se puede

decir que el error más común ha sido nuevamente razonamientos de tipo aditivo, como las

siguientes figuras 4 y 5.



La situación del ejercicio 3 es bastante distinta a la de los dos ejercicios anteriores y a la del

ejercicio 6. La idea de «tener un sabor de naranja más fuerte» es bastante más difícil de

comprender que la de un promedio goleador o que la de una tasa de cambio. Así, muchos

29

estudiantes cometieron el error de considerar que tendrá mayor sabor aquella mezcla que posea

más cantidad de naranja sin tener en cuenta el agua utilizada en la mezcla. Es, nuevamente, el

error de considerar cantidades absolutas y no relativas. Los resultados mostrados evidencian que,

aunque un 35 % responde correctamente, no hay razonamiento o simplemente es incorrecto,

como lo muestran las figuras 6 y 7:



El ejercicio 6 es el que presentó mayores dificultades en sus resultados por parte de los

alumnos, estando el 78 % de ellos con respuestas en blanco o incorrectas; la situación no debería

resultar ajena a los estudiantes y, además, no difiere sustancialmente del ejercicio 1. En este se

incrementa el número de alumnos que responden mal, usando incorrectamente la idea de razón.

En concreto, calculan la razón inversa de lo que se necesita calcular o también aparecen errores

causados por el razonamiento aditivo, por ejemplo, el que indica la figura 8: «Es como igual

porque en la primera, compras 3 y te dan 4 y en la otra pues 4 discos y 5 camisetas». También

se resalta un error al tratar de usar razones de manera arbitraria.

30



6.1.2 Ejercicios 4 y 5:

En el ejercicio 4 una de las variables involucradas no es una magnitud (el curso) y, por tanto,

no tiene sentido calcular ninguna razón. Por otra parte, en el ejercicio 5, aunque puede tener

sentido calcular la razón entre profesores y alumnos, esta razón no es una herramienta útil a la

hora de comparar las dos situaciones presentadas en el sentido en que se hace la pregunta. Las

unidades de análisis para estos ejercicios son las siguientes:

Tabla 3

Unidades de análisis ejercicios 4 y 5



2 Responde incorrectamente usando razones

3 Responde incorrectamente sin usar razones

4 Indica la imposibilidad de responder, pero no lo argumenta

5 Argumenta correctamente que no puede responderse a la pregunta Fuente: proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012)

31

De acuerdo con estas unidades de análisis, los resultados obtenidos por los estudiantes en

estos ejercicios se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 4

Resultados respuestas ejercicios 4 y 5

0 1 2 3 4 5

Ejercicio

4

#Respuestas 2 0 0 33 7 0

% 4.8 0 0 78.6 16.6 0

Ejercicio

5


% 4.8 4.8 4.8 80.8 4.8 0 Fuente: Elaboración propia

En el ejercicio 4 se planteó una situación en la que una de las variables no era una magnitud.

En consecuencia, era imposible definir alguna razón. Muchos alumnos respondieron

incorrectamente o simplemente indicaron la imposibilidad de responder, pero no argumentaron

(95 %) y nadie señaló que el curso no es una magnitud. El índice de respuestas incorrectas es

bastante alto y se debe a que muchos alumnos tratan de responder a la pregunta puesto que, a

diferencia de lo que sucede en el ejercicio 5, la pregunta parece tener sentido a partir de los datos

que se proporcionan. En esta línea, las respuestas que proporcionan algún argumento pueden

clasificarse en dos grupos. Un gran número de estudiantes dio una respuesta errada teniendo en

cuenta las dificultades de los cursos, y considera que «En séptimo le fue mejor porque es un

grado más difícil».


32

Otros estudiantes, por el contrario, no consideran un factor de importancia el número de

aprobados y se fijan tan solo en la cantidad absoluta. Un ejemplo es el decir «En los dos tuvo el

mismo rendimiento, porque no cambio su resultado».


El ejercicio 5 era similar al anterior en el sentido que no podía responderse a la pregunta que

se planteaba, pero presentaba una diferencia importante: en este ejercicio tenía sentido calcular la

razón entre las magnitudes involucradas. Se puede establecer que el 90 % de los estudiantes no

contestaron o simplemente daban respuestas sin argumentos.


Algunos establecían la imposibilidad de dar una respuesta.

33


6.1.3 Ejercicio 7:

En este aparecen explícitamente dos magnitudes: número de vacas y número de días. Entre

estas dos magnitudes no tiene sentido calcular la razón, sin embargo, si se hace entrar en juego

una tercera magnitud «disimulada» (la cantidad de leche producida), sí tiene sentido hablar de

razón. Ahora bien, la razón que resulta útil para resolver este ejercicio es leche/(vaca×día).

Además de tener que hacer entrar en juego una nueva magnitud que «no se ve» en el enunciado,

se debe «producir» la magnitud vaca-día que carece de un sentido claro. Por todo esto, este

ejercicio tenía un mayor grado de dificultad y esto se ve en los resultados. Las unidades de

análisis para estos ejercicios son las siguientes:

Tabla 5

Unidades de análisis ejercicio 7



2 Respuesta arbitraria sin razonar

3 Respuesta incorrecta sin calcular razones

4 Trata de calcular la razón vacas/día o viceversa

5 Respuesta correcta Fuente: proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012).



Tabla 6

Resultado respuesta ejercicio 7

0 1 2 3 4 5

Ejercicio

7


% 4.8 11.9 42.9 9.5 30.9 0 Fuente: Elaboración propia

34

Como se observa, el 65 % no contestó la respuesta mayoritaria, dio una respuesta errada o

simplemente no utilizó razones. El 30 % de los estudiantes intentó calcular la razón vacas/día o

viceversa. Esta razón no tiene ningún sentido ya que en el contexto del problema todas las vacas

están presentes todos los días. No procede repartir las vacas entre los días y mucho menos a la

inversa. Algunos alumnos han calculado dichas razones y les han asignado significados

incorrectos que después han utilizado para resolver el problema. Hay alumnos que han tratado de

dar una respuesta sin emplear razones o simplemente utilizando ideas incorrectas, basadas en el

tiempo, fijadas únicamente en el número de vacas. Entre otras respuestas, las principales se

muestran en las figuras 14, 15 y 16.


Es curiosa la interpretación da este estudiante en donde hace una similitud del texto, por lo

que dice que es igual.


35

Se ve que un estudiante trata de realizar razones entre vacas y días.


6.1.4 Ejercicios 8, 9 y 10

En estos ejercicios las magnitudes involucradas pueden suponerse (asumiendo las condiciones

de regularidad adecuadas) directamente proporcionales y, por tanto, tiene sentido resolver el

ejercicio. Las unidades de análisis para este grupo de situaciones son las siguientes:

Tabla 7

Unidades de análisis ejercicios 8, 9 y 10



2 Respuesta incorrecta

3 Indica que no se puede hallar la razón

4 Respuesta correcta sin usar razones

5 Resuelve usando razones sin señalar condición de regularidad

6 Resuelve usando razones señalando condición de regularidad Fuente: proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012)

De acuerdo con estas unidades de análisis, los resultados obtenidos por los alumnos en estos


Tabla 8

Resultados respuestas ejercicios 8, 9 y 10

0 1 2 3 4 5 6

Ejercicio #Respuestas 2 12 24 0 4 0 0

36

8 % 4.8 28.6 57.1 0 9.5 0 0

Ejercicio

9

#Respuestas 2 13 22 0 5 0 0

% 4.8 30.9 52.4 0 11.9 0 0

Ejercicio

10

#Respuestas 2 7 18 0 11 3 1

% 4.8 16.6 42.9 0 26.2 7.1 2.4

Fuente: Elaboración propia.

Observando los resultados obtenidos, en los datos hay varios aspectos a resaltar: primero,

ningún estudiante resuelve los ejercicios usando razones; segundo, solo en el ejercicio 10, tres

estudiantes utilizan algún tipo de razón; tercero, en los ejercicios 8 y 9 el 90 % de los estudiantes

o dejan en blanco o dan una respuesta incorrecta, dentro de este grupo se encuentran estudiantes

que utilizan técnicas no relacionadas con la razón. Por último se puede evidenciar que el

ejercicio 8 es el de menor grado de entendimiento por parte de los estudiantes, es decir, el que

menos revela respuestas satisfactorias (entendidas estas como aquellas que hacen uso de la razón

como tanto por uno1). La siguiente figura evidencia repuesta parcial respecto a 12 kg de

hormigón, pero se les dificulta cuando es 100 kg.


1 A partir de la actividad de intercambio surge de forma natural la idea de razón como «tanto por uno», es decir,

entendida como la cantidad de una de las magnitudes que se corresponde con una unidad de la otra. Este concepto

constituye el núcleo central en torno a la construcción de ideas cognitivamente significativas sobre proporcionalidad

directa.

37



Para el ejercicio 9, la dificultad persiste y en la mayoría del grupo se presenta al momento de

trabajar simultáneamente con dos unidades, por ejemplo, los huevos y las docenas de huevos, y

los estudiantes realizan operaciones aditivas en las cuales dan respuestas aproximadas, pero sin

tener en cuenta ningún tipo de uso de razones, o respuestas un tanto confusas en sus argumentos.


38

Figura 21. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes en la prueba de entrada

En el ejercicio 10 aumenta el número de alumnos que da respuestas correctas sin hacer uso de

la razón (26 %). Esto se debe a relación multiplicativa existente entre las cantidades de

magnitudes involucradas, que facilita su generalización. Esto hace que aparezcan respuestas

como la de los siguientes estudiantes, aunque son la excepción. Como ya se indicó

anteriormente, en general las respuestas son incorrectas o no resuelven.


39


En la siguiente respuesta dada por un estudiante, equivocadamente trata de establecer una

relación entre obreros, días y metros, pero es realmente difuso el razonamiento realizado.


6.1.5 Ejercicio 11

Este ejercicio constaba de 4 apartados: en el primero se pedía calcular la cantidad total de

árboles conociendo la cantidad correspondiente a un cierto porcentaje del total, en el segundo se

trataba de calcular la cantidad correspondiente a un cierto porcentaje del total (problemas inverso

y directo respectivamente), el tercero pretendía recordar la idea de razón entre dos magnitudes y,

finalmente, el cuarto apartado era una pregunta “trampa” que no podía responderse con los datos

del problema.

Las unidades de análisis para este ejercicio aparecen recogidas en la tabla siguiente. En este

caso las posibilidades presentadas no son excluyentes y, por tanto, los porcentajes de cada fila no

han de sumar 100 necesariamente:

Tabla 9



1 Respuesta en blanco o incorrecta.

40

2 Resuelve correctamente el problema inverso

3 Resuelve correctamente el problema directo

4 Indica al menos el significado de la razón

5 Justifica que no puede calcularse el número de pinos Fuente: proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012)

De acuerdo con estas unidades de análisis, los resultados obtenidos por los alumnos son los

siguientes:

Tabla 10


0 1 2 3 4 5

Ejercicio

11


% 4.8 66.7 0 7,1 14.2 7.1 Fuente: Elaboración propia

Se observa un alto porcentaje de respuestas erradas o simplemente no contestadas en donde

escriben «no sé cómo realizarlo»; es muy bajo el porcentaje a la hora de resolver los problemas

directo e inverso, en general, las respuestas dadas por los estudiantes se limitan a relacionar los

datos que tiene el problema, y un pequeño porcentaje (14 %) establece la imposibilidad de

calcular el número de pinos. Para concluir el análisis de este ejercicio, se puede determinar que

los estudiantes presentan una débil comprensión de la situación de porcentajes y la utilización de

razones. Las siguientes figuras dan evidencia de las repuestas más representativas dadas por los

estudiantes.


41


6.1.6 Ejercicio 12

Este ejercicio plantea una situación abierta, se presenta un cartel con dos informaciones

contradictorias: por un lado, el porcentaje de descuento y, por otro, el precio original y el

rebajado. Como es natural, el precio rebajado es mayor de lo que debería ser en caso de haber

aplicado correctamente el descuento. La pregunta hecha a los alumnos es simplemente su

opinión sobre el cartel mostrado, nuevamente la respuesta abierta es una dificultad añadida al

ejercicio.

Para este ejercicio, las unidades de análisis aparecen recogidas en la tabla siguiente.

Tabla 11



1 Respuesta en blanco o incorrecta.

2 Aplica el descuento porcentual correctamente

3 Interpreta correctamente los resultados Fuente: proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012)


siguientes:

Tabla 12

Resultado respuesta ejercicios 12

0 1 2 3

42

Ejercicio

12

#Respuestas 2 40 0 0

% 4,8 95,2 0 0

Fuente: Elaboración propia

El total de los estudiantes 95 %, se limitaron a dar respuestas sin sentido como «es una buena

oferta», «que está barato», o relataban lo enunciado en el cartel, entre otras respuestas, o

simplemente aseguraban que sí o que no correspondía al 20 %, pero sin dar un argumento

matemático, es decir, los estudiantes no dan una respuesta coherente con lo enunciado. Las

siguientes figuras muestran las respuestas más utilizadas o errores más interesantes a tener en

cuenta.


Respuestas sin argumentos o razonamientos


43

Figura 29. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes en la prueba de entrada

Estudiante con una aplicación intuitiva o de desconocimiento de lo que es un porcentaje.


6.1.7 Ejercicio 13

Este ejercicio es algo más complicado que el anterior. En él aparecen involucradas ideas de

disminuciones porcentuales, de comparaciones y de búsqueda de cantidades desconocidas en

situaciones de proporcionalidad directa. En concreto, el apartado primero del ejercicio es un

ejemplo típico de esto último. Por su parte, el segundo apartado vuelve a implicar un cálculo

similar junto con una disminución porcentual y una pregunta abierta respecto a lo engañoso o no

de la publicidad. Es decir, la respuesta al ejercicio no es simplemente numérica.

Para este ejercicio, las unidades de análisis aparecen recogidas en la tabla siguiente.

Tabla 13

Unidades de análisis ejercicios 13


1 Respuesta en blanco o incorrecta

2 Halla correctamente la cantidad desconocida en el apartado i)

3 Aplica correctamente el descenso porcentual

44

4 Responde razonadamente a la pregunta del apartado ii) Fuente: proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012)


siguientes:

Tabla 14

Resultado respuesta ejercicios 13

0 1 2 3 4

Ejercicio

13

#Respuestas 2 38 2 0 0

% 4,8 90,4 4,8 0 0 Fuente: Elaboración propia

El porcentaje correspondiente 95 % es de estudiantes, dejó la respuesta en blanco, los

estudiantes simplemente dieron una respuesta errada o no asistieron, lo que indica que hay total

desconocimiento de la proporcionalidad directa y de operación de diminuciones porcentuales,

por consiguiente, con los datos del ejercicio 13, los estudiantes no llegan a hacer una

interpretación para dar la respuesta verbal que pedía el problema. Las respuestas de apartado i)

fueron parciales, pero sin argumento, ejemplo, figura 31.


Respuesta incorrecta simplemente de manera verbal, sin operaciones matemáticas.

45


6.2 Análisis de la secuencia didáctica

Las actividades propuestas (1, 1A, 2 ,3 y 4) se adecuaron de la tesis doctoral

Proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, Oller, A

(2012), y las dos últimas son de geometría dinámica, más específicamente de GeoGebra de uso

libre con diferentes actividades en el campo matemático. A partir de los resultados obtenidos se

pusieron en juego estas actividades consecuentes con las consideraciones dadas por los autores

estudiados en el marco teórico.

Analizando los datos de la prueba diagnóstico se logró determinar que los estudiantes

presentan ciertas dificultades en los conceptos asociados a la proporcionalidad, para lo cual se

piensa que el objetivo principal que tuvo la adaptación de la propuesta curricular es el de

incrementar la comprensión de los alumnos en tres campos fundamentalmente:

• El uso significativo de las estructuras multiplicativas.

• La comprensión de los aspectos conceptuales relacionados con la proporcionalidad.

• La aplicación de dichos aspectos a la hora de resolver situaciones problema relacionadas con

la proporcionalidad.

46

En lo que sigue se va a distinguir entre ideas relativas a aspectos conceptuales (aunque

algunas irán orientadas a la resolución de problemas) e ideas relativas a aplicaciones prácticas.

En un inicio se contempló implementar seis sesiones de clase de 50 minutos cada una, pero al

aplicar la actividad 1, y antes de aplicarse la actividad 2, se hizo una actividad complemento, ya

que debido a un receso escolar no programado se necesitaba aplicar la prueba refuerzo para

retomar la serie de actividades programadas, por lo cual en total se realizaron siete, las cuales se

organizaron en torno a los focos de investigación establecidos en la secuencia didáctica.

En el siguiente cuadro se presenta la distribución de las sesiones y actividades para cada uno

de los núcleos.

Tabla 15

Distribución de sesiones secuencia

Núcleo de

contenido

Sesiones Actividades de aula

Razón y condición

de regularidad

1, 2, 3, 4 1, 1A, 2 y 3

Proporcionalidad

directa

5, 6 4, 5 y 6

Fuente: proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012).

6.2.1 Actividad 1

Es la actividad de punto de partida de la secuencia, se plantea en el trabajo una situación de

intercambio en la que, a partir de una información gráfica, los alumnos deben decidir la cantidad

de una de las magnitudes en juego que se obtiene a cambio de distintas cantidades de la otra.

Objetivos

1. Introducir a los alumnos en la dinámica de las situaciones de intercambio.

47

2. Hacer ver al alumno las ventajas del razonamiento multiplicativo en dichas situaciones.

3. Presentar la idea de razón entre magnitudes de distinta naturaleza.

4. Definir la razón en términos de «tanto por uno».

Organización de la actividad

Sesión 1: (55 minutos)

Se lleva a cabo en clase la Actividad 1 (Introducción del concepto de razón), con la siguiente

distribución de tiempo:

• Trabajo de los alumnos (30 min)

• Puesta en común (15 min)

• Intervención del profesor (10 min)

Descripción de la actividad 1

En un lugar visible de la clase se muestra un cartel como el siguiente, en el que se indica

visualmente que cuatro tarjetas se convierten en seis pitillos:

Figura 33. Tomada de la tesis doctoral proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para

alumnos de secundaria, del profesor Oller, Antonio (2012).

48

Se formaron los grupos de tres estudiantes. A cada grupo se le van entregando sobres que

contienen una determinada cantidad de tarjetas y una cantidad suficiente de pitillos (20) para que

puedan manipular. En concreto, los sobres contienen las siguientes cantidades de tarjetas:

Tabla 16

Sobre 1: 2 tarjetas. Sobre 4: 10 tarjetas.

Sobre 2: 8 tarjetas. Sobre 5: 1 tarjeta.

Sobre 3: 6 tarjetas. Sobre 6: 3 tarjetas. Fuente: proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor Oller,

Antonio (2012).

El trabajo del grupo consistió en decidir cuántos pitillos se obtienen a cambio de las tarjetas

contenidas en el sobre. La decisión tomada por el grupo se reflejó en una ficha en la que debían

incluir tanto el número de pitillos correspondiente como un razonamiento o explicación del

método obtenido seguido para la resolución.

Análisis de los resultados de la actividad

El estudio y análisis de las producciones de los alumnos, se organizó según la estructura

interna de la actividad. El análisis está diferenciado en: la primera formada por los dos primeros

sobres, la segunda por el tercero y el cuarto; la tercera parte se dedicará al quinto sobre y,

finalmente, la cuarta parte está dedicada al último de los sobres entregado a los alumnos. Los

tipos de estrategias que pudieron utilizar los estudiantes son de carácter multiplicativo y de razón

directa. Se aclara lo que se entiende por cada una de estas estrategias:

• Estrategia multiplicativa: Agrupamos bajo este epígrafe a los alumnos que razonan con base

a relaciones multiplicativas entre las cantidades involucradas. Por ejemplo, que 8 es el doble de

4.

49

• Razón directa: estos alumnos calculan los pitillos que le corresponden a una tarjeta y usan

ese dato de forma correcta multiplicando por la cantidad dada de tarjetas.

El análisis hecho de acuerdo con las respuestas dadas por los estudiantes, en los sobres y en la

ficha donde escribían sus respuestas totales, se resumió de la siguiente manera:

Sobres 1 y 2:

El sobre 1 se preguntaba por los pitillos obtenidos a cambio de 2 tarjetas y en el sobre 2 por

los obtenidos a cambio de 8 tarjetas. La información que se proporciona al alumno es que, por

cada 4 tarjetas, se obtienen 6 pitillos. Los resultados obtenidos en estos dos apartados, se indican

en las siguientes figuras:

Sobre 1

Figura 34. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes del grupo G9 en la actividad 1

Sobre 2


50

En estos primeros sobres, dadas las sencillas relaciones multiplicativas entre las cantidades

involucradas, el grupo de trabajo logró un total acierto. Además, como se observa en las

respuestas del grupo, el argumento que utilizan es de tipo multiplicativo.

Sobres 3 y 4:

En el sobre 3 se preguntaba por los pitillos obtenidos a cambio de 6 tarjetas y en el sobre 4 por

las obtenidos a cambio de 10 tarjetas. En este caso sigue habiendo relaciones multiplicativas

sencillas, pero no con la cantidad de tarjetas del cartel, sino con la del sobre 1, esto hará que

aparezcan nuevas estrategias de resolución que se verán más adelante.

Sobre 3


Sobre 4


Sobre 5

51

En el sobre 5 se incluía una única tarjeta. De este modo se forzaba a los alumnos a calcular la

razón entre pitillos y tarjetas.


Sobre 6

En este último sobre aparecían tres tarjetas y se pretendía observar si, una vez obtenido el valor

correspondiente a una tarjeta, los alumnos utilizaban dicho valor para resolver este apartado o si,

por el contrario, reaparecían estrategias de tipo aditivo.


El análisis hecho a la actividad de acuerdo con la puesta en común y las grabaciones

realizadas al grupo referente, estableció que los estudiantes dieron su respuesta en común

después de dialogar entre ellos utilizando estrategias multiplicativas, pero como se registrará más

adelante en las conversaciones que tuvieron previa a las respuestas, no hubo unanimidad, sino

que se propusieron otras formas de abordar la solución de la actividad.

52

El razonamiento básico que utilizaron en los sobres 1 y 2 es un razonamiento «2 es la mitad

de» y «8 es el doble de», es decir, siempre teniendo como referencia el cartel o también

utilizando la división, lo que es importante porque ya empieza una comprensión de la relación

entre magnitudes y la correspondiente relación entre ellas, que es lo previo a la razón.

En los sobres en que las operaciones multiplicativas o la razón directa no era aplicable, los

estudiantes razonaron que «si de 2 salen 3, entonces la mitad de 3 es 1,5».

La siguiente conversación2 relaciona la dificultad de establecer razonamientos proporcionales

o de tipo multiplicativo:

- Estudiante 103: Nos repartimos los sobres y después nos ponemos de acuerdo, ¿vale?

- Estudiante 7: Me tocaron las difíciles, no son exactas, ¿será que utilizo las tijeras?, mejor no…

- Estudiante 37: Le voy preguntar al profe si es obligatorio utilizar las tijeras y los pitillos,

porque esto yo lo hago sin estas cosas.

- Estudiante 10: Yo estoy haciendo las operaciones con sumas, que es más fácil, pero oiga E7,

¿por qué me dice que haga multiplicaciones o divisiones?

- Estudiante 7: Vamos terminando, al fin no utilizamos las tijeras, simplemente venga le muestro

cómo haciendo multiplicaciones y divisiones damos la respuesta, para que sea rápido y llenar lo

que toca…

Se pudo establecer, en los fragmentos de los diálogos que tuvieron los integrantes del grupo

G9, que no había unanimidad en la forma de abordar relaciones de intercambio y se mostraron

interesados en el abordaje del problema, pero como el estudiante E10 continúa en el campo de lo

aditivo, se hace necesario que uno de sus compañeros le haga saber estrategias multiplicativas.

2 Esta conversación es grabación de audio que se realizó en el espacio en que el grupo observado realizaban la

actividad 3 El número hace referencia al código del estudiante en la lista del curso

53

Se evidencia que después establecieron la relación o equivalencia de una tarjeta con lo

correspondiente a pitillos, pero aun así fue cuando requirieron realizar este intercambio y no

desde un inicio. Así, la relación entre lo mostrado por el cartel de 4 tarjetas es a 6 pitillos, por lo

que la relación «tanto por uno» no fue comprendida en su totalidad.

6.2.2 Actividad 1-A

Esta actividad se estableció como una continuación de la actividad 1. Se planteó para retomar las

actividades, ya que en un principio se había organizado la aplicación de estas de manera

secuencial una vez se realizara el análisis de cada una, pero debido a un cese de actividades no

programado, se determinó en acuerdo con el director de tesis aplicarse para que los estudiantes

retomaran las actividades y recordar lo que se había hecho en la primera actividad.

Objetivos

1. Reforzar el concepto de razón entre magnitudes en una situación de intercambio.

2. Mostrar la reversibilidad de las situaciones de intercambio.

3. Observar qué sucede con la razón cuando se «invierte» el sentido de un intercambio.



Se lleva a cabo en clase la actividad 1A - complemento (refuerzo del concepto de razón), con la

siguiente distribución de tiempo:



54


Descripción de la actividad 1A

A los grupos de trabajo se les entregó una guía, en ella se presenta la misma situación de

intercambio, pero a la inversa, es decir, que ahora las tarjetas se obtienen a cambio de los pitillos

y no al revés. También se les proporciona a los alumnos 20 pitillos, 20 tarjetas en cartulina y

tijeras.

La actividad consta de dos partes bien diferenciadas. En la primera, los alumnos deben utilizar

la información gráfica proporcionada en el enunciado (similar a la que se les dio en la actividad

1) para averiguar cuántas tarjetas se obtendrían a cambio de diversas cantidades de pitillos, y la

segunda es dar una razón entre las tarjetas y los pitillos, y el significado que tiene en la situación

planteada.


En el apartado 1 se preguntaba por las tarjetas obtenidas a cambio de tres pitillos y en el

apartado 2 por las obtenidas a cambio de nueve pitillos. La información que proporcionaba la

gráfica de la guía (Anexo3), para el estudiante que representa que por cada seis pitillos se

obtienen cuatro tarjetas. Los resultados proporcionados por el grupo observado dan un resultado

acertado en cuanto a las relaciones numéricas, sin embargo, hicieron razonamientos errados,

como se puedo establecer en los escritos «Sumar 1,5 por la cantidad dada», como también

establecer una división de 9 entre 2. De acuerdo con lo grabado en video y notas audio, se pudo

establecer que los estudiantes aplicaron relaciones multiplicativas sencillas (3 es la mitad de 6 y

9 es el triple de 3), sin embargo, en el momento del razonamiento, no pudieron expresar lo que

realizaban.

55

El apartado 3 constituye el punto de inflexión de la actividad, allí se le “forzó” al grupo de

trabajo a obtener la cantidad de tarjetas que se consiguen a cambio de un pitillo, con el fin de ver

si en los apartados siguientes utilizan esa información, no obstante, erróneamente determinaron

como equivalencia 1,5, donde escriben como razonamiento «si tenemos un pitillo, nos daría 1,5

y no hay nada más con qué sumarlo», es decir, estuvieron en lo aditivo con la particularidad que

realizaron una relación inversa, es decir, de tarjetas a pitillos.

Aunque el concepto de razón se introdujo en la primera sesión, en la puesta en común y la

intervención del profesor, los estudiantes recordaron lo socializado, sin embargo, realizaron la

relación inversa entre las magnitudes, o sea, el grupo calculó este valor referente a un pitillo= 1,5

y lo hizo extensivo para los apartados 4, 5 y 6. Este error cometido en el punto de inflexión,

estableció como justificación que se sumaba 1,5 o simplemente se multiplicaba por este número.

En la parte 2 de la actividad, el grupo argumentó su respuesta de manera parcial, es decir,

aunque tenían confusión entre la relación que se les pedía, es decir, nuevamente razón entre

tarjetas y pitillos, sí afirmaban que «las tarjetas representan un valor determinado equivalente a

los pitillos», significa entonces que pudieron verbalizar la relación «tanto por uno».

Evidentemente se observó que los estudiantes tuvieron problemas con respecto al orden de las

magnitudes involucradas. La figura 40 evidencia lo realizado por el grupo G9.

56

Figura 40. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes del grupo G9 en la actividad 1A

Realizada la actividad, se hizo la puesta en común en donde se aclararon dudas y se consolidó

la relación entre magnitudes y cómo utilizaron razones como herramienta para la comparación de

situaciones de intercambio. De acuerdo con una entrevista semiestructurada, realizada a los

estudiantes del grupo G9, se pudieron determinar algunos aspectos que dan claridad del porqué

de sus respuestas en la guía. Las respuestas que llamaron más la atención y que dieron claridad

sobre lo realizado, son las siguientes:

Estudiante 7, ¿por qué en el intercambio de un pitillo escribieron que obtendrían 1,5 de

tarjetas?

- Dividíamos los pitillos entre las tarjetas y ese resultado nos daba 1,5 y nos confundimos ya

que dividimos 1,5 entre 1 y no al revés, por eso creíamos que era la respuesta.

El estudiante 37 contestó que habían utilizado ese 1,5 para las otras equivalencias, pero él le dijo

a sus compañeros que 6/4 no era igual a 7/10,5, cuando realizó la división no daba lo mismo,

entonces dijo a los compañeros que algo había quedado mal, pero no sabía qué…

57

Estudiante 10, ¿qué opinas de lo realizado en la actividad?

- Estábamos un poco confundidos, pero íbamos bien hasta que nos confundimos con un pitillo,

pero sí teníamos la idea de que al dividir una de las cantidades entre la otra, nos debía dar

igual, y de ahí seguir multiplicando, pero ya tenemos claro cuál fue nuestro error…

Es evidente que los estudiantes no realizaron un análisis de la equivalencia 6/4 es 3/2,

simplemente la estrategia multiplicativa la razonaban como que 3 es la mitad de 6, o el grupo

razona con base en relaciones aditivas entre las cantidades involucradas. Por ejemplo, que 9 es la

suma de 6 y 3. La razón directa no fue correctamente aplicada ya que no tuvieron en cuenta el

orden de las magnitudes comparadas.

6.2.3 Actividad 2

En esta actividad se pretendía comprobar si los estudiantes utilizaban espontáneamente la idea

de razón (trabajada ya en las dos actividades anteriores), a la hora de comparar distintas

situaciones de intercambio para elegir la más ventajosa.

Los carteles informativos tenían mensajes gráficos con una flecha doble indicando que las

situaciones son reversibles (esto ya había sido advertido por los alumnos tras trabajar la actividad

1 complemento), pero con los dibujos en los dos sentidos posibles. Es decir, se presentaban dos

carteles con las tarjetas en primer lugar y otros dos a la inversa. Con esto se pretendía afianzar la

reversibilidad además de que los alumnos pudieran tener claro el orden en el que se debían

efectuar las operaciones para obtener la información requerida.

Aparte de la dificultad que pudiera conllevar el cálculo de la razón apropiada para cada una de

las cuatro situaciones presentadas, el núcleo de la actividad lo constituía comprender que será

más ventajosa aquella situación en la que la razón correspondiente sea mayor. Se verá que el

grupo de referencia realizó la actividad de manera incorrecta.

58

Objetivos

1. Reforzar el concepto de razón en situaciones de intercambio.

2. Calcular razones en situaciones de intercambio.

3. Utilizar las razones como herramienta para la comparación de situaciones de intercambio.



Se lleva a cabo en clase la actividad 2 (Comparación de razones), con la siguiente distribución

de tiempo:





Se les entrega a los grupos de estudiantes dos hojas, en una se encuentran cuatro situaciones

de intercambio diferentes entre patillos y tarjetas, y en la otra vine una pequeña guía para

solucionar. A cada grupo de trabajo se le entregó una cantidad suficiente de pitillos y tarjetas

para que estos elementos puedan ser utilizados si lo requerían. La actividad consistió en decidir

qué situación de las anteriores resultaba más ventajosa a la hora de cambiar pitillos por tarjetas o

viceversa. Se debía llenar la hoja guía con las respuestas del grupo, como se muestra en el anexo

4.


La actividad consta de dos partes claramente diferenciadas, aunque esencialmente la labor a

realizar por parte del grupo de trabajo era la misma en ambas partes (salvo el cambio de papeles

entre tarjetas y pitillos), por eso se hizo un análisis conjunto de ambos puntos de la actividad.

59

Los resultados del grupo de trabajo referenciado, respecto a lo planteado en la actividad, no

fueron los mejores, ya que entendieron como “ventajoso”, el manejo que podían hacer de las

operaciones respecto a la facilidad de operar con sencillez, donde, por ejemplo, respecto al punto

A, de cambiar pitillos por tarjetas, eligieron el 2, argumentando que sería más fácil hallar las

razones estando en números pares. Está claro aquí el deseo de aplicar estrategias multiplicativas.

Con esta misma lógica de argumento, en el punto B, el grupo escogió el cartel 4.

De acuerdo con lo filmado en todos los grupos, y una vez hecha la puesta en común y la

intervención de los docentes, se evidenció lo que anteriormente había reflejado el grupo guía,

entender que lo “ventajoso” correspondía a la facilidad de poder operar las razones.

La grabación de audio del grupo G9, en el momento que dialogaban sobre cómo solucionar y

qué escribir en la guía, permitió mirar resaltar afirmaciones:

-Estudiante E7. «Escojamos la 4, es la que más me interesa, tiene menos pitillos y tarjetas

que dar».

-Estudiante 10. «El cartel de dos tarjetas obtienes tres pitillos y viceversa y el de dos pitillos

por una tarjeta y viceversa, para obtener números pares e impares. Parece que se pueden hacer

operaciones multiplicando fácilmente».

-Estudiante 37. «Definamos qué hacemos, pero yo creo que de tarjetas a pitillos puede ser el

2, porque tiene menos tarjetas con relación a los otros, o tal vez la 4...»

Realmente la conversación giró en torno a lo evidenciado y escrito por el grupo, en la ventaja

de operaciones matemáticas estuvieron por escribir respuestas correctas, pero nunca la

conversación condujo a que se debían comparar las razones correspondientes a cada cartel para

resolver la actividad. La figura 41, muestra el resultado de cómo fue llenada la guía por el grupo.

60


6.2.4 Actividad 3

Esta se planteó para que los grupos de estudiantes, a partir de varias situaciones, indiquen si

es posible definir una o más razones y que señalen las condiciones de regularidad que se

presentan en estas razones. Se da una nueva perspectiva con relación a las actividades

anteriormente planteadas, ya que el contexto en el que los estudiantes habían trabajado era el de

situaciones de intercambio (en concreto pitillos y tarjetas) mientras que en esta actividad

aparecen situaciones muy diferentes (por más que puedan reinterpretarse en términos de

intercambios). Además, las situaciones que se presentan están “alejadas” del alumno en el

sentido de que hasta ahora siempre se había trabajado con materiales que el alumno podía, si

quería, manipular; ahora, las situaciones se presentan en contextos hipotéticos en los que el

alumno debe situarse mentalmente para poder trabajar.

Objetivos

1. Extender la idea de razón en situaciones de no intercambio.

2. Reforzar la necesidad de una condición de regularidad a la hora de definir la razón entre

dos magnitudes en una situación dada.

61

3. Reconocer las razones que se puedan definir en una determinada situación y comprender su

significado.

4. Calcular la razón en aquellas situaciones en las que es posible hacerlo.

5. Observar que existen situaciones en las que no se puede definir la razón entre las

magnitudes involucradas.

6. Introducir el concepto de magnitudes directamente proporcionales.



Se lleva a cabo en clase la actividad 3 (Reconocimiento de condiciones de regularidad y

razones), con la siguiente distribución de tiempo:





Se les entregó una guía de la actividad (anexo 5), en la cual el grupo de observación tendría

que establecer condiciones de regularidad en ciertos enunciados y poder encontrar las razones

entre magnitudes. El trabajo consistía en que los estudiantes escribieran las razones o

condiciones de regularidad, si las había, en los diez enunciados, y en caso contrario, si no las

hay, enunciar el porqué.

62


El siguiente cuadro resume lo propuesto a los estudiantes en los grupos de trabajo, para lo

cual, como se hizo anteriormente, el grupo referencia G9, dio respuestas a lo propuesto por la

actividad que permitieron analizar sus opiniones respecto a lo buscado en los objetivos. La guía

de trabajo proponía de manera general lo siguiente:

En clase se ha visto que para poder definir una razón entre dos magnitudes es necesario que se

cumplan ciertas «condiciones de regularidad». A continuación, se presentan varias situaciones.

En cada una de ellas se pide que definan todas las razones que aparezcan, que digan lo que

significan y que indiquen cuáles son las «condiciones de regularidad» necesarias para poder

definir dichas razones. Si en alguna de ellas no se puede definir ninguna razón entre las

magnitudes que aparecen, indicar el porqué.

Situación 1: en una tribu del Amazonas cambian 5 lanzas por 3 escudos.

Situación 2: en 4 horas limpio 37 cristales.

Situación 3: Laura tiene 10 años y tiene una estatura de 120 cm.

Situación 4: en la planta 5 hay 28 enfermos.

Situación 5: al comprar 3 camisetas me regalaron 4 discos.

Situación 6: mis 2 perros tardan 4 días en terminarse 1 saco de comida.

Situación 7: por 125 dólares me han dado 155 euros.

Situación 8: para preparar naranjada se mezclan 3 litros de zumo de naranja con 5 litros de

agua.

Situación 9: el 10 de junio cumplí 16 años.

Situación 10: leyendo 2 horas al día tardo 7 días en terminar un libro de 426 páginas.

63

De acuerdo con las situaciones planteadas se podían establecer tres grupos, es decir, en el

primer grupo estarían las situaciones 1, 2, 5, 7, y 8, en el cual, en condiciones de regularidad

apropiadas, se podían definir las razones entre las magnitudes involucradas; en 3, 4, y 9 no se

pueden definir razones y en situaciones 6 y 10 aparecen tres magnitudes y condiciones de

proporcionalidad inversa.

Es de anotar que los estudiantes del grupo de referencia, de manera global realizaron la

actividad, simplemente estableciendo en sus respuestas una razón numérica entre las magnitudes

planteadas en la situación correspondiente y determinando si había o no condición de regularidad

entre las magnitudes planteadas, en otras palabras, el grupo se centró más en lo numérico, tal vez

por la misma dinámica del trabajo de matemáticas que acostumbra a dar resultados numéricos, y

aunque ya se habían realizado anteriormente trabajos de razones de intercambio y condiciones de

regularidad para que poder definir dichas razones, se les dificultó expresarlas de manera escrita.

Respecto a los grupos de situaciones enunciados anteriormente, en donde se esperaban

respuestas de los estudiantes con mayor argumentaciòn, sus respuestas fueron parciales ya que,

aunque escribieron «tiene regularidad» o «no tiene regularidad», no explicaban lo que se

buscaba, o sea, no explicaban esas condiciones propias que hacían que fueran razones entre las

magnitudes. Así mismo, respecto a los enunciados 6 y 10, no tuvieron especial atención en que

se involucraban tres magnitudes, y simplemente relacionaban los dos primeros datos numéricos

que aparecían en las situaciones.

Es de destacar que el grupo, en su diálogo y en la solución de la guía, intercambió diferentes

puntos de vista que permitieron tener otra visión sobre lo que comprendían con respecto a

condiciones de regularidad entre magnitudes, así como también cuando dos magnitudes no están

relacionadas, asimismo hablaron de estrategias multiplicativas para poder justificar sus

respuestas. Los siguientes son apartes de diálogos sostenidos por el grupo de trabajo:

64

- Estudiante E37: ¿Será que tenemos que escribir que por cada 5 lanzas me dan 3 escudos?

- Estudiante E10: Fue de lo que tratamos en la anterior actividad, que el profe nos habló de

que debe haber correspondencia entre los enunciados, regularidad entre las comparaciones, ¿se

acuerdan de las edades y la estatura?

- Estudiante E37: ¡Ah, pero solo escribamos que tiene regularidad y la razón o el

fraccionario!

- Estudiante E7: Realizamos la división entre las razones, si cada 5 lanzas me dan 3

escudos, con una lanza me dan 1,6…

- Estudiante E10: En la situación 2 escribamos que tiene regularidad porque 4 es a 37 y,

ejemplo, el doble de 8 horas es a 74.

- Estudiante 37: En los perros y la comida puede haber regularidad, pero hay que tener en

cuenta que puede variar el hambre que tenga el perro.

-Estudiante E7: Vamos a escribir solo los números y decimos sí o no, ya que es más fácil y

no dividimos.

- Estudiante E10: Eso de los dólares y euros es como raro, si pasa lo mismo que el peso y el

dólar eso todos los días cambia. Y lo que dijo de lo de los vidrios E10, las personas deben

trabajar al mismo ritmo, que tal que se canse…

En estos apartes de las conversaciones sostenidas por el grupo, se identifican diversas

estrategias de solución y dan una mayor claridad en la forma que se abordó la solución de la

guía. Es claro que los estudiantes se decidieron por escribir simplemente una relación numérica y

decir si se podía establecer regularidad entre las partes del enunciado, pero de acuerdo con los

diálogos, se pudo evidenciar que el alumno E37 no comprendía en qué consistía la actividad y se

65

limitó a reescribir lo que se le indicaba en el enunciado, por lo que da indicios de la no

comprensión en situaciones de intercambio.

Lo expresado también en el grupo sobre la división de «con una lanza me dan 1,6», demuestra

que hay claridad sobre el significado de la razón de «tanto por uno» y la forma de calcularla,

pero los estudiantes realizan al revés la comparación de las magnitudes por lo que hacen una

afirmación errada. Es importante resaltar que acuden a una estrategia multiplicativa afirmando

que hay regularidad si se pueden multiplicar o dividir sus magnitudes y estas permanece

constantes. Pareció muy acertada la observación hecha por uno de los estudiantes, y aunque fue

hilarante entre los compañeros, es indiscutible que comprendía condiciones de regularidad

cuando afirmó que lo enunciado sobre los perros y la comida se podían cumplir, pero dependía

del hambre que tuviera el perro. Al igual que cuando afirmaron que se debía «trabajar al mismo

ritmo» con relación a la limpieza de los vidrios, evidenciaron tener claras las condiciones de

regularidad. Por último, se tuvo en cuenta la afirmación que hizo el estudiante E10, al decir que

las monedas como el dólar y el peso varían todos los días y que esto era «raro», eso demuestra

que tenía dudas sobre la regularidad que se podía establecer entre monedas.

En conclusión, de esta actividad se puede decir que los estudiantes se enfocaron en dar una

respuesta, como generalmente se plantea en los ejercicios de matemáticas, es decir, algo

numérico y de cierto valor desconocido, por lo que se limitaron a buscar una razón como el valor

correspondiente a una unidad de una de las magnitudes. Es de resaltar que el grupo reconoció

bien aquellas magnitudes entre las que se puede establecer o definir razón, como también es la

que no se puede definir por no existir relación entre ellas. Es de anotar que el grupo se limitó a

dar una respuesta lo más escueta posible y no permitió por lo escrito evidenciar la comprensión

de lo que se buscaba. La figura 42, muestra el resultado de cómo fue llenada la guía por el grupo

de referencia G9.

66


6.2.5 Actividad 4

En esta actividad se empleó por primera vez el concepto de magnitudes directamente

proporcionales. Al finalizar la actividad 3, en la socialización y puesta en común, se hizo una

breve explicación de aquellos casos en los que se puede definir la razón entre las dos magnitudes

y se dieron unas pautas sobre este concepto, aunque realmente en esta actividad solo se buscaba

que el grupo identificara parejas de magnitudes en las que se pudiera definir razón (bajo las

condiciones de regularidad adecuadas), y parejas entre las que esto fuera imposible.

Con esta actividad se pretendió dar un mayor argumento al reconocimiento de magnitudes

directamente proporcionales. Aunque las magnitudes se presentaron descontextualizadas, se

buscó que los estudiantes encontraran un contexto en donde las seis magnitudes presentadas se

pudieran relacionar con sentido. En cada uno de los ejercicios aparecieron variables que no son

magnitudes, así como magnitudes no relacionadas, magnitudes relacionadas de forma

directamente proporcional y magnitudes que están relacionadas, pero no mediante una

proporcionalidad directa. En general se buscaba reforzar la idea de condición de regularidad y el

67

reconocimiento de las magnitudes que son directamente proporcionales y cuáles no lo son.

Aunque aparecen magnitudes inversamente proporcionales, para esta propuesta no fueron tenidas

en cuenta.

Objetivos

1. Reforzar el significado de razón como «tanto por uno».

2. Reforzar la idea de condición de regularidad.

3. Reconocer magnitudes directamente proporcionales.

4. Reconocer magnitudes que no son directamente proporcionales.



Se llevó a cabo en clase la actividad 4 (Reconocimiento de magnitudes directamente

proporcionales), con la siguiente distribución de tiempo:





Se les entregó una guía de la actividad (Anexo 6), en la cual, el grupo de observación tuvo

que identificar magnitudes directamente proporcionales y distinguirlas de aquellas que no lo son.

También se buscó que los estudiantes aplicaran el concepto de razón y los significados de las

operaciones entre magnitudes a la hora de resolver problemas de búsqueda de cantidades

desconocidas.

68


Se realizó un estudio por separado de cada uno de los tres ejercicios de que constaba la

actividad, para identificar las respuestas del grupo de observación y así facilitar el análisis.

Aunque son muy similares, existen detalles respecto al contexto y al tipo de magnitudes que se

involucran. Con respecto al ejercicio 1, lo planteado se relaciona con magnitudes físicas

asociadas al movimiento de un auto, siendo las magnitudes relevantes la velocidad, la distancia y

el tiempo. El resto de variables que aparecen, o bien carecen de relación entre ellas o con las

anteriores (edad del conductor, número de pasajeros), o bien no son magnitudes (número de la

matrícula). Es importante resaltar que el grupo de observación comenzó a establecer, aunque

parcialmente, condiciones de regularidad, como decir qué velocidad y distancia recorrida eran

directamente proporcionales con la condición de regularidad que fueran «al mismo ritmo»,

también determinaron que «no hay relación entre el número de pasajeros y los años del

conductor», sin embargo, aún siguen teniendo confusión en definir condición de regularidad y

magnitudes directamente proporcionales, como el haber dicho que «no tiene condición de

regularidad la matrícula y el tiempo en horas».

Se pudo determinar que el grupo identificó que el número de la matrícula no es magnitud.

Esto es un gran avance para la propuesta planteada en la actividad, ya que, aunque hubo

dificultad en el grupo para señalar proporcionalidad directa, es aún más complicado buscar

magnitudes que no lo fueran; así se limitaron a encontrar y decir si había o no relaciones entre

ellas.

En el ejercicio 2, las magnitudes relevantes son: el número de alumnos, la superficie del patio

y la anchura del mismo. El grupo de trabajo estableció una buena relación de condición de

regularidad entre la anchura del patio y la superficie en metros cuadrados, y su proporcionalidad

69

directa, así como también estableció magnitudes que no son directamente proporcionales donde

se indicó que «la edad de los alumnos no tiene nada que ver con la estatura».

En el ejercicio 3, el contexto se refiere a una librería y relaciones comerciales. Las magnitudes

notables son precio y número, y las que carecen de relación entre ellas, o las notables, son edad

del comprador y tamaño de la letra. Los resultados reflejados es este ejercicio no fueron los

mejores, se notó falta de argumentación tanto en lo escrito, como lo que se tuvo en cuenta en el

material audiovisual, en este ejercicio no hay pares de magnitudes que puedan considerarse

directamente proporcionales de una forma tan clara como en los dos ejercicios anteriores.

Relacionan el tamaño de la letra del texto con el número de páginas, como directamente

proporcionales, pero el argumento de la condición de regularidad no es el correcto, ya que

expresan que, a mayor tamaño de la letra, mayor cantidad de hojas del libro. Respecto a la pareja

de magnitudes que no son directamente proporcionales, determinan acertadamente que el precio

y edad del comprador del libro no tienen nada que ver.

Se puede establecer que el grupo de referencia aplicó como magnitudes directamente

proporcionales, aquellas que tenían magnitudes relacionadas, pero, en la mayoría de los casos,

sin tener claridad sobre las condiciones de regularidad; de igual forma en relación con las

magnitudes sin ningún tipo de concordancia, manifiestan que no tiene nada que ver una con otra,

pero de manera escueta sin argumentos. En la figura 43, se muestra la solución dada por el grupo

de referencia.

70


6.2.6 Actividades 5 y 6

Estas actividades estuvieron apoyadas en un software de geometría dinámica, que de manera

interactiva se buscó motivar la comprensión de conceptos asociados a la proporcionalidad. Se

decide tomar el GeoGebra, el cual es un software de carácter libre que integra en forma dinámica

Geometría, Álgebra y Cálculo, y que permitió en el contexto de esta investigación adecuar un

trabajo enfocado a problemas dirigidos, de tal modo que se interactuaba con la forma de dar

soluciones. También se tomó un aspecto geométrico relacionando la proporcionalidad en

triángulos. Estas actividades llevadas a cabo por los grupos de trabajo, supusieron la primera

71

toma de contacto de los alumnos con los clásicos ejercicios de búsqueda de cantidades

desconocidas en situaciones de proporcionalidad, así como también la asociación de la

proporcionalidad a cuestiones geométricas.

La actividad 5 estaba enfocada a interactuar a través de problemas dirigidos clásicos de

proporcionalidad y la forma de abordar estas situaciones. La actividad 6, en el manejo interactivo

de triángulos semejantes, con la utilización de deslizadores y animaciones propias del GeoGebra.

Objetivos

1. Reforzar el reconocimiento de magnitudes directamente proporcionales.

2. Utilizar dicho concepto para resolver problemas de cantidades desconocidas en situaciones de

proporcionalidad directa haciendo uso del GeoGebra.

3. Manejar el GeoGebra a partir de la modificación de triángulos, direccionada a la

proporcionalidad y a la razón de semejanzas.

Organización de las actividades

Sesión 5 y 6: (55 minutos cada una)

Se llevaron a cabo en sala de sistemas, los estudiantes organizados en los grupos de trabajo y

cada una con la siguiente distribución de tiempo:




Descripción de las actividades 5 y 6

72

Las actividades se realizaron en la sala de sistemas, para lo cual cada grupo de trabajo tuvo

asignado un computador y una guía de trabajo; se presentaron dinámicas en las cuales podían

trabajar individualmente y luego, de manera grupal, unificar criterios de acuerdo con las

indicaciones tanto de la actividad 5 (anexo7), como también lo planteado en la actividad 6

(anexo 8).

Análisis de los resultados de las actividades

La actividad 5 estaba enfocada en que los grupos de trabajo establecieran contacto con

problemas clásicos de proporcionalidad entre magnitudes y que a partir de la interacción con el

software GeoGebra pudieran fortalecer la manera en que se abordan dichos problemas, así como

también poder interpretar sus soluciones. En dicha actividad se buscó que afrontaran problemas

tradicionales de términos desconocidos de magnitudes, pero con la ayuda del GeoGebra poder

dinamizar la manera en que se afrontan dichos problemas, teniendo en cuenta una comprensión

más rigurosa. Se buscaba que los estudiantes interactuaran con la solución a través del programa,

pero que también plasmaran en la guía propuesta (anexo7) sus estrategias de solución.

El grupo observado abordó la solución con una estrategia muy clásica, en la mayoría de los

problemas haciendo uso del algoritmo clásico de la regla de tres, comportamiento quizás

influenciado por la estudiante E7, quien, durante todo el desarrollo de la secuencia y posterior

entrevista, evidenciaba haber aprendido este algoritmo, aunque lo aplicaba de manera mecánica

sin tener en cuenta en algunos casos el porqué de su utilización. La figura 44, muestra el

planteamiento realizado por el grupo y justifica lo anteriormente dicho.

73


A través de la entrevista a los integrantes del grupo G9, que respondieron las preguntas sobre

la comprensión de la proporcionalidad interactuando con el GeoGebra en la solución de

problemas. El estudiante 37 dijo: «me parece bueno porque permitía solucionar más fácilmente

los problemas y también es chévere poder pedir ayuda a él cuando no se estaba seguro de la

respuesta ya que me organizaba la forma de plantear el problema». La respuesta del estudiante

37 confirma el beneficio del programa para analizar problemas teniendo en cuenta la razón entre

magnitudes y condiciones de regularidad. El otro estudiante E10 aunque manifiesta que «el

programa les facilito las respuestas, no entendió algunos enunciados y únicamente buscaba

pantearlos de acuerdo a las respuestas»…

La actividad 6 establecía la interpretación de la proporcionalidad a través de la semejanza de

triángulos, en la cual los estudiantes interactuaban con el GeoGebra, del tal forma que podían

74

realizar cambios de los lados a partir del desplazamiento de las condiciones iniciales de la figura

y podían comparar las medidas y sus equivalencias. (Ver anexo 8).

En las grabaciones que efectuamos al grupo de trabajo mientras utilizaban el software en la

actividad encontramos evidencias del mismo para afianzar la comprensión de la

proporcionalidad. El siguiente diálogo durante la sesión 7 de las actividades nos permitió

afirmar esto:

- Estudiante E7: Se puede de mover los lados del triángulo y se hace el otro más grande o

más pequeño.

- Estudiante E37: Realizamos la razón como dice la guía entre los lados…si se duplica el

deslizador, miren que los lados tambien se multiplican por dos, es fácil….

- Estudiante E10: En la conclusión escribamos que los lados guardan relación, es decir la

razón entre lados se mantiene entre las partes del triámgulo.

-Estudiante E7: Vamos a escribir que es fácil entender las relaciones entre cada una de los

lados del triángulo y el resultado siempre es el mismo, mire que se pudo ampliar por dos y luego

disminuir a la mitad…. ¡que fácil y chévere!

- Estudiante E10: …quiere decir que hay proporcionalidad o igualdad en los lados del

triangulo…concluyamos eso es decir dividido o multiplicado de igual manera…, eso lo vimos en

geometría con la semejanza y los ángulos...

De manera interactiva comprobaron lo que sucede al crear figuras semejantes: se conservan

los ángulos y las distancias son proporcionales en sus lados, esto permitió reforzar ideas de

geometría respecto a semenjaza de triángulos y el trabajo con el GeoGebra fue motivante y de

gran ayuda a nuestros objetivos (Anexo 11).

75

La figura 45, nos permite ver lo registrado en la guía entregada, cuando se les pidió desplazar

K=2 y evidenciamos la comprensión de la constante de proporcionalidad entendida como la

relación o razón entre los lados del triángulo. Es llamativo para los estudiantes porque no tienen

que construir dos o más triángulos con ayuda de regla, lápiz, transportador y compás para

deducir a “K”. Y esto solo lo lograrían construyendo dos trangulo ya sean acutángulos,

rectángulo u obtusángulos y se quedarían solo con una clase de ellos, lo cual implicaría la

restricción de las otras clases. Por lo cual la herramienta “deslizador” es de gran importancia a la

hora de las generalidades y particularidades.


6.3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PRUEBA DE SALIDA

76

Se aplicó nuevamente la prueba utilizada como diagnóstico o entrada, lo que permitió realizar

un nuevo análisis y comparar el impacto que tuvo en el aprendizaje de la comprensión de la

proporcionalidad. Las siguientes tablas muestran los resultados obtenidos de manera

comparativa. La prueba fue desarrollada por 40 estudiantes del curso de séptimo.

Al igual que lo hecho en la prueba de entrada, se realiza un análisis por separado de los tipos

de respuestas dadas por los estudiantes en cada uno de los ejercicios o problemas propuestos,

para lo cual se agruparon en grupos de según la naturaleza de lo que se está indagando o

buscando con relación a la proporcionalidad. Las siguientes tablas relacionan el número de

respuestas categorizadas de acuerdo con las unidades de análisis y su porcentaje respectivo.

Las unidades de análisis son las mismas utilizadas en la prueba de entrada y lo que

plasmamos son los resultados obtenidos por los estudiantes.

Ejercicios 1, 2, 3 y 6:



Tabla 17

Resultado respuesta ejercicios 1, 2, 3 y 6

0 1 2 3 4 5 6

Ejercicio

1

#Respuestas 0 0 10 2 27 1 0

% 0,0 0,0 26,3 5,3 65,8 2,6 0,0

Ejercicio

2

#Respuestas 0 0 9 4 25 2 0

% 0,0 0,0 23,7 10,5 60,5 5,3 0,0

Ejercicio

3

#Respuestas 0 1 8 3 23 4 1

% 0,0 2,6 21,1 7,9 55,3 10,5 2,6

Ejercicio

6

#Respuestas 0 1 23 4 12 0 0

% 0,0 2,6 60,5 10,5 26,3 0,0 0,0 Fuente: Elaboración propia

Ejercicios 4 y 5:

77

Los resultados obtenidos en la prueba de salida con base a las unidades de análisis son los

siguientes.

Tabla 18

Resultado respuesta ejercicios 4 y 5

0 1 2 3 4 5

Ejercicio

4


% 0,0 5,3 5,3 47,4 36,8 5,3

Ejercicio

5


% 0,0 0,0 7,9 68,4 13,2 10,5 Fuente: Elaboración propia

Ejercicio 7

De acuerdo con estas unidades de análisis los resultados obtenidos por los estudiantes en este

ejercicio se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 19


0 1 2 3 4 5

Ejercicio

7


% 0,0 5,3 42,1 23,7 28,9 0,0 Fuente: Elaboración propia

Ejercicios 8, 9 y 10

De acuerdo con estas unidades de análisis, los resultados obtenidos por los alumnos en estos


Tabla 20

Unidades de análisis ejercicios 8, 9 y 10

0 1 2 3 4 5 6

Ejercicio

8

#Respuestas 0 10 14 4 7 5 0

% 0,0 26,3 36,8 10,5 13,2 13,2 0,0

Ejercicio

9

#Respuestas 0 2 17 0 12 9 0

% 0,0 5,3 44,7 0,0 26,3 23,7 0,0

Ejercicio

10

#Respuestas 0 2 12 0 16 10 0

% 0,0 5,3 31,6 0,0 36,8 26,3 0,0 Fuente: Elaboración propia

Ejercicio 11

78


siguientes:

Tabla 21


0 1 2 3 4 5

Ejercicio

11


% 0,0 68,4 10,5 18,4 13,2 21,1


Ejercicio 12


siguientes:

Tabla 22


0 1 2 3

Ejercicio

12

#Respuestas 0 26 8 6

% 0,0 68,4 15,8 15,8


Ejercicio 13


siguientes:

Tabla 23


0 1 2 3 4

Ejercicio

13

#Respuestas 0 28 12 0 0

% 0,0 73,7 26,3 0,0 0,0


79

Conforme con los resultados de la prueba de salida, se realizó un comparativo en el que se

evidenció una mayor comprensión en el manejo del concepto de proporcionalidad, y en donde

los estudiantes tuvieron como herramienta la razón, en el momento de realizar las comparaciones

presentadas; también porcentualmente hay menos errores cometidos por los estudiantes en el

momento de aplicar estrategias multiplicativas relacionadas con el concepto de razón, es decir,

disminuyeron las dificultades en manejo de la transición de lo aditivo a lo multiplicativo.

Para establecer una análisis comparativo entre las dos pruebas y analizar el impacto de la

secuencia en los estudiantes con relación a la comprensión de la proporcionalidad, decidimos

aplicar la Prueba T Student para muestras relacionadas o apareadas, la cual nos permitió

comparar las medias o promedios de 30 estudiantes escogidos al azar de nuestro grupo de

trabajo, para poder plantear hipótesis e inferir si la intervención de nuestra secuencia logro

alguna variación ya sea de incremento o diminución en el grupo escogido, asi mismo establecer

pregunta por pregunta la variación o cambio en la comprensión de la proporcionalidad. Es

importante establecer la condición de comprensión asociado a la proporcionalidad que se

buscaba en el instrumento aplicado en cada una de sus preguntas (tabla 24).

Tabla 24

Nivel de comprensión en cada pregunta

# de

pregunta

Nivel de comprensión en cada pregunta

1 Comparación de razones



80

4 Identificación de razones

5 Identificación de razones



8 Proporcionalidad y condición de regularidad



11 Proporcionalidad en porcentajes




El siguiente es el análisis estadístico realizado, para el comparativo de las dos pruebas:

El estudio es de tipo transversal pues se está midiendo la capacidad de responder

correctamente una prueba de 13 puntos acerca del manejo de proporcionalidad matemática,

antes y después de trabajar una secuencia didáctica. Se tiene las respuestas de un total de 30

estudiantes para los dos momentos evaluados.

Evaluar si hubo diferencia significativa entre los resultados del antes y el después con

respecto a la prueba en general. Se usará una prueba paramétrica, T de Student para muestras

pareadas donde cada muestra es el promedio de calificaciones que se obtuvo por pregunta en los

dos momentos, según lo establece la tabla 25.

81

Tabla 25

Promedio de calificaciones por pregunta

Pregunta

# 1 2 3 6 4 5 7 8 9 10 11 12 13

Antes 3.45 3.26 3.32 2.18 3.18 2.84 2.55 1.87 1.95 2.58 1.61 1.00 1.00

Después 3.45 3.47 3.53 2.61 3.32 3.26 2.76 2.50 3.18 3.47 1.97 1.47 1.13


Hipotesis Nula (Ho): No existe diferencia entre el promedio de calificaciones antes y después.

Hipotesis Alternativa (H1): Hubo diferencias entre el promedio de calificaciones antes y

después.

Para contrastar las hipótesis establecidas, se corre una prueba T-Student para muestras

pareadas con un en el software R. Los valores obtenidos son:

grados de libertad

El intervalo de confianza del 95%:

Es decir que el 95% de las veces, la diferencia entre el promedio de calificaciones de la

segunda prueba con respecto a la primera estará entre 0.2 y 0.6 puntos por encima. Como el

valor calculado es mayor al valor teórico para la distribución , hemos

encontrado evidencia estadística que permite rechazar la hipótesis nula, por lo tanto,

efectivamente existe una diferencia entre el promedio de calificaciones antes y después de

trabajar la secuencia didáctica. Esto nos permito ver en la tabla 25 diferencias estadísticamente

significativas entre los promedios de los resultados obtenidos por los estudiantes en (8) de las

preguntas del instrumento aplicado al iniciar y al finalizar la intervención, con resultados más

altos en el final las asociadas a identificación de razones y a la proporcionalidad y condiciones de

82

regularidad, es decir se aumenta el promedio categorizado en estas preguntas, sin embargo en las

pregunta primera y las que relacionan la proporcionalidad de porcentajes (11,12 y 13) no hubo

variación significativa de mejoría con relación a este aspecto de comprensión. De todas formas

es importante resaltar la mejoría de la comprensión de la proporcionalidad en los estudiantes.

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

La finalidad de nuestra investigación consistió en implementar una secuencia didáctica, de tal

forma que se permitiera abordar de una manera distinta el manejo de la proporcionalidad, en

especial a lo que respecta al algoritmo de la regla de tres simple directa.

83

A través de situaciones problemas y a la interacción con un software de geometría dinámica,

buscamos impactar y por consiguiente favorecer una mejor comprensión del concepto de

proporcionalidad a nuestro grupo de estudiantes de grado séptimo de la institución colegio

República de Colombia. Como se referenciara en los resultados de nuestra investigación, las

estrategias aplicadas, aunque no fueron del todo lo que se esperaba si se presentó un impacto

positivo en la comprensión de la proporcionalidad.

La práctica pedagógica duro aproximadamente 10 meses, teniendo en cuenta que se empezó

aplicando la prueba de entrada, la cual fue un insumo valioso para poder identificar la

comprensión de los estudiantes respecto a la proporcionalidad, esta permitió según la indagación

darnos una ruta a seguir en nuestra propuesta. Luego distanciado por un cese de actividades

académicas se pudo reiniciar la propuesta pedagógica y la secuencia de actividades, para al

finalizar con la aplicación de la prueba de salida.

Se presentaron dificultades de tipo anímico, ya que la receptividad en un inicio con los

estudiantes respecto a las actividades propuestas no fue la mejor, debido a la forma tradicional en

que se trabajaba en el aula, como era explicaciones magistrales y una serie de ejercicios

automáticos sin ningún criterio de comprensión. Gradualmente se fueron involucrando y

motivando en la forma en que se planteó las actividades y se generó una gran oportunidad de

interacción entre compañeros, al igual que se dinamizó la participación e interés en el

aprendizaje.

7.1 Principales resultados de la investigación.

La intervención pedagógica realizada en este grupo de estudiantes muestra que se logró una

adecuada comprensión en aspectos de la proporcionalidad, relacionados a la comparación e

identificación de razones, que según (Fernández & Llinares, 2012) plantea la necesidad de

84

centrar la atención en la enseñanza sobre el análisis de las relaciones entre las cantidades de las

situaciones como un objetivo explícito. También se evidenció la comprensión a partir de los

problemas y situaciones que propiciaron estrategias para ser solucionados, como por ejemplo un

manejo adecuado de la transición de lo aditivo a lo multiplicativo, ya que dichos problemas

provocaron nuevas necesidades y permitieron construir y justificar técnicas «nuevas», de

acuerdo a lo afirmado por (Bosh & Gascon, 2004, p.205-206).

El desarrollo de la practica basada en la resolución de problemas, permitió a medida que se

avanzó en las actividades, mostrar una mejor comprensión de la proporcionalidad por parte de

los estudiantes, sin el mecanismo aprendido de cursos anteriores de la «regla de tres» y no

llevarlos a su uso indiscriminado según lo enunciado por (Godino & Batanero 2002), que no les

permitía un real discernimiento de este tipo de relaciones.También se pudo apreciar en el

avance de las primeras actividades que los estudiantes necesitaban identificar y comparar

razones, para entrar en el campo de situaciones problemas, para lo cual la secuencia fue una

acertada guía del impacto causado en el aprendizaje.

Las dos actividades mediadas por el software GeoGebra, que fueron aplicadas al final de la

secuencia de actividades, nos ofrecieron grandes posibilidades de evidenciar el aspecto

motivante que tienen las nuevas tecnologías de la información y comunicación (TIC), a los

estudiantes. Sin embargo la actividad que posibilitaba interactuar con problemas no fue lo más

enriquecedora, ya que la dinámica de plantear soluciones, inconscientemente llevó a los

estudiantes al algoritmo de la regla de tres y desafortunadamente malogró el objetivo propuesto

de una comprensión más rigurosa de la comparación de razones. La actividad de semejanza de

triángulos con el software nos permitió reconocer en los estudiantes, grandes avances en la

comparación de magnitudes, en este caso la relación de semejanza de triángulos, al igual que

85

fue un facilitador para establecer propiedades, interpretaciones y relaciones, que apuntaban a

favorecer la comprensión de la proporcionalidad desde un aspecto geométrico.

Los resultados obtenidos de las conversaciones, las entrevistas y el material escrito sobre el

impacto del sofware en la comprensión de aspectos relacionados a la proporcionalidad,

mostraron que desde la manipulación de la secuencia, sus variables, entre otros aspectos,

apuntaron a una correcta interpretación y comparación de razones. Es de aclarar la dificultad

inicial que se presentó en el momento de familiarizarse con el manejo del software. Tal vez el

inconveniente de instruir al estudiante y el tiempo que se requiere, es lo que hace que este tipo de

actividades no se aborden con la frecuencia que se debiera o como lo anuncia (Acosta, 2005), los

maestros experimentan serias dificultades para integrar el software educativo (especialmente el

de geometría dinámica) en la enseñanza, a pesar de su gran potencial didáctico.

La adaptación realizada a la tesis doctoral, en la que solo tomamos apartes relacionados a la

proporcionalidad directa, nos permitió actividades de gran impacto en la comprensión de la

proporcionalidad en los estudiantes, dichas actividades basadas en intercambio, comparación de

razones, condiciones de regularidad e interpretación; nos permitió medir cualitativamente dicho

impacto, pero cuantitativamente se realizó un análisis con la aplicación de la Prueba T Student.

La Prueba T Student nos brindó información estadísticamente significativa entre los

promedios de los resultados en 9 de las preguntas de la prueba aplicada al iniciar y finalizar el

curso, con resultados más altos en el final, como se aprecia en la tabla 24. Los niveles de

comprensión de estas preguntas se encuentran asociados a comparación de razones,

identificación de razones, y proporcionalidad. En 5 de las preguntas la tabla muestra que

comparativamente no hubo ningún cambio en aspectos de comprensión relacionados con

proporcionalidad en porcentajes. Esto corrobora que el impacto obtenido aunque fue

86

significativamente bueno en los aspectos antes mencionados, es necesario replantear y reforzar

aspectos relacionados a la proporcionalidad en contextos de porcentajes.

7.2 Recomendaciones y reflexión final

Es necesario replantear la enseñanza tradicional que nosotros los maestros hacemos de la

proporcionalidad. Esta propuesta investigativa muestra que es factible una práctica docente

diferente y ajustada a unos fundamentos teóricos, en la que la mediación de unos problemas

estructurados y un sofware de geometría dinámica, que permiten abordar de una manera

diferente el aprendizaje de este concepto tan utilizado en nuestra cotidianidad.

Se requiere replantear situaciones problemas en las que intervienen magnitudes de

porcentajes, ya que la práctica evidenció una serie de dificultades de interpretación y

comprensión en el momento en que se abordaban dichas cantidades.

Consideramos que es conveniente hacer un mayor uso de softwares educativos, que va en

concordancia con las características del estudiante de hoy en día, es decir en un mundo mediado

por las nuevas tecnologías, en las que ellos tienen grandes habilidades y por consiguiente los

motiva.

La investigación realizada nos deja con un gran compromiso de cambiar nuestras prácticas de

aula y nos concientiza de la necesidad de disponer de criterios, técnicas e instrumentos

específicos para la elaboración del conocimiento matemático y así para favorecer las

potencialidades de los estudiantes.

ANEXOS

87

ANEXOS 1

PRUEBA DE ENTRADA Y SALIDA

PRUEBA DE PROPORCIONALIDAD (DIAGNÓSTICO Y SALIDA)

NOMBRE DEL ALUMNO: _______________________________________

GRADO: _____________________FECHA: _____________________EDAD_______

La siguiente prueba hace parte de una investigación sobre Educación Matemática. Las

respuestas suministradas por ustedes constituyen un valioso aporte para el éxito de este

trabajo.

INSTRUCCIONES:

➢ Este cuestionario debe realizarse en su totalidad.

➢ Este cuestionario consta de trece (13) problemas en total.

➢ Los problemas del cuestionario deben ser abordados estrictamente en el orden en que

aparecen, sin dejar de contestar ninguno de ellos.

➢ Escriba su(s) respuesta(s) a cada problema, realizando la operación matemática que la

justifique o con sus palabras escriba el porqué.

➢ Una vez que tenga claras las instrucciones, dé inicio y no olvide marcar con su nombre

completo y edad.

Ejercicio 1:

En el banco A cambian 120 dólares por 170 euros, y en el banco B cambian 180 euros

por 130 dólares. Si quieres cambiar euros a dólares, ¿a qué banco irías?

Ejercicio 2:

El futbolista N ha marcado 18 goles en los 22 partidos que ha jugado; mientras que el

futbolista P ha marcado 25 goles en los 38 partidos jugados, ¿qué futbolista ofrece mayor

rendimiento goleador?

Ejercicio 3:

Una receta de naranjada indica que hay que mezclar 0,5 litros de naranja con 1,5 litros de

88

agua. Otra receta dice que hay que mezclar 1,5 litros de naranja con 5 litros de agua,

¿cuál de las dos recetas proporciona un sabor de naranja más fuerte?

Ejercicio 4:

En sexto aprobé 7 asignaturas y en séptimo aprobé también 7 asignaturas. ¿En qué curso

obtuve mejor rendimiento?

Ejercicio 5:

En el colegio A hay matriculados 450 alumnos, y en el colegio B hay matriculados 320

alumnos. En el colegio A hay 35 profesores, mientras que en el colegio B hay 25

profesores. ¿En cuál de los colegios los alumnos obtienen mejores calificaciones?

Ejercicio 6:

En una tienda, si compras 3 discos, te regalan 4 camisetas, y en otra tienda te regalan 5

camisetas al comprar 4 discos, ¿en qué tienda es más rentable comprar?

Ejercicio 7:

Cuatro vacas negras dan tanta leche en cinco días como tres vacas marrones en seis días.

¿Qué clase de vaca es más lechera, la negra o la marrón?

89

Ejercicio 8:

Para hacer hormigón un albañil junta 2 kilos de cemento con 4 kilos de arena. Si quiere

fabricar 12 kilos de hormigón ¿cuántos kilos de cada material debe utilizar? ¿Y si quiere

fabricar 100 kilos?

Ejercicio 9:

3 docenas de huevos cuestan 3000 pesos. ¿Cuánto costarán 25 huevos?

Ejercicio 10:

Un grupo de 3 obreros tarda 2 días en embaldosar una superficie de 200 metros

cuadrados. ¿Cuántos días tardarán en embaldosar una superficie de 350 metros

cuadrados?

Ejercicio 11:

En el Parque del Agua hay una gran variedad de árboles. El 7% de ellos son olmos y el

11% fresnos. Sabemos que hay 468 olmos.

i. ¿Cuántos árboles hay en total?

ii. ¿Cuántos de dichos árboles son fresnos?

iii. ¿Cuál es la razón entre fresnos y olmos?

iv. ¿Cuántos pinos hay en parque del agua?

90

Ejercicio 12:

En una tienda de ropa ves el siguiente cartel: ¿Qué opinas?

¡¡ Rebajas del 20%!!

Antes $ 17.000

Ahora $ 14.500

Ejercicio 13:

En un anuncio de un auto nos dicen que el nuevo modelo consume un 15% menos de

gasolina que el modelo antiguo. El modelo antiguo gasta 7 litros de gasolina cada 100

kilómetros.

i. ¿Cuántos litros de gasolina necesita el modelo antiguo para recorrer 175 kilómetros?

ii. Hacemos una prueba con el nuevo modelo y descubrimos que necesita 9 litros para

recorrer 150 kilómetros. ¿Es engañosa la publicidad?

ANEXOS 2

ACTIVIDAD 1

Cartel visible en el salón de clase.

91

El trabajo del grupo es decidir cuántos pitillos se obtienen a cambio de las tarjetas contenidas en

el sobre. La decisión tomada por el grupo debe ser reflejada en la ficha en la que deben incluir

tanto el número de pitillos correspondiente como un razonamiento o explicación del método que

utilizaron.

Cada grupo recibió tijeras y unos 25 pitillos. Además cada grupo tiene un sobre grande en el cual

hay 6 sobres más pequeños.

1. De acuerdo con el cartel que se encuentra en el tablero, llenen las fichas teniendo en

cuenta los requerimientos de cada sobre.

Nombres: ________________________

________________________

Tarjetas que hay en el sobre: _____

Pitillos entregados a cambio de las tarjetas: _____

Razonamiento

2. Después de llenar las fichas completen la siguiente tabla.

TARJETAS PITILLOS RAZONAMIENTO

4

6

2

92

8

6

10

1

3

ANEXOS 3

ACTIVIDAD 1-A

93

COLEGIO REPÚBLICA DE COLOMBIA I.E.D

GUÍA DE TRABAJO GRADO SÉPTIMO

SEGUNDO PERÍODO 2017

Nombres _________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

Curso: _______________ Fecha: ________________________________

Materiales: Guía de trabajo, 20 pitillos, 20 tarjetas en cartulina y tijeras.

Parte 1

Observa el dibujo. En él se indica que, por cada seis pitillos, podemos obtener a cambio cuatro

tarjetas. Recuerda que ya has trabajado en clase una situación parecida.

Completa la siguiente tabla, indicando cuántas tarjetas obtendrías a cambio de cada una de las

cantidades de pitillos que se indican. Explica bien tu razonamiento en cada caso.

PITILLOS TARJETAS RAZONAMIENTO

6

4

3

9

1

4

94

5

7

Parte 2

¿Cuál es la razón entre tarjetas y pitillos? ¿Qué significado tiene esa razón en esta

situación?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

ANEXOS 4

ACTIVIDAD 2

96

ANEXOS 5

ACTIVIDAD 3

COLEGIO REPÚBLICA DE COLOMBIA I.E.D


SEGUNDO PERÍODO 2017

Nombres: _________________________________________ Grupo_________

_________________________________________

_________________________________________

Actividad 3. Reconocimiento de condiciones de regularidad y razones

En clase hemos visto que para poder definir una razón entre dos magnitudes es

necesario que se cumplan ciertas “condiciones de regularidad”. A continuación te

presentamos varias situaciones. En cada una de ellas te pedimos que definas todas las

razones que aparezcan, que digas lo que significan y que indiques cuáles son las

“condiciones de regularidad” necesarias para poder definir dichas razones. Si en

alguna de ellas no puedes definir ninguna razón entre las magnitudes que aparecen,

indica el por qué.

Nombres: __________________________________ Grupo _______

__________________________________

__________________________________

A) Si tuvieras que cambiar pitillos por tarjetas, ¿qué cartel te resulta más ventajoso?

Razónalo.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

____________________________________

B) Si tuvieras que cambiar tarjetas por pitillos, ¿qué cartel te resulta más ventajoso?

Razónalo.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

________________________________________

¿Has utilizado material?_________________________________

_____

97

Situación 1: En una tribu del

Amazonas cambian 5 lanzas por 3

escudos.

Situación 2: En 4 horas limpió 37 cristales.

Situación 3: Laura tiene 10 años y

tiene una estatura de 120 cm.

Situación 4: En la planta 5 hay 28 enfermos

ingresados.

Situación 5: Al comprar 3

camisetas me regalaron 4 discos.

Situación 6: Mis 2 perros tardan 4 días en

terminarse 1 saco de comida.

Situación 7: Por 125 dólares me

han dado 155 euros.

Situación 8: Para preparar naranjada se

mezclan 3 litros de zumo de naranja con 5

litros de agua.

Situación 9: El 10 de junio cumplí

16 años.

Situación 10: Leyendo 2 horas al día tardo 7

días en terminar un libro de 426 páginas.

98

ANEXOS 6

ACTIVIDAD 4

COLEGIO REPÚBLICA DE COLOMBIA IED


TERCER PERIODO 2017

Nombres: _________________________________________ Grupo_________

_________________________________________

_________________________________________

Actividad 4. Reconocer magnitudes directamente proporcionales

Recuerda que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando podemos

definir una razón entre ellas (teniendo en cuenta que se deben cumplir ciertas

condiciones de regularidad).

En cada uno de los ejercicios:

1. Busca una pareja de magnitudes que sean directamente proporcionales, señalando la

condición de regularidad que deben cumplir. ¿Qué significado tiene la razón entre

ellas?

2. Busca una pareja de magnitudes que no sean directamente proporcionales, indicando

las razones por las que no lo son.

Ejercicio 1:

Velocidad en kilómetros por hora. Distancia, en kilómetros, recorrida por el móvil.

Edad, en años, del conductor. Tiempo, en horas, empleado en el recorrido.

El número de la matrícula del coche. El número de pasajeros.

Ejercicio 2:

Número de alumnos en el patio. Superficie, en metros cuadrados, del patio de recreo.

Edad media de los alumnos. Estatura media de los alumnos.

Anchura del patio. Hora de comienzo de las clases.

Ejercicio 3:

Número de libros. Número de páginas.

Precio de cada libro. Edad, en años, del comprador.

El tamaño de la letra del texto. Número de fotografías de cada libro.

99

ANEXOS 7

ACTIVIDAD 5



TERCER PERIODO 2017

Nombres: ____________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Curso: ________ Fecha: __________________________________

Cada grupo cuenta con un computador, en el escritorio hay una carpeta llamada ACTIVIDADES

MATEMÁTICAS, en ella hay tres archivos en el programa GeoGebra las cuales deben

desarrollar primero de manera individual y luego de manera grupal de acuerdo con las

indicaciones del profesor.

ACTIVIDAD 5

1. Deben abrir el archivo llamado “Situaciones Problema”. En este archivo encontrarán varias

situaciones que deben resolver utilizando los conocimientos y estrategias adquiridos en las

actividades anteriores. (Razones, intercambio, tablas, etc).

2. Al abrirlo encontrarán tres botones llamados: Pista, Corregir y Otro. Asimismo, encontrarán

una casilla llamada Respuesta, en la cual deben consignar la solución al problema después de

realizar todos los “procedimientos y razonamientos” necesarios (Deben borrar primero el

signo de interrogación).

3. Cada situación resuelta con sus respectivos “procedimientos y razonamientos” tendrá un

valor de 3.5 puntos y el trabajo termina cuando el grupo acumule al menos 10 puntos.

4. Cabe anotar que cada vez que opriman el botón Pista el valor de la situación disminuirá de la

siguiente manera:

a. Si no se utiliza la situación tendrá un valor de 3.5 puntos.

b. Si se utiliza una vez la situación tendrá un valor de 3.0 puntos.

c. Si se utiliza dos veces la situación tendrá un valor de 1.5 puntos

d. Si se utiliza tres veces la situación tendrá un valor de 1.0 punto.

5. Solo deben oprimir el botón “Corregir” cuando estén completamente seguros de su

respuesta, esto lo pueden realizar haciendo o no uso del botón “Pista”. Cuando la

“Respuesta” sea falsa, no obtendrán puntos y deben oprimir el botón “Otro”, el cual los

llevará a otra situación.

6. A continuación, deben escribir las situaciones que van resolviendo, consignar los

procedimientos y razonamientos, y llamar al profesor cada vez que solucionen una de estas

situaciones.

100

ANEXOS 8

ACTIVIDAD 6



TERCER PERIODO 2017

Nombres: ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Curso: ________ Fecha: ____________

Cada grupo cuenta tres computadores, en el escritorio encontraran un archivo llamado

TRIANGULOS1 en el programa GeoGebra , el cual deben desarrollar primero de manera

individual y luego de manera grupal de acuerdo con las indicaciones del profesor.

ACTIVIDAD 6

1. En este archivo encontrarán en la parte superior izquierda: tres segmentos rojo, azul, verde, cada uno con una letra (a, b, c) en la parte inferior y un valor numérico asignado a cada letra. También encontrarán un vector “v” y un “deslizador” simbolizado con la letra k.

2. ¿Cómo es el ∆EKF en comparación con el ∆QTR? Expliquen sus respuestas. ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

3. Ubique el puntero del mouse sobre el punto grande que se encuentra en el deslizador k y llévelo hacia la derecha hasta que k=2. Escriban qué sucedió.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

4. Encuentren la razón entre EK y QT.

5. Encuentren la razón entre EF y QR.

6. Encuentren la razón entre KF y TR.

7. Escriban una conclusión de lo sucedido anteriormente.

____________________________________________________________________

101

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

8. Encuentren la razón entre EK y EF, y la razón entre QT y QR. Escriban una conclusión.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

9. Encuentren la razón entre EK y KF, y la razón entre QT y TR. Escriban una

conclusión. ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

10. Encuentren la razón entre EF y KF, y la razón entre QR y TR. Escriban una conclusión.

__________________________________________________________________

____________________________________________________________________

11. Ubique el puntero del mouse sobre el punto grande que se encuentra en el deslizador k y llévelo hacia la derecha hasta que k=0.5. Escriban qué sucedió.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

12. Encuentren la razón entre EK y QT.

13. Encuentren la razón entre EF y QR.

14. Encuentren la razón entre KF y TR.

15. Escriban una conclusión de lo sucedido anteriormente.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

16. Encuentren la razón entre EK y EF, y la razón entre QT y QR. Escriban una conclusión.

102

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

17. Encuentren la razón entre EK y KF, y la razón entre QT y TR. Escriban una

conclusión. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

18. Encuentren la razón entre EF y KF, y la razón entre QR y TR. Escriban una conclusión.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

19. Ahora tomen el punto del extremo derecho del segmento rojo y deslícelo a

derecha o izquierda. Escriban que sucedió

20. Realicen el mismo procedimiento con el segmento azul y luego con el verde.

21. Escriban conclusiones de cómo son los triángulos después de realizados todos estos cambios.

ANEXOS 9

Formato básico de Entrevista semiestructurada

Formato 1

Las siguientes fueron las preguntas que se organizaron y estructuraron, las cuales se les

efectuó al grupo observado (G9), conformado por los tres estudiantes las cuales se realizaron

en diferentes momentos de la intervención y nos permitió determinar el impacto de la

implementación de la secuencia en la comprensión del concepto de proporcionalidad

acudiendo a la resolución de problemas y a la utilización del Software GeoGebra.

De las respuestas que daban a las preguntas de este formato los estudiantes, emergieron nuevas

103

que básicamente tenían el mismo propósito de indagar la utilidad de la secuencia respecto a la

comprensión de la proporcionalidad.

1. ¿Cómo te pareció las actividades realizadas?

2. ¿Qué entendiste por una razón entre magnitudes?

3. ¿Qué consideraciones tiene sobre el aprendizaje realizado utilizando problemas?

4. ¿Qué resaltarías del trabajo en la sala de sistemas con el programa de GeoGebra?

5. ¿Has podido comprender lo que es una condición de regularidad?

6. ¿Qué aspectos del concepto de proporcionalidad has comprendido con la actividad de

triángulos?

7. ¿Cómo te parecido interactuar con problemas de proporcionalidad utilizando el

GeoGebra?

ANEXOS 10

Pantallazo actividad 5 de problemas GeoGebra

104

ANEXOS 11

Pantallazo actividad 6 de semejanza de triángulos con el GeoGebra

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