ELEMENTOSREVISTA DÉ MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

Año I Setiembre - Octubre 1963 Número 2

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Planteo y ejecución de una reforma.

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Semblanzas: Florencio D. Jaime

ÜTemas denuestro tiempo:- La revolución en la matemá­

tica. (continuación)por Marshall H. STONE

\Aspectos de la reforma en Esta­dos Unidos

Panorama:; ' • i

Transformaciones geométricas planasEl número real definido por su­cesiones

Orientación1

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Problemas del relojProblemas1 por José BAB1NI

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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIAi

Año I Setiembre - Octubre 1963 Número 2

Planteo y Ejecución de una ReformaLa intención no es asustar, sino despertar el entusiasmo para

el establecimento de un mejor programa de enseñanza escolar.Informe del Seminario de Royaiunont (1959)I

Convengamos en que, si la tarca educativa no ha de caer en la rutina, si su fundamento ha de ser algo más que mero empirismo, todo acto docente debe ser precedido por la debida reflexión crítica de sus finalidades, contenidos y procedimientos. Por eso, en pleno desarrollo el proceso renovador que se opera en el campo de la enseñanza de la matemática, es oportuno abordar las cuestiones que su planteo y eje­cución implican.

Ante todo, entendemos que cualquier reforma debe estar obje­tiva e incuestionablemente fundada. No la concebimos originada por un afán iconoclasta o por la simple imitación. La tarea educativa es un acto totalmente consciente y responsable. Corresponde, pues, sope­sar en primer término las razones científicas, sociales, pedagógicas y de cualquier otra índole que inducen ai cambio. En pocas palabras, debe poder responderse afirmativa y rotundamente a la pregunta ini­cial del planteo: ¿Es necesaria la reforma?

Con esta convicción, se puede entrar a dilucidar su carácter, su extensión y sus propósitos, definiéndolos concisa y nítidamente. Es la mejor manera de evitar excesos y desviaciones. Se requieren respues­tas satisfactorias y precisas para los siguientes interrogantes: ¿Se

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trata de una reforma del contenido o de la didáctica? ¿Qué alcance debe tener? ¿Qué objetivos de carácter formativo, informativo o ins- frumental se propone conseguir la nueva orientación?

Surge luego el problema de la ubicación y la distribución de la reforma en el esquema general de la enseñanza, atendiendo a las fi­nalidades de los distintos ciclos y sus especialidades, a las caracterís­ticas y capacidades de los alumnos, a las exigencias de la comunidad en que la enseñanza se desarrolla. Se requieren también, sin duda, respuestas satisfactorias y precisas para preguntas tales como: ¿La- reforma debe abarcar sólo a la escuela media? ¿Las distintas especia­lidades —técnica, comercial, bachillerato, etc.— se ajustarán a un plan único? ¿Satisface o se adapta a las necesidades del medio en que la escuela actúa o el alumno actuará? ¿Están los alumnos en condicio­nes de afrontarla?

Aclarado debidamente lo que antecede, se adopta como hipóte­sis de trabajo esa reforma, perfectamente ubicada y delimitada, y se entra al terreno de la acción. Allí se irán sucediendo los problemas cuyas soluciones no pueden eludirse: determinación del nuevo conte­nido de la asignatura en programas coherentes y del nuevo enfoque didáctico en normas de orientación claras; adaptación de los docentes encargados de ejecutarla y de los planes de formación de nuevos edu­cadores; ejecución de una adecuada experimentación didáctica, con­fección de los textos y del material de enseñanza indispensables, im­prescindible estudio de la financiación de la obra proyectada.

Tales son las cuestiones más importantes que se deben estudiar y resolver antes de que se pueda generalizar una reforma.

SlUBLñiaiaS

Florencio D. Jaime

¡El año 1926 señala un cambio radical

en la enseñanza de la matemática en nuestra escuela media; la audaz refor­ma de entonces perdura todavía en sus ideas principales a través de los progra­mas actuales. El nombre de su autor —el Profesor Florencio D. Jaime— está así innegablemente ligado a las cuatro úl­timas décadas de la labor docente en ese campo.

Inspirado en las corrientes de la épo­ca, vigentes sobre todo en la escuela italiana, Jaime introdujo con esta refor­ma el concepto primitivo de conjunto y la relación de coordinabilidad, para abs­traer la idea de número natural, des­arrollando luego la aritmética con la generalización progresiva de esa idea según el método genético. En cuanto a la geometría, organizó su enseñanza si­guiendo las líneas del formalismo hil- bertiano, en boga a la sazón a través de los conocidos textos de Enriques y Amaldi. Aún los críticos más severos destacaron los méritos científicos del plan, el cuidado en la fundamentación y ordenación de los distintos temas, la introducción de un lenguaje matemático correcto y la claridad de su orientación.

Al desarrollarlo, Jaime puso de mani­fiesto su preocupación por la perfección orgánica de la asignatura y un ponde­rado esfuerzo por evitar su destrucción al trasmitirla a los educandos. Que esta inquietud no es circunstancial sino per­manente a través de su larga actuación, lo muestran sus recordados cursos de

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LOS EDITORES

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En cualquier grado de la enseñanza, el educador se destaca por la importancia y significado de su tarea, pero sobresale mucho más en la educación secundaria por la índole y com­plejidad do la edad a que se dirige. El profesor debe tener conocimiento de su misión y no creer que su tarea se reduce simplemente a impartir un saber determinado. Además de — amplia cultura general continuamente renovada y de una inten- sane^pec^a^^a<^. <lue no ca*f>a' °n atrasos, el profesor tiene que reflejar una firme conciencia de los fines pedagógicos, unida a mía experiencia real y efectiva de los métodos que aplicará para la realización de esos objetivos.

fundamentación de la geometría, sus trabajos sobre teoría de conjuntos y arit­mética de Peano, sus clases más recien­tes sobre álgebra de Boole y lógica ma­temática.

El Profesor Jaime egresó como tal en 1915 del viejo Instituto de Valentín Gómez y desde entonces sigue siendo ejemplo de tenaz consagración a la actividad do­cente, que siempre ha prestigiado con indiscutida dedicación. En ese estableci-

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una

JUAN MANTOVANI “Nuestra absurda educación secundaria” Mundo Argentino; 8 de agosto de 1956.

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JEMAS DE NUESTRO TIEMPOmiento desempeñó durante muchos años la cátedra de metodología y práctica de la enseñanza. Desde ella, —y desde su cargo de Inspector de Enseñanza Secun­daria— preconizó fervorosamente la apli­cación del método heurístico; ya en las instrucciones para los programas de 1926 señalaba: "Los enunciados de los postu­lados o de los teoremas

la sensación de lo que debe ser toda lección de matemática. Los que fueron sus discípulos lo recuerdan como magní­fico modelo de profesor ante los alumnos secundarios.

En su larga carrera docente, el Profe­sor Jaime llegó a ocupar los más altos cargos. Hoy, ya septuagenario —nació en Paraná el 21 de octubre de 1892— continúa desempeñándose gallardamente, con el mismo aplomo y la responsabili­dad de siempre, en la cátedra honoraria de Fundamentación de la Matemática en el Instituto Superior del Profesorado, con la satisfacción de ser útil y brindar ejemplo de laboriosidad.

laLa Revolución

Matemáticaen(0

no se impon­drán dogmáticamente. Se llegará a ellos por observación de casos concretos, en los que podrán hacerse comprobaciones experimentales o intuitivas". Y se preo­cupó también por la preparación minu­ciosa de cada clase, de modo desarrollo ordenado diera al adolescente

MAKSHAIiL H. STONE (Universidad de Chicago - EE. UU.)I

Igualmente notable ha sido la extensa formación de fructíferos contactos entre el álgebra y las otras ramas de la ma­temática. Hoy nos es fácil comprender por qué en estas últimas, desempeña el álgebra un papel tan importante; pero la historia muestra que los matemáticos han sido muy lentos para advertir esta relación y para aprender a explotarla

éxito. En efecto, cada parte de la matemática comprende, como es obvio, el comportamiento de objetos que le in­teresan con respecto a operaciones apro­piadas —es decir que los sistemas mate­máticos que se estudiarán están, en úl­tima instancia, ligados a ciertos sistemas algebraicos. Corrientemente, cuando es­tos sistemas son seleccionados con acier­to y analizados según principios alge­braicos generales, pueden conseguirse importantes descubrimientos e informa­ción. En geometría, por ejemplo, los griegos reconocían la necesidad de es­tudiar las propiedades de ciertas opéra­

lo muestra la lectura

ALGEBRA MODERNAque suVeamos primero el álgebra. Por álge­

bra, o sistema algebraico, entendemos hoy un sistema matemático que com­prende ciertos elementos abstractos y ciertas operaciones finitas determinadas aplicables a ellos. En esencia, una operación es identificable con una rela­ción funcional; es finita si es una rela­ción entre un número finito de elementos. Así, los distintos sistemas numéricos estudiados en la matemática elemental —los de los números enteros, los núme-

racionales, los números reales y los números complejos— son álgebras con dos operaciones básicas: adición y mul­tiplicación. Nuestra moderna concepción del álgebra surgió del estudio de estos sistemas particulares por un proceso de abstracción y generalización que ha al­canzado ahora sus límites naturales; si procedemos a considerar relaciones que

operaciones finitas, nos encontra- tratando con sistemas matemáticos

en el sentido más general del vocablo y perderemos contacto con los caracteres guías sugeridos por los ejemplos de los que hemos partido. Durante el siglo XX, se ha avanzado técnicamente mucho en el estudio de los sistemas algebraicos, tanto que, aún al nivel de la instrucción elemental, necesitamos revisar y reorien­tar la presentación de nuestro conoci­miento algebraico. Es casi innecesario decir que los cursos de álgebra post­elementales son ya muy diferentes de

dictaban hace 50, o aún 25

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EXIGENCIAS DE LA PEDAGOGIALos matemáticos del siglo pasado, que

con tanto éxito lograron perfeccionar la geometría, no tuvieron

coninfluencia predominante los métodos ex­perimentales de las ciencias físicas y naturales.

En síntesis, y a la manera de primera aproximación, podemos decir que en la primera etapa el niño "re­cibe" conocimientos que por su corta edad no poseía; en la segunda, aprende el alumno a "manejar" ese material ad­quirido, utilizando la intuición, que se le ejercita convenientemente, y las nocio­nes de lógica que directa o indirecta­mente aprende; en la tercera, somete a crítica sus conocimientos, los reorganiza científicamente y se posesiona de los métodos de investigación que conducen hacia el progreso de la humanidad.

Por último, recomienda también la pe­dagogía, que el pasaje de un estado a otro de la enseñanza se haga en forma gradual, pues es indiscutible que toda transición brusca produce en estos ca­sos una perniciosa desorientación.

en cuenta, para realizar su delicada tarea, más fines que los propios de la ciencia, despreocupán­dose, por lo tanto, de que sus resultados pudieran ser accesibles o no para la mayoría de las personas. Ahora bien, si esto puede hacerlo el hombre de ciencia, el profesor, por el contrario, debe tener siempre en vista, para que su obra no resulte estéril, las condiciones de alumnos. Nacen así las exigencias pe­dagógicas relacionadas con el problema psicológico de la adquisición del cimiento.

una ros

sus

no son remoscono- ciones y, como

cuidadosa de los "Elementos" de Eucli- des, dedicaban gran parte de sus esfuer-

resolver ciertos problemas algebrai- forma geométrica. Como carecían

de técnicas algebraicas sencillas y no estaban preparados para la abstracción requerida, encontraron dificultades y complicaciones que desaparecieron una

Pues bien, la pedagogía moderna, cu­yos métodos racionales, bien experimen­tados ya, se han impuesto sobre los ar­tificiales y rutinarios procedimientos que habían quedado como resabios de la Edad Media, acepta en forma general que la enseñanza primaria debe tener un carácter objetivo y concreto; lo abs­tracto queda reservado para la enseñan­za superior y apenas comenzará a ejer­citarse la mente de los alumnos en esta clase de estudios en la enseñanza' se- cundaria, en la que hoy ejercen

zos a eos en

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FLORENCIO D. JAIME "La Enseñanza de la Geometría"

Revista Centro Profesores Diplomados,Año I, Bs. Aires, 1921

(1) Traducción, autorizada por el autor, del ar­tículo publicado en la revista "Liberal Education" EE. UU., volumen XLVTI. número II, Mayo 1961. páginas 304-327. Véase ELEMENTOS. N? 1. pág. 5.los que se

años.una

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vez que el papel del álgebra fue explí­citamente establecido por Descartes en el siglo XVII. La amplitud con que el álgebra puede contribuir al análisis no fue reconocida hasta mucho más recien­temente, en nuestro propio siglo. Una vez más, problemas difíciles, examinados con el auxilio de conceptos algebraicos, pueden llegar a ser mucho más claros y mucho más fáciles de resolver. Aún la lógica formal aparece, como ya he­mos tenido ocasión de observar, una parte del álgebra, en virtud de que trata con operaciones sobre símbolos. Aunque el álgebra ha sugerido mucho en esta conexión, su papel en la lógica no es tan importante como en la geo­metría o en el análisis. Hoy es inconce­bible que un matemático pretenda domi­nar la geometría o el análisis sin una firme base de elementos de álgebra, es­pecialmente de teoría de grupos y de álgebra lineal. La geometría, desde lue­go, descansa tan sólidamente sobre estas partes del álgebra que las dos discipli­nas deben ser vistas como inextricable­mente unidas. En ninguna parte es esto más evidente que en el campo de la topología, donde tan brillante progreso se está produciendo ahora. No había ninguna duda de que, inevitablemente, la estrecha asociación de estas dos ra­mas de la matemática influiría en la misma álgebra; en efecto, procedimien­tos que primero demostraron ser válidos en topología combinatoria, se han afin­cado ahora en el álgebra y han condu­cido a la creación de una nueva disci­plina conocida como álgebra homológica.

Fue también inevitable que la crecien­te importancia del álgebra en las otras partes de la matemática se reflejara en muchos campos donde se aplica esta última. Sin embargo, los contactos entre álgebra y matemática aplicada son cada vez mucho más directos, por que hay muchos casos en que los problemas de la matemática aplicada han sido formu­lados desde el comienzo en términos al­gebraicos. Esto es cierto, por ejemplo, tanto en el caso de la teoría cuántica del campo como en los del análisis de cir­cuitos, la programación lineal y la teoría de juegos, para citar unos pocos de los

_ ejemplos más importantes. De acuerdo

con esto, no es sólo el matemático puro sino también el matemático aplicado quien hoy necesita de una buena base de álgebra, especialmente de teoría de grupos, de álgebra lineal, o de ambas.

Una rama especial de la matemática que siempre ha tenido la más íntima vinculación con el álgebra —y que po­dría, por supuesto, ser considerada aún como una de sus partes— y en la cual los métodos del análisis no habían sido tan extensivamente usados, es la teoría de números. El estudio de las propieda­des aditivas y multiplicativas, y de otras propiedades algebraicas de los números naturales —es decir, de los números car­dinales finitos— ha ejercido siempre una tremenda fascinación. Muchos de los problemas de la teoría de números pue­den ser formulados muy simplemente con la terminología matemática del len­guaje común y son así fácilmente com­prendidos sin mucha preparación mate­mática. Entre ellos están algunos de los problemas más difíciles, aún no resuel­tos, de toda la matemática. Tales pro­blemas atraen la atención no sólo de los matemáticos serios sino también de los aficionados, y aún de los meros busca­dores de publicidad. ¿A quién no le gustaría resolver el famoso problema de Goldbach: mostrar que cada número tural es la suma de un número finito de números primos (quizás no más de tres)? Los problemas de la teoría de nú­meros no están restringidos a los con­cernientes a números naturales, ya que tienen generalizaciones o análogos en otros sistemas algebraicos. En verdad, este hecho ha conducido históricamente al desarrollo de conceptos y técnicas al­gebraicas muy útiles. En la misma for­ma, la reducción de ciertos problemas de la teoría de números a problemas de análisis matemático, ha estimulado profundas investigaciones en el último campo. Aunque el éxito de los métodos analíticos es incompleto en el caso de algunos de los más interesantes y difí­ciles problemas, ha sido, no obstante, suficientemente notable como para que, en años recientes, se haya dedicado gran cantidad de esfuerzos a idear ata-, ques mas elementales. Algunas conquis­tas destacables, tales como la demostró­

la completa dominación por el álgebra moderna. En consecuencia, algunas par­tes de la geometría permanecen casi sin ser afectadas por las técnicas algebrai­cas. Como estas partes son aquéllas en que predominan las consideraciones de continuidad y los principales problemas tienen a menudo un aspecto analítico, hubo una tendencia a hacerlas caer en el análisis. Tanto la geometría diferen­cial como la topología general (o teoría de conjuntos) ilustran esta tendencia. En la geometría diferencial, por supuesto, los lazos con el análisis son extremada­mente estrechos; la mayoría de las cues­tiones importantes conducen directamen­te a problemas de la teoría de ecuacio­nes diferenciales. La geometría, por lo tanto, ha sido fuertemente empujada en dos direcciones aparentemente opuestas y ha parecido, a la vez, estar bajo la amenaza de ser separada en dos partes. Más recientemente, sin emhargo, un es­tudio más profundo de los conceptos fun­damentales de la geometría diferencial ha empezado a producir una nueva sín­tesis de los puntos de vista algebraico y analítico, algo facilitada por el hecho de que los papeles del álgebra y la to­pología en el análisis han llegado a ser mejor comprendidos y apreciados. Por algún tiempo, los matemáticos han esta­do buscando una forma satisfactoria de hacer efectiva tal síntesis y ahora hay muchas indicaciones que muestran que su búsqueda ha sido, al menos, mode­radamente exitosa. En cualquier forma, no hay duda de que problemas difíciles que comprenden caracteres algebraicos, analíticos y topológicos, pueden ahora

claramente formulados y elegante­mente resueltos.

Las perspectivas de un desarrollo bri­llante de estos aspectos complejos de la geometría, parecen ahora estar asegura­das. Por sí misma, esta circunstancia

difícil problema para la ense-

ción elemental del llamado teorema de los números primos, han sido logradas de acuerdo con esta orientación en las últimas décadas. La teoría de números no carece totalmente de interés para la matemática aplicada; pero sigue siendo, ampliamente, un campo reservado al matemático puro. Algunos de los proble­mas analíticos, y quizás también algu­nas de las aplicaciones algebraicas, aso­ciadas con la teoría de números, tienen, desde luego, un cierto interés intrínseco para los dominios de la aplicación; pero esto difícilmente justificaría la enseñanza de la teoría de números en un curso de matemática aplicada. Por el contrario, la inclusión de cursos elementales de teoría de números en el plan de estudios matemáticos, ya sea en terrenos técnicos o culturales, no necesita ciertamente de­fensa.

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DESARROLLOS EN GEOMETRIA

En nuestra breve exposición sobre álge­bra, ya hemos notado cuán profundamen­te ha sido penetrada la geometría por los conceptos y las técnicas algebraicas. Hay algunas partes de la geometría que han sido completamente dominadas por el álgebra. Por ejemplo, el estudio de los conjuntos definidos por ecuacio­nes algebraicas, originalmente considera­do, en relación con los sistemas de nú­meros reales y complejos, como una parte de la geometría analítica superior, hoy está expurgado de toda tendencia analítica y se realiza por métodos pu­ramente algebraicos aplicables a siste­mas algebraicos mucho más generales

los dos clásicos sistemas de núme­ros. Así, la geometría algebraica es, li­teralmente, una parte del álgebra. En forma similar, la topología combinatoria, aunque básicamente interesada en tiones de continuidad, pronto se prestó al tratamiento algebraico, y como conse­cuencia ha sido casi completamente ab­sorbida por el álgebra, aunque no sin influir sobre ésta en el proceso, como ya lo hemos notado. A pesar de estos ejemplos, el hecho de que la geometría se relacione con propiedades de, conti­nuidad, no muy sujetas a discusión con criterio algebraico, ha protegido a aque­lla antigua rama de la matemática de

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crea unñanza de la matemática porque, eviden­temente, debemos dar material de intro­ducción adecuado que capacite a los futuros matemáticos para que puedan progresar en estas promisorias direccio­nes, o por lo menos comprenderlas —y nosotros no sabemos aún cómo hacerlo—.

(Continuará)

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PANORAMA partes hubo publicaciones del School Mathematics Study Group (S. M. S. G.), del University of Illinois Committee on Mathematics (U. I. C. S. M.), del Univer­sity of Maryland Mathematics Project (U.M.M.P.), del Ball State Teachers Colle- ge Experimental Programs (B.S.T.C.E.P.), etc., todo lo cual .da alguna idea del enorme esfuerzo realizado. Apareció, también, un gran impulso proveniente del sector de la matemática aplicada; de ahí surge la introducción del estudio de la estadística, no sólo por su contenido conceptual sino por sus aplicaciones a las ciencias físicas, biológicas y socia­les; la teoría de juegos, por su vincula­ción con la estrategia y con cuestiones económicas y de conducta social; la pro­gramación lineal, para la eficiente ad­ministración de las grandes industrias y de operaciones gubernamentales; la in­vestigación operativa, para planificar los esfuerzos de los aliados en la Segunda Guerra Mundial; en fin, el control ope­rativo, para controlar eficientemente la calidad de los productos manufacturados en gran escala. Finalmente, la revolu­ción del automatismo, con sus máquinas enormes, complejas y costosas, capaces de responder a las preguntas de físicos e ingenieros. En 1958 funcionaban en ese país unas 3000 y se estaban diseñando y construyendo muchas más. Obsérvese que cada una de ellas requiere unos diez asistentes especializados en mate­mática -—programadores, compiladores, analistas, supervisores, etc.—, lo que elevaría a unos 30000 el número de es­pecialistas requeridos. Lo anterior ex­plica el interés público por la matemá­tica de la escuela secundaria y por las experiencias que se estaban realizando para mejorar la enseñanza de esa dis­ciplina. Este interés se acrecentó enor­memente a causa del temor producido en el país por la puesta en órbita de

los satélites rusos. Todo lo dicho se tra­dujo en la necesidad de conocer mejor lo que se estaba experimentando y de colaborar en su realización. Con bastan­te rapidez se llegó a la conclusión de que debía eliminarse toda improvisación y de que era necesario aprovechar los esfuerzos ya realizados y organizar cui­dadosamente la solución del intrincado problema.

Aspectos de la Reforma

EE. UU.eni

LA TAREA DEL "COLLEGE ENTRANCE EXAMINATION BOARD"

Diversos proyectos fueron llevados a la práctica con toda premura. El que nos ocupa es, quizás, uno de los más esclarecedores, como que fue consecuen­cia de muchas inquietudes y de la tarea de muchos grupos directivos: inspecto­res de matemática, comités examinado­res y fideicomisarios de educación. La Comisión de Matemática fue presidida por el doctor A. E. Meder, de la Uni­versidad de Rutgers, e impulsada por dos matemáticos distinguidos: H. H. Fehr, de la Universidad de Columbio, y A. W. Tucker, de la Universidad de Prince- ton. Inició su labor en 1955 y tuvo gran éxito en el trabajo de conjunto, fruto del cual fue el Informe publicado en 1959, que consta del programa aconsejado y de un Apéndice (*) con orientaciones di­dácticas.

El quehacer fue múltiple y complejo. La Comisión partió de la hipótesis de que los temas nuevos de la matemática son numerosos y muy importantes. No resultaba fácil, pues, determinar cuáles de ellos debían ser incorporados a los planes ni tampoco qué temas antiguos seguían siendo útiles y cuáles habían perdido vigencia. La Comisión estableció

¡Esto puede servir para explicar por qué se produjo esta renovación, pero no es más que una de sus causas. Existen otras que trataremos de explicar. Por ejemplo, hacia la época citada existía criterio formado acerca de la divergen­cia entre la enseñanza escolar y las ne­cesidades del país. La antipatía por la matemática era muy notoria y no eran pocos los que creían que se trataba de una disciplina para adultos excéntricos, antes que para alumnos normales. No obstante, en el último decenio, por razo­nes que todavía no han sido del todo aclaradas, se ha producido un notable desarrollo de programas nuevos. Y es curioso que muchos de ellos, formulados conjuntamente por matemáticos profesio­nales y profesores, hayan recibido, tanto de parte de los maestros como de los alumnos, una acogida mucho más favo­rable de la que se hubiera osado es­perar.

¿Cuáles fueron las razones de este cambio de actitud? En primer término, dada la creencia de que la matemática es la disciplina menos inteligible para los profanos, se explicó cuidadosamente a amplios sectores el por qué de las mo­dificaciones en los programas y en la didáctica. Se hicieron circular, además, enormes cantidades de programas nue­vos y de material experimental; en todas

Los cambios efectuados por muchos establecimientos norteamericanos de se­gunda enseñanza en los programas de matemática son de tal magnitud que re­sultará muy útil examinarlos cuidadosa­mente en virtud de las conclusiones que se pueden obtener.

Aunque hoy hay acuerdo en admitir que el siglo XX es la edad de oro de la matemática, tanto por la cantidad cuan­to por la calidad del material creado, también parece haber concordancia ge­neral, en los EE. UU., en aceptar que hasta 1930 los temas modernos no ha­bían merecido atención especial ni si­quiera en las jerarquías más altas. No se dictaban, hasta entonces, cursos de álgebra abstracta, de análisis funcional ni de topología; ni siquiera existía la

. posibilidad de encararlos por cuanto eran desconocidos por los matemáticos de la generación antigua. Pero, las cosas han variado fundamentalmente; hoy se com­prende bien que nadie podría ser con­siderado como matemático si ignorara disciplinas como las arriba mencionadas y si no dedicara a ellas la mayor parte de su quehacer. Con este enfoque, ha surgido la enorme actividad matemática que se cumple en aquel país; muchos

. de sus matemáticos son precisamente protagonistas del profundo movimiento renovador que nos preocupa.

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(*) ELEMENTOS publicará algunos capítulos de este Apéndice, para lo cual cuenta con la autori­zación especial del C. E. E. B.

*-«. — 33 —_,32L-

negocios y probablemente los hombres de estado— deberán conocer un poco más de matemática. A este tipo de alumnos la Comisión los denominó "ca­paces para la universidad" y para ellos formuló un plan suplementario de, por lo menos, tres años. Tales estudios de­berán estar de acuerdo con las posibili­dades intelectuales del alumno y sus in­tereses, y tendrán la finalidad de aumen­tar su competencia así como la de aguzar su ingenio. Se los eximiría de los cursos prácticos, que podrían ser cumplidos con facilidad en caso necesario; en ver­dad, lo que se pretende es que se dedi­que todo el tiempo a la adquisición de destrezas que puedan serle útiles en el futuro. Se entiende que los programas debieran redactarse siguiendo el consejo de expertos en psicología educativa; pero siempre correspondería a los ma­temáticos el decidir acerca de la inclu­sión o exclusión de temas. La Comisión redactó unidades didácticas relativas a temas nuevos y a modernas presenta­ciones del material antiguo.

Se considera que el profesor es esen­cial para el cumplimiento del programa de la Comisión; pero no nos referiremos ahora a las numerosas recomendaciones y sugerencias que se hacen con respecto a la preparación de profesores para los nuevos programas.

En resumen, se entiende que la escue­la secundaria debe poder satisfacer las necesidades de todos los jóvenes y, en lo que concierne a los "capaces para la universidad" el conocimiento que de­ben adquirir debe estar a la altura de las exigencias académicas más avanza­das. Al tratar ciertos tópicos tradiciona­les, los programas deben inspirarse en el espíritu de la matemática contempo­ránea; deben incluirse ciertos temas nue­vos que, además de ser importantes para la matemática, son ya accesibles a los alumnos desde el ciclo básico.

revisión que facilite las modificaciones venideras. El contenido es flexible como para que se pueda adaptar a las distin­tas escuelas y estudiantes. Se aconseja a los autores de textos que los desarro­llen según su comprensión de las teorías educativas, esperando que así resulte "una saludable competencia tanto en el mercado del libro como en el de las ideas".

Programas para 7? y 8? año (equi­valentes aproximadamente al 6*? grado y al 1er. año argentinos). Se admite, inicialmente, que los alumnos provienen de la escuela primaria con conocimien­tos adecuados. Existe una dificultad pro­veniente de los diversos planes escolares en boga en los EE. UU., comúnmente denominados 8-4; 7-5 y 6-6, en los que la primera cifra indica los años de ense­ñanza primaria y la segunda, los de en­señanza secundaria, esta última general­mente dividida en dos períodos. Hubo, pues, necesidad de estudiar con cuidado los programas de 7? y 8° año, tarea que, entre otros, realizaron el S.M.S.G. y el U.M.M.P. Sus contenidos pueden resu­mirse así:

1) Aritmética. Conocimiento de las cuatro operaciones fundamentales con números naturales y fraccionarios. Com­prensión de sistemas numéricos como el binario. Habilidad para trabajar con nú­meros grandes y números muy pequeños. Conocimiento de la raíz cuadrada y cálculo de su valor aproximado.

2) Geometría. Habilidad para ope­rar con distintos sistemas de medidas. Medición de longitudes de segmentos, de perímetros de polígonos, de circunferen­cias. Areas de regiones planas y de só­lidos. Volúmenes de sólidos. Medición de ángulos. Uso de la regla y el trans­portador. Mediciones en dibujos a escala y cálculo indirecto de longitudes. Para­lelas, perpendiculares, secantes y obli­cuas, en el plano y en el espacio. Angu­los rectos, agudos y obtusos, complemen­tarios y suplementarios. Triángulos rec­tángulos y relación pitagórica. Suma de ángulos interiores. Construcción de figu­ras mediante instrumentos geométricos. Simetrías central y axial.

habían realizado con éxito. Y aunque no escaseaban los que creían que los es­fuerzos eran inútiles, fueron muchos más los que comprendieron que para mejorar los bajos niveles en matemática se de­bía adoptar una postura seria basada en una concepción .dinámica de la dis­ciplina.

Pero los cambios no se podían forzar dada la libertad que, en los EE. UU. tie­nen para su formulación las instituciones educativas. Se podía, sí, aconsejar pla­nes de trabajo, no tanto para satisfacer las necesidades de los futuros universi­tarios, cuanto para que todos los alum­nos pudieran captar las ideas básicas y comprender qué es la matemática, có­mo se la usa para explorar la realidad física y para satisfacer las necesidades humanas por medio de sus valores esté­ticos. Y para que no quedaran dudas de ninguna especie, la Comisión señaló taxativamente algunos de los objetivos:

a) Comprensión de los procesos arit­méticos y destreza para emplear­los. Uso de las fórmulas del álgebra elemental. Conocimiento de los mé­todos gráficos y de la estadística simple.

b) Comprensión de las propiedades generales de las figuras geométri­cas y de las relaciones entre las mismas.

c) Comprensión del método deductivo como método de pensamiento. Esto incluye las ideas de axiomas, re­glas de inferencia y procedimien­tos de demostración.

d) Comprensión de la matemática co­mo esfuerzo creador y continuo, con valores estéticos similares a los de las artes plásticas y la mú­sica. En particular, consideró opor­tuno aclarar que la matemática es una disciplina viva y no lo que aparece en los textos casi como materia inerte.

su criterio acerca de la diferencia entre las concepciones antigua y moderna de la matemática y, compartiendo las ideas de W. W. Sawyer, afirmó: "Los matemá­ticos antiguos se preguntaban: ¿Puedo hallar un artificio para resolver este pro­blema? Si no lo lograban .de inmediato, trataban de hallarlo al día siguiente... Hoy ya no se admite que necesariamente exista un artificio. Más bien nos pregun­tamos si existe una razón para suponer que un problema puede ser resuelto con los medios de que disponemos, s,i puede ser convertido en problemas más sim­ples. ¿Qué es lo que nos permite resol­ver un problema y cómo podemos tratar de resolverlo? Tratamos de descubrir la naturaleza del problema que estamos analizando". La Comisión aceptó que la matemática actual se vincula a configu­raciones mentales de este tipo, lo que permite caracterizarla sintéticamente por:

1) un desarrollo cuantitativamente* enorme;

2) la introducción de nuevos conte­nidos;

3) la reorganización y extensión de los conocimientos antiguos;

4) una importancia renovada, crecien­te y consciente de la idea de que la matemática está vinculada a configuraciones abstractas del pen­samiento.

:

i1

PLANES PARA LA ENSEÑANZA SECUNDARIA

se aceptó que los planes vigentes en la enseñanza secundaria no estaban de acuerdo con el crecimiento y las aplica­ciones actuales de la disciplina. El cre­cimiento exige caminos apropiados para que el alumno secundario pueda alcan­zar los conocimientos más nuevos. Se debía, pues, eliminar el material anti­cuado, sin olvidar por ello que la ma­temática tradicional —álgebra, trigonome­tría, geometría— es aún el gran núcleo de la matemática; pero subrayando que se debe llegar lo más rápidamente po­sible a los temas modernos. Por fortuna, los nuevos temas no son más difíciles que los antiguos, y las experiencias se

LOS PROGRAMAS DE LA COMISION

Nos referiremos brevemente a los pro­gramas redactados por la Comisión. Se proyecta con vistas al futuro, pero los cambios no son esencialmente radicales. No se elimina lo tradicional; se hace una

LA MATEMATICA DEL FUTURO UNIVERSITARIO

No se duda que los futuros universi­tarios —hombres de ciencia, ingenieros, físicos, profesores, y aun los hombres de

— 35 —— 34 —

gicas no parezcan carentes de él. Se recomienda la modificación libre del tra­tamiento euclidiano sin preocuparse ma­yormente por la prueba de las proposi­ciones, muchas de las cuales pueden ser admitidas sin demostración. Se seña­la la inconveniencia de convertir a la geometría en una simple cadena de deducciones a partir de las proposiciones primitivas. Por ello, la introducción de los primeros cursos debe ser intuitiva, lle­gando a la noción de forma geométrica mediante comprobaciones y construccio­nes sencillas. El número de teoremas que se demuestren debe ser mínimo en esta etapa. Aún más tarde, la cantidad no debe ser excesiva, y se preferirá intro­ducir algunos conceptos de geometría analítica, que suministrarán nueva capa­cidad a los estudiantes y serán firme base para el futuro estudio del cálculo infinitesimal.

Se consideran esenciales los siguien­tes temas:

a) Ubicación de puntos mediante sus coordenadas.

b) Longitud y pendiente de un seg­mento.

c) División del segmento en una razón dada.

d) Ecuación de la recta.e) Ecuación de la circunferencia.

Los estudiantes deberán llegar a ad­vertir que la geometría euclidiana no es la única métrica posible; se les ha de sugerir la existencia de otras. Asimismo se estimulará la imaginación conducién­dolos a disciplinas que, como la geome­tría proyectiva y la topología, no se re­lacionan con la congruencia.

3) Trigonometría. Su enseñanza debe ser reorganizada de acuerdo con las exigencias actuales, pasando de los triángulos y las identidades, a los vec­tores y las propiedades funcionales. Lo esencial debe ser la descripción rec­tangular y polar de puntos, vectores y números complejos, la periodicidad de las funciones circulares y los teoremas de adición; en particular, debe subrayar­se la correspondencia biunívoca entre el conjunto de los pares ordenados de nú­meros reales y el de los puntos del plano.

En general, se recomienda:a) Cálculo trigonométrico de los trián­

gulos rectángulos.b) Trigonometría en el plano carte­

siano y en el polar; vectores y com­plejos.

c) Teoremas del seno, del coseno y del área, fórmulas de adición y de du­plicación. Identidades sencillas.

d) Funciones circulares y su natura­leza periódica.

Se asigna mucha importancia a la definición de las funciones en el círculo trigonométrico y a su aplicación directa a las magnitudes físicas o vectoriales. Los números complejos deben tratarse como vectores; la fórmula de Euler y los desarrollos en serie permitirán presentar en forma atrayente las funciones expo­nenciales y circulares.

4) Probabilidades y Razonamiento Estadístico. Se desea su introducción en la escuela secundaria: para que el alumno pueda "estudiar, comprender y controlar la incertidumbre"; por sus im­plicaciones en la vida cotidiana y suplemento de la introducción del razo­namiento deductivo; y especialmente porque mucha de la matemática nueva está íntimamente vinculada a ellas. Su estudio puede comenzarse en el 9? año, o antes, con los conceptos de estadística descriptiva, enseñando a los alumnos a trabajar con datos numéricos, tablas de frecuencia, promedios y medidas simples de dispersión.

Programas para el 12° año. Matemáticasuperior.

Este curso no debiera dictarse a todos los alumnos sino a los futuros universi­tarios que necesiten más matemática que la elemental e intermedia. Aquí se abre la posibilidad de organizar diferen­tes cursos, los cuales deben ser prece­didos por el repaso de los anteriores. Se considera esencial un curso sobre Funciones Elementales y un segundo, que puede ser de Introducción a las Pro­babilidades con aplicaciones a la Esta­dística, o bien de Algebra Moderna. Se pueden sugerir otros, por ejemplo, uno

3) Algebra y Estadística. Empleo de segmentos lineales y de superficies para representar números. Lectura y construcción de gráficos. Escalas. Fórmu­las para perímetros, áreas, volúmenes y porcentajes. Uso de símbolos en fórmulas como "placeholders" (*), para cifras que aparecen en mediciones. Expresiones sim­ples que contienen variables.

Programas para 9?, 10° y 11? año. Ma­temática elemental y matemática inter­media.

Este fue uno de los problemas más arduos que debió resolver la Comisión. Su importancia reside en que los temas por desarrollar en ese lapso se conside­ran esenciales para la formación gene­ral de todo estudiante, incluso la de aquéllos que no se especialicen en dis­ciplinas científicas. La diferencia entre estos estudiantes y los demás no reside en el contenido programático, sino más bien en la intensidad de la enseñanza.

1) Algebra. Se recomendó especial­mente su estudio, no para el mero desa­rrollo de destrezas manipulativas, sino para la comprensión de las propiedades de un campo numérico, lo que fue acla­rado mediante las siguientes observa­ciones:

a) No se aboga por la presentación abstracta de la matemática, ni si­quiera por la abstracción en sí, antes de que se hayan establecido mode­los concretos o intuitivos como pun­tos de partida.

b) Se comprende la necesidad de que el alumno adquiera destreza en los cálculos. Deben, por supuesto, ser capaces de resolver ecuaciones cua­dráticas o sistemas de ecuaciones, operaciones con polinomios y frac­ciones racionales y las demás ope­raciones algebraicas requeridas para progresar adecuadamente en geo­metría analítica y en cálculo infini­tesimal; pero se considera más im­

portante una genuino comprensión del razonamiento deductivo.

La Comisión se declara influida por la transformación del álgebra en el último cuarto de siglo como consecuencia de su desarrollo axiomático o, mejor dicho, del estudio de las estructuras matemáticas. También ha sido influida por el carácter algebraico de muchas de las aplicacio­nes de la matemática en terrenos hasta ahora al margen de ella. Se proponen muchos temas actuales y se agregan otros nuevos; varían algunos conceptos, la terminología, cierto simbolismo, y se introducen algunos tópicos sobre desi­gualdades, que deben tratarse tanto al­gebraica como gráficamente. Se piensa firmemente que el razonamiento deducti­vo debe usarse en álgebra tanto como se lo emplea en geometría, capacitando con ello al alumno para la solución de problemas que no sean sólo la mera aplicación de reglas técnicas.

2) Geometría. Su estudio se consi­dera importante por tratarse, en su ori­gen y aún hoy, esencialmente, de un modelo del mundo físico: la adquisición de información sobre figuras geométricas del plano y del espacio, es necesaria para el ciudadano e imprescindible para el futuro científico. Otro de los objetivos es el desarrollo de la comprensión del método deductivo como forma de pensa­miento, que debe ser razonablemente dominado para que se lo pueda aplicar a situaciones matemáticas. Finalmente, constituye una oportunidad para el pen­samiento original y creador del estu­diante, el cual debe realizar ejercicios que impliquen tanto el descubrimiento de propiedades como su demostración.

Se recomienda un cambio drástico en los cursos. Esto parece necesario por las fallas halladas en la estructura lógica de Euclides, y por la rígida separación que generalmente se hace entre geometría plana y geometría del espacio. Existen otros defectos cuyo enunciado puede omitirse, por ejemplo, los debidos a la carencia de un álgebra adecuada. Aun­que no se crea que deba hacerse tratamiento lógico impecable, se piensa que hasta ahora no se ha logrado la en­señanza que concite el interés de los alumnos de modo que las cuestiones ló-

!

fe

como

ii:

un

( ) Con esta palabra se designan símbolos que implican únicamente lugares en blanco que deben ser llenados con números convenientes.

— 37 —— 36 —

/

ros naturales, racionales, reales y complejos.

4. Criterioso empleo de ideas unifi- cadoras: conjuntos, variables, fun­ciones y relaciones.

5. Estudio de las inecuaciones junto con las ecuaciones-

6. Incorporación, junto a la geometría plana, de alguna geometría analí­tica y de puntos esenciales de geo­metría del espacio.

7. Introducción, en el 11? año, de las funciones circulares en relación con las coordenadas cartesianas y po­lares, los vectores y los números complejos.

8. Tratamiento, en el 12? año, de las funciones elementales (polinómicas, exponencial, circulares).

9. Recomendación de temas adiciona­les para el 12? año: o bien, Intro­ducción a las Probabilidades con aplicaciones estadísticas, o bien. Introducción al Algebra Moderna.

de Introducción al Algebra Lineal o a las Matrices. Se estima que, en general, cualquier curso serio, creadora e imagi­nativamente pensado, siempre resultará adecuado, pues contribuirá a desarrollar la potencialidad matemática del alumno.

ORIENTACIONT ransformaciones

Geométricas PlanasRESUMEN

La Comisión sintetiza sus opiniones mediante el siguiente programa de nue­ve puntos:

1. Intensa preparación, tanto en con­ceptos como en técnicas, de los futuros universitarios —al nivel de la geometría analítica y del cálculo infinitesimal.

2. Comprensión de la naturaleza y papel del razonamiento deductivo, tanto en álgebra como en geome­tría.

3. Apreciación de las estructuras ma­temáticas —“configuraciones"— por ejemplo; propiedades de los núme-

E1 programa de geometría propuesto para primer año de los colegios secun­darios (1), termina con el tema siguiente:

10. Transformaciones geométricas del plano en sí mismo: traslaciones, rotacio­nes, movimientos, simetrías, reflexiones, homotecias.

En lo que sigue se expondrá el tema de acuerdo con una experiencia realiza­da (2). No obstante, para evitar repeticio­nes innecesarias aquí, pero muy útiles frente al alumnado, se reúne en la prime­ra parte un conjunto de conceptos genera­les; ellos fueron presentados en clase, en forma muy concreta, mediante nume­rosos ejemplos, al tratar cada una de las transformaciones.

ción T, la figura F se transforma en F'.Se llama transformación idéntica, o

identidad, a la que hace que cada punto se corresponda consigo mismo; la indi­camos con I.

Toda transformación en la cual las figuras correspondientes son iguales se llama congruencia. La identidad es una congruencia.

Una figura es unida en una transfor­mación cuando se corresponde consigo misma. En la identidad todas las figuras son unidas.

Dada una transformación T: A -» A', existe otra, llamada inversa de la pri­mera, que transforma A' en A para todo punto A del plano. Se indica con T l.

Se llama producto de dos transforma­ciones a la transformación que resulta de aplicarlas sucesivamente. Se indica con T = To. Tj cuando se efectúa prime­ro la transformación Ti y luego la T2. Si:

Tx: A -» A' y T«: A' -» A", será:T = T2.T,: A->A"

Consecuencias inmediatas de esta de­finición son:

a) T.I = T , I.T = Tb) T.T1 =: I , T*l.T = ICuando se aplica sucesivamente una

misma transformación, su producto re­cibe el nombre de potencia de la prime­ra; se indica con:T.T___T = Tn, si se repite n veces

Si T“ = I, la transformación se llama cíclica de orden o período n; en particu­lar, las transformaciones cíclicas de or­den 2 se llaman involutorias; en este caso:

is

ÉTICA‘i GENERALIDADES“El vocablo transformación es sinónimo

de correspondencia, operación, función, etc. Si en análisis se prefiere usar esta última palabra —función— en geometría se prefiere usar, en su lugar, transfor­mación" (3).

Toda transformación establece una co­rrespondencia entre dos conjuntos de puntos; estudiaremos únicamente casos de correspondencia entre dos conjuntos que se identifican en un mismo plano, es decir, transforman un plano en si mis­mo. Son, además, correspondencias biuní- vocas pues cumplen las dos condiciones:

a) cada punto del plano tiene otro como correspondiente.

b) cada punto del plano es el corres­pondiente de otro.

Indicaremos las transformaciones con letras mayúsculas, usando preferente­mente la inicial del nombre de la trans­formación; con la notación

T: F —> F*indicamos que mediante la transformá­

is/ notable matemático ¡ranees C. Hcrmile (1822-1901) escribió cierta vez al no menos notable matemático alemán C. Jacobi (1804-1851) para pedirle disculpas por algunas publicaciones sobre lemas a los que ambos se dedicaban, pero cuya prioridad debía corresponder a Jacobi en su carácter de iniciador. La notable respuesta de Jacobi decía textualmente: “No os apenéis, señor, porque algunos de vuestros descubrimientos coincidan con viejos trabajos míos. Habiendo comenzado vuestra labor cuando yo concluyo la mía, es natural que exista una pequeña esfera de contacto. En el futuro, si me honráseis con vuestras comunica- done, seré yo el que tenga que aprender99.

PROBLEMAS

Entre 27 monedas hay un falsa, más pesada que las restantes. ¿Cómo se la puede descubrir haciendo sólo tres pesadas, con una balanza?

Cinco números a, b, c, d, e, están vinculados por cinco proposiciones compuestas, en las que una de las afirmaciones es verdadera y la otra falsa.

Las proposiciones son las siguientes:

d es el mayor y a el segundo; h es el cuarto y d el segundo; e es el menor y c el tercero; d es el menor y c el mayor; d es el tercero y e el segundo.

Ordenar los números de mayor a menor.

T-= T.T = 1 y resulta: T-1 .T.T = T*1. I. es decir,

T = T 1

— 39 —— 38 —

i

resta de números no tiene; tampoco el cociente. El elemento neutro para el pro­ducto de transformaciones es la identi­dad: I.

Recordaremos ahora algunas propie­dades de una operación definida entre los elementos de un conjunto; para indi­car la operación usaremos el punto (.). Si se considera el conjunto de las trans­formaciones geométricas y la operación de producto entre ellas, se vuelven a encontrar algunas propiedades ya men­cionadas (4).

Una operación definida entre los ele­mentos de un conjunto es cerrada cuan­do su resultado pertenece siempre al conjunto.

La propiedad de ser cerrada depende de la operación y del conjunto en el cual está definida; por ejemplo: la suma de números es cerrada en el conjunto de los números naturales, pero no lo es en el conjunto de los números naturales impares; el cociente de números es ce­rrado en el conjunto de los racionales positivos (> 0), pero no lo es en el de los enteros.

El producto de dos transformaciones siempre es otra transformación; es una operación cerrada. Basta observar que establece una correspondencia, y por lo tanto, es una transformación.

Propiedad asociativa: a (b. c) = (a. b) c Son asociativas la suma y el producto de números; no lo son la resta ni la potencia, por ejemplo. El producto de transformaciones siempre es asociativo. En efecto,si T, : A->A', To: A'-^A" y T3: A"-*A"' será: T2.Tj: A-+A" y T^To.^): A-^A"' Además, T3 . T2: A'->A'" y (T3 . To) Ti: A-+A"'

mo será A + v = A*; el opuesto de v es —v.

o la pizarra, guiada por una regla; en todos ellos es posible considerar figuras planas que se mueven en el plano al que pertenecen y poner en ellas de ma­nifiesto que lo que interesa desde el punto de vista geométrico son las posi­ciones inicial y final, la correspondencia entre las posiciones inicial y final de cada punto de la figura y la igualdad de las traslaciones de todos los puntos; en particular, el último ejemplo es el que mejor se presta para señalar estos aspectos.

Si en el plano se considera un punto A y un segmento v y se construyen con un extremo en A segmentos iguales y paralelos a v en los dos sentidos posi­bles, se obtienen A' y A", es decir, que a partir de cualquier punto del plano se pueden obtener otros dos (Fig. 1); si este hecho se refiere a los ejemplos físicos ya dados, es evidente que los dos mo­vimientos que llevan A a A' o A" son distintos y que para poder precisar sin ambigüedad un solo punto correspon­diente de A es necesario distinguir dos sentidos diferentes al construir v, o, en otras palabras, asignar un sentido al segmento v, lo que lleva al concepto de vector y de igualdad entre vectores:

Se llama vector a todo segmento orien­tado.

Dos vectores son iguales cuando tie­nen la misma longitud, dirección y sen­tido.

Precisado el concepto de vector, se define la transformación.

Se llama traslación de amplitud v a la transformación de un plano en sí mismo de modo que a todo punto P le corres­ponda otro punto P' tal que PP' = v.

La traslación de amplitud v se indica con T (v), o simplemente con T.

En traslaciones dadas por su amplitud v, estamos ahora en condiciones de de­terminar las figuras correspondientes o trasladadas de segmentos, ángulos, po­lígonos, circunferencias y otras figuras.

Se encuentran en forma inmediata ciertas conclusiones: por ser lados opues­tos de un paralelogramo un segmento y su trasladado son iguales: AB = A' B'; por tener sus lados paralelos y concor­des, un ángulo y su trasladado son igua­les: áng. BAC = áng. B'A'C'; si se con-

las longitudes y los ángulos, toda figura es igual a su trasladada, es decir, toda traslación es una congruencia; es de destacar, además, que AB = A'B\

Si se dan dos traslaciones Ti y T2 sencillo construir su producto

Un elemento a de un producto tiene inverso a1, respecto de una operación definida en el conjunto, cuando se cum­ple que:

i

a.a1 = a1 .a = eDefinida la suma de números en el

conjunto de los números naturales, no existen inversos; pero sí, si se define en el conjunto de los enteros o de los reales; respecto del producto de números, existe inverso de cualquier elemento con excep­ción de 0, si se define en el conjunto de los números racionales o reales, pero no existe inverso si se define la operación en el conjunto de los enteros. Ya hemos visto que toda transformación geométrica tiene inversa.

Si entre los elementos de un conjunto se define una operación que cumple las siguientes propiedades;

a) es cerradab) es asociativac) cada elemento tiene inverso,

se dice que el conjunto está estructurado en grupo respecto de esa operación.

El conjunto de los enteros está estruc­turado en grupo respecto de la suma, pero no del producto ni de la potencia; los conjuntos de los números reales o complejos están estructurados en grupo respecto de la suma; también respecto del producto, si se excluye el 0 en am­bos conjuntos.

Si además de las condiciones anterio­res la operación es conmutativa, el gru­po se dice abeliano.

Pasamos ahora al estudio particular de las transformaciones indicadas en el programa.

i

servan

es muyT = T».T1, aplicándolas sucesivamente(Fig. 2)

Figura 2Es decir: T3(T2.T,) = (T3.T2)T;Propiedad conmutativa: a. b = b. a

Es conmutativa la suma de números; no lo es la resta ni la potencia. El producto de transformaciones en general no es conmutativo; o sea, en general, T2. Ti Ti* T2. Si para dos transformaciones, el producto es conmutativo, se dice que son permutables.

Se llama elemento neutro de

Por ser lados opuestos de un parale­logramo AA" = BB" =v, para cualquier par de puntos A y B del plano; T = T2,T!

traslación: el producto de trasla­ciones es una operación cerrada.

El vector v, amplitud de la traslación T = To. Ti se define como suma de los vectores V! y v2, amplitudes de T! y T2: v = vt + v2; se llama producto del vec­tor v, amplitud de T, por un número na­tural n, al vector amplitud de la trasla­ción Tn.

El producto de traslaciones es conmu­tativo; en efecto, al construir el producto cambiando el orden: T' = Ti.T2, resulta

es unaTRASLACIONES

Son numerosos los ejemplos de tras­laciones físicas que se pueden dar, ge­neralmente en el espacio: el movimiento de la caja de un ascensor al pasar de un piso a otro, el de un vehículo que se desplaza en un camino recto, el de los asientos de una rueda gigante en los parques de diversiones, el de una escuadra que se desliza sobre el papel

Figura 1Además, dos vectores son opuestos

cuando tienen igual longitud y dirección, pero sentido contrario.

El vector se indicará con v o con AA'; en esta última notación el sentido de v es el de A a A'; A se llama origen y A' extremo, del vector; se puede indicar también con A' - A = v y así su extre-

:*una ope­

ración definida en un conjunto al elemen­to e tal que para todo otro elemento a del conjunto se verifique:

!

a.e = e.a = aPara la suma de números, el elemento

neutro es 0; para el producto es 1; la

— 41 —— 40 —

3:

ción y longitud de dos lados opuestos de un paralelogramo; construirlo sabien­do que los otros dos lados son cuerdas de las circunferencias.

T2: A-*Ax (fig. 2), y uniendo A, con A" se obtiene el cuadrilátero A A'A" A, que tiene por lados opuestos los vectores iguales A'A" y AA! y en consecuencia debe ser AjA" = v,, es decir T! : At->A" y T' = T! .To: A—>A", o sea:

T' = T,. To = T2. Ti = TTambién, la suma de vectores es con­

mutativa.Por definición de traslación, dada T (v)

existe otra traslación T'1 inversa de la primera; su amplitud es —v, y se tiene:

T“l.T = I y — v -1- v = 0 También: n (—v) = — nv es la amplitud de (T1)»

De estas propiedades resulta que el conjunto de todas las traslaciones de un plano está estructurado en grupo abe- liano respecto de la operación producto. También lo está el conjunto de los vec­tores de un plano respecto de la suma.

Al investigar las figuras unidas en una traslación, es inmediato que no hay ninguna figura finita que lo sea; única­mente lo son las rectas paralelas al vec­tor amplitud y las fajas planas limitadas por dos de esas rectas.

Se dan ahora dos problemas que muestran cómo las traslaciones pueden utilizarse para obtener su solución.

Demostrar que la suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a cua­tro rectos.

transformado forman un ángulo igual a la amplitud de la rotación.Sea R: AB->A'B'; si se aplica la Tt: A^O, resulta TTl: AB^OB" (Fig. 6)

punto A del plano se le puede hacer corresponder otros dos puntos A' y A" tales que: OA = OA' = OA" y áng. AOA' = áng. AOA" == a; los ejemplos vistos muestran que para que la corres­pondencia esté determinada se debe asignar un sentido de rotación al ángulo a, es decir que se requiere conocer la di­rección del eje fijo (determinada por el plano, pues son perpendiculares), el sen­tido y el valor del ángulo, elementos que se pueden representar por un vector.

Los ejemplos dados permiten definir la transformación.

Se llama rotación de centro O y am­plitud a a la transformación de un plano en sí mismo de modo que a todo punto P del plano le corresponda otro punto P' tal que OP = OP' y áng. POP' = a.

Si cc = 0? ó oc = 3609 se trata de la identidad.

Dada una rotación por su centro y su amplitud, se pueden determinar fácil­mente las figuras correspondientes de segmentos, ángulos y figuras diversas.

j

Figura 4Sea v el vector determinado por los

lados cuya dirección y longitud se co­noce y de sentido igual al del vector O, 02 determinado por los centros de las circunferencias dadas; si se efectúa la traslación T (v) de la C (Oj), su trasla­dada C (O') cortará a C (02) en A' y B', co­rrespondientes de los puntos A y B de C (Oí) en esa traslación; la solución es el paralelogramo AA' B' B.

El problema sólo tiene solución cuan­do las circunferencias C (O') y C (02) son secantes.

iFigura 6

Si se aplicaT2: A'—>0 resulta T2: A'B'->OB"'

ComoR: AOB—>A'OB' es A OAB = A OA'B'

y también OABB" = OA'B'B"'. es decir: R: OABB"—>OA'B'B'"R: OB"—>OB'"

y como áng. (OB", OB'") = ce también áng. (AB, A'B') = «

En una rotación el único punto unido es el centro; son figuras unidas las cir­cunferencias y círculos de centro O.

Dadas dos rotaciones para construir su

\ROTACIONES

Se pueden dar distintos ejemplos físi­cos de rotaciones: las de diversos tipos de ruedas, la de un disco fonográfico, la terrestre; en realidad, los ejemplos son de rotaciones en el espacio, pero como en el caso de las traslaciones, es posible considerar uno de los planos de la figura; así, en el caso de la rotación terrestre se puede considerar la rotación del ecuador en un número determinado de horas y establecer la corresponden­cia entre sus plintos; en ese plano se pueden señalar las características esen­ciales de la rotación geométrica, es de­cir, la existencia de un punto fijo, la conservación de las distancias de cada punto al punto fijo y la constancia del ángulo que determinan las posiciones inicial y final de cada punto con el pun­to fijo. En el espacio, se tiene un eje fijo de rotación, que nos permitirá seña­lar el carácter vectorial de la transfor­mación; en efecto (fig. 5), si se da el punto fijo O y un ángulo a, a cada

oFigura 3Sea el polígono ABCDE; se toma un

punto O del plano; mediante la trasla­ción T (EO) se traslada EA y se obtiene OA' y mediante T (AO) se traslada AB y se obtiene OB'; resulta áng. A'OB' = oc por tener sus lados paralelos y concor­des; en la misma forma, mediante T (BO), T (CO) y T (DO) se trasladan BC, CD y DE obteniéndose ángulos consecutivos con vértice O, iguales a los exteriores del polígono; su suma es el ángulo de un giro alrededor de ese vértice.

Se dan dos circunferencias y la direc-

AFigura 5

Como OA = OA', OB = OB' y áng. AOB = áng. A'OB' resultan iguales los triángulos AOB y A'OB' y también AB = A'B', es decir, todo segmento es

• igual a su transformado; es inmediato que áng. BAC = áng. B'A'C', es decir, todo ángulo es igual a su transformado. Consecuencia de esto es que toda figura es igual a su transformada en la rota­ción : toda rotación es una congruencia.

Demostraremos una propiedad funda­mental de las rotaciones:

En toda rotación un segmento y su

í 4

t 01

Figura 7

producto se aplican sucesivamente; si las dos rotaciones son del mismo cen­tro, el producto es otra rotación del mis­mo centro y de amplitud igual a la su­ma algebraica de las amplitudes de las rotaciones dadas; la operación es cerra­da y conmutativa.

Dada una rotación siempre existe su

— 42 —— 43 —

inversa: es la del mismo centro y am­plitud opuesta a la de la primera.

Si se dan dos rotaciones de distinto centro, su producto puede ser una rota­ción o una traslación.

Si la suma de las dos amplitudes es distinta de O9 o de 3609, el producto es una rotación de amplitud igual a la suma algebraica de las amplitudes; pa­ra determinar su centro basta determi­nar dos pares de correspondientes; si Ri: AB-»A'B' y R2: A'B'—>A"B"f el cen­tro de la rotación producto

R = R2.R, : AB->A"B", será la intersección de las mediatrices de AA" y BB". (Fig. 7)

Si la suma de las dos amplitudes es O9 o 3609, el producto es una traslación; en efecto, si R = Ro.Rj ; AB-*A"B", será áng. (AB, A" B") = oc — ce,-}- <x•> == 3609, o sea: AB = A" B", y por lo tanto R = T

El número real definido por sucesionesN < -A

PB'

Nos proponemos dar algunas sugeren­cias acerca de una posible forma de presentar al alumno el concepto de nú­mero irracional. Se supone que a esta altura del desarrollo del programa de matemática el alumno ha adquirido el concepto de número racional y domina el mecanismo de las operaciones y sus propiedades. Se supone, también, que ya ha aprendido que toda fracción ra­cional puede ser reducida a una expre­sión decimal que tiene un número finito de cifras decimales o bien infinitas, que se repiten periódicamente a partir de una de ellas. El primer caso se presenta cuando los únicos factores primos del denominador de la fracción racional re­ducida son 2, 5 o ambos. El segundo caso ocurre cuando aparecen factores primos distintos de 2 y 5.

Ejemplos:

cesariamente a una expresión decimal finita o periódica, y recíprocamente.

Surge entonces la pregunta referente a qué ocurrirá si de algún modo se construye una expresión de infinitas ci­fras decimales no periódicas, por ejem­plo, la siguiente:

AN*

Figura 9

Tomamos un punto A de r;j como uno de los vértices y con centro en este punto y amplitud 609 efectuamos la ro­tación de la recta r1# obteniendo r/; r\ corta a r. en B\ que es el correspon­diente en la rotación del punto B de r^ El triángulo buscado es el ABB'; en efec­to, por ser B y B' correspondientes en la rotación de centro A es AB = AB' y además áng. BAB' = 609 y por lo tanto AB3' es equilátero.

0,123456789101112...Este "número decimal" no puede ser

la expresión de ningún número racional, pues éste nos conduciría necesariamente a una expresión decimal, finita o perió­dica. El alumno comprenderá sin dificul­tades que pueden construirse tantas ex­presiones decimales no periódicas como se quiera y le resultará fácil admitir que cada una de ellas representa un número que no puede ser racional; se lo deno­minará irracional.

Se definirá, pues, a los números irra­cionales, como números que tienen una expresión de infinitas cifras decimales no periódicas.

Convendrá, sin duda, apoyar esta de­finición de número irracional con ejem­plos que muestren cómo aparecen fre­cuentemente expresiones de infinitas cifras decimales no periódicas. Si se efectúa, por ejemplo, el cálculo de la raíz cuadrada de 2 con errores menores que 1; 0,1; 0,01; ... el alumno obtendrá las expresiones decimales 1; 1,4; 1,41;...

Surgirá naturalmente la duda acerca de si las cifras que se van obteniendo no podrán comenzar a repetirse perió­dicamente, o tener fin. Esta duda queda­rá aclarada con la demostración del siguiente teorema:

"Si la raíz cuadrada de un número na­tural no es un número entero, tampoco puede ser un número fraccionario".

Es clásica la demostración de Eucliáes para el caso particular del número 2. Si se supone que dicha raíz es un nú­mero fraccionario m/n debe verificarse

(1) Ver artículo del Dr. Santaló en el número 1 de ELEMENTOS.

(2) Se trata de un tema nuevo para nuestros planes de estudio y por ello se consideró que po­dría presentar dificultades al ser desarrollado en primer año. Con el objeto de tener una idea clara

problema, en el curso de Didáctica Especial y Práctica de la Enseñanza, de la carrera del Pro­fesorado en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas de Buenos Aires, durante el segundo cua­trimestre de 1962, se hizo la experiencia de su enseñanza; se trabajó con alumnos voluntarios del Colegio Nacional de San Isidro, que fueron divididos en dos grupos formados por los de pri­mero y segundo años y los de tercero, cuarto y quinto. Las clases fueron dictadas por estudian­tes de la cátedra, siguiendo las directivas dadas por el profesor de acuerdo con las sugestiones del Dr. Luis A. Santaló. Los resultados de la

33.1133del = 0,024

1251375 125.111313Figuia 8 = 0,295454... = 0,29 (54)

22.11Además, se supone que el alumno

conoce las reglas que, recíprocamente, permiten obtener la fracción racional (ge­neratriz) de que proviene una expresión decimal finita o periódica.

Ejemplos:

El hecho de que cuando a, -f- a» = 0 es R = T explica el ejemplo dado de traslación de los asientos de la rueda gigante de un parque de diversiones.

El producto de rotaciones no es cerrado; tampoco es conmutativo: R,.R2^R2.R,

Por las propiedades vistas, se puede establecer que el conjunto de todas las rotaciones de un mismo centro está es­tructurado en grupo abeliano respecto del producto, mientras que el conjunto de todas las rotaciones de un plano no está estructurado esa operación.

Resolvamos un problema aplicando rotaciones:

Construir un

44

fi expe­

riencia permiten afirmar que no habrá dificulta­des en la presentación regular de este tema; las que se presentaron allí, derivaron, en el primer grupo de alumnos, de no conocer hasta ese mo­mento algunas de las cuestiones necesarias para la comprensión completa de ciertas conclusiones; esta falta de conocimiento previo, debida a que esos alumnos cursan los programas actuales, será subsanada con los propuestos.

(3) Enciclopedia delle Matematiche Elementa- ri, Berzolari, Vivanti y Gigli, Vol. II, parte I, 1943.

(4) Parecería innecesario volver a destacar que al exponer estas cuestiones generales en clase, se dieron numerosos ejemplos de operaciones ya conocidas por el alumnado para lograr una clara comprensión de las mismas.

1671336i 1,336 =1251000763

0, (63) =99 11

27504-27 3053en grupo respecto de

0,27 (504) =11100

Parece conveniente que el profesor ha­ga resaltar mediante diversos ejemplos, que toda fracción racional conduce ne-

99900triángulo equilátero cu­

yos vértices pertenezcan a tres rectas paralelas dadas. (Fig. 9)

— 45 —— 44—

PdOULIEKMSa) la primera es creciente,b) la segunda es decreciente,c) cada término de la primera suce­

sión es menor que su correspon­diente en la segunda,

d) la diferencia entre dos términos co­rrespondientes puede llegar a ser, y se conserva, menor que cualquier número positivo por pequeño que éste sea.

Cuando dos sucesiones de números cumplen las condiciones mencionadas se dice de ellas que constituyen un par de sucesiones monótonas convergentes de números racionales.

El irracional V2 es mayor que todos los números de la primera sucesión y menor que todos los de la segunda. Se dice de él que es el elemento de separa­ción del par de sucesiones, o su elemen­to frontera, o también que el par de su­cesiones defíne al número V2-

Análogamente, si se considera la ex­presión decimal de 1/7 = 0, (142857), se puede construir el siguiente cuadro:

0 < 1/7 < 1 0,1 < 1/7 < 0,2

0,01 < 1/7 < 0,15 0,142 < 1/7 < 0,143

0,1428 < 1/7 < 0,1429

necesariamente que (m/n)2 = 2. La frac­ción m/n es irreducible, y de no serlo se la deberá reducir previamente; por tanto, m y n no tienen factores comunes.

De la relación anterior resulta: m2 = 2n2

Luego m2 es par y también lo es m: m = 2p

Los Proble delmasIng. JOSE BAJBINI

(Universidad de Buenos Aires)Por lo tanto:

m2 = 4p2 = 2n2;Vale decir: n2 y también n son pares:

n = 2qEsto muestra que tanto m como n tie­

nen el factor común 2, contra lo supuesto.De manera que la raíz cuadrada de 2

no es un número fraccionario y, en con­secuencia, el proceso de extracción con errores decimales decrecientes no puede tener fin ni conducir a una expresión decimal periódica. La raíz cuadrada de 2 es, pues, un número irracional cuyas primeras cifras son 1,4142135...

V2 es, pues, el símbolo con el cual se representa al número irracional cuyo ruadrado es 2.

El proceso de extracción de la raíz cuadrada de 2 con errores por defecto y por exceso menores que 1; 0,1; 0,01;... permite construir el siguiente cuadro en el cual se designa con d a la diferencia entre ambas raíces;

1 < V2 < 2 1,4 < V2 < 1*5

1,41 < V2 < 1*42 1,414 < V2 < 1*415

1,4132 < V2 < 1*4143

2p- = n2Se trata de la determinación de las

horas en que las agujas de un reloj se disponen en una posición determinada. Una solución elegante se obtiene como aplicación de los sistemas de ción. 0)

En efecto, sea a el ángulo que la aguja horaria forma con una posición fija, por ejemplo la hora 0, y sea su medida en vueltas, expresada en el sis­tema duodecimal,

a = 0,h! h2 h3 h.j...

a alguna de las posiciones anteriores. Es claro que este problema se resuelve de inmediato, en virtud de (a) y (b), to­mando como ángulo a del horario en la hora H

a = O.hjhohs... hK(hK -f i... hK -j-n) ¡ 12 C1)Como casos particulares se pueden

considerar:Para n = 1, oc = 0,(h) (12, se tiene la coincidencia de las agujas, nuevamente. Para n = 2, oc = O/hxho) (12/ se tiene el caso en que invirtiendo las agujas, su posición sigue siendo correcta Si a 1= 0,hih2.. .hn (12 (el período es 0), después de n operaciones el minutero coincide con la hora cero, de manera que en la posición siguiente ambas agujas coinciden en ese punto y luego se re­pite esta posición.

Es interesante agregar que para todo valor racional de a existirá un n tal que aplicando n veces la operación mencionada se vuelve a una posición anterior, mientras que si a es irracional las posiciones son todas diferentes.

Otros problemas que pueden resolver­se fácilmente con las fórmulas (a) y (b) son, por ejemplo:

1) Demostrar que para cualquier po­sición de las agujas, es válida la posi­ción simétrica respecto del eje que pasa por la hora 0.

2) Hallar todos los ejes del reloj para los cuales se cumple la propiedad del problema 1.

3) Determinar la rotación que se de­be dar a la esfera del reloj de modo que en la nueva posición las agujas sigan señalando una hora correcta.

numera-y

!

(a)(12

donde las h. son las cifras en ese siste-1

ma, es decir, 0 ^ h. ^ 11 en el decimal.1

Ahora bien, a medido en horas será hi, ho h3 h.i .. fracción de la hora en cuestión será 0,h2h3h.i ..da en minutos esa fracción será el valor anterior multiplicado por 60, que a su vez, dividido por 60, dará esa fracción de minutos medida en vueltas; resulta que el ángulo

d = 1 d = 0,1 d = 0,01 d = 0,001 d = 0,0001

y por lo tanto la• (12

medida en horas. Medi-• (12»

d= 1 d = 0,1 d = 0,01 d = 0,001 d = 0,0001

mediante el cual se puede comprobar que las dos sucesiones de números

0 < 0,1 < 0,14 < 0.142 < 0,1428 >..1 > 0,2 > 0,15 > 0,143 > 0,1429 <..

constituyen, como en el ejemplo anterior, un par de sucesiones monótonas conver­gentes de números racionales, cuyo ele­mento de separación es 1/7.

El par de sucesiones4,9 < 4,99 < 4,999 > ...5,1 > 5,01 > 5,001 <...

define en la misma forma al número 5.Se ha mostrado, con los ejemplos da­

dos que un par de sucesiones monótonas convergentes permite definir como su elemento de separación, ya sea uno de los conocidos números racionales o uno de los que hemos llamado números irra­cionales. El conjunto de todos los núme­ros, racionales e irracionales, se deno*

(Sigue en pág. 48)

P — 0,h2h3h.i.. (b)• (12

es el ángulo que forma el minutero con la posición fija adoptada.

Las fórmulas (a) y (b) permiten resol­ver muy fácilmente los problemas del reloj. Por ejemplo: la coincidencia de am­bas agujas (2), corresponde a oc = 0,(h) (fracción periódica pura); la posición de las agujas formando un ángulo y (3), co­rresponde a | oc — /?| = r, etc.

Un ejemplo interesante es el siguiente: Si a partir de la posición correspondiente a una hora H se lleva la aguja horaria a la posición del minutero y éste al lu­gar que le corresponde girando libre­mente, determinar H para que después de n operaciones de ese tipo se vuelva

Se puede observar que la raíz cua­drada de 2 está constantemente com­prendida entre los números racionales de la izquierda y los de la derecha, siendo cada vez menor la diferencia en­tre ellos, la cual podrá hacerse tan pe­queña como se desee con tal de avanzar suficientemente en la aproximación del resultado.

Las dos sucesiones de números ra­cionales

1 < 1,4 < 1,41 < 1,414 < 1,4142 >...2 > 1.5 > 1,42 > 1,415 > 1,4143 <...

cuyos términos se corresponden biunívo- camente, cumplen las siguientes condi­ciones:

r

Ii

1

— 47 —— 46 —

i.I

!

la posición del minutero será= O.hoha ..., Pi = 0,h3hi ...; al

repetir la operación oc 2 = 0,hnh.i..., p2 = Ofh.jh5... y así sucesivamente; sólo se llegará a repetir alguna de las posiciones anteriores cuando oc0 es periódica; si es periódica pura se repetirá la posición inicial y si es pe­riódica mixta se repetirá la posición cuya primera cifra es h

NOTAS:«i1 Ver el artículo "Sistemas de nu­

meración", número 1 de ELEMENTOS.2. Debe ser a = p y por lo tanto

hj = h.>, h2 = hn..., es decir« = P = 0. (h).

3. Para expresar la medida de y en vueltas en el sistema duodecimal, suponiendo que se ha dado en gra­dos sexagesimales en el sistema de­cimal, basta expresar los dos térmi­nos de la fracción y/360 en base 12 y efectuar en este sistema la división; por ejemplo:

Biblio a

inicialk -|- i*

del período.Si se quiere determinar, entonces, a qué hora entre las 2 y las 3 las dos agujas forman un ángulo de 30°, debe ser: <x = 0,2h2h3h.i...,P = 0,h2h3h.i...Si cc > p será h2 = h3 =h j = ... = 1, o sea oc = 0,2 (1) y p = 0, (1), resul­tado que hasta los segundos da 2h 5m 27s.Si oc < p será ho = h;{ = h.j =... = 3,

ce =0,2 (3) y p = 0,(3). es decir, 2h 16 m 21 s.

FAUSTO I. TORftNZOS. Enseñanza de la Matemática. Ed. Kapelusz; Bs. As. 1963.

i nes de hace muy pocos años. Al pasar lue­go a la historia de su evolución tro país, en los niveles medio y superior, se distinguen dos períodos separados por la llegada del Dr. Rey Pastor y señala el movimiento pendular que llevó los sucesivos planes de estudio del ep- tremo racional al intuitivo

Siguen el estudio de los factores

2630 (12 en nues-V = 0.1 (12 v30^ —------v =260 (i2360 t3743 (12 sev=0,15 (2497)v439260 (i2

(fracción periódica mixta).4. En efecto, si oc0 = O.hihshs...

P o = 0,h2h3.... al llevar el horario a

360En esta obra se dedica especial aten­

ción a los problemas que presenta la enseñanza de la matemática en nuestro país, y a las posibles soluciones que el autor considera viables para mejorarla.

El primer capítulo reseña en general los problemas pedagógicos de la ñanza secundaria, destacando especial­mente sus fines; los tres siguientes se refieren a la historia de la matemática y su enseñanza; del quinto al octavo se consideran el valor de la matemática como elemento cultural, su metodología y la de su enseñanza; del noveno al undécimo se tratan cuestiones vincula­das con los problemas escolares: planes, programas, textos, didáctica; en los dos siguientes, los elementos humanos: pro­fesor y alumno; a partir de ahí, se en­caran los problemas particulares de las distintas ramas, y en el último, las bases para organizar la enseñanza en la Ar­gentina y los demás países latinoameri­canos.

Dentro de este plan general, en el comienzo se muestran las características de la matemática y su enseñanza a tra­vés del tiempo, haciendo una breve re­seña histórica desde Oriente y Grecia hasta fines del siglo XIX, y analizando las tendencias de la enseñanza de algu­nos países europeos y Estados Unidos, hasta la etapa previa a las últimas im­portantes manifestaciones, que hoy están transformando totalmente las cancepcio-

o seaque

confieren a la matemática el más alto valor formativo, instrumental y práctico —y que hacen que su conocimiento sea indispensable para integrar una cultura sólida—, y la consideración del método que permite construir el edificio matemá­tico, deteniéndose en los diversos tipos de definiciones, las características de un sistema de axiomas y las condiciones que debe cumplir. Se encaran después los problemas epistemológicos que con­dujeron a la "crisis" del primer cuarto de este siglo. Termina esta parte con la clasificación de los métodos de ense­ñanza y el análisis de cada uno, sus ventajas y desventajas, con numerosos ejemplos aclaratorios, y el estudio deta­llado del método heurístico que se hace comentando el notable libro de G. Polya "How to solve it".

(Viene de pág. 46)en el cual an' — a^ < h para cualquiervalor prefijado h > 0 desde un lugar n en adelante, definen un elemento fron­tera o elemento de separación de las dos sucesiones, que se denomina núme­ro real.

El elemento de separación de un par de sucesiones monótonas convergentes es único.

En efecto, si hubiera dos, 1 y 1\ su­poniendo que 1' > 1 y 1' — 1 = k, y dado que

T — a'n y 1 — para todo n,

mina conjunto de los números reales.Recapitulando: llamaremos sucesiones

monótonas convergentes de números ra­cionales a todo par de sucesiones tales

ense­

que:a) la primera es creciente, o por lo

menos no decreciente;b) la segunda es decreciente, o por

lo menos no creciente;c) cada número de la primera suce­

sión es menor que su correspon­diente en la segunda;

d) la diferencia entre dos términos correspondientes llega a ser, y se conserva, menor que cualquier nú­mero positivo prefijado.

Se llama elemento de separación o frontera de un par de sucesiones monó­tonas convergentes al número que es mayor o igual que todos los elementos de la primera sucesión y menor o igual que todos los elementos de la segunda sucesión.

es

T — l^a' —a o sea kí=a' —an n ii D

para todo valor de n, absurdo, pues por definición la diferencia a' — a llega a ser, y se conserva, desde un cierto n en adelante, menor que cualquier núme­ro positivo, y por lo tanto llega a ser a' — a < k.n n

Ejemplos como los expuestos servirán para que los alumnos comprendan que el conjunto de todos los pares de suce­siones monótonas convergentes de nú­meros racionales, ha originado la crea­ción de un nuevo conjunto de números,

(Continúa en la pág. 50)

Al entrar a considerar la matemática en la escuela se preconiza la división en dos ciclos, básico y superior, en los cuales han de predominar, respectiva­mente, la enseñanza intuitiva y la racio­nal. Los programas que integren ese plan deben dar un adecuado esquema de cada curso, con indicaciones precisas de cómo ha de enseñarse cada tema y del tipo de ejercitación; se dan como ejemplo dos programas, uno sintético de aritmética para los dos primeros años y otro analítico de geometría para el ciclo

kAceptaremos sin demostración que: Todo par de sucesiones monótonas

convergentesai — a2 — a3 —... — ...a'^a'o^a'n ^...^a,/^...

— 48 — — 49 —:

En la segunda parle del libro se ana­lizan con bastante detalle problemas que aparecen al enseñar aritmética, geome­tría, trigonometría, álgebra, geometría analítica y cálculo infinitesimal. Sugié-

la forma de tratar diversos temas mediante ejemplos concretos deteniéndo-

algunos que ofrecen serias dificul­tades a los docentes, como: números irracionales, problemas de ordenación, fundamentación de geometría y varios ejemplos de procesos de paso al límite.

En el último capítulo se sugieren las condiciones para la organización de un plan de enseñanza, basado en el nivel psicológico del alumno y el uso de mé­todos activos que estimulen su capaci­dad creadora, para terminar proponiendo los programas que orientarían ese plan.

En realidad, se resumen aquí muchas de las consideraciones desarrolladas en el libro-

Aunque en algunos aspectos cada profesor pueda no coincidir con las opi­niones expuestas, esta obra le ofrecerá información y sugestiones útiles para su tarea docente, y le facilitará el conoci­miento de la evolución de la enseñanza de la matemática p su ubicación más clara en el momento actual.

básico; en cuanto a los textos, se indi­can las características que deben reunir para ser un auxiliar útil en el aprendi­zaje del alumno- Cada clase debe cons­tituir una unidad, dividida en varias eta­pas que se analizan con ejemplos, indi­cando cómo el profesor debe conducir cada una; se consideran los distintos ti­pos de trabajos prácticos que se le pue­den presentar al alumno: problemas teó­ricos o de cálculo, combinaciones de ambos, trabajos de laboratorio, proyec­tos; en todos los casos, mediante ejem­plos, se estudian las etapas de la solu­ción y la discusión de los resultados.

Ya que el elemento fundamental para una buena enseñanza es el profesor, se consideran indispensables su formación en el más alto nivel posible y una se­lección honesta que permita el acceso a la cátedra a los más capaces; se es­tudian en detalle las condiciones que debe reunir esa formación. El alumno, sus características psicológicas y su ca­pacidad para el aprendizaje de la ma­temática merecen especial atención, so­bre todo en relación con el significado de lo que debe ser para él "'entender matemática" y con la importancia que tienen la intuición, la memoria y la ima­ginación para llegar a esa comprensión y conocimiento.

Noticiasrese

se en

i

Para el curso organizado por la Liga del Profesorado Diplomado, a cargo de la licenciada Srta. L. Iglesias, redactó el siguiente programa: I. Conjun­tos; II. Aplicaciones; III. Leyes de posición; IV. Homomorfismos e isomor- fismos; V. Relación de equivalencias; VI. Grupos; VII. Grupos de transforma­ciones; VIII. Grupos de permutaciones;IX. Subgrupo invariante; grupo cociente;X. Grupos finitos; grupos cíclicos; XI. Anillos, cuerpos, espacios vectoriales.

2. Con los auspicios del Centro de Profesores de Matemática se dictan cur­sos sobre Elementos de Algebra lineal y de Geometría, a cargo del Dr. Jorge P. Staricco, y de Probabilidades y Estadís­tica, a cargo del Dr. Emilio A. Machado.

3. A partir del 2 de agosto el Dr. L. A. Santaló comenzó su curso en la Escuela Normal N? 4, con el siguiente programa: Axiomática: Euclides y Hil- bert. Geometría analítica vectorial. Trans­formaciones geométricas. Geometrías no euclidianas. Problemas topológicos.

4. Invitada por la Dirección Gral. de Enseñanza Secundaria visitó nuestro país la profesora italiana Srta. Emma Castel- nuovo, de destacada actuación en los círculos docentes europeos y autora de textos muy difundidos. Dictó conferen­cias en esta Capital y Rosario sobre la enseñanza moderna de la matemática, algunas de las cuales publicaremos en breve.

5. En agosto último la CIEM celebró sesión en Digne, Francia, confeccionando la nómina de temas que aconseja para alumnos de 11 a 16 años.

1. 6. En La Plata, el Dr. Jorge Bosch, dicta un curso de Lógica, Matemática y Elementos de Teoría de Conjuntos, para profesores secundarios, organizado por la Universidad de esa Ciudad.

7. Con los auspicios de la Subcomi­sión Argentina de la CIEM y el apoyo del CONICET se están redactando tex­tos de Geometría Intuitiva (1er. año) y Algebra (2do. año), según los programas propuestos por la primera.

El Instituto " Víctor Scheppers " desarrolla cursos de perfeccionamiento docente a cargo del profesor uruguayo Ing. Celestino Galli sobre temas de ma­temática moderna y su aplicación en las enseñanzas primaria y secundaria.

9. En la Escuela Nacional de Comer­cio de Corrientes se dictaron cursos de geometría intuitiva, lógica matemática y álgebra, a cargo de los profesores Gas­tón de Llano, Méndez y Rodríguez.

10. El Instituto de Matemática, As­tronomía y Física y la Escuela Normal "A. Carbó", de Córdoba han organizado conjuntamente cursos de geometría y ál­gebra para profesores secundarios.

11. Desde el 5 al 7 de octubre se realizó la reunión anual de la Unión Matemática Argentina (UMA) en Horco Molle, bajo los auspicios de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad de Tucumán. Se dedicó una sesión es­pecial a la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria y se conside­raron diversas cuestiones relativas al

sei

com-

8.

LIBROS RECIBIDOS:

F. LE LIONNAIS: Las grandes corrientes del pensamiento matemático, EUDEBA. Bs. F. I. TORANZOS: Enseñanza de la Matemática, Xapeluz. Bs. As., 1963.I. M. COPI: Introducción a la Lógica. EUDEBA. Bs. As.. 1962.R. COURANT y H. ROBBINS: ¿Qué I. KELLEY: Topología General. EUDEBA. Bs. As.. 19 62.

As.. 1962.

la Matemática?. Aguilar. Madrid, 1962.es

i'(Viene de pág. 48)cesario fijar las leyes de la igualdad y las propiedades de la adición y la mul­tiplicación de los números reales. En ba­se, a las mismas, se desarrolla la arit­mética del número real, operando pares de sucesiones monótonas conver­gentes. Para los fines prácticos, se opera con expresiones decimales finitas que den aproximaciones suficientes de los números reales.

llamados reales, que incluye a los ente- y a los fraccionarios, ya conocidos,

pero al que también pertenecen números, los irracionales, tales

e y otros, que pueden ser indica dos por el profesor o descubiertos los alumnos.

Acaso convenga que el profesor cluya este tema explicando que será ñe­

rosnuevos

como con

s por

COn-ÍSigue en la vuelta)

— G0 — — 51 —

:

ii

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Expedición y ventas;Prof. Eusebio Sastre (Paso de los Li­bres); Para los textos en castellano del SMSG puede dirigirse al Dr. Max Kra- mer, Director Translation Project (SMSG), Staníord Un'.vsrsity; Síanford, California, (J. S. A. No existen versiones castellanas del material de la OECE. La Editorial

Didier, de Bruselas, acaba de publicar un texto del Prof. Papy. Puede dirigirse a la Librería del Colegio, Buenos Aires.

Prof. Hugo Fuen-.es (Tucumán): Reci­bimos su trabajo sobre "Partición de nú­meros".

Tel. 28-8972Tacuarí 1837

(Viene de la pág. anterior)

perfeccionamiento de los profesores de matemática y a los distintos de nuevos planes y programas dos desde el punto de vista de la temática actual.

La profesora española señorita Concepción Sánchez Martínez, colabora­dora del doctor C. Gategno, ha dictado en la "Escuela Argentina Modelo" du­rante los meses de setiembre y octubre los siguientes cursos: 1) Matemático mo­derna y números en color en la ense­ñanza media; 2) Números en color en la enseñanza primaria; 3) Geoplanos en la enseñanza primaria; 4) Geometría y geoplanos en la enseñanza media.

13. El Consejo Nacional de Investiga­ciones Científicas y Técnicas, organiza un curso para profesores de matemática que se desarrollará en el próximo mes de ene­ro. Los profesores que deseen participar podrán hacerlo enviando su solicitud a dicho Consejo, Rivadavia 1917, Buenos Aires.

En la solicitud deben indicarse datos personales, títulos, antecedentes y l°s motivos por los cuales se desea asistir al curso.

El Consejo abonará todos los gastos de alojamiento y pasaje de los participan­tes, quienes se comprometerán a dictar cursillos para los profesores de sus zonas sobre los temas directamente vinculados con los programas de enseñanza se­cundaria.

ensayos encara­

ma-

f12.

UNA GRAN INDUSTRIA PARA EL PROGRESO ARGENTINO>

I— 52 — I

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Lector:

Para que ELEMENTOS

cumpla mejor sus propósitos:!|

Difúndala ■■

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Colabore

□ □i DE INDUSTRIASDI N FIA MADRE

beza de la investigación y experiencias es­paciales en la Argentina.

Como las cifras, generalmente, dan ¡deas claras, señalemos: DINFIA, en 36 años

Este complejo industrial de 250.000 m2 cubiertos, se encuentra en los alrededores de la ciudad de Córdoba. Aquí trabajan 8.500 obreros utilizando casi 4.000 máqui­nas-herramientas.

ESTO ES DINFIA, la empresa del Estado que creó la industria aeronáutica argenti­na; madre y promotora de las industrias del automotor y del tractor; fundadora, en fin, de la "Córdoba Industrial".

Y ahora, también, se encuentra a la ca-

!

Dificultades en la impresión de este número demoraron su

aparición. Subsanados estos inconvenientes, ELEMENTOS

seguirá apareciendo dentro de los períodos establecidos.

i muyde labor, ha construido cerca de un mi­llar de aviones de 50 tipos distintos, 400 motores de aviación, 40.000 automotores, 4.000 tractores y 95.000 motocicletas.

EN LA VANGUARDIA DE LAS INVESTI­GACIONES Y DEL DESARROLLO INDUS­TRIAL ARGENTINOS SE ENCUENTRA, SIEMPRE, DINFIA.

Tí

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LOS EDITORES ■

• •DIRECCION NACIONAL DE FABRICACIONES E INVESTIGACIONES AERONAUTICAS

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