AO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIN

UNIVERSIDAD NACIONAL

PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS HISTRICOS SOCIALES Y EDUCACIN

TEMA: Etapa pre-numrica en grados intermedios.

DOCENTE: Agustn Rodas Malca.

ALUMNA: Bermeo Cubas Sandy.

ESPECIALIDAD: Educacin primaria.

CICLO: V.

AO:

2015

ETAPA PRE NUMRICA EN GRADOS INTERMEDIOS

I. RESUMEN:

Llamaremos etapa pre numrica a la etapa de instrumentacin, entendiendo que el

concepto de nmero se construye a travs del trnsito de las distintas subetapas en

los diversos ciclos, y que, encada uno, se completa parcialmente.

En este andar, comenzara por los conceptos conjuntistas: (conjunto, elemento,

pertenencia, conjunto vaco, conjunto unitario, etc.), que lo instrumentaran para

transitar el conjunto de los nmeros naturales, en el conjunto de los nmeros

racionales, en el conjunto de sistemas para medir y en el conjunto de puntos.

Luego estos contenidos estn ordenados nuevamente en funcin de tres grandes

etapas: la etapa pre numrica, la etapa numrica y el tratamiento de la geometra.

II. SISTEMA DE CONCEPTOS:

ELABORACIN DEL CONCEPTO DE CONJUNTO; ELEMENTO Y PERTENENCIA;

OPERACIONES CON CONJUNTOS:

CONJUNTO:

Todos tenemos la idea de lo que es conjunto: es una coleccin; agrupacin, asociacin,

reunin, unin de integrantes homogneos o heterogneos, de posibilidades reales o

abstractas. Los integrantes pueden ser nmeros, letras, das de la semana, alumnos,

pases, astros, continentes, etc., a estos integrantes en general se les conoce como

elementos del conjunto.

ELEMENTO:

Un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto atmico que

forma parte de ese conjunto (o familia).

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales est conformado un conjunto.

PERTENENCIA:

La relacin es un elemento de, tambin llamada miembro del conjunto, se denota

mediante el smbolo , y al escribir

Cuando un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el smbolo entre el

elemento y el conjunto.

NO PERTENENCIA:

Cuando un elemento no pertenece a un conjunto, se escribe el smbolo entre el

elemento y el conjunto.

DETERMINACIN DE CONJUNTO:

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: Por extensin y por comprensin.

CONJUNTO POR COMPRENSIN:

Un conjunto "D" est determinado por comprensin cuando se enuncia una ley o

una funcin que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer

al.conjunto.D.

CONJUNTO POR EXTENSIN:

Un conjunto "D" est determinado por extensin cuando se mencionan uno por uno todos

sus elementos o cuando, si son nmeros, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca

puntos.suspensivos)

CONJUNTO VACO:

El conjunto que no contiene ningn elemento se llama el conjunto vaco y se denota por

o simplemente {}. Existe un nico conjunto vaco, ya que lo nico que distingue a un

conjunto son sus elementos

CONJUNTO UNITARIO:

Es el conjunto que tiene un solo elemento.

DIAGRAMA DE VENN:

Un Diagrama de Venn es una representacin grfica, normalmente valos o crculos, que

nos muestra las relaciones existentes entre los conjuntos. Cada valo o crculo es un

conjunto diferente. La forma en que esos crculos se sobreponen entre s muestra todas

las posibles relaciones lgicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando

los crculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas

caractersticas comunes.

CARDINAL DE UN CONJUNTO:

Es la cantidad de elementos que `pertenecen al conjunto.

CONJUNTO FINITO:

Se denomina as al conjunto al cual podemos nombrar su ltimo elemento.

CONJUNTO INFINITO:

Se denomina as al conjunto al cual no podemos nombrar su ltimo elemento

CONJUNTOS REFERENCIALES O UNIVERSALES:

Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia. Se simboliza

con U y se representa grficamente con un rectngulo.

CONJUNTO COMPLEMENTO:

Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto referencial U y no

pertenecen al conjunto analizado.

INCLUSIN DE CONJUNTOS:

Esta relacin es recproca la relacin de contenencia, se dice que un conjunto est

incluido en otro cuando todos los elementos del primero pertenecen al otro conjunto, en

este caso de define cuando un conjunto es subconjunto de otro. Da igual manera un

conjunto contiene a otro cuando los elementos del segundo pertenecen al primero.

SMBOLO:

= est incluido en (subconjunto)

= contiene a

CONJUNTOS IGUALES:

Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales

a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

CONJUNTOS DISJUNTOS:

Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningn elemento que pertenezca a

ambos al mismo tiempo.

CONJUNTOS NO DISJUNTOS:

Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales

a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

OPERACIONES CON CONJUNTOS:

Accionar es operar; una operacin es la modificacin de una situacin mediante una

accin.

UNIN DE CONJUNTOS:

Es la unin de los elementos de dos o ms conjuntos, formando un nuevo conjunto cuyos

elementos son los elementos de los conjuntos originales, pero, cuando un elemento se

repite, dicho elemento entrar a formar parte del conjunto unin una sola vez; en esto se

diferencia la unin de conjuntos del concepto clsico de la suma, en la que los elementos

comunes se consideran tantas veces como estn en el total de los conjuntos.

INTERSECCIN DE CONJUNTOS:

La interseccin de dos (o ms) conjuntos es una operacin que resulta en otro conjunto

que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.

SEMIRRECTAS NUMRICAS:

Es una secuencia de puntos que se prolonga en un solo sentido y tiene un punto

de origen.

En este caso se llama A. Pero no tiene punto final.

A. _______

DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

En teora de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una operacin que resulta en

otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales

que no estn en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los nmeros

naturales n y el conjunto de los nmeros pares p es el conjunto de los nmeros

que no son pares, es decir, los impares .

ELABORACIN DEL CONCEPTO DE CORRESPONDENCIA, RELACIONES

BINARIAS:

EL PAR ORDENADO:

Dos nmeros escritos en un cierto orden. Usualmente estn escritos entre parntesis, as:

(4,5)

Pueden ser usados para mostrar la posicin en un grfico, donde el valor "x" (horizontal)

es primero, y el valor "y" (vertical) es el segundo

RELACIN DE UN CONJUNTO:

En matemtica, Relacin es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio,

con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento

del Dominio le corresponde uno o ms elementos del Recorrido o Rango.

Por su parte, una Funcin es una relacin a la cual se aade la condicin de que a cada

valor del Dominio le corresponde uno y slo un valor del Recorrido.

EL PRODUCTO CARTESIANO:

Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a,

b) en donde a A y b B se llama producto o producto cartesiano de A y B. La definicin

de producto cartesiano puede extenderse fcilmente al caso de ms de dos conjuntos. Se

llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de

pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el

segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: A x B = {(a, b) / a A, b B}

PROPIEDAD REFLEXIVA:

Una relacin es reflexiva cuando para todo elemento que pertenece al conjunto se verifica

que est relacionado consigo mismo.

PROPIEDAD SIMTRICA:

Una relacin es simtrica si para todo par que pertenece a la relacin tambin pertenece

a la relacin el par simtrico.

PROPIEDAD TRANSITIVA:

Una relacin es transitiva, dado un par que pertenece a la relacin y otro par que tambin

pertenece a la relacin cuya primera componente es la ltima componente del primer par

dado, se encuentra otro par que pertenece a la relacin y est formado de tal modo que

su primera componente es la primera componente del primer par y su segunda

componente del segundo par.

PROPIEDAD ANTI SIMTRICA:

Una relacin es anti simtrica si todo par que tiene distintas componentes no tiene a su

simtrico en su relacin.

RELACIN FUNCIONAL:

Es por la cual a cada elemento de un conjunto se lo puede corresponder con solo un

elemento del otro.

III. SISTEMA DE PROCEDIMIENTOS:

En relacin a:

ELABORACIN DEL CONCEPTO DE CONJUNTO; ELEMENTO Y PERTENENCIA

Cuando damos una lista completa de los elementos que pertenecen a un conjunto, lo

estamos definiendo por extensin o enumeracin.

Es conveniente expresar que un conjunto est determinado por, en cambio de est

definido por, porque si bien determinar y definir pueden usarse como sinnimos,

recordemos que no definimos el concepto de conjunto, sino que solo damos algunas

aclaraciones acerca de su uso. El nio puede plantearse: Cmo? No es que el

concepto de conjunto no se define, y ahora podemos definir a un conjunto de dos

maneras: por extensin y por comprensin? .Para evitar, por ahora, estas dudas, seamos

cuidadosas en decir: Determinacin de un conjunto por extensin y determinacin de un

conjunto por comprensin.

En un conjunto determinado por extensin, escribimos los nombres de los elementos

separados con punto y coma, y encerramos todos entre llaves:

Separamos los elementos con punto y coma porque si alguno de ellos es un nmero

escrito en forma decimal, no distinguiramos con seguridad los elementos.

Ej.: (1, 2,3) de qu se trata? Del conjunto cuyos elementos son: 1, 2,3; 1,2 y 3, o 1 y

2,3? Previendo esta posibilidad iniciaremos la escritura de los elementos de un conjunto

entre punto y coma.

Es habitual nombrar individualmente los elementos de un conjunto es un orden

preestablecido: si se trata de vocales decimos a, e, i, o, u; en caso de nmeros 1,

2,3Pero es necesario aclarar que el orden en que se escriben o mencionan los

elementos que forman un conjunto no tiene importancia. Igualmente se trata del mismo

conjunto aunque sus elementos estn presentados en distinto orden.

Cuando damos una propiedad que caracteriza a los elementos de un conjunto, estamos

determinando ese conjunto por comprensin o descripcin.

Si llamamos A al conjunto de nmeros impares, determinamos el conjunto A por

comprensin, pues damos la propiedad (ser nmero impar) que caracteriza los elementos

de A y solo a ellos.

Mediante esta caracterizacin, los elementos en cuestin quedan perfectamente

identificados. Si llamamos x (equis) a un elemento cualquiera, el conjunto A puede

determinarse as:

A es el conjunto de los x que son nmeros impares. O as: A es el conjunto de los x tal

que cada x es nmero impar.

Reemplazando tal que por la barra vertical con que se acostumbra a simbolizar (/) el

conjunto A se expresa tambin as:

A=(x/x es nmero impar).

OPERACIONES CONJUNTOS, UNIN DE CONJUNTOS, INTERSECCIN DE

CONJUNTOS, DIFERENCIA DE CONJUNTOS

En el uso comn la conjuncin O significa:

O una cosa o la otra: O con sentido exclusivo (Voy al cine o a la peluquera).

O ambas: O con sentido inclusivo (Aqu guardamos monedas o papel moneda).

O se utiliza para dar un valor aproximado (El nio que buscamos tiene 9 o 10 aos).

En matemtica (lenguaje que busca la precisin), el uso de O es uno solo y se refiere al

segundo uso: con sentido inclusivo.

Cuando decimos que un elemento x pertenece a A a B, estamos aceptando la

posibilidad de que x pertenezca a A, la posibilidad de que x pertenezca a B y la posibilidad

de que x pertenezca a A y a B. Por esta causa, el conjunto que resulta de la unin de dos

conjuntos est constituido por todos los elementos de esos conjuntos dados.

ELABORACIN DEL CONCEPTO DE CORRESPONDENCIA: RELACIONES

BINARIAS

El estudio de las relaciones se efectuara sobre la base de considerar los vnculos que se

establecen entre los elementos de un conjunto o entre elementos de dos conjuntos. De

esto se desprende que una relacin es una expresin donde intervienen dos variables.

Estas variables son consideradas en un cierto orden, originando el par ordenado genrico

(x; y) (y; x).

El anlisis de la propiedad reflexiva, en una relacin representada por un diagrama

sagital, consiste en observar que de cada elemento del conjunto sale una flecha y vuelve

hacia mismo elemento dibujando un bucle o rulo.

El anlisis de la propiedad simtrica en el mismo tipo de diagrama consiste en que toda

flecha que parte de un elemento y llega a otro desde este vuelve hacia el elemento del

cual parti.

El anlisis de la propiedad transitiva en la misma clase de diagrama consiste en verificar

si existen flechas que parten de un elemento hacia el otro y de este hacia un tercero,

siempre se observa la flecha que parte del primer elemento y llega al tercero.

Los elementos de los cuales parten las flechas pueden ser distintos o iguales.

Si el par (a, a) E R se verifica: (a, a) E R (a; a) E R (a, a) E R.

IV. CONOCIMIENTO MATEMTICO:

CONJUNTO:

Agrupacin o coleccin de objetos, etc.

Ejemplo:

El conjunto formado por los primeros veinte nmeros naturales.

El conjunto formado por los profesores del V Ciclo de educacin primaria.

El conjunto formado por los actuales presidentes de Amrica Latina.

ELEMENTO:

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales est conformado un conjunto.

Ejemplo:

P= (m, n, r, s) en donde m, n, r, s: Son los elementos del conjunto.

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA:

Pertenencia: E

No pertenencia:

Ejemplo:

CONJUNTO POR COMPRENSIN:

Ejemplo:

A= [X/X es un da de la semana]

CONJUNTO POR EXTENSIN:

Ejemplo:

A=[Lunes;martes;mircoles,jueves;viernes;sbado;domingo]

CONJUNTO VACO:

Se denota por o simplemente {}.

Ejemplo: A=( Es el conjunto de mujeres que tienen 3 piernas).

CONJUNTO UNITARIO:

Ejemplo:

El conjunto del actual presidente del Per.

G= (0).

M=(x/x +6=8).

DIAGRAMA DE VENN:

Ejemplo:

CARDINAL DE UN CONJUNTO:

Ejemplo:

CONJUNTO FINITO:

Ejemplo:

A= (El nmero de carpetas del saln).

B= (Nmeros enteros entre 1 y 20)

CONJUNTO INFINITO:

Ejemplo:

A= (Nmeros enteros mayores que 100).

B= (Puntos de una recta).

CONJUNTOS REFERENCIALES O UNIVERSALES:

Su smbolo es: U.

Ejemplo:

A=(X/X es una vocal).

B=(X/X son vocales abiertas).

C=(X/X son las 10 primeras letras del alfabeto).

U= (El alfabeto).

CONJUNTO COMPLEMENTO:

Su smbolo es:

Ejemplo:

INCLUSIN DE CONJUNTOS:

SMBOLO:

= est incluido en (subconjunto)

= contiene a

Ejemplo:

CONJUNTOS IGUALES:

Smbolo: A = B

Ejemplo:

A= (1,3, 7, 9, a, b)

B=(a, b, 9, 3, 1,7)

CONJUNTOS DISJUNTOS

Ejemplo:

A= (0, 1, 2, 3, 4, 5)

B= (9, 8, 7, 6, 10)

UNIN DE CONJUNTOS:

Smbolo: A U B: U

Ejemplo:

INTERSECCIN DE CONJUNTOS:

Smbolo: A B:

Ejemplo:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

Smbolo: A-B: -

Ejemplo:

V. CONCLUSIONES:

En esta etapa, son las caractersticas del nio la que determinan que darle o que

ensearle en su proceso de aprendizaje en las matemticas.

El docente es el gua que orienta el encuentro hacia la palabra que expresa un

contenido matemtico, es el que colabora en el descubrimiento.

E n esta etapa, se trabaja nuevamente los conceptos de conjuntos pero expresados en

el lenguaje de los signos que representan a los contenidos, o lenguaje simblico, y un

lenguaje de grafos que representan a las situaciones con dibujos y trazos que ayudan

a interpretar y a complementar los dems lenguajes.

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS:

Coveas, M. (1998).Razonamiento matemtico. (4ta edicin), Lima: Editorial Coveas; pag (37-

69).

Pardo de de Sande, I. (1995).Didctica de la matemtica para la escuela primaria. (4ta edicin),

Buenos Aires: Editorial el Ateneo; pag (107-131).