la geometria plana. una aproximación a la realidad
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Es un materia didáctico referido a la geometría plana como parte de la geometría como una rama de la matemática. Esta dirigido a cualquier lector.TRANSCRIPT
LA GEOMETRIA PLANA.
UNA APROXIMACIÓN A LA REALIDAD
María Alejandra Febres Cordero Colmenárez
LA GEOMETRIA PLANA.
UNA APROXIMACIÓN A LA REALIDAD
Sobre la Autora
María Alejandra Febres Cordero Colmenárez (MAFE), Economista (1995) con Magister Scientaie
en Economía (1998) en la Universidad de los Andes. Mérida Venezuela.
Desempeño en el área educativa:
Docente Ad Honoren en la Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales de la Universidad de
los Andes. Escuela de Geografía, Mérida, Venezuela (2005); Facilitadora del Programa de Estu-
dios Abiertos en Desarrollo Social (PEADS) (Módulo Políticas Públicas) en la Facultad de Cien-
cias Jurídicas y Políticas, Universidad de Los Andes, Mérida Venezuela (2004); Docente contrata-
da (Cátedra Microeconomía) en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de
Los Andes, Mérida; Venezuela (2003); Profesora Contratada (Administración de Plantas y Opera-
ciones, Matemática Financiera, Estudio de Mercado, Formulación y Evaluación de Proyectos) en
el Instituto Tecnológico Universitario “Cristóbal Mendoza”, Mérida, Venezuela (1996-1997).
Desempeño actual:
Docente en el Departamento Geomecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los
Andes, Mérida estado Mérida y en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto
Mejoramiento Profesional del Magisterio. Núcleo Académico Mérida.
Desde sus años de estudio en la Universidad de los Andes descubrí que me gustaba escribir textos
educativos, lo que me motivo a publicar: Microeconomía: Un Análisis en el Corto Plazo. Anauco
Ediciones C.A. Caracas, Venezuela. Mayo 2003; Introducción a la Economía en Teoría y Práctica.
Universidad de Los Andes, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales. 1995, y Prácticas de In-
troducción a la Economía I. Universidad de Los Andes, Facultad de Ciencias Económicas y Socia-
les. 1994.
Estudiante de la Cohorte 6 del Componente Docente que dicta el Programa de Actualización
Docente (PAD) de la Universidad de los Andes, estudios que me fortalecerán mi desempeño co-
mo docente pues me permitirá conocer y manejar nuevas estrategias didácticas.
A la memoria de mi padre Rubén, quién desde la eternidad celebra esta nueva meta.
A mi madre Fanny,
quién con sus oraciones y consejos me ayuda en todo momento.
A mis hermanos, Hely, Ruben, Jorge, la Negra, Ana, Anabel, Karin y Junior, que esta nueva meta les sirva de estímulos.
A los pequeños y traviesos de las casa, quienes con su inocencia y tremenduras me
llenan cada día de alegría
A mi tíos, quienes siempre me dan palabras de aliento.
A todos y cada uno de ustedes Dios los bendiga.
C O N T E N I D O
Introducción
La Geometría
La Geometría. Figuras Geométricas
Referencias
I N T R O D U C C I Ó N
Desde principios de la humanidad hasta hoy en día los estudiantes ven el estudio
de la geometría como algo difícil, y en muchos casos fastidioso, debido a la mane-
ra como se enseña en las aulas de clases; por tanto es importante dotar al de me-
dios sencillos y agradables que incentiven al estudiante a querer indagar en el te-
ma de la geometría, Hoy en día, tanto en el aula presencial como en el estudio a
distancia se emplean diferentes estrategias didácticas que facilitan el estudio de la
geometría, aunado a la existencia de material en la web, tales como presentacio-
nes, videos, audios y libros digitales.
La geometría ha sido utilizada a la largo de la humanidad como un mecanismo dar
soluciones a los problemas más frecuentes de quienes la han aplicado, con
frecuencia observamos en nuestro entorno aplicaciones de la geometría plana. En
este sentido, este libro no pretende de ninguna manera agotar el tema tan amplio
como lo es el estudio de la geometría plana, sino por el contrario inducir al lector a
la comprensión de los elementos fundamentales de la geometría plana de manera
secuencial y sencilla, dando a conocer los elementos que permitan identificar y
construir figuras geométricas en relación a sus definiciones, formulas y
características.
L A G E O M E T R Í A.
La geometría (geo tierra y metria medida) como una rama de la matemática, es
considerada la ciencia más antigua, pues desde inicio de la humanidad, el ser
humano necesitó contar y creo los números, quiso realizar cálculos y diseño las
operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), así fue necesitando
de otras herramientas que le permitieran satisfacer sus necesidades por lo que
inventó el punto, la recta y las formas, por tanto creó las figuras, accionar éste que
con el transcurrir del tiempo denominaron la geometría. Cuenta la historia, que la
geometría existe desde el año 323 antes de Cristo, cuando Euclides escribió su
primer trabajo de geometría denominado Los Elementos, referido a las nociones
de punto, línea y superficie.
La geometría se divide en dos partes; la geometría plana (estudia las figuras
planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y la geometría
del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de
largo, ancho y altura o profundidad). Al respecto, existen una gran variedad de
definiciones, las cuales entre sí presentan elementos semejantes. A continuación
encontrarás algunas de ellas:
El tema central de la unidad curricular Geometría, es el referido a la geometría
plana, la cual como su nombre lo dice estudia las figuras planas, que tienen
únicamente dos dimensiones: largo y ancho. Sin embargo, para comprender este
tipo de geometría de manera más clara, es importante conocer los elementos
referidos al punto, la recta, el ángulo, las figuras geométricas, el plano y los
segmentos; sus axiomas, postulados y teoremas.
Para dar inicio a una discusión teórica acerca de la geometría se pudiera
establecer en primer lugar los Axiomas de la Geometría Plana, entendiendo
por axioma una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin
demostración (Baldor, 1983:8), en tal sentido se tiene:
Primer axioma. Existen unas "cosas" que se llaman puntos.
Segundo axioma. Los puntos se agrupan dando lugar a rectas y planos. Las
rectas son conjuntos de puntos ilimitados de una sola dimensión, en tanto que
los planos tienen dos dimensiones, ilimitadas ambas.
Tercer axioma. Dos puntos determinan una recta.
Cuarto axioma. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados. De
este axioma se puede deducir directamente que un plano está determinado:
a) Por una recta y un punto exterior a la misma,
b) por dos rectas que se cortan, y
c) por dos rectas paralelas.
Quinto axioma. Toda recta, dos de cuyos puntos pertenezcan al plano, está
toda ella incluida en él. De este postulado deducimos que una recta con
relación al plano puede ocupar varias posiciones:
a) Que la recta no tenga ningún
punto común con el plano. En
este caso decimos que la
recta y el plano son paralelos,
b) que la recta tenga un solo
punto común con el plano, en
este caso, la recta corta al
plano, y
c) Que la recta tenga dos
puntos en común con el
plano y por lo tanto está
contenida en él.
d) Si dos rectas están en el
mismo plano se dice que son
coplanarias.
e) Si dos rectas no están en el
mismo plano se dice
entonces que se cruzan.
Sexto axioma. Todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas
semiespacios de tal forma que:
a) Todo punto que no
pertenece al plano está
en uno solo de los
semiespacios,
b) dos puntos del mismo
semiespacio pueden ser
unidos por una línea sin
cortar el plano, y
c) dos puntos de distinto
semiespacio no pueden
ser unidos por una línea
sin cortar el plano.
Amigo lector, te invito a que tomes papel y lápiz, dibuja un punto, una línea
y un plano e intenta explicar los seis axiomas en los que se basa la
geometría. No te engañes, no revises las páginas que anteceden a este
ejercicio.
Ahora bien, llego la hora de conocer los Postulados de la Geometría Plana.
Al respecto, Euclides planteó cinco postulados, a saber:
Dados dos puntos se puede trazar
una y solo una recta que los une.
Cualquier segmento puede
prolongarse de manera continua
en cualquier sentido.
Se puede trazar una
circunferencia con centro en
cualquier punto y de cualquier
radio.
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Por un punto exterior a una recta,
se puede trazar una única
paralela a la recta dada.
· ·
· ·
A B
·
A
·
·
Amigo lector, a fin de poder continuar con la lectura de este pequeño trabajo
que dejó a usted, te recomiendo realizar el ejercicio de expresar en papel los
postulados de Euclídes.
Tomando en cuenta tanto los axiomas como los postulados, entremos ahora a
detallar los elementos que toma en cuenta la geometría plana, ellos son: el punto,
la recta y el plano. Si revisamos la literatura matemática o la Web, encontraremos
una gran variedad de definiciones de cada uno de los elementos constituyentes de
la geometría plana, pero todas y cada una de ellas nos conduce a una definición
similar, por lo que a continuación encontrarás de manera muy sencilla, clara y
concisa el significado de cada elemento.
El punto: es el elemento
base de la geometría, porque con
él determinamos las rectas y los
planos. Se representa con una
pequeña cruz y se lo designa con
una letra de imprenta mayúscula.
El plano: se representa
con una porción del mismo y se lo
designa con una letra griega.
La recta: es una sucesión
ininterrumpida de puntos, dos
puntos determinan una recta,
tienen una dimensión, la longitud.
Se representa con una porción de
la misma y se la designa con una
letra de imprenta minúscula.
L A G E O M E T R Í A. FIGUARAS GEOMÉTRICAS.
Para conocer sobre las figuras geométricas empecemos por ubicarnos por ejem-
plo en el patio de tu escuela, o en una cancha de fútbol o simplemente mira a tu
alrededor donde podrás apreciar figuras geométricas. Entonces ¿qué es una figu-
ra geométrica?. La respuesta es muy sencilla es un espacio cerrado por líneas o
superficies, en otras palabras es un lugar geométrico.
Así pues, las figuras geométricas que poseen lados rectos se denominan
polígonos y las figuras que poseen lados curvos se les llama círculo y
circunferencia. Es importante recordar que las formas sólidas o
tridimensionales corresponden a los cuerpos geométricos y se denominan
poliedros, como el cubo y la pirámide, y a los cuerpos redondos, como la esfera
y el cilindro, los cuales son parte de la geometría en el espacio, pues ocupan un
lugar.
Antes de identificar las diferentes figuras geométricas, es importante tener una
noción del término ángulo. Dicho término se define como la porción de plano
comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común. Está formado por:
Bisectriz de un Ángulo: es la
semirrecta, que pasando por el
vértice, divide el ángulo en otros
dos ángulos iguales.
Según la amplitud o abertura de los lados, los ángulos se clasifican en:
Ángulo recto: su amplitud es de 90º.
Ángulo llano: su amplitud es de 180º.
Vértice de un ángulo: punto en el que
coinciden las dos semirrectas
Amplitud: es la abertura que hay entre los lados. Los ángulos se miden mediante el uso
del transportador de ángulos
Lado de un ángulo: cada
una de las dos semirrectas
Ángulo agudo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 90º.
Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90º y menor que 180º.
Ángulo cóncavo: su amplitud es mayor que 180º.
Ángulo completo: su amplitud es de 360º.
Ángulo nulo: su amplitud es 0º.
Ángulo convexo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 180º.
Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la
suma de sus amplitudes es de 90º.
Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la
suma de sus amplitudes es de 180º.
Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son
consecutivos y suplementarios a la vez.
Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el
vértice y un lado común.
Qué te parece amigo lector, si nos detenemos unos minutos para resolver
estos ejercicios
1. Si un ángulo mide 60º y otro 30º, cómo definimos el ángulo si sumamos sus
amplitudes.
2. Dibuja dos ángulos cuya suma se corresponda con un ángulo
suplementario.
Bueno amigo lector, llego la hora de revisar las figuras geométricas. Recuerda que
este tema lo conoces desde que eras niño. Comencemos por el triángulo.
El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el
polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades nos
ayudará a analizar los polígonos de más lados.
Es decir:
Según sus lados: Equilátero: tres lados iguales, Isósceles: dos lados iguales y el
tercero con otra medida, y Escaleno: tres lados con distinta medida.
Según sus ángulos: Rectángulo: un ángulo recto, Acutángulo: tres ángulos
agudos, y Obtusángulo: un ángulo obtuso.
Sigamos, con otra figura geométrica, como lo son los cuadriláteros, los cuales se
definen como un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. En estos tipos
de polígonos se puede observar que dos de sus lados son opuestos (no tienen
ningún vértice en común) y los otros lados son consecutivos (tienen un vértice en
común). Recuerdas lo que es un vértice…..Los cuadriláteros pueden tener
distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, por lo
tanto tienen cuatros ángulos internos y cuatro externos. Dado que tienen cuatros
lados, los cuales pueden tener o no la misma longitud, se dice que los
cuadriláteros se clasifican en:
1. Paralelogramas, cuadrilátero en el que todos sus lados enfrentados son
paralelos; es decir, sus lados son paralelos dos a dos. Se clasifican en:
Cuadrado: tiene los 4 lados iguales
y los 4 ángulos son rectos.
Rectángulo: tiene lados iguales
dos a dos y los 4 ángulos rectos
Rombo: tiene los cuatro lados
iguales
Romboide: tiene lados iguales
dos a dos.
2. Trapecios: cuadrilátero en que dos de sus lados son paralelos, llamados
base mayor y base menor. Se clasifican en:
Trapecio rectángulo: tiene un
ángulo recto.
Trapecio isósceles: tiene dos
lados no paralelos iguales.
Trapecio escaleno: no tiene
ningún lado igual ni ángulo recto.
3. Trapezoide, no tiene lados paralelos ni iguales.
Trapezoide simétrico: posee dos
pares de lados iguales pero no
paralelos.
Trapezoide asimétrico: cuatro
lados desiguales.
En esta parte de la lectura, haremos una pausa para reflexionar acerca de los
triángulos y los cuadriláteros. Elabora un cuadro comparativo señalando las
semejanzas y diferencias entre estos dos tipos de figuras geométricas.
Y finalmente, encontramos la Circunferencia que no es otra cosa que una línea
curva, plana y cerrada; también se le conoce como el conjunto de todos los puntos
de un plano que son equidistante de otro punto fijo llamado centro. El término
EQUIDISTANTE significa que todos los puntos están a la misma distancia. Se
caracteriza por poseer: un Centro, que es el punto interior equidistante de todos
los puntos de la circunferencia; el Radio, es el segmento que une el centro con un
punto cualquiera de la circunferencia; el Diámetro, que es un segmento mayor
que une dos puntos de la circunferencia, y que necesariamente pasa por el centro;
la Cuerda, es el segmento que une dos puntos de la circunferencia que no pasa
por el centro; la Recta Secante, es el segmento que corta a la circunferencia en
dos puntos; la Recta Tangente, es el segmento que toca a la circunferencia en un
sólo punto; y el Arco, que es el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la
circunferencia;
Amigo lector te invito a dibujar una circunferencia señalando en ella cada
una de sus características
A manera de conclusión, se puede decir que la geometría está presente en cada
momento de nuestra vida, pero resulta que no nos damos cuenta, pues todo lo
que está a nuestro alrededor es una figura geométrica: la hoja de papel, las luces
del semáforo, el rayado de las calle y la señalización de las vías entre otras,
Referencias
Baldor, J. A. (1983). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Publicaciones
Culturales S.A.
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Figuras_geometricas.htm
http://www.euclides.org/menu/articles/historiadelageometria.htm
http://geometriatrigonometria.blogspot.es/1266284999/
http://www.culturageneral.net/matematicas/definicion_geometria.htm