La géométrie histoire et épistémologie

par Jean-Pierre Friedelmeyer

Irem de Strasbourg

Deuxième Partie :Vers les géométries non

euclidiennes et une autre conception de la géométrie

Un grain de sable : le postulat des parallèles

Droites parallèles (définition 23 chez Euclide) : « sont celles qui étant dans un même plan et

indéfiniment prolongées de part et d’autre ne

se rencontrent pas, ni d’un côté, ni de l’autre »

Diapo 39

1. mener une ligne droite de tout point à tout point.

2. prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée.

3. Décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle.

4. Et que tous les angles droits soient égaux entre eux.

Demandes (ou postulats)

Diapo 40

Le cinquième postulat ou postulat des parallèles

5. [PP] : et que si une droite 5. [PP] : et que si une droite

tombant sur deux droites tombant sur deux droites

fait les angles intérieurs et fait les angles intérieurs et

du même côté plus petits du même côté plus petits

que deux droits, les deux que deux droits, les deux

droites, indéfiniment droites, indéfiniment

prolongées, se rencontrent prolongées, se rencontrent

du côté où sont les angles du côté où sont les angles

plus petits que deux droits.plus petits que deux droits.

Diapo 41

Où était l’erreur ?

2/5 = 16/40 diff. 3/8 = 15/40

109,9° + 68,3° = 178,2° < 180°

Diapo 42

Diapo 43

La critique de Proclus (412 – 485)

Proclus de Lycie, un philosophe néoplatonicien et le dernier maître du Lycée à Athènes, écrit au sujet du [PP]  :

« le fait que des lignes droites se rencontrent finalement lorsqu’elles s’inclinent de plus en plus l’une sur l’autre dans leur prolongement est probable et non inéluctable, à moins qu’un raisonnement ne démontre que le fait est vrai pour des lignes droites. En effet certaines lignes, indéfiniment inclinées l’une sur l’autre, sont asymptotes (…) ; dès lors ce qui est possible pour ces dernières ne l’est-il pas aussi pour les lignes droites ?(…) »

Diapo 44

La géométrie absolue Les propositions 1 à Les propositions 1 à 28 du livre I des 28 du livre I des ÉlémentsÉléments ne ne dépendent pas du dépendent pas du [PP]. Ce sont des [PP]. Ce sont des propositions de propositions de la géométrie absolue (terme (terme introduit par introduit par Bolyai en 1832)Bolyai en 1832)

27 [PP]

28 29

30 31 32

Diapo 45

Le rôle central de la proposition 29 : impossible de la démontrer sans recours au [PP]

Une ligne droite tombant Une ligne droite tombant sur des droites parallèles sur des droites parallèles fait des angles alternes fait des angles alternes égaux entre eux et aussi égaux entre eux et aussi l’angle extérieur égal à l’angle extérieur égal à l’angle intérieur et opposé, l’angle intérieur et opposé, et les angles intérieurs et du et les angles intérieurs et du même côté égaux à deux même côté égaux à deux droits.droits.

Diapo 46

Durant 20 siècles,de multiples tentatives de démonstration

À partir des axiomes et théorèmes de la géométrie absolue

En partant de la négation du [PP] et en cherchant une contradiction

Diapo 47

Propriétés équivalentes au postulat des parallèles D’un point donné on peut mener une parallèle et une D’un point donné on peut mener une parallèle et une

seule à une droite donnéeseule à une droite donnée : : Proclus ; Playfair, Proclus ; Playfair,

(1748 -1819)(1748 -1819) Étant donnée une figure, il existe une figure Étant donnée une figure, il existe une figure

semblable de taille arbitrairesemblable de taille arbitraire ; ; Wallis, (1616-1703) ; Wallis, (1616-1703) ; Étant donnés trois points non alignés, il existe un Étant donnés trois points non alignés, il existe un

cercle passant par ces trois pointscercle passant par ces trois points ; ; Legendre, Legendre,

(1752 –1833) ; Bolyai(1752 –1833) ; Bolyai Si dans un quadrilatère trois angles sont des angles Si dans un quadrilatère trois angles sont des angles

droits, le quatrième aussi est un angle droitdroits, le quatrième aussi est un angle droit ; ; Clairaut, Clairaut, (1713 -1763)(1713 -1763)

On peut construire un triangle ayant une aire On peut construire un triangle ayant une aire donnée, arbitrairement grandedonnée, arbitrairement grande ; ; Gauss, (1777-1855)Gauss, (1777-1855)

Diapo 48

L’hypothèse implicite de Wallis :Pour toute figure, il existe une figure semblable, aussi grande que l’on veut

Diapo 49

Démonstration

Ac

a

B

bbbb

B1

bb'

C1

On donne trois droites a, b, c, telles que a et b fassent avec c des angles dont la somme est inférieure à deux droits. En déplaçant b de façon que l’angle avec c reste constant jusqu’à b’, elle devra nécessairement couper à un moment donné la droite a en un point C1. Nous pouvons alors construire un triangle ABC semblable à AB1C1, ce qui montre que les droites a et b se coupent (en C)

Diapo 50

La question de fond :qu’est ce qu’une droite ?

Définition par Euclide : : Une ligne est une longueur Une ligne est une longueur

sans largeur. Une ligne droite est celle qui est sans largeur. Une ligne droite est celle qui est

placée de manière égale par rapport aux points placée de manière égale par rapport aux points

qui sont sur elle.qui sont sur elle.

Définition par Legendre (1752 – 1833) : : la ligne la ligne

droite est le plus court chemin d’un point à un droite est le plus court chemin d’un point à un

autre.autre.

Diapo 51

Quel est le chemin le plus court sur le globe terrestre ?

Diapo 52

Le scandale de la géométrie

"On parviendrait plus facilement à la trouver "On parviendrait plus facilement à la trouver (la (la démonstration du [PP] )démonstration du [PP] ), si on avait une bonne , si on avait une bonne définition de la ligne droite ; par malheur cette définition de la ligne droite ; par malheur cette définition nous manque définition nous manque

C'est cette non-définition de la droite qui conduit au C'est cette non-définition de la droite qui conduit au scandale de la géométrie comme l'explique d'Alembert scandale de la géométrie comme l'explique d'Alembert ::

"La définition et les propriétés de la ligne droite, ainsi "La définition et les propriétés de la ligne droite, ainsi que des lignes parallèles, sont donc l'écueil et le que des lignes parallèles, sont donc l'écueil et le scandale des éléments de Géométrie ’’scandale des éléments de Géométrie ’’

Diapo 53

Peut-on développer une théorie géométrique déductive sans le [PP] ?

Lobatchevskij (1829) : Théorie des parallèles

Toutes les droites tracées par un Toutes les droites tracées par un même point A peuvent se même point A peuvent se distribuer par rapport à une droite distribuer par rapport à une droite donnée (BC) en deux classes : donnée (BC) en deux classes :

- celles qui coupent (BC), telle (AF)- celles qui coupent (BC), telle (AF)

-celles qui ne coupent pas (BC), telle -celles qui ne coupent pas (BC), telle la perpendiculaire (AE)la perpendiculaire (AE)

- La droite (AH) qui forme la La droite (AH) qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à (BC)

Lobatchevskij développe la géométrie hyperbolique

Diapo 54

J. Bolyai développe le concept de géométrie absolue dans : La science absolue de l’espace (1832) : J’ai créé un autre monde, un nouveau monde à partir de rien

Par un point donné on peut construire plusieurs Par un point donné on peut construire plusieurs parallèles à cette droite.parallèles à cette droite.

Les seules figures semblables sont les figures égales.Les seules figures semblables sont les figures égales.

Par trois points non alignés, il ne passe pas Par trois points non alignés, il ne passe pas nécessairement un cercle.nécessairement un cercle.

La somme des angles d’un triangle est strictement La somme des angles d’un triangle est strictement inférieure à deux droits.inférieure à deux droits.

L’aire d’un triangle est bornée :L’aire d’un triangle est bornée :Aire = k(Aire = k(π – somme des angles)π – somme des angles)

Diapo 55

Comment se représenter une telle géométrie ?

Le modèle de Poincaré (1854 – 1912)

Diapo 56

Droites et cercles dans un modèle de Poincaré

Diapo 57

Cette construction et les suivantes ont été réalisées grâce au site NonEuclid

Les parallèles de Lobatchevskij

Diapo 58

L’angle de parallélisme de Lobatchevskij

Diapo 59

Diapo 60

Diapo 61

Diapo 62

La quadrature chez les GrecsLa figure emblématique du La figure emblématique du concept grec de quadrature concept grec de quadrature pourrait être celle représentée ci-pourrait être celle représentée ci-contre : l’aire limitée par la lunule contre : l’aire limitée par la lunule formée d’un demi cercle et d’un formée d’un demi cercle et d’un quart de cercle est exactement quart de cercle est exactement égale à l’aire du carré construit à égale à l’aire du carré construit à partir des deux centres des cercles.partir des deux centres des cercles.

Réaliser la quadrature d’une figure Réaliser la quadrature d’une figure plane c’est construire (avec la plane c’est construire (avec la règle et le compas seuls) le carré règle et le compas seuls) le carré qui a la même aire que celle qui a la même aire que celle délimitée par cette figure plane. délimitée par cette figure plane.

Diapo 63

Un exemple de quadrature, en forme de puzzlele puzzle de Dudeney (1857 – 1931)

Diapo 64

Diapo 65

Quadrature du cercle en géométrie hyperbolique

Le carré ABJG a

ses quatre côtés

égaux et ses quatre

angles égaux

chacun à π/4.

Son aire mesure π

Diapo 66

Carrés en perspective

Diapo 67

Paolo Ucello : Le miracle de la profanation de l’hostie

1465 - 1469

Diapo 68

Pavage du plan par Escher

Diapo 69

Une figure de Escher

Diapo 70

Deux types de développement

Géométrie euclidienneLes axiomes sont le terme final Les axiomes sont le terme final

du développement du développement historiquehistorique

Les théorèmes se sont Les théorèmes se sont constitués avant leur constitués avant leur organisation logique, par organisation logique, par l’expérience l’observation, l’expérience l’observation, en accord avec l’intuition en accord avec l’intuition sensiblesensible

La géométrie est un La géométrie est un abstraitabstrait par rapport à l’intuitifpar rapport à l’intuitif

Géométrie non euclidienneCe sont les axiomes (et surtout le Ce sont les axiomes (et surtout le

[PP]) qui sont au départ du [PP]) qui sont au départ du développement historiquedéveloppement historique

Le commencement historique Le commencement historique coïncide avec le début logique. Les coïncide avec le début logique. Les théorèmes sont issus du théorèmes sont issus du développement logique, en développement logique, en rupture avec l’intuitionrupture avec l’intuition

La géométrie devient unLa géométrie devient un concret concret par par rapport au logique, au moyen des rapport au logique, au moyen des modèlesmodèles

Diapo 71

Définition axiomatique moderne Hilbert (1862 – 1943) : Les fondements de la géométrie (1899)

Nous pensons trois systèmes différents de Nous pensons trois systèmes différents de choses : nous nommons les choses du premier choses : nous nommons les choses du premier système des système des points (…); nous nommons droites, les choses du deuxième système (…) ; nous appelons plans les choses du troisième système..

Entre les points, les droites et les plans nous Entre les points, les droites et les plans nous imaginons certaines relations que nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que : exprimons par des expressions telles que : être être sur, entre, …sur, entre, …

La description exacte (…) de ces relations est La description exacte (…) de ces relations est donnée par les donnée par les axiomes de la géométrie

Diapo 72

Différents types d’axiomes

Axiomes d’appartenanceex. : il existe une droite liée à deux points donnés à laquelle appartiennent ces deux points

Axiomes d’ordredéfinissent des expressions comme : A est entre B et C ou la notion de segment

Axiomes de congruencedéfinissent par ex. la congruence (égalité) de deux segments

Axiome des parallèles Axiomes de continuité

par ex. l’axiome d’Archimèdepar ex. l’axiome d’Archimède

Diapo 73

Quel est alors le statut de la véritéen mathématiques ?

La vérité-copie :Adéquation de la chose Adéquation de la chose et de l’entendement :et de l’entendement :la vérité dans l’esprit la vérité dans l’esprit est le décalque d’une est le décalque d’une réalité hors de l’espritréalité hors de l’esprit

Hilbert à Frege : : Si les axiomes Si les axiomes choisis arbitrairement ne se choisis arbitrairement ne se contredisent pas, dans toutes contredisent pas, dans toutes leurs conséquences, alors ils sont leurs conséquences, alors ils sont vrais, les objets définis par eux vrais, les objets définis par eux existent. Ce qui est pour moi existent. Ce qui est pour moi critère de vérité et d’existence.critère de vérité et d’existence.

Diapo 74

Conséquences épistémologiques

L’invention des géométries non euclidiennes remet en L’invention des géométries non euclidiennes remet en cause l’ accord entre l’espace sensible et l’espace de la cause l’ accord entre l’espace sensible et l’espace de la géométrie euclidienne ; elle oblige à s’interroger : géométrie euclidienne ; elle oblige à s’interroger :

sur la relation (qui n’est plus du tout évidente) entre sur la relation (qui n’est plus du tout évidente) entre la théorie que constitue la géométrie et le réel de la théorie que constitue la géométrie et le réel de l’espace sensible,l’espace sensible,

sur le caractère de vérité de la géométrie, puisqu’il y sur le caractère de vérité de la géométrie, puisqu’il y a maintenant deux géométries, également vraies, et a maintenant deux géométries, également vraies, et pourtant basées sur des propositions contradictoires, pourtant basées sur des propositions contradictoires, (dont l’une nie ce que l’autre affirme).(dont l’une nie ce que l’autre affirme).

Diapo 75

Problème logique : comment deux théories basées sur deux propositions contradictoires peuvent – elles coexister ?

Construction par négation Construction par négation

SoitSoit E = {aE = {a11,a,a22, …,a, …,ann} } un un

ensemble d’axiomes ensemble d’axiomes construisant une théorie construisant une théorie TT

Soit Soit pp une proposition non une proposition non contenue dans contenue dans T.T.

AlorsAlors

EE++ = = {a{a11,a,a22, …,a, …,ann,p} ,p} etet

EE- - ={a={a11,a,a22,…,a,…,ann,non(p)} ,non(p)}

définissent deux nouvelles définissent deux nouvelles théories aussi vraies l’une théories aussi vraies l’une que l’autre d’un point de que l’autre d’un point de vue logique.vue logique.

A

non A

géométrie absolue

géométrie euclidienne

géométrie non euclidienne

O

axiome des parallèles

négation de l'axiome des parallèles

G. non Eucl.Diapo 76

Un autre exemplel’invention des nombres complexes

Nombres réels

Il n’existe pas de Il n’existe pas de nombres dont le nombres dont le carré soit égal à (- 1)carré soit égal à (- 1)

Nombres complexes

Il existe (au moins) un Il existe (au moins) un nombre dont le carré nombre dont le carré vaut (-1)vaut (-1)

Diapo 77

Deux logiques mathématiques différentes

Logique traditionnelle

Empêcher l’intrusion d’un élément étranger

Logique exhaustive : par rapport à un concept bien défini, sa tâche est d’épuiser le contenu du concept.

Nouvelle logique mathématique :

la logique de création

Construire des objets nouveaux par négation des concepts anciens.

Briser la carapace du concept pour en faire sortir quelque chose de nouveau.

Ne fonctionne pas par généralisation : la géométrie non euclidienne n’est pas une généralisation de la géométrie euclidienne.

Diapo 78

En guise de conclusionla déraisonnable aptitude

des mathématiques à expliquer la nature.

« Comment se fait-il que la mathématique, (…) « Comment se fait-il que la mathématique, (…) s’adapte d’une si admirable manière aux s’adapte d’une si admirable manière aux objets de la réalité ?objets de la réalité ?À cette question il faut, à mon avis, répondre À cette question il faut, à mon avis, répondre de la manière suivante : de la manière suivante :

Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. »

Einstein : La géométrie et l’expérience

Diapo 79