la integral de lebesgue en su contexto historico

8/3/2019 La Integral de Lebesgue en Su Contexto Historico

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La integral de Lebesgue en su contextohistorico

Cordero Zamorano, Pablo Martn

Diciembre 2006


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Indice general

1. Hacia una nueva teora de integracion 2

1.1. El punto de partida: la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Dos nuevas caracterizaciones de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Las aportaciones de Emile Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Problemas que motivaron la nueva integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1. Series trigonometricas y de Fourier e integracion termino a termino 61.4.2. El teorema fundamental del calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.3. Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.4. Integrales dobles e iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Consecuencias durante el siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1. Consecuencias en el Calculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2. Consecuencias en la Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. La primera nota de Lebesgue sobre su teora 11

2.1. Primera nota de Lebesgue sobre su integral (texto original en frances) . . . 112.2. Primera nota de Lebesgue sobre su integral (traduccion) . . . . . . . . . . 142.3. Comentarios sobre la Nota. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Limitaciones de la nota. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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Captulo 1

Hacia una nueva teora de integracion

Se podra decir que Lebesgue creo la primera teora de integracion genuina. Variasdefiniciones, teoremas y ejemplos antecededieron a su traba jo, pero carecan de la coheren-cia y completitud de una verdadera teora. Sin embargo, estas contribuciones anterioresprepararon el terreno para una sofisticada teora de integracion. Concretamente, permi-tieron a Lebesgue tener la medida como punto de vista para la creacion de su integral y leproveyeron con una buena cantidad de problemas teoricos descubiertos en el contexto dela integral de Riemann (aunque en su momento no fueron considerados como tales).

1.1. El punto de partida: la integral de Riemann

La necesidad historica de desarrollar una teora de la medida es que el de propor-cionarnos un nuevo punto de vista desde el que mirar la definicion de la integral deCauchy-Riemann. De ah que sea imprescindible comenzar con una mnima retrospecti-va de dicha integral.

Bernhard Riemann (1826-1866) adquirio su interes en problemas relacionados con lateora de series trigonometricas e integracion debido a su contacto con Dirichlet. Tras pasarun ano en Gottingen, se fue a Berln, donde asistio a las clases que Dirichlet impartasobre teora de numeros, teora de la integral definida y ecuaciones en derivadas parciales.Dirichlet rapidamente desarrollo un especial interes por el joven Riemann, quien a suvez consideraba a Dirichlet como el mejor matematico vivo despues de Gauss. Dos anosdespues, Riemann volvio a Gottingen y en 1851 presento su tesis doctoral Grundlagen fureine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse. El puntode partida es una definicion bastante diferente del termino de funcion cuando la variableconsiderada es real o compleja, lo cual fue imprescindible para el posterior desarrollo desu integral. Tres anos mas tarde, en su Habilitationsschrigt, decidio retomar el estudiode la representacion de funciones mediante series trigonometricas. La pregunta inicial de

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La integral de Lebesgue en su contexto historico

su investigacion fue: en que casos es una funcion integrable? Fue entonces cuando creo la

integral que hoy conocemos.La teora de integracion de Riemann (1854) fue derivada de la Cauchy debilitando al

maximo las hipotesis necesarias para que una funcion sea integrable. Mientras Cauchyrestringa la integrabilidad a funciones continuas, Riemann dio una condion necesaria ysuficiente para ello: una funcion acotada f(x) es integrable en [a, b] si y solo si la suma deCauchy

S =n

k=1

f(tk)(xk xk1),

donde a = x0 < x1 < ... < xn = b y tk [xk1, xk], se aproxima a un unico valor lmitecuando el tamano de la particion del intervalo se aproxima a 0. Este unico valor lmite espor definicion

ab

f(x)dx.

Aunque lo que Riemann hizo nos pueda parecer ahora un paso casi trivial a partirde la integral de Cauchy, historicamente represento un gran salto, ya que involucraba unconcepto radicalmente diferente de funcion. De hecho, en su tiempo, la teora de Riemannpareca la mas general posible: su condicion de integrabilidad era la mas debil usando ladefinicion tradicional de Cauchy; de hecho, permita extender el concepto de integral afunciones cuyos puntos de discontinuidad forman un conjunto denso, funciones cuya exis-tencia ni siquiera haba sido sospechada por la mayora de los matematicos de la epoca.

Una nueva generalizacion pareca por lo tanto impensable. Impensable siempre y cuandola suma de Cauchy fuese tomada como punto de partida para la definici on de integral. Esa este respecto que la idea de medida se torna fundamental para sentar las bases de unanueva definicion de integral.

1.2. Dos nuevas caracterizaciones de integrabilidad

Definamos primero algunos conceptos que son necesarios. Sea S un conjunto acotadode numeros reales. Sean I1, I2,...,In un conjunto finito de intervalos que cubren S. El con-

tenido externo de S, ce(S), es el nfimo de todos los numeros reales de la forman

k=1

L(Ik),

donde Ik cubre S y L(Ik) es la longitud del intervalo IK. Analogamente, el contenido in-

terno de S, ci(S), se define como el supremo den

k=1

L(Ik), donde Ik Ik = yn

k=1

Ik S.

Diremos que un conjunto es Jordan-medible si ci(S) = ce(S) y, en tal caso, diremos que sucontenido es c(S) = ci(S) = ce(S). Observese que estas definiciones se pueden extender deforma natural a mas dimensiones.

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El primer matematico que introdujo la definicion de contenido exterior de un conjunto

fue Otto Stolz (1842-1905) en 1881, Profesor de matematicas de la Universidad de Inns-bruck. Tres anos mas tarde, e independientemente de Stolz, Cantor publico una definicionequivalente conceptualmente, pero en el contexto mas general de los espacios euclideosenedimensionales. En un escrito publicado poco despues de que Cantor diera su definicion,el matematico Harnack propuso su propia definicion, la cual era bastante similar a la deStolz (aunque aparentemente no conoca nada acerca de ella). Por otra parte, el conceptode medible definido anteriormente fue introducido, como su nombre indica, por Jordan aprincipios de la decada de 1890.

Estas nociones sugirieron dos nuevas caracterizaciones de la condicion de integrabilidadde Riemann. La primera de ellas adopta una vision geometrica, considerando la integral de

una funcion en terminos del area delimitada por su grafica. Dada una funcion f definiday acotada en el intervalo [a, b], sea E el conjunto de puntos del plano delimitado por elgrafico de f, el eje de abcisas y las rectas x = a y x = b. Entonces f es Riemann-integrablesi y solo si el conjunto E es Jordan-medible, y

ab

|f| = c(E),

ab

f = c(E+) c(E),

donde E+ y E denotan el semiplano positivo y negativo del eje de ordenadas, respec-tivamente.

La segunda caracterizacion de la condicion de integrabilidad de Riemann consiste enque las integrales superior e inferior de f sean iguales, esto es,

ab

f =

ab

f,

siendoab

f yab

f el supremo y el nfimo, respectivamente, de

L =n

i=1mi(xi xi1), U =

n

i=1Mi(xi xi1),

donde a = x0 < x1 < ... < xn = b denota una particion de [a, b], y mi y Mi denotan,respectivamente, el nfimo y supremo de f(x) en [a, b]. La introduccon del concepto deconjunto medible causo la siguiente variacion en esta caracterizacion de integrabilidad.Consideremos las sumas mas generales:

L =n

i=1

mic(Ei), U =n

i=1

Mic(Ei),

donde los conjuntos Ei son Jordan-medibles, disjuntos dos a dos y tales que [a, b] =

n

i=1Ei. Entonces el supremo de L y el nfimo de U son aun las integrales inferior y supe-

rior de f y, por tanto, la condicion de integrabilidad de Riemann puede ser enunciada en

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terminos de estas sumas mas generales.

Las dos caracterizaciones expuestas anteriormente hicieron ver que una generalizacionde los conceptos de medida y medible permitiran una generalizacion de los conceptosde integral e integrabilidad. En otras palabras, supongamos que M denota la clase deconjuntos medibles que contiene la clase de conjuntos Jordan-medibles, y supongamosque una medida, m(E), ha sido definida para todos los elementos de M de tal maneraque m(E) coincide con c(E) cuando E es Jordan-medible. As, la primera caracterizacionde funciones integrables Riemann, sugiere que el concepto de integrabilidad se podraextender a cualquier funcion acotada f, cuyo conjunto correspondiente E pertenezca aM. La integral de f vendra as definida por

a

bf = m(E+) m(E). Analogamente, la

segunda caracterizacion, sugiere definir las integrales superior e inferior ab

f y abf con

respecto a M como el supremo de L y el nfimo de U para las sumas

L =

ni=1

mim(Ei), U =

ni=1

Mim(Ei),

donde ahora Ei pertenece a M. Entoncesab

f

ab

f

ab

f

ab

f,

y se podra definir f como integrable si se cumple ab

fabf.

Claramente, las dos definiciones anteriores, basadas en un concepto mas amplio de me-dida, representan generalizaciones de la integral de Riemann; cuando M denota la clasede conjuntos Lebesgue-medibles, las definiciones resultan ser la de la integral de Lebesguepara funciones acotadas.

1.3. Las aportaciones de Emile Borel

Fue esencialmente a traves de las consideraciones anteriores por las que Lebesgue (e,independientemente, W. H. Young) obtuvo su generalizacion de la integral, despues de queEmile Borel sugiriese la lista de propiedades que una medida generalizada deba tener. Dehecho, una vez que dichas ideas se desarrollaron, fue completamente inevitable que alguienlas aplicara al concepto de integral, y es por esta razon que se pone especial atencion aldesarrollo de la nocion de medida que precede a Lebesgue (y de todas las ideas que suby-acen bajo o se derivan de ella).

As, el nacimiento de medida puede ser atribudo a Emile Borel. Antes de hacer publi-cos Lebesgue sus trabajos, en 1898, Emile Borel publico el libro Lecons sur la theoriedes fonctions, donde investigaba sobre ciertos conjuntos del intervalo [0, 1] (seccion Les

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ensembles mesurables). Pretenda asignar medidas a subconjuntos mas generales que los

subintervalos, especialmente a aquellos engendrados mediante uniones numerables o pasoal complementario de intervalos. De forma paralela peda que estos subconjuntos cumpli-eran que si Xn es una familia finita o numerable de tales conjuntos disjuntos dos a dos, suunion tiene como medida la suma de sus medidas; y por otra parte, todos los subintervalostienen como medida su longitud. Como podemos observar, esta definicion de Borel es ladefinicion de premedida, nombre que mas adelante asignara Lebesgue.

Borel no probo la existencia y unicidad de dicha definicion. Afirma que ((el lema fu-nadmental demostrado [...] nos asegura que estas definiciones nunca seran contradictoriasentre s)), y anoto en el pie de pagina de ese mismo libro que ((He omitido toda demostracion

ya que la redaccion me parecio tener que ser larga y fastidiosa [...])). Por otra parte, Borelno hace absolutamente ninguna referencia o insinuacion sobre una posible conexion entresu concepto de medida y la teora de integracion.

Aunque Borel no fue capaz de probar dicho resultado, gracias a las aportaciones deLebesgue el resultado de Borel queda incluido en la construccion de la integral de Lebesgue.Mas adelante, a esos conjuntos a los que se refera Borel, Lebesgue los llamo borelianos pordeferencia a su amigo.

1.4. Problemas que motivaron la nueva integral

Para Lebesgue, la definicion generalizada de integral representa solo el inicio y la partemenos profunda de su aportacion a la teora de integracion. Lo que hizo el descubrimientoinicial importante fue que Lebesgue consiguio reconocer en el una herramienta analticacapaz de hacer frente a los problemas no resueltos que haban surgido a partir de la anteriorteora de integracion. Como Leguesgue explico, una generalizacion hecha no por el placerde generalizar, sino para resolver problemas previos no resueltos, es siempre una general-izacion fructfera. De hecho, los problemas no resueltos motivaron los mayores resultadosde Lebesgue.

1.4.1. Series trigonometricas y de Fourier e integracion terminoa termino

El primero de estos problemas surgio con Fourier en 1822: si una funcion F se puederepresentar por una serie trigonometrica, es esa serie la serie de Fourier de f? Directamenterelacionado con esta pregunta, tenemos: cuando podemos permitir integrar termino atermino una serie infinita de funciones? Es decir, cuando es cierto que

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a

b

n=1

un(x)

=n=1

a

b

un(x)

?

Fourier asumio que la la respuesta a esta ultima pregunta es siempre, y lo uso paraprobar que la respuesta a la primera pregunta es s. Hacia finales del siglo diecinuevese desmostro que no se puede integrar termino a termino ni siquiera en el caso de seriesuniformemente acotadas, precisamente porque f(x) =

i=1un(X) no tiene porque ser

integrable Riemann; aun as, se obtuvieron algunos resultados positivos aumentando lashipotesis, pero requeran pruebas extremadamente largas. Estos desarrollos, sin embar-go, allanaron el camino para que Lebesgue probara elegantemente que se pueden inter-

cambiarla integral y la suma para cualquier serie uniformemente acotada de funcionesintegrables-Lebesgue. Y, aplicando este resultado a la primera cuestion, Lebesgue estuvoen posicion de afirmar la creencia de Fourier de que la respuesta es siempre.

1.4.2. El teorema fundamental del calculo

Otro torrente de dificultades fue el teorema fundamental del c alculo

a

b

f(x)dx = f(b) f(a)

.El trabajo de Ulisse Dini y Vito Volterra dejo claro que existen funciones con derivadas

acotadas no integrables, por lo que el teorema fundamental anterior se torna inutil paraestas nuevas funciones. Mas adelante, se descubrieron mas clases de funciones con estapropiedad. Nuebos problemas surgieron en relacion con la extension que Axel Harnackshizo de la integral de Riemann para funciones no acotadas, dado que se descubrieronfunciones monotonas continuas con intervalos densamente distribuidos de invariavilidad.Tales funciones sirvieron como ejemplo de derivadas Harnack-integrables para las cualesel teorema fundamental no es aplicable. Algunos teoremas debidos a Lebesgue resolveranelegantemente estos problemas.

La existencia de las funciones mencionadas anteriormente hicieron preguntarse cuandouna funcion continua es una integral. Esto incito a Alex Harnack a introducir una nuevapropiedad cuyo nombre no ha variado desde entonces: la continuidad absoluta. Durante ladecada de 1890 la continuidad absoluta se empezo a considerar como la propiedad carac-terstica de las integrales absolutamente convergentes, aunque nadie fue capaz de probarque cualquier funcion absolutamente continua es una integral.

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1.4.3. Longitud de una curva

Una familiaridad mas profunda con los conjuntos infinitos de puntos haban conducidoal descubrimiento de problemas relacionados con el teorema fundamental del c alculo. Laincipiente teora de conjuntos infinitos tambien estimulo el interes de la formula clasicapara la longitud de una curva, a saber,

L =

ab

(1 + (f)2)1

2 .

Paul du Bois-Reymond, quien inicialmente se intereso por este problema, estaba con-vencido de que la teora de integracion era indispensable para el tratamiento la longitudde una curva, enmarcado todo ello en el contexto general derivado del concepto de fun-cion moderno. Hacia finales del siglo diecinueve este punto de vista pareca insostenible,en particular por las crticas y contrajemplos de Ludwig Scheeffeer. Lebesgue estaba real-mente interesado en esta cuestion y fue capaz de usar los resultados de su propia teora deintegracion para devolver la credibilidad a las afirmaciones de du Bois-Reymond sobre laestrecha relacion de los conceptos de integral y de curva.

El trabajo de Lebesgue en el teorema fundamental del calculo y en la teora de curvasjugo un importante papel en su descubrimiento de que una funcion continua con variacionacotada posee una derivada finita salvo quiza en un conjunto de medida cero. Este teoremagana aun mas importancia al ser visto en contraposicion a la discusion sobre las propiedades

de diferenciabilidad de las funciones continuas desarrollas en la escena matematica de todoel siglo diecinueve. Durante practicamente toda la primera mitad del siglo, la creencia gen-eral fue que las funciones continuas eran diferenciables en la mayorade puntos, aunquehay que tener en cuenta que normalmente se asuma continuidad y monotona a trozos(as, diferenciabilidad y monotona estuvieron ligadas, aunque debilmente). Hacia finalesde siglo, nada menos que un matematico como Weierstrass se dio cuenta de que debanexistir funciones continuas y monotonas que no fuesen diferenciables en ningun punto. As,en cierto sentido, el teorema de Lebesgue justifico las intuiciones de algunos matematicosanteriores.

1.4.4. Integrales dobles e iteradas

La extension de Riemann del concepto de integral hizo que surgieran problemas tambienen relacion con el clasico teorema sobre integrales dobles e iterada, a saber,

R

f(x, y)dR =

ab

cd

f(x, y)dy

dx =

cd

ab

f(x, y)dx

dy,

donde R es el rectangulo determinado por a x b y c y d. No hizo faltamucho tiempo para descubrir que cuando f(x, y) es integrable en el rectangulo R, puede

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suceder que las funciones x f(x, y) y y f(x, y) no lo sean en conjuntos densos de

x e y respectivamente (conjuntos con contenido exterior positivo). La formulacion clasicahaba de ser, por lo tanto, modificada. Algo mas tarde se descubrio que las modificacionesdeban ser cada vez mas drasticas cuando se consideran funciones no acotadas. AunqueLebesgue no resolvio este problema, su tratamiento del problema sento las bases para elbien conocido teorema de Fubini, devolviendo la simplicidad de la formulacion original.

1.5. Consecuencias durante el siglo XX

Hacia finales de la primera decada del siglo veinte, las ideas de Lebesgue haban recibidoya bastante atencion y el numero de matematicos atrados por las ideas de Lebesgue cre-cio rapidamente. El propio trabajo de Lebesgue durante esta decada -particularmente susaplicaciones de la nueva integral a las series trigonometricas- fue la razon principal, pero lasinvestigaciones pioneras de otros matematicos -Guido Fubini, Pierre Fatou, Ernst Fischery F. Riesz- tambien contribuyeron sustancialmente a esta tendencia.

En 1913, J. Radon fusiona las integrales de Lebesgue y Stieljes, basadas en el conceptode conjunto de funciones numerablemente aditivas, sentando las bases para las modernasteoras medida e integracion. El trabajo de Radon representa un verdadero triunfo de lasideas de Lebesgue, pues dejaron claro que son viables en un marco mucho m as general.

A da de hoy todava se siguen generando consecuencias de la teora de Lebesgue, porlo que enumerar todas las consecuencias sera imposible. Tan solo citaremos brevementedos de los campos en los que ha tenido mas repercusion: el calculo y la probabilidad.

1.5.1. Consecuencias en el Calculo.

A parte de las consecuencias obvias, esto es, la generalizaci on de la integral de Riemann,consiguio uno de sus objetivos, la ampliacion de funciones primitivas, la integracion de fun-ciones de varias variables usando el Teorema de Fubini, etc. Pero sus consecuencias no se

quedan aqu, la teora de Lebesgue sirvio para la evolucion del Calculo. A grandes rasgospodramos decir que se consiguieron resolver calculos del tipo

,

, se justifico elpaso al lmite de las Serires de Fourier; en 1907 Fisher y Riesz enunciaron un resultadomuy potente: el espacio de funciones integrables es completo; etc.

La medida fue objeto de estudio en los anos posteriores a los trabajos de Lebesgue;as Radon en 1913 pudo hablar de sus medidas, Caratheodory desarrollo los trabajos decompletacion de medidas abstractas, liberando de argumentos topologicos a la medida yfinalmente Wiener en 1922 fue el primero en hablar de medidas de probabilidad.

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Las consecuencias menos inmediatas en el Calculo fueron definir los Espacios Lp y

propiedades de los mismos, originando el analisis funcional abstracto, as como los espaciosfuncionales de Sovolev, que es la base del Analisis y de las EDPs de hoy en da.

1.5.2. Consecuencias en la Probabilidad.

Gracias a la teora de Lebesgue, la Probabilidad se desarrollo espectacularmente, ha-ciendo de la Teora de Lebesgue una herramienta indispensable para la evolucion de laProbabilidad. Hoy en da podemos ver que la probabilidad no es mas que un caso partic-ular de la generalizacion de la teora de Lebesgue.

Fue Kolmogoroff en 1933 el que axiomatizo la teora de la probabilidad y el que rela-ciono ambas materias.

El estudio hoy en da de Probabilidad pasa por el dominio de la integral de Lebesgue:sin ella, seramos incapaces de relover muchos teoremas fundamentales de la probabilidad.

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Captulo 2

La primera nota de Lebesgue sobre

su teora

Henri Lebesgue (1875-1941) asistio a la Ecole Normale Superieure (al igual que Borely Baire), y completo sus estudios all en 1897. Los dos anos siguientes, mientras trabajaen la biblioteca de la Ecole, resultaron ser my productivos para Lebesgue, teniendo comoresultado la publicacion de un buen numero de trabajos. Tambien durante este periodoaparecio Lecons de Borel, as como los primeros trabajos de Baire sobre funciones discon-tinuas. En 1899 Lebesgue tomo cargo como profesor en el Lycee Central en Nancy, dondepermanecio hasta 1902. Entre Junio de 1899 y Abril de 1901, la Academia de las Cienciaspublico una sere de notas escritas por Lebesgue en las Comptes Rendus, que mas adelanteformaran la base para su tesis doctoral; es en la quinta y ultima nota en la que Lebesgueanuncia la generalizacion de la integral de Riemann. Transcribimos a continuaci on estanota en su version original francesa (paginas 1025 a 1027 del tomo 132 de los ComptesRedus) y su traduccion para, por ultimo, comentar los aspectos mas relevantes, realizandoas una breve incursion la teora que nos ocupa.

2.1. Primera nota de Lebesgue sobre su integral (tex-

to original en frances)ANALYSE MATHEMATIQUE.- Sur une generalisation de lintegrale definie.

Note de M. H. Lebesgue, presentee par M. Picard.

Dans le cas des fonctions continues, il y a identite entre les notions dintegraleet de fonction primitive. Riemann a defini lintegrale de certaines fonctionsdiscontinues, mais toutes les fonctions derivees ne sont pas integrables, au sensde Riemann. Le probleme de la recherche des fonctions primitives nest doncpas resolu par lintegration, et lon peut desirer une definition de lintegralecomprenant comme cas particulier celle de Riemann et permettant de resoudre

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le probleme des fonctions primitives1.

Pour definir lintegrale dune fonction continue croissante

(x) (a x b),

on divise lintervalle (a, b) en intervalles partiels et lon fait la somme desquantites obtenues en multipliant la longueur de chaque intervalle partiel parlune des valeurs de quand x est dans cet intervalle. Si x est dans lintervalle(ai, ai+1), varie entre certaines limites mi, mi+1, et reciproquement si estentre mi et mi+1, x est entre ai et ai+1. De sorte quau lieu de se donner ladivision de la variation de x, cest-a-dire de se donner les nombres ai, on auraitpu se donner la division de la variation de , cest-a-dire les nombres mi. De ladeux manieres de generaliser la notion dintegrale. On sait que la premiere (sedonner les ai) conduit a la definition donnee par Riemann et aux definitions desintegrales par exces et par defaut donnes par M. Darboux. Voyons la seconde.Soit la fonction comprise entre m et M. Donnons-nous

m = m0 < m1 < m2 < ... < mp1 < M = mp

= m quand x fait partie dun ensemble E0; mi1 < mi quand x faitpartie dun ensemble Ei.Nous definirons plus loin les mesures 0, i de ces ensembles. Considerons lune

ou lautre des deux sommes

m00 + mii ; m00 + mi1i ;

si, quand lecart maximum entre deux mi consecutifs tend vers zero, ces sommestendent vers une meme limite intependante des mi choisis, cette limite sera pardefinition lintegrale des qui sera dite integrable.Considerons un esemble de points de (a, b); on pent dune infinite de manieresenfermer ces points dans une infinite denombrable dintervalles; la limite inferieurede la somme des longueurs de ces intervalles est la mesure de lensemble. Unensemble E est dit mesurable si sa mesure augmentee de celle de lensemble des

points ne faisant pes partie de E donne la mesure de (a, b)2

. Voici deux pro-prietes de ces ensembles: une infinita densembles mesurables Ei etant donnee,lesemble des points qui font partie de lun au moins dentre eux est mesurable;si les Ei nont deux a deux aucun point commun, la mesure de lensembleobtenu est la somme des mesures Ei. Lensemble des points communs a tousles Ei est mesurable.

1Ces deux conditions imposees a priori a toute generalisation de lintegrale sont evidemment compat-ibles, car toute fonction derivee integrable, au sens de Riemann, a pour integrale une de ses fonctionsprimitives.

2Si lon ajoute a ces ensembles des ensembles de mesures nulles convenablement choisis, on a des en-sembles mesurables au sens de M. Borel (Lecons sur la theorie des fonctions).

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pas, on peut obtenir un theoreme presque identique en remplacant les derivees

par les nombres derives de Dini.

2.2. Primera nota de Lebesgue sobre su integral (tra-duccion)

Analisis Matematico.- Sobre la Generalizacion de la integral definida.

Nota de M. H. Lebesgue, presentada por M. Picard.

En el caso de las funciones continuas, existe una identidad entre las nociones de

integral y funcion primitiva. Riemann definio la integral de algunas funcionesdiscontinuas, pero no todas las funciones derivadas son integrables, en el sentidoRiemann. La integracion no resuelve por tanto el problema de la busqueda defunciones primitivas, y es deseable una definicion de la integral que comprendacomo caso particular la de Riemann y permita resolver el problema de lasfunciones primitivas1.Para definir la integral de una funcion continua creciente

(x) (a x b)

se divide el intervalo (a, b) en intervalos parciales y se hace la suma de las canti-

dades obtenidas multiplicando la longitud de cada intervalo parcial por uno delos valores de cuando x esta en el intervalo. Si x esta en el intervalo (ai, ai+1), vara entre ciertos lmites mi, mi+1 y, recprocamente, si esta entre mi ymi+1, x esta entre ai y ai+1. De tal manera que en lugar de darnos la divisi onde la variacion de x, es decir darnos los numeros ai, nos hubieramos podido darla division de la variacion de , esto es, los numeros mi. De ah dos manerasde generalizar la nocion de integral. Sabemos que la primera (darnos los ai)conduce a la definicion dada por Riemann y a las definiciones de integrales porexceso y por defecto dadas por el Sr. Darboux. Veamos la segunda.Sea la funcion comprendida entre m y M. Demonos

m = m0 < m1 < m2 < ... < mp1 < M = mp

= m cuando x forma parte del conjunto E0; mi1 < mi cuando x formaparte de un conjunto Ei.Definiremos mas adelante las medidas 0, i de estos conjuntos. Consideremosuna u otra de las dos sumas

m00 + mii ; m00 + mi1i ;

1Estas dos condiciones puestas a priori a toda generalizacion son evidentemente compatibles, ya quetoda toda funcion derivada integrable, en el sentido Riemann, tiene como integral una de sus funcionesprimitivas.

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si, cuando la distancia maxima entre dos mi consecutivos tiende hacia cero,

estas sumas tienden hacia un mismo lmite independiente de los mi elegidos,este lmite sera por definicion la integral de las de la que diremos es integrable.

Consideremos un conjunto de puntos de (a, b); es posible encerrar estos puntosen un numero infinito numerable de intervalos de una infinidad de maneras; ellmite inferior de la suma de las longitudes de estos intervalos es la medida delconjunto. Se dice que un conjunto E es medible si su medida aumentada de ladel conjunto de los puntos que no forman parte de E da la medida de (a, b)2.He aqu dos propiedades de estos conjuntos: dada una infinidad de conjuntosmedibles Ei, el conjunto de los puntos que forman parte de uno al menos de

todos ellos es medible; si los Ei no tienen ningun punto comun dos a dos, lamedida del conjunto obtenido es la suma de las medidas de los Ei. El conjuntode los puntos comunes a todos los Ei es medible.Es natural considerar primero las funciones tales que los conjuntos que figuranen la definicion de integral sean medibles. Se obtiene: si una funcion limitadasuperiormente en valor absoluto es tal que, cualesquiera que sean A yB, el con-junto de los valores de x para los que se tiene A < B es medible, entonceses integrable por el procedimiento indicado. Tal funcion sera llamada sumable.La integral de una funcion sumable esta comprendida entre la integral por de-fecto y la integral por exceso. De manera que si una funcion integrable en el

sentido de Riemann es sumable, la integral es la misma con las dos definiciones.Ahora bien, toda funcion integrable en el sentido Riemann es sumable ya queel conjunto de sus puntos de discontinuidad es de medida nula, y se puede de-mostrar que si, haciendo abstraccion de un conjunto de valores de x de medidanula, queda un conjunto en cada punto del cual una funcion es continua, estafuncion es sumable. Esta propiedad permite obtener inmediatamente funcionesno integrables en el sentido de Riemann y sin embargo sumables. Sean f(x)y (x) dos funciones continuas, no siendo (x) siempre nula; una funcion queno difiere de f(x) mas que en los puntos de un conjunto de medida nula densoen todas partes y que en esos puntos es igual a f(x) + (x) es sumable sin

ser integrable en el sentido de Riemann. Ejemplo: La funcion igual a 0 si x esirracional, igual a 1 si x es racional. El procedimiento de construccion antesexpuesto demuestra que el conjunto de las funciones sumables tiene una po-tencia superior al continuo. He aqu dos propiedades de las funciones de esteconjunto.

1o Si f y son sumables, f+ y f lo son y la integral de f+ es la sumade la integrales de f y de .

2Si a estos conjuntos se anaden conjuntos de medida nula convenientemente elegidos, se obtienenconjuntos medibles en el sentido del Sr. Borel (Lecons sur la theorie des fonctions).

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2o Si una sucesion de funciones sumables tiene lmite, es una funcion sum-

able.

El conjunto de las funciones sumables contiene claro esta = k e = x; luegopor 1o, contiene todos los polinomios y como, segun 2o, contiene todos suslmites, contiene por tanto todas las funciones continuas, todos los lmites defunciones continuas, es decir las funciones de primera clase (ver Baire, Annalidi Matematica, 1899), contiene todas las de segunda clase, etc.En particular, toda funcion derivada limitada superiormente en valor absolu-to, por ser de primera clase, es sumable, y se puede demostrar que su integralconsiderada como funcion de su lmite superior, es una de sus funciones prim-

itivas.He aqui ahora una aplicacion geometrica: si |f|, ||, || estan limitadas su-periormente, la curva

x = f(t), y = (t), z = (t)

tiene por longitud la integral de

f2 + 2 + 2. Si = = 0, se tienela variacion total de la funcion f de variacion limitada. En el caso en que f,, no existen, se puede obtener un teorema casi identico sustituyendo lasderivadas por los numeros derivados de Dini.

2.3. Comentarios sobre la Nota.

La nota esta escrita con sumo cuidado, sin grandes adornos, todo con sencillez y clar-idad. En ningun momento enuncia teoremas o definiciones, simplemente describe sus ideas.

Obviamente, la nota no puede contener todos los resultados de la teora tal y como hoyla conocemos. En esencia se compone de:

Motivacion a partir del teorema fundamental del calculo para la integral de Riemann.

Construccion tecnica de su integral a partir de la la integral de Riemann.Primeras definiciones de medida, funcion (acotada) medible e integrable.

Inclusion de la integral de Riemann en la construccion hecha por Lebesgue.

Algunas propiedades basicas de las funciones integrables segun Lebesgue.

El ejemplo de una funcion no integrable Riemann e integrable Lebesgue.

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Integral

Lebesgue parte del Teorema Fundamental del Calculo ya que en aquella epoca conocantodas las derivadas de funciones derivables y pretendan hallar todas sus primitivas, paralo cual utilizaban dicho teorema. Ademas eran conscientes de las limitaciones de la integralde Riemann. Una de esas limitaciones, integrar funciones discontinuas, es descrita perfec-tamente por Lebesgue en las lneas 2 y 3.

El autor narra con sumo cuidado gramatical y matematico la integral de Riemann paraconstatar la diferencia sustancial con su nueva definicion de integral; para ello le dedicaonce lneas, un parrafo entero (teniendo en cuenta que el texto ocupa algo mas de dospaginas, es mucho).

Con mucha naturalidad Lebesgue enuncia su construccion, explicando en ocho lneas sunueva integral. Al hacerlo tan claro y con tanta nitidez, no requiere de explicacion alguna:

Sea la funcion comprendida entre m y M. Demonos m = m0 < m1 < m2 < ...

la integral de lebesgue en su contexto historico

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