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La matemática detrás del GPS
Propuesta didáctica para Matemática – Nivel Secundario
Departamento de Matemática – UNS
La matemática detrás del GPS : propuesta didáctica paraMatemática : nivel secundario / Andrea Liliana Bel... [et al.].1a ed ilustrada. Bahía Blanca, 2019.
Libro digital, PDFArchivo Digital: descarga
ISBN 978-987-86-3040-3
1. Matemática. 2. Sistema de Posicionamiento Global. I. Bel, Andrea Liliana.CDD 510.712
Copyright c© 2018 Dto. de Matemática – UNS
PUBLICADO POR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR
WWW.UNS.EDU.AR
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Primera edición, junio 2018
La matemática detrás del GPS
Propuesta didáctica para Matemática – Nivel Secundario
Departamento de Matemática – UNS
Participan de este proyecto:
Docentes del Departamento de MatemáticaAndrea BellGuillermo CapobiancoUlises ChialvaRomina CobiagaJessica Del PuntaWalter Reartes
Docentes de Nivel SecundarioVanesa Aja Mariana ElizariNatalia Alonso Karina Elisa FerraboneSilvia Andrea Balda Mariela GolatoPatricia Elena Bertacco Gisela LeguizamónRoxana Daniela Bonelli Flavia LupardoMaría Rosa Clemenza Ana MascettiJonathan Cuesta Mariana MugicaRocío D’alessandro Claudia NovalAna María De Zoete Marianela PohnBetiana Despósito Paula RamirezSantiago Di Paolo Daniela SpinelliDaniela Di Tomasso Fernando TemponeMercedes Karina Dietrich Inés TenagliaFlorencia Doladé Pablo Sebastián TraviCecilia Elicalde María Teresa Vizcaino
—————————————————————-
Índice general
Prefacio 7
I Introducción
1 El Sistema de Posicionamiento Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Sistemas de navegación satelital 111.2 ¿Qué es el GPS? 121.2.1 Segmento espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Segmento de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Segmento de los usuarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 ¿Cómo funciona el GPS? 14
II Descripción del funcionamiento
2 Localización en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Puntos y distancias en el plano 192.2 Localización del receptor en el plano 20
3 Localización con GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Coordenadas en la tierra 233.1.1 El WGS (World Geodetic System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Localización de un punto en el sistema WGS84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Puntos y distancias en el espacio 253.3 Localización en el espacio. Trilateración 26
3.4 Cálculos en 3-D 27
4 Distancias a los satélites y correcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 La velocidad de la luz y su relación con la distancia a los satélites 314.2 Correcciones con más satélites 324.3 La Teoría de la Relatividad de Einstein y el GPS 32
III Propuestas para trabajar en el aula
5 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1 Cálculo del área de la ciudad 375.1.1 Propuesta 1
Autores: Lupardo, F., Mascetti, A., Elicalde, C., Spinelli, D., Di Tomasso, D., Pohn, M.,Tempone, F., Leguizamón, G., Golato, M., Dalessandro, R. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.2 Propuesta 2Autores: Aja, V., Alonso, N., Clemenza, M. R., Elizari, M., Mugica, M., Noval, C.,Tenaglia, I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Funciones periódicas para modelar el movimiento satelital 40Autores: Vizcaino, M. T., Di Paolo, S., Cuesta, J., Despósito, B., Doladé, F. . . . . . 40
5.3 El Grooming y la geolocalizacón 42Autora: De Zoete, A. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Estudio ambiental del barrio 43Autores: Balda, s. A., Bonelli, R. D., Dietrich, M. K., Travi, P. S., Ramirez, P., Ferrabone,K. E., Bertacco, P. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Un breve comentario sobre evaluación 455.6 Anexo: un deslizador con GeoGebra 46
Indice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7
PrefacioEl presente material es el resultado del trabajo conjunto entre un grupo de docentes del
Departamento de Matemática de la Universidad Nacional del Sur y un grupo de docentes de NivelSecundario de la Región 21, Distrito de Tres Arroyos, Provincia de Buenos Aires. Motivados por laconvicción de que es necesario repensar y actualizar los vínculos entre la Universidad y el NivelMedio, nos propusimos elaborar este trabajo en el que empleamos un elemento cotidiano, en estecaso el GPS, como soporte en la planificación de las actividades de la clase de Matemática.
El GPS es hoy día una tecnología al alcance de casi cualquier ciudadano, y su implementaciónabarca muchísimo más que la navegación terrestre, que es el motivo por el que la gran mayoríade la gente lo conoce. Al visitar su página web oficial (perteneciente al Gobierno de los EstadosUnidos) encontramos ejemplos de su uso en agricultura, aviación, carreteras, navegación espacialy marítima, medio ambiente, recreación, seguridad pública, prevención de desastres naturales,topografía, cartografía y vías férreas. Vemos entonces que este objeto nos aporta una gran cantidadde opciones para establecer conexiones entre los distintos conceptos trabajados en el aula y la vidacotidiana, permitiéndonos así transformar en “reales” los contenidos abstractos que se plantean enla clase de Matemática. Es decir, el GPS se presenta como una herramienta potencialmente útiltanto para trabajar de manera interdisciplinar como para contextualizar ciertos contenidos.
El material que estamos presentando aquí consta de dos partes. En la primera se describe elfuncionamiento del GPS, para lo cual se hace necesario introducir conceptos no sólo matemáticossino también del campo de la Física. La segunda parte incluye distintas actividades pensadas paraalumnos del último tramo del Nivel Secundario, las cuales surgen a partir de un taller inicial reali-zado en la ciudad de Tres Arroyos y continuado mediante encuentros y plataformas de intercambiovirtuales. De esta manera ambos grupos de trabajo nos encontramos, compartimos y discutimos losconceptos e ideas en torno al GPS y su implementación en el aula.
Todas las actividades realizadas en torno a la elaboración del presente material fueron desarro-lladas en el marco del Programa Nexos: Articulación Educativa Universidad - Escuela Secundaria,una convocatoria realizada por el Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología a travésde la Secretaría de Políticas Universitarias.
I
1 El Sistema de Posicionamiento Global 111.1 Sistemas de navegación satelital1.2 ¿Qué es el GPS?1.3 ¿Cómo funciona el GPS?
Introducción
1. El Sistema de Posicionamiento Global
1.1 Sistemas de navegación satelital
Un sistema de navegación por satélite es un sistema que utiliza satélites para proporcionarun posicionamiento geoespacial autónomo. Permite a los receptores electrónicos determinar suubicación (longitud, latitud y altitud/elevación) con alta precisión (unos pocos metros), utilizandoseñales transmitidas por radio, a lo largo de la línea de visión del receptor, desde satélites en órbitaterrestre. El sistema se puede usar para proporcionar posición, facilitar la navegación marítima,aérea o terrestre, o para rastrear la posición de algún objeto equipado con un receptor (seguimientopor satélite). Las señales también permiten que el receptor electrónico calcule la hora local actualcon alta precisión, lo que permite la sincronización temporal. Los sistemas de navegación operanindependientemente de cualquier recepción telefónica o de Internet, aunque estas tecnologíaspueden mejorar la utilidad de la información de posicionamiento generada.
Un sistema de navegación por satélite con cobertura global se denomina Sistema de NavegaciónGlobal por Satélite (GNSS, por sus siglas en inglés). En la actualidad los siguientes sistemas estánen funcionamiento o en desarrollo:
Sistema de Posicionamiento Global, GPS de los Estados Unidos.
Sistema Satelital de Navegación Global, GLONASS de la Federación Rusa.
Sistema de Navegación Satelital BeiDou de China.
Sistema de Navegación Satelital Galileo de la Unión Europea.
La cobertura global para cada sistema generalmente se logra mediante una constelación 1 deentre 18 y 30 satélites en órbitas terrestres medianas distribuidas entre varios planos orbitales. Lossistemas reales varían, pero usan inclinaciones orbitales 2 de 50◦ o más y períodos orbitales deaproximadamente doce horas (a una altitud de aproximadamente 20.000 km).
En la figura 1.1 se ven los distintos grupos de satélites de posicionamiento junto con algunos de
1Una constelación es un conjunto de satélites coordinados para llevar a cabo una tarea común.2La inclinación orbital es el ángulo que forma el plano que contiene la órbita del satélite con el plano ecuatorial.
12 Capítulo 1. El Sistema de Posicionamiento Global
Figura 1.1: Órbita geoestacionaria, órbita de los grupos de satélites de navegación satelital, satélitesde comunicación (Iridium), telescopio espacial Hubble y Estación Espacial Internacional (ISS, porsus siglas en inglés).
los de órbita baja (Iridium, Hubble, ISS) y la órbita geoestacionaria3.De los sistemas de navegación arriba mencionados, el que está más difundido y más desarrollado
es el norteamericano, GPS. En lo que sigue se describe con detalle este sistema.
1.2 ¿Qué es el GPS?
El GPS es un sistema creado y mantenido por el gobierno de los Estados Unidos de Américaque provee servicios de posicionamiento, navegación y temporizado a los usuarios de todo el mundo.El sistema consta de tres partes o segmentos, a saber: el segmento espacial, el segmento de control(manejado por la fuerza aérea de Estados Unidos) y el segmento de los usuarios. A continuación sepasa a describir estos tres segmentos.
1.2.1 Segmento espacial
El segmento espacial consiste en un conjunto de satélites que trasmiten señales de radio alos usuarios. Los satélites GPS giran alrededor de la tierra en órbitas medias a una altitud deaproximadamente 20.200 km. Cada satélite da dos vueltas a la tierra por día. Estos satélites estándistribuidos en seis planos orbitales equiespaciados alrededor de la tierra. Cada plano contienecuatro posiciones ocupadas por satélites (esto son los de la línea de base, puede haber otros comose indica más adelante). Este arreglo de 24 posiciones asegura que los usuarios en cualquier puntode la tierra puedan ver al menos cuatro satélites en cualquier momento (figura 1.2).
3La órbita geoestacionaria es una órbita sobre el plano ecuatorial que tiene un período orbital de un día, es decir dauna vuelta completa acompañando el movimiento de la tierra y por lo tanto un satélite en esta órbita está siempre sobreel mismo punto en la tierra.
1.2 ¿Qué es el GPS? 13
Figura 1.2: Ubicación de los seis planos orbitales donde se encuentran los satélites de la constelaciónGPS.
Para asegurar el servicio cuando alguno de los satélites está siendo reparado o queda fuera deservicio se han puesto en órbita más de 24 satélites, específicamente, se han desplegado 31 satélitesen los últimos años. Los satélites extra sirven para mejorar el desempeño del sistema, pero no seconsideran parte del núcleo de la constelación.
En junio de 2011 se completó con éxito una expansión de la constelación GPS conocida comola configuración “Expandible 24”. Tres de las 24 posiciones se expandieron y se reposicionaronseis satélites, de modo que tres de los satélites adicionales pasaron a formar parte de la línea basede la constelación. Como resultado, el GPS ahora funciona efectivamente como una constelaciónde 27 posiciones con cobertura mejorada en la mayor parte del mundo.
En el sitio http://stuffin.space pueden observarse todos los objetos artificiales queorbitan la tierra y en particular identificar a los satélites GPS.
1.2.2 Segmento de ControlEl segmento de control consiste en una red global de estaciones en tierra que rastrean los satéli-
tes, monitorean sus transmisiones, realizan análisis y envían comandos y datos a la constelación.El segmento operacional de control incluye una estación maestra de control, una estación de
control alternativa, 11 antenas de control y comando y 16 sitios de monitoreo. La localización detodas estas instalaciones se muestra en la figura 1.3.
1.2.3 Segmento de los usuariosAl igual que Internet, el GPS es un elemento esencial de la infraestructura de información
global. La naturaleza libre, abierta y confiable del GPS ha llevado al desarrollo de cientos deaplicaciones que alcanzan todos los aspectos de la vida moderna. La tecnología GPS ahora estáen todo, desde teléfonos celulares y relojes de pulsera hasta topadoras, contenedores de envío ycajeros automáticos.
El GPS aumenta la productividad en una amplia franja de la economía, que incluye la agricultura,la construcción, la minería, la topografía, la entrega de paquetes y la administración logística de
14 Capítulo 1. El Sistema de Posicionamiento Global
Figura 1.3: Red global de estaciones en tierra de rastreo, monitoreo, análisis y control de datos.
cadenas de suministros. Las principales redes de comunicaciones, sistemas bancarios, mercadosfinancieros y redes eléctricas dependen en gran medida del GPS para una sincronización de tiempoprecisa. Algunos servicios inalámbricos no pueden funcionar sin él.
El GPS salva vidas previniendo accidentes de transporte, ayudando en los esfuerzos de búsqueday rescate, y acelerando la entrega de servicios de emergencia y ayuda en caso de desastres. El GPSes vital para el desarrollo de nuevos sistemas de transporte aéreo, especialmente para mejorar laseguridad del vuelo y aumentar la capacidad del espacio aéreo. El GPS también permite avances enobjetivos científicos como el pronóstico del tiempo, el monitoreo de terremotos y la protección delmedio ambiente.
Finalmente, el GPS sigue siendo crítico para las fuerzas armadas y sus aplicaciones estánintegradas en prácticamente todas las facetas de las operaciones militares. Casi todos los nuevosrecursos militares, desde vehículos hasta municiones, vienen equipados con GPS.
1.3 ¿Cómo funciona el GPS?De manera muy resumida se pueden mencionar los pasos involucrados en el funcionamiento del
sistema GPS. Primeramente los satélites GPS envían una señal de radio que contiene la localizacióndel mismo y el tiempo preciso en el momento del envío (t1), además de otro datos sobre su estado.Esta información está basada en un reloj atómico a bordo. Las señales de radio viajan a travésde espacio a la velocidad de la luz c = 299.792.458 m/s. Los receptores de la señal anotan eltiempo de arribo de la misma (t2) y calculan la distancia del satélite al receptor mediante la fórmulad = c(t2− t1). Una vez que el receptor conoce las distancias a al menos cuatro satélites, procede acalcular sus localización en la tierra en tres dimensiones.
En la figura 1.4 se muestran los pasos principales involucrados en la identificación de lascoordenadas de un punto en la superficie de la tierra mediante el GPS.
En los próximos capítulos se desarrollarán las nociones del funcionamiento del GPS. Elconcepto básico es el de trilateración: en el espacio de tres dimensiones si un observador conoce ladistancia a tres puntos no alineados (cuyas posiciones son conocidas) entonces se puede determinar
1.3 ¿Cómo funciona el GPS? 15
Figura 1.4: Descripción del funcionamiento del GPS.
la posición del observador. En realidad pueden quedar determinados dos puntos de los cuales unode ellos está sobre la tierra y el otro en el espacio, por lo que este último puede descartarse.
Por lo anterior, si un observador sobre la superficie de la tierra conoce la distancia a tres satélites,que no estén alineados y cuyas posiciones sean conocidas, entonces puede calcular su posición.
II
2 Localización en dos dimensiones . . . . 192.1 Puntos y distancias en el plano2.2 Localización del receptor en el plano
3 Localización con GPS . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1 Coordenadas en la tierra3.2 Puntos y distancias en el espacio3.3 Localización en el espacio. Trilateración3.4 Cálculos en 3-D
4 Distancias a los satélites y correcciones 314.1 La velocidad de la luz y su relación con la distancia
a los satélites4.2 Correcciones con más satélites4.3 La Teoría de la Relatividad de Einstein y el GPS
Descripción delfuncionamiento
2. Localización en dos dimensiones
2.1 Puntos y distancias en el plano
Si bien la localización de un receptor mediante GPS se produce en el espacio tridimensional,presentamos a continuación un modelo simplificado (bidimensional) que nos permitirá de formasencilla mostrar algunos de los conceptos matemáticos involucrados en el proceso de localización.Comencemos revisando un concepto elemental: ¿cómo ubicamos puntos en el plano?
Para indicar la ubicación de un punto P en un plano,consideramos un par de ejes cartesianos (eje X y ejeY ) de forma que P queda determinado a partir de suscoordenadas cartesianas: P = (x0,y0).
Por ejemplo, en la figura de la derecha se muestrala ubicación de los puntos
P1 = (2,−1), P2 =
(32,2), P3 = (−1,0).
x
y
−1 1 2−1
1
2
0
P1
P2
P3
La distancia d entre dos puntos P0 = (x0,y0) y P1(x1,y1) se calcula mediante la fórmula
d(P0,P1) =√
(x1− x0)2 +(y1− y0)2.
Esta fórmula es una consecuencia del teoremade Pitágoras, como se ilustra en la figura de laderecha.
Observemos que la distancia desde el origenO = (0,0) a cualquier punto P0 = (x0,y0) es
d(O,P0) =√
x20 + y2
0. x
y
0
P0
x0
y0
P1
x1
y1
x1− x0
y1− y0d
20 Capítulo 2. Localización en dos dimensiones
2.2 Localización del receptor en el planoComo se explicó en el capítulo 1 los satélites miden la distancia desde su posición hasta el
receptor R. A continuación describimos cómo con esta información, y conociendo además laubicación del satélite, podemos determinar la localización de R.
Supongamos que conocemos el punto S donde se ubica elsatélite y la distancia d del satélite al receptor. Entonces, vistosobre un plano, podemos asegurar que el receptor R está en algúnpunto sobre la circunferencia C de radio d centrada en S. Estasituación se ilustra en la figura de la derecha.
Vemos así que la información que nos aporta un único satéliteno es suficiente para saber con precisión dónde está el receptor.
S
C
R
d
S1
S2
R1
R2 `
d2
d 1
d1
d2
Supongamos ahora que tenemos dos satélitesen los puntos S1 y S2, y conocemos las distanciasd1,d2 desde cada uno de ellos al receptor. Enton-ces, siguiendo el razonamiento planteado anterior-mente, sabemos que el receptor se encuentra enalgún punto sobre la circunferencia centrada en S1y de radio d1. Al mismo tiempo, debe estar sobrealgún punto de la circunferencia centrada en S2 yde radio d2.
Es decir que teniendo las mediciones de dossatélites la ubicación del receptor queda casi de-terminada: es uno de los dos puntos R1,R2 en losque se intersectan ambas circunferencias, comose muestra en la figura de la izquierda.
Para encontrar las coordenadas de estos puntos en el plano, empezamos ubicando el origen decoordenadas en S1 y el semieje positivo de las abscisas en la dirección de
−−→S1S2 como se muestra
en la siguiente figura. Llamamos ` a la distancia entre los satélites. Vemos que R1 y R2 tienen lamisma abscisa y sus ordenadas son opuestas, es decir
R1 = (x0,y0), R2 = (x0,−y0).
x
y
S1 S2
R1
R2
`
d 2
d 1
d1
d2
x0
y0
−y0
2.2 Localización del receptor en el plano 21
Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, podemos plantear el siguiente sistema de ecuacio-nes: {
d21 = x2
0 + y20
d22 = (x0− `)2 + y2
0
A la primera ecuación le restamos la segunda de la siguiente manera
d21 = x2
0 + y20−
d22 = (x0− `)2 + y2
0
d21 −d2
2 = x20− (x0− `)2
y de aquí podemos encontrar una expresión para x0,
d21 −d2
2 = x20− (x2
0−2x0`+ `2)
d21 −d2
2 = 2x0`− `2
d21 −d2
2 + `2
2`= x0.
Podemos encontrar una expresión para y0 reemplazando con esta última expresión en la primeraecuación del sistema,
d21 =
(d2
1 −d22 + `2
2`
)2
+ y20
de donde resulta:
y20 = d2
1 −(
d21 −d2
2 + `2
2`
)2
.
De aquí resultan los dos posibles valores de la ordenada,
y0 =
√d2
1 −(
d21 −d2
2 + `2
2`
)2
, −y0 =−
√d2
1 −(
d21 −d2
2 + `2
2`
)2
.
La primera de estas expresiones corresponde al punto R1 y la otra a R2.
Relación con el área de un triánguloEscribiendo el radicando con denominador común (4`2, que al distribuir la raíz da el denomina-
dor 2`) y factorizando el numerador resulta la siguiente expresión:
y0 =
√(d1 +d2 + `)(d1 +d2− `)(d2−d1 + `)(d1−d2 + `)
2`.
Consideremos el triángulo con vértices S1, S2 y R1 de la figura anterior. Llamando s al semiperímetrode ese triángulo tenemos
s = (d1 +d2 + `)/2,
entonces la fórmula para y0 puede escribirse de la siguiente manera:
y0 =2√
s(s− `)(s−d1)(s−d2)
`.
Esta expresión puede interpretarse fácilmente a partir de la fórmula de Herón que se enuncia acontinuación:
22 Capítulo 2. Localización en dos dimensiones
Teorema 2.2.1 — Fórmula de Herón. El área A de un triángulo cuyos lados miden a, b y c es:
A =√
s(s−a)(s−b)(s− c)
donde el semiperímetro s es:
s =a+b+ c
2
Como puede verse en la figura anterior, y0 es la altura del triángulo de lados d1, d2 y ` conbase `. Entonces el área del triángulo es A = y0`/2, de donde se puede obtener la fórmula para y0calculada anteriormente 1.
1Todos los cálculos de esta sección pueden parecer muy complicados, sin embargo son solo aplicaciones sucesivas dereglas algebraicas sencillas. En la actualidad estos resultados pueden obtenerse fácilmente mediante el usos de programasde computadora como por ejemplo Maxima, Mathematica o Maple.
3. Localización con GPS
3.1 Coordenadas en la tierra
En 1687 Isaac Newton publicó los Principia Mathematica, en los cuales incluyó una demostra-ción de que un cuerpo líquido rotando en equilibrio toma la forma de un elipsoide de revolución oesferoide. Partiendo de la suposición de que nuestro planeta en otros tiempos estuvo en un estadolíquido 1, Newton postuló que la Tierra debería tener una forma de esferoide aplastado en los polosdebido al movimiento de rotación terrestre que genera una fuerza centrífuga normal al eje (fuerzaque adquiere un valor máximo en el ecuador hasta anularse en los polos). En 1736 una expediciónorganizada por la Academia de Ciencias de Francia y dirigida por Pierre Louis Maupertuis, confirmala predicción de Newton.
Desde entonces, distintos elipsoides fueron utilizados para aproximar la forma de la tierra:Maupertius (1738), Plessis (1817), Everest (1830), Bessel (1841), Hayford (1910) fueron los másimportantes hasta el primer estándar internacional de 1924. En 1984 se estandarizó un nuevomodelo de esfeoride, a partir del cual se desarrolló el sistema de localización WGS84 (que luegofue corregido en 2004). Se estima que el error numérico al utilizar este último modelo es menor a2 cm, por lo que fue elegido para basar el Sistema de Posicionamiento Global (GPS).
3.1.1 El WGS (World Geodetic System)El WGS está compuesto por tres elementos: un sistema de coordenadas globales, un esferoide
estándar de referencia (también denominado elipsoide de referencia o datum) y una superficiegravitacional equipotencial (el geoide) que define el nivel del mar nominal.
Sistema de coordenadas globales.El sistema de coordenadas utilizado posee ejes de coordenadas fijos sobre la Tierra, es decir, que
giran con ella. De manera que, en principio, las coordenadas de un punto serán siempre las mismas.El origen y los ejes del sistema de coordenadas WGS84 se encuentra definido de la siguientemanera:
1Greenberg, John L. Isaac Newton and the Problem of the Earth’s Shape, Archive for history of exact sciences, vol.49-4, pp 371–391, 1996, Springer
24 Capítulo 3. Localización con GPS
El origen es el centro de masas de la tierra.El eje z es la dirección del polo terrestre convencional (Conventional Terrestrial Pole) para elmovimiento polar.El eje x es la intersección del plano meridiano de referencia con el plano del ecuador.El eje y completa el sistema para que resulte destrógiro (orientado a derecha), ortogonal y seencuentra ubicado a 90◦ respecto del eje x.
Figura 3.1: Sistema de referencia del WGS84. La circunferencia dibujada corresponde al planoecuatorial, perpendicular a la dirección del polo norte. Y el meridiano atravesado por el eje X es elde Greenwich.
El geoide.Se denomina geoide a la superficie ideal definida por un determinado potencial gravitatorio
(constante a lo largo de toda la superficie). Para definir el geoide estándar, se adopta arbitrariamenteel valor de potencial cuyo geoide asociado se aproxima más a la superficie media de los océanos(la superficie media del mar es determinada prescindiendo del oleaje, las mareas, las corrientes yla rotación terrestre, y coincide casi exactamente con una superficie equipotencial). La forma delgeoide no coincide necesariamente con la topografía terrestre, modelada por fuerzas endógenas(tectónica de placas) y exógenas (agentes geomorfológicos). Geométricamente, el geoide es parecidoa un esferoide (esfera achatada por los polos).
En el siguiente link se puede ver una animación del geoidehttps://www.youtube.com/watch?v=bDTF6UtO0mg.
Determinación del esferoideEl geoide definido anteriormente se aproxima encerrándolo en un elipsoide de revolución o
esferoide. El esferoide estándar o de referencia utilizado por el sistema WGS84 posee su centro enel origen del sistema de coordenadas globales antes mencionado, y su eje mayor sobre el ecuador,con un radio ecuatorial de 6.378.137 m aproximadamente, y un eje menor en dirección al polo norte
3.2 Puntos y distancias en el espacio 25
de 6.356.752,3142 m. Observemos que esos dos ejes son casi idénticos. El achatamiento de esteesferoide es de 1/298,257223563. Es decir, que el esferoide es “casi” esférico. Véase la figura 3.2.
Figura 3.2: Comparación de la superficie de la tierra, el geoide y el elipsoide.
3.1.2 Localización de un punto en el sistema WGS84Tanto el esferoide estándar como el geoide son superficies que se representan con fórmulas
matemáticas relativamente complicadas, que no explicaremos en estas notas. Sobre el esferoidepueden colocarse coordenadas geográficas, latitud y longitud, tal como estamos acostumbradossobre una esfera. Además en cada punto del esferoide se puede determinar la distancia de éste algeoide.
En el funcionamiento del GPS el primer paso es determinar la posición del observador en lascoordenadas cartesianas del WGS84. Esta determinación se hace siguiendo las ideas básicas que sepresentaron en el capítulo anterior (donde se desarrollaron las ideas en el caso plano). En lo quesigue mostraremos cómo puede hacerse ésto en el espacio.
Una vez determinadas las coordenadas cartesianas del punto en la cercanía de la superficie de latierra se proyecta sobre el esferoide estándar. Esto quiere decir que toman la latitud y longitud sobreel esferoide en el punto bajo el observador. Para calcular estas coordenadas se aplican fórmulasmatemáticas de transformación entre las coordenadas cartesianas y las geográficas.
Finalmente se calcula la distancia entre el punto original y el geoide, que da como resultadola altura respecto del nivel medio del mar. Tendremos así que la ubicación de un punto quedadeterminada por tres coordenadas
P = ( latitud, longitud︸ ︷︷ ︸sobre el esferoide estándar
, altura sobre el nivel del mar). (3.1)
3.2 Puntos y distancias en el espacio
Podemos extender el procedimiento mostrado en el capítulo anterior al espacio tridimensionalagregando un eje coordenado (eje z) de forma que la ubicación de un punto P en el espacio secaracterice por sus tres coordenadas cartesianas: P = (x0,y0,z0). Por ejemplo, en la siguiente figura
26 Capítulo 3. Localización con GPS
se muestra la ubicación de los puntos
P1 = (2,3,1), P2 = (1,−2,3), P3 = (−2,0,1) , P4 =
(0,0,
52
).
y
x
z
P1
P2
P3
P4
La distancia d entre dos puntos en el espacio P0 = (x0,y0,z0) y P1(x1,y1,z1) se calcula como
d(P0,P1) =√
(x1− x0)2 +(y1− y0)2 +(z1− z0)2.
La distancia desde el origen O = (0,0,0) a cualquier punto P0 = (x0,y0,z0) es
d(O,P0) =√
x20 + y2
0 + z20.
3.3 Localización en el espacio. Trilateración
Para determinar el punto en el espacio en que se encuentra un receptor usando el GPS, conside-ramos la información que proporcionan tres satélites. La situación es la que mostramos en la figura3.3. La información de un cuarto satélite es útil para compensar el error del reloj del receptor, comose verá más adelante. Además, si está disponible la lectura de más satélites, puede aprovecharseesta información para mejorar aún más el resultado utilizando técnicas estadísticas.
Figura 3.3: La ubicación del receptor en el espacio tridimensional se determina por la intersecciónde las esferas formadas por las distancias a tres satélites.
3.4 Cálculos en 3-D 27
En secciones anteriores realizamos los cálculos para hallar el punto en el plano en el que seencuentra un receptor si conocemos la distancia a dos satélites dados. Como vimos, en ese caso dossatélites son suficientes para determinar las coordenadas del receptor.
Si consideramos el espacio tridimensional, y queremos hallar la posición en el espacio en elque se encuentra un receptor, necesitamos utilizar al menos tres satélites.
Comencemos considerando un solo satélite, que llamamos S1. Sabemos que el receptor seencuentra a distancia d1 de este satélite. Los puntos en el espacio que se encuentran a distancia d1del primer satélite forman una esfera E1 con centro S1 y radio d1. Recordemos que en el plano seformaba un circunferencia. En la figura 3.4 mostramos la esfera E1 en color verde.
Supongamos ahora que conocemos la distancia d2 del receptor a un segundo satélite, quellamamos S2. Podemos construir una segunda esfera E2 con centro S2 y radio d2. En la figura 3.4mostramos la esfera E2 en color rosa.
Figura 3.4: Los puntos de la intersección de las esferas centradas en los satélites S1 y S2 formanuna circunferencia.
Las esferas anteriores se intersectan en una circunferencia (ver figura 3.4). Los puntos delespacio que pertenecen a la circunferencia se encuentran a distancia d1 del primer satélite y adistancia d2 del segundo satélite.
A diferencia del caso en el plano, usando dos satélites, en el espacio encontramos infinitospuntos (todos los puntos que pertenecen a la circunferencia) con distancia d1 a S1 y distancia d2 aS2. Por lo tanto, necesitamos más información para hallar la posición del receptor en el espacio.
Consideramos un tercer satélite S3 y sabemos que la distancia del receptor al satélite es d3.Formamos una tercer esfera E3, con centro S3. Representamos la esfera E3 en las figuras 3.4 y 3.5en color azul. Como podemos ver en la figura 3.5, la esfera E3 y la circunferencia se intersectan endos puntos, R1 y R2. Ambos puntos están a la misma distancia de los tres satélites, pero solo uno deestos puntos se encuentra sobre la superficie de la tierra. Descartando el punto que no pertenece a latierra, y como se muestra en la figura 3.5, determinamos que el punto R2 es la posición del receptorque estábamos buscando.
A este método se lo denomina trilateración. Si bien el GPS se basa en la trilateración paradeterminar la posición de un receptor, como ya se dijo anteriormente utiliza la señal de por lomenos cuatro satélites para corregir errores y mejorar la precisión.
3.4 Cálculos en 3-D
A los fines de ilustrar el cálculo en tres dimensiones se encontrarán las coordenadas de unobservador que conoce la distancia a tres puntos no alineados en el espacio. El cálculo en general
28 Capítulo 3. Localización con GPS
Figura 3.5: La esfera centrada en S3 corta a la circunferencia en los puntos R1 y R2.
es muy complicado, para llevarlo a cabo se elegirá un sistema de coordenadas particular que losimplifica notablemente.
El sistema de coordenadas que se usará tiene a los tres satélites en el plano z = 0. El primeroS1 está ubicado en el origen de coordenadas (0,0,0), el segundo S2 sobre el eje x, en (`,0,0), yel tercero S3 en un punto arbitrario del plano con coordenadas (a,b,0). En la siguiente figura semuestra la situación de los tres satélites.
y
x
z
S1
S2S3
Las distancias del punto (x0,y0,z0) a los tres satélites vienen dadas por las ecuaciones:
d21 = x2
0 + y20 + z2
0,
d22 = (x0− `)2 + y2
0 + z20,
d23 = (x0− a)2 +(y0− b)2 + z2
0,
Restando la segunda a la primera y resolviendo para x0 se obtiene
x0 =d2
1 −d22 + `2
2`.
Al sustituir esto en la fórmula de la primera esfera obtenemos
y20 + z2
0 = d21 −
(d21 −d2
2 + `2)2
4`2 ,
que indica que los valores y0 y z0 se encuentran en un círculo, que es la solución a la intersecciónde las dos primeras esferas.
3.4 Cálculos en 3-D 29
Restando la tercera ecuación de distancia a la primera obtenemos
d21 −d2
3 = 2ax0− a2 +2by0− b2,
y resolviendo para y0 resulta
y0 =d2
1 −d23 −2ax0 + a2 + b2
2b=
d21 −d2
3 + a2 + b2
2b− a
bx0.
Ahora con las coordenadas x0 e y0 del punto solución, se puede simplemente despejar z0 de lafórmula de la primera esfera:
z0 =√
d21 − x2
0− y20.
4. Distancias a los satélites y correcciones
4.1 La velocidad de la luz y su relación con la distancia a los satélites
La velocidad de la luz en el vacío es constante, su valor es c = 299.792.458 m/s. Fue incluidaoficialmente en el Sistema Internacional de medidas (SI) el 23 de octubre de 1983, quedando deesa manera la definición del metro como la distancia que recorre la luz en un intervalo de tiempode 1/299.792.458 s, aproximadamente 3,34 nanosegundos1. La velocidad de la luz es constante eindependiente del sistema de referencia utilizado para medirla.
Por otra parte, conocer su valor exacto es fundamental a la hora de determinar la distanciaa la que se encuentra un satélite de un observador con un GPS situado en la superficie terrestre.Conociendo cuánto tiempo transcurre desde que el satélite envía una señal hasta que la recibe elGPS en la tierra podemos calcular cuál es la distancia entre ambos. Sabemos que la distancia querecorre la señal es igual a la velocidad de la señal multiplicada por el tiempo transcurrido. Así,conociendo que la señal se propaga a la velocidad de la luz podemos deducir a qué distancia se hallael satélite multiplicando el valor c por el tiempo transcurrido ∆t = ts− t, es decir vale la fórmula:
d = c∆t = c(ts− t),
donde d es la distancia del observador al satélite, ts es el tiempo de emisión de la señal por elsatélite (este tiempo está contenido en la señal y se obtiene del reloj atómico a bordo del satélite enel momento de la emisión) y t es el tiempo de recepción de la señal por el observador, medido consu reloj.
Si los relojes de los satélites están sincronizados entre sí y con los del observador, y se recogeinformación de al menos tres satélites (que se indican con los subíndices 1, 2 y 3), entonces puedeconocerse la ubicación del GPS sobre la superficie terrestre, como se indica a continuación.
Llamando d1, d2 y d3 a las distancias del observador a los satélites S1, S2 y S3, resultan las
1Un nanosegundo es 10−9s, es decir una milmillonésima de segundo.
32 Capítulo 4. Distancias a los satélites y correcciones
siguientes tres ecuaciones:
d21 = c2(t1− ts1)
2 = (x− xs1)2 +(y− ys1)
2 +(z− zs1)2,
d22 = c2(t2− ts2)
2 = (x− xs2)2 +(y− ys2)
2 +(z− zs2)2,
d23 = c2(t3− ts1)
2 = (x− xs3)2 +(y− ys3)
2 +(z− zs3)2.
Estas son equivalentes a las que se resolvieron en la sección 3.4, pero en otro sistema de coordenadas.No se intentará resolverlas, solo se debe observar que son tres ecuaciones con tres incógnitas, x, yy z, todas las demás variables son conocidas. Como se observó antes estas ecuaciones tienen engeneral dos soluciones.
4.2 Correcciones con más satélitesEn el capítulo 1 se mencionó que para obtener las lecturas el sistema utiliza la información
de al menos cuatro satélites. Sin embargo en los capítulos subsiguientes se mostró que con tressatélites es suficiente. Esta discrepancia se debe a que en la práctica se utilizan al menos cuatrosatélites para mejorar la medición.
Los satélites cuentan con relojes atómicos de altísima precisión. Sin embargo no es posiblecontar con estos relojes en los receptores, por su tamaño y su costo. Por lo tanto, si bien puededespreciarse el error del satélite, no puede hacerse lo mismo con el del receptor y por lo tanto eltiempo que se lee t̃ puede escribirse como la suma de un valor correcto, t, más un error δ t. Es decirt̃ = t +δ t o t = t̃−δ t. Esta última expresión es la que hay que usar en las ecuaciones anteriores. Sise toman datos de cuatro satélites entonces se obtienen las siguientes cuatro ecuaciones:
c2(t̃1− ts1−δ t)2 = (x− xs1)2 +(y− ys1)
2 +(z− zs1)2,
c2(t̃2− ts2−δ t)2 = (x− xs2)2 +(y− ys2)
2 +(z− zs2)2,
c2(t̃3− ts3−δ t)2 = (x− xs3)2 +(y− ys3)
2 +(z− zs3)2,
c2(t̃4− ts4−δ t)2 = (x− xs4)2 +(y− ys4)
2 +(z− zs4)2.
Aquí hay cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, x, y, z y δ t. La solución de estas ecuacionesse realiza por métodos aproximados y permite cancelar el error del reloj del receptor. Además,como la mayor parte del tiempo el sistema puede leer más de cuatro satélites, se aprovecha estainformación adicional mediante métodos estadísticos para mejorar aún más la lectura.
4.3 La Teoría de la Relatividad de Einstein y el GPSA los fines de sincronizar correctamente los relojes que se encuentran en los satélites y los
relojes en la tierra es necesario tener en cuenta correcciones debido a efectos relativistas.Debido a la naturaleza del espacio-tiempo para un reloj que se mueve con el satélite el tiempo
pasará más lentamente que para un reloj situado junto al observador en tierra. Por otra parte un relojbajo la influencia de un campo gravitacional más fuerte también medirá el tiempo más lentamente(la fuerza de atracción gravitatoria decae a medida que aumenta la distancia a la tierra, por lo cuales más fuerte en la superficie terrestre que en la altura a la que se encuentra el satélite). Si no setuviese en cuenta el efecto sobre el tiempo que tiene la velocidad del satélite y su gravedad respectodel observador en tierra, se produciría un corrimiento de 38 microsegundos2 por día, que a su vezprovocarían errores de varios kilómetros en la determinación de la posición.
La relatividad especial predice que la frecuencia de los relojes moviéndose a velocidadesorbitales como la del satélite, v = 4 km/s, marcará el tiempo más lentamente que los relojesterrestres fijos con un retraso aproximado de 7 microsegundos por día.
2Un microsegundo es 10−6 s, es decir una millonésima de segundo.
4.3 La Teoría de la Relatividad de Einstein y el GPS 33
Por otro lado, es la teoría de la relatividad general la que predice que un reloj más cercano aun objeto masivo será más lento que un reloj más alejado. Aplicado al GPS, los receptores estánmucho más cerca de la Tierra que los satélites, haciendo los relojes del observador en tierra ser másrápidos, aproximadamente 45 microsegundos por día.
Al combinar estos dos efectos la discrepancia es de aproximadamente 38 microsegundos pordía. Sin corrección, los errores en la distancia se incrementarían aproximadamente unos 10 km pordía.
Además las órbitas de los satélite son elípticas y no perfectamente circulares, lo que causa quelos efectos varíen con el tiempo. Es decir, la diferencia de velocidad de los relojes de un satéliteGPS y un receptor aumenta o disminuye en función de la altitud del satélite, la cual es variable conel tiempo haciendo necesaria la corrección.
Figura 4.1: Albert Einstein.
III
5 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1 Cálculo del área de la ciudad5.2 Funciones periódicas para modelar el movimiento
satelital5.3 El Grooming y la geolocalizacón5.4 Estudio ambiental del barrio5.5 Un breve comentario sobre evaluación5.6 Anexo: un deslizador con GeoGebra
Indice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Propuestas para trabajar enel aula
5. Actividades
Consideraciones generales
Las actividades presentadas a continuación tienen como principal objetivo que los alumnosvinculen conceptos matemáticos elementales con objetos cotidianos, poniendo de manifiesto quela matemática es una herramienta fundamental en el modelado de la realidad que nos rodea.El elemento común a todas es, por supuesto, el uso del GPS. Las distintas propuestas puedenpotenciarse implementando programas que permitan trabajar los conceptos involucrados (comogeometría o funciones) u otros recursos web. En particular, en varias de las actividades aquípresentadas se propone el uso de Geogebra, una herramienta que puede utilizarse directamenteen internet (https://www.geogebra.org/) que permite estudiar de manera gráfica muchosconceptos vinculados por ejemplo a funciones, geometría o trigonometría entre otros. Este programa,simple de usar para docentes y alumnos, incluye opciones de herramientas dinámicas (llamadasdeslizadores) que permiten dar movimiento a los objetos representados.
Si bien cada una de las actividades fue pensada a partir de ciertos contenidos específicos,consideramos que las mismas pueden ser reformuladas y adaptadas a las distintas situacionesáulicas de cada docente, variando contenidos o niveles de dificultad.
5.1 Cálculo del área de la ciudad
Las dos propuestas presentadas a continuación tienen en común el cálculo de áreas de ciertasregiones geográficas. Veamos cómo podemos calcular, en forma aproximada, el área de una ciudadmediante el uso del GPS y el cálculo de áreas de triángulos.
1. El primer paso es encontrar un mapa bien delimitado de la ciudad. Esto es fácil por ejemploutilizando Google Maps. Allí al ingresar en su buscador el nombre de la ciudad aparece elplano de la misma con sus límites y muchos otros detalles que pueden ser de interés.
2. Sobre este mapa debemos hacer una triangulación de la región que ocupa la ciudad. Lamisma consiste en la división de dicha región en triángulos que no se superpongan y que lacubran lo mejor posible. Para determinar los triángulos hay que elegir adecuadamente losvértices, siguiendo dos criterios básicos:
38 Capítulo 5. Actividades
a) Lograr un adecuado equilibrio entre dos factores opuestos: poner muchos puntos paradelimitar más precisamente el área y poner el menor número de puntos para disminuirel trabajo necesario.
b) Que los puntos sean fácilmente accesibles en el caso en que la medición de coordenadasse realice como trabajo de campo de pos alumnos.
3. Luego se propone un trabajo de campo, que consiste en acceder a los puntos seleccionados ydeterminar las coordenadas geográficas utilizando el GPS. Esto es, ir hasta el lugar con unGPS y verificar las coordenadas de la posición en que uno se encuentra. Otra opción es tomarestas coordenadas directamente con Google Maps que las provee simplemente parándonossobre el punto de interés.
4. Una vez medidas las coordenadas de los vértices se procederá a calcular las distanciasentre los puntos. El problema pertenece a una rama de la matemática llamada trigonometríaesférica. No se ahondará aquí sobre este tema, solo indicaremos la fórmula que permitecalcular la distancia entre dos puntos conocidas sus coordenadas geográficas 1:
d = 2Rt arcsen
√sen2 ∆φ
2+ cosφ1 cosφ2 sen2 ∆λ
2.
5. Finalmente se procede a calcular el área utilizando la fórmula de Herón, aplicada a cadatriángulo, Ti. Es decir, si `i1, `i2 y `i3 son los tres lados de triángulo i-ésimo, con i desde 1hasta N (el número total de triángulos) entonce su área, Ai es:
Ai =√
si(si− `i1)(si− `i2)(si− `i3)
donde el semiperímetro si del triángulo Ti es la semisuma de sus lados:
si =`i1 + `i2 + `i3
2.
Por lo tanto el área total es A = A1 +A2 + · · ·+AN .
5.1.1 Propuesta 1Autores: Flavia Lupardo, Ana Mascetti, Cecilia Elicalde, Daniela Spinelli, Daniela Di Tomasso,Marianela Pohn, Fernando Tempone, Gisela Leguizamón, Mariela Golato, Rocío Dalessandro.Contenidos a trabajar: ángulos, coordenadas geográficas (longitud, latitud), ubicación de puntosen el espacio tridimensional (particularmente sobre la Tierra), sistemas de medición y conversiónde medidas, distancias en el plano y en el espacio, polígonos (en particular triángulos), áreas yperímetros, interpretaciones geométricas.
Situación inicial
El siguiente cuestionario apunta a poner de manifiesto los conocimientos previos de los alumnosrespecto de los conceptos de latitud y longitud. Puede hacerse de a pares o en pequeños grupos paraestimular la discusión entre ellos acerca de lo que recuerdan de años anteriores o lo que les indicael sentido común.
1. Responder el siguiente cuestionario a partir de conocimiento previos:a) ¿Qué nos indican la latitud y la longitud?b) ¿En qué contextos son de utilidad estos conceptos? Buscar ejemplos concretos.
1En esta fórmula Rt es el radio de la tierra (por simplicidad se la supone esférica), ∆φ = φ2−φ1 es la diferenciade las latitudes y ∆λ = λ2−λ1 es la diferencia de las longitudes. Usualmente el GPS da las latidudes y longitudes engrados con decimales (no en grados minutos y segundos).
5.1 Cálculo del área de la ciudad 39
c) ¿Qué mide la latitud y qué la longitud? Explicar y realizar algún esquema o gráficopara ilustrarlo. Indicar los puntos de referencia de las mediciones (origen del sistema,ecuador, meridiano de Greenwich, polos).
d) ¿En qué unidades de medida se indica una latitud o una longitud? ¿Entre qué valoresvaría la latitud? ¿Y la longitud?
Para reforzar los conceptos puede realizarse, por ejemplo, una maqueta que repre-sente el ecuador y el meridiano de Greenwich y permita visualizar los ángulos o loslugares geográficos que se van trabajando a lo largo de esta actividad. Esta propuestapuede trabajarse conjuntamente con docentes de Geografía y de Actividades Plásticaso Artística.
2. Haciendo uso de alguna aplicación para el celular o mediante Google Maps, averiguar lalatitud y longitud de la escuela.
Atención: Google Maps indica coordenadas geográficas mediante números decimales,lo cual nos permite abrir el debate sobre cómo expresar esos valores en el sistemasexagesimal.
Actividades de desarrollo3. Averiguar las coordenadas geográficas de la “Rotonda del Pescado” y la Maltería Quilmes.
Los lugares pueden ser elegidos por los alumnos o pautados por el docente. En estecaso, los lugares mencionados están pensados para alumnos de una escuela en TresArroyos, agregándole así una impronta local a la actividad.
4. Calcular distancias entre puntos geográficos. ¿Podrías calcular la distancia entre la escuela yestos dos lugares?
Se puede coordinar con docentes de Geografía y/o Física para trabajar conjuntamentelos conceptos de distancia por ruta y por aire, transportes, o por ejemplo calcular elcombustible según la distancia a recorrer de un avión, etc.
5. Encontrar el área que queda encerrada entre la Rotonda del Pescado, la Maltería y la escuela.
Esperamos que los alumnos calculen los lados del triángulo formado y se den cuentade que necesitan otra herramienta, y en ese momento facilitarles la fórmula de Herón.
Actividad final
Esta actividad es transversal a Geografía, por lo que se puede trabajar conjuntamente.
6. Un dato muy utilizado es la densidad de población. ¿Por qué puede ser de interés este valor?Investigar cuál es la población actual de Tres Arroyos (o el último dato obtenido), cuál es lasuperficie actual de la ciudad (te podés ayudar con un mapa para ver todo lo que ha crecido)y calcular la densidad de población actual de la ciudad (elegir unidades de medida).
5.1.2 Propuesta 2
Autoras: Vanesa Aja, Natalia Alonso, María Rosa Clemenza, Mariana Elizari, Mariana Mugica,Claudia Noval, Inés Tenaglia.
40 Capítulo 5. Actividades
Contenidos a trabajar: coordenadas geográficas (longitud, latitud), sistemas de medición y con-versión de medidas, regiones y distancias en el plano, polígonos (en particular triángulos), áreas yperímetros, interpretaciones geométricas.
Situación inicial
Se propone como primera actividad que los alumnos comiencen a utilizar el GPS comoherramienta para conocer las coordenadas de un punto en el plano. Los lugares propioscorresponden a la región de Tres Arroyos, matizando así la actividad con la geografía local.
1. Utilizando el GPS encontrar las coordenadas de los siguientes lugares:a) Parque Industrialb) Parque Cabañasc) La Rotonda del Pescadod) Intersección de ruta 3 y 228
2. Con la ayuda de la calculadora científica, completar una tabla como la siguiente para cadauno de los lugares localizados.
Lugar: Latitud LongitudSistema sexagesimalSistema decimal
Actividad de desarrollo3. Buscar en Google Maps la región determinada por las rutas RN 3, RN 228, RP 85 y RP 75.4. Mediante la técnica de triangulación calcular el área de la misma.
Se sugiere explorar y utilizar las herramientas de Google Maps (opción: crear mapa)que permite medir con una regla virtual las distancias que se consideren necesarias.El programa también permite calcular áreas, por lo que se puede contrastar losresultados encontrados por dos métodos diferentes.
Actividad final5. Una empresa de telefonía quiere colocar una nueva antena para brindar mejor servicio a las
de ciudades de Tres Arroyos, Tandil y Mar del Plata, para la calidad del servicio sea igual enlas tres ciudades, la antena tiene que estar ubicada en un lugar que equidiste de las 3 ciudades.¿En que lugar debe estar ubicada la antena?
Para realizar esta actividad se espera que los alumnos encuentren un mapa de laregión y lo inserten en Geogebra, y luego con las herramientas que ofrece el programaencuentren el lugar donde ubicar la antena.
5.2 Funciones periódicas para modelar el movimiento satelital
Autores: María Teresa Vizcaino, Santiago Di Paolo, Jonathan Cuesta, Betiana Despósito, FlorenciaDoladé.Contenidos a trabajar: Espacio bidimensional y tridimensional, esfera y circunferencia, distanciaentre puntos en el plano, funciones de una variable real (dominio, valor de una función en un punto,máximo, mínimo y raíces), función periódica.
Situación inicial
5.2 Funciones periódicas para modelar el movimiento satelital 41
Proponemos comenzar hablando sobre el GPS, cómo funciona y la cantidad de satélites que haysobre las distintas órbitas que rodean al planeta. Se hablará o se propondrá a los alumnos buscarinformación sobre los distintos sistemas de navegación por satélite (GPS, GLONASS, Galileo), yel sistema satelital de comunicaciones Iridium.
A partir de la exploración de la página stuffin.space, se observará cómo orbitan los satélitesy podrán ver una imagen con los diferentes satélites que rodean el planeta Tierra, sus órbitas y elplano en el que se encuentran, sus distancias a la Tierra, sus velocidades y el tiempo que tardan endar una vuelta completa (período). Se prestará especial atención a los satélites de comunicacionescuyas órbitas tienen una particularidad: son órbitas polares (es decir, pasan por los polos). El hechode tener órbitas perpendiculares al plano del ecuador es la característica que nos permite asociar lacoordenada x de la posición del satélite con la función coseno, y así plantear la actividad siguiente.
Actividad de desarrolloLa siguiente tabla indica la distancia a la que se encuentra un satélite de comunicaciones de
Iridium del plano sobre el que se encuentra el ecuador a medida que pasa el tiempo. En la figurapresentamos un esquema de lo que se observó en la página página stuffin.space.
tiempo (m) 0 10 20 25 30 40 50 60distancia (km) 0 458,5 741,8 780 741,8 458,5 0 - 459,5
tiempo (m) 70 75 80 90 100 110 120 125distancia (km) - 741,8 - 780 - 741,8 - 458,5 0 - 458,5 - 741,8 -780
1. Representar la tabla de valores en un gráfico cartesiano en el que el eje horizontal correspondaal tiempo y el vertical a la “distancia“ del satélite al plano del ecuador.
2. ¿Cómo se interpretan los valores negativos de esta tabla?
Aquí sugerimos hacer una pausa en las actividades para discutir el gráfico obtenido,reflexionando sobre qué ocurre en los tiempos intermedios no indicados en la tabla, yqué ocurre con los tiempos siguientes a los 120 minutos.
42 Capítulo 5. Actividades
3. ¿En qué momento alcanzará el satélite su distancia máxima al plano del ecuador? ¿En quémomento alcanzará su distancia mínima?
4. Para cada una de las respuestas anteriores, ¿hay un solo instante en el que se alcanzan estosvalores o más de uno?
Las respuestas a estas preguntas inducen a la construcción deductiva de los siguientes conceptos:función de una variable real, dominio e imagen, valor de una función en un punto, máximos,mínimos y raíces. Luego de esta instancia se presentan y trabajan las nociones de frecuencia yfunción periódica. A partir de la gráfica obtenida se puede hacer un cuestionario sobre los elementosdestacados de la función periódica obtenida en este trabajo.
Una opción para quienes tienen manejo del programa GeoGebra sería entregarle a losalumnos un archivo, hecho con este programa, en el que se represente el desplazamientode un satélite de comunicaciones de Iridium. Puede realizarse con un botón deslizadorque muestre la variación de las distancias (en función del tiempo) a la que se encuentraun satélite con respecto al plano sobre el que se encuentre el ecuador. En tal caso laconstrucción de la tabla anterior puede ser una actividad para los alumnos. Agregamos enun anexo al final de estas notas las instrucciones para construir tal deslizador, incluyendoallí los detalles matemáticos con los que se construyó la tabla anterior.
Actividad finalSe propone a los alumnos que piensen o investiguen qué otros fenómenos están regidos por
dinámicas oscilatorias, y al igual que se hizo con el movimiento satelital se puede proponer elmodelado de tales fenómenos y estudiar sus funciones de posición respecto del tiempo.
Esta actividad involucra varios conceptos de Física, por lo que es adecuada para trabajarlaen conjunto con docentes de esa disciplina.
5.3 El Grooming y la geolocalizacón
Autora: Ana María De Zoete.Comentario inicial
Las actividades aquí presentadas forman parte de un proyecto elaborado por la docente elcual incluye, además del trabajo con el GPS, una charla sobre Grooming a cargo de personalespecializado de la Comisaría de la Mujer de Tres Arroyos. La propuesta completa (de la cualaquí solo se presentan las actividades matemáticas) busca promover experiencias que aporten alaprendizaje significativo de conceptos matemáticos al mismo tiempo que se reflexiona sobre losriesgos a los que pueden exponerse los alumnos al usar algunas redes sociales.Contenidos a trabajar
4◦ año: Ecuaciones de segundo grado. Lugar geométrico. Módulo o valor absoluto. Ecuaciónde circunferencia. Puntos y distancias en el plano. Sistemas de ecuaciones no lineales.Coordenadas geográficas.6◦ año: Coordenadas cartesianas en el espacio. Puntos y distancias en el espacio. Ecuaciónde una esfera - Intersecciones. Coordenadas geográficas.
Actividades propuestas para 4◦◦◦ añoSituación inicial: modelización de la situación en el plano
Supongamos que queremos localizar a una persona y conocemos las distancias entre la personay 3 satélites que giran sobre una misma órbita alrededor de la Tierra.
1. Representar la situación reducida en un plano utilizando Geogebra.
5.4 Estudio ambiental del barrio 43
2. Elegir un punto P=(x,y) sobre la Tierra en el que se ubica la persona, e indicar sus coordena-das.
3. Elegir la ubicación de los 3 satélites en una misma órbita (llamándolos S1, S2, y S3) y escribirsus coordenadas.
Situación de desarrollo: representación algebraica de distancias4. Escribir la ecuación de la distancia de cada satélite S1, S2 y S3 hasta P.5. Encontrar analíticamente las coordenadas del punto P.6. Analizar la validez del resultado obtenido.
Situación final: generalización7. Escribir la ecuación que representa la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano.8. Escribir la ecuación de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas.9. Escribir la ecuación de una circunferencia con centro en un punto cualquiera del plano.
10. ¿Cómo puede obtenerse la intersección de dos circunferencias? ¿Qué tipos de solucionespueden obtenerse?
11. Utilizar Google Maps para saber en qué lugar de la ciudad de Tres Arroyos se encuentrantres personas si sus dispositivos móviles muestran las siguientes coordenadas:
a) (-38,376792 ; -60,276130)b) (-38,364607 ; -60,255577)c) (-38,368444 ; -60,285787)
Actividades propuestas para 6◦◦◦ añoSe propone trabajar la situación de manera análoga pero en el espacio.
5.4 Estudio ambiental del barrioAutores: Silvia Andrea Balda, Roxana Daniela Bonelli, Mercedes Karina Dietrich, Pablo SebastiánTravi, Paula Ramirez, Karina Elisa Ferrabone, Patricia Elena Bertacco.
Nivel educativo: Secundaria superior- Proyecto Interdisciplinario con Geografía-Química-Ciudadanía-Física-Matemática-Salud y adolescencia.Objetivos:
1. Relevar el grado de contaminación del barrio en el que se encuentra la escuela2. Reconocer las variables que modifican la distribución de la contaminación3. Modificar conductas para minimizar la contaminación
Contenidos:1. Sistema de coordenadas y cálculo de áreas y longitudes2. Estadística (¿qué temas específicos?)3. Clasificación de los distintos tipos de contaminación4. Caracterización climatológica5. Factores sociales que condicionan la contaminación
Materiales: GPS, Cinta, Elementos para tomar nota, Programa para trabajar tablas de datos
Actividades de aperturaA partir de un diálogo dirigido por el docente se buscará plantear la problemática que representan
los residuos al aire libre en el barrio. El disparador puede ser un artículo de algún periódico, algúnconflicto que haya surgido en el sector de la escuela con respecto a este tema (por ejemplo,problemas con la recolección de residuos los días de lluvias si es que las calles del barrio seinundan), o un artículo de divulgación que hable de la contaminación en las ciudades por residuosdomiciliarios. Indagando sobre los conocimientos previos del alumno respecto a esta problemáticageneral y a la realidad del barrio en particular, se buscará concientizar sobre la situación en la quese encuentra el sector en el que se ubica la escuela.Actividad para trabajar en grupos. Reflexionamos sobre las siguientes cuestiones:
44 Capítulo 5. Actividades
1. ¿Con qué frecuencia hay recolección de residuos en el barrio?2. ¿Los vecinos sacan los residuos los días de recolección o no tienen en cuenta está situación?3. ¿Hay cestos de basura en las casas para evitar la posible ruptura de bolsas por los perros o
roedores?4. ¿Hay terrenos baldíos donde se acumula basura?5. Ubicá en un plano barrial los sectores donde esto ocurre.
Esta actividad de apertura puede plantearse conjuntamente con otras disciplinas, como porejemplo Geografía o Ciudadanía, en donde se puede plantear un trabajo de investigaciónen grupos a los que se les repartan distintas temáticas como puede ser el impacto de lacontaminación del plástico en el ambiente, o de los residuos orgánicos en las calles oterrenos baldíos.
Actividades de desarrollo1. Crear un mapa con Google Maps del barrio y ubicar, marcándolo con un color, la escuela, la
Sociedad de Fomento, y otras instituciones que puedan resultar de interés. Con otro coloridentificar terrenos baldíos, kioscos, almacenes, paradas de colectivo u otros puntos que seconsideren potenciales focos de acumulación de basura.
2. El docente propone una división del barrio en distintos sectores, los cuales los alumnosmarcarán sobre el mapa creado.
3. Se forman tantos grupos de alumnos como sectores se hayan marcado en el mapa. Cadagrupo se encargará, a partir de un recorrido por el sector asignado y prestando particularatención a los puntos que fueron identificados en el primer ítem, de relevar la información delos lugares en los que efectivamente se encuentra basura en espacios públicos. Estos lugaresse marcarán sobre el mapa. Se sugiere usar colores distintos para indicar distintos tipos deresiduos detectados. Por ejemplo, en una plaza o en la vereda de un kiosco puede observarsegran cantidad de residuos plásticos (no biodegradables) y papeles (biodegradables) mientrasque en un terreno baldío o alguna esquina del barrio pueden encontrarse acumulaciones debasura orgánica si la gente del sector arroja sus residuos domiciliarios allí.El relevamiento de información debe tener en cuenta dos situaciones: por un lado, lasacumulaciones grandes de basura (suelen ser residuos domiciliarios) que pueden encontrarseen esquinas, cordones de vereda, terrenos baldíos, o contenedores, y por otro los espaciosdonde se encuentra una cantidad significativa de basura (papeles o plásticos en general) deforma dispersa (como suele verse en veredas de kioscos, paradas de colectivos y plazas).
5.5 Un breve comentario sobre evaluación 45
Para el caso de grandes acumulaciones, se solicita que se mida con una cinta métricalas dimensiones (en el plano del suelo) que ocupa la acumulación de basura, volcando lainformación en una tabla como la que se muestra de ejemplo.
Ubicación Dimensiones planas de basuraComposición (aproxi-mada)
Esquina Junin y Soler 126cm x 112 cm = 14,112 cm2 70% orgánico - 25%plástico - 5% chatarra
Por otro lado, para los espacios en que se encuentre basura dispersa se tomará nota delespacio en que esta se distribuye, y las cantidades de cada tipo de residuo. Los datos sevuelcan en una tabla como la siguiente, que se muestra como ejemplo).
UbicaciónDimensiones del espaciocontaminado
Discriminación de residuos
San Juan al 200 3 m x 4,4 m =13,2 m217 papel/cartón - 6 plásticos(3 botellas - dos tapas - 1 bol-sa) - 2 orgánicos
4. Cada grupo deberá medir sobre el mapa el terreno total del sector que le fue asignado medianteel método de triangulación (explicado al inicio de este capítulo). Con esta informaciónrealizarán una tabla de frecuencias con los tipos de tamaño de plástico y calcular el mayorporcentaje de tamaño.
Activid de síntesisElaboración de un informe conjunto con los datos obtenidos: distribución y clasificación
de los residuos del barrio, para presentar en distintos organismos para promover, por ejemplo,proyectos de reutilización del plástico. Se propone formular un proyecto para ser presentado antelas autoridades en el que se plantee la necesidad de la instalación de contenedores de residuosclasificados, proponiendo además un plan de control municipal respecto de los mismos, ya quemuchas veces los contenedores no son revisados y limpiados en tiempo y forma, generando unproblema más de contaminación. En este proyecto, se pueden sugerir a la comuna los lugaresmas apropiados para la instalación de los mismos (examinados con el GPS, teniendo en cuentaparámetros como por ejemplo el acceso a los mismos, la distancia del sector urbanizado, la distanciade escuelas u otras instituciones barriales, etc.)
5.5 Un breve comentario sobre evaluación
La evaluación del trabajo realizado por los alumnos puede presentarse en distintas instanciasteniendo en cuenta que no solo es significativo el resultado obtenido sino también el proceso seguidoy la reflexión sobre lo trabajado. Por este motivo proponemos que además de las evaluaciones decontenido habituales en el aula, se consideren otras instancias. Una de ellas podría apuntar a latoma de conciencia de la forma personal de aprendizaje (lo que se conoce como metacognición),poniendo de manifiesto fortalezas y debilidades. Un cuestionario orientador para esta instanciapodría ser:
46 Capítulo 5. Actividades
1. ¿Cuáles eran mis conocimientos previos en relación con estos temas? ¿Qué me aportaronestos conocimientos a la comprensión de los contenidos y en el desarrollo de las actividades?Realizar una tabla de dos columnas en la que se enumeren los conocimientos previos (en laprimer columna) y se indiqué el aporte de cada uno de ellos (en la segunda columna).
2. ¿Qué conceptos nuevos incorporé? ¿Qué conceptos no quedaron claros?3. ¿Qué actividades me resultaron más sencillas? ¿Cuáles requirieron mayor esfuerzo?4. ¿Podrías decir qué estrategias utilizaste para lograr la comprensión de los conceptos y para
desarrollar correctamente las actividades?5. ¿Qué me aportó este trabajo?6. En caso de trabajo en equipo,
a) ¿Qué ventajas o desventajas surgieron en esta forma de trabajo?b) ¿En qué me ayudaron mis compañeros? ¿qué aporte yo al equipo?
Otra instancia evaluativa que podría implementarse es la autoevaluación, en la que el alumnoevalúa su propio trabajo. En este sentido, una propuesta puede ser la siguiente. Indicá medianteporcentajes en qué medida alcanzaste los siguientes objetivos:
Objetivos Porcentaje de alcanceComprensión los conceptos trabajados
Comprensión de las consignasResolución correcta y completa de actividades
Cumplimiento de plazos y formasCompromiso con la propuesta de trabajo
5.6 Anexo: un deslizador con GeoGebraA continuación indicamos paso a paso cómo armar un deslizador que nos indique la posición
de un satélite usando GeoGebra. Las sentencias que deberán ingresarse son las siguientes.
• C = (0,0)• A = (780,0)• c = Circunferencia(C,A)• t = 0• Satélite =
(780cos
(π
50 t),780sen
(π
50 t))
◦ f : Perpendicular(Satélite,EjeX)• B = Interseca( f ,E jeX)
• d = Segmento(Satélite,B)• texto1 = FórmulaTexto(d,true,true)• R = Segmento(C,Satélite)
1. El centro C representa el centro de la Tierra.2. 780 km es el radio (aproximado) de la circunferencia que describen los satélites del sistema
Iridium.3. La sentencia t = 0 crea un deslizador. La variable t por defecto tomará valores entre -5 y 5.
Aquí deberemos abrir la opción de “configuración” que aparece al clickear sobre los trespuntos verticales que aparecen a la derecha de la casilla donde escribimos la sentencia. Allí,en la pestaña “Deslizador” se encuentran las opciones:
Min: 0 - Max: 200 - Incremento: 1Velocidad: 0.75Repite: creciente
5.6 Anexo: un deslizador con GeoGebra 47
Al cambiar a la pestaña “Básico” podemos agregar Rótulo: t(min)4. El período de los satélites del sistema Iridium es de 100 minutos aproximadamente. Este
valor nos determina el argumento de las funciones trigonométricas usadas para definir elpunto en que se posiciona el satélite.Recordemos: para la función f (x) = cos(ωx) o g(x) = sen(ωx), el valor ω es la frecuencia,y el período es P = 2π/ω .Así, en nuestro caso particular conocemos P y debemos encontrar ω . Tenemos
100 = P =2π
ω⇒ ω =
π
50.
5. La recta f es un paso auxiliar para encontrar el punto B, por este motivo no se muestra en lagráfica final. Para que un objeto no se muestre basta clickear sobre el círculo que aparece a laizquierda de la casilla en que se lo define. Por este motivo, este círculo no se muestra pintadode negro.
6. Una vez definido el segmento d, marcamos la casilla en que lo definimos y la arrastra-mos sobre la gráfica. Eso hará aparecer el valor del segmento d en el gráfico y apareceráautomáticamente el renglón siguiente en las sentencias.
7. El texto que aparece en el gráfico se agrega con la opción de agregar texto, indicada conel símbolo ABC. Dependiendo de si estamos trabajando con una sesión de usuario o sinregistrarnos, la ubicación de esta opción cambia. Al trabajar dentro de una cuenta de usuario,la encontramos dentro de la pestaña indicada con un segmento que tiene una letra “a” sobreél.
8. Otros detalles estéticos, como las lineas punteadas o texto destacado, se pueden conseguirseleccionando la opción de configuración de cada sentencia.
Por último, destacamos que la tabla de valores que se presentó en la actividad 5.2 correspondea los valores de d y se pueden ir observando al variar el deslizador t, o bien calculando d =780sen
(π
50 t)
para los valores de t que se proponen en la tabla.
Índice alfabético
A
antenas de control y comando . . . . . . . . . . . . 13
B
BeiDou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C
campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32centro de masas de la tierra. . . . . . . . . . . . . . .24constelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11coordenadas cartesianas
en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
D
destrógiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24distancia entre dos puntos
en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
E
efectos relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32ejes cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19elipsoide
de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
error del reloj del receptor . . . . . . . . . . . . . . . 32esferoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23espacio tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32estación de control alternativa . . . . . . . . . . . . 13estación maestra de control . . . . . . . . . . . . . . 13Everest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
F
Fórmula de Herón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22fuerza centrífuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
G
Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37geoide estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24GLONASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Google Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
H
Hayford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I
inclinaciones orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
50 ÍNDICE ALFABÉTICO
Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
L
Localización en dos dimensiones . . . . . . . . . 19
M
metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31microsegundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
N
nanosegundo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31navegación satelital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11nivel del mar nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
O
órbita geoestacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
P
períodos orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Pierre Louis Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . 23planos orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Plessis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23polo terrestre convencional . . . . . . . . . . . . . . . 24posicionamiento geoespacial autónomo. . . . 11Principia Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Propuestas para trabajar en el aula . . . . . . . . 37
R
red global de estaciones en tierra . . . . . . . . . 13reloj atómico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
S
segmentode control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12de los usuarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
semiperímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Sistema de Navegación Global por Satélite .11Sistema Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31sitios de monitoreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13superficie gravitacional equipotencial . . . . . 23
T
tectónica de placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19triangulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37trilateración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 26
V
velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 31
W
WGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23WGS84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23