la narrazione in matematica

8/14/2019 La narrazione in matematica

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Quaderni di Ricerca in Didattica, n17, 2007.G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy)

La narrazione in matematica nellinsegnamento/apprendimento in situazione dimulticulturalit, Daniela Carlino

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La narrazione in matematicanellinsegnamento/apprendimento in situazione di

multiculturalitDaniela Anna Carlino1

AbstractLObiettivo del lavoro quello dindagare sulla narrazione nellinsegnamento/ apprendimento in matematica. In particolare, dimostrare come gli alunni didiverse culture, italiani e cinesi, della scuola primaria (allievi 8-9 anni),reagiscono e rispondono alle situazioni- problema, mediante la narrazione diuna fiaba.La narrazione da interpretare attraverso lalgoritmo risolutivo che il bambinosimpegna nel governare i suoi processi di ragionamento, in riferimento allacomprensione del contesto individuato e attraverso i diversi linguaggi utilizzati,(linguaggio naturale, iconico, narrativo). Attraverso la fiaba, la matematicasi riempie di espressioni, di emozioni ed il bambino risolve la situazione-problema, in maniera corretta, solo se capisce il contesto narrativo.Si pone lattenzione sulle strategie e le procedure messe in atto dagli alunniitaliani e cinesi, verificando in che modo la narrazione influenzi lalgoritmorisolutivo e le successive rappresentazioni. Infine, si cerca dinterpretare leragioni che conducono alle differenze in situazioni di multiculturalit.Parole chiave : narrazione, algoritmo risolutivo, lingua naturale, contesto,

rappresentazione figurata, rappresentazione verbale, dato percettivo.IntroduzionePerch approfondire lo studio sulla narrazione nellinsegnamento/ apprendimento in matematica?Ci si avvale del valore aggiuntivo della narrazione per linsegnamento/ apprendimento in matematica, attraverso lerappresentazioni linguistiche, checonsentono di comunicare, di riflettere sui concetti e di utilizzare, comestrumento del pensiero, la narrazione nella risoluzione dei problemi. In questadirezione, lo scopo di questo articolo quello di rilevare delle differenze sullanarrazione, riscontrabili in allievi provenienti da differenti ambientisocioculturali. In particolare, sindaga sulla differenze verificabili con alunniitaliani e cinesi, attraverso unesperienza di Ricerca in didattica2. Differenzeche si riflettono sul piano cognitivo, motivazionale, contestuale, culturale,spazio-temporale e delluso dei diversi tipi di linguaggio, (linguaggio naturale,narrativo, iconico).

1Laureanda in Scienze della Formazione Primaria presso lUniversit di Palermo. Larticolo tratto dal lavoro di tesi sullo stesso argomento. La tesi stata seguita dal prof. F. Spagnolo.2 Brousseau, G. (1986), Fondements et mthodes de la didactique des mathmatiques,:Recherches en didactique del mathmatiques.


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1. Quadro teorico di riferimentoIl riferimento teorico per quanto attiene al linguaggio naturale, si avvale dellateoria di Vygotskij. Secondo lautore, il funzionamento mentale mediatodagli strumenti forniti dalla cultura. Pensiero e linguaggio sono influenzatidalla partecipazione dellindividuo ad una fitta rete di interazioni sociali,successivamente interiorizzate (Camaioni, 2001)3. Oltre lo sviluppo naturale,supportato da comportamenti spontanei rispetto ad uno stimolo, lindividuo soggetto allo sviluppo culturale, il quale comprende i concetti complessi oscientifici che portano allo sviluppo di strutture mentali superiori. Il linguaggiosi configura come strumento sociale che penetra nella mente e dirige ilpensiero, in questo caso scientifico, caratterizzato da consapevolezza,sistematicit, volontariet, tutti attributi che passano attraverso la compiutezzadella rappresentazione verbale e la possibilit di esercitare lattivit riflessiva-verbale su prodotti linguistici esaurienti4. La verbalizzazione offre la possibilitdi conoscere meglio il pensiero degli allievi e farlo maturare attraversolinterazione verbale.Bruner sostiene che la narrazione adempie ad unimportante funzione: quella dicreare una visione del mondo in cui i bambini e in generale, tutte le personepossano immaginare a livello psicologico un posto per s, un mondo personale.Esprimiamo la nostra esperienza immediata, ma anche le nostre originiculturali sotto forma di racconto, perci, la narrazione consente allindividuo dicostruirsi unidentit e di trovare un posto nella propria cultura5.Raccontare ha una funzione fondamentale nella formazione del pensieroscientifico, purch, chi racconta sia capace di mostrare come la scientificitpassa attraverso le scelte che portano agli elementi del racconto6.Il racconto aggiorna il bambino sui fatti che accadono intorno e tende a dareuninterpretazione ed una valutazione dei fatti stessi. Pu aiutare lo sviluppo diun atteggiamento critico costruttivo, se sa cogliere gli elementi validi dellarealt7.Il racconto un discorso le cui frasi hanno scopi informativi in grado di fornirela conoscenza delloggetto- evento, cio, di un evento vogliamo sapere quali

3 Rapa A. B (2003), Argomentare strategie risolutive di situazioni problematiche aritmetiche egeometriche in ambiente multiculturale, Tesi di laurea in Scienze della Formazione Primaria, p1-60.4 Una valida sintesi delle teorie dellapprendimento pi importanti elaborate fino alla fine deglianni 70 (con particolare attenzione per le loro implicazioni didattiche, vedi verbalizzazione) contenuta nel libro Concetti e conoscenza curato da C. Pontecorvo per la casa editriceLoescher.5 Bruner J.S. (1997), La cultura delleducazione, Milano, Feltrinelli, tit. orig.: The culture of education, Cambridge, Harvard University Press, 1996; pag.56-57. 6 Carlo Bernardini. Docente di Fisica dellUniversit La Sapienza di Roma,Comeraccontano gli scienziati. Fare scuola/ 1. La narrazione. Quaderni di culturadidattica direttida F.Frabboni/R. Maragliano/B. Vertecchi. Ed. La Nuova Italia.7 Anna Maria Costa (2002) Letteratura per linfanzia e gusto della lettura, Japadre Editore.LAquila- Roma.


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sono le condizioni che lo hanno reso possibile, il perch immediato, in chemodo si svolto, che esito ha avuto8.Comunicare, raccontare, narrare sono tutti strumenti che permettono di entrarepi agevolmente in contatto con gli altri superando la paura e la faticadellincontro, sono modi per ascoltare e farsi ascoltare ci fondamentale peruneducazione interculturale rivolta ai pi piccoli9.

1.1. Il simbolo fiabico, ponte tra il reale e limmaginarioLa matematica, attraverso le fiabe, si riempie di espressioni, di emozioni ed ilbambino risolve la situazione- problema, in maniera corretta, solo se capisce ilcontesto narrativo.La lettura o la narrazione della fiaba consente di attivare la funzionequi e ora,secondo le leggi del transfert, testimoniando il cambiamento attraverso lanarrazione e rivivendolo grazie al contenimento emotivo che la strutturanarrativa consente. Gli studi dimpostazione psicoanalitica, soprattutto quelliJunghiani hanno evidenziato nella fiaba la presenza di simboli originari,connessi alla configurazione psichica di un indimostrabile inconscio collettivo,che trova il suo linguaggio originario della propria narrazione fiabica.Il simbolo fiabico, carico di significati, interpretato tenendo conto deidifferenti contesti e situazioni in cui si manifesta10. I simboli funzionano comela traccia, il segnale che se interpretato ed elaborato, restituisce il senso dellanarrazione, d vita al discorso narrativo. Per accedere alla lettura-interpretazione di un testo fiabico necessario considerarlo nella suaparticolarit di universo mobile e non rigidamente precostituito11. Questamobilit del testo imprescindibile, sia che si voglia interpretare il simbolonella cultura sia che si tenga conto delle esigenze che il soggettodellenunciazione mette in luce, indicando nella narrazione orale o nella letturadella fiaba un suo privilegiato percorso di senso.Il simbolo portatore di significati anche contraddittori e complessi. Illinguaggio creatore della realt o meglio unattivit naturale, lo dicevaAristotele, che per, riflette e riorganizza tutte le attivit bio- cognitive, resespecifiche dalla presenza del linguaggio. Lanalisi dellautore rafforzalinterpretazione secondo la quale, la rappresentazione narrativa del mondo nonsi configura come unattivit strumentale per, bens come donatrice disenso, di pensiero, di emozioni e sentimenti, come rivelatrice della realt del

testo12

. Pi precisamente, sarebbe corretto dire che proprio la narrazione checostruisce la realt, perch immagina rapporti, collegamenti, connessioni,mondi, sensi, che al di fuori del linguaggio e della narrazione non sonoesistenti. La narrazione costruendo senso, avvia una logica che trascende ilpiano della nostra esperienza, creando altra esperienza e altra realt.

8 Parisi D. (a cura di) (1979), Per una educazione linguistica razionale, Bologna, Il Mulino.9 Rosa Caizzi, Monica Mezzani, (1998), Narrare, narrarsi. Itinerari di educazione interculturalenello spazio del racconto. Fiaba, mito, romanzo. Bologna: CLUEB, p. 6.10 C. Musatti,Trattato di psicoanalisi , Torino, Boringhieri, 1962, pag. 245.11 E. Fromm, Il linguaggio dimenticato , trad.it., Milano, Bompiani, 1983, pag. 15-27.12 F. Lo Piparo, Aristotele e il linguaggio , Roma- Bari, Laterza, 2003, p. 25.


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Lesperienza della narrazione si configura come indispensabile nellacostruzione di unidentit che apre ed accetta il dialogo con lalterit, perch larappresentazione dei mondi che il racconto costruisce si stende su un vuoto disenso e di affetti. Il gioco della narrazione crea un ponte fra il mondo interioree la realt, fra s e il mondo, aprendo una fenditura capace di mettere incomunicazione la realt e luniverso, spesso, come parte dellinconscio13.Freud, dice: soltanto il desiderio della narrazione consente di costruire unponte di comunicazione tra reale e immaginario, un ponte che delinea iconfini di un territorio intermedio tra linterna scena mentale e la scena dellavita, tra lintersoggettivo e lintrasoggettivo. La narrazione va alla scoperta diquesto mondo intermedio, lunico capace di mettere in comunicazione la nostrainteriorit e lintersoggettivit, il mio Io e il Tu che pu anche diventare unNoi14.La costruzione narrativa usa la metafora e dato che il pensiero nasce quando lametafora pu prendere il posto dellenigma, si potrebbe dire che, la fiaba e ilsuo ingranaggio scenico permette agli esseri umani di pensare e rappresentarese stessi15.

1.2 . La narrazione e lidentit culturaleAutori come Sarbin, Bruner hanno evidenziato che le strutture narrative nonsono altro che forme universali, con cui gli individui comprendono estrutturano la realt, dandone forma, senso e significato.Per Sarbin , la narrazione ha una struttura universale, riscontrabile, quasiimmutabile nei miti, nelle religioni, nelle fiabe e in qualunque altro prodottosimbolico della cultura16.Per Bruner, gli individui elaborano una costruzione narrativa della realt, dovelesperienza e la memoria sono organizzate sotto forma di racconto, lacomprensione narrativa sul S non uno dei tanti modi di essere di questaconoscenza. Il racconto che una forma convenzionale elaborata e trasmessadalla cultura, a differenza delle procedure logiche e scientifiche che possonoessere falsificate una costruzione narrativa che pu approssimarsi solo allaverosimiglianza, per cui non soggetta ad eventuale falsificazione. Il rapportotra modo narrativo del pensiero e forme narrative del discorso circolare,poich ciascuno di essi d forma allaltro,cosicch, la struttura del linguaggio ela struttura del pensiero sono difficilmente districabili essendo necessariamente

interrelate17

.13 F. Borruso, Fiaba e identit, Roma, Armando editore, 2005, p. 100-10214 S.Freud , Il poeta e la fantasia, in Opere di Sigmund Freud , trad., Torino, Boringhieri, 1967-80, vol. 5.15 Ivi, p. 103.16 T.R. Sarbin ( a cura di), Narrative psychology: The storied nature of human conduct,Praeger, New York, 1986; Nash C. (a cura di ), Narrative in culture, Routledge, New York,1990.17 J. Bruner, La costruzione narrativa della realt, in M. Ammaniti, D. Stern (a cura di),Rappresentazioni e narrazioni, cit, p. 17-42.J.S. Bruner et al., La sfida pedagogica americana , trad.it., Roma, Armando, 1970, pagg. 111-112.


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La narrazione si struttura su eventi, azioni, esperienze, significative per lapersona, tramate emotivamente, s che gli individui influenzano gli eventi conle loro azioni, ma al contempo sono condizionati da quelli, determinando unacircolarit tra il livello narrativo e la realt

18.Per Bruner, il pensiero traduce il dato di esperienza percettiva alla luce di quei

modelli e concetti che ogni individuo assorbe dalla sua cultura di appartenenza.Lidentit individuale un S che esiste solo allinterno della capacit narrativadellindividuo, cio esiste solo nei discorsi che luomo intesse tra s e s o tras e il mondo. un s la cui consistenza narrativa perch interiorizza erestituisce storie vecchie e nuove, cosicch rappresentando la realt alcontempo costruisce la propria storia. unidentit di una ricomposizionedinamica sia intrapsichica sia socio- relazionale, che consenta a ciascuno diinterpretarsi nellagire e nel pensare, che si muove dallinterno e dallesterno eviceversa, cio dalla cultura alla mente e dalla mente alla cultura19.

1.3. La narrazione nellinsegnamento/apprendimento in matematicaSentir parlare di narrazione nellinsegnamento/ apprendimento in matematicasembrerebbe piuttosto fuorviante, non soltanto per gli adulti, ma soprattutto peri bambini, i quali difficilmente legano la narrazione ad una disciplina come lamatematica, definita molto spesso ostica. Solitamente, la narrazione considerata prevalentemente in ambito letterario, perci, narrare una fiaba inmatematica si mostra sorprendente.Tutti gli insegnanti sono coinvolti nel dovere di rivolgere, attraverso gli attilinguistici e la capacit di verbalizzare in modo adeguato e corretto, prerequisitidabilit pi complesse, relativi al saper descrivere, raccontare, argomentare. Atal proposito si utilizzano i termini:Descrizione : definire, classificare, descrivere somiglianze/ differenze,caratteristiche, processi.Narrazione: raccontare eventi in sequenza cronologica, tenendo conto di tuttele possibili espressioni, non solo in linguaggio naturale.Argomentazione: proporre il proprio pensiero, portare argomenti a sostegno dici che si afferma.La narrazione e la descrizione sono due momenti difficilmente separabili,servono entrambe a rappresentare la realt, ma la prima fornisce di questarealt una rappresentazione di tipo dinamica, la seconda invece di tipo statica.

Se la funzione descrivere un certo oggetto precedentemente osservato, unapersona conosciuta, un luogo o un ambiente di vita, unimmagine o una figura,ciascuna frase del parlante ha lo scopo di fornire conoscenze su un aspettoparticolare di quello specifico oggetto. Il parlante sceglie un criterio per fornirecerte informazioni descrittive e non altre. Quando il parlante decide di dare alsuo ascoltatore la conoscenza di un oggetto non pu e spesso non vuoledescrivere tutti gli aspetti, ma solo i pi importanti. La descrizione di un evento ci che comunemente si definisce narrazione o racconto. Il testo

19 J. Bruner, La ricerca del significato, (1990), trad. it, Torino, Boringhieri, 1991, p. 106.


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argomentativo oltre ad esporre i fatti, li interpreta e li moralizza. Esso prendeposizione pro/contro qualcuno/ qualcosa e invita alla discussione.Capire un testo argomentativo significa, innanzitutto, chiedersi di qualeproblema tratti e quale soluzione dare a tale problema, ovvero quale tesiesprimere su una questione controversa o controvertibile.Poich, un testo argomentativo unazione comunicativa, pu esserescomposto in una successione di azioni variamente concorrenti ad uno stessoscopo persuasivo. Alcuni prerequisiti logici sono necessari per la produzione diun testo argomentativo, prerequisiti che andrebbero esercitati sin dalla scuoladellinfanzia, per stimolare le operazioni mentali sottostanti, essi riguardano ildominio delle relazioni di causa- effetto, la padronanza dei procedimenticoncettuali di deduzione e induzione, la capacit di confrontare fatti e pareridiversi, labilit di non cadere in contraddizione, la capacit di decentramento.Si tratta di sviluppare procedure e abitudini mentali che rendono lindividuoautonomo nella ricezione e nella valutazione, poi nella produzione in proprio,di argomentazioni20. Pu essere pedagogicamente importante abituare ibambini a distinguere ci che dato come acquisito, che sinsegna, da ci chesi propone come opinione, che si sostiene.Prendendo in considerazione il punto di vista della Semiotica, la matematicapu essere definita non esclusivamente un settore della conoscenza.Il linguaggio matematico presenta trelivelli : le sintassi , che corrispondono allasistemazione formale dei linguaggi,la semantica , la quale fa riferimento alproblema del significato,la pragmatica , laspetto che rende in considerazionele condizioni per uninterazione efficace e non disturbata della comunicazione.Lapproccio semiotico, proprio perch implica la distinzione di questi piani,alle matematiche consente una migliore analisi dei fenomeni dinsegnamento/ apprendimento e per quanto pi specificamente attiene largomentare. Permettedipotizzare lesistenza di un parallelismo tra argomentazione e dimostrazione.Lelemento pi rilevante che differenzia i due registri linguistici, sta nel fatto,che largomentazione il mezzo per poter costruire catene deduttive, attraversola messa a fuoco delloggetto stesso, nel dominio del linguaggio naturale.Anello, sottolinea come: lacquisizione del concetto, la costruzione delleconoscenze, i processi di simbolizzazione sono motivati dal mezzo dicomunicazione e di espressione, quale il linguaggio, considerato come ilmeccanismo attraverso cui la cultura influenza lo sviluppo dellindividuo21.

In geometria importante riferirsi alle rappresentazioni dello spazio fisico22

.Per quanto riguarda larappresentazione dello spazio , si tratta di un obiettivoassai impegnativo, che investe abilit e processi mentali di natura diversa:occorre che il bambino impari a far uso delle sue percezioni visive,

20 Colombo A. (a cura di) (1992), I pro e i contro. Teoria e didattica dei test argomentativi,Firenze, La Nuova Italia.21 Anello F. (2001), Didattica e promozione dellespressione orale. Quando i bambini

prendono la parola . Edizione Palumbo, Palermo.22 Ministero della Pubbica Istruzione, Unione matematica Italiana,Geometria, seminario diformazione per docenti Istruzione Primo Grado, Liceo Scientifico Statale, 1996- 1997, Editing:A.R. Cicala, E. Giansanti, G. Zito, P. Manzioli.


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coordinandole con il pensiero (ad esempio, nel disegno di una scatola, ilbambino tende a rappresentare quello che pensa prescindendo da quello chevede e con la rappresentazione grafica, nel disegno del percorso occorre che ilbambino, in pi, coordini ricordi visivi che si collocano in momenti successividelluscita, come se si trattasse di ordinare cronologicamente fotogrammiinterni che possono affiorare in memoria in un ordine diverso da quello in cuisono stati registrati). Un altro elemento decisivo nelle operazioni dirappresentazione dello spazio costituto dalluso dellinguaggio verbale orappresentazione verbale , come strumento di analisi della realt darappresentare, di progettazione e organizzazione delle immagini, di controllosulladerenza delle immagini alla realt rappresentata.Per rappresentazione verbale sintende di rappresentare verbalmente, con unlessico sempre pi preciso, posizioni, relazioni e situazioni dello spazio fisico.La rappresentazione verbale funzionale alla messa in ordine delle immaginirichiamate dalla memoria.Si tratta di unattivit importante ai fini dellosviluppo del controllo dei propri processi di pensiero. Si tratterebbe di unapprendimento logico- linguistico e geometrico. Nel lavoro sulla lunghezza e lasua misura, la verbalizzazione in stretto collegamento con il pensiero chericostruisce la successione logica dei multipli e sottomultipli della misura,adeguati. Nel descrivere i procedimenti per una precisa misura della lunghezza,il bambino deve richiamare alla memoria i vari riferimenti e ordinarli in basealla loro successione temporale. La verbalizzazione quindi il risultato di unatto di pensiero, ma ne anche lelemento facilitatore e scatenante. Adesempio, con la lunghezza i bambini devono misurarsi pi volte con leproprie capacit linguistiche, anche sotto laspetto della precisione lessicale,ovvero chiarezza e pertinenza espositiva dei termini, soprattutto dellunit dimisura appropriata. In ambito geometrico, si presta bene la ricostruzione,attraverso successive esperienze ed approssimazioni, della struttura dellalunghezza. La verbalizzazione offre la possibilit di conoscere meglio ilpensiero degli allievi e farlo maturare attraverso linterazione verbale conlinsegnante e con i compagni.

1.4. La costruzione dei concetti della geometria Alcune attivit sulla rappresentazione piana di oggetti e situazioni dello spaziocontribuiscono alla costruzione e alla padronanza dei concetti della geometria.

Per approfondire il tema della concettualizzazione, in geometria necessarioprecisare cosa sintende per concetto. Una definizione di concetto stataelaborata da Vergnaud, negli anni 80 e pubblicata nellarticolo Lamatematica e la sua didattica. Secondo Vergnaud si possono individuare trecomponenti di un concetto23:1.linsieme delle situazioni di riferimento per il concetto,2. linsieme degli invarianti operatori,3. linsieme delle rappresentazioni linguistiche.

23 Vergnaud, G. (1990), La thorie des champs conceptulles, Recherches en Didactique desMathmatiques, 10, 133-170.


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Le situazioni di riferimento sono le situazioni problematiche esperite dalsoggetto (dentro e fuori la scuola), che restano associate al concetto nellamemoria a lungo termine e sono depositarie del senso, con cui il concettoviene vissuto dal soggetto.Gli invarianti operatori sono le propriet del concetto su cui si basano glischemi, comportamenti invarianti per classi di situazioni simili che il soggettomette in opera per risolvere i problemi che dovr di seguito affrontare. Questiinvarianti operatori possono essere posseduti dal soggetto a diversi livelli diesplicitazione e di consapevolezza.Le rappresentazioni linguistiche sono parole e frasi, segni geometrici, formule,che consentono di comunicare, di riflettere sul concetto e di utilizzare, comestrumenti del pensiero, il concetto nella risoluzione dei problemi. La teoria diVergnaud, a proposito dei concetti, appare utile per linsegnamento-apprendimento della matematica, in quanto consente di progettare ed analizzarelapprendimento di un concetto secondo le tre componenti.La padronanza di un concetto unacquisizione complessa che procede pergradi lungo le tre componenti, con possibili squilibri e carenze che possonoriguardare una o pi componenti. Spesso accade, che tale padronanza sia soloparziale: possono non essersi ancora formati schemi adeguati, oppure mancarele situazioni di riferimento, in cui lalunno non sa fare un uso autonomo delconcetto, anche se sa recitarne una definizione e se sa svolgere i soliti eserciziabitudinari. Lattivit di costruzione concettuale si svolge allinterno di campidi esperienza24 cui fanno riferimento allesperienza extrascolastica degli alunniopportunamente riproposta in classe con attivit realistiche. Il campo diesperienza un settore dellesperienza umana identificabile con una breveesperienza verbale, omogeneo per quanto riguarda i copioni di comportamentoche vengono attivati. Dal punto di vista dellinsegnamento edellapprendimento a scuola, ogni campo di esperienza costituito da trecontesti che evolvono nel tempo:_ contesto esterno :oggetti, regole sociali di comportamento, vincoli oggettivi,espressioni linguistiche relative al campo desperienza,_ contesto interno dellallievo : le sue concezioni , le sue conoscenze, i suoiinvarianti operatori, relativo al campo desperienza,_ contesto interno dellinsegnante : le sue concezioni, le sue conoscenze eanche le sue esperienze, i progetti e le attese riguardanti luso didattico del

campo desperienza.Quello che si constata nella realt delle classi della scuola primaria che,sono assai numerosi i bambini privi dei livelli linguistici adeguati allanecessit di apprendimento . Lintervento di mediazione individualizzatadellinsegnante riesce, in molti casi, a trasferire al bambino modi diorganizzare in testo il suo pensiero e forme espressive adeguate allo scopo.Lipotesi di Nelson e French riguarda la rilevanza dei campi desperienza,proposti al bambino nel forzare lacquisizione di forme espressive adatte a

24 AA.VV. [1999], Bambini, maestri, realt: un progetto per la scuola elementare, Rapportotecnico, Dipartimento di Matematica, Universit di Genova.


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rappresentare la complessit e larticolazione delle situazioni da verbalizzare25.Nella ricostruzione individuale delle fasi di una produzione realizzata in classe,la mancata espressione della contemporaneit con cui si devono svolgere certeazioni, pu essere utilizzata didatticamente, attraverso la riproduzione delprocesso produttivo, seguendo fedelmente la verbalizzazione del bambino perevidenziare una violazione delle regole, secondo le quali il bambino si aspettache si svolga il processo, in questo modo, il bambino diventa disponibile arappresentare con una forma linguistica suggerita dallinsegnante, fino alloranon utilizzato in forma attiva, quel particolare legame di contemporaneit. Lafase di uso forzato per qualche connettivo, si vale di opportuni campidesperienza e comporta interventi di mediazione individualizzata con ibambini che manifestano difficolt espressive, possono essere necessarie piesperienze di verbalizzazione.Il passaggio a livello lessicale e dastrazione deve essere favorito gradualmentedallinsegnante, attraverso la mediazione dei termini tecnici della geometria eattraverso la molteplicit delle situazioni problematiche esperite in classe. Intale percorso verso la geometria ufficiale non va perduto il riferimento allesituazioni di riferimento concrete, collegate alle esperienza extrascolastica ed asignificative attivit manipolative, altrimenti il bambino rischia di non essere ingrado di compiere dei ragionamenti. Il ruolo dellinsegnante quello diintervenire, secondo la prospettiva Vygotskiana, nella zona dello sviluppoprossimale26 degli allievi con un duplice obiettivo: guidarli verso la conquistadellautonomia, nel risolvere problemi di cui sono in grado di cogliere il senso,utilizzando i suggerimenti per affrontarli e insieme, fornire loro strumentilinguistici, modelli culturali adatti per affrontare, successivamente, problemipi avanzati di quelli che oggi sono oggetto di intervento. Quindi, linsegnantepropone in classe situazioni problematiche, significative per gli alunni,sollecitandoli a risolvere individualmente, ad utilizzare le soluzione comespunto per discussioni che servono a socializzare le idee emerse, a renderneconsapevoli gli allievi, a introdurre forme linguistiche adeguate per gestire esfruttare tali idee, infine, pervenire ad una sintesi, che pu essere realizzatasulla base di proposte individuali di sintesi elaborate dagli allievi, ovverocostruita direttamente con una discussione di bilancio27.

25 Quadro di ricerche di psicolinguistica, in particolare, cfr. lavori di K. Nelson e L.A. French,Rapporto Tecnico, Dipartimento di Matematica, Universit di Genova. AA.VV. [1999].26 Vygostkij definisce la Zona di Sviluppo Prossimale come la distanza fra il livello disviluppo attuale, definito dal tipo di abilit mostrata da un soggetto che affrontaindividualmente un compito, e il livello di sviluppo di cui un soggetto d prova quandoaffronta un compito del medesimo tipo, con lassistenza di un adulto o di un coetaneo pi abile.F. Carugati, P. Selleri.Psicologia delleducazione , Il Mulino, p. 51.27 XXII Convegno UMI- CIIM, Ischia 15- 17, (2001), Matematica 2001 , materiali per unnuovo curricolo di matematica con suggerimenti per attivit e prove di verifica, (scuolaelementare e scuola media).


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2. Lavoro sperimentale

Il lavoro sperimentale parte dallipotesi generale: se la narrazione lelemento unificante nei contesti multiculturali, allora ci saranno deicomportamenti omogenei .Lindagine stata rivolta a circa 100 alunni (8-9 anni), 92 alunni italiani e 8alunni cinesi, delle classi quarte in due plessi di scuola elementare: M. Amari eF. Ferrara di Palermo28.La scelta delle situazioni- problema da somministrare agli alunni interessati stata scrupolosa e dettagliata, con lo scopo di introdurre in maniera diversa ibambini nei confronti della matematica e soprattutto, linvenzione di una fiaba,creata intenzionalmente per condurre i bambini alla narrazione, ha dato deirisultati validi, ottenendo cos, concrete differenze tra le culture a confronto.Per le situazioni- problema ho preso in considerazione largomento sullalunghezza e la misura, pensato come argomento comune alle culturedappartenenza, il quale non crea dei comportamenti disomogenei, benslelemento discriminante la narrazione. Inoltre, le situazioni reali, illinguaggio quotidiano sono caratterizzati da una pluralit di manifestazioni e diespressioni per la lunghezza.La sperimentazione si avvalsa di due fasi:

1. La prima fase sperimentale stata progettata mediante la creazione diuna fiaba: Poldo un castoro costruttore, in funzione della narrazione,ottenendo delle strategie di soluzione allalgoritmo di riferimento edesplorando la cultura dappartenenza dei bambini. Ho dato valore aidati ottenuti, classificandoli per tipologie di alunni e differenziando idati degli italiani e dei cinesi, mediante lanalisi a- priori deicomportamenti attesi da parte degli allievi. Gli alunni hanno svolto laconsegna singolarmente e narrato in funzione dellalgoritmo risolutivo.La narrazione degli alunni stata registrata e discussa in classe, creandouna discussione di bilancio, per la chiara comprensione dellasituazione- problema proposta.

2. La seconda fase sperimentale stata pensata con lintento diconcentrare lattenzione sul racconto dinvenzione, in cui si osservanogli alunni come piccoli autori di una fiaba da loro creata, con lausilio

delle immagini/fumetto. Ci ha consentito la massima libert dicostruzione narrativa, richiedendo anche la capacit di organizzare lanarrazione sui canali, (persone, luoghi, tempi, successione di fatti), cheil bambino stesso si dato. Per la realizzazione di questa fasesperimentale ho creato delle immagini, affinch, tutti i bambini, italianie cinesi, potessero inventare loro una breve fiaba, riferendosi ad un

28 Si tratta di tre quarte ed una terza classe nel circolo didattico M. Amari e di tre quarteclassi del circolo didattico F. Ferrara, entrambe di Palermo. La ricerca sperimentale si svolta nei mesi di aprile- maggio 2005.


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unico contesto narrativo29. Questa seconda fase sperimentale stataconfermata da due situazioni- problema, la prima con linvenzione dellafiaba e la seconda con lindividuazione di una chiave in funzione delleindicazioni in linguaggio naturale, osservando cos, le strategie disoluzione e le capacit percettive e metacognitive, per giungere allasoluzione corretta. La seconda situazione- problema: La chiavemagica stata coerente con la prima, ottenendo unanalisi a- priori deicomportamenti attesi. Lanalisi a- priori uno strumento essenziale peraffrontare ricerche in campo didattico, in quanto permette di rilevare inmodo adeguato i dati utili e di analizzarli con gli strumenti dellastatistica (analisi descrittiva mediante il programma Excel, perregistrare la presenza/assenza di tali comportamenti, analisi dellesimilarit e analisi implicativa con il supporto del programma Chic). Acompletamento dellanalisi quantitativa dei dati ho effettuato unanalisiqualitativa delle risposte, attraverso la verifica dei protocolli delcampione di alunni, italiani e cinesi.

3. 2.1.1 Prima fase sperimentaleLa fase iniziale della sperimentazione ha previsto la somministrazione di unasituazione-problema, la fiaba: Poldo un castoro costruttore, con lobiettivo dirilevare le strategie risolutive dellalgoritmo e le possibili narrazioni infunzione dellalgoritmo risolutivo.La situazione- problema stata proposta attraverso la lettura della fiaba inclasse, con la specifica richiesta di prestare attenzione alla fiaba ascoltata edalle specifiche indicazioni:

1 passo antico = 5 piedi 1 piede del castoro =30cm Quanto misura in cm un passo? Quanto misurano 10passi del castoro in metri? Quanto misura 1piede dellanatra? Quanto misurano 20passi dellanatra in metri?

Trovalo tu la soluzione se hai capito la fiaba !Trovate le soluzioni al problema stato chiesto di narrare liberamente sullaconsegna, con una domanda specifica: Se tu fossi stato Poldo come avresti

misurato la diga: racconta

2.2. Seconda fase sperimentaleLa seconda fase della sperimentazione ha previsto una situazione- problemacon linvenzione di una fiaba prodotta dai bambini: La chiave magica, peruna ulteriore conferma delle differenze culturali in termini di narrazione inmatematica, tra alunni italiani e cinesi, mediante lutilizzo di uno strumento dimediazione, quale il linguaggio figurato.

29 Per ciascuna situazione/problema ho dato un tempo di circa unora, da risolveresingolarmente.


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Nel terzo gruppo fanno parte i contesti S8 e N13 con alta similarit, Nel quarto gruppo i contesti S7 e N11 mostrano unelevata similarit

tra di loro, cui si correlano con S5, Nel quinto gruppo i contesti S12 e C2 mostrano similarit e si

correlano con S13 ed in maniera trascurabile con N6, Nel sesto gruppo i contesti similari cui mostrano un buon grado di

similarit sono S3 e N3 che si correlano in maniera trascurabile con ilgruppo (S1, N1, N2, N9, F2).

_ Del primo gruppo fanno parte le strategie dellalunno cinese, ancora unavolta, si conferma lottima risoluzione dellalgoritmo risolutivo in funzionedella narrazione, che si correla con la giustificazione dei processi con coerenza,in riferimento al quarto contesto, ossia di riconoscere il profilo della chiave,invece la similarit sembrerebbe paradossale con C3, cui deriva dal fatto chenon riconosce il contesto proposto, proprio perch a bisogno di contesti pichiari._ Del secondo gruppo fanno parte le strategie degli italiani, i quali mostranosimilarit perch riconoscono perfettamente il concetto della misura dilunghezza dei sistemi arbitrari e convenzionali, applicando i multipli e/osottomultipli, mostrando una buon approccio alla narrazione._del terzo gruppo, le strategie degli italiani mostrano similarit, in riferimentoal fatto di essere tra di loro riduttive nel contenuto._ Nel quarto gruppo, le strategie degli italiani sono simili perch nonriconoscendo lalgoritmo risolutivo, la narrazione povera nel contenuto._ Del quinto gruppo fanno parte le strategie dell alunno cinesi, a differenza del

primo alunno cinese posto in analisi risolve sempre lalgoritmo risolutivo infunzione della narrazione, ma in questo caso, riconosce sufficientemente ilcontesto della rappresentazione figurata._ Del sesto ed ultimo gruppo fanno parte le strategie degli italiani, i quali nonhanno acquisito la conversione da una unit di misura ad unaltra, osservandonella narrazione la medesima confusione.Albero della similarit (scuola F.Ferrara)

S1 F3 N14 S9 F1 S1

5 N1

6 C3 S7 S1

0 N1

8 S1

1 S8 S1

6 N1

9 F4 S2 C1 S5 N1

7 S6 S3 N1

5 S4 F2 S1

7 N2

0 C2 S1

2 S1

3 S1

4 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N1

0 N1

1 N1

2 N1

3

Albero delle similarit : C:\Documents and Settings\Spagnolo\Desktop\Scuola F.Ferrara.csv


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Dal grafico della similarit si osservano quattro gruppi: Nel primo gruppo tra le strategie S17 e N20 esiste unalta similarit,

cui si correlano con C2, Nel secondo gruppo le strategie S3 e N15 mostrano similarit ed unacorrelazione con S4 e in maniera trascurabile con F2, Nel terzo gruppo le strategie S16 e N19 mostrano un buon grado di

similarit, correlandosi in maniera trascurabile con F4, Nel quarto gruppo, le strategie S1 e F3 sono fortemente similari, cui

trovano legame con N14.Per un ulteriore chiarimento del grafico ritengo opportuno spiegare ognisingolo gruppo._ Il primo gruppo fa riferimento alle strategie utilizzate da un alunnocinese, che risponde correttamente allalgoritmo risolutivo in funzionedella narrazione e mostra un buon approccio alla narrazione, perch spintoda una forte motivazione al ricordo della Cina, nella memoria episodica,dimostra un riconoscimento sufficiente del contesto- storia._ Del secondo gruppo, le strategie dimostrano poca comprensione delSistema Metrico Decimale, oltre agli errori nella soluzione dellalgoritmo,mostrando poca familiarit nella conversione da una unit di misura adunaltra._ Del terzo gruppo, le strategie degli italiani segnalano una similarit,dovuta al fatto, di non comprendere il sistema metrico decimale e di nonriconoscere lutilizzo di un solo strumento di misura._ Il quarto gruppo mostra un ottimo grado di similarit, rivelando una

conoscenza appropriata dellalgoritmo risolutivo, dovuto ad unottimaacquisizione del concetto di misura, mostrando una sicurezza nellanarrazione.

Dai risultati evidenziati, si evincono i quattro contesti legati alla 1 e alla 2fase sperimentale, importanti per la rilevazione dellanalisi qualitativa:

1. Dalla narrazione allalgoritmo risolutivo2. Dallalgoritmo risolutivo alla narrazione3. Dalla rappresentazione figurata alla narrazione in linguaggio naturale4. Individuazione di una chiave frastagliata in funzione delle indicazioni

in linguaggio naturale.

2.2. Primo contestoDalla narrazione allalgoritmo risolutivo

Alunni italiani (scuola M. Amari e F. Ferrara)Dai risultati delle strategie adottate dagli alunni si deduce che gli studentiitaliani possiedono sicuramente una grande capacit narrativa, perch la nostracultura determina il desiderio di narrare, raccontare, per si osserva il fattore,forse pi importante, allinterno del contesto scolastico, vale a dire, i bambiniitaliani hanno compreso il testo nella seconda fase del questionario, quando glisi chiedeva di condurre lattivit metacognitiva sullalgoritmo. Solo allora,hanno compreso il testo della narrazione.


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Dallanalisi a- posteriori ho avuto la certezza che gli italiani non mostranomolta attenzione al testo di una situazione problema, poich li conduce aforviare le strategie di soluzione ed inoltre, impedendo la sistematicit delleoperazioni che conducono alla soluzione dellalgoritmo risolutivo.

Alunni cinesi (scuola M.Amari e F.Ferrara)Dai risultati delle varie strategie ipotizzate emerge che gli alunni cinesi adifferenza degli alunni italiani possiedono capacit di ragionamento e diattenzione particolari, dovute ad una grande capacit di ascolto e difocalizzazione immediata dellargomento proposto, inoltre sono molto precisinel produrre le soluzioni e nel riportare le misure con il numero e unit dimisura accanto. Una possibile interpretazione quella secondo la quale, cipermette loro di evitare disorientamenti nellesecuzione della situazione-problema e di snellire i processi di soluzione.Maggiori approfondimenti dovrebbero essere fatti in questo senso. Nellacultura cinese, infatti,lunit di misura viene percepita nella cultura cinesecome definizione specifica del contesto e non elemento della grammatica, dellinguaggio della misura. Negli italiani non si evince questo bisogno.Dagli studi si possono trarre delle conclusioni, che le differenze culturali nelleattivit cognitive, dipendono pi dalle condizioni in cui specifici processicognitivi vengono attivati, che da differenze cognitive fra gruppi.30 Ledifferenze appartenenti a culture diverse e soggetti appartenenti ad unamedesima cultura non sono interpretabili in modo univoco, i risultatidocumentano linfluenza delle diverse modalit di presentazione del medesimocompito, del diverso significato che ciascun compito assume agli occhi dipopolazioni diverse e infine, il livello di scolarizzazione su alcune abilitcognitive e soprattutto quelle che assumono rilevanza nel curricolo scolastico.

2.2 Secondo contestoDallalgoritmo risolutivo alla narrazione

Alunni italiani (scuola M.Amari e F. Ferrara)Le strategie adottate dagli alunni italiani nella 1 fase sperimentale:Poldo uncastoro costruttore, dimostrano differenti modi di ragionamento deduttivo.Alcune strategie adottate dai bambini sono errate per la non familiarit elegame con il concetto di mantenere la stessa lunghezza della diga per i due

personaggi della fiaba. La maggior parte cerca di giungere alla soluzione senzarendersi conto che la diga deve avere soltanto una misura e non due. Cidimostra il dato che i bambini italiani hanno compreso il testo nella secondafase della situazione-problema, quando cio gli si chiedeva di condurrelattivit metacognitiva sullalgoritmo. Solo allora hanno compreso il testodella narrazione.

30 [Cole et al. 1971, 233].


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Questo perch, per quanto la fiaba abbia innescato negli alunni molteriflessioni e svariate ipotesi di soluzione, sull argomento hanno dovuto fare iconti con le difficolt nellalgoritmo risolutivo.Agli alunni stato chiesto di narrare liberamente sulla consegna, con laspecifica richiesta di cercare di esprimere tutte le idee, compresi i dubbi, inrelazione alla situazione problema proposta, cercando di immedesimarsi nellafiaba e sentirsi protagonisti, rispettando un ordine temporale nella lorodiscussione.

Alunni cinesi (scuola M. Amari e F. Ferrara ) La narrazione dei bambini cinesi non stata cos facile, in alcune occasionisono apparsi poco propensi a comunicare e ad interagire, perch educati allariservatezza e alla riflessione.A differenza degli italiani non possiedono lo strumento linguistico, ma sonomolto attenti ai messaggi non verbali, la maggior parte di essi sempreimmobile, non ha espressione e non reagisce, ma ascolta e capisce, attribuiscesignificati e trasferisce concetti.Raccontare per loro non facile, affinch parlino, devono essere spinti dalbisogno di esternare il proprio stato danimo, senza lasciarsi condizionare dalfatto che non si esprimano correttamente, mettere insieme le parole chepossiedono per narrare e condividere lemozione. Per far si che ci avvenga, sideve stimolare in loro una forte motivazione, in relazione al proprio vissuto, lavolont di comunicare ci che gli appartiene e che rileva la nostalgicalontananza spazio- temporale. Lausilio della figura disegnata stata di buonauspicio per una pi chiara comprensione, un modo per indurli ad un raccontoche trovi un analogia con la loro terra dorigine. Le immagini come i suoni egli odori evocano sensazioni e sollecitano, attraverso la memoria episodica, lanarrazione di storie personali.31. Quanto detto evidente che la prima e laseconda fase sperimentale falsifica quanto viene detto perch non narrano, inquanto il contesto narrativo proposto non rispecchia alcuna analogia con la loroterra dorigine.Dai risultati della scuola F. Ferrara, soltanto 2 alunni su 8 cinesi testimonianola narrazione, attraverso una paziente mediazione didattica, in cui ho coinvoltoi due bambini nei ricordi e nelle similitudini con la loro terra di origine.Dalla narrazione dei due bambini si osserva una capacit di sintesi nelracconto, che per non si evince una sequenza temporale delle azioni per una

diversa concezione del tempo32

, forse perch non abituati al nostro modo dinarrare, di raccontare le fiabe, partendo dalle esperienze concrete arrivano a deiconcetti che per noi sembrano assurdi e privi di significato, (misurare la digautilizzando come strumento di misura gli animali, ad esempio, il pesce, ilserpente).

31 Anna Bodda Uso della lingua per esprimere bisogni, pensieri, ricordi, e rielaborareconcetti, p 73, scheda 2.32 A differenza della nostra cultura, i cinesi percepiscono il tempo in maniera circolare e nonlineare.


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2.3 Terzo contestoDalla rappresentazione figurata alla narrazionein linguaggio naturale

In questo tipo di analisi si evincono in maniera dettagliata le differenze tra gliitaliani e i cinesi, nellindividuare il contesto attraverso la rappresentazionefigurata.I cinesi hanno bisogno di contesti pi precisi, non riescono ad interpretare ilnostro contesto narrativo, (castelli, re, regine), quindi per comprenderlo aparit di tempo impegnato dagli italiani, nellinventare una storia dalleimmagini osservate, impiegano pi tempo e soltanto in pochi riescono a portarea termine la situazione proposta, perch non rispecchia la loro culturadorigine.Gli italiani condividono il contesto narrativo proposto perch parte dellacultura dappartenenza, perci giungono alla narrazione con la massimaspontaneit e creativit, nel minor tempo possibile.

2.4 Quarto contestoIndividuazione di una chiave frastagliata in funzione delleindicazioni in linguaggio naturale

In questultima analisi posso dedurre in maniera abbastanza esplicita, laconsiderazione delle differenze cognitive tra le culture di appartenenza. I cinesimostrano una capacit immediata del fatto percettivo, ovvero dimostrano disaper individuare una chiave in funzione delle indicazioni. Lipotesi che possofare in questo senso strettamente legata alla lingua cinese. Il riconoscimentodei caratteri della lingua naturale ha consentito ai cinesi di discriminarevelocemente, anche le pi piccole differenze visuo- percettive. Il dato che misembra rilevante la comprensione della nostra lingua naturale, in un contestonarrativo di tipo olistico. Infatti, ritornando alla prima fase sperimentale dellafiaba: Poldo un castoro costruttore, rivelano una sintesi nel racconto di altri edi lettura delle indicazioni.

3. Conclusioni del lavoro sperimentaleAl termine della sperimentazione posso definire le due situazioni- problema, lequali hanno costituito lindagine sperimentale, come importanti processi diverifica delle ipotesi di ricerca, anche se in modo diverso.

La prima fase sperimentale, la fiaba:Poldo un castoro costruttore hapermesso al campione degli alunni coinvolti nella sperimentazione, italiani ecinesi, di dedicarsi in maniera spontanea alla narrazione in matematica,sfruttando lalgoritmo risolutivo. Si consideri il fatto che la narrazione espressanella lingua italiana non risulta sempre chiara per i cinesi. Il racconto espressoin circa due pagine di testo pone problemi sulla capacit di coglieresinteticamente il senso del discorso e quindi lapplicazione dellalgoritmorisolutivo. Il risultato sorprendente stato quello dei bambini cinesi che anchese non hanno compreso il testo nella sua interezza lo hanno saputo interpretarenel trasferimento allalgoritmo risolutivo. I bambini Italiani hanno compreso iltesto nella seconda fase del questionario, quando cio gli si chiedeva di


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condurre lattivit metacognitiva sullalgoritmo. Solo allora hanno compreso iltesto della narrazione.La seconda fase sperimentale, attraverso le due situazioni- problema, Lachiave magica e A chi appartiene la chiave? stata una successiva confermadel lavoro fatto sulla narrazione.Per i bambini cinesi si sono riscontrate delle difficolt relative allapresentazione del gioco la chiave magica in quanto riportava a contesti tipicidella cultura occidentale (castelli, re, regine, etc,,,).Nella situazione- problema a chi appartiene la chiave, i bambini cinesi hannorisolto egregiamente il problema fornendo le soluzioni corrette moltovelocemente, forse per una abitudine culturale a vedere globalmente leimmagini strutturate. In particolare lordinamento delle chiavi stato anchessoimmediato motivando brevemente le loro risposte (vedi protocolli allegati inappendice).Gli italiani hanno dimostrato pienamente le lacune sul concetto di lunghezza ela sua misura, esprimendo nella maggioranza dei casi i processi senzacoerenza.Mettendo a confronto le due fasi sperimentali possibile affermare cheentrambi hanno favorito la rilevanza delle differenze tra gli alunni italiani e glialunni cinesi, registrando un divario evidente, sia per la narrazione sia per lecapacit dimostrate in matematica. Il primo intervento ha permesso distimolare la creativit nel raccontare le loro opinioni, le loro capacit inventive,permettendo un coinvolgimento alla situazione proposta e alla narrazione, ilsecondo intervento, invece, come conferma per stimolare la creativit einventiva nel narrare una fiaba in proprio, strumento di verifica del contestonarrativo.Con riferimento alle riflessioni appena enunciate possibile affermare chelipotesi: Se la narrazione lelemento unificante nei contesti multiculturali,allora ci saranno comportamenti omogenei, stata falsificata.Con i grafici analizzati visibile il legame esistente tra i contesti analizzati, conla convinzione chela narrazione pu essere uno degli elementi importanti perdiscriminare le due culture.

1. Problemi apertiLindagine sperimentale ha dato la possibilit di scoprire lapproccio dei

bambini alla narrazione in matematica. Rimangono aperte per alcunequestioni non analizzate in questo lavoro, ma che potrebbero fornire in futuroutili informazioni sulla narrazione in culture differenti:

Il pensiero olistico dei cinesi permette di vedere la fiaba (testoscritto ed immagini) in una successione ordinata di eventi e/o inuna visione unitaria?

Come strutturare meglio, anche in relazione alla cultura diorigine, il contesto della narrazione?

Se i registri linguistici di rappresentazione della fiaba cambiano,abbiamo risultati differenti?


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Tali domande, se da un lato scaturiscono la necessit di valicare il lavorosperimentale, dallaltro determinano lesigenza di una possibile continuazionedella ricerca.

Ringrazio il dott. Benedetto Di Paola per avermi dato consigli preziosi nellavoro di tesi e per la stesura finale dellarticolo.

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La narrazione in matematica nellinsegnamento/apprendimento in situazione di 186

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