LA PARABOLAPREREQUISITI

•DISTANZA TRA DUE PUNTI

Si definisce distanza tra due A e B punti il segmento che unisce tali punti

E’ possibile calcolare tale distanza utilizzando la formula:

d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

nel nostro caso essendo A(2,1) e B(6,3) si ottiene:

d = (2 – 6)2 + (1 – 3)2 = 20 4,47

•RETTA

Una retta generica nel piano cartesiano ha equazione

y = mx + q (forma esplicita)

ax + by + c = 0 (forma implicita)

Ricordiamo che:

m rappresenta il coefficiente angolare della retta

ed esprime l’inclinazione della retta rispetto al semiasse positivo delle x

q rappresenta l’ordinata all’origine

ossia l’ordinata del punto d’intersezione della retta con l’asse y

Nella retta in figura si ha

m = 2 e q = 1

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•DISTANZA PUNTO RETTA

La distanza tra una retta r ed un punto A del piano cartesiano è il tratto d di perpendicolare che va dal punto alla retta.

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Se il punto è A(xo,yo) e la retta ha equazione y = mx+q è possibile calcolare tale distanza utilizzando la formula:

| yo – (mxo + q) | d = 1 + m2

nel nostro caso essendo A(1,7) e r: y = x-2 si ha: |7 - (1-2)| 8

d = = 5,66

1 + 12 2

•LUOGO GEOMETRICO

Si definisce luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una particolare proprietà.

Ad esempio la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

Un altro luogo geometrico è l’asse di un segmento ossia la retta passante per il punto medio di un segmento e perpendicoalre ad esso. Si dimostra che tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del segmento.

PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO

Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta fissa detta direttrice e da un punto fisso detto fuoco.

Nella figura a lato ogni punto P della parabola è tale che la sua distanza dal fuoco F ossia PF è uguale alla sua distanza dalla direttrice della parabola PH. In altre parole

PF =PH

per ogni punto P della parabola.

DirettriceFuoco

Parabola

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EQUAZIONE DELLA PARABOLA

Detto P(x,y) un punto generico della parabola, fissati le coordinate del fuoco F e l’equazione della direttrice d, dalla condizione

PF = PH

che possiamo scrivere utilizzando rispettivamente la formula della distanza tra punti (PF) e quella tra retta e punto (PH), otteniamo dopo pochi passaggi l’equazione in forma normale della parabola:

y = ax2 + bx + c

con a, b e c coefficienti numerici.

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Data l’equazione di una parabola

y = ax2 + bx + c

per poterla rappresentare graficamente osserviamo che:

1) Se a > 0 la parabola volge la concavità verso l’alto

Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso

V

2) Il punto più in baso della parabola o più in alto prende il nome di V

vertice della parabola e le sue coordinate sono

V[-b/2a; -(b2-4ac)/4a]

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA

4) L’intersezione della parabola con l’asse y si ottiene risolvendo il sistema

y = ax2 + bx + c (Parabola) P

x = 0 (Asse y)

ottenendo il punto P(0;c)

5) L’intersezione della parabola con l’asse x si ottiene invece risolvendo il sistema

y = ax2 + bx + c (Parabola)

y = 0 (Asse x) Da cui si perviene all’equazione di 2° grado

ax2 + bx + c = 0

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA

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3) L’asse della parabola è la retta verticale passante per il vertice ed è asse di simmetria dellaparabola stessa ossia ribaltando uno dei due rami della parabola rispetto a tale retta verrà esso a coincidere esattamente con l’altro ramo. La sua equazione sarà: x= -b/2a

Come abbiamo visto dunque, risolvere un’equazione di 2° grado

ax2 + bx + c = 0

è equivalente a trovare le intersezioni della parabola

y = ax2 + bx + c

con l’asse x.

Ricordando che con = b2-4ac abbiamo indicato il discriminante dell’equazione generica di 2°

grado e con x1 e x2 le soluzioni, possiamo classificare le parabole con lo schema seguente

SIGNIFICATO GEOMETRICO DI UN’EQUAZIONE DI 2° GRADO

a > 0 < 0

a < 0 < 0

a > 0 = 0

x1 x2

x1 x2a < 0 = 0

x2x1

a > 0 > 0

x1 x2

a < 0 > 0